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Autores
Equipe Programa Cientista-Chefe em Educação Básica
UFC/FUNCAP/SEDUC
0
Todos os direitos reservados à
Secretaria da Educação do Estado do Ceará – Centro Administrativo Virgílio Távora
Av. General Afonso Albuquerque Lima, s/n – Cambeba. Fortaleza/CE – CEP: 60.822-325
GOVERNADOR
Elmano de Freitas da Costa
VICE-GOVERNADORA
Jade Afonso Romero
Secretária da Educação Eliana Nunes Estrela
Secretária Executiva de Ensino Médio e
Profissional
Maria Jucineide da Costa Fernandes
Coordenadora de Educação em Tempo
Integral
Gezenira Rodrigues da Silva
Coordenadora de Gestão Pedagógica do
Ensino Médio
Ideigiane Terceiro Nobre
Coordenadora de Avaliação e
Desenvolvimento Escolar para Resultados
de Aprendizagem
Kelem Carla Santos de Freitas
Coordenadora Estadual da Formação
Docente e Educação a Distância
Vagna Brito de Lima
Coordenador da Educação Profissional Rodolfo Sena da Penha
Cientista-Chefe da Educação Jorge Herbert Soares de Lira
Elaboração e revisão de texto Jorge Herbert Soares de Lira
Roberta Eliane Gadelha Aleixo (revisora)
Annelise Maymone (revisora)
1
3
|Apresentação
Cara/o professora/or, apresentamos a seguir o Material Didático Estruturado (MDE) da Matemática
“Foco na Aprendizagem”, que consiste no desenvolvimento de ações integradas voltadas à recomposição
das aprendizagens, implementação do Documento Curricular Referencial do Ceará (DCRC) do Novo
Ensino Médio (NEM) e do modelo estadual de Educação Híbrida, articulando ações didático-pedagógicas
por meio da avaliação diagnóstica-formativa, Tutoria em Língua Portuguesa e Matemática, e formação
continuada de professores.
Nesse sentido, o intuito da Coordenadoria de Gestão Pedagógica do Ensino Médio (Cogem) é de
subsidiar suporte pedagógico para as atividades de recomposição das aprendizagens da iniciativa Foco
na Aprendizagem, com sugestões para o uso do MDE como mais um material de apoio, dentre os já
existentes de seu acervo de recursos didáticos nas aulas das áreas de conhecimento e componentes
curriculares de sua atuação, respeitando a autonomia didática de cada docente e as especificidades de
cada escola.
De modo geral, cada MDE possui suas especificidades, sendo os de Língua Portuguesa e Matemática
estruturados por componentes curriculares, e divididos em unidades temáticas voltadas ao desenvolvi-
mento de um objeto de aprendizagem; e os de Ciências Humanas e Ciências da Natureza, estruturados
por áreas do conhecimento, divididos em componentes curriculares e subdivididos em capítulos temáticos
voltados ao desenvolvimento de um objeto de aprendizagem e em diálogo com elementos do tempo
presente das/os estudantes. Nesse sentido, há de se enfatizar a finalidade que atravessa toda a estrutura
deste material: possuir uma estrutura padrão em que cada uma das seções didáticas está destinada a
favorecer diferentes estratégias de recomposição da aprendizagem.
Coordenadoria da Gestão do Ensino Médio - COGEM
Coordenadoria Estadual de Formação Docente e Ensino a Distância - CODED
Coordenadoria de Avaliação e Desenvolvimento para Resultados de Aprendizagem - COADE
Programa Cientista-Chefe em Educação - FUNCAP/UFC/SEDUC
Proposta Pedagógica
Cara/o estudante,
Este caderno foi pensado com muito critério para que se tornasse um material que possa apoiá-lo em
sua formação no Ensino Médio. Esperamos que você possa estudar cada página com o mesmo carinho e
dedicação com que ela foi escrita. Os elaboradores e toda a equipe pedagógica envolvida levaram em
conta os desafios que os últimos anos representaram nas vidas pessoais e escolares de cada um de vocês.
O Ensino Médio é uma etapa desafiadora não só por que somos expostos a conhecimentos mais
amplos e por que somos demandados em habilidades mais complexas. Esses desafios cognitivos vêm
junto com a transição para a vida adulta, com todas as incertezas e oportunidades que estão à frente. E,
no caso desta geração, vivenciamos, ainda, os efeitos da Pandemia e toda a repercussão que o necessário
isolamento social teve sobre a aprendizagem.
Por isso, esse caderno cuida da necessidade de recompor conhecimentos em Matemática que serão
indispensáveis no seu futuro, seja acadêmico, seja profissional. A Matemática não é um punhado de
fórmulas, um amontado de cálculos e uma disciplina “difícil”, que causa ansiedade e, depois, nada tem a
ver com nosso cotidiano. Muito ao contrário: as profissões mais demandadas exigem, cada vez mais,
habilidades relacionadas ao pensamento matemático. Além disso, não podemos exercer plenamente nossa
cidadania sem entendermos a linguagem matemática: basta ver como decisões econômicas, baseadas em
Matemática, afetam o orçamento de nossas famílias. Estamos imersos na sociedade da informação, em
que o uso de dados e de algoritmos determina aspectos de nossas vidas que sequer imaginamos.
4
Portanto, queremos nos juntar a você no esforço de superar suas eventuais dificuldades nos conceitos
essenciais da Matemática. Esse é um processo gradual, em que vamos avançando numa espiral pouco a
pouco: o que importa é termos clareza de quais são as lacunas que devem ser preenchidas e as metas
que devemos atingir. Dito isso, vamos explicar como o uso do caderno pode ajudar nesses percursos
formativos que iniciam com tarefas que retomam conhecimentos básicos e, progressivamente, avançam
para exercícios e problemas mais complexos. Nesses caminhos, você é convidado a trabalhar inclusive
com questões de vestibulares, do ENEM e das avaliações externas, como o SPAECE. O caderno é
organizado em quatro percursos. Vejamos do que trata cada um deles.
Primeiro percurso
Neste percurso, trabalharemos a localização de números racionais na reta numérica. Para isso,
precisamos saber quando duas frações são equivalentes e como representar um número racional como
fração ou como número decimal. Em seguida, estudaremos relações de proporcionalidade entre duas
variáveis. Veremos como representar essas relações usando retas no plano cartesiano. Essas retas são
gráficos de funções afins. Finalizamos o percurso, mostrando as relações de proporcionalidade entre
lados e perímetros de triângulos e quadriláteros semelhantes.
Segundo percurso
Agora, retomamos o estudo das funções afins, identificando os gráficos (linhas retas) que as representam
e interpretando geometricamente os coeficientes de suas expressões algébricas. Veremos, em seguida,
como relacionar funções afins e equações lineares. Finalizamos estudando funções quadráticas
resolvendo problemas a respeito dos seus zeros e valores máximos/mínimos.
Terceiro percurso
Retornamos ao estudo da proporcionalidade, explorando, desta vez, problemas que envolvem razões,
proporções e porcentagens, em diferentes contextos, inclusive relacionados à Matemática Financeira.
Na sequência, estudaremos o comportamento de funções (crescimento, decrescimento, zeros) analisando
seus gráficos. Finalizamos o percurso com problemas envolvendo funções exponenciais e crescimento
geométrico.
Quarto percurso
O caderno finaliza com exercícios e problemas sobre tratamento da informação, ou seja, a análise de
tabelas, de gráficos de barras, de linhas ou de setores. Além disso, trabalharemos questões envolvendo
probabilidade em vários contextos.
Dicas sobre o uso do caderno
Os percursos são independentes, mas recomendamos que você siga a sequência do primeiro ao quarto.
Em cada um, siga a ordem dos exercícios, pois esses aumentam gradualmente em complexidade. Caso
sinta dificuldades em alguns deles, registre-as e converse com seu professor a respeito. Não se sinta
desencorajado se não conseguir resolver uma ou outra questão: o mais importante é comunicar suas
dificuldades para que o professor possa ajudá-lo com mais precisão. Além de recorrer ao professor,
recomendamos que consulte outros materiais de apoio. Mencionamos, por exemplo, os seguintes recursos:
• os cadernos do material estruturado do Foco na Aprendizagem: https://www.ced.seduc.ce.gov.br/
foco-na-aprendizagem-matematica-2/
• Os módulos do Portal da Matemática da OBMEP: https://portaldaobmep.impa.br/index.php/site/
index?a=1
• Khan Academy: https://pt.khanacademy.org/math/em-mat-algebra
5
Seção 1. Primeiro percurso: coordenadas, semelhança, perímetros e áreas
As tarefas a seguir envolvem conhecimentos prévios fundamentais para desenvolver as habilidades nos
seguintes descritores da Matriz de Referência do SAEB (terceira série do Ensino Médio):
• D14 - Identificar a localização de números na reta numérica.
• D15 - Resolver problema que envolva variações proporcionais, diretas ou inversas, entre grandezas.
• D6 - Identificar a localização de pontos no plano cartesiano.
• D7 - Interpretar geometricamente os coeficientes da equação de uma reta.
• D1 - Identificar figuras semelhantes mediante o reconhecimento de relações de proporcionalidade.
• D11 - Resolver problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas.
• D12 - Resolver problema envolvendo o cálculo da área de figuras planas.
Questão 1 Observe o segmento da reta numérica representado na seguinte figura.
A B C D E
T
P Q S
R
1 2
0
Agora, faça as seguintes atividades.
i) Determine os pontos que correspondem aos números
1
10
2
10
2
5
4
5
0,6 0,9 1,2
14
10
9
5
ii) Determine as frações que correspondem aos pontos A, B, C, D e E.
iii) Determine os números decimais que correspondem aos pontos P, Q, R, S e T.
iv) Determine a localização (mesmo que aproximada) dos números racionais
1
6
1
3
2
3
4
6
8
9
0,25 0,625 1,25 1,75
4
3
8
6
9
6
Solução. i) A reta numérica está graduada em intervalos cujo comprimento é igual a 1/10 da
unidade de medida. Sendo assim, temos
1
10
2
10
4
10
2
5
8
10
4
5
6
10
0,6
9
10
0,9
12
10
1,2
14
10
1,4
18
10
9
5
1 2
0
ii) Na reta numérica seguinte, indicamos os números racionais correspondentes aos pontos A, B, C, D e
E:
A B C D E
3
10
4
10
7
10
15
10
17
10
1 2
0
iii) Na reta numérica seguinte, indicamos os números racionais correspondentes aos pontos P, Q, R, S e
T. Para isso, percebemos que esses são pontos médios dos intervalos; logo, são múltiplos de 1/20. Temos
5
20
15
20
25
20
35
20
39
20
T
P Q S
R
1 2
0
6
iv) Quase todos os pontos na lista são múltiplos ou submúltiplos de 1
3. Portanto, o primeiro passo deve
ser determinar a localização, exata ou aproximada, do número racional 1
3. Para isso note que
1
3
=
3
9
>
3
10
e
1
3
=
4
12
<
4
10
·
Com isso, mostramos que 1
3 está entre 3
10 e 4
10. Logo,
3
10
4
10
1
3
1 2
0
Agora, podemos determinar outros pontos da lista. Por exemplo, temos
2
3
= 2 ·
1
3
e
4
6
=
4 : 2
6 : 2
=
2
3
e, da mesma forma,
4
3
= 4 ·
1
3
e
8
6
=
8 : 2
6 : 2
=
4
3
·
Sendo assim, marcamos esses pontos na reta numérica como múltiplos de 1
3:
3
10
4
10
1
3
2
3
4
6
4
3
8
6
5
3
1 2
0
Agora, é preciso localizar a fração 1
6 na reta numérica. Para isso, podemos considerar que
1
6
=
1
2
·
1
3
,
ou seja, observar que 1
6 corresponde ao ponto médio entre 0 e 1
3. Sendo assim, temos:
1
3
2
3
4
3
5
3
1
6
1 2
0
Note que
9
6
= 9 ·
1
6
·
Assim,
4
3
=
8
6
<
9
6
<
10
6
=
5
3
.
De fato, 9
6 é o ponto médio entre 8
6 = 4
3 e 10
6 = 5
3. Assim, obtemos:
1
3
2
3
4
3
5
3
1
6
9
6
1 2
0
O próximo passo é localizar a fração 1
9 na reta numérica. Para isso, devemos ver que
1
9
=
1
3
·
1
3
o que é representado na reta numérica como segue:
7
1
9
2
9
3
9
1
3
6
9
8
9
2
3
4
3
12
9
5
3
15
9
1 2
0
Note que, na reta numérica, temos
2
3
=
6
9
<
8
9
<
9
9
= 1.
Finalmente, observamos que
0,25 =
1
2
· 0,5 =
0,2 + 0,3
2
=
2
10 + 3
10
2
,
o que significa que 0,25 é o ponto médio entre 0.2 = 2
10 e 0,3 = 3
10. Além disso, temos
1,25 = 1 + 0,25 e 1,75 = 2 − 0,25.
Escrevendo esses números nessas formas, podemos localizá-los na reta numérica como segue:
0,2 1,2 1,3 1,7 1,8
0,6 0,7
0,625
0,3
0,25 1,25 1,75
1 2
0
Concluímos, observando que
0,625 = 0,6 + 0,025 = 0,6 +
0,02 + 0,03
2
= 0,6 +
2
100 + 3
100
2
.

Questão 2 Observe o segmento da reta numérica representado na seguinte figura.
A B D
C E
1 2
0
Assinale a alternativa em que o ponto corresponde corretamente ao número racional.
A) A = 7
5
B) B = 0,75 C) C = 5
7
D) D = 0,57 E) E = 0,075
Solução. A reta numérica no suporte da questão está graduada em intervalos com medida igual a
1/10 da unidade. Sendo assim,
E =
14
10
= 1,4.
Já o ponto D é o ponto médio entre 7/10 e 8/10, ou seja,
D =
7
10 + 8
10
2
=
15
20
·
Observe, portanto, que
D =
3
4
= 0,75.
Logo, as alternativas D) e E) estão erradas.
Quanto ao ponto B, a figura indica que está entre 5
10 = 0,5 e 6
10 = 0,6. Logo,
B  0,6  0,75.
8
Portanto, a alternativa B) também não é correta. De modo similar, vemos que A está entre 0 e 1
10 = 0,1.
Sendo assim, concluímos que
A  0,1  1 
7
5
,
o que mostra que a alternativa A) não é verdadeira.
Por fim, o ponto C está entre 7/10 = 0,7 e D = 0,75. Por outro lado,
5
7
=
1
10
·
50
7
=
1
10
·

7 +
1
7

= 0,7 +
1
100
·
10
7
= 0,7 +
1
100
·

1 +
3
7

= 0,71 + . . .
Deduzimos que a alternativa C) é correta. 
Questão 3 — SABE - Item M120905E4, adaptado. Observe a reta numérica abaixo. Ela está dividida
em segmentos de mesma medida.
S
2
7
1
3
T U
4
9
V
4
7
W
5
8
X
5
6
1
0
O número
3
4
está localizado entre os pontos
A) S e T. B) T e U. C) U e V . D) V e W. E) W e X.
Solução. O segmento da reta entre 0 e 1 está dividido em 10 intervalos de comprimento 1
10. Logo,
3
4
= 0,75
está entre os números 0,7 = 7
10 e 0,8 = 8
10, ou seja, está no oitavo intervalo de comprimento 1
10, da
esquerda para a direita. Portanto, está entre os pontos W e X. Comparando as frações, vê-se que, de
fato,
5
8

6
8
=
3
4
e
3
4
=
9
12

10
12
=
5
6
·
A alternativa correta é a E). 
Observação 0.1 Apenas para completar a discussão, observe na reta numérica 2
7  3
10 (de fato
20 = 2 · 10  3 · 7 = 21) e, portanto,
2
7

3
10

3
4
Da mesma forma, temos
4
7

6
10
=
3
5

3
4
,
e assim por diante.
Exercício 0.1 — PAEBES - Item M090258G5, adaptado. Observe a reta numérica abaixo. Ela está
dividida em segmentos de mesma medida.
0 0,4 0,8
M
1,2
L K J
1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 5,2 5,6 6
9
Qual é o ponto que melhor representa a localização do número
5
4
nessa reta?
A) M. B) L. C) K. D) J.
Solução. A reta numérica está dividida em intervalos de comprimento 0,2 = 2
10. Observe que
5
4
= 1 +
1
4
= 1,25.
Logo,
1,2 
5
4
 1,4
e a alternativa correta é B). 
Questão 4 — SPAECE - Item M090307H6. Observe abaixo a reta numérica dividida em segmentos de
mesma medida.
−6 −4 −2
X
0 2
O número racional representado pelo ponto X é
A) −6,4. B) −5,5. C) −4,5. D) −4,6.
Solução. A reta numérica está dividida em intervalos de comprimento 0,5 = 5
10 = 1
2. Observe que
X é, portanto, dado por
−4 − 0,5 = −4,5
ou, equivalentemente, por
−6 + 3 · 0,5 = −6 + 1,5 = −4,5
Logo, a alternativa correta é C). 
Questão 5 — SAEPE - Item M110764E4, adaptado. Caroline está completando a reta numérica
representada abaixo, na qual as distâncias entre dois pontos consecutivos são todas iguais.
−32
−32
−32
−32
−32
−32 −24 R −8 0 8
Para completar essa reta numérica, qual número Caroline deve escrever no lugar da letra R?
A) −25. B) −23. C) −16. D) −9. E) −7.
Solução. A reta numérica está dividida em intervalos de comprimento 8. Observe que R é, portanto,
dado por
−8 − 8 = −16
ou, equivalentemente, por
−24 + 8 = −16.
Logo, a alternativa correta é C).
10
Questão 6 Nas retas numéricas a seguir, quais frações correspondem aos pontos A, B, C, D, E, F,
G, H, I, J, K e L?
0 A 1
0 1/4 B C 1
0 1/3 D 1
0 1/6 2/6 E F 1
0 1/12 G H 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 2/12 I J 1
0
0
0
0
0 3/12 K L 1
Solução. Observe que os pontos A, B, E e H coincidem com o ponto que fica à mesma distância
de 0 e de 1. Logo, esse ponto divide o segmento de reta de 0 a 1 em duas partes iguais e, portanto,
A =
1
2
= B =
2
4
= E =
3
6
= H =
6
12
·
Agora, veja que o ponto G divide o segmento de reta de 0 a H em duas partes iguais. Além disso,
observe que o segmento de reta que contém G está dividido em 12 partes com mesma medida. Logo,
G = metade de
1
2
=
1
2
·
1
2
=
1
4
e G =
3
12
=
1
4
·
Podemos também ver que os pontos D, F, J e K coincidem, ou seja D = F = J = K, ou seja,
2
3
=
4
6
=
8
12
·
Por fim, verificamos que
C =
3
4
= L =
9
12
e I =
4
12
=
2
6
=
1
3
·

Questão 7 Usando as retas numéricas na questão 6, encontre o valor da incógnita x ou da incógnita
y em cada uma das seguintes equivalências de frações.
11
i)
1
2
=
y
4
ii)
1
x
=
2
6
iii)
y
3
=
4
6
iv)
8
12
=
4
x
Solução. Temos
i)
1
2
=
1 · 2
2 · 4
=
2
4
ii)
2
6
=
2 : 2
6 : 2
=
1
3
iii)
4
6
=
4 : 2
6 : 2
=
2
3
iv)
8
12
=
8 : 2
12 : 2
=
4
6

Questão 8 Complete as seguintes frações com numeradores ou denominadores de modo que as
igualdades sejam verdadeiras.
3
4
=
6
=
12
=
16
=
15
=
18
=
28
=
32
Solução. Temos
3
4
=
3 · 2
4 · 2
=
6
8
e
3
4
=
3 · 3
4 · 3
=
9
12
·
Da mesma forma, temos
3
4
=
3 · 4
4 · 4
=
12
16
e
3
4
=
3 · 5
4 · 5
=
15
20
·
Finalmente,
3
4
=
3 · 6
4 · 6
=
18
24
e
3
4
=
3 · 7
4 · 7
=
21
28
e
3
4
=
3 · 8
4 · 8
=
24
32
·

Questão 9 Complete a seguinte tabela com valores das variáveis x e y, considerando que são
diretamente proporcionais.
Valores de y 3 6 - - 15 18 - -
Valores de x 4 - 12 16 - - 28 32
Solução. Com base nos resultados na questão 8, temos
Valores de y 3 6 9 12 15 18 21 24
Valores de x 4 8 12 16 20 24 28 32

Sejam m, n, p e q são números naturais, com n e q diferentes de 0. Sendo assim, as frações
m
n
e
p
q
são equivalentes, ou seja, a igualdade
m
n
=
p
q
é verdadeira se, e somente se,
q · m = p · n.
De fato, basta multiplicarmos cada um dos lados da igualdade pelo produto q · n, obtendo
q · n ·
m
n
= q · n ·
p
q
,
12
igualdade que pode ser reescrita como
q · m · n ·
1
n
= n · p · q ·
1
q
,
o que nos permite concluir que
q · m = n · p.
Por exemplo, as frações
3
4
e
9
12
(com m = 3, n = 4, p = 9 e q = 12) são equivalentes, pois
12 · 4 ·
3
4
= 4 · 12 ·
9
12
,
ou seja, multiplicando 4 · 1
4 e 12 · 1
12, temos
12 · 3 = 4 · 9,
uma igualdade verdadeira, pois resulta em 36 = 36.
Observação 0.2 A equivalência de frações pode ser entendida como uma relação de proporciona-
lidade: dizemos que
m
n
=
p
q
quando m está para n assim como p está para q, situação em que vale a igualdade do produto dos
meios e do produto dos extremos, ou seja,
q · m = p · n,
uma vez que
q · Z
n ·
m
Z
n
= n · A
q ·
p
A
q
Usando a definição acima de equivalência de frações, vamos, agora, apresentar critérios práticos, que
são consequências lógicas da definição, para verificar se duas frações são equivalentes. Se multiplicarmos
ou dividirmos o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número a natural
diferente de zero, obtemos uma fração equivalente. De fato,
m
n
=
m · a
n · a
,
visto que
m · n · a = n · m · a.
Da mesma forma,
m
n
=
m : a
n : a
·
Neste caso, a deve ser um divisor ou fator comum de m e n com m : a = p e n : a = q. Assim, temos
m
n
=
p · a
q · a
=
p
q
=
m : a
n : a
,
como queríamos demonstrar. Por exemplo, as frações 3
4 e 6
8 são equivalentes, pois 3·2
4·2 = 6
8 e, da mesma
13
forma, as frações 9
12 e 12
16 são também equivalentes, pois
9 : 3
12 : 3
=
3
4
=
3 · 4
4 · 4
=
12
16
,
o que comprova a equivalência dessas frações.
Questão 10 Represente os valores das variáveis x e y na tabela da questão 9 como coordenadas de
pontos no seguinte plano cartesiano. Veja o exemplo do ponto P = (4, 3) em que x = 4 e y = 3.
0 4 8 12 16 20 24 28 32
3
6
9
12
15
18
21
24
27
P
x
y
Agora, responda às seguintes perguntas.
1) Os pontos devem estar alinhados, ou seja, devem pertencer a uma mesma reta r. Você conseguiu
perceber isso em seu desenho?
2) Qual o valor de y para que o ponto (8, y) pertença à reta r?
3) Qual o valor de x para que o ponto (x, 9) pertença à reta r?
4) Qual o valor de y para que o ponto (32, y) pertença à reta r?
5) Qual o valor de x para que o ponto (x, 27) pertença à reta r?
6) Por qual razão os pontos que você representou no plano devem estar alinhados, ou seja, devem
pertencer todos a uma mesma reta?
7) Qual relação existe entre as coordenadas x e y para que o ponto (x, y) pertença à reta r?
8) O ponto (9, 6), em que x = 9 e y = 6, pertence à reta r? Justifique sua resposta.
9) O ponto (10, 15/2), em que x = 10 e y = 15/2, pertence à reta r? Justifique sua resposta.
10) Qual o valor de x para que o ponto (x, 15/4) pertença à reta r?
11) Qual o valor de y para que o ponto (3, y) pertença à reta r?
12) Existe algum ponto (x, y) na reta r tal que x + y = 14?
Solução. 1) Ao considerarmos os valores de x e os valores correspondentes de y na tabela da
questão 8 como coordenadas cartesianas, obtemos os seguintes pontos no plano cartesiano:
P = (4, 3), A = (8, 6), B = (12, 9), C = (16, 12), D = (20, 15), E = (24, 18), F = (28, 21), Q = (32, 24).
Observamos que as primeiras coordenadas (absicssas) em cada par aumentam 4 unidades de um ponto
para o imediatamente seguinte, da esquerda para a direita; da mesma forma, as segundas coordenadas
(ordenadas) em cada par aumentam 4 unidades nessa sequência de pontos. Portanto, a variação da
coordenada x (abscissa) de um ponto para o imediatamente seguinte é dada por
∆x = 4,
14
ao passo que a variação da coordenada y (ordenada) entre dois pontos consecutivos é
∆y = 3.
Logo, a razão entre essas variações é igual a
∆y
∆x
=
3
4
,
ou seja,
∆y =
3
4
∆x. (1)
Em resumo, constatamos, para esses pontos, que
a variação da coordenada y entre esses dois pontos da reta r é igual a 3/4 da variação correspondente
da coordenada x
Representando os pontos P, A, B.C, D, E, F e Q no plano cartesiano, obtemos uma figura como a
seguinte:
0 4 8 12 16 20 24 28 32
3
6
9
12
15
18
21
24
27
P
Q
A
B
C
D
E
F
r
x
y
Os pontos assinalados pertencem, todos, à reta r traçada na figura anterior.
2) Note que a variação da coordenada x do ponto (4, 3) para o ponto (8, y) é igual a
8 − 4 = 4.
Portanto, para que o ponto (8, y) pertença à reta r, a variação correspondente na coordenada y deve ser
3/4 da variação da coordenada x, ou seja,
y − 8 =
3
4
· 4 = 3,
ou seja, y = 11. Portanto, o ponto (8, 11) pertence à reta r.
3) A variação da ordenada entre os pontos (4, 3) e (x, 9) é dada por
9 − 3 = 6.
Já a variação da abscissa entre esses pontos é
x − 3.
15
Usando (1), temos
3
4
(x − 3) = 6,
ou seja,
x − 4 =
4
3
· 6.
Portanto
x − 4 = 4 · 2 = 8,
de onde segue que x = 12. Portanto, o ponto (12, 9) pertence à reta r.
4) A variação da abscissa do ponto (4, 3) ao ponto (32, y) é dada por
32 − 4 = 28.
Logo, a variação da ordenada é dada por
y − 3 =
3
4
· 28 = 3 · 7 = 21.
Portanto, y = 24. Concluímos que o ponto (32, 24) pertence a r.
5) Raciocinando de modo ligeiramente diferente, observe que, do ponto (4, 3) para o ponto (x, 27), a
segunda coordenada (isto é, a ordenada) teve 8 aumentos sucessivos de 3 unidades, uma vez que
27 = 3 + 8 · 3.
Logo, a primeira coordenada (ou seja, a abscissa) deve ter 8 aumentos sucessivos de 4, a partir do valor
inicial 4, ou seja,
x = 4 + 8 · 4 = 4 + 32 = 36.
Portanto, o ponto (36, 27) pertence a r.
Em todas essa situações, perceba que, dado um valor da variável x, existe um único valor da
variável y tal que o par (x,y) pertence a r. Isso significa que y é função de x e que r é o gráfico
dessa função
6) e 7) Um ponto com coordenadas (x, y) pertence à reta r se, e somente se, dado outro ponto (x0, y0)
dessa reta, a variação das ordenadas de um ponto a outro é 3/4 da variação das abscissas entre esses
pontos, ou seja
y − y0
x − x0
=
3
4
Como a origem (4, 3) pertence à reta r, podemos fixar x0 = 4 e y0 = 3, obtendo
y − 3
x − 4
=
3
4
,
ou seja,
y − 3 =
3
4
(x − 4)
e, portanto,
y =
3
4
x. (2)
Essa é a expressão algébrica de y como função de x.
8) Observe que
6 6=
3
4
· 9,
16
pois 6 · 4 6= 3 · 9. Portanto, em vista do critério dado pela expressão (2), o ponto (9, 6), em que x = 9 e
y = 6, não pertence a r.
9) Dada a condição (2), verificamos que o ponto (10, 15/2) pertence a r, pois
15
2
=
3
4
· 10,
uma vez que 15 · 4 = 2 · 3 · 10.
10) Do ponto (10, 15/2) para o ponto (x, 15/4), a ordenada foi dividida por 2. Tendo em conta a relação
de proporcionalidade (2) entre ordenadas (valores da variável y) e abscissas (valores da variável x),
devemos ter
x =
10
2
− 5.
Assim, o ponto (5, 15/4) pertence a r. De fato,
15
4
=
3
4
· 5.
11) Se x = 3, o valor correspondente de y é dado por
y =
3
4
· 3 =
9
4
12) Dado um ponto (x, y) em r, devemos ter
y =
3
4
x.
Assim, caso as coordenadas desse ponto também satisfaçam a equação x + y = 14, temos
x +
3
4
x = 14.
Logo,
4x + 3x
4
= 14
e, sendo assim,
x =
14 · 4
7
= 2 · 4 = 8.
Portanto,
y =
3
4
· 8 = 6
(ou, equivalentemente, y = 14 − x = 14 − 8 = 6). Portanto, o ponto (8, 6) pertence, simultaneamente, à
reta r e à reta definida pela equação x + y = 14, conforme ilustrado na seguinte figura:
0 4 8 12 16 20 24 28 32
3
6
9
12
15
18
21
24
27
P
Q
A
r
s
x
y
17
Neste ponto, cabe discutir que a expressão x + y = 14 define, de fato, uma reta. Para tanto, devemos
observar que os pontos I = (14, 0) e J = (0, 14) satisfazem, ambos, a equação x + y = 14. Agora,
dado um ponto U = (x, y) qualquer, satisfazendo essa equação, a razão entre a variação da ordenada
e a variação da abscissa entre os pontos U e J é igual a
y − 14
x − 0
=
14 − x − 14
x
=
−x
x
= −1.
Portanto, a variação da ordenada é igual a −1 vezes a variação da abscissa: isso significa que, a
medida em que a variação das abscissas e a variação das ordenadas são proporcionais uma a outra.
De fato, observe na figura que, aumentando em 1 unidade o valor da variável x, diminuímos o valor
da variável y em 1 unidade, sempre nessa mesma proporção.

Observação 0.3 Caro(a) professor(a), até este ponto, avançamos gradualmente da noção de equi-
valência de frações ao conceito de proporcionalidade. Em seguida, representamos geométrica e
graficamente a ideia de proporcionalidade em termos de alinhamento de pontos no plano cartesiano,
cujas coordenadas mantêm uma relação de proporcionalidade.
A partir daqui, vamos tratar de dois temas:
• nesta seção, continuamos o percurso com critérios de semelhança de figuras planas em termos de
relações de proporcionalidade entre medidas de lados correspondentes; as noções de perímetro
e área de figuras planas; e as relações entre perímetro e área de figuras planas semelhantes.
• Na seção seguinte, estudamos as representações algébrica e gráfica de funções afins e de equações
lineares, interpretando geometricamente os coeficientes angular e linear em suas expressões
algébricas.
Observação 0.4 Os valores de x e y na tabela da questão 9 satisfazem a seguinte relação de
proporcionalidade:
y
x
=
3
4
, (3)
sempre que x 6= 0. Por exemplo, os valores x = 8 e y = 6 podem estar na tabela, pois
6
8
=
3
4
,
frações que são equivalentes, uma vez que 6 · 4 = 8 · 3. Já os valores x = 9 e y = 6 não podem estar
na tabela, dado que as frações
6
9
e
3
4
não são equivalentes, visto que
6 · 4 6= 9 · 3.
Voltando ao caso geral, observe que a relação de equivalência (3) pode ser escrita na forma
y =
3
4
x. (4)
Essa expressão mostra que a variável y é uma função afim da variável x. Se, por exemplo, tomamos
x = 8, temos
y =
3
4
· 8 = 3 ·
8
4
= 3 · 2 = 6,
18
ou seja, o valor da variável y correspondente ao valor x = 8 é y = 6. Por essa razão, o ponto com
coordenadas (8, 6) está alinhado aos demais pontos cujas coordenadas completam a tabela na questão
9, a saber,
(12, 9), (16, 12), (20, 15), (24, 18), (28, 21), (32, 24).
Lembre-se que você representou esses pontos no plano cartesiano na questão 10 e, assim, verificou
que pertencem a uma mesma reta, que denotamos por r. Essa reta r, representada na seguinte figura,
é o gráfico da função 4.
0 4 8 12 16 20 24 28 32
6
12
18
24
P
Q
A
B
C
D
E
F
x
y
Note que o alinhamento dos pontos em uma mesma reta no plano significa que, aumentando 4
unidades no valor da variável x, avançamos 3 = 3
4 · 4 unidades no valor da variável y.
Note que, na função afim em (4), o coeficiente angular é dado por a = 3/4. Já o coeficiente
linear é dado por b = 0, uma vez que o gráfico dessa função afim intersecta o eixo y no ponto (0,0),
ou seja, na origem: de fato, se x = 0, então y = 3
4 · 0 = 0.
Questão 11 Considere o gráfico da função afim
y =
3
4
x (5)
representado na figura exposta na observação 0.4. Responda às seguintes questões:
1) Quais as coordenadas (x, y) dos pontos P, A, B, C, D, E, F e Q?
2) Essas coordenadas satisfazem a relação (5)?
3) Essas coordenadas satisfazem a equação linear 3x − 4y = 0?
4) O ponto (6, 4) pertence ao gráfico da função afim?
5) O ponto (14, 9/2) pertence ao gráfico da função afim?
6) As coordenadas do ponto (14, 10) satisfazem a equação linear 3x − 4y = 0?
7) As coordenadas do ponto (6, 9/2) satisfazem a equação linear 3x − 4y = 0?
8) Qual a taxa de variação da função (5) entre os pontos P e A?
9) Qual a taxa de variação da função (5) entre os pontos P e Q?
10) Qual a taxa da variação da função (5) entre o ponto P e um ponto (x, y) qualquer do gráfico?
11) As coordenadas x dos pontos P, A, B, C, D, E, F e Q estão em progressão aritmética. Qual sua
razão?
12) As coordenadas y dos pontos P, A, B, C, D, E, F e Q estão em progressão aritmética. Qual sua
razão?
13) Dividindo essas razões, obtemos a taxa de variação da função afim. Verdadeiro ou falso?
19
Solução. 1) e 2) Na resolução da questão (10), vimos que
P = (4, 3), A = (8, 6), B = (12, 9), C = (16, 12), D = (20, 15), E = (24, 18), F = (28, 21), Q = (32, 24).
O padrão formado pelas coordenadas desses pontos foi, então, descrito da seguinte forma:
A variação da coordenada y entre dois desses pontos é proporcional à variação da coordenada x entre
eles: de um ponto para o seguinte, da esquerda para a direita, a coordenada x aumenta 4 unidades ao
passo que a coordenada y aumenta 3 unidades.
Esses pontos estão alinhados e, portanto, pertencem a uma mesma reta, que denotamos por r. Essa
reta contém a origem O = (0,0). Sendo assim, dado um ponto (x, y) qualquer em r, temos
y − 0 =
3
4
(x − 0),
ou seja,
y =
3
4
x.
3) Observamos que a relação de proporcionalidade
y =
3
4
x
pode ser escrita como
4y = 3x,
o que significa que o aumento da coordenada y em 3 unidades equivale ao aumento da coordenada x em
4 unidades. Note que todos os pontos na lista acima satisfazem essa equação, De fato, temos
4 · 3 = 3 · 4, 4 · 6 = 3 · 8, 4 · 9 = 3 · 12, 4 · 12 = 3 · 16, 4 · 15 = 3 · 20,
e assim por diante. Concluímos que as coordenadas (x, y) desses pontos satisfazem a equação linear
3x − 4y = 0.
4) O ponto (6, 4) tem coordenadas x = 6 e y = 4 satisfaz
3x − 4y = 3 · 6 − 4 · 4 = 18 − 16 = 2 6= 0.
Logo, esse ponto não pertence à reta r.
5) O ponto (14, 9/2) tem coordenadas x = 6 e y = 4 satisfaz
3x − 4y = 3 · 14 − 4 ·
9
2
= 42 − 18 = 24 6= 0.
Logo, esse ponto não pertence à reta r.
6) O ponto (14, 10) tem coordenadas x = 6 e y = 4 satisfaz
3x − 4y = 3 · 14 − 4 · 10 = 42 − 40 = 2 6= 0.
Logo, esse ponto não pertence à reta r.
7) O ponto (6, 9/2) tem coordenadas x = 6 e y = 4 satisfaz
3x − 4y = 3 · 6 − 4 ·
9
2
= 18 − 18 = 0.
20
Logo, esse ponto pertence à reta r.
8) a 10) A relação de proporcionalidade
y =
3
4
x. (6)
entre as coordenadas (x, y) de pontos na reta r significa que a razão entre as variações da coordenada x
e da coordenada y são proporcionais. Como O = (0,0) pertence à reta r, temos
variação de y
variação de x
=
y − 0
x − 0
=
y
x
=
3
4
·
Logo, a taxa de variação de y como função de x é dada por 3
4. Em resumo, a expressão (6) significa
que y é uma função linear de x, com taxa de variação igual a 3
4. A reta r é o gráfico dessa função.
Os pontos P = (4, 3) e A = (8, 6) pertencem à reta r. A taxa da variação da função entre esses dois
pontos é igual a
6 − 3
8 − 4
=
3
4
e, da mesma forma, a taxa da variação da função entre os pontos P = (4,3) e Q = (32, 24) é igual a
24 − 3
32 − 4
=
21
28
=
21 : 7
28 : 7
=
3
4
·
A taxa de variação entre dois pontos quaisquer do gráfico é sempre igual a 3
4. Essa taxa de variação é a
razão entre as variações da coordenada y e da coordenada x entre pontos da reta.
11) a 13) Como mencionado no início, as abscissas dos pontos estão em uma progressão aritmética com
razão 4. Isso significa que
8 = 4 + 4,
12 = 8 + 4,
16 = 12 + 4,
20 = 16 + 4,
e assim por diante. De modo similar, as ordenadas desses pontos estão em uma progressão aritmética
com razão 3, ou seja,
6 = 3 + 3,
9 = 6 + 3,
12 = 9 + 3,
15 = 12 + 3,
e assim sucessivamente. Dividindo as razões dessas progressões aritmética, temos, exatamente, a taxa
de variação da função, isto é, 3
4.

Observação 0.5 Veja que a variável y é função afim da variável x segundo a expressão
y =
3
4
x
se, e somente se, 4y = 3x, isto é, se, e somente se, as coordenadas (x, y) satisfazem a equação linear
3x − 4y = 0. (7)
Portanto, a reta r que contém os pontos P e Q, representada na figura da observação 0.4, é o lugar
geométrico dos pontos (x, y) cujas coordenadas são as soluções da equação linear (7). Por exemplo, o
21
ponto (8, 6), com x = 8 e y = 6 pertence a essa reta, visto que
3 · 8 − 4 · 6 = 24 − 24 = 0.
Já o ponto (9, 6), com x = 9 e y = 6, não pertence à reta r, posto que
3 · 9 − 4 · 6 = 27 − 24 = 3 6= 0.
De fato, o ponto com x = 9 que pertence a essa reta é o ponto (9, 27/4), uma vez que
3 · 9 − 4 ·
27
4
= 27 − 27 ·
4
4
= 27 − 27 = 0.
Considere, novamente, o gráfico da função afim y = 3
4x representado na seguinte figura.
O P0 A0 B0 C0 D0 E0 F0 Q0
6
12
18
24
P
Q
A
B
C
D
E
F
x
α
β
γ
y
Nessa figura, destacamos os triângulos retângulos OPP0, OAA0, OBB0, OCC0, ODD0, OEE0,
OFF0 e OQQ0. Um dos vértices desses triângulos é a origem O, outro é um ponto sobre o gráfico da
função (por exemplo, P) e o terceiro é a projeção desse ponto do gráfico sobre o eixo x (por exemplo,
P0). Na figura, destacamos um desses triângulos, a saber, o triângulo OPP0.
Observe que esses triângulos têm o mesmo ângulo α no vértice O. Além disso, os ângulos nos
pontos correspondentes desses triângulos têm a mesma medida, ou seja,
∠P = ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠E = ∠F = ∠Q
.
= β
e
∠P0
= ∠A0
= ∠B0
= ∠C0
= ∠D0
= ∠E0
= ∠F0
= ∠Q0 .
= γ.
Note que γ é um ângulo reto, ou seja, sua medida é igual a 90◦ (lê-se “noventa graus”).
Questão 12 Dadas as informações no gráfico anterior, resolva os seguintes problemas.
1) Qual a soma das medidas dos ângulos α + β + γ?
2) Qual a soma das medidas dos ângulos α + β?
3) Mostre a seguinte igualdade entre as razões:
PP0
OP0
=
AA0
OA0
=
BB0
OB0
=
CC0
OC0
=
DD0
OD0
=
EE0
OE0
=
FF0
OF0
=
QQ0
OQ0
=
3
4
(8)
22
Solução. 1) Os ângulos α, β e γ são os ângulos interno do triângulo OQQ0. Portanto, a soma das
medidas desses ângulos é igual a 180◦ ou π radianos. Assim,
α + β + γ = 180◦
.
2) Uma vez que os segmentos OQ0 e QQ0 são perpendiculares um ao outro. Portanto, γ é um ângulo
reto, ou seja, cuja medida é igual a 90◦ ou π/2 radianos. Logo, a soma das medidas dos ângulos α e
beta é igual a
α + β = 180◦
− γ = 180◦
− 90◦
= 90◦
.
3) Temos
PP0
OP0
=
3
4
,
AA0
OA0
=
6
8
=
3
4
,
BB0
OB0
=
9
12
=
3
4
e
CC0
OC0
=
12
16
=
3
4
,
DD0
OD0
=
15
20
=
3
4
,
EE0
OE0
=
18
24
=
3
4
Finalmente,
FF0
OF0
=
21
28
=
3
4
,
QQ0
OQ0
=
24
32
=
3
4
O fato de que as razões entre as medidas de lados correspondentes são iguais comprovam que os
triângulos retângulos OPP0, OAA0, OBB0, OCC0, ODD0, OEE0, OFF0, OQQ0 são semelhantes. Além
disso, todos esses triângulos têm ângulo α no vértice O; os ângulos nos vértices P, A, B, C, D, E, F, Q
têm mesma medida, igual a β; finalmente, os ângulos nos vértices P0, A0, B0, C0, D0, E0, F0, Q0 têm mesma
medida, igual a β = 90◦.

Os triângulos OAA0 e OQQ0 acima são semelhantes, isto é, as medidas dos lados correspondentes
nesses dois triângulos são proporcionais. Para verificar isso, note que os pares de lados correspondentes
nesses triângulos são
OA e OQ OA0
e OQ0
AA0
e QQ0
.
Observe que a medida de AA0 está para a medida de QQ0 assim como a medida de OA0 está para a
medida de OQ0, ou seja,
AA0
OA0
=
QQ0
OQ0
·
Essas razões são iguais à tangente tg α do ângulo α.
O
Q
A
O A0 Q0
α
β
γ
23
Observe que esse é um ângulo interno de ambos os triângulos no vértice O. Da mesma forma, a
medida de OA0 está para a medida de OQ0 assim como a medida de OA está para a medida de OQ,
ou seja,
OA0
OA
=
OQ0
OQ
·
Essa razão comum aos dois triângulos é chamada do cosseno do ângulo α e denotada por cos α.
Finalmente, temos a igualdade entre as razões
AA0
OA
=
QQ0
OQ
·
Essa razão define o seno sen α do ângulo α. Em nosso exemplo, temos
sen α =
3
5
e cos α =
4
5
·
Logo,
sen2
α + cos2
α =
32
52
+
42
52
=
9 + 16
25
= 1.
Esse resultado é um caso particular do Teorema de Pitágoras, segundo o qual as medidas dos
segmentos OA0 e AA0 (catetos) no triângulo retângulo OAA0 estão relacionados à medida do
segmento OA (hipotenusa) pela seguinte expressão
OA02
+ AA02
= OA2
. (9)
Outro critério de semelhança que permite verificar que, de fato, os triângulos OAA0 e OQQ0
são semelhantes é o seguinte: os ângulos nos vértices correspondentes têm medidas iguais, ou seja,
• os ângulos de OAA0 e OQQ0 no vértice O têm medida α;
• os ângulos de OAA0 em A e de OQQ0 em Q têm medida β;
• os ângulos de OAA0 em A0 e de OQQ0 em Q0 têm medida γ.
Observação 0.6 As razões em (8) são todas iguais a 3/4, o coeficiente angular da função afim
(5). Vimos que elas definem a chamada tangente do ângulo α. Logo,
tg α =
3
4
,
ou seja, o coeficiente angular da função afim é igual a tangente do ângulo entre o eixo x e o gráfico
da função. Note que, quanto maior o ângulo α (medido entre 0 e 90◦) entre o eixo x e o gráfico da
função (ou seja, quanto mais inclinado o gráfico, em relação à direção horizontal), maior o coeficiente
angular da função afim. Esse coeficiente angular é a tangente do ângulo α.
Veja, na seguinte figura, o exemplo das funções afins
y =
1
3
x, y =
3
4
x e y =
7
5
x,
cujos coeficientes angulares estão na seguinte ordem
1
3

3
4

7
5
·
24
4
8
12
16
20
24
28
O
Q
R
R0
S = (20, 28)
S0 = (20,0) x
y
A reta que contém os pontos O e R é o gráfico menos inclinado em relação ao eixo x dentre os três
gráficos na figura. Observe que o coeficiente angular da função afim y = 1
3x é igual a a = 1/3: essa
é a taxa de variação dessa função. De fato, dados os pontos O = (0,0) e R = (x, y) no gráfico da
função, essa taxa de variação é dada por
y − 0
x − 0
=
y
x
=
1
3
·
Note que essa taxa de variação é a tangente do ângulo β no vértice O do triângulo ORR0, pois
tg β =
RR0
OR0
=
y
x
,
onde (x, y) são as coordenadas do ponto R. Da mesma forma, a reta que contém os pontos O e S é o
gráfico de maior inclinação dentre os três gráficos na figura. Se as coordenadas do ponto S são dadas
por (20, 28), essa inclinação é dada pela tangente do ângulo γ no vértice O do triângulo OSS0, ou
seja, por
tg γ =
SS0
OS0
=
28
20
=
28 : 4
20 : 4
=
7
5
,
ou seja, a inclinação da reta é dada pela taxa de variação da função
y =
7
5
x.
Concluímos que a inclinação da reta é igual a taxa de variação da função afim que, por sua vez, é
dada pelo seu coeficiente angular.
Questão 13 A seguinte figura representa triângulos semelhantes OAA0 e PQQ0, sendo que
∠O = ∠P = α, ∠A = ∠Q = β, ∠A0
= ∠Q0
= γ.
Suponha, além disso, que
AA0
OA0
=
QQ0
PQ0
=
3
4
·
25
O
α γ
β
α γ
β
A
A0 Q0
Q
P
Responda às seguintes questões.
1) É verdade que OA0
OA = PQ0
PQ ? Em caso afirmativo, qual a razão de semelhança?
2) É verdade que AA0
OA = QQ0
PQ ? Em caso afirmativo, qual a razão de semelhança?
3) Se OA0 = 4 centímetros e PQ0 = 16 centímetros, quais as medidas de AA0 e de QQ0?
4) Nessas condições, quais as medidas de OA e de PQ?
5) Nessas condições, qual a razão entre os perímetros dos dois triângulos?
6) Nessas condições, qual a razão entre as áreas dos dois triângulos?
Solução. 1) e 2) O enunciado da questão informa que os dois triângulos têm ângulos com mesma
medida em vértices correspondentes, ou seja,
∠O = ∠P = α, ∠A = ∠Q = β, ∠A0
= ∠Q0
= γ.
Isso implica que os dois triângulos são semelhantes e, portanto, as medidas de lados correspondentes
são proporcionais, ou seja, existe uma razão de semelhança entre essas medidas. De acordo com o
enunciado, temos
AA0
OA0
=
QQ0
PQ0
=
3
4
· (10)
Como os triângulos OAA0 são triângulos retângulos, com ângulo reto nos vértices A0 e Q0, respectivamente,
o Teorema de Pitágoras implica que
OA2
= OA02
+ AA02
e
PQ2
= PQ02
+ QQ02
.
Usando a relação de proporcionalidade (10), deduzimos que
OA2
= OA02
+

3
4
OA0
2
= OA02
+
9
16
OA02
=

1 +
9
16

OA02
=
25
16
OA02
e, de modo similar,
PQ2
= PQ02
+

3
4
PQ0
2
= PQ02
+
9
16
PQ02
=

1 +
9
16

PQ02
=
25
16
PQ02
Calculando as raízes quadradas dos termos nessas expressões, obtemos
OA =
5
4
OA0
e PQ =
5
4
PQ0
.
Sendo assim, concluímos que
OA0
OA
=
PQ0
PQ
=
4
5
·
26
Por fim, temos
AA0
OA
=
AA0
OA0
OA0
OA
=
3
4
·
4
5
=
3
5
e
QQ0
PQ
=
QQ0
PQ0
PQ0
PQ
=
3
4
·
4
5
=
3
4
·
3) e 4) De acordo com as relações de proporcionalidade (10), temos
AA0
=
3
4
OA0
=
3
4
· 4 = 3 centímetros
e
QQ0
=
3
4
PQ0
=
3
4
· 16 = 3 · 4 = 12 centímetros.
Da mesma forma, a relação de proporcionalidade
OA0
OA
=
PQ0
PQ
=
4
5
implica que
OA =
5
4
OA0
=
5
4
· 4 = 5 centímetros
e
PQ =
5
4
PQ0
=
5
4
· 16 = 5 · 4 = 20 centímetros.
5) Por definição, o perímetro do triângulo retângulo OAA0 é a soma das medidas de seus lados, isto é,
OA0
+ AA0
+ OA = 4 + 3 + 5 = 12 centímetros.
Analogamente, o perímetro do triângulo retângulo PQQ0 é a soma das medidas de seus lados, ou seja,
PQ0
+ QQ0
+ PQ = 16 + 12 + 20 = 48 centímetros.
De modo mais simples, observe que as medidas de lados correspondentes nos triângulos retângulos
semelhantes OAA0 e PQQ0 estão em uma relação de proporcionalidade:
PQ0
OA0
=
QQ0
AA0
=
PQ
OA
= 4.
Com essa observação, concluímos que o perímetro de PQQ0 é 4 vezes o perímetro de OAA0, ou seja,
PQ0
+ QQ0
+ PQ = 4 · (OA0
+ AA0
+ OA) = 4 · 12 = 48 centímetros.
6) Vimos, na questão 5) anterior, que a razão entre os perímetros dos dois triângulos semelhantes é
igual a razão entre as medidas dos lados correspondentes nesses triângulos, ou seja,
PQ0 + QQ0 + PQ
OA0 + AA0 + OA
=
PQ0
OA0
=
QQ0
AA0
=
PQ
OA
= 4.
Já a razão entre as áreas desses triângulos não é igual a razão entre as medidas dos lados correspondentes.
De fato, a área do triângulo OAA0 é igual a
1
2
OA0
· AA0
=
4 · 3
2
= 6 cm2
,
enquanto a área do triângulo PQQ0 é dada por
1
2
PQ0
· QQ0
=
16 · 12
2
= 16 · 6 = 96 cm2
.
27
Observamos, assim, que a razão entre as área dos dois triângulos é o quadrado da razão entre as
medidas dos lados correspondentes, uma vez que
16 = 42
.
Isso pode ser visto também com os seguintes cálculos:
área de PQQ0
=
1
2
PQ0
· QQ0
=
(4 · OA0) · (4 · AA0)
2
= 4 · 4 ·
OA0 · AA0
2
= 16 · área de OAA0
.

Questão 14 As seguintes figuras representam cinco triângulos retângulos (I, II, III, IV e V) e as
respectivas medidas de alguns de seus lados ou ângulos.
O
A
A0 P
B
B0 Q
C
C0 R
D
D0
S
E
E0
I
4 cm 8 cm
3 cm
6 cm
4 cm
θ θ
α
α
8 cm
6cm
4 cm
II III IV V
Quais desses triângulos são semelhantes?
A) I e III B) I, II e V C) I e IV D) III e V E) II, III e IV
Solução. Os triângulos OAA0, PBB0, QCC0, RDD0 e SEE0 são triângulos retângulos com ângulos
retos nos vértices A0, B0, C0, D0 e E0, respectivamente. Além disso, de acordo com a figura, as medidas
dos catetos dos triângulos OAA0 e PBB0 estão em uma relação de proporcionalidade. De fato, temos
BB0
AA0
=
6
3
= 2.
e
PB0
OA0
=
8
4
= 2.
As medidas das hipotenusas desses triângulos podem ser determinadas utilizando-se o Teorema de
Pitágoras, segundo o qual
OA2
= OA02
+ AA02
= 42
+ 32
= 16 + 9 = 25 = 52
e
PB2
= PB02
+ BB02
= 82
+ 62
= 64 + 36 = 100 = 102
.
Portanto, as medidas das hipotenusas, dadas por OA = 5 cm e PB = 10 cm, também satisfazem a
mesma relação de proporcionalidade, ou seja,
PB
OA
=
10
5
= 2.
Concluímos que a razão de semelhança entre os triângulos PBB0 e OAA0 é igual a 2.
Dado que os triângulos OAA0 e PBB0 são semelhantes, as medidas dos ângulos correspondentes são
iguais, ou seja,
∠O = ∠P = α, ∠A0
= ∠B0
= 90◦
, ∠A = ∠B = 90◦
− α.
28
Na terceira sequência de igualdades, usamos o fato que a soma dos ângulos internos de cada um dos
triângulos é igual a 180◦ e, portanto,
∠O + ∠A0
+ ∠A = 180◦
=⇒ ∠A = 180◦
− ∠A0
− ∠O = 180◦
− 90◦
− α = 90◦
− α.
Agora, observamos que o triângulo SEE0 tem ângulos com medidas α e 90◦ nos vértices S e E0,
respectivamente. Assim, o ângulo em E tem medida 90◦ − α. Logo, os ângulos nos triângulos OAA0 e
em SEE0, nos vértices correspondentes, têm mesmas medidas, ou seja,
∠O = ∠S = α, ∠A0
= ∠E0
= 90◦
, ∠A = ∠E = 90◦
− α.
Concluímos que os triângulos OAA0 e SEE0 são semelhantes. Por isso, as medidas de lados correspon-
dentes nesses triângulos são proporcionais: visto que
EE0
AA0
=
6
3
= 2,
a razão de semelhança entre os triângulos semelhantes SEE0 e OAA0 é igual a 2. Logo,
SE0
OA0
= 2 e
SE
OA
= 2
e, portanto,
SE0
= 2 · 4 = 8 cm e SE = 2 · 5 = 10 cm.
O mesmo argumento mostra que os triângulos QCC0 e RDD0 são semelhantes, com
∠Q = ∠R = θ, ∠A0
= ∠E0
= 90◦
, ∠A = ∠E = 90◦
− θ.
Neste caso, a razão de semelhança entre os triângulos RDD0 e QCC0 é também igual a 2, visto que
RD0
QC0
=
8
4
= 2.
Da mesma forma,
DD0
CC0
= 2 e
RD
QC
= 2.
Portanto,
DD0
= 2 · 4 = 8 cm
e
RD = 2 · QC.
Por outro lado, pelo Teorema de Pitágoras, temos
QC2
= QC02
+ CC02
= 42
+ 42
= 2 · 42
.
Com isso, concluímos que QC = 4
√
2 cm e
RD = 2 · 4
√
2 = 8
√
2 cm.
Em resumo, com a discussão anterior, concluímos que
• os triângulos OAA0, PBB0 e SEE” são semelhantes;
• os triângulos QCC0 e RDD0 são semelhantes.
29
Todavia, os triângulos OAA0 e QCC0 não são semelhantes. De fato, as medidas de seus lados não estão
em uma relação de proporcionalidade. Por exemplo, temos
OA0
QC0
= 1,
e, no entanto,
AA0
CC0
=
3
4
Decorre disso que os ângulos em O e em Q não têm a mesma medida. De fato, temos
θ  α.
Da mesma forma, temos
OA0
CC0
= 1 
3
4
=
AA0
QC0
e
∠C = 90◦
− θ  ∠A = 90◦
− α.
Concluímos que a alternativa correta é B). 
Questão 15 Calcule as áreas e as tangentes dos ângulos α e θ nos triângulos I a V na questão 14
anterior.
Solução. Vimos que os catetos do triângulo retângulo OAA0 tem medidas iguais a
OA0
= 4 cm e AA0
= 3 cm.
Logo, tomando OA0 como base e AA0 como a altura correspondente a essa base, a área de OAA0 é dada
por
área de OAA0
=
1
2
OA0
· AA0
=
4 · 3
2
= 6 cm2
.
Para calcular a área do triângulo PBB0, lembramos, da questão anterior, que esse triângulo é semelhante
ao triângulo PBB0, com razão de semelhança igual a 2. Logo, a área de PBB0 deve ser 22 = 4 vezes
a área de OAA0, ou seja, é igual a 4·6 = 24 cm2. Para verificar esse valor, podemos calcular diretamente
essa área, considerando como base do triângulo o cateto PB0 e como a altura correspondente o cateto
BB0. Sendo assim, temos
área de PBB0
=
1
2
OA0
· AA0
=
8 · 6
2
= 24 cm2
.
O mesmo raciocínio se aplica ao triângulo SEE0, visto que esse triângulo é também semelhante ao
triângulo OAA0 com a mesma razão de semelhança, a saber, 2. Isso significa que os triângulos PBB0 e
SEE0 são congruentes, ou seja, semelhantes, mas com razão de semelhança igual a 1. Portanto, não
apenas as medidas dos ângulos correspondentes nos triângulos PBB0 e SEE0 são iguais: as medidas de
lados correspondentes são também iguais (e não simplesmente proporcionais). Concluímos que
área de SEE0
= área de PBB0
= 24 cm2
.
Com relação a tangentes, observamos que, por definição, a tangente de α (medida do ângulo em O
no triângulo OAA0) é dada por
tg α =
AA0
OA0
=
3
4
·
Da mesma forma, a tangente de θ (medida do ângulo em Q no triângulo QCC0) é dada por
tg θ =
QC0
CC0
=
4
4
= 1·
30
Aproveitamos para observar que o triângulo QCC0 é um triângulo isósceles uma vez que os lados
QC0 e CC0 têm medidas iguais (de fato, medem 4 cm, de acordo com a figura). Sendo assim, os ângulos
em P e C também têm mesma medida, ou seja,
∠P = ∠C = θ.
Uma vez que
∠P + ∠C + ∠C0
= 180◦
e ∠C0 = 90◦, deduzimos que
2θ = 180◦
− 90◦
= 90◦
,
ou seja, que θ = 45◦.

Questão 16 Use o Teorema de Pitágoras para calcular os perímetros dos triângulos I a V na questão
14.
Solução. Na resolução da questão 14, determinamos as medidas dos lados dos triângulos OAA0 e
QCC0. De fato, temos
OA0
= 4 cm, AA0
= 3 cm, OA = 5 cm
e
QC0
= 4 cm, CC0
= 4 cm, QC = 4
√
2 cm
Sendo assim, calculamos
perímetro de OAA0
= OA0
+ AA0
+ OA = 4 + 3 + 5 = 12 cm
e
perímetro de QCC0
= QC0
+ CC0
+ QC = 4 + 4 + 4
√
2 = 4(2 +
√
2) cm.
Para calcular os perímetros dos demais triângulos, não é necessário determinar explicitamente as
medidas de seus lados: basta, na verdade, usarmos as razões de semelhança entre os triângulos. Por
exemplo, a razão de semelhança entre os triângulos PBB0 e OAA0 é igual a 2; logo, a razão entre os
perímetros desses triângulos é também igual a 2. Temos, portanto,
perímetro de PBB0
= 2 · perímetro de OAA0
= 2 · 12 = 24 cm.
Como os triângulos SEE0 e PBB0 são congruentes, têm o mesmo perímetro, ou seja,
perímetro de SEE0
= perímetro de PBB0
= 24 cm.
Por fim, a razão de semelhança entre os triângulos RDD0 e QCC0 é igual a 2. Logo,
perímetro de RDD0
= 2 · perímetro de QCC0
= 2 · 4(2 +
√
2) = 8(2 +
√
2) cm.

Questão 17 As seguintes figuras representam cinco quadriláteros (I, II, III, IV, V e VI). Cada um
dos lados dos quadriláteros I, II e III mede 5 centímetros.
I II III
IV V
VI
31
Assinale a alternativa em que temos um par de quadriláteros semelhantes.
A) I e II B) I e III C) II e IV D) II e VI E) IV e V
Solução. Como enunciado, os lados dos quadriláteros I e II têm medidas iguais (5 cm cada um
deles). No entanto, os quatro ângulos internos no quadrilátero têm a mesma medida, ou seja, cada
um deles mede 90◦. Com isso, podemos afirmar que o quadrilátero II é um quadrado. Quanto ao
quadrilátero I, observamos que os pares de ângulos em vértices opostos têm mesma medida, sendo que
a medida de cada ângulo em um desses pares é maior que 90◦ (ângulos obtusos) enquanto a medida
de cada ângulo no outro par é menor que 90◦ (ângulos agudos). Desse modo, o quadrilátero II é um
losango, mas não é um retângulo. Portanto, não é um quadrado.
Quanto ao quadrilátero VI, observamos que cada um de seus quatro ângulos internos mede 90◦
(são ângulos retos). Além disso, seus lados tem medidas iguais (na escala da figura, essas medidas são
iguais a 10 cm). Portanto, esse quadrilátero é um quadrado semelhante ao quadrado I, com razão de
semelhança igual a
10
5
= 2.
Também de acordo com o enunciado, os lados do quadrilátero III medem, cada um, 5 cm. Logo, esse
quadrilátero é também um losango. Novamente, observe que as medidas de ângulos opostos são iguais,
havendo dois ângulos com mesma medida, maior que 90◦; e outros dois ângulos com mesma mesma
medida, mas menor que 90◦. Em particular, II e III não são semelhantes e VI e III não são semelhantes.
Afirmamos que os losangos I e III não são semelhantes: de fato, no losango I, o segmento que liga
os vértices opostos com ângulos obtusos mede 8 cm. Portanto, esse segmento “divide” o losango I em
dois triângulos que não são equiláteros. Em particular, a medida do ângulo agudo é maior que 60◦.
Quanto ao losango III, o segmento que liga os vértices opostos com ângulos obtusos divide o losango em
dois triângulos equiláteros e, portanto, cada ângulo agudo em III mede 60◦. Portanto, fica demonstrada
nossa afirmação. A figura seguinte esclarece esse argumento:
II
IV V
VI
Sobre o quadrilátero IV, percebemos, com a ajuda da seguinte figura, que suas diagonais medem 12 cm
e 9 cm. Essas diagonais intersectam-se em seu ponto médio. Logo, usando o Teorema de Pitágoras,
concluímos que os lados de IV têm medidas iguais e que, portanto, esse quadrilátero é um losango. Por
outro lado, as diagonais do losango I medem, de acordo com a figura, 8 cm e 6 cm. Sendo assim, as
medidas das diagonais nos losangos I e IV não são proporcionais, pois
6
9
6=
8
12
·
Portanto, I e IV não são semelhantes. Além disso, no losango IV, o segmento que liga os vértices opostos
com ângulos obtusos “divide” o losango em dois triângulos que não são equiláteros. Portanto, seguindo
o mesmo raciocínio que antes, deduzimos que os losangos III e IV não são semelhantes.
32
II
V
VI
Finalmente, observe que, no quadrilátero V, temos dois lados opostos paralelos, com medidas iguais a
8 cm. Com relação ao outro par, o Teorema de Pitágoras nos permite concluir que cada um dos lados
mede p
72 + 42 =
√
49 + 16 =
√
65  8 cm.
Portanto, V não é um losango. Logo, não pode ser semelhante a nenhuma das outras cinco figuras.
Concluímos que apenas os quadriláteros II e VI (dois quadrados) são semelhantes. 
Questão 18 A respeito dos quadriláteros de I a V I na questão 17, calcule valores exatos ou estime
valores aproximados
1) das áreas dos quadriláteros.
2) das razões entre as áreas de pares de quadriláteros.
3) das medidas das tangentes dos ângulos em cada um dos quadriláteros.
4) dos perímetros dos quadriláteros.
5) das razões entre os perímetros de pares de quadriláteros.
Solução. 1) e 2) O quadrado II tem lados com medida igual a 5 cm. Logo, sua área é igual a
52 = 25 cm2. Da mesma forma, o quadrado VI tem lados com o dobro da medida da medida dos
lados de II: portanto, sua área é 22 = 4 vezes a área de II. Assim, a área do quadrado VI é igual a
4 · 25 = 100 cm2.
Com a ajuda das figuras na resolução da questão 17, observamos que o losango I é “decomposto” em
quatro triângulos retângulos com catetos medindo 4 cm e 3 cm. Assim, a área de I é dada por
4 ·
4 · 3
2
= 2 · 4 · 3 = 24 cm2
.
Da mesma forma, o losango IV é “decomposto” em quatro triângulos retângulos com catetos medindo
6 cm e 4,5 cm. Assim, a área de IV é dada por
4 ·
6 · 4,5
2
= 2 · 6 · 4,5 = 54 cm2
.
A figura seguinte permite visualizar melhor essas decomposições:
II
V
VI
Quanto a área do paralelogramo V, a figura anterior sugere a seguinte estratégia: considere o retângulo
cujos lados tem medidas 12 cm e 7 cm que pode ser decomposto em I e em dois triângulos retângulos
com catetos medindo 7 cm e 4 cm. Portanto, a área de V é dada por
12 · 7 − 2 ·

7 · 4
2

= 12 · 7 − 4 · 7 = 8 · 7 = 56 cm2
.
33
Já o losango III é decomposto em dois triângulos equiláteros cujos lados medem 5 cm. A altura de cada
um desses triângulos equiláteros é igual a
q
52 − 5/2
2
=
q
52 − 52/4 =
q
3 · 52/4 =
√
3
2
· 5 cm.
h
5
2
5
A
B
Portanto, a área de III é igual a duas vezes a área do triângulo equilátero, ou seja,
2 ·
5 ·
√
3
2 · 5
2
= 25 ·
√
3
2
cm2
.
4) e 5) O perímetro do quadrado I é igual a
5 + 5 + 5 + 5 = 4 · 5 = 20 cm,
ao passo que o perímetro do quadrado VI é dado por
2 · 20 = 40 cm,
onde usamos o fato de que a medida de cada um dos lados de VI é 2 vezes a medida de cada um dos
lados de I. As medidas de cada um dos lados dos losangos II e III é igual a 5 cm. Portanto, os perímetros
desses dois losangos são também iguais a 20 cm, cada um.
Pelo Teorema de Pitágoras, cada um dos lados do losango IV mede
q
(9/2)2 + 62 =
q
(81 + 144)/4 =
q
225/4 =
15
2
= 7,5 cm.
Assim, o perímetro do losango IV é igual a
4 · 7,5 = 30 cm.
Finalmente, vimos, na resolução da questão anterior, que o paralelogramo V tem lados com medidas
8 cm e
√
65 cm. Assim, o perímetro de V é dado por
16 + 2
√
65 cm.
3) No losango III, destacado na figura anterior, os ângulos nos vértices A e B medem, cada um, 60◦.
Observamos que a tangente é dada por
tg 60◦
=
h
5/2
=
√
3 · 5/2
5/2
=
√
3.
Deixamos os demais caso como exercício para o leitor (requer o uso de expressões para a tangente do
arco duplo e outros expedientes técnicos).
34
Observação 0.7 Os quadrados representados nas figuras II e IV são semelhantes: de fato, dois
quadrados são sempre semelhantes (por quê?) Os lados do quadrado II medem 5 centímetros e os
lados do quadrado IV medem 10 centímetros. Logo, a razão de proporcionalidade entre os lados (e
os perímetros) do quadrado IV e do quadrado II é igual a 2. No entanto, observe que a razão entre a
área do quadrado IV e a área do quadrado II é igual a 4, ou seja, a 22: de fato, temos 102/52 = 4.
Questão 19 Na figura seguinte, os quadrados que formam a malha quadriculada têm lados medindo
1 cm cada um.
A B C D E
P Q
Responda às seguintes questões a respeito dos triângulos PAQ, PBQ, PCQ, PDQ e PEQ destacados
na figura.
1) Os triângulos PAQ e PEQ são semelhantes?
2) Os triângulos PBQ e PDQ são semelhantes?
3) Os triângulos PAQ e PCQ são semelhantes?
4) Os triângulos PAQ e PBQ são semelhantes?
5) Os triângulos PBQ e PCQ são semelhantes?
6) Qual a altura desses triângulos com respeito a base PQ, comum a todos eles?
7) As áreas desses triângulos são iguais. Por qual razão?
8) Qual(is) desse(s) triângulo(s) tem (têm) o maior perímetro?
9) Qual(is) desse(s) triângulo(s) tem (têm) o menor perímetro?
10) Quais os senos, cossenos e tangentes dos ângulos internos do triângulo PCQ?
Solução. 1) e 2) Os triângulos PAQ e PEQ são congruentes: observe, pela simetria da figura,
que as medidas de AP e EQ são iguais assim como as medidas de AQ e EP. Além disso, esses dois
triângulos têm o lado PQ em comum. Assim, os triângulos PAQ e PEQ têm lados correspondentes
com mesma medida. São, portanto, congruentes.
Da mesma forma, os triângulos PBQ e PDQ são congruentes, visto que têm o lado PQ em comum;
além disso, os lados BP e DQ têm mesma medida assim como BQ e DP. Portanto, esses triângulos
tem pares de lados com medidas iguais. Logo, são congruentes.
Lembre que dois triângulos são congruentes quando são semelhantes com razão de semelhança
igual a a 1.
Os movimentos rígidos ou isometrias no plano são as translações, rotações (fixando um dado
ponto) e as reflexões (fixando um dado eixo). Dois triângulos T e T0 (ou, mais geralmente, duas
figuras planas) são congruentes se um deles pode ser obtido a partir do outro por uma sequência de
uma ou mais isometrias.
35
T T0
Temos os seguintes critérios de congruência de triângulos: dois triângulos T e T0 são congruentes
se, e somente se, uma das seguintes condições for verdadeira:
• podemos definir uma correspondência entre os lados de T e os lados de T0 de modo que lados
correspondentes têm a mesma medida (critério LLL): isso significa que, se é possível construir
um triângulo com três segmentos de reta dados, esse triângulo é único a menos de isometrias;
• podemos definir uma correspondência entre dois lados de T e dois lados de T0 de modo que
lados correspondentes têm a mesma medida e os ângulos determinados por esses pares de lados
têm mesma medida (critério LAL): isso quer dizer que, se é possível construir um triângulo,
dados dois segmentos de reta e o ângulo definido por eles (não-nulo e não-raso), esse triângulo é
único a menos de isometrias;
• podemos definir uma correspondência entre dois ângulos de T e dois ângulos de T0 de modo que
ângulos correspondentes têm a mesma medida e os lados comuns a esses ângulos têm mesma
medida (critério ALA): isso quer dizer que, se é possível construir um triângulo, dados um lado
e os ângulos que contêm esse lado, esse triângulo é único a menos de isometrias.
Recomendamos, a respeito, a leitura do seguinte material da OBMEP: http://clubes.obmep.
org.br/blog/sala-para-leitura_024-um-pouco-sobre-congruencia-de-triangulos/ e https:
//cdnportaldaobmep.impa.br/portaldaobmep/uploads/material_teorico/hiphzxsnhjk88.pdf
3) a 5) Os triângulos PAQ e PCQ não são semelhantes. Se houvesse uma relação de semelhança entre
PAQ e PCQ, o lado PQ em PAQ não poderia corresponder a CP ou a CQ no triângulo PCQ, pois,
do contrário, a razão de semelhança seria
CP
PQ
ou
CQ
PQ
e, em um caso ou no outro, seria maior que 1. Mas, sendo assim, um dos lados AP ou AQ em PAQ
deveria corresponder ao lado PQ em PCQ. Teríamos, então, razão de semelhança
PQ
AP
ou
PQ
AQ
,
um número menor que 1. Logo, o lado PQ em PAQ deveria corresponder, em uma relação de semelhança,
ao lado PQ em PCQ. Mas essa possibilidade também não ocorre, pois analisando a figura, constatamos
que o ângulo de PAQ em P tem medida maior que o ângulo de PCQ em P; por outro lado, o ângulo
de PAQ em Q tem medida menor que o ângulo de PCQ em Q.
Argumentos similares mostram que os triângulos PAQ e PBQ não são semelhantes; da mesma
forma, demonstramos que os triângulos PBQ e PCQ não são semelhantes.
6) e 7) Todos os triângulos destacados na figura seguinte têm altura com medida igual a 8 cm: os
segmentos AA0, BB0, CC0, DD0 e EE0 são perpendiculares à reta suporte da base PQ dos triângulos
PAQ, PBQ, PCQ, PDQ e PEQ. Todos esses segmentos têm medida igual a 8 cm. Como PQ mede
4 cm, a área de cada um desses triângulos é igual a
4 · 8
2
= 16 cm2
.
36
A B C D E
P Q
A0 B0 C0 D0 E0
8) e 9) Usando o Teorema de Pitágoras, temos
AP = DP = BQ = EQ =
p
62 + 82 =
√
36 + 64 =
√
100 = 10 cm,
BP = CP = CQ = DQ =
p
22 + 82 =
√
4 + 64 =
√
4 · 17 = 2
√
17 cm,
EP = AQ =
p
102 + 82 =
√
100 + 64 =
√
4 · 41 = 2
√
41 cm.
Portanto,
perímetro de PAQ = perímetro de PEQ = 4 + 10 + 2
√
41 = 2(7 +
√
41) cm,
perímetro de PBQ = perímetro de PDQ = 4 + 10 + 2
√
17 = 2(7 +
√
17) cm,
perímetro de PCQ = 4 + 2
√
17 + 2
√
17 = 4(1 +
√
17) cm.
10) O ângulo no vértice P do triângulo PCQ tem tangente dada por
tg(∠P) =
CC0
PC0
=
8
2
= 4.
Da mesma forma
tg(∠Q) =
CC0
QC0
=
8
2
= 4.
Agora, calculemos o seno desses ângulos: temos
sen(∠P) =
CC0
PC
=
8
2
√
17
=
4
√
17
e
sen(∠Q) =
CC0
QC
=
8
2
√
17
=
4
√
17
·
Finalmente, o cosseno desses ângulos é dado por
cos(∠P) =
PC0
PC
=
2
2
√
17
=
1
√
17
e cos(∠Q) =
QC0
QC
=
2
2
√
17
=
1
√
17
Note que
tg(∠P) =
sen(∠P)
cos(∠P)
e sen2
(∠P) + cos2
(∠P) = 1.
O cálculo das razões trigonométricas no vértice C requer o uso de algumas expressões trigonométricas e
pode ser dispensado numa primeira leitura desse material. Temos
sen(∠C) = 2 sen(∠C/2) cos(∠C/2) = 2 ·
1
√
17
·
8
2
√
17
=
8
17
37
e
cos(∠C) = cos2
(∠C/2) − sen2
(∠C/2) =
16
17
−
1
17
=
15
17
·
Logo,
tg(∠C) =
sen(∠C)
cos(∠C)
=
8
15
·

Temos os seguintes critérios de semelhança de triângulos: dois triângulos T e T0 são semelhantes
se, e somente se, uma das seguintes condições for verdadeira:
• podemos definir uma correspondência entre os lados de T e os lados de T0 de modo que lados
correspondentes têm medidas proporcionais (critério LLL): a constante de proporcionalidade
entre essas medidas é a razão de semelhança entre os triângulos;
• podemos definir uma correspondência entre dois lados de T e dois lados de T0 de modo que
lados correspondentes têm medidas proporcionais e os ângulos determinados por esses pares de
lados têm mesma medida (critério LAL);
• podemos definir uma correspondência entre os ângulos internos de T e os ângulos internos de T0
de modo que ângulos correspondentes têm a mesma medida (critério AAA).
Recomendamos, a respeito, a leitura do seguinte material da OBMEP: https://cdnportaldaobmep.
impa.br/portaldaobmep/uploads/material_teorico/c72gbsow17sow.pdf
Questão 20 — SAEPE - Item M120392ES. No desenho abaixo estão representados os triângulos I, II,
III e IV e suas medidas em centímetros.
O par de triângulos semelhantes nesse desenho é
A) I e II. B) I e III. C) I e IV. D) II e IV. E) III e IV.
Solução. Podemos colocar os lados com medidas 6 cm e 8 cm no triângulo I em correspondência
com os lados do triângulo III cujas medidas são 12 cm e 16 cm. Esses pares de lados determinam, tanto
no triângulo I quando no triângulo III, um ângulo reto. Portanto, pelo critério LAL, os triângulos I e
III são semelhantes com razão de semelhança igual a 2.
Note que é possível também usar o critério LLL, apenas observando que o lado com medida 10 cm
no triângulo I é posto em correspondência com o lado no triângulo III cuja medida é 20 cm.
Completando a resolução, observamos, ainda, que nenhum dos triângulos II e IV é retângulo, ou seja,
nenhum dos dois tem um ângulo reto. Logo, não podem ser semelhantes a I e III. Além disso, não há
como definir uma correspondência entre os lados de II e IV de modo que as respectivas medidas sejam
proporcionais. De fato, comparando os respectivos lados, daquele de maior medida para o de menor
medida, temos
12
24
6=
10
12
·
Portanto, a alternativa correta é B).
38
Questão 21 — SAEPE - Item M110375E4. Observe os triângulos abaixo.
Qual desses triângulos são semelhantes?
A) I, II e III. B) I, II e V. C) I e III. D) II e IV. E) III e V.
Solução. Usando o critério AAA de semelhança de triângulos, constatamos que os triângulos I e II
são semelhantes. Observamos, além disso, que, no triângulo V, a medida do ângulo não informada na
figura é igual a
180◦
− 40◦
− 105◦
= 35◦
.
Logo, os ângulos internos em V são iguais aos ângulos internos correspondentes em I. Logo, usando
uma vez mais o critério AAA, concluímos que os triângulos I e V são também semelhantes. Finalmente,
podemos verificar que os ângulos internos nos triângulos III e IV não são todos iguais aos ângulos
internos em I. Além disso, não há igualdade entre os ângulos internos de III e os ângulos internos de
IV. Portanto, não são semelhantes um ou outro e não são semelhantes a I, III e V. Concluímos que a
alternativa correta é B) 
Observação 0.8 Com a ajuda de seu professor(a), faça desenhos geométricos, usando uma malha
quadriculada, para “comprovar” que dois triângulos OAB e O0A0B0 são semelhantes se uma das
seguintes condições ocorre: a) têm ângulos (digamos, em O e O0) com mesma medida e as razões
entre os lados OA/O0A0 e OB/O0B0 são iguais; ou b) ângulos correspondentes têm a mesma medida,
ou seja, ∠O = ∠O0, ∠A = ∠A0, ∠B = ∠B0. Nesse caso, “comprove”, em seus desenhos, que a razão
entre os perímetros dos triângulos é igual a razão entre seus lados e que a razão entre suas áreas é
igual ao quadrado da razão entre os lados.
Observação 0.9 No percurso, até este ponto, trabalhamos problemas envolvendo semelhança de
figuras planas enfatizando as conexões desse tópico com a ideia de proporcionalidade. Aproveitamos
o contexto geométrico das questões com triângulos e quadriláteros para, lateralmente, revisitarmos
o Teorema de Pitágoras e, então, utilizá-lo tanto no cálculo de perímetros quanto de razões trigo-
nométricas. Destacamos, dentre as razões trigonométricas, a tangente, dado que essa razão surge,
naturalmente, no estudo da declividade de retas no plano cartesiano e, portanto, na interpretação
geométrica do coeficiente angular na expressão algébrica de funções afins.
Alcançado esse objetivo, aprofundamos, nesse final de percurso, o estudo de áreas e perímetros
em conexão com os descritores D11 e D12 da Matriz de Referência do SAEB. Na seção seguinte,
retomamos os conhecimentos sobre coordenadas no plano, proporcionalidade, semelhança e declividade
de retas ao estudarmos as funções afins e as equações lineares.
39
Questão 22 Na figura seguinte, os quadrados que formam a malha quadriculada têm lados medindo
2 cm cada um.
Sendo assim, qual o perímetro da figura em forma de cruz destacada na figura seguinte?
A) 21 cm B) 28 cm C) 32 cm D) 56 cm E) 64 cm
Solução. Uma forma direta, mas trabalhosa e sujeita a erros, é contar o número de segmentos de 2
cm que compõem a figura. Em cada braço da cruz, temos 6 + 2 desses segmentos. Logo, multiplicando
esse número por 2 e tendo em conta que a cruz tem 4 braços, obtemos
2 · 4 · (6 + 2) = 64 cm.
Uma abordagem alternativa é transladar os segmentos que compõem a cruz e, com isso, constatar que
obtemos o perímetro externo do quadrado:
De um modo ou de outro, obtemos a resposta 64 cm, ou seja, a alternativa correta é E).

Questão 23 — SPAECE - Item M110782E4. O desenho abaixo apresenta as dimensões da laje da casa
de Isadora. Ela irá colocar um muro de proteção nessa laje e, para calcular a quantidade de material
a ser comprado, precisou medir o seu contorno.
40
Qual é o perímetro da laje dessa casa?
(a) 58 m (b) 116 m (c) 232 m (d) 360 m (e) 720 m
Solução. Para calcular o perímetro do retângulo, devemos somar
40 + 18 + 40 + 18 = 80 + 36 = 116 m.
Logo, a resposta correta é a alternativa B). 
Questão 24 — SAEPE - Item M120195H6. Paulo comprou um terreno retangular de 120 000 m2. Esse
terreno possui 200 m de largura.
Quanto mede o comprimento desse terreno?
A) 200 m B) 300 m C) 400 m D) 600 m E) 800 m
Solução. A área do retângulo é o produto de suas dimensões, ou seja,
comprimento · largura = 120 000.
Como a largura é igual a 200 m, deduzimos que
comprimento =
120 000
200
=
1 200
2
= 600 m.
A resposta correta é a alternativa D). 
Questão 25 — SAEPE - Item M120195H6. Observe no desenho abaixo o projeto da quadra de basquete
que será construída no condomínio em que Bruno mora.
A medida da área dessa quadra de basquete, em metros quadrados, será
A) 480. B) 240. C) 92. D) 46. E) 14.
Solução. A área da quadra retangular é dada pelo produto de suas medidas lineares, ou seja, por
30 · 16 = 480 m2. A resposta correta é a alternativa A). 
Questão 26 Dê exemplos de retângulos com mesma área e perímetros diferentes, e vice-versa.
Solução. A figura a seguir mostra vários exemplos de retângulos com mesma área (16 cm2) e
perímetros diferentes. Pense um pouco para decidir qual deles têm menor perímetro. Considere que os
quadrados que formam a malha quadriculada têm lados medindo 1 cm cada um.
41
Para reforçar o entendimento a respeito da distinção entre perímetro e área, vejamos alguns exemplos
de retângulos com mesmo perímetro e áreas diferentes. Desta vez, analise qual desses retângulos tem
maior área.

Questão 27 Observe as letras S e T desenhadas geometricamente na seguinte figura:
Podemos afirmar que
A) a área da letra S é menor do que a área da letra T.
B) a área da letra S é igual a área da letra T.
C) o perímetro da letra S é igual ao perímetro da letra T.
D) o perímetro da letra S é maior do que o perímetro da letra T.
Solução. Seja a a medida do lado de cada um dos quadrados que compõem a malha quadriculada.
42
Então
perímetro de S = 18a e perímetro de T = 16a
ao passo que
área de S = 8a2
e perímetro de T = 7a2
.
Logo, a alternativa correta é D).

Questão 28 — SAEPE - Item M100270E4. Marta comprou um terreno na forma de trapézio cujas
medidas estão representadas no desenho abaixo. Para construir um muro em torno desse terreno, ela
precisa calcular o seu perímetro.
Qual é o perímetro desse terreno?
A) 12 m B) 20 m C) 24 m D) 32 m E) 40 m
Solução. O perímetro é dado por 4 + 4 + 6 + 10 = 24 m, o que corresponde à alternativa C). 
Questão 29 Qual a área do terreno de Marta?
A) 20 m2 B) 24 m2 C) 32 m2
D) 8
√
12 m2 E) 10
√
12 m2
Solução. O cálculo da área requer determinarmos a altura h do trapézio, ou seja, a distância entre
os segmentos que são paralelos, chamados bases. Veja que a diferença entre as medidas das bases é
igual a 10 − 6 = 4 metros. Pela simetria da figura, deduzimos que
22
+ h2
= 42
,
ou seja, h2 = 16 − 4 = 12. Portanto, h = 2
√
3 metros. Com essa medida, podemos dividir o trapézio em
dois triângulos sem sobreposição, um dos quais tem base 10 m e a altura do trapézio; e outro, que tem
base 6 m e altura do trapézio. Sendo assim, a área do trapézio e a soma das áreas desses triângulos, ou
seja,
10 · 2
√
3
2
+
6 · 2
√
3
2
=
(10 + 6) · 2
√
3
2
= 16 ·
√
3 = 8 · 2 ·
√
3 = 8 ·
√
4 · 3 = 8 ·
√
12 m2
.

Questão 30 Marcos tem um terreno na forma de um quadrado. A seguinte figura representa esse
terreno, visto de cima, dividido em quadrados de lados iguais a 10 m.
43
R
Se Marcos deseja construir um muro separando as duas partes do terreno destacadas na figura,
quantos metros teria esse muro?
A) 48 m B) 200 m C) 240 m D) 400 m E) 480 m
Solução. Observe que, deslocando os segmentos horizontais e verticais que formam o muro, preen-
chemos o perímetro inteiro do terreno, sem sobreposições. Portanto, o perímetro do muro é igual ao
perímetro do terreno, ou seja, igual a 4 · 120 = 480m. 
Questão 31 A área da região R na figura corresponde a que percentual da área total do terreno?
A) 48% B) 50% C) 72% D) 75%
Solução. Deslocando quatro dos quadrados que formam a parte murada, obtemos duas partes do
terreno que são exatamente simétricas. Concluímos que a parte murada corresponde à metade, ou seja,
50% da área do terreno total. Logo, a resposta correta é B). 
Questão 32 Na seguinte figura, cada um dos 64 quadrados que formam o quadrado maior tem lados
medindo 1 unidade de comprimento.
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
O
Qual a razão entre a área destacada e área total do quadrado?
Solução. Para determinarmos essa razão, basta reconhecermos que a figura pode ser decomposta
em 8 triângulos cuja base mede 3 unidades de comprimento e cuja altura, relativa a essa base, mede 2
unidades de comprimento, conforme a seguinte figura:
44
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
O
Portanto, a área da figura corresponde a
8 ·
3 · 2
2
= 24 unidades de área
ao passo que o quadrado como um todo tem 64 unidades de área. Logo, a razão entre a área da figura e
a área do quadrado é igual a
24
64
=
3
8
·

Questão 33 Na figura abaixo, estão representados os trapézios ABCD e MNOP, os quais são
semelhantes.
80 m
N
M
P
O
D
C
B
A
x
x
64 m y
25,6 m
32 m
De acordo com a figura, faça as seguintes atividades.
A) Identifique os pares de ângulos internos nos trapézios que são congruentes.
B) Determine a razão (de proporcionalidade) entre as medidas dos lados AB e MN.
C) Determine as medidas x e y.
D) Determine os perímetros dos dois trapézios e, em seguida, calcule a razão entre esses perímetros.
E) Determine a área do trapézio MNOP.
F) Determine a razão entre as áreas dos dois trapézios e a utilize para calcular a área do trapézio
ABCD.
Solução. A) A relação de semelhança implica igualdade das medidas de pares de ângulos internos
correspondentes. Temos:
∠A = ∠M, ∠B = ∠N, ∠C = ∠O, ∠D = ∠P.
45
B) A razão de semelhança entre as medidas de lados correspondentes nos trapézios ABCD e MNOP
é dada pela razão, por exemplo, entre as medidas dos segmentos correspondentes AB e MN, ou seja,
por
64
80
=
64 : 16
80 : 16
=
4
5
·
C) Usando essa razão de semelhança e considerando que os lados AD e MP são correspondentes, temos
25,6
x
=
4
5
,
ou seja,
x =
5
4
· 25,6 = 5 ·
24,0 + 1,6
4
= 5 · (6 + 0,4) = 30 + 2 = 32 m.
Da mesma forma, como os lados CD e OP são correspondentes, temos
y
32
=
4
5
,
de onde segue que
y =
4
5
· 32 = 4 ·
64
10
= 4 · 6,4 = 25,6 m.
D) O perímetro de ABCD é dado por
64 + 25, 6 + 25, 6 + y = 64 + 3 · 25,6 = 64 + 75 + 1,8 = 140,8 m
ao passo que o perímetro de MNOP é igual a
80 + x + x + 32 = 80 + 3 · 32 = 80 + 96 = 176 m
Não é preciso, de fato, calcular explicitamente os dois perímetros, pois, pela relação de semelhança, é
necessário que o perímetro de ABCD seja igual a 4
5 do perímetro de MNOP. De fato, verificamos essa
razão de semelhança dividindo
140,8
176
=
8,8
11
= 0,8 =
4
5
·
E) Para calcular a área de MNOP, determinamos, inicialmente, a altura desse trapézio relativa à base
MN. Usamos, para tanto, o Teorema de Pitágoras conforme a seguinte figura.
80 m
32 m
h
32 m
24 m
46
Note que, na figura, um dos catetos do triângulo retângulo mede 24 m, visto que 80 − 32 = 48 m é
a diferença das medidas dos lados MN e OP. Dividindo essa diferença por 2, obtemos a medida do
cateto. Sendo assim, temos
h2
+ 242
= 322
,
ou seja,
h2
= 82
· (42
− 32
) = 82
· 7.
Portanto,
h = 8
√
7 m.
Agora, observamos que o trapézio MNOP pode ser decomposto em dois triângulos, com altura h e
bases MN e OP, conforme a seguinte figura.
N
M
P
O
h

Então, a área de MNOP é dada por
1
2
OP · h +
1
2
MN · h =
√
7
2
· (80 + 32) = 56
√
7 m2
.
F) A área de ABCD pode ser calculada diretamente, No entanto, é bem mais simples. usar o fato de
que a razão entre as área dos trapézios semelhantes ABCD e MNOP é igual ao quadrado da razão
de semelhança entre essas figuras. Uma vez que conhecemos a área de MNOP, o cálculo da área de
ABCD leva em conta, portanto, que
área de ABCD
área de MNOP
=

4
5
2
,
e, portanto,
área de ABCD =
16
25
· área de MNOP =
16 · 56
√
7
25
= 35,84 ·
√
7 m2
.
Seção 2. Segundo percurso: coordenadas, proporcionalidade e funções
As tarefas a seguir envolvem conhecimentos prévios fundamentais para desenvolver as habilidades nos
seguintes descritores da Matriz de Referência do SAEB (terceira série do Ensino Médio):
• D6 - Identificar a localização de pontos no plano cartesiano.
• D7 - Interpretar geometricamente os coeficientes da equação de uma reta.
• D15 - Resolver problema que envolva variações proporcionais, diretas ou inversas, entre grandezas.
• D19 - Resolver situação problema envolvendo uma função de primeiro grau.
47
• D22 - Resolver problema envolvendo PA/PG, dada a fórmula do termo geral.
• D20 - Analisar crescimento/decrescimento, zeros de funções reais apresentadas em gráficos.
• D25 - Resolver problemas que envolvam os pontos de máximos ou de mínimo no gráfico de uma
função do segundo grau.
Questão 34 Em seu caderno, desenha uma malha quadriculada representando o plano cartesiano, de
acordo com os seguintes passos: a) trace duas retas r e s perpendiculares uma a outra; b) denote
o ponto de intersecção de r e s por O; c) trace retas paralelas a r, de modo que a distância entre
duas retas consecutivas seja sempre a mesma (digamos, 1 centímetro); d) trace retas paralelas a s,
de modo que a distância entre duas retas consecutivas seja sempre a mesma da letra c (digamos, 1
centímetro). Observe que, com esse procedimento, você “divide” o plano em quadrados de lados
com medidas iguais a 1 centímetro. Quando finalizar seu desenho, marque, no seu modelo de plano
cartesiano, os pontos (2, 0), (0, 2), (2, 2), (2, 1/2), (1/2, 3/2) e (4/10, 6/10).
Solução. Na figura a seguir, representamos o primeiro quadrante do plano cartesiano, cujos
pontos são associados a coordenadas cartesianas não-negativas. As linhas mais espessas estão a distância
de 1 unidade de medida uma da outra; as linhas menos espessas estão distantes uma da outra por 1/10
dessa unidade de medida.
2/10 4/10 6/10 8/10 10/10 12/10 14/10 16/10 18/10 20/10
2/10
4/10
6/10
8/10
10/10
12/10
14/10
16/10
18/10
20/10
A
B C
D
E
F
x
y
Note que
A = (2,0) = (20/10, 0), B = (0, 2) = (0, 20/10), C = (2, 2) = (20/10, 20/10),
D = (2, 1/2) = (2; 0,5) = (20/10, 5/10), E = (1/2, 3/2) = (0,5; 1,5) = (5/10, 15/10),
F = (4/10, 6/10).
Observe que os pontos A, E e B estão alinhados e que a soma das coordenadas de cada um desses pontos
é igual a 2.
48
Questão 35 a) Marque, no plano cartesiano abaixo, os pontos com coordenadas
A = (−4, 3) B = (−4, −3) C = (3, 4) D = (−3, 4) E = (4, −3) F = (4, 3)
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
b) Determine para quais desses pontos as coordenadas (x, y) satisfazem a equação y = x + 1. Em
seguida, trace uma reta contendo esses pontos.
c) Faça o mesmo com relação à equação y = −x + 1.
Solução. a) Temos
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
y = x + 1
y = −x + 1
A
B
C
D
E
F
b) As coordenadas de B são x = −4 e y = −3. Logo, satisfazem a equação y = x + 1, pois
y = −4 = −3 + 1 = x + 1.
Da mesma forma, as coordenadas de C são x = 3 e y = −4. Portanto, satisfazem
y = 4 = 3 + 1 = x + 1.
Note que a razão entre a variação da coordenada y e a variação da coordenada x de B a C é dada por
∆y
∆x
=
4 − (−3)
3 − (−4)
=
7
7
= 1.
Logo, a cada aumento de 1 unidade na variável x, há um aumento de 1 unidade na variável y. Isso
significa que a declividade da reta contendo esses pontos é 1. Dito de outro modo, um ponto (x, y)
49
pertence a essa reta se, e somente se,
y − (−3)
x − (−4)
= 1,
ou seja, se e somente se,
y + 3 = x + 4,
equação que pode ser escrita como
y = x + 1.
Concluímos que, de fato, um ponto (x, y) pertence à reta que contém B e C se, e somente se, y = x + 1.
Isso significa que essa reta é o gráfico da função
y = x + 1.
Nessa expressão, y é uma função afim de x. Note que o gráfico intersecta o eixo vertical (eixo das
ordenadas) quando x = 0 e y = 1.
c) As coordenadas de D são x = −3 e y = 4. Logo, satisfazem a equação y = −x + 1, pois
y = 4 = −(−3) + 1 = −x + 1.
Da mesma forma, as coordenadas de E são x = 4 e y = −3. Portanto, satisfazem
y = −3 = −4 + 1 = −x + 1.
A reta (pontilhada na figura anterior) que contém D e E é gráfico da função afim
y = −x + 1.
O coeficiente angular dessa função é −1: isso significa que o aumento de 1 unidade na variável x
implica a diminuição de 1 unidade na variável 1, ou seja,
∆y
∆x
= −1.
Por exemplo, a taxa de variação entre a variação da coordenada y e a variação da coordenada x do
ponto D para o ponto E é dada por
−3 − 4
4 − (−3)
=
−7
7
= −1.
Logo, um ponto (x, y) pertence à reta contendo D e E se, e somente se,
y − 4
x − (−3)
= −1,
isto é, se e somente se,
y − 4 = −(x + 3),
ou seja,
y = −x − 3 + 4 = −x + 1.
Note que o coeficiente linear dessa função afim é igual a 1: isso significa que, quando x = 0, temos
y = 1, ou seja, o ponto (0,1) é a intersecção do gráfico da função com o eixo vertical.
50
Caro(a) professor(a), aproveite a discussão desta questão para revisar os chamados “jogos de sinais”
na adição de números inteiros; outro tópico que pode ser revisado é a expressão decimal de frações
(usada para localizar, na reta numérica, os pontos correspondentes a 1/2, 3/2, e assim por diante).
Questão 36 — PAEBES - Item M120205G5, adaptado. Observe o plano cartesiano abaixo.
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−2
−1
1
2
3
4
5
H
L R
S
F
O
Os pontos que têm coordenadas (−2, −2) e (1, 3) são, respectivamente,
A) O e R. B) S e R. C) H e R. D) O e L. E) O e F.
Solução. Temos a seguinte correspondência entre os pontos destacados na figura e suas coordenadas
cartesianas:
F = (3, 1), H = (−2, 2), L = (−1, 3), R = (1, 3), S = (2, 2), O = (−2, −2).
A alternativa correta é A). 
Questão 37 — SAEPE - Item M120701H6, adaptado. Observe os pontos P, Q, R, S e T representados
no plano cartesiano abaixo.
P
Q
R
S
T
Em qual desses pontos a abscissa é −3 e a ordenada é −2?
A) P B) Q C) R D) S E) T
Solução. Temos a seguinte correspondência entre os pontos destacados na figura e suas coordenadas
cartesianas:
P = (−2, −3), Q = (3, −2), R = (3, 2), S = (−3, 2), T = (−3, −2).
A alternativa correta é E). 
A sequência das questões 38 a 44 faz referência à figura no enunciado da questão 38.
51
Questão 38 Observe os seguintes gráficos no plano cartesiano, em que alguns pontos estão
destacados.
10 x1 30
2 000
4 000
6 000
8 000
10 000
12 000
14 000
16 000
18 000
20 000
22 000 P
(10, y0)
(20, y1)
Q
R
S
variável x
variável y
(x0, 8 000)
(x1, 7 000)
Determine os seguintes dados:
1) As coordenadas x0 e x1.
2) As coordenadas y0 e y1.
3) As coordenadas dos pontos P e Q.
4) As coordenadas dos pontos R e S.
Solução. 1) A coordenada x0 pode ser lida diretamente na figura: veja que é abscissa do ponto
(x0, 8 000), ou seja, x0 = 10. Já a coordenada x1 não está explicitamente informada na figura, embora
seja razoável considerar x1 = 20. De fato, x1 é o ponto médio, no eixo horizontal, entre os pontos 10 e
30.
2) A coordenada y0 pode ser lida diretamente na figura: veja que é abscissa do ponto (10, y0), ou seja,
y0 = 18 000. Já a coordenada y1 não está explicitamente informada na figura, embora seja razoável
considerar y1 = 15 000. De fato, y1 é o ponto médio, no eixo vertical, entre os pontos 14 000 e 16 000.
3) Os pontos P e Q têm coordenadas dadas, respectivamente, por (0, 21 000) e (30, 12 000).
4) Os pontos R e S têm coordenadas dadas, respectivamente, por (0, 9 000) e (30, 6 000).

Caro(a) professor(a), para comprovar todas essas afirmações e aproveitar a questão no estudo de
funções afins (e de suas representações gráficas e algébricas), observe que é possível determinar as
funções cujos gráficos são as retas destacadas no plano cartesiano da figura. No caso da reta pontilhada,
que contém os pontos (x0, 8 000) = (10, 8 000) e S = (30, 6 000), a taxa de variação entre as variação
da ordenada e a variação da abscissa entre esses pontos é dada por
6 000 − 8 000
30 − 10
=
−2 000
20
= −100.
Portanto, o coeficiente angular da função deve ser a = −100. Essa informação já nos permite
determinar precisamente as coordenadas do ponto R = (0, b). De fato, a taxa de variação entre a
variação da ordenada e a variação da abscissa do ponto R ao ponto S é também igual a −100 e,
52
portanto,
6 000 − b
30 − 0
= −100.
Logo,
6 0000 − b = −3 000,
ou seja,
b = 9 000,
como já havíamos intuído, na resolução da questão, a partir da análise da figura. Concluímos que
o coeficiente linear da função é dado por b = 9 000. Logo, a função afim cujo gráfico é a reta
pontilhada contendo R e S é dada por
y = −100
| {z }
=a
x + 9 000
| {z }
=b
.
No que diz respeito à reta contínua, que contém os pontos (10, y0) = (10, 18 000) e Q = (30, 12 000),
a taxa de variação entre as variação da ordenada e a variação da abscissa entre esses pontos é dada
por
12 000 − 18 000
30 − 10
=
−6 000
20
= −300.
Portanto, o coeficiente angular da função deve ser a = −300. Essa informação já nos permite
determinar precisamente as coordenadas do ponto P = (0, b). De fato, a taxa de variação entre a
variação da ordenada e a variação da abscissa do ponto P ao ponto Q é também igual a −100 e,
portanto,
12 000 − b
30 − 0
= −300.
Logo,
12 0000 − b = −9 000,
ou seja,
b = 21 000,
como já havíamos intuído, na resolução da questão, a partir da análise da figura. Concluímos que o
coeficiente linear da função cujo gráfico contém os pontos P e Q é dado por b = 21 000. Logo, essa
função afim é dada por
y = −300
| {z }
=a
x + 21 000
| {z }
=b
.
Questão 39 No plano cartesiano representado na figura da questão 38, marque os pontos cujas
coordenadas são
1) (0, 6 000) 2) (10, 12 000) 3) (15, 0) 4) (20, 11 000) 5) (25, 6 500)
Solução. Temos
10 20 30
2 000
4 000
6 000
8 000
10 000
12 000
14 000
variável x
variável y
(0, 6 000)
(10, 12 000)
(15, 0)
(20, 11 000)
(25, 6 500)
53

Questão 40 Observe, na figura da questão 38, o gráfico representado pela linha contínua que contém
os pontos P e Q. Qual dos seguintes pontos pertence a esse gráfico?
1) (0, 20 000) 2) (10, 20 000) 3) (15, 16 500) 4) (15, 15 000) 5) (25, 15 000)
Solução. Denotando
A = (0, 20 000), B = (10, 20 000), C = (15, 16 500), D = (15, 15 000), E = (25, 15 000),
constatamos que apenas C = (15, 16 500) pertence à reta contendo P e Q. Isso pode ser confirmado
usando a expressão da função afim cujo gráfico é essa reta. De fato, temos
−300 · 15 + 21 000 = −4 500 + 21 000 = 16 500.
10 20 30
2 000
4 000
6 000
8 000
10 000
12 000
14 000
16 000
18 000
20 000
22 000 P
(10, y0)
(20, y1)
Q
A
B
C
D
E
variável x
variável y

Questão 41 Observe, na figura da questão 38, o gráfico representado pela linha pontilhada que
contém os pontos R e S. Qual dos seguintes pontos pertence a esse gráfico?
1) (0, 10 000) 2) (5, 9 000) 3) (15, 8 000) 4) (15, 7 500) 5) (25, 6 000)
Solução. Denotando
A = (0, 10 000), B = (5, 9 000), C = (15, 8 000), D = (15, 7 500), E = (25, 6 000),
temos
10 20 30
2 000
4 000
6 000
8 000
10 000
R
S
A B
C
D
E
variável x
variável y
(x0, 8 000)
(x1, 7 000)
54
Observamos que apenas D = (15, 7 500) pertence à reta contendo R e S. Isso pode ser confirmado
usando a expressão da função afim cujo gráfico é essa reta. De fato, temos
−100 · 15 + 9 000 = −1 500 + 9 000 = 7 500.

Questão 42 Trace, na figura da questão 38, o gráfico representado por uma linha reta que contenha
os pontos (0, 16 000) e (30, 11 000).
Solução. Denote A = (0, 16 000) e B = (30, 11 000). A reta desejada, contendo os pontos A e B,
está indicada na figura seguinte.
10 20 30
2 000
4 000
6 000
8 000
10 000
12 000
14 000
16 000
18 000
20 000
22 000 P
(10, 18 000)
(20, 15 000)
Q
R
S
A
B
variável x
variável y
(10, 8 000)
(20, 7 000)
Cabe observar que a declividade desta reta é dada pela taxa de variação entre a variação da variável y e
a variação da variável x do ponto A para o ponto B, ou seja,
11 000 − 16 000
30 − 0
=
−5 000
30
= −
500
3
·
Além disso, a reta intersecta o eixo vertical em A = (0, 16 000). Logo, a reta é gráfico da função afim
y = −
500
3
x + 16 000,
em que o coeficiente angular é a = −500/3 e o coeficiente linear b = 16 000. 
Questão 43 Trace, na figura da questão 38, a linha reta que corresponde ao gráfico da função afim
y = 1 000x + 4 000.
Solução. Tomando x = 0 na expressão da função, temos
y = 1 000 · 0 + 4 000 = 4 000.
Logo, o gráfico dessa função intersecta o eixo vertical no ponto A = (0, 4 000). Por outro lado, o valor
da função quando x = 20 é dado por
y = 1 000 · 20 + 4 000 = 24 000.
Portanto, o gráfico da função é a reta que contém os pontos A = (0, 4 000) e B = (20, 24 000).
55
10 20 30
2 000
4 000
6 000
8 000
10 000
12 000
14 000
16 000
18 000
20 000
22 000
24 000
A
B
variável x
variável y

Questão 44 Trace, na figura da questão 38, a linha reta que corresponde ao gráfico da função afim
y = −4 000x + 20 000.
Solução. Tomando x = 0 na expressão da função, temos
y = −4 000 · 0 + 20 000 = 20 000.
Logo, o gráfico dessa função intersecta o eixo vertical no ponto A = (0, 4 000). Por outro lado, o valor
da função quando x = 5 é dado por
y = −4 000 · 5 + 20 000 = 0.
Portanto, o gráfico da função é a reta que contém os pontos A = (0, 4 000) e B = (5, 0).
10
5
2 000
4 000 A
B
variável x
variável y

Observação 0.10 A linha contínua que contém os pontos P e Q na figura da questão 38 é parte do
gráfico que representa a função afim
y = ax + b, (11)
cujos coeficientes são dados por a = −300 e b = 21 000. Logo, a função afim representada por esse
gráfico é dada por
y = −300x + 21 000.
56
Vejamos como determinar esses coeficientes. Para tanto, observe, inicialmente, que o ponto P tem
coordenadas (0, 21 000) e o ponto Q tem coordenadas (30, 12 000). Sendo assim, a variação da variável
x do ponto P para o ponto Q é dada por
30 − 0
e a variação correspondente da variável y é dada por
12 000 − 21 000 = −9 000.
Logo, a taxa de variação de y com relação a x é dada pela razão
12 000 − 21 000
30 − 0
=
−9 000
30
= −300.
Concluímos que o coeficiente a em (11) é igual a taxa de variação, ou seja, a = −300.
Quanto ao coeficiente b em (11), observe que esse é o valor da variável y quando x = 0, pois
y(0) = a · 0 + b = b.
No nosso exemplo, temos
y(0) = −300 · 0 + b = 21 000.
Observe que (0, 21 000) são exatamente as coordenadas do ponto P em que o gráfico intersecta o eixo
y.
Em resumo, dada uma função afim y = ax + b,
1) o coeficiente a, denominado coeficiente angular, é dado pela taxa de variação da função:
dados dois pontos P = (x0, y0) e Q = (x1, y1) no gráfico da função, temos
a =
y1 − y0
x1 − x0
,
onde
y0 = ax0 + b,
y1 = ax1 + b.
2) Já o coeficiente linear b é dado pela coordenada (vertical) do ponto em que o gráfico da
função intersecta o eixo y, ou seja, b é o valor da função y quando x = 0. Logo, o ponto (0, b)
pertence ao gráfico da função.
Questão 45 a) Use o plano cartesiano representado na figura da questão 38 para traçar retas que
contenham os seguintes pares de pontos:
i) (0, 2 000) e (30, 20 000)
ii) (10, 0) e (30, 20 000)
iii) (10, 2 000) e (30, 20 000)
iv) (5, 2 000) e (20, 17 000)
v) (5, 5 000) e (25, 15 000)
b) Em seguida, determine os coeficientes a e b das funções y = ax + b cujos gráficos são dados pelas
retas que você traçou.
c) Por fim, determine qual dessas retas contém o ponto (20, 10 000).
57
Solução. a) A seguinte figura mostra segmentos das retas r, s e t contendo, respectivamente, os
pontos
A = (0, 2 000) e P = (30, 20 000), B = (10, 0) e P = (30, 20 000);
e
C = (10, 2 000) e P = (30, 20 000).
10 20 30
2 000
4 000
6 000
8 000
10 000
12 000
14 000
16 000
18 000
20 000
22 000
24 000
t
s
r
variável x
variável y
Agora, a seguinte figura mostra segmentos das retas m e n contendo, respectivamente, os pontos
C = (5, 2 000) e Q = (20, 17 000), D = (5, 5 000) e R = (25, 15 000).
10 20 30
2 000
4 000
6 000
8 000
10 000
12 000
14 000
16 000
18 000
20 000
22 000
24 000
m
n
variável x
variável y
b) As declividades das retas r, s e t são, respectivamente, dadas pelas taxas de variação entre a variação
das ordenadas e a variação das abscissas entre os pontos A e P. B e P; e C e P, respectivamente.
Portanto, as declividades das retas r, s e t são, respectivamente,
20 000 − 2 000
30 − 0
=
18 000
30
= 600,
58
20 000 − 0
30 − 10
=
20 000
20
= 1 000
e
20 000 − 2 000
30 − 10
=
18 000
20
= 900.
Além disso, a reta r intersecta o eixo vertical (eixo das ordenadas) no ponto A = (0, 2 000). Concluímos,
assim, que a reta r é o gráfico da função afim
y = 600x + 2 000.
Por sua vez, a reta s é gráfico de função afim da forma
y = 1 000x + b,
em que o coeficiente linear b é a ordenada do ponto em que s intersecta o eixo vertical. A taxa de
variação da função deste ponto ao ponto B é igual a 1 000 e, portanto,
0 − b
10 − 0
= 1 000.
Assim, b = −10 000. Concluímos que a reta s é o gráfico da função afim
y = 1 000x − 10 000.
A reta s, por sua vez, intersecta o eixo vertical em um ponto (0, b), onde b satisfaz
2 000 − b
10 − 0
= 900.
Logo, b = −7 000. Deduzimos, assim, que s é o gráfico da função afim
y = 900x − 7 000.
De modo similar, deduzimos que os coeficientes angular e linear da função afim cujo gráfico é m são
dados por
a =
17 000 − 2 000
20 − 5
=
15 000
15
= 1 000
e
2 000 − b
5 − 0
= 1 000,
ou seja, b = −3 000. Assim, a reta m é gráfico da função afim
y = 1 000x − 3 000.
Da mesma forma, deduzimos que os coeficientes angular e linear da função afim cujo gráfico é n são
dados por
a =
15 000 − 5 000
25 − 5
=
10 000
20
= 500
e
5 000 − b
5 − 0
= 500,
ou seja, b = 2 500. Assim, a reta n é gráfico da função afim
y = 500x + 2 500.
c) Pela análise dos gráficos nas figuras anteriores. o ponto (20, 10 000) pertence à reta s, ou seja, ao gráfico
da função y = 1 000x − 10 000. De fato, se x = 20, então, neste caso, y = 1 000 · 20 − 10 000 = 10 000.
59
Questão 46 Observe os seguintes gráficos no plano cartesiano, em que alguns pontos estão
destacados.
5 10 15 20 25 30
2 000
4 000
6 000
8 000
10 000
12 000
14 000
16 000
18 000
20 000
22 000 P
A
B
C
D
E
Q
R
A0
C0
D
E0
S
variável x
variável y
B0
D0
Determine os seguintes dados:
1) A variação da variável x entre os pontos P e B.
2) A variação da variável y entre os pontos P e B.
3) A taxa de variação de y em relação a x entre os pontos P e B.
4) A variação da variável x entre os pontos P e Q.
5) A variação da variável y entre os pontos P e Q.
6) A taxa de variação de y em relação a x entre os pontos P e Q.
7) O coeficiente angular (a) da função cujo gráfico contém os pontos P e Q.
8) O coeficiente linear (b) da função cujo gráfico contém os pontos P e Q.
9) O valor da variável y quando x = 7,5.
Solução. 1) Temos ∆x = 10 do ponto P = (0, 21 000) ao ponto B = (10, 18 000).
2) Temos ∆y = 18 000 − 21 000 = −3 000 do ponto P = (0, 21 000) ao ponto B = (10, 18 000).
3) A taxa de variação entre a variação de y e a variação de x ponto P = (0, 21 000) ao ponto
B = (10, 18 000) é igual a
∆y
∆x
=
−3 000
10
= −300.
4) Temos ∆x = 30 do ponto P = (0, 21 000) ao ponto Q = (30, 12 000).
5) Temos ∆y = 12 000 − 21 000 = −9 000 do ponto P = (0, 21 000) ao ponto Q = (10, 12 000).
6) A taxa de variação entre a variação de y e a variação de x ponto P = (0, 21 000) ao ponto
Q = (30, 12 000) é igual a
∆y
∆x
=
−9 000
30
= −300.
7) O coeficiente angular é dada pela taxa de variação de y como função de x entre dois pontos quaisquer
do gráfico. Nas etapas 1) a 6) anteriores, calculamos essa taxa de variação entre P e B e entre P e Q.
Como esperado, observamos que a taxa de variação é a mesma nesses dois pares de pontos. Concluímos
que o coeficiente angular da função afim é a = −300.
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  • 1. Autores Equipe Programa Cientista-Chefe em Educação Básica UFC/FUNCAP/SEDUC
  • 2. 0 Todos os direitos reservados à Secretaria da Educação do Estado do Ceará – Centro Administrativo Virgílio Távora Av. General Afonso Albuquerque Lima, s/n – Cambeba. Fortaleza/CE – CEP: 60.822-325 GOVERNADOR Elmano de Freitas da Costa VICE-GOVERNADORA Jade Afonso Romero Secretária da Educação Eliana Nunes Estrela Secretária Executiva de Ensino Médio e Profissional Maria Jucineide da Costa Fernandes Coordenadora de Educação em Tempo Integral Gezenira Rodrigues da Silva Coordenadora de Gestão Pedagógica do Ensino Médio Ideigiane Terceiro Nobre Coordenadora de Avaliação e Desenvolvimento Escolar para Resultados de Aprendizagem Kelem Carla Santos de Freitas Coordenadora Estadual da Formação Docente e Educação a Distância Vagna Brito de Lima Coordenador da Educação Profissional Rodolfo Sena da Penha Cientista-Chefe da Educação Jorge Herbert Soares de Lira Elaboração e revisão de texto Jorge Herbert Soares de Lira Roberta Eliane Gadelha Aleixo (revisora) Annelise Maymone (revisora)
  • 3. 1
  • 4.
  • 5. 3 |Apresentação Cara/o professora/or, apresentamos a seguir o Material Didático Estruturado (MDE) da Matemática “Foco na Aprendizagem”, que consiste no desenvolvimento de ações integradas voltadas à recomposição das aprendizagens, implementação do Documento Curricular Referencial do Ceará (DCRC) do Novo Ensino Médio (NEM) e do modelo estadual de Educação Híbrida, articulando ações didático-pedagógicas por meio da avaliação diagnóstica-formativa, Tutoria em Língua Portuguesa e Matemática, e formação continuada de professores. Nesse sentido, o intuito da Coordenadoria de Gestão Pedagógica do Ensino Médio (Cogem) é de subsidiar suporte pedagógico para as atividades de recomposição das aprendizagens da iniciativa Foco na Aprendizagem, com sugestões para o uso do MDE como mais um material de apoio, dentre os já existentes de seu acervo de recursos didáticos nas aulas das áreas de conhecimento e componentes curriculares de sua atuação, respeitando a autonomia didática de cada docente e as especificidades de cada escola. De modo geral, cada MDE possui suas especificidades, sendo os de Língua Portuguesa e Matemática estruturados por componentes curriculares, e divididos em unidades temáticas voltadas ao desenvolvi- mento de um objeto de aprendizagem; e os de Ciências Humanas e Ciências da Natureza, estruturados por áreas do conhecimento, divididos em componentes curriculares e subdivididos em capítulos temáticos voltados ao desenvolvimento de um objeto de aprendizagem e em diálogo com elementos do tempo presente das/os estudantes. Nesse sentido, há de se enfatizar a finalidade que atravessa toda a estrutura deste material: possuir uma estrutura padrão em que cada uma das seções didáticas está destinada a favorecer diferentes estratégias de recomposição da aprendizagem. Coordenadoria da Gestão do Ensino Médio - COGEM Coordenadoria Estadual de Formação Docente e Ensino a Distância - CODED Coordenadoria de Avaliação e Desenvolvimento para Resultados de Aprendizagem - COADE Programa Cientista-Chefe em Educação - FUNCAP/UFC/SEDUC Proposta Pedagógica Cara/o estudante, Este caderno foi pensado com muito critério para que se tornasse um material que possa apoiá-lo em sua formação no Ensino Médio. Esperamos que você possa estudar cada página com o mesmo carinho e dedicação com que ela foi escrita. Os elaboradores e toda a equipe pedagógica envolvida levaram em conta os desafios que os últimos anos representaram nas vidas pessoais e escolares de cada um de vocês. O Ensino Médio é uma etapa desafiadora não só por que somos expostos a conhecimentos mais amplos e por que somos demandados em habilidades mais complexas. Esses desafios cognitivos vêm junto com a transição para a vida adulta, com todas as incertezas e oportunidades que estão à frente. E, no caso desta geração, vivenciamos, ainda, os efeitos da Pandemia e toda a repercussão que o necessário isolamento social teve sobre a aprendizagem. Por isso, esse caderno cuida da necessidade de recompor conhecimentos em Matemática que serão indispensáveis no seu futuro, seja acadêmico, seja profissional. A Matemática não é um punhado de fórmulas, um amontado de cálculos e uma disciplina “difícil”, que causa ansiedade e, depois, nada tem a ver com nosso cotidiano. Muito ao contrário: as profissões mais demandadas exigem, cada vez mais, habilidades relacionadas ao pensamento matemático. Além disso, não podemos exercer plenamente nossa cidadania sem entendermos a linguagem matemática: basta ver como decisões econômicas, baseadas em Matemática, afetam o orçamento de nossas famílias. Estamos imersos na sociedade da informação, em que o uso de dados e de algoritmos determina aspectos de nossas vidas que sequer imaginamos.
  • 6. 4 Portanto, queremos nos juntar a você no esforço de superar suas eventuais dificuldades nos conceitos essenciais da Matemática. Esse é um processo gradual, em que vamos avançando numa espiral pouco a pouco: o que importa é termos clareza de quais são as lacunas que devem ser preenchidas e as metas que devemos atingir. Dito isso, vamos explicar como o uso do caderno pode ajudar nesses percursos formativos que iniciam com tarefas que retomam conhecimentos básicos e, progressivamente, avançam para exercícios e problemas mais complexos. Nesses caminhos, você é convidado a trabalhar inclusive com questões de vestibulares, do ENEM e das avaliações externas, como o SPAECE. O caderno é organizado em quatro percursos. Vejamos do que trata cada um deles. Primeiro percurso Neste percurso, trabalharemos a localização de números racionais na reta numérica. Para isso, precisamos saber quando duas frações são equivalentes e como representar um número racional como fração ou como número decimal. Em seguida, estudaremos relações de proporcionalidade entre duas variáveis. Veremos como representar essas relações usando retas no plano cartesiano. Essas retas são gráficos de funções afins. Finalizamos o percurso, mostrando as relações de proporcionalidade entre lados e perímetros de triângulos e quadriláteros semelhantes. Segundo percurso Agora, retomamos o estudo das funções afins, identificando os gráficos (linhas retas) que as representam e interpretando geometricamente os coeficientes de suas expressões algébricas. Veremos, em seguida, como relacionar funções afins e equações lineares. Finalizamos estudando funções quadráticas resolvendo problemas a respeito dos seus zeros e valores máximos/mínimos. Terceiro percurso Retornamos ao estudo da proporcionalidade, explorando, desta vez, problemas que envolvem razões, proporções e porcentagens, em diferentes contextos, inclusive relacionados à Matemática Financeira. Na sequência, estudaremos o comportamento de funções (crescimento, decrescimento, zeros) analisando seus gráficos. Finalizamos o percurso com problemas envolvendo funções exponenciais e crescimento geométrico. Quarto percurso O caderno finaliza com exercícios e problemas sobre tratamento da informação, ou seja, a análise de tabelas, de gráficos de barras, de linhas ou de setores. Além disso, trabalharemos questões envolvendo probabilidade em vários contextos. Dicas sobre o uso do caderno Os percursos são independentes, mas recomendamos que você siga a sequência do primeiro ao quarto. Em cada um, siga a ordem dos exercícios, pois esses aumentam gradualmente em complexidade. Caso sinta dificuldades em alguns deles, registre-as e converse com seu professor a respeito. Não se sinta desencorajado se não conseguir resolver uma ou outra questão: o mais importante é comunicar suas dificuldades para que o professor possa ajudá-lo com mais precisão. Além de recorrer ao professor, recomendamos que consulte outros materiais de apoio. Mencionamos, por exemplo, os seguintes recursos: • os cadernos do material estruturado do Foco na Aprendizagem: https://www.ced.seduc.ce.gov.br/ foco-na-aprendizagem-matematica-2/ • Os módulos do Portal da Matemática da OBMEP: https://portaldaobmep.impa.br/index.php/site/ index?a=1 • Khan Academy: https://pt.khanacademy.org/math/em-mat-algebra
  • 7. 5 Seção 1. Primeiro percurso: coordenadas, semelhança, perímetros e áreas As tarefas a seguir envolvem conhecimentos prévios fundamentais para desenvolver as habilidades nos seguintes descritores da Matriz de Referência do SAEB (terceira série do Ensino Médio): • D14 - Identificar a localização de números na reta numérica. • D15 - Resolver problema que envolva variações proporcionais, diretas ou inversas, entre grandezas. • D6 - Identificar a localização de pontos no plano cartesiano. • D7 - Interpretar geometricamente os coeficientes da equação de uma reta. • D1 - Identificar figuras semelhantes mediante o reconhecimento de relações de proporcionalidade. • D11 - Resolver problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas. • D12 - Resolver problema envolvendo o cálculo da área de figuras planas. Questão 1 Observe o segmento da reta numérica representado na seguinte figura. A B C D E T P Q S R 1 2 0 Agora, faça as seguintes atividades. i) Determine os pontos que correspondem aos números 1 10 2 10 2 5 4 5 0,6 0,9 1,2 14 10 9 5 ii) Determine as frações que correspondem aos pontos A, B, C, D e E. iii) Determine os números decimais que correspondem aos pontos P, Q, R, S e T. iv) Determine a localização (mesmo que aproximada) dos números racionais 1 6 1 3 2 3 4 6 8 9 0,25 0,625 1,25 1,75 4 3 8 6 9 6 Solução. i) A reta numérica está graduada em intervalos cujo comprimento é igual a 1/10 da unidade de medida. Sendo assim, temos 1 10 2 10 4 10 2 5 8 10 4 5 6 10 0,6 9 10 0,9 12 10 1,2 14 10 1,4 18 10 9 5 1 2 0 ii) Na reta numérica seguinte, indicamos os números racionais correspondentes aos pontos A, B, C, D e E: A B C D E 3 10 4 10 7 10 15 10 17 10 1 2 0 iii) Na reta numérica seguinte, indicamos os números racionais correspondentes aos pontos P, Q, R, S e T. Para isso, percebemos que esses são pontos médios dos intervalos; logo, são múltiplos de 1/20. Temos 5 20 15 20 25 20 35 20 39 20 T P Q S R 1 2 0
  • 8. 6 iv) Quase todos os pontos na lista são múltiplos ou submúltiplos de 1 3. Portanto, o primeiro passo deve ser determinar a localização, exata ou aproximada, do número racional 1 3. Para isso note que 1 3 = 3 9 > 3 10 e 1 3 = 4 12 < 4 10 · Com isso, mostramos que 1 3 está entre 3 10 e 4 10. Logo, 3 10 4 10 1 3 1 2 0 Agora, podemos determinar outros pontos da lista. Por exemplo, temos 2 3 = 2 · 1 3 e 4 6 = 4 : 2 6 : 2 = 2 3 e, da mesma forma, 4 3 = 4 · 1 3 e 8 6 = 8 : 2 6 : 2 = 4 3 · Sendo assim, marcamos esses pontos na reta numérica como múltiplos de 1 3: 3 10 4 10 1 3 2 3 4 6 4 3 8 6 5 3 1 2 0 Agora, é preciso localizar a fração 1 6 na reta numérica. Para isso, podemos considerar que 1 6 = 1 2 · 1 3 , ou seja, observar que 1 6 corresponde ao ponto médio entre 0 e 1 3. Sendo assim, temos: 1 3 2 3 4 3 5 3 1 6 1 2 0 Note que 9 6 = 9 · 1 6 · Assim, 4 3 = 8 6 < 9 6 < 10 6 = 5 3 . De fato, 9 6 é o ponto médio entre 8 6 = 4 3 e 10 6 = 5 3. Assim, obtemos: 1 3 2 3 4 3 5 3 1 6 9 6 1 2 0 O próximo passo é localizar a fração 1 9 na reta numérica. Para isso, devemos ver que 1 9 = 1 3 · 1 3 o que é representado na reta numérica como segue:
  • 9. 7 1 9 2 9 3 9 1 3 6 9 8 9 2 3 4 3 12 9 5 3 15 9 1 2 0 Note que, na reta numérica, temos 2 3 = 6 9 < 8 9 < 9 9 = 1. Finalmente, observamos que 0,25 = 1 2 · 0,5 = 0,2 + 0,3 2 = 2 10 + 3 10 2 , o que significa que 0,25 é o ponto médio entre 0.2 = 2 10 e 0,3 = 3 10. Além disso, temos 1,25 = 1 + 0,25 e 1,75 = 2 − 0,25. Escrevendo esses números nessas formas, podemos localizá-los na reta numérica como segue: 0,2 1,2 1,3 1,7 1,8 0,6 0,7 0,625 0,3 0,25 1,25 1,75 1 2 0 Concluímos, observando que 0,625 = 0,6 + 0,025 = 0,6 + 0,02 + 0,03 2 = 0,6 + 2 100 + 3 100 2 . Questão 2 Observe o segmento da reta numérica representado na seguinte figura. A B D C E 1 2 0 Assinale a alternativa em que o ponto corresponde corretamente ao número racional. A) A = 7 5 B) B = 0,75 C) C = 5 7 D) D = 0,57 E) E = 0,075 Solução. A reta numérica no suporte da questão está graduada em intervalos com medida igual a 1/10 da unidade. Sendo assim, E = 14 10 = 1,4. Já o ponto D é o ponto médio entre 7/10 e 8/10, ou seja, D = 7 10 + 8 10 2 = 15 20 · Observe, portanto, que D = 3 4 = 0,75. Logo, as alternativas D) e E) estão erradas. Quanto ao ponto B, a figura indica que está entre 5 10 = 0,5 e 6 10 = 0,6. Logo, B 0,6 0,75.
  • 10. 8 Portanto, a alternativa B) também não é correta. De modo similar, vemos que A está entre 0 e 1 10 = 0,1. Sendo assim, concluímos que A 0,1 1 7 5 , o que mostra que a alternativa A) não é verdadeira. Por fim, o ponto C está entre 7/10 = 0,7 e D = 0,75. Por outro lado, 5 7 = 1 10 · 50 7 = 1 10 · 7 + 1 7 = 0,7 + 1 100 · 10 7 = 0,7 + 1 100 · 1 + 3 7 = 0,71 + . . . Deduzimos que a alternativa C) é correta. Questão 3 — SABE - Item M120905E4, adaptado. Observe a reta numérica abaixo. Ela está dividida em segmentos de mesma medida. S 2 7 1 3 T U 4 9 V 4 7 W 5 8 X 5 6 1 0 O número 3 4 está localizado entre os pontos A) S e T. B) T e U. C) U e V . D) V e W. E) W e X. Solução. O segmento da reta entre 0 e 1 está dividido em 10 intervalos de comprimento 1 10. Logo, 3 4 = 0,75 está entre os números 0,7 = 7 10 e 0,8 = 8 10, ou seja, está no oitavo intervalo de comprimento 1 10, da esquerda para a direita. Portanto, está entre os pontos W e X. Comparando as frações, vê-se que, de fato, 5 8 6 8 = 3 4 e 3 4 = 9 12 10 12 = 5 6 · A alternativa correta é a E). Observação 0.1 Apenas para completar a discussão, observe na reta numérica 2 7 3 10 (de fato 20 = 2 · 10 3 · 7 = 21) e, portanto, 2 7 3 10 3 4 Da mesma forma, temos 4 7 6 10 = 3 5 3 4 , e assim por diante. Exercício 0.1 — PAEBES - Item M090258G5, adaptado. Observe a reta numérica abaixo. Ela está dividida em segmentos de mesma medida. 0 0,4 0,8 M 1,2 L K J 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 5,2 5,6 6
  • 11. 9 Qual é o ponto que melhor representa a localização do número 5 4 nessa reta? A) M. B) L. C) K. D) J. Solução. A reta numérica está dividida em intervalos de comprimento 0,2 = 2 10. Observe que 5 4 = 1 + 1 4 = 1,25. Logo, 1,2 5 4 1,4 e a alternativa correta é B). Questão 4 — SPAECE - Item M090307H6. Observe abaixo a reta numérica dividida em segmentos de mesma medida. −6 −4 −2 X 0 2 O número racional representado pelo ponto X é A) −6,4. B) −5,5. C) −4,5. D) −4,6. Solução. A reta numérica está dividida em intervalos de comprimento 0,5 = 5 10 = 1 2. Observe que X é, portanto, dado por −4 − 0,5 = −4,5 ou, equivalentemente, por −6 + 3 · 0,5 = −6 + 1,5 = −4,5 Logo, a alternativa correta é C). Questão 5 — SAEPE - Item M110764E4, adaptado. Caroline está completando a reta numérica representada abaixo, na qual as distâncias entre dois pontos consecutivos são todas iguais. −32 −32 −32 −32 −32 −32 −24 R −8 0 8 Para completar essa reta numérica, qual número Caroline deve escrever no lugar da letra R? A) −25. B) −23. C) −16. D) −9. E) −7. Solução. A reta numérica está dividida em intervalos de comprimento 8. Observe que R é, portanto, dado por −8 − 8 = −16 ou, equivalentemente, por −24 + 8 = −16. Logo, a alternativa correta é C).
  • 12. 10 Questão 6 Nas retas numéricas a seguir, quais frações correspondem aos pontos A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K e L? 0 A 1 0 1/4 B C 1 0 1/3 D 1 0 1/6 2/6 E F 1 0 1/12 G H 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2/12 I J 1 0 0 0 0 0 3/12 K L 1 Solução. Observe que os pontos A, B, E e H coincidem com o ponto que fica à mesma distância de 0 e de 1. Logo, esse ponto divide o segmento de reta de 0 a 1 em duas partes iguais e, portanto, A = 1 2 = B = 2 4 = E = 3 6 = H = 6 12 · Agora, veja que o ponto G divide o segmento de reta de 0 a H em duas partes iguais. Além disso, observe que o segmento de reta que contém G está dividido em 12 partes com mesma medida. Logo, G = metade de 1 2 = 1 2 · 1 2 = 1 4 e G = 3 12 = 1 4 · Podemos também ver que os pontos D, F, J e K coincidem, ou seja D = F = J = K, ou seja, 2 3 = 4 6 = 8 12 · Por fim, verificamos que C = 3 4 = L = 9 12 e I = 4 12 = 2 6 = 1 3 · Questão 7 Usando as retas numéricas na questão 6, encontre o valor da incógnita x ou da incógnita y em cada uma das seguintes equivalências de frações.
  • 13. 11 i) 1 2 = y 4 ii) 1 x = 2 6 iii) y 3 = 4 6 iv) 8 12 = 4 x Solução. Temos i) 1 2 = 1 · 2 2 · 4 = 2 4 ii) 2 6 = 2 : 2 6 : 2 = 1 3 iii) 4 6 = 4 : 2 6 : 2 = 2 3 iv) 8 12 = 8 : 2 12 : 2 = 4 6 Questão 8 Complete as seguintes frações com numeradores ou denominadores de modo que as igualdades sejam verdadeiras. 3 4 = 6 = 12 = 16 = 15 = 18 = 28 = 32 Solução. Temos 3 4 = 3 · 2 4 · 2 = 6 8 e 3 4 = 3 · 3 4 · 3 = 9 12 · Da mesma forma, temos 3 4 = 3 · 4 4 · 4 = 12 16 e 3 4 = 3 · 5 4 · 5 = 15 20 · Finalmente, 3 4 = 3 · 6 4 · 6 = 18 24 e 3 4 = 3 · 7 4 · 7 = 21 28 e 3 4 = 3 · 8 4 · 8 = 24 32 · Questão 9 Complete a seguinte tabela com valores das variáveis x e y, considerando que são diretamente proporcionais. Valores de y 3 6 - - 15 18 - - Valores de x 4 - 12 16 - - 28 32 Solução. Com base nos resultados na questão 8, temos Valores de y 3 6 9 12 15 18 21 24 Valores de x 4 8 12 16 20 24 28 32 Sejam m, n, p e q são números naturais, com n e q diferentes de 0. Sendo assim, as frações m n e p q são equivalentes, ou seja, a igualdade m n = p q é verdadeira se, e somente se, q · m = p · n. De fato, basta multiplicarmos cada um dos lados da igualdade pelo produto q · n, obtendo q · n · m n = q · n · p q ,
  • 14. 12 igualdade que pode ser reescrita como q · m · n · 1 n = n · p · q · 1 q , o que nos permite concluir que q · m = n · p. Por exemplo, as frações 3 4 e 9 12 (com m = 3, n = 4, p = 9 e q = 12) são equivalentes, pois 12 · 4 · 3 4 = 4 · 12 · 9 12 , ou seja, multiplicando 4 · 1 4 e 12 · 1 12, temos 12 · 3 = 4 · 9, uma igualdade verdadeira, pois resulta em 36 = 36. Observação 0.2 A equivalência de frações pode ser entendida como uma relação de proporciona- lidade: dizemos que m n = p q quando m está para n assim como p está para q, situação em que vale a igualdade do produto dos meios e do produto dos extremos, ou seja, q · m = p · n, uma vez que q · Z n · m Z n = n · A q · p A q Usando a definição acima de equivalência de frações, vamos, agora, apresentar critérios práticos, que são consequências lógicas da definição, para verificar se duas frações são equivalentes. Se multiplicarmos ou dividirmos o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número a natural diferente de zero, obtemos uma fração equivalente. De fato, m n = m · a n · a , visto que m · n · a = n · m · a. Da mesma forma, m n = m : a n : a · Neste caso, a deve ser um divisor ou fator comum de m e n com m : a = p e n : a = q. Assim, temos m n = p · a q · a = p q = m : a n : a , como queríamos demonstrar. Por exemplo, as frações 3 4 e 6 8 são equivalentes, pois 3·2 4·2 = 6 8 e, da mesma
  • 15. 13 forma, as frações 9 12 e 12 16 são também equivalentes, pois 9 : 3 12 : 3 = 3 4 = 3 · 4 4 · 4 = 12 16 , o que comprova a equivalência dessas frações. Questão 10 Represente os valores das variáveis x e y na tabela da questão 9 como coordenadas de pontos no seguinte plano cartesiano. Veja o exemplo do ponto P = (4, 3) em que x = 4 e y = 3. 0 4 8 12 16 20 24 28 32 3 6 9 12 15 18 21 24 27 P x y Agora, responda às seguintes perguntas. 1) Os pontos devem estar alinhados, ou seja, devem pertencer a uma mesma reta r. Você conseguiu perceber isso em seu desenho? 2) Qual o valor de y para que o ponto (8, y) pertença à reta r? 3) Qual o valor de x para que o ponto (x, 9) pertença à reta r? 4) Qual o valor de y para que o ponto (32, y) pertença à reta r? 5) Qual o valor de x para que o ponto (x, 27) pertença à reta r? 6) Por qual razão os pontos que você representou no plano devem estar alinhados, ou seja, devem pertencer todos a uma mesma reta? 7) Qual relação existe entre as coordenadas x e y para que o ponto (x, y) pertença à reta r? 8) O ponto (9, 6), em que x = 9 e y = 6, pertence à reta r? Justifique sua resposta. 9) O ponto (10, 15/2), em que x = 10 e y = 15/2, pertence à reta r? Justifique sua resposta. 10) Qual o valor de x para que o ponto (x, 15/4) pertença à reta r? 11) Qual o valor de y para que o ponto (3, y) pertença à reta r? 12) Existe algum ponto (x, y) na reta r tal que x + y = 14? Solução. 1) Ao considerarmos os valores de x e os valores correspondentes de y na tabela da questão 8 como coordenadas cartesianas, obtemos os seguintes pontos no plano cartesiano: P = (4, 3), A = (8, 6), B = (12, 9), C = (16, 12), D = (20, 15), E = (24, 18), F = (28, 21), Q = (32, 24). Observamos que as primeiras coordenadas (absicssas) em cada par aumentam 4 unidades de um ponto para o imediatamente seguinte, da esquerda para a direita; da mesma forma, as segundas coordenadas (ordenadas) em cada par aumentam 4 unidades nessa sequência de pontos. Portanto, a variação da coordenada x (abscissa) de um ponto para o imediatamente seguinte é dada por ∆x = 4,
  • 16. 14 ao passo que a variação da coordenada y (ordenada) entre dois pontos consecutivos é ∆y = 3. Logo, a razão entre essas variações é igual a ∆y ∆x = 3 4 , ou seja, ∆y = 3 4 ∆x. (1) Em resumo, constatamos, para esses pontos, que a variação da coordenada y entre esses dois pontos da reta r é igual a 3/4 da variação correspondente da coordenada x Representando os pontos P, A, B.C, D, E, F e Q no plano cartesiano, obtemos uma figura como a seguinte: 0 4 8 12 16 20 24 28 32 3 6 9 12 15 18 21 24 27 P Q A B C D E F r x y Os pontos assinalados pertencem, todos, à reta r traçada na figura anterior. 2) Note que a variação da coordenada x do ponto (4, 3) para o ponto (8, y) é igual a 8 − 4 = 4. Portanto, para que o ponto (8, y) pertença à reta r, a variação correspondente na coordenada y deve ser 3/4 da variação da coordenada x, ou seja, y − 8 = 3 4 · 4 = 3, ou seja, y = 11. Portanto, o ponto (8, 11) pertence à reta r. 3) A variação da ordenada entre os pontos (4, 3) e (x, 9) é dada por 9 − 3 = 6. Já a variação da abscissa entre esses pontos é x − 3.
  • 17. 15 Usando (1), temos 3 4 (x − 3) = 6, ou seja, x − 4 = 4 3 · 6. Portanto x − 4 = 4 · 2 = 8, de onde segue que x = 12. Portanto, o ponto (12, 9) pertence à reta r. 4) A variação da abscissa do ponto (4, 3) ao ponto (32, y) é dada por 32 − 4 = 28. Logo, a variação da ordenada é dada por y − 3 = 3 4 · 28 = 3 · 7 = 21. Portanto, y = 24. Concluímos que o ponto (32, 24) pertence a r. 5) Raciocinando de modo ligeiramente diferente, observe que, do ponto (4, 3) para o ponto (x, 27), a segunda coordenada (isto é, a ordenada) teve 8 aumentos sucessivos de 3 unidades, uma vez que 27 = 3 + 8 · 3. Logo, a primeira coordenada (ou seja, a abscissa) deve ter 8 aumentos sucessivos de 4, a partir do valor inicial 4, ou seja, x = 4 + 8 · 4 = 4 + 32 = 36. Portanto, o ponto (36, 27) pertence a r. Em todas essa situações, perceba que, dado um valor da variável x, existe um único valor da variável y tal que o par (x,y) pertence a r. Isso significa que y é função de x e que r é o gráfico dessa função 6) e 7) Um ponto com coordenadas (x, y) pertence à reta r se, e somente se, dado outro ponto (x0, y0) dessa reta, a variação das ordenadas de um ponto a outro é 3/4 da variação das abscissas entre esses pontos, ou seja y − y0 x − x0 = 3 4 Como a origem (4, 3) pertence à reta r, podemos fixar x0 = 4 e y0 = 3, obtendo y − 3 x − 4 = 3 4 , ou seja, y − 3 = 3 4 (x − 4) e, portanto, y = 3 4 x. (2) Essa é a expressão algébrica de y como função de x. 8) Observe que 6 6= 3 4 · 9,
  • 18. 16 pois 6 · 4 6= 3 · 9. Portanto, em vista do critério dado pela expressão (2), o ponto (9, 6), em que x = 9 e y = 6, não pertence a r. 9) Dada a condição (2), verificamos que o ponto (10, 15/2) pertence a r, pois 15 2 = 3 4 · 10, uma vez que 15 · 4 = 2 · 3 · 10. 10) Do ponto (10, 15/2) para o ponto (x, 15/4), a ordenada foi dividida por 2. Tendo em conta a relação de proporcionalidade (2) entre ordenadas (valores da variável y) e abscissas (valores da variável x), devemos ter x = 10 2 − 5. Assim, o ponto (5, 15/4) pertence a r. De fato, 15 4 = 3 4 · 5. 11) Se x = 3, o valor correspondente de y é dado por y = 3 4 · 3 = 9 4 12) Dado um ponto (x, y) em r, devemos ter y = 3 4 x. Assim, caso as coordenadas desse ponto também satisfaçam a equação x + y = 14, temos x + 3 4 x = 14. Logo, 4x + 3x 4 = 14 e, sendo assim, x = 14 · 4 7 = 2 · 4 = 8. Portanto, y = 3 4 · 8 = 6 (ou, equivalentemente, y = 14 − x = 14 − 8 = 6). Portanto, o ponto (8, 6) pertence, simultaneamente, à reta r e à reta definida pela equação x + y = 14, conforme ilustrado na seguinte figura: 0 4 8 12 16 20 24 28 32 3 6 9 12 15 18 21 24 27 P Q A r s x y
  • 19. 17 Neste ponto, cabe discutir que a expressão x + y = 14 define, de fato, uma reta. Para tanto, devemos observar que os pontos I = (14, 0) e J = (0, 14) satisfazem, ambos, a equação x + y = 14. Agora, dado um ponto U = (x, y) qualquer, satisfazendo essa equação, a razão entre a variação da ordenada e a variação da abscissa entre os pontos U e J é igual a y − 14 x − 0 = 14 − x − 14 x = −x x = −1. Portanto, a variação da ordenada é igual a −1 vezes a variação da abscissa: isso significa que, a medida em que a variação das abscissas e a variação das ordenadas são proporcionais uma a outra. De fato, observe na figura que, aumentando em 1 unidade o valor da variável x, diminuímos o valor da variável y em 1 unidade, sempre nessa mesma proporção. Observação 0.3 Caro(a) professor(a), até este ponto, avançamos gradualmente da noção de equi- valência de frações ao conceito de proporcionalidade. Em seguida, representamos geométrica e graficamente a ideia de proporcionalidade em termos de alinhamento de pontos no plano cartesiano, cujas coordenadas mantêm uma relação de proporcionalidade. A partir daqui, vamos tratar de dois temas: • nesta seção, continuamos o percurso com critérios de semelhança de figuras planas em termos de relações de proporcionalidade entre medidas de lados correspondentes; as noções de perímetro e área de figuras planas; e as relações entre perímetro e área de figuras planas semelhantes. • Na seção seguinte, estudamos as representações algébrica e gráfica de funções afins e de equações lineares, interpretando geometricamente os coeficientes angular e linear em suas expressões algébricas. Observação 0.4 Os valores de x e y na tabela da questão 9 satisfazem a seguinte relação de proporcionalidade: y x = 3 4 , (3) sempre que x 6= 0. Por exemplo, os valores x = 8 e y = 6 podem estar na tabela, pois 6 8 = 3 4 , frações que são equivalentes, uma vez que 6 · 4 = 8 · 3. Já os valores x = 9 e y = 6 não podem estar na tabela, dado que as frações 6 9 e 3 4 não são equivalentes, visto que 6 · 4 6= 9 · 3. Voltando ao caso geral, observe que a relação de equivalência (3) pode ser escrita na forma y = 3 4 x. (4) Essa expressão mostra que a variável y é uma função afim da variável x. Se, por exemplo, tomamos x = 8, temos y = 3 4 · 8 = 3 · 8 4 = 3 · 2 = 6,
  • 20. 18 ou seja, o valor da variável y correspondente ao valor x = 8 é y = 6. Por essa razão, o ponto com coordenadas (8, 6) está alinhado aos demais pontos cujas coordenadas completam a tabela na questão 9, a saber, (12, 9), (16, 12), (20, 15), (24, 18), (28, 21), (32, 24). Lembre-se que você representou esses pontos no plano cartesiano na questão 10 e, assim, verificou que pertencem a uma mesma reta, que denotamos por r. Essa reta r, representada na seguinte figura, é o gráfico da função 4. 0 4 8 12 16 20 24 28 32 6 12 18 24 P Q A B C D E F x y Note que o alinhamento dos pontos em uma mesma reta no plano significa que, aumentando 4 unidades no valor da variável x, avançamos 3 = 3 4 · 4 unidades no valor da variável y. Note que, na função afim em (4), o coeficiente angular é dado por a = 3/4. Já o coeficiente linear é dado por b = 0, uma vez que o gráfico dessa função afim intersecta o eixo y no ponto (0,0), ou seja, na origem: de fato, se x = 0, então y = 3 4 · 0 = 0. Questão 11 Considere o gráfico da função afim y = 3 4 x (5) representado na figura exposta na observação 0.4. Responda às seguintes questões: 1) Quais as coordenadas (x, y) dos pontos P, A, B, C, D, E, F e Q? 2) Essas coordenadas satisfazem a relação (5)? 3) Essas coordenadas satisfazem a equação linear 3x − 4y = 0? 4) O ponto (6, 4) pertence ao gráfico da função afim? 5) O ponto (14, 9/2) pertence ao gráfico da função afim? 6) As coordenadas do ponto (14, 10) satisfazem a equação linear 3x − 4y = 0? 7) As coordenadas do ponto (6, 9/2) satisfazem a equação linear 3x − 4y = 0? 8) Qual a taxa de variação da função (5) entre os pontos P e A? 9) Qual a taxa de variação da função (5) entre os pontos P e Q? 10) Qual a taxa da variação da função (5) entre o ponto P e um ponto (x, y) qualquer do gráfico? 11) As coordenadas x dos pontos P, A, B, C, D, E, F e Q estão em progressão aritmética. Qual sua razão? 12) As coordenadas y dos pontos P, A, B, C, D, E, F e Q estão em progressão aritmética. Qual sua razão? 13) Dividindo essas razões, obtemos a taxa de variação da função afim. Verdadeiro ou falso?
  • 21. 19 Solução. 1) e 2) Na resolução da questão (10), vimos que P = (4, 3), A = (8, 6), B = (12, 9), C = (16, 12), D = (20, 15), E = (24, 18), F = (28, 21), Q = (32, 24). O padrão formado pelas coordenadas desses pontos foi, então, descrito da seguinte forma: A variação da coordenada y entre dois desses pontos é proporcional à variação da coordenada x entre eles: de um ponto para o seguinte, da esquerda para a direita, a coordenada x aumenta 4 unidades ao passo que a coordenada y aumenta 3 unidades. Esses pontos estão alinhados e, portanto, pertencem a uma mesma reta, que denotamos por r. Essa reta contém a origem O = (0,0). Sendo assim, dado um ponto (x, y) qualquer em r, temos y − 0 = 3 4 (x − 0), ou seja, y = 3 4 x. 3) Observamos que a relação de proporcionalidade y = 3 4 x pode ser escrita como 4y = 3x, o que significa que o aumento da coordenada y em 3 unidades equivale ao aumento da coordenada x em 4 unidades. Note que todos os pontos na lista acima satisfazem essa equação, De fato, temos 4 · 3 = 3 · 4, 4 · 6 = 3 · 8, 4 · 9 = 3 · 12, 4 · 12 = 3 · 16, 4 · 15 = 3 · 20, e assim por diante. Concluímos que as coordenadas (x, y) desses pontos satisfazem a equação linear 3x − 4y = 0. 4) O ponto (6, 4) tem coordenadas x = 6 e y = 4 satisfaz 3x − 4y = 3 · 6 − 4 · 4 = 18 − 16 = 2 6= 0. Logo, esse ponto não pertence à reta r. 5) O ponto (14, 9/2) tem coordenadas x = 6 e y = 4 satisfaz 3x − 4y = 3 · 14 − 4 · 9 2 = 42 − 18 = 24 6= 0. Logo, esse ponto não pertence à reta r. 6) O ponto (14, 10) tem coordenadas x = 6 e y = 4 satisfaz 3x − 4y = 3 · 14 − 4 · 10 = 42 − 40 = 2 6= 0. Logo, esse ponto não pertence à reta r. 7) O ponto (6, 9/2) tem coordenadas x = 6 e y = 4 satisfaz 3x − 4y = 3 · 6 − 4 · 9 2 = 18 − 18 = 0.
  • 22. 20 Logo, esse ponto pertence à reta r. 8) a 10) A relação de proporcionalidade y = 3 4 x. (6) entre as coordenadas (x, y) de pontos na reta r significa que a razão entre as variações da coordenada x e da coordenada y são proporcionais. Como O = (0,0) pertence à reta r, temos variação de y variação de x = y − 0 x − 0 = y x = 3 4 · Logo, a taxa de variação de y como função de x é dada por 3 4. Em resumo, a expressão (6) significa que y é uma função linear de x, com taxa de variação igual a 3 4. A reta r é o gráfico dessa função. Os pontos P = (4, 3) e A = (8, 6) pertencem à reta r. A taxa da variação da função entre esses dois pontos é igual a 6 − 3 8 − 4 = 3 4 e, da mesma forma, a taxa da variação da função entre os pontos P = (4,3) e Q = (32, 24) é igual a 24 − 3 32 − 4 = 21 28 = 21 : 7 28 : 7 = 3 4 · A taxa de variação entre dois pontos quaisquer do gráfico é sempre igual a 3 4. Essa taxa de variação é a razão entre as variações da coordenada y e da coordenada x entre pontos da reta. 11) a 13) Como mencionado no início, as abscissas dos pontos estão em uma progressão aritmética com razão 4. Isso significa que 8 = 4 + 4, 12 = 8 + 4, 16 = 12 + 4, 20 = 16 + 4, e assim por diante. De modo similar, as ordenadas desses pontos estão em uma progressão aritmética com razão 3, ou seja, 6 = 3 + 3, 9 = 6 + 3, 12 = 9 + 3, 15 = 12 + 3, e assim sucessivamente. Dividindo as razões dessas progressões aritmética, temos, exatamente, a taxa de variação da função, isto é, 3 4. Observação 0.5 Veja que a variável y é função afim da variável x segundo a expressão y = 3 4 x se, e somente se, 4y = 3x, isto é, se, e somente se, as coordenadas (x, y) satisfazem a equação linear 3x − 4y = 0. (7) Portanto, a reta r que contém os pontos P e Q, representada na figura da observação 0.4, é o lugar geométrico dos pontos (x, y) cujas coordenadas são as soluções da equação linear (7). Por exemplo, o
  • 23. 21 ponto (8, 6), com x = 8 e y = 6 pertence a essa reta, visto que 3 · 8 − 4 · 6 = 24 − 24 = 0. Já o ponto (9, 6), com x = 9 e y = 6, não pertence à reta r, posto que 3 · 9 − 4 · 6 = 27 − 24 = 3 6= 0. De fato, o ponto com x = 9 que pertence a essa reta é o ponto (9, 27/4), uma vez que 3 · 9 − 4 · 27 4 = 27 − 27 · 4 4 = 27 − 27 = 0. Considere, novamente, o gráfico da função afim y = 3 4x representado na seguinte figura. O P0 A0 B0 C0 D0 E0 F0 Q0 6 12 18 24 P Q A B C D E F x α β γ y Nessa figura, destacamos os triângulos retângulos OPP0, OAA0, OBB0, OCC0, ODD0, OEE0, OFF0 e OQQ0. Um dos vértices desses triângulos é a origem O, outro é um ponto sobre o gráfico da função (por exemplo, P) e o terceiro é a projeção desse ponto do gráfico sobre o eixo x (por exemplo, P0). Na figura, destacamos um desses triângulos, a saber, o triângulo OPP0. Observe que esses triângulos têm o mesmo ângulo α no vértice O. Além disso, os ângulos nos pontos correspondentes desses triângulos têm a mesma medida, ou seja, ∠P = ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠E = ∠F = ∠Q . = β e ∠P0 = ∠A0 = ∠B0 = ∠C0 = ∠D0 = ∠E0 = ∠F0 = ∠Q0 . = γ. Note que γ é um ângulo reto, ou seja, sua medida é igual a 90◦ (lê-se “noventa graus”). Questão 12 Dadas as informações no gráfico anterior, resolva os seguintes problemas. 1) Qual a soma das medidas dos ângulos α + β + γ? 2) Qual a soma das medidas dos ângulos α + β? 3) Mostre a seguinte igualdade entre as razões: PP0 OP0 = AA0 OA0 = BB0 OB0 = CC0 OC0 = DD0 OD0 = EE0 OE0 = FF0 OF0 = QQ0 OQ0 = 3 4 (8)
  • 24. 22 Solução. 1) Os ângulos α, β e γ são os ângulos interno do triângulo OQQ0. Portanto, a soma das medidas desses ângulos é igual a 180◦ ou π radianos. Assim, α + β + γ = 180◦ . 2) Uma vez que os segmentos OQ0 e QQ0 são perpendiculares um ao outro. Portanto, γ é um ângulo reto, ou seja, cuja medida é igual a 90◦ ou π/2 radianos. Logo, a soma das medidas dos ângulos α e beta é igual a α + β = 180◦ − γ = 180◦ − 90◦ = 90◦ . 3) Temos PP0 OP0 = 3 4 , AA0 OA0 = 6 8 = 3 4 , BB0 OB0 = 9 12 = 3 4 e CC0 OC0 = 12 16 = 3 4 , DD0 OD0 = 15 20 = 3 4 , EE0 OE0 = 18 24 = 3 4 Finalmente, FF0 OF0 = 21 28 = 3 4 , QQ0 OQ0 = 24 32 = 3 4 O fato de que as razões entre as medidas de lados correspondentes são iguais comprovam que os triângulos retângulos OPP0, OAA0, OBB0, OCC0, ODD0, OEE0, OFF0, OQQ0 são semelhantes. Além disso, todos esses triângulos têm ângulo α no vértice O; os ângulos nos vértices P, A, B, C, D, E, F, Q têm mesma medida, igual a β; finalmente, os ângulos nos vértices P0, A0, B0, C0, D0, E0, F0, Q0 têm mesma medida, igual a β = 90◦. Os triângulos OAA0 e OQQ0 acima são semelhantes, isto é, as medidas dos lados correspondentes nesses dois triângulos são proporcionais. Para verificar isso, note que os pares de lados correspondentes nesses triângulos são OA e OQ OA0 e OQ0 AA0 e QQ0 . Observe que a medida de AA0 está para a medida de QQ0 assim como a medida de OA0 está para a medida de OQ0, ou seja, AA0 OA0 = QQ0 OQ0 · Essas razões são iguais à tangente tg α do ângulo α. O Q A O A0 Q0 α β γ
  • 25. 23 Observe que esse é um ângulo interno de ambos os triângulos no vértice O. Da mesma forma, a medida de OA0 está para a medida de OQ0 assim como a medida de OA está para a medida de OQ, ou seja, OA0 OA = OQ0 OQ · Essa razão comum aos dois triângulos é chamada do cosseno do ângulo α e denotada por cos α. Finalmente, temos a igualdade entre as razões AA0 OA = QQ0 OQ · Essa razão define o seno sen α do ângulo α. Em nosso exemplo, temos sen α = 3 5 e cos α = 4 5 · Logo, sen2 α + cos2 α = 32 52 + 42 52 = 9 + 16 25 = 1. Esse resultado é um caso particular do Teorema de Pitágoras, segundo o qual as medidas dos segmentos OA0 e AA0 (catetos) no triângulo retângulo OAA0 estão relacionados à medida do segmento OA (hipotenusa) pela seguinte expressão OA02 + AA02 = OA2 . (9) Outro critério de semelhança que permite verificar que, de fato, os triângulos OAA0 e OQQ0 são semelhantes é o seguinte: os ângulos nos vértices correspondentes têm medidas iguais, ou seja, • os ângulos de OAA0 e OQQ0 no vértice O têm medida α; • os ângulos de OAA0 em A e de OQQ0 em Q têm medida β; • os ângulos de OAA0 em A0 e de OQQ0 em Q0 têm medida γ. Observação 0.6 As razões em (8) são todas iguais a 3/4, o coeficiente angular da função afim (5). Vimos que elas definem a chamada tangente do ângulo α. Logo, tg α = 3 4 , ou seja, o coeficiente angular da função afim é igual a tangente do ângulo entre o eixo x e o gráfico da função. Note que, quanto maior o ângulo α (medido entre 0 e 90◦) entre o eixo x e o gráfico da função (ou seja, quanto mais inclinado o gráfico, em relação à direção horizontal), maior o coeficiente angular da função afim. Esse coeficiente angular é a tangente do ângulo α. Veja, na seguinte figura, o exemplo das funções afins y = 1 3 x, y = 3 4 x e y = 7 5 x, cujos coeficientes angulares estão na seguinte ordem 1 3 3 4 7 5 ·
  • 26. 24 4 8 12 16 20 24 28 O Q R R0 S = (20, 28) S0 = (20,0) x y A reta que contém os pontos O e R é o gráfico menos inclinado em relação ao eixo x dentre os três gráficos na figura. Observe que o coeficiente angular da função afim y = 1 3x é igual a a = 1/3: essa é a taxa de variação dessa função. De fato, dados os pontos O = (0,0) e R = (x, y) no gráfico da função, essa taxa de variação é dada por y − 0 x − 0 = y x = 1 3 · Note que essa taxa de variação é a tangente do ângulo β no vértice O do triângulo ORR0, pois tg β = RR0 OR0 = y x , onde (x, y) são as coordenadas do ponto R. Da mesma forma, a reta que contém os pontos O e S é o gráfico de maior inclinação dentre os três gráficos na figura. Se as coordenadas do ponto S são dadas por (20, 28), essa inclinação é dada pela tangente do ângulo γ no vértice O do triângulo OSS0, ou seja, por tg γ = SS0 OS0 = 28 20 = 28 : 4 20 : 4 = 7 5 , ou seja, a inclinação da reta é dada pela taxa de variação da função y = 7 5 x. Concluímos que a inclinação da reta é igual a taxa de variação da função afim que, por sua vez, é dada pelo seu coeficiente angular. Questão 13 A seguinte figura representa triângulos semelhantes OAA0 e PQQ0, sendo que ∠O = ∠P = α, ∠A = ∠Q = β, ∠A0 = ∠Q0 = γ. Suponha, além disso, que AA0 OA0 = QQ0 PQ0 = 3 4 ·
  • 27. 25 O α γ β α γ β A A0 Q0 Q P Responda às seguintes questões. 1) É verdade que OA0 OA = PQ0 PQ ? Em caso afirmativo, qual a razão de semelhança? 2) É verdade que AA0 OA = QQ0 PQ ? Em caso afirmativo, qual a razão de semelhança? 3) Se OA0 = 4 centímetros e PQ0 = 16 centímetros, quais as medidas de AA0 e de QQ0? 4) Nessas condições, quais as medidas de OA e de PQ? 5) Nessas condições, qual a razão entre os perímetros dos dois triângulos? 6) Nessas condições, qual a razão entre as áreas dos dois triângulos? Solução. 1) e 2) O enunciado da questão informa que os dois triângulos têm ângulos com mesma medida em vértices correspondentes, ou seja, ∠O = ∠P = α, ∠A = ∠Q = β, ∠A0 = ∠Q0 = γ. Isso implica que os dois triângulos são semelhantes e, portanto, as medidas de lados correspondentes são proporcionais, ou seja, existe uma razão de semelhança entre essas medidas. De acordo com o enunciado, temos AA0 OA0 = QQ0 PQ0 = 3 4 · (10) Como os triângulos OAA0 são triângulos retângulos, com ângulo reto nos vértices A0 e Q0, respectivamente, o Teorema de Pitágoras implica que OA2 = OA02 + AA02 e PQ2 = PQ02 + QQ02 . Usando a relação de proporcionalidade (10), deduzimos que OA2 = OA02 + 3 4 OA0 2 = OA02 + 9 16 OA02 = 1 + 9 16 OA02 = 25 16 OA02 e, de modo similar, PQ2 = PQ02 + 3 4 PQ0 2 = PQ02 + 9 16 PQ02 = 1 + 9 16 PQ02 = 25 16 PQ02 Calculando as raízes quadradas dos termos nessas expressões, obtemos OA = 5 4 OA0 e PQ = 5 4 PQ0 . Sendo assim, concluímos que OA0 OA = PQ0 PQ = 4 5 ·
  • 28. 26 Por fim, temos AA0 OA = AA0 OA0 OA0 OA = 3 4 · 4 5 = 3 5 e QQ0 PQ = QQ0 PQ0 PQ0 PQ = 3 4 · 4 5 = 3 4 · 3) e 4) De acordo com as relações de proporcionalidade (10), temos AA0 = 3 4 OA0 = 3 4 · 4 = 3 centímetros e QQ0 = 3 4 PQ0 = 3 4 · 16 = 3 · 4 = 12 centímetros. Da mesma forma, a relação de proporcionalidade OA0 OA = PQ0 PQ = 4 5 implica que OA = 5 4 OA0 = 5 4 · 4 = 5 centímetros e PQ = 5 4 PQ0 = 5 4 · 16 = 5 · 4 = 20 centímetros. 5) Por definição, o perímetro do triângulo retângulo OAA0 é a soma das medidas de seus lados, isto é, OA0 + AA0 + OA = 4 + 3 + 5 = 12 centímetros. Analogamente, o perímetro do triângulo retângulo PQQ0 é a soma das medidas de seus lados, ou seja, PQ0 + QQ0 + PQ = 16 + 12 + 20 = 48 centímetros. De modo mais simples, observe que as medidas de lados correspondentes nos triângulos retângulos semelhantes OAA0 e PQQ0 estão em uma relação de proporcionalidade: PQ0 OA0 = QQ0 AA0 = PQ OA = 4. Com essa observação, concluímos que o perímetro de PQQ0 é 4 vezes o perímetro de OAA0, ou seja, PQ0 + QQ0 + PQ = 4 · (OA0 + AA0 + OA) = 4 · 12 = 48 centímetros. 6) Vimos, na questão 5) anterior, que a razão entre os perímetros dos dois triângulos semelhantes é igual a razão entre as medidas dos lados correspondentes nesses triângulos, ou seja, PQ0 + QQ0 + PQ OA0 + AA0 + OA = PQ0 OA0 = QQ0 AA0 = PQ OA = 4. Já a razão entre as áreas desses triângulos não é igual a razão entre as medidas dos lados correspondentes. De fato, a área do triângulo OAA0 é igual a 1 2 OA0 · AA0 = 4 · 3 2 = 6 cm2 , enquanto a área do triângulo PQQ0 é dada por 1 2 PQ0 · QQ0 = 16 · 12 2 = 16 · 6 = 96 cm2 .
  • 29. 27 Observamos, assim, que a razão entre as área dos dois triângulos é o quadrado da razão entre as medidas dos lados correspondentes, uma vez que 16 = 42 . Isso pode ser visto também com os seguintes cálculos: área de PQQ0 = 1 2 PQ0 · QQ0 = (4 · OA0) · (4 · AA0) 2 = 4 · 4 · OA0 · AA0 2 = 16 · área de OAA0 . Questão 14 As seguintes figuras representam cinco triângulos retângulos (I, II, III, IV e V) e as respectivas medidas de alguns de seus lados ou ângulos. O A A0 P B B0 Q C C0 R D D0 S E E0 I 4 cm 8 cm 3 cm 6 cm 4 cm θ θ α α 8 cm 6cm 4 cm II III IV V Quais desses triângulos são semelhantes? A) I e III B) I, II e V C) I e IV D) III e V E) II, III e IV Solução. Os triângulos OAA0, PBB0, QCC0, RDD0 e SEE0 são triângulos retângulos com ângulos retos nos vértices A0, B0, C0, D0 e E0, respectivamente. Além disso, de acordo com a figura, as medidas dos catetos dos triângulos OAA0 e PBB0 estão em uma relação de proporcionalidade. De fato, temos BB0 AA0 = 6 3 = 2. e PB0 OA0 = 8 4 = 2. As medidas das hipotenusas desses triângulos podem ser determinadas utilizando-se o Teorema de Pitágoras, segundo o qual OA2 = OA02 + AA02 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25 = 52 e PB2 = PB02 + BB02 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100 = 102 . Portanto, as medidas das hipotenusas, dadas por OA = 5 cm e PB = 10 cm, também satisfazem a mesma relação de proporcionalidade, ou seja, PB OA = 10 5 = 2. Concluímos que a razão de semelhança entre os triângulos PBB0 e OAA0 é igual a 2. Dado que os triângulos OAA0 e PBB0 são semelhantes, as medidas dos ângulos correspondentes são iguais, ou seja, ∠O = ∠P = α, ∠A0 = ∠B0 = 90◦ , ∠A = ∠B = 90◦ − α.
  • 30. 28 Na terceira sequência de igualdades, usamos o fato que a soma dos ângulos internos de cada um dos triângulos é igual a 180◦ e, portanto, ∠O + ∠A0 + ∠A = 180◦ =⇒ ∠A = 180◦ − ∠A0 − ∠O = 180◦ − 90◦ − α = 90◦ − α. Agora, observamos que o triângulo SEE0 tem ângulos com medidas α e 90◦ nos vértices S e E0, respectivamente. Assim, o ângulo em E tem medida 90◦ − α. Logo, os ângulos nos triângulos OAA0 e em SEE0, nos vértices correspondentes, têm mesmas medidas, ou seja, ∠O = ∠S = α, ∠A0 = ∠E0 = 90◦ , ∠A = ∠E = 90◦ − α. Concluímos que os triângulos OAA0 e SEE0 são semelhantes. Por isso, as medidas de lados correspon- dentes nesses triângulos são proporcionais: visto que EE0 AA0 = 6 3 = 2, a razão de semelhança entre os triângulos semelhantes SEE0 e OAA0 é igual a 2. Logo, SE0 OA0 = 2 e SE OA = 2 e, portanto, SE0 = 2 · 4 = 8 cm e SE = 2 · 5 = 10 cm. O mesmo argumento mostra que os triângulos QCC0 e RDD0 são semelhantes, com ∠Q = ∠R = θ, ∠A0 = ∠E0 = 90◦ , ∠A = ∠E = 90◦ − θ. Neste caso, a razão de semelhança entre os triângulos RDD0 e QCC0 é também igual a 2, visto que RD0 QC0 = 8 4 = 2. Da mesma forma, DD0 CC0 = 2 e RD QC = 2. Portanto, DD0 = 2 · 4 = 8 cm e RD = 2 · QC. Por outro lado, pelo Teorema de Pitágoras, temos QC2 = QC02 + CC02 = 42 + 42 = 2 · 42 . Com isso, concluímos que QC = 4 √ 2 cm e RD = 2 · 4 √ 2 = 8 √ 2 cm. Em resumo, com a discussão anterior, concluímos que • os triângulos OAA0, PBB0 e SEE” são semelhantes; • os triângulos QCC0 e RDD0 são semelhantes.
  • 31. 29 Todavia, os triângulos OAA0 e QCC0 não são semelhantes. De fato, as medidas de seus lados não estão em uma relação de proporcionalidade. Por exemplo, temos OA0 QC0 = 1, e, no entanto, AA0 CC0 = 3 4 Decorre disso que os ângulos em O e em Q não têm a mesma medida. De fato, temos θ α. Da mesma forma, temos OA0 CC0 = 1 3 4 = AA0 QC0 e ∠C = 90◦ − θ ∠A = 90◦ − α. Concluímos que a alternativa correta é B). Questão 15 Calcule as áreas e as tangentes dos ângulos α e θ nos triângulos I a V na questão 14 anterior. Solução. Vimos que os catetos do triângulo retângulo OAA0 tem medidas iguais a OA0 = 4 cm e AA0 = 3 cm. Logo, tomando OA0 como base e AA0 como a altura correspondente a essa base, a área de OAA0 é dada por área de OAA0 = 1 2 OA0 · AA0 = 4 · 3 2 = 6 cm2 . Para calcular a área do triângulo PBB0, lembramos, da questão anterior, que esse triângulo é semelhante ao triângulo PBB0, com razão de semelhança igual a 2. Logo, a área de PBB0 deve ser 22 = 4 vezes a área de OAA0, ou seja, é igual a 4·6 = 24 cm2. Para verificar esse valor, podemos calcular diretamente essa área, considerando como base do triângulo o cateto PB0 e como a altura correspondente o cateto BB0. Sendo assim, temos área de PBB0 = 1 2 OA0 · AA0 = 8 · 6 2 = 24 cm2 . O mesmo raciocínio se aplica ao triângulo SEE0, visto que esse triângulo é também semelhante ao triângulo OAA0 com a mesma razão de semelhança, a saber, 2. Isso significa que os triângulos PBB0 e SEE0 são congruentes, ou seja, semelhantes, mas com razão de semelhança igual a 1. Portanto, não apenas as medidas dos ângulos correspondentes nos triângulos PBB0 e SEE0 são iguais: as medidas de lados correspondentes são também iguais (e não simplesmente proporcionais). Concluímos que área de SEE0 = área de PBB0 = 24 cm2 . Com relação a tangentes, observamos que, por definição, a tangente de α (medida do ângulo em O no triângulo OAA0) é dada por tg α = AA0 OA0 = 3 4 · Da mesma forma, a tangente de θ (medida do ângulo em Q no triângulo QCC0) é dada por tg θ = QC0 CC0 = 4 4 = 1·
  • 32. 30 Aproveitamos para observar que o triângulo QCC0 é um triângulo isósceles uma vez que os lados QC0 e CC0 têm medidas iguais (de fato, medem 4 cm, de acordo com a figura). Sendo assim, os ângulos em P e C também têm mesma medida, ou seja, ∠P = ∠C = θ. Uma vez que ∠P + ∠C + ∠C0 = 180◦ e ∠C0 = 90◦, deduzimos que 2θ = 180◦ − 90◦ = 90◦ , ou seja, que θ = 45◦. Questão 16 Use o Teorema de Pitágoras para calcular os perímetros dos triângulos I a V na questão 14. Solução. Na resolução da questão 14, determinamos as medidas dos lados dos triângulos OAA0 e QCC0. De fato, temos OA0 = 4 cm, AA0 = 3 cm, OA = 5 cm e QC0 = 4 cm, CC0 = 4 cm, QC = 4 √ 2 cm Sendo assim, calculamos perímetro de OAA0 = OA0 + AA0 + OA = 4 + 3 + 5 = 12 cm e perímetro de QCC0 = QC0 + CC0 + QC = 4 + 4 + 4 √ 2 = 4(2 + √ 2) cm. Para calcular os perímetros dos demais triângulos, não é necessário determinar explicitamente as medidas de seus lados: basta, na verdade, usarmos as razões de semelhança entre os triângulos. Por exemplo, a razão de semelhança entre os triângulos PBB0 e OAA0 é igual a 2; logo, a razão entre os perímetros desses triângulos é também igual a 2. Temos, portanto, perímetro de PBB0 = 2 · perímetro de OAA0 = 2 · 12 = 24 cm. Como os triângulos SEE0 e PBB0 são congruentes, têm o mesmo perímetro, ou seja, perímetro de SEE0 = perímetro de PBB0 = 24 cm. Por fim, a razão de semelhança entre os triângulos RDD0 e QCC0 é igual a 2. Logo, perímetro de RDD0 = 2 · perímetro de QCC0 = 2 · 4(2 + √ 2) = 8(2 + √ 2) cm. Questão 17 As seguintes figuras representam cinco quadriláteros (I, II, III, IV, V e VI). Cada um dos lados dos quadriláteros I, II e III mede 5 centímetros. I II III IV V VI
  • 33. 31 Assinale a alternativa em que temos um par de quadriláteros semelhantes. A) I e II B) I e III C) II e IV D) II e VI E) IV e V Solução. Como enunciado, os lados dos quadriláteros I e II têm medidas iguais (5 cm cada um deles). No entanto, os quatro ângulos internos no quadrilátero têm a mesma medida, ou seja, cada um deles mede 90◦. Com isso, podemos afirmar que o quadrilátero II é um quadrado. Quanto ao quadrilátero I, observamos que os pares de ângulos em vértices opostos têm mesma medida, sendo que a medida de cada ângulo em um desses pares é maior que 90◦ (ângulos obtusos) enquanto a medida de cada ângulo no outro par é menor que 90◦ (ângulos agudos). Desse modo, o quadrilátero II é um losango, mas não é um retângulo. Portanto, não é um quadrado. Quanto ao quadrilátero VI, observamos que cada um de seus quatro ângulos internos mede 90◦ (são ângulos retos). Além disso, seus lados tem medidas iguais (na escala da figura, essas medidas são iguais a 10 cm). Portanto, esse quadrilátero é um quadrado semelhante ao quadrado I, com razão de semelhança igual a 10 5 = 2. Também de acordo com o enunciado, os lados do quadrilátero III medem, cada um, 5 cm. Logo, esse quadrilátero é também um losango. Novamente, observe que as medidas de ângulos opostos são iguais, havendo dois ângulos com mesma medida, maior que 90◦; e outros dois ângulos com mesma mesma medida, mas menor que 90◦. Em particular, II e III não são semelhantes e VI e III não são semelhantes. Afirmamos que os losangos I e III não são semelhantes: de fato, no losango I, o segmento que liga os vértices opostos com ângulos obtusos mede 8 cm. Portanto, esse segmento “divide” o losango I em dois triângulos que não são equiláteros. Em particular, a medida do ângulo agudo é maior que 60◦. Quanto ao losango III, o segmento que liga os vértices opostos com ângulos obtusos divide o losango em dois triângulos equiláteros e, portanto, cada ângulo agudo em III mede 60◦. Portanto, fica demonstrada nossa afirmação. A figura seguinte esclarece esse argumento: II IV V VI Sobre o quadrilátero IV, percebemos, com a ajuda da seguinte figura, que suas diagonais medem 12 cm e 9 cm. Essas diagonais intersectam-se em seu ponto médio. Logo, usando o Teorema de Pitágoras, concluímos que os lados de IV têm medidas iguais e que, portanto, esse quadrilátero é um losango. Por outro lado, as diagonais do losango I medem, de acordo com a figura, 8 cm e 6 cm. Sendo assim, as medidas das diagonais nos losangos I e IV não são proporcionais, pois 6 9 6= 8 12 · Portanto, I e IV não são semelhantes. Além disso, no losango IV, o segmento que liga os vértices opostos com ângulos obtusos “divide” o losango em dois triângulos que não são equiláteros. Portanto, seguindo o mesmo raciocínio que antes, deduzimos que os losangos III e IV não são semelhantes.
  • 34. 32 II V VI Finalmente, observe que, no quadrilátero V, temos dois lados opostos paralelos, com medidas iguais a 8 cm. Com relação ao outro par, o Teorema de Pitágoras nos permite concluir que cada um dos lados mede p 72 + 42 = √ 49 + 16 = √ 65 8 cm. Portanto, V não é um losango. Logo, não pode ser semelhante a nenhuma das outras cinco figuras. Concluímos que apenas os quadriláteros II e VI (dois quadrados) são semelhantes. Questão 18 A respeito dos quadriláteros de I a V I na questão 17, calcule valores exatos ou estime valores aproximados 1) das áreas dos quadriláteros. 2) das razões entre as áreas de pares de quadriláteros. 3) das medidas das tangentes dos ângulos em cada um dos quadriláteros. 4) dos perímetros dos quadriláteros. 5) das razões entre os perímetros de pares de quadriláteros. Solução. 1) e 2) O quadrado II tem lados com medida igual a 5 cm. Logo, sua área é igual a 52 = 25 cm2. Da mesma forma, o quadrado VI tem lados com o dobro da medida da medida dos lados de II: portanto, sua área é 22 = 4 vezes a área de II. Assim, a área do quadrado VI é igual a 4 · 25 = 100 cm2. Com a ajuda das figuras na resolução da questão 17, observamos que o losango I é “decomposto” em quatro triângulos retângulos com catetos medindo 4 cm e 3 cm. Assim, a área de I é dada por 4 · 4 · 3 2 = 2 · 4 · 3 = 24 cm2 . Da mesma forma, o losango IV é “decomposto” em quatro triângulos retângulos com catetos medindo 6 cm e 4,5 cm. Assim, a área de IV é dada por 4 · 6 · 4,5 2 = 2 · 6 · 4,5 = 54 cm2 . A figura seguinte permite visualizar melhor essas decomposições: II V VI Quanto a área do paralelogramo V, a figura anterior sugere a seguinte estratégia: considere o retângulo cujos lados tem medidas 12 cm e 7 cm que pode ser decomposto em I e em dois triângulos retângulos com catetos medindo 7 cm e 4 cm. Portanto, a área de V é dada por 12 · 7 − 2 · 7 · 4 2 = 12 · 7 − 4 · 7 = 8 · 7 = 56 cm2 .
  • 35. 33 Já o losango III é decomposto em dois triângulos equiláteros cujos lados medem 5 cm. A altura de cada um desses triângulos equiláteros é igual a q 52 − 5/2 2 = q 52 − 52/4 = q 3 · 52/4 = √ 3 2 · 5 cm. h 5 2 5 A B Portanto, a área de III é igual a duas vezes a área do triângulo equilátero, ou seja, 2 · 5 · √ 3 2 · 5 2 = 25 · √ 3 2 cm2 . 4) e 5) O perímetro do quadrado I é igual a 5 + 5 + 5 + 5 = 4 · 5 = 20 cm, ao passo que o perímetro do quadrado VI é dado por 2 · 20 = 40 cm, onde usamos o fato de que a medida de cada um dos lados de VI é 2 vezes a medida de cada um dos lados de I. As medidas de cada um dos lados dos losangos II e III é igual a 5 cm. Portanto, os perímetros desses dois losangos são também iguais a 20 cm, cada um. Pelo Teorema de Pitágoras, cada um dos lados do losango IV mede q (9/2)2 + 62 = q (81 + 144)/4 = q 225/4 = 15 2 = 7,5 cm. Assim, o perímetro do losango IV é igual a 4 · 7,5 = 30 cm. Finalmente, vimos, na resolução da questão anterior, que o paralelogramo V tem lados com medidas 8 cm e √ 65 cm. Assim, o perímetro de V é dado por 16 + 2 √ 65 cm. 3) No losango III, destacado na figura anterior, os ângulos nos vértices A e B medem, cada um, 60◦. Observamos que a tangente é dada por tg 60◦ = h 5/2 = √ 3 · 5/2 5/2 = √ 3. Deixamos os demais caso como exercício para o leitor (requer o uso de expressões para a tangente do arco duplo e outros expedientes técnicos).
  • 36. 34 Observação 0.7 Os quadrados representados nas figuras II e IV são semelhantes: de fato, dois quadrados são sempre semelhantes (por quê?) Os lados do quadrado II medem 5 centímetros e os lados do quadrado IV medem 10 centímetros. Logo, a razão de proporcionalidade entre os lados (e os perímetros) do quadrado IV e do quadrado II é igual a 2. No entanto, observe que a razão entre a área do quadrado IV e a área do quadrado II é igual a 4, ou seja, a 22: de fato, temos 102/52 = 4. Questão 19 Na figura seguinte, os quadrados que formam a malha quadriculada têm lados medindo 1 cm cada um. A B C D E P Q Responda às seguintes questões a respeito dos triângulos PAQ, PBQ, PCQ, PDQ e PEQ destacados na figura. 1) Os triângulos PAQ e PEQ são semelhantes? 2) Os triângulos PBQ e PDQ são semelhantes? 3) Os triângulos PAQ e PCQ são semelhantes? 4) Os triângulos PAQ e PBQ são semelhantes? 5) Os triângulos PBQ e PCQ são semelhantes? 6) Qual a altura desses triângulos com respeito a base PQ, comum a todos eles? 7) As áreas desses triângulos são iguais. Por qual razão? 8) Qual(is) desse(s) triângulo(s) tem (têm) o maior perímetro? 9) Qual(is) desse(s) triângulo(s) tem (têm) o menor perímetro? 10) Quais os senos, cossenos e tangentes dos ângulos internos do triângulo PCQ? Solução. 1) e 2) Os triângulos PAQ e PEQ são congruentes: observe, pela simetria da figura, que as medidas de AP e EQ são iguais assim como as medidas de AQ e EP. Além disso, esses dois triângulos têm o lado PQ em comum. Assim, os triângulos PAQ e PEQ têm lados correspondentes com mesma medida. São, portanto, congruentes. Da mesma forma, os triângulos PBQ e PDQ são congruentes, visto que têm o lado PQ em comum; além disso, os lados BP e DQ têm mesma medida assim como BQ e DP. Portanto, esses triângulos tem pares de lados com medidas iguais. Logo, são congruentes. Lembre que dois triângulos são congruentes quando são semelhantes com razão de semelhança igual a a 1. Os movimentos rígidos ou isometrias no plano são as translações, rotações (fixando um dado ponto) e as reflexões (fixando um dado eixo). Dois triângulos T e T0 (ou, mais geralmente, duas figuras planas) são congruentes se um deles pode ser obtido a partir do outro por uma sequência de uma ou mais isometrias.
  • 37. 35 T T0 Temos os seguintes critérios de congruência de triângulos: dois triângulos T e T0 são congruentes se, e somente se, uma das seguintes condições for verdadeira: • podemos definir uma correspondência entre os lados de T e os lados de T0 de modo que lados correspondentes têm a mesma medida (critério LLL): isso significa que, se é possível construir um triângulo com três segmentos de reta dados, esse triângulo é único a menos de isometrias; • podemos definir uma correspondência entre dois lados de T e dois lados de T0 de modo que lados correspondentes têm a mesma medida e os ângulos determinados por esses pares de lados têm mesma medida (critério LAL): isso quer dizer que, se é possível construir um triângulo, dados dois segmentos de reta e o ângulo definido por eles (não-nulo e não-raso), esse triângulo é único a menos de isometrias; • podemos definir uma correspondência entre dois ângulos de T e dois ângulos de T0 de modo que ângulos correspondentes têm a mesma medida e os lados comuns a esses ângulos têm mesma medida (critério ALA): isso quer dizer que, se é possível construir um triângulo, dados um lado e os ângulos que contêm esse lado, esse triângulo é único a menos de isometrias. Recomendamos, a respeito, a leitura do seguinte material da OBMEP: http://clubes.obmep. org.br/blog/sala-para-leitura_024-um-pouco-sobre-congruencia-de-triangulos/ e https: //cdnportaldaobmep.impa.br/portaldaobmep/uploads/material_teorico/hiphzxsnhjk88.pdf 3) a 5) Os triângulos PAQ e PCQ não são semelhantes. Se houvesse uma relação de semelhança entre PAQ e PCQ, o lado PQ em PAQ não poderia corresponder a CP ou a CQ no triângulo PCQ, pois, do contrário, a razão de semelhança seria CP PQ ou CQ PQ e, em um caso ou no outro, seria maior que 1. Mas, sendo assim, um dos lados AP ou AQ em PAQ deveria corresponder ao lado PQ em PCQ. Teríamos, então, razão de semelhança PQ AP ou PQ AQ , um número menor que 1. Logo, o lado PQ em PAQ deveria corresponder, em uma relação de semelhança, ao lado PQ em PCQ. Mas essa possibilidade também não ocorre, pois analisando a figura, constatamos que o ângulo de PAQ em P tem medida maior que o ângulo de PCQ em P; por outro lado, o ângulo de PAQ em Q tem medida menor que o ângulo de PCQ em Q. Argumentos similares mostram que os triângulos PAQ e PBQ não são semelhantes; da mesma forma, demonstramos que os triângulos PBQ e PCQ não são semelhantes. 6) e 7) Todos os triângulos destacados na figura seguinte têm altura com medida igual a 8 cm: os segmentos AA0, BB0, CC0, DD0 e EE0 são perpendiculares à reta suporte da base PQ dos triângulos PAQ, PBQ, PCQ, PDQ e PEQ. Todos esses segmentos têm medida igual a 8 cm. Como PQ mede 4 cm, a área de cada um desses triângulos é igual a 4 · 8 2 = 16 cm2 .
  • 38. 36 A B C D E P Q A0 B0 C0 D0 E0 8) e 9) Usando o Teorema de Pitágoras, temos AP = DP = BQ = EQ = p 62 + 82 = √ 36 + 64 = √ 100 = 10 cm, BP = CP = CQ = DQ = p 22 + 82 = √ 4 + 64 = √ 4 · 17 = 2 √ 17 cm, EP = AQ = p 102 + 82 = √ 100 + 64 = √ 4 · 41 = 2 √ 41 cm. Portanto, perímetro de PAQ = perímetro de PEQ = 4 + 10 + 2 √ 41 = 2(7 + √ 41) cm, perímetro de PBQ = perímetro de PDQ = 4 + 10 + 2 √ 17 = 2(7 + √ 17) cm, perímetro de PCQ = 4 + 2 √ 17 + 2 √ 17 = 4(1 + √ 17) cm. 10) O ângulo no vértice P do triângulo PCQ tem tangente dada por tg(∠P) = CC0 PC0 = 8 2 = 4. Da mesma forma tg(∠Q) = CC0 QC0 = 8 2 = 4. Agora, calculemos o seno desses ângulos: temos sen(∠P) = CC0 PC = 8 2 √ 17 = 4 √ 17 e sen(∠Q) = CC0 QC = 8 2 √ 17 = 4 √ 17 · Finalmente, o cosseno desses ângulos é dado por cos(∠P) = PC0 PC = 2 2 √ 17 = 1 √ 17 e cos(∠Q) = QC0 QC = 2 2 √ 17 = 1 √ 17 Note que tg(∠P) = sen(∠P) cos(∠P) e sen2 (∠P) + cos2 (∠P) = 1. O cálculo das razões trigonométricas no vértice C requer o uso de algumas expressões trigonométricas e pode ser dispensado numa primeira leitura desse material. Temos sen(∠C) = 2 sen(∠C/2) cos(∠C/2) = 2 · 1 √ 17 · 8 2 √ 17 = 8 17
  • 39. 37 e cos(∠C) = cos2 (∠C/2) − sen2 (∠C/2) = 16 17 − 1 17 = 15 17 · Logo, tg(∠C) = sen(∠C) cos(∠C) = 8 15 · Temos os seguintes critérios de semelhança de triângulos: dois triângulos T e T0 são semelhantes se, e somente se, uma das seguintes condições for verdadeira: • podemos definir uma correspondência entre os lados de T e os lados de T0 de modo que lados correspondentes têm medidas proporcionais (critério LLL): a constante de proporcionalidade entre essas medidas é a razão de semelhança entre os triângulos; • podemos definir uma correspondência entre dois lados de T e dois lados de T0 de modo que lados correspondentes têm medidas proporcionais e os ângulos determinados por esses pares de lados têm mesma medida (critério LAL); • podemos definir uma correspondência entre os ângulos internos de T e os ângulos internos de T0 de modo que ângulos correspondentes têm a mesma medida (critério AAA). Recomendamos, a respeito, a leitura do seguinte material da OBMEP: https://cdnportaldaobmep. impa.br/portaldaobmep/uploads/material_teorico/c72gbsow17sow.pdf Questão 20 — SAEPE - Item M120392ES. No desenho abaixo estão representados os triângulos I, II, III e IV e suas medidas em centímetros. O par de triângulos semelhantes nesse desenho é A) I e II. B) I e III. C) I e IV. D) II e IV. E) III e IV. Solução. Podemos colocar os lados com medidas 6 cm e 8 cm no triângulo I em correspondência com os lados do triângulo III cujas medidas são 12 cm e 16 cm. Esses pares de lados determinam, tanto no triângulo I quando no triângulo III, um ângulo reto. Portanto, pelo critério LAL, os triângulos I e III são semelhantes com razão de semelhança igual a 2. Note que é possível também usar o critério LLL, apenas observando que o lado com medida 10 cm no triângulo I é posto em correspondência com o lado no triângulo III cuja medida é 20 cm. Completando a resolução, observamos, ainda, que nenhum dos triângulos II e IV é retângulo, ou seja, nenhum dos dois tem um ângulo reto. Logo, não podem ser semelhantes a I e III. Além disso, não há como definir uma correspondência entre os lados de II e IV de modo que as respectivas medidas sejam proporcionais. De fato, comparando os respectivos lados, daquele de maior medida para o de menor medida, temos 12 24 6= 10 12 · Portanto, a alternativa correta é B).
  • 40. 38 Questão 21 — SAEPE - Item M110375E4. Observe os triângulos abaixo. Qual desses triângulos são semelhantes? A) I, II e III. B) I, II e V. C) I e III. D) II e IV. E) III e V. Solução. Usando o critério AAA de semelhança de triângulos, constatamos que os triângulos I e II são semelhantes. Observamos, além disso, que, no triângulo V, a medida do ângulo não informada na figura é igual a 180◦ − 40◦ − 105◦ = 35◦ . Logo, os ângulos internos em V são iguais aos ângulos internos correspondentes em I. Logo, usando uma vez mais o critério AAA, concluímos que os triângulos I e V são também semelhantes. Finalmente, podemos verificar que os ângulos internos nos triângulos III e IV não são todos iguais aos ângulos internos em I. Além disso, não há igualdade entre os ângulos internos de III e os ângulos internos de IV. Portanto, não são semelhantes um ou outro e não são semelhantes a I, III e V. Concluímos que a alternativa correta é B) Observação 0.8 Com a ajuda de seu professor(a), faça desenhos geométricos, usando uma malha quadriculada, para “comprovar” que dois triângulos OAB e O0A0B0 são semelhantes se uma das seguintes condições ocorre: a) têm ângulos (digamos, em O e O0) com mesma medida e as razões entre os lados OA/O0A0 e OB/O0B0 são iguais; ou b) ângulos correspondentes têm a mesma medida, ou seja, ∠O = ∠O0, ∠A = ∠A0, ∠B = ∠B0. Nesse caso, “comprove”, em seus desenhos, que a razão entre os perímetros dos triângulos é igual a razão entre seus lados e que a razão entre suas áreas é igual ao quadrado da razão entre os lados. Observação 0.9 No percurso, até este ponto, trabalhamos problemas envolvendo semelhança de figuras planas enfatizando as conexões desse tópico com a ideia de proporcionalidade. Aproveitamos o contexto geométrico das questões com triângulos e quadriláteros para, lateralmente, revisitarmos o Teorema de Pitágoras e, então, utilizá-lo tanto no cálculo de perímetros quanto de razões trigo- nométricas. Destacamos, dentre as razões trigonométricas, a tangente, dado que essa razão surge, naturalmente, no estudo da declividade de retas no plano cartesiano e, portanto, na interpretação geométrica do coeficiente angular na expressão algébrica de funções afins. Alcançado esse objetivo, aprofundamos, nesse final de percurso, o estudo de áreas e perímetros em conexão com os descritores D11 e D12 da Matriz de Referência do SAEB. Na seção seguinte, retomamos os conhecimentos sobre coordenadas no plano, proporcionalidade, semelhança e declividade de retas ao estudarmos as funções afins e as equações lineares.
  • 41. 39 Questão 22 Na figura seguinte, os quadrados que formam a malha quadriculada têm lados medindo 2 cm cada um. Sendo assim, qual o perímetro da figura em forma de cruz destacada na figura seguinte? A) 21 cm B) 28 cm C) 32 cm D) 56 cm E) 64 cm Solução. Uma forma direta, mas trabalhosa e sujeita a erros, é contar o número de segmentos de 2 cm que compõem a figura. Em cada braço da cruz, temos 6 + 2 desses segmentos. Logo, multiplicando esse número por 2 e tendo em conta que a cruz tem 4 braços, obtemos 2 · 4 · (6 + 2) = 64 cm. Uma abordagem alternativa é transladar os segmentos que compõem a cruz e, com isso, constatar que obtemos o perímetro externo do quadrado: De um modo ou de outro, obtemos a resposta 64 cm, ou seja, a alternativa correta é E). Questão 23 — SPAECE - Item M110782E4. O desenho abaixo apresenta as dimensões da laje da casa de Isadora. Ela irá colocar um muro de proteção nessa laje e, para calcular a quantidade de material a ser comprado, precisou medir o seu contorno.
  • 42. 40 Qual é o perímetro da laje dessa casa? (a) 58 m (b) 116 m (c) 232 m (d) 360 m (e) 720 m Solução. Para calcular o perímetro do retângulo, devemos somar 40 + 18 + 40 + 18 = 80 + 36 = 116 m. Logo, a resposta correta é a alternativa B). Questão 24 — SAEPE - Item M120195H6. Paulo comprou um terreno retangular de 120 000 m2. Esse terreno possui 200 m de largura. Quanto mede o comprimento desse terreno? A) 200 m B) 300 m C) 400 m D) 600 m E) 800 m Solução. A área do retângulo é o produto de suas dimensões, ou seja, comprimento · largura = 120 000. Como a largura é igual a 200 m, deduzimos que comprimento = 120 000 200 = 1 200 2 = 600 m. A resposta correta é a alternativa D). Questão 25 — SAEPE - Item M120195H6. Observe no desenho abaixo o projeto da quadra de basquete que será construída no condomínio em que Bruno mora. A medida da área dessa quadra de basquete, em metros quadrados, será A) 480. B) 240. C) 92. D) 46. E) 14. Solução. A área da quadra retangular é dada pelo produto de suas medidas lineares, ou seja, por 30 · 16 = 480 m2. A resposta correta é a alternativa A). Questão 26 Dê exemplos de retângulos com mesma área e perímetros diferentes, e vice-versa. Solução. A figura a seguir mostra vários exemplos de retângulos com mesma área (16 cm2) e perímetros diferentes. Pense um pouco para decidir qual deles têm menor perímetro. Considere que os quadrados que formam a malha quadriculada têm lados medindo 1 cm cada um.
  • 43. 41 Para reforçar o entendimento a respeito da distinção entre perímetro e área, vejamos alguns exemplos de retângulos com mesmo perímetro e áreas diferentes. Desta vez, analise qual desses retângulos tem maior área. Questão 27 Observe as letras S e T desenhadas geometricamente na seguinte figura: Podemos afirmar que A) a área da letra S é menor do que a área da letra T. B) a área da letra S é igual a área da letra T. C) o perímetro da letra S é igual ao perímetro da letra T. D) o perímetro da letra S é maior do que o perímetro da letra T. Solução. Seja a a medida do lado de cada um dos quadrados que compõem a malha quadriculada.
  • 44. 42 Então perímetro de S = 18a e perímetro de T = 16a ao passo que área de S = 8a2 e perímetro de T = 7a2 . Logo, a alternativa correta é D). Questão 28 — SAEPE - Item M100270E4. Marta comprou um terreno na forma de trapézio cujas medidas estão representadas no desenho abaixo. Para construir um muro em torno desse terreno, ela precisa calcular o seu perímetro. Qual é o perímetro desse terreno? A) 12 m B) 20 m C) 24 m D) 32 m E) 40 m Solução. O perímetro é dado por 4 + 4 + 6 + 10 = 24 m, o que corresponde à alternativa C). Questão 29 Qual a área do terreno de Marta? A) 20 m2 B) 24 m2 C) 32 m2 D) 8 √ 12 m2 E) 10 √ 12 m2 Solução. O cálculo da área requer determinarmos a altura h do trapézio, ou seja, a distância entre os segmentos que são paralelos, chamados bases. Veja que a diferença entre as medidas das bases é igual a 10 − 6 = 4 metros. Pela simetria da figura, deduzimos que 22 + h2 = 42 , ou seja, h2 = 16 − 4 = 12. Portanto, h = 2 √ 3 metros. Com essa medida, podemos dividir o trapézio em dois triângulos sem sobreposição, um dos quais tem base 10 m e a altura do trapézio; e outro, que tem base 6 m e altura do trapézio. Sendo assim, a área do trapézio e a soma das áreas desses triângulos, ou seja, 10 · 2 √ 3 2 + 6 · 2 √ 3 2 = (10 + 6) · 2 √ 3 2 = 16 · √ 3 = 8 · 2 · √ 3 = 8 · √ 4 · 3 = 8 · √ 12 m2 . Questão 30 Marcos tem um terreno na forma de um quadrado. A seguinte figura representa esse terreno, visto de cima, dividido em quadrados de lados iguais a 10 m.
  • 45. 43 R Se Marcos deseja construir um muro separando as duas partes do terreno destacadas na figura, quantos metros teria esse muro? A) 48 m B) 200 m C) 240 m D) 400 m E) 480 m Solução. Observe que, deslocando os segmentos horizontais e verticais que formam o muro, preen- chemos o perímetro inteiro do terreno, sem sobreposições. Portanto, o perímetro do muro é igual ao perímetro do terreno, ou seja, igual a 4 · 120 = 480m. Questão 31 A área da região R na figura corresponde a que percentual da área total do terreno? A) 48% B) 50% C) 72% D) 75% Solução. Deslocando quatro dos quadrados que formam a parte murada, obtemos duas partes do terreno que são exatamente simétricas. Concluímos que a parte murada corresponde à metade, ou seja, 50% da área do terreno total. Logo, a resposta correta é B). Questão 32 Na seguinte figura, cada um dos 64 quadrados que formam o quadrado maior tem lados medindo 1 unidade de comprimento. 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 O Qual a razão entre a área destacada e área total do quadrado? Solução. Para determinarmos essa razão, basta reconhecermos que a figura pode ser decomposta em 8 triângulos cuja base mede 3 unidades de comprimento e cuja altura, relativa a essa base, mede 2 unidades de comprimento, conforme a seguinte figura:
  • 46. 44 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 O Portanto, a área da figura corresponde a 8 · 3 · 2 2 = 24 unidades de área ao passo que o quadrado como um todo tem 64 unidades de área. Logo, a razão entre a área da figura e a área do quadrado é igual a 24 64 = 3 8 · Questão 33 Na figura abaixo, estão representados os trapézios ABCD e MNOP, os quais são semelhantes. 80 m N M P O D C B A x x 64 m y 25,6 m 32 m De acordo com a figura, faça as seguintes atividades. A) Identifique os pares de ângulos internos nos trapézios que são congruentes. B) Determine a razão (de proporcionalidade) entre as medidas dos lados AB e MN. C) Determine as medidas x e y. D) Determine os perímetros dos dois trapézios e, em seguida, calcule a razão entre esses perímetros. E) Determine a área do trapézio MNOP. F) Determine a razão entre as áreas dos dois trapézios e a utilize para calcular a área do trapézio ABCD. Solução. A) A relação de semelhança implica igualdade das medidas de pares de ângulos internos correspondentes. Temos: ∠A = ∠M, ∠B = ∠N, ∠C = ∠O, ∠D = ∠P.
  • 47. 45 B) A razão de semelhança entre as medidas de lados correspondentes nos trapézios ABCD e MNOP é dada pela razão, por exemplo, entre as medidas dos segmentos correspondentes AB e MN, ou seja, por 64 80 = 64 : 16 80 : 16 = 4 5 · C) Usando essa razão de semelhança e considerando que os lados AD e MP são correspondentes, temos 25,6 x = 4 5 , ou seja, x = 5 4 · 25,6 = 5 · 24,0 + 1,6 4 = 5 · (6 + 0,4) = 30 + 2 = 32 m. Da mesma forma, como os lados CD e OP são correspondentes, temos y 32 = 4 5 , de onde segue que y = 4 5 · 32 = 4 · 64 10 = 4 · 6,4 = 25,6 m. D) O perímetro de ABCD é dado por 64 + 25, 6 + 25, 6 + y = 64 + 3 · 25,6 = 64 + 75 + 1,8 = 140,8 m ao passo que o perímetro de MNOP é igual a 80 + x + x + 32 = 80 + 3 · 32 = 80 + 96 = 176 m Não é preciso, de fato, calcular explicitamente os dois perímetros, pois, pela relação de semelhança, é necessário que o perímetro de ABCD seja igual a 4 5 do perímetro de MNOP. De fato, verificamos essa razão de semelhança dividindo 140,8 176 = 8,8 11 = 0,8 = 4 5 · E) Para calcular a área de MNOP, determinamos, inicialmente, a altura desse trapézio relativa à base MN. Usamos, para tanto, o Teorema de Pitágoras conforme a seguinte figura. 80 m 32 m h 32 m 24 m
  • 48. 46 Note que, na figura, um dos catetos do triângulo retângulo mede 24 m, visto que 80 − 32 = 48 m é a diferença das medidas dos lados MN e OP. Dividindo essa diferença por 2, obtemos a medida do cateto. Sendo assim, temos h2 + 242 = 322 , ou seja, h2 = 82 · (42 − 32 ) = 82 · 7. Portanto, h = 8 √ 7 m. Agora, observamos que o trapézio MNOP pode ser decomposto em dois triângulos, com altura h e bases MN e OP, conforme a seguinte figura. N M P O h Então, a área de MNOP é dada por 1 2 OP · h + 1 2 MN · h = √ 7 2 · (80 + 32) = 56 √ 7 m2 . F) A área de ABCD pode ser calculada diretamente, No entanto, é bem mais simples. usar o fato de que a razão entre as área dos trapézios semelhantes ABCD e MNOP é igual ao quadrado da razão de semelhança entre essas figuras. Uma vez que conhecemos a área de MNOP, o cálculo da área de ABCD leva em conta, portanto, que área de ABCD área de MNOP = 4 5 2 , e, portanto, área de ABCD = 16 25 · área de MNOP = 16 · 56 √ 7 25 = 35,84 · √ 7 m2 . Seção 2. Segundo percurso: coordenadas, proporcionalidade e funções As tarefas a seguir envolvem conhecimentos prévios fundamentais para desenvolver as habilidades nos seguintes descritores da Matriz de Referência do SAEB (terceira série do Ensino Médio): • D6 - Identificar a localização de pontos no plano cartesiano. • D7 - Interpretar geometricamente os coeficientes da equação de uma reta. • D15 - Resolver problema que envolva variações proporcionais, diretas ou inversas, entre grandezas. • D19 - Resolver situação problema envolvendo uma função de primeiro grau.
  • 49. 47 • D22 - Resolver problema envolvendo PA/PG, dada a fórmula do termo geral. • D20 - Analisar crescimento/decrescimento, zeros de funções reais apresentadas em gráficos. • D25 - Resolver problemas que envolvam os pontos de máximos ou de mínimo no gráfico de uma função do segundo grau. Questão 34 Em seu caderno, desenha uma malha quadriculada representando o plano cartesiano, de acordo com os seguintes passos: a) trace duas retas r e s perpendiculares uma a outra; b) denote o ponto de intersecção de r e s por O; c) trace retas paralelas a r, de modo que a distância entre duas retas consecutivas seja sempre a mesma (digamos, 1 centímetro); d) trace retas paralelas a s, de modo que a distância entre duas retas consecutivas seja sempre a mesma da letra c (digamos, 1 centímetro). Observe que, com esse procedimento, você “divide” o plano em quadrados de lados com medidas iguais a 1 centímetro. Quando finalizar seu desenho, marque, no seu modelo de plano cartesiano, os pontos (2, 0), (0, 2), (2, 2), (2, 1/2), (1/2, 3/2) e (4/10, 6/10). Solução. Na figura a seguir, representamos o primeiro quadrante do plano cartesiano, cujos pontos são associados a coordenadas cartesianas não-negativas. As linhas mais espessas estão a distância de 1 unidade de medida uma da outra; as linhas menos espessas estão distantes uma da outra por 1/10 dessa unidade de medida. 2/10 4/10 6/10 8/10 10/10 12/10 14/10 16/10 18/10 20/10 2/10 4/10 6/10 8/10 10/10 12/10 14/10 16/10 18/10 20/10 A B C D E F x y Note que A = (2,0) = (20/10, 0), B = (0, 2) = (0, 20/10), C = (2, 2) = (20/10, 20/10), D = (2, 1/2) = (2; 0,5) = (20/10, 5/10), E = (1/2, 3/2) = (0,5; 1,5) = (5/10, 15/10), F = (4/10, 6/10). Observe que os pontos A, E e B estão alinhados e que a soma das coordenadas de cada um desses pontos é igual a 2.
  • 50. 48 Questão 35 a) Marque, no plano cartesiano abaixo, os pontos com coordenadas A = (−4, 3) B = (−4, −3) C = (3, 4) D = (−3, 4) E = (4, −3) F = (4, 3) −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 b) Determine para quais desses pontos as coordenadas (x, y) satisfazem a equação y = x + 1. Em seguida, trace uma reta contendo esses pontos. c) Faça o mesmo com relação à equação y = −x + 1. Solução. a) Temos −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 y = x + 1 y = −x + 1 A B C D E F b) As coordenadas de B são x = −4 e y = −3. Logo, satisfazem a equação y = x + 1, pois y = −4 = −3 + 1 = x + 1. Da mesma forma, as coordenadas de C são x = 3 e y = −4. Portanto, satisfazem y = 4 = 3 + 1 = x + 1. Note que a razão entre a variação da coordenada y e a variação da coordenada x de B a C é dada por ∆y ∆x = 4 − (−3) 3 − (−4) = 7 7 = 1. Logo, a cada aumento de 1 unidade na variável x, há um aumento de 1 unidade na variável y. Isso significa que a declividade da reta contendo esses pontos é 1. Dito de outro modo, um ponto (x, y)
  • 51. 49 pertence a essa reta se, e somente se, y − (−3) x − (−4) = 1, ou seja, se e somente se, y + 3 = x + 4, equação que pode ser escrita como y = x + 1. Concluímos que, de fato, um ponto (x, y) pertence à reta que contém B e C se, e somente se, y = x + 1. Isso significa que essa reta é o gráfico da função y = x + 1. Nessa expressão, y é uma função afim de x. Note que o gráfico intersecta o eixo vertical (eixo das ordenadas) quando x = 0 e y = 1. c) As coordenadas de D são x = −3 e y = 4. Logo, satisfazem a equação y = −x + 1, pois y = 4 = −(−3) + 1 = −x + 1. Da mesma forma, as coordenadas de E são x = 4 e y = −3. Portanto, satisfazem y = −3 = −4 + 1 = −x + 1. A reta (pontilhada na figura anterior) que contém D e E é gráfico da função afim y = −x + 1. O coeficiente angular dessa função é −1: isso significa que o aumento de 1 unidade na variável x implica a diminuição de 1 unidade na variável 1, ou seja, ∆y ∆x = −1. Por exemplo, a taxa de variação entre a variação da coordenada y e a variação da coordenada x do ponto D para o ponto E é dada por −3 − 4 4 − (−3) = −7 7 = −1. Logo, um ponto (x, y) pertence à reta contendo D e E se, e somente se, y − 4 x − (−3) = −1, isto é, se e somente se, y − 4 = −(x + 3), ou seja, y = −x − 3 + 4 = −x + 1. Note que o coeficiente linear dessa função afim é igual a 1: isso significa que, quando x = 0, temos y = 1, ou seja, o ponto (0,1) é a intersecção do gráfico da função com o eixo vertical.
  • 52. 50 Caro(a) professor(a), aproveite a discussão desta questão para revisar os chamados “jogos de sinais” na adição de números inteiros; outro tópico que pode ser revisado é a expressão decimal de frações (usada para localizar, na reta numérica, os pontos correspondentes a 1/2, 3/2, e assim por diante). Questão 36 — PAEBES - Item M120205G5, adaptado. Observe o plano cartesiano abaixo. −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −2 −1 1 2 3 4 5 H L R S F O Os pontos que têm coordenadas (−2, −2) e (1, 3) são, respectivamente, A) O e R. B) S e R. C) H e R. D) O e L. E) O e F. Solução. Temos a seguinte correspondência entre os pontos destacados na figura e suas coordenadas cartesianas: F = (3, 1), H = (−2, 2), L = (−1, 3), R = (1, 3), S = (2, 2), O = (−2, −2). A alternativa correta é A). Questão 37 — SAEPE - Item M120701H6, adaptado. Observe os pontos P, Q, R, S e T representados no plano cartesiano abaixo. P Q R S T Em qual desses pontos a abscissa é −3 e a ordenada é −2? A) P B) Q C) R D) S E) T Solução. Temos a seguinte correspondência entre os pontos destacados na figura e suas coordenadas cartesianas: P = (−2, −3), Q = (3, −2), R = (3, 2), S = (−3, 2), T = (−3, −2). A alternativa correta é E). A sequência das questões 38 a 44 faz referência à figura no enunciado da questão 38.
  • 53. 51 Questão 38 Observe os seguintes gráficos no plano cartesiano, em que alguns pontos estão destacados. 10 x1 30 2 000 4 000 6 000 8 000 10 000 12 000 14 000 16 000 18 000 20 000 22 000 P (10, y0) (20, y1) Q R S variável x variável y (x0, 8 000) (x1, 7 000) Determine os seguintes dados: 1) As coordenadas x0 e x1. 2) As coordenadas y0 e y1. 3) As coordenadas dos pontos P e Q. 4) As coordenadas dos pontos R e S. Solução. 1) A coordenada x0 pode ser lida diretamente na figura: veja que é abscissa do ponto (x0, 8 000), ou seja, x0 = 10. Já a coordenada x1 não está explicitamente informada na figura, embora seja razoável considerar x1 = 20. De fato, x1 é o ponto médio, no eixo horizontal, entre os pontos 10 e 30. 2) A coordenada y0 pode ser lida diretamente na figura: veja que é abscissa do ponto (10, y0), ou seja, y0 = 18 000. Já a coordenada y1 não está explicitamente informada na figura, embora seja razoável considerar y1 = 15 000. De fato, y1 é o ponto médio, no eixo vertical, entre os pontos 14 000 e 16 000. 3) Os pontos P e Q têm coordenadas dadas, respectivamente, por (0, 21 000) e (30, 12 000). 4) Os pontos R e S têm coordenadas dadas, respectivamente, por (0, 9 000) e (30, 6 000). Caro(a) professor(a), para comprovar todas essas afirmações e aproveitar a questão no estudo de funções afins (e de suas representações gráficas e algébricas), observe que é possível determinar as funções cujos gráficos são as retas destacadas no plano cartesiano da figura. No caso da reta pontilhada, que contém os pontos (x0, 8 000) = (10, 8 000) e S = (30, 6 000), a taxa de variação entre as variação da ordenada e a variação da abscissa entre esses pontos é dada por 6 000 − 8 000 30 − 10 = −2 000 20 = −100. Portanto, o coeficiente angular da função deve ser a = −100. Essa informação já nos permite determinar precisamente as coordenadas do ponto R = (0, b). De fato, a taxa de variação entre a variação da ordenada e a variação da abscissa do ponto R ao ponto S é também igual a −100 e,
  • 54. 52 portanto, 6 000 − b 30 − 0 = −100. Logo, 6 0000 − b = −3 000, ou seja, b = 9 000, como já havíamos intuído, na resolução da questão, a partir da análise da figura. Concluímos que o coeficiente linear da função é dado por b = 9 000. Logo, a função afim cujo gráfico é a reta pontilhada contendo R e S é dada por y = −100 | {z } =a x + 9 000 | {z } =b . No que diz respeito à reta contínua, que contém os pontos (10, y0) = (10, 18 000) e Q = (30, 12 000), a taxa de variação entre as variação da ordenada e a variação da abscissa entre esses pontos é dada por 12 000 − 18 000 30 − 10 = −6 000 20 = −300. Portanto, o coeficiente angular da função deve ser a = −300. Essa informação já nos permite determinar precisamente as coordenadas do ponto P = (0, b). De fato, a taxa de variação entre a variação da ordenada e a variação da abscissa do ponto P ao ponto Q é também igual a −100 e, portanto, 12 000 − b 30 − 0 = −300. Logo, 12 0000 − b = −9 000, ou seja, b = 21 000, como já havíamos intuído, na resolução da questão, a partir da análise da figura. Concluímos que o coeficiente linear da função cujo gráfico contém os pontos P e Q é dado por b = 21 000. Logo, essa função afim é dada por y = −300 | {z } =a x + 21 000 | {z } =b . Questão 39 No plano cartesiano representado na figura da questão 38, marque os pontos cujas coordenadas são 1) (0, 6 000) 2) (10, 12 000) 3) (15, 0) 4) (20, 11 000) 5) (25, 6 500) Solução. Temos 10 20 30 2 000 4 000 6 000 8 000 10 000 12 000 14 000 variável x variável y (0, 6 000) (10, 12 000) (15, 0) (20, 11 000) (25, 6 500)
  • 55. 53 Questão 40 Observe, na figura da questão 38, o gráfico representado pela linha contínua que contém os pontos P e Q. Qual dos seguintes pontos pertence a esse gráfico? 1) (0, 20 000) 2) (10, 20 000) 3) (15, 16 500) 4) (15, 15 000) 5) (25, 15 000) Solução. Denotando A = (0, 20 000), B = (10, 20 000), C = (15, 16 500), D = (15, 15 000), E = (25, 15 000), constatamos que apenas C = (15, 16 500) pertence à reta contendo P e Q. Isso pode ser confirmado usando a expressão da função afim cujo gráfico é essa reta. De fato, temos −300 · 15 + 21 000 = −4 500 + 21 000 = 16 500. 10 20 30 2 000 4 000 6 000 8 000 10 000 12 000 14 000 16 000 18 000 20 000 22 000 P (10, y0) (20, y1) Q A B C D E variável x variável y Questão 41 Observe, na figura da questão 38, o gráfico representado pela linha pontilhada que contém os pontos R e S. Qual dos seguintes pontos pertence a esse gráfico? 1) (0, 10 000) 2) (5, 9 000) 3) (15, 8 000) 4) (15, 7 500) 5) (25, 6 000) Solução. Denotando A = (0, 10 000), B = (5, 9 000), C = (15, 8 000), D = (15, 7 500), E = (25, 6 000), temos 10 20 30 2 000 4 000 6 000 8 000 10 000 R S A B C D E variável x variável y (x0, 8 000) (x1, 7 000)
  • 56. 54 Observamos que apenas D = (15, 7 500) pertence à reta contendo R e S. Isso pode ser confirmado usando a expressão da função afim cujo gráfico é essa reta. De fato, temos −100 · 15 + 9 000 = −1 500 + 9 000 = 7 500. Questão 42 Trace, na figura da questão 38, o gráfico representado por uma linha reta que contenha os pontos (0, 16 000) e (30, 11 000). Solução. Denote A = (0, 16 000) e B = (30, 11 000). A reta desejada, contendo os pontos A e B, está indicada na figura seguinte. 10 20 30 2 000 4 000 6 000 8 000 10 000 12 000 14 000 16 000 18 000 20 000 22 000 P (10, 18 000) (20, 15 000) Q R S A B variável x variável y (10, 8 000) (20, 7 000) Cabe observar que a declividade desta reta é dada pela taxa de variação entre a variação da variável y e a variação da variável x do ponto A para o ponto B, ou seja, 11 000 − 16 000 30 − 0 = −5 000 30 = − 500 3 · Além disso, a reta intersecta o eixo vertical em A = (0, 16 000). Logo, a reta é gráfico da função afim y = − 500 3 x + 16 000, em que o coeficiente angular é a = −500/3 e o coeficiente linear b = 16 000. Questão 43 Trace, na figura da questão 38, a linha reta que corresponde ao gráfico da função afim y = 1 000x + 4 000. Solução. Tomando x = 0 na expressão da função, temos y = 1 000 · 0 + 4 000 = 4 000. Logo, o gráfico dessa função intersecta o eixo vertical no ponto A = (0, 4 000). Por outro lado, o valor da função quando x = 20 é dado por y = 1 000 · 20 + 4 000 = 24 000. Portanto, o gráfico da função é a reta que contém os pontos A = (0, 4 000) e B = (20, 24 000).
  • 57. 55 10 20 30 2 000 4 000 6 000 8 000 10 000 12 000 14 000 16 000 18 000 20 000 22 000 24 000 A B variável x variável y Questão 44 Trace, na figura da questão 38, a linha reta que corresponde ao gráfico da função afim y = −4 000x + 20 000. Solução. Tomando x = 0 na expressão da função, temos y = −4 000 · 0 + 20 000 = 20 000. Logo, o gráfico dessa função intersecta o eixo vertical no ponto A = (0, 4 000). Por outro lado, o valor da função quando x = 5 é dado por y = −4 000 · 5 + 20 000 = 0. Portanto, o gráfico da função é a reta que contém os pontos A = (0, 4 000) e B = (5, 0). 10 5 2 000 4 000 A B variável x variável y Observação 0.10 A linha contínua que contém os pontos P e Q na figura da questão 38 é parte do gráfico que representa a função afim y = ax + b, (11) cujos coeficientes são dados por a = −300 e b = 21 000. Logo, a função afim representada por esse gráfico é dada por y = −300x + 21 000.
  • 58. 56 Vejamos como determinar esses coeficientes. Para tanto, observe, inicialmente, que o ponto P tem coordenadas (0, 21 000) e o ponto Q tem coordenadas (30, 12 000). Sendo assim, a variação da variável x do ponto P para o ponto Q é dada por 30 − 0 e a variação correspondente da variável y é dada por 12 000 − 21 000 = −9 000. Logo, a taxa de variação de y com relação a x é dada pela razão 12 000 − 21 000 30 − 0 = −9 000 30 = −300. Concluímos que o coeficiente a em (11) é igual a taxa de variação, ou seja, a = −300. Quanto ao coeficiente b em (11), observe que esse é o valor da variável y quando x = 0, pois y(0) = a · 0 + b = b. No nosso exemplo, temos y(0) = −300 · 0 + b = 21 000. Observe que (0, 21 000) são exatamente as coordenadas do ponto P em que o gráfico intersecta o eixo y. Em resumo, dada uma função afim y = ax + b, 1) o coeficiente a, denominado coeficiente angular, é dado pela taxa de variação da função: dados dois pontos P = (x0, y0) e Q = (x1, y1) no gráfico da função, temos a = y1 − y0 x1 − x0 , onde y0 = ax0 + b, y1 = ax1 + b. 2) Já o coeficiente linear b é dado pela coordenada (vertical) do ponto em que o gráfico da função intersecta o eixo y, ou seja, b é o valor da função y quando x = 0. Logo, o ponto (0, b) pertence ao gráfico da função. Questão 45 a) Use o plano cartesiano representado na figura da questão 38 para traçar retas que contenham os seguintes pares de pontos: i) (0, 2 000) e (30, 20 000) ii) (10, 0) e (30, 20 000) iii) (10, 2 000) e (30, 20 000) iv) (5, 2 000) e (20, 17 000) v) (5, 5 000) e (25, 15 000) b) Em seguida, determine os coeficientes a e b das funções y = ax + b cujos gráficos são dados pelas retas que você traçou. c) Por fim, determine qual dessas retas contém o ponto (20, 10 000).
  • 59. 57 Solução. a) A seguinte figura mostra segmentos das retas r, s e t contendo, respectivamente, os pontos A = (0, 2 000) e P = (30, 20 000), B = (10, 0) e P = (30, 20 000); e C = (10, 2 000) e P = (30, 20 000). 10 20 30 2 000 4 000 6 000 8 000 10 000 12 000 14 000 16 000 18 000 20 000 22 000 24 000 t s r variável x variável y Agora, a seguinte figura mostra segmentos das retas m e n contendo, respectivamente, os pontos C = (5, 2 000) e Q = (20, 17 000), D = (5, 5 000) e R = (25, 15 000). 10 20 30 2 000 4 000 6 000 8 000 10 000 12 000 14 000 16 000 18 000 20 000 22 000 24 000 m n variável x variável y b) As declividades das retas r, s e t são, respectivamente, dadas pelas taxas de variação entre a variação das ordenadas e a variação das abscissas entre os pontos A e P. B e P; e C e P, respectivamente. Portanto, as declividades das retas r, s e t são, respectivamente, 20 000 − 2 000 30 − 0 = 18 000 30 = 600,
  • 60. 58 20 000 − 0 30 − 10 = 20 000 20 = 1 000 e 20 000 − 2 000 30 − 10 = 18 000 20 = 900. Além disso, a reta r intersecta o eixo vertical (eixo das ordenadas) no ponto A = (0, 2 000). Concluímos, assim, que a reta r é o gráfico da função afim y = 600x + 2 000. Por sua vez, a reta s é gráfico de função afim da forma y = 1 000x + b, em que o coeficiente linear b é a ordenada do ponto em que s intersecta o eixo vertical. A taxa de variação da função deste ponto ao ponto B é igual a 1 000 e, portanto, 0 − b 10 − 0 = 1 000. Assim, b = −10 000. Concluímos que a reta s é o gráfico da função afim y = 1 000x − 10 000. A reta s, por sua vez, intersecta o eixo vertical em um ponto (0, b), onde b satisfaz 2 000 − b 10 − 0 = 900. Logo, b = −7 000. Deduzimos, assim, que s é o gráfico da função afim y = 900x − 7 000. De modo similar, deduzimos que os coeficientes angular e linear da função afim cujo gráfico é m são dados por a = 17 000 − 2 000 20 − 5 = 15 000 15 = 1 000 e 2 000 − b 5 − 0 = 1 000, ou seja, b = −3 000. Assim, a reta m é gráfico da função afim y = 1 000x − 3 000. Da mesma forma, deduzimos que os coeficientes angular e linear da função afim cujo gráfico é n são dados por a = 15 000 − 5 000 25 − 5 = 10 000 20 = 500 e 5 000 − b 5 − 0 = 500, ou seja, b = 2 500. Assim, a reta n é gráfico da função afim y = 500x + 2 500. c) Pela análise dos gráficos nas figuras anteriores. o ponto (20, 10 000) pertence à reta s, ou seja, ao gráfico da função y = 1 000x − 10 000. De fato, se x = 20, então, neste caso, y = 1 000 · 20 − 10 000 = 10 000.
  • 61. 59 Questão 46 Observe os seguintes gráficos no plano cartesiano, em que alguns pontos estão destacados. 5 10 15 20 25 30 2 000 4 000 6 000 8 000 10 000 12 000 14 000 16 000 18 000 20 000 22 000 P A B C D E Q R A0 C0 D E0 S variável x variável y B0 D0 Determine os seguintes dados: 1) A variação da variável x entre os pontos P e B. 2) A variação da variável y entre os pontos P e B. 3) A taxa de variação de y em relação a x entre os pontos P e B. 4) A variação da variável x entre os pontos P e Q. 5) A variação da variável y entre os pontos P e Q. 6) A taxa de variação de y em relação a x entre os pontos P e Q. 7) O coeficiente angular (a) da função cujo gráfico contém os pontos P e Q. 8) O coeficiente linear (b) da função cujo gráfico contém os pontos P e Q. 9) O valor da variável y quando x = 7,5. Solução. 1) Temos ∆x = 10 do ponto P = (0, 21 000) ao ponto B = (10, 18 000). 2) Temos ∆y = 18 000 − 21 000 = −3 000 do ponto P = (0, 21 000) ao ponto B = (10, 18 000). 3) A taxa de variação entre a variação de y e a variação de x ponto P = (0, 21 000) ao ponto B = (10, 18 000) é igual a ∆y ∆x = −3 000 10 = −300. 4) Temos ∆x = 30 do ponto P = (0, 21 000) ao ponto Q = (30, 12 000). 5) Temos ∆y = 12 000 − 21 000 = −9 000 do ponto P = (0, 21 000) ao ponto Q = (10, 12 000). 6) A taxa de variação entre a variação de y e a variação de x ponto P = (0, 21 000) ao ponto Q = (30, 12 000) é igual a ∆y ∆x = −9 000 30 = −300. 7) O coeficiente angular é dada pela taxa de variação de y como função de x entre dois pontos quaisquer do gráfico. Nas etapas 1) a 6) anteriores, calculamos essa taxa de variação entre P e B e entre P e Q. Como esperado, observamos que a taxa de variação é a mesma nesses dois pares de pontos. Concluímos que o coeficiente angular da função afim é a = −300.