Probabilidades

ESTATÍSTICA PROFESSOR GERSON LEITE BEZERRA
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PROBABILIDADES
EVENTOS SIMPLES
1) Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 7 bolas
amarelas. Qual a probabilidade desta bola ser verde?
Neste exercício o espaço amostral possui 12 elementos, que é o número total
de bolas, portanto a probabilidade de ser retirada uma bola verde está na
razão de 5 para 12.
Sendo S o espaço amostral, e E o evento da retirada de uma bola verde,
matematicamente podemos representar a resolução assim:
A probabilidade desta bola ser verde é 5/12
2) Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as
três moedas caírem com a mesma face para cima?
SOLUÇÃO:
Através do princípio fundamental da contagem podemos determinar o número
total de agrupamentos ao lançarmos três moedas.
Como cada moeda pode produzir dois resultados distintos, três moedas irão
produzir 2 . 2 . 2 resultados distintos, ou seja, poderão produzir 8 resultados
distintos. Este é o nosso espaço amostral.
Dentre as 8 possibilidades do espaço amostral, o evento que representa todas
as moedas com a mesma face para cima possui apenas 2 possibilidades, ou
tudo cara ou tudo coroa, então a probabilidade será dada por:
A probabilidade das três moedas caírem com a mesma face para cima é igual a
1/4, ou 0,25, ou ainda 25%

EVENTOS SIMULTÂNEOS E INDEPENDENTES
O cálculo da probabilidade de eventos simultâneos determina a chance de dois
eventos ocorrerem simultânea ou sucessivamente.
A fórmula para o cálculo dessa probabilidade decorre da fórmula da
probabilidade condicional. Assim, teremos:
Se os eventos A e B forem independentes, ou seja, se o fato de ocorrer o
evento B não alterar a probabilidade de ocorrer o evento A, a fórmula para o
cálculo da probabilidade condicional será:
Para explorar o uso da fórmula e a maneira correta de interpretar os
problemas relacionados à probabilidade de eventos simultâneos.
Exercícios
1) Em dois lançamentos sucessivos de um mesmo dado, qual a probabilidade
de ocorrer um número maior que 3 e o número 2?
Solução: perceba que a ocorrência de um evento não influencia a
probabilidade de outro ocorrer, portanto são dois eventos independentes.
Vamos distinguir os dois eventos:
A: sair um número maior que 3 → temos como possíveis resultados os
números 4, 5 ou 6.
B: sair o número 2
Vamos calcular a probabilidade de ocorrência de cada um dos eventos.
Observe que no lançamento de um dado, temos 6 valores possíveis. Assim:
Dessa forma, teremos:

2) Um casal pretende ter filhos. Sabe-se que a cada mês a probabilidade da
mulher engravidar é de 20%. Qual é a probabilidade dela vir a engravidar
somente no quarto mês de tentativas?
Solução:
Sabemos que a probabilidade da mulher engravidar em um mês é de 20%,
que na forma decimal é igual a 0,2. A probabilidade dela não conseguir
engravidar é igual a 1 - 0,2, ou seja, é igual a 0,8.
Este exercício trata de eventos consecutivos e independentes (pelo menos
enquanto ela não engravida), então a probabilidade de que todos eles
ocorram, é dado pelo produto de todas as probabilidades individuais. Como a
mulher só deve engravidar no quarto mês, então a probabilidade dos três
meses anteriores deve ser igual à probabilidade dela não engravidar no mês,
logo:
0,1024 multiplicado por 100% é igual a 10,24%.
Então:
A probabilidade de a mulher vir a engravidar somente no quarto mês é de
10,24%.
2) Um saco contém 5 bolas pretas, 3 vermelhas e 2 brancas. Três bolas são
retiradas. Qual a probabilidade de se retirar 2 pretas e 1 vermelha?
a) sem reposição.
5 bolas pretas, 3 vermelhas e 2 brancas = 10 Bolas
Espaço Amostral = 10*9*8 = 720 possibilidades
P=preta = 5
V=Vermelha = 3
B=Branca = 2
PPV = PVP = VPP = 3*(5*4*3) = 180 Possibilidades
P=180/720 = 25%
Regra de Adição:
1) Em uma caixa há 2 fichas amarelas, 5 fichas azuis e 7 fichas verdes. Se
retirarmos uma única ficha, qual a probabilidade dela ser verde ou amarela?
Na parte teórica vimos que a probabilidade da união de dois eventos pode ser
calculada através da fórmula e no caso
da intersecção dos eventos ser vazia, isto é, não haver elementos em comum
aos dois eventos, podemos simplesmente utilizar .
Ao somarmos a quantidade de fichas obtemos a quantidade 14. Esta
quantidade é o número total de elementos do espaço amostral.

Neste exercício os eventos obter ficha verde e obter ficha amarela são
mutuamente exclusivos, pois a ocorrência de um impede a ocorrência do
outro, não há elementos que fazem parte dos dois eventos. Não há bolas
verdes que são também amarelas. Neste caso então podemos utilizar a
fórmula:
Note que esta fórmula nada mais é que a soma da probabilidade de cada um
dos eventos.
O evento de se obter ficha verde possui 7 elementos e o espaço amostral
possui 14 elementos, que é o número total de fichas, então a probabilidade do
evento obter ficha verde ocorrer é igual a 7/14:
Analogamente, a probabilidade do evento obter ficha amarela, que possui 2
elementos, é igual a 2/14:
Observe que poderíamos ter simplificado as probabilidades, quando então 7/14
passaria a 1/2 e 2/14 a 1/7, no entanto isto não foi feito, já que para
somarmos as duas probabilidades precisamos que elas tenham um
denominador comum:
Este exercício foi resolvido através da fórmula da probabilidade da união de
dois eventos para que você tivesse um exemplo da utilização da mesma e
pudesse aprender quando utilizá-la, mas se você prestar atenção ao
enunciado, poderá ver que poderíamos tê-lo resolvido de uma outra forma,
que em alguns casos pode tornar a resolução mais rápida. Vejamos:
Note que a probabilidade de se obter ficha azul é 5 em 14, ou seja, 5/14.
Então a probabilidade de não se obter ficha azul é 9 em 14, pois:
O 1 que aparece na expressão acima se refere à probabilidade do espaço
amostral.

Note que utilizamos o conceito de evento complementar, pois se não tivermos
uma ficha azul, só poderemos ter uma ficha verde ou uma ficha amarela, pois
não há outra opção.
A probabilidade de ela ser verde ou amarela é 9/14.
2) Deseja-se calcular a probabilidade de ser retirada uma carta vermelha ou
um rei. Seja: A = {carta vermelha} e B = {rei}. Evidentemente, A e B não são
mutuamente exclusivos, porque há duas cartas de reis vermelhas {rei de
ouros e rei de copas}. Assim:
P(A U B) = 26/52 + 4/52 – 2/52 = 28/52 = 7/13 = 53,85%
3) Com os dados dos exercício anterior, deseja-se determinar a probabilidade
de ser retirada uma carta de espadas ou um dama de ouros. Sejam: A ={carta
de espadas} e B = {dama de ouros}. Nesse caso, os eventos A e B são
mutuamente exclusivos, pois a = 0
Assim:
P(A U B) = 13/52 + 1/52 = 14/52 = 7/26 = 26,92%
Evento complementar
Ά = COMPLEMENTAR
Se A = {carta de paus}, então Ά = {qualquer carta exceto paus},
Assim: P(A) = 1 – P(Ά) ou P(Ά) = 1 – 13/52 = 75%
Faça:
Em uma bolsa há 5 moedas de R$1,00 e 10 moedas de R$0,50. Qual a
probabilidade de ao retirarmos 2 moedas obtermos R$1,50?
Solução:
O espaço amostral é 15*14 = 210 Possibilidades
Para obter 1,50 se obtém com uma moeda de 1 Real e Com Outra de O,50
= 5*10 ou com uma moeda de 0,50 e com outra de 1,00
=10*5
Total = 5*10 + 10*5 = 100 Possibilidades
Probabilidade = 100/210 = 47,61%

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