O documento discute métodos estatísticos para prever a probabilidade de eventos hidrológicos extremos como precipitação e cheias com base em séries históricas de dados. Ele explica como analisar distribuições de frequência de valores anuais totais e máximos usando leis de probabilidade como a curva normal de Gauss para estimar eventos raros com diferentes períodos de retorno.

1. PREVISÃO DE PRECIPITAÇÃO
PROBABILIDADE NOS PROJETOS
Em Engenharia o conhecimento das magnitudes das precipitações apresenta grande
interesse prático por sua freqüente aplicação nos projetos hidráulicos. Nos projetos de
vertedouros de barragens, no dimensionamento de canais, na definição das obras de desvio dos
cursos d'água, na determinação das dimensões de galerias de águas pluviais, deve-se conhecer a
magnitude das enchentes que poderiam ocorrer com uma determinada freqüência. Já nos
projetos de irrigação e abastecimento de água, há de se conhecer a grandeza das estiagens que
adviriam e com que freqüência ocorreriam. A freqüência é estabelecida com base no conceito de
período de retorno, como sendo o intervalo de tempo médio, em anos, para que um evento seja
igualado ou superado
Em geral, estruturas hidráulicas mais robustas devem ser projetadas para suportar
eventos extremos de magnitudes maiores. Cientes de que estruturas mais robustas implicam em
custos também maiores, os projetos são concebidos de maneira a admitir certo risco de falha
durante a sua vida útil, para que ele se viabilize economicamente. Tal risco é variável à medida
que trate de obras de maior ou menor responsabilidade. Para o dimensionamento de órgãos de
descarga, adota-se geralmente a enchente com período de retorno de 10.000 (decamilenar).
Construções provisórias, como enceradeiras, podem ser projetadas com menor segurança,
sendo, nesses casos, o período de retorno admitido de 20 a 50 anos.
Face ao exposto, pode-se dizer que o engenheiro deve dispor de elementos para avaliar
o provável risco associado a vazões de projeto. Tais análises só são possíveis com o suporte de
modelos de distribuição probabilística teóricos. Para tanto, realizam-se análises estatísticas de
eventos registrados no passado, verificando-se a freqüência associada a cada magnitude. Em
seguida, verifica-se o ajuste de tais dados a leis probabilísticas teóricas para, com o amparo das
mesmas, avaliar as probabilidades de eventos extremos maiores por extrapolação.
Há distribuições probabilísticas teóricas tipicamente ajustáveis a grandezas hidrológicas
como os totais precipitados anuais e máximos e mínimos anuais. Duas delas serão mostradas
aqui, a título de exemplo.
DISTRIBUIÇÃO DOS TOTAIS PRECIPITADOS
Tem-se verificado que quando a série de observações pluviométricas anuais é bastante longa, a
freqüência se adapta bem à lei de Gauss, segundo a qual a probabilidade, F(x), de um total anual
qualquer ser inferior a x; x um determinado total anual de precipitação, pode ser expressa
como:
∫∞−
−
=
z
z
dzexF 2/2
2
1
)(
π
44

2. onde:
z = variável reduzida da distribuição normal, aqui denominada variável normal,
σ
µ−
=
x
z ;
µ= média aritmética dos dados observados
σ=desvio padrão dos valores observados
1
)(
1
2
−
−
=
∑=
n
x
n
i
i µ
σ
No caso da Distribuição Normal, o período de retorno é definido por:
)](1[
1
xF
T
−
=
Observar que F(x) corresponde à integral da curva normal de distribuição de
probabilidade, conforme ilustra a Fig.1. A mesma figura mostra, que a curva é simétrica em
relação à média, possibilitando que, conhecido F(x), seja avaliado [1-F(x)].
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-3 -2 -1 0 1 2 3
z
e
-z*z/2
F(x) [1-2.F(x)] F(x)
Curva de Gauss
O ajuste da série de valores anuais de precipitação segundo a curva normal pode ser
facilitado pelo uso de papéis de probabilidade, no qual a distribuição normal se apresenta
como uma reta que passa por 3 pontos característicos:
%13,84)(:
%87,15)(:
%50)(:
=++
=−−
=
σµσµ
σµσµ
µµ
F
F
F
Observa-se que atualmente instrumentos que facilitem o trabalho dos engenheiros mais aptos ao
uso de computador devem ser empregados. Nesse sentido, embora em sala de aula alguns
exercícios utilizem os papéis de probabilidade, aqui são apresentadas duas aplicações cujos
resultados foram obtidos diretamente via planilhas Excel.
As análises de freqüência admitem que a freqüência teórica "F(x)" para um evento de ordem
“m”, em ordem crescente das observações, é :
1+
=
n
m
F (Método de Kimbal ou Weibull)

3. Se, por exemplo, for detectada uma chance de 5% de um total precipitado anual
ser inferior a 600 mm, há probabilidade de 95% desse valor vir a ser igualado ou
superado. Esse tipo de análise é útil aos projetos de abastecimento de água e problemas
de planejamento de recursos hídricos em geral. Mas, o projetista pode estar preocupado
com a drenagem ou problemas relativos à abundância de água e, então, é conveniente
conhecer os totais precipitados com probabilidade de serem excedidos 10, 25, etc.
porcento do tempo. Da mesma forma que, conhecidos os limites superior e inferior de
tolerância de uma cultura, a probabilidade de falha da cultura devida a excesso ou falta
de água pode ser avaliada. Ou, ainda, através das curvas de probabilidade de diversas
estações, é possível mapear as chances de cheia, falha de culturas, ou outros problemas
associados à ocorrência de precipitação.
Observa-se ainda que, caso a distribuição normal não se ajuste aos valores da
série original, pode-se proceder à transformação das variávies originais. Dessa maneira,
por exemplo, variáveis que não se distribuam segundo a lei de Gauss, podem ter seus
logaritmos assim distribuídos. Nesse caso, é dito que a transformação logarítmica é
normalizante. Existem diversas outras possibilidades de transformações normalizantes
na literatura especializada.
APLICAÇÃO (Villela e Matos, 1975):
A análise estatística do posto D4-15 (Estação da CPEF) em São Carlos, cujos dados são
apresentados na tabela 3.2, foi feita tomando-se os totais anuais de 1941 a 1968,
agrupando-os em intervalos de 50mm de amplitude, tabela 3.3, e calculando-se a média,
o desvio padrão e o coeficiente de variação, encontraram-se respectivamente x = 1378,6
mm e S=290,89. A repartição de freqüência calculada na tabela 3.3 é mostrada na figura
3.8. Para o traçado da reta (distribuição normal) foram determinados os seguintes pontos
(1087,7; 15,87%); (1378,6; 50%) e (1669,5; 84,13%).

5. Com base na figura 3.8 foram estabelecidos as seguintes alturas pluviométricas esperadas para
São Carlos:
Período de retorno Alturas pluviométricas prováveis (mm)
Máxima mínima
5 anos 1600 1145
10 anos 1725 1015
100 anos 2020 700
1000 anos 2240 490

6. SOLUÇÃO UTILIZANDO TABELAS EM EXCEL:
É mostrado aqui o exercício extraído de Villela e Matos (1975), para o qual realiza-se a
verificação do ajuste da distribuição normal de totais precipitados anuais, através de planilha
eletrônica. Assim os dados constantes da Tabela, referem-se ao do posto D4-15 (Estação da
CPEF) em São Carlos.
Tabela –
Variável Normal Variável Normalano P(mm) m F=m/(n+1)
Obs. Teórica
ano P(mm) m F=m/(n+1)
Obs. Teórica
1944,0 727,1 1 0,03 -1,82 -2,26 1956 1412,3 15 0,52 0,04 0,12
1963,0 885,9 2 0,07 -1,48 -1,71 1946 1429,8 16 0,55 0,13 0,18
1941,0 1066,6 3 0,10 -1,26 -1,08 1964 1451,0 17 0,59 0,22 0,26
1959,0 1105,0 4 0,14 -1,09 -0,95 1957 1467,1 18 0,62 0,31 0,31
1961,0 1136,3 5 0,17 -0,94 -0,84 1954 1471,0 19 0,66 0,40 0,33
1968,0 1194,6 6 0,21 -0,82 -0,63 1942 1489,1 20 0,69 0,49 0,39
1952,0 1199,2 7 0,24 -0,70 -0,62 1943 1552,2 21 0,72 0,60 0,61
1945,0 1205,8 8 0,28 -0,60 -0,60 1950 1559,0 22 0,76 0,70 0,63
1955,0 1224,5 9 0,31 -0,49 -0,53 1958 1567,2 23 0,79 0,82 0,66
1966,0 1230,9 10 0,34 -0,40 -0,51 1967 1649,6 24 0,83 0,94 0,95
1948,0 1245,3 11 0,38 -0,31 -0,46 1962 1673,7 25 0,86 1,09 1,03
1953,0 1248,8 12 0,41 -0,22 -0,45 1960 1833,7 26 0,90 1,26 1,59
1951,0 1251,5 13 0,45 -0,13 -0,44 1965 1850,0 27 0,93 1,48 1,64
1949,0 1410,8 14 0,48 -0,04 0,12 1947 2024,9 28 0,97 1,82 2,25
media 1377,2 mm
d.p. 287,7 mm
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 500 1000 1500 2000 2500
P(mm)
variavelnormal,z
Teórica
Obs.

7. FREQUÊNCIA DE MÁXIMOS
O fato dos projetos hidráulicos em geral serem concebidos considerando o custo
mínimo associado a um risco admissível de falha, requer a previsão de grandezas
hidrológicas de grande magnitude, tais como as máximas vazões ou precipitações que
podem vir a ocorrer em certa localidade, com determinada freqüência. Assim, as séries
de máximos valores são empregadas para ajuste, segundo a lei probabilística que melhor
descreva o processo, possibilitando extrapolações.
As séries hidrológicas de máximos podem ser constituídas pelos valores mais
elevados observados em cada ano, constituindo as séries anuais. Para o propósito de
dimensionamento de órgãos de descarga, adota-se geralmente a enchente com
probabilidade de 0,01% (decamilenar).
Alguns autores recomendam que os máximos anuais tomem por base o ano
hidrológico e ao invés do ano civil. Entretanto, à medida que se dispõe de séries
históricas mais extensas, torna-se indiferente. O ano hidrológico compreende um ciclo
completo de cheia e estiagem, começando no mês em que as descargas do rio estão
subindo, depois de um período seco. Para a maioria dos rios da região Centro-Sul do
país, o ano hidrológico compreende os meses de outubro a setembro, porque aí,
geralmente no mês de outubro, começa a estação mais chuvosa; as descargas máximas
acontecem nos meses de dezembro a março, e depois diminuem, chegando ao mínimo
nos meses de agosto e setembro. Alguns rios no Sul do Estado de São Paulo e mais par
o Sul, às vezes, têm uma enchente nos meses de junho a agosto. No Sul do país, onde o
clima é mais temperado, a distribuição dos períodos secos e chuvosos durante o ano é
menos regular e o ano hidrológico tem início alguns meses mais cedo que na região
Centro-Sul. Utilizar as descargas máximas com base no ano civil pode resultar em erros
substanciais. Uma onda de enchente, por exemplo, pode estender-se dos meses de
dezembro a fevereiro, com a ponta no mês de janeiro. No ano civil parece, então,
acontecer um máximo no mês de dezembro de um ano, e outro no mês de janeiro do ano
seguinte, enquanto se trata de uma só onda de enchente com a ponta no mês de janeiro.
As séries anuais de valores máximos de cheias fornecem os melhores elementos para
uma análise visando a determinação da cheia de projeto para um extravasor ou para um bueiro,
embora às vezes sejam criticadas pelo fato de que em alguns anos da série, o valor da segunda
maior cheia ser maior do que os valores máximos constantes em outros anos da série. Assim, as
séries parciais, constituídas por todos os valores de cheias acima de uma vazão arbitrária
fixada, são às vezes utilizadas em substituição às séries anuais. Os dois tipos de séries levam a
períodos de retorno muito próximos para períodos de retorno mais curtos. As séries parciais não
devem ser extrapoladas por métodos estatísticos para avaliação de eventos raros. Se o maior
interesse for em relação às menores vazões e sobretudo quando tiver sido estipulado um período
de retorno menor do que um ano, as séries parciais devem ser utilizadas marcando unicamente
os valores máximos em função de T e esboçando, “a olho”, uma curva que melhor se adapte.
Outra possibilidade é que os n maiores valores observados no período sejam utilizados
para compor as séries parciais, sendo n o número de anos do período considerado.
A diferença básica entre ambas as séries citadas é que, enquanto as séries anuais
têm como termo de distribuição o tempo (ano), as séries parciais têm como termo de
distribuição a magnitude dos valores extremos. Por essa razão as séries anuais revelam-
se mais significativas.
Diversas são as distribuições probabilísticas empregadas para exprimir os
valores extremos de grandezas hidrológicas, destacando-se a Log Pearson Tipo III e a
distribuição Tipo I de Fisher-Tippett, conhecida também como distribuição de Gumbel,
cujos princípios são apresentados a seguir.
Aos dados observados classificados em ordem decrescente atribui-se o seu número de
ordem "m" , variável de 1 a n, sendo n o número de anos de observação. Assim, 1 é o número de
ordem correspondente ao máximo valor observado para o referido período de registro.

8. A freqüência teórica "F", chamada de excedência, com que um evento de ordem “m”,
em conformidade com a ordem decrescente das observações, e magnitude conhecida foi
igualado ou superado é :
1+
=
n
m
F (Método de Kimbal ou Weibull)
Considerando-se a freqüência como uma boa estimativa da probabilidade teórica (P) e
recordando-se tempo de recorrência ou período de retorno como sendo o período de tempo
médio, em anos, em que um determinado evento deve ser igualado ou superado pelo menos uma
vez, tem-se a seguinte relação:
F
ou
P
T
11
=
Para períodos de retorno bem menores que o número de anos de observação, o valor
encontrado para F pode dar uma boa idéia do valor real de P, mas para grandes períodos de
recorrência a repartição de freqüência deve ser ajustada a uma lei probabilística teórica, para
possibilitar um cálculo mais correto da probabilidade.
DISTRIBUIÇÃO DE GUMBEL
A distribuição de Gumbel é expressa por:
y
e
exXP
−
−
−=≥ 1)(
sendo )( xXP ≥ a probabilidade de um valor extremo qualquer X da série ser maior ou
igual a x , ou seja, )( xXP ≥ =[1-F(x)], e y é a variável reduzida ou variável Gumbel,
expressa como:
x
n
fxXy
σ
σ
).( −= (1)
sendo: nσ =desvio padrão da variável reduzida y
xσ =desvio padrão da variável X
fx =moda dos valores extremos X, expressa por:
n
n
xf
y
xx
σ
σ .−= (2)
onde x = média aritmética da variável X; ny = média aritmética da variável
reduzida y.
A substituição de (2) em (1) produz:
x
n
n
n
x
y
xXy
σ
σ
σ
σ )..( +−= (3)
Os valores de ny e nσ encontram-se na Tabela 2, em função do período de
observação n.

9. Tabela 2. Média e desvio padrão da variável Gumbel y em função do número de
observações. Fonte: Gumbel (1958)
n
ny nσ n
ny nσ n
ny nσ
8 0,4843 0,9043 35 0,5403 1,1285 64 0,5533 1,1793
9 0,4902 0,9288 36 0,5410 1,1313 66 0,5538 1,1814
10 0,4952 0,9497 37 0,5418 1,1339 68 0,5543 1,1834
11 0,4996 0,9676 38 0,5424 1,1363 70 0,5548 1,1854
12 0,5035 0,9833 39 0,5430 1,1388 72 0,5552 1.1873
13 0,5070 0,9972 40 0,5436 1,1413 74 0,5557 1,1890
14 0,5100 1,0095 41 0,5442 1,1436 76 0,5561 1,1906
15 0,5128 1,0206 42 0,5448 1,1458 78 0,5565 1,1923
16 0,5157 1,0316 43 0,5453 1,1480 80 0,5569 1,1938
17 0,5181 1,0411 44 0,5458 1,1499 82 0,5572 1,1953
18 0,5202 1,0493 45 0,5463 1,1519 84 0,5576 1,1967
19 0,5220 1,0566 46 0,5468 1,1538 86 0,5580 1,1980
20 0,5236 1,0628 47 0,5473 1,1557 88 0,5583 1.1994
21 0,5252 1,0696 48 0,5477 1,1574 90 0,5586 1,2007
22 0,5268 1,0754 49 0,5481 1,1590 92 0,5589 1,2020
23 0,5283 1,0811 50 0,5485 1,1607 94 0,5592 1,2032
24 0,5296 1,0864 51 0,5489 1,1623 96 0,5595 1,2044
25 0,5309 1,0915 52 0,5493 1,1638 98 0,5598 1,2055
26 0,5320 1,0961 53 0,5497 1,1653 100 0,5600 1,2065
27 0,5332 1,1004 54 0,5501 1,1667 150 0,5646 1,2253
28 0,5343 1,1047 55 0,5504 1,1681 200 0,5672 1,2360
29 0,5353 1.1086 56 0,5508 1,1696 250 0,5688 1,2429
30 0,5362 1,1124 57 0,5511 1,1708 300 0,5699 1,2479
31 0,5371 1,1159 58 0,5515 1,1721 400 0,5714 1,2545
32 0,5380 1,1193 59 0,5518 1,1734 500 0,5724 1,2588
33 0,5388 1,1226 60 0,5521 1,1747 750 0,5738 1,2651
34 0,5396 1,1255 62 0,5527 1,1770 1000 0,5745 1,2685
Observa-se que a substituição dos valores ny =0,57 e nσ =1,28, para n=∞, em
(3) conduz a:
x
xxXy
σ
σ
7797,0
1
)..45,0( +−= (4)
A equação (3) pode ainda ser escrita de maneira ligeiramente diferente como:
x
n
nyy
xX σ
σ
.




 −
+= , que substituída da equação de Ven Te Chow, que mostrou
que a maioria das funções de freqüência teóricas aplicáveis na análise hidrológica podem ser
resolvidas por:
σµ kX +=
sendo: X - magnitude ou intensidade do evento;
µ - média dos valores de intensidade observados X;
k - fator de freqüência que depende do tamanho da amostra, do período de retorno e do
tipo de distribuição;
σ - desvio padrão das variáveis X.
resulta:
n
nyy
K
σ
−
= (5)

10. sendo K é o fator de freqüência, função do período de retorno,T, e do número n de
valores extremos que constituem a série. y é avaliado por: ))
1
1ln(ln(
T
y −−−= , e os
valores de ny e nσ encontram-se na Tabela 2, em função do número de observações n.
Weiss construiu um monograma para determinar o valor de K (fator de
freqüência) em função de T (período de retorno em anos) e n (período de dados em
anos), a ser utilizado na equação de Ven Te Chouw para previsão de um valor extremo.
O gráfico de Weiss é mostrado na próxima figura.