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POTÊNCIA EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS
a) Potência em circuitos trifásicos equilibrados.
Seja um circuito estrela equilibrado com impedâncias Z = Z ∠θ. A potência
desenvolvida em cada fase do circuito é dada por:
PF = VF..IF .cos(θ)
onde VF é tensão de fase do alimentador e IF é a corrente de cada fase do circuito.
A potência total é dada por PT = 3.PF
No circuito estrela, a corrente de cada fase do circuito é igual a corrente de linha do
alimentador e tensão de fase do alimentador é a tensão de linha (VL) dividida por 3.
Assim sendo a potência total é dada por:
PT = 3. .I.
3
V
L
L
cos(θ)
PT = 3 VL. IL cos(θ)
A equação acima também se aplica a um circuito triângulo equilibrado, que é
deixado para demonstração como exercício.
Analogamente, tem-se para as potências reativa e ativa:
QT = 3 VL. IL sen(θ) e NT = 3 VL. IL
Exemplo 1:
Calcular as correntes de entrada e de saída de um transformador com NT = 100KVA,
de distribuição, que tem 13.800V de tensão de linha de entrada e 380V, de saída.
Solução:
Considerando-se o princípio da conservação de energia, e apenas a potência
aparente, e NT = 3 VL. IL, tem-se, para a corrente de entrada:
IL1 =
800.133
000.100
x
= 4,184 A
Para a corrente de saída, por outro lado, tem-se:
IL2 =
3803
000.100
x
= 152 A
2
Exemplo 2
Uma carga trifásica em estrela é composta de três impedâncias iguais a 5∠300
e é
alimentado por uma tensão trifásica de 380V. Determinar a potência total do circuito.
Solução:
Inicialmente devemos calcular a corrente de linha. Ela é dada por:
IL =
Z
VF
=
5
3
380
= 44 A
A potência total é dada, então, por:
PT = 3 . 380. 44. cos(300
) = 25.080W ≅ 25 KW.
Mostre que se as três cargas acima estiverem em triângulo o valor da potência é
aproximadamente 75 KW.
Exemplo 3
Um motor trifásico indutivo de 50HP com rendimento de 85%, a plena carga, na
ponta do eixo, e fator de potência 0,8 é ligado a um sistema igualmente trifásico de 480V.
Determinar as impedâncias da estrela e do triângulo que podem substituí-lo.
Solução:
A potência na ponta de eixo é P = 50x746 = 37.300 W
A potência total absorvida pelo motor na entrada do sistema elétrico é:
PT =
aeficicênci
P
=
85,0
37300
= 43.882,35 W
Como o motor é um circuito trifásico equilibrado, tem-se para a potência total:
PT = 3.VL.IL.cos(φ).
Logo,
IT =
8,0x480x3
43.882,35
= 65,98 A
A corrente de linha num circuito estrela é igual é a corrente de fase. Logo,
3
Z = =
F
F
I
V
=
98,65
3
480
4,2 Ω
Assim, Z = 4,2 ∠36,87o
[cos-1
(0,8) = 36.9o
]
Z = 3,36 + j.2,52
A potência dissipada em cada fase do circuito é dada por PF = RFx 2
FI = 3,36x65,982
14.627,3 W ⇒ PT = 3xPF = 43..881,9 W, que é o mesmo resultado determinado acima,
isto é, a potência total dissipada pelos resistores equivalentes.
Para o equivalente em triângulo, tem-se:
Z = =
F
L
I
V
=
3
I
V
L
L =
3
98,65
480
12,6 A
Assim, Z = 12,6 ∠36,87o
= 10,08 + j.7,56
A potência dissipada em cada fase do circuito é dada por PF = RFx 2
FI =
10,08x =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
3
98,65 14.627,3 W ⇒ PT = 3xPF = 43..881,9 W, que é o mesmo resultado
determinado acima, isto é, a potência total dissipada pelos resistores equivalentes.
Exemplo 4:
Um motor trifásico indutivo de 3HP e fator de potência 0,7 trabalha em paralelo com
um motor capacitivo de 2 HP e fator de potência 0,8, numa ligação trifásica 380V.
Determinar as correntes de linha parcial e total, bem como a potência e fator de potência do
conjunto. Supor a seqüência ABC.
Solução:
Para o motor indutivo, tem-se:
IL1 =
3x746
3x380x0,7
= 4,86A
Como cos-1
(0,7) = 45,57o
, tem-se para a fase A:
IA1 = 4,86 ∠(90o
– 45,57o
) = 4,86 ∠44,43o
= 3,47 + j.3,40
Para o motor capacitivo, tem-se:
IL2 =
8,0x380x3
2x746
= 2,83 A
Como cos-1
(0,8) = 36,87o
, tem-se também para a fase A:
4
IA2 = 2,83 ∠(90o
+ 36,87o
) = 2,83 ∠126,87o
= -1,7 + j.2,26
A corrente total é, portanto, IAT = IA1 + IA2 = 1,77 + j.5,66 = 5,93 ∠72,63o
O ângulo da corrente total é θT = 90o
– 72,63o
= 17,37o
O fator de potência do conjunto dos dois motores é cos(θT) = 0,95
Por outro lado, podemos também determinar a partir de PT = 3 VL. IL cos(θ):
cos(θT) =
380x93,5x3
5x746
= 0,96
2a
Solução:
Método dos triângulos de potência.
Para o motor indutivo, a potência aparente é:
N1 =
7,0
2238
= 3197,14 . Logo, N1 = 3197,14∠45,57o
= 2238,12 + j.2283,09
Para o motor capacitivo, a potência aparente é:
N2 =
8,0
1492
= 1865 . Logo, N2 = 1865∠-36,87o
= 1492 - j.1119
O triângulo de potência total é dado por NT = 3730,12 + j.1164 = 3907,5∠-17,33o
A corrente de linha total é dada é dada por:
IT =
3803
3907,5
x
= 5,93A
Exemplo 5:
Um certo sistema trifásico, 220V, seqüência ABC tem as seguintes correntes de linha:
IA = 0,3962 ∠83,41o
, IB = 0,5677 ∠-16,1o
e IC = 0,6363 ∠-158,2o
. Determinar a
potência total do circuito.
Solução:
A potência vista na linha A é:
PA = VAN.IA.cos VAN
IA∠ =
3
220
x 0,3962xcos(90o
– 83,41o
) ≅ 50 W
A potência vista na linha B é:
5
PB = VBN.IB.cos VBN
IB∠ =
3
220
x0,5677xcos(-30o
+ 16,1o
) ≅ 70 W
A potência vista na linha C é:
PC = VCN.IC.cos VCN
IC∠ =
3
220
x0,6363xcos(210o
+ 158,2o
) ≅ 80 W
Assim sendo, a potência total do circuito é:
PA + PB + PC = 50 + 70 + 80 = 200 W
Se colocamos dois wattímetros, um entre as linhas A e B e outro entre as linhas C e
B, temos:
PAB = VAB.IC.cos VAB
IA∠ = 220x0,3962xcos(120o
- 83,41o
) ≅ 70 W
PCB = VCB.IC.cos VCB
IC∠ = 220x6363xcos(180o
+ 158,2o
) ≅ 130 W
Se somarmos as duas potências dá o mesmo resultado que o anterior
Exemplo 6
Uma certa instalação trifásica, 380V, a quatro fios, tem-se as seguintes cargas
monofásicas: uma indutiva de 2HP/FP=0,7 na fase A; outra de 3KW/FP=1 na
fase B; e uma terceira capacitiva de 3HP/FP=0,8 na fase C.
Determinar corrente de neutro e o fator de potência do conjunto. Suponha
a sequencia ABC
Corrente na fase A:
IA =
7,0x220
2x746
= 9,7A IA = 2,83 ∠(90o
– 45,57o
) = 2,83 ∠(44,43o
)
IB =
220
3000
= 13,64A IB = 13,64∠(-30o
– 0o
) = 13,64∠(-30o
)
IC =
8,0x220
3x746
= 12,72A IC = 12,72 ∠(210o
+ 36,87o
) = 12,27 ∠(246,87o
)
IN = IA + IB + IC = 18,47∠(-60,79o
)
NA =
7,0
2x746
= 2131,43 VA PA = 1492 W QA = 1522,15 VAR
NB = 3000VA PB = 3000 W QA = 0
NC =
8,0
3x746
= 2797,5 VA PC = 2238 W QC = 1678,5 VAR
NT = 6730 - j.156,35 = 12,27 ∠(246,87o
) = 6731,82 ∠-1,33o
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  • 1. 1 POTÊNCIA EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS a) Potência em circuitos trifásicos equilibrados. Seja um circuito estrela equilibrado com impedâncias Z = Z ∠θ. A potência desenvolvida em cada fase do circuito é dada por: PF = VF..IF .cos(θ) onde VF é tensão de fase do alimentador e IF é a corrente de cada fase do circuito. A potência total é dada por PT = 3.PF No circuito estrela, a corrente de cada fase do circuito é igual a corrente de linha do alimentador e tensão de fase do alimentador é a tensão de linha (VL) dividida por 3. Assim sendo a potência total é dada por: PT = 3. .I. 3 V L L cos(θ) PT = 3 VL. IL cos(θ) A equação acima também se aplica a um circuito triângulo equilibrado, que é deixado para demonstração como exercício. Analogamente, tem-se para as potências reativa e ativa: QT = 3 VL. IL sen(θ) e NT = 3 VL. IL Exemplo 1: Calcular as correntes de entrada e de saída de um transformador com NT = 100KVA, de distribuição, que tem 13.800V de tensão de linha de entrada e 380V, de saída. Solução: Considerando-se o princípio da conservação de energia, e apenas a potência aparente, e NT = 3 VL. IL, tem-se, para a corrente de entrada: IL1 = 800.133 000.100 x = 4,184 A Para a corrente de saída, por outro lado, tem-se: IL2 = 3803 000.100 x = 152 A
  • 2. 2 Exemplo 2 Uma carga trifásica em estrela é composta de três impedâncias iguais a 5∠300 e é alimentado por uma tensão trifásica de 380V. Determinar a potência total do circuito. Solução: Inicialmente devemos calcular a corrente de linha. Ela é dada por: IL = Z VF = 5 3 380 = 44 A A potência total é dada, então, por: PT = 3 . 380. 44. cos(300 ) = 25.080W ≅ 25 KW. Mostre que se as três cargas acima estiverem em triângulo o valor da potência é aproximadamente 75 KW. Exemplo 3 Um motor trifásico indutivo de 50HP com rendimento de 85%, a plena carga, na ponta do eixo, e fator de potência 0,8 é ligado a um sistema igualmente trifásico de 480V. Determinar as impedâncias da estrela e do triângulo que podem substituí-lo. Solução: A potência na ponta de eixo é P = 50x746 = 37.300 W A potência total absorvida pelo motor na entrada do sistema elétrico é: PT = aeficicênci P = 85,0 37300 = 43.882,35 W Como o motor é um circuito trifásico equilibrado, tem-se para a potência total: PT = 3.VL.IL.cos(φ). Logo, IT = 8,0x480x3 43.882,35 = 65,98 A A corrente de linha num circuito estrela é igual é a corrente de fase. Logo,
  • 3. 3 Z = = F F I V = 98,65 3 480 4,2 Ω Assim, Z = 4,2 ∠36,87o [cos-1 (0,8) = 36.9o ] Z = 3,36 + j.2,52 A potência dissipada em cada fase do circuito é dada por PF = RFx 2 FI = 3,36x65,982 14.627,3 W ⇒ PT = 3xPF = 43..881,9 W, que é o mesmo resultado determinado acima, isto é, a potência total dissipada pelos resistores equivalentes. Para o equivalente em triângulo, tem-se: Z = = F L I V = 3 I V L L = 3 98,65 480 12,6 A Assim, Z = 12,6 ∠36,87o = 10,08 + j.7,56 A potência dissipada em cada fase do circuito é dada por PF = RFx 2 FI = 10,08x =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 3 98,65 14.627,3 W ⇒ PT = 3xPF = 43..881,9 W, que é o mesmo resultado determinado acima, isto é, a potência total dissipada pelos resistores equivalentes. Exemplo 4: Um motor trifásico indutivo de 3HP e fator de potência 0,7 trabalha em paralelo com um motor capacitivo de 2 HP e fator de potência 0,8, numa ligação trifásica 380V. Determinar as correntes de linha parcial e total, bem como a potência e fator de potência do conjunto. Supor a seqüência ABC. Solução: Para o motor indutivo, tem-se: IL1 = 3x746 3x380x0,7 = 4,86A Como cos-1 (0,7) = 45,57o , tem-se para a fase A: IA1 = 4,86 ∠(90o – 45,57o ) = 4,86 ∠44,43o = 3,47 + j.3,40 Para o motor capacitivo, tem-se: IL2 = 8,0x380x3 2x746 = 2,83 A Como cos-1 (0,8) = 36,87o , tem-se também para a fase A:
  • 4. 4 IA2 = 2,83 ∠(90o + 36,87o ) = 2,83 ∠126,87o = -1,7 + j.2,26 A corrente total é, portanto, IAT = IA1 + IA2 = 1,77 + j.5,66 = 5,93 ∠72,63o O ângulo da corrente total é θT = 90o – 72,63o = 17,37o O fator de potência do conjunto dos dois motores é cos(θT) = 0,95 Por outro lado, podemos também determinar a partir de PT = 3 VL. IL cos(θ): cos(θT) = 380x93,5x3 5x746 = 0,96 2a Solução: Método dos triângulos de potência. Para o motor indutivo, a potência aparente é: N1 = 7,0 2238 = 3197,14 . Logo, N1 = 3197,14∠45,57o = 2238,12 + j.2283,09 Para o motor capacitivo, a potência aparente é: N2 = 8,0 1492 = 1865 . Logo, N2 = 1865∠-36,87o = 1492 - j.1119 O triângulo de potência total é dado por NT = 3730,12 + j.1164 = 3907,5∠-17,33o A corrente de linha total é dada é dada por: IT = 3803 3907,5 x = 5,93A Exemplo 5: Um certo sistema trifásico, 220V, seqüência ABC tem as seguintes correntes de linha: IA = 0,3962 ∠83,41o , IB = 0,5677 ∠-16,1o e IC = 0,6363 ∠-158,2o . Determinar a potência total do circuito. Solução: A potência vista na linha A é: PA = VAN.IA.cos VAN IA∠ = 3 220 x 0,3962xcos(90o – 83,41o ) ≅ 50 W A potência vista na linha B é:
  • 5. 5 PB = VBN.IB.cos VBN IB∠ = 3 220 x0,5677xcos(-30o + 16,1o ) ≅ 70 W A potência vista na linha C é: PC = VCN.IC.cos VCN IC∠ = 3 220 x0,6363xcos(210o + 158,2o ) ≅ 80 W Assim sendo, a potência total do circuito é: PA + PB + PC = 50 + 70 + 80 = 200 W Se colocamos dois wattímetros, um entre as linhas A e B e outro entre as linhas C e B, temos: PAB = VAB.IC.cos VAB IA∠ = 220x0,3962xcos(120o - 83,41o ) ≅ 70 W PCB = VCB.IC.cos VCB IC∠ = 220x6363xcos(180o + 158,2o ) ≅ 130 W Se somarmos as duas potências dá o mesmo resultado que o anterior Exemplo 6 Uma certa instalação trifásica, 380V, a quatro fios, tem-se as seguintes cargas monofásicas: uma indutiva de 2HP/FP=0,7 na fase A; outra de 3KW/FP=1 na fase B; e uma terceira capacitiva de 3HP/FP=0,8 na fase C. Determinar corrente de neutro e o fator de potência do conjunto. Suponha a sequencia ABC Corrente na fase A: IA = 7,0x220 2x746 = 9,7A IA = 2,83 ∠(90o – 45,57o ) = 2,83 ∠(44,43o ) IB = 220 3000 = 13,64A IB = 13,64∠(-30o – 0o ) = 13,64∠(-30o ) IC = 8,0x220 3x746 = 12,72A IC = 12,72 ∠(210o + 36,87o ) = 12,27 ∠(246,87o ) IN = IA + IB + IC = 18,47∠(-60,79o ) NA = 7,0 2x746 = 2131,43 VA PA = 1492 W QA = 1522,15 VAR NB = 3000VA PB = 3000 W QA = 0 NC = 8,0 3x746 = 2797,5 VA PC = 2238 W QC = 1678,5 VAR NT = 6730 - j.156,35 = 12,27 ∠(246,87o ) = 6731,82 ∠-1,33o
  • 6. 6