2.circuitos trifásicos

1
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Methodio Varejão de Godoy
CIRCUITOS TRIFÁSICOS
1. OBJETIVO
O principal objetivo desse texto é apresentar os circuitos trifásicos, su-
as principais equações e relações de uma forma simples, sem o formalismo da
grande maioria dos livros sobre o assunto, dando uma ênfase maior a aspectos
práticos com o que encontramos e observamos no nosso dia a dia os sistemas
elétricos.
2. INTRODUÇÃO
Nos sistemas elétricos a potência gerada nas centrais de geração é
distribuída para consumidores residenciais, comerciais e industriais (Figura 1).
Figura 1 – Sistema elétrico

Exercícios de Fixação - Circuitos Trifásicos
2
Existem várias fontes primárias para produzir energia como água, car-
vão, gás, urânio... Nas usinas hidrelétricas, usa-se a energia mecânica da altu-
ra da água ou da sua vazão para acionar uma máquina primária ou turbina e
converter energia mecânica em elétrica (Figura 2).
Figura 2 - Usina hidrelétrica
Carvão, óleo e urânio são combustíveis empregados para converter
água em vapor que aciona uma turbina primária. Algumas concessionárias uti-
lizam turbinas à gás, a vapor ou ainda a gás e a vapor denominadas ciclo com-
binadas. O eixo da turbina é acoplado ao eixo do gerador. Quando o gás ou
vapor aciona a turbina e movimenta também o gerador este produz energia elé-
trica nos seus terminais (Figura 3).
Figura 3 - Central térmica à vapor

3
Geradores de corrente alternada operam com base na teoria da indu-
ção eletromagnética, isto é quando condutores são movimentados dentro de
um campo magnético, tensões são induzidas nos condutores.
Um gerador básico consiste de um campo magnético, um enrolamento
de armadura (onde as tensões são induzidas), anéis coletores, escovas e al-
guns tipos de cargas resistivas como pode ser visto na Figura 4. No gerador
básico da Figura 4 o campo magnético é produzido pelo imã com seus dois po-
los magnéticos N (norte) e S (sul). Esse fluxo magnético produz um fluxo que
circula dentro do enrolamento de armadura, a cada posição desse enrolamento
temos um fluxo diferente passando pelo enrolamento de armadura. Pela Lei de
Faraday, para cada posição do campo magnético em relação ao campo mag-
nético criado pelo imã, temos um valor de tensão induzida no enrolamento de
armadura.
Figura 4 - Gerador elementar em corrente alternada
Se a rotação do enrolamento de armadura ocorrer ao longo de um ciclo
completo isto é 3600
, pode ser visto que no primeiro quarto de ciclo a tensão i-
ria crescendo até atingir um máximo positivo em 900
. A tensão cairia no segun-
do quarto de ciclo até atingir zero em 1800
. Durante o terceiro quarto do ciclo a
tensão iria aumentando no sentido contrário até atingir o máximo negativo em
2700
. No quarto ciclo a tensão voltaria a decrescer até atingir zero em 3600
. Se
o enrolamento de armadura for acionado de forma a completar 60 ciclos em um
segundo, termos então uma tensão induzida no enrolamento de armadura na
frequencia de 60 Hz. (Figura 5).

4
Figura 5 - Onda senoidal
3. TENSÕES TRIFÁSICAS EQUILIBRADAS
Num sistema elétrico, embora as ligações monofásicas e bifásicas são
utilizadas em grande escala em circuitos de iluminação, pequenos motores e
eletrodomésticos. Nos níveis da geração, transmissão e utilização da energia
elétrica para fins industriais utiliza-se quase que exclusivamente as ligações tri-
fásicas.
Os geradores síncronos são trifásicos e são projetados de forma que
as tensões geradas sejam senoidais e simétricas. Essas tensões trifásicas são
obtidas utilizando três enrolamentos de armadura posicionados 1200
um do ou-
tro, de forma que a cada instante, os três enrolamentos de armadura a cada
instante são submetidos adiferentes fluxos magnéticos.
Um sistema elétrico que possui tensões trifásicas senoidais simétricas
ou equilibradas é um sistema onde as tensões tem o mesmo módulo e são de-
fasadas entre si de 1200
, como pode ser visto nas seguintes equações e na
Figura 6.
)wt(sen.Vv
)wt(sen.Vv
)wt(sen.Vv
MAXC
MAXB
MAXA
0
0
120
120
+=
−=
=

5
Figura 6 - Tensões trifásicas equilibradas
As tensões va, vb, e vc são denominadas tensões fase-terra ou de fase
e são referidas a um ponto comum chamado neutro (n), que pode estar
aterrado (potencial zero) ou não.
Empregando o método fasorial as tensões de fase são expressas pelos
seguintes fasores:
0
EF
0M
C
0
EF
0M
B
0
EF
0M
A
120V120
2
V
V
120-V120-
2
V
V
0V0
2
V
V
+∠=+∠=
∠=∠=
∠=∠=
O diagrama fasorial dessas tensões de fase está mostrado na Figura 7.
1200
1200
1200
VA
VB
VC
Figura 7 - Diagrama fasorial das tensões de fase

6
Num circuito trifásico define-se tensões de linha ou fase-fase desse
circuito como sendo as tensões definidas pelas seguintes equações:
000
000
000
1501503012
9090312012
30303120
+∠=+∠=∠−+∠=−=
−∠=−∠=+∠−−∠=−=
+∠=+∠=−∠−∠=−=
LEFEFEF
0
EFACCA
LEFEFEF
0
EFCBBC
LEFEFEF
0
EFBAAB
VV.V0VVVV
VV.V0VVVV
VV.V0VVVV
O diagrama fasorial das tensões de linha ou fase-fase podem ser vistas
na Figura 8.
VA
VB
VC -VB
-VA
-VC
VAB
VCA
VBC
Figura 8 - Diagrama fasorial das tensões de linha
Define-se sequencia de fase de um conjunto de tensões trifásicas
como sendo a ordem em cada uma das tensões atinge o seu valor máximo no
tempo. Num circuito trifásico podemos observar a presença de duas
sequencias de fase ABC e ACB. A sequencia de fase ABC das tensões Va, Vb
e Vc pode ser visto na Figura 9 e e a sequencia de fase ACB ou CBA na Figura
10. Essas sequencias de fase podem também ser visualizadas a partir do
diagrama fasorial, os fasores girando no sentido anti-horário definem a
sequencia de fase. Assim um observador parado junto a tensão da fase a, ele

7
vê passar a primeiro a fase B e em seguida a fase C no caso da sequencia de
fase ABC (Figura 11).
Figura 9- Sequencia de fase ABC
Figura 10 - Sequencia de fase CBA

8
VA
VB
VC
OBSERVADOR
Figura 11 - Sequencia de fase num diagrama fasorial
Na sequencia de fase CBA, as tensões trifásicas senoidais simétricas
ou equilibradas tem o mesmo módulo e são defasadas entre si de 1200
, dadas
pelas seguintes equações:
)wt(sen.Vv
)wt(sen.Vv
)wt(sen.Vv
MAXC
MAXB
MAXA
0
0
120
120
−=
+=
=
O diagrama fasorial das tensões de linha ou fase-fase na sequencia de
fase CBA podem ser vistas na Figura 12.
VA
VB
VC -VB
-VA
-VC
VAB
VCA
VBC
Figura 12 - Diagrama fasorial das tensões de linha na sequencia CBA

9
É importante destacar que independente da sequencia de fase a rela-
ção entre a tensão de fase VF e a tensão de linha VL é dada por:
3
L
F
V
V =
4. CARGAS TRIFÁSICAS
As cargas trifásicas industriais (como os motores elétricos) são usual-
mente simétricas ou equilibradas, isto é tem impedâncias iguais nas três fases.
As cargas monofásicas e bifásicas como as de iluminação, os aparelhos ele-
trodomésticos, motores monofásicos são distribuídos entre as fases de modo
que o sistema não fique desequilibrado ou assimétrico.
Nos sistemas elétricos as cargas elétricas são usualmente conectadas
em estrela (ou Y), aterrada ou não e em triângulo (ou delta).
TRIÂNGULO
ESTRELA
NÃO
ATERRADA ESTRELA
ATERRADA
Figura 13 - Ligações usuais das cargas equilibradas
Nas ligações em triângulo as cargas são alimentadas pela tensão de
tensão de linha enquanto que nas cargas ligadas em estrela elas são alimenta-
das pela tensão de fase.

10
Considerando as impedâncias das três fases iguais (carga equilibrada)
as correntes que circulam em cada fase são dadas pelas seguintes expres-
sões:
)wt(sen.Ii
)wt(sen.Ii
)wt(sen.II
MAXC
MAXB
MAXA
0
0
120
120
+θ−=
−θ−=
θ−=
Os fasores das correntes podem ser obtidos a partir das equações:
0EF0M
C
0EF0M
B
EFM
A
120θ-
Z
V
120θ-
2
I
I
120-θ-
Z
V
120-θ-
2
I
I
θ-
Z
V
θ-
2
I
I
+∠=+∠=
∠=∠=
∠=∠=
A Figura 14 mostra os diagramas fasoriais das tensões e das correntes
em circuito trifásico equilibrado, onde θ é o ângulo do fator de potência isto é a
diferença entre a fase da tensão e da corrente.
VA
VB
VC
IA
IC
IB
θ
θ
θ
Figura 14 - Tensões e correntes num circuito trifásico equilibrado
Com a carga equilibrada, isto é com impedâncias nas três fases iguais
temos que:

11
0=++ CBA III
Para a carga ligada em estrela mostrada na Figura 15, as seguintes
observações sobre as tensões e correntes podem ser obtidas:
Z
ZZ
VAB
VBC
VC
IA
IB
IC
VA
VB
VCA
Figura 15 - Carga ligada em estrela
• As tensões aplicadas a cada carga (VZ) são as tensões fase-
neutro (tensão de fase) e não as tensões fase-fase (tensões de li-
nha) e as relações entre essas tensões são dadas pelas seguin-
tes equações:
000
000
000
1501503012
9090312012
30303120
+∠=+∠=∠−+∠=−=
−∠=−∠=+∠−−∠=−=
+∠=+∠=−∠−∠=−=
LEFEFEF
0
EFACCA
LEFEFEF
0
EFCBBC
LEFEFEF
0
EFBAAB
VV.V0VVVV
VV.V0VVVV
VV.V0VVVV
ou de forma resumida:
3
L
FZ
V
VV ==

12
• As correntes que circulam por cada uma das cargas (IZ) são as
próprias correntes que circulam pelo condutor da alimentação ou
condutor de linha.
CZC
BZB
AZA
II
II
II
=
=
=
Para a carga ligada em triângulo mostrada na Figura 16, as seguintes
observações sobre as tensões e correntes podem ser obtidas:
Z Z
Z
VA
VB
VC
IA
IB
IC
IBC
IAB ICA
VAB
VBC
VCA
Figura 16 - Carga ligada em triângulo
• As tensões aplicadas a cada carga (VZ) são as tensões fase-fase
(tensão de linha).
• As correntes que circulam por cada uma das cargas (IZ) são as
correntes IAB, IBC e ICA (denominadas correntes de fase) distintas
das que circulam pelo condutor da alimentação ou condutor de li-

13
nha. Para obter as correntes nas cargas, vamos aplicar a Lei das
Correntes de Kirchhoff para cada um dos três nós do triângulo, de
modo que:
BCCACBCCCA
ABBCBABBBC
CAABACAAAB
IIIIII
IIIIII
IIIIII
−=⇒+=
−=⇒+=
−=⇒+=
Z Z
Z
IA
IB
IC
IBC
IAB
ICA
IAB
IBC
ICA
Figura 17 – Lei das correntes de Kirchhoff apliacada aos nós do triângulo
Admitindo as correntes de fase equilibradas dadas pelos seguintes
fasores:
0
EF
0MF
CA
0
EF
0MF
BC
0
F
0MF
AB
120I120
2
I
I
120-I120-
2
I
I
0I0
2
I
I
+∠=+∠=
∠=∠=
∠=∠=
as correntes de linha podem ser determinadas a partir das equações :
0
LFBCCAC
0
LFABBCB
0
L
0
FCAABA
0II.III
01II.III
30I30.I3III
9903
51503
0
0
+∠=+∠=−=
−∠=−∠=−=
−∠=−∠=−=

14
Resumindo, podemos concluir que para circuitos trifásicos equilibrados
com cargas ligadas em triângulo o módulo da corrente de linha é o módulo da
corrente de fase dividida por raiz de três, isto é:
FL
L
F
I.I
ou
I
I
3
3
=
=
5. TRANSFORMAÇÃO ESTRELA TRIÂNGULO
Dado um conjunto de impedâncias equilibradas Z∆ (valores iguais nas
três fases) conectadas em triângulo, podemos obter um conjunto de impedân-
cias equilibradas equivalentes em estrela ZY (Figura 18), desde que a relação
entre os valores de impedância dos dois circuitos seja:
3
∆Z
ZY =
Z Z
Z
ZY
ZY
ZY
Figura 18 – Transformação estrela triângulo
Portanto quando for mais conveniente ter todas as impedâncias de
uma rede conectada em estrela ou todas em triângulo pode-se substituir um
conjunto por outro equivalente desde que a relação entre as impedâncias seja
empregada.

15
6. POTÊNCIA EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS
Considere uma carga trifásica simétrica submetida a tensões trifásicas
equilibradas alimentada por correntes trifásicas equilibradas como pode ser vis-
to na Figura 19 e no diagrama fasorial mostrado na Figura 20.
CARGA
TRIFÁSICA
SIMÉTRICA
IA
IB
IC
VA
VB
VC
Figura 19 – Carga trifásica simétrica
VA
VB
VC
IA
IC
IB
θ
θ
θ
Figura 20 – Tensões e correntes equilibradas
A potência ativa e reativa cedida a esta carga simétrica por ser obtida a
partir da potência complexa trifásica dada por:
*
CC
*
BB
*
AAF I.VI.VI.VS ++=3
Considerando que:
0
EFC
0
EFB
0
EFA
120VV
120-VV
0VV
+∠=
∠=
∠=
e:

16
0
EFC
0
EFB
EFA
120θ-II
120-θ-II
θ-II
+∠=
∠=
∠=
a potência complexa trifásica passa a ser expressa a partir das potências ativas
e reativas cedidas a carga pela seguinte equação:
( )( ) ( )( )
( )( )
( ) ( ) FFEFEFEFEFF
*
EFEF
*
EFEF
*
EFEFF
jQPθsen.I.V..jθcos.I.V.S
θI.V
θI.VθI.VS
333
000
00000
3
33
120120
1201200
+=+=
−+∠+∠+
−−∠−∠+−∠∠=
As potências ativa e reativa cedidas a uma carga simétrica podem ain-
da serem calculadas a partir das tensões de linha, usando a seguinte equação:
EFLEF V.V 3=
obtem-se:
( ) ( ) FFEFLEFEFLEFF jQPθsen.I.V..jθcos.I.V.S 333 33 +=+=
θcos.I.V.P EFEFF 33 =
θsen.I.V.Q EFEFF 33 =
EFEFF I.V.N 33 =
θ
Figura 21- Triângulo das potências
É importante destacar que todas essas relações podem ser obtidas a
partir do triângulo de potências da Figura 21 onde podem ser obtidas as se-
guintes equações:

17
( ) ( )
F
F
F
F
FFF
N
Q
θsen
N
P
θcosFP
QPN
3
3
3
3
2
3
2
33
=
==
+=
7. POTÊNCIA CEDIDA A CARGAS SIMÉTRICAS EM ESTRELA
Considere uma carga simétrica como a mostrada na Figura 22, a po-
tência complexa cedida a ela é:
( )( ) ( )( ) ( )( )
FFEFEFEFF
CBA
*
CC
*
BB
*
AAF
*
CC
*
BB
*
AAF
jQPI.X.jI..RI.Z.S
I.ZI.ZI.ZI.I.ZI.I.ZI.I.ZS
I.VI.VI.VS
33
222
3
222
3
3
333 +=+==
++=++=
++=
Z
ZZ
VAB
VBC
VC
IA
IB
IC
VA
VB
VCA
Figura 22 – Carga simétrica em estrela

18
EXERCÍCIOS
1. Para a linha de transmissão em 13,8 kV da Figura 1. Apresente quais são
as tensões de linha e quais são as tensões de fase em módulo e fase.
Figura 23 - Linha em 13,8 kV
2. Se a tensão entre as fases B e C (VBC) é 380V com fase 150
. Obter as
tensões de fase VA, VB e VC. Apresente o diagrama fasorial admita a
sequencia de fase ABC.
3. Conceitue: sequencia de fase, tensão de linha, tensão de fase, corrente de
linha e corrente de fase.
4. O que significa um sistema elétrico trifásico equilibrado? E impedâncias
simétricas?
5. Uma carga ligada em estrela (Figura 24) tem uma impedância Z é de
(20+j95) ohms. Se a tensão VBC aplicada é de 389 V com fase 1500
. Obter

19
as tensões: VA, VB, VC, VAB e VCA. Obtenha também as correntes nas três
fases, a potência ativa e reativa abasorvida e o diagrama fasorial.
Z
Z Z
389 V
Figura 24 – Carga ligada em estrela
6. Uma carga ligada em triângulo (Figura 24) tem uma impedância Z é de
(20+j95) ohms. Se a tensão VBC aplicada é de 380 V com fase 150
. Obter as
tensões: VA, VB, VC, VAB e VCA. Obtenha também as correntes nas três
fases, a potência ativa e reativa abasorvida e o diagrama fasorial.
380 V
Z Z
Z
Figura 25 – Carga ligada em triângulo
7. Um alimentador trifásico alimenta duas cargas A e B em 380 V (Figura 26).
Considerando a impedância da carga A de (30+j62) ohms e a da carga B de
(12+j84) ohms. Pede-se as correntes nas fases A que alimentam as duas

20
cargas, as tensões de linha, as tensões de fase, as correntes na carga
ligada em triângulo e o diagrama fasorial.
CARGA B
CARGA A
Z1
Z1
Z1
Z2
Z2
Z2
380 V
Figura 26 – Cargas ligada em estrela e triângulo
8. Um motor de indução trifásico ligado em triângulo é alimentado em 380 V
entre fases e absorve uma corrente de 4A com fator de potência 0,85
indutivo (Figura 27). Obter a potência ativa e reativa absorvida pelo motor.
Figura 27 – Motor de Indução
9. Um transformador trifásico tem potência nominal de 100 kVA, e relação de
transformação nominal de 13.800V/380V. Obtenha a corrente nominal no
lado de alta tensão. E no lado de baixa tensão?
Figura 28 – Transformador trifásico

21
10.Um transformador alimenta três consumidores no seu secundário ou lado
de baixa tensão com fornecimento de energia elétrica trifásico: Consumidor
A: 18 KW com fator de potência 0,86 indutivo; Consumidor B: 16 KVA com
fator de potência 0,89 indutivo e o Consumidor C: 10 KVAR com fator de
potência 0,81 indutivo. Obter a potência ativa e reativa total que o
transformador alimenta.

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