aaaa

1. REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS
DE POTÊNCIA
revisão mar06
1 - Introdução
A maioria dos sistemas elétricos de potência é em corrente alternada. As instalações
em corrente contínua são raras e tem aplicações específicas tais como transmitir grandes
blocos de energia a longa distancia. As informações sobre de sistemas de corrente contínua
normalmente são objeto de literaturas bastante especializada.
As aplicações com corrente alternada, de grande potência, são principalmente
trifásicas. Apenas algumas aplicações específicas utilizam mais de três fases. A utilização de
redes com uma ou duas fases são destinados a suprimentos de instalações de pequenas
potências e baixas tensões, tais como instalações residenciais ou industriais. A distribuição de
energia elétrica rural é também um exemplo de instalações com uma ou duas fases.
As instalações trifásicas são construídas de tal forma que cada uma das três fases
tenham comportamentos idênticos. Assim as instalações trifásicas podem ser representadas no
formato monofásico, apenas raramente se torna necessário a representação completa de um
diagrama de circuitos com três fases.
Em sistemas de potência utiliza-se largamente a representação das grandezas elétricas
em pu (por unidade). A sua utilização atual se deve mais a razões históricas e tradição do que
propriamente a sua utilidade. A origem de sua aplicação se deveu a necessidade de simular
sistemas elétricos em laboratórios, objetivando adequar as grandezas do sistema aos
componentes existentes nos laboratórios. Como por exemplo a representação de uma fonte de
tensão de 13,8 kV de um sistema elétrico por uma fonte de 100 V existente no laboratório.
2 - Equivalentes monofásicos
A figura 2.0 mostra o diagrama monofilar de um sistema isolado, de pequeno porte,
contendo uma usina geradora e a correspondente transmissão e carga.
Fig. 2.0
1
≈

2. A figura 2.1 mostra o circuito das três fases correspondente ao diagrama monofilar da
figura 2.0.
Fig. 2.1
Normalmente não existe necessidade de representar as três fases do circuito, mesmo
existindo anomalias que impliquem em desigualdade entre as fases. A representação dos
sistemas elétricos é feita preferencialmente através de diagramas monofilares.
Os sistemas trifásicos equilibrados podem ser representados por equivalentes
monofásicos. A formulação matemática de equivalentes monofásicos é muito mais simples
que a trifásica. A figura 2.2 mostra o diagrama de circuito monofásico equivalente ao sistema
da figura 2.1.
Figura 2.2
A representação matemática de equivalentes monofásicos pode ser demonstrada a
partir da queda de tensão em um trecho qualquer do sistema. No caso de linhas de
transmissão, a queda de tensão em um trecho é dada por:
[ ] [ ][ ]izv =∆ 2.0
Supondo que a linha de transmissão seja equilibrada, então:




















=










∆
∆
∆
c
b
a
fmm
mfm
mmf
c
b
a
i
i
i
zzz
zzz
zzz
v
v
v
2.1
No caso de sistemas equilibrados, as correntes são iguais em módulo e defasadas de
120°, assim a primeira linha da equação matricial pode formulada como:

120240 ∠+∠+=∆ amamafa izizizv 2.2
2
zg
zt
zt
zl
zc
zc
vg
carga

3. A equação 2.2 pode ser simplificada como:
amfammfa izzizzzv )()120240( −=∠+∠+=∆ 
2.3
Denominando mf zz − como az , obtém-se:
aaa izv =∆ 2.4
A equação 2.4 mostra que um trecho de linha de transmissão trifásica equilibrada pode
ser calculado por equivalentes monofásicos. O mesmo caminho pode ser empregado para
outros componentes do sistema, de onde se conclui que sistemas trifásicos equilibrados
podem ser representados pelos correspondentes equivalentes monofásicos.
3 - Representação em pu
A representação em pu pode ser entendida como uma mudança na dimensão dos
sistemas. Definida uma tensão de base BV , a tensões em pu são BVVpuV /)( = . As outras
grandezas elétricas em pu são definidas de maneira similar.
A mudança de dimensão de sistemas elétricos requer a definição de duas grandezas
como bases. Uma vez definidas duas bases, as bases das outras grandezas podem ser
derivadas pelas fórmulas que se aplicam ao sistema.
A potência de base é única para um determinado sistema. Por outro lado as base de
tensão, corrente e impedância, acompanham a relação de transformação dos transformadores
do sistema.
O mais usual é definir uma base de tensão VB e uma base de potência SB. Supondo
sistemas monofásicos e que VB e SB sejam grandezas correspondentes, respectivamente tensão
fase - neutro e potência monofásica, então:
BBB VSI /= e BBB SVZ /2
= 3.0
Por outro lado, se forem definidas grandezas de base em termos trifásicos, tensão fase
- fase e potência trifásica, as correspondentes correntes e impedância de base são:
)3/( BBB VSI = e BBB SVZ /2
= 3.1
Verifica-se que os valores de corrente e tensão de base fornecidos pelas equações 3.0 e
3.1 são idênticos.
3

4. Exemplo 3.0 - Determinar o diagrama de impedâncias do equivalente monofásico em ohms e
em pu do sistema da figura, adotando como base 69 kV e 100 MVA na linha de transmissão.
O gerador de 13,8 kV tem uma potência de 12 MVA e reatância transitória de 30%. Os dois
transformadores são idênticos com uma relação de 13,8 kV / 69 kV, potência de 15 MVA e
reatância de dispersão de 7%. A linha de transmissão tem 90 km de extensão, resistência
ôhmica de 0,24 ohms/km, reatância indutiva de 0,50 ohms/km e reatância capacitiva de 300
kohms×km. A carga do sistema é de 8,0 MW com um fator de potência de 0,92 em atraso
com uma tensão de operação de 13,2 kV.
Fig. 3.0.0
Solução (A) (Diagrama de impedâncias em ohms) - A resistência ôhmica e a reatância
indutiva da linha de transmissão são:
Ω=×Ω= 6,21)90()/24,0( kmkmR e Ω=×Ω= 0,45)90()/50,0( kmkmX L
A reatância capacitiva da linha de transmissão, considerando o circuito π equivalente é:
Ω=×Ω= 6670)45/()300( kmkmkXC
A reatância sub - transitória do gerador de 30% eqüivale a 0,30 pu na base de 13,8 kV e 12
MVA. Portanto a impedância de base do gerador é conhecida, o que permite o cálculo da
reatância sub - transitória em ohms, assim:
Ω=×=×= 76,4]12/8,13[]30,0[][)]([)( 2'
BG ZpuXohmsX
A reatância de dispersão do transformador é de 7 % o que eqüivale a 0,07 pu, na base de 15
MVA e 69 kV ou 13,8 kV. No caso de transformadores a base de tensão corresponde ao lado
em que a reatância em ohms é representada. Se a reatância for representada no lado de 13,8
kV, o valor em ohms é:
Ω=×=×= 889,0]15/8,13[]07,0[][)]([)( 2
BT ZpuXohmsX
Se a reatância do transformador for localizada no lado de 69 kV, o valor em ohms é:
Ω=×=×= 2,22]15/69[]07,0[][)]([)( 2
BT ZpuXohmsX
A carga do sistema de 8 MW e fator de potência de 0,92 corresponde a uma potência aparente
de MVAS 70,892,0/8 == .
Se o fator de potência da carga está em atraso significa que a potência ativa e reativa tem o
mesmo sinal, portanto a parte reativa da carga é:
MVArarcsenQ 41,3)]92,0(cos[70,8 =×=
4
≈

5. A tensão de operação na carga é de 13,2 kV o que eqüivale em termos monofásicos a
kVV 62,73/2,13 == . A figura 3.0.1 mostra o diagrama de impedâncias do eqüivalente
monofásico.
Fig. 3.0.1
Solução (B) Diagrama de impedâncias em pu - Sendo a base de tensão 69 kV na linha de
transmissão, tem-se como base de tensão 13,8 kV no gerador e também na carga. Assim a
impedância da linha em pu é:
pujjohmszZohmszpuz B )945,0454,0(61,47/)456,21(]100/69/[)]([/)]([)( 2
+=+===
Da mesma forma obtém-se que a reatância capacitiva da linha é 140 pu.
Sabendo que as bases do sistema no gerador são 13,8 kV e 100 MVA, a reatância do gerador
em pu é:
puohmsXZohmsXpuX B 50,29044,1/76,4]100/8,13/[)]([/)]([)( 2
====
A reatância em pu do gerador pode também ser obtida diretamente a partir do valor em de
0,30 pu na base dos valores nominais do gerador. Neste caso:
ger
B
sist
B
sist
B
sist
B
ger
B
ger
B
sist
B
ger
BG SSSVSVZZpuX /30,0]/)/[(]/)[(30,0/30,0)( 22
×==×=
A equação acima resulta no mesmo valor que é 2,5 pu para a reatância do gerador. A reatância
do transformador pode ser encontrada com uma equação semelhante, ou seja:
puZZpuX sist
B
transf
BT 467,015/10007,0/07,0)( =×=×=
A carga em pu pode ser obtida simplesmente como:
pujjpuS )0341,008,0(100/)41,38()( +=+=
A correspondente tensão de operação na barra de carga é então:
pukVkVpuV 957,0)8,13/()2,13()( ==
5
j4,76Ω j0,889Ω j22,2Ω(21,6+j45)Ω
-j6670Ω -j6670Ω
7,97kV/39,8kV
0,889Ω
39,8kV/7,97kV
0,889Ω
(2,67+j1,14)MVA
V=7,62kV

6. As relações de transformação dos transformadores (13,8 kV)/(69 kV) se tornam em relações
unitárias. A figura 3.0.2 mostra o diagrama de impedâncias em pu.
Fig. 3.0.2
Desde que as relações de transformação são unitárias, elas podem ser removidas do circuito.
Assim o diagrama de impedâncias em pu se comporta como se não existissem
transformadores no sistema, conforme mostra afigura 3.0.3.
Fig. 3.0.3
4 - Principais componentes dos sistemas elétricos
Os principais componentes dos sistemas são máquinas, linhas de transmissão,
transformadores e cargas. A geração de energia elétrica, na maioria das vezes é feita através
de geradores síncronos. A transmissão, em sua maior parte, é feita através de linhas trifásicas
de corrente alternada. Os transformadores são utilizados para reduzir ou aumentar os níveis de
tensão. A carga é o conjunto de consumidores constituído dos mais diversos tipos.
Máquinas síncronas.
As máquinas síncronas, tanto motores quanto geradores, tem a capacidade de controlar
a tensão em seus terminais. O controle da tensão objetivando manter níveis adequados de
tensão pode ser automático ou manual. O modelo mais simplificado de máquinas síncronas é
o mostrado na figura 4.0, um gerador em série com uma impedância.
Fig. 4.0
Na figura 4.0, vg é a tensão nos terminais, vi a tensão interna e zg a impedância do
gerador. O valor de zg normalmente é determinado através de testes aplicado nas máquinas.
Os valores avaliados em projetos não são suficientemente precisos.
6
s = 0,08+j0,0341j2,50 j0,467 j0,4670,454+j0,945
-j140 -j140
1,0 / 1,0 1,0 / 1,0
V = 0,957
s = 0,08+j0,0341j2,50 j0,467 j0,4670,454+j0,945
-j140 -j140 V = 0,957
zg
vg
vi
vg(A) (B)

7. O controle da tensão nas máquinas síncronas atua na tensão dos terminais. A
velocidade de resposta do controle é ajustada de tal forma para que ele não atue em situações
de perturbações de curta duração, tais como curtos circuitos e estabilidade transitória. Assim
durante eventos de curto circuito e estabilidade transitória o valor da tensão interna vi
permanece constante, portanto o modelo de máquina síncrona nestas situações se comporta
como mostra a figura 4.0 (A). Por outro lado em situações normais de operação, a atuação do
controle é precisa, fazendo com que a tensão vg permaneça praticamente constante, portanto
em situações normais de fluxo de potência o modelo das máquinas síncronas se comporta
como mostra afigura 4.0 (B), ou seja, simplesmente uma fonte de tensão.
Linhas de transmissão.
O modelo mais adequado para linhas de transmissão é o circuito π conforme mostra a
figura 4.1. A impedância série zp é composta pela resistência ôhmica e pela reatância indutiva
dos condutores. A impedância em paralelo zp é composta pela resistência ôhmica do
isolamento dos condutores e pela reatância capacitiva dos condutores. Ao contrário do que
ocorrem com máquinas síncronas, os valores estimados em projetos de linhas de transmissão
são bastante precisos, mesmo assim é um procedimento normal a medição prática dos
parâmetros das linhas de transmissão.
Fig. 4.1
Quando estimado em projeto, o modelo de linhas de transmissão mostrado na figura
4.1, no caso de linhas aéreas ele é preciso para distâncias da ordem de 200 km. Se a linha tem
extensões superiores a 200 km, ou se deseja uma grande precisão nos resultados, utiliza-se
diversos módulos π em série, ou então utiliza-se equivalentes determinados através de
equações diferenciais.
Transformadores.
Os parâmetros de transformadores são determinados através de ensaios pois os valores
calculados em projetos não são suficientemente precisos. Os ensaios são feitos a vazio e sob
curto circuito.
As impedâncias de transformadores de dois enrolamentos ocorrem em ambos lados,
entretanto normalmente as impedâncias são referidas em um dos lados onde são
representadas. A figura 4.2 mostra o circuito equivalente de um transformador de dois
enrolamentos.
Fig. 4.2
7
zp
zp
zs
zp
zs
zp
R1
/R2

8. A impedância série do eqüivalente de transformadores normalmente são valores muito
menores que a impedância paralela. As resistências ôhmicas, tanto da impedância série quanto
da paralela são muito menores que a reatância indutiva.
O efeito indutivo da impedância série de transformadores é denominado de reatância
de dispersão e o efeito resistivo é provocado pela denominada "perdas no cobre". O efeito
resistivo da impedância paralela é provocado pela denominada "perdas no ferro".
Em diversas aplicações despreza-se a representação da impedância paralela de, o que
eqüivale a desprezar os efeitos da corrente de excitação. Neste caso o modelo é ainda mais
simples, conforme mostra a figura 4.3.
Fig. 4.3
O ensaio de transformadores em vazio determina a corrente de excitação e
consequentemente permite a avaliação aproximada da impedância paralela, enquanto que o
ensaio sob curto circuito permite a avaliação aproximada da impedância série. Entretanto os
resultados conjunto dos dois ensaios permitem a avaliação precisa das duas impedâncias.
A figura 4.4 mostra a configuração dos ensaios a vazio e em curto circuito. Os
resultados dos ensaios, valores de tensão e correntes com o transformador a vazio e em curto
circuito, permitem a avaliação dos parâmetros dos transformadores. Tendo em vista os
ensaios, as impedâncias série e paralela recebem também os nomes de impedância de curto
circuito e impedância a vazio.
Fig. 4.4
Carga.
O valor da potência dos consumidores é denominada como carga. A carga pode ser de
um único consumidor ou de uma região. A maneira mais comum de representar cargas, tanto
ativa quanto reativa, é através do modelo de potência constante ou em outras palavras
)( 0
vfS = . Outros modelos de cargas são corrente constante ou )( 1
vfS = e impedância
constante ou )( 2
vfS = . Existem ainda outros modelos mais complexos tais como cargas
modeladas por polinômios.
O modelo da carga pode ser obtido através de medições em regime normal ou durante
distúrbios. Os distúrbios de tensão são aproveitados para obter dados sobre o comportamento
dinâmico da carga em função da tensão. O comportamento estático pode ser determinado em
casos de racionamento.
8
zt
T1
/T2
zcc
zv
zv
icc
vv
zcc
zv
zv
iv
vcc

9. A carga normalmente tem comportamentos cíclicos. Como por exemplo o ciclo diário,
o ciclo semanal e o sazonal. A figura 4.5 mostra o ciclo diário típico da carga ativa de uma
região predominantemente residencial.
Fig. 4.5
A carga reativa pode ter um comportamento um pouco diferente da carga ativa. O
fator de potência das cargas é na maioria atrasado e varia de 0,80 a 0,95. As cargas industriais
têm normalmente fator de potência mais baixo do que as cargas residenciais.
5 - Eqüivalente π de transformadores
A representação de transformadores através de impedâncias e relações de
transformação pode ser substituída por circuitos eqüivalentes. A remoção da relação de
transformação pode ser também obtida pela representação em pu quando as tensões dos
transformadores coincidem com as tensões de base. Entretanto esta coincidência pode não
existir e nestes casos a única solução é através do circuito π eqüivalente.
A figura 5.0 mostra uma representação típica de transformadores e também o
correspondente circuito π eqüivalente.
Fig. 5.0
9
MW
z
T1
/T2
i1
i2
v1
v2
v3
a
b c
i1
i2
v1
v2
24h0h

10. Do circuito representando o transformador, denominando 21 /TTT = , obtém-se as
seguintes relações:
Tii /21 = 5.0
Tvv ×= 31 5.1
21232 / izTvizvv ×−=×−= 5.2
Do circuito π eqüivalente pode-se obter as seguintes relações:
aicavcviavv 222221 )/1()/( ++=++= 5.3
aibavbviavv 111112 )/1()/( −+=−−= 5.4
Comparando as equações 5.2 e 5.4 obtém-se:
Tza ×= 5.5
e também que:
)1/(2
TTzb −×= 5.6
A equação 5.2 pode ser reformulada como:
TizTvv 221 ×+= 5.7
Comparando-se as equações 5.7 e 5.3 pode-se concluir que:
)1/( −×= TTzc 5.8
Exemplo 5.0 - Determinar o diagrama de impedâncias do exemplo 3.0 utilizando equivalentes
π para os transformadores.
Solução - A figura 5.0.0 mostra o diagrama de impedâncias do transformador elevador.
Fig. 5.0.0
10
j0,889Ω
7,97kV / 39,8kV
M N

11. Comparando-se as figuras 5.0.0 com a figura 5.0 utilizada para deduzir as equações do
circuito π eqüivalente, percebe-se que a barra M eqüivale a barra 2 e a barra N eqüivale a
barra 1. Portanto kVT 8,391 = e kVT 97,72 = , o que significa que
99,4/ 21 == TTT
44,4jTza =×=
55,5)1/(2
jTTzb −=−×=
11,1)1/( jTTzc =−×=
No caso do transformador abaixador, tem-se que 200,0=T , e consequentemente: 44,4ja = ,
11,1jb = e 55,5jc −= . A figura 5.0.1 mostra o diagrama de impedâncias em ohms utilizando
o eqüivalente π de transformadores.
Fig. 5.0.1
Exemplo 5.1 - Determinar o diagrama de impedâncias do sistema em pu da figura,
empregando uma base de potência de 100 MVA e 13,2 kV no lado de baixa tensão dos
transformadores. Considere que um dos transformadores esteja conectado no tap de 135 kV e
o outro no tap nominal. Os transformadores são de 25 MVA, 138 kV/ 13,8 kV, e cada um tem
reatância de dispersão de 6,5 %. A fonte supridora tem uma reatância eqüivalente de 17%, na
tensão de 132 kV e 200 MVA. A carga é de 30 MVA com fator de potência de 0,98 em
atraso.
Fig. 5.1.0
Solução - A tensão de base no lado de baixa dos transformadores é de 13,2 kV, portanto a
tensão de base no lado de alta é de 132 kV. As reatâncias em pu dos transformadores são:
284,0)100/2,13/()25/8,13(065,0/065,0)( 22
==×= sist
B
transf
BT ZZpuX
A reatância da fonte supridora é:
11
s = 2,67+j1,14j4,76 j4,44 j4,4421,6+j45
-j6670
-j6670
V = 7,62 kV
-j5,55
j1,11
j1,11
-j5,55
≈

12. 085,0)100/132/()200/132(17,0/17,0)( 22
==×= sist
B
fonte
BF ZZpuX
As relações de transformação em pu dos transformadores são respectivamente:
045,1/023,1)2,13/8,13/()132/135()/8,13/()/132()(1 === baixa
B
alta
B VVpuT
045,1/045,1)2,13/8,13/()132/138()/8,13/()/138()(2 === baixa
B
alta
B VVpuT
A carga ativa em pu do sistema é:
294,0/98,030)( =×= sist
BSpuP
O fator de potência em atraso implica que as potências ativa e reativa têm o mesmo sinal,
então:
060,0100/))98,0(arccos(30)( =×= senpuQ
A figura 5.1.1 mostra o diagrama de impedâncias em pu. No circuito da figura, somente
podem ser removidas as relações de transformação unitárias.
Fig. 5.1.1
A relação de transformação do transformador T2 é unitária e, portanto, pode ser removida sem
alterar o comportamento do circuito, enquanto que a do T1 só pode ser removida ao
representá-la como um circuito π eqüivalente.
Comparando-se as figuras 5.1.1 com a figura 5.0 conclui-se que o lado de alta do
transformador T1 corresponde com a barra 1 da figura 5.0 e que 979,0045,1/023,1 ==T ,
assim de acordo com as equações 5.6, 5.9 e 5.7 tem-se que:
278,0979,0284,0 jjTza =×=×=
0,13)979,01/(979,0284,0 2
jjb =−×=
2,13)1979,0/(979,0284,0 jjc −=−×=
12
j0,085
s = 0,294 + j0,060
j0,284
j0,2841,045/1,045
1,023/1,045

13. A figura 5.1.2 mostra o diagrama de impedâncias em pu na sua forma clássica.
Fig. 5.1.2
6 - Bancos de transformadores
Denomina-se como banco de transformadores um conjunto de três unidades
monofásicas constituindo um transformador trifásico. A utilização de banco de
transformadores é viável em casos especiais ou nos casos de transformadores com potências
muito elevadas.
As características dos bancos, tais como tensão, potência e impedâncias, são referidas
às unidades monofásicas. Desta forma ao se avaliar os diagramas de impedância de sistemas
com bancos de transformadores, o primeiro passo é a determinação das caraterísticas do
transformador trifásico eqüivalente, conforme mostrado no exemplo a seguir.
Exemplo 6.0 - Determinar o diagrama de impedâncias em pu de um banco de
transformadores constituído de unidades monofásicas. O lado de alta do transformador é
ligado em delta e o lado de baixa em Y aterrado. Cada unidade monofásica é de 50 MVA,
230kV/79,7kV e reatância de dispersão de 5,1%. Adotar uma base de 100 MVA e 138 kV no
lado de baixa do transformador trifásico eqüivalente.
Solução - A potência do transformador trifásico eqüivalente é a soma das três unidades
monofásicas, ou seja, 150 MVA.
O lado de alta do transformador trifásico está conectado em delta, portanto a tensão entre as
fases neste mesmo lado corresponde a tensão da unidade monofásica que é de 230 kV,
conforme mostra a figura 6.0.1.
O lado de baixa do transformador está conectado em Y, portanto a tensão entre as fases é de
1387,793 =× kV. Portanto a relação de transformação do transformador equivalente é de
230 kV / 138 kV.
13
j0,278
j13,0
-j13,2
j0,284
j0,085
s = 0,294 + j0,060

14. Fig. 6.0.1
Portanto a reatância em pu do transformador trifásico é:
0340,0)100/138/()150/138(051,0/051,0 22
=×=×= sist
B
transf
B ZZX
7 - Transformadores de três enrolamentos
Os transformadores de dois enrolamentos têm potências idênticas em ambos terminais.
Enquanto que os transformadores de três enrolamentos podem ter potências distintas em cada
um dos terminais. Os transformadores de três enrolamentos em subestações com mais de dois
níveis de tensão.
Da mesma forma que nos transformadores de dois enrolamentos, a determinação das
impedâncias de dispersão se faz através de ensaios com um dos terminais em curto circuito.
Os terminais dos transformadores de três enrolamentos são denominados de primário,
secundário e terciário e os respectivos ensaios permitem a determinação das seguintes
impedâncias de dispersão:
zps = impedância medida no primário com o secundário em curto circuito e o
terciário em aberto
zpt = impedância medida no primário com o terciário em curto circuito e o
secundário em aberto
zst = impedância medida no secundário com o terciário em curto circuito e o
primário em aberto
Fig. 7.1.1
14
230 kV 138 kV
p s
t
zp
zt
zs

15. O modelo do circuito monofásico eqüivalente em pu de transformadores de três
enrolamentos deve conter pelo menos três nós correspondentes a cada um dos terminais.
Assim, o modelo eqüivalente pode ser um circuito Y ou ∆. A figura 7.1.1 mostra o circuito Y
eqüivalente, que é o que permite uma formulação mais simples.
Ao simular o ensaio da medição da impedância psz no circuito Y eqüivalente da
figura 7.1.1 obtém-se que:
spps zzz += 7.0
De maneira similar obtém-se as duas seguintes equações:
tppt zzz += 7.1
tsst zzz += 7.2
Das equações 7.0, 7.1 e 7.2 pode-se determinar as impedâncias do circuito Y
eqüivalente do transformador de três enrolamentos, portanto:
2/)( stptpsp zzzz −+= 7.3
2/)( ptstpss zzzz −+= 7.4
2/)( psstptt zzzz −+= 7.5
Exemplo 7.0 - Determinar as impedâncias de um transformador de 3 enrolamentos cujos
dados são %94,8=ptX , com primário em 69 KV, terciário em 13,8 kV e potência de 10,0
MVA; %53,5=psX , com primário em 69 kV, secundário em 34,5 kV e potência de 10,0
MVA; %43,3=stX , com secundário em 34,5 kV, terciário em 13,8 kV e potência de 10,0
MVA.
Solução - Os dados de impedâncias se referem a uma mesma potência de base igual a 10,0
MVA. Adotando uma potência de base, para o diagrama em pu, de 100 MVA e uma tensão de
base de 69 kV no primário tem-se que:
552,010/100)0343,00553,00894,0(5,0 =×−+×=pX pu
001,010/100)0894,00343,00553,0(5,0 =×−+×=sX pu
342,010/100)0553,00343,00894,0(5,0 =×−+×=tX pu
15

16. 8 - Exercícios
Exercício 8.1 - Determinar o eqüivalente π, conforme mostra a figura, de um transformador
cuja relação de transformação ttt =21 / é um valor complexo. Sabe-se que nestes casos
31 vtv ×= e que 1
*
2 iti ×= .
Exercício 8.2 - (Prova ASP 31mar00) Determinar os valores de a, b e c do circuito da figura
abaixo. As grandezas a, b e c se referem ao circuito π eqüivalente de um transformador com
tap fora do nominal.
Exercício 8.3 - (Prova ASP 31mar00) Um transformador de 3 enrolamentos tem os seguintes
dados: primário em Y, 6,6 kV e 15 MVA; secundário em Y, 33 kV e 10 MVA; terciário em ∆,
2,2 kV e 5 MVA. As impedâncias são calculadas através de testes em curto circuito. Os
valores medidos no lado primário foram 232,0jz ps = Ω e 290,0=ptz Ω. O valor medido no
secundário foi 70,8jzst = Ω. Calcule as impedâncias do circuito estrela eqüivalente na base
de 15 MVA, e 6,6 KV no primário.
Exercício 8.4 - (Prova ASP 27abr01). - Desenhar o diagrama trifásico representando as
respectivas impedâncias ôhmicas do sistema da figura. A fonte geradora equivalente está
conectada em estrela aterrada e não contem reatâncias mútuas. A impedância da linha de
transmissão é dada pela matriz [zS].
[ ]










=
00,150,050,0
50,000,150,0
50,050,000,1
jjj
jjj
jjj
zs Ω/km
16
z
t1
/t2
i1
i2
v1
v2
v3
a
b c
i1
i2
v1
v2
z a
b c
A : 1.0

17. Exercício - 8.5 - (Prova 21mai1996) - Determinar o diagrama de impedâncias e a
correspondente matriz de admitancia. Use base de 13.8kV e 100MVA na barra de geração.
Exercício 8.6 - (prova de 21mai1996) - Determinar as impedâncias de cada um dos elementos
do circuito da figura. A matriz [z] corresponde a matriz de impedâncias de barras obtida
através da inversão da matriz de admitancia.
[ ]










=
7137,06774,06290,0
6774,07548,06591,0
6290,06591,06898,0
jjj
jjj
jjj
z
Exercício 8.7 - (Prova de 21mai1996) - Determinar o equivalente π do circuito da figura,
sabendo que )()/()cosh( lsenhzvlii crrs γγ += e )()()cosh( lsenhzilvv crrs γγ += , onde cz
é a impedância característica da linha, γ a constante de propagação e l o comprimento da
linha de transmissão. Determinar também a correspondente matriz de admitancia do circuito π
.
17
~
138kV/230kV
100MVA
X = 7,0%
100km138kV
100MVA
X = 20%
∆ Υ
13,2kV
60MVA
X = 30%
~
135kV/13,2kV
50MVA
X = 6,0%
97,0km
XL
= 0,4Ω/km
XC
= 280kΩ*km
13,2kV/132kV
50 MVA
X = 5%
5,0 km
R = 1,05Ω/km
XL
= 0,4Ω/km
XC
= 280kΩ*km
2 MW
fp=0,85
atrasado
35 MVA
fp=0,98
adiantado
1 2 3

18. Exercício 8.8 - (prova 23abr2004) - Conhecendo a equação matricial, na forma [y][v] =
[(s/v)*], reconstitua o sistema da figura. A tensão de base é 13,8 kV no gerador e a potência
de base do sistema é ??.










−∠
=










−∠









−+−
+−−
−

05,8482,0
0
0,28025,1951,2312,1983,2312,10
983,2312,1764,10312,1813,7
0813,7479,9 1
2
1 i
v
v
jj
jjj
jj
Exercício 8.9 - (prova 23abr2004) - Determinar a equação matricial na forma
[ ] [ ] [ ]*
)/( vsvy = do circuito da figura abaixo. Utilize como base, na barra 2, tensão de 220
kV potência de 100 MVA. As linhas de transmissão tem kmR /1,0 Ω= , kmXL /5,0 Ω= e
kmkXC /250 Ω= . Comentar também como seria resolvido o problema no caso em que o
transformador entre as barras 4 e 3 tivesse relação de 345kV/220kV.
18
si ri
rvsv
si
sv rv
ri
~ ?? km
R = ?? Ω/km
XL
= 0,5 Ω/km
XC
= ?? kΩxkm
13,8 kV / 138 kV
50 MVA
X = ?? %
Carga
?? MW
fp = ??
1 2 3
13,8 kV
50 MVA
X = 30 %
220kV/330kV
X=6%
450MVA
0,6GVA
fp=0,95 (adiantado)
600MW
fp=0,96 (atrasado)
220 kV 200km
200km
230kV/345kV
X=5%
400MVA
1
2
4
3
~
~
345kV
200km
200km

19. Exercício 8.10 - (prova23abr2004) - Determinar a matriz de admitâncias do circuito da figura
abaixo. Utilizar como base para pu 100MVA e 13,8kV na barra A.
fim
19
13,8kV
120MVA
X´=27,0%
~
A
13,8kV/230kV
120 MVA
X = 8%
R = 1% 140km
R = 0,081Ω/km
XL
=0,50Ω/km
XC
=280kΩ*km
~
220 kV
500MVA
X=10%
B C