Aula 47-b Potencial elétrico.pptx FORMULAS

Ciências da Natureza – Física Prof.: Luiz Felipe
Potencial elétrico
 Trabalho no campo elétrico uniforme
Considere uma carga puntiforme colocada no ponto A de um campo elétrico uniforme.
Deslocando-a até o ponto B, pode-se provar que o trabalho da força elétrica para mover a
carga de um ponto a outro não depende da trajetória e é dado por:
 Obs.: o campo eletrostático é um campo conservativo
. .cos .cos . .
AB AB AB
F d q Ed q E d
    
    
d
















 Energia potencial no campo eletrostático
Seja q uma carga elétrica puntiforme abandonada em repouso num ponto qualquer
de um campo eletrostático qualquer. Ao ser colocada nesse ponto, sobre a carga atuará uma
força elétrica que tende a deslocá-la em sua própria direção e sentido, realizando assim um
trabalho positivo. A partícula adquire, então, uma energia cinética que veio de outra forma de
energia, a chamada energia potencial elétrica. Para um par de cargas Q e q separadas por uma
distância d, a energia potencial será dada por:
.
pot
Q q
E K
d

 Potencial elétrico
Por definição, o potencial elétrico associado a um certo ponto P, indicado por VP, é dado pelo
quociente entre a energia potencial da carga em P e o valor da carga:
pot
P P P
KQq
E Q
d
V V V K
q q d
    
unidade: 1 J/C = 1 V (volt)

Para o caso de várias cargas puntiformes temos:
grandeza escalar
O potencial elétrico é a grandeza que define a energia potencial elétrica armazenada
por uma carga de prova q colocada naquele ponto do campo.
Tanto o campo elétrico quanto o potencial elétrico são característicos de cada ponto
do campo e seus valores independem de haver ou não carga de prova naquele ponto. Afinal
essas grandezas são causadas, em cada ponto do campo de forças, pela respectiva fonte dele,
no caso, a carga principal Q.

O potencial elétrico gerado por uma carga puntiforme isolada é inversamente proporcional à
distância da carga ao ponto. Assim, graficamente, temos:

(UnB) Uma carga pontual q cria, no vácuo, a uma distância r, um potencial de 200 V e um
campo elétrico de intensidade igual a 600 N/C. Quais os valores de r e q?
Dado: k0 = 9 · 109
(N · m2
)/C2
.
RESOLUÇÃO
Para a situação descrita, temos:
q P
 E















r
9
7
9.10 2
200 .10
9
kQ q
V q r
d r

    
9
2 9 7
2 2
9.10 2 1
600 600 9.10 . .10
9 3
k Q q
E r r r m
d r

      
7 7 7
2 2 1 2
.10 .10 . .10
9 9 3 27
q r q q C
  
    
Para o potencial criado por q em P, temos:
Para o campo criado por q em P, temos:

(UFPE) Duas cargas elétricas puntiformes, de mesmo módulo Q e sinais opostos, são fixadas
à distância de 3,0cm entre si. Determine o potencial elétrico no ponto A, em volts,
considerando que o potencial no ponto B é 60 volts.
RESOLUÇÃO
Para o ponto B, temos:
2 2
60 1,2
1.10 2.10
B Q Q B
Q Q
KQ KQ KQ KQ
V V V V KQ
d d
   

   
         
   
   
Para o ponto A, temos:
2 2
2
1.10 4.10
3
.10 75.1,2 90
4
A Q Q A A
Q Q
A A A
KQ KQ KQ KQ
V V V V V
d d
V KQ V V V
   

   
       
   
   
    

(FUVEST) Um sistema formado por três cargas elétricas puntiformes iguais, colocadas em
repouso nos vértices de um triângulo equilátero, tem energia potencial igual a U. Substitui-se
uma das cargas por outra, na mesma posição, mas com o dobro do valor. A energia potencial
eletrostática do novo sistema será igual a
a) 4/3 U b) 3/2 U c) 5/3 U d) 2U e) 3U
RESOLUÇÃO
Inicialmente, tínhamos a seguinte configuração:

 
Q
Q Q
d
d
d
2
0 12 13 23 0 0
. . . . . . 3
K Q Q K Q Q K Q Q KQ
U E E E U U
d d d d
        

No final, teremos a seguinte configuração:

 
Q
Q
d
d
d
2Q
C
A nova energia potencial eletrostática do sistema será dada por:
2
' ' '
12 13 23
.2 . .2 . . .
5
K Q Q K Q Q K Q Q KQ
U E E E U U
d d d d
        
Mas
2 2
0 0
5 5
3 3
U U
KQ KQ
U U
d d
    

 Trabalho em função da d.d.p.
Considere uma partícula eletrizada com carga elétrica q que será deslocada entre dois pontos
quaisquer, A e B, da região de um campo elétrico. O trabalho da força elétrica será dado por:
 
A B
pot pot A B A B
E E qV qV q V V
 
      
No caso do campo elétrico uniforme temos:
unidade de E no SI é o V/m
Mas a força elétrica é conservativa, logo:
    B A A B
A B C pot C pot C C pot pot
A B
E E E E E E E E E E
        
Assim, pode-se concluir que:
 
.
. .
A B
A B AB
q V V
E d V V Ed U
q E d


 


    




e B A
R C F C C
E E E
 
   


(MACK) Uma carga elétrica de intensidade Q = 10,0 μC, no vácuo, gera um campo elétrico
em dois pontos, A e B, conforme figura anterior. Sabendo-se que a constante eletrostática do
vácuo é k0 = 9 · 109
N · m2
/C2
, o trabalho realizado pela força elétrica para transferir uma
carga q = 2,00 μC do ponto B até o ponto A é, em mJ, igual a
a) 90,0 b) 180 c) 270 d) 100 e) 200
RESOLUÇÃO
Calculando os potenciais elétricos dos pontos A e B criados pela carga geradora Q, temos:

9 6
3
9.10 .10.10
45.10
2
A A A
A
kQ
V V V V
d

    
9 6
3
9.10 .10.10
90.10
1
B B B
B
kQ
V V V V
d

    
Logo, o trabalho da força elétrica para deslocar a carga de prova de B até A será:
   
6 3 3 3
0 2.10 90.10 45.10 90.10
e e e
F F F
q V V J
  
 
      
  
A

(UFG-2014) Um capacitor de placas paralelas é formado por duas placas metálicas grandes
ligadas a um gerador que mantém uma diferença de potencial tal que o campo elétrico
uniforme gerado no interior do capacitor seja E = 20000 N/C. Um pêndulo simples, formado
por um fio de massa desprezível e uma esfera de massa m = 6g eletricamente carregada com
carga q = µC, é colocado entre as placas, como ilustra a figura a seguir.

Considerando que a carga q não altera o campo elétrico entre as placas do capacitor,
responda:
a) para qual ângulo θ entre o fio e a vertical o sistema estará em equilíbrio estático?
b) Se a diferença de potencial fornecida pelo gerador fosse triplicada, para que ângulo θ entre
o fio e a vertical haveria equilíbrio estático?
RESOLUÇÃO
a) Representando as forças que atuam em q e fazendo o triângulo de forças, temos:
6 4
0
3
3.10 .2.10 3
30
6.10 .10 3
q E
F
tg tg tg tg
P mg
    


        

F















P














 T
















b) Triplicando a ddp, para a mesma distância entre as placas, temos:
.
U
E d U E
d
  
Campo elétrico antes
Campo elétrico depois
3
'. ' '. 3 ' 3
U
E d U E d U E E
d
     
Para o novo triângulo de forças, temos:
6 4
0
3
' 3.10 3.2.10
3 60
6.10 .10
q E
F
tg tg tg tg
P mg
    


        

 Propriedades do potencial elétrico
1) O potencial elétrico é decrescente no sentido da linha de força.
2) As linhas de força de um campo elétrico, gerado por cargas elétricas em repouso, não
podem ser linhas fechadas.
 Superfícies equipotenciais
Superfície equipotencial é o lugar geométrico dos pontos que apresentam um mesmo potencial
elétrico. Para uma carga puntiforme Q em repouso, as equipotenciais serão superfícies
esféricas concêntricas, com centro em Q.
A B C
V V V
 

D
D B
V V


 Propriedades das equipotenciais
1) O trabalho da força elétrica durante o deslocamento de uma carga elétrica puntiforme
sobre uma superfície equipotencial é nulo.
2) As superfícies equipotenciais são ortogonais às linhas de força que representam o campo
elétrico e, consequentemente, ortogonais ao vetor campo elétrico.
   
0 0
D B
q V V q V V
  
      

(FEI) Na figura, estão representadas algumas linhas de força e superfícies equipotenciais de
um campo eletrostático uniforme. Qual é, em microjoules, o trabalho da força elétrica que atua
em uma partícula de carga q = 4 μC, no deslocamento de A até C?
a) 325 b) 480 c) 5,2 d) –25 e) –620
RESOLUÇÃO
O trabalho da força elétrica para deslocar a carga de prova de A até C, temos:
   
0
e e A C
q V V q V V
 
    
 

Como o campo elétrico é uniforme, temos:

D
2
.5.10 40 10 600
DB DB DB AB
V
Ed U Ed U E E
m

       

F
C F
V V

A D
V V

DB D B A B AB
U V V V V U
    

Logo:
B
Calculando o trabalho da força elétrica entre A e C, temos:
Mas: AC A C D F DF
U V V V V U
    
 
e A C AC
q V V qU
   

40 600.0,2
DF DF AC DF A C DF C
U Ed U Ed V V Ed V
        
Daí 80
C
V V

   
6 6
4.10 40 80 480.10 480
e A C e e e
q V V J
    
 
        
   

(UNIEVANGÉLICA-2018/2) Uma carga pontual de módulo Q apresenta ao seu redor um
potencial elétrico descrito na figura a seguir. Use a constante eletrostática k igual a 9,0 . 109
N.m2
/C2
.
Qual seria a energia necessária, em Joule, realizada por um agente externo, para deslocar uma
outra carga duas vezes maior, de 0,10m para 0,30m?
a) 2,4 . 10-7
b) – 2,4 . 10-7
c) – 4,8 . 10-7
d) 4,8 . 10-7

RESOLUÇÃO
Encontrando inicialmente o valor da carga Q:
9
9
9.10
180 2.10
0,1
kQ Q
V Q C
d

     
Considerando a carga 2Q como carga de prova deslocada no campo elétrico de Q, temos:
   
9 9
0 4.10 180 60 480.10
el el el
F F F
qU q V V J
  
 
        
Logo, o trabalho do agente externo será:
9 7
480.10 4,8.10
el
operador F operador operador
J J
   
 
    
C

(UFPR) Um próton movimenta-se em linha reta paralelamente às linhas de força de um
campo elétrico uniforme, conforme mostrado na figura. Partindo do repouso no ponto 1 e
somente sob ação da força elétrica, ele percorre uma distância de 0,6m e passa pelo ponto 2.
Entre os pontos 1 e 2, há uma diferença de potencial ΔU igual a 32 V. Considerando a massa
do próton igual a 1,6 · 10–27
kg e sua carga igual a 1,6 · 10–19
C, assinale a alternativa que
apresenta corretamente a velocidade do próton ao passar pelo ponto 2.
a) 2,0 · 104
m/s b) 4,0 · 104
m/s c) 8,0 · 104
m/s
d) 1,6 · 105
m/s e) 3,2 · 105
m/s
RESOLUÇÃO
De acordo com o Teorema da Energia Cinética, temos:
 
0
2
0
2
R
F C F e C C
mv
E E E q V V
 
      

27 2
19 2 8 4
1,6.10
1,6.10 .32 64.10 8.10
2
v m
v v
s


    
C

 Carga elétrica puntiforme abandonada no campo elétrico
Abandonando-se, em repouso, uma carga elétrica q, puntiforme, numa região onde existe um
campo elétrico, ela fica sujeita à ação de uma força elétrica resultante e desloca-se
espontaneamente na direção e sentido dessa força, de tal forma que:
1) Em todo movimento espontâneo de carga elétrica, num campo elétrico, a energia potencial
elétrica diminui.
2) Cargas elétricas positivas, abandonadas em repouso no campo elétrico e sujeitas apenas à
ação da força elétrica, deslocam-se espontaneamente para pontos de menor potencial.
3) Cargas elétricas negativas, abandonadas em repouso no campo elétrico e sujeitas apenas
à ação da força elétrica, deslocam-se espontaneamente para pontos de maior potencial.

(UEL-2020) Uma distribuição de cargas, na forma de um triângulo equilátero, contém uma
carga em cada um de seus vértices, como mostra a figura a seguir.
Considere que o sistema de cargas esteja no vácuo, que a constante eletrostática é igual a 9 .
109
Nm2
/C2
e que a aresta do triângulo tenha 1m de comprimento. Com base nessas
informações, responda aos itens a seguir.
a) Para o caso em que as cargas Q1 = +1 nC e Q2 = +5 nC, obtenha o valor de Q3 (módulo e
sinal) para que a componente vertical (ou seja, perpendicular à linha que une Q1 e Q2) do
campo elétrico resultante seja nula no centro do triângulo.
b) Considerando, agora, que as três cargas sejam todas iguais a +1 nC (1 nC = 10–9
C),
obtenha o valor do potencial elétrico no centro do triângulo.

RESOLUÇÃO
Representando os vetores campo elétrico no ponto pedido, temos:

Para que as componentes verticais dos campos 1 e 2 se anulem, então o campo
elétrico da carga 3 deverá ser vertical para baixo. Logo:
1 2 3
0 0
1 2 3 2 2 2
1 2 3
.cos60 .cos60
y y
k Q k Q k Q
E E E
d d d
   
    
   
   
Mas
2 2 3 3
3 3 2 3
L
d r h r r m
     
Daí, temos:
9 9
9
3
3 3
2 2 2
1.10 1 5.10 1
. . 3.10 3
2 2
3 3 3
3 3 3
Q
Q C Q nC
 

     
     
     
     
1y
E















1x
E















1
E















0
60

b) Como o potencial é uma grandeza escalar, então o potencial resultante pedido será:
 
 
1 2 3
3
1 2
1 2 3
1 2 3
9 9
9 9 9 9
9.10 27.10
1.10 1.10 1.10 .3.10 27 3
3 3
3
P Q Q Q P P
P P P
kQ
kQ kQ k
V V V V V V Q Q Q
d d d r
V V V V
   
          
      

(UFBA) Uma partícula de carga 5 · 10–4
C e massa 1,6 · 10–3
kg é lançada com velocidade de
102
m/s, perpendicularmente ao campo elétrico uniforme produzido por placas paralelas de
comprimento igual a 20cm, distanciadas 2cm entre si. A partícula penetra no campo, num
ponto equidistante das placas, e sai tangenciando a borda da placa superior, conforme
representado na figura a seguir. Desprezando a ação gravitacional, determine, em 103
N/C, a
intensidade do campo elétrico.
RESOLUÇÃO
Esquematizando a situação descrita, temos:

Eixo x: MU
2 2 3
0 20.10 1.10 2.10
S S vt t t s
 
     
Eixo y: MUV (com aceleração devido à ação da força elétrica)
 
y m
 
x m
0
2
1.10
2
20.10
e
F 















v


E
















Sendo a força elétrica a força resultante, temos:
 
2
2 2 3 4
0 0 2
1
1.10 . 2.10 .10
2 2 2
a a m
S S v t t a
s
 
      
4 3 4 4
1
5.10 1,6.10 . .10 1,6.10
2
e
N
F ma q E ma E E
C
 
      

3
16.10
N
C

 Obs.: elétron-volt é a energia adquirida por um elétron acelerado, a partir do repouso, em
um trecho de campo elétrico em que a d.d.p. é de um volt.
  0
19 19
1,6.10 .1 1 1,6.10
F C A B C C C
E q V V E E E eV J
  
        
 O potencial de repouso
Entre o líquido no interior de uma célula e o fluido extracelular há uma diferença de
potencial elétrico denominada potencial de membrana. Esse potencial pode ser medido
ligando-se, por meio de microelétrodos, os polos de um medidor de voltagem ao interior de
uma célula (ponto A), e ao líquido extracelular (ponto B).

Quando as pontas dos dois eletrodos estão no meio externo, a diferença de potencial
medida é nula. O potencial elétrico do fluido extracelular, por convenção, é considerado nulo e a
diferença de potencial então será o próprio potencial no interior da membrana.
Quando a ponta do eletrodo A penetra na célula, o potencial elétrico V diminui
bruscamente para – 70mV. Na maioria das células, o potencial de membrana V permanece
inalterado, desde que não haja influências externas. Quando a célula se encontra nessa
condição, dá-se o nome de potencial de repouso (V0).

O potencial V é constante dentro e fora da célula, devendo, portanto, variar no
interior da membrana. A variação linear de V dentro da membrana é apenas hipotética, uma
vez que não pode ser medida em função das dimensões envolvidas.
Dentro e fora da célula o campo elétrico é nulo, pois nessas regiões não há
diferença de potencial. Logo:
3
6
10
70.10
. 8,8.10
80.10
U N
E d U E E
d C


     
espessura da membrana

 Obs.: a origem do potencial de repouso da membrana celular
Tanto o interior quanto o meio extracelular de uma célula estão cheios de uma
solução salina. Em soluções salinas muito diluídas, a maior parte das moléculas se decompõe
em íons. Esses íons movem-se livremente numa solução aquosa. Os fluidos dentro e fora da
célula são sempre neutros, não podendo haver um acúmulo local de cargas elétricas nesses
fluidos. Pode-se imaginar a membrana celular como um capacitor no qual duas soluções
condutoras estão separadas por uma delgada camada isolante – a membrana.
As cargas elétricas em excesso, + Q e – Q, que provocam a formação do potencial de
repouso, se localizam em torno da membrana celular. Esse potencial se origina também na
membrana celular: a superfície interna da membrana é coberta pelo excesso de ânions e na
superfície externa há o mesmo excesso de cátions.

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