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Tópico 3 – Movimento uniformemente variado              31


                                                                                3 Na fase inicial da decolagem, um jato parte do repouso com
 Tópico 3                                                                     aceleração escalar constante, atingindo a velocidade escalar de
                                                                              64,8 km/h em 5 s.
                                                                              Calcule essa aceleração.
  1 É dada a seguinte função horária da velocidade escalar de uma
partícula em movimento uniformemente variado:                                 Resolução:
                                                                              64,8 km/h = 18 m/s
                                      v = 15 + 20t (SI)
Determine:                                                                    α = Δv = 18 – 0 ⇒             α = 3,6 m/s2
a) a velocidade escalar inicial e a aceleração escalar da partícula;              Δt     5
b) a velocidade escalar no instante 4 s;                                       Resposta: 3,6 m/s2
c) o instante em que a velocidade escalar vale 215 m/s.
                                                                                4    No instante t0 = 0, um automóvel a 20 m/s passa a frear com
Resolução:                                                                    aceleração escalar constante igual a –2 m/s2. Determine:
      v = v0 + α t                                                            a) a função horária de sua velocidade escalar;
a)                         ⇒   v0 = 15 m/s e              α = 20 m/s2
      v = 15 + 20 t                                                           b) o instante em que sua velocidade escalar se anula.

b) v = 15 + 20 · 4 ⇒           v = 95 m/s                                     Resolução:
                                                                              a) v = v0 + α t ⇒      v = 20 – 2t (SI)
c) 215 = 15 + 20 t ⇒           t = 10 s

 Resposta: a) 15 m/s e 20 m/s2 respectivamente;                               b) 0 = 20 – 2t ⇒       t = 10 s
                b) 95 m/s; c) 10 s
                                                                                Resposta: a) v = 20 – 2t (SI); b) 10 s
  2 As tabelas (1) e (2) referem-se a dois movimentos uniformemen-
                                                                                5    Um automóvel parte do repouso, animado de aceleração esca-
te variados.
                                                                              lar constante e igual a 3 m/s2. Calcule a velocidade escalar do automó-
                                                                              vel 10 s após a partida.
     v (m/s)          0                4            x             y
                                                                        (1)
      t (s)           0                1            2             5
                                                                              Resolução:
                                                                              v=0+3t ⇒ v=3t

     v (m/s)          30              24            x             y
                                                                              v = 3 · 10 ⇒        v = 30 m/s
                                                                        (2)
      t (s)           0                1            2             5            Resposta: 30 m/s

Determine a aceleração escalar e os valores de x e y referentes às ta-          6   E.R. Um automóvel está a 30 m/s quando seus freios são acio-
belas (1) e (2).                                                               nados, garantindo-lhe uma aceleração de retardamento de módulo
                                                                               5 m/s2, suposta constante. Determine quanto tempo decorre até o
Resolução:                                                                     automóvel parar.
v = v0 + α t                                                                   Resolução:
                                                                               Vamos representar o automóvel numa trajetória supostamente
• Tabela I:          α = 4 m/s2                                                orientada, como na figura:
                                                                                         t0 = 0                                   t=?
                           x=4·2 ⇒           x = 8 m/s
 v = 0 + 4t = 4t
                          y=4·5 ⇒           y = 20 m/s
                                                                                      v0 = 30 m/s                                  v=0           s

• Tabela II:         α = – 6m/s   2                                            Durante todo o movimento, a velocidade escalar do automóvel é po-
                                                                               sitiva, uma vez que ele se move no sentido da trajetória.
                                                                               Como o movimento é retardado, a aceleração escalar deve ter sinal
                                                                               oposto ao da velocidade escalar. Assim, a aceleração escalar é nega-
                      x = 30 – 6 · 2 ⇒ x = 18 m/s
 v = 30 – 6t                                                                   tiva e vale:
                                                                                                            α = –5 m/s2
                      y = 30 – 6 · 5 ⇒         y=0                             Como v = v0 + α t, vem:
                                                                                                            v = 30 – 5t
 Respostas: Tabela I: α = 4 m/s2; x = 8 m/s; y = 20 m/s                        Fazendo v = 0, calculamos t:
            Tabela II: α = –6m/s2; x = 18 m/s; y = 0                                                      0 = 30 – 5t ⇒ t = 6 s
32     PARTE I – CINEMÁTICA



   7 Um móvel inicia, em determinado instante, um processo de                 10 A aceleração escalar de um automóvel em função do tempo
freagem em que lhe é comunicada uma aceleração escalar de módulo             está representada a seguir:
constante e igual a 4 m/s2. Sabendo que o móvel pára 20 s após a apli-
cação dos freios, determine sua velocidade escalar no instante corres-                       α (m/s2)
                                                                                                   4
pondente ao início da freagem.

Resolução:                                                                                              0        0,1            0,2 t (min)
v = v0 + α t                                                                                       –4
0 = v0 – 4 · 20 ⇒               v0 = 80 m/s
                                                                             Sabendo que a velocidade escalar do automóvel era nula em t0 = 0,
 Resposta: 80 m/s                                                            determine:
                                                                             a) a velocidade escalar em t = 0,1 min;
                                                                             b) o gráfico da velocidade escalar em função do tempo no intervalo
  8 A velocidade escalar de um móvel variou com o tempo con-                    de t0 = 0 α t = 0,2 min.
forme o gráfico a seguir. Calcule a velocidade escalar desse móvel no
instante t = 3,5 s.                                                          Resolução:
                                                                             a) • 0,1 min = 6 s
          v (m/s)
                                                                               • “área” = v6 – v0 ⇒ 6 · 4 = v6 – v0 ⇒              v6 = 24 m/s
               20,0
                                                                             b) • 0,2 min = 12 s
                                                                               • “área” = v12 – v6 ⇒ 6 · (– 4) = v12 – 24 ⇒              v12 = 0
                                                                             Ver gráfico nas respostas
                5,0
                                                                              Respostas: a) 24 m/s
                    0                                          5,0   t (s)
                                                                                         b)
                                                                                               v (m/s)
Resolução:                                                                                         24
                     5,0 – 20,0
• v0 = 20,0 m/s; α =            ⇒ α = – 3,0 m/s2
                       5,0 – 0
• v = v0 + α t ⇒ v = 20,0 – 3,0 · 3,5 ⇒    v = 9,5 m/s                                              0           0,1        0,2 t (min)


  Resposta: 9,5 m/s                                                           11 E.R. O gráfico a seguir mostra como a velocidade escalar ins-
                                                                              tantânea de um corpo em movimento uniformemente variado com-
  9   Trace o gráfico da aceleração escalar em função do tempo, cor-          porta-se em relação ao tempo num intervalo de 12 s:
respondente ao gráfico v × t dado a seguir:
                                                                                   v (m/s)
               v (m/s)                                                                  60
                  100
                                                                                        40

                    50                                                                  20


                                                                                          0         2       4    6     8      10     12       t (s)
                        0            10        20     30       40 t (s)
                                                                                      –20
Resolução:
                                                                                      –40
• De 0 a 20 s : α = 0 (constante)
                        100 – 50                                                      –60
• De 20 s a 30 s : α =            ⇒ α = 5 m/s2 (constante)
                         30 – 20                                              Determine:
                         0 – 100
• De 30 s a 40 s : α =            ⇒ α = – 10 m/s2 (constante)                 a) a função horária da velocidade escalar;
                         40 – 30                                              b) os intervalos de tempo em que o corpo se moveu no sentido da
                                                                                 trajetória e em sentido oposto ao dela;
                α (m/s2)
  Resposta:                                                                   c) os intervalos de tempo em que o movimento foi acelerado e re-
                        5                                                        tardado.
                                                                              Resolução:
                            0                       40 t (s)
                                    10    20   30                             a) A velocidade inicial é lida diretamente no gráfico:
                                                                                                            v0 = –60 m/s
                                                                                 Devemos calcular a aceleração escalar (que é constante) usando,
                  –10
                                                                                 por exemplo, o intervalo de 0 a 6 s:
Tópico 3 – Movimento uniformemente variado                  33


     • Em t0 = 0: v0 = –60 m/s;                                                       v
                                                                                                          II
     • Em t = 6 s: v = 0.
                                                                                             I                 III
     Então:                                                                                                          IV
                                                                                       0                                                      t
        v – v0 0 – (–60)
     α=        =         ⇒ α = 10 m/s2                                                                                    V             VII
        t – t0   6–0                                                                                                          VI

     Assim:
                                                                           Respostas: I – Progressivo e acelerado; II – Progressivo e uniforme;
     v = v0 + α t ⇒       v = –60 + 10t (SI)                               III – Progressivo e retardado; IV – Repouso; V – Retrógrado e acele-
                                                                               rado; VI – Retrógrado e uniforme; VII – Retrógrado e retardado.
 b) No intervalo de tempo dado por 0 ≤ t < 6 s, o corpo moveu-se
    em sentido oposto ao da trajetória, pois sua velocidade escalar
    foi negativa (movimento retrógrado). Entretanto, no intervalo          14 E.R. A velocidade escalar de um móvel variou com o tempo
    dado por 6 s < t ≤ 12 s, o movimento deu-se no mesmo sentido           conforme o gráfico seguinte:
    da trajetória, pois a velocidade escalar foi positiva (movimento                       v (m/s)
    progressivo).
                                                                                               30
    Observe que t = 6 s é o instante em que o corpo para e inverte o
    sentido do movimento.                                                                        20
 c) No intervalo dado por 0 ≤ t < 6 s, o movimento foi retardado,
    porque o módulo da velocidade escalar instantânea diminuiu                                   10
    com o tempo, ou porque a velocidade escalar e a aceleração
    escalar tiveram sinais contrários (velocidade negativa e acele-                               0                                5 t (s)
    ração positiva).
    Já no intervalo dado por 6 s < t ≤ 12 s, o movimento foi acelerado,    Calcule:
    porque o módulo da velocidade escalar instantânea cresceu com          a) a distância percorrida pelo móvel no intervalo de tempo de
    o tempo, ou porque a velocidade escalar e a aceleração escalar            0 a 5 s;
    tiveram sinais iguais (ambas foram positivas).                         b) a velocidade escalar média do móvel no mesmo intervalo
                                                                              de tempo.

  12 Uma partícula move-se numa trajetória orientada, tendo sua            Resolução:
velocidade escalar variando com o tempo conforme a função:                 a) Como a velocidade escalar instantânea foi positiva durante todo
                            v = 20 – 4t (SI)                                  o intervalo de tempo considerado, concluímos que a distância
                                                                              percorrida (d) é igual à variação de espaço (Δs), que é dada pela
Essa função é definida para t ≥ 0. Determine:                                 “área” entre o gráfico e o eixo dos tempos (“área” de um trapézio).
a) para que valores de t a partícula move-se no sentido da trajetória         Assim:
   (movimento progressivo);
                                                                                                 (30 + 10)
b) para que valores de t a partícula move-se em sentido oposto ao da           d = “área” =                · 5 ⇒ d = 100 m
   trajetória (movimento retrógrado);                                                                2
c) para que valores de t o movimento da partícula é acelerado;             b) Aplicando a fórmula da velocidade escalar média, temos:
d) para que valores de t o movimento da partícula é retardado.
                                                                                     Δs 100
                                                                               vm =      =     ⇒ vm = 20 m/s
Resolução:                                                                           Δt     5
a) 20 – 4 t > 0 ⇒ 4 t < 20 ⇒        0≤t<5s                                     Note que vm é a média aritmética entre as velocidades nos instan-
                                                                               tes 0 e 5 s:
b) 20 – 4 t < 0 ⇒ 4 t > 20 ⇒         t>5s
                                                                                     v0 + v5 10 + 30
c) v e α com mesmo sinal:                                                      vm =         =         ⇒ vm = 20 m/s
                                                                                        2       2
   •α<0
 •v<0 ⇒          t>5s
                                                                           15 A velocidade escalar de um corpo varia com o tempo, conforme
d) v e α com sinais contrários:                                           o gráfico seguinte:
  •α<0
                                                                                             v (m/s)
 •v>0 ⇒          0≤t<5s                                                                          10


 Respostas: a) 0 ≤ t Ͻ 5 s; b) t Ͼ 5 s; c) t Ͼ 5 s; d) 0 ≤ t Ͻ 5 s

 13 A velocidade escalar de um corpo varia em função do tempo,                                        0                       5 t (s)
como está representado no gráfico a seguir. Em cada um dos trechos        No intervalo de tempo de 0 a 5 s, determine:
de I a VII, classif ique o movimento em: progressivo ou retrógrado;       a) a aceleração escalar da partícula;
acelerado, retardado ou uniforme. Caso o corpo não esteja em movi-        b) a distância percorrida por ela;
mento, classifique-o em repouso.                                          c) a velocidade escalar média.
34            PARTE I – CINEMÁTICA



Resolução:                                                                        b) d = Δs = “área”
        10 – 0
a) α =          ⇒       α = 2 m/s2                                                  d = 5 · 10 +
                                                                                                    (20 + 10) · 5
                                                                                                                  +
                                                                                                                    5 · 20
         5–0                                                                                             2             2
                 5 · 10
b) Δs = “área” =          ⇒      Δs = 25 m = d
                    2                                                                  d = 175 m
         25
c) vm =        ⇒      vm = 5 m/s
          5                                                                        Respostas: a) αI = 0; αII = 2 m/s2 e αIII = – 4 m/s2; b) 175 m
 Respostas: a) 2 m/s2; b) 25 m; c) 5 m/s
                                                                                    18 Um motociclista entra em um túnel a 10 m/s. A partir desse ins-
                                                                                  tante, acelera uniformemente a 2 m/s2, chegando ao final do túnel com
  16 (UFPA) Como medida de segurança, várias transportadoras es-
                                                                                  velocidade de 26 m/s.
tão usando sistemas de comunicação via satélite para rastrear o mo-               a) Trace o gráfico da velocidade escalar do motociclista em função do
vimento de seus caminhões. Considere um sistema que transmite, a                     tempo desde o instante t0 = 0 (entrada no túnel) até o instante de
cada instante, a velocidade do caminhão para uma estação de moni-                    saída (t’).
toramento. A figura abaixo mostra o gráfico da velocidade em função               b) Calcule o comprimento do túnel.
do tempo, em unidades arbitrárias, para um caminhão que se desloca
entre duas cidades. Consideramos que AB, BC, CD, DE e EF são interva-             Resolução:
los de tempo entre os instantes respectivos assinalados no gráfico.               a) v = v0 + α t ⇒ 26 = 10 + 2t’ ⇒ t’ = 8 s
     Velocidade                                                                               v (m/s)
                                                                                                    26




                              A          B             C         D    E F Tempo                     10

                                                                                                     0                                    8     t (s)
Com base no gráfico, analise as seguintes afirmativas:
I. Em AB, o caminhão tem aceleração positiva.
II. O caminhão atinge a menor velocidade em BC.                                             (26 + 10) · 8
                                                                                  b) Δs =                 ⇒       Δs = 144 m
III. O caminhão atinge a maior velocidade no intervalo DE.                                       2
IV. O caminhão percorre uma distância maior no intervalo DE que no
     intervalo EF.                                                                 Respostas: a)      v (m/s)
V. O caminhão sofre uma desaceleração no intervalo CD.                                                    26
Indique a alternativa que contém apenas afirmativas corretas:
a) I e II.      b) I e III. c) III e IV.  d) IV e V.    e) II e V.
                                                                                                          10

 Resposta: c                                                                                                                      t (s)
                                                                                                              0              8

                                                                                               b) 144 m
 17 A velocidade escalar de um corpo é dada em função do tempo
pelo gráfico a seguir:
                                                                                   19 A velocidade escalar de um corpo variou de acordo com o gráfi-
                   v (m/s)
                                                                                  co a seguir. Dessa maneira, ele percorreu uma determinada distância d.
                       20
                                                                                  Que velocidade escalar constante esse corpo deveria manter no mesmo
                                             II                                   intervalo de tempo de 60 s para percorrer a mesma distância d?
                              I                            III
                       10                                                                          v (m/s)
                                                                                                         30


                        0            5            10             15   t (s)


a) Calcule a aceleração escalar do corpo em cada trecho (αI, αII e αIII).
b) Calcule a distância percorrida nos 15 segundos.
                                                                                                          0       20         40           60 t (s)
Resolução:
a)      αI = 0      (movimento uniforme)                                          Resolução:
                                                                                  “Velocidade escalar constante que o corpo deveria ter para percorrer
     αII =
              20 – 10
                      ⇒      αII = 2 m/s2                                         a mesma distância no mesmo intervalo de tempo” é outra maneira de
               10 – 5                                                             conceituar a velocidade escalar média.

     αIII =
               0 – 20
                      ⇒      αIII = – 4 m/s2                                       Resposta: 20 m/s
              15 – 10
Tópico 3 – Movimento uniformemente variado                         35


    20 (Cesgranrio-RJ) A velocidade de uma partícula varia com o pas-        Ver gráfico nas Respostas.
sar do tempo conforme o gráfico abaixo.
                                                                              Resposta: a)   v (m/s)
                       v (m/s)                                                                       40
                                                                                                     30
                                                                                                     20
                                                                                                     10
                                                                                                     0      5    10       15 t (s)

                                                                                          b) Não.

                                                                              22 (Mack-SP) Gustavo, estudando o movimento retilíneo de um
                                                                             pequeno corpo, a partir do repouso, verifica que a aceleração escalar
                            0     1    2     3        4   t (s)              varia com o tempo de acordo com o gráf ico dado. O espaço efetiva-
                                                                             mente percorrido pelo móvel nos primeiros 10 s de movimento é:
O seu deslocamento do instante 0 s até o instante 1 s foi de 1,5 m. Por
meio da observação do gráfico, diga qual é o deslocamento entre os
                                                                                        a (m/s2)
instantes 2 s e 3 s.
                                                                                              2
Resolução:                                                                                                                  6                  10
                                                                                                 0
                                                                                                                 4                                  t (s)
        d
    d
        d
0           1                                                                                –4

        d
                   “Área” = Δs ⇒ 3d = 1,5 m ⇒ d = 0,5 m
    d                                                                        a) 24 m.                     c) 72 m.                       e) 120 m.
        d          Δs = “área” = 7d = 7 · 0,5 m ⇒         Δs = 3,5 m         b) 48 m.                     d) 96 m.
    d
        d
    d
                                                                             Resolução:
        d                                                                    • v0 = 0
2           3
                                                                             • De 0 a 4 s : Δv = “área” ⇒ v4 – v0 = 4 · 2 ⇒ v4 = 8 m/s
                                                                             • v6 = v4 = 8 m/s
    Resposta: 3,5 m                                                          • De 6 s a 10 s : Δv = “área” ⇒ v10 – v6 = 4 · (– 4) ⇒ v10 – 8 = – 16 ⇒
                                                                             ⇒ v10 = – 8 m/s
    21 Sabe-se que no instante t = 0 a velocidade escalar de uma par-        • v (m/s)
                                0
tícula era de 10 m/s e que sua aceleração escalar variou conforme o
gráfico:                                                                                v (m/s)

                                                                                            8

            α (m/s2)
                  4                                                                                                  A1

                  2
                                                                                                                                               10

                   0              5              10               15 t (s)                   0                  4         6          8              t (s)
                                                                                                                                          A2


a) Trace o gráf ico da velocidade escalar em função do tempo, de
   t0 = 0 a t = 15 s.
b) É correto afirmar que sempre que a aceleração escalar de uma par-
   tícula diminui sua velocidade escalar também diminui?                                   –8


Resolução:                                                                                                            (8 + 2) · 8   2·8
                                                                             distância percorrida = A1 + | A2 | =                 +     = 48
Δv = “área”; v0 = 10 m/s                                                                                                  2          2
• v5 – v0 = 20 ⇒ v5 – 10 = 20 ⇒            v5 = 30 m/s
                                                                               distância percorrida = 48 m

• v10 – v5 = 10 ⇒ v10 – 30 = 10 ⇒          v10 = 40 m/s
                                                                               Resposta: b
• v15 = v10 = 40 m/s
36     PARTE I – CINEMÁTICA



 23 Um móvel tem velocidade escalar variável com o tempo, confor-                25 (Fuvest-SP) Um carro se desloca numa trajetória retilínea e
me o gráfico ao lado. O espaço percorrido entre os instantes t0 = 0 e t = 2 s   sua velocidade em função do tempo, a partir do instante t = 10 s,
é de 1,2 m.                                                                     está representada no gráf ico. Se o carro partiu do repouso e manteve
                 v (m/s)                                                        uma aceleração constante até t = 15 s, a distância percorrida, desde sua
                       1                                                        partida até atingir a velocidade de 6 m/s, vale:

                       v0
                                                                                                    v (m/s)
                                                                                                        10
                          0               1          2 t (s)                                             8
Determine:                                                                                               6
a) a velocidade escalar inicial v0;
b) a velocidade escalar de um automóvel em movimento uniforme                                            4
   que percorresse a mesma distância no mesmo intervalo de tempo.                                        2

Resolução:                                                                                       6     8 10 12 14 16 18 20 22               t (s)
                 (1 + v0)     (1 · 1)
a) Δs = “área” =          ·1+         = 1,2
                    2           2
                                                                                a) 12,5 m.                    c) 24,5 m.        e) 84,5 m.
    v0 = 0,4 m/s
                                                                                b) 18,0 m.                    d) 38,0 m.
b) Este é o significado da velocidade escalar média:
                                                                                Resolução:
  vm = Δs =
               1,2
                     ⇒     vm = 0,6 m/s
         Δt     2
                                                                                                          v (m/s)
 Respostas: a) 0,4 m/s; b) 0,6 m/s
                                                                                                                 6

  24 O gráfico fornece a velocidade escalar de um ponto material em
função do tempo.
                                                                                                                 3
                v (m/s)

                              A      B
                     10
                                         C           E
                      0                  10   14     20    t (s)
                    –10                                                                         7                    10        13        t (s)
                                              D

Determine:                                                                                      (13 – 7) · 6
a) o máximo afastamento do ponto material em relação à posição ini-             Δs = “área” =
                                                                                                     2
   cial, no intervalo de 0 a 20 s;
b) a distância percorrida de t0 = 0 até t = 20 s.                                  Δs = 18 m

Resolução:
a) De t = 0 a t = 10 s, o ponto desloca-se Δs no sentido da trajetória           Resposta: b
                                             1
(velocidade escalar positiva):
                (10 + 6)                                                         26 Um automóvel A encontra-se em repouso diante de um semá-
Δs = “área” =            · 10 ⇒ Δs = 80 m
  1                2              1                                             foro fechado. Assim que o semáforo abre, A está entrando em movi-
De t = 10 s a t = 20 s, o ponto desloca-se Δs em sentido oposto ao da           mento e outro automóvel B está passando por ele. O gráfico mostra as
trajetória (velocidade escalar negativa):
                                             2                                  velocidades escalares de A e B em função do tempo:

                10 · (– 10)
Δs = “área” =               ⇒ Δs = – 50 m
  2                  2          2                                                                       v (m/s)
                                                                                                                                    A
  t0 = 0                          80 m                     t = 10 s
                                                                                                               20                       B
                              t = 20 s        50 m
                                                                       s
                                                                                                                0          7     t (s)
O máximo afastamento é 80.
b) Distância percorrida = 80 m + 50 m = 130 m
                                                                                a) Em que instante t os automóveis voltam a se encontrar?
 Respostas: a) 80 m; b) 130 m                                                   b) Qual foi a máxima distância entre eles no intervalo de tempo de 0 a t?
Tópico 3 – Movimento uniformemente variado                     37


Resolução:                                                                    28 (Unesp-SP) Um veículo A passa por um posto policial a uma ve-
a) Em t0 = 0, os automóveis estão lado a lado.                              locidade constante acima do permitido no local. Pouco tempo depois,
   Para que isto volte a ocorrer, devemos ter ΔsA = ΔsB:                    um policial em um veículo B parte em perseguição do veículo A. Os
                                                                            movimentos dos veículos são descritos nos gráficos da figura.
              v (m/s)
                                                                                                50
                                                   A
                                                                                                                                           B
                                                                                                40

                                                                                                30




                                                                                      v (m/s)
                  20                               B                                                                                       A
                                                                                                20

                   0                7           14     t (s)                                    10

   Em T = 14 s, as áreas do triângulo (ΔsA) e do retângulo (ΔsB) são                             0
                                                                                                     0    5 10 15 20 25 30 35 40 45
   iguais.
                                                                                                                   t (s)
b) A distância entre B e A aumenta enquanto B é mais veloz que A,
   atingindo valor máximo quando as velocidades se igualam (t = 7 s).       Tomando o posto policial como referência para estabelecer as posi-
                                                                7 · 20      ções dos veículos e utilizando as informações do gráfico, calcule:
   A diferença entre as “áreas” calculadas de 0 a 7 s é igual a        m,
                                                                   2        a) a distância que separa o veículo B do A no instante t = 15,0 s;
   ou seja, 70 m.
                                                                            b) o instante em que o veículo B alcança o A.
 Respostas: a) 14 s; b) 70 m
                                                                            Resolução:
                                                                            a)
 27 (Fuvest-SP) Na f igura, estão representadas as velocidades, em                              v (m/s)
função do tempo, desenvolvidas por um atleta, em dois treinos A e B,                                                                 (B)
para uma corrida de 100 m rasos.                                                                         40
                                                                                                                                       (A)
               v (m/s)                         A                                                         30
                   12
                   10
                                                                                                               AA          AB
                       8
                                        B
                       6
                                                                                                         0         5            15             t (s)
                       4
                       2                                                       dAB = AA – AB = 15 · 30 – 10 · 40
                                                                                                           2
                        0   2   4   6       8 10 12 t (s)                        dAB = 250 m
Com relação aos tempos gastos pelo atleta para percorrer os 100 m,          b) A partir de t = 15 s, ΔsB deve ser dado por:
podemos afirmar que, aproximadamente:                                          ΔsB = ΔsA + 250
a) no B levou 0,4 s a menos que no A.                                          vB Δt = vA Δt + 250 ⇒ 40 Δt = 30 Δt + 250 ⇒ Δt = 25 s
b) no A levou 0,4 s a menos que no B.
                                                                               Então, o instante te em que B alcança A é:
c) no B levou 1,0 s a menos que no A.
d) no A levou 1,0 s a menos que no B.                                           te = 15 s + 25 s ⇒                 te = 40 s
e) no A e no B levou o mesmo tempo.
                                                                             Respostas: a) 250 m; b) 40 s
Resolução:
Treino A: duração tA
De 0 a 4 s: Δs1 = “área” = 4 · 11 ⇒ Δs1 = 22 m                                29 (Mack-SP – mod.) Em certo instante passam pela origem de uma
                              2
De 4 s a tA: Δs2 = 100 m – 22 m = 78 m                                      trajetória retilínea os móveis A, em movimento uniforme, e B, em mo-
Δs2 = “área” = (tA – 4) · 11 = 78 ⇒ tA = 11,1 s                             vimento uniformemente variado. A partir desse instante, constrói-se o
                                                                            diagrama abaixo. Em que instante o móvel B está 32 m à frente de A?
Treino B: duração tB                                                                                                                  B
                                                                                                         v (m/s)
De 0 a 3 s: Δs1 = “área” = 3 · 10 ⇒ Δs1 = 15 m
                               2
De 3 s a tB: Δs2 = 100 m – 15 m = 85 m                                                                        10                           A
Δs2 = “área” = (tB – 3) · 10 = 85 ⇒ tB = 11,5 s
                                                                                                               6
Portanto, no treino A o atleta gastou 0,4 s a menos que no B.

 Resposta: b                                                                                                   0           2           t (s)
38      PARTE I – CINEMÁTICA



Resolução:                                                                           Resolução:
• αB = Δv =
                10 – 6                                                               a) Temos que:
                       ⇒ αB = 2 m/s2
        Δt       2–0                                                                                              s0 = –14 m
• Seja t’ o instante procurado. Nesse instante : vB = 6 + 2t’                                                      v0 = 5 m/s
                                                                                                                  α = 2 m/s2
         v (m/s)
                                                                                         Como se trata de um MUV, a função horária dos espaços é do
                                                                    B
         6 + 2t’
                                                                                         tipo:
                                                                                                              s = s0 + v 0 t + α t 2
               10                                                       A                                                      2
                                                                                         Substituindo os valores de s0, v0 e α nessa expressão, obtemos:
                  6
                                                                                                                  s = –14 + 5t + t2 (SI)
                                                                                         Na origem dos espaços, temos s = 0. Então:
                    0
                                                                                                       0 = –14 + 5t + t2 ⇒ t = – 5 Ϯ 81
                                                             t‘             t (s)
ΔsB = ΔsA + 32                                                                                                                      2
                                                                                         donde:
 [(6 + 2t’) + 6] t’ = 10 t + 32
        2                                                                                                       t’ = 2 s ou t” = –7 s
                                                                                        Isso signif ica que a partícula passa pela origem dos espaços no
  t’ = 8 s
                                                                                        instante t’ = 2 s, isto é, 2 segundos após o instante adotado como
 Resposta: 8 s                                                                          origem dos tempos, e no instante t” = –7 s, isto é, 7 segundos an-
                                                                                        tes do instante adotado como origem.
                                                                                     b) Temos que v = v0 + α t. Assim:
  30 (UFC-CE) Um veículo está parado ao lado do marco que indica
“km 20” (o marco “km 0” fica em Fortaleza, no bairro Aerolândia) da                                                    v = 5 + 2t
rodovia BR 116, que liga Fortaleza ao Sul do Brasil. No instante t = 0, o                Em t’ = 2 s ⇒ v’ = 5 + 2(2) ⇒         v’ = 9 m/s
veículo começa a se mover, afastando-se de Fortaleza. O gráfico abaixo
mostra como varia sua velocidade escalar em função do tempo. Ao lado                     Em t” = –7 s ⇒ v” = 5 + 2(–7) ⇒         v” = –9 m/s
de que marco estará o veículo após se mover durante 60 segundos?
                Velocidade (m/s)




                                                                                      32 O esquema seguinte mostra quatro posições ocupadas por
                                                                                    uma partícula em movimento uniformemente variado. Sabe-se que,
                                   50
                                                                                    em t0 = 0, a partícula parte do repouso animada de aceleração escalar
                                   40
                                                                                    de 2 m/s2. Essa aceleração é mantida constante mesmo após o instan-
                                   30
                                                                                    te t = 3 s.
                                   20                                                                                     t=2s
                                   10                                                               t=1s               14 15 16 17        t= 3 s
                                                                                                                  2 13             18
                                    0   10 20 30 40 50 60     Tempo (s)                          t0 = 0        111                    19
                                                                                                          10




Resolução:                                                                                                                          s (m)
Para cálculo da área, o gráfico dado equivale a:                                    a) Determine o espaço e a velocidade escalar da partícula no instante
             v (m/s)                                                                   t = 5 s.
                                                                                    b) O movimento é acelerado ou retardado?
                    40
                                                                                     Respostas: a) 35 m e 10 m/s respectivamente; b) Acelerado

                                                  ⌬s
                                                                                     33 No esquema seguinte, observa-se uma partícula em quatro
                                                                                    instantes sucessivos de seu movimento uniformemente retardado.
                                                                                    Sabe-se que no instante t0 = 0 a velocidade escalar da partícula vale
                             0             20               60          t (s)
                                                                                    80 m/s.
       (60 + 40) · 40                                                                                                         t=1s
Δs =                  ⇒ Δs = 2 000 m = 2 km ⇒                       km 22
             2                                                                                                 40 50 60 70   8090      t=2s
                                                                                        t0 = 0            30
                                                                                                        20                       100
 Resposta: km 22                                                                                      10                           110          t=3 s
                                                                                                  0                                  120
                                                                                                                                        130
                                                                                                                                          140 150 s (m)
 31 E.R. No instante adotado como origem dos tempos, o espaço
 de uma partícula vale –14 m e sua velocidade escalar é igual a 5 m/s.              Sendo 20 m/s2 o módulo da aceleração escalar da partícula, determine:
 Sua aceleração escalar é constante e igual a 2 m/s2 para qualquer                  a) o instante em que ela pára;
 instante t. Determine:                                                             b) a distância percorrida pela partícula desde t0 = 0 até parar.
 a) o instante em que a partícula passa pela origem dos espaços;
                                                                                     Respostas: a) 4 s; b) 160 m
 b) a velocidade escalar da partícula ao passar pela origem dos espaços.
Tópico 3 – Movimento uniformemente variado               39


 34 Um móvel parte do repouso e desce por uma rampa plana com                       Resolução:
aceleração escalar constante. Ao fim de 2 segundos, o móvel já percor-              t2 – 13 t + 40 = 0 ⇒     t’ = 5 s   e    t’ = 8 s
reu 6 m. Determine:
a) a aceleração escalar do móvel;                                                    Respostas: 5 s e 8 s
b) a velocidade escalar do móvel ao fim de 2 segundos de movimento.
                                                                                     38 Os espaços de um móvel variam com o tempo, conforme a se-
Resolução:
a) Δs = α t2 ⇒ 6 = α · 22
                                                                                    guinte função horária:
        2          2                                                                                           s = 20 – 12t + 3t2
      α = 3 m/s2                                                                    em que os espaços (s) são medidos em centímetros e os tempos (t), em
                                                                                    segundos. Determine :
b) v = α t = 3 · 2
                                                                                    a) o(s) instante(s) em que o móvel passa pela origem dos espaços;
      v = 6 m/s                                                                     b) o instante e a posição do móvel quando ocorre a inversão do senti-
                                                                                       do do movimento.
Nota:
Frequentemente os alunos cometem o seguinte erro:                                   Resolução:
• Fazem: v =
              Δs = 6 m ⇒ v = 3 m/s                                                  a) 3 t2 – 12 t + 20 = 0 (não tem raízes reais)
              Δt 2 s
                                                                                    b) • v = – 12 + 6t
• Depois, fazem: α = Δv = 3 – 0 ⇒ α = 1,5 m/s2 (errado)
                     Δt     2                                                            0 = – 12 + 6t ⇒      t=2s
  É preciso alertá-los de que Δv é igual a (vfinal – vinicial) e que aquela velo-
  cidade calculada no início não é a velocidade f inal, mas a velocidade               • s = 20 – 12 · 2 + 3 · 22 ⇒     s=8m
  média no intervalo de 2 s.
                                                                                     Respostas: a) O móvel não passa pela origem dos espaços;
 Respostas: a) 3 m/s2; b) 6 m/s                                                                 b) 2 s e 8 m respectivamente

  35 Um caça a jato, voando em linha reta com velocidade escalar                      39 Duas partículas A e B deslocam-se ao longo de uma mesma tra-
igual a 720 km/h, acelera uniformemente, com aceleração de 5,0 m/s2,                jetória. Suas funções horárias, definidas a partir do mesmo referencial,
durante 10 s. Calcule:                                                              são dadas por:
a) a velocidade escalar do avião ao fim desses 10 s, em km/h;                                                      SA = 4t2 – 3
b) a distância percorrida pelo avião durante esses 10 s, em km.                                                   SB = 5t2 – 4t
Resolução:
a) v = v0 + α t = 200 + 5,0 · 10                                                    com S em metros e t em segundos.
                                                                                    Determine:
   v = 250 m/s ⇒          v = 900 km/h                                              a) para que valores de t as partículas se encontram;
                                                                                    b) as posições em que os encontros ocorrem.
b) Δs = v0 t + α t2 = 200 · 10 +
                                 5,0
                                     · 102
               2                  2
                                                                                    Resolução:
   Δs = 2 250 m ⇒         Δs = d = 2,25 km                                          a) 5t2– 4te = 4t2– 3
                                                                                         e          e


 Respostas: a) 900 km/h; b) 2,25 km                                                    t2– 4te + 3 = 0 ⇒
                                                                                        e
                                                                                                             t’ = 1 s   e    t” = 3 s

                                                                                    b) SA = 4 · 12 – 3 ⇒     SA = SB = 1 m
 36 Um automóvel move-se a 108 km/h quando seu motorista pisa
severamente no freio, de modo a parar o veículo em 3 s. Calcule a dis-                 SA = 4 · 32 – 3 ⇒      SA = SB = 33 m
tância percorrida pelo automóvel nesses 3 s.
                                                                                     Respostas: a) 1 s e 3 s; b) 1 m e 33 m
Resolução:
v0 = 108 km/h = 30 m/s                                                                40 (UFPA) Um automóvel, partindo do repouso com aceleração
v = v0 + α t ⇒ 0 = 30 + α · 3 ⇒ α = – 10 m/s2
                                                                                    constante, percorre 1 metro em 1 segundo em trajetória retilínea.
Δs = v0 t + α t2 = 30 · 3 +
                            (– 10) 2
                                  ·3                                                Indique a alternativa que contém os valores da aceleração e da velo-
            2                  2
                                                                                    cidade final, respectivamente, em m/s2 e m/s.
  Δs = 45 m                                                                         a) 2 e 2       b) 4 e 2     c) 1 e 1     d) 2 e 4      e) 1 e 4
 Resposta: 45 m                                                                     Resolução:
                                                                                    • Δs = α t2 ⇒ 1 = α · 12 ⇒          α = 2 m/s2
 37 A função horária dos espaços de um corpo é:                                            2          2
                        s = t2 – 13t + 40 (SI)                                      •v=αt=2·1 ⇒             v = 2 m/s
Determine o(s) instante(s) em que o corpo passa pela origem dos
espaços.                                                                             Resposta: a
40     PARTE I – CINEMÁTICA



 41 E.R. Um automóvel A entra em movimento com aceleração                          Δs = v0 t + α t2
                                       2                                                       2
 escalar constante e igual a 3 m/s no mesmo instante em que passa
 por ele outro automóvel B, com velocidade escalar constante e igual               32,0 = 12,0t + 2,0t2 ⇒       t = 2,0 s
 a 30 m/s. Os dois veículos percorrem a mesma estrada, no mesmo                   • Em relação ao solo, temos:
                                                                                    Δs = v0 t + α t2
 sentido.
 a) Considerando t0 = 0 quando A partiu, determine o instante em                                2
    que A alcança B.
                                                                                   Δs = 22,0 · 2,0 + 2,0 · 2,02 ⇒     Δs = 52,0 m
 b) Calcule a velocidade de A nesse instante.
                                                                                   Respostas: a) 2,0 s; b) 52,0 m
 Resolução:
 a) Desde o instante da partida de A (t0 = 0) até o instante t, em que A
    alcança B, suas variações de espaço (Δs) são iguais. O movimento de            43 E.R. Uma partícula em movimento uniformemente variado
    A é uniformemente variado. Assim, para esse movimento, temos:                  obedece à seguinte função horária dos espaços, com s em metros e
                                            α                                      t em segundos:
                         sA = s0 + v0 t + A t2 ou
                                A     A     2                                                                    s = 12 – 8t + t2
                                           αA 2                                    a) Represente graficamente o espaço em função do tempo no inter-
                             ΔsA = v0 t + t
                                      A     2                                         valo de 0 a 8 s.
                       ΔsA = 0 · t +  3 t2 = 1,5t2 (SI)                            b) Marque as posições da partícula numa trajetória suposta retilínea,
                                      2                                               nos instantes 0, 1 s, 2 s, 3 s, 4 s, 5 s, 6 s, 7 s e 8 s.
    Como o movimento de B é uniforme, temos:
                              sB = s0 + vB t ou                                    Resolução:
                                       B
                                                                                   a) Calculamos os espaços nos seguintes instantes:
                                    ΔsB = vB t
                                                                                      t = 0 ⇒ s = 12 – 8(0) + (0)2 ⇒ s = 12 m
                                  ΔsB = 30t (SI)                                      t = 1 s ⇒ s = 12 – 8(1) + (1)2 ⇒ s = 5 m
     Igualamos, então, ΔsA com ΔsB:                                                   t = 2 s ⇒ s = 12 – 8(2) + (2)2 ⇒ s = 0
                                                                                      t = 3 s ⇒ s = 12 – 8(3) + (3)2 ⇒ s = –3 m
                                            t1 = 0
                           1,5t2 = 30t ⇒                                              t = 4 s ⇒ s = 12 – 8(4) + (4)2 ⇒ s = –4 m
                                            t2 = 20 s
                                                                                      t = 5 s ⇒ s = 12 – 8(5) + (5)2 ⇒ s = –3 m
     Evidentemente, o instante que procuramos é posterior a t0 = 0.                   t = 6 s ⇒ s = 12 – 8(6) + (6)2 ⇒ s = 0
     Portanto, a resposta é:                                                          t = 7 s ⇒ s = 12 – 8(7) + (7)2 ⇒ s = 5 m
                                       t = 20 s                                       t = 8 s ⇒ s = 12 – 8(8) + (8)2 ⇒ s = 12 m
 b) Para o movimento de A, podemos escrever:                                          Organizamos os resultados numa tabela e, em seguida, fazemos a
                                                                                      representação gráfica:
                      vA = v0 + αA t ⇒ vA = 0 + 3 · 20
                              A
                                                                                        s (m)    12       5     0     –3    –4      –3   0     5    12
                                    vA = 60 m/s                                          t (s)   0        1     2     3     4       5    6     7    8
 Nota:
 • Este exercício (e muitos outros) pode ser resolvido mais facilmente a partir                  s (m)
   do gráfico v × t, como foi feito no exercício 26.                                                12
                                                                                                    11
                                                                                                    10
                                                                                                     9
 42 (Olimpíada Brasileira de Física) Em uma estrada de pista única,                                  8
                                                                                                     7
uma moto de 2,0 m de comprimento, cuja velocidade tem módulo                                         6
igual a 22,0 m/s, quer ultrapassar um caminhão longo de 30,0 m, que                                  5
                                                                                                     4
está com velocidade constante de módulo igual a 10,0 m/s. Supondo-                                   3
se que a moto faça a ultrapassagem com uma aceleração de módulo                                      2
igual a 4,0 m/s2, calcule o tempo que ela leva para ultrapassar o cami-                              1
nhão e a distância percorrida durante a ultrapassagem.                                                0       1 2 3 4 5          6 7 8 t (s)
                                                                                                    –1
                                                                                                    –2
Resolução:                                                                                          –3
                                                                                                    –4
• Tomando o caminhão como referencial, temos, para a moto:
  v0 = 22,0 m/s – 10,0 m/s = 12,0 m/s                                                 Observe que o gráfico obtido é um arco de parábola com a con-
  α = 4,0 m/s2                                                                        cavidade voltada para cima, o que sempre acontece quando a
  Δs = 32 m                                                                           aceleração escalar é positiva.
                  t0 = 0                                t 2,0 m                    b) Numa trajetória retilínea, as posições da partícula são dadas por:
               Moto                                                                         t=5s t=6s                  t=7s                  t=8s
                             Caminhão                                                   t=4st=3s t=2s                  t=1s                  t=0

                                  30,0 m                                                   –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 s (m)
                                  ⌬s = 32,0 m
Tópico 3 – Movimento uniformemente variado              41


     De t = 0 a t = 4 s, a partícula moveu-se em sentido oposto ao da             45 A função horária do espaço para o movimento de um ponto ma-
     trajetória. Em t = 4 s, que é o instante correspondente ao vértice         terial é:
     da parábola no gráfico s × t, ocorre a inversão do sentido do movi-                                    s = 4t – 2t2 (SI)
     mento. De t = 4 s a t = 8 s, a partícula moveu-se no mesmo sentido         Determine, para esse ponto material:
     da trajetória.                                                             a) os instantes em que ele está na origem dos espaços;
     De t = 0 a t = 4 s, o movimento foi retardado, pois a partícula per-       b) o instante e a posição correspondentes à inversão do sentido do
     correu, por segundo, uma distância cada vez menor.                             movimento;
     De t = 4 s a t = 8 s, o movimento foi acelerado, pois a distância          c) o gráfico do espaço em função do tempo.
     percorrida, por segundo, foi cada vez maior.
     Observe que a partícula passou pela origem dos espaços duas                Resolução:
     vezes: em t = 2 s e em t = 6 s.                                            a) – 2t2 + 4t = 0 ⇒     t’ = 0   e     t” = 2 s
     Note também que a forma do gráfico s × t nada tem a ver com a
     da trajetória.                                                             b) v = v0 + α t ⇒ 0 = 4 – 4t ⇒       t=1s
                                                                                   s=4·1–2·1 ⇒ s=2m
                                                                                                2

 Notas:                                                                         c) Ver gráfico nas Respostas.
 • O movimento uniformemente variado apresenta uma fase de ida e
   uma fase de volta, ambas descritas pelas mesmas equações. Só não              Resposta: a) 0 e 2 s; b) 1 s e 2 m;
   apresenta duas fases quando o movimento é incompleto, como a de-                        c) s (m)
                                                                                                2
   colagem de um avião e a freagem de um automóvel, por exemplo.
 • O tempo para a partícula se deslocar entre dois pontos determinados é
   o mesmo na ida e na volta.
 • Se você calcular, na ida e na volta, as velocidades escalares da partícula
   numa mesma posição (s = 5 m, por exemplo), poderá verificar que elas
   têm o mesmo valor absoluto.                                                                   0          1        2    t (s)



 44 O espaço (s) em função do tempo (t) para um objeto em movi-
mento uniformemente variado é dado pela expressão:                                46 Com relação a um movimento uniformemente variado, com as
                                           2
                         s = 25 – 10t + t (SI)                                  etapas de ida e volta, podemos afirmar que:
Determine:                                                                      a) a trajetória da partícula é um arco de parábola;
a) o instante em que a velocidade se anula;                                     b) antes do instante correspondente ao vértice da parábola do gráfico
b) os gráficos do espaço, da velocidade escalar e da aceleração escalar            do espaço s em função do tempo t o movimento é acelerado;
                                                                                c) a partícula não pode passar por um mesmo ponto duas vezes;
   em função do tempo.
                                                                                d) no instante correspondente ao vértice da parábola no gráfico s × t,
                                                                                   ocorre a inversão do sentido do movimento;
Resolução:                                                                      e) no instante da inversão do sentido do movimento, tanto a velocida-
a) v = – 10 + 2t                                                                   de como a aceleração escalar são nulas.
   0 = – 10 + 2t ⇒           t=5s
                                                                                 Resposta: d
b) Ver gráficos nas Respostas.

 Resposta: a) 5 s                                                                 47 No lixo de uma sala de aula de primeira série do Ensino Médio,
                                                                                foi encontrado um pedaço de papel em que estava traçado um gráfico
           b) s (m)
                                                                                referente a um movimento. Só era possível ler “Movimento unif”:
                      25                                                                 Pedaço de papel



                         0          5          t (s)


                   v (m/s)


                                                                                                    0                             t
                         0      5              t (s)

                      –10

                                                                                Pode-se afirmar que esse gráfico corresponde a um movimento:
                α (m/s2)                                                        a) certamente uniforme;
                        2
                                                                                b) certamente uniformemente variado;
                                                                                c) certamente retilíneo;
                         0                     t (s)                            d) uniforme ou uniformemente variado;
                                                                                e) acelerado com certeza.
42     PARTE I – CINEMÁTICA



Resolução:                                                                   Resolução:
O movimento é uniforme se a grandeza representada no eixo das or-            A velocidade se anula nos instantes de inversão do sentido do mo-
denadas é a posição (s) ou uniformemente variado se essa grandeza é          vimento.
a velocidade escalar (v).
                                                                              Resposta: e
 Resposta: d
                                                                               50 O gráfico a seguir, do espaço s em função do tempo t, refere-se
 48 O gráf ico ao lado corresponde ao movimento uniformemente                a um movimento uniformemente variado:
variado de uma partícula:                                                                    s (m)
                                                                                                9
                     s (m)
                         1

                             0      1 2 3              4 5 6 t (s)                              5
                           –1
                           –2
                                                                                                 0              2                t (s)
                           –3
                           –4
                                                                             Determine:
                                                                             a) a velocidade escalar do móvel no instante t0 = 0;
                           –5
                                                                             b) a aceleração escalar do móvel.
                           –6
                           –7
                                                                             Resolução:
                           –8                                                De t0 = 0 a t = 2 s, temos:
                                                                             a) vm = Δv = 9 – 5 ⇒ vm = 2 m/s
a) Supondo que a trajetória da partícula seja a representada a seguir,                 Δt      2–0
   copie-a, indicando a posição da partícula nos instantes 0, 1 s, 2 s,               v +v               v +0
                                                                                vm = 0 2 ⇒ 2 = 0              ⇒ v0 = 4 m/s
   3 s, 4 s e 5 s.                                                                       2                 2

                                                                             b) α = Δv = 2 0 = 0 – 4 ⇒
                                                                   1 s (m)              v +v                        α = – 2 m/s2
                                                               0                    Δt   2–0   2–0
                               –5 –4 –3           –2
                                                          –1
                          –6                                                  Respostas: a) 4 m/s; b) –2 m/s2
                    –7
             –8
b) O movimento é acelerado ou retardado para 0 < t < 2 s? E para              51 São dados a seguir os gráf icos referentes aos movimentos de
   t > 2 s?                                                                  dois veículos A e B. O gráfico de A é um arco de parábola com vértice
                                                                             em t = 0.
 Respostas: a)                              t=3s t=2s
                                            t=1s                                                                             A
                                   t=0                                                        s (m)                                  B
                                                0 1 (m)
                                   t=4s             s
                                 –4 –3       –1
                            –5         –2
                  t=5s
                          –6                                                                    12
                  –8 –7
             b) Retardado para 0 Ͻ t Ͻ 2 s
                e acelerado para t Ͼ 2 s.

 49 (Vunesp-SP) O gráfico na figura mostra a posição x de um objeto                                  0                   2               t (s)
em movimento sobre uma trajetória retilínea, em função do tempo t.
                                                                             Calcule a velocidade escalar de A em t = 2 s.
          x (m)
                                                                             Resolução:
              4
                                                                             De 0 a 2 s, temos:
               2                                                                                v +v    0 + v2
                                                                             v m = vm ⇒ v B = 0 2 ⇒ 6 =
               0
                                                   10 12                        B    A            2       2
                    1 2 34 56 78 9                      11 13 1415 t (s)       v2 = 12 m/s
             –2
             –4
                                                                               Resposta: 12 m/s
A partir desse gráfico, é possível concluir que a velocidade instantânea
do objeto anulou-se somente:                                                  52 No instante t = 0, dois motociclistas A e B estão em uma mesma
                                                                                              0
a) no instante 0 segundo;                                                    posição de uma estrada. Considerando essa posição como origem dos
b) nos instantes 9 e 14 segundos;                                            espaços e sabendo que suas velocidades escalares comportam-se em
c) nos instantes 2 e 7 segundos;                                             relação ao tempo conforme o diagrama abaixo, trace, num mesmo par
d) nos instantes 5 e 11 segundos;                                            de eixos, os gráficos do espaço em função do tempo para A e B, indi-
e) nos instantes 2, 5, 7 e 11 segundos.                                      cando o instante e a posição em que voltam a se encontrar.
Tópico 3 – Movimento uniformemente variado           43


                                                                              54 São dados, a seguir, os gráf icos do espaço (s) e da velocidade
                v (m/s)                         A
                                                                           escalar (v) em função do tempo (t) para cinco partículas:
                      40                                                    I        Arco de                   A
                                                B                                s     parábola
                      20                                                                                                  v


                       0        5     10        15   t (s)                                                                0   t1        t
                                                                                 0    t1            t
Resolução:
• Em te = 10 s:
sA = sB = 10 s · 20 m/s = 200 m                                            II                                         B
                                                                                 s                                        v
• Para B, a função s × t é crescente, do primeiro grau em t, com s0 = 0.
                                                                   B
• Para A, a função s × t também é crescente, com s0 = 0. É um arco de
                                                      A
parábola com vértice em t0 = 0, pois v0 = 0, apresentando concavidade                                                     0   t1        t
                                         A
voltada para cima, já que αA > 0.                                                0     t1           t
Veja os gráficos nas Respostas.

 Resposta:   Posição do encontro
                                                                           III       Arco de                          C
               s (m)             A                                               s   parábola                             v
                300                    B
                200
                100                                                                                                       0   t1        t
                                                                                 0     t1           t
                  0        5   10    15 t (s)

             Instante de encontro
                                                                           IV        Arco de
                                                                                 s
                                                                                                                      D
                                                                                     parábola
                                                                                                                          v
 53 (Olimpíada Paulista de Física) Uma taça de forma esférica, como
                                                                                      t1
mostra a figura abaixo, está sendo cheia com água a uma taxa constante.                                                   0             t
                                                                                 0                  t


                                                                           V                                          E
                                                                                 s                                        v

A altura do líquido, y, em função do tempo, t, pode ser representada
graficamente por:                                                                                                         0        t1       t
                                                                                 0                  t
a) y                                  d) y
                                                                           Estabeleça a correspondência entre os gráficos do espaço e da veloci-
                                                                           dade escalar.

                       t                                     t             Resolução:
b) y                                  e) y                                          v0 > 0
                                                                           I) MUV          → C
                                                                                    vt = 0
                                                                                            1




                                                             t
                                                                           II) De 0 a t1: MU com v > 0 → E
                       t
c) y                                                                             De t1 em diante: MU com v < 0

                                                                           III) De 0 a t1: repouso (v = 0) → A
                       t
                                                                                 De t1 em diante: MUV, com vt = 0 e α > 0
                                                                                                                1
Resolução:
No início, em iguais intervalos de tempo, o nível da água sobe cada vez                     v0 > 0
menos porque a área da seção transversal da taça vai aumentando. A         IV) MUV                 → B
                                                                                            vt = 0
partir do instante em que o nível da água atinge a seção transversal                            1

de área máxima, ele passa a subir cada vez mais, em iguais intervalos      V) MU: v > 0 → D
de tempo, porque a área da seção transversal passa a diminuir.

 Resposta: a                                                                 Respostas: I-C; II-E; III-A; IV-B; V-D
44      PARTE I – CINEMÁTICA



 55 E.R. Uma esfera de aço é abandonada numa rampa inclinada                Resolução:
 na qual está colocada uma f ita métrica graduada em centímetros,           v2 = v2+ 2αΔs ⇒ 202 = 102 + 2α · 10
                                                                                  0
 como representa a figura.
                          0                                                   α = 15 m/s2
                                20
                                     40                                      Resposta: 15 m/s2
                                          60
             v0 = 0
                                               80                            59 Deslocando-se com velocidade escalar igual a 30 m/s, um vagão
                                                    10
                                                      0
                                                                            ferroviário é desacelerado até o repouso com aceleração constante. O va-
                                                          12
                                                            0
                                                            14
                                                                            gão percorre 100 metros até parar. Qual a aceleração escalar do vagão?

                                                              0
                                                                16
                                                                  0
                                                                      18
                                                                            Resolução:

                                                                        0
                                                 v=?                        v2 = v2+ 2αΔs ⇒ 02 = 302 + 2α · 100
                                                                                  0

                                                                             α = – 4,5 m/s2
 Sabendo que a aceleração escalar da esfera é praticamente constante
 e igual a 5 m/s2, calcule sua velocidade escalar v no final da rampa.        Resposta: – 4,5 m/s2

 Resolução:                                                                  60 Um automóvel está a 72 km/h quando seus freios são acio-
 Temos: s0 = 20 cm = 0,2 m                                                  nados, imprimindo-lhe uma aceleração escalar constante de módulo
         s = 180 cm = 1,8 m                                                 igual a 5 m/s2. Calcule a distância que ele percorre desde o instante em
         v0 = 0 e                                                           que inicia a freada até parar e a duração desse percurso.
         α = 5 m/s2                                                         Resolução:
               2
 Então: v2 = v0 + 2α(s – s0)
                                                                            • v2 = v2+ 2αΔs ⇒ 02 = 202 + 2 · (– 5) · Δs
                                                                                    0
           v2 = 02 + 2 · 5 · (1,8 – 0,2) ⇒ v = 4 m/s
                                                                              Δs = 40 m

                                                                            • v = v0 + α t ⇒ 0 = 20 – 5t ⇒      t=4s
 56 No tubo de imagem de um televisor, um elétron, liberado com
velocidade nula por um filamento quente, é acelerado uniformemente           Resposta: 40 m e 4 s respectivamente
por um campo elétrico, atingindo a velocidade de 6 · 106 m/s após per-
correr 1,8 cm. Calcule a aceleração escalar desse elétron.
                                                                             61 (Fuvest-SP) A velocidade máxima permitida em uma autoes-
Resolução:                                                                  trada é de 110 km/h (aproximadamente 30 m/s) e um carro, nessa
v0 = 0; v = 6 · 106 m/s; Δs = 1,8 · 10–2 m                                  velocidade, leva 6 s para parar completamente. Diante de um posto
v2 = v2+ 2αΔs                                                               rodoviário, os veículos devem trafegar no máximo a 36 km/h (10 m/s).
      9
                                                                            Assim, para que os carros em velocidade máxima consigam obedecer
36 · 1012 = 2α · 1,8 · 10–2 ⇒        α = 1 · 1015 m/s2                      ao limite permitido ao passar em frente do posto, a placa referente à
                                                                            redução de velocidade deverá ser colocada antes do posto a uma dis-
 Resposta: 1 · 1015 m/s2                                                    tância de, pelo menos:
                                                                            a) 40 m.       b) 60 m.     c) 80 m.      d) 90 m.     e) 100 m.
 57 Um foguete parte do repouso de uma plataforma de lançamen-
to, com aceleração escalar de 440 m/s2, suposta constante, que é man-       Resolução:
tida nos primeiros 19,8 m da subida. Calcule:                               Supondo constante a aceleração escalar do carro durante a freada,
                                                                            temos:
a) a velocidade escalar do foguete no final desse deslocamento;
                                                                            • v = v0 + α t
b) o tempo decorrido para essa velocidade ser atingida.
                                                                              0 = 30 + α · 6 ⇒ α = – 5 m/s2
Resolução:                                                                  • v2 = v20 + 2αΔs
a) v2 = v2+ 2αΔs
         0
                                                                             102 = 302 + 2 · (– 5) · Δs ⇒   Δs = 80 m
   v2 = 2 · 440 · 19,8 = 17 424 ⇒           v = 132 m/s
b) v = v0 + α t                                                              Resposta: c
     132 = 440t ⇒      t = 0,3 s
                                                                              62 Um automóvel movia-se numa avenida quando seu motorista
 Respostas: a) 132 m/s; b) 0,3 s                                            percebeu que o semáforo do cruzamento logo adiante estava fecha-
                                                                            do. O motorista freou, mas não conseguiu parar antes do cruzamento,
  58 Enquanto uma partícula percorre 10 m, sua velocidade escalar           atingindo outro veículo. Com base nos danos causados nos veículos,
instantânea varia de 10 m/s a 20 m/s. Determine sua aceleração esca-        técnicos da polícia estimaram que o automóvel do motorista infrator
lar, suposta constante.                                                     estava a 36 km/h no momento da colisão. A 50 m do acidente, foi
Tópico 3 – Movimento uniformemente variado                   45


encontrada uma marca no asfalto, que corresponde ao local em que               b) Δstotal = (4,7 + 0,7) · 20 ⇒           Δstotal = 54 m
o motorista pisou desesperadamente no freio. Sabendo que os freios                               2
do veículo conseguem produzir uma aceleração escalar praticamen-                Resposta: a)       v (m/s)
te constante, de módulo igual a 8 m/s2, calcule sua velocidade, em                                     20
km/h, imediatamente antes de o motorista pisar no freio.

Resolução:
                                                                                                        0      0,7          4,7 t (s)
v = 10 m/s; Δs = 50 m; α = 8 m/s2
                                                                                              b) 54 m
v2 = v2 + 2αΔs
      0

102 = v2 + 2 · (– 8) · 50 v0 = 30 m/s
       0                                                                        65 (UFPI) A distância percorrida por um automóvel que viaja a

 v0 = 108 km/h                                                                 40 km/h, após a ação dos freios, até que pare, é de 8 metros, admitin-
                                                                               do-se constante sua aceleração devido à freada. Com a velocidade do
                                                                               automóvel igual a 80 km/h, e supondo as mesmas condições anterio-
 Resposta: v0 = 108 km/h                                                       res, o espaço percorrido pelo automóvel após a freada será de:
                                                                               a) 8 m.        b) 16 m.       c) 24 m.       d) 32 m.   e) 40 m.
                                                                               Resolução:
  63 O tempo de reação de um motorista é de aproximadamente                                                                    – v2
0,7 s (intervalo de tempo decorrido entre a percepção de um sinal para         • v2 = v2 + 2αΔs ⇒ 02 = v2 + 2αΔs ⇒ Δs =           0
                                                                                       0                   0
                                                                                                                               2α
parar e a efetiva aplicação dos freios). Se os freios de um automóvel
                                                                               • Dobrando v0, de 40 km para 80 km/h, Δs quadruplica. Portanto, a dis-
podem garantir um retardamento de 5 m/s2, calcule a distância percor-
                                                                               tância percorrida será 4 · 8 m, ou seja, 32 m.
rida por ele até parar, supondo que sua velocidade era de 72 km/h ao
perceber o sinal para parar (faça o cálculo utilizando equações).               Resposta: d
Resolução:
             MU (⌬s1)                        MUV (⌬s2)
                                                                                 66 (Mack-SP) Um atleta, ao disputar os “100 metros rasos”, conse-
    v = 20 m/s          v = 20 m/s                                   v=0       gue cumprir o percurso em 10,0 s. Considerando que o movimento é
                                                                               retilíneo uniformemente acelerado, a partir do repouso e da origem
                                                                           s   dos espaços, o gráfico que melhor representa a velocidade escalar do
Δt = 0,7 s                              α = – 5 m/s2                           atleta em função do espaço percorrido é:
Δs 1 = ?                                Δs2 = ?                                a)                                          d)
                                                                                         v (m/s)                                        v (m/s)
• Δs1 = v + Δt = 20 · 0,7 ⇒ Δs1 = 14 m                                              20                                          10
• v2 = v2 + 2αΔs
        0
  02 = 202 + 2 · (– 5) Δs2 ⇒ Δs2 = 40 m
• Δstotal = Δs1 + Δs2 ⇒     Δstotal = 54 m
                                                                                     0                       100 s (m)           0                100 s (m)

 Resposta: Δstotal = 54 m                                                      b)        v (m/s)                           e)           v (m/s)
                                                                                    20                                          10
 64 Com relação à questão anterior:
a) trace o gráfico da velocidade escalar (v) desde o instante em que
   o motorista percebeu o sinal para parar até o instante em que ele
   parou;                                                                            0                       100 s (m)           0                100 s (m)
b) calcule a distância percorrida nesse intervalo de tempo, por meio
                                                                               c)        v (m/s)
   do gráfico v × t.
                                                                                    15
Resolução:
a)
              v (m/s)

                  20                                                                 0                       100 s (m)

                                                                               Resolução:
                                                                               • Δs = αt ⇒ 100 = α · 10,0 ⇒ α = 2,0 m/s2
                                                                                          2                     2

                                                                                        2                    2
                                                                               • v2 = 2 α Δs = 4,0 S : o gráfico de v em função de S tem o aspecto da-
                                                                               queles das alternativas a e d.
                    0           0,7                      T   t (s)             • Para S – 100 m : v2 = 4,0 · 100 ⇒ v = 20 m/s
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Parte 1 – cinemática tópico 3

  • 1. Tópico 3 – Movimento uniformemente variado 31 3 Na fase inicial da decolagem, um jato parte do repouso com Tópico 3 aceleração escalar constante, atingindo a velocidade escalar de 64,8 km/h em 5 s. Calcule essa aceleração. 1 É dada a seguinte função horária da velocidade escalar de uma partícula em movimento uniformemente variado: Resolução: 64,8 km/h = 18 m/s v = 15 + 20t (SI) Determine: α = Δv = 18 – 0 ⇒ α = 3,6 m/s2 a) a velocidade escalar inicial e a aceleração escalar da partícula; Δt 5 b) a velocidade escalar no instante 4 s; Resposta: 3,6 m/s2 c) o instante em que a velocidade escalar vale 215 m/s. 4 No instante t0 = 0, um automóvel a 20 m/s passa a frear com Resolução: aceleração escalar constante igual a –2 m/s2. Determine: v = v0 + α t a) a função horária de sua velocidade escalar; a) ⇒ v0 = 15 m/s e α = 20 m/s2 v = 15 + 20 t b) o instante em que sua velocidade escalar se anula. b) v = 15 + 20 · 4 ⇒ v = 95 m/s Resolução: a) v = v0 + α t ⇒ v = 20 – 2t (SI) c) 215 = 15 + 20 t ⇒ t = 10 s Resposta: a) 15 m/s e 20 m/s2 respectivamente; b) 0 = 20 – 2t ⇒ t = 10 s b) 95 m/s; c) 10 s Resposta: a) v = 20 – 2t (SI); b) 10 s 2 As tabelas (1) e (2) referem-se a dois movimentos uniformemen- 5 Um automóvel parte do repouso, animado de aceleração esca- te variados. lar constante e igual a 3 m/s2. Calcule a velocidade escalar do automó- vel 10 s após a partida. v (m/s) 0 4 x y (1) t (s) 0 1 2 5 Resolução: v=0+3t ⇒ v=3t v (m/s) 30 24 x y v = 3 · 10 ⇒ v = 30 m/s (2) t (s) 0 1 2 5 Resposta: 30 m/s Determine a aceleração escalar e os valores de x e y referentes às ta- 6 E.R. Um automóvel está a 30 m/s quando seus freios são acio- belas (1) e (2). nados, garantindo-lhe uma aceleração de retardamento de módulo 5 m/s2, suposta constante. Determine quanto tempo decorre até o Resolução: automóvel parar. v = v0 + α t Resolução: Vamos representar o automóvel numa trajetória supostamente • Tabela I: α = 4 m/s2 orientada, como na figura: t0 = 0 t=? x=4·2 ⇒ x = 8 m/s v = 0 + 4t = 4t y=4·5 ⇒ y = 20 m/s v0 = 30 m/s v=0 s • Tabela II: α = – 6m/s 2 Durante todo o movimento, a velocidade escalar do automóvel é po- sitiva, uma vez que ele se move no sentido da trajetória. Como o movimento é retardado, a aceleração escalar deve ter sinal oposto ao da velocidade escalar. Assim, a aceleração escalar é nega- x = 30 – 6 · 2 ⇒ x = 18 m/s v = 30 – 6t tiva e vale: α = –5 m/s2 y = 30 – 6 · 5 ⇒ y=0 Como v = v0 + α t, vem: v = 30 – 5t Respostas: Tabela I: α = 4 m/s2; x = 8 m/s; y = 20 m/s Fazendo v = 0, calculamos t: Tabela II: α = –6m/s2; x = 18 m/s; y = 0 0 = 30 – 5t ⇒ t = 6 s
  • 2. 32 PARTE I – CINEMÁTICA 7 Um móvel inicia, em determinado instante, um processo de 10 A aceleração escalar de um automóvel em função do tempo freagem em que lhe é comunicada uma aceleração escalar de módulo está representada a seguir: constante e igual a 4 m/s2. Sabendo que o móvel pára 20 s após a apli- cação dos freios, determine sua velocidade escalar no instante corres- α (m/s2) 4 pondente ao início da freagem. Resolução: 0 0,1 0,2 t (min) v = v0 + α t –4 0 = v0 – 4 · 20 ⇒ v0 = 80 m/s Sabendo que a velocidade escalar do automóvel era nula em t0 = 0, Resposta: 80 m/s determine: a) a velocidade escalar em t = 0,1 min; b) o gráfico da velocidade escalar em função do tempo no intervalo 8 A velocidade escalar de um móvel variou com o tempo con- de t0 = 0 α t = 0,2 min. forme o gráfico a seguir. Calcule a velocidade escalar desse móvel no instante t = 3,5 s. Resolução: a) • 0,1 min = 6 s v (m/s) • “área” = v6 – v0 ⇒ 6 · 4 = v6 – v0 ⇒ v6 = 24 m/s 20,0 b) • 0,2 min = 12 s • “área” = v12 – v6 ⇒ 6 · (– 4) = v12 – 24 ⇒ v12 = 0 Ver gráfico nas respostas 5,0 Respostas: a) 24 m/s 0 5,0 t (s) b) v (m/s) Resolução: 24 5,0 – 20,0 • v0 = 20,0 m/s; α = ⇒ α = – 3,0 m/s2 5,0 – 0 • v = v0 + α t ⇒ v = 20,0 – 3,0 · 3,5 ⇒ v = 9,5 m/s 0 0,1 0,2 t (min) Resposta: 9,5 m/s 11 E.R. O gráfico a seguir mostra como a velocidade escalar ins- tantânea de um corpo em movimento uniformemente variado com- 9 Trace o gráfico da aceleração escalar em função do tempo, cor- porta-se em relação ao tempo num intervalo de 12 s: respondente ao gráfico v × t dado a seguir: v (m/s) v (m/s) 60 100 40 50 20 0 2 4 6 8 10 12 t (s) 0 10 20 30 40 t (s) –20 Resolução: –40 • De 0 a 20 s : α = 0 (constante) 100 – 50 –60 • De 20 s a 30 s : α = ⇒ α = 5 m/s2 (constante) 30 – 20 Determine: 0 – 100 • De 30 s a 40 s : α = ⇒ α = – 10 m/s2 (constante) a) a função horária da velocidade escalar; 40 – 30 b) os intervalos de tempo em que o corpo se moveu no sentido da trajetória e em sentido oposto ao dela; α (m/s2) Resposta: c) os intervalos de tempo em que o movimento foi acelerado e re- 5 tardado. Resolução: 0 40 t (s) 10 20 30 a) A velocidade inicial é lida diretamente no gráfico: v0 = –60 m/s Devemos calcular a aceleração escalar (que é constante) usando, –10 por exemplo, o intervalo de 0 a 6 s:
  • 3. Tópico 3 – Movimento uniformemente variado 33 • Em t0 = 0: v0 = –60 m/s; v II • Em t = 6 s: v = 0. I III Então: IV 0 t v – v0 0 – (–60) α= = ⇒ α = 10 m/s2 V VII t – t0 6–0 VI Assim: Respostas: I – Progressivo e acelerado; II – Progressivo e uniforme; v = v0 + α t ⇒ v = –60 + 10t (SI) III – Progressivo e retardado; IV – Repouso; V – Retrógrado e acele- rado; VI – Retrógrado e uniforme; VII – Retrógrado e retardado. b) No intervalo de tempo dado por 0 ≤ t < 6 s, o corpo moveu-se em sentido oposto ao da trajetória, pois sua velocidade escalar foi negativa (movimento retrógrado). Entretanto, no intervalo 14 E.R. A velocidade escalar de um móvel variou com o tempo dado por 6 s < t ≤ 12 s, o movimento deu-se no mesmo sentido conforme o gráfico seguinte: da trajetória, pois a velocidade escalar foi positiva (movimento v (m/s) progressivo). 30 Observe que t = 6 s é o instante em que o corpo para e inverte o sentido do movimento. 20 c) No intervalo dado por 0 ≤ t < 6 s, o movimento foi retardado, porque o módulo da velocidade escalar instantânea diminuiu 10 com o tempo, ou porque a velocidade escalar e a aceleração escalar tiveram sinais contrários (velocidade negativa e acele- 0 5 t (s) ração positiva). Já no intervalo dado por 6 s < t ≤ 12 s, o movimento foi acelerado, Calcule: porque o módulo da velocidade escalar instantânea cresceu com a) a distância percorrida pelo móvel no intervalo de tempo de o tempo, ou porque a velocidade escalar e a aceleração escalar 0 a 5 s; tiveram sinais iguais (ambas foram positivas). b) a velocidade escalar média do móvel no mesmo intervalo de tempo. 12 Uma partícula move-se numa trajetória orientada, tendo sua Resolução: velocidade escalar variando com o tempo conforme a função: a) Como a velocidade escalar instantânea foi positiva durante todo v = 20 – 4t (SI) o intervalo de tempo considerado, concluímos que a distância percorrida (d) é igual à variação de espaço (Δs), que é dada pela Essa função é definida para t ≥ 0. Determine: “área” entre o gráfico e o eixo dos tempos (“área” de um trapézio). a) para que valores de t a partícula move-se no sentido da trajetória Assim: (movimento progressivo); (30 + 10) b) para que valores de t a partícula move-se em sentido oposto ao da d = “área” = · 5 ⇒ d = 100 m trajetória (movimento retrógrado); 2 c) para que valores de t o movimento da partícula é acelerado; b) Aplicando a fórmula da velocidade escalar média, temos: d) para que valores de t o movimento da partícula é retardado. Δs 100 vm = = ⇒ vm = 20 m/s Resolução: Δt 5 a) 20 – 4 t > 0 ⇒ 4 t < 20 ⇒ 0≤t<5s Note que vm é a média aritmética entre as velocidades nos instan- tes 0 e 5 s: b) 20 – 4 t < 0 ⇒ 4 t > 20 ⇒ t>5s v0 + v5 10 + 30 c) v e α com mesmo sinal: vm = = ⇒ vm = 20 m/s 2 2 •α<0 •v<0 ⇒ t>5s 15 A velocidade escalar de um corpo varia com o tempo, conforme d) v e α com sinais contrários: o gráfico seguinte: •α<0 v (m/s) •v>0 ⇒ 0≤t<5s 10 Respostas: a) 0 ≤ t Ͻ 5 s; b) t Ͼ 5 s; c) t Ͼ 5 s; d) 0 ≤ t Ͻ 5 s 13 A velocidade escalar de um corpo varia em função do tempo, 0 5 t (s) como está representado no gráfico a seguir. Em cada um dos trechos No intervalo de tempo de 0 a 5 s, determine: de I a VII, classif ique o movimento em: progressivo ou retrógrado; a) a aceleração escalar da partícula; acelerado, retardado ou uniforme. Caso o corpo não esteja em movi- b) a distância percorrida por ela; mento, classifique-o em repouso. c) a velocidade escalar média.
  • 4. 34 PARTE I – CINEMÁTICA Resolução: b) d = Δs = “área” 10 – 0 a) α = ⇒ α = 2 m/s2 d = 5 · 10 + (20 + 10) · 5 + 5 · 20 5–0 2 2 5 · 10 b) Δs = “área” = ⇒ Δs = 25 m = d 2 d = 175 m 25 c) vm = ⇒ vm = 5 m/s 5 Respostas: a) αI = 0; αII = 2 m/s2 e αIII = – 4 m/s2; b) 175 m Respostas: a) 2 m/s2; b) 25 m; c) 5 m/s 18 Um motociclista entra em um túnel a 10 m/s. A partir desse ins- tante, acelera uniformemente a 2 m/s2, chegando ao final do túnel com 16 (UFPA) Como medida de segurança, várias transportadoras es- velocidade de 26 m/s. tão usando sistemas de comunicação via satélite para rastrear o mo- a) Trace o gráfico da velocidade escalar do motociclista em função do vimento de seus caminhões. Considere um sistema que transmite, a tempo desde o instante t0 = 0 (entrada no túnel) até o instante de cada instante, a velocidade do caminhão para uma estação de moni- saída (t’). toramento. A figura abaixo mostra o gráfico da velocidade em função b) Calcule o comprimento do túnel. do tempo, em unidades arbitrárias, para um caminhão que se desloca entre duas cidades. Consideramos que AB, BC, CD, DE e EF são interva- Resolução: los de tempo entre os instantes respectivos assinalados no gráfico. a) v = v0 + α t ⇒ 26 = 10 + 2t’ ⇒ t’ = 8 s Velocidade v (m/s) 26 A B C D E F Tempo 10 0 8 t (s) Com base no gráfico, analise as seguintes afirmativas: I. Em AB, o caminhão tem aceleração positiva. II. O caminhão atinge a menor velocidade em BC. (26 + 10) · 8 b) Δs = ⇒ Δs = 144 m III. O caminhão atinge a maior velocidade no intervalo DE. 2 IV. O caminhão percorre uma distância maior no intervalo DE que no intervalo EF. Respostas: a) v (m/s) V. O caminhão sofre uma desaceleração no intervalo CD. 26 Indique a alternativa que contém apenas afirmativas corretas: a) I e II. b) I e III. c) III e IV. d) IV e V. e) II e V. 10 Resposta: c t (s) 0 8 b) 144 m 17 A velocidade escalar de um corpo é dada em função do tempo pelo gráfico a seguir: 19 A velocidade escalar de um corpo variou de acordo com o gráfi- v (m/s) co a seguir. Dessa maneira, ele percorreu uma determinada distância d. 20 Que velocidade escalar constante esse corpo deveria manter no mesmo II intervalo de tempo de 60 s para percorrer a mesma distância d? I III 10 v (m/s) 30 0 5 10 15 t (s) a) Calcule a aceleração escalar do corpo em cada trecho (αI, αII e αIII). b) Calcule a distância percorrida nos 15 segundos. 0 20 40 60 t (s) Resolução: a) αI = 0 (movimento uniforme) Resolução: “Velocidade escalar constante que o corpo deveria ter para percorrer αII = 20 – 10 ⇒ αII = 2 m/s2 a mesma distância no mesmo intervalo de tempo” é outra maneira de 10 – 5 conceituar a velocidade escalar média. αIII = 0 – 20 ⇒ αIII = – 4 m/s2 Resposta: 20 m/s 15 – 10
  • 5. Tópico 3 – Movimento uniformemente variado 35 20 (Cesgranrio-RJ) A velocidade de uma partícula varia com o pas- Ver gráfico nas Respostas. sar do tempo conforme o gráfico abaixo. Resposta: a) v (m/s) v (m/s) 40 30 20 10 0 5 10 15 t (s) b) Não. 22 (Mack-SP) Gustavo, estudando o movimento retilíneo de um pequeno corpo, a partir do repouso, verifica que a aceleração escalar 0 1 2 3 4 t (s) varia com o tempo de acordo com o gráf ico dado. O espaço efetiva- mente percorrido pelo móvel nos primeiros 10 s de movimento é: O seu deslocamento do instante 0 s até o instante 1 s foi de 1,5 m. Por meio da observação do gráfico, diga qual é o deslocamento entre os a (m/s2) instantes 2 s e 3 s. 2 Resolução: 6 10 0 4 t (s) d d d 0 1 –4 d “Área” = Δs ⇒ 3d = 1,5 m ⇒ d = 0,5 m d a) 24 m. c) 72 m. e) 120 m. d Δs = “área” = 7d = 7 · 0,5 m ⇒ Δs = 3,5 m b) 48 m. d) 96 m. d d d Resolução: d • v0 = 0 2 3 • De 0 a 4 s : Δv = “área” ⇒ v4 – v0 = 4 · 2 ⇒ v4 = 8 m/s • v6 = v4 = 8 m/s Resposta: 3,5 m • De 6 s a 10 s : Δv = “área” ⇒ v10 – v6 = 4 · (– 4) ⇒ v10 – 8 = – 16 ⇒ ⇒ v10 = – 8 m/s 21 Sabe-se que no instante t = 0 a velocidade escalar de uma par- • v (m/s) 0 tícula era de 10 m/s e que sua aceleração escalar variou conforme o gráfico: v (m/s) 8 α (m/s2) 4 A1 2 10 0 5 10 15 t (s) 0 4 6 8 t (s) A2 a) Trace o gráf ico da velocidade escalar em função do tempo, de t0 = 0 a t = 15 s. b) É correto afirmar que sempre que a aceleração escalar de uma par- tícula diminui sua velocidade escalar também diminui? –8 Resolução: (8 + 2) · 8 2·8 distância percorrida = A1 + | A2 | = + = 48 Δv = “área”; v0 = 10 m/s 2 2 • v5 – v0 = 20 ⇒ v5 – 10 = 20 ⇒ v5 = 30 m/s distância percorrida = 48 m • v10 – v5 = 10 ⇒ v10 – 30 = 10 ⇒ v10 = 40 m/s Resposta: b • v15 = v10 = 40 m/s
  • 6. 36 PARTE I – CINEMÁTICA 23 Um móvel tem velocidade escalar variável com o tempo, confor- 25 (Fuvest-SP) Um carro se desloca numa trajetória retilínea e me o gráfico ao lado. O espaço percorrido entre os instantes t0 = 0 e t = 2 s sua velocidade em função do tempo, a partir do instante t = 10 s, é de 1,2 m. está representada no gráf ico. Se o carro partiu do repouso e manteve v (m/s) uma aceleração constante até t = 15 s, a distância percorrida, desde sua 1 partida até atingir a velocidade de 6 m/s, vale: v0 v (m/s) 10 0 1 2 t (s) 8 Determine: 6 a) a velocidade escalar inicial v0; b) a velocidade escalar de um automóvel em movimento uniforme 4 que percorresse a mesma distância no mesmo intervalo de tempo. 2 Resolução: 6 8 10 12 14 16 18 20 22 t (s) (1 + v0) (1 · 1) a) Δs = “área” = ·1+ = 1,2 2 2 a) 12,5 m. c) 24,5 m. e) 84,5 m. v0 = 0,4 m/s b) 18,0 m. d) 38,0 m. b) Este é o significado da velocidade escalar média: Resolução: vm = Δs = 1,2 ⇒ vm = 0,6 m/s Δt 2 v (m/s) Respostas: a) 0,4 m/s; b) 0,6 m/s 6 24 O gráfico fornece a velocidade escalar de um ponto material em função do tempo. 3 v (m/s) A B 10 C E 0 10 14 20 t (s) –10 7 10 13 t (s) D Determine: (13 – 7) · 6 a) o máximo afastamento do ponto material em relação à posição ini- Δs = “área” = 2 cial, no intervalo de 0 a 20 s; b) a distância percorrida de t0 = 0 até t = 20 s. Δs = 18 m Resolução: a) De t = 0 a t = 10 s, o ponto desloca-se Δs no sentido da trajetória Resposta: b 1 (velocidade escalar positiva): (10 + 6) 26 Um automóvel A encontra-se em repouso diante de um semá- Δs = “área” = · 10 ⇒ Δs = 80 m 1 2 1 foro fechado. Assim que o semáforo abre, A está entrando em movi- De t = 10 s a t = 20 s, o ponto desloca-se Δs em sentido oposto ao da mento e outro automóvel B está passando por ele. O gráfico mostra as trajetória (velocidade escalar negativa): 2 velocidades escalares de A e B em função do tempo: 10 · (– 10) Δs = “área” = ⇒ Δs = – 50 m 2 2 2 v (m/s) A t0 = 0 80 m t = 10 s 20 B t = 20 s 50 m s 0 7 t (s) O máximo afastamento é 80. b) Distância percorrida = 80 m + 50 m = 130 m a) Em que instante t os automóveis voltam a se encontrar? Respostas: a) 80 m; b) 130 m b) Qual foi a máxima distância entre eles no intervalo de tempo de 0 a t?
  • 7. Tópico 3 – Movimento uniformemente variado 37 Resolução: 28 (Unesp-SP) Um veículo A passa por um posto policial a uma ve- a) Em t0 = 0, os automóveis estão lado a lado. locidade constante acima do permitido no local. Pouco tempo depois, Para que isto volte a ocorrer, devemos ter ΔsA = ΔsB: um policial em um veículo B parte em perseguição do veículo A. Os movimentos dos veículos são descritos nos gráficos da figura. v (m/s) 50 A B 40 30 v (m/s) 20 B A 20 0 7 14 t (s) 10 Em T = 14 s, as áreas do triângulo (ΔsA) e do retângulo (ΔsB) são 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 iguais. t (s) b) A distância entre B e A aumenta enquanto B é mais veloz que A, atingindo valor máximo quando as velocidades se igualam (t = 7 s). Tomando o posto policial como referência para estabelecer as posi- 7 · 20 ções dos veículos e utilizando as informações do gráfico, calcule: A diferença entre as “áreas” calculadas de 0 a 7 s é igual a m, 2 a) a distância que separa o veículo B do A no instante t = 15,0 s; ou seja, 70 m. b) o instante em que o veículo B alcança o A. Respostas: a) 14 s; b) 70 m Resolução: a) 27 (Fuvest-SP) Na f igura, estão representadas as velocidades, em v (m/s) função do tempo, desenvolvidas por um atleta, em dois treinos A e B, (B) para uma corrida de 100 m rasos. 40 (A) v (m/s) A 30 12 10 AA AB 8 B 6 0 5 15 t (s) 4 2 dAB = AA – AB = 15 · 30 – 10 · 40 2 0 2 4 6 8 10 12 t (s) dAB = 250 m Com relação aos tempos gastos pelo atleta para percorrer os 100 m, b) A partir de t = 15 s, ΔsB deve ser dado por: podemos afirmar que, aproximadamente: ΔsB = ΔsA + 250 a) no B levou 0,4 s a menos que no A. vB Δt = vA Δt + 250 ⇒ 40 Δt = 30 Δt + 250 ⇒ Δt = 25 s b) no A levou 0,4 s a menos que no B. Então, o instante te em que B alcança A é: c) no B levou 1,0 s a menos que no A. d) no A levou 1,0 s a menos que no B. te = 15 s + 25 s ⇒ te = 40 s e) no A e no B levou o mesmo tempo. Respostas: a) 250 m; b) 40 s Resolução: Treino A: duração tA De 0 a 4 s: Δs1 = “área” = 4 · 11 ⇒ Δs1 = 22 m 29 (Mack-SP – mod.) Em certo instante passam pela origem de uma 2 De 4 s a tA: Δs2 = 100 m – 22 m = 78 m trajetória retilínea os móveis A, em movimento uniforme, e B, em mo- Δs2 = “área” = (tA – 4) · 11 = 78 ⇒ tA = 11,1 s vimento uniformemente variado. A partir desse instante, constrói-se o diagrama abaixo. Em que instante o móvel B está 32 m à frente de A? Treino B: duração tB B v (m/s) De 0 a 3 s: Δs1 = “área” = 3 · 10 ⇒ Δs1 = 15 m 2 De 3 s a tB: Δs2 = 100 m – 15 m = 85 m 10 A Δs2 = “área” = (tB – 3) · 10 = 85 ⇒ tB = 11,5 s 6 Portanto, no treino A o atleta gastou 0,4 s a menos que no B. Resposta: b 0 2 t (s)
  • 8. 38 PARTE I – CINEMÁTICA Resolução: Resolução: • αB = Δv = 10 – 6 a) Temos que: ⇒ αB = 2 m/s2 Δt 2–0 s0 = –14 m • Seja t’ o instante procurado. Nesse instante : vB = 6 + 2t’ v0 = 5 m/s α = 2 m/s2 v (m/s) Como se trata de um MUV, a função horária dos espaços é do B 6 + 2t’ tipo: s = s0 + v 0 t + α t 2 10 A 2 Substituindo os valores de s0, v0 e α nessa expressão, obtemos: 6 s = –14 + 5t + t2 (SI) Na origem dos espaços, temos s = 0. Então: 0 0 = –14 + 5t + t2 ⇒ t = – 5 Ϯ 81 t‘ t (s) ΔsB = ΔsA + 32 2 donde: [(6 + 2t’) + 6] t’ = 10 t + 32 2 t’ = 2 s ou t” = –7 s Isso signif ica que a partícula passa pela origem dos espaços no t’ = 8 s instante t’ = 2 s, isto é, 2 segundos após o instante adotado como Resposta: 8 s origem dos tempos, e no instante t” = –7 s, isto é, 7 segundos an- tes do instante adotado como origem. b) Temos que v = v0 + α t. Assim: 30 (UFC-CE) Um veículo está parado ao lado do marco que indica “km 20” (o marco “km 0” fica em Fortaleza, no bairro Aerolândia) da v = 5 + 2t rodovia BR 116, que liga Fortaleza ao Sul do Brasil. No instante t = 0, o Em t’ = 2 s ⇒ v’ = 5 + 2(2) ⇒ v’ = 9 m/s veículo começa a se mover, afastando-se de Fortaleza. O gráfico abaixo mostra como varia sua velocidade escalar em função do tempo. Ao lado Em t” = –7 s ⇒ v” = 5 + 2(–7) ⇒ v” = –9 m/s de que marco estará o veículo após se mover durante 60 segundos? Velocidade (m/s) 32 O esquema seguinte mostra quatro posições ocupadas por uma partícula em movimento uniformemente variado. Sabe-se que, 50 em t0 = 0, a partícula parte do repouso animada de aceleração escalar 40 de 2 m/s2. Essa aceleração é mantida constante mesmo após o instan- 30 te t = 3 s. 20 t=2s 10 t=1s 14 15 16 17 t= 3 s 2 13 18 0 10 20 30 40 50 60 Tempo (s) t0 = 0 111 19 10 Resolução: s (m) Para cálculo da área, o gráfico dado equivale a: a) Determine o espaço e a velocidade escalar da partícula no instante v (m/s) t = 5 s. b) O movimento é acelerado ou retardado? 40 Respostas: a) 35 m e 10 m/s respectivamente; b) Acelerado ⌬s 33 No esquema seguinte, observa-se uma partícula em quatro instantes sucessivos de seu movimento uniformemente retardado. Sabe-se que no instante t0 = 0 a velocidade escalar da partícula vale 0 20 60 t (s) 80 m/s. (60 + 40) · 40 t=1s Δs = ⇒ Δs = 2 000 m = 2 km ⇒ km 22 2 40 50 60 70 8090 t=2s t0 = 0 30 20 100 Resposta: km 22 10 110 t=3 s 0 120 130 140 150 s (m) 31 E.R. No instante adotado como origem dos tempos, o espaço de uma partícula vale –14 m e sua velocidade escalar é igual a 5 m/s. Sendo 20 m/s2 o módulo da aceleração escalar da partícula, determine: Sua aceleração escalar é constante e igual a 2 m/s2 para qualquer a) o instante em que ela pára; instante t. Determine: b) a distância percorrida pela partícula desde t0 = 0 até parar. a) o instante em que a partícula passa pela origem dos espaços; Respostas: a) 4 s; b) 160 m b) a velocidade escalar da partícula ao passar pela origem dos espaços.
  • 9. Tópico 3 – Movimento uniformemente variado 39 34 Um móvel parte do repouso e desce por uma rampa plana com Resolução: aceleração escalar constante. Ao fim de 2 segundos, o móvel já percor- t2 – 13 t + 40 = 0 ⇒ t’ = 5 s e t’ = 8 s reu 6 m. Determine: a) a aceleração escalar do móvel; Respostas: 5 s e 8 s b) a velocidade escalar do móvel ao fim de 2 segundos de movimento. 38 Os espaços de um móvel variam com o tempo, conforme a se- Resolução: a) Δs = α t2 ⇒ 6 = α · 22 guinte função horária: 2 2 s = 20 – 12t + 3t2 α = 3 m/s2 em que os espaços (s) são medidos em centímetros e os tempos (t), em segundos. Determine : b) v = α t = 3 · 2 a) o(s) instante(s) em que o móvel passa pela origem dos espaços; v = 6 m/s b) o instante e a posição do móvel quando ocorre a inversão do senti- do do movimento. Nota: Frequentemente os alunos cometem o seguinte erro: Resolução: • Fazem: v = Δs = 6 m ⇒ v = 3 m/s a) 3 t2 – 12 t + 20 = 0 (não tem raízes reais) Δt 2 s b) • v = – 12 + 6t • Depois, fazem: α = Δv = 3 – 0 ⇒ α = 1,5 m/s2 (errado) Δt 2 0 = – 12 + 6t ⇒ t=2s É preciso alertá-los de que Δv é igual a (vfinal – vinicial) e que aquela velo- cidade calculada no início não é a velocidade f inal, mas a velocidade • s = 20 – 12 · 2 + 3 · 22 ⇒ s=8m média no intervalo de 2 s. Respostas: a) O móvel não passa pela origem dos espaços; Respostas: a) 3 m/s2; b) 6 m/s b) 2 s e 8 m respectivamente 35 Um caça a jato, voando em linha reta com velocidade escalar 39 Duas partículas A e B deslocam-se ao longo de uma mesma tra- igual a 720 km/h, acelera uniformemente, com aceleração de 5,0 m/s2, jetória. Suas funções horárias, definidas a partir do mesmo referencial, durante 10 s. Calcule: são dadas por: a) a velocidade escalar do avião ao fim desses 10 s, em km/h; SA = 4t2 – 3 b) a distância percorrida pelo avião durante esses 10 s, em km. SB = 5t2 – 4t Resolução: a) v = v0 + α t = 200 + 5,0 · 10 com S em metros e t em segundos. Determine: v = 250 m/s ⇒ v = 900 km/h a) para que valores de t as partículas se encontram; b) as posições em que os encontros ocorrem. b) Δs = v0 t + α t2 = 200 · 10 + 5,0 · 102 2 2 Resolução: Δs = 2 250 m ⇒ Δs = d = 2,25 km a) 5t2– 4te = 4t2– 3 e e Respostas: a) 900 km/h; b) 2,25 km t2– 4te + 3 = 0 ⇒ e t’ = 1 s e t” = 3 s b) SA = 4 · 12 – 3 ⇒ SA = SB = 1 m 36 Um automóvel move-se a 108 km/h quando seu motorista pisa severamente no freio, de modo a parar o veículo em 3 s. Calcule a dis- SA = 4 · 32 – 3 ⇒ SA = SB = 33 m tância percorrida pelo automóvel nesses 3 s. Respostas: a) 1 s e 3 s; b) 1 m e 33 m Resolução: v0 = 108 km/h = 30 m/s 40 (UFPA) Um automóvel, partindo do repouso com aceleração v = v0 + α t ⇒ 0 = 30 + α · 3 ⇒ α = – 10 m/s2 constante, percorre 1 metro em 1 segundo em trajetória retilínea. Δs = v0 t + α t2 = 30 · 3 + (– 10) 2 ·3 Indique a alternativa que contém os valores da aceleração e da velo- 2 2 cidade final, respectivamente, em m/s2 e m/s. Δs = 45 m a) 2 e 2 b) 4 e 2 c) 1 e 1 d) 2 e 4 e) 1 e 4 Resposta: 45 m Resolução: • Δs = α t2 ⇒ 1 = α · 12 ⇒ α = 2 m/s2 37 A função horária dos espaços de um corpo é: 2 2 s = t2 – 13t + 40 (SI) •v=αt=2·1 ⇒ v = 2 m/s Determine o(s) instante(s) em que o corpo passa pela origem dos espaços. Resposta: a
  • 10. 40 PARTE I – CINEMÁTICA 41 E.R. Um automóvel A entra em movimento com aceleração Δs = v0 t + α t2 2 2 escalar constante e igual a 3 m/s no mesmo instante em que passa por ele outro automóvel B, com velocidade escalar constante e igual 32,0 = 12,0t + 2,0t2 ⇒ t = 2,0 s a 30 m/s. Os dois veículos percorrem a mesma estrada, no mesmo • Em relação ao solo, temos: Δs = v0 t + α t2 sentido. a) Considerando t0 = 0 quando A partiu, determine o instante em 2 que A alcança B. Δs = 22,0 · 2,0 + 2,0 · 2,02 ⇒ Δs = 52,0 m b) Calcule a velocidade de A nesse instante. Respostas: a) 2,0 s; b) 52,0 m Resolução: a) Desde o instante da partida de A (t0 = 0) até o instante t, em que A alcança B, suas variações de espaço (Δs) são iguais. O movimento de 43 E.R. Uma partícula em movimento uniformemente variado A é uniformemente variado. Assim, para esse movimento, temos: obedece à seguinte função horária dos espaços, com s em metros e α t em segundos: sA = s0 + v0 t + A t2 ou A A 2 s = 12 – 8t + t2 αA 2 a) Represente graficamente o espaço em função do tempo no inter- ΔsA = v0 t + t A 2 valo de 0 a 8 s. ΔsA = 0 · t + 3 t2 = 1,5t2 (SI) b) Marque as posições da partícula numa trajetória suposta retilínea, 2 nos instantes 0, 1 s, 2 s, 3 s, 4 s, 5 s, 6 s, 7 s e 8 s. Como o movimento de B é uniforme, temos: sB = s0 + vB t ou Resolução: B a) Calculamos os espaços nos seguintes instantes: ΔsB = vB t t = 0 ⇒ s = 12 – 8(0) + (0)2 ⇒ s = 12 m ΔsB = 30t (SI) t = 1 s ⇒ s = 12 – 8(1) + (1)2 ⇒ s = 5 m Igualamos, então, ΔsA com ΔsB: t = 2 s ⇒ s = 12 – 8(2) + (2)2 ⇒ s = 0 t = 3 s ⇒ s = 12 – 8(3) + (3)2 ⇒ s = –3 m t1 = 0 1,5t2 = 30t ⇒ t = 4 s ⇒ s = 12 – 8(4) + (4)2 ⇒ s = –4 m t2 = 20 s t = 5 s ⇒ s = 12 – 8(5) + (5)2 ⇒ s = –3 m Evidentemente, o instante que procuramos é posterior a t0 = 0. t = 6 s ⇒ s = 12 – 8(6) + (6)2 ⇒ s = 0 Portanto, a resposta é: t = 7 s ⇒ s = 12 – 8(7) + (7)2 ⇒ s = 5 m t = 20 s t = 8 s ⇒ s = 12 – 8(8) + (8)2 ⇒ s = 12 m b) Para o movimento de A, podemos escrever: Organizamos os resultados numa tabela e, em seguida, fazemos a representação gráfica: vA = v0 + αA t ⇒ vA = 0 + 3 · 20 A s (m) 12 5 0 –3 –4 –3 0 5 12 vA = 60 m/s t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Nota: • Este exercício (e muitos outros) pode ser resolvido mais facilmente a partir s (m) do gráfico v × t, como foi feito no exercício 26. 12 11 10 9 42 (Olimpíada Brasileira de Física) Em uma estrada de pista única, 8 7 uma moto de 2,0 m de comprimento, cuja velocidade tem módulo 6 igual a 22,0 m/s, quer ultrapassar um caminhão longo de 30,0 m, que 5 4 está com velocidade constante de módulo igual a 10,0 m/s. Supondo- 3 se que a moto faça a ultrapassagem com uma aceleração de módulo 2 igual a 4,0 m/s2, calcule o tempo que ela leva para ultrapassar o cami- 1 nhão e a distância percorrida durante a ultrapassagem. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 t (s) –1 –2 Resolução: –3 –4 • Tomando o caminhão como referencial, temos, para a moto: v0 = 22,0 m/s – 10,0 m/s = 12,0 m/s Observe que o gráfico obtido é um arco de parábola com a con- α = 4,0 m/s2 cavidade voltada para cima, o que sempre acontece quando a Δs = 32 m aceleração escalar é positiva. t0 = 0 t 2,0 m b) Numa trajetória retilínea, as posições da partícula são dadas por: Moto t=5s t=6s t=7s t=8s Caminhão t=4st=3s t=2s t=1s t=0 30,0 m –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 s (m) ⌬s = 32,0 m
  • 11. Tópico 3 – Movimento uniformemente variado 41 De t = 0 a t = 4 s, a partícula moveu-se em sentido oposto ao da 45 A função horária do espaço para o movimento de um ponto ma- trajetória. Em t = 4 s, que é o instante correspondente ao vértice terial é: da parábola no gráfico s × t, ocorre a inversão do sentido do movi- s = 4t – 2t2 (SI) mento. De t = 4 s a t = 8 s, a partícula moveu-se no mesmo sentido Determine, para esse ponto material: da trajetória. a) os instantes em que ele está na origem dos espaços; De t = 0 a t = 4 s, o movimento foi retardado, pois a partícula per- b) o instante e a posição correspondentes à inversão do sentido do correu, por segundo, uma distância cada vez menor. movimento; De t = 4 s a t = 8 s, o movimento foi acelerado, pois a distância c) o gráfico do espaço em função do tempo. percorrida, por segundo, foi cada vez maior. Observe que a partícula passou pela origem dos espaços duas Resolução: vezes: em t = 2 s e em t = 6 s. a) – 2t2 + 4t = 0 ⇒ t’ = 0 e t” = 2 s Note também que a forma do gráfico s × t nada tem a ver com a da trajetória. b) v = v0 + α t ⇒ 0 = 4 – 4t ⇒ t=1s s=4·1–2·1 ⇒ s=2m 2 Notas: c) Ver gráfico nas Respostas. • O movimento uniformemente variado apresenta uma fase de ida e uma fase de volta, ambas descritas pelas mesmas equações. Só não Resposta: a) 0 e 2 s; b) 1 s e 2 m; apresenta duas fases quando o movimento é incompleto, como a de- c) s (m) 2 colagem de um avião e a freagem de um automóvel, por exemplo. • O tempo para a partícula se deslocar entre dois pontos determinados é o mesmo na ida e na volta. • Se você calcular, na ida e na volta, as velocidades escalares da partícula numa mesma posição (s = 5 m, por exemplo), poderá verificar que elas têm o mesmo valor absoluto. 0 1 2 t (s) 44 O espaço (s) em função do tempo (t) para um objeto em movi- mento uniformemente variado é dado pela expressão: 46 Com relação a um movimento uniformemente variado, com as 2 s = 25 – 10t + t (SI) etapas de ida e volta, podemos afirmar que: Determine: a) a trajetória da partícula é um arco de parábola; a) o instante em que a velocidade se anula; b) antes do instante correspondente ao vértice da parábola do gráfico b) os gráficos do espaço, da velocidade escalar e da aceleração escalar do espaço s em função do tempo t o movimento é acelerado; c) a partícula não pode passar por um mesmo ponto duas vezes; em função do tempo. d) no instante correspondente ao vértice da parábola no gráfico s × t, ocorre a inversão do sentido do movimento; Resolução: e) no instante da inversão do sentido do movimento, tanto a velocida- a) v = – 10 + 2t de como a aceleração escalar são nulas. 0 = – 10 + 2t ⇒ t=5s Resposta: d b) Ver gráficos nas Respostas. Resposta: a) 5 s 47 No lixo de uma sala de aula de primeira série do Ensino Médio, foi encontrado um pedaço de papel em que estava traçado um gráfico b) s (m) referente a um movimento. Só era possível ler “Movimento unif”: 25 Pedaço de papel 0 5 t (s) v (m/s) 0 t 0 5 t (s) –10 Pode-se afirmar que esse gráfico corresponde a um movimento: α (m/s2) a) certamente uniforme; 2 b) certamente uniformemente variado; c) certamente retilíneo; 0 t (s) d) uniforme ou uniformemente variado; e) acelerado com certeza.
  • 12. 42 PARTE I – CINEMÁTICA Resolução: Resolução: O movimento é uniforme se a grandeza representada no eixo das or- A velocidade se anula nos instantes de inversão do sentido do mo- denadas é a posição (s) ou uniformemente variado se essa grandeza é vimento. a velocidade escalar (v). Resposta: e Resposta: d 50 O gráfico a seguir, do espaço s em função do tempo t, refere-se 48 O gráf ico ao lado corresponde ao movimento uniformemente a um movimento uniformemente variado: variado de uma partícula: s (m) 9 s (m) 1 0 1 2 3 4 5 6 t (s) 5 –1 –2 0 2 t (s) –3 –4 Determine: a) a velocidade escalar do móvel no instante t0 = 0; –5 b) a aceleração escalar do móvel. –6 –7 Resolução: –8 De t0 = 0 a t = 2 s, temos: a) vm = Δv = 9 – 5 ⇒ vm = 2 m/s a) Supondo que a trajetória da partícula seja a representada a seguir, Δt 2–0 copie-a, indicando a posição da partícula nos instantes 0, 1 s, 2 s, v +v v +0 vm = 0 2 ⇒ 2 = 0 ⇒ v0 = 4 m/s 3 s, 4 s e 5 s. 2 2 b) α = Δv = 2 0 = 0 – 4 ⇒ 1 s (m) v +v α = – 2 m/s2 0 Δt 2–0 2–0 –5 –4 –3 –2 –1 –6 Respostas: a) 4 m/s; b) –2 m/s2 –7 –8 b) O movimento é acelerado ou retardado para 0 < t < 2 s? E para 51 São dados a seguir os gráf icos referentes aos movimentos de t > 2 s? dois veículos A e B. O gráfico de A é um arco de parábola com vértice em t = 0. Respostas: a) t=3s t=2s t=1s A t=0 s (m) B 0 1 (m) t=4s s –4 –3 –1 –5 –2 t=5s –6 12 –8 –7 b) Retardado para 0 Ͻ t Ͻ 2 s e acelerado para t Ͼ 2 s. 49 (Vunesp-SP) O gráfico na figura mostra a posição x de um objeto 0 2 t (s) em movimento sobre uma trajetória retilínea, em função do tempo t. Calcule a velocidade escalar de A em t = 2 s. x (m) Resolução: 4 De 0 a 2 s, temos: 2 v +v 0 + v2 v m = vm ⇒ v B = 0 2 ⇒ 6 = 0 10 12 B A 2 2 1 2 34 56 78 9 11 13 1415 t (s) v2 = 12 m/s –2 –4 Resposta: 12 m/s A partir desse gráfico, é possível concluir que a velocidade instantânea do objeto anulou-se somente: 52 No instante t = 0, dois motociclistas A e B estão em uma mesma 0 a) no instante 0 segundo; posição de uma estrada. Considerando essa posição como origem dos b) nos instantes 9 e 14 segundos; espaços e sabendo que suas velocidades escalares comportam-se em c) nos instantes 2 e 7 segundos; relação ao tempo conforme o diagrama abaixo, trace, num mesmo par d) nos instantes 5 e 11 segundos; de eixos, os gráficos do espaço em função do tempo para A e B, indi- e) nos instantes 2, 5, 7 e 11 segundos. cando o instante e a posição em que voltam a se encontrar.
  • 13. Tópico 3 – Movimento uniformemente variado 43 54 São dados, a seguir, os gráf icos do espaço (s) e da velocidade v (m/s) A escalar (v) em função do tempo (t) para cinco partículas: 40 I Arco de A B s parábola 20 v 0 5 10 15 t (s) 0 t1 t 0 t1 t Resolução: • Em te = 10 s: sA = sB = 10 s · 20 m/s = 200 m II B s v • Para B, a função s × t é crescente, do primeiro grau em t, com s0 = 0. B • Para A, a função s × t também é crescente, com s0 = 0. É um arco de A parábola com vértice em t0 = 0, pois v0 = 0, apresentando concavidade 0 t1 t A voltada para cima, já que αA > 0. 0 t1 t Veja os gráficos nas Respostas. Resposta: Posição do encontro III Arco de C s (m) A s parábola v 300 B 200 100 0 t1 t 0 t1 t 0 5 10 15 t (s) Instante de encontro IV Arco de s D parábola v 53 (Olimpíada Paulista de Física) Uma taça de forma esférica, como t1 mostra a figura abaixo, está sendo cheia com água a uma taxa constante. 0 t 0 t V E s v A altura do líquido, y, em função do tempo, t, pode ser representada graficamente por: 0 t1 t 0 t a) y d) y Estabeleça a correspondência entre os gráficos do espaço e da veloci- dade escalar. t t Resolução: b) y e) y v0 > 0 I) MUV → C vt = 0 1 t II) De 0 a t1: MU com v > 0 → E t c) y De t1 em diante: MU com v < 0 III) De 0 a t1: repouso (v = 0) → A t De t1 em diante: MUV, com vt = 0 e α > 0 1 Resolução: No início, em iguais intervalos de tempo, o nível da água sobe cada vez v0 > 0 menos porque a área da seção transversal da taça vai aumentando. A IV) MUV → B vt = 0 partir do instante em que o nível da água atinge a seção transversal 1 de área máxima, ele passa a subir cada vez mais, em iguais intervalos V) MU: v > 0 → D de tempo, porque a área da seção transversal passa a diminuir. Resposta: a Respostas: I-C; II-E; III-A; IV-B; V-D
  • 14. 44 PARTE I – CINEMÁTICA 55 E.R. Uma esfera de aço é abandonada numa rampa inclinada Resolução: na qual está colocada uma f ita métrica graduada em centímetros, v2 = v2+ 2αΔs ⇒ 202 = 102 + 2α · 10 0 como representa a figura. 0 α = 15 m/s2 20 40 Resposta: 15 m/s2 60 v0 = 0 80 59 Deslocando-se com velocidade escalar igual a 30 m/s, um vagão 10 0 ferroviário é desacelerado até o repouso com aceleração constante. O va- 12 0 14 gão percorre 100 metros até parar. Qual a aceleração escalar do vagão? 0 16 0 18 Resolução: 0 v=? v2 = v2+ 2αΔs ⇒ 02 = 302 + 2α · 100 0 α = – 4,5 m/s2 Sabendo que a aceleração escalar da esfera é praticamente constante e igual a 5 m/s2, calcule sua velocidade escalar v no final da rampa. Resposta: – 4,5 m/s2 Resolução: 60 Um automóvel está a 72 km/h quando seus freios são acio- Temos: s0 = 20 cm = 0,2 m nados, imprimindo-lhe uma aceleração escalar constante de módulo s = 180 cm = 1,8 m igual a 5 m/s2. Calcule a distância que ele percorre desde o instante em v0 = 0 e que inicia a freada até parar e a duração desse percurso. α = 5 m/s2 Resolução: 2 Então: v2 = v0 + 2α(s – s0) • v2 = v2+ 2αΔs ⇒ 02 = 202 + 2 · (– 5) · Δs 0 v2 = 02 + 2 · 5 · (1,8 – 0,2) ⇒ v = 4 m/s Δs = 40 m • v = v0 + α t ⇒ 0 = 20 – 5t ⇒ t=4s 56 No tubo de imagem de um televisor, um elétron, liberado com velocidade nula por um filamento quente, é acelerado uniformemente Resposta: 40 m e 4 s respectivamente por um campo elétrico, atingindo a velocidade de 6 · 106 m/s após per- correr 1,8 cm. Calcule a aceleração escalar desse elétron. 61 (Fuvest-SP) A velocidade máxima permitida em uma autoes- Resolução: trada é de 110 km/h (aproximadamente 30 m/s) e um carro, nessa v0 = 0; v = 6 · 106 m/s; Δs = 1,8 · 10–2 m velocidade, leva 6 s para parar completamente. Diante de um posto v2 = v2+ 2αΔs rodoviário, os veículos devem trafegar no máximo a 36 km/h (10 m/s). 9 Assim, para que os carros em velocidade máxima consigam obedecer 36 · 1012 = 2α · 1,8 · 10–2 ⇒ α = 1 · 1015 m/s2 ao limite permitido ao passar em frente do posto, a placa referente à redução de velocidade deverá ser colocada antes do posto a uma dis- Resposta: 1 · 1015 m/s2 tância de, pelo menos: a) 40 m. b) 60 m. c) 80 m. d) 90 m. e) 100 m. 57 Um foguete parte do repouso de uma plataforma de lançamen- to, com aceleração escalar de 440 m/s2, suposta constante, que é man- Resolução: tida nos primeiros 19,8 m da subida. Calcule: Supondo constante a aceleração escalar do carro durante a freada, temos: a) a velocidade escalar do foguete no final desse deslocamento; • v = v0 + α t b) o tempo decorrido para essa velocidade ser atingida. 0 = 30 + α · 6 ⇒ α = – 5 m/s2 Resolução: • v2 = v20 + 2αΔs a) v2 = v2+ 2αΔs 0 102 = 302 + 2 · (– 5) · Δs ⇒ Δs = 80 m v2 = 2 · 440 · 19,8 = 17 424 ⇒ v = 132 m/s b) v = v0 + α t Resposta: c 132 = 440t ⇒ t = 0,3 s 62 Um automóvel movia-se numa avenida quando seu motorista Respostas: a) 132 m/s; b) 0,3 s percebeu que o semáforo do cruzamento logo adiante estava fecha- do. O motorista freou, mas não conseguiu parar antes do cruzamento, 58 Enquanto uma partícula percorre 10 m, sua velocidade escalar atingindo outro veículo. Com base nos danos causados nos veículos, instantânea varia de 10 m/s a 20 m/s. Determine sua aceleração esca- técnicos da polícia estimaram que o automóvel do motorista infrator lar, suposta constante. estava a 36 km/h no momento da colisão. A 50 m do acidente, foi
  • 15. Tópico 3 – Movimento uniformemente variado 45 encontrada uma marca no asfalto, que corresponde ao local em que b) Δstotal = (4,7 + 0,7) · 20 ⇒ Δstotal = 54 m o motorista pisou desesperadamente no freio. Sabendo que os freios 2 do veículo conseguem produzir uma aceleração escalar praticamen- Resposta: a) v (m/s) te constante, de módulo igual a 8 m/s2, calcule sua velocidade, em 20 km/h, imediatamente antes de o motorista pisar no freio. Resolução: 0 0,7 4,7 t (s) v = 10 m/s; Δs = 50 m; α = 8 m/s2 b) 54 m v2 = v2 + 2αΔs 0 102 = v2 + 2 · (– 8) · 50 v0 = 30 m/s 0 65 (UFPI) A distância percorrida por um automóvel que viaja a v0 = 108 km/h 40 km/h, após a ação dos freios, até que pare, é de 8 metros, admitin- do-se constante sua aceleração devido à freada. Com a velocidade do automóvel igual a 80 km/h, e supondo as mesmas condições anterio- Resposta: v0 = 108 km/h res, o espaço percorrido pelo automóvel após a freada será de: a) 8 m. b) 16 m. c) 24 m. d) 32 m. e) 40 m. Resolução: 63 O tempo de reação de um motorista é de aproximadamente – v2 0,7 s (intervalo de tempo decorrido entre a percepção de um sinal para • v2 = v2 + 2αΔs ⇒ 02 = v2 + 2αΔs ⇒ Δs = 0 0 0 2α parar e a efetiva aplicação dos freios). Se os freios de um automóvel • Dobrando v0, de 40 km para 80 km/h, Δs quadruplica. Portanto, a dis- podem garantir um retardamento de 5 m/s2, calcule a distância percor- tância percorrida será 4 · 8 m, ou seja, 32 m. rida por ele até parar, supondo que sua velocidade era de 72 km/h ao perceber o sinal para parar (faça o cálculo utilizando equações). Resposta: d Resolução: MU (⌬s1) MUV (⌬s2) 66 (Mack-SP) Um atleta, ao disputar os “100 metros rasos”, conse- v = 20 m/s v = 20 m/s v=0 gue cumprir o percurso em 10,0 s. Considerando que o movimento é retilíneo uniformemente acelerado, a partir do repouso e da origem s dos espaços, o gráfico que melhor representa a velocidade escalar do Δt = 0,7 s α = – 5 m/s2 atleta em função do espaço percorrido é: Δs 1 = ? Δs2 = ? a) d) v (m/s) v (m/s) • Δs1 = v + Δt = 20 · 0,7 ⇒ Δs1 = 14 m 20 10 • v2 = v2 + 2αΔs 0 02 = 202 + 2 · (– 5) Δs2 ⇒ Δs2 = 40 m • Δstotal = Δs1 + Δs2 ⇒ Δstotal = 54 m 0 100 s (m) 0 100 s (m) Resposta: Δstotal = 54 m b) v (m/s) e) v (m/s) 20 10 64 Com relação à questão anterior: a) trace o gráfico da velocidade escalar (v) desde o instante em que o motorista percebeu o sinal para parar até o instante em que ele parou; 0 100 s (m) 0 100 s (m) b) calcule a distância percorrida nesse intervalo de tempo, por meio c) v (m/s) do gráfico v × t. 15 Resolução: a) v (m/s) 20 0 100 s (m) Resolução: • Δs = αt ⇒ 100 = α · 10,0 ⇒ α = 2,0 m/s2 2 2 2 2 • v2 = 2 α Δs = 4,0 S : o gráfico de v em função de S tem o aspecto da- queles das alternativas a e d. 0 0,7 T t (s) • Para S – 100 m : v2 = 4,0 · 100 ⇒ v = 20 m/s α = Δv ⇒ – 5 = 0 – 20 ⇒ T = 4,7 s Resposta: a Δt T – 0,7