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MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO
I) RESUMO DO MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)
São movimentos retilíneos sub a ação de uma força constante. Podem ser acelerado ou
retardado e cada uma destas denominações pode-se acrescentar os termos progresivo ou
retrógrado dependendo dos sinas da velocidade.

1) Características:
• aceleração centrípetra nula
• aceleração tangencial constante
• aceleração resultante constante

2) classificação:
Movimento                                 velocidade           aceleração
Progessivo acelerado                            +                    +
Progressivo retardado                           +                    –
Retrógrado acelerado                            –                    –
Retrógrado retardado                            –                    +

Resumo de classificação:
a) acelerado: v > 0 e a > 0 ou v < 0 e a < 0 ( sinais de a e v iguais)
b) retardado: v > 0 e a < 0 ou v < 0 e a > 0 ( sinais de a e v opostos)

3) Equações:
Descrição                                                  Equações
Equação horária da velocidade                           v = vo + a.t
                                                                      at2
Equação horária da posição                             s = so + vo.t + ——
                                                                      2
Equação de Torricelli                                 v2 = vo2 + 2.a.(s - so)
----------------------------------------------------------------------------------------------------
4) Nomeclatura das grandezas
vo = velocidade inicial ( em t = 0)         v = velocidade
so = posição inicial                        s= posição final
a = aceleração                              t = tempo
5) Conhecimento gráfico
            Significado de    Significado de            Fazer
Gráficos
            área              tangente                Figura

sxt              não há               v = tgθ


vxt             Área = ∆S             a = tgθ


axt              Área = ∆V            não há


II) EXERCÍCIOS DE REVISÃO E DE COMPLEMENTAÇÃO
A) QUESTÕES DE MRUV
1) A velocidade de uma partícula que se encontra na posição 20m em t = 0, varia
segundo a tabela mostrada abaixo:
velocidade (m/s)                           30    50     70      90
tempo (s)                                  10    12     14      16

Sendo o movimento retilíneo, determine:
a) a celeração (resp: a = 10 m/s2);
b) as funções horárias da velocidade e do espaço (resp: v = - 70 +10t; s = 20 - 70t + 5t2);
c) o instante que muda de sentido, se houver (resp: t = 7 s);
d) a velocidade em t = 50s (resp: v = 430 m/s);
e) a velocidade média entre 10s e 14s (resp: 50 m/s).
d) o instante em que a velocidade é 400 m/s (resp: t = 47 s)
2) O movimento retilíneo de um objeto obedece ao gráfico abaixo:




Determine:
a) a posição inicial (resp: so = 3 m);
b) a velocidade em t = 0 (resp: vo = -4 m/s);
c) a aceleração (resp: 2 m/s2);
d) o instante que inverte o sentido do movimento (resp:t = 2 s);
e) a velocidade em t = 10s (resp: v = 16 m/s);
f) a distância percorrida entre 5 segundos e 25 segundos (resp: 570 m).


3) A velocidade de uma patícula aumenta de 36km/h para 108km/h em 5 segundos em
linha reta. Calcule:
a) a sua aceleração   (resp: 4 m/s2);
b) a distância percorrida em 40 segundos (resp: 3600 m);
c) a sua velocidade em t = 25 segundos (resp: 110 m/s);
d) o instante onde a sua velocidade é 50m/s (resp: 10 s)


4) O movimento de uma paríticula é descrita pela função s(t) = 1200 - 70t + t² com as
unidade no SI. Para uma trajetória retilínea, detemine:
a) a posição inicial (resp: 1200 m);
b) a velocidade em t = 0    (resp: - 70 m/s);
c) a sua aceleração (resp: 2 m/s2);
d) a velocidade em t = 30s (resp:- 10 m/s);
e) o instante que o movimento inverte o sentido (resp: 35 s);
f) o instante em que v = 33m/s (resp: 51,5s)
g) a velocidade média entre t = 2s e t = 8s
5) A velocidade de um móvel que parte da origem dos espaços e move-se em lina reta,
varia com o tempo segundo o gráfico v = f(t) abaixo.




Calcule:
a) a aceleração (resp: 2,5 m/s2);
b) a velocidade em t = 30 segundos (resp: 80 m/s);
c) o instante em que a velocidade é 100 m/s (resp: 38 s);
d) a posição em t = 10 segundos (resp: 175 m);
e) a posição em t = 50s (resp: 3375 m);
f) a distância percorrida entre t = 5 s e t = 20 s (resp:543,75 m)


6) A velocidade de um móvel varia segundo a tabela abaixo. em t = 0 ele encontra-
se na posição 50m.


velocidade (m/s)                     300      250      200       150
tempo (s)                             1         2        3           4


Sendo o movimento retilíneo, determine:
a) a celeração (resp: - 50 m/s2)
b) as funções horárias da velocidade e do espaço (resp: v = 350 - 50t; s = 50 +350t -
25t2);
c) o instante que muda de sentido, se houver (resp: 7 s);
d) a velocidade em t = 30s (resp: - 1150 m/s);
e) o instante em que a velocidade é 50 m/s (resp: 6 s).
7) Duas partículas movem-se em linha reta segundo as funções horárias SA = 100 + 20t
e SB = - 44 + 20t + t² (SI). Determine:
a) o instante que elas se encontram (resp: 12 s);
b) a distância percorrida por cada uma até o encontro (resp: dA = 240 m; dB = 384 m);
c) as velocidades das partículas em t = 4s (resp: vA = 20 m/s; vB = 28 m/s);
d) a distância que separa as partículas em t = 20s (resp: 256 m);
e) O instante que a partícula B inverte o sentido do movimento (resp: não há);


7.1) No instante t = 0 um móvel móvel parte, com velocidade de 20 m/s, da posição 10
m e segue em trajetória horizontal dando origem a uma aceleração e depois
desaceleração como mostrada no gráfico abaixo. A trajetória é retilínea.
Detrmine:




a) a sua velocidade em t = 40 segundos (resp: 180 m/s);
b) a distância percorrida no intervalo 10 ≤ t ≤ 20 segundos (resp: 800 m);
c) o gráfico velocidade x tempo;
d) o gráfico espaço x tempo


8) No instante t = 0s um uma moto encontra parada em um sinal luminoso quando
passa por ela um carro com velocidade constante de 72km/h. Neste mesmo instante a
moto parte em linha reta com aceleração constante de 4m/s². Determine:
a) o instante que a moto acompanha o carro (resp: 10 s);
b) a distância que cada um percorre até o encontro (resp: 200 m).


9) Um ônibus entra em um viaduto de 180 m de comprimento com velocidade 108km/h
e sai do mesmo com velocidade de 36km/h em 10 segundos. Qual o tamanho do
referido ônibus?
resp: 20 m
10) A velocidade de um móvel varia em linha reta com o tempo segundo a equação v
= 10 +4t com as unidades no S.I. Calcule a distância precorrida entre 2 e 5s.
resp: 72 m
11) A velocidade de um móvel que passa pela posição s = 10 m em t = 0, varia com o
tempo segundo o gráfico abaixo. A trajetória é retilínea.




Calcule:
a) a aceleração (resp: - 5 m/s2);
b) a velocidade em t = 20 segundos (resp: - 80 m/s);
c) o instante em que a velocidade é -60 m/s (resp: 16 s);
d) a posição em t = 10 segundos (resp: - 40 m);
e) a posição em t = 14 s (resp: - 300m);
f) a distância percorrida entre t = 20 s e t = 30s (resp: 1050 m)


12) No instante t = 0 a velocidade de um móvel é 180 km/h é freada até parar com
aceleração de módulo igual 4 m/s2.Calcule:
a) a distância percorrida até parar (resp: 312,5 m);
b) o tempo de movimento (resp: 12,5 s).


13) Um carro que se movimenta do ponto x ao ponto y com velocidade constante de
20m/s em 15 minutos, freia uniformemente a partir de y até parar em z com aceleração
de 5m.s-2. Calcule a distancia percorrida de x até z e o tempo gasto do ponto y ao ponto
z.
( distância = 18040 m;     t=4s)
14) A partir do instante t = 0 um automóvel percorre 2300m, em trajetória
retilínea, com movimento descrito pela função horária v = vo + 10t até t = 20s onde v =
215 m/s. Calcule a a velocidade do automóvel em t = 100s e a distância percorrida no
intervalo 2 ≤ t ≤ 30 s. Despreze o comprimento do carro.
( v = 1015 m/s;      distância = 4900 m)
14.1) No instante t = 0 um móvel A está em repouso quando passa por ela outro móvel
B com velocidade constante como é mostrado na figura seguinte. Eles correm na
mesma trajetória retilínea. Calcule:




a) o instante que o móvel A alcança o móvel B (resp: 8 s);
b) a distância que eles percorrem até o instante que eles estão na mesma posição
(resp:320m) .


15) A função horária de uma partícula é v = 50 + at e em 15 segundos ele alcança 200
m/s. Determine a distância percorrida entre 10 e 30 segundos e a velocidade média neste
intervalo.
( resp: 5000 m; 250 m/s)
16) No diagrama v x t cujo gráfico forma um ângulo de 30º com o eixo dos tempos,
uma partícula realiza um MRUV durante 15 segundos. Em t = 0 a sua velocidade é
10√3 m/s. Determine:
a) a aceleração (resp: √3/3 m/s2);
b) a velocidade em t = 15 segundos (resp: 15√3 m/s);
c) a distância percorrida entre 3 e 21 segundos (resp: 252√3 m).
17) A velocidade de um móvel varia em linha reta com o tempo segundo o gráfico v x t
abaixo.




Calcule:
a) a distância percorrida entre 20 segundos e 40 segundos (resp: 175 m);
b) a velocidade média entre 20s e 40s (resp: 8,75 m/s);
c) a aceleração entre 0 e 20 s e entre 30s e 40s (resp: 0,25 m/s2; - 1,5 m/s2);
d) a distância percorrida entre 0 e 40 s   (resp: 225 m).


B) QUESTÕES MAIS AVANÇADAS

18) A posição de uma partícula que em t = 0 se encontra na origem dos espaços varia
com o tempo conforme a equação dx = v(t)dt onde dx e dt são as variações
infinitesimais da posição e tempo respectivamente. Para o caso em que v(t) = 6t2, a
posição desta partícula em t = 10 sgundos será:
a) 500 m b) 1000 m c) 1500 m d) 2000 m e) 2500 m


19) Um ponto material move-se segundo a função horária v(2t - 4) = 8 + 6t em trajetória
retilínea. Quando a velocidade for calculada em v(5t + 3) a sua aceleração será:
a) 10 m.s-2 b) 15m.s-2 c) 20 m.s-2 d) 25 m.s-2 e) 30 m.s-2

20) A função s = so + vo.t + (1/2)at2 é válida para movimentos de corpos com
aceleração constante. Se a aceleração de um móvel for dada por a(t) = At + B, então
para este novo caso a sua posição varia com o tempo por:
a) s = so + vot + t2/A+ t2/B     → b) s = so + vot + Bt2/2 + At3/3           c) s = so + vot3
+ (A + B)t2/6
d) s = so + vot3 + (A.B) t2/2    e) s = so + vot2 + t2/2 + (A/B) t3/3

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Cinematica01

  • 1. MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO I) RESUMO DO MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV) São movimentos retilíneos sub a ação de uma força constante. Podem ser acelerado ou retardado e cada uma destas denominações pode-se acrescentar os termos progresivo ou retrógrado dependendo dos sinas da velocidade. 1) Características: • aceleração centrípetra nula • aceleração tangencial constante • aceleração resultante constante 2) classificação: Movimento velocidade aceleração Progessivo acelerado + + Progressivo retardado + – Retrógrado acelerado – – Retrógrado retardado – + Resumo de classificação: a) acelerado: v > 0 e a > 0 ou v < 0 e a < 0 ( sinais de a e v iguais) b) retardado: v > 0 e a < 0 ou v < 0 e a > 0 ( sinais de a e v opostos) 3) Equações: Descrição Equações Equação horária da velocidade v = vo + a.t at2 Equação horária da posição s = so + vo.t + —— 2 Equação de Torricelli v2 = vo2 + 2.a.(s - so) ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 4) Nomeclatura das grandezas vo = velocidade inicial ( em t = 0) v = velocidade so = posição inicial s= posição final a = aceleração t = tempo
  • 2. 5) Conhecimento gráfico Significado de Significado de Fazer Gráficos área tangente Figura sxt não há v = tgθ vxt Área = ∆S a = tgθ axt Área = ∆V não há II) EXERCÍCIOS DE REVISÃO E DE COMPLEMENTAÇÃO A) QUESTÕES DE MRUV 1) A velocidade de uma partícula que se encontra na posição 20m em t = 0, varia segundo a tabela mostrada abaixo: velocidade (m/s) 30 50 70 90 tempo (s) 10 12 14 16 Sendo o movimento retilíneo, determine: a) a celeração (resp: a = 10 m/s2); b) as funções horárias da velocidade e do espaço (resp: v = - 70 +10t; s = 20 - 70t + 5t2); c) o instante que muda de sentido, se houver (resp: t = 7 s); d) a velocidade em t = 50s (resp: v = 430 m/s); e) a velocidade média entre 10s e 14s (resp: 50 m/s). d) o instante em que a velocidade é 400 m/s (resp: t = 47 s)
  • 3. 2) O movimento retilíneo de um objeto obedece ao gráfico abaixo: Determine: a) a posição inicial (resp: so = 3 m); b) a velocidade em t = 0 (resp: vo = -4 m/s); c) a aceleração (resp: 2 m/s2); d) o instante que inverte o sentido do movimento (resp:t = 2 s); e) a velocidade em t = 10s (resp: v = 16 m/s); f) a distância percorrida entre 5 segundos e 25 segundos (resp: 570 m). 3) A velocidade de uma patícula aumenta de 36km/h para 108km/h em 5 segundos em linha reta. Calcule: a) a sua aceleração (resp: 4 m/s2); b) a distância percorrida em 40 segundos (resp: 3600 m); c) a sua velocidade em t = 25 segundos (resp: 110 m/s); d) o instante onde a sua velocidade é 50m/s (resp: 10 s) 4) O movimento de uma paríticula é descrita pela função s(t) = 1200 - 70t + t² com as unidade no SI. Para uma trajetória retilínea, detemine: a) a posição inicial (resp: 1200 m); b) a velocidade em t = 0 (resp: - 70 m/s); c) a sua aceleração (resp: 2 m/s2); d) a velocidade em t = 30s (resp:- 10 m/s); e) o instante que o movimento inverte o sentido (resp: 35 s); f) o instante em que v = 33m/s (resp: 51,5s) g) a velocidade média entre t = 2s e t = 8s
  • 4. 5) A velocidade de um móvel que parte da origem dos espaços e move-se em lina reta, varia com o tempo segundo o gráfico v = f(t) abaixo. Calcule: a) a aceleração (resp: 2,5 m/s2); b) a velocidade em t = 30 segundos (resp: 80 m/s); c) o instante em que a velocidade é 100 m/s (resp: 38 s); d) a posição em t = 10 segundos (resp: 175 m); e) a posição em t = 50s (resp: 3375 m); f) a distância percorrida entre t = 5 s e t = 20 s (resp:543,75 m) 6) A velocidade de um móvel varia segundo a tabela abaixo. em t = 0 ele encontra- se na posição 50m. velocidade (m/s) 300 250 200 150 tempo (s) 1 2 3 4 Sendo o movimento retilíneo, determine: a) a celeração (resp: - 50 m/s2) b) as funções horárias da velocidade e do espaço (resp: v = 350 - 50t; s = 50 +350t - 25t2); c) o instante que muda de sentido, se houver (resp: 7 s); d) a velocidade em t = 30s (resp: - 1150 m/s); e) o instante em que a velocidade é 50 m/s (resp: 6 s).
  • 5. 7) Duas partículas movem-se em linha reta segundo as funções horárias SA = 100 + 20t e SB = - 44 + 20t + t² (SI). Determine: a) o instante que elas se encontram (resp: 12 s); b) a distância percorrida por cada uma até o encontro (resp: dA = 240 m; dB = 384 m); c) as velocidades das partículas em t = 4s (resp: vA = 20 m/s; vB = 28 m/s); d) a distância que separa as partículas em t = 20s (resp: 256 m); e) O instante que a partícula B inverte o sentido do movimento (resp: não há); 7.1) No instante t = 0 um móvel móvel parte, com velocidade de 20 m/s, da posição 10 m e segue em trajetória horizontal dando origem a uma aceleração e depois desaceleração como mostrada no gráfico abaixo. A trajetória é retilínea. Detrmine: a) a sua velocidade em t = 40 segundos (resp: 180 m/s); b) a distância percorrida no intervalo 10 ≤ t ≤ 20 segundos (resp: 800 m); c) o gráfico velocidade x tempo; d) o gráfico espaço x tempo 8) No instante t = 0s um uma moto encontra parada em um sinal luminoso quando passa por ela um carro com velocidade constante de 72km/h. Neste mesmo instante a moto parte em linha reta com aceleração constante de 4m/s². Determine: a) o instante que a moto acompanha o carro (resp: 10 s); b) a distância que cada um percorre até o encontro (resp: 200 m). 9) Um ônibus entra em um viaduto de 180 m de comprimento com velocidade 108km/h e sai do mesmo com velocidade de 36km/h em 10 segundos. Qual o tamanho do referido ônibus? resp: 20 m
  • 6. 10) A velocidade de um móvel varia em linha reta com o tempo segundo a equação v = 10 +4t com as unidades no S.I. Calcule a distância precorrida entre 2 e 5s. resp: 72 m 11) A velocidade de um móvel que passa pela posição s = 10 m em t = 0, varia com o tempo segundo o gráfico abaixo. A trajetória é retilínea. Calcule: a) a aceleração (resp: - 5 m/s2); b) a velocidade em t = 20 segundos (resp: - 80 m/s); c) o instante em que a velocidade é -60 m/s (resp: 16 s); d) a posição em t = 10 segundos (resp: - 40 m); e) a posição em t = 14 s (resp: - 300m); f) a distância percorrida entre t = 20 s e t = 30s (resp: 1050 m) 12) No instante t = 0 a velocidade de um móvel é 180 km/h é freada até parar com aceleração de módulo igual 4 m/s2.Calcule: a) a distância percorrida até parar (resp: 312,5 m); b) o tempo de movimento (resp: 12,5 s). 13) Um carro que se movimenta do ponto x ao ponto y com velocidade constante de 20m/s em 15 minutos, freia uniformemente a partir de y até parar em z com aceleração de 5m.s-2. Calcule a distancia percorrida de x até z e o tempo gasto do ponto y ao ponto z. ( distância = 18040 m; t=4s) 14) A partir do instante t = 0 um automóvel percorre 2300m, em trajetória retilínea, com movimento descrito pela função horária v = vo + 10t até t = 20s onde v = 215 m/s. Calcule a a velocidade do automóvel em t = 100s e a distância percorrida no intervalo 2 ≤ t ≤ 30 s. Despreze o comprimento do carro. ( v = 1015 m/s; distância = 4900 m)
  • 7. 14.1) No instante t = 0 um móvel A está em repouso quando passa por ela outro móvel B com velocidade constante como é mostrado na figura seguinte. Eles correm na mesma trajetória retilínea. Calcule: a) o instante que o móvel A alcança o móvel B (resp: 8 s); b) a distância que eles percorrem até o instante que eles estão na mesma posição (resp:320m) . 15) A função horária de uma partícula é v = 50 + at e em 15 segundos ele alcança 200 m/s. Determine a distância percorrida entre 10 e 30 segundos e a velocidade média neste intervalo. ( resp: 5000 m; 250 m/s) 16) No diagrama v x t cujo gráfico forma um ângulo de 30º com o eixo dos tempos, uma partícula realiza um MRUV durante 15 segundos. Em t = 0 a sua velocidade é 10√3 m/s. Determine: a) a aceleração (resp: √3/3 m/s2); b) a velocidade em t = 15 segundos (resp: 15√3 m/s); c) a distância percorrida entre 3 e 21 segundos (resp: 252√3 m).
  • 8. 17) A velocidade de um móvel varia em linha reta com o tempo segundo o gráfico v x t abaixo. Calcule: a) a distância percorrida entre 20 segundos e 40 segundos (resp: 175 m); b) a velocidade média entre 20s e 40s (resp: 8,75 m/s); c) a aceleração entre 0 e 20 s e entre 30s e 40s (resp: 0,25 m/s2; - 1,5 m/s2); d) a distância percorrida entre 0 e 40 s (resp: 225 m). B) QUESTÕES MAIS AVANÇADAS 18) A posição de uma partícula que em t = 0 se encontra na origem dos espaços varia com o tempo conforme a equação dx = v(t)dt onde dx e dt são as variações infinitesimais da posição e tempo respectivamente. Para o caso em que v(t) = 6t2, a posição desta partícula em t = 10 sgundos será: a) 500 m b) 1000 m c) 1500 m d) 2000 m e) 2500 m 19) Um ponto material move-se segundo a função horária v(2t - 4) = 8 + 6t em trajetória retilínea. Quando a velocidade for calculada em v(5t + 3) a sua aceleração será: a) 10 m.s-2 b) 15m.s-2 c) 20 m.s-2 d) 25 m.s-2 e) 30 m.s-2 20) A função s = so + vo.t + (1/2)at2 é válida para movimentos de corpos com aceleração constante. Se a aceleração de um móvel for dada por a(t) = At + B, então para este novo caso a sua posição varia com o tempo por: a) s = so + vot + t2/A+ t2/B → b) s = so + vot + Bt2/2 + At3/3 c) s = so + vot3 + (A + B)t2/6 d) s = so + vot3 + (A.B) t2/2 e) s = so + vot2 + t2/2 + (A/B) t3/3