O documento descreve as propriedades geométricas e equações da parábola. Uma parábola é o conjunto de pontos equidistantes de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz. A equação geral de uma parábola é dada por (x-h)2 = 4p(y-k), onde (h,k) são as coordenadas do vértice e p é a distância do vértice ao foco. Exemplos de aplicações incluem faróis de carros e trajetórias de projéte

1. A Par´abola
Quando um cone circular reto ´e interceptado por um plano secante paralelo a uma e
somente uma geratriz do cone, ´e gerada uma cˆonica chamada de par´abola.
Defini¸c˜ao. Uma par´abola ´e o conjunto de pontos em um plano equidistante de um ponto
e de uma reta fixos. O ponto fixo ´e chamado de foco e a reta fixa ´e chamada de diretriz.
A reta que passa pelo foco e ´e perpendicular `a diretriz ´e chamada de eixo de simetria
(ou eixo) da par´abola. O ponto de interse¸c˜ao da par´abola com seu eixo ´e chamado de
v´ertice da par´abola.
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2. Para deduzir a equa¸c˜ao de uma par´abola de modo que tenha a forma mais simples
poss´ıvel, colocamos a origem sobre o v´ertice e escolhemos o eixo y perpendicular `a diretriz.
Ressaltamos que estamos fazendo uma escolha particular dos eixos (e n˜ao da par´abola).
Seja p a distˆancia orientada do v´ertice ao foco. As coordenadas do foco ser˜ao (0, p), e
a equa¸c˜ao da diretriz ser´a y = −p. Um ponto P(x, y) estar´a sobre a par´abola se e somente
se P for equidistante do foco e da diretriz. A distˆancia de P ao foco ´e
|PF| = (x − p)2 + y2
e a distˆancia de P `a diretriz ´e
|PQ| = (y + p)2
Assim, P est´a sobre a par´abola se e somente se
(x − p)2 + y2 = (y + p)2
Elevando ao quadrado ambos os membros da equa¸c˜ao acima e simplificando, obtemos
x2
= 4py
Provamos assim o teorema seguinte.
Teorema. A equa¸c˜ao da par´abola com foco no ponto F(0, p) e tendo a reta y = −p como
diretriz ´e
x2
= 4py
2

3. Na dedu¸c˜ao acima, se os eixos x e y forem trocados entre si, ent˜ao o foco ser´a o ponto
F(p, 0) e a diretriz ser´a a reta com equa¸c˜ao x = −p. Neste caso, temos o teorema seguinte.
Teorema. A equa¸c˜ao da par´abola com foco no ponto F(p, 0) e tendo a reta x = −p como
diretriz ´e
y2
= 4px
Observe que p pode ser negativo, pois ´e a distˆancia orientada do v´ertice ao foco da
par´abola. Para a equa¸c˜ao x2
= 4py, a par´abola abre-se para cima, se p > 0 e para baixo,
se p < 0. Em ambos os casos, o eixo da par´abola ´e o eixo y.
Por outro lado, para a equa¸c˜ao y2
= 4px, a par´abola abre-se para a direita, se p > 0
e para a esquerda, se p < 0. Em ambos os casos, o eixo da par´abola ´e o eixo x.
A corda que passa pelo foco, perpendicular ao eixo da par´abola ´e chamada de latus
rectrum da par´abola (ou corda focal m´ınima) e seu comprimento ´e |4p|.
Agora usaremos a transla¸c˜ao de eixos para encontrar a equa¸c˜ao geral de uma par´abola
com v´ertice em um ponto distinto da origem e com diretriz paralela a um eixo coordenado.
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4. Consideremos uma par´abola com diretriz paralela ao eixo x e v´ertice no ponto V (h, k).
Ent˜ao, se p for a distˆancia orientada do v´ertice ao foco da par´abola, o foco estar´a no ponto
F(h, y + k) e a diretriz ter´a equa¸c˜ao y = k − p. Sejam x e y eixos tais que a origem O
esteja em V (h, k). A equa¸c˜ao da par´abola em rela¸c˜ao aos eixos x e y ´e
x 2
= 4py
Para obter uma equa¸c˜ao dessa par´abola em rela¸c˜ao aos eixos x e y, substitu´ımos x
por x − h e y por y − k, o que fornece
(x − h)2
= 4p(y − k)
O eixo dessa par´abola ´e paralelo ao eixo x. Temos ent˜ao o teorema a seguir.
Teorema. Se p for a distˆancia orientada do v´ertice ao foco, a equa¸c˜ao da par´abola com
v´ertice em (h, k) e com eixo paralelo ao eixo y ´e
(x − h)2
= 4p(y − k)
Uma par´abola com v´ertice em (h, k) e com eixo paralelo ao eixo x tem por equa¸c˜ao
(y − k)2
= 4p(x − h)
Exemplo. Encontre o v´ertice, o foco, a equa¸c˜ao da diretriz, a equa¸c˜ao do eixo e o
comprimento da latus rectrum da par´abola
x2
− 8x − 8y − 8 = 0
Solu¸c˜ao. Reescrevemos a equa¸c˜ao dada sob a forma
x2
− 8x = 8y + 8
Somando 16 a ambos os membros da igualdade, obtemos
x2
− 8x + 16 = 8y + 24
(x − 4)2
= 8(y + 3)
Comparando essa equa¸c˜ao com a equa¸c˜ao
(x − h)2
= 4p(y − k)
obtemos
4

5. h = 4, k = −3
e
4p = 8 ⇔ p = 2
Assim, o v´ertice da par´abola est´a em (4, −3), o foco est´a em (4, −1), a equa¸c˜ao da diretriz
´e y = −5, a equa¸c˜ao do eixo ´e x = 4 e o comprimento da latus rectrum ´e |4p| = 8. O
gr´afico est´a esbo¸cado na figura abaixo.
Os far´ois dianteiros dos autom´oveis tˆem o formato de um parabol´oide (superf´ıcie ge-
rada pela rota¸c˜ao da par´abola em torno do seu eixo). As se¸c˜oes do parabol´oide s˜ao
par´abolas, todas com foco no mesmo ponto. Raios de luz de uma lˆampada situada no
foco s˜ao refletidos numa mesma dire¸c˜ao segundo retas paralelas ao eixo da par´abola.
Para um espelho parab´olico, ocorre uma situa¸c˜ao inversa, onde raios de luz de um
objeto no c´eu, que incidem no espelho paralelamente ao eixo, s˜ao todos refletidos para o
foco. Por exemplo, o espelho pode ser apontado para o Sol, e os raios de luz ser˜ao refletidos
para o foco. Com isso ser´a produzida uma grande quantidade de calor. Da´ı o nome foco
(do latim focus que significa ”fogo”). Um princ´ıpio similar aplica-se na constru¸c˜ao de
antenas parab´olicas e espelhos para telesc´opios.
A trajet´oria de um proj´etil lan¸cado obliquamente, cujo movimento seja considerado
num plano, sobre o qual atue somente a for¸ca da gravidade ser´a uma par´abola.
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6. Referˆencias
[1] LEITHOLD, Louis. O C´alculo com geometria anal´ıtica. 3. ed. S˜ao Paulo, SP:
Harbra, c1994. 2 v. ISBN 8529400941 v.1
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