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Questão 12.54) Suponha que, para um oscilador amortecido, γ seja muito pequenocomparado com , de modo que a amplitude perm...
Pot = 2 m => Pot = m , a qual é a potênciadissipadaQuestão 12.55) Prove que, para um oscilador forçado, = , quando areatân...
Questão 12.56) (a) Calcule os valores médios das energias cinéticas e potencial dasoscilações forçadas de um oscilador amo...
Assim, Q = =Para pequenos amortecimentos: ( ), obtemos: Q =
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Blog fis 26

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  1. 1. Questão 12.54) Suponha que, para um oscilador amortecido, γ seja muito pequenocomparado com , de modo que a amplitude permanece praticamente constantedurante uma oscilação. (a) Verifique que a energia do oscilador amortecido pode serescrita na forma (b) A dissipação média de potência é definida porP=- . Prove que P=2 = E/τ (c) Prove que esta dissipação de potência é igual aotrabalho médio efetuado pela força amortecedora, na unidade de tempo.Resolução:(a) Temos, para o sistema:(1) x(t) = A , onde A é a amplitude em função do tempo, w =, wx´(t) = A – w A , como e w ,obtemos:(2) x´(t) = – w AA energia do sistema é dada por E(t) = Ec + Ep. Logo:E(t) =(b) P=- = - = , onde é otempo de relaxação do sistema.(c) A força de amortecimento é dada por:F = -2m x´ = - 2 m (– w A = 2 m w AO trabalho é dado por: W = - ·, considerando A aproximadamente constanteao longo da integral, temos:X = A => dx = – w A dtW = -W = 2 m , onde T é o período do movimento.Dividindo W por T, obtemos o valor médio de W. Note que sen² e cos² possuem omesmo valor médio, e como cos² + sen² = 1 => valor médio do sen² e do cos² é igual a0,5. Assim:
  2. 2. Pot = 2 m => Pot = m , a qual é a potênciadissipadaQuestão 12.55) Prove que, para um oscilador forçado, = , quando areatância é igual é igual à resistência X = ±R ou . A diferençaentre dois valores de , para esta situação, é chamada largura da banda dooscilador e a razão Q = é chamada fator Q do oscilador. Prove que, parapequeno amortecimento, e, assim, Q = .Resolução:i) No primeiro caso (X = ±R), temos:X = ±R => Z = = , mas R = Z cos(α) => cos(α) = .Sabendo que = , temos:= = 2 cos(α) = 2ii) No segundo caso ( , temos:tg(α) = = => cos(α) =R = => X = , pois X² + R² = Z², ou seja, temos que X = , e entramos nocaso anterior.iii) Quando ( ), comoQuando ( )De forma análoga, obtemosPara pequenos amortecimentos, w . Logo:Q = =
  3. 3. Questão 12.56) (a) Calcule os valores médios das energias cinéticas e potencial dasoscilações forçadas de um oscilador amortecido. (b) Obtenha o quociente entre a somadessas energias e o trabalho realizado pela força aplicada num período. Esse fator é útilpara indicar o desempenho do oscilador. Prove que, para pequenos amortecimentos,esse fator é igual a Q/2τ.Resolução:(a) Considerando t>>0, ou seja, Xg = Xp, pois a solução homogênea tende a zero. Logo:x(t) = , onde C = m e tg( = .Derivando x em relação ao tempo:x´(t) = v(t) =Daí,Epotencial = eEcinética =Assim como foi utilizado na questão 1:Logo,e , onde C = m(b) O trabalho realizado pela força é:W = =W = -W = - ]O primeiro termo é zero e o segundo é T/2, logo:W = sen , sen =
  4. 4. Assim, Q = =Para pequenos amortecimentos: ( ), obtemos: Q =

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