1) O documento discute os fundamentos geométricos da teoria de Einstein-Cartan, especificamente a geometria de Riemann-Cartan, que introduz o conceito de torção espacial. 2) A geometria de Riemann-Cartan difere da geometria de Riemann tradicional ao considerar conexões afins assimétricas, representadas pelo tensor de torção. 3) A torção introduzida nas equações de campo da teoria de Einstein-Cartan é sugerida como tendo correlação física com a densidade de spin da mat

1. FUNDAMENTOS GEOMÉTRICOS DA
TEORIA DE EINSTEIN-CARTAN
RODRIGO R. S. NASCIMENTO∗
11 de agosto de 2013
Departamento de Física; Universidade do Estado de Santa Catarina; Centro de Ciências Tecnológicas;
Joinville 89219-710, Santa Catarina, Brasil
Resumo
Este estudo tem como objetivo abordar os conceitos geométricos fundamen-
tais inerentes à geometria de Riemann-Cartan, observando as principais diferenças
entre esta e a geometria de Riemann tradicional, e introduzindo o conceito de tor-
ção espaço-temporal naturalmente. Trata-se de uma revisão bibliográfica baseada
na literatura especializada, levada a cabo através de consulta à artigos científicos
difundidos na comunidade. Os estudos considerados sugerem que a torção in-
troduzida nas equações de campo pertinentes à teoria de Einstein-Cartan, possua
correlação física com a densidade de spin da matéria, o que engloba dessa forma
uma perspectiva para modelos cosmológicos mais gerais. Algumas motivações
para o uso da torção em física serão mencionadas, e algumas das perspectivas que
permeiam modelos cosmológicos torcionais serão evidenciadas.
Palavras chaves: Geometria, Torção, Teoria de Einstein-Cartan.
Sumário
1 Introdução 3
2 Metodologia 3
2.1 Convenções e Planejamento do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Uma Breve Revisão da Geometria Riemanniana 4
3.1 Objetos Geométricos Espaços-Temporais . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 Derivada Covariante, Deslocamento Paralelo e Conexão Afim . . . . 5
3.3 Tensor de Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3.1 Tensor de Ricci e Escalar de Curvatura . . . . . . . . . . . . 7
3.3.2 Identidades de Bianchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
∗Bolsista de iniciação científica – PIBIC/CNPq. Acadêmico do Curso de Licenciatura em Fí-
sica – CCT-UDESC, Endereço eletrônico: rodrigorsnascimento@gmail.com. Orientador: Professor
Ph.D. Jorge Gonçalves Cardoso – Departamento de Matemática – CCT-UDESC. Endereço eletrônico:
dma2jgc@joinville.udesc.br
1

2. SUMÁRIO
4 Geometria de Riemann-Cartan 8
4.1 Motivações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.2 Torção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.3 Conexão em Termos da Métrica e da Torção . . . . . . . . . . . . . . 9
4.3.1 Identidades de Bianchi com Torção . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3.2 Tensor de Ricci e Escalar de Ricci com Torção . . . . . . . . 10
4.4 Equações de Campo da Teoria de Einstein-Cartan . . . . . . . . . . . 10
5 Discussões e Conclusões 12
Referências 13
2

3. 2 METODOLOGIA
1 Introdução
Até por volta de 1915, a cosmologia limitou-se ao uso da geometria Euclidiana para
modelar os fenômenos cósmicos observáveis com base nos conceitos provenientes da
gravitação Newtoniana. Estes modelos cosmológicos foram fundamentados em intui-
ção e empirismo, e capazes de descrever uma ampla gama de fenômenos bem como de
prever alguns outros. Todavia, com o desenvolvimento da tecnologia, tornou-se possí-
vel construir instrumentos cada vez mais precisos, melhorando deste modo de maneira
significativa não somente os resultados observacionais, mas também os modelos a se-
rem tomados para a descrição dos fenômenos observáveis. Modelos cosmológicos ba-
seados no uso de uma geometria mais geral, foram formulados inicialmente por Albert
Einstein (vide Refs.[1]). O impacto causado por tais modelos na comunidade científica
é hoje referenciado ao dizer-se que a teoria física de fundo, a saber, a teoria da relativi-
dade geral de Einstein, é uma das mais belas e bem sucedidas teorias da física, a qual
mudou dramaticamente a forma como tratamos o tempo e o espaço.
Einstein propõe o uso da geometria Riemanniana no lugar da geometria pseudo-
Euclidiana ocorrente no contexto da teoria da relatividade especial [2], visando genera-
lizar os postulados desta e embasar a formulação da teoria da Relatividade Geral (RG).
Neste modelo geral, tempo e espaço são conceitualmente "combinados" no conceito
de “contínumm” espaço-temporal curvo. Assim, um espaço-tempo do contexto da RG
aparece como um ambiente curvo quadri-dimensional real equipado com um elemento
de arco indefinido, propiciando deste modo uma estrutura causal local. Após este feito,
dezenas de outros autores exploraram a riqueza matemática que a geometria Riemanni-
ana exibe na gravitação (vide, por exemplo, Ref. [3]). Uma abordagem particular dada
neste sentido foi feita primeiramente por A. Eddington (vide Refs. [4, 5]) ao estudar
sistematicamente os objetos geométricos presentes em teorias relativísticas, e ao suge-
rir em 1921 que um novo conceito geométrico envolvendo conexões afim assimétricas
poderia ser eventualmente introduzido no contexto espaço-temporal curvo.
Élie Cartan [6], durante os anos 1922-25, trabalhou com conexões antissimétricas,
provando que tais conexões transformam-se como tensores e as denominando tensores
de torção. Cartan chegou a sugerir que a torção deveria estar associada a algum tipo de
momento angular intrínseco da matéria não chegando, porém, a desenvolver esta ideia
profundamente. Estas associações de caráter físico supostamente contribuem para o
tensor energia-momento da RG e, assim, podem afetar o campo gravitacional. Atual-
mente, os modelos torcionais ocupam um lugar de destaque na pesquisa científica que
visam formular contextos cosmológicos torcionais [7, 8, 9, 10].
2 Metodologia
Este estudo envolve uma revisão literária especializada, realizada entre setembro de
2012 e maio de 2013, na qual consultou-se desde livros e periódicos presentes na Bi-
blioteca do Centro de Ciências Tecnológicas da Universidade Estadual de Santa Cata-
rina UDESC- CCT, à artigos contidos na rede. Três artigos indicados pelo professor
orientador foram tomados como base de estudos [11, 12, 13]. Seguindo as referências
dos artigos base, encontramos a literatura complementar, em sua maioria, no banco de
dados eletrônico: arXiv.org. A pesquisa das referências foi realizada entre setembro
2011 e fevereiro de 2012, utilizando as palavras chave contidas neste relatório e os tí-
tulos sugeridos pelos autores de base. O critério de seleção dos artigos complementares
foi baseado em: quantidade de citação entre os autores, relevância no estudo abordado,
3

4. 3 UMA BREVE REVISÃO DA GEOMETRIA RIEMANNIANA
sugestão por parte do professor orientador e gosto do aluno. O estudo em si, abran-
geu: leitura integral dos artigos de base e complementares, verificação dos principais
conceitos envolvidos e aulas de nivelamento teórico.
2.1 Convenções e Planejamento do Trabalho
As seguintes convenções serão adotadas neste relatório: índices espaço-temporais se-
rão indicados por letras gregas minúsculas µ,ν,λ..., e variam de 0 até 3. A convenção
de somação usual de Einstein será adotada. Simetrização e antisimetrização serão de-
notadas por parênteses e colchetes envolvendo os índices absorvidos pelas operações
de simetria, respectivamente. Barras envolvendo um bloco de índices significará que
os índices pertinentes estão excluídos das operações de simetria. Nossa escolha de
assinatura métrica é (+−−−). O operador derivada parcial ∂/∂xλ será denotado sim-
plesmente por ∂λ , e derivadas covariantes serão representadas pelo símbolo ∇µ . O
símbolo xλ em parênteses, geralmente, significará dependência funcional nas quatro
coordenadas espaço-temporais. A constante gravitacional Einsteiniana é denotada por
k, e vale k 8πc−4G, com G sendo a constante gravitacional Newtoniana. Notação
para quantidades torcionais será explicada no decorrer do texto a medida que neces-
sário. O trabalho tem sido dividido como segue: na Seção 3, apresenta-se uma breve
revisão da geometria Riemanniana, onde serão introduzidos alguns conceitos como
métrica, conexão afim, tensores, transporte paralelo, derivada covariante e tensor de
curvatura, juntamente com as equações de campo da RG. Na Seção 4, apresentaremos
as principais motivações para o uso da geometria de Riemann-Cartan e em seguida in-
troduziremos a torção a partir da atuação de comutadores entre derivadas covariantes
sobre vetores mundo no contexto desta geometria. Obteremos a curvatura da geome-
tria de Riemann-Cartan, usando-se para isto, uma conexão generalizada contendo uma
parte simétrica e uma antissimétrica. Veremos assim, que a geometria de Riemann é
um caso particular da geometria de Riemann-Cartan. Ainda na Seção 4, apresentare-
mos as equações de Einstein-Cartan e veremos como a torção contribui para o tensor
de energia-momento. Por fim, na Seção 5, discutiremos algumas das consequências
resultantes da torção, apresentaremos o ponto de vista de alguns autores quanto a in-
terpretação física da torção, e finalizaremos com algumas conclusões.
3 Uma Breve Revisão da Geometria Riemanniana
Apresentaremos aqui brevemente alguns conceitos da geometria Riemanniana, que
propiciam uma base para a compreensão da teoria de Einstein-Cartan. Para uma des-
crição completa dessa geometria, ver [1, 14, 15, 16, 17].
3.1 Objetos Geométricos Espaços-Temporais
Um espaço-tempo M é um continuum real quadri-dimensional curvo, identificado
como um espaço pseudo-Riemanniano.1 A variedade M é equipada com um grupo
de transformações de coordenadas do tipo x µ = x µ (xλ ), o qual é chamado de grupo
de mapeamentos da variedade (GMV) de M . Tensores em M são definidos como ob-
jetos geométricos que obedecem leis de transformações homogêneas sob a atuação do
1O termo "pseudo" significa que a assinatura métrica é indefinida.
4

5. 3 UMA BREVE REVISÃO DA GEOMETRIA RIEMANNIANA
GMV de M . Por exemplo, um tensor contravariante de primeira ordem Uµ obedece
leis de transformações homogêneas do tipo
U α
= ∂γ x α
Uγ
. (3.1)
Um exemplo bem conhecido de um tensor deste tipo é dado por
dx α
= ∂γ x α
dxγ
. (3.2)
Para o caso de um tensor covariante temos
Uα = ∂α xν
Uν . (3.3)
Vale ressaltar que se φ representa um escalar, então ∂µ φ transforma-se como um tensor
covariante, a saber,
∂α φ = ∂α xν
∂ν φ. (3.4)
Mais geralmente, para um tensor T
α1...αk
β1...βl
de valência arbitrária, tem-se
T
α1...αk
β1...βl
= ∂γ1
xα1 ... ∂γk
xαk ∂β1
x ν1 ... ∂βl
x νl T
γ1...γk
ν1...νl
. (3.5)
O espaço-tempo M é usualmente equipado com um tensor métrico2 covariante gµν
que generaliza o conceito de distância entre dois pontos/eventos, segundo a prescrição
ds2
= gµν (x)dxµ
dxν
. (3.6)
Pode-se definir o tensor métrico gµν contravariante, inverso de gµν , de tal forma que
gµν
gνσ = gλσ gλµ
= δ
µ
σ , (3.7)
onde δ
µ
σ é um invariante conhecido como delta de Kronecker, definido por
δ
µ
σ =
1, se µ = ν
0, se µ = ν
. (3.8)
3.2 Derivada Covariante, Deslocamento Paralelo e Conexão Afim
Em M , precisamos definir um operador diferencial que mantenha as características
tensoriais dos objetos geométricos. Em geral, as regras usuais de diferenciação parcial
não garantem que o resultado obtido, a partir de um tensor, seja de fato outro tensor.
Tomemos como exemplo o tensor covariante definido na Eq. (3.3). Diferenciando
ambos os lados da Eq. (3.3) com relação à x µ obtemos
∂Uα
∂x µ
=
∂xβ
∂x α
∂xγ
∂x µ
∂Uβ
∂xγ
+
∂2xβ
∂x α ∂x µ
Uβ . (3.9)
A presença do segundo termo do lado direito desta igualdade revela que ∂Uα /∂x µ não
se transforma como um tensor. Este fato pode, com efeito, ser resolvido da seguinte
forma. Se considerarmos dois pontos P e P de M suficientemente próximos de coor-
denadas xρ e xρ +dxρ , bem como dois vetoresVρ eVρ +dVρ assentados nestes pontos,
2Os tensores métricos são comumente utilizados para abaixar e levantar índices de qualquer quantidade
definida no espaço-tempo, num mesmo sistema de coordenadas.
5

6. 3 UMA BREVE REVISÃO DA GEOMETRIA RIEMANNIANA
então estes vetores podem ser relacionados com o uso do conceito de deslocamento pa-
ralelo, o qual fornece uma maneira de comparar objetos deslocados paralelamente em
uma vizinhança suficientemente pequena. Matematicamente, o deslocamento paralelo
obedece a seguinte prescrição
δVρ
= −Γ
ρ
µν (x)Vµ
dxν
, (3.10)
onde Γ
ρ
µν é chamada de conexão afim e caracteriza o deslocamento paralelo eventu-
almente levado a cabo. A lei geral de transformação da conexão afim é
Γ
ρ
µν =
∂x ρ
∂xα
∂xσ
∂x µ
∂xλ
∂x ν
Γ α
σλ +
∂x ρ
∂xα
∂2xα
∂x µ ∂x ν
. (3.11)
Transportes paralelos de tensores em M proporcionam uma forma invariante de
conectar objetos geométricos definidos em pontos suficientemente próximos. Tais des-
locamentos são capazes de caracterizar geometricamente a variedade através das cone-
xões afim escolhidas. Desde que ambos Vρ e Vρ +δVρ estejam definidos localmente,
a diferencial covariante é definida por
DVρ
dVρ
−δVρ
= ∂µVρ
+Γ
ρ
µσ Vσ
dxµ
. (3.12)
A derivada covariante de Vρ é então identificada como a expressão entre parênteses
∇µVρ
= ∂µVρ
+Γ
ρ
µσ Vσ
. (3.13a)
Naturalmente, a derivada covariante de um tensor covariante Vρ é dada por
∇µVρ = ∂µVρ −Γ σ
µρ Vσ , (3.13b)
posto que D(VµVµ ) = d(VµVµ ). De forma geral, a derivada covariante de um tensor
arbitrário possui a forma
∇µ T
α1...αk
β1...βl
= ∂µ T
α1...αk
β1...βl
+Γ α1
µγ T
γ...αk
β1...βl
+...+
Γ
αk
µγ T
α1...γ
β1...βl
−Γ
γ
µβ1
T
α1...αk
γ...βl
−...−Γ
γ
µβl
T
α1...αk
β1...γ . (3.13c)
A derivada covariante possui as seguintes propriedades formais:
1. Linearidade (com a e b constantes)
∇µ aA
α1...αk
β1...βl
+bB
α1...αk
β1...βl
= a∇µ A
α1...αk
β1...βl
+b∇µ B
α1...αk
β1...βl
.
2. Regra de Leibniz
∇µ A
α1...αk
β1...βl
B
α1...αk
β1...βl
= ∇µ A
α1...αk
β1...βl
B
α1...αk
β1...βl
+A
α1...αk
β1...βl
∇µ B
α1...αk
β1...βl
.
3. Quando ∇µ atua num escalar φ, tem-se
∇µ φ = ∂µ φ.
6

7. 3 UMA BREVE REVISÃO DA GEOMETRIA RIEMANNIANA
No contexto da geometria Riemanniana, tem-se conexões afim que satisfazem a se-
guinte propriedade de simetria
Γ λ
µν = Γ λ
(µν) . (3.14)
Em adição, o caráter invariante do elemento de linha ds implica que gµν precisa ser
covariantemente constante em relação à conexão Γ λ
µν , i.e.,
∇λ gµν = 0. (3.15)
Tal propriedade implica que as conexões afim correspondentes possuem a forma explí-
cita
Γ
ρ
µν =
1
2
gρσ
∂µ gνσ +∂ν gµσ −∂σ gµν , (3.16)
as quais são denominadas de símbolos de Christoffel.3
3.3 Tensor de Curvatura
O tensor de Riemann para conexões afim do tipo (3.16) emerge a partir do comutador
entre operadores derivadas covariantes. Para verificar isto, definimos
µν ∇µ ∇ν −∇ν ∇µ = 2∇[µ ∇ν], (3.17)
tal que, deixando o operador (3.17) atuar em um dado vetor Vρ , obtém-se
µνVρ
= R
ρ
µνσ Vσ
, (3.18)
com o tensor de curvatura de Riemann sendo definido por
R
ρ
µνσ ∂µ Γ
ρ
νσ −∂ν Γ
ρ
µσ +Γ
ρ
µλ Γ λ
νσ −Γ
ρ
νλ Γ λ
σµ . (3.19)
Definindo Rµσνρ R λ
µσν gλρ , podemos facilmente verificar as seguintes proprieda-
des4
Rµσνρ = −Rσµνρ = −Rµσρν , (3.20a)
Rµσνρ = Rνρµσ . (3.20b)
3.3.1 Tensor de Ricci e Escalar de Curvatura
O tensor de Ricci é dado por5
Rµν gρσ
Rµσνρ . (3.21)
Da propriedade (3.20b), verifica-se que o tensor de Ricci de uma conexão afim de
Christoffel é simétrico, e portanto possui 10 componentes independentes. O escalar de
curvatura, ou escalar de Ricci, é dado pela contração de todos os índices do tensor de
Riemann, a saber,
R gµν
Rµν . (3.22)
3Na bibliografia tradicional, os símbolos Γµνρ e Γ
ρ
µν são chamados de símbolos de Christoffel de pri-
meira e segunda espécies respectivamente.
4As propriedades 3.20a e 3.20b reduzem o número de componentes independentes do tensor de Riemann
de 256 para 20 componentes.
5Há uma convenção de sinal absorvida na definição do tensor de Ricci.
7

8. 4 GEOMETRIA DE RIEMANN-CARTAN
3.3.2 Identidades de Bianchi
Uma outra propriedade muito importante do tensor de Riemann de uma conexão de
Christoffel, é a propriedade de ciclidade
Rµσνρ +Rνµσρ +Rσνµρ = 0. (3.23a)
Esta propriedade é conhecida como primeira identidade de Bianchi. A segunda identi-
dade de Bianchi é dada por
∇µ R λ
σνρ +∇σ R λ
νµρ +∇ν R λ
µσρ = 0. (3.23b)
A segunda identidade de Bianchi contraída adequadamente, e reescrita em termos do
tensor de Ricci e do escalar de curvatura, nos fornece a seguinte relação:
∇µ Gµν
= 0, (3.24a)
com
Gµν
≡ Rµν
−
1
2
gµν
R. (3.24b)
O tensor Gµν é denominado o tensor de Einstein [18], e ocorre nas equações de
campo da RG:
Gµν
= −kTµν
. (3.25a)
A relação (3.24a), produz a lei de conservação de energia-momento
∇µ Tµν
= 0. (3.25b)
4 Geometria de Riemann-Cartan
4.1 Motivações
Embora a RG seja amplamente aceita na comunidade científica, e possua fortes evidên-
cias experimentais a seu favor [19], esta teoria sozinha não consegue responder várias
questões em aberto relacionadas com energia escura e matéria escura [20]. Conjectura-
se que deva haver alguma extensão da RG que consiga explicar aquela fenomenologia.
Uma teoria presumivelmente adequada neste sentido envolveria um embasamento ge-
ométrico que porta torção. Dessa forma, uma versão torcional da teoria da gravitação
seria realizada dentro do contexto de uma geometria de Riemann-Cartan [7]. Embora
esta característica torcional não constitua uma visão definitiva, hoje em dia a ideia mais
aceita é a de que, de fato, a torção tem como fonte o spin [11]. Uma vez que a maneira
mais geométrica de introduzir-se o spin na gravitação é via torção, esta acaba sendo
uma das grandes motivações para o estudo de teorias cosmológicas modernas [20].
4.2 Torção
Cartan introduziu conexões antissimétricas na lei de transporte paralelo, e aplicou o
deslocamento paralelo ao longo de curvas fechadas, encontrando deste modo que a
curvatura gerada difere da curvatura tradicionalmente usada na geometria Riemanniana
[21, 6, 11, 9]. Falando a grosso modo, para obtermos a torção, deixamos o comutador
8

9. 4 GEOMETRIA DE RIEMANN-CARTAN
de derivadas covariantes [∇µ,∇ν ] atuar em um dado vetor Vρ em M , e relaxamos a
condição de simetria das conexões afim, tal que
Γµν
λ
= Γ(µν)
λ
+Γ[µν]
λ
. (4.1)
Na presença de torção, torna-se muito mais fácil trabalhar em termos do operador
Cyrillic-D [18]. Tem-se, com efeito,
ĵνVρ
R
ρ
µνσ Vσ
, (4.2)
onde
ĵνVρ
= µνVρ
−T λ
µν ∇λVρ
. (4.3)
De forma explícita, nós temos
∇µ ∇ν −∇ν ∇µ −T λ
µν ∇λ Vρ
= R
ρ
µνσ Vσ
. (4.4)
O lado direito da igualdade (4.4) envolve o tensor de Riemman para a conexão afim
assimétrica (4.1). Agora, o termo novo a saber, T λ
µν é definido como a torção. Neste
estágio, uma observação a ser feita é que a torção é antissimétrica nos dois primeiros
índices, T λ
µν = −T λ
νµ e, portanto, possui 24 componentes independentes:
T λ
µν 2Γ λ
[µν] = Γ λ
µν −Γ λ
νµ . (4.5)
Evidentemente para o caso em que T λ
µν = 0, o operador ∇µ é dito ser livre de torção
e, neste caso, recuperamos a curvatura da geometria Riemanniana.
4.3 Conexão em Termos da Métrica e da Torção
Como a variedade M é dotada de uma métrica gµν , pode-se ainda impor que a con-
dição de compatibilidade (3.15) aplica novamente. Assim sendo, podemos obter uma
expressão natural para a conexão em termos da métrica e da torção, a partir das seguin-
tes expansões:
∇µ gνσ = ∂µ gνσ −Γ λ
µν gλσ −Γ λ
µσ gνλ = 0, (4.6a)
∇ν gσµ = ∂ν gσµ −Γ λ
νσ gλµ −Γ λ
νµ gσλ = 0, (4.6b)
∇σ gµν = ∂σ gµν −Γ λ
σµ gλν −Γ λ
σν gµλ = 0. (4.6c)
Manipulando-se (4.6a), (4.6b), (4.6c) e usando (4.5) chegamos a
˜Γµν
λ
= Γ(µν)
λ
+K λ
µν , (4.7)
onde K λ
µν é um tensor dado pela diferença ˜Γµν
λ −Γ(µν)
λ , denominado cotorção, o
qual possui o mesmo número de componentes independentes que a torção. Tem-se a
definição
K λ
µν −
1
2
T λ
µν +T λ
νµ −T λ
µν . (4.8)
Aqui, Γ(µν)
λ é identificado com o símbolo de Christoffel da geometria Riemanniana
(vide 3.16). Assim, usando (4.1), podemos expandir a contribuição da torção no tensor
de Riemann, tal como segue
R λ
µνσ = R λ
µνσ +∇[µ T λ
ν]σ −
1
2
T λ
ρ[µ T
ρ
ν]σ
−
1
2
T
ρ
µν T λ
ρσ . (4.9)
9

10. 4 GEOMETRIA DE RIEMANN-CARTAN
A generalização das propriedades do tensor de Riemann seguem diretamente a partir
daquelas da torção, a saber,
Rµνσλ = −Rνµσλ = −Rµνλσ , (4.10a)
Rµνσλ = Rσλµν . (4.10b)
Observa-se, então, que Rµνσλ possui 36 componentes independentes, é antissimétrico
nos índices da cada par mas, no entanto, não porta mais a simetria nos pares de índices
como explicitado pela equação (4.10b).
4.3.1 Identidades de Bianchi com Torção
As identidades de Bianchi em uma geometria com torção são escritas na seguinte forma
[21, 9]
∇[µ R λ
νσ]ρ = T δ
[µν R λ
σ]ρδ , (4.11a)
R λ
[µνσ] = −∇[µ T λ
νσ] +T
ρ
[µν
T λ
σ]ρ , (4.11b)
É interessante notar que os duais do tensor de curvatura com torção não possuem
quadri-divergências nulas [18]. Em adição, a propriedade cíclica de antes não aplica
aqui. Notamos que se a torção for nula, recuperamos as identidades de Bianchi da
geometria Riemanniana.
4.3.2 Tensor de Ricci e Escalar de Ricci com Torção
Podemos definir o tensor de Ricci pela contração [18]
Rνσ = Rµνσλ gµλ
= R
µ
µνσ , (4.12)
isto é,
Rνσ = Rνσ +3∇[µ T ν
νσ] −T ν
νλ T λ
µσ , (4.13)
onde Rνσ o tensor de Ricci para a conexão de Christoffel [18]. Pode-se observar da
expressão acima que o tensor de Ricci assim definido é um tensor de 16 componentes
independentes e, portanto, assimétrico. O escalar de Ricci é obtido pela contração total
dos índices do tensor de Ricci, a saber,
R = gνσ
Rνσ = R+2∇µ K
νµ
ν −K
µ
µ ρ K
νρ
ν −K
µ
νρ K
νρ
µ , (4.14)
com R = gνσ Rνσ . Tal como na geometria Riemanniana, o tensor de Einstein pode ser
definido em termos do tensor de Ricci e do escalar de curvatura:
Gµν Rµν −
1
2
Rgµν . (4.15)
4.4 Equações de Campo da Teoria de Einstein-Cartan
Vimos que a diferença entre as equações de campo da RG e da teoria de Einstein-
Cartan, reside particularmente na natureza do operador ∇λ que é usado. A condição
de compatibilidade métrica (3.3) é formalmente preservada, mas em geral, o tensor de
10

11. 4 GEOMETRIA DE RIEMANN-CARTAN
torção T λ
µν não é nulo, como vimos anteriormente (Vide 4.4). De acordo com a in-
terpretação usual [18], a torção do espaço-tempo pode ser relacionada com a densidade
de spin τµνλ contida na matéria pela equação
T λ
µν −k τ λ
µν +g λ
[µ τ σ
ν]σ , (4.16)
com T λ
µν sendo o tensor torção modificado, o qual depende da densidade de spin, e
com τµνλ satisfazendo a condição de antissimetria nos dois primeiros índices
τ λ
µν = −τ λ
νµ . (4.17)
Rearranjando os termos na (4.16), obtemos
T λ
µν +2g ν
[µ T σ
ν]σ = −kτ λ
µν . (4.18)
Pode-se introduzir um tensor de energia-momento assimétrico Ξµν , juntamente com o
tensor densidade de spin τµνλ [22], de tal modo que a estrutura das equações de campo
de Einstein-Cartan [23, 24] torna-se
Rµν −
1
2
gµν R = −kΞµν , (4.19a)
T λ
µν +2g ν
[µ T σ
ν]σ = −kτ λ
µν . (4.19b)
Da Eq. (4.11b) deduz-se a “lei de conservação de spin” [18]
∇σ τ λ
µν −T
ρ
ρλ τ λ
µν = Ξνµ −Ξµν . (4.20)
Alguns autores [11, 22] obtém as equações de campo de Einstein-Cartan a partir de um
princípio variacional envolvendo a métrica e a torção. O tensor energia-momento total
aparece, então, como sendo6
Ξµν
Tµν
+
∗
∇λ τµνλ
−τνλµ
+τλµν
, (4.21)
onde Tµν é o tensor de energia-momento métrico dado pela Eq. (3.25a), e τµνλ o
tensor momento angular de spin, o qual pode ser dado pela derivada funcional
τ
µν
λ
δL
δK λ
µν
√
−g
. (4.22)
Por fim, define-se as equações de campo da teoria de Einstein-Cartan por
G µν
= −kΞµν
, (4.23a)
Tµνλ
= −kτµνλ
. (4.23b)
A equação (4.21), nos permite verificar que, na ausência de spin, a torção desapa-
rece e as equações de campo tornam-se as equações de campo clássicas de Einstein.
Outra observação importante, a qual é certamente digna de ser enfatizada, é que agora o
tensor de Ricci não é mais simétrico na presença de torção. Esta propriedade encontra-
se devidamente exibida pela (4.10b).
6Por conveniência, o trabalho da Ref. [11], define a seguinte derivada
∗
∇λ = ∇λ +2T σ
λσ .
11

12. 5 DISCUSSÕES E CONCLUSÕES
5 Discussões e Conclusões
Com o formalismo exposto, vê-se claramente que a geometria de Riemann-Cartan ge-
neraliza a geometria Riemanniana através da inclusão do tensor de spin. Na utilização
de uma conexão afim mais geral para a caracterização da curvatura da geometria de
Riemann-Cartan, encontramos dessa forma que o tensor de spin aparece como con-
sequência nas expressões para as propriedades de simetria correspondentes, de forma
a contribuir com um aumento do número de graus de liberdade dos tensores de Rie-
mann e de Ricci. Alem disto, as equações de Einstein-Cartan permitem estabelecer-se
um princípio de correspondência que recupera a RG. A condição de compatibilidade
métrica é mantida o que torna a teoria de Einstein-Cartan uma teoria que mantém o
conceito de metricidade. Na visão usual (vide, por exemplo, Hehl [11]), o caráter fí-
sico da torção é explanado através das equações de campo da teoria de Einstein-Cartan,
relacionando densidade de spin com torção de tal modo que não pode haver torção do
espaço-tempo fora da distribuição de matéria com spin [11]. Assim sendo, percebe-se
que a torção é portanto uma propriedade intrínseca da matéria que somente é perceptí-
vel através da influência que o spin exerce sobre a geometria espaço-temporal.
É natural dizer-se que a teoria de Einstein-Cartan é capaz de fornecer uma descrição
do movimento de uma partícula teste em um espaço-tempo com torção, que possa pro-
piciar uma aproximação da equação de movimento dada pela RG. Yasskin [25] genera-
lizou as equações de Papapetrou [26] usando como fundo o tensor de energia-momento
canônico das equações de campo de Einstein-Cartan, e obteve como resultado que a tor-
ção se acopla com spin. Assim, uma partícula teste sem spin, irá mover-se de acordo
com as equações usuais de Papapetrou. Yasskin ainda afirma que os testes padrões de
gravidade são insensíveis para detectar um campo com torção e propõe experimentos
para comparar o movimento de rotação de um corpo com spin polarizado. Em um
estudo similar [7], os autores discutem o movimento de um corpo extenso (giroscópio
ou pacote de onda) inseridos em uma geometria efetiva de fundo que contem campos
gravitacionais e torção, do ponto de vista de dois formalismos distintos: A Teoria de
calibre de Poincaré e outra a qual os autores intitulam de “A nova relatividade geral”.
O primeiro formalismo é baseado no espaço-tempo de Riemann-Cartan e o último é
dado num espaço-tempo de Weizenböck, que possui paralelismo absoluto. Caso a cur-
vatura seja identicamente nula, a gravitação ficaria atribuída à torção do espaço-tempo.
Ambos os formalismos estão de acordo com as mesmas predições da relatividade geral.
A torção quando acoplada ao spin intrínseco de partículas fundamentais (quarks, lép-
tons), irá fornecer efeitos não triviais no movimento destas partículas, como precessão,
dando assim, uma forma de detectar a torção do espaço-tempo. Em [27], os autores
usaram o método WKB (vide por exemplo: [28, 29]) nas equações de Dirac e Proca,
obtendo as equações de movimento e precessão de spin para partículas massivas que se
movem em um ambiente espaço-temporal torcional. Como resultado, demonstraram
que as equações de movimento destas partículas é uma família de geodésicas métricas.
Porém, segundo eles, a equação de precessão de spin não pode ser representada geo-
metricamente da mesma maneira, nem mesmo com o uso de transportes paralelos de
Fermi-Walker [30]. Dessa forma, os autores discordam com o modelo de “spin-fluid”
proposto por Adamovicz e Trautmann [31], o qual sugere uma abordagem fisicamente
similar. No entanto, os autores afirmam que é altamente recomendado que o método
de Fock-Papapetrou [32] seja implementado para descrever o movimento de partículas
com spin em um espaço-tempo de Riemann-Cartan.
Dos estudos levados a cabo aqui, vemos que a teoria de Einstein-Cartan é de grande
interesse da física por ser a extensão mais simples da relatividade geral que permite
12

13. REFERÊNCIAS
de forma natural a inclusão de spin em fontes geométricas. Assim como a energia e
matéria curvam o espaço, na teoria de Einstein-Cartan, a energia do spin torce o espaço.
Esta é uma das razões pela qual pode-se dizer que o spin entra de forma tão natural nesta
teoria. Todavia, a associação do spin com a torção não é uma característica exclusiva
da teoria de Einstein-Cartan. Várias outras teorias também fazem esta associação e,
de fato, há uma tendência a se acreditar que a torção realmente esteja associado com o
spin.
Este estudo foi de fundamental importância para inserir o autor no contexto das
teorias torcionais. Evidentemente, há muito estudo ainda a ser desenvolvido para ali-
cerçar os conceitos adquiridos, que em geral não são tão bem palatáveis como demons-
trado aqui. Ao longo desta pesquisa, construiu-se uma base consideravelmente ampla
e abrangente a cerca do formalismo tensorial no contexto da relatividade geral e, por
último, na teoria de Einstein-Cartan, abrindo assim novos horizontes para o autor de-
senvolver projetos de pesquisa futuros.
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13

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