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Capítulo 3 - Resistência dos Materiais
3.1. Definição
A Resistência dos Materiais é um ramo da Mecânica Aplicada que estuda o
comportamento dos sólidos quando estão sujeitos a diferentes tipos de carregamento.
Os sólidos considerados nesta disciplina são barras carregadas axialmente, eixos,
vigas e colunas, bem como estruturas que possam ser formadas por esses elementos.
Geralmente, o objetivo da análise será a determinação das tensões,
deformações específicas e deformações totais produzidas pelas cargas; se essas
quantidades puderem ser determinadas para todos os valores crescentes de carga,
até o ponto da fratura, tem-se um quadro completo do corpo.
3.2. Tensões e Deformações
Os conceitos de tensão e deformação podem ser ilustrados, de modo
elementar, considerando-se o alongamento de uma barra prismática, Figura 1.1(a).
Uma barra prismática tem seção constante em todo o comprimento e eixo reto. Nesta
figura, supõe-se a barra carregada nas extremidades por forças axiais, P, que
produzem alongamento uniforme ou tração na barra. Fazendo um corte imaginário
(corte mm) na barra, normal ao seu eixo, é possível isolar parte dela como corpo livre,
Figura 1.1(b). A força P é aplicada na extremidade direita, aparecendo à esquerda as
forças que traduzem a ação da parte removida sobre a que ficou.
PP m
m
L δδδδ
P
σσσσ
(a)
(b)
Figura 3.1 – Barra prismática sobre tração
A força por unidade de área é denominada tensão, sendo comumente
designada pela letra grega σ. Supondo que a tensão seja uniformemente distribuída
sobre toda a seção transversal, pode-se ver facilmente que a resultante é dada pelo
produto da intensidade de σ pela área A, da seção transversal da barra, equação 3.1.
A
P
=σ 3.1
Nesta equação, percebe-se que a unidade que mede a tensão é uma força
dividida por uma área, ou seja, N/m2
(Pascal - Pa). Quando a barra está sendo
alongada pela força P, como na figura, a tensão resultante é uma tensão normal de
tração; se as forças tiverem o sentido oposto, comprimindo a barra, a tensão é de
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25
compressão. Inicialmente, supõem-se que a força é aplicada no centróide da barra.
Quando isto não acontecer e houver uma excentricidade na aplicação da barra, surgirá
um esforço de flexão na mesma, sendo este caso, objeto de estudos futuros.
O alongamento total de uma barra que suporta uma força axial será designado
pela letra grega δ. Assim, o alongamento por unidade de comprimento, ou
alongamento específico, denominado deformação, ε, é calculado pela equação 3.2.
L
δ
=ε 3.2
onde L é o comprimento total da barra. Note-se que a deformação ε é uma quantidade
adimensional, podendo ser determinada pela equação 3.2 caso o alongamento seja
uniforme ao longo da barra. Se a barra estiver sob tração, ter-se-á uma deformação de
tração, representando um alongamento do material; se a barra estiver sob
compressão, tem-se uma deformação de compressão, o que significa que as seções
transversais adjacentes aproximar-se-ão.
3.3. O Ensaio de Tração
A relação entre as tensões e as deformações, para um determinado material, é
encontrada por meio de um ensaio de tração.
Um corpo de prova que pode ser uma barreta circular ou retangular, é colocado
na máquina de testar e submetido à tração. A força atuante e as deformações
resultantes são medidas à proporção que a carga aumenta. Obtém-se as tensões
dividindo as forças pela área da seção transversal da barra, e a deformação específica
dividindo o alongamento pelo comprimento ao longo do qual ocorre deformação. Deste
modo, obtém-se um diagrama tensão x deformação completo para o material em
estudo.
A forma típica do diagrama tensão x deformação para o aço estrutural aparece
na Figura 3.2 onde as deformações axiais estão representadas no eixo horizontal,
sendo as tensões correspondentes dadas pelas ordenadas dos pontos OADCDE. De
O até A, as tensões são diretamente proporcionais às deformações e o diagrama é
linear. A partir deste ponto, a proporcionalidade já não existe mais e o ponto A é
chamado limite de proporcionalidade. Com o aumento da carga, as deformações
crescem mais rapidamente do que as tensões, até um ponto B, onde uma deformação
considerável começa a aparecer, sem que haja aumento apreciável da força de tração.
Este fenômeno é conhecido como escoamento do material e a tensão no ponto B é
denominada tensão de escoamento ou ponto de escoamento. Na região BC, diz-se
que o material tornou-se plástico e a barra pode realmente, deformar-se
plasticamente, da ordem de 10 a 15 vezes o alongamento ocorrido até o limite da
proporcionalidade. No ponto C, o material começa a oferecer resistência adicional ao
aumento da carga, acarretando acréscimo de tensão para um aumento da
deformação, atingindo o valor máximo ou tensão máxima2
, no ponto D. Além deste
ponto, a deformação aumenta ocorrendo diminuição da carga até que aconteça,
finalmente, a ruptura do corpo-de-prova no ponto E do diagrama.
Durante o alongamento da barra, há uma contração lateral, que resulta na
diminuição da área de seção transversal. Isto não tem nenhum efeito no diagrama
tensão x deformação até o ponto C, porém, deste ponto em diante, a diminuição da
área afeta de maneira apreciável o cálculo da tensão. Ocorre estrangulamento
(estricção) na barra, Figura 3.3 que, no caso de ser considerado no cálculo de σ,
tomando-se a área real da seção reduzida, fará com que a curva do diagrama tensão x
2
A tensão máxima do teste de tração é conhecida também pelos nomes de tensão de ruptura e
tensão de tração. Esta última designação deve ser evitada pela confusão que traz com as
tensões de tração que atuam na peças.
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deformação verdadeiro siga a linha interrompida CE’ da Figura 3.2. A carga total que a
barra suporta diminui depois de atingir a tensão máxima, linha DE, porém tal
diminuição decorre da redução da área e não por perda da resistência do material.
Este resiste realmente a um acréscimo de tensão até o ponto de ruptura. Entretanto,
para fins práticos, o diagrama tensão x deformação convencional, OABCDE, baseado
na seção transversal original, dá informações satisfatórias para fins de projeto.
A
B C D
E
E’
εεεε
σσσσ
εεεε
σσσσ
0,02 0,2 0,25
0,0012
300
450
ruptura
escoamento
Recuperação
domaterial-
encruamento
estricção
(a) (b)
Figura 3.2 – Diagrama tensão x deformação do aço: (a) sem escala; (b) em escala
Figura 3.3 – Corpo de prova, máquina de ensaio, estricção
É possível traçar diagramas análogos aos de tração, para vários materiais sob
compressão, estabelecendo-se tensões características, tais como limite de
proporcionalidade, escoamento, e tensão máxima.
Os materiais costumam ser divididos em dúcteis e frágeis. Os materiais dúcteis
que compreendem o aço estrutural e outros metais, se caracterizam por apresentarem
um patamar de escoamento bem definido.
Já os materiais frágeis, como ferro fundido, vidro e pedra, são caracterizados
por uma ruptura que ocorre sem nenhuma mudança sensível no modo de deformação
do material. Então, para os materiais frágeis não existe diferença entre tensão última e
tensão de ruptura. Além disso, a deformação até a ruptura é muito menor nos
materiais frágeis do que nos materiais dúcteis.
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3.3.1. Elasticidade
Os diagramas tensão x deformação apresentados anteriormente, ilustram o
comportamento de vários materiais, quando carregados por tração. Quando um corpo-
de-prova do material é descarregado, isto é, a carga é gradualmente diminuída até
zero, a deformação sofrida durante o carregamento desaparecerá parcial ou
completamente. Esta propriedade do material, pela qual ele tende a retornar à forma
original, é denominada elasticidade. Quando a barra volta completamente à forma
original, perfeitamente elástica; mas se o retorno não for total, é parcialmente elástica.
Neste último caso, a deformação que permanece depois de retirada a carga é
denominada deformação permanente.
Ao se fazer um ensaio de tração em determinado material, a carga pode ser
levada até um certo valor (pequeno) e, em seguida, removida. Não havendo
deformação permanente, isto é, se a deformação da barra voltar a zero, o material é
elástico até aquele valor atingido pela carga. Este processo de carregar e descarregar
o material pode ser repetido para sucessivos valores, cada vez mais alto. Em certo
momento, atingir-se-á um valor que fará com que a deformação não volte a zero
quando se retirar o carregamento da barra. Desta maneira, pode-se determinar a
tensão que representa o limite superior da região elástica; esta tensão é chamada
limite elástico. Para os aços e alguns outros materiais, os limites elástico e de
proporcionalidade são aproximadamente coincidentes. Materiais semelhantes à
borracha, entretanto, possuem uma proporcionalidade – a elasticidade – que pode
continuar muito além do limite de proporcionalidade.
3.3.2. Tensão Admissível
Ao projetar uma estrutura, é necessário assegurar-se que, nas condições de
serviço, ela atingirá o objetivo para o qual foi calculada. Do ponto de vista da
capacidade de carga, a tensão máxima na estrutura é, normalmente, mantida abaixo
do limite de proporcionalidade, porque somente até aí não haverá deformação
permanente, caso as cargas sejam aplicadas e, depois, removidas. Para permitir
sobrecargas acidentais, bem como para levar em conta certas imprecisões na
construção e possíveis desconhecimentos de algumas variáveis na análise as
estrutura, normalmente emprega-se um coeficiente de segurança, escolhendo-se uma
tensão admissível, ou tensão de projeto, abaixo do limite de proporcionalidade. Há
outras situações em que a tensão admissível é fixada tomando-se um coeficiente de
segurança adequado sobre a tensão máxima do material. Isto é normal quando se
trata de materiais quebradiços, tais como o concreto ou a madeira. Em geral, quando
se projeta em função da tensão admissível, uma das equações seguintes deve ser
usada no cálculo da tensão admissível, σadm,
1
e
adm
n
σ
=σ ou
2
lim
adm
n
σ
=σ 3.3
onde σe e σlim representam, respectivamente, a tensão no ponto de escoamento e a
tensão máxima do material, e n1 e n2, os coeficientes de segurança. A escolha
adequada do coeficiente de segurança é assunto complicado pois depende do tipo de
material e das condições de serviço. Quando as cargas são dinâmicas (subitamente
aplicadas ou com intensidade variável), tais como as que ocorrem nas máquinas,
aviões, pontes, etc., é necessário usar maiores coeficientes de segurança do que os
correspondentes às cargas estáticas, dada a possibilidade de falhas por fadiga do
material.
Uma alternativa ao uso da tensão admissível no projeto é calcular a estrutura
com um coeficiente de segurança que evite o colapso completo. A intensidade da
carga (ou cargas) que causará a ruptura da estrutura deve ser determinada em
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primeiro lugar para, em seguida, determinar-se a carga admissível (ou carga de
trabalho), dividindo-se a carga de ruptura por um fator de carga adequado. Este
método de cálculo é conhecido como projeto por carga de ruptura. Verifica-se que,
nestes casos, as intensidades das tensões reais na estrutura não têm participação
direta na determinação das cargas de trabalho. No cálculo das estruturas metálicas,
tanto o método da tensão admissível quanto o da carga de ruptura são de uso
corrente.
3.4. Elasticidade Linear e Lei de Hooke
Os diagramas tensão x deformação da maioria dos materiais estruturais
apresentam uma região inicial de comportamento elástico linear. Quando um material
se comporta elasticamente e apresenta, também, uma relação linear entre tensão e
deformação, diz-se que é linearmente elástico. Esta é um propriedade extremamente
importante de muitos materiais sólidos, incluindo a maioria dos metais, plásticos,
madeira, concreto e cerâmicas.
A relação linear entre a tensão e a deformação, no caso de uma barra em
tração, pode ser expressa pela equação,
ε=σ .E 3.4
onde E é uma constante de proporcionalidade conhecida como módulo de elasticidade
do material.
Este é o coeficiente angular da parte linear do diagrama tensão x deformação e
é diferente para cada material. Alguns valores de E são apresentados na tabela abaixo
(as unidades do módulo de elasticidade são iguais às de tensão). Nos cálculos, as
tensões e deformações de tração são, em geral, consideradas positivas, enquanto que
as de compressão são negativas. O módulo de elasticidade é conhecido também
como módulo de Young, por referência ao cientista inglês Thomas Young (1773-1829),
que estudou o comportamento elástico das barras. A equação é conhecida como Lei
de Hooke, pelos trabalhos de outro cientista inglês, Robert Hooke (1635-1703), que foi
o primeiro a estabelecer experimentalmente a relação linear existente entre tensões e
deformações.
Material
Massa
específica
(N/m
3
)
Módulo de
elasticidade E
(MPa = 10
3
kN/m
2)
)
Módulo de
elasticidade
transversal G
(MPa = 10
3
kN/m
2)
)
Tensão de
escoamento
σε (MPa =
10
3
kN/m
2)
)
Tensão máxima
de ruptura σlim
(MPa = 10
3
kN/m
2)
)
Aço 7,85 . 10
4
205.000 77.000 a 84.000 210 a 420 350 a 700
Aço (alta
resistência)
7,85 . 10
4
205.000 77.000 a 84.000 350 a 1120 700 a 1960
Ferro fundido 7,77 . 10
4
105.000 42.000 42 a 280 210 a 420
Madeira
(compressão)
0,277 a 0,832
. 10
4
7.000 a 14.000 - - 28 a 70
Concreto
(compressão)
2,36 . 10
4
14.000 a 28.000
3
- - 14 a 70
Quando uma barra é carregada por tração simples, a tensão axial é σ = P / A e
a deformação específica (alongamento relativo) é ε = δ / L, como mostrado nas
3
Depende do fck (resistência) do concreto
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29
equações 3.1 e 3.2. Combinando-se estes resultados com a Lei de Hooke, tem-se a
seguinte expressão para o alongamento da barra.
A.E
L.P
=δ 3.5
Esta equação mostra que o alongamento de uma barra linearmente elástica é
diretamente proporcional à carga e ao comprimento e inversamente proporcional ao
módulo de elasticidade e à área da seção transversal. O produto EA é conhecido
como rigidez axial da barra.
A flexibilidade de uma barra é definida como a deformação decorrente de uma
carga unitária. Da equação anterior, tem-se que a flexibilidade é L / EA. De modo
análogo, a rijeza da barra é definida como a força necessária para produzir uma
deformação unitária; então, a rijeza é igual a EA/L, que é a recíproca da flexibilidade.
Esse dois elementos, flexibilidade e rijeza têm grande importância na análise de vários
tipos de estrutura.
3.4.2. Relação de Poisson
Quando uma barra é tracionada, o alongamento axial é acompanhado por uma
contração lateral, isto é, a largura da barra torna-se menor e seu comprimento cresce.
A relação entre as deformações transversal e longitudinal é constante, dentro da
região elástica, e é conhecida como relação ou coeficiente de Poisson ν; assim,
axialdeformação
lateraldeformação
=ν 3.6
Esse coeficiente é assim conhecido em razão do famoso matemático francês
S. D. Poisson (1781-1840), que tentou calcular essa relação por meio de uma teoria
molecular dos materiais. Para os materiais que têm as mesmas propriedades elásticas
em todas as direções, denominados isotrópicos, Poisson achou ν = 0,25. Experiências
com metais mostraram que ν usualmente cai na faixa de 0,25 a 0,35.
Após definir-se o coeficiente de Poisson, pode-se obter então a deformação
transversal,
εν−=εt 3.7
3.5. Deformações de Barras Carregadas Axialmente
Há uma variedade de casos que envolvem barras com carregamento axial em
que as deformações podem ser calculadas pela equação 3.5. Por exemplo, é fácil
determinar as deformações de uma barra carregada axialmente não somente pelas
extremidades como também por uma ou mais forças axiais intermediárias, como se vê
na Figura 3.4(a). O procedimento para determinação da deformação da barra
representada nesta figura consiste em se obter a força axial em cada parte da barra,
isto é, nas partes AB, BC e CD e, em seguida, calcular separadamente o alongamento
(ou encurtamento) de cada parte. A soma algébrica dessas variações de comprimento
dará a variação total da barra. O mesmo método pode ser usado quando a barra é
formada por partes de diferentes seções transversais, como ilustrado na Figura 3.4(b).
Assim, vemos que, em geral, a deformação total δ, de barras formadas por várias
partes, sob ação de forças axiais ou tendo áreas diferentes de seções transversais,
pode ser obtida pela equação
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∑
=
=δ
n
1i ii
ii
AE
LP
3.8
na qual o índice i identifica as várias partes da barra, sendo n o número total de partes.
L/3
L/3
L/3
2P
2P
A
B
C
D
P
a
b
P1
P2
Figura 3.4 – Barras carregadas axialmente
Exemplo 1
A barra circular de aço apresentada na figura abaixo possui d = 20 mm e
comprimento l = 0,80 m. Encontra-se submetida à ação de uma carga axial de 7,2 kN.
Pede-se determinar:
(a) tensão normal atuante na barra
(b) o alongamento
(c) a deformação longitudinal
(d) a deformação transversal
7,2 kN
0,80
Dados:
Eaço = 210.000 MPa
νaço = 0,3 (coeficiente de Poisson)
Solução
(a) tensão normal atuante
22
d
F4
4
d
F
A
F
π
=
π
==σ
( ) 2
6
226-223- m
N
10.
20.
7200.4
m10.20.
N7200.4
m10.20
N7200.4
π
=
π
=
π
=σ
σ = 22,9 MPa
(b) alongamento da barra (δ)
MPa
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31
Pa10.210000
m0,80.Pa10.9,22
E
L
AE
LP
6
6
=
σ
==δ
δ = 0,087 . 10-3
m = 0,087 mm
(c) a deformação longitudinal (ε)
m80,0
m10.087,0
L
-3
=
δ
=ε
ε = 0,000109 m/m = 109 µε
(d) a deformação transversal (εt)
εt = - ν . ε = -0,3 . 109
εt = -33 µε
Exemplo 2
A figura apresentada a seguir representa duas barras de aço soldadas. A carga
de tração que atua no conjunto é de 4,5 kN. A seção A da peça possui dA = 15 mm e
comprimento lA = 0,60 m, sendo que a seção B possui dB = 25 mm e lB = 0,90 m.
Desprezando-se o efeito do peso próprio do material, pede-se determinar para as
seções das peças A e B:
(a) tensão normal
(b) o alongamento
(c) a deformação longitudinal
(d) a deformação transversal
(e) o alongamento total da peça
0,60 m
4,5 kN
0,90 m
A
B
Solução
(a) tensão normal
2
A
2
AA
A
d
F4
4
d
F
A
F
π
=
π
==σ
( ) 2
6
226-223-
A
m
N
10.
15.
4500.4
m10.15.
N4500.4
m10.15
N4500.4
π
=
π
=
π
=σ
MPa
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32
σA = 25,5 MPa
2
B
2
BB
B
d
F4
4
d
F
A
F
π
=
π
==σ
( ) 2
6
226-223-
B
m
N
10.
25.
4500.4
m10.25.
N4500.4
m10.25
N4500.4
π
=
π
=
π
=σ
σB = 9,2 MPa
(b) alongamento da barra (δ)
Pa10.210000
m0,60.Pa10.5,25
E
L
AE
LP
6
6
AA
A
A
A =
σ
==δ
δA = 0,073 . 10-3
m = 0,073 mm
Pa10.210000
m0,90.Pa10.2,9
E
L
AE
LP
6
6
BB
B
B
B =
σ
==δ
δB = 0,039 . 10-3
m = 0,039 mm
(c) a deformação longitudinal (ε)
m60,0
m10.073,0
L
-3
A
A
A =
δ
=ε
εA = 0,000122 m/m = 122 µε
m90,0
m10.039,0
L
-3
B
B
B =
δ
=ε
εB = 0,000043 m/m = 43 µε
(d) a deformação transversal (εt)
εt A = - ν . εA = -0,3 . 122 ⇒ εt A = -37 µε
εt B = - ν . εB = -0,3 . 43 ⇒ εt B = -13 µε
(e) o alongamento total da peça (δ)
0,0390,073BA +=δ+δ=δ
δ = 0,112 mm
MPa

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Resistencia dos materiais tensão e deformação

  • 1. Capítulo 3 - Resistência dos Materiais 3.1. Definição A Resistência dos Materiais é um ramo da Mecânica Aplicada que estuda o comportamento dos sólidos quando estão sujeitos a diferentes tipos de carregamento. Os sólidos considerados nesta disciplina são barras carregadas axialmente, eixos, vigas e colunas, bem como estruturas que possam ser formadas por esses elementos. Geralmente, o objetivo da análise será a determinação das tensões, deformações específicas e deformações totais produzidas pelas cargas; se essas quantidades puderem ser determinadas para todos os valores crescentes de carga, até o ponto da fratura, tem-se um quadro completo do corpo. 3.2. Tensões e Deformações Os conceitos de tensão e deformação podem ser ilustrados, de modo elementar, considerando-se o alongamento de uma barra prismática, Figura 1.1(a). Uma barra prismática tem seção constante em todo o comprimento e eixo reto. Nesta figura, supõe-se a barra carregada nas extremidades por forças axiais, P, que produzem alongamento uniforme ou tração na barra. Fazendo um corte imaginário (corte mm) na barra, normal ao seu eixo, é possível isolar parte dela como corpo livre, Figura 1.1(b). A força P é aplicada na extremidade direita, aparecendo à esquerda as forças que traduzem a ação da parte removida sobre a que ficou. PP m m L δδδδ P σσσσ (a) (b) Figura 3.1 – Barra prismática sobre tração A força por unidade de área é denominada tensão, sendo comumente designada pela letra grega σ. Supondo que a tensão seja uniformemente distribuída sobre toda a seção transversal, pode-se ver facilmente que a resultante é dada pelo produto da intensidade de σ pela área A, da seção transversal da barra, equação 3.1. A P =σ 3.1 Nesta equação, percebe-se que a unidade que mede a tensão é uma força dividida por uma área, ou seja, N/m2 (Pascal - Pa). Quando a barra está sendo alongada pela força P, como na figura, a tensão resultante é uma tensão normal de tração; se as forças tiverem o sentido oposto, comprimindo a barra, a tensão é de
  • 2. Professor Luciano Rodrigues Ornelas de Lima e-mail: llima@rdc.puc-rio.br Sala 5016 – Bloco A 25 compressão. Inicialmente, supõem-se que a força é aplicada no centróide da barra. Quando isto não acontecer e houver uma excentricidade na aplicação da barra, surgirá um esforço de flexão na mesma, sendo este caso, objeto de estudos futuros. O alongamento total de uma barra que suporta uma força axial será designado pela letra grega δ. Assim, o alongamento por unidade de comprimento, ou alongamento específico, denominado deformação, ε, é calculado pela equação 3.2. L δ =ε 3.2 onde L é o comprimento total da barra. Note-se que a deformação ε é uma quantidade adimensional, podendo ser determinada pela equação 3.2 caso o alongamento seja uniforme ao longo da barra. Se a barra estiver sob tração, ter-se-á uma deformação de tração, representando um alongamento do material; se a barra estiver sob compressão, tem-se uma deformação de compressão, o que significa que as seções transversais adjacentes aproximar-se-ão. 3.3. O Ensaio de Tração A relação entre as tensões e as deformações, para um determinado material, é encontrada por meio de um ensaio de tração. Um corpo de prova que pode ser uma barreta circular ou retangular, é colocado na máquina de testar e submetido à tração. A força atuante e as deformações resultantes são medidas à proporção que a carga aumenta. Obtém-se as tensões dividindo as forças pela área da seção transversal da barra, e a deformação específica dividindo o alongamento pelo comprimento ao longo do qual ocorre deformação. Deste modo, obtém-se um diagrama tensão x deformação completo para o material em estudo. A forma típica do diagrama tensão x deformação para o aço estrutural aparece na Figura 3.2 onde as deformações axiais estão representadas no eixo horizontal, sendo as tensões correspondentes dadas pelas ordenadas dos pontos OADCDE. De O até A, as tensões são diretamente proporcionais às deformações e o diagrama é linear. A partir deste ponto, a proporcionalidade já não existe mais e o ponto A é chamado limite de proporcionalidade. Com o aumento da carga, as deformações crescem mais rapidamente do que as tensões, até um ponto B, onde uma deformação considerável começa a aparecer, sem que haja aumento apreciável da força de tração. Este fenômeno é conhecido como escoamento do material e a tensão no ponto B é denominada tensão de escoamento ou ponto de escoamento. Na região BC, diz-se que o material tornou-se plástico e a barra pode realmente, deformar-se plasticamente, da ordem de 10 a 15 vezes o alongamento ocorrido até o limite da proporcionalidade. No ponto C, o material começa a oferecer resistência adicional ao aumento da carga, acarretando acréscimo de tensão para um aumento da deformação, atingindo o valor máximo ou tensão máxima2 , no ponto D. Além deste ponto, a deformação aumenta ocorrendo diminuição da carga até que aconteça, finalmente, a ruptura do corpo-de-prova no ponto E do diagrama. Durante o alongamento da barra, há uma contração lateral, que resulta na diminuição da área de seção transversal. Isto não tem nenhum efeito no diagrama tensão x deformação até o ponto C, porém, deste ponto em diante, a diminuição da área afeta de maneira apreciável o cálculo da tensão. Ocorre estrangulamento (estricção) na barra, Figura 3.3 que, no caso de ser considerado no cálculo de σ, tomando-se a área real da seção reduzida, fará com que a curva do diagrama tensão x 2 A tensão máxima do teste de tração é conhecida também pelos nomes de tensão de ruptura e tensão de tração. Esta última designação deve ser evitada pela confusão que traz com as tensões de tração que atuam na peças.
  • 3. Professor Luciano Rodrigues Ornelas de Lima e-mail: llima@rdc.puc-rio.br Sala 5016 – Bloco A 26 deformação verdadeiro siga a linha interrompida CE’ da Figura 3.2. A carga total que a barra suporta diminui depois de atingir a tensão máxima, linha DE, porém tal diminuição decorre da redução da área e não por perda da resistência do material. Este resiste realmente a um acréscimo de tensão até o ponto de ruptura. Entretanto, para fins práticos, o diagrama tensão x deformação convencional, OABCDE, baseado na seção transversal original, dá informações satisfatórias para fins de projeto. A B C D E E’ εεεε σσσσ εεεε σσσσ 0,02 0,2 0,25 0,0012 300 450 ruptura escoamento Recuperação domaterial- encruamento estricção (a) (b) Figura 3.2 – Diagrama tensão x deformação do aço: (a) sem escala; (b) em escala Figura 3.3 – Corpo de prova, máquina de ensaio, estricção É possível traçar diagramas análogos aos de tração, para vários materiais sob compressão, estabelecendo-se tensões características, tais como limite de proporcionalidade, escoamento, e tensão máxima. Os materiais costumam ser divididos em dúcteis e frágeis. Os materiais dúcteis que compreendem o aço estrutural e outros metais, se caracterizam por apresentarem um patamar de escoamento bem definido. Já os materiais frágeis, como ferro fundido, vidro e pedra, são caracterizados por uma ruptura que ocorre sem nenhuma mudança sensível no modo de deformação do material. Então, para os materiais frágeis não existe diferença entre tensão última e tensão de ruptura. Além disso, a deformação até a ruptura é muito menor nos materiais frágeis do que nos materiais dúcteis.
  • 4. Professor Luciano Rodrigues Ornelas de Lima e-mail: llima@rdc.puc-rio.br Sala 5016 – Bloco A 27 3.3.1. Elasticidade Os diagramas tensão x deformação apresentados anteriormente, ilustram o comportamento de vários materiais, quando carregados por tração. Quando um corpo- de-prova do material é descarregado, isto é, a carga é gradualmente diminuída até zero, a deformação sofrida durante o carregamento desaparecerá parcial ou completamente. Esta propriedade do material, pela qual ele tende a retornar à forma original, é denominada elasticidade. Quando a barra volta completamente à forma original, perfeitamente elástica; mas se o retorno não for total, é parcialmente elástica. Neste último caso, a deformação que permanece depois de retirada a carga é denominada deformação permanente. Ao se fazer um ensaio de tração em determinado material, a carga pode ser levada até um certo valor (pequeno) e, em seguida, removida. Não havendo deformação permanente, isto é, se a deformação da barra voltar a zero, o material é elástico até aquele valor atingido pela carga. Este processo de carregar e descarregar o material pode ser repetido para sucessivos valores, cada vez mais alto. Em certo momento, atingir-se-á um valor que fará com que a deformação não volte a zero quando se retirar o carregamento da barra. Desta maneira, pode-se determinar a tensão que representa o limite superior da região elástica; esta tensão é chamada limite elástico. Para os aços e alguns outros materiais, os limites elástico e de proporcionalidade são aproximadamente coincidentes. Materiais semelhantes à borracha, entretanto, possuem uma proporcionalidade – a elasticidade – que pode continuar muito além do limite de proporcionalidade. 3.3.2. Tensão Admissível Ao projetar uma estrutura, é necessário assegurar-se que, nas condições de serviço, ela atingirá o objetivo para o qual foi calculada. Do ponto de vista da capacidade de carga, a tensão máxima na estrutura é, normalmente, mantida abaixo do limite de proporcionalidade, porque somente até aí não haverá deformação permanente, caso as cargas sejam aplicadas e, depois, removidas. Para permitir sobrecargas acidentais, bem como para levar em conta certas imprecisões na construção e possíveis desconhecimentos de algumas variáveis na análise as estrutura, normalmente emprega-se um coeficiente de segurança, escolhendo-se uma tensão admissível, ou tensão de projeto, abaixo do limite de proporcionalidade. Há outras situações em que a tensão admissível é fixada tomando-se um coeficiente de segurança adequado sobre a tensão máxima do material. Isto é normal quando se trata de materiais quebradiços, tais como o concreto ou a madeira. Em geral, quando se projeta em função da tensão admissível, uma das equações seguintes deve ser usada no cálculo da tensão admissível, σadm, 1 e adm n σ =σ ou 2 lim adm n σ =σ 3.3 onde σe e σlim representam, respectivamente, a tensão no ponto de escoamento e a tensão máxima do material, e n1 e n2, os coeficientes de segurança. A escolha adequada do coeficiente de segurança é assunto complicado pois depende do tipo de material e das condições de serviço. Quando as cargas são dinâmicas (subitamente aplicadas ou com intensidade variável), tais como as que ocorrem nas máquinas, aviões, pontes, etc., é necessário usar maiores coeficientes de segurança do que os correspondentes às cargas estáticas, dada a possibilidade de falhas por fadiga do material. Uma alternativa ao uso da tensão admissível no projeto é calcular a estrutura com um coeficiente de segurança que evite o colapso completo. A intensidade da carga (ou cargas) que causará a ruptura da estrutura deve ser determinada em
  • 5. Professor Luciano Rodrigues Ornelas de Lima e-mail: llima@rdc.puc-rio.br Sala 5016 – Bloco A 28 primeiro lugar para, em seguida, determinar-se a carga admissível (ou carga de trabalho), dividindo-se a carga de ruptura por um fator de carga adequado. Este método de cálculo é conhecido como projeto por carga de ruptura. Verifica-se que, nestes casos, as intensidades das tensões reais na estrutura não têm participação direta na determinação das cargas de trabalho. No cálculo das estruturas metálicas, tanto o método da tensão admissível quanto o da carga de ruptura são de uso corrente. 3.4. Elasticidade Linear e Lei de Hooke Os diagramas tensão x deformação da maioria dos materiais estruturais apresentam uma região inicial de comportamento elástico linear. Quando um material se comporta elasticamente e apresenta, também, uma relação linear entre tensão e deformação, diz-se que é linearmente elástico. Esta é um propriedade extremamente importante de muitos materiais sólidos, incluindo a maioria dos metais, plásticos, madeira, concreto e cerâmicas. A relação linear entre a tensão e a deformação, no caso de uma barra em tração, pode ser expressa pela equação, ε=σ .E 3.4 onde E é uma constante de proporcionalidade conhecida como módulo de elasticidade do material. Este é o coeficiente angular da parte linear do diagrama tensão x deformação e é diferente para cada material. Alguns valores de E são apresentados na tabela abaixo (as unidades do módulo de elasticidade são iguais às de tensão). Nos cálculos, as tensões e deformações de tração são, em geral, consideradas positivas, enquanto que as de compressão são negativas. O módulo de elasticidade é conhecido também como módulo de Young, por referência ao cientista inglês Thomas Young (1773-1829), que estudou o comportamento elástico das barras. A equação é conhecida como Lei de Hooke, pelos trabalhos de outro cientista inglês, Robert Hooke (1635-1703), que foi o primeiro a estabelecer experimentalmente a relação linear existente entre tensões e deformações. Material Massa específica (N/m 3 ) Módulo de elasticidade E (MPa = 10 3 kN/m 2) ) Módulo de elasticidade transversal G (MPa = 10 3 kN/m 2) ) Tensão de escoamento σε (MPa = 10 3 kN/m 2) ) Tensão máxima de ruptura σlim (MPa = 10 3 kN/m 2) ) Aço 7,85 . 10 4 205.000 77.000 a 84.000 210 a 420 350 a 700 Aço (alta resistência) 7,85 . 10 4 205.000 77.000 a 84.000 350 a 1120 700 a 1960 Ferro fundido 7,77 . 10 4 105.000 42.000 42 a 280 210 a 420 Madeira (compressão) 0,277 a 0,832 . 10 4 7.000 a 14.000 - - 28 a 70 Concreto (compressão) 2,36 . 10 4 14.000 a 28.000 3 - - 14 a 70 Quando uma barra é carregada por tração simples, a tensão axial é σ = P / A e a deformação específica (alongamento relativo) é ε = δ / L, como mostrado nas 3 Depende do fck (resistência) do concreto
  • 6. Professor Luciano Rodrigues Ornelas de Lima e-mail: llima@rdc.puc-rio.br Sala 5016 – Bloco A 29 equações 3.1 e 3.2. Combinando-se estes resultados com a Lei de Hooke, tem-se a seguinte expressão para o alongamento da barra. A.E L.P =δ 3.5 Esta equação mostra que o alongamento de uma barra linearmente elástica é diretamente proporcional à carga e ao comprimento e inversamente proporcional ao módulo de elasticidade e à área da seção transversal. O produto EA é conhecido como rigidez axial da barra. A flexibilidade de uma barra é definida como a deformação decorrente de uma carga unitária. Da equação anterior, tem-se que a flexibilidade é L / EA. De modo análogo, a rijeza da barra é definida como a força necessária para produzir uma deformação unitária; então, a rijeza é igual a EA/L, que é a recíproca da flexibilidade. Esse dois elementos, flexibilidade e rijeza têm grande importância na análise de vários tipos de estrutura. 3.4.2. Relação de Poisson Quando uma barra é tracionada, o alongamento axial é acompanhado por uma contração lateral, isto é, a largura da barra torna-se menor e seu comprimento cresce. A relação entre as deformações transversal e longitudinal é constante, dentro da região elástica, e é conhecida como relação ou coeficiente de Poisson ν; assim, axialdeformação lateraldeformação =ν 3.6 Esse coeficiente é assim conhecido em razão do famoso matemático francês S. D. Poisson (1781-1840), que tentou calcular essa relação por meio de uma teoria molecular dos materiais. Para os materiais que têm as mesmas propriedades elásticas em todas as direções, denominados isotrópicos, Poisson achou ν = 0,25. Experiências com metais mostraram que ν usualmente cai na faixa de 0,25 a 0,35. Após definir-se o coeficiente de Poisson, pode-se obter então a deformação transversal, εν−=εt 3.7 3.5. Deformações de Barras Carregadas Axialmente Há uma variedade de casos que envolvem barras com carregamento axial em que as deformações podem ser calculadas pela equação 3.5. Por exemplo, é fácil determinar as deformações de uma barra carregada axialmente não somente pelas extremidades como também por uma ou mais forças axiais intermediárias, como se vê na Figura 3.4(a). O procedimento para determinação da deformação da barra representada nesta figura consiste em se obter a força axial em cada parte da barra, isto é, nas partes AB, BC e CD e, em seguida, calcular separadamente o alongamento (ou encurtamento) de cada parte. A soma algébrica dessas variações de comprimento dará a variação total da barra. O mesmo método pode ser usado quando a barra é formada por partes de diferentes seções transversais, como ilustrado na Figura 3.4(b). Assim, vemos que, em geral, a deformação total δ, de barras formadas por várias partes, sob ação de forças axiais ou tendo áreas diferentes de seções transversais, pode ser obtida pela equação
  • 7. Professor Luciano Rodrigues Ornelas de Lima e-mail: llima@rdc.puc-rio.br Sala 5016 – Bloco A 30 ∑ = =δ n 1i ii ii AE LP 3.8 na qual o índice i identifica as várias partes da barra, sendo n o número total de partes. L/3 L/3 L/3 2P 2P A B C D P a b P1 P2 Figura 3.4 – Barras carregadas axialmente Exemplo 1 A barra circular de aço apresentada na figura abaixo possui d = 20 mm e comprimento l = 0,80 m. Encontra-se submetida à ação de uma carga axial de 7,2 kN. Pede-se determinar: (a) tensão normal atuante na barra (b) o alongamento (c) a deformação longitudinal (d) a deformação transversal 7,2 kN 0,80 Dados: Eaço = 210.000 MPa νaço = 0,3 (coeficiente de Poisson) Solução (a) tensão normal atuante 22 d F4 4 d F A F π = π ==σ ( ) 2 6 226-223- m N 10. 20. 7200.4 m10.20. N7200.4 m10.20 N7200.4 π = π = π =σ σ = 22,9 MPa (b) alongamento da barra (δ) MPa
  • 8. Professor Luciano Rodrigues Ornelas de Lima e-mail: llima@rdc.puc-rio.br Sala 5016 – Bloco A 31 Pa10.210000 m0,80.Pa10.9,22 E L AE LP 6 6 = σ ==δ δ = 0,087 . 10-3 m = 0,087 mm (c) a deformação longitudinal (ε) m80,0 m10.087,0 L -3 = δ =ε ε = 0,000109 m/m = 109 µε (d) a deformação transversal (εt) εt = - ν . ε = -0,3 . 109 εt = -33 µε Exemplo 2 A figura apresentada a seguir representa duas barras de aço soldadas. A carga de tração que atua no conjunto é de 4,5 kN. A seção A da peça possui dA = 15 mm e comprimento lA = 0,60 m, sendo que a seção B possui dB = 25 mm e lB = 0,90 m. Desprezando-se o efeito do peso próprio do material, pede-se determinar para as seções das peças A e B: (a) tensão normal (b) o alongamento (c) a deformação longitudinal (d) a deformação transversal (e) o alongamento total da peça 0,60 m 4,5 kN 0,90 m A B Solução (a) tensão normal 2 A 2 AA A d F4 4 d F A F π = π ==σ ( ) 2 6 226-223- A m N 10. 15. 4500.4 m10.15. N4500.4 m10.15 N4500.4 π = π = π =σ MPa
  • 9. Professor Luciano Rodrigues Ornelas de Lima e-mail: llima@rdc.puc-rio.br Sala 5016 – Bloco A 32 σA = 25,5 MPa 2 B 2 BB B d F4 4 d F A F π = π ==σ ( ) 2 6 226-223- B m N 10. 25. 4500.4 m10.25. N4500.4 m10.25 N4500.4 π = π = π =σ σB = 9,2 MPa (b) alongamento da barra (δ) Pa10.210000 m0,60.Pa10.5,25 E L AE LP 6 6 AA A A A = σ ==δ δA = 0,073 . 10-3 m = 0,073 mm Pa10.210000 m0,90.Pa10.2,9 E L AE LP 6 6 BB B B B = σ ==δ δB = 0,039 . 10-3 m = 0,039 mm (c) a deformação longitudinal (ε) m60,0 m10.073,0 L -3 A A A = δ =ε εA = 0,000122 m/m = 122 µε m90,0 m10.039,0 L -3 B B B = δ =ε εB = 0,000043 m/m = 43 µε (d) a deformação transversal (εt) εt A = - ν . εA = -0,3 . 122 ⇒ εt A = -37 µε εt B = - ν . εB = -0,3 . 43 ⇒ εt B = -13 µε (e) o alongamento total da peça (δ) 0,0390,073BA +=δ+δ=δ δ = 0,112 mm MPa