Apostee1

ENGENHARIA
ECONÔMICA I
Edson de Oliveira Pamplona
José Arnaldo Barra Montevechi
2006

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SUMÁRIO
• CAPÍTULO I - GENERALIDADES
• CAPÍTULO II - MATEMÁTICA FINANCEIRA
II.1 - Juros Simples II.1
II.2 - Juros Compostos II.2
II.3 - Fluxo de Caixa II.4
II.4 - Relações de Equivalência II.5
II.5 - Séries Perpétuas II.16
II.6 - Taxa Efetiva, Nominal e Equivalente II.17
• CAPÍTULO III - ANÁLISE DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTOS
III.1 - Generalidades III.1
III.2 - Taxa Mínima de Atratividade III.1
III.3 - Critérios Econômicos de Decisão III.2
III.4 - Circunstâncias Específicas III.9
III.5 - Problemas Propostos III.13
• CAPÍTULO IVa – DEPRECIAÇÃO DO ATIVO IMOBILIZADO
IVa.1 – O Ativo Imobilizado IVa.1
IVa.2 – Métodos de Depreciação IVa.5
• CAPÍTULO IVb - INFLUÊNCIA DO IMPOSTO DE RENDA
IVb.1 – Influência do Imposto de Renda IVb.1
IVb.2 – Lucro tributável negativo IVb.3
IVb.3 – Somente custos IVb.5
• CAPÍTULO V - FINANCIAMENTOS
V.1 - Amortização de Dívidas V.1
V.2 - Exercícios Propostos V.7
• CAPÍTULO VI - ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
• CAPÍTULO VII - ANÁLISE DA VIABILIDADE ECONÔMICA DE UM
PROJETO INDUSTRIAL
• REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
• TABELAS FINANCEIRAS

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CAPÍTULO I - GENERALIDADES
Os estudos sobre engenharia econômica iniciaram nos Estados Unidos em 1887, quando
Arthur Wellington publicou seu livro "The Economic Theory of Railway Location", texto
que sintetizava análise de viabilidade econômica para ferrovias.
Engenharia econômica é importante para todos que precisam decidir sobre propostas
tecnicamente corretas, e seus fundamentos podem ser utilizados tanto para empresas privadas
como estatais.
Todo o fundamento da engenharia econômica se baseia na matemática financeira, que se
preocupa com o valor do dinheiro no tempo.
Podem-se citar como exemplos de aplicação:
• Efetuar o transporte de materiais manualmente ou comprar uma correia
transportadora;
• Fazer uma rede de abastecimento de água com tubos grossos ou finos;
• Substituição de equipamentos obsoletos;
• Comprar carro a prazo ou à vista.
Para fazer um estudo econômico adequado alguns princípios básicos devem ser considerados,
sendo os seguintes:
a) devem haver alternativas de investimentos. É infrutífero calcular se é vantajoso
comprar um carro à vista se não há condições de conseguir dinheiro para tal;
b) as alternativas devem ser expressas em dinheiro. Não á possível comparar
diretamente 300 horas/mensais de mão de obra com 500 Kwh de energia.
Convertendo os dados em termos monetários teremos um denominador comum
muito prático. Alguns dados entretanto são difíceis de converter em dinheiro.
Exemplos que ocorrem muito nos casos reais são: boa vontade de um fornecedor,
boa imagem da empresa ou status. São os chamados intangíveis;
c) só as diferenças entre as alternativas são relevantes. Numa análise para decidir
sobre o tipo de motor a comprar não interessa sobre o consumo dos mesmos se
forem idênticos;
d) sempre serão considerados os juros sobre o capital empregado. Sempre existem
oportunidades de empregar dinheiro de maneira que ele renda alguma coisa. Ao se
aplicar o capital em um projeto devemos ter certeza de ser esta a maneira mais
rendosa de utilizá-lo;
e) nos estudos econômicos o passado geralmente não é considerado; interessa-nos o
presente e o futuro. A afirmação: não posso vender este carro por menos de $
10000 porque gastei isto com ele em oficina não faz sentido, o que normalmente
interessa é o valor de mercado do carro.

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Os critérios de aprovação de um projeto são os seguintes:
• Critérios financeiros: disponibilidade de recursos;
• Critérios econômicos: rentabilidade do investimento;
• Critérios imponderáveis: fatores não convertidos em dinheiro.
Neste curso, a atenção especial será sobre os critérios econômicos, ou seja, a principal
questão que será abordada é quanto a rentabilidade dos investimentos.

CAPÍTULO 2 – MATEMÁTICA FINANCEIRA
A Matemática Financeira se preocupa com o valor do dinheiro no tempo. E pode-se iniciar o
estudo sobre o tema com a seguinte frase:
“NÃO SE SOMA OU SUBTRAI QUANTIAS EM DINHEIRO QUE NÃO ESTEJAM NA
MESMA DATA”
Embora esta afirmativa seja básica e simples, é absolutamente incrível como a maioria das
pessoas esquece ou ignoram esta premissa. E para reforçar, todas as ofertas veiculadas em
jornais reforçam a maneira errada de se tratar o assunto. Por exemplo, uma TV que à vista é
vendida por R$500,00 ou em 6 prestações de R$100,00, acrescenta-se a seguinte informação
ou desinformação: total a prazo R$600,00. O que se verifica que se soma os valores em datas
diferentes, desrespeitando o princípio básico, citado acima, e induzindo a se calcular juros de
forma errada. Esta questão será mais bem discutida em item deste capítulo.
Uma palavra que é fundamental nos estudos sobre matemática financeira é JUROS. Para
entendermos bem o significado desta palavra vamos iniciar observando a figura II.1 a seguir.
Cada um dos fatores de produção é remunerado de alguma forma. Como se pode entender,
então, os juros é o que se paga pelo custo do capital, ou seja, é o pagamento pela oportunidade
de poder dispor de um capital durante determinado tempo. A propósito estamos muito
acostumados com "juros", lembrem dos seguintes casos:
1. Compras à crédito;
2. Cheques especiais;
3. Prestação da casa própria;
4. Desconto de duplicata;
5. Vendas à prazo;
6. Financiamentos de automóveis;
7. Empréstimos.
Como pode-se ver o termo é muito familiar se lembrarmos do nosso dia a dia. Podemos até
não nos importar com a questão, mas a pergunta que se faz é: o quanto pagamos por não
considerarmos adequadamente a questão? E concluindo, nota-se a correspondência entre os
termos "juros" e "tempo", que estão intimamente associados.
A seguir será discutido o que é juros simples e juros compostos, além de outros pontos
importantes em matemática financeira.
II.1 - JUROS SIMPLES
Ao se calcular rendimentos utilizando o conceito de juros simples, tem-se que apenas o
principal, ou seja o capital inicial, rende juros. O valor destes juros pode ser calculado pela
seguinte fórmula:
J = P . i . n
onde:
• P = principal

6
• J = juros
• i = taxa de juros
• n = número de períodos
O valor que se tem depois do período de capitalização, chamado de valor futuro (F), pode ser
calculado por:
F = P + J
F = P + P.i.n
F = P(1 +i.n)
A fórmula acima é pouco utilizada, porque na maioria dos cálculos em matemática financeira
usam-se juros compostos que será discutido a seguir.
Figura II.1 - Fatores da produção considerados em economia

7
II.2 - JUROS COMPOSTOS
Com juros compostos, no final de cada período, o juro é incorporado ao principal ou capital,
passando assim a também render juros no próximo período. Podemos deduzir a expressão da
seguinte maneira:
• No primeiro período:
F1 = P + P . i = P . (1 + i)
• No segundo período:
F2 = F1 + F1 . i = F1 . ( 1 + i) = P . (1 + i).(1 + i) = P . (1 + i)2
• No terceiro período:
F3 = F2 + F2.i = F2 . (1 + i) = P . (1 + i)2. (1 + i) = P . (1 + i)3
Se generalizarmos para um número de períodos igual a n, tem-se a expressão geral para
cálculo de juros compostos, dada por:
F = P . (1 + i)n
A fórmula acima é muito utilizada, e através dela pode-se constatar que para o primeiro
período o juro simples é igual ao juro composto.
EXEMPLO II.1 - Para um capital de R$ 100.000,00 colocado a 20% a.a. durante 3 anos,
qual o valor futuro para os casos de considerarmos juros simples e juros compostos?
FIM DO ANO JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTOS
O
1
2
3

8
EXEMPLO II.2 - Vamos fazer uma aplicação em CDB de R$ 30.000 a uma taxa de 1,7 %
para um período de 35 dias. Qual o valor da rentabilidade líquida e dos juros? Em relação à
poupança esta aplicação é interessante?
II.3 - FLUXO DE CAIXA
É a representação gráfica do conjunto de entradas (receitas) e saídas (despesas) relativo a um
certo intervalo de tempo. Um exemplo de fluxo de caixa pode ser visto na figura II.2.
Figura II.2 - Fluxo de caixa
A engenharia econômica vai trabalhar com gráficos do tipo da figura II.2, assim como os
fundamentos da matemática financeira.
Os gráficos de fluxo de caixa devem ser feitos do ponto de vista de quem faz a análise. Para
entender este conceito, vamos imaginar que uma máquina custa R$ 20.000,00 à vista ou 5
prestações de R$ 4.800,00. Para a venda a vista o fluxo de caixa é diferente do ponto de vista
do comprador para o do vendedor, isto pode ser visto na figura II.3.

9
Figura II.3 - Fluxo de caixa sobre diferentes pontos de vista
II.4 - RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA
As relações de equivalência permitem a obtenção de fluxos de caixa que se equivalem no
tempo. Para calcular as relações uma ferramenta que é muito utilizada é a tabela financeira.
A simbologia que será utilizada é:
• i = taxa de juros por período de capitalização;
• n = número de períodos a ser capitalizado;
• P = quantia de dinheiro na data de hoje;
• F = quantia de dinheiro no futuro;
• A = série uniforme de pagamento;
• G = série gradiente de pagamento;
II.4.1 - Relações entre P e F
Esta relação de equivalência pode ser entendida pela a observação da figura II.4 a seguir.
Figura II.4 - Equivalência entre P e F
O valor F pode ser obtido por:
F = P . (1 + i)n
0 1 2 n
4.800,00
20.000,00
0 1 2 n
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
20.000,00
P
4.800,00
F
comprador
dado P
vendedor
achar F

10
O fator (1 + i)n é chamado de fator de acumulação de capital de um pagamento simples. Este
fator é encontrado nas tabelas para diversos i e n. Outra maneira de se apresentar a forma
analítica, com o objetivo de se utilizar as tabelas é a seguinte expressão:
F = P . (F/P, i, n)
O termo (F/P,i,n) é uma forma mnemônica de se representar (1 +i)n.
Para achar P a partir de F, o princípio é o mesmo apresentado no caso anterior. A expressão
analítica é:
P = F/(1 + i)n
O fator 1/(1 +i)n é chamado de valor atual de um pagamento simples. A forma mnemônica,
para consulta em tabelas é:
P = F . (P/F, i, n)
O termo (P/F,i,n) é também encontrado nas tabelas.
EXEMPLO II.3 - Conseguiu-se um empréstimo de R$ 10.000,00 em um banco que cobra
5% ao mês de juro. Quanto deverá ser pago se o prazo do empréstimo for de cinco meses.
Resolver o problema analiticamente e utilizando as tabelas anexas.

11
EXEMPLO II.4 - Achar o valor do fluxo caixa abaixo no período 4 a uma taxa de 5% a. p.
EXEMPLO II.5 - Uma aplicação financeira de R$ 200.000,00 rendeu após 7 meses o valor
de R$ 300.000,00. Qual a taxa mensal "média" de juros desta aplicação?
EXEMPLO II.6 - Uma aplicação de R$ 200.000,00 efetuada em uma certa data produz, à
taxa composta de juros de 8% ao mês, um montante de R$370.186,00 em certa data futura.
Calcular o prazo da operação.
200
100
300
400
0 1 2 3 4 5 6 7 8

12
II.4.2 - Relações entre A e P
Figura II.5 - Equivalência entre A e P
Para se calcular P a partir de A, pode-se deduzir a seguinte expressão:
P = A (1 +i) -1 + A (1 + i) -2 + A(1 +i) -3 + ..... + A (1 +i) -n
P = A [ (1 + i) -1 + (1 + i) -2 + (1 +i) -3 + ..... + (1 +i) -n]
Nota-se que o termo que multiplica A é o somatório dos termos de uma PG, com número
limitado de elementos, de razão (1+ i)-1. A soma dos termos pode ser calculada pela seguinte
expressão:
r-1
.r
n
a-
1
a
=
n
S
Que resulta em:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
i.i)+(1
n
1-i)(1
n
A=P
A outra maneira de se calcular P, mas utilizando as tabelas é representada por:
P = A (P / A, i, n)
O termo (P/A, i, n), que é chamado de valor presente de uma série uniforme, é encontrado nas
tabelas financeiras e é igual a:
0 1 2 n 0 1 2 n
P
dado A achar P
A

13
(P / A, i, n) =
(
n
1 + i) - 1
n
(1 + i) . i
Das expressões que relacionam P e A, pode-se chegar a maneira de se calcular A a partir de
P. Esta relação é dada por:
)n,i,A/P(P=
1)i+1(
n
i.)i1(
n
P=A
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
O termo (A/P, i, n) é conhecido como fator de recuperação de capital de uma série uniforme
de pagamentos, muito utilizado para cálculo de prestações no comércio.
EXEMPLO II.7 - Um empresário pretende fazer um investimento no exterior que lhe
renderá US$ 100.000 por ano, nos próximos 10 anos. Qual o valor do investimento, sabendo-
se que o empresário trabalha com taxa de 6% ao ano?
EXEMPLO II.8 - O que é mais interessante, comprar um carro usado por R$ 4.000,00 à
vista, ou R$ 4.410,00 em 3 vezes, sendo a primeira prestação no ato da compra?
EXEMPLO II.9 - Vale a pena pagar à vista com 20% de desconto ou a prazo em 3
pagamentos iguais, sendo o primeiro hoje?

14
EXEMPLO II.10 - Calcular a prestação de um financiamento de valor de R$2.000,00 com 8
pagamentos iguais, considerando uma taxa de 13 % ao mês. Calcular a taxa real em relação à
inflação.
EXEMPLO II.11 - Calcular na data zero a equivalência para os fluxos de caixa. Para o item
a, a taxa de juros é de 15% e para b igual 20%
a)
b)
10000
0 1 2 3 4 5 6 7
anos
8 9 10

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II.4.3 - Relações entre F e A
Figura II.6 - Equivalência entre A e F
Para se calcular F a partir de A, pode-se deduzir a seguinte expressão:
F = A + A (1 +i) 1 + A (1 + i) 2 + A(1 +i) 3 + ..... + A (1 +i) n -1
F = A [ 1 + (1 + i) 1 + (1 + i) 2 + (1 +i) 3 + ..... + (1 +i) n - 1]
Nota-se que o termo que multiplica A é o somatório dos termos de uma PG, semelhante a
relação entre P e A vista antes, com número limitado de elementos, de razão (1+ i) 1. A soma
0 1 2 n 0 1 2 n
dado A achar F
A
F
10000
15000
0 1 2 3 4 5 6 7
anos

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dos termos calculada pela fórmula de somatório dos termos de uma PG finita leva a seguinte
expressão:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
i
1-i)(1
n
A=F
A outra maneira de se calcular F, mas utilizando as tabelas é representada por:
F = A (F / A, i, n)
O termo (F/A, i, n), que é chamado de fator de acumulação de capital de uma série uniforme,
é encontrado nas tabelas financeiras e é igual a :
(F / A, i, n) =
(
n
1 + i) - 1
i
Das expressões que relacionam F e A, pode-se chegar a maneira de se calcular A a partir de
F. Esta relação é dada por:
n)i,(A/F,F=
1i)+(1
n
i
F=A
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
O termo (A/F, i, n) é conhecido como fator de formação de uma série uniforme de
pagamento.
EXEMPLO II.12 - Quanto deve-se depositar anualmente numa conta a prazo fixo que paga
juros de 12% ao ano, para se ter R$ 500.000,00 daqui a 14 anos?
II.4.4 - Séries Gradiente

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As séries gradiente possuem a forma esquemática apresentada na figura II.7. Nota-se que para
a utilização das tabelas financeiras elas necessariamente precisam ter as formas apresentadas
na figura. Esta série é utilizada, algumas vezes, para se estimar gastos com manutenção.
Principalmente em equipamentos mecânicos, que com o passar do tempo, normalmente
necessitam de maiores desembolsos da empresa, para mantê-los funcionando adequadamente.
Figura II.7 - Séries gradiente
Do mesmo modo que as relações apresentas nos outros itens, a série gradiente pode ser
transformada em valor presente, valor futuro ou série uniforme, que podem ter estas relações
de equivalência representadas por:
P = G (P/G, i, n)
A = G (A/G, i, n)
F = G (F/G, i, n)
Para utilizar estas relações é necessária a consulta às tabelas financeiras. Não serão aqui
mostradas as relações analíticas, que como nos casos anteriores também existem.
EXEMPLO II.13 - Calcular na data zero a equivalência para os fluxos de caixa.
0 1 2 3 4 n
G
2G
3G
(n-1)G
n
G
2G
3G
(n-1)G
0 1 2 3 4
Taxa = 10%

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II.5 - SÉRIES PERPÉTUAS
1200
1400
1600
1800
0 1 2 3 4 5
1000
Taxa = 10%
b)
8000
Taxa = 12%
110
120
130
140
0 1 2 3 4 5
100
a)
500
800
700
600
0 1 2 3 4 5
900
c)

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Estas séries também chamadas infinita ou custo capitalizado tem estes nomes devido a
possuírem um grande número de períodos. Este é um fato comum em aposentadorias,
mensalidades, obras públicas, etc...
O valor presente da série uniforme infinita é:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
i.i)+(1
n
1-i)(1
n
A=P
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
∞→
i.i)+(1
n
1-i)(1
n
Alim n=P
i
1
.A=P
.ii)+(1
n
1
i
1
limnA=P
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−∞→
EXEMPLO II.14 - Quanto deverei depositar em um fundo com a finalidade de receber para
sempre a importância anual de R$ 12.000,00 considerando ser a taxa anual de juros igual a
10%?
EXEMPLO II.15 - Qual a menor quantia que um grupo deve cobrar hoje, para dar uma renda
anual de R$ 6.000?
II.6 - TAXA EFETIVA, NOMINAL E EQUIVALENTE

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Taxa efetiva de juros é aquela em que a unidade de tempo coincide com a unidade do período
de capitalização. Como exemplo pode-se pensar 140 % ao ano com capitalização anual, esta é
uma taxa efetiva, pois há coincidência entre as unidades de tempo da taxa e o período de
capitalização. Outro exemplo de taxa efetiva é 10% ao mês com capitalização mensal, que da
mesma maneira é uma taxa efetiva.
A taxa efetiva é que tem de ser utilizada na maioria dos cálculos em matemática financeira e
engenharia econômica, por isto tem de estar muito claro seu significado e a equivalência entre
ela e outras maneiras de se apresentar taxas de juros.
Vejamos primeiramente a equivalência entre duas taxas efetivas:
)mi+P(1
12
=F (1)
)Ai+P(1
1
=F (2)
Como (1) = (2), tem-se que:
)Ai+1(
1
=)mi(1
12
+
Do mesmo modo, pode-se relacionar:
)si+(1
2
=)Ai+1(
1
=)mi(1=)di+(1
360 12
+
A taxa nominal, ao contrário da efetiva, a unidade de tempo da taxa é diferente do tempo do
período de capitalização. Como exemplo, pode-se pensar nos seguintes casos, 120% ao ano
com capitalização mensal ou 15% ao mês com capitalização anual. É preciso tomar cuidado
com o uso deste tipo de taxa em cálculos, freqüentemente ela é imprópria para o uso, e então é
necessário convertê-la para uma efetiva correspondente. Existe confusão quanto a esta taxa, e
0 1 2 12 meses
P
F
0 1 ano
P
F

21
muitas vezes é usada para mascarar realmente qual a taxa de juros que esta envolvida no
empreendimento.
Para converter taxa nominal em efetiva pode-se utilizar o seguinte raciocínio:
m
F=P(1 + i) (1)
F=P(1 +iE) (2)
Como iN = i x m e (1) = (2), tem-se:
1-
m
iN
+1
m
=iE
1-i)+(1
m
=iE
iE)+(1i)+(1
m
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
=
Com a expressão acima se pode converter uma taxa nominal em uma efetiva.
Um cuidado importante quanto a estas taxas apresentadas, é o entendimento do conceito que
esta por trás de cada uma. Na literatura existente e no próprio mercado financeiro existem
diferenças quanto à nomenclatura. O que é necessário estar certo na hora de se fazer um
cálculo é se o tempo da taxa coincide com seu período de capitalização.
0 1 2 m
P
F
0 1
P
F

22
EXEMPLO II.15 - A taxa do sistema financeiro habitacional é de 12% ao ano com
capitalização mensal, portanto é uma taxa nominal, achar a efetiva correspondente.
EXEMPLO II.16 - A taxa da poupança é de 6% ao ano com capitalização mensal, portanto é
uma taxa nominal, achar a efetiva correspondente.
EXEMPLO II.17 - Qual o juro de R$ 2.000,00 aplicados hoje, no fim de 3 anos, a 20 % ao
ano capitalizados mensalmente?
EXEMPLO II.18 - Qual a taxa efetiva anual equivalente a 15% ao ano capitalizados
trimestralmente?
EXEMPLO II.19 - Calcular as taxas efetivas e nominal anual, correspondente a 13% ao
mês?

23
EXEMPLO II.20 - Peço um empréstimo de R$ 1.000,00 ao banco. Cobra-se
antecipadamente uma taxa de 15% sobre o valor que é entregue já líquido, e depois de um
mês paga-se R$ 1.000,00. Qual a taxa efetiva de juros deste empréstimo?

24
CAPÍTULO III - ANÁLISE DE
ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTOS
III.1 - GENERALIDADES
Após a classificação dos projetos tecnicamente corretos é imprescindível que a escolha
considere aspectos econômicos. E é a engenharia econômica que fornece os critérios de
decisão, para a escolha entre as alternativas de investimento.
Infelizmente, nem todos os métodos utilizados são baseados em conceitos corretos. Por esta
razão é muito importante ter cuidado com uso de alguns destes métodos, e principalmente,
conhecer suas limitações.
Um dos métodos, que é muito utilizado, e que possui limitações do ponto de vista conceitual é
o PAY-BACK ou método do tempo de recuperação do investimento. O método do PAY-
BACK consiste simplesmente na determinação do número de períodos necessários para
recuperar o capital investido, ignorando as consequências além do período de recuperação e o
valor do dinheiro no tempo. Normalmente é recomendado que este método seja usado como
critério de desempate, se for necessário após o emprego de um dos métodos exatos.
Neste curso serão estudados três métodos de avaliação, que convenientemente aplicados dão o
mesmo resultado e formam a base da engenharia econômica. Estes métodos são exatos e não
apresentam os problemas observados, por exemplo, no PAY-BACK. Os métodos são:
• Método do valor presente líquido (VPL);
• Método do valor anual uniforme (VA);
• Método da taxa interna de retorno (TIR).
Estes métodos são equivalentes e indicam sempre a mesma alternativa de investimento, que é
a melhor do ponto de vista econômico. Embora indicarem o mesmo resultado, existe é claro
vantagens e desvantagens um em relação ao outro, e que serão comentadas ao longo do curso.
III.2 - TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE (TMA)
Os métodos de avaliação que serão apresentados, para efeito de avaliar méritos de alternativas
para investimento, apresentam como principal característica o reconhecimento da variação do
valor do dinheiro no tempo. Este fato evidência a necessidade de se utilizar uma taxa de juros
quando a análise for efetuada através de um deles. A questão é definir qual será a taxa a ser
empregada.

25
A TMA é a taxa a partir da qual o investidor considera que está obtendo ganhos financeiros.
Existem grandes controvérsias quanto a como calcular esta taxa. Alguns autores afirmam que
a taxa de juros a ser usada pela engenharia econômica é a taxa de juros equivalente à maior
rentabilidade das aplicações correntes e de pouco risco. Uma proposta de investimento, para
ser atrativa, deve render, no mínimo, esta taxa de juros.
Outro enfoque dado a TMA é a de que deve ser o custo de capital investido na proposta em
questão, ou ainda, o custo de capital da empresa mais o risco envolvido em cada alternativa
de investimento. Naturalmente, haverá disposição de investir se a expectativa de ganhos, já
deduzido o valor do investimento, for superior ao custo de capital. Por custo de capital,
entende-se a média ponderada dos custos das diversas fontes de recursos utilizadas no
projeto em questão.
III.3 - CRITÉRIOS ECONÔMICOS DE DECISÃO
III.3.1 - Método do valor presente líquido (VPL)
O método do valor presente líquido, também conhecido pela terminologia método do valor
atual, caracteriza-se, essencialmente, pela transferência para o instante presente de todas as
variações de caixa esperadas, descontadas à taxa mínima de atratividade. Em outras palavras,
seria o transporte para a data zero de um diagrama de fluxos de caixa, de todos os
recebimentos e desembolsos esperados, descontados à taxa de juros considerada.
Se o valor presente for positivo, a proposta de investimento é atrativa, e quanto maior o valor
positivo, mais atrativa é a proposta.
A idéia do método é mostrada esquematicamente, na figura III.1 a seguir.
0 1 2 3 4 n
fluxo previsto
dado
obter
0 1 2 3 4 n
fluxo equivalente
VPL
Figura III.1 - valor presente líquido

26
EXEMPLO III.1- Numa análise realizada em determinada empresa, foram detectados custos
operacionais excessivamente elevados numa linha de produção, em decorrência da utilização
de equipamentos velhos e obsoletos.
Os engenheiros responsáveis pelo problema propuseram à gerência duas soluções alternativas.
A primeira consistindo numa reforma geral da linha, exigindo investimentos estimados em $
10.000, cujo resultado será uma redução anual de custos igual a $ 2.000 durante 10 anos,
após os quais os equipamentos seriam sucatados sem nenhum valor residual. A segunda
proposição foi a aquisição de uma nova linha de produção no valor de $ 35.000 para substituir
os equipamentos existentes, cujo valor líquido de revenda foi estimado a $ 5.000. Esta
alternativa deverá proporcionar ganhos de $ 4.700 por ano, apresentando ainda um valor
residual de $ 10.705 após dez anos.
Sendo a TMA para a empresa igual a 8% ao ano, qual das alternativas deve ser preferida pela
gerência?

27
III.3.2 - Método do valor anual (VA)
Este método caracteriza-se pela transformação de todos os fluxos de caixa do projeto
considerado, numa série uniforme de pagamentos, indicando desta forma o valor do benefício
líquido, por período, oferecido pela alternativa de investimento. É também chamado de valor
anual uniforme. A idéia do método é mostrada na figura III.2.
Como geralmente, em estudos de engenharia econômica a dimensão do período considerado
possui magnitude anual, foi convencionada a adoção da terminologia Valor anual.
O projeto em análise só será atrativo se apresentar um benefício líquido anual positivo, e entre
vários projetos, aquele de maior benefício positivo será o mais interessante.
0 1 2 3 4 n
fluxo previsto
dado
obter
0 1 2 3 4 n
fluxo equivalente
VA
Figura III.2 - Valor anual
EXEMPLO III.2 - Resolver o exemplo III.1 pelo método do valor anual.

28
III.3.3 - Método da Taxa Interna de Retorno (TIR)
Por definição, a taxa interna de retorno de um projeto é a taxa de juros para a qual o valor
presente das receitas torna-se igual aos desembolsos. Isto significa dizer que a TIR é aquela
que torna nulo o valor presente líquido do projeto. Pode ainda ser entendida como a taxa de
remuneração do capital.
A TIR deve ser comparada com a TMA para a conclusão a respeito da aceitação ou não do
projeto. Uma TIR maior que a TMA indica projeto atrativo. Se a TIR é menor que a TMA, o
projeto analisado passa a não ser mais interessante.
O cálculo da TIR é feito normalmente pelo processo de tentativa e erro.
EXEMPLO III.3 - Resolver o exemplo III.1 pelo método da TIR.
Da solução do exemplo III.3 cabe uma reflexão. Através da análise pura dos resultados qual a
melhor opção? Vamos colocar os resultados do VPL, VA e TIR, na tabela a seguir.
VPL VA TIR
REFORMA
COMPRA

29
Como falado anteriormente, os métodos sempre indicam a melhor alternativa de investimento,
do ponto de vista econômico.
As duas taxas de retorno do problema são superiores à taxa mínima de atratividade, portanto
são propostas atrativas. Como a TIR da reforma é maior que alternativa de compra, deveria
ser dada preferência à primeira, contrariando o resultado obtido pelos dois métodos
anteriores. Entretanto o procedimento correto da análise indica que deve-se fazer um exame
da taxa interna de retorno calculada para o fluxo da diferença entre os investimentos das
propostas.
No caso do exemplo, será melhor aplicar $30.000 na alternativa de compra obtendo um
retorno de 12% a.a. ou será mais interessante investir $ 10.000 na alternativa de reforma com
um retorno de 15,1% e os $20.000 de diferença à taxa mínima de atratividade?
A análise incremental é um complemento necessário ao método da taxa interna de retorno na
medida que se responde a este tipo de dúvida.
III.3.4 - Análise Incremental para o método da Taxa Interna
de Retorno
No caso de alternativas de investimento mutuamente exclusivas deve-se examinar a taxa de
retorno obtida no acréscimo de investimento de uma em relação à outra. Sempre que esta taxa
for superior à TMA, o acréscimo é vantajoso, isto faz com que a proposta escolhida não seja
necessariamente a de maior taxa de retorno. Entretanto, para proceder a análise incremental
deve-se certificar de que as propostas tenham TIR maior que a TMA.
EXEMPLO III.4 - Aplicar para o exemplo III.1 a análise incremental.

30
III.3.5 - Método da Taxa Interna de Retorno (TIR) e os fluxos
de caixa que apresentam mais de uma inversão de sinal
Na maioria dos fluxos de caixa, há apenas uma mudança no sinal, isto é, o investimento
inicial (sinal negativo) geralmente resulta numa seqüência de rendas líquidas ou economias de
custo (sinais positivos). Essa situação normalmente leva a uma única solução.
Entretanto, se ocorrer mais que uma inversão no sinal surgirá outras taxas de retorno. Em
álgebra, a regra de sinais de Descartes afirma que poderá haver tantas raízes positivas,
quantas são as mudanças na direção do sinal do fluxo de caixa.
Para entender o problema, consideremos o fluxo de caixa a seguir.
1.600
10.000
10.000
0 1 2
diagrama de fluxo de caixa
O equacionamento que permite o cálculo das taxas é:
0 = 1.600 - 10.000 x (1+ i)-1 + 10.000 x (1 +i)-2
Resolvendo esta equação chega-se a dois resultados, o primeiro é i = 25% e o segundo é i =
400%, que não apresentam significado econômico nenhum.
Uma resolução apropriada para este problema requer a consideração de uma taxa de juros
auxiliar. Por exemplo, para o fluxo anterior considera-se que os $1.600 do período 0 sejam
reinvestidos a uma taxa auxiliar de 20% por um período. A taxa auxiliar pode ser a TMA.
Desta forma o fluxo de caixa passará a ter apenas uma inversão de sinal, conforme pode-se
observar a seguir.

31
-10.000+1.600x(1+0,2) = - 8.080
10.000
0 1 2
diagrama de fluxo de caixa
O equacionamento que permite o cálculo da taxa é:
0 = -8.080 + 10.000 x (1+ i)-1
Resolvendo esta equação chega-se a apenas um resultado, sendo i = 23,8%.
III.4 - ANÁLISE DE ALTERNATIVAS DE
INVESTIMENTO SOB CIRCUNSTÂNCIAS ESPECÍFICAS
III.4.1 - Alternativas com vidas diferentes
Existem casos em que se torna necessário decidir entre propostas de investimento cujos
horizontes de planejamento são diferentes. Por exemplo, considere a comparação entre duas
propostas com duração estimadas de 6 e 12 anos. Como será aplicado o capital disponível
depois do término do projeto mais curto, durante o período compreendido entre os términos
de ambos projetos?
A solução válida para este problema requer que todas as conseqüências das alternativas sejam
levadas para um horizonte de planejamento comum. Supõe-se, por exemplo, que se admita a
alternativa mais curta poder ser substituída ao fim de seis anos por uma outra idêntica.
O procedimento comumente adotado para o caso de vidas diferentes é o seguinte:
• Calcula-se o mínimo múltiplo comum das vidas das alternativas propostas;
• Repetem-se os fluxos tantas vezes até atingir este tempo.
Desta maneira compara-se alternativas de diferentes durações numa base temporal uniforme.
O método do valor anual uniforme implicitamente já considera a repetição do investimento,
tornando desnecessária a utilização do procedimento mencionado.

32
EXEMPLO III.5 - Uma certa operação pode ser executada satisfatoriamente tanto pela
máquina X como pela máquina Y. Os dados pertinentes às duas alternativas são os seguintes:
MÁQUINA X MÁQUINA Y
Custo inicial $ 6.000 $ 14.000
Valor residual 0 20% do custo inicial
Vida de serviço em anos 12 18
Despesas anuais $ 4.000 $ 2.400
Comparar as alternativas, pelo método do valor presente, supondo uma taxa mínima de
atratividade de 12% ao ano.
III.4.2 - Existência de restrições financeiras
Pode-se lidar com alternativas que são mutuamente exclusivas no sentido que apenas uma,
das várias alternativas disponíveis, é necessária para preencher uma dada função, todas as
outras se tornam supérfluas. Outro tipo de exclusividade mútua refere-se ao caso em que uma
ou mais das alternativas podem ser aceitas, mas, devido às limitações de capital, nem todas as
alternativas podem ser aceitas. Chama-se ao primeiro caso de exclusividade mútua
"Financeira".
Geralmente a cada ano as empresas elaboram uma relação de futuros investimentos,
denominada "Orçamento de capital". Um fato que freqüentemente ocorre nestas ocasiões é a
limitação de recursos para financiar todas as solicitações provenientes das diversas gerências.
A existência de restrições financeiras coloca a alta administração diante da necessidade de
selecionar aquele conjunto de alternativas, o pacote orçamentário, economicamente mais
interessante, cuja demanda por recursos não supera o volume disponível.

33
EXEMPLO III.6 - Suponha que uma ou mais das propostas apresentadas na tabela a seguir
podem ser aceitas porque não são tecnicamente equivalentes, isto é, cada uma desempenha
função diferente.
Alternativa Investimento
inicial
Benefícios
anuais
Valor presente Taxa interna
de retorno
A 10.000 1.628 1.982 10%
B 20.000 3.116 2.934 9%
C 50.000 7.450 4.832 8%
SUPOSIÇÕES: a vida esperada de cada proposta é de 10 anos. O valor residual esperado de
cada proposta é zero. A TMA é de 6% ao ano. O capital total disponível para o investimento
é de $ 75.000.
III.4.3 - Alternativas com vidas perpétuas
O valor presente de uma série anual uniforme perpétua é conhecido como custo capitalizado.
Sabe-se que:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
i.i)+(1
n
1-i)(1
n
A=P
Para n tendendo para o infinito:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
∞→
i.i)+(1
n
1-i)(1
n
Alimn=P

34
i
1
.A=P
.ii)+(1
n
1
i
1
limnA=P
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−∞→
EXEMPLO III.7 - Seja um apartamento que possua as seguintes características:
• investimento inicial = $ 100.000;
• vida do projeto = infinita;
• valor mensal de aluguel menos gastos do proprietário = $ 650;
• TMA = 1% ao mês
Calcular o Valor Econômico do Apartamento na data zero.
Verificar a viabilidade do investimento.

35
III.5 - PROBLEMAS PROPOSTOS
1) Numa análise das oportunidades para redução de custos efetuada pelo departamento de
transporte de uma usina siderúrgica foi detectada a possibilidade de atingir-se tal objetivo,
substituindo-se o uso de caminhões alugados, para transporte de produtos em processamento
na área de laminação, por conjunto de tratores e carretas.
Se implementada a modificação, deverá haver uma redução anual de despesas da ordem de $
350.000 correspondentes ao aluguel pago pelo uso de caminhões.
Um estudo de simulação realizado determinou a necessidade de adquirir-se dois tratores e
cinco carretas, totalizando um investimento de $ 350.000.
Os custos de mão de obra, combustível e manutenção foram estimados em $ 200.000 no
primeiro ano, aumentando anualmente $ 5.000, devido a elevação do custo de manutenção,
proporcionado pelo desgaste dos veículos.
Considerando-se a TMA da empresa igual a 8% ao ano, verificar a viabilidade da
preposição, levando-se em conta que a vida econômica estimada para os equipamentos foi de
cincos anos com valor residual nulo.

36
2) Determinada indústria pretende comprar uma máquina que custa $43.400 e estimou o
seguinte fluxo de caixa:
ANOS 0 1 2 3 ... 8 9 10
Valores -43.400 10.000 9.000 8.000 ... 3.000 2.000 11.000
Há uma previsão de aumento de lucro de $ 10.000 ao final do primeiro ano, $ 9.000 no
segundo e assim sucessivamente. Ao final de 10 anos o equipamento poderá ser vendido por $
10.000. Admitindo uma TMA de 6% ao ano, especifique as equações que permitam, com
auxílio das tabelas, calcular o valor presente do fluxo de caixa.

37
3) Duas escavadeiras estão sendo consideradas para a compra por uma empresa construtora, a
GIANT e a TROJAN. Ambas tem capacidade requerida, mas a GIANT é considerada mais
maciça que a TROJAN e acredita-se que terá vida mais longa. As estimativas dos aspectos
que serão influenciados pela escolha são as seguintes:
TROJAN GIANT
Custo inicial da entrega $40.000 $60.000
Custo de manutenção no primeiro
ano
$8.000 $5.000
Acréscimo anual no custo de
manutenção durante a vida da
máquina
$800 $400
Vida econômica 4 anos 6 anos
Valor residual $4.000 $6.000
A máquina TROJAN requererá uma revisão custando $ 5.000 ao final do segundo ano. A
máquina GIANT requererá uma revisão custando $ 4.000 ao final do terceiro ano.
Compare os valores presentes usando uma TMA de 15% ao ano.

38
4) Resolver o problema anterior pelo critério do valor anual uniforme.

39
5) Planeja-se construir um edifício de 3 andares. É esperado que alguns anos mais tarde, mais
3 andares deverão ser construídos. Dois projetos foram feitos:
Projeto A: é um projeto convencional para um edifício de 3 andares. O custo é de $ 420.000.
Projeto B: projeto para 6 andares, mas serão construídos somente 3, por enquanto. O custo
inicial deste projeto é de $490.000.
Com o projeto A serão gastos $500.000 para aumentar mais 3 andares numa data futura.
Com o projeto B se gastará somente $400.000 pelo aumento de mais 3 andares.
A vida dos edifícios é de 60 anos, com valor residual nulo.
Os custos de manutenção serão $1.000 por ano mais baratos no projeto B que no projeto A,
durante 60 anos. Outras despesas anuais, inclusive seguro, serão as mesmas para os dois
projetos. Com taxas de descontos de 3% ao ano, qual a data do aumento de mais 3 andares
que justifica a escolha do projeto B?

40
6) Uma empresa está considerando dois planos alternativos para a construção de um muro ao
redor de sua nova fábrica. Uma cerca como um "galinheiro" de aço galvanizado requer um
custo inicial de $ 35.000 e custos anuais estimados de manutenção de $300. A vida esperada é
de 25 anos. Uma parede de concreto requer um custo inicial de apenas $ 40.000, mas
necessitará reparos pequenos a cada 5 anos a um custo de $ 1.000 e reparos maiores a cada
10 anos a um custo de $ 5.000. Supondo-se uma taxa de juros de 10% ao ano, e uma vida
perpétua, determinar:
a) o valor presente dos dois planos;
b) o custo anual equivalente para os dois planos.

41
7) Os projetos X e Y são duas propostas mutuamente exclusivas. O projeto X requer um
investimento presente de $ 250.000. As receitas anuais estimadas para 25 anos são de $
88.000. As despesas anuais estimadas, sem o imposto de renda, são $ 32.000. O imposto de
renda anual estimado é de $ 24.000. O projeto Y requer um investimento presente de $
350.000. As receitas anuais estimadas para 25 anos são de $ 100.000. As despesas anuais
estimadas, sem o imposto de renda são $ 40.000. Imposto de renda anual estimado: $ 24.000.
Em cada projeto é estimado um valor residual de $ 50.000 ao final dos 25 anos. Assumindo
uma TMA depois do imposto de renda de 9% ao ano, faça os cálculos necessários para
determinar qual dos projetos é recomendado pelo critério da taxa interna de retorno.

42
8) Elabore o gráfico: valor presente X taxa de desconto, e comente a respeito.

43
9) Um fabricante de peças esta analisando uma modificação em seu processo de produção.
Duas alternativas estão em consideração, sendo que ambas exigem a realização de inversões,
resultando, em contrapartida, em redução dos atuais custos de produção. Cada uma das
alternativas apresenta as seguintes características:
Alternativa A Alternativa B
custo inicial $ 10.000 $ 15.000
redução anual de custos $ 2.400 $ 2.700
valor residual nulo nulo
vida econômica 8 anos 8 anos
A alternativa A exigirá, contudo, após 5 anos de utilização, uma inversão adicional de $
5.000 destinada a promover uma modificação no projeto original.
Sendo o custo do capital para a empresa igual a 7% ao ano, verificar qual das alternativas é
mais atrativa. Utilizar o método da taxa interna de retorno e admitir que, para fazer face ao
desembolso no quinto ano de operação da alternativa A, será constituído um fundo de reserva
a partir da capitalização de depósitos anuais iguais durante os cinco anos, a uma taxa de 10%
ao ano.

44
10) Uma empresa esta considerando a compra de um pequeno computador para seu
departamento de pesquisas. Várias alternativas mutuamente exclusivas estão em estudo. As
estimativas relativas a cada uma são:
Computador Custo inicial do
computador $
Valor residual
estimado $
Economia anual líquida
resultante do novo
computador X condições
existentes
A 280.000 240.000 46.000
B 340.000 280.000 56.000
C 380.000 310.000 62.000
D 440.000 350.000 72.000
A empresa pretende manter o computador durante 10 anos, época em que será
vendido.
Se a TMA é de 15% ao ano, usar o método do valor presente para determinar que
alternativa deve ser escolhida.

45
11) Usar o método da taxa de retorno para selecionar dentre as alternativas descritas no
problema 10.

46
12) Um superintendente está estudando as seguintes propostas de investimentos que foram
recebidas dos departamentos (E) produção, (F) controle da qualidade e (G) expedição:
Proposta Investimento inicial ($) Excesso anual de
recebimentos sobre
despesas ($)
E1 2.000 275
E2 4.000 770
F1 4.000 1.075
F2 8.000 1.750
G1 4.000 1.100
As propostas E1 e E2 são mutuamente exclusivas por razões técnicas; F1 e F2 são também
mutuamente exclusivas. Cada uma das alternativas tem vida esperada de 10 anos e valor
residual zero. A firma adota uma TMA de 10% ao ano.
a) Que propostas devem ser recomendadas se o capital para o investimento for ilimitado?
b) Que propostas devem ser recomendadas se apenas $ 14.000 estiverem disponíveis para
novos investimentos?

47
CAP. 4a – DEPRECIAÇÃO DO ATIVO
IMOBILIZADO
O ATIVO IMOBILIZADO
O Ativo Imobilizado é um subgrupo do Ativo Permanente que por sua vez é localizado
no Ativo de uma empresa. O Ativo Imobilizado é registrado na contabilidade de uma
companhia através de seu custo de aquisição. Este custo pode ser tanto aquele pago pelo
ativo, quanto o seu custo de fabricação ou construção.
No caso de compra de terceiros, o custo de aquisição é determinado pelo seu valor de
compra mais os gastos complementares necessários à sua posse, instalação e funcionamento.
Em resumo, o custo de aquisição normalmente é constituído de:
• Valor de compra
• Gastos com transporte do Bem
• Prêmio de seguro pelo transporte
• Gastos com a instalação
• Gastos necessários à transferência do Bem.
Principais Grupos de Contas do Ativo Imobilizado
Em vista da infinidade de tipos de ativos fixos, costuma-se agrupa-los em contas,
cujos títulos indicam com razoável precisão a natureza dos bens nelas registrados.
Os bens que compõem o Ativo Imobilizado podem ser, quanto à existência, de dois
tipos:
• Bens tangíveis
• Bens intangíveis
Os bens tangíveis são aqueles que existem fisicamente, que podem ser vistos, tocados
e sentidos. As principais contas que agrupam os bens tangíveis são:
• Terrenos
• Edificações
• Máquinas e Equipamentos
• Veículos
• Móveis e Utensílios
• Ferramentas

48
Os bens intangíveis são aqueles que existem mas não podem ser vistos ou tocados.
Representam direitos assegurados à companhia proprietária, ou seja, esta detém sua posse
jurídica. Os principais tipos de bens intangíveis são:
• Patentes
• Marcas de Indústria e de Comércio
• Direitos de uso de processo (Know-How)
• Direitos de Publicação
• Direitos de Exploração e Extração
É conveniente lembrar que estes bens são considerados Ativo Imobilizado se forem
destinados à manutenção da atividade da companhia.
Contabilidade da Depreciação
Como norma básica a lei das sociedades por ações dispõe:
No Balanço Patrimonial os elementos do Ativo Imobilizado serão registrados pelo
custo de aquisição, deduzido o saldo da respectiva conta de depreciação, amortização ou
exaustão. A diminuição de valor dos elementos do Ativo Imobilizado será registrada
periodicamente nas contas de depreciação, quando corresponder à perda do valor dos direitos
que tenham por objeto bens físicos sujeitos a desgaste ou perda de utilidade por uso, ação da
natureza ou obsolescência.
As depreciações vão sendo registradas a cada ano em contas específicas acumuladoras
de saldo e em contrapartida esses valores serão computados como custo ou despesa
operacional, em cada exercício social.
Quando o bem chega a 100% de depreciação e ainda existir fisicamente (caso normal
nas empresas) deixa de ser depreciado. O Ativo é baixado contabilmente quando for vendido,
doado ou quando cessar sua utilidade para a empresa.
Do ponto de vista econômico, e este é o conceito que deve ser adotado em estudos de
investimentos, a depreciação não é considerada como um custo, mas como uma fonte de
recursos para as operações da firma que poderá ser utilizada a critério da administração.
A depreciação é um custo ou despesa operacional sem desembolso.
EXEMPLOS DE BENS SUJEITOS À DEPRECIAÇÃO
• Prédios e Edificações
• Veículos
• Máquinas e Equipamentos
• Móveis e Utensílios
• Ferramentas
EXEMPLOS DE BENS NÃO SUJEITOS À DEPRECIAÇÃO
• Terrenos
• Antiguidades
• Obras de arte

49
Baixa do Ativo Imobilizado
Os motivos mais freqüentes para a baixa do Ativo Imobilizado são a venda ou a
cessação de utilidade para a companhia. Em qualquer dos casos, é necessário que o valor do
bem baixado seja retirado contabilmente dos registros da empresa.
Se o bem for vendido, o resultado contábil da baixa (lucro ou prejuízo) será a
diferença entre seu valor pelo qual o bem for vendido e seu valor contábil, que por sua vez é o
custo original menos a depreciação acumulada.
Se o seu valor contábil for nulo, no caso de já estar totalmente depreciado, o valor da
venda será o lucro da transação.
Se o bem for baixado por motivo da cessação de utilidade (obsolescência, danos
irreparáveis, etc), e ainda tiver valor contábil, este será o valor da perda que irá para a
demonstração de resultados.
Uma firma A que compre um equipamento usado de uma firma B iniciará o processo
de depreciação sobre este equipamento (baseando-se no valor da transação), mesmo que este
equipamento já tenha sido totalmente depreciado na contabilidade da firma B. Vemos, pois,
como podem surgir vantagens para firmas de um mesmo grupo, mas que sejam pessoas
jurídicas independentes, ao transacionarem equipamentos usados entre sí.
Apresentação nas Demonstrações Financeiras
NO BALANÇO PATRIMONIAL:
PERMANENTE
Imobilizado
Edificações 2.000
Máquinas e Equipamentos 1.000
Móveis e Utensílios 500
Veículos 600
4.100
Depreciação Acumulada (400)
3.700
NA DEMONSTRAÇÃO DE RESULTADOS
A depreciação deve ser apropriada ao custo de produção (é um custo indireto de
fabricação) ou então como despesa de depreciação no grupo de “outras despesas
operacionais”.
O prejuízo ou lucro na baixa do Ativo Imobilizado deve ser apresentado na
Demonstração de Resultados do exercício como Receita (no caso de lucro) ou Despesa (no
caso de prejuízo) não Operacional.

50
Demonstração de Resultados
Receita Bruta de Vendas 1000
- Impostos Proporcionais (ICMS, IPI, Outros) -120
Receita Líquida de vendas 880
- Custo do Produto Vendido (MP, MOD, CIF) -350
Despesa de Depreciação -100
Lucro Bruto 430
- Despesas Operacionais
Despesas Administrativas -100
Vendas - 80
Financeiras - 50
Despesa de Depreciação - 80
Lucro Operacional 120
- Despesas não operacionais (Ex: Venda Ativo) -10
+Receitas não Operacionais (Ex: Venda Ativo) +20
Lucro Antes do Imposto de renda 130
- IR / Contribuição Social -40
Lucro Líquido 90
Métodos de Depreciação
Há vários métodos de depreciação, entre os quais, cumpre mencionar:
• Método Linear
• Soma dos Dígitos
• Método Exponencial
• Máquinas / hora
O método mais utilizado no Brasil é o método linear.
Método Linear de depreciação
No método Linear o valor depreciável, obtido subtraindo-se do custo original do Ativo
(C0) o seu valor residual contábil (R), é dividido pela vida contábil (n), indicando a quota de
depreciação (d) a ser deduzida anualmente. A quota anual de depreciação pode ser expressa
pela seguinte fórmula:
A legislação admite que se considere o valor residual igual a zero, o que é interessante
para as empresas, pois aumenta o valor da quota anual de depreciação, reduzindo o imposto
de renda.
d =(Co - R) / n
A taxa anual de depreciação é calculada pela seguinte fórmula:
T = 100 / n
Onde T representa a taxa percentual anual de depreciação.

51
Atualmente, são as seguintes as taxas limites de depreciação anual, fixadas pela
Instrução Normativa 162, de 31/12/1998, da Secretaria da Receita federal (tabela resumida):
Ministério da Fazenda
Secretaria da Receita Federal
Instrução Normativa SRF nº 162, de 31 de dezembro de 1998
DOU de 07/01/1999, pág. 5
Fixa prazo de vida útil e taxa de depreciação dos bens que relaciona.
O SECRETÁRIO DA RECEITA FEDERAL, no uso de suas atribuições e tendo em vista o disposto no art. 253, § 1°, do
Regulamento do Imposto de Renda, aprovado pelo Decreto n° 1.041, de 11 de janeiro de 1994, resolve:
Art. 1° A quota de depreciação a ser registrada na escrituração da pessoa jurídica, como custo ou despesa operacional, será
determinada com base nos prazos de vida útil e nas taxas de depreciação constantes dos anexos:
I - Anexo I: bens relacionados na Nomenclatura Comum do MERCOSUL - NCM;
II - Anexo II: demais bens.
Art. 2° Esta Instrução Normativa entra em vigor na data de sua publicação.
EVERARDO MACIEL
Anexo I - Bens relacionados na Nomenclatura Comum do MERCOSUL - NCM
Bens Taxa anual
de
depreciação
ANIMAIS VIVOS 20 %
Exceção: Galos, Galinhas, Patos, Gansos, Perus, Peruas E Galinhas-D'angola (Pintadas), Das Espécies
Domésticas, Vivos
50 %
OBRAS DE PLÁSTICOS 20 %
Correias de transmissão e correias transportadoras 50 %
OBRAS DE BORRACHA (Correias Transportadoras Ou De Transmissão, De Borracha Vulcanizada) 50 %
OBRAS DE COURO 50%
OBRAS DE MADEIRA (caixotes, caixas, engradados, barricas e embalagens semelhantes, de
madeira; carretéis para cabos, de madeira; paletes simples, paletes-caixas e outros estrados para carga, de
madeira; taipais de paletes, de madeira; barris, cubas, balsas, dornas, selhas e outras obras de tanoeiro)
20 %
TAPETES E OUTROS REVESTIMENTOS PARA PAVIMENTOS,
DE MATÉRIAS TÊXTEIS
20 %
OUTROS ARTEFATOS TÊXTEIS CONFECCIONADOS (cortinados, cortinas e estores;
sanefas e artigos semelhantes para camas para uso em hotéis e hospitais; sacos de quaisquer dimensões,
para embalagem)
20 %
Encerados e toldos; tendas; velas para embarcações, para pranchas à vela ou para carros à vela; artigos
para acampamento
25 %
PRODUTOS CERÂMICOS 20 %
OBRAS DE VIDRO 20 %
OBRAS DE FERRO FUNDIDO, FERRO OU AÇO 10 %
construções, de ferro fundido, ferro ou aço, exceto as construções pré-fabricadas: Pontes e elementos de
pontes, Torres e pórticos
4 %
Recipientes para gases comprimidos ou liquefeitos, de ferro fundido, ferro ou aço 20 %
OBRAS DE ALUMÍNIO 10 %
construções de alumínio 4 %
Recipientes para gases comprimidos ou liquefeitos, de alumínio 20 %
FERRAMENTAS 20 %

52
aparelhos mecânicos de acionamento manual, pesando até 10kg, utilizados para preparar, acondicionar ou
servir alimentos ou bebidas
10 %
OBRAS DIVERSAS DE METAIS COMUNS (cofres-fortes, portas blindadas e compartimentos
para casas-fortes, cofres e caixas de segurança e artefatos semelhantes, de metais comuns) (fichários)
10%
REATORES NUCLEARES, CALDEIRAS, MÁQUINAS, APARELHOS E
INSTRUMENTOS MECÂNICOS (turbimas, motores, bombas, ar-condicionado, queimadores,
fornos, etc.)
10 %
"bulldozers", "angledozers", niveladores, raspo-transportadores ("scrapers"), pás mecânicas, escavadores,
carregadoras e pás carregadoras, compactadores e rolos ou cilindros compressores, autopropulsores
25 %
Máquinas automáticas para processamento de dados e suas unidades; leitores magnéticos ou ópticos,
máquinas para registrar dados em suporte sob forma codificada, e máquinas para processamento desses
dados, não especificadas nem compreendidas em outras posições
20 %
máquinas e aparelhos para selecionar, peneirar, separar, lavar, esmagar, moer, misturar ou amassar terras,
pedras, minérios ou outras substâncias minerais sólidas (incluídos os pós e pastas); máquinas para
aglomerar ou moldar combustíveis minerais sólidos, pastas cerâmicas, cimento, gesso ou outras matérias
minerais em pó ou em pasta; máquinas para fazer moldes de areia para fundição
20 %
-Máquinas e aparelhos para obras públicas, construção civil ou trabalhos semelhantes 25 %
caixas de fundição; placas de fundo para moldes; modelos para moldes; moldes para metais (exceto
lingoteiras), carbonetos metálicos, vidro, matérias minerais, borracha ou plásticos
33,3 %
ferramentas eletromecânicas de motor elétrico incorporado, de uso manual 20 %
aparelhos ou máquinas de tosquiar de motor elétrico incorporado 20 %
aparelhos elétricos para telefonia ou telegrafia, por fio, incluídos os aparelhos telefônicos por fio conjugado
com um aparelho telefônico portátil sem fio e os aparelhos de telecomunicação por corrente portadora ou de
telecomunicação digital; videofones
20 %
gravadores de dados de vôo 20 %
Gravador-reprodutor de fita magnética, sem sintonizador 20 %
Gravador-reprodutor e editor de imagem e som, em discos, por meio magnético, óptico ou opto-magnético 20 %
-Discos para sistemas de leitura por raio "laser": 33,3 %
-Fitas magnéticas para reprodução de fenômenos diferentes do som e da imagem 33,3 %
-Cartões magnéticos 33,3 %
Aparelhos transmissores (emissores) para radiotelefonia, radiotelegrafia, radiodifusão ou televisão, mesmo
incorporando um aparelho de recepção ou um aparelho de gravação ou de reprodução de som; câmeras de
televisão; câmeras de vídeo de imagens fixas e outras câmeras ("camcorders")
20 %
Aparelhos de radiodetecção e de radiossondagem (radar), aparelhos de radionavegação e aparelhos de
radiotelecomando
20 %
aparelhos receptores para radiotelefonia, radiotelegrafia ou radiodifusão, exceto de uso doméstico 20 %
VEÍCULOS E MATERIAL PARA VIAS FÉRREAS OU SEMELHANTES,
APARELHOS MECÂNICOS (INCLUÍDOS OS ELETROMECÂNICOS) DE
SINALIZAÇÃO PARA VIAS DE COMUNICAÇÃO
10 %
VEÍCULOS AUTOMÓVEIS, TRATORES, CICLOS E OUTROS VEÍCULOS
TERRESTRES
20 %
Tratores 25 %
veículos automóveis para transporte de 10 pessoas ou mais, incluindo o motorista 25 %
veículos automóveis para transporte de mercadorias 25 %
veículos automóveis para usos especiais (por exemplo: auto-socorros, caminhões-guindastes, veículos de
combate a incêndios, caminhões-betoneiras, veículos para varrer, veículos para espalhar, veículos-oficinas,
veículos radiológicos), exceto os concebidos principalmente para transporte de pessoas ou de mercadorias
25 %
veículos automóveis sem dispositivo de elevação, dos tipos utilizados em fábricas, armazéns, portos ou
aeroportos, para transporte de mercadorias a curtas distâncias; carros-tratores dos tipos utilizados nas
estações ferroviárias
10 %

53
motocicletas (incluídos os ciclomotores) e outros ciclos equipados com motor auxiliar, mesmo com carro
lateral; carros laterais
25 %
reboques e semi-reboques, para quaisquer veículos; outros veículos não autopropulsores 20 %
AERONAVES E APARELHOS ESPACIAIS 10 %
EMBARCAÇÕES E ESTRUTURAS FLUTUANTES 5 %
-Barcos e balsas infláveis 20 %
INSTRUMENTOS E APARELHOS DE ÓPTICA, FOTOGRAFIA OU
CINEMATOGRAFIA, MEDIDA, CONTROLE OU DE PRECISÃO; INSTRUMENTOS E
APARELHOS MÉDICO-CIRÚRGICOS
10 %
ARTIGOS PARA DIVERTIMENTO OU PARA ESPORTE 10 %
Anexo II - Demais Bens
Bens
Taxa anual de
depreciação
Instalações 10 %
Edificações 4 %
Estas taxas são as cargas máximas de depreciação anual, permitidas pelo governo.
Obedecidos estes limites, a legislação brasileira permite que qualquer método de depreciação
seja utilizado. Entretanto, a necessidade de se observar limites permitidos pelo governo
conduz a uma depreciação mais demorada se forem utilizados outros métodos que não o da
depreciação linear.
Um outro aspecto a ser considerado é a escolha da data a partir da qual o bem passa a
ser depreciado: normalmente deve ser depreciado a partir da data de entrada em
funcionamento. Se for adquirido para uso posterior, a depreciação não deverá ser computada
durante o período de inatividade, salvo se houver possibilidade de erosão, obsolescência ou
existência de outro fator que determine o imediato início de depreciação.
Para bens usados a taxa de depreciação será fixada tendo em vista o maior dos
seguintes prazos:
•1. Metade da vida útil admissível para o bem novo ou
•2. Restante da vida útil, considerada em relação à primeira instalação.
DEPRECIAÇÃO ACELERADA
Desde que comprovada a atividade operacional dos equipamentos fixos em mais de
um turno de trabalho (8 hs/dia), poderá ser aplicado um coeficiente de aceleração sobre a taxa
de depreciação normal, visando reduzir a vida contábil do ativo. As normas fiscais que
regulam a depreciação acelerada estão contidas no artigo 312, decreto no
3.000 de
26/03/1999.
Coeficientes de Depreciação Acelerada:

54
• 1 turno de 8 hs/dia: 1,0
• 2 turnos de 8 hs/dia 1,5
• 3 turnos de 8 hs/dia 2,0
Assim, por exemplo, se a operação de uma máquina de terraplanagem, cuja
depreciação normal seja de 20% ao ano, for realizada em período contínuo de 16 hs/dia, a
empresa poderá adotar a taxa máxima de depreciação acelerada de 30%.
A legislação prevê, ainda, para bens que operam em condições ambientais
desfavoráveis, a possibilidade do uso de taxas maiores, mediante solicitação corroborada por
laudo técnico emitido pelo Instituto Nacional de Tecnologia.
Ver mais sobre depreciação no decreto 3000 de 1999 no site da Secretaria da Receita
Federal: http://www.receita.fazenda.gov.br
EXEMPLO
Determinada empresa estuda a possibilidade de aquisição de um trator de 65 hp, no
valor de $ 400.000,00. Se esta empresa utiliza o método de depreciação linear, pergunta-se:
a. Qual a quota de depreciação linear
b. Qual o valor contábil do trator no sexto ano de utilização
c. Qual o lucro ou prejuízo contábil se o trator for vendido por $ 70.000,00 no terceiro ano
de utilização
d. Quais seriam os registros contábeis no segundo ano de utilização
e. Caso o trator fosse utilizado em 2 turnos, qual o seu valor contábil no segundo ano?
Método da Soma dos Dígitos
O método da soma dos dígitos considera uma carga de depreciação anual maior nos
anos iniciais decrescendo à medida que avança a vida contábil do Ativo Fixo.
Para uma vida contábil de, por exemplo, cinco anos, a soma dos dígitos (SD) é igual a:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Genericamente:
SD = N ( N + 1) / 2
Onde N é o número de anos de vida contábil. A quota de depreciação no ano n é:
dn = [(N - ( n - 1 )) / SD] x (Co - R)
EXEMPLO

55
Para o exemplo anterior, considerando uma vida contábil de 5 anos, determinar:
a. Qual a quota de depreciação no primeiro ano
b. Qual a quota de depreciação no quarto ano
c. Qual o valor contábil ao final do segundo ano
Método Exponencial
Este método também considera uma carga de depreciação decrescente.
O valor contábil do bem pode ser determinado para um ano genérico n a partir da
fórmula:
Cn = C0 ( 1 – T )n
Onde T é a taxa exponencial de depreciação. Caso se conheça o valor residual
esperado, pode-se determinar a taxa exponencial de depreciação pela equação:
T = 1 - (R/Co)(1/N)
EXEMPLO
Para o caso do exemplo anterior, assumindo-se uma taxa de depreciação exponencial
de 30 %, pede-se:
a. Indicar o valor contábil ao final do segundo ano
b. Qual a quota de depreciação no primeiro ano
c. Determinar a taxa de depreciação exponencial que deveria ser utilizada para que se
tenha, ao final de quatro anos de vida, o valor residual de $ 100.000,00.
Método Máquina / Hora
Sendo C0 o investimento fixo e P.O. o Potencial Operativo em horas do equipamento,
a taxa de operação / hora (TMH) do equipamento em unidades monetárias é dada por:
TMH = C0 / P.O.
EXEMPLO

56
Determinada máquina custa $ 400.000,00 e estima-se que possa funcionar 20.000 horas com
operação normal. Quais são as quotas de depreciação para os quatro primeiros anos se a
utilização da máquina nesse período for a seguinte:
• 1º
ano de operação – 3.000 hs
• 2º
• 3º
• 4º
SOLUÇÃO
C0 =
P.O. =
TMH =
As quotas de depreciação nos quatro primeiros anos são as seguintes:
ANO Horas Utilizadas TMH Quota de depreciação
1 3.000
2 2.500
3 2.000
4 4.000
EXERCÍCIOS:
1. Preencher os quadros de “despesas de depreciação por ano” e “valor contábil no final do
ano” admitindo as seguintes suposições:
• Custo de aquisição do ativo depreciável: $ 80.000,00
• Valor residual contábil esperado: $ 8.000,00
• Vida contábil: cinco anos
SOLUÇÃO

57
DESPESA DE DEPRECIAÇÃO POR ANO
ANO LINEAR SOMA DOS DÍGITOS EXPONENCIAL
1
2
3
4
5
VALOR CONTÁBIL NO FINAL DO ANO
ANO LINEAR SOMA DOS DÍGITOS EXPONENCIAL
0
1
2
3
4
5
2. Sabendo da possibilidade de considerar o valor contábil igual a zero e, ainda que, para o
caso do problema anterior, a taxa máxima de depreciação anual permitida pelo governo é de
20% por ano, compare os critérios Linear e Soma dos Dígitos.
3. Suponha um edifício com custo inicial de R$ 3.000.000,00, sendo que o valor do terreno
incluído é de R$ 200.000,00.
Determinar:
a) A quota de depreciação anual;
b) a vida contábil;
c) a depreciação acumulada no décimo ano;
d) o valor contábil do edifício após 10 anos e
e) o lucro ou prejuízo se o edifício for vendido por R$ 1.500.000,00 ao final do
décimo-quinto ano.
f) o lucro ou prejuízo se o edifício for vendido por R$ 900.000,00 ao final do
trigésimo ano.
Importância da Depreciação na Análise de Investimentos

58
Qual a vantagem em depreciar contabilmente um equipamento? Como a depreciação
entra nos custos (ou despesas) na demonstração de resultados, automaticamente diminuirá os
lucros tributáveis, e consequentemente, o impostos de renda a pagar. Sabemos, da matemática
financeira, que quanto mais cedo se tiver o dinheiro na mão, mais vantajoso é. Dessa forma,
todos gostariam de depreciar seus ativos fixos o mais depressa possível. Entretanto, como já
vimos, o governo limita a taxa de depreciação anual por motivos óbvios.
Se o tempo de vida de um equipamento for maior que, por exemplo, 10 anos, e o
governo limita a depreciação em 10 % ao ano, convém ficar quieto e depreciá-lo em 10 anos
mesmo. É perfeitamente normal um equipamento já totalmente depreciado estar em condições
de operação e continuar sendo utilizado (mas não mais depreciado).

CAP. 4b – INFLUÊNCIA DO IMPOSTO DE
RENDA
A influência do Imposto de renda1
Do ponto de vista de um indivíduo ou de uma empresa, o que realmente importa,
quando de uma Análise de investimentos, é o que se ganha após os impostos.
A carga tributária representa um ônus real, cujo efeito é o de reduzir o valor dos fluxos
monetários resultantes de um dado investimento. Isto ocasiona, muitas vezes, a transformação
de projetos rentáveis antes da consideração de sua incidência em antieconômicos quando o
imposto de renda for levado em conta. Portanto, torna-se importante a inclusão do imposto de
renda na análise econômica de projetos.
O imposto de renda incide sobre o lucro tributável da empresa que, por sua vez, é
influenciado por procedimentos da contabilidade da depreciação, que visam assegurar
condições para a reposição dos ativos fixos da empresa, quando isto se tornar necessário à
continuidade das operações. Por esta razão, a legislação tributária permite às empresas
deduzirem de seu lucro anual a correspondente carga de depreciação para fins de cálculo do
imposto de renda.
Conforme legislação em vigor, o imposto de renda, em geral, é apurado pela aplicação
de uma alíquota de 15% sobre o lucro tributável da empresa. Para lucros tributáveis
superiores a R$ 240.000,00 por ano (R$ 20.000,00 por mês) é aplicada uma taxa de 10 %
sobre o lucro que excede a este limite.
Também incidente sobre o lucro tributável, a contribuição social deve ser considerada
na análise de investimentos. Para empresas industriais a alíquota da contribuição social é de
9% sobre o lucro tributável.
Nem sempre o lucro contábil é igual ao lucro tributável, ou seja, aquele sobre o qual
incide a alíquota do imposto de renda. Apurado o resultado contábil, a este deverão ser feitos
alguns ajustes, chamados de inclusões ou exclusões.
EXEMPLO
Um investimento de $ 30.000,00 em um equipamento proporcionará redução nos
desembolsos anuais de $ 10.000,00. A vida econômica do equipamento é de 5 anos, após a
qual o equipamento será vendido por $ 7.000,00. Considerando que a taxa máxima de
depreciação para este tipo de equipamento é de 15 % e que a empresa utiliza o método linear,
calcular a taxa interna de retorno do investimento antes e após o imposto de renda. A alíquota
de imposto de renda é de 35%. A taxa mínima de atratividade da empresa, após os impostos é
de 18 % ao ano. Pergunta-se:
a) Qual a TIR do investimento antes dos impostos.
b) O investimento é viável após os impostos?
1
OLIVEIRA, J. A. N. Engenharia Econômica: uma abordagem às decisões de investimentos. Mc Graw-Hill

60
c) Qual a TIR do investimento após os impostos se o equipamento operar em condições que
lhe permita taxa máxima de depreciação de 40%. Avalie a variação da rentabilidade
devido à alteração da taxa máxima de depreciação.
SOLUÇÃO
a) TIR antes do Imposto de Renda:
b) Análise após o imposto de renda (T = 15%):
ANOS Fluxo antes do
IR
Depreciação
anual
Valor
Contábil
Lucro
Tributável
IR Fluxo depois
do IR
0
1
2
3
4
5
c) Análise após o imposto de renda (T = ):
ANOS Fluxo antes do
IR
Depreciação
anual
Valor
Contábil
Lucro
Tributável
IR Fluxo depois
do IR
0
1
2
3
4
5

61
Propostas que envolvem lucro tributável negativo
Determinadas alternativas de investimentos podem apresentar o lucro tributável
negativo. Isto pode ocorrer também devido a quota de depreciação ser maior que o valor do
fluxo antes do imposto de renda.
Se a alternativa citada faz parte de uma empresa que apresenta lucro, o lucro tributável
negativo da alternativa de investimento pode ser considerada como um abatimento no lucro
tributável da empresa como um todo, reduzindo o imposto de renda a pagar. Esta redução do
imposto de renda deve ser encarada como uma vantagem fiscal, e deve ser somada ao fluxo
após o imposto de renda.
Mesmo quando se analisa projetos independentes de empresas, o fato de aparecer
lucro tributável negativo não significa que o governo pagará imposto de renda para a empresa
pelo fato desta estar dando prejuízo, mas sim que o prejuízo acumulado será compensado de
lucros futuros posteriormente, por meio de mecanismos fiscais, proporcionando economias
futuras de imposto de renda.
EXEMPLO
Pretende-se adquirir, em uma indústria, um guindaste de 8 toneladas. O custo de
aquisição é de $500.000,00, e permitirá reduzir despesas de $ 100.000,00. Espera-se que a
vida econômica do equipamento atinja 10 anos, após a qual não terá valor de mercado.
Considerando uma TMA de 16% ao ano e a taxa de imposto de renda de 35%, analise
a viabilidade da aquisição.
SOLUÇÃO
ANOS Fluxo antes do
IR
Depreciação
anual
Valor
Contábil
Lucro
Tributável
IR Fluxo depois
do IR
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

62
Caso de Propostas que somente apresentam custos
Quando não há meios de quantificar monetariamente as receitas (ou as reduções de
custos) proporcionadas por um investimento que é necessário à empresa, a decisão se fará
através da análise de menor custo.
Mesmo nestes casos o imposto de renda deverá ser considerado, pois no caso da
aceitação do projeto, as despesas da empresa se elevarão, diminuindo o lucro tributável e,
consequentemente o imposto de renda da empresa como um todo.
As despesas adicionais se dão tanto pela própria despesa anual de operações e
manutenção, como pela despesa de depreciação do ativo imobilizado.
Dessa forma a diminuição do imposto de renda causada pelo aumento das despesas
deve ser considerado como fluxo positivo do projeto.
EXEMPLO
Dois sistemas de ar condicionado estão sendo estudados para instalação nos escritórios
de certa empresa. São os seguintes os parâmetros estimados para cada uma das alternativas:
Discriminação Sistema A Sistema B
Investimento inicial $ 15.000 $ 12.000
Custos anuais de operação e
manutenção
$ 2.000 $ 3.000
Valor residual nulo Nulo
Vida econômica 5 anos 5anos
A administração da empresa definiu que, caso os custos anuais não superem $ 5.000, o
sistema mais econômico deverá ser instalado. Caso contrário, este investimento deverá ser
adiado para uma época mais oportuna.
Sendo a taxa mínima de atratividade da empresa, após os impostos, de 7 % ao ano,
qual decisão deve ser tomada?
Considerar que a taxa de depreciação dos sistemas de ar condicionado seja de 20% e a
empresa se encontre na faixa de 35% para efeitos de imposto de renda.
SOLUÇÃO
Sistema A:
ANOS Fluxo antes do
IR
Depreciação
anual
Valor
Contábil
Lucro
Tributável
IR Fluxo depois
do IR
0
1
2
3
4
5

63
Sistema B:
ANOS Fluxo antes do
IR
Depreciação
anual
Valor
Contábil
Lucro
Tributável
IR Fluxo depois
do IR
0
1
2
3
4
5
Considerações adicionais
Uma fórmula geral para o cálculo do valor presente, considerando o efeito do imposto
de renda e a depreciação, pode ser extraída da seguinte demonstração:
Sendo:
DEPj – Despesa da depreciação no período j
Cj – Fluxo de caixa, no período j, antes do IR
C’j – Fluxo de caixa, no período j, após o IR
τ - Alíquota do imposto de renda
A fórmula geral do valor presente, após o imposto de renda será dada por:
( ) ( ) ( ) j
n
j
j
j
iDEPi
−
==
−
++−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++= ∑∑ 111CC-VPL
1
n
1j
j0 ττ

64
Onde o terceiro termo do lado direito da equação representa o valor presente da
economia proporcionada pela dedução da depreciação do lucro antes do imposto de renda.
CUIDADO: A depreciação já foi considerada no fluxo de caixa?
Um ponto a ser destacado é se a depreciação já foi ou não computada no fluxo de
caixa antes do imposto de renda.
Na forma corriqueira da engenharia econômica, os fluxos de caixa são elaborados com
os recebimentos e desembolsos nos quais ainda não foi computada a depreciação. Assim, na
análise de investimentos, deve-se proceder conforme orientado até o momento, ou seja,
considerar a depreciação apenas como um elemento dedutível para efeitos do cálculo do
imposto de renda.
Entretanto, na análise de projetos industriais, é comum que o fluxo de caixa seja
proveniente de uma projeção das demonstrações de resultados. Nesse caso, o lucro líquido já
considera a depreciação como despesa e o imposto de renda é calculado já com a dedução da
depreciação. Mas, como a depreciação é uma despesa sem desembolso, e o fluxo de caixa
deve refletir a movimentação financeira, deve-se somar a depreciação ao lucro líquido após o
imposto de renda.

Problemas
PROBLEMA 1
Visando avaliar a melhor alternativa entre adquirir ou fazer o leasing de equipamentos,
a UDT (divisão de transportes da USIMINAS) solicitou um estudo à UDE (divisão de
engenharia industrial) no sentido de tomar a decisão mais viável para a empresa.
Entre estes equipamentos está o guindaste telescópico de 13 ton. Para o qual foram
coletados os seguintes dados:
• Custo de aquisição: $ 850.000,00
• Valor de mercado após 5 anos $ 170.000,00
• Horizonte de planejamento 5 anos
• Custos mensais de operação e manutenção: $ 9.092
• Taxa mínima de atratividade da USIMINAS: 18% ao ano
• Valor do aluguel: $ 218,00 por hora
O valor do aluguel já inclui os custos de operação e manutenção.
A média mensal de horas a serem trabalhadas pelo guindaste é de 102 horas, entretanto,
de acordo com a pesquisa efetuada junto às empresas de leasing, existe uma franquia de 200
horas mensais.
Pergunta-se:
a. Qual o melhor, alugar ou comprar?
b. Faça suas considerações sobre um ponto de equilíbrio entre a compra e o aluguel.
ANOS Fluxo antes do
IR
Depreciação
anual
Valor
Contábil
Lucro
Tributável
IR Fluxo depois
do IR
0
1
2
3
4
5

66
PROBLEMA 2
Estuda-se a possibilidade de adquirir uma frota de 20 veículos para evitar o alto preço
cobrado pelo arrendamento mercantil. Cada veículo custa $13.000,00, e pode ser vendido ao
final de três anos por $8.000,00. As despesas de manutenção, inexistentes no caso do
arrendamento, são estimadas em $1.500,00 por ano para cada veículo comprado. As despesas
de operação são as mesmas em ambos os casos enquanto que as despesas com seguro são de
$1.200,00 por ano, com desembolso durante o ano.
O arrendamento, que inclui as despesas de manutenção e seguro, custa para a empresa
a quantia de $160.000,00 anuais pelos 20 carros, mas proporciona a possibilidade de ser
totalmente abatido para efeito de imposto de renda. A taxa de imposto de renda (mais
contribuição social) para a empresa é de 42 %. Considere uma TMA de 15% a.a..
É interessante a compra dos veículos? Faça os cálculos pelo método do valor anual.
Qual o valor de aluguel que igualaria as alternativas? O que você decidiria?
PROBLEMA 3
Certa firma industrial está considerando a possibilidade de instalar uma linha de
transportadores controlada eletronicamente. O investimento inicial será de $ 180.000,00, mas
causará redução de despesas de operação anual de $ 50.000,00
O investimento será inteiramente depreciado em 15 anos pelo método linear.
Entretanto, ao final de 12 anos, o equipamento será inútil para a empresa e, nesta época, será
retirado de operação sem nenhum valor de venda. Determinar a taxa de retorno de
empreendimento, considerando que a alíquota do IR é de 30% ao ano.
PROBLEMA 4
Para uma determinada tarefa, posso comprara duas máquinas diferentes. Uma PIF ou
uma PAF, com o mesmo desempenho técnico.
Máquina PIF:
• Custo Inicial: $ 320.000,00
• Custo anual fixo: $ 20.000,00
• Custo operacional: $ 50,00 por hora
Máquina PAF:
• Custo Inicial: $ 200.000,00
• Custo anual fixo: $ 30.000,00
• Custo operacional: $ 80,00 por hora
O custo de oportunidade do capital é de 15 % ao ano, após o imposto de renda. Tanto a
máquina PIF, como a PAF durarão 10 anos e serão depreciadas em 10 anos (linearmente). A
firma está na faixa de 30% para fins de IR.
Calcular o ponto de equilíbrio quanto ao número de horas anuais de uso das máquinas.

67
PROBLEMA 5
O projeto de viabilidade econômica da unidade industrial de fertilizantes do complexo
carboquímico catarinense apresenta a seguinte projeção da demonstração de resultados,
durante os próximos 15 anos:
Receita Líquida 850.000
Custo dos Produtos Vendidos (630.000)
Lucro Bruto 220.000
Despesas com vendas (1.500)
Despesas administrativas (6.000)
Depreciação (18.000)
Lucro operacional 194.000
Despesas não operacionais (6.000)
Lucro Líquido antes do IR 188.000
Imposto de Renda (65.000)
Lucro Líquido após o IR 122.000
Supondo que o investimento total é de $ 500.000, sendo $ 100.000 de capital de giro, e
que somente se utilizará capital próprio. Deseja-se analisar a viabilidade econômica do
projeto. Considere o valor residual dos investimentos fixos nulo e a taxa mínima de
atratividade de 15% ao ano.

CAPÍTULO V - FINANCIAMENTOS
V.1 - AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS
A disponibilidade de recursos é, sem dúvida, fundamental para a concretização de um
investimento. Se os recursos próprios forem insuficientes as empresas devem recorrer a
empréstimos.
O valor desses empréstimos, ou seja, o principal, evidentemente terá que ser restituído
à instituição financeira, acrescido de sua remuneração, que são os juros.
À forma de devolução do principal mais juros, chama-se de “sistema de
amortização”. Os sistemas mais usados serão vistos a seguir.
A) SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO (PRICE)
Também conhecido como “Sistema Price” ou “Sistema de Prestação Constante” é
muito utilizado nas compras de prazos menores e no crédito direto ao consumidor.
Neste sistema as prestações são constantes, ou seja, correspondem a uma série
uniforme “A”. A parcela de juros decresce com o tempo, ao passo que a parcela de
amortização aumenta com o tempo. Graficamente pode-se apresentar este comportamento da
seguinte maneira:
Como em todos os sistemas corretos de amortização, no sistema Price a prestação é a
soma da amortização com os juros do periodo, ou seja:
pk = ak + jk
Onde:
pk - prestação no periodo k
ak - amortização no período k
jk - juros no periodo k
Além disso, os juros no período k são calculados sobre o saldo devedor anterior:
Prestação
Juros
Amortização
n

69
jk = i*(Saldo devedor)k-1
Nota-se, portanto, que quanto menor o saldo devedor menores serão os juros e, como
as prestações são constantes no sistema Price, a amortização crescerá com o tempo.
A prestação p é calculada da seguinte forma:
pk = p = P* (A/P; i; n )
Onde P é o principal, ou seja, o valor do empréstimo.
As fórmulas do Sistema Francês de amortização são apresentadas no quadro abaixo:
Período (k) Saldo devedor (SDk) Prestação (pk) Amortização (ak) Juros (jk)
0 Po = P
1 P1 = Po - a1 p = P(A/P,i,n) a1 = p - j1 j1 = i Po
2 P2 = P1 - a2 p a2 = p - j2 j2 = i P1
...
k Pk = Pk-1 - ak = 0 p ak = p - jk jk = i Pk-1
Pode-se calcular o saldo devedor após a k-ézima prestação a partir da seguinte
fórmula:
Sdk = p (P/A; i; n-k)
Ou seja, o saldo devedor é o valor presente das prestações futuras.
EXEMPLO V.1
Montar o quadro de amortização para um financiamento de R$1.000,00, a juros de
36% aaccm, com prazo de 4 meses, amortizável pelo sistema Price em 4 prestações mensais.
Calcular também o saldo devedor, imediatamente após a segunda prestação, sem o uso da
tabela.
Solução:
0
1
2
3
4
E o saldo devedor após a segunda prestação é:
B) SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)

70
É o sistema normalmente utilizado para financiamentos de longo prazo.
Neste sistema as amortizações são constantes e calculadas da seguinte forma:
a
P
n
=
Onde P é o principal e n é o número de prestações.
O saldo devedor após o pagamento da k - ézima prestação é dado por:
Sdk = P - k a
Graficamente a prestação pode ser representada assim:
As fórmulas do SAC são apresentadas no quadro abaixo:
0 P
1 P - P/n P/n + i P P/n iP
2 P - 2P/n P/n + i P - iP/n P/n iP - iP/n
... ... ... ... ...
k P - kP/n P/n+iP-(k-1)iP/n P/n iP - (k - 1)iP/n
EXEMPLO V.2
Elaborar a tabela financeira pelo sitema SAC para o financiamento do exemplo
anterior. Calcular também, o saldo devedor após a segunda prestação.
Solução:
0
1
2
3
4
E o saldo devedor após o segundo pagamento, sem utilização da tabela, pode ser
calculado assim:
Juros
Amortização
Prestação
n

71
O PERIODO DE CARÊNCIA
A concessão de um período de carência é muito utilizada pelas instituições financeiras.
Durante o período de carência paga-se somente juros e o principal permanece inalterado, ou
ainda, não se paga juros e estes são capitalizados acrescendo o principal.
Se, no exemplo anterior, fosse concedido dois meses de carência, a tabela financeira
do financiamento ficaria assim:
0
1
2
3
4
5
6
C) OUTROS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
O Sistema Americano : Neste sistema paga-se apenas os juros e o principal é devolvido ao
final do empréstimo.
Sistema de Pagamento Único : É muito utilizado para financiamentos industriais de capital
de giro. Paga-se, neste caso, juros e principal no final do empréstimo. Nada mais do que achar
F dado P.
Pagamento antecipado : Aqui os juros são cobrados antecipadamente e o principal é
devovido ao final do empréstimo. É uma forma conhecida de “aumentar” a taxa de juros
efetiva cobrada por uma instituição financeira.
Decididamente este não é um sistema correto sob o ponto de vista da matemática
financeira. Para que um sistema seja correto o valor presente das prestações, descontado à
taxa de juros do financiamento, deve ser igual ao principal.

72
V.2 Exercícios Propostos
V.2.1. Para uma dívida de R$ 50.000,00, uma taxa de juros de 10% ao período e um
plano de 5 prestações construa um quadro de amortizações pelo sistema:
a) PRICE
b) SAC
c) SAC com um período de carência.
a) Sistema Price
Período (k)
0
1
2
3
4
5
b) Sistema SAC:
Período (k)
0
1
2
3
4
5
c) Sistema SAC com um período de carência:
Período (k)

73
V.2.2. Considere uma dívida de $100.000,00 a ser resgatada em 25 prestações com 4%
de juros. Depois de quantas prestações o valor da prestação do sistema PRICE
passa a ser superior à do sistema SAC.
V.2.3. Uma pessoa fez um empréstimo de R$ X a juros de 4% ao mês e saldou a
dívida pelo SAC em 10 prestações. A soma dos valores nominais das
prestações foi de R$ 50.000,00. Se a dívida tivesse sido paga pelo sistema
Price, qual seria a soma dos valores das prestações?

CAPÍTULO VI - ANÁLISE DE
SENSIBILIDADE
Até o momento, as análises de investimento efetuadas partiram do princípio que todas
as previsões se efetivariam. Na realidade, os fluxos de caixa foram elaborados a partir da
projeção de valores mais prováveis.
Sabe-se, entretanto, que por melhor que tenha sido elaborada a previsão, o fluxo de
caixa não será exatamente aquele imaginado inicialmente. A incerteza sempre estará
presente.
VI.1. Conceitos de risco e incerteza
Vários são os fatores que levam à incerteza, entre eles pode-se citar:
• Fatores econômicos: Super ou subdimensionamento de oferta e demanda,
alterações de preços de produtos e matérias-primas, investimentos imprevistos, etc.
• Fatores financeiros: falta de capacidade de pagamento, insuficiência de capital,
etc.
• Fatores Técnicos: Inadequabilidade de processo, matéria-prima, tecnologia
empregada, etc
• Outros: fatores políticos e institucionais adversos, clima, problemas de
gerenciamento de projetos, etc.
Na literatura da área é comum a diferenciação entre risco e incerteza. A condição de
incerteza é caracterizada quando os fluxos de caixa associados a uma alternativa não podem
ser previstos com exatidão, ou seja, não é possível quantificar em termos de probabilidade as
variações nos fluxos de caixa.
Quando é possível mensurar, através de distribuições de probabilidade, as variáveis de
entrada, considera-se que a situação é de risco.
Existem várias técnicas para se avaliar investimentos em condições de risco e,
algumas destas técnicas possibilitam como importante resultado a obtenção de distribuição de
probabilidades de variáveis como Valor Presente Líquido e Taxa Interna de Retorno. De
posse de tal distribuição pode-se calcular a probabilidade de inviabilidade de um
investimento. Entretanto tais técnicas fogem do escopo deste curso, sendo inseridas no curso
de Engenharia Econômica II.
Para se avaliar investimentos em condições de incerteza, o método mais utilizado, e
mais simples, é a análise de sensibilidade.
VI.2. Análise de sensibilidade
O fato de se fazer a análise de sensibilidade não exclui a possibilidade de aplicação de
métodos de risco mais apurados, ao contrário, complementa, pois auxilia na identificação das
variáveis mais importantes para se trabalhar.

75
A intenção é observar quão sensíveis são os valores como Valor presente, Taxa interna
de retorno, Valor anual, etc., a partir da variação de parâmetros de entrada como vida útil,
custos, receitas, quantidade vendida, preços, investimentos, taxas de descontos, etc.
É interessante a elaboração de gráficos que demonstrem este comportamento e a
análise pode ser enriquecida se questões como as seguintes forem avaliadas:
• Qual o menor preço do produto para que o projeto seja viável?
• Qual a quantidade mínima que deve ser produzida para que o investimento ainda
seja rentável?
• Para os parâmetros de entrada “mais provável”, “otimista” e “pessimista” qual será
o resultado econômico e financeiro da proposta em análise?
• E muitas outras questões.
EXEMPLO VI.1
Suponha o lançamento de um calçado de inverno.
Os meses considerados são: maio, junho e julho.
Os seguintes dados foram levantados pela empresa:
Investimento em adequação de equipamentos e treinamento: R$ 100.000,00
Receita prevista (10.000 pares/mês a R$ 10,00/par): R$ 100.000,00
Custos variáveis (10.000 pares/mês a R$ 4,00/par): R$ 40.000,00
Custos fixos: R$ 20.000,00
Valor residual: R$ 30.000,00
A taxa mínima aceitável pela empresa é de 10% ao mês.
Analise a atratividade do investimento e analise a sensibilidade quanto à variação na
quantidade vendida. Qual a quantidade mínima aceitável?
Solução:

76
EXEMPLO VI.2
Uma empresa está considerando a possibilidade de lançar um novo produto no
mercado. A instalação da nova linha requererá um gasto de R$55.000,00 para investimentos
fixos e R$ 5.000,00 para capital de giro.
Estima-se uma vida econômica, para o projeto, de 10 anos. a empresa espera vender
uma produção anual de 5.000 toneladas a um preço unitário de R$10,00. Os custos
operacionais anuais foram estimados em R$35.000,00. Se a firma pretende um retorno após
os impostos de, no mínimo, 10% ao ano, pede-se:
1. Verificar a atratividade do projeto.
2. Analisar a sensibilidade do projeto para uma variação negativa de 15% no preço de
venda.
3. Calcular o preço de venda mínimo para obtenção da rentabilidade requerida.
4. Verificar a sensibilidade do projeto para um acréscimo de 20% no valor do
investimento fixo.
A taxa de imposto de renda é de 35% e a taxa máxima de depreciação é de 10%.
Solução:
1. Atratividade do projeto
Ano Fluxo antes do IR Depreciaçã
o
Lucro tributável IR Fluxo depois do IR
0
1
...
10
10
2. Sensibilidade para -15% no preço de venda:
Ano Fluxo antes do IR Depreciação Lucro tributável IR Fluxo depois do IR
0
1
...
10
10

77
3. Cálculo do preço mínimo de venda:
4. Sensibilidade para mais 20% no investimento fixo:
Ano Fluxo antes do IR Depreciação Lucro tributável IR Fluxo depois do IR
0
1
...
10
10
EXEMPLO VI.3
Uma usina siderúrgica está considerando duas alternativas para obtenção de 3800
m3
/ano de oxigênio necessário ao refino do aço, até o início de operação da nova fábrica
daqui a três anos.
A primeira é comprar oxigênio ao preço de $ 0,90/m3
.
A segunda alternativa consiste numa reforma da fábrica existente, orçada em $
500,00, para produzir oxigênio a um custo de $ 0,71/m3
.
Em caso de se optar pela compra de oxigênio, a fábrica existente será vendida hoje por
$ 1500,00. Caso se decida pela reforma, o valor de revenda da fábrica será de $ 500,00 ao
final dos três anos.
Admitindo-se uma TMA para a empresa de 10% a.a., pede-se:
1. Verificar a alternativa mais econômica;
2. Testar a sensibilidade da decisão para uma variação de 20% a mais no orçamento
da reforma.
3. Qual o preço de equilíbrio do m3
de oxigênio, para o caso do ítem 1.

78
CAPÍTULO VII - ANÁLISE DA VIABILIDADE
ECONÔMICA
DE UM PROJETO INDUSTRIAL
Uma das etapas mais importantes na elaboração de um projeto industrial é a análise de
sua viabilidade econômica e financeira.
Este capítulo visa apresentar, utilizando-se de informações das etapas anteriores de um
projeto, uma metodologia de cálculo para que se possa concluir sobre a viabilidade de um
projeto.
É necessário, portanto, um correto levantamento dos custos e das receitas adicionais
decorrentes do investimento.
Para um perfeito entendimento dos quadros que serão apresentados e, para que a
classificação dos itens seja adequada, deve-se conhecer a terminologia usual da área de
custos:
Terminologia em custos industriais:
Gasto: conceito amplo que significa sacrifício financeiro de uma maneira geral. O sacrifício
é representado por entrega ou promessa de entrega de dinheiro ou outros ativos. Engloba,
portanto, investimento, custo, despesa e perda.
Investimento: gasto ativado em função de sua vida útil ou de benefícios atribuíveis a
futuros períodos. Cita-se como exemplo: Estoques, Aplicações, máquinas e equipamentos,
construções civis, marcas e patentes, ações de outras empresas.
Custo: Gasto relativo a bem ou serviço utilizado na produção de outros bens ou serviços.
Ex: consumo de matérias primas na produção, salário dos empregados da área de produção,
energia elétrica usada na produção, depreciação de máquinas da produção.
Despesa: Gasto relativo a bem ou serviço consumidos para obtenção de receitas. Ex:
salários da administração geral, depreciação de ativos fora da produção, comissão de
vendedores. O custo de produção torna-se despesa quando o produto é vendido, mas costuma-
se chamá-lo de custo do produto vendido.
Perda: gasto com bem ou serviço consumidos de forma anormal e involuntária. Não é um
sacrifício feito com a intenção de obtenção de receitas. Ex: valor dos danos provocados por
incêndios ou enchentes, obsoletismo de estoques, gasto com mão de obra durante uma greve,
refugos anormais, unidades defeituosas.

79
Desembolso: Pagamento resultante da aquisição do bem ou serviço. Pode ser defasado ou
não do gasto.
VII.1. INVESTIMENTO
O investimento pode ser classificado da seguinte forma:
a) Fixo
b) Giro
O investimento fixo é composto por equipamentos, terrenos, construções civis,
instalações industriais, móveis, etc.
O investimento em giro é o capital de giro necessário para por em marcha a empresa,
ou seja, disponibilidades, estoques, e os recursos necessários para sustentar as vendas a prazo.
Ao final da vida do projeto estima-se o valor residual de venda do investimento fixo
e considera-se o desativamento do capital de giro como uma entrada de caixa.
VII.2. CUSTOS DE PRODUÇÃO
Os custos de produção são aqueles que ocorrem na fabricação do produto e são
classificados em Variáveis e Fixos.
Os Custos Variáveis são aqueles que variam de acordo com a quantidade produzida.
Os principais custos variáveis de produção são os seguintes:
- Matérias Primas, Embalagens e Materiais Auxiliares
- Fretes
- Mão-de-Obra Direta
- Consumo de Energia Elétrica (no processo produtivo)
- Água Industrial
- Combustível
Os Custos Fixos normalmente não variam proporcionalmente à produção. Os
principais são os seguintes:
- Mão-de-Obra Indireta
- Manutenção
- Seguros
- Demanda de Energia Elétrica
- Despesas de Aluguel relativas à fabricação

80
VII.3. DESPESAS GERAIS
As Despesas Gerais são aquelas que, mesmo importantes para a operação, não
fazem parte da fabricação de um produto. Podem, também, ser classificadas em fixas e
variáveis.
Considera-se, nesta metodologia, como principais Despesas Gerais Variáveis as
seguintes:
- Despesas Variáveis com Vendas (Comissão de vendedores)
- Despesas Financeiras com Desconto de Duplicatas
Como Despesas Gerais Fixas considera-se:
- Despesas Administrativas
- Impostos fixos (IPTU, Taxas diversas)
VII.4. OUTRAS DESPESAS E DESEMBOLSOS
DEPRECIAÇÃO CONTÁBIL: É uma despesa sem desembolso que pode ser
considerada para efeito de abatimento no Imposto de Renda.
DESPESAS FINANCEIRAS: Referem-se aos juros de financiamentos de médio e
longo prazos e podem ser abatidas para efeito de Imposto de Renda.
AMORTIZAÇÃO DE FINANCIAMENTOS: A Amortização é um desembolso e
não uma despesa, e portanto não é dedutível do Imposto de Renda.
IMPOSTOS PROPORCIONAIS: São os impostos proporcionais à Receita Bruta
de Vendas como, p. ex., ICMS, IPI e PIS/COFINS. A Receita Líquida de Vendas é obtida
subtraindo estes impostos da Receita Bruta.
IMPOSTO DE RENDA: O Imposto de Renda incide sobre o lucro tributável. A
legislação atual fixa uma alíquota de 15% sobre o lucro e um adicional de 10% sobre o lucro
que exceder a R$240.000,00. Deve-se considerar ainda o efeito da Contribuição Social sobre
o lucro tributável.
VII.5. RECEITAS
Para efeito de análise econômica de projetos considera-se apenas as Receitas
Operacionais, ou seja, o produto da quantidade produzida pelo preço.

81
VII.7. RENTABILIDADE DO EMPREENDIMENTO E DO
ACIONISTA
A taxa interna de retorno do empreendimento considera o capital total
investido no projeto, como se fosse utilizado apenas capital próprio, ou seja, obtêm-se
a rentabilidade total do investimento. Por outro lado pode-se também calcular a
rentabilidade do acionista ou do capital próprio investido.
A rentabilidade do acionista é calculada considerando as prestações como
saídas de caixa onde elas efetivamente ocorrem, não se esquecendo que a parcela de
juros é dedutível para fins de Imposto de Renda enquanto a amortização não o é. Neste
caso utiliza-se, para o cálculo da TIR do acionista, o investimento efetuado pelos
proprietários.
Se a rentabilidade do empreendimento for maior que a taxa de juros do
financiamento, ocorrerá o efeito da Alavancagem financeira positiva fazendo com
que a rentabilidade do acionista seja maior que a rentabilidade do projeto como um
todo.
VII.7. APLICAÇÃO
Determine as taxas internas de retorno do empreendimento e do acionista de
um projeto de uma fábrica de cimento que apresenta as seguintes características:
- Produção anual: 400 ton./ano
- Preço: $ 10.000/ton.
- Custo variável de produção: $ 4.000/ton.
- Custo fixo de produção: $ 300.000/ano
- Despesas gerais variáveis: $ 1.500/ton.
- Despesas gerais fixas: $ 200.000/ano
- Investimento fixo: $ 2.000.000
- Capital de giro: $ 200.000
- Taxa de depreciação: 10%
- Parcela de investimento financiada: 50%

82
- Taxa de juros do financiamento: 10% a.a.
- Amortização: em 7 anos pelo sistema SAC ( com dois anos de carência)
- Valor residual do investimento fixo: $ 200.000
- Vida útil do projeto : 10 anos
- Produção no primeiro ano: 70% da capacidade normal
- IRPJ/CSL: 35%
- ICMS (menos crédito), IPI, PIS, Cofins, etc: 17%
Solução:
Resultados antes do Financiamento
TMA=
Valor Econômico do Negócio=
VPL=
TIR=
Resultados depois do Financiamento
TMA=
Valor Econômico do Negócio=
VPL=
TIR=

Quadro do Fluxo Financeiro do Empreendimento
Em $ 1.000
Descrição 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Receita Bruta 2.800 4.000 4.000 4.000 4.000 4.000 4.000 4.000 4.000 4.000
(-) Impostos Prop. 476 680 680 680 680 680 680 680 680 680
Receita Líquida 2.324 3.320 3.320 3.320 3.320 3.320 3.320 3.320 3.320 3.320
Custo Var. Prod. 1.120 1.600 1.600 1.600 1.600 1.600 1.600 1.600 1.600 1.600
Custo Fixo Prod. 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300
Lucro Bruto 904 1.420 1.420 1.420 1.420 1.420 1.420 1.420 1.420 1.420
Desp. Ger. Var. 420 600 600 600 600 600 600 600 600 600
Desp. Ger. Fixas 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200
Depreciação 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200
Despesas Finan.
Lucro Operacional 84 420 420 420 420 420 420 420 420 420
(+/-) Resultado da venda de ativo 200
Lucro Antes IR 84 420 420 420 420 420 420 420 420 620
IR/Contrib. Social 29,4 147 147 147 147 147 147 147 147 217
Lucro Líq. Após IR 55 273 273 273 273 273 273 273 273 403
(+) Depreciação 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200
(-/+) Resultado da venda de ativo 200
(-) Amortização
(-) Investimentos -2.200
(+)Liber. Financiam.
(+) Valor Residual 400
Fluxo de Caixa Empr. -2.200 255 473 473 473 473 473 473 473 473 803

84
Quadro do Fluxo Financeiro do Acionista
Em $ 1.000
Descrição 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Receita Bruta 2.800 4.000 4.000 4.000 4.000 4.000 4.000 4.000 4.000 4.000
(-) Impostos Prop. 476 680 680 680 680 680 680 680 680 680
Receita Líquida 2.324 3.320 3.320 3.320 3.320 3.320 3.320 3.320 3.320 3.320
Custo Var. Prod. 1.120 1.600 1.600 1.600 1.600 1.600 1.600 1.600 1.600 1.600
Custo Fixo Prod. 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300
Lucro Bruto 904 1.420 1.420 1.420 1.420 1.420 1.420 1.420 1.420 1.420
Desp. Ger. Var. 420 600 600 600 600 600 600 600 600 600
Desp. Ger. Fixas 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200
Depreciação 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200
Despesas Finan. 110 110 110 88 66 44 22
Lucro Operacional -26 310 310 332 354 376 398 420 420 420
(+/-) Resultado da venda de ativo 200
Lucro Antes IR -26 310 310 332 354 376 398 420 420 620
IR/Contrib. Social -9,1 108,5 108,5 116,2 123,9 131,6 139,3 147 147 217
Lucro Líq. Após IR -17 202 202 216 230 244 259 273 273 403
(+) Depreciação 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200
(-/+) Resultado da venda de ativo 200
(-) Amortização 0 0 220 220 220 220 220
(-) Investimentos -2.200
(+)Liber. Financiam. 1.100
(+) Valor Residual 400
Fluxo de Caixa Empr. -1.100 183 402 182 196 210 224 239 473 473 803

VII.9. EXERCÍCIO PROPOSTO
Em um estudo de implantação de um projeto industrial, chegou-se aos
seguintes dados:
1) Do estudo de mercado:
- Tipos de produto : A e B
- Preços Unitários : A: $ 20
B: $ 25
2) Da engenharia:
- Valor do terreno : doado
- Área de construção : 450 m2
- Custo do m2
da construção industrial: $ 800
- Valor dos equipamentos e utensílios: $ 340.000
3) Tamanho:
- Produção anual: A: 10 mil unidades
B: 10 mil unidades
4) Custos:
- Matérias primas e mat. secundários: $ 72 mil/ano
- Energia Elétrica: $ 24 mil/ano
- Combustíveis: $ 12 mil/ano
- Fretes: $ 3600/ano
- Água industrial: $ 12 mil/ano
- Embalagem: $ 18 mil/ano
- Mão-de-Obra (considerar totalmente fixa): $ 18 mil/ano
- Encargos sobre Mão-de-Obra: 80 %
- Taxa de Seguro: 0,6 % por ano sobre
equipamentos e construção civil
- Taxa de manutenção: 0,5 % a.a. para construção civil
2,0 % a.a. para equipamentos
- Taxa de IPI : 10 % para o prod. A
Produto B isento
- PIS/FINSOCIAL: 2 % da receita de vendas (sem considerar o
IPI)

86
- ICMS : 18 % sobre a diferença entre receita (sem IPI)
e matérias primas
- Despesas com comissão de vendedores 2% da Receita (Sem IPI)
- Despesas administrativas: $ 24 mil/ano
- Considerar 2 % de eventuais para cada subgrupo
5) Financiamento:
- Parcela do investimento fixo financiado: 60 %
- Taxa de juros: 8 % a.a.
- Sistema de amortização: Em 10 anos pelo SAC (incluindo 2 anos
de carência)
6) Outros dados:
- Valor residual do investimento fixo: 10 % do investimento
- Vida útil do projeto: 10 anos
- Depreciação: 4% para construções civis
10 % para equipamentos
- Primeiro ano de atividade: 70 % da capacidade
- Segundo ano : 90 % da capacidade
- Terceiro ano em diante: Capacidade normal
7) Subsídios para a determinação do capital de giro:
NECESSIDADES:
a) Disponibilidades: 12.500,00
b) Estoques: 10 dias do Gasto Global
c) Financiamento das vendas: 30 dias (prazo médio de recebimento)
calculados sobre o custo global. (Supondo que toda venda seja financiada)
COBERTURA
a) Crédito de fornecedores :
Matérias-primas e materiais secundários: 30 dias do custo de
matérias-primas;
b) Capital de Giro Próprio

87
DETERMINE A VIABILIDADE ECONÔMICA E FINANCEIRA DO
PROJETO !!!
Resultados do Empreendimento
TMA= 12%
Valor Econ. Negócio=
VPL=
TIR=
Resultados do Acionista
TMA= 12%
Valor Econ. Negócio=
VPL=
TIR=

Quadro do Fluxo Financeiro do Empreendimento
Em $ 1.000
Descrição 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Receita Bruta
(-) Impostos Prop.
Receita Líquida
Custo Var. Prod.
Custo Fixo Prod.
Lucro Bruto
Desp. Ger. Var.
Desp. Ger. Fixas
Depreciação
Despesas Finan.
Lucro Operacional
(+) Resultado venda de ativo
Lucro Antes IR
IR/Contrib. Social
Lucro Líq. Após IR
(+) Depreciação
(-) Resultado venda de ativo
(-) Amortização
(-) Investimentos
(+) Valor Residual
Fluxo de Caixa Empr.

89
Quadro do Fluxo Financeiro do Acionista
Em $ 1.000
Descrição 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Receita Bruta
(-) Impostos Prop.
Receita Líquida
Custo Var. Prod.
Custo Fixo Prod.
Lucro Bruto
Desp. Ger. Var.
Desp. Ger. Fixas
Depreciação
Despesas Finan.
Lucro Operacional
(+) Resultado venda de ativo
Lucro Antes IR
IR/Contrib. Social
Lucro Líq. Após IR
(+) Depreciação
(-) Resultado venda de ativo
(-) Amortização
(-) Investimentos
(+) Valor Residual
Fluxo de Caixa Empr.

ROTEIRO DE CÁLCULO DE UM PROJETO
1. Programa de vendas
DESCRIÇÃO ANO 1 ANO 2 ANOS 3 a 10
Quantidade Vendida Produto A
Produto B
Preço Produto A
Produto B
Receita de Vendas Produto A
Produto B
Receita (Sem IPI)
IPI Produto A
Produto B
Receita Bruta

91
2. Gastos Operacionais
DESCRIÇÃO ANO 1 ANO 2 ANOS 3 a 10
1. Custo Variável de Produção
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7 Eventuais (2%)
Total Parcial
2. Custo Fixo de Produção
2.1
2.2
2.3
2.4 Eventuais
Total Parcial
CUSTO DE PRODUÇÃO
3. Despesa Geral Variável
3.1
3.2 Eventuais
Total Parcial
4. Despesa Geral Fixa
4.1
4.2 Eventuais
Total Parcial
5. Impostos Proporcionais
5.1
5.2
5.3
5.4 Eventuais
Total Parcial
CUSTO GLOBAL

92
3. Capital de giro (a plena produção)
DESCRIÇÃO ANO 3 (Projeção)
1. Necessidades
1.1 Caixa
1.2 Financiamento das Vendas
1.3 Estoques
TOTAL DAS NECESSIDADES
2. RECURSOS
2.1 Fornecedores
2.2 Capital de Giro Próprio
TOTAL DOS RECURSOS
4. Usos e Fontes
DESCRIÇÃO VALOR
1. Terrenos 0
2. Construções
3. Equipamentos
4. Capital de Giro Próprio
TOTAL DOS USOS 0
DESCRIÇÃO VALOR
1. Recursos Próprios
2. Financiamentos
TOTAL DAS FONTES 0

93
5. Depreciação
ANO DEPRECIAÇÃO VALOR CONTÁBIL
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6. Quadro de Financiamento
ANO SALDO DEVEDOR PRESTAÇÃO AMORTIZAÇÃO JUROS
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

94
TABELAS FINANCEIRAS
Fator Nome Fórmula
( F/P, i, n ) Fator de Valor Futuro de um Pgto
Simples
( 1 + i ) n
( P/F, i, n ) Fator de Valor Presente de um Pgto
Simples
( 1 + i ) -n
( F/A, i, n ) Fator de Valor Futuro de uma Série
Uniforme
( 1 + i )n
– 1
i
( A/F, i, n ) Fator de Valor Anual de um Valor
Futuro ou Fator de Formação de Capital
_____i_____
( 1 + i )n
- 1
( P/A, i, n ) Fator de Valor Presente de uma Série
Anual
( 1 + i )n
– 1
( 1 + i )n
. i
( A/P, i, n ) Fator de Valor Anual de um Valor
Presente ou Fator de Recuperação de
Capital
( 1 + i )n
. 1
( 1 + i )n
– i
( P/G, i, n ) Fator de Valor Presente de uma Série
Gradiente
( 1 + i )n
– 1 – ni
i2
( 1 + i )n
( A/G, i, n ) Fator de Valor Anual de uma Série
Gradiente
( 1 + i )n
– 1 – n.i
i. (( 1 + i )n
– 1)
( F/G, i, n ) Fator de valor Futuro de uma Série
Gradiente
( 1 + i )n
– 1 – ni
i2

Fator de Valor Futuro de um Pgto Simples (F/P, i, n)
Taxas
n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 20% 25% 30% 40% 50%
1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600 1,0700 1,0800 1,0900 1,1000 1,1100 1,1200 1,1300 1,1400 1,1500 1,2000 1,2500 1,3000 1,4000 1,5000
2 1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236 1,1449 1,1664 1,1881 1,2100 1,2321 1,2544 1,2769 1,2996 1,3225 1,4400 1,5625 1,6900 1,9600 2,2500
3 1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910 1,2250 1,2597 1,2950 1,3310 1,3676 1,4049 1,4429 1,4815 1,5209 1,7280 1,9531 2,1970 2,7440 3,3750
4 1,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,2625 1,3108 1,3605 1,4116 1,4641 1,5181 1,5735 1,6305 1,6890 1,7490 2,0736 2,4414 2,8561 3,8416 5,0625
5 1,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382 1,4026 1,4693 1,5386 1,6105 1,6851 1,7623 1,8424 1,9254 2,0114 2,4883 3,0518 3,7129 5,3782 7,5938
6 1,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185 1,5007 1,5869 1,6771 1,7716 1,8704 1,9738 2,0820 2,1950 2,3131 2,9860 3,8147 4,8268 7,5295 11,3906
7 1,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 1,5036 1,6058 1,7138 1,8280 1,9487 2,0762 2,2107 2,3526 2,5023 2,6600 3,5832 4,7684 6,2749 10,5414 17,0859
8 1,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 1,5938 1,7182 1,8509 1,9926 2,1436 2,3045 2,4760 2,6584 2,8526 3,0590 4,2998 5,9605 8,1573 14,7579 25,6289
9 1,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513 1,6895 1,8385 1,9990 2,1719 2,3579 2,5580 2,7731 3,0040 3,2519 3,5179 5,1598 7,4506 10,6045 20,6610 38,4434
10 1,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 1,7908 1,9672 2,1589 2,3674 2,5937 2,8394 3,1058 3,3946 3,7072 4,0456 6,1917 9,3132 13,7858 28,9255 57,6650
11 1,1157 1,2434 1,3842 1,5395 1,7103 1,8983 2,1049 2,3316 2,5804 2,8531 3,1518 3,4785 3,8359 4,2262 4,6524 7,4301 11,6415 17,9216 40,4957 86,4976
12 1,1268 1,2682 1,4258 1,6010 1,7959 2,0122 2,2522 2,5182 2,8127 3,1384 3,4985 3,8960 4,3345 4,8179 5,3503 8,9161 14,5519 23,2981 56,6939 129,7463
13 1,1381 1,2936 1,4685 1,6651 1,8856 2,1329 2,4098 2,7196 3,0658 3,4523 3,8833 4,3635 4,8980 5,4924 6,1528 10,6993 18,1899 30,2875 79,3715 194,6195
14 1,1495 1,3195 1,5126 1,7317 1,9799 2,2609 2,5785 2,9372 3,3417 3,7975 4,3104 4,8871 5,5348 6,2613 7,0757 12,8392 22,7374 39,3738 111,1201 291,9293
15 1,1610 1,3459 1,5580 1,8009 2,0789 2,3966 2,7590 3,1722 3,6425 4,1772 4,7846 5,4736 6,2543 7,1379 8,1371 15,4070 28,4217 51,1859 155,5681 437,8939
16 1,1726 1,3728 1,6047 1,8730 2,1829 2,5404 2,9522 3,4259 3,9703 4,5950 5,3109 6,1304 7,0673 8,1372 9,3576 18,4884 35,5271 66,5417 217,7953 656,8408
17 1,1843 1,4002 1,6528 1,9479 2,2920 2,6928 3,1588 3,7000 4,3276 5,0545 5,8951 6,8660 7,9861 9,2765 10,7613 22,1861 44,4089 86,5042 304,9135 985,2613
18 1,1961 1,4282 1,7024 2,0258 2,4066 2,8543 3,3799 3,9960 4,7171 5,5599 6,5436 7,6900 9,0243 10,5752 12,3755 26,6233 55,5112 112,4554 426,8789 1.477,8919
19 1,2081 1,4568 1,7535 2,1068 2,5270 3,0256 3,6165 4,3157 5,1417 6,1159 7,2633 8,6128 10,1974 12,0557 14,2318 31,9480 69,3889 146,1920 597,6304 2.216,8378
20 1,2202 1,4859 1,8061 2,1911 2,6533 3,2071 3,8697 4,6610 5,6044 6,7275 8,0623 9,6463 11,5231 13,7435 16,3665 38,3376 86,7362 190,0496 836,6826 3.325,2567
21 1,2324 1,5157 1,8603 2,2788 2,7860 3,3996 4,1406 5,0338 6,1088 7,4002 8,9492 10,8038 13,0211 15,6676 18,8215 46,0051 108,4202 247,0645 1.171,3556 4.987,8851
22 1,2447 1,5460 1,9161 2,3699 2,9253 3,6035 4,4304 5,4365 6,6586 8,1403 9,9336 12,1003 14,7138 17,8610 21,6447 55,2061 135,5253 321,1839 1.639,8978 7.481,8276
23 1,2572 1,5769 1,9736 2,4647 3,0715 3,8197 4,7405 5,8715 7,2579 8,9543 11,0263 13,5523 16,6266 20,3616 24,8915 66,2474 169,4066 417,5391 2.295,8569 11.222,7415
24 1,2697 1,6084 2,0328 2,5633 3,2251 4,0489 5,0724 6,3412 7,9111 9,8497 12,2392 15,1786 18,7881 23,2122 28,6252 79,4968 211,7582 542,8008 3.214,1997 16.834,1122
25 1,2824 1,6406 2,0938 2,6658 3,3864 4,2919 5,4274 6,8485 8,6231 10,8347 13,5855 17,0001 21,2305 26,4619 32,9190 95,3962 264,6978 705,6410 4.499,8796 25.251,1683
26 1,2953 1,6734 2,1566 2,7725 3,5557 4,5494 5,8074 7,3964 9,3992 11,9182 15,0799 19,0401 23,9905 30,1666 37,8568 114,4755 330,8722 917,3333 6.299,8314 37.876,7524
27 1,3082 1,7069 2,2213 2,8834 3,7335 4,8223 6,2139 7,9881 10,2451 13,1100 16,7386 21,3249 27,1093 34,3899 43,5353 137,3706 413,5903 1.192,5333 8.819,7640 56.815,1287
28 1,3213 1,7410 2,2879 2,9987 3,9201 5,1117 6,6488 8,6271 11,1671 14,4210 18,5799 23,8839 30,6335 39,2045 50,0656 164,8447 516,9879 1.550,2933 12.347,6696 85.222,6930
29 1,3345 1,7758 2,3566 3,1187 4,1161 5,4184 7,1143 9,3173 12,1722 15,8631 20,6237 26,7499 34,6158 44,6931 57,5755 197,8136 646,2349 2.015,3813 17.286,7374 127.834,04
30 1,3478 1,8114 2,4273 3,2434 4,3219 5,7435 7,6123 10,0627 13,2677 17,4494 22,8923 29,9599 39,1159 50,9502 66,2118 237,3763 807,7936 2.619,9956 24.201,4324 191.751,06
31 1,3613 1,8476 2,5001 3,3731 4,5380 6,0881 8,1451 10,8677 14,4618 19,1943 25,4104 33,5551 44,2010 58,0832 76,1435 284,8516 1.009,7420 3.405,9943 33.882,0053 287.626,59
32 1,3749 1,8845 2,5751 3,5081 4,7649 6,4534 8,7153 11,7371 15,7633 21,1138 28,2056 37,5817 49,9471 66,2148 87,5651 341,8219 1.262,1774 4.427,7926 47.434,8074 431.439,88
33 1,3887 1,9222 2,6523 3,6484 5,0032 6,8406 9,3253 12,6760 17,1820 23,2252 31,3082 42,0915 56,4402 75,4849 100,6998 410,1863 1.577,7218 5.756,1304 66.408,7304 647.159,82
34 1,4026 1,9607 2,7319 3,7943 5,2533 7,2510 9,9781 13,6901 18,7284 25,5477 34,7521 47,1425 63,7774 86,0528 115,8048 492,2235 1.972,1523 7.482,9696 92.972,2225 970.739,74
35 1,4166 1,9999 2,8139 3,9461 5,5160 7,6861 10,6766 14,7853 20,4140 28,1024 38,5749 52,7996 72,0685 98,1002 133,1755 590,6682 2.465,1903 9.727,8604 130.161,11 1.456.109,61
36 1,4308 2,0399 2,8983 4,1039 5,7918 8,1473 11,4239 15,9682 22,2512 30,9127 42,8181 59,1356 81,4374 111,8342 153,1519 708,8019 3.081,4879 12.646,2186 182.225,56 2.184.164,41
40 1,4889 2,2080 3,2620 4,8010 7,0400 10,2857 14,9745 21,7245 31,4094 45,2593 65,0009 93,0510 132,7816 188,8835 267,8635 1.469,7716 7.523,1638 36.118,8648 700.037,70 11.057.332,32
45 1,5648 2,4379 3,7816 5,8412 8,9850 13,7646 21,0025 31,9204 48,3273 72,8905 109,5302 163,9876 244,6414 363,6791 538,7693 3.657,2620 22.958,8740 134.106,82 3.764.970,74 83.966.617,31
48 1,6122 2,5871 4,1323 6,5705 10,4013 16,3939 25,7289 40,2106 62,5852 97,0172 149,7970 230,3908 352,9923 538,8065 819,4007 6.319,7487 44.841,5509 294.632,68 10.331.079,71 283.387.333,4
50 1,6446 2,6916 4,3839 7,1067 11,4674 18,4202 29,4570 46,9016 74,3575 117,3909 184,5648 289,0022 450,7359 700,2330 1.083,6574 9.100,4382 70.064,9232 497.929,22 20.248.916,24 637.621.500,2

96
Fator de Valor Presente de um Pgto Simples (P/F, i, n)
Taxas
n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% 19% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50%
1 0,9901 0,9804 0,9709 0,9615 0,9524 0,9434 0,9346 0,9259 0,9174 0,9091 0,9009 0,8929 0,8850 0,8772 0,8696 0,8621 0,8547 0,8475 0,8403 0,8333 0,8000 0,7692 0,7407 0,7143 0,6897 0,6667
2 0,9803 0,9612 0,9426 0,9246 0,9070 0,8900 0,8734 0,8573 0,8417 0,8264 0,8116 0,7972 0,7831 0,7695 0,7561 0,7432 0,7305 0,7182 0,7062 0,6944 0,6400 0,5917 0,5487 0,5102 0,4756 0,4444
3 0,9706 0,9423 0,9151 0,8890 0,8638 0,8396 0,8163 0,7938 0,7722 0,7513 0,7312 0,7118 0,6931 0,6750 0,6575 0,6407 0,6244 0,6086 0,5934 0,5787 0,5120 0,4552 0,4064 0,3644 0,3280 0,2963
4 0,9610 0,9238 0,8885 0,8548 0,8227 0,7921 0,7629 0,7350 0,7084 0,6830 0,6587 0,6355 0,6133 0,5921 0,5718 0,5523 0,5337 0,5158 0,4987 0,4823 0,4096 0,3501 0,3011 0,2603 0,2262 0,1975
5 0,9515 0,9057 0,8626 0,8219 0,7835 0,7473 0,7130 0,6806 0,6499 0,6209 0,5935 0,5674 0,5428 0,5194 0,4972 0,4761 0,4561 0,4371 0,4190 0,4019 0,3277 0,2693 0,2230 0,1859 0,1560 0,1317
6 0,9420 0,8880 0,8375 0,7903 0,7462 0,7050 0,6663 0,6302 0,5963 0,5645 0,5346 0,5066 0,4803 0,4556 0,4323 0,4104 0,3898 0,3704 0,3521 0,3349 0,2621 0,2072 0,1652 0,1328 0,1076 0,0878
7 0,9327 0,8706 0,8131 0,7599 0,7107 0,6651 0,6227 0,5835 0,5470 0,5132 0,4817 0,4523 0,4251 0,3996 0,3759 0,3538 0,3332 0,3139 0,2959 0,2791 0,2097 0,1594 0,1224 0,0949 0,0742 0,0585
8 0,9235 0,8535 0,7894 0,7307 0,6768 0,6274 0,5820 0,5403 0,5019 0,4665 0,4339 0,4039 0,3762 0,3506 0,3269 0,3050 0,2848 0,2660 0,2487 0,2326 0,1678 0,1226 0,0906 0,0678 0,0512 0,0390
9 0,9143 0,8368 0,7664 0,7026 0,6446 0,5919 0,5439 0,5002 0,4604 0,4241 0,3909 0,3606 0,3329 0,3075 0,2843 0,2630 0,2434 0,2255 0,2090 0,1938 0,1342 0,0943 0,0671 0,0484 0,0353 0,0260
10 0,9053 0,8203 0,7441 0,6756 0,6139 0,5584 0,5083 0,4632 0,4224 0,3855 0,3522 0,3220 0,2946 0,2697 0,2472 0,2267 0,2080 0,1911 0,1756 0,1615 0,1074 0,0725 0,0497 0,0346 0,0243 0,0173
11 0,8963 0,8043 0,7224 0,6496 0,5847 0,5268 0,4751 0,4289 0,3875 0,3505 0,3173 0,2875 0,2607 0,2366 0,2149 0,1954 0,1778 0,1619 0,1476 0,1346 0,0859 0,0558 0,0368 0,0247 0,0168 0,0116
12 0,8874 0,7885 0,7014 0,6246 0,5568 0,4970 0,4440 0,3971 0,3555 0,3186 0,2858 0,2567 0,2307 0,2076 0,1869 0,1685 0,1520 0,1372 0,1240 0,1122 0,0687 0,0429 0,0273 0,0176 0,0116 0,0077
13 0,8787 0,7730 0,6810 0,6006 0,5303 0,4688 0,4150 0,3677 0,3262 0,2897 0,2575 0,2292 0,2042 0,1821 0,1625 0,1452 0,1299 0,1163 0,1042 0,0935 0,0550 0,0330 0,0202 0,0126 0,0080 0,0051
14 0,8700 0,7579 0,6611 0,5775 0,5051 0,4423 0,3878 0,3405 0,2992 0,2633 0,2320 0,2046 0,1807 0,1597 0,1413 0,1252 0,1110 0,0985 0,0876 0,0779 0,0440 0,0254 0,0150 0,0090 0,0055 0,0034
15 0,8613 0,7430 0,6419 0,5553 0,4810 0,4173 0,3624 0,3152 0,2745 0,2394 0,2090 0,1827 0,1599 0,1401 0,1229 0,1079 0,0949 0,0835 0,0736 0,0649 0,0352 0,0195 0,0111 0,0064 0,0038 0,0023
16 0,8528 0,7284 0,6232 0,5339 0,4581 0,3936 0,3387 0,2919 0,2519 0,2176 0,1883 0,1631 0,1415 0,1229 0,1069 0,0930 0,0811 0,0708 0,0618 0,0541 0,0281 0,0150 0,0082 0,0046 0,0026 0,0015
17 0,8444 0,7142 0,6050 0,5134 0,4363 0,3714 0,3166 0,2703 0,2311 0,1978 0,1696 0,1456 0,1252 0,1078 0,0929 0,0802 0,0693 0,0600 0,0520 0,0451 0,0225 0,0116 0,0061 0,0033 0,0018 0,0010
18 0,8360 0,7002 0,5874 0,4936 0,4155 0,3503 0,2959 0,2502 0,2120 0,1799 0,1528 0,1300 0,1108 0,0946 0,0808 0,0691 0,0592 0,0508 0,0437 0,0376 0,0180 0,0089 0,0045 0,0023 0,0012 0,0007
19 0,8277 0,6864 0,5703 0,4746 0,3957 0,3305 0,2765 0,2317 0,1945 0,1635 0,1377 0,1161 0,0981 0,0829 0,0703 0,0596 0,0506 0,0431 0,0367 0,0313 0,0144 0,0068 0,0033 0,0017 0,0009 0,0005
20 0,8195 0,6730 0,5537 0,4564 0,3769 0,3118 0,2584 0,2145 0,1784 0,1486 0,1240 0,1037 0,0868 0,0728 0,0611 0,0514 0,0433 0,0365 0,0308 0,0261 0,0115 0,0053 0,0025 0,0012 0,0006 0,0003
21 0,8114 0,6598 0,5375 0,4388 0,3589 0,2942 0,2415 0,1987 0,1637 0,1351 0,1117 0,0926 0,0768 0,0638 0,0531 0,0443 0,0370 0,0309 0,0259 0,0217 0,0092 0,0040 0,0018 0,0009 0,0004 0,0002
22 0,8034 0,6468 0,5219 0,4220 0,3418 0,2775 0,2257 0,1839 0,1502 0,1228 0,1007 0,0826 0,0680 0,0560 0,0462 0,0382 0,0316 0,0262 0,0218 0,0181 0,0074 0,0031 0,0014 0,0006 0,0003 0,0001
23 0,7954 0,6342 0,5067 0,4057 0,3256 0,2618 0,2109 0,1703 0,1378 0,1117 0,0907 0,0738 0,0601 0,0491 0,0402 0,0329 0,0270 0,0222 0,0183 0,0151 0,0059 0,0024 0,0010 0,0004 0,0002 0,0001
24 0,7876 0,6217 0,4919 0,3901 0,3101 0,2470 0,1971 0,1577 0,1264 0,1015 0,0817 0,0659 0,0532 0,0431 0,0349 0,0284 0,0231 0,0188 0,0154 0,0126 0,0047 0,0018 0,0007 0,0003 0,0001 0,0001
25 0,7798 0,6095 0,4776 0,3751 0,2953 0,2330 0,1842 0,1460 0,1160 0,0923 0,0736 0,0588 0,0471 0,0378 0,0304 0,0245 0,0197 0,0160 0,0129 0,0105 0,0038 0,0014 0,0006 0,0002 0,0001 0,0000
26 0,7720 0,5976 0,4637 0,3607 0,2812 0,2198 0,1722 0,1352 0,1064 0,0839 0,0663 0,0525 0,0417 0,0331 0,0264 0,0211 0,0169 0,0135 0,0109 0,0087 0,0030 0,0011 0,0004 0,0002 0,0001 0,0000
27 0,7644 0,5859 0,4502 0,3468 0,2678 0,2074 0,1609 0,1252 0,0976 0,0763 0,0597 0,0469 0,0369 0,0291 0,0230 0,0182 0,0144 0,0115 0,0091 0,0073 0,0024 0,0008 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000
28 0,7568 0,5744 0,4371 0,3335 0,2551 0,1956 0,1504 0,1159 0,0895 0,0693 0,0538 0,0419 0,0326 0,0255 0,0200 0,0157 0,0123 0,0097 0,0077 0,0061 0,0019 0,0006 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000
29 0,7493 0,5631 0,4243 0,3207 0,2429 0,1846 0,1406 0,1073 0,0822 0,0630 0,0485 0,0374 0,0289 0,0224 0,0174 0,0135 0,0105 0,0082 0,0064 0,0051 0,0015 0,0005 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000
30 0,7419 0,5521 0,4120 0,3083 0,2314 0,1741 0,1314 0,0994 0,0754 0,0573 0,0437 0,0334 0,0256 0,0196 0,0151 0,0116 0,0090 0,0070 0,0054 0,0042 0,0012 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000
31 0,7346 0,5412 0,4000 0,2965 0,2204 0,1643 0,1228 0,0920 0,0691 0,0521 0,0394 0,0298 0,0226 0,0172 0,0131 0,0100 0,0077 0,0059 0,0046 0,0035 0,0010 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000
32 0,7273 0,5306 0,3883 0,2851 0,2099 0,1550 0,1147 0,0852 0,0634 0,0474 0,0355 0,0266 0,0200 0,0151 0,0114 0,0087 0,0066 0,0050 0,0038 0,0029 0,0008 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000
33 0,7201 0,5202 0,3770 0,2741 0,1999 0,1462 0,1072 0,0789 0,0582 0,0431 0,0319 0,0238 0,0177 0,0132 0,0099 0,0075 0,0056 0,0042 0,0032 0,0024 0,0006 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000
34 0,7130 0,5100 0,3660 0,2636 0,1904 0,1379 0,1002 0,0730 0,0534 0,0391 0,0288 0,0212 0,0157 0,0116 0,0086 0,0064 0,0048 0,0036 0,0027 0,0020 0,0005 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
35 0,7059 0,5000 0,3554 0,2534 0,1813 0,1301 0,0937 0,0676 0,0490 0,0356 0,0259 0,0189 0,0139 0,0102 0,0075 0,0055 0,0041 0,0030 0,0023 0,0017 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
36 0,6989 0,4902 0,3450 0,2437 0,1727 0,1227 0,0875 0,0626 0,0449 0,0323 0,0234 0,0169 0,0123 0,0089 0,0065 0,0048 0,0035 0,0026 0,0019 0,0014 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
40 0,6717 0,4529 0,3066 0,2083 0,1420 0,0972 0,0668 0,0460 0,0318 0,0221 0,0154 0,0107 0,0075 0,0053 0,0037 0,0026 0,0019 0,0013 0,0010 0,0007 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
45 0,6391 0,4102 0,2644 0,1712 0,1113 0,0727 0,0476 0,0313 0,0207 0,0137 0,0091 0,0061 0,0041 0,0027 0,0019 0,0013 0,0009 0,0006 0,0004 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
48 0,6203 0,3865 0,2420 0,1522 0,0961 0,0610 0,0389 0,0249 0,0160 0,0103 0,0067 0,0043 0,0028 0,0019 0,0012 0,0008 0,0005 0,0004 0,0002 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
50 0,6080 0,3715 0,2281 0,1407 0,0872 0,0543 0,0339 0,0213 0,0134 0,0085 0,0054 0,0035 0,0022 0,0014 0,0009 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

97
Fator de Valor Futuro de uma série anual (F/A, i, n)
Taxas
n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50%
1 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
2 2,0100 2,0200 2,0300 2,0400 2,0500 2,0600 2,0700 2,0800 2,0900 2,1000 2,1100 2,1200 2,1300 2,1400 2,1500 2,2000 2,2500 2,3000 2,3500 2,4000 2,4500 2,5000
3 3,0301 3,0604 3,0909 3,1216 3,1525 3,1836 3,2149 3,2464 3,2781 3,3100 3,3421 3,3744 3,4069 3,4396 3,4725 3,6400 3,8125 3,9900 4,1725 4,3600 4,5525 4,7500
4 4,0604 4,1216 4,1836 4,2465 4,3101 4,3746 4,4399 4,5061 4,5731 4,6410 4,7097 4,7793 4,8498 4,9211 4,9934 5,3680 5,7656 6,1870 6,6329 7,1040 7,6011 8,1250
5 5,1010 5,2040 5,3091 5,4163 5,5256 5,6371 5,7507 5,8666 5,9847 6,1051 6,2278 6,3528 6,4803 6,6101 6,7424 7,4416 8,2070 9,0431 9,9544 10,9456 12,0216 13,1875
6 6,1520 6,3081 6,4684 6,6330 6,8019 6,9753 7,1533 7,3359 7,5233 7,7156 7,9129 8,1152 8,3227 8,5355 8,7537 9,9299 11,2588 12,7560 14,4384 16,3238 18,4314 20,7813
7 7,2135 7,4343 7,6625 7,8983 8,1420 8,3938 8,6540 8,9228 9,2004 9,4872 9,7833 10,0890 10,4047 10,7305 11,0668 12,9159 15,0735 17,5828 20,4919 23,8534 27,7255 32,1719
8 8,2857 8,5830 8,8923 9,2142 9,5491 9,8975 10,2598 10,6366 11,0285 11,4359 11,8594 12,2997 12,7573 13,2328 13,7268 16,4991 19,8419 23,8577 28,6640 34,3947 41,2019 49,2578
9 9,3685 9,7546 10,1591 10,5828 11,0266 11,4913 11,9780 12,4876 13,0210 13,5795 14,1640 14,7757 15,4157 16,0853 16,7858 20,7989 25,8023 32,0150 39,6964 49,1526 60,7428 74,8867
10 10,4622 10,9497 11,4639 12,0061 12,5779 13,1808 13,82 14,49 15,19 15,94 16,72 17,55 18,42 19,34 20,30 25,96 33,25 42,62 54,59 69,81 89,08 113,33
11 11,5668 12,1687 12,8078 13,4864 14,2068 14,9716 15,78 16,65 17,56 18,53 19,56 20,65 21,81 23,04 24,35 32,15 42,57 56,41 74,70 98,74 130,16 171,00
12 12,6825 13,4121 14,1920 15,0258 15,9171 16,8699 17,89 18,98 20,14 21,38 22,71 24,13 25,65 27,27 29,00 39,58 54,21 74,33 101,84 139,23 189,73 257,49
13 13,8093 14,6803 15,6178 16,6268 17,7130 18,8821 20,14 21,50 22,95 24,52 26,21 28,03 29,98 32,09 34,35 48,50 68,76 97,63 138,48 195,93 276,12 387,24
14 14,9474 15,9739 17,0863 18,2919 19,5986 21,0151 22,55 24,21 26,02 27,97 30,09 32,39 34,88 37,58 40,50 59,20 86,95 127,91 187,95 275,30 401,37 581,86
15 16,097 17,293 18,599 20,024 21,579 23,276 25,13 27,15 29,36 31,77 34,41 37,28 40,42 43,84 47,58 72,04 109,69 167,29 254,74 386,42 582,98 873,79
16 17,258 18,639 20,157 21,825 23,657 25,673 27,89 30,32 33,00 35,95 39,19 42,75 46,67 50,98 55,72 87,44 138,11 218,47 344,90 541,99 846,32 1.311,68
17 18,430 20,012 21,762 23,698 25,840 28,213 30,84 33,75 36,97 40,54 44,50 48,88 53,74 59,12 65,08 105,93 173,64 285,01 466,61 759,78 1.228,17 1.968,52
18 19,615 21,412 23,414 25,645 28,132 30,906 34,00 37,45 41,30 45,60 50,40 55,7 61,7 68,4 75,8 128,1 218,0 371,5 630,9 1.064,7 1.781,8 2.953,8
19 20,811 22,841 25,117 27,671 30,539 33,760 37,38 41,45 46,02 51,16 56,94 63,4 70,7 79,0 88,2 154,7 273,6 484,0 852,7 1.491,6 2.584,7 4.431,7
20 22,019 24,297 26,870 29,778 33,066 36,786 41,00 45,76 51,16 57,27 64,20 72,1 80,9 91,0 102,4 186,7 342,9 630,2 1.152,2 2.089,2 3.748,8 6.648,5
21 23,239 25,783 28,676 31,969 35,719 39,993 44,87 50,42 56,76 64,00 72,27 81,7 92,5 104,8 118,8 225,0 429,7 820,2 1.556,5 2.925,9 5.436,7 9.973,8
22 24,472 27,299 30,537 34,248 38,505 43,392 49,01 55,46 62,87 71,40 81,21 92,5 105,5 120,4 137,6 271,0 538,1 1.067,3 2.102,3 4.097,2 7.884,3 14.961,7
23 25,716 28,845 32,453 36,618 41,430 46,996 53,44 60,89 69,53 79,54 91,15 104,6 120,2 138,3 159,3 326,2 673,6 1.388,5 2.839,0 5.737,1 11.433,2 22.443,5
24 26,973 30,422 34,426 39,083 44,502 50,816 58,18 66,76 76,79 88,50 102,17 118,2 136,8 158,7 184,2 392,5 843,0 1.806,0 3.833,7 8.033,0 16.579,1 33.666,2
25 28,243 32,030 36,459 41,646 47,727 54,865 63,25 73,11 84,70 98,35 114,41 133,3 155,6 181,9 212,8 472,0 1.054,8 2.348,8 5.176,5 11.247,2 24.040,7 50.500,3
26 29,526 33,671 38,553 44,312 51,113 59,156 68,68 79,95 93,32 109,18 128,00 150,3 176,9 208,3 245,7 567,4 1.319,5 3.054,4 6.989,3 15.747,1 34.860,0 75.751,5
27 30,821 35,344 40,710 47,084 54,669 63,706 74,48 87,35 102,72 121,10 143,08 169,4 200,8 238,5 283,6 681,9 1.650,4 3.971,8 9.436,5 22.046,9 50.548,1 113.628,3
28 32,129 37,051 42,931 49,968 58,403 68,528 80,70 95,34 112,97 134,21 159,82 190,7 227,9 272,9 327,1 819,2 2.064,0 5.164,3 12.740,3 30.866,7 73.295,7 170.443,4
29 33,450 38,792 45,219 52,966 62,323 73,640 87,35 103,97 124,14 148,63 178,40 214,6 258,6 312,1 377,2 984,1 2.580,9 6.714,6 17.200,4 43.214,3 106.279,7 255.666,1
30 34,785 40,568 47,575 56,085 66,439 79,058 94,46 113,28 136,31 164,49 199,02 241,3 293,2 356,8 434,7 1.181,9 3.227,2 8.730,0 23.221,6 60.501,1 154.106,6 383.500,1
31 36,133 42,379 50,003 59,328 70,761 84,802 102,07 123,35 149,58 181,94 221,91 271,3 332,3 407,7 501,0 1.419,3 4.035,0 11.350,0 31.350,1 84.702,5 223.455,6 575.251,2
32 37,494 44,227 52,503 62,701 75,299 90,890 110,22 134,21 164,04 201,14 247,32 304,8 376,5 465,8 577,1 1.704,1 5.044,7 14.756,0 42.323,7 118.584,5 324.011,6 862.877,8
33 38,869 46,112 55,078 66,210 80,064 97,343 118,93 145,95 179,80 222,25 275,53 342,4 426,5 532,0 664,7 2.045,9 6.306,9 19.184 57.138 166.019 469.818 1.294.318
34 40,258 48,034 57,730 69,858 85,067 104,184 128,26 158,63 196,98 245,48 306,84 384,5 482,9 607,5 765,4 2.456,1 7.884,6 24.940 77.137 232.428 681.237 1.941.477
35 41,660 49,994 60,462 73,652 90,320 111,435 138,24 172,32 215,71 271,02 341,59 431,7 546,7 693,6 881,2 2.948,3 9.856,8 32.423 104.136 325.400 987.794 2.912.217
36 43,077 51,994 63,276 77,598 95,836 119,121 148,91 187,10 236,12 299,13 380,16 484,5 618,7 791,7 1.014,3 3.539,0 12.322,0 42.151 140.585 455.561 1.432.303 4.368.327
40 48,886 60,402 75,401 95,026 120,800 154,762 199,64 259,06 337,88 442,59 581,83 767,1 1.013,7 1.342,0 1.779,1 7.343,9 30.088,7 120.393 466.960 1.750.092 6.331.512 22.114.663
45 56,481 71,893 92,720 121,029 159,700 212,744 285,75 386,51 525,86 718,90 986,64 1.358,2 1.874,2 2.590,6 3.585,1 18.281,3 91.831,5 447.019 2.093.876 9.412.424 40.583.319 167.933.233
48 61,223 79,354 104,408 139,263 188,025 256,565 353,27 490,13 684,28 960,17 1.352,70 1.911,6 2.707,6 3.841,5 5.456,0 31.593,7 179.362,2 982.106 5.151.724 25.827.697 123.723.326 566.774.665
50 64,463 84,579 112,797 152,667 209,348 290,336 406,53 573,77 815,08 1.163,91 1.668,77 2.400,0 3.459,5 4.994,5 7.217,7 45.497,2 280.255,7 1.659.761 9.389.020 50.622.288 260.128.295 1.275.242.998

98
Fator de Valor Anual de um Valor Futuro ou Fator de Formação de Capital (A/F, i, n)
Taxas
n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% 19% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50%
1 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
2 0,4975 0,4950 0,4926 0,4902 0,4878 0,4854 0,4831 0,4808 0,4785 0,4762 0,4739 0,4717 0,4695 0,4673 0,4651 0,4630 0,4608 0,4587 0,4566 0,4545 0,4444 0,4348 0,4255 0,4167 0,4082 0,4000
3 0,3300 0,3268 0,3235 0,3203 0,3172 0,3141 0,3111 0,3080 0,3051 0,3021 0,2992 0,2963 0,2935 0,2907 0,2880 0,2853 0,2826 0,2799 0,2773 0,2747 0,2623 0,2506 0,2397 0,2294 0,2197 0,2105
4 0,2463 0,2426 0,2390 0,2355 0,2320 0,2286 0,2252 0,2219 0,2187 0,2155 0,2123 0,2092 0,2062 0,2032 0,2003 0,1974 0,1945 0,1917 0,1890 0,1863 0,1734 0,1616 0,1508 0,1408 0,1316 0,1231
5 0,1960 0,1922 0,1884 0,1846 0,1810 0,1774 0,1739 0,1705 0,1671 0,1638 0,1606 0,1574 0,1543 0,1513 0,1483 0,1454 0,1426 0,1398 0,1371 0,1344 0,1218 0,1106 0,1005 0,0914 0,0832 0,0758
6 0,1625 0,1585 0,1546 0,1508 0,1470 0,1434 0,1398 0,1363 0,1329 0,1296 0,1264 0,1232 0,1202 0,1172 0,1142 0,1114 0,1086 0,1059 0,1033 0,1007 0,0888 0,0784 0,0693 0,0613 0,0543 0,0481
7 0,1386 0,1345 0,1305 0,1266 0,1228 0,1191 0,1156 0,1121 0,1087 0,1054 0,1022 0,0991 0,0961 0,0932 0,0904 0,0876 0,0849 0,0824 0,0799 0,0774 0,0663 0,0569 0,0488 0,0419 0,0361 0,0311
8 0,1207 0,1165 0,1125 0,1085 0,1047 0,1010 0,0975 0,0940 0,0907 0,0874 0,0843 0,0813 0,0784 0,0756 0,0729 0,0702 0,0677 0,0652 0,0629 0,0606 0,0504 0,0419 0,0349 0,0291 0,0243 0,0203
9 0,1067 0,1025 0,0984 0,0945 0,0907 0,0870 0,0835 0,0801 0,0768 0,0736 0,0706 0,0677 0,0649 0,0622 0,0596 0,0571 0,0547 0,0524 0,0502 0,0481 0,0388 0,0312 0,0252 0,0203 0,0165 0,0134
10 0,0956 0,0913 0,0872 0,0833 0,0795 0,0759 0,0724 0,0690 0,0658 0,0627 0,0598 0,0570 0,0543 0,0517 0,0493 0,0469 0,0447 0,0425 0,0405 0,0385 0,0301 0,0235 0,0183 0,0143 0,0112 0,0088
11 0,0865 0,0822 0,0781 0,0741 0,0704 0,0668 0,0634 0,0601 0,0569 0,0540 0,0511 0,0484 0,0458 0,0434 0,0411 0,0389 0,0368 0,0348 0,0329 0,0311 0,0235 0,0177 0,0134 0,0101 0,0077 0,0058
12 0,0788 0,0746 0,0705 0,0666 0,0628 0,0593 0,0559 0,0527 0,0497 0,0468 0,0440 0,0414 0,0390 0,0367 0,0345 0,0324 0,0305 0,0286 0,0269 0,0253 0,0184 0,0135 0,0098 0,0072 0,0053 0,0039
13 0,0724 0,0681 0,0640 0,0601 0,0565 0,0530 0,0497 0,0465 0,0436 0,0408 0,0382 0,0357 0,0334 0,0312 0,0291 0,0272 0,0254 0,0237 0,0221 0,0206 0,0145 0,0102 0,0072 0,0051 0,0036 0,0026
14 0,0669 0,0626 0,0585 0,0547 0,0510 0,0476 0,0443 0,0413 0,0384 0,0357 0,0332 0,0309 0,0287 0,0266 0,0247 0,0229 0,0212 0,0197 0,0182 0,0169 0,0115 0,0078 0,0053 0,0036 0,0025 0,0017
15 0,0621 0,0578 0,0538 0,0499 0,0463 0,0430 0,0398 0,0368 0,0341 0,0315 0,0291 0,0268 0,0247 0,0228 0,0210 0,0194 0,0178 0,0164 0,0151 0,0139 0,0091 0,0060 0,0039 0,0026 0,0017 0,0011
16 0,0579 0,0537 0,0496 0,0458 0,0423 0,0390 0,0359 0,0330 0,0303 0,0278 0,0255 0,0234 0,0214 0,0196 0,0179 0,0164 0,0150 0,0137 0,0125 0,0114 0,0072 0,0046 0,0029 0,0018 0,0012 0,0008
17 0,0543 0,0500 0,0460 0,0422 0,0387 0,0354 0,0324 0,0296 0,0270 0,0247 0,0225 0,0205 0,0186 0,0169 0,0154 0,0140 0,0127 0,0115 0,0104 0,0094 0,0058 0,0035 0,0021 0,0013 0,0008 0,0005
18 0,0510 0,0467 0,0427 0,0390 0,0355 0,0324 0,0294 0,0267 0,0242 0,0219 0,0198 0,0179 0,0162 0,0146 0,0132 0,0119 0,0107 0,0096 0,0087 0,0078 0,0046 0,0027 0,0016 0,0009 0,0006 0,0003
19 0,0481 0,0438 0,0398 0,0361 0,0327 0,0296 0,0268 0,0241 0,0217 0,0195 0,0176 0,0158 0,0141 0,0127 0,0113 0,0101 0,0091 0,0081 0,0072 0,0065 0,0037 0,0021 0,0012 0,0007 0,0004 0,0002
20 0,0454 0,0412 0,0372 0,0336 0,0302 0,0272 0,0244 0,0219 0,0195 0,0175 0,0156 0,0139 0,0124 0,0110 0,0098 0,0087 0,0077 0,0068 0,0060 0,0054 0,0029 0,0016 0,0009 0,0005 0,0003 0,0002
21 0,0430 0,0388 0,0349 0,0313 0,0280 0,0250 0,0223 0,0198 0,0176 0,0156 0,0138 0,0122 0,0108 0,0095 0,0084 0,0074 0,0065 0,0057 0,0051 0,0044 0,0023 0,0012 0,0006 0,0003 0,0002 0,0001
22 0,0409 0,0366 0,0327 0,0292 0,0260 0,0230 0,0204 0,0180 0,0159 0,0140 0,0123 0,0108 0,0095 0,0083 0,0073 0,0064 0,0056 0,0048 0,0042 0,0037 0,0019 0,0009 0,0005 0,0002 0,0001 0,0001
23 0,0389 0,0347 0,0308 0,0273 0,0241 0,0213 0,0187 0,0164 0,0144 0,0126 0,0110 0,0096 0,0083 0,0072 0,0063 0,0054 0,0047 0,0041 0,0035 0,0031 0,0015 0,0007 0,0004 0,0002 0,0001 0,0000
24 0,0371 0,0329 0,0290 0,0256 0,0225 0,0197 0,0172 0,0150 0,0130 0,0113 0,0098 0,0085 0,0073 0,0063 0,0054 0,0047 0,0040 0,0035 0,0030 0,0025 0,0012 0,0006 0,0003 0,0001 0,0001 0,0000
25 0,0354 0,0312 0,0274 0,0240 0,0210 0,0182 0,0158 0,0137 0,0118 0,0102 0,0087 0,0075 0,0064 0,0055 0,0047 0,0040 0,0034 0,0029 0,0025 0,0021 0,0009 0,0004 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000
26 0,0339 0,0297 0,0259 0,0226 0,0196 0,0169 0,0146 0,0125 0,0107 0,0092 0,0078 0,0067 0,0057 0,0048 0,0041 0,0034 0,0029 0,0025 0,0021 0,0018 0,0008 0,0003 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000
27 0,0324 0,0283 0,0246 0,0212 0,0183 0,0157 0,0134 0,0114 0,0097 0,0083 0,0070 0,0059 0,0050 0,0042 0,0035 0,0030 0,0025 0,0021 0,0017 0,0015 0,0006 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000
28 0,0311 0,0270 0,0233 0,0200 0,0171 0,0146 0,0124 0,0105 0,0089 0,0075 0,0063 0,0052 0,0044 0,0037 0,0031 0,0025 0,0021 0,0018 0,0015 0,0012 0,0005 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000
29 0,0299 0,0258 0,0221 0,0189 0,0160 0,0136 0,0114 0,0096 0,0081 0,0067 0,0056 0,0047 0,0039 0,0032 0,0027 0,0022 0,0018 0,0015 0,0012 0,0010 0,0004 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000
30 0,0287 0,0246 0,0210 0,0178 0,0151 0,0126 0,0106 0,0088 0,0073 0,0061 0,0050 0,0041 0,0034 0,0028 0,0023 0,0019 0,0015 0,0013 0,0010 0,0008 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
31 0,0277 0,0236 0,0200 0,0169 0,0141 0,0118 0,0098 0,0081 0,0067 0,0055 0,0045 0,0037 0,0030 0,0025 0,0020 0,0016 0,0013 0,0011 0,0009 0,0007 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
32 0,0267 0,0226 0,0190 0,0159 0,0133 0,0110 0,0091 0,0075 0,0061 0,0050 0,0040 0,0033 0,0027 0,0021 0,0017 0,0014 0,0011 0,0009 0,0007 0,0006 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
33 0,0257 0,0217 0,0182 0,0151 0,0125 0,0103 0,0084 0,0069 0,0056 0,0045 0,0036 0,0029 0,0023 0,0019 0,0015 0,0012 0,0010 0,0008 0,0006 0,0005 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
34 0,0248 0,0208 0,0173 0,0143 0,0118 0,0096 0,0078 0,0063 0,0051 0,0041 0,0033 0,0026 0,0021 0,0016 0,0013 0,0010 0,0008 0,0006 0,0005 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
35 0,0240 0,0200 0,0165 0,0136 0,0111 0,0090 0,0072 0,0058 0,0046 0,0037 0,0029 0,0023 0,0018 0,0014 0,0011 0,0009 0,0007 0,0006 0,0004 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
36 0,0232 0,0192 0,0158 0,0129 0,0104 0,0084 0,0067 0,0053 0,0042 0,0033 0,0026 0,0021 0,0016 0,0013 0,0010 0,0008 0,0006 0,0005 0,0004 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
40 0,0205 0,0166 0,0133 0,0105 0,0083 0,0065 0,0050 0,0039 0,0030 0,0023 0,0017 0,0013 0,0010 0,0007 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
45 0,0177 0,0139 0,0108 0,0083 0,0063 0,0047 0,0035 0,0026 0,0019 0,0014 0,0010 0,0007 0,0005 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
48 0,0163 0,0126 0,0096 0,0072 0,0053 0,0039 0,0028 0,0020 0,0015 0,0010 0,0007 0,0005 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
50 0,0155 0,0118 0,0089 0,0066 0,0048 0,0034 0,0025 0,0017 0,0012 0,0009 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

99
Fator de Valor Presente de uma Série Uniforme (P/A, i, n)
Taxas
n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% 19% 20% 25% 30% 35% 40% 50%
1 0,9901 0,9804 0,9709 0,9615 0,9524 0,9434 0,9346 0,9259 0,9174 0,9091 0,9009 0,8929 0,8850 0,8772 0,8696 0,8621 0,8547 0,8475 0,8403 0,8333 0,8000 0,7692 0,7407 0,7143 0,6667
2 1,9704 1,9416 1,9135 1,8861 1,8594 1,8334 1,8080 1,7833 1,7591 1,7355 1,7125 1,6901 1,6681 1,6467 1,6257 1,6052 1,5852 1,5656 1,5465 1,5278 1,4400 1,3609 1,2894 1,2245 1,1111
3 2,9410 2,8839 2,8286 2,7751 2,7232 2,6730 2,6243 2,5771 2,5313 2,4869 2,4437 2,4018 2,3612 2,3216 2,2832 2,2459 2,2096 2,1743 2,1399 2,1065 1,9520 1,8161 1,6959 1,5889 1,4074
4 3,9020 3,8077 3,7171 3,6299 3,5460 3,4651 3,3872 3,3121 3,2397 3,1699 3,1024 3,0373 2,9745 2,9137 2,8550 2,7982 2,7432 2,6901 2,6386 2,5887 2,3616 2,1662 1,9969 1,8492 1,6049
5 4,8534 4,7135 4,5797 4,4518 4,3295 4,2124 4,1002 3,9927 3,8897 3,7908 3,6959 3,6048 3,5172 3,4331 3,3522 3,2743 3,1993 3,1272 3,0576 2,9906 2,6893 2,4356 2,2200 2,0352 1,7366
6 5,7955 5,6014 5,4172 5,2421 5,0757 4,9173 4,7665 4,6229 4,4859 4,3553 4,2305 4,1114 3,9975 3,8887 3,7845 3,6847 3,5892 3,4976 3,4098 3,3255 2,9514 2,6427 2,3852 2,1680 1,8244
7 6,7282 6,4720 6,2303 6,0021 5,7864 5,5824 5,3893 5,2064 5,0330 4,8684 4,7122 4,5638 4,4226 4,2883 4,1604 4,0386 3,9224 3,8115 3,7057 3,6046 3,1611 2,8021 2,5075 2,2628 1,8829
8 7,6517 7,3255 7,0197 6,7327 6,4632 6,2098 5,9713 5,7466 5,5348 5,3349 5,1461 4,9676 4,7988 4,6389 4,4873 4,3436 4,2072 4,0776 3,9544 3,8372 3,3289 2,9247 2,5982 2,3306 1,9220
9 8,5660 8,1622 7,7861 7,4353 7,1078 6,8017 6,5152 6,2469 5,9952 5,7590 5,5370 5,3282 5,1317 4,9464 4,7716 4,6065 4,4506 4,3030 4,1633 4,0310 3,4631 3,0190 2,6653 2,3790 1,9480
10 9,4713 8,9826 8,5302 8,1109 7,7217 7,3601 7,0236 6,7101 6,4177 6,1446 5,8892 5,6502 5,4262 5,2161 5,0188 4,8332 4,6586 4,4941 4,3389 4,1925 3,5705 3,0915 2,7150 2,4136 1,9653
11 10,3676 9,7868 9,2526 8,7605 8,3064 7,8869 7,4987 7,1390 6,8052 6,4951 6,2065 5,9377 5,6869 5,4527 5,2337 5,0286 4,8364 4,6560 4,4865 4,3271 3,6564 3,1473 2,7519 2,4383 1,9769
12 11,2551 10,5753 9,9540 9,3851 8,8633 8,3838 7,9427 7,5361 7,1607 6,8137 6,4924 6,1944 5,9176 5,6603 5,4206 5,1971 4,9884 4,7932 4,6105 4,4392 3,7251 3,1903 2,7792 2,4559 1,9846
13 12,1337 11,3484 10,6350 9,9856 9,3936 8,8527 8,3577 7,9038 7,4869 7,1034 6,7499 6,4235 6,1218 5,8424 5,5831 5,3423 5,1183 4,9095 4,7147 4,5327 3,7801 3,2233 2,7994 2,4685 1,9897
14 13,0037 12,1062 11,2961 10,5631 9,8986 9,2950 8,7455 8,2442 7,7862 7,3667 6,9819 6,6282 6,3025 6,0021 5,7245 5,4675 5,2293 5,0081 4,8023 4,6106 3,8241 3,2487 2,8144 2,4775 1,9931
15 13,8651 12,8493 11,9379 11,1184 10,3797 9,7122 9,1079 8,5595 8,0607 7,6061 7,1909 6,8109 6,4624 6,1422 5,8474 5,5755 5,3242 5,0916 4,8759 4,6755 3,8593 3,2682 2,8255 2,4839 1,9954
16 14,7179 13,5777 12,5611 11,6523 10,8378 10,1059 9,4466 8,8514 8,3126 7,8237 7,3792 6,9740 6,6039 6,2651 5,9542 5,6685 5,4053 5,1624 4,9377 4,7296 3,8874 3,2832 2,8337 2,4885 1,9970
17 15,5623 14,2919 13,1661 12,1657 11,2741 10,4773 9,7632 9,1216 8,5436 8,0216 7,5488 7,1196 6,7291 6,3729 6,0472 5,7487 5,4746 5,2223 4,9897 4,7746 3,9099 3,2948 2,8398 2,4918 1,9980
18 16,3983 14,9920 13,7535 12,6593 11,6896 10,8276 10,0591 9,3719 8,7556 8,2014 7,7016 7,2497 6,8399 6,4674 6,1280 5,8178 5,5339 5,2732 5,0333 4,8122 3,9279 3,3037 2,8443 2,4941 1,9986
19 17,2260 15,6785 14,3238 13,1339 12,0853 11,1581 10,3356 9,6036 8,9501 8,3649 7,8393 7,3658 6,9380 6,5504 6,1982 5,8775 5,5845 5,3162 5,0700 4,8435 3,9424 3,3105 2,8476 2,4958 1,9991
20 18,0456 16,3514 14,8775 13,5903 12,4622 11,4699 10,5940 9,8181 9,1285 8,5136 7,9633 7,4694 7,0248 6,6231 6,2593 5,9288 5,6278 5,3527 5,1009 4,8696 3,9539 3,3158 2,8501 2,4970 1,9994
21 18,8570 17,0112 15,4150 14,0292 12,8212 11,7641 10,8355 10,0168 9,2922 8,6487 8,0751 7,5620 7,1016 6,6870 6,3125 5,9731 5,6648 5,3837 5,1268 4,8913 3,9631 3,3198 2,8519 2,4979 1,9996
22 19,6604 17,6580 15,9369 14,4511 13,1630 12,0416 11,0612 10,2007 9,4424 8,7715 8,1757 7,6446 7,1695 6,7429 6,3587 6,0113 5,6964 5,4099 5,1486 4,9094 3,9705 3,3230 2,8533 2,4985 1,9997
23 20,4558 18,2922 16,4436 14,8568 13,4886 12,3034 11,2722 10,3711 9,5802 8,8832 8,2664 7,7184 7,2297 6,7921 6,3988 6,0442 5,7234 5,4321 5,1668 4,9245 3,9764 3,3254 2,8543 2,4989 1,9998
24 21,2434 18,9139 16,9355 15,2470 13,7986 12,5504 11,4693 10,5288 9,7066 8,9847 8,3481 7,7843 7,2829 6,8351 6,4338 6,0726 5,7465 5,4509 5,1822 4,9371 3,9811 3,3272 2,8550 2,4992 1,9999
25 22,0232 19,5235 17,4131 15,6221 14,0939 12,7834 11,6536 10,6748 9,8226 9,0770 8,4217 7,8431 7,3300 6,8729 6,4641 6,0971 5,7662 5,4669 5,1951 4,9476 3,9849 3,3286 2,8556 2,4994 1,9999
26 22,7952 20,1210 17,8768 15,9828 14,3752 13,0032 11,8258 10,8100 9,9290 9,1609 8,4881 7,8957 7,3717 6,9061 6,4906 6,1182 5,7831 5,4804 5,2060 4,9563 3,9879 3,3297 2,8560 2,4996 1,9999
27 23,5596 20,7069 18,3270 16,3296 14,6430 13,2105 11,9867 10,9352 10,0266 9,2372 8,5478 7,9426 7,4086 6,9352 6,5135 6,1364 5,7975 5,4919 5,2151 4,9636 3,9903 3,3305 2,8563 2,4997 2,0000
28 24,3164 21,2813 18,7641 16,6631 14,8981 13,4062 12,1371 11,0511 10,1161 9,3066 8,6016 7,9844 7,4412 6,9607 6,5335 6,1520 5,8099 5,5016 5,2228 4,9697 3,9923 3,3312 2,8565 2,4998 2,0000
29 25,0658 21,8444 19,1885 16,9837 15,1411 13,5907 12,2777 11,1584 10,1983 9,3696 8,6501 8,0218 7,4701 6,9830 6,5509 6,1656 5,8204 5,5098 5,2292 4,9747 3,9938 3,3317 2,8567 2,4999 2,0000
30 25,8077 22,3965 19,6004 17,2920 15,3725 13,7648 12,4090 11,2578 10,2737 9,4269 8,6938 8,0552 7,4957 7,0027 6,5660 6,1772 5,8294 5,5168 5,2347 4,9789 3,9950 3,3321 2,8568 2,4999 2,0000
31 26,5423 22,9377 20,0004 17,5885 15,5928 13,9291 12,5318 11,3498 10,3428 9,4790 8,7331 8,0850 7,5183 7,0199 6,5791 6,1872 5,8371 5,5227 5,2392 4,9824 3,9960 3,3324 2,8569 2,4999 2,0000
32 27,2696 23,4683 20,3888 17,8736 15,8027 14,0840 12,6466 11,4350 10,4062 9,5264 8,7686 8,1116 7,5383 7,0350 6,5905 6,1959 5,8437 5,5277 5,2430 4,9854 3,9968 3,3326 2,8569 2,4999 2,0000
33 27,9897 23,9886 20,7658 18,1476 16,0025 14,2302 12,7538 11,5139 10,4644 9,5694 8,8005 8,1354 7,5560 7,0482 6,6005 6,2034 5,8493 5,5320 5,2462 4,9878 3,9975 3,3328 2,8570 2,5000 2,0000
34 28,7027 24,4986 21,1318 18,4112 16,1929 14,3681 12,8540 11,5869 10,5178 9,6086 8,8293 8,1566 7,5717 7,0599 6,6091 6,2098 5,8541 5,5356 5,2489 4,9898 3,9980 3,3329 2,8570 2,5000 2,0000
35 29,4086 24,9986 21,4872 18,6646 16,3742 14,4982 12,9477 11,6546 10,5668 9,6442 8,8552 8,1755 7,5856 7,0700 6,6166 6,2153 5,8582 5,5386 5,2512 4,9915 3,9984 3,3330 2,8571 2,5000 2,0000
36 30,1075 25,4888 21,8323 18,9083 16,5469 14,6210 13,0352 11,7172 10,6118 9,6765 8,8786 8,1924 7,5979 7,0790 6,6231 6,2201 5,8617 5,5412 5,2531 4,9929 3,9987 3,3331 2,8571 2,5000 2,0000
40 32,8347 27,3555 23,1148 19,7928 17,1591 15,0463 13,3317 11,9246 10,7574 9,7791 8,9511 8,2438 7,6344 7,1050 6,6418 6,2335 5,8713 5,5482 5,2582 4,9966 3,9995 3,3332 2,8571 2,5000 2,0000
45 36,0945 29,4902 24,5187 20,7200 17,7741 15,4558 13,6055 12,1084 10,8812 9,8628 9,0079 8,2825 7,6609 7,1232 6,6543 6,2421 5,8773 5,5523 5,2611 4,9986 3,9998 3,3333 2,8571 2,5000 2,0000
48 37,9740 30,6731 25,2667 21,1951 18,0772 15,6500 13,7305 12,1891 10,9336 9,8969 9,0302 8,2972 7,6705 7,1296 6,6585 6,2450 5,8792 5,5536 5,2619 4,9992 3,9999 3,3333 2,8571 2,5000 2,0000
50 39,1961 31,4236 25,7298 21,4822 18,2559 15,7619 13,8007 12,2335 10,9617 9,9148 9,0417 8,3045 7,6752 7,1327 6,6605 6,2463 5,8801 5,5541 5,2623 4,9995 3,9999 3,3333 2,8571 2,5000 2,0000

100
Fator de Valor Anual de um Valor Presente ou Fator de Recuperação de Capital (A/P, i, n)
Taxas
n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% 19% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50%
1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600 1,0700 1,0800 1,0900 1,1000 1,1100 1,1200 1,1300 1,1400 1,1500 1,1600 1,1700 1,1800 1,1900 1,2000 1,2500 1,3000 1,3500 1,4000 1,4500 1,5000
2 0,5075 0,5150 0,5226 0,5302 0,5378 0,5454 0,5531 0,5608 0,5685 0,5762 0,5839 0,5917 0,5995 0,6073 0,6151 0,6230 0,6308 0,6387 0,6466 0,6545 0,6944 0,7348 0,7755 0,8167 0,8582 0,9000
3 0,3400 0,3468 0,3535 0,3603 0,3672 0,3741 0,3811 0,3880 0,3951 0,4021 0,4092 0,4163 0,4235 0,4307 0,4380 0,4453 0,4526 0,4599 0,4673 0,4747 0,5123 0,5506 0,5897 0,6294 0,6697 0,7105
4 0,2563 0,2626 0,2690 0,2755 0,2820 0,2886 0,2952 0,3019 0,3087 0,3155 0,3223 0,3292 0,3362 0,3432 0,3503 0,3574 0,3645 0,3717 0,3790 0,3863 0,4234 0,4616 0,5008 0,5408 0,5816 0,6231
5 0,2060 0,2122 0,2184 0,2246 0,2310 0,2374 0,2439 0,2505 0,2571 0,2638 0,2706 0,2774 0,2843 0,2913 0,2983 0,3054 0,3126 0,3198 0,3271 0,3344 0,3718 0,4106 0,4505 0,4914 0,5332 0,5758
6 0,1725 0,1785 0,1846 0,1908 0,1970 0,2034 0,2098 0,2163 0,2229 0,2296 0,2364 0,2432 0,2502 0,2572 0,2642 0,2714 0,2786 0,2859 0,2933 0,3007 0,3388 0,3784 0,4193 0,4613 0,5043 0,5481
7 0,1486 0,1545 0,1605 0,1666 0,1728 0,1791 0,1856 0,1921 0,1987 0,2054 0,2122 0,2191 0,2261 0,2332 0,2404 0,2476 0,2549 0,2624 0,2699 0,2774 0,3163 0,3569 0,3988 0,4419 0,4861 0,5311
8 0,1307 0,1365 0,1425 0,1485 0,1547 0,1610 0,1675 0,1740 0,1807 0,1874 0,1943 0,2013 0,2084 0,2156 0,2229 0,2302 0,2377 0,2452 0,2529 0,2606 0,3004 0,3419 0,3849 0,4291 0,4743 0,5203
9 0,1167 0,1225 0,1284 0,1345 0,1407 0,1470 0,1535 0,1601 0,1668 0,1736 0,1806 0,1877 0,1949 0,2022 0,2096 0,2171 0,2247 0,2324 0,2402 0,2481 0,2888 0,3312 0,3752 0,4203 0,4665 0,5134
10 0,1056 0,1113 0,1172 0,1233 0,1295 0,1359 0,1424 0,1490 0,1558 0,1627 0,1698 0,1770 0,1843 0,1917 0,1993 0,2069 0,2147 0,2225 0,2305 0,2385 0,2801 0,3235 0,3683 0,4143 0,4612 0,5088
11 0,0965 0,1022 0,1081 0,1141 0,1204 0,1268 0,1334 0,1401 0,1469 0,1540 0,1611 0,1684 0,1758 0,1834 0,1911 0,1989 0,2068 0,2148 0,2229 0,2311 0,2735 0,3177 0,3634 0,4101 0,4577 0,5058
12 0,0888 0,0946 0,1005 0,1066 0,1128 0,1193 0,1259 0,1327 0,1397 0,1468 0,1540 0,1614 0,1690 0,1767 0,1845 0,1924 0,2005 0,2086 0,2169 0,2253 0,2684 0,3135 0,3598 0,4072 0,4553 0,5039
13 0,0824 0,0881 0,0940 0,1001 0,1065 0,1130 0,1197 0,1265 0,1336 0,1408 0,1482 0,1557 0,1634 0,1712 0,1791 0,1872 0,1954 0,2037 0,2121 0,2206 0,2645 0,3102 0,3572 0,4051 0,4536 0,5026
14 0,0769 0,0826 0,0885 0,0947 0,1010 0,1076 0,1143 0,1213 0,1284 0,1357 0,1432 0,1509 0,1587 0,1666 0,1747 0,1829 0,1912 0,1997 0,2082 0,2169 0,2615 0,3078 0,3553 0,4036 0,4525 0,5017
15 0,0721 0,0778 0,0838 0,0899 0,0963 0,1030 0,1098 0,1168 0,1241 0,1315 0,1391 0,1468 0,1547 0,1628 0,1710 0,1794 0,1878 0,1964 0,2051 0,2139 0,2591 0,3060 0,3539 0,4026 0,4517 0,5011
16 0,0679 0,0737 0,0796 0,0858 0,0923 0,0990 0,1059 0,1130 0,1203 0,1278 0,1355 0,1434 0,1514 0,1596 0,1679 0,1764 0,1850 0,1937 0,2025 0,2114 0,2572 0,3046 0,3529 0,4018 0,4512 0,5008
17 0,0643 0,0700 0,0760 0,0822 0,0887 0,0954 0,1024 0,1096 0,1170 0,1247 0,1325 0,1405 0,1486 0,1569 0,1654 0,1740 0,1827 0,1915 0,2004 0,2094 0,2558 0,3035 0,3521 0,4013 0,4508 0,5005
18 0,0610 0,0667 0,0727 0,0790 0,0855 0,0924 0,0994 0,1067 0,1142 0,1219 0,1298 0,1379 0,1462 0,1546 0,1632 0,1719 0,1807 0,1896 0,1987 0,2078 0,2546 0,3027 0,3516 0,4009 0,4506 0,5003
19 0,0581 0,0638 0,0698 0,0761 0,0827 0,0896 0,0968 0,1041 0,1117 0,1195 0,1276 0,1358 0,1441 0,1527 0,1613 0,1701 0,1791 0,1881 0,1972 0,2065 0,2537 0,3021 0,3512 0,4007 0,4504 0,5002
20 0,0554 0,0612 0,0672 0,0736 0,0802 0,0872 0,0944 0,1019 0,1095 0,1175 0,1256 0,1339 0,1424 0,1510 0,1598 0,1687 0,1777 0,1868 0,1960 0,2054 0,2529 0,3016 0,3509 0,4005 0,4503 0,5002
21 0,0530 0,0588 0,0649 0,0713 0,0780 0,0850 0,0923 0,0998 0,1076 0,1156 0,1238 0,1322 0,1408 0,1495 0,1584 0,1674 0,1765 0,1857 0,1951 0,2044 0,2523 0,3012 0,3506 0,4003 0,4502 0,5001
22 0,0509 0,0566 0,0627 0,0692 0,0760 0,0830 0,0904 0,0980 0,1059 0,1140 0,1223 0,1308 0,1395 0,1483 0,1573 0,1664 0,1756 0,1848 0,1942 0,2037 0,2519 0,3009 0,3505 0,4002 0,4501 0,5001
23 0,0489 0,0547 0,0608 0,0673 0,0741 0,0813 0,0887 0,0964 0,1044 0,1126 0,1210 0,1296 0,1383 0,1472 0,1563 0,1654 0,1747 0,1841 0,1935 0,2031 0,2515 0,3007 0,3504 0,4002 0,4501 0,5000
24 0,0471 0,0529 0,0590 0,0656 0,0725 0,0797 0,0872 0,0950 0,1030 0,1113 0,1198 0,1285 0,1373 0,1463 0,1554 0,1647 0,1740 0,1835 0,1930 0,2025 0,2512 0,3006 0,3503 0,4001 0,4501 0,5000
25 0,0454 0,0512 0,0574 0,0640 0,0710 0,0782 0,0858 0,0937 0,1018 0,1102 0,1187 0,1275 0,1364 0,1455 0,1547 0,1640 0,1734 0,1829 0,1925 0,2021 0,2509 0,3004 0,3502 0,4001 0,4500 0,5000
26 0,0439 0,0497 0,0559 0,0626 0,0696 0,0769 0,0846 0,0925 0,1007 0,1092 0,1178 0,1267 0,1357 0,1448 0,1541 0,1634 0,1729 0,1825 0,1921 0,2018 0,2508 0,3003 0,3501 0,4001 0,4500 0,5000
27 0,0424 0,0483 0,0546 0,0612 0,0683 0,0757 0,0834 0,0914 0,0997 0,1083 0,1170 0,1259 0,1350 0,1442 0,1535 0,1630 0,1725 0,1821 0,1917 0,2015 0,2506 0,3003 0,3501 0,4000 0,4500 0,5000
28 0,0411 0,0470 0,0533 0,0600 0,0671 0,0746 0,0824 0,0905 0,0989 0,1075 0,1163 0,1252 0,1344 0,1437 0,1531 0,1625 0,1721 0,1818 0,1915 0,2012 0,2505 0,3002 0,3501 0,4000 0,4500 0,5000
29 0,0399 0,0458 0,0521 0,0589 0,0660 0,0736 0,0814 0,0896 0,0981 0,1067 0,1156 0,1247 0,1339 0,1432 0,1527 0,1622 0,1718 0,1815 0,1912 0,2010 0,2504 0,3001 0,3501 0,4000 0,4500 0,5000
30 0,0387 0,0446 0,0510 0,0578 0,0651 0,0726 0,0806 0,0888 0,0973 0,1061 0,1150 0,1241 0,1334 0,1428 0,1523 0,1619 0,1715 0,1813 0,1910 0,2008 0,2503 0,3001 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000
31 0,0377 0,0436 0,0500 0,0569 0,0641 0,0718 0,0798 0,0881 0,0967 0,1055 0,1145 0,1237 0,1330 0,1425 0,1520 0,1616 0,1713 0,1811 0,1909 0,2007 0,2502 0,3001 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000
32 0,0367 0,0426 0,0490 0,0559 0,0633 0,0710 0,0791 0,0875 0,0961 0,1050 0,1140 0,1233 0,1327 0,1421 0,1517 0,1614 0,1711 0,1809 0,1907 0,2006 0,2502 0,3001 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000
33 0,0357 0,0417 0,0482 0,0551 0,0625 0,0703 0,0784 0,0869 0,0956 0,1045 0,1136 0,1229 0,1323 0,1419 0,1515 0,1612 0,1710 0,1808 0,1906 0,2005 0,2502 0,3001 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000
34 0,0348 0,0408 0,0473 0,0543 0,0618 0,0696 0,0778 0,0863 0,0951 0,1041 0,1133 0,1226 0,1321 0,1416 0,1513 0,1610 0,1708 0,1806 0,1905 0,2004 0,2501 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000
35 0,0340 0,0400 0,0465 0,0536 0,0611 0,0690 0,0772 0,0858 0,0946 0,1037 0,1129 0,1223 0,1318 0,1414 0,1511 0,1609 0,1707 0,1806 0,1904 0,2003 0,2501 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000
36 0,0332 0,0392 0,0458 0,0529 0,0604 0,0684 0,0767 0,0853 0,0942 0,1033 0,1126 0,1221 0,1316 0,1413 0,1510 0,1608 0,1706 0,1805 0,1904 0,2003 0,2501 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000
40 0,0305 0,0366 0,0433 0,0505 0,0583 0,0665 0,0750 0,0839 0,0930 0,1023 0,1117 0,1213 0,1310 0,1407 0,1506 0,1604 0,1703 0,1802 0,1902 0,2001 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000
45 0,0277 0,0339 0,0408 0,0483 0,0563 0,0647 0,0735 0,0826 0,0919 0,1014 0,1110 0,1207 0,1305 0,1404 0,1503 0,1602 0,1701 0,1801 0,1901 0,2001 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000
48 0,0263 0,0326 0,0396 0,0472 0,0553 0,0639 0,0728 0,0820 0,0915 0,1010 0,1107 0,1205 0,1304 0,1403 0,1502 0,1601 0,1701 0,1801 0,1900 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000
50 0,0255 0,0318 0,0389 0,0466 0,0548 0,0634 0,0725 0,0817 0,0912 0,1009 0,1106 0,1204 0,1303 0,1402 0,1501 0,1601 0,1701 0,1800 0,1900 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000

101
Fator de Valor Presente de uma Série Gradiente (P/G, i, n)
Taxas
n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50%
1 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
2 0,9803 0,9612 0,9426 0,9246 0,9070 0,8900 0,8734 0,8573 0,8417 0,8264 0,8116 0,7972 0,7831 0,7695 0,7561 0,6944 0,6400 0,5917 0,5487 0,5102 0,4756 0,4444
3 2,9215 2,8458 2,7729 2,7025 2,6347 2,5692 2,5060 2,4450 2,3860 2,3291 2,2740 2,2208 2,1692 2,1194 2,0712 1,8519 1,6640 1,5020 1,3616 1,2391 1,1317 1,0370
4 5,8044 5,6173 5,4383 5,2670 5,1028 4,9455 4,7947 4,6501 4,5113 4,3781 4,2502 4,1273 4,0092 3,8957 3,7864 3,2986 2,8928 2,5524 2,2648 2,0200 1,8103 1,6296
5 9,6103 9,2403 8,8888 8,5547 8,2369 7,9345 7,6467 7,3724 7,1110 6,8618 6,6240 6,3970 6,1802 5,9731 5,7751 4,9061 4,2035 3,6297 3,1568 2,7637 2,4344 2,1564
6 14,3205 13,6801 13,0762 12,5062 11,9680 11,4594 10,9784 10,5233 10,0924 9,6842 9,2972 8,9302 8,5818 8,2511 7,9368 6,5806 5,5142 4,6656 3,9828 3,4278 2,9723 2,5953
7 19,9168 18,9035 17,9547 17,0657 16,2321 15,4497 14,7149 14,0242 13,3746 12,7631 12,1872 11,6443 11,1322 10,6489 10,1924 8,2551 6,7725 5,6218 4,7170 3,9970 3,4176 2,9465
8 26,3812 24,8779 23,4806 22,1806 20,9700 19,8416 18,7889 17,8061 16,8877 16,0287 15,2246 14,4714 13,7653 13,1028 12,4807 9,8831 7,9469 6,4800 5,3515 4,4713 3,7758 3,2196
9 33,6959 31,5720 29,6119 27,8013 26,1268 24,5768 23,1404 21,8081 20,5711 19,4215 18,3520 17,3563 16,4284 15,5629 14,7548 11,4335 9,0207 7,2343 5,8886 4,8585 4,0581 3,4277
10 41,8435 38,9551 36,3088 33,8814 31,6520 29,6023 27,7156 25,9768 24,3728 22,8913 21,5217 20,2541 19,0797 17,9906 16,9795 12,8871 9,9870 7,8872 6,3363 5,1696 4,2772 3,5838
11 50,8067 46,9977 43,5330 40,3772 37,4988 34,8702 32,4665 30,2657 28,2481 26,3963 24,6945 23,1288 21,6867 20,3567 19,1289 14,2330 10,8460 8,4452 6,7047 5,4166 4,4450 3,6994
12 60,5687 55,6712 51,2482 47,2477 43,6241 40,3369 37,3506 34,6339 32,1590 29,9012 27,8388 25,9523 24,2244 22,6399 21,1849 15,4667 11,6020 8,9173 7,0049 5,6106 4,5724 3,7842
13 71,1126 64,9475 59,4196 54,4546 49,9879 45,9629 42,3302 39,0463 36,0731 33,3772 30,9290 28,7024 26,6744 24,8247 23,1352 16,5883 12,2617 9,3135 7,2474 5,7618 4,6682 3,8459
14 82,4221 74,7999 68,0141 61,9618 56,5538 51,7128 47,3718 43,4723 39,9633 36,8005 33,9449 31,3624 29,0232 26,9009 24,9725 17,6008 12,8334 9,6437 7,4421 5,8788 4,7398 3,8904
15 94,4810 85,2021 77,0002 69,7355 63,2880 57,5546 52,4461 47,8857 43,8069 40,1520 36,8709 33,9202 31,2617 28,8623 26,6930 18,5095 13,3260 9,9172 7,5974 5,9688 4,7929 3,9224
16 107,2734 96,1288 86,3477 77,7441 70,1597 63,4592 57,5271 52,2640 47,5849 43,4164 39,6953 36,3670 33,3841 30,7057 28,2960 19,3208 13,7482 10,1426 7,7206 6,0376 4,8322 3,9452
17 120,7834 107,5554 96,0280 85,9581 77,1405 69,4011 62,5923 56,5883 51,2821 46,5819 42,4095 38,6973 35,3876 32,4305 29,7828 20,0419 14,1085 10,3276 7,8180 6,0901 4,8611 3,9614
18 134,9957 119,4581 106,0137 94,3498 84,2043 75,3569 67,6219 60,8426 54,8860 49,6395 45,0074 40,9080 37,2714 34,0380 31,1565 20,6805 14,4147 10,4788 7,8946 6,1299 4,8823 3,9729
19 149,8950 131,8139 116,2788 102,8933 91,3275 81,3062 72,5991 65,0134 58,3868 52,5827 47,4856 42,9979 39,0366 35,5311 32,4213 21,2439 14,6741 10,6019 7,9547 6,1601 4,8978 3,9811
20 165,4664 144,6003 126,7987 111,5647 98,4884 87,2304 77,5091 69,0898 61,7770 55,4069 49,8423 44,9676 40,6854 36,9135 33,5822 21,7395 14,8932 10,7019 8,0017 6,1828 4,9090 3,9868
21 181,6950 157,7959 137,5496 120,3414 105,6673 93,1136 82,3393 73,0629 65,0509 58,1095 52,0771 46,8188 42,2214 38,1901 34,6448 22,1742 15,0777 10,7828 8,0384 6,1998 4,9172 3,9908
22 198,5663 171,3795 148,5094 129,2024 112,8461 98,9412 87,0793 76,9257 68,2048 60,6893 54,1912 48,5543 43,6486 39,3658 35,6150 22,5546 15,2326 10,8482 8,0669 6,2127 4,9231 3,9936
23 216,0660 185,3309 159,6566 138,1284 120,0087 104,7007 91,7201 80,6726 71,2359 63,1462 56,1864 50,1776 44,9718 40,4463 36,4988 22,8867 15,3625 10,9009 8,0890 6,2222 4,9274 3,9955
24 234,1800 199,6305 170,9711 147,1012 127,1402 110,3812 96,2545 84,2997 74,1433 65,4813 58,0656 51,6929 46,1960 41,4371 37,3023 23,1760 15,4711 10,9433 8,1061 6,2294 4,9305 3,9969
25 252,8945 214,2592 182,4336 156,1040 134,2275 115,9732 100,6765 87,8041 76,9265 67,6964 59,8322 53,1046 47,3264 42,3441 38,0314 23,4276 15,5618 10,9773 8,1194 6,2347 4,9327 3,9979
26 272,1957 229,1987 194,0260 165,1212 141,2585 121,4684 104,9814 91,1842 79,5863 69,7940 61,4900 54,4177 48,3685 43,1728 38,6918 23,6460 15,6373 11,0045 8,1296 6,2387 4,9343 3,9985
27 292,0702 244,4311 205,7309 174,1385 148,2226 126,8600 109,1656 94,4390 82,1241 71,7773 63,0433 55,6369 49,3276 43,9289 39,2890 23,8353 15,7002 11,0263 8,1374 6,2416 4,9354 3,9990
28 312,5047 259,9392 217,5320 183,1424 155,1101 132,1420 113,2264 97,5687 84,5419 73,6495 64,4965 56,7674 50,2090 44,6176 39,8283 23,9991 15,7524 11,0437 8,1435 6,2438 4,9362 3,9993
29 333,4863 275,7064 229,4137 192,1206 161,9126 137,3096 117,1622 100,5738 86,8422 75,4146 65,8542 57,8141 51,0179 45,2441 40,3146 24,1406 15,7957 11,0576 8,1481 6,2454 4,9368 3,9995
30 355,0021 291,7164 241,3613 201,0618 168,6226 142,3588 120,9718 103,4558 89,0280 77,0766 67,1210 58,7821 51,7592 45,8132 40,7526 24,2628 15,8316 11,0687 8,1517 6,2466 4,9372 3,9997
31 377,0394 307,9538 253,3609 209,9556 175,2333 147,2864 124,6550 106,2163 91,1024 78,6395 68,3016 59,6761 52,4380 46,3297 41,1466 24,3681 15,8614 11,0775 8,1545 6,2475 4,9375 3,9998
32 399,5858 324,4035 265,3993 218,7924 181,7392 152,0901 128,2120 108,8575 93,0690 80,1078 69,4007 60,5010 53,0586 46,7979 41,5006 24,4588 15,8859 11,0845 8,1565 6,2482 4,9378 3,9998
33 422,6291 341,0508 277,4642 227,5634 188,1351 156,7681 131,6435 111,3819 94,9314 81,4856 70,4228 61,2612 53,6256 47,2218 41,8184 24,5368 15,9062 11,0901 8,1581 6,2487 4,9379 3,9999
34 446,1572 357,8817 289,5437 236,2607 194,4168 161,3192 134,9507 113,7924 96,6935 82,7773 71,3724 61,9612 54,1430 47,6053 42,1033 24,6038 15,9229 11,0945 8,1594 6,2490 4,9380 3,9999
35 470,1583 374,8826 301,6267 244,8768 200,5807 165,7427 138,1353 116,0920 98,3590 83,9872 72,2538 62,6052 54,6148 47,9519 42,3586 24,6614 15,9367 11,0980 8,1603 6,2493 4,9381 3,9999
36 494,6207 392,0405 313,7028 253,4052 206,6237 170,0387 141,1990 118,2839 99,9319 85,1194 73,0712 63,1970 55,0446 48,2649 42,5872 24,7108 15,9481 11,1007 8,1610 6,2495 4,9381 4,0000
40 596,8561 461,9931 361,7499 286,5303 229,5452 185,9568 152,2928 126,0422 105,3762 88,9525 75,7789 65,1159 56,4087 49,2376 43,2830 24,8469 15,9766 11,1071 8,1625 6,2498 4,9382 4,0000
45 733,7037 551,5652 420,6325 325,4028 255,3145 203,1096 163,7559 133,7331 110,5561 92,4544 78,1551 66,7342 57,5148 49,9963 43,8051 24,9316 15,9915 11,1099 8,1631 6,2500 4,9383 4,0000
48 820,1460 605,9657 455,0255 347,2446 269,2467 212,0351 169,4981 137,4428 112,9625 94,0217 79,1799 67,4068 57,9580 50,2894 43,9997 24,9581 15,9954 11,1105 8,1632 6,2500 4,9383 4,0000
50 879,4176 642,3606 477,4803 361,1638 277,9148 217,4574 172,9051 139,5928 114,3251 94,8889 79,7341 67,7624 58,1870 50,4375 44,0958 24,9698 15,9969 11,1108 8,1632 6,2500 4,9383 4,0000

102
Fator de Valor Anual de uma Série Gradiente (A/G, i, n)
Taxas
n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50%
1 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000
2 0,4975 0,4950 0,4926 0,4902 0,4878 0,4854 0,4831 0,4808 0,4785 0,4762 0,4739 0,4717 0,4695 0,4673 0,4651 0,45455 0,44444 0,43478 0,42553 0,41667 0,40816 0,40000
3 0,9934 0,9868 0,9803 0,9739 0,9675 0,9612 0,9549 0,9487 0,9426 0,9366 0,9306 0,9246 0,9187 0,9129 0,9071 0,87912 0,85246 0,82707 0,80288 0,77982 0,75783 0,73684
4 1,4876 1,4752 1,4631 1,4510 1,4391 1,4272 1,4155 1,4040 1,3925 1,3812 1,3700 1,3589 1,3479 1,3370 1,3263 1,27422 1,22493 1,17828 1,13412 1,09234 1,05280 1,01538
5 1,9801 1,9604 1,9409 1,9216 1,9025 1,8836 1,8650 1,8465 1,8282 1,8101 1,7923 1,7746 1,7571 1,7399 1,7228 1,64051 1,56307 1,49031 1,42202 1,35799 1,29796 1,24171
6 2,4710 2,4423 2,4138 2,3857 2,3579 2,3304 2,3032 2,2763 2,2498 2,2236 2,1976 2,1720 2,1468 2,1218 2,0972 1,97883 1,86833 1,76545 1,66983 1,58110 1,49882 1,42256
7 2,9602 2,9208 2,8819 2,8433 2,8052 2,7676 2,7304 2,6937 2,6574 2,6216 2,5863 2,5515 2,5171 2,4832 2,4498 2,29016 2,14243 2,00628 1,88115 1,76635 1,66117 1,56484
8 3,4478 3,3961 3,3450 3,2944 3,2445 3,1952 3,1465 3,0985 3,0512 3,0045 2,9585 2,9131 2,8685 2,8246 2,7813 2,57562 2,38725 2,21559 2,05973 1,91852 1,79074 1,67518
9 3,9337 3,8681 3,8032 3,7391 3,6758 3,6133 3,5517 3,4910 3,4312 3,3724 3,3144 3,2574 3,2014 3,1463 3,0922 2,83642 2,60478 2,39627 2,20937 2,04224 1,89297 1,75964
10 4,4179 4,3367 4,2565 4,1773 4,0991 4,0220 3,9461 3,8713 3,7978 3,7255 3,6544 3,5847 3,5162 3,4490 3,3832 3,07386 2,79710 2,55122 2,33376 2,14190 1,97275 1,82352
11 4,9005 4,8021 4,7049 4,6090 4,5144 4,4213 4,3296 4,2395 4,1510 4,0641 3,9788 3,8953 3,8134 3,7333 3,6549 3,28929 2,96631 2,68328 2,43639 2,22149 2,03442 1,87134
12 5,3815 5,2642 5,1485 5,0343 4,9219 4,8113 4,7025 4,5957 4,4910 4,3884 4,2879 4,1897 4,0936 3,9998 3,9082 3,48410 3,11452 2,79517 2,52048 2,28454 2,08168 1,90679
13 5,8607 5,7231 5,5872 5,4533 5,3215 5,1920 5,0648 4,9402 4,8182 4,6988 4,5822 4,4683 4,3573 4,2491 4,1438 3,65970 3,24374 2,88946 2,58893 2,33412 2,11760 1,93286
14 6,3384 6,1786 6,0210 5,8659 5,7133 5,5635 5,4167 5,2731 5,1326 4,9955 4,8619 4,7317 4,6050 4,4819 4,3624 3,81749 3,35595 2,96850 2,64433 2,37287 2,14471 1,95188
15 6,8143 6,6309 6,4500 6,2721 6,0973 5,9260 5,7583 5,5945 5,4346 5,2789 5,1275 4,9803 4,8375 4,6990 4,5650 3,95884 3,45299 3,03444 2,68890 2,40296 2,16504 1,96567
16 7,2886 7,0799 6,8742 6,6720 6,4736 6,2794 6,0897 5,9046 5,7245 5,5493 5,3794 5,2147 5,0552 4,9011 4,7522 4,08511 3,53660 3,08921 2,72460 2,42620 2,18021 1,97560
17 7,7613 7,5256 7,2936 7,0656 6,8423 6,6240 6,4110 6,2037 6,0024 5,8071 5,6180 5,4353 5,2589 5,0888 4,9251 4,19759 3,60838 3,13451 2,75305 2,44406 2,19146 1,98273
18 8,2323 7,9681 7,7081 7,4530 7,2034 6,9597 6,7225 6,4920 6,2687 6,0526 5,8439 5,6427 5,4491 5,2630 5,0843 4,29752 3,66979 3,17183 2,77563 2,45773 2,19977 1,98781
19 8,7017 8,4073 8,1179 7,8342 7,5569 7,2867 7,0242 6,7697 6,5236 6,2861 6,0574 5,8375 5,6265 5,4243 5,2307 4,38607 3,72218 3,20247 2,79348 2,46815 2,20589 1,99143
20 9,1694 8,8433 8,5229 8,2091 7,9030 7,6051 7,3163 7,0369 6,7674 6,5081 6,2590 6,0202 5,7917 5,5734 5,3651 4,46435 3,76673 3,22754 2,80755 2,47607 2,21037 1,99398
21 9,6354 9,2760 8,9231 8,5779 8,2416 7,9151 7,5990 7,2940 7,0006 6,7189 6,4491 6,1913 5,9454 5,7111 5,4883 4,53339 3,80451 3,24799 2,81859 2,48206 2,21364 1,99579
22 10,0998 9,7055 9,3186 8,9407 8,5730 8,2166 7,8725 7,5412 7,2232 6,9189 6,6283 6,3514 6,0881 5,8381 5,6010 4,59414 3,83646 3,26462 2,82724 2,48658 2,21602 1,99706
23 10,5626 10,1317 9,7093 9,2973 8,8971 8,5099 8,1369 7,7786 7,4357 7,1085 6,7969 6,5010 6,2205 5,9549 5,7040 4,64750 3,86343 3,27812 2,83400 2,48998 2,21775 1,99795
24 11,0237 10,5547 10,0954 9,6479 9,2140 8,7951 8,3923 8,0066 7,6384 7,2881 6,9555 6,6406 6,3431 6,0624 5,7979 4,69426 3,88613 3,28904 2,83926 2,49253 2,21901 1,99857
25 11,4831 10,9745 10,4768 9,9925 9,5238 9,0722 8,6391 8,2254 7,8316 7,4580 7,1045 6,7708 6,4566 6,1610 5,8834 4,73516 3,90519 3,29785 2,84334 2,49444 2,21991 1,99901
26 11,9409 11,3910 10,8535 10,3312 9,8266 9,3414 8,8773 8,4352 8,0156 7,6186 7,2443 6,8921 6,5614 6,2514 5,9612 4,77088 3,92118 3,30496 2,84651 2,49587 2,22056 1,99931
27 12,3971 11,8043 11,2255 10,6640 10,1224 9,6029 9,1072 8,6363 8,1906 7,7704 7,3754 7,0049 6,6582 6,3342 6,0319 4,80201 3,93456 3,31067 2,84897 2,49694 2,22104 1,99952
28 12,8516 12,2145 11,5930 10,9909 10,4114 9,8568 9,3289 8,8289 8,3571 7,9137 7,4982 7,1098 6,7474 6,4100 6,0960 4,82911 3,94574 3,31526 2,85086 2,49773 2,22137 1,99967
29 13,3044 12,6214 11,9558 11,3120 10,6936 10,1032 9,5427 9,0133 8,5154 8,0489 7,6131 7,2071 6,8296 6,4791 6,1541 4,85265 3,95506 3,31894 2,85233 2,49832 2,22162 1,99977
30 13,7557 13,0251 12,3141 11,6274 10,9691 10,3422 9,7487 9,1897 8,6657 8,1762 7,7206 7,2974 6,9052 6,5423 6,2066 4,87308 3,96282 3,32188 2,85345 2,49876 2,22179 1,99984
31 14,2052 13,4257 12,6678 11,9371 11,2381 10,5740 9,9471 9,3584 8,8083 8,2962 7,8210 7,3811 6,9747 6,5998 6,2541 4,89079 3,96927 3,32423 2,85432 2,49909 2,22191 1,99989
32 14,6532 13,8230 13,0169 12,2411 11,5005 10,7988 10,1381 9,5197 8,9436 8,4091 7,9147 7,4586 7,0385 6,6522 6,2970 4,90611 3,97463 3,32610 2,85498 2,49933 2,22200 1,99993
33 15,0995 14,2172 13,3616 12,5396 11,7566 11,0166 10,3219 9,6737 9,0718 8,5152 8,0021 7,5302 7,0971 6,6998 6,3357 4,91935 3,97907 3,32760 2,85549 2,49950 2,22207 1,99995
34 15,5441 14,6083 13,7018 12,8324 12,0063 11,2276 10,4987 9,8208 9,1933 8,6149 8,0836 7,5965 7,1507 6,7431 6,3705 4,93079 3,98275 3,32879 2,85588 2,49963 2,22211 1,99996
35 15,9871 14,9961 14,0375 13,1198 12,2498 11,4319 10,6687 9,9611 9,3083 8,7086 8,1594 7,6577 7,1998 6,7824 6,4019 4,94064 3,98580 3,32974 2,85618 2,49973 2,22214 1,99998
36 16,4285 15,3809 14,3688 13,4018 12,4872 11,6298 10,8321 10,0949 9,4171 8,7965 8,2300 7,7141 7,2448 6,8180 6,4301 4,94914 3,98831 3,33049 2,85641 2,49980 2,22217 1,99998
40 18,1776 16,8885 15,6502 14,4765 13,3775 12,3590 11,4233 10,5699 9,7957 9,0962 8,4659 7,8988 7,3888 6,9300 6,5168 4,97277 3,99468 3,33223 2,85690 2,49994 2,22221 2,00000
45 20,3273 18,7034 17,1556 15,7047 14,3644 13,1413 12,0360 11,0447 10,1603 9,3740 8,6763 8,0572 7,5076 7,0188 6,5830 4,98769 3,99804 3,33300 2,85708 2,49999 2,22222 2,00000
48 21,5976 19,7556 18,0089 16,3832 14,8943 13,5485 12,3447 11,2758 10,3317 9,5001 8,7683 8,1241 7,5559 7,0536 6,6080 4,99240 3,99893 3,33317 2,85712 2,50000 2,22222 2,00000
50 22,4363 20,4420 18,5575 16,8122 15,2233 13,7964 12,5287 11,4107 10,4295 9,5704 8,8185 8,1597 7,5811 7,0714 6,6205 4,99451 3,99929 3,33323 2,85713 2,50000 2,22222 2,00000

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