O documento discute a investigação operacional e seu processo de modelagem. A investigação operacional é uma metodologia científica interdisciplinar para abordar problemas usando modelos matemáticos e computadores para apoiar a tomada de decisão. O processo de modelagem envolve sete etapas: 1) definir o problema, 2) observar o sistema, 3) formular um modelo matemático, 4) validar o modelo, 5) escolher uma decisão, 6) apresentar os resultados, e 7) implementar e monitorar continuamente.

1. 1
Investigação Operacional
Autor: Sérgio Alfredo Macore
Email. Sergio.macore@gmail.com
Cell: +258846458829
Mozambique
Sergio Alfredo Macore, 846458829

2. 2
Investigação Operacional
• Metodologia científica para abordar
problemas das ciências, gestão, economia e
engenharia.
• As suas principais características são:
– interdisciplinaridade.
– Manipular modelos matemáticos para apoiar a
tomada de decisão.
– Utilizar o computador.Sergio Alfredo Macore, 846458829

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As 7 etapas do
processo de modelação
1. Definir o problema
2. Observar o sistema e recolher informação
3. Formular um modelo matemático
4. Validar o modelo.
5. Escolher uma decisão com base no modelo
6. Apresentar a análise
7. Implementar e monitorar continuamente
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As 7 etapas do processo de
modelação
Definir o
problema
Observar o
sistema,
recolher
informação
Formular
um
modelo
matemático
Validar
o modelo
Escolher
uma
decisão
alternativa
Apresentar
os
resultados
Implementar
e monitorar
continuamente
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1. Definir o problema
• Identificar:
– o agente de decisão (quem exerce controle)
– os seus objectivos (e.g. minimizar custos)
– as decisões alternativas com que são confrontados (i.e.,
as variáveis controláveis)
– os parâmetros que, não sendo controláveis, influenciam
o resultado das decisões (as variáveis incontroláveis).
• Discutir:
– o tempo disponível para o estudo
– o involvimento do agente de decisão (e organização) no
estudo Sergio Alfredo Macore, 846458829

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2. Observar o sistema e
recolher informação
• Estabelecer o diagnóstico inicial:
– observar e analisar a forma como o sistema real opera:
– recolher informação
– conceber um sistema idealizado.
• Elaboração de um relatório que:
– estrutura o conhecimento que se adquiriu do sistema
– co-responsabiliza os elementos da organização
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3. Formular um modelo
matemático
• Objectivo:
– Reproduzir as relações entre as componentes do
problema (objectivo, variáveis de decisão, variáveis
incontroláveis, restrições).
• Passos essenciais:
– Identificar a estrutura de relações causa-efeito.
– Quantificar essas relações de forma determinística ou
probabilística.
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3.1 Identificar as relações causa-efeito
• Identificação de todas as relações entre
variáveis, controláveis ou não, e a medida
(ou medidas) de utilidade.
“A → B” significa “A contribui para a definição de B”
• Identificação de variáveis auxiliares que
agregam informação de diversas variáveis.
• Obriga a formular as primeiras hipóteses no
sentido da simplificação do problema
através da inclusão de apenas as relações
relevantes.
3. Formular um modelo matemático
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3.1 Identificar as relações causa-efeito
3. Formular um modelo matemático
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3.2 Quantificar as relações causa-efeito
• Três abordagens distintas:
– método dedutivo
– método de simulação
– método de inferência estatística
3. Formular um modelo matemático
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Método dedutivo (primeiro exemplo)
3. Formular um modelo matemático
3.2 Quantificar as relações causa-efeito
• A unidade de produção de uma empresa pretende fabricar
os produtos A e B.
• Fabricar cada produto envolve quatro operações, com os
seguintes tempos unitários de fabricação (em segundos)
• Operação: Produto A Produto B
Corte de chapa 10 20
Embutidura 15 5
Soldadura 6 3
Pintura 10 8
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Método dedutivo (primeiro exemplo)
3. Formular um modelo matemático
3.2 Quantificar as relações causa-efeito
• As capacidade de produção das diferentes secções fabris
são as seguintes:
• Os lucros unitários por peça produzida e vendida são
Esc. 0.90 (Produto A) Esc. 1.20 (Produto B)
• Admitindo que o mercado absorve toda a produção, como
maximizar o lucro total a operação?
Secção: Capacidade
diária
Corte de chapa 30 000
Embutidura 30 000
Soldadura 20 000
Pintura 40 000
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Método dedutivo (primeiro exemplo)
3. Formular um modelo matemático
3.2 Quantificar as relações causa-efeito
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Método dedutivo (segundo exemplo)
3. Formular um modelo matemático
3.2 Quantificar as relações causa-efeito
• Uma empresa pretende determinar qual a quantidade (Q) a
produzir e a que preço (p) deve vender uma determinada
peça de vestuário durante a estação de Inverno que se
avizinha.
• Obtiveram-se estimativas para a procura (em função do
preço de venda p) e custos unitário de produção (em
função da quantidade produzida Q) - ver próximo slide.
• Se a produção exceder a procura, o valor em excesso fica
reduzido a um preço de saldo.
• O objectivo da empresa é maximizar o lucro associado à
operação.
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Método dedutivo (segundo exemplo)
3. Formular um modelo matemático
3.2 Quantificar as relações causa-efeito
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Método de simulação
3. Formular um modelo matemático
3.2 Quantificar as relações causa-efeito
• Quando não é possível explicitar as relações entre
as componentes do modelo através do método
dedutivo (seja de forma determinística ou
probabilística).
• Quando as relações são de tal forma complexas
que o melhor que analista consegue fazer é imitar
o comportamento do sistema idealizado.
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Método de simulação (exemplo)
3. Formular um modelo matemático
3.2 Quantificar as relações causa-efeito
• Uma empresa possui cinco linhas de produção em paralelo
que funcionam sem interrupção.
• Uma equipa de manutenção repara avarias nas linhas de
produção pela ordem em que ocorrem (FIFO). A equipa
funciona 5 dias por semana, 3 turnos por dia.
• O tempo que decorre entre o início de funcionamento de uma
linha e a avaria seguinte varia de forma imprevisível (ou
aleatória). Da mesma forma, o tempo de reparação é varia de
forma imprevisível. Ver gráficos seguintes.
• Que benefício advém de ter mais equipas de manutenção?Sergio Alfredo Macore, 846458829

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Método de simulação (exemplo)
3. Formular um modelo matemático
3.2 Quantificar as relações causa-efeito
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Método de simulação
3. Formular um modelo matemático
3.2 Quantificar as relações causa-efeito
• Objectivos:
– Reproduzir a sequência de acontecimentos pelos quais o sistema
passa.
– Recolher informação com base na qual se pode medir a eficiência do
sistema.
• Vantagens:
– Possui enorme flexibilidade (“simula-se tudo o que se quiser”)
• Desvantagens:
– Requer grande esforço computacional para estimar o valor esperado
da medida de utilidade face a apenas uma concretização das variáveis
de decisão.
– A busca de melhores decisões é um processo difícil de sistematizar.
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Método de inferência estatística
3. Formular um modelo matemático
3.2 Quantificar as relações causa-efeito
• Quando não é possível explicitar as relações entre
as componentes do modelo através do método
dedutivo (seja de forma determinística ou
probabilística).
• Quando as relações são inúmeras e complexas mas
é possível pela análise estatística de dados inferir
aquelas que melhor reproduzem o comportamento
do sistema sem demasiada complexidade.
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Método de inferência estatística
(exemplo)
3. Formular um modelo matemático
3.2 Quantificar as relações causa-efeito
• Em Janeiro, uma empresa importadora pretende prever o
preço de determinada mercadoria agrícola durante todos os
meses que se seguem até Junho.
• A produção dessa mercadoria concentra-se em larga escala
num dado país que contribui contribui com 55% da
produção mundial e 75% da exportação mundial.
• Em Janeiro de cada ano, o MA desse país publica
previsões da oferta e da procura até ao final do ano
agrícola (Outubro).
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Método de inferência estatística
(exemplo)
3. Formular um modelo matemático
3.2 Quantificar as relações causa-efeito
• Pretende-se construir um modelo descritivo que explique o
preço da mercadoria nos vários meses até Junho para
auxiliar o planeamento da aquisição do referido produto
durante o período de Janeiro a Junho.
• Numerosos e complexos factores (variáveis controláveis e
incontroláveis) contribuem para explicar o preço da
mercadoria. Naturalmente uns são mais relevantes que
outros.
• Deve o analista efectuar hipóteses sobre quais os factores
que mais influenciam o preço da mercadoria.Sergio Alfredo Macore, 846458829

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Método de inferência estatística
(exemplo)
3. Formular um modelo matemático
3.2 Quantificar as relações causa-efeito
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4. Validar o modelo
• Validar o modelo significa averiguar se o
impacto das decisões previsto pelo modelo
corresponde ao impacto real das mesmas
decisões.
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4. Validar o modelo
• Objectivo: detectar insuficiências que são apenas
detectáveis no contexto da definição global do modelo.
• Métodos de validação (sem ser exaustivo):
– análise de sensibilidade
– simulação.
• Nota: o modelo pode ser adequado ou inadequado
conforme os valores das variáveis incontroláveis,
estimados ou conhecidos no momento da decisão.
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4. Validar o modelo
Análise de sensibilidade
• Averiguar como é que a alteração de valores das
variáveis incontroláveis influencia a solução proposta
pelo modelo.
• Averiguar como é que desvios à solução proposta pelo
modelo influencia a utilidade (eficiência) do sistema
representado.
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4. Validar o modelo
Análise de sensibilidade
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4. Validar o modelo
Recurso à simulação
• Retomemos o exemplo da mercearia. Uma forma
de validar o modelo descritivo que se utilizou seria
simular (pode-se simular quase tudo) a entrada de
clientes, os seus tempos de espera e as
desistências.
• Após diversas simulações, registar valores médios
de: comprimento médio da fila, tempo de
espera médio e percentagem de desistentes.
• Os valores obtidos devem ser muito semelhantes
aos obtidos com o modelo.
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5. Escolher uma decisão
com base no modelo
• Determinar os valores das variáveis controláveis
que, satisfazendo as restrições do modelo,
conduzem ao valor máximo da medida de
utilidade ou eficiência.
• Em geral há três formas de busca de soluções
óptimas:
– métodos analíticos
– métodos de optimização
– métodos heurísticos
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5. Escolher uma decisão
Métodos analíticos
• Métodos de Análise Infinitésimal
(diferenciação, procura de máximos e
mínimos, extremos condicionados,etc.)
• Permitem obter uma representação explicita
da solução.
• Leque de aplicações muito restrito.
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5. Escolher uma decisão
Métodos analíticos (exemplo)
• Seja X uma variável aleatória de densidade f(x,θ),
onde θ é um parâmetro desconhecido.
• Se x1, x2,..., xn forem realizações de X então a
verosimelhança da amostra é uma função de θ
definida por
L(θ) = f(x1, θ) f(x2, θ)... f(xn, θ)
• A estimativa da máxima verosimelhança é o valor
θ* que torna máximo o valor de L(θ) ou, de modo
equivalente, o valor máximo de
log L(θ) = log f(x1, θ) + log f(x2, θ)+... + log f(xn, θ)Sergio Alfredo Macore, 846458829

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5. Escolher uma decisão
Métodos analíticos (exemplo)
• A condição necessária de optimalidade impõe
• Por exemplo, se X é uma variável aleatória
com distribuição de Poisson de parâmetro θ
então aquela condição é equivalente a
n
xx
n
n
i
i
n
i
i ∑∑
==
==+− 11
ou0 θ
θ
0
2
2
1
1
=+++
),x(f
),x(f
...
),x(f
),x(f
),x(f
),x(f
n
n
θ
θ
θ
θ
θ
θ θθθ
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5. Escolher uma decisão
Métodos de optimização
• Processo sistemático de gerar aproximações
sucessivas para a solução.
• Garantia de convergência ao fim de um
número finito ou infinito de passos.
• Esforço computacional pode ser demasiado
elevado.
• Normalmente, convergência para a solução do
problema é assegurada apenas quando o
modelo possui uma propriedade adicional -
convexidade. Sergio Alfredo Macore, 846458829

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5. Escolher uma decisão
Métodos de optimização (exemplo)
• Seja f(x) uma função real unidimensional. Pretende-
se o valor x que torna f(x)=0.
• O método de Newton-Raphson consiste no seguinte
processo iterativo
a partir de um ponto inicial x0.
• Sob hipóteses adicionais sobre f o método converge.
,...,,i,
)x´(f
)x(f
xx
i
i
ii 2101 =−=+
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5. Escolher uma decisão
Métodos de optimização (exemplo)
Método de Newton-Raphson aplicado à determinação da
maior raiz positiva de f(x)=x6
-x-1
x0 =1 x0 =2 x0 =1.5
x1 1.2 1.6806 1.300491
x2 1.143576 1.43074 1.181480
x3 1.134909 1.254971 1.139456
x4 1.134724 1.161538 1.134778
x5 1.134724138 1.136353 1.134724146
x6 1.1347305 1.134724138
x7 1.134724139
x8 1.134724138
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36. 36
5. Escolher uma decisão
Métodos de optimização (exemplo)
• O método de Newton-Raphson impõe que f seja
diferenciável.
• Quando f não é diferenciável deve utilizar-se o método
da bissecção, entre outros.
• O facto de o método de Newton-Raphson usar
informação da derivada de f faz com a sua
convergência seja mais rápida.
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37. 37
5. Escolher uma decisão
Métodos heurísticos
• São frequentes os problemas que não podem ser
resolvidos por métodos de optimização.
• Os métodos heurísticos são também métodos
iterativos, mas que se baseiam em regras de “senso
comum”.
• Em geral, não é possível garantir convergência para a
solução do problema mas é possível encontrar uma boa
solução rapidamente.
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38. 38
5. Escolher uma decisão
Métodos heurísticos (exemplo)
Sergio Alfredo Macore, 846458829

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5. Escolher uma decisão
Análise crítica das soluções iniciais
• As soluções propostas pelo modelo podem também
servir de instrumento para validação do modelo.
• Esta análise deve ser conduzida com o agente de
decisão. Dificuldade: há que distinguir entre as
críticas “genuínas” e a tendência natural de rejeição de
soluções inovadoras.
• Deficiências que podem ser detectadas nesta fase:
– deficiente definição de objectivos
– falta de restrições
– representação inadequada das relações entre componentes
do modelo.
Sergio Alfredo Macore, 846458829

40. 40
6. Apresentar os resultados
• Os elementos da organização a quem se destina a
análise devem ser envolvidos desde o início e não
apenas nesta fase.
• A esses elementos deve ser facultado um
atractivo e sistema de apoio à decisão e simples
de manipular que lhes permita averiguar o
comportamento do modelo em diversas
circunstâncias (“what if ...”).
• Preferencialmente, o benefício da adopção do
modelo deve ser demonstrado de forma
prospectiva ou retrospectiva.Sergio Alfredo Macore, 846458829

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7. Implementar e
monitorar continuamente
• Os elementos da organização que vão utilizar o
modelo devem também ser envolvidos desde o
início e não apenas nesta fase.
• O analista é responsável:
– pela implementação do novo sistema até que este se
torne rotina.
– pela monitorização do sistema de forma que o modelo
permaneça válido e eficaz ao longo do tempo.
• Um caso de sucesso, mesmo que de pequena
dimensão, é chave para a análise de outros
problemas. Sergio Alfredo Macore, 846458829