metodos quantitativos

1. Métodos Quantitativos ou Pesquisa Operacional
Cristiano Soares de Aguiar
crsaguiar2@gmail.com
(61) 9.8195-0210

2. Métodos Quantitativos
Definição de MQ ou PO
Dúvida inicial:
• O que se entende por otimização de algum processo?
• Esta “otimização” requer alguma modelagem matemática,
estatística ou algorítmica? Justifique.
“Métodos Quantitativos ou Pesquisa Operacional é
a ciência de tomar decisões mais inteligentes
usando dados, modelos matemáticos e
computação."

3. Métodos Quantitativos
Logística
▪ Quais fatores poderiam influenciar no processo de otimização em Logística?

4. Métodos Quantitativos
Roteamento de Pacotes em Redes de Computadores
▪ Quais fatores poderiam influenciar no processo de otimização de roteamento?

5. Métodos Quantitativos
Otimização no Trânsito
▪ Quais fatores poderiam influenciar no tráfego?

6. Métodos Quantitativos
Escalonamento de Tarefas
▪ Quais fatores poderiam influenciar no processo de escalonamento?

7. Métodos Quantitativos
Custo mínimo (alimentação)
▪ Quais fatores poderiam influenciar no processo de custo mínimo (alimentação)?

8. Métodos Quantitativos
Custo mínimo (obra)
▪ Quais fatores poderiam influenciar no processo de custo mínimo (obra)?

9. Métodos Quantitativos
Temas para pesquisa e apresentação:
Outras
sugestões...
1. Problema de Mix de Produção;
2. Problema da Dieta;
3. Problema da Seleção de Carteira de Investimentos;
4. Problema de Orçamento de Capital;
5. Problemas de Fluxo;
6. Problemas de Designação de Tarefas;
7. Problemas de Escalonamento de Pessoal;
8. Problemas de Locação de Recursos;
9. Problemas de Caminho Mais Curto;
10. Problemas de Produção e Estoque;
11. Inteligência Artificial (Aprendizado de Máquina);

10. Métodos Quantitativos
Pesquisa e Apresentação:
• Grupo de até 3 alunos;
• Bônus: 2 pontos;
• Parte 1: Entrega dos Slides
Data: 25/03/2025;
** Entrega Individual (1 ponto) – entrega em link específico no SAVA;
• Parte 2: Apresentação
Data: 01/04/2025;
** Apresentação em Grupo(1 ponto);

11. Métodos Quantitativos
• Um combinado nosso...
• Resolução das listas de exercício:
• Em casa?
• Em sala de aula?
• Bônus: 2 pontos;
• Grupo de até 3 alunos;
• Entrega Individual;
• Entrega exclusivamente pelo SAVA;
• Data de Entrega da 1ª Lista: ???
• Projetos 01 à 10 (Solução: Manual, Excel e Python).

12. Métodos Quantitativos ou Pesquisa Operacional
- Programação Linear -

13. Métodos Quantitativos
Programação Linear
Definição simples:
“Programação Linear é um método para
encontrar a melhor solução em problemas
que envolvem restrições e um objetivo
a ser otimizado, usando apenas
relações lineares."

14. Métodos Quantitativos
Programação Linear
Elementos da Programação Linear:
• Função Objetivo - o que se deseja maximizar ou minimizar
(lucro, custo, desperdício, eficiência, etc)?
• Restrições – condições que limitam as soluções possíveis.
• Variáveis de Decisão – valores que precisam ser encontrados
para otimizar a função objetivo.

15. Projeto 01
- Maximização de Lucro em Fábrica de Camisas e Calças-

16. Exemplo: Maximização de Lucro em Fábrica de Camisas e Calças
Problema/Função Objetivo - Uma fábrica produz camisas e calças. O objetivo é
maximizar o lucro, dado que há um limite de matéria-prima e tempo de produção.
1. Definição das Variáveis:
x = número de camisas produzidas
y = número de calças produzidas
2. Definição da Função Objetivo:
Cada camisa custa R$ 5
Cada calça custa R$ 3
Queremos maximizar o lucro: L = 5x + 3y
Definição das Restrições:
• Se a fábrica tem 40 horas disponíveis e
cada camisa consome 2h e cada calça 1h: 2x + y <= 40
• Se há um limite de 30 unidades de matéria-prima e
cada camisa usa 1 unidade e cada caça 2 unidades: X + 2y <= 30
• A fábrica não pode produzir número negativo de peças: x >= 0, y >= 0

17. Exemplo: Maximização de Lucro em Fábrica de Camisas e Calças
Solução:
Restrição 1: 2x + y <= 40
Restrição 2: x + 2y <= 30
Encontrar os pontos de interseção:
2x + y = 40
X + 2y = 30
➔ Resolvendo o sistema linear temos: (16.67, 6.67)
Avaliação da Função Objetivo
Nos Pontos da Região Viável:
Candidato à solução:
(16.67, 6.67) → intersecção das restrições
Explicar a
Solução
Ótima!
Seria possível montar
um gráfico e interpretá-lo?

18. Exemplo:
Maximização de Lucro em
Fábrica de Camisas e Calças
Solução Excel:
Passo-a-Passo:
1. Abrir uma Planilha Excel;
2. Montar a Seguinte Estrutura de
Células:
3. Na Célula C6 insira a fórmula: = 5*C3 + 3*C4
4. Na Célula C9 defina a fórmula: = 2*C3 + 1*C4
5. Na Célula C10 defina a fórmula: = 1*C3 + 2*C4
6. Ativação do Solver no Excel
Menu/Caminho: Arquivo → Opções → Suplementos
→ Gerenciar Suplementos do Excel. Ativar o Solver.
7. Configurar o Solver (Aba Dados → Solver)
8. Definir Objetivo: Indicar Célula C6
9. Tipo: Maximização
10. Selecionar Células Variáveis: C3 e C4
11. Restrições:
C3 <= 40
C4 <= 30
12. Método: LP Simplex
13. Resolver.

21. Exemplo:
Maximização de Lucro em
Fábrica de Camisas e Calças
Solução Python:
Kaggle
Colab
Vs Code

23. Projeto 02
- Maximização de Lucro em Fábrica de Pães -

24. Exemplo: Maximização de Lucro em Panificadora
Problema/Função Objetivo - Uma panificadora produz pães e croissants. O objetivo é
maximizar o lucro, levando em conta as restrições de tempo de produção e matéria-
prima.
1. Definição das Variáveis:
A padaria pode produzir dois produtos:
Pães(x) → Lucro de R$ 4 por unidade
Croissants (y) → Lucro de R$ 5 por unidade
2. Definição das Restrições:
• Tempo de Produção: A padaria tem no máximo 8 horas disponíveis por dia;
• Cada pão leva 30 minutos (0.5 horas) para ser produzido;
• Cada croissant leva 1 hora para ser produzido;
• Ingredientes: Há no máximo 16 kg de farinha disponíveis por dia;
• Cada pão usa 0.5 kg de farinha;
• Cada croissant usa 1 kg de farinha.

25. Exemplo: Maximização de Lucro em Panificadora
3. Qual é o Problema/Função Objetivo?
Maximizar o Lucro com a função: L = 4x + 5y
4. Formulação Matemática:
Variáveis de decisão:
• x = Número de pães produzidos
• y = Número de croissants produzidos
Função Objetivo: L = 4x + 5y
Restrições:
• Tempo de produção (limite de 8 horas por dia): 0.5x + 1y ≤ 8
• Uso de farinha (limite de 16 kg por dia): 0.5x + 1y ≤ 16
• Restrição de não negatividade: x ≥ 0 , y ≥ 0

26. Exemplo: Maximização de Lucro em Panificadora
5. Resolução:
Maximizar o Lucro com a função: L = 4x + 5y
6. Formulação Matemática:
Variáveis de decisão:
• x = Número de pães produzidos
• y = Número de croissants produzidos
Função Objetivo: L = 4x + 5y
Restrições:
• Tempo de produção (limite de 8 horas por dia): 0.5x + 1y ≤ 8
• Uso de farinha (limite de 16 kg por dia): 0.5x + 1y ≤ 16
• Restrição de não negatividade: x ≥ 0 , y ≥ 0

27. Exemplo: Maximização de Lucro em Panificadora
Solução:
7. Restrição 1: 0.5x + 1y ≤ 8
8. Restrição 2: 0.5x + 1y ≤ 16
9. Encontrar os pontos de interseção:
0.5x + 1 y = 8
0.5x + 1y = 16
➔Resolver o sistema linear.
Encontrar o par ordenado (x, y)
Avaliação da Função Objetivo
Nos Pontos da Região Viável:
Candidato à solução:
➔ Encontrar máximo valor de L aplicando o par
ordenado (x,y)
Explicar a
Solução Ótima!
Seria possível montar
um gráfico e interpretá-lo?

28. Exemplo: Maximização de
Lucro em Panificadora
Solução Excel:
Passo-a-Passo:
1. Abrir uma Planilha Excel;
2. Montar a Seguinte Estrutura de
Células:
3. Na Célula C6 insira a fórmula: = 4*C3 + 5*C4
4. Na Célula C8 defina a fórmula: = 0.5*C3 + 1*C4
5. Na Célula C10 defina a fórmula: = 0.5*C3 + 1*C4
6. Ativação do Solver no Excel
Menu/Caminho: Arquivo → Opções → Suplementos
→ Gerenciar Suplementos do Excel. Ativar o Solver.
7. Configurar o Solver (Aba Dados → Solver)
8. Definir Objetivo: Indicar Célula C6
9. Tipo: Maximização
10. Selecionar Células Variáveis: C3 e C4
11. Restrições:
C3 <= 40
C4 <= 30
12. Método: LP Simplex
13. Resolver.

29. Exemplo:
Maximização de Lucro em
Panificadora
Solução Python:
Kaggle
Colab
Vs Code

31. Projeto 03
- Maximização de Lucro em Fábrica de Eletrônicos -

32. Exemplo: Otimização de Produção em uma Indústria de Eletrônicos
Problema/Função Objetivo - Uma indústria de eletrônicos fabrica notebooks e tablets.
O objetivo é maximizar o lucro, levando em conta restrições de mão de obra disponível e
componentes eletrônicos.
1. Definição das Variáveis:
A indústria pode produzir dois produtos:
Notebooks (x) → Lucro de R$500 por unidade
Tablets (y) → Lucro de R$300 por unidade
2. Definição das Restrições:
• Mão de obra disponível: A fábrica tem no máximo 1.200 horas disponíveis por mês;
• Cada notebook consome 8 horas para ser produzido;
• Cada tablet consome 4 horas para ser produzido;
• Componentes eletrônicos disponíveis: A empresa possui no máximo 600 unidades de
componentes eletrônicos;
• Cada notebook usa 5 componentes;
• Cada tablet usa 2 componentes.

33. Exemplo: Otimização de Produção em uma Indústria de Eletrônicos
3. Qual é o Problema/Função Objetivo?
Maximizar o Lucro com a função: L = 500x + 300y
4. Formulação Matemática:
Variáveis de decisão:
• x = Número de notebooks produzidos
• y = Número de tablets produzidos
Função Objetivo: L = 500x + 300y
Restrições:
Mão de obra disponível (máximo de 1.200 horas): 8x + 4y ≤ 1200
Uso de componentes eletrônicos (máximo de 600 unidades): 5x + 2y ≤ 600
Restrição de não negatividade: x ≥ 0 , y ≥ 0

34. Exemplo: Maximização de Lucro em Panificadora
Solução:
7. Restrição 1: 8x + 4y ≤ 1200
8. Restrição 2: 5x + 2y ≤ 600
9. Encontrar os pontos de interseção:
8x + 4y = 1200
5x + 2y = 600
➔ Resolver o sistema linear.
Encontrar o par ordenado (x, y)
Avaliação da Função Objetivo
Nos Pontos da Região Viável:
Candidato à solução:
➔ Encontrar máximo valor de L aplicando o par
ordenado (x,y)
Explicar a
Solução Ótima!
Seria possível montar
um gráfico e interpretá-lo?

35. Exemplo: Maximização de
Lucro em Panificadora
Solução Excel:
Passo-a-Passo:
1. Abrir uma Planilha Excel;
2. Montar a Seguinte Estrutura de
Células:
3. Na Célula C6 insira a fórmula: = ??
4. Na Célula C8 defina a fórmula: = ??
5. Na Célula C10 defina a fórmula: = ??
6. Ativação do Solver no Excel
Menu/Caminho: Arquivo → Opções → Suplementos
→ Gerenciar Suplementos do Excel. Ativar o Solver.
7. Configurar o Solver (Aba Dados → Solver)
8. Definir Objetivo: Indicar Célula ??
9. Tipo: ??
10. Selecionar Células Variáveis: ?? e ??
11. Restrições:
??
??
12. Método: ??
13. Resolver.

36. Exemplo:
Maximização de Lucro em
Panificadora
Solução Python:
Kaggle
Colab
Vs Code

38. Projeto 04
- Minimização de Custos em uma Fábrica de Móveis -

39. Exemplo: Minimização de Custos em uma Fábrica de Móveis
Problema/Função Objetivo - Uma fábrica de móveis fabrica mesas e cadeiras. O
objetivo é minimizar os custos de produção, levando em conta o uso de matéria-prima
e tempo de produção.
Definições:
A produção está limitada por dois fatores principais:
Matéria-prima disponível: A fábrica tem 500 kg de madeira disponível.
• Cada mesa consome 30 kg de madeira.
• Cada cadeira consome 10 kg de madeira.
Tempo de produção: A fábrica tem 240 horas disponíveis.
• Cada mesa leva 5 horas para ser produzida.
• Cada cadeira leva 2 horas para ser produzida.

40. Exemplo: Minimização de Custos em uma Fábrica de Móveis
Objetivo: Nosso objetivo é minimizar os custos de produção, garantindo que a fábrica
produza pelo menos 10 mesas e 20 cadeiras.
Formulação Matemática:
Variáveis de decisão:
x = Número de mesas produzidas.
y = Número de cadeiras produzidas.
Função Objetivo (Minimizar o Custo Total de Produção): Z = 200x + 100y

41. Exemplo: Minimização de Custos em uma Fábrica de Móveis
Restrições:
Matéria-prima disponível (máximo de 500 kg de madeira): 30x + 10y ≤ 500
Tempo disponível (máximo de 240 horas de trabalho): 5x + 2y ≤ 240
Quantidade mínima a ser produzida: x ≥ 10 e y ≥ 20
Não negatividade: x ≥ 0 e y ≥ 0

42. Exemplo: Minimização de Custos em uma
Fábrica de Móveis
Solução Excel:

44. Exemplo: Minimização de
Custos em uma Fábrica
de Móveis
Solução Python:
Kaggle
Colab
Vs Code

46. Exemplo: Minimização de Custos em uma
Fábrica de Móveis
Solução Matemática/Manual

47. Projeto 05
- Minimização de Custos em um Restaurante -

48. Exemplo: Minimização de Custos em um Restaurante
Problema/Função Objetivo - Um restaurante está planejando seu menu diário e deseja
minimizar os custos dos ingredientes, garantindo que cada refeição tenha um mínimo
de calorias, proteínas e carboidratos necessários.
Definições:
O restaurante pode escolher entre dois pratos principais:
• Prato A (exemplo: Frango com arroz)
• Prato B (exemplo: Peixe com batata)
Cada prato tem um custo e fornece uma quantidade específica de calorias, proteínas e
carboidratos:

49. Exemplo: Minimização de Custos em um Restaurante
O restaurante quer atender as seguintes necessidades nutricionais diárias:
Pelo menos 2.000 kcal.
Pelo menos 150g de proteínas.
Pelo menos 180g de carboidratos.
Definições:
O restaurante pode escolher entre dois pratos principais:
• Prato A (exemplo: Frango com arroz)
• Prato B (exemplo: Peixe com batata)
O objetivo é minimizar o custo total, garantindo que a combinação dos pratos satisfaça
as necessidades nutricionais.

50. Exemplo: Minimização de Custos em um Restaurante
Formulação Matemática:
Variáveis de decisão:
• x = Número de pratos A servidos.
• y = Número de pratos B servidos.
Função Objetivo (Minimizar o Custo Total dos Ingredientes): Z = 5x + 7y
Restrições Nutricionais:
• Calorias (mínimo 2000 kcal): 400x + 600y ≥ 2000
• Proteínas (mínimo 150g): 30x + 40y ≥ 150
• Carboidratos (mínimo 180g): 50x + 30y ≥ 180
• Não negatividade: x ≥ 0, y ≥ 0

51. Exemplo: Minimização de Custos em um
Restaurante
Solução Excel:

53. Exemplo: Minimização de
Custos em um
Restaurante
Solução Python:
Kaggle
Colab
Vs Code

55. Exemplo: Minimização de Custos em um
Restaurante
Solução Matemática/Manual

56. Projeto 06
- Minimização de Custos na Distribuição de Mercadorias -

57. Exemplo: Minimização de Custos na Distribuição de Mercadorias
Problema/Função Objetivo - Uma empresa de logística precisa transportar
mercadorias entre duas fábricas e três centros de distribuição. O objetivo é minimizar
os custos de transporte, respeitando a capacidade de produção das fábricas e a
demanda dos centros de distribuição.
Definições:
• Fábrica A pode produzir 100 unidades por dia.
• Fábrica B pode produzir 150 unidades por dia.
• Os três centros de distribuição têm a seguinte demanda diária:
• Centro 1 precisa de 80 unidades.
• Centro 2 precisa de 70 unidades.
• Centro 3 precisa de 100 unidades.

58. Exemplo: Minimização de Custos na Distribuição de Mercadorias
O custo de transporte por unidade entre cada fábrica e cada centro de distribuição é
dado pela matriz:
O objetivo é minimizar o custo total de transporte, garantindo que cada centro receba a
quantidade necessária e que nenhuma fábrica produza mais do que sua capacidade.

59. Exemplo: Minimização de Custos na Distribuição de Mercadorias
Formulação Matemática:
Variáveis de decisão:
Função Objetivo (Minimizar o Custo Total):

60. Exemplo: Minimização de Custos na Distribuição de Mercadorias
Restrições:
• Atender a demanda dos centros de distribuição
• Respeitar a capacidade das fábricas
• Não negatividade

61. Exemplo: Minimização de Custos na Distribuição de Mercadorias
Solução Matemática/Manual:
Restrições:
Seria possível resolver este problema matematicamente/manualmente?
Vantagem/desvantagem?

62. Exemplo: Minimização de Custos na
Distribuição de Mercadorias
Solução Excel:

64. Exemplo: Minimização de
Custos na Distribuição de
Mercadorias
Solução Python:
Kaggle
Colab
Vs Code

66. Projeto 07
- Minimização de Custos no Transporte de Produtos -

67. Exemplo: Minimização de Custos no Transporte de Produtos
Os custos de transporte por tonelada para cada cidade são:
A empresa tem um máximo de 500 toneladas para transportar e cada cidade tem uma
demanda específica:

68. Exemplo: Minimização de Custos no Transporte de Produtos
Nosso objetivo é minimizar o custo total do transporte, garantindo que cada cidade
receba pelo menos a sua demanda mínima.

69. Exemplo: Minimização de Custos no Transporte de Produtos
Formulação Matemática:
Variáveis de decisão:
xA = Toneladas enviadas para a Cidade A.
xB = Toneladas enviadas para a Cidade B.
xC = Toneladas enviadas para a Cidade C.
Função Objetivo (Minimizar os Custos de Transporte): Z= 8*xA + 6*xB + 5*xC
Restrições:
Atender a demanda mínima das cidades: xA ≥ 200, xB ≥ 150, xC ≥ 100
Capacidade total de transporte: xA + xB + xC ≤ 500
Não negatividade: xA ≥ 0, xB ≥ 0, xC ≥ 0

70. Exemplo: Minimização de Custos no Transporte de Produtos
Problema/Função Objetivo - Uma empresa de logística precisa transportar
mercadorias de um centro de distribuição para três cidades. O objetivo é minimizar os
custos de transporte, respeitando a capacidade dos caminhões e a demanda de cada
cidade.
Definições:
A empresa pode enviar mercadorias para três cidades diferentes:
Cidade A
Cidade B
Cidade C

71. Exemplo:
Minimização de
Custos no
Transporte de
Produtos

72. Exemplo:
Minimização de
Custos no
Transporte de
Produtos
Abra o Excel e crie a seguinte estrutura:
Configurar as Restrições
A quantidade total transportada deve ser ≤ 500 toneladas
Cada cidade tem um mínimo obrigatório:
Cidade A ≥ 200 toneladas.
Cidade B ≥ 150 toneladas.
Cidade C ≥ 100 toneladas.
Configurar o Solver
Vá até "Dados" > "Solver".
Defina a célula objetivo e Objetivo: Minimizar
Escolha as variáveis de decisão;
Defina as restrições;
Escolha o método: Selecione "Simplex LP".