Pesquisa Operacional

PROGRAMAÇ ÃO LINEAR
Aplicada a Pesquisa Operacional
André Gustavo de A. Santos

SUMÁRIO
1 Programa¸cão Linear e Pesquisa Operacional 5
1.1 Fases da Pesquisa Operacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Modelos Matemáticos em Programa¸cão Linear 7
2.0.1 Generaliza¸cão do Modelo em Programa¸cão Linear . . . . . . . . 9
3 Resolu¸cão Gráfica de Modelos 11
3.1 Representa¸cão Gráfica de Uma Inequa¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.1 Conjuntos Convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.2 Discussão Gráfica de Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.3 O Método Gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.4 Esbo¸co da Fun¸cão Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.5 Interpreta¸cão Gráfica Vértice a Vértice . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Método Simplex 23
4.1 Descri¸cão de um Método para Maximiza¸cão . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1.1 Aplica¸cão do Método Simplex: Problema de Aloca¸cão (Rádios
Standard e Rádios Luxo): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2 Solu¸cões Degeneradas, Ilimitadas e Múltiplas . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2.1 Critérios Para Aplica¸cão do Simplex . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2.2 De Volta Para Modelo Original . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2.3 Método da Fun¸cão Objetivo Auxiliar . . . . . . . . . . . . . . . 41
5 Dualidade 46
5.1 Problema Primal × Problema Dual: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.1.1 Algor´ıtmo de Transforma¸cão do Primal Para Dual . . . . . . . . 50
5.1.2 Análise Econômica do Dual: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3

6 Análise de Sensibilidade 59
6.0.1 Aplica¸cão da Análise de Sensibilidade: Intervalo de Estabilidade
do Recurso I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
do Recurso II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
para os Coeficientes da Fun¸cão Objetivo . . . . . . . . . . . . . 63
6.0.4 Aplica¸cão da Análise de Sensibilidade: Mudan¸ca no Coeficiente
de uma Restri¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7 Transportes 66
7.1 Rela¸cão entre Redes e Transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.2 Sistemas Equilibrados e Não Equilibrados . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.3 Modelo para Transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.4 Solu¸cão Básica Inicial para Transportes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.4.1 Método do Canto Noroeste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8 Pesquisa Operacional no Excel - Solver 73
9 Coletânea de Exerc´ıcios 74
4

CAPÍTULO 1
PROGRAMAÇ ÃO LINEAR E PESQUISA OPERACIONAL
O estudo de Pesquisa Operacional teve seu inicio durante a Segunda Guerra Mundial,
seu desenvolvimento se deu com o intuito principal de decidir sobre a forma mais eficaz
de utiliza¸cão dos recursos limitados durante a guerra. Portanto, o que denominamos de
Pesquisa Operacional é a atividade desenvolvida com o intuito de suprir necessidades
urgentes na aloca¸cão de recursos escassos nas opera¸cões militares.
O primeiro programa formal de estudos da Pesquisa Operacional ocorreu em 1948, no
Massachusetts Institute of Technology nos Estados Unidos, que culminou com um apri-
moramento das técnicas e grandes avan¸cos na resolu¸cão de problemas de programa¸cão
linear. É Nesse cenário, que surge um dos 5 algoritmos mais importantes do mundo,
o Método Simplex, desenvolvido por George Dantzig em 1947, que com o aux´ılio da
Programa¸cão Linear, tem o intuito de resolver problemas diversos relacionados a ali-
menta¸cão, industrias petrol´ıferas e moveleiras, agricultura, manufatura, siderurgia, me-
talurgia e transportes.
5

1.1 Fases da Pesquisa Operacional
Não existe um número de fases espec´ıfico para a resolu¸cão de um problema em Pes-
quisa Operacional, isso depende da complexidade do problema que o decisor tem em
mão, contudo, geralmente, o que se deseja é maximizar ou minimizar alguma coisa,
portanto, o objetivo é chegar na solu¸cão que otimiza o problema, a seguir, serão apre-
sentadas algumas etapas que são essenciais nesse processo, com a certeza de que tal
exposi¸cão dará um norte do caminho a ser seguido pelo leitor.
a) Defini¸cão do Problema: é uma fase que se baseia em três aspectos:
(I) Identifica¸cão das variáveis de decisão
(II) Descri¸cão e defini¸cão dos objetivos, bem como o reconhecimento das limita¸cões
(III) Restri¸cões e exigências do sistema.
A resolu¸cão do problema come¸ca pela defini¸cão dos objetivos que pode ser de: maxi-
miza¸cão ou minimiza¸cão de alguma coisa. O segundo ponto é determinar as variáveis
de decisão que estão relacionadas aos objetivos. Por último, deve ser identificada as
limita¸cões do problema ou exigências do mesmo.
b) Constru¸cão do Modelo: o modelo deve estar atrelado a defini¸cão do problema.
essa é a fase que exige mais aten¸cão do decisor, uma vez que a qualidade de todo o
processo depende desta etapa. Os modelos matemáticos são muito utilizados pelas
empresas em seus processos decisórios.
c) Solu¸cão do Modelo: O objetivo aqui é encontrar uma solu¸cão para o modelo
proposto através de técnicas especificas, tais como:
Análise Gráfica
Método Simplex
Análise de Sensibilidade
Dualidade
Simula¸cão, dentre outras.
d) Valida¸cão do Modelo: Um modelo é válido quando for capaz de predizer um
comportamento aceitável do sistema e uma resposta para a qualidade da decisão a
ser tomada. Um sistema pode ser validado por meio da análise de dados retirados
do próprio sistema, bem como da utiliza¸cão desses dados para verificar se o sistema
reproduziu comportamento parecido.
e) Implementa¸cão do Modelo: Nessa fase, a solu¸cão será apresentada ao admi-
nistrador. A implementa¸cão deve ser acompanhada observando comportamento do
sistema como solu¸cão adotada, algum ajuste pode ser requerido.
6

CAPÍTULO 2
MODELOS MATEMÁTICOS EM PROGRAMAÇ ÃO
LINEAR
Os modelos matemáticos são representa¸cões simplificadas da realidade, por isso, não
traduz fielmente um problema de pesquisa operacional, contudo, proporciona os parâmetros
necessários para o entendimento eficaz dos conceitos mais elementares de PL. No in-
tuito de lan¸car luz aos primeiros passos a serem seguidos no processo de modelagem,
vamos sugerir aqui um roteiro com base nos seguintes procedimentos:
1) Determina¸cão das Variáveis de Decisão: Para identificar as variáveis de de-
cisão recomenda-se passar pelas seguintes etapas:
Identifique qual o objetivo do problema, fa¸ca a pergunta: O que se deseja
maximizar ou minimizar? As respostas são as variáveis de decisão.
Seja preciso com as unidades, tais como: moeda, tempo etc.
Obs. Cuidado para não confundir as variáveis de decisão com os parâmetros do pro-
blema ou com o número de máquinas da fábrica ou mesmo com a quantidade de cada
recurso usado na fabrica¸cão de um produto etc.
2) Determina¸cão das Restri¸cões: Restri¸cões t´ıpicas incluem a existência de li-
mites sobre quantidades de recursos dispon´ıveis (colaboradores, máquinas, or¸camento,
matérias primas, etc.) Cada restri¸cão imposta na descri¸cão do sistema deve ser ex-
pressa como uma rela¸cão linear (igualdade ou desigualdade), montadas com as variáveis
de decisão. É importante enfatizar que todas as expressões mencionadas devem estar
de acordo com a hipótese principal da PL, pois todas as rela¸cões entre variáveis devem
ser lineares. Isso implica diretamente na proporcionalidade das contribui¸cões envolvi-
das, pois a contribui¸cão individual de cada variável é estritamente proporcional a seu
valor, assim como a aditividade dessas contribui¸cões, pois o total de todas as variáveis
é igual a soma das contribui¸cões individuais, independentemente dos valores delas.
7

3) Determina¸cão da Fun¸cão Objetivo: Em rela¸cão é fun¸cão objetivo, a Pro-
grama¸cão Operacional busca encontrar o melhor que pode ser realizado com o que se
tem dispon´ıvel, ou seja, se busca maximizar algo como lucro ou eficiência ou minimi-
zar algo como custo ou tempo. Nos modelos de Programa¸cão Linear existe apenas um
objetivo, mas é poss´ıvel, em outras áreas de P.O estudos com múltiplos objetivos. A
fun¸cão objetivo mede a eficiência do sistema para cada solu¸cão proposta.
Para melhor elucida¸cão do que foi dito, vamos ver um exemplo de um problema de
aloca¸cão em Programa¸cão Linear como motivador:
Aloca¸cão de Recursos: Uma fábrica de rádios possui duas linhas de produ¸cão:
rádios standard e rádios luxo. Com rela¸cão aos rádios standard, sabe-se que sua linha
de produ¸cão comporta um máximo de 24 operários, sendo que um operário produz um
rádio por dia e cada rádio fornece um lucro de R$ 30,00. Para os rádios luxo, a linha
de produ¸cão comporta um máximo de 32 operários sendo que dois operários produzem
um rádio por dia e cada rádio fornece um lucro de R$ 40,00. Além disso, a fábrica
possui um total de 40 operários a serem alocados nas duas linhas de produ¸cão. Dê um
modelo que maximize o lucro diário da fábrica.
Solu¸cão: Definido o problema, vamos construir o modelo seguindo o roteiro sugerido
anteriormente:
a) Determina¸cão das variáveis de decisão: Qual o objetivo do problema? A res-
posta é natural, Maximizar o lucro diário da produ¸cão de rádios standard e luxo. Note
que a resposta fornece as variáveis de decisão:
x1 −→ Quantidade de produ¸cão diária dos rádios standard;
x2 −→ Quantidade de produ¸cão diária dos rádios luxo;
Observe que cada variável de decisão assume valores inteiros e não negativos, pois elas
representam unidades de produtos. Portanto, x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0 .
b) Determina¸cão das restri¸cões: Nessa fase, devemos estabelecer as restri¸cões do
problema. Para isso, voltemos ao texto para responder as perguntas (1) e (2).
(1) Qual a capacidade máxima diária da linha de produ¸cão dos rádios standard? já sa-
bemos que, com rela¸cão aos rádios standard, a linha de produ¸cão comporta um máximo
de 24 operários, sendo que um operário produz um rádio por dia, ou seja:
1 rádio por dia Restri¸cão Recursos Dispon´ıveis (mão de obra)
x1 ≤ 24
(2) Qual a capacidade máxima diária da linha de produ¸cão dos rádios luxo? Com
rela¸cão aos rádios standard, a linha de produ¸cão comporta um máximo de 32 operários,
sendo que são necessários dois operários para produzir um rádio por dia, ou seja:
1 rádio por dia Restri¸cão Recursos Dispon´ıveis (mão de obra)
2x2 ≤ 32
8

O problema ainda informa que a fábrica possui um total de 40 operários a serem
alocados nas duas linhas de produ¸cão. O que nos fornece a seguinte restri¸cão:
Soma das Produ¸cões Restri¸cões Recursos Dispon´ıveis (mão de obra)
x1 + 2x2 ≤ 40
O próximo passo é determinar a soma das contribui¸cões para o lucro da fábrica na
produ¸cão dos dois tipos de rádio.
c) Determina¸cão da Fun¸cão Objetivo: Queremos maximizar o lucro diário da
produ¸cão de rádios standard e luxo. Cada rádio standard contribui com um lucro de
R$ 30,00 e cada rádio luxo contribui com um lucro de R$ 40,00, então L(x1, x2) =
30x1 + 40x2.
Em resumo, o modelo é dado por:
MaxZ = 30x1 + 40x2
sujeito a :



x1 ≤ 24
2x2 ≤ 32
x1 + 2x2 ≤ 40
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
2.0.1 Generaliza¸cão do Modelo em Programa¸cão Linear
Com base no que foi mostrado anteriormente, suponha agora que existem m recursos
usados numa produ¸cão de n produtos com as seguintes caracter´ısticas:
MaxZ(x1, x2, . . . , xn) = c1x1 + c2x2 + · · · + cnxn
Sujeito a :



a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn ≤ b1
a21x1 + a22x22 + · · · + a2nxn ≤ b2
...
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn ≤ bm
com xj ≥ 0
onde
cj é o lucro na venda de uma unidade do produto j = 1, 2, 3, . . . , n
bi é a quantidade de recursos dispon´ıveis i = 1, 2, 3, . . . , m
aij é a quantidade de recursos i usada para produzir uma unidade do produto j
xj é o n´ıvel de produ¸cão do produto j
9

De uma forma geral, podemos escrever o modelo padrão para maximiza¸cão como:
MaxZ =
n
j=1
cjxj
Sujeita a:
n
j=1
aijxj ≤ bi ∀ i = 1, 2, 3, . . . , m sendo xj ≥ 0
com
aij, bi, cj ∈
i e j são números naturais tais que 1 ≥ i ≤ m e 1 ≥ j ≤ n;
xij são chamadas de variáveis de decisão;
Z(x1, x2, . . . , xn) é a fun¸cão objetivo;
n
j=1
aijxj ≤ bi são as restri¸cões técnicas da fun¸cão objetivo;
xj ≥ 0 são chamadas de condi¸cão de não negatividade; m e n são respectiva-
mente, o número de variáveis de decisão e o número de restri¸cões do modelo.
10

CAPÍTULO 3
RESOLUÇ ÃO GRÁFICA DE MODELOS
Como já vimos anteriormente, a programa¸cão linear dispõe de várias técnicas na busca
da solu¸cão ótima, como: Análise Gráfica, Método Simplex, Análise de Sensibilidade,
Dualidade, Simula¸cão, dentre outras. Neste cap´ıtulo, iremos discutir acerca do Método
Gráfico.
Para resolver um problema de Programa¸cão Linear pelo método gráfico, é necessário
que o problema apresente no máximo três variáveis de decisão, caso contrário, não é
poss´ıvel a aplica¸cão do método. Nesse livro, vamos abordar apenas a resolu¸cão gráfica
de modelos que possuem duas variáveis, por entender que, embora muito simplificado,
permite um entendimento sólido dos conceitos que envolvem a Programa¸cão Linear.
O método consiste em representar através da interseçcões das regiões de cada restri¸cão,
bem como as interseçcões das suas retas limites o conjunto de solu¸cões viáveis do
problema num sistema de eixos ortogonais.
Os pontos pertencentes a essa região serão os candidatos a solu¸cão ótima. Chamaremos
a região onde situam-se o conjunto solu¸cão para o problema de região de solu¸cões
viáveis. O conjunto formado pelos pontos (x1, x2) deve satisfazer ao grupo de restri¸cões
do modelo. Seu desempenho será avaliado a partir da análise gráfica da fun¸cão objetivo.
3.1 Representa¸cão Gráfica de Uma Inequa¸cão
Antes de apresentarmos o Método Gráfico para resolu¸cão de modelos em PL, vamos
relembrar como podemos esbo¸car o gráfico de uma inequa¸cão.
Inicialmente, considere a inequa¸cão 4x1 + 2x2 ≥ 16, então;
4x1 + 2x2 = 16 ou 4x1 + 2x2 > 16
11

• O segundo passo é relaxar a inequa¸cão e construir o gráfico de 4x1 + 2x2 = 16, mas
para isto, devemos pôr x2 em fun¸cão de x1.
• Da´ı temos: 4x1 + 2x2 = 16 ⇒ 2x2 = −4x1 + 16, portanto, x2 = −2x1 + 8.
O gráfico então será:
Figura 3.1:
A reta x2 = −2x1 + 8 é o limite da desigualdade. Como a inequa¸cão tem sinal do tipo
≥, tem-se que todos os pontos da reta pertencem ao conjunto de valores que satisfazem
a inequa¸cão, bem como todos os valores situados na região onde 4x1 + 2x2 > 16.
Considere agora o sistema de inequa¸cões lineares:
sujeito a :



x − y ≤ 5
2x + y > 10
. Observe que x − y ≤ 5 ⇒ −y ≤ −x + 5 ⇒ y ≥ x − 5 e
2x + y > 10 ⇒ y < −2x + 10.
O gráfico que representa esse sistema é:
Figura 3.2:
12

A região de solu¸cões viáveis é a interseçcão das regiões delimitadas pelas retas, isto
significa que, qualquer ponto nessa região satisfaz as duas desigualdades simultanea-
mente, além disso, todos os pontos da reta y = x − 5 pertencem a essa região, já os
pontos da reta y = −2x + 10 não fazem parte do conjunto solu¸cão do sistema.
3.1.1 Conjuntos Convexos
Teorema: Um conjunto S é convexo se, e somente se, ele contém todas as combina¸cões
convexas dos seus elementos. Em outras palavras, podemos dizer que, um conjunto
é convexo se dois pontos pertencentes a esse conjunto podem ser ligados por um seg-
mento de reta, desde que todos os pontos do segmento perten¸cam ao conjunto.
Figura 3.3:
Podemos observar que na figura 2.3 (pol´ıgono não convexo) os pontos do segmento
BD não fazem parte do conjunto.
3.1.2 Discussão Gráfica de Modelos
Nem sempre um problema de PL apresenta solu¸cão ótima, então é necessário discutir
os resultados poss´ıveis que podem ocorrer num problema de PL. Para isso, considere-
mos 3 casos;
Caso 1: Na figura (2.4), já sabemos, que a região sombreada é chamada de região de
solu¸cões viáveis, tal região é delimitada por três restri¸cões lineares do modelo. As retas
pontilhadas (paralelas a FO1 e FO2 ) são chamadas de curvas de n´ıvel das fun¸cões ob-
jetivos FO1 e FO2. O ponto P(a, b) está representando o ponto do pol´ıgono convexo
mais distante da origem do sistema de eixos coordenados. As restri¸cões do modelo
estão denotadas por R1, R2 e R3 respectivamente.
13

Figura 3.4:
Observe que à medida que o valor de FO1 aumenta à reta se afasta da origem do
sistema de eixos coordenados, varrendo toda a região de solu¸cões viáveis do problema,
essa varredura se dá com as curvas de n´ıvel da FO1 até encontrar o ponto P(a, b)
(vértice do pol´ıgono). Como o ponto P(a, b) é o ponto mas distante da origem do
plano cartesiano, isso nos faz concluir que P(a, b) é solu¸cão ótima para o problema, ou
seja, é a solu¸cão que maximiza o modelo.
Por outro lado, podemos perceber, que a reta que representa a fun¸cão objetivo FO2
coincide com a restri¸cão R2 (ambas possuem o mesmo coeficiente angular), represen-
tada pelo segmento AP, o que nos permite afirmar que, nesse caso, o problema terá
infinitas solu¸cões, pois entre dois pontos A e B de um segmento AB existe sempre um
ponto C entre A e B.
Quanto a reta s, veja que a mesma não cruza a região de viabilidade, logo não pode
conter solu¸cão ótima.
Caso 2: Solu¸cão degenerada ou problema inviável ocorre no caso em que não existe
nenhum ponto (x1, x2) no plano cartesiano que satisfa¸ca simultaneamente as restri¸cões
i e j, conforme se observa na figura (2.5).
Caso 3: Quando a solu¸cão pode ser melhorada, mas não existem restri¸cões que limi-
tem esta solu¸cão (o método não converge), isto é, o valor da fun¸cão objetivo cresce
indefinidamente na região de viabilidade, chamamos de solu¸cão indefinida.
Observe que, não há como definir a solu¸cão, pois a mesma tende para o infinito.
3.1.3 O Método Gráfico
Agora, vamos a partir do Problema de Aloca¸cão dos rádios standard e luxo, discutido
na se¸cão 1.2 do cap´ıtulo 1 resolver o seu modelo usando o Método Gráfico, isso nos
permitirá entender o processo de produ¸cão dos rádios de forma anal´ıtica. O modelo
obtido no problema foi:
14

MaxZ = 30x + 40y
sujeito a :



x ≤ 24
2y ≤ 32
x + 2y ≤ 40
x ≥ 0, y ≥ 0
a) Tra¸cado da inequa¸cão x ≤ 24: Observe que x = 24 não é fun¸cão, seu gráfico
é uma reta perpendicular ao eixo x (qualquer valor de y terá sempre a mesma abscissa
x = 24). Ponto de interseçcão no eixo das abscissas é (24, 0).
Figura 3.7:
A reta x = 24 indica o limite da produ¸cão diária de rádios standard. Já x ≤ 24 indica
a região delimitada pela produ¸cão de rádios standard.
b) Tra¸cado da inequa¸cão y ≤ 16: A reta y = 16 indica o limite de produ¸cão
diária de rádios luxo e y < 16 a região delimitada dessa produ¸cão.
Nesse caso, temos o oposto da situa¸cão anterior, y = 16 é uma fun¸cão denominada
fun¸cão constante, todos os pontos da sua abscissa estão associados ao mesmo valor
16

y = 16, seu gráfico é uma reta horizontal.
c) Tra¸cado da inequa¸cão x + 2y ≤ 40 : Para que essa reta seja tra¸cada, basta que
se tenham dois pontos sobre o eixos coordenados, pela lógica temos que se x + 2y ≤ 40
então x + 2y < 40 ou x + 2y = 40 . Tomemos a fun¸cão afim x + 2y = 40. Tem-se então
que para y = 0 a raiz da fun¸cão é x = 40, x = 0 temos y = 20, logo, os dois pontos
pelo qual a reta passa são (40, 0) e (0, 20), o que nos dá a reta:
Cada par de pontos da reta x + 2y = 40 representa o uso máximo do limite de 40
funcionários na produ¸cão dos rádios standard e luxo.
Pondo todos os gráficos no mesmo plano cartesiano tem-se:
observe que as interseçcões de todas as regiões das restri¸cões nos dá o conjunto de todas
as solu¸cões que são viáveis para o modelo, isto é, tomando qualquer ponto dentro da
região de viabilidade, o ponto irá satisfazer o modelo, pois de acordo com a discussão
da solu¸cão gráfica a solu¸cão ótima está num dos vértices:A(0, 0), B(0, 16), C(8, 16),
D(24, 8), E(40, 0). Dessa forma, temos o seguinte gráfico:
18

Figura 3.11:
3.1.4 Esbo¸co da Fun¸cão Objetivo
A fun¸cão objetivo está escrita na forma da equa¸cão geral da reta, isto é, z = c1x + c2y.
Para esbo¸carmos o gráfico da fun¸cão objetivo, devemos escrevê-la sob a forma reduzida
da reta, ou seja, y = −
c1
c2
x +
z
c2
com c2 = 0.
Assim, utilizaremos o coeficiente angular da reta, que representará uma fam´ılia de re-
tas (curvas de n´ıvel) com mesma dire¸cão.
Consideremos, como exemplo, a fun¸cão objetivo do problema de aloca¸cão dos rádios
standard e luxo, já modelado anteriormente.
A fun¸cão objetivo é L = 30x + 40y. Sua equa¸cão reduzida da reta é y = −
3
4
x +
L
40
O valor α = −
3
4
representa uma fam´ılia de retas negativamente inclinada.
o esbo¸co da fun¸cão objetivo no gráfico do modelo está representado na Figura 11.
Observe que a tangente do ângulo A ˆGF do triângulo ∆AFG é igual ao coeficiente
angular da reta que representa a fun¸cão objetivo, isto é, tg(α) =
3
4
.
Da geometria, sabemos que tg(α) =
cateto oposto
hipotenusa
, dessa forma: cateto oposto = 3 e
cateto adjacente = 4. Portanto, a reta corta o eixo x em x = 4, o que nos dá (4, 0) e o
eixo y em y = 3, assim temos (0, 3), assim:
20

Figura 3.12:
Fazendo a fun¸cão objetivo passar pelo ponto H(0, 10), tem-se L = 30 · 0 + 40 · 10
o que nos dá L = 400. Como na fun¸cão objetivo o termo independente é
L
40
, então
y = −
3
4
x + 10.
Fazendo a fun¸cão objetivo passar pelo ponto B(0, 16), tem-se L = 30 · 0 + 40 · 16 o
que nos dá L = 640. Então, a fun¸cão objetivo será y = −
3
4
x + 16.
Fazendo a fun¸cão objetivo passar pelo ponto C(8, 16), tem-se L = 30 · 8 + 40 · 16 o
que nos dá L = 880. Dessa forma, a fun¸cão objetivo será y = −
3
4
x + 22.
De forma análoga temos D(24, 8), que nos dá L = 1040 e y = −
3
4
x + 26 e também
E(24, 0), que nos dá L = 720 e y = −
3
4
x + 18.
Podemos então, enunciar o primeiro teorema de Programa¸cão linear:
Teorema: T1. Se um problema de programa¸cão linear tem solu¸cão ótima, então esta
solu¸cão está em, pelo menos, um ponto da região fact´ıvel.
T2. Se a região fact´ıvel de um problema de programa¸cão linear é não vazia, então
existe uma solu¸cão ótima.
T3. A região fact´ıvel de um problema de programa¸cão linear é um conjunto convexo.
T4. A região fact´ıvel de um problema de programa¸cão linear tem um número finito de
pontos extremos (vértices).
21

3.1.5 Interpreta¸cão Gráfica Vértice a Vértice
Com base em todas essas informa¸cões, podemos, por meio gráfico, realizar uma análise
econômica vértice a vértice do poliedro de solu¸cões viáveis, ou mesmo tomar qual-
quer ponto pertencente a essa região para estudar a produ¸cão diária de rádios standard
e luxo. O ponto de partida é o vértice que apresenta os menores valores para as variáveis
de decisão x e y, que no caso é o par (standard, luxo) = (x, y) = (0, 0). A partir desse
ponto, caminha-se no sentido horário até o último vértice da pesquisa, faremos a seguir
a interpreta¸cão do problema proposto:
• Análise do vértice A(0,0): Nesse momento, ainda não há produ¸cão na fábrica
de rádios.
• Análise do vértice B(0,16): A fábrica come¸ca a produ¸cão de rádios luxo com
16 unidades diárias, mas ainda não produz rádios standard nessa fase da produ¸cão. A
fábrica aloca a capacidade máxima de operários na linha de produ¸cão de rádios luxo.
• Análise do vértice C(8,16): Inicia a produ¸cão de rádios standard com 8 unidades
diária e mantém-se a produ¸cão de rádios luxo em 16 unidades diária, para isso, são
necessários 8 operários e 32 operários nas linhas de produ¸cão de rádios standard e luxo
respectivamente.
22

CAPÍTULO 4
MÉTODO SIMPLEX
O Simplex é um método iterativo que percorre os pontos extremos do conjunto de
solu¸cões compat´ıveis do problema. Este método é formado por um grupo de critérios
para escolha de solu¸cões básicas que melhorem o desempenho do modelo. Para ser
iniciado é necessário se conhecer uma solu¸cão compat´ıvel básica (chamada solu¸cão ini-
cial). O Método Simplex então, faz a mudan¸ca do ponto inicial para o ponto extremo
adjacente que melhore o valor da fun¸cão objetivo. O procedimento adotado para o
ponto extremo inicial é repetido para este segundo ponto extremo. O processo fina-
liza quando, estando num ponto extremo, todos os pontos extremos a ele adjacentes,
fornecem valores piores para a fun¸cão objetivo.
4.1 Descri¸cão de um Método para Maximiza¸cão
a) Teste de Otimalidade:
Considere o modelo MaxZ = 0, 2x1 + 2x2 + 4x3
sujeito a :



x1 + 2x2 ≤ 20
3x1 + x3 ≤ 50
x1 + x2 − x3 ≤ 15
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
23

Observe que para Z = 0 temos 0, 2x1 + 2x2 + 4x3 = 0 e que se x1 entra na base
com valor igual a 1, sendo x2 = x3 = 0, Z passa de Z = 0 para Z = 0,2 décimos de
unidade, o que aumenta Z em exatamente 0,2 que é o coeficiente de x1.
Situa¸cão semelhante vai ocorrer com x2 e x3, cada variável contribuirá na propor¸cão
do valor do seu coeficiente. Isso nos leva a crê que se os coeficientes das variáveis forem
negativos o valor de Z pode ser aumentado com a entrada de uma variável na base
proporcionalmente ao valor do seu coeficiente, isto é, escrevendo a fun¸cão objetivo na
forma Z − 0, 2x1 − 2x2 − 4x3 = 0 a solu¸cão testada somente será ótima quando, e
somente quando as variáveis de decisão não apresentarem coeficientes negativos.
b) Variáveis de Folga: Toda inequa¸cão do tipo ax + by ≤ c pode ser completada
até se obter uma equa¸cão linear, bastando apenas acrescentar uma variável f ∈ Z com
f ≥ 0 denominada ”variável de folga”na inequa¸cão obtendo ax + by + f = c. De forma
análoga, toda inequa¸cão do tipo ax + by ≥ c pode ser completada até se obter uma
equa¸cão linear, nesse caso, acrescentamos uma variável f ∈ com f ≥ 0 denominada
”variável de excesso”. Observe que nesse caso, a variável de excesso entra com coefici-
ente negativo resultando em ax + by − f = c.
No caso da maximiza¸cão, as variáveis de folga representam as sobras dessas restri¸cões,
isto é, a diferen¸ca entre o segundo e o primeiro membro. As variáveis de folga fi são
sempre positivas. Cada variável de folga será introduzida em uma restri¸cão técnica do
modelo e irá representar a diferen¸ca entre o segundo membro e o primeiro membro da
restri¸cão na qual ela será introduzida. No exemplo anterior tem-se:
f1 = 20 − (x1 + 2x2) ⇒ x1 + 2x2 + f1 = 20
f2 = 50 − (3x1 + x3) ⇒ 3x1 + x3 + f2 = 50
f3 = 15 − (x1 + x2 − x3) ⇒ x1 + x2 − x3 + f3 = 15
Como no problema proposto o modelo é de maximiza¸cão, então tem-se o seguinte:
Z − 0, 2x1 − 2x2 − 4x3 = 0
sujeito a :



x1 + 2x2 + f1 = 20
3x1 + x3 + f2 = 50
x1 + x2 − x3 + f3 = 15
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, f1 ≥ 0, f2 ≥ 0, f3 ≥ 0
c) Solu¸cão Básica Inicial: A fun¸cão objetivo é escrita com as variáveis não básicas
e as variáveis de folga são denominadas variáveis básicas, assim; x1, x2 e x3 serão cha-
madas de variáveis não básicas e portanto x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0. Já f1, f2 e f3 são
chamadas de variáveis básicas, e além disso formam a solu¸cão básica inicial do
modelo, pois f1 = 20, f2 = 50 e f3 = 15.
24

d) Tabela Simplex: A tabela é constru´ıda com os coeficientes do modelo. as colunas
são indicadas por Ci, as linhas por Li, além disso, bi representa os termos indepen-
dentes. Na primeira linha L1 consta os coeficientes da fun¸cão objetivo, observe que
como não há variáveis de folga na fun¸cão objetivo, então completa-se com zeros, além
disso, tem-se que o termo independente da fun¸cão objetivo é zero. nas demais linhas
L1, L2, L3 e L4 constam os coeficientes das restri¸cões técnicas, os coeficientes das suas
respectivas variáveis de folga e os termos independentes de cada restri¸cão.
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8
Z x1 x2 x3 f1 f2 f3 bi
L1 1 -0,2 -2 -4 0 0 0 0
L2 0 1 2 0 1 0 0 20
L3 0 3 0 1 0 1 0 50
L4 0 1 1 -1 0 0 1 15
e) Cálculo da Nova Solu¸cão Básica:
i) Variável que entra na base: Identifique a variável que entra na base pelo coe-
ficiente negativo de maior valor absoluto da fun¸cão objetivo na tabela. A coluna da
variável que entra na base será a coluna pivô.
ii) Variável que sai: A variável básica que primeiro se anulará com a entrada da
variável não básica é aquela que pertence a a linha pivô. Essa linha é obtida identi-
ficando o menor quociente obtido da divisão dos termos independentes das restri¸cões
tecnicas pelos elementos da coluna pivô.
iii) Elemento pivô: O elemento pivô é obtido pela interse¸cão da coluna pivô (da
variável que entra) com a linha pivô (da variável que sai). Se esse elemento for igual a
1, então o elemento é chamado de elemento pivô, se não, transforme o elemento em 1
utilizando as opera¸cões elementares sobre as linhas de uma matriz.
textbfiv) Obtendo a Solu¸cão Ótima: De acordo com a tabela temos as seguintes in-
forma¸cões:
(I) Variáveis não básicas: x1 = 0, x2 = 0 e x3 = 0
(II) Variáveis básicas: f1 = 20, f2 = 50 e f3 = 15
(III) Z = 0
Inicialmente, devemos identificar a variável que entra e a variável básica que sai da
base. Consequentemente iremos determinar a coluna e a a linha pivô, respectivamente.
Já sabemos que para determinar a variável que entra na base devemos identificar o
coeficiente negativo de maior valor absoluto da fun¸cão objetivo. no caso temos −4x3,
pois | − 4| = 4. Dessa forma, tem-se que a variável que entra na base é x3 e a coluna
pivô é C4. Agora, devemos determinar a primeira variável básica que se anula com a
entrada de x3.
25

Para isso, identifique o menor quociente obtido da divisão dos termos independen-
tes bi pelos elementos da coluna pivô, exceto claro, zero e números negativos.
No caso em comento temos:
50
1
= 50. Logo, a linha pivô é L3 e o elemento pivô é 1.
O próximo passo é construir uma matriz a partir da tabela e transformar os elementos
da coluna pivô em zero. Esse procedimento fará a variável x3 se tornar variável básica
e consequentemente transformará a variável f2 em variável não básica, isto é, f2 = 0.






1 −1/5 −2 −4 0 0 0 0
0 1 2 0 1 0 0 20
0 3 0 1 0 1 0 50
0 1 1 −1 0 0 1 15






L1 −→ L1 + 4L3
L4 −→ L4 + L3






1 59/5 −2 0 0 4 0 200
0 1 2 0 1 0 0 20
0 3 0 1 0 1 0 50
0 4 1 0 0 1 1 65






Que nos dá a nova solu¸cão básica
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8
L1 1 11,8 -2 0 0 4 0 200
L2 0 1 2 0 1 0 0 20
L3 0 3 0 1 0 1 0 50
L4 0 4 1 0 0 1 1 65
(I) Variáveis não básicas: x1 = 0, x2 = 0 e f2 = 0
(II) Variáveis básicas: f1 = 20, x3 = 50 e f3 = 65
(III) Z = 200
Z= 200 é uma solu¸cão melhor do que Z = 0, contudo, como a fun¸cão objetivo ainda
possui coeficiente negativo na variável x2, isso indica que Z = 200 ainda não é a solu¸cão
ótima, dessa forma, devemos repetir todo processo inicial.
Variável que entra na base: x2, pois | − 2| = 2 (coeficiente negativo de maior valor
absoluto) e portanto coluna pivô C3.
Primeira variável básica que se anula com a entrada de x3: Lembre-se que tal
variável é encontrada pelo menor quociente obtido da divisão dos termos independen-
tes bi pelos elementos da coluna pivô, exceto, zero e números negativos.Assim temos:
20
2
= 10 e
65
1
= 65. Logo, a linha pivô será L2, pois o menor coeficiente obtido é 10.
26

O elemento que deve ser transformado no elemento pivô será obtido de C3 L2 que
no caso é 2.
O próximo passo é construir uma matriz a partir da tabela e em primeiro lugar, trans-
formar o elemento pivô em 1. Em seguida, repetiremos o procedimento anterior trans-
formando os elementos da coluna pivô em zero. Nesse novo procedimento a variável x2
se tornará não básica e a variável f1 se tornará variável básica, isto é, f1 = 0.






1 59/5 −2 0 0 4 0 200
0 1 2 0 1 0 0 20
0 3 0 1 0 1 0 50
0 4 1 0 0 1 1 65






L2 −→
1
2
L2






1 59/5 −2 0 0 4 0 200
0 1/2 1 0 1/2 0 0 10
0 3 0 1 0 1 0 50
0 4 1 0 0 1 1 65






L1 −→ L1 + 2L2
L4 −→ L4 − L2






1 64/5 0 0 1 4 0 220
0 1/2 1 0 1/2 0 0 10
0 3 0 1 0 1 0 50
0 7/2 0 0 −1/2 1 1 55






Nos dando assim a nova solu¸cão básica
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8
L1 1 12,8 0 0 1 4 0 220
L2 0 0,5 1 0 0,5 0 0 10
L3 0 3 0 1 0 1 0 50
L4 0 3,5 0 0 -0,5 1 1 15
(I) Variáveis não básicas: x1 = 0, f1 = 0 e f2 = 0
(II) Variáveis básicas: x1 = 10, x3 = 50 e f3 = 55
(III) Z = 220
Observe que a fun¸cão objetivo não possui coeficiente negativo em nenhuma de suas
variáveis, assim, podemos dizer que a solu¸cão ótima para o problema é Z = 220 para
x2 = 10, x3 = 50 e f3 = 55.
27

b)MaxZ = 2x1 + 3x2 + 4x3
sujeito a :



x1 + x2 + x3 ≤ 100
2x1 + x2 ≤ 210
x1 ≤ 80
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
Solu¸cão (b):
i)MaxZ − 2x1 − 3x2 − 4x3 = 0
sujeito a :



x1 + x2 + x3 + f1 = 100
2x1 + x2 + f2 = 210
x1 + f3 = 80
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, f1 ≥ 0, f2 ≥ 0, f3 ≥ 0
1 -2 -3 -4 0 0 0 0
0 1 1 1 1 0 0 100
0 2 1 0 0 1 0 210
0 1 0 0 0 0 1 80
De acordo com a tabela temos as seguintes informa¸cões:
(I) Variáveis não básicas: x1 = 0, x2 = 0 e x3 = 0
(III) Z = 0
Como já sabemos, devemos identificar a variável que entra e a variável básica que sai
da base, isso nos mostrará também a coluna e a linha pivô, respectivamente.
O coeficiente negativo de maior valor absoluto da fun¸cão objetivo nos mostra a variável
que entra na base. no caso temos −4x3, pois | − 4| = 4.
Dessa forma, tem-se que a variável que entra na base é x3 e a coluna pivô é C4
Agora, devemos determinar a primeira variável básica que se anula com a entrada de
x3.
Para isso, vamos identificar o menor quociente obtido da divisão dos termos indepen-
dentes bi pelos elementos da coluna pivô, exceto elementos iguais a zero e números
negativos.
No caso temos apenas
100
1
= 100 o que significa que f1 é a primeira variável básica a
se anular com a entrada de x3. Logo, a linha pivô é L2. Como C4 L2 = 1, então o
elemento pivô é 1.
28

O próximo passo, como já sabemos, é construir uma matriz a partir da tabela e trans-
formar os elementos da coluna pivô em zero. Esse procedimento fará a variável x3 se
tornar não básica e consequentemente transformará a variável f1 em variável básica,
isto é, f2 = 0. 





1 −2 −3 −4 0 0 0 0
0 1 1 1 1 0 0 100
0 2 1 0 0 1 0 210
0 1 0 0 0 0 1 80






L1 −→ L1 + 4L2






1 2 1 0 4 0 0 400
0 1 1 1 1 0 0 100
0 2 1 0 0 1 0 210
0 1 0 0 0 0 1 80






A nova solu¸cão básica é:
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8
L1 1 2 1 0 4 0 0 400
L2 0 1 1 1 1 0 0 100
L3 0 2 1 0 0 1 0 210
L4 0 1 0 0 0 0 1 80
(I) Variáveis não básicas: x1 = 0, x2 = 0, f1 = 0
(II) Variáveis básicas: x3 = 100, f2 = 210 e f3 = 80
(III) Z = 400
A fun¸cão objetivo não possui coeficiente negativo em nenhuma de suas variáveis, pode-
mos dizer então que a solu¸cão ótima para o problema é Z = 400, se x3 = 100, f2 = 210.
29

4.1.1 Aplica¸cão do Método Simplex: Problema de Aloca¸cão
(Rádios Standard e Rádios Luxo):
Recordemos agora o problema de aloca¸cão dos rádios standard e luxo, aplicaremos o
Método Simplex e faremos uma interpreta¸cão econômica quadro a quadro, dessa forma,
vamos mostrar que a solu¸cão dada no Método Gráfico será a mesma solu¸cão apresen-
tada pelo Método Simplex, o problema está descrito abaixo:
Uma fábrica de rádios possui duas linhas de produ¸cão: rádios standard e rádios luxo.
Com rela¸cão aos rádios standard, sabe-se que sua linha de produ¸cão comporta um
máximo de 24 operários, sendo que um operário produz um rádio por dia e cada rádio
fornece um lucro de R$ 30,00. Para os rádios luxo, a linha de produ¸cão comporta
um máximo de 32 operários, sendo que dois operários produzem um rádio por dia e
cada rádio fornece um lucro de R$ 40,00. Além disso, a fábrica possui um total de 40
operários a serem alocados nas duas linhas de produ¸cão.
Já sabemos que o modelo que maximiza o lucro diário da fábrica é:
MaxZ = 30x1 + 40x2
sujeito a :



x1 ≤ 24
2x2 ≤ 32
x1 + 2x2 ≤ 40
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Z − 30x1 − 40x2 = 0
sujeito a :



x1 + f1 = 24
2x2 + f2 = 32
x1 + 2x2 + f3 = 40
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, f1 ≥ 0, f2 ≥ 0, f3 ≥ 0
a) Solu¸cão Básica Inicial:
(I) Variáveis não básicas: x1 = 0, x2 = 0
(III) Z = 0
b) Cálculo da Nova Solu¸cão Básica:
A variável que entra na base é x2, pois | − 40| = 40, além disso, a coluna pivô é C3.
A variável que sai da base é a primeira que se anula com a entrada de x2, no caso f3,
pois:
16
1
= 16 é o menor quociente obtido da divisão dos termos independentes pelos
elementos da coluna pivô (exceto números negativos e zero). A linha pivô nesse caso é
L2 e o elemento Pivô é C3 L2 = 1.
30

Tabela Simplex:
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7
Z x1 x2 f1 f2 f3 bi
L1 1 -30 -40 0 0 0 0
L2 0 1 0 1 0 0 24
L3 0 0 1 0 1 0 16
L4 0 1 2 0 0 1 40






1 −30 −40 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 24
0 0 1 0 1 0 16
0 1 2 0 0 1 40






L3 −→ L3 − 2L2
L1 −→ L1 + 40L2






1 −30 0 0 40 0 640
0 1 0 1 0 0 24
0 0 1 0 1 0 16
0 1 0 0 −2 1 8






A Nova Solu¸cão Básica será:
(I) Variáveis não básicas: x1 = 0, f2 = 0
(II) Variáveis básicas: x2 = 16, f1 = 24 e f3 = 8
(III) Z = 640
Veja que nesse momento não há produ¸cão de rádios standard, pois x1 = 0, contudo,
houve uma produ¸cão de 16 unidades diárias de rádios luxo. Note que Z passou de Z
= 0 para Z = 640. Esta é uma solu¸cão melhor do que a anterior, mas não é a solu¸cão
ótima, pois a primeira linha L1, que corresponde a fun¸cão objetivo, ainda possui um
coeficiente negativo. Isto significa, que todo processo anterior deve ser repetido, na
busca de uma nova solu¸cão básica.
31

a) Cálculo da Nova Solu¸cão Básica
A variável que entra na base é x1, pois | − 30| = 30. A coluna pivô é C2.
A variável que sai da base é a primeira que se anula com a entrada de x1 é f3, pois:
8
1
= 8 é o menor quociente obtido da divisão dos termos independentes pelos elementos
da coluna pivô (exceto números negativos e zero). Note que a linha pivô será então L4.
Elemento Pivô: C2 L4 = 1.






1 −30 0 0 40 0 640
0 1 0 1 0 −2 8
0 0 1 0 1 0 16
0 1 0 0 −2 1 8






L2 −→ L2 − L4
L1 −→ L1 + 30L4






1 0 0 0 −20 30 880
0 0 0 1 2 −1 16
0 0 1 0 1 0 16
0 1 0 0 −2 1 8






b) A Nova Solu¸cão Básica será:
(I) Variáveis não básicas: f2 = 0, f3 = 0
(III) Z = 880
Agora a fábrica está produzindo 8 unidades diárias de rádios standard e mantem a
produ¸cão de 16 unidades diárias de rádios luxo (em rela¸cão a análise anterior). Nesse
momento, estão alocados 8 operários na produ¸cão dos rádios standard e a produ¸cão
de rádios luxo está em sua capacidade máxima (32 operários). f1 = 16 indica a sobra
de 16 unidades de rádios standard. Nesse cenário, Z passou de Z = 640 para Z = 880,
que é uma solu¸cão bem melhor que a anterior, mas não ótima devido a primeira linha
(da fun¸cão objetivo) apresentar ainda coeficiente negativo. Devemos então repetir o
procedimento anterior.
32

c) Cálculo da Nova Solu¸cão Básica: A variável que entra na base é f2, pois
| − 20| = 20 e a coluna pivô é C5.
A variável que sai da base é a primeira que se anula com a entrada de f2 é f1, pois:
16
2
= 8 é o menor quociente obtido da divisão dos termos independentes pelos elemen-
tos da coluna pivô. A linha pivô será L2 e o elemento Pivô C5 L2 = 2. Devemos
então calcular o novo elemento pivô






1 0 0 30 0 −20 880
0 1 0 1 0 −2 8
0 0 0 −1 1 2 16
0 0 1 0 0 1 16






L2 −→
1
2
L2






1 0 0 30 0 −20 880
0 1 0 1 0 −2 8
0 0 0 −1/2 1/2 1 8
0 0 1 0 0 1 16






Após o cálculo do novo elemento pivô, retornamos ao procedimento inicial
a) Cálculo da Nova Solu¸cão Básica






1 0 0 30 0 −20 880
0 1 0 1 0 −2 8
0 0 0 −1/2 1/2 1 8
0 0 1 0 0 1 16






L1 −→ L1 + 20L2
L2 −→ L2 + 2L2
L3 −→ L3 − L2






1 0 0 10 0 20 1040
0 0 0 1/2 1 −1/2 8
0 0 1 −1/2 0 1/2 8
0 1 0 1 0 0 24






33

Agora, a nova solu¸cão básica é:
(I) Variáveis não básicas: f1 = 0, f3 = 0
(III) Z = 1040
Se a fábrica alocar 24 operários para produ¸cão de rádios standard e 16 operários na li-
nha de produ¸cão de rádios luxo haverá uma sobra de 8 unidades de rádios luxo (f2 = 8)
e não haverá sobra de rádios standard, dessa forma, Z passou de Z = 880 para Z =
1040, e esta é a solu¸cão ótima, pois a primeira linha L1, que corresponde a fun¸cão
objetivo, não apresenta nenhum valor negativo.
Análise Econômica: A produ¸cão que maximiza o lucro para R$ 1040,00 fica estabe-
lecida da seguinte forma: devem ser produzidas 24 unidades diárias de rádio standard e
8 unidades de rádios luxo por dia. A quantidade de operários alocados nas duas linhas
de produ¸cão deve ser 24 operários para a linha de produ¸cão de rádios standard e 16
operários para a linha de produ¸cão de rádios luxo, isso garante o máximo de operários
trabalhando nas duas linhas de produ¸cão (40 operários), além disso, não houve sobras
na produ¸cão de rádios standard, o que respalda essa afirma¸cão é o fato de que f1 = 0.
A sobra de 8 unidades na produ¸cão de rádios luxo pode estar relacionada com a quan-
tidade de operários alocados nessa produ¸cão, isto pode ser considerado um fator para
esse limite.
4.2 Solu¸cões Degeneradas, Ilimitadas e Múltiplas
Na utiliza¸cão do Método Simplex podem surgir 4 casos especiais:
• Degenera¸cão;
• Múltiplas Solu¸cões;
• Solu¸cão Ilimitada;
• Solu¸cão Inviável;
a) Problema de Degenera¸cão: No desenvolvimento do Simplex, a linha pivô é a
restri¸cão que apresenta o menor quociente não negativo, na divisão dos termos indepen-
dentes pelos coeficientes positivos da variável que entra (regra da razão m´ınima).Ocorre,
que pode haver resultados iguais na aplica¸cão da regra (empate), e nessas condi¸cões,
a escolha da variável que sai se dá de forma arbitrária, assim, a solu¸cão ótima pode
apresentar uma variável básica com valor nulo (igual a zero). Uma caracter´ıstica im-
portante da degenera¸cão é o fato de que, a sa´ıda de uma variável básica nula provoca
o aparecimento de outra variável básica nula na solu¸cão seguinte, sem altera¸cão do
valor da fun¸cão objetivo. Na prática, a degenera¸cão indica que existe uma restri¸cão
redundante (recursos supérfluos) no modelo, isto é, uma restri¸cão que, se retirada,
34

não influencia no espa¸co das solu¸cões do problema. fazendo uma análise gráfica, tal
restri¸cão não interfere na região de viabilidade, podendo ser retirada sem comprometi-
mento da solu¸cão ótima..
Vamos observar um exemplo:
MaxZ = 3x1 + 9x2
sujeito a :



x1 + 4x2 ≤ 8
x1 + 2x2 ≤ 4
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Z − 3x1 − 9x2 = 0
sujeito a :



x1 + 4x2 + f1 = 8
x1 + 2x2 + f2 = 4
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, f1 ≥ 0, f2 ≥ 0
a) Solu¸cão Básica Inicial (SBI):
(II) Variáveis básicas: f1 = 8, f2 = 4
(III) Z = 0
Variáveis que entra e sai da base:
• Variável que entra na base (VEB): x2, pois -2 é o coeficiente negativo de maior valor
absoluto.
• Variável que sai da base (VSB):f1 ou f2, pois há empate no critério da razão m´ınima:
8
4
= 2 e
4
2
= 2
• Elemento Pivô: C3 L2 = 4
C1 C2 C3 C4 C5 C6
Z x1 x2 f1 f2 bi
L1 1 -3 -9 0 0 0
L2 0 1 4 1 0 8
L3 0 1 2 0 1 4
L2 −→
1
4
L2
35

Cálculo da Nova Solu¸cão:



1 −3 −9 0 0 0
0 1/4 1 1/4 0 2
0 1 2 0 1 4



L1 −→ L1 + 9L2
L3 −→ L3 − 2L2



1 −3/4 0 9/4 0 18
0 1/4 1 1/4 0 2
0 1/2 0 −1/2 1 0



L3 −→ 2L3



1 −3/4 0 9/4 0 18
0 1/4 1 1/4 0 2
0 1 0 −1 2 0



L1 −→ L1 + 3
4
L3
L2 −→ L2 − 1
4
L2



1 0 0 3/2 3/2 18
0 0 1 1/2 −1/2 2
0 1 0 −1 2 0



a) Nova Solu¸cão:
(III) Z = 18
36

Veja que x1 = 0 (variável básica), o que indica a solu¸cão degenerada. O fato de o
decisor saber a priore que uma das restri¸cões é redundante (recursos supérfluos), traz
grande vantagem na tomada de decisão. A informa¸cão também pode levar a descober-
tas de distor¸cões e irregularidades na modelagem do problema. Vejamos o problema
graficamente. Observe que a restri¸cão x1 + 4x2 ≤ 8 (reta vermelha) pode ser removida
Figura 4.1:
sem comprometer a região de viabilidade (abaixo da reta verde). Dizemos que o ponto
(0, 2) é superdeterminado.
c) Problema de Múltiplas Solu¸cões: Se no quadro final simplex resultar numa
solu¸cão ótima com coeficiente de uma variável não básica igual a zero, significa que ela
poderá entrar na base sem alterar o valor da fun¸cão objetivo, gerando outra solu¸cão
ótima. Neste caso, teremos solu¸cões múltiplas, pois qualquer combina¸cão linear
dessas duas solu¸cões também será solu¸cão ótima. Observe o exemplo abaixo:
MaxZ = 2x1 + 4x2
sujeito a :



x1 + 2x2 ≤ 5
x1 + x2 ≤ 4
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Z − 2x1 − 4x2 = 0
37

sujeito a :



x1 + 2x2 + f1 = 5
x1 + x2 + f2 = 4
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, f1 ≥ 0, f2 ≥ 0
a) Solu¸cão Básica Inicial (SBI):
(III) Z = 0
Variáveis que entra e sai da base:
• Variável que entra na base (VEB): x2, pois -4 é o coeficiente negativo de maior valor
absoluto.
• Variável que sai da base (VSB):f1
• Elemento Pivô: C3 L2 = 2
C1 C2 C3 C4 C5 C6
Z x1 x2 f1 f2 bi
L1 1 -2 -4 0 0 0
L2 0 1 2 1 0 5
L3 0 1 1 0 1 4
L2 −→
1
2
L2



1 23 −4 0 0 0
0 1/2 1 1/2 0 5/2
0 1 1 0 1 4



L1 −→ L1 + 4L2
L3 −→ L3 − L2



1 0 0 2 0 10
0 1/2 1 1/2 0 5/2
0 1/2 0 −1/2 1 3/2



Observe que o coeficiente de x1 é igual a zero, isso indica que x1 pode entrar na
solu¸cão básica sem alterar o valor da fun¸cão objetivo, contudo, sua entrada provocará
mudan¸cas nos valores das outras variáveis.
Vamos mostrar isto fazendo x1 entrar na base e for¸cando a sa´ıda de f2.
38




1 0 0 2 0 10
0 1/2 1 1/2 0 5/2
0 1/2 0 −1/2 1 3/2



L3 −→ 2L3



1 0 0 2 0 10
0 1/2 1 1/2 0 5/2
0 1 0 −1 2 3



L2 −→ L2 − 1
2
L3



1 0 0 2 0 10
0 0 1 1 −1 1
0 1 0 −1 2 3



a) Nova Solu¸cão:
(III) Z = 10
É importante notar que o Método Simplex fornece apenas os extremos do intervalo das
múltiplas solu¸cões. Na solu¸cão da itera¸cão 1,x1 = 0x2 = 5/2, significa que o ponto onde
a restri¸cão corta o eixo x2 é (0; 2, 5) na itera¸cão 2,x1 = 3, x2 = 1, isto é, o ponto ótimo
(vértice do poliedro convexo) é o ponto (3, 1). Portanto, todas as múltiplas solu¸cões
para o problema se encontram entre esses dois pontos.
39

Observe o gráfico do problema:
Figura 4.2:
b) Problema da Solu¸cão Ilimitada: Quando a variável que entra na base não
possui em sua coluna nenhum coeficiente positivo o problema possui solu¸cão ilimi-
tada. Devemos então, buscar a última solu¸cão básica antes da solu¸cão ter se tornado
ilimitada.
4.2.1 Critérios Para Aplica¸cão do Simplex
Os modelos de programa¸cão linear apresentados até aqui (maximiza¸cão) possuem as
seguintes caracter´ısticas:
• A fun¸cão objetivo deve ser maximizada
• Todas as variáveis de decisão são não negativas
• Existe uma solu¸cão básica inicial
Isso significa que, para aplica¸cão do Método Simplex, todas as caracter´ısticas mencio-
nadas devem ser satisfeitas, dessa forma, podemos perceber, que precisamos de técnicas
espec´ıficas para tratar de problemas que se referem a:
• Minimiza¸cão da Fun¸cão Objetivo
• Variáveis Livres
• Solu¸cão Básica Inicial
40

Para tratar de problemas que envolvem a minimiza¸cão da fun¸cão objetivo, devemos
multiplicá-la por -1, assim, obter-se-á uma fun¸cão equivalente para maximiza¸cão.
Quando as restri¸cões do modelo forem do tipo (≥), devemos acrescentar uma variável
com coeficiente negativo igual a -1 denominada de variável de excesso.
As restri¸cões do tipo (=), não recebem nem variáveis de folga nem variáveis de ex-
cesso.
Se houver variável livre no modelo, significa que a condi¸cão de não negatividade
não está satisfeita, nesses casos, podemos substitu´ı-la pela diferen¸ca de duas outras
variáveis não negativas, pois um número qualquer sempre pode ser escrito como a di-
feren¸ca de dois números positivos.
Sempre que houver restri¸cões do tipo (≥) ou ( = ), devemos acrescentar nessas
restri¸cões o que denominamos de variáveis artificiais ηi, cujo objetivo é for¸car uma
solu¸cão básica inicial para aplica¸cão do Método Simplex.
4.2.2 De Volta Para Modelo Original
Quando inserimos variáveis artificiais no modelo para produzir uma solu¸cão básica ini-
cial, perdemos a originalidade do mesmo com rela¸cão as suas variáveis iniciais, por isso
devemos buscar uma forma de retornar ao modelo original. As técnicas mais utilizadas
para retornar ao modelo original são:
• Método do Big M e
• Método da Fun¸cão Objetivo Auxiliar/ Método das duas Fases
Ambos os métodos têm o mesmo objetivo, eliminar as variáveis auxiliares do mo-
delo mantendo a solu¸cão básica inicial, isto é, transformá-las de variáveis básicas em
variáveis não básicas, em outras palavras, devemos fazer η1 = η2 = η3 = · · · = ηn = 0
e A = 0.
4.2.3 Método da Fun¸cão Objetivo Auxiliar
O Método da Fun¸cão Objetivo Auxiliar é aplicado em problemas de minimiza¸cão, ou
problemas que apresentam restri¸cões do tipo (≥) e (=) no mesmo modelo. O método
consiste na introdu¸cão de variáveis auxiliares ηi nas restri¸cões do modelo estudado,
para que assim, seja poss´ıvel a existência de uma solu¸cão básica inicial, critério
essencial para in´ıcio dos procedimentos da aplica¸cão do Método Simplex. Para melhor
entendermos, vamos descrever os passos para aplica¸cão do método em um exemplo.
Considere o modelo dado por:
MinZ = 3x1 + 2x2
41

sujeito a :



2x1 + x2 ≥ 10
x1 + 5x2 ≥ 15
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Para aplica¸cão do Método Simplex, fa¸camos uma breve discussão:
A fun¸cão objetivo é de minimiza¸cão, então devemos multiplicá-la por -1:
MinZ = 3x1 + 2x2 · (−1) ⇒ −Z = −3x1 − 2x2, e portanto −Z + 3x1 + 2x2 = 0 é a
fun¸cão objetivo equivalente para maximiza¸cão.
As restri¸cões são do tipo (≥), então devemos introduzir as variáveis de excesso fi com
os coeficientes negativos (-1) e fi ≥ 0 em cada restri¸cão. Além disso, ainda pelo fato
de as restri¸cões serem do tipo (≥) devemos também inserir nas restri¸cões técnicas as
variáveis ηi auxiliares em cada uma das restri¸cões. Então:
Min(−Z) + 3x1 + 2x2 = 0
sujeito a :



2x1 + x2 − f1 + η1 = 10
x1 + 5x2 − f2 + η2 = 15
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, f1 ≥ 0, f2 ≥ 0, η1 ≥ 0, η2 ≥ 0
Depois de realizada a discussão, devemos construir a fun¸cão objetivo auxiliar A,
formada pela soma das variáveis auxiliares.
A = η1 + η2 + η3 + · · · + ηn
No modelo em estudo temos então A = η1 + η2.
A fun¸cão A deve ser escrita em termos das variáveis originais para compor o novo
objetivo a ser minimizado.
Assim, o próximo passo é escrever cada uma das variáveis artificiais das restri¸cões
técnicas em fun¸cão das variáveis originais, visando substitu´ı-las na fun¸cão objetivo au-
xiliar A.
• Restri¸cão 1: η1 = −2x1 − x2 + f1 + 10
• Restri¸cão 2: η2 = −x1 − 5x2 + f2 + 15.
Agora, devemos substituir η1 e η2 na fun¸cão objetivo auxiliar A.
A = −2x1 − x2 + f1 + 10 + −x1 − 5x2 + f2 + 15
que nos dá A = −3x1 − 6x2 + f1 + f2 + 25
Lembre-se que MinA = Max(−A) = 3x1 + 6x2 − f1 − f2 − 25.
42

• Fique Atento!: O objetivo inicial não é determinar a solu¸cão ótima, mas eliminar
as variáveis auxiliares, portanto, é necessário ficar atento na escolha da variável que
entra na base, esta deve ser àquela que expulsa uma das variáveis auxiliares do qua-
dro simplex. Isso deverá ocorrer enquanto houver variável auxiliar no modelo, quando
todas forem eliminadas, devemos abandonar o quadro simplex e retornar ao quadro
original com a solu¸cão básica inicial mantida. Ressaltamos que, isso ocorrerá quando:
η1 = η2 = η3 = · · · = ηn = 0 e A = 0
Pode haver casos em que a fun¸cão auxiliar A apresenta solu¸cão ótima quando todas
as variáveis auxiliares já são iguais a zero, neste caso, o problema é imposs´ıvel de
ser resolvido, isto é, não existe solu¸cão. Além disso, é poss´ıvel que as variáveis não
básicas não possuam condi¸cões de expulsar uma variável básica auxiliar, nesse caso,
não haverá solu¸cão básica, e consequentemente, o problema não apresentará solu¸cão.
Agora sim, estamos prontos para aplicar o Método Simplex no problema proposto de
minimiza¸cão. A Tabela Simplex com a fun¸cão objetivo auxiliar A é:
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8
Variáveis Z x1 x2 f1 f2 η1 η2 bi
F.O original -1 3 2 0 0 0 0 0 L1
(R1) 0 2 1 -1 0 1 0 10 L2
(R2) 0 1 5 0 -1 0 1 15 L3
F.O auxiliar -1 -3 -6 1 1 0 0 -25 L4
Vamos escolher qualquer variável que entre na base com o objetivo de eliminar uma
variável auxiliar qualquer, isto é, provocar sua sa´ıda, no problema proposto temos que:
• Se a variável x1 entrar na base primeiro, então sai a variável básica auxiliar η1
• Se a variável x2 entrar na base primeiro, então sai a variável básica auxiliar η2
Sabendo disso, vamos come¸car mostrando uma solu¸cão básica inicial com as variáveis
artificiais:
(I) Variáveis não básicas: x1 = 0, x2 = 0, f1 = 0, f2 = 0
(II) Variáveis básicas: η1 = 10, η2 = 15
(III) Z = 0
Cálculo da Nova Solu¸cão Básica:
• A variável que entra na base é x2, pois | − 6| = 6 e a coluna pivô é C3.
• A variável que sai da base é a primeira que se anula com a entrada de x2, no caso é
η2, pois estamos considerando:
15
5
= 3 é o menor quociente obtido da divisão dos ter-
mos independentes pelos elementos da coluna pivô (exceto números negativos e zero)
e a linha pivô será L3.
43

• Elemento Pivô: C3 L3 = 5 (5 é o elemento que deverá ser transformado no ele-
mento pivô).
Aplicaremos a opera¸cão elementar L3 −→
1
5
L3 na tabela anterior, visando transformar
o elemento pivô em 1, para assim iniciarmos o processo com as matrizes.
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8
Variáveis Z x1 x2 f1 f2 η1 η2 bi
F.O original -1 3 2 0 0 0 0 0 L1
(R1) 0 2 1 -1 0 1 0 10 L2
(R2) 0 1 5 0 -1 0 1 15 L3
F.O auxiliar -1 -3 -6 1 1 0 0 -25 L4
L3 −→
1
5
L3
O que nos dá:






−1 3 2 0 0 0 0 0
0 2 1 −1 0 1 0 10
0 1
5
1 0 −1
5
0 1
5
3
−1 −3 −6 1 1 0 0 −25






L1 −→ L1 − 2L3
L2 −→ L2 − L3
L4 −→ L4 + 6L3






−1 13/5 0 0 2/5 0 −2/5 −6
0 9/5 0 −1 −1/5 1 −1/5 7
0 1/5 1 0 −1/5 0 1/5 3
−1 −9/5 0 1 −1/5 0 6/5 −7






Da última matriz podemos tirar as seguintes informa¸cões:
• Variáveis não básicas: x1 = f1 = f2 = η2 = 0
• Variáveis básicas: x2 = 3, η1 = 7
• Variável que entra na base: x1, coluna pivô C2
• Variável básica que sai da base: η1
• Elemento Pivô: 9
5
• Z = −6 (não convém)
Aplicando a opera¸cão elementar L2 −→
5
9
L2 na linha pivô (na última matriz), temos:






−1 13/5 0 0 2/5 0 −2/5 −6
0 1 0 −5/9 1/9 5/9 −1/9 35/9
0 1/5 1 0 −1/5 0 1/5 3
−1 −9/5 0 1 −1/5 0 6/5 −7






44

L1 −→ L1 − 13
5
L2
L3 −→ L3 − 1
5
L2
L4 −→ L4 + 9
5
L2






−1 0 0 13/9 1/9 −13/9 −1/9 −145/9
0 1 0 −5/9 1/9 5/9 −1/9 35/9
0 0 1 1/9 −2/9 −1/9 2/9 20/9
−1 0 0 0 0 1 1 0






Está matriz nos dá a nova solu¸cão básica.
Agora, temos as seguintes informa¸cões:
• Variáveis não básicas: f1 = f2 = η1 = η2 = 0
• Variáveis básicas: x1 = 3, ¯88, x2 = 2, ¯22
Observe que, agora, a solu¸cão básica está formada com as variáveis originais, pois
η1 = η2 = 0. Assim, podemos abandonar o último quadro e reescrever a nova tabela
Simplex sem as variáveis auxiliares e sem a fun¸cão objetivo auxiliar.
C1 C2 C3 C4 C5 C6
Z x1 x2 f1 f2 bi
L1 -1 0 0 13/9 1/9 -145/9
L2 0 1 0 -5/9 1/9 35/9
L3 0 0 1 1/9 -2/9 20/9
Veja que não há coeficientes negativos na fun¸cão objetivo, isto significa que a solu¸cão
−Z = −
145
9
⇒ Z =
145
9
é a solu¸cão ótima se, e somente se, x1 =
35
9
e x2 =
20
9
.
45

CAPÍTULO 5
DUALIDADE
Um problema que dá origem a maximiza¸cão ou minimiza¸cão em Programa¸cão Linear, é
chamado de Modelo Primal. Já mostramos que tais modelos são escritos da seguinte
forma:
MaxZ =
n
j=1
cjxj
Sujeita a:
n
j=1
aijxj ≤ bi ∀ i = 1, 2, 3, . . . , m sendo xj ≥ 0
ou
MinZ =
n
j=1
cjxj
Sujeita a:
n
j=1
aijxj ≥ bi ∀ i = 1, 2, 3, . . . , m sendo xj ≥ 0
Para todo modelo primal, tem-se associado um outro modelo denominado de Mo-
delo Dual. O modelo dual é subsequente do modelo primal, isto é, se o modelo
primal é de maximiza¸cão ou minimiza¸cão, então o modelo dual será de minimiza¸cão
ou maximiza¸cão.
46

O modelo dual associado ao primal será escrito como:
MinW =
m
i=1
biyi
Sujeita a:
m
i=1
aijyi ≥ cj ∀ j = 1, 2, 3, . . . , m sendo yi ≥ 0
ou
MaxW =
m
i=1
biyi
Sujeita a:
m
i=1
aijyi ≤ cj ∀ j = 1, 2, 3, . . . , m sendo yi ≥ 0
Analisando os modelos primal e dual, pode-se concluir que:
• Os termos independentes das restri¸cões do primal, são os coeficientes da fun¸cão ob-
jetivo do dual;
• Os coeficientes da fun¸cão objetivo do primal, são os termos independentes do dual;
• O número de variáveis do primal, corresponde ao número de restri¸cões do dual. Isto
é, o dual tem tantas variáveis quantas restri¸cões há no primal;
• Na transforma¸cão do primal para o dual, o dual perde uma variável existente no
primal;
• Os resultados do primal e do dual são iguais;
• O dual do problema dual resulta no primal;
• O dual será indicado no quadro Simplex pelos coeficientes das variáveis de folga
(ou excesso) na linha da fun¸cão objetivo da situa¸cão final, e irá representar os custos
internos que vamos denominar de pre¸cos sombra.
5.1 Problema Primal × Problema Dual:
Dado um problema de programa¸cão Linear do tipo MaxZ =
n
j=1
cjxj. Na forma ma-
tricial temos;
MaxZ = CX
Sujeita a: AX ≤ B com X ≥ 0.
Então a forma matricial do seu modelo dual será:
MinW = BY
Sujeita a: AT
Y ≥ C com Y ≥ 0.
Veja que, o modelo dual associado ao modelo primal é determinado pela transposta da
matriz dos coeficientes das variáveis yi do modelo dual com sinal ≥. Além disso, os
coeficientes ci do modelo primal, passam a ser os termos independentes do modelo dual.
47

Vejamos um exemplo:
MaxZ = 4x1 + 6x2 + 5x3
sujeito a :



2x1 + 5x2 + 3x3 ≤ 23
x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 19
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
• Representa¸cão Matricial do Primal
Max Z = 4 6 5



x1
x2
x3



Sujeito a:
2 5 3
1 3 4



x1
x2
x3


≤
23
19
Como já sabemos:
• Os termos independentes das restri¸cões do primal, são os coeficientes da fun¸cão ob-
jetivo do dual, isto é:
21 16
·• Os coeficientes da fun¸cão objetivo do primal, correspondem aos termos independentes
do dual, o que nos dá:



4
6
5



• Os termos independentes do primal, agora são os coeficientes da fun¸cão objetivo do
dual;
21 16
• A matriz dos coeficientes das restri¸cões do dual, corresponde à transposta da matriz
do primal, ou seja:



2 1
5 3
3 4



48

• O número de restri¸cões do dual, corresponde ao número de variáveis do primal com
a perda de uma variável, no caso x3.
y1
y2
Então, o modelo dual pode ser escrito:
MinW = 21 16 ·
y1
y2
Sujeito a:



2 1
5 3
3 4



y1
y2
≥



4
6
5



Isto é:
MinW = 23y1 + 19y2
Sujeito a :



2y1 + y2 ≥ 4
5y1 + 3y2 ≥ 6
3y1 + 4y2 ≥ 5
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0
Então temos:
Modelo Primal
MaxZ = 4x1 + 6x2 + 5x3
Sujeito a :



2x1 + 5x2 + 3x3 ≤ 23
x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 19
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
49

Modelo Dual
MinW = 23y1 + 19y2
sujeito a :



2y1 + y2 ≥ 4
5y1 + 3y2 ≥ 6
3y1 + 4y2 ≥ 5
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0
5.1.1 Algor´ıtmo de Transforma¸cão do Primal Para Dual
O algor´ıtmo que será apresentado para transformar um modelo primal em um modelo
dual será denominado de Método Indiano, ele facilitará em muito o processo que envolve
transforma¸cão de problemas primais em problemas duais, para aplica¸cão do algor´ıtmo,
voltemos ao problema anterior, obter o modelo dual correspondente ao modelo primal:
MaxZ = 4x1 + 6x2 + 5x3
Sujeito a :



2x1 + 5x2 + 3x3 ≤ 23
x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 19
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
Construa a matriz ampliada do conjunto de restri¸cões técnicas
A =



2 5 3 23
1 3 4 19
− − − −



Introduza os coeficientes e o termo independente da fun¸cão objetivo na última linha
da matriz.
Note que, se Z = 0 (solu¸cão básica inicial), então 4x1 + 6x2 + 5x3 = 0.
A =



2 5 3 23
1 3 4 19
4 6 5 0



Calcule At
At
=






2 1 4
5 3 6
3 4 5
23 19 0






50

Que corresponde ao modelo dual
MinW = 23y1 + 19y2
sujeito a :



2y1 + y2 ≥ 4
5y1 + 3y2 ≥ 6
3y1 + 4y2 ≥ 5
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0
Vejamos um exemplo:
Uma fábrica de embalagens produz dois tipos de caixas, cereais e sabão em pó. Nas
caixas de cereais são gastos 60dm2
de papelão e 0,20 homem-hora1
e nas caixas de sabão
em pó gastam-se 100dm2
de papelão e 0,25 homem-hora. A empresa pode contar dia-
riamente, com 100m2
de papelão e, atualmente, possui 5 funcionários que trabalham 6
horas por dia. Sabendo-se que a contribui¸cão para o lucro das caixas de cereais e das
caixas de sabão em pó é de R$ 5,00 e R$ 8,00 respectivamente, responda:
a) Qual o modelo que maximiza o lucro da fábrica?
b) Quantas caixas de cereais e de sabão em pó a fábrica deve produzir para obter
o lucro máximo? Qual é esse lucro?
c) Com quais valores cada recurso utilizado deve contribuir para forma¸cão do lucro
na venda de cada caixa? Fa¸ca uma análise econômica?
Solu¸cão (a): Inicialmente, vamos fazer a MODELAGEM. Chamaremos de n´ıveis
de produ¸cão das caixas de cereais e sabão em pó de x1 e x2 respectivamente. Para
produ¸cão diária das caixas de cereais são gastos 60dm2
de papelão e para as caixas
de sabão em pó 100dm2
, como existe uma disponibilidade máxima diária de 100m2
,
tem-se que 60x1 + 100x2 ≤ 10.000 (100m2
−→ 10.000dm2) que é a restri¸cão (R1). A
segunda restri¸cão é composta pelo recurso Homem-hora. Para as caixas de cereal e
sabão em pó necessitam-se de 0,20 e 0,25 homens-hora respectivamente, isso nos leva
a segunda restri¸cão (R2): 0, 20x1 + 0, 25x2 ≤ 30. As contribui¸cões individuais para o
lucro da fábrica são R$ 5,00 para as caixas de cereais e R$ 8,00 para as caixas de sabão
em pó, e portanto, a fun¸cão objetivo é MaxZ = 5x1 + 8x2 = 0. Em resumo, o modelo
pode ser escrito.
1
Unidade convencionada e subjetiva que mede a quantidade de trabalho realizada por uma pessoa
durante uma hora.
51

MODELO PRIMAL
MaxZ = 5x1 + 8x2
Sujeito a :



60x1 + 100x2 ≤ 10.000
20x1 + 25x2 ≤ 3000
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
b) Vamos aplicar o Método Simplex para responder a pergunta: Quantas caixas de
cereais e de sabão em pó a fábrica deve produzir para obter o lucro máximo?
De MaxZ = 5x1 + 8x2 temos Z − 5x1 − 8x2 = 0.
Inserindo as variáveis de folga f1 e f2 nas restri¸cões temos:



60x1 + 100x2 + f1 = 10.000
20x1 + 25x2 + f2 = 3.000
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, f1 ≥ 0, f2 ≥ 0
C1 C2 C3 C4 C5 C6
Z x1 x2 f1 f2 bi
L1 1 -5 -8 0 0 0
L2 0 60 100 1 0 10.000
L3 0 20 25 0 1 3.000
Podemos observar que:
A solu¸cão básica inicial é dada por:
• Variáveis não básicas:



x1 = 0
x2 = 0
• Variáveis básicas:



f1 = 10.000
f2 = 3.000
A variável que entra na base2
é x2 e portanto a coluna pivô é C3.
A variável que sai da base3
é f1 e então a linha pivô é L2.
O elemento pivô é dado por C3 L2 = 100
2
Aquela que possui coeficiente negativo de maior valor absoluto
3
identificada pela divisão dos termos independente com elementos da coluna pivô
52

Dadas todas as informa¸cões necessárias, vamos às itera¸cões que nos mostrará a
nova solu¸cão.
C1 C2 C3 C4 C5 C6
Z x1 x2 f1 f2 bi
L1 1 -5 -8 0 0 0
L2 0 60 100 1 0 10.000
L3 0 20 25 0 1 3.000
L2 −→
1
100
L2



1 −5 −8 0 0 0
0 3/5 1 1/100 0 100
0 20 25 0 1 3.000



L1 −→ L1 + 8L2
L3 −→ L3 − 25L2



1 −1/5 0 8/100 0 800
0 3/5 1 1/100 0 100
0 5 0 −1/4 1 500



Desse ultimo quadro (matriz), podemos notar que a solu¸cão ainda não é ótima4
, dessa
forma, devemos continuar as itera¸cões na busca da solu¸cão ótima, mas antes, vamos
analisar o último quadro:
A solu¸cão básica é:
• Variáveis não básicas:



x1 = 0
f1 = 0
• Variáveis básicas:



x2 = 100
f2 = 500
A variável que entra na base é x1 e a coluna pivô é C2.
A variável que sai da base é f2 e a linha pivô é L3.
O elemento pivô é C2 L3 = 5
Multiplicando toda a linha L3 por
1
5
, isto é L3 −→
1
5
L3 temos:
4
Pois ainda existe coeficiente negativo na fun¸cão objetivo (primeira linha da matriz).
53

Cálculo da nova solu¸cão básica:



1 −1/5 0 8/100 0 800
0 3/5 1 1/100 0 100
0 1 0 −1/20 1/5 100



L1 −→ L1 + 1
5
L3
L2 −→ L2 − 3
5
L3



1 0 0 7/100 1/25 820
0 0 1 3/100 −3/25 40
0 1 0 −1/20 1/5 100



No novo quadro Simplex podemos ver que para a fábrica conseguir um lucro máximo
de R$ 820,00 diariamente, é necessário produzir 40 caixas de cereais e 100 caixas de
sabão em pó.
No item (c) a pergunta é: Com quais valores cada recurso utilizado deve contribuir
para forma¸cão do lucro na venda de cada caixa? Isso nos remete ao que denominamos
de pre¸cos sombra.
Na Dualidade o principal objetivo é identificar o valor de oportunidade de cada re-
curso produtivo envolvido na produ¸cão de bem. O gestor decide por meio da Dualidade
se existe a necessidade de produ¸cão de um bem, ou mesmo, se mantém em estoque os
recursos envolvidos no processo produtivo. Chamamos de Pre¸cos Sombra, os valores
duais, que tem o significado de ser a contribui¸cão unitária de cada recurso utilizado
para forma¸cão do lucro que é produzido na venda do bem, ou seja, os pre¸cos sombra
são os valores por unidade dos recursos adicionais.
Então, para análise dos pre¸cos sombras, precisamos do MODELO DUAL:
Tal modelo pode ser obtido da transposta da matriz ampliada do primal:
A =



60 100 10.000
20 25 3.000
5 8 0



At
=



60 20 5
100 25 8
10.000 3.000 0



54

Então o modelo dual será:
MinW = 10.000y1 + 3.000y2
Sujeito a :



60y1 + 20y2 ≥ 5
100y1 + 25y2 ≥ 8
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0
5.1.2 Análise Econômica do Dual:
Do quadro final Simplex do primal, podemos construir um quadro final Dual Simplex
da seguinte forma:
W y1 y2 s1 s2 B
1 0 0 100 40 820
1 0 7/100
0 1 1/25
• O valor de y1 (0,07) foi obtido do coeficiente f1, e representa, portanto, o valor de
oportunidade do recurso R1, isto é, cada unidade do recurso R1 tem a capacidade de
gerar um lucro de R$ 0,07.
• O valor de y2 (0,04) foi obtido do coeficiente f2, e representa, portanto, o valor de
oportunidade do recurso R2, isto é, cada unidade do recurso R2 tem a capacidade de
gerar um lucro de R$ 0,07.
Os valores de y1 e y2 são, portanto, o valor de oportunidade por unidade do recurso R1
e R2, isto é, a capacidade de os recursos gerarem lucro nessa situa¸cão. Veja que, na
solu¸cão ótima, os valores coincidem com o lucro atribu´ıdo aos produtos pelo mercado,
ou seja, o valor de oportunidade do mercado.
Cada uma das restri¸cões compara o valor de oportunidade atribu´ıda aos produtos pelos
recursos, com o valor de oportunidade atribu´ıdo aos produtos pelo mercado. Vamos
fazer uma verifica¸cão pela primeira restri¸cão do modelo dual:
• Caixas de Cereal: A restri¸cão 60y1 + 20y2 ≥ 5 nos mostra que para produzir uma
caixa de cereal são necessários 60dm2
de papelão mais 20 homens/hora, estes recurso
são denominados valor interno(lado esquerdo da desigualdade). O valor (5) (lado
direito da desigualdade), indica o valor de oportunidade atribu´ıdo pelo mercado,
este valor também é conhecido como valor externo. Quando a remunera¸cão do
mercado (valor externo) cobre o valor interno, o produto pode ser fabricado.
55

Se o valor de mercado for menor que o valor interno, o produto poderá ser ou não
fabricado. Mas fique atento, se o valor interno superar o valor externo, então algo
de errado pode está ocorrendo dentro da empresa, como: problemas na negocia¸cão de
pre¸cos dos recursos produtivos junto aos fornecedores, ou a empresa pode estar atuando
com margens de lucros muito pequenas.
Vejamos o que está ocorrendo na Fábrica de caixas de cereal e sabão em pó em rela¸cão a
primeira restri¸cão 60y1 + 20y2 ≥ 5. Substituindo os valores (pre¸cos sombra) no modelo
tem-se:
60(0, 07) + 20(0, 04) ≥ 5 ⇒ 5 ≥ 5
O resultado nos mostra que o valor interno é igual ao valor externo, quando isso
acontece, significa que o bem deve ser fabricado, portanto, as caixas de cereal devem
ser fabricadas.
De forma análoga, na segunda restri¸cão, tem-se que o valor interno é igual ao valor ex-
terno, e portanto as caixas de sabão em pó também podem ser fabricadas. A decisão de
fabricar ou não um bem deve ser tomada com base no desempenho do modelo quanto
ao pre¸co sombra, se ao substituir o pre¸co sombra no modelo o resultado indicar que o
valor interno é menor ou igual do que o valor externo, sugere-se fabricar o
bem, no entanto, se o valor interno é maior do que o valor externo, sugere-se
que o produto não seja fabricado5
.
Exemplo 2: Considere uma empresa que fabrica porta e portões de ferro cujo mo-
delo que maximiza os lucros da empresa é:
MaxZ = 200x1 + 500x2
Sujeito a :



20x1 + 30x2 ≤ 120
20x1 + 10x2 ≤ 80
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
.
Sendo R1: Recurso Ferro (Restri¸cão 1) e R2: Horas mão de obra e a situa¸cão
final do quadro Simplex
Z x1 x2 f1 f2 b
1 133,3 0 16,66 0 2.000
0 0,67 1 0,03 0 4
0 13,33 0 -0,33 1 40
5
Note que, em termos de mercado, dificilmente o produto não seria fabricado, pois isso poderia
resultar em perdas significativas para a empresa, como clientes insatisfeitos e perda de participa¸cão
de mercado. Cabe ao decisor analisar o cenário atual para decidir sobre o fabrico ou não do produto.
56

Pergunta-se:
a) Qual o modelo Dual?
b) Qual o quadro Dual Simplex (situa¸cão final)?
c) Qual o valor de oportunidade do recurso R1. Explique.
d) Qual o valor de oportunidade do recurso R1. Explique.
e) Se você fosse o Engenheiro de Produ¸cão dessa fábrica, você produziria portões de
ferro? Por quê?
f) Quanto as portas de ferro, vale a pena a produ¸cão desse bem? Por quê?
Solu¸cão: O modelo Primal é: MaxZ = 200x1 + 500x2
Sujeito a :



20x1 + 30x2 ≤ 120
20x1 + 10x2 ≤ 80
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
.
O modelo Dual é dado pela matriz transposta da matriz ampliada do primal, isto
é:
A =



20 30 120
20 10 80
200 500 0



At
=



20 20 200
30 10 500
120 80 0



logo:MinW = 120y1 + 80y2
Sujeito a :



20y1 + 20y2 ≥ 200
30y1 + 10y2 ≥ 500
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0
O quadro final Dual Simplex é:
W y1 y2 s1 s2 B
1 0 40 0 4 2000
1 0 16,66
0 1 133,33
O valor de oportunidade do recurso R1 (ferro) é R$ 16,66, isto é, cada unidade do
recurso I, se aumentada, tem capacidade de gerar R$ 16,66 de lucro para empresa.
57

Já o recurso R2 (mão de obra),não é escasso6
. Veja que de fato o resultado é
lógico, se y2 = 0, então existem 40 horas de mão de obra dispon´ıveis para uso.
Agora, vamos comparar o valor de oportunidade atribu´ıda ao produto pelos recursos
de cada uma das restri¸cões com o valor atribu´ıdo aos produtos pelo mercado.
• Da primeira restri¸cão do Dual temos: 20y1 + 20y2 ≥ 200. Veja que a restri¸cão dual
indica quanto de cada recurso é utilizado na fabrica¸cão de uma porta de ferro, isto é,
para produzir uma porta de ferro, são necessários 20 unidades do recurso ferro e 20
horas de mão de obra. Substituindo os valores de oportunidade de cada recurso temos:
20(16, 66) + 20(0) ≥ 200 ⇒ 333, 2 ≥ 200
Isso significa que o valor interno (lado esquerdo da desigualdade) supera o valor ex-
terno (lado direito da desigualdade), nesse caso, sugere-se não fabricar portas de ferro,
pois algum problema pode está ocorrendo na empresa, como estabelecimento de uma
margem muito pequena de lucro.
• Da segunda restri¸cão do Dual temos: 30y1 + 10y2 ≥ 500, ou seja, para fabricar
um portão de ferro, são necessários 30 unidades de ferro e 10 horas de mão de obra.
Substituindo os valores de oportunidade de cada recurso temos:
30(16, 66) + 10(0) ≥ 500 ⇒ 499, 8 ≥ 500
Isso significa que o valor de mercado cobre o valor interno, e dessa forma, o produto
pode ser fabricado.
Conclusão: Pode-se fabricar os portões de ferro, mas é necessário cautela na decisão
de fabricar portas de ferro, recomenda-se o não fabrico desse produto.
Agora, imagine que a empresa decida realizar um estudo para verificar o impacto que
a fabrica¸cão de uma unidade de porta de ferro (x1) causaria na resultado final da
fabrica¸cão dos portões (x2) e como o lucro da empresa (Z) seria afetado com essa
fabrica¸cão.
Para isso, vamos procurar na coluna de x2 o elemento pivô (1). Como o produto a ser
fabricado será x1, devemos localizar na linha do elemento pivô o valor correspondente
em x1, que no caso é 0, 67. Este valor representa a varia¸cão que x2 sofrerá com a
fabrica¸cão de x1, então, ∆x2 = −0, 67 (varia¸cão negativa), pois x2 + 0, 67 = 4, o que
resulta em x2 = 3, 33. Da´ı tem-se que se, Z = 200x1 + 500x2 ⇒ Z = 200.(1) +
500(3, 33) ∴ Z = 1.865.
Esse resultado, mostra que se uma unidade de porta de ferro for fabricada, haverá um
preju´ızo para a empresa de R$ 135,00. Isso se chama Análise de Sensibilidade, é
o que estudaremos no próximo cap´ıtulo.
6
Não escassez significa um bem que não é desejado, Não há procura por esse bem no mercado.
Matematicamente isso ocorre quando uma variável de decisão do Dual é não básica (igual a zero), pois
se isto acontece, é devido ao valor da variável de folga no quadro final do primal, que indica sobra de
recursos.
58

CAPÍTULO 6
ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
Segundo Lachtermacher (2009) uma das hipótese dos problemas de programa¸cão linear
é a certeza sobre os valores dos coeficientes da fun¸cão objetivo e das constantes das
restri¸cões. Na modelagem de um problema em Pesquisa Operacional, a inclusão de da-
dos cujos valores são dependentes do mercado podem sofrer varia¸cões com o tempo ou
com a inser¸cão de novas informa¸cões. Por isso , a pesquisa da estabilidade da solu¸cão
adotada em face dessas varia¸cões é muito importante. Nesse estudo, veremos que a
solu¸cão otimizada é dependente dos coeficientes da fun¸cão objetivo (geralmente lucro,
receita ou custo), dos coeficientes e das constantes das restri¸cões (geralmente necessi-
dades por produto e disponibilidade de um recurso). Como quase nunca temos certeza
destes valores na vida real, devemos saber o quanto a solu¸cão otimizada está depen-
dente de uma determinada constante ou coeficiente. Se for observada uma alto grau de
dependência, devemos tomar um grande cuidado na determina¸cão dessa solu¸cão. Para
isso, realizaremos uma análise pós-otimiza¸cão que tem o intuito de verificar as
poss´ıveis varia¸cões para cima e para baixo dos valores dos coeficientes da fun¸cão
objetivo, dos coeficientes e das constantes das restri¸cões, sem que os pre¸cos
sombra sejam alterados. Este estudo é denominado de Análise de Sensibilidade.
Para realiza¸cão dele, devemos responder basicamente a três perguntas:
Qual o efeito de uma mudan¸ca num coeficiente da fun¸cão objetivo?
Qual o efeito de uma mudan¸ca numa constante (termo independente) de uma res-
tri¸cão?
Qual o efeito de uma mudan¸ca num coeficiente de uma restri¸cão?
59

Existem dois tipos básicos de análise de sensibilidade.
O primeiro estabelece limites inferiores e superiores para todos os coeficientes da
fun¸cão objetivo e para as constantes das restri¸cões.
O segundo verifica se mais de uma mudan¸ca simultânea em um problema altera a
sua solu¸cão ótima.
Para melhor compreen¸cão do que foi exposto, vamos resolver o problema da fabrica de
tijolos.
Uma fabrica produz dois tipos de tijolos para constru¸cão civil: tijolo baiano e tijolo
comum. A fábrica gasta 2 unidades do recurso I e 4 unidade dos recurso II na fa-
brica¸cão dos tijolos do tipo baiano. Na fabrica¸cão dos tijolos do tipo comum são gastos
5 unidades do recurso I e 5 unidades do recurso II. A contribui¸cão para o lucro dos
tijolos baiano e comum é R$ 10,00 e R$ 14,00, respectivamente. A fábrica dispõe de
400 unidades do recurso I e 600 unidades do recurso II. Deseja-se saber quais as quan-
tidades que devem ser produzidas para que o lucro da empresa seja máximo.
O modelo que maximiza o lucro da fábrica é:
MaxZ = 10x1 + 14x2
Sujeito a :



2x1 + 5x2 ≤ 400
4x1 + 5x2 ≤ 600
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
.
O quadro que Simplex inicial é:
C1 C2 C3 C4 C5 C6
Z x1 x2 f1 f2 bi
L1 1 -10 -14 0 0 0
L2 0 2 5 1 0 400
L3 0 4 5 0 1 600
Após todas as itera¸cões para determina¸cão da solu¸cão ótima tem-se o seguinte quadro
final:
C1 C2 C3 C4 C5 C6
Z x1 x2 f1 f2 bi
L1 1 0 0 3/5 11/5 1.560
L2 0 0 1 2/5 -1/5 40
L3 0 1 0 -1/2 1/2 100
60

Analisando o último quadro, podemos afirmar que:
Para maximizar os lucros da fábrica de tijolos em R$ 1.560 u.m é necessário a
produ¸cão diária de 100 unidades de tijolo baiano e 40 unidades de tijolo comum.
O valor de oportunidade (pre¸co sombra) do tijolo baiano é de R$ 0,60 u.m e do tijolo
comum é de R$ 2,20 u.m. Portanto a capacidade dos tijolos baiano e comum de gerar
lucro para a fábrica é de R$ 0,60 u.m e R$ 2,20 u.m respectivamente.
É importante observar se o valor de oportunidade atribu´ıdo aos produtos pelos
recursos é maior, menor ou igual ao valor de oportunidade atribu´ıdo aos produtos pelo
mercado. Para isso precisamos do modelo dual:
A =



2 5 400
4 5 600
10 14 0



At
=



2 4 10
5 5 14
400 600 0



O modelo dual é:
MinW = 400y1 + 600y2
Sujeito a :



2y1 + 4y2 ≥ 10
5y1 + 5y2 ≥ 14
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0
Da primeira restri¸cão temos 2y1 + 4y2 ≥ 10 ⇒ 2(0, 60) + 4(2, 20) = 10, 00, e por-
tanto, o valor de oportunidade de mercado é igual ao valor de oportunidade atribu´ıdo
ao produto pelo recurso, recomenda-se a fabrica¸cão dos tijolos do tipo baiano.
De forma análoga podemos interpretar a situa¸cão na segunda restri¸cão, pois: 5y1 +
5y2 ≥ 14 ⇒ 5(0, 60) + 5(2, 20) = 14, o nos mostra que os tijolos do tipo comum
também podem ser fabricados.
Mas, se quisermos saber, qual o intervalo de estabilidade dos recursos I e II (termos
independentes)?
Esse estudo deve ser realizado separadamente, portanto, inicialmente, vamos ver como
identificar um intervalo estável para o recurso I, isto é, vamos identificar os valores
máximo e minimo no qual podemos crescer e decrescer este recurso sem alterar o pre¸co
sombra.
61

Para isso, vamos considerar apenas as restri¸cões do modelo primal
Sujeito a :



2x1 + 5x2 ≤ 400
4x1 + 5x2 ≤ 600
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
.
6.0.1 Aplica¸cão da Análise de Sensibilidade: Intervalo de Es-
tabilidade do Recurso I
Se queremos estabelecer o intervalo de varia¸cão do recurso I, devemos tomar a primeira
restri¸cão do primal:
2x1 + 5x2 ≤ 400
Para identificar o intervalo de varia¸cão do recurso I devemos obter os pontos (x1, 0) e
(0, x2) na segunda restri¸cão:
• Para x1 = 0 temos 4(0) + 5x2 = 600 ∴ x2 = 120 e portanto (0, 120)
• Para x2 = 0 temos 4x1 + 5(0) = 600 ∴ x1 = 150 e portanto (150, 0)
Esses valores são os limites aceitáveis para o recurso I, dessa forma, substituindo os
pontos encontrados na restri¸cão que representa o recurso I temos:
• Para (0, 120) ⇒ 2(0) + 5(120) = 600
• Para (150, 0) ⇒ 2(150) + 5(0) = 300
Esse dois valores são os limites admiss´ıveis para o crescimento das quantidades do
recurso I, logo, seu intervalo de varia¸cão será:
300 ≤ b1 ≤ 600
Como o recurso I dispon´ıvel é de 400 unidades, o valores podem decrescer de 100 uni-
dades ou aumentar de 200 unidades que o pre¸co sombra não se alterará e o valor de Z
permanecerá maximizado.
Obs: Esse método é baseado em análise geométrica, pois, mantendo-se a reta que
representa a segunda restri¸cão fixa, a reta que representa a primeira restri¸cão só po-
derá se deslocar até os pontos (0, 120) e (150, 0), devido a tal deslocamento somente
ser poss´ıvel enquanto houver interseçcão entre as duas retas.
62

tabilidade do Recurso II
Vamos obter o intervalo de varia¸cão do recurso II de forma análoga ao recurso I.
Tomando a segunda restri¸cão temos:
4x1 + 5x2 ≤ 600
vamos obter os limites aceitáveis de varia¸cão fazendo:
• x1 = 0 na primeira restri¸cão: 2(0) + 5x2 = 400 ∴ x2 = 80 da´ı (0, 80)
• x2 = 0 na primeira restri¸cão: 2x1 + 5(0) = 400 ∴ x1 = 200 da´ı (200, 0)
Substituindo os pontos na segunda restri¸cão temos:
• Para (0, 80) ⇒ 4(0) + 5(80) = 400
• Para (200, 0) ⇒ 4(200) + 5(0) = 800
Então, o intervalo de varia¸cão para o recurso II será:
400 ≤ b2 ≤ 800
Como o recurso II dispon´ıvel é de 600 unidades, os valores só podem crescer até 200
unidades e decrescer até 200 unidades sem alterar o pre¸co sombra.
tabilidade para os Coeficientes da Fun¸cão Objetivo
Assim como utilizamos a ideia de análise geométrica baseada nas retas que representa-
vam as restri¸cões, quando estabelecemos um intervalo de estabilidade para os recursos
(termos independentes), faremos o mesmo para determinar os intervalos de varia¸cão dos
coeficientes da fun¸cão objetivo, contudo, nesse caso, devemos garantir que, enquanto o
coeficiente angular da fun¸cão objetivo estiver entre os coeficientes angulares das retas
que determinam a solu¸cão ótima (restri¸cões), a solu¸cão ótima não se alterará.
Para isso, vamos considerar o problema proposto da fábrica de tijolos, em que a fun¸cão
objetivo é MaxZ = 10x1 + 14x2.
Sabemos que as restri¸cões do problema são:



2x1 + 5x2 ≤ 400
4x1 + 5x2 ≤ 600
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
.
63

Vamos, inicialmente, descobrir os coeficientes angulares de cada uma das retas que
representam as restri¸cões:
• 2x1 + 5x2 = 400 ⇒ 5x2 = −2x1 + 400 ∴ x2 = −
2
5
x1 + 400. Logo α = −
2
5
.
• 4x1 + 5x2 = 600 ⇒ 5x2 = −4x1 + 600 ∴ x2 = −
4
5
x1 + 600. Logo β = −
4
5
.
Agora devemos calcular o coeficiente da fun¸cão objetivo sabendo que:
−0, 80 ≤ Coeficiente da F.O ≤ −0, 4
De uma forma geral, a fun¸cão objetivo com duas variáveis de decisão pode ser escrita
como Z = c1x1 + c2x2, e portanto
x2 = −
c1
c2
x1 +
Z
c2
Podemos perceber que o seu coeficiente será dado por
θ = −
c1
c2
Vamos tomar a fun¸cão objetivo do problema
Z = 10x1 + 14x2 ∴ x2 = −
10
14
x1 +
Z
14
, donde θ = −
10
14
.
Assim, para obter o intervalo de estabilidade do coeficiente da fun¸cão objetivo, proce-
demos da seguinte forma:
−0, 80 ≤ −
c1
c2
≤ −0, 40
Inicialmente vamos supor que c1 sofrerá altera¸cão:



−
c1
14
≤ −0, 4
−
c1
14
≥ −0, 80
.
Para c2 = 14 temos:
−0, 80 ≤ −
c1
14
≤ −0, 40
−
c1
14
≥ −0, 80 ⇒ −c1 ≥ −11, 20 ∴ c1 ≤ 11, 20
−
c1
14
≤ −0, 4 ⇒ −c1 ≤ −5, 6 ∴ c1 ≥ 5, 6
5, 6 ≤ c1 ≤ 11, 20
64

Interpreta¸cão dos resultados: É sabido que os coeficientes da fun¸cão objetivo é a
contribui¸cão individual de cada variável para o lucro, que no caso provém da fabrica¸cão
de tijolos, dessa forma, podemos dizer que o intervalo da contribui¸cão para o lucro da
venda de tijolos do tipo baiano é 5, 6 ≤ c1 ≤ 11, 20, ou seja, 10−5, 6 ≤ c1 ≤ 11, 20−10,
o que nos leva a 4, 40 ≤ c1 ≤ 1, 20, isto é, c1 pode decrescer em 4,40 unidades ou au-
mentar em 1,20 unidades que o lucro permanecerá o mesmo. O lucro em ambas as
situa¸cões permaneceria o mesmo, pois os valores em questão se encontram dentro do
intervalo 5, 6 ≤ c1 ≤ 11, 20. Isso garante que o intervalo de estabilidade é leg´ıtimo.
Agora faremos c2 sofrer à altera¸cão:
Para c1 = 10 temos:
−0, 80 ≤ −
10
c2
≤ −0, 40



−
10
c2
≤ −0, 40
−
10
c2
≥ −0, 80
.
−
10
c2
≥ −0, 80 ⇒ −10 ≥ −0, 8c2 ∴ 12, 5 ≤ c2
−
10
c2
≤ −0, 4 ⇒ −10 ≤ −0, 4c2 ∴ 25 ≥ c2
12, 5 ≤ c2 ≤ 25
Interpreta¸cão dos resultados:
Nesse caso, o intervalo da contribui¸cão para o lucro da venda de tijolos do tipo comum
é 12, 5 ≤ c2 ≤ 25 . Isto é, pode decrescer até o limite de 1,5 unidades ou aumentar
até o limite de 11 unidades que o lucro permanecerá o mesmo, pois, se a contribui¸cão
para o lucro na fabrica¸cão de tijolos do tipo comum é de R$ 14,00, então, se fizermos
14 − 12, 5 ≤ c2 ≤ 25 − 14 teremos 1, 5 ≤ c2 ≤ 11. Portanto, o limite minimo permitido
é 1,5 unidades e o limite máximo permitido é de 11 unidades. O lucro em qualquer das
situa¸cões permaneceria o mesmo por se encontrarem dentro do intervalo de estabilidade,
assim, não há altera¸cão dos pre¸cos sombra, o que legitima o intervalo de estabilidade
encontrado.
6.0.4 Aplica¸cão da Análise de Sensibilidade: Mudan¸ca no Co-
eficiente de uma Restri¸cão
65

CAPÍTULO 7
TRANSPORTES
O problema de transportes é um problema de fluxo de redes, que esquematicamente é
representado por meio de grafos . Grafo é uma representa¸cão esquemática de pontos
que são ligados por linhas, os pontos são geralmente denominados por nós e as linhas
de arcos. Nós são c´ırculos em cujo interior é inserido um número ou letra que os
identifica, eles são ligados pelos arcos. Sobre os arcos são colocados valores represen-
tativos de suas capacidades, distâncias, tempo. Num problema de transporte é muito
comum que tais valores representem os custos de distribui¸cão. Aliás falar em problemas
de transportes significa resolver problemas de distribui¸cão. Os grafos bipartidos são
aqueles que geralmente mais aparecem em problemas de transporte, pois esses grafos
possuem dois nós com caracter´ısticas distintas.
66

7.1 Rela¸cão entre Redes e Transporte
Num modelo de distribui¸cão é necessário identificar duas informa¸cões muito importan-
tes: O ofertante e o demandante. O ofertante é aquele produz, distribui aquilo que
foi produzido, o demandante é aquele que procura, necessita do que foi produzido pelo
ofertante. Nosso esquema então será:
Figura 7.1:
• Do lado esquerdo encontram-se os nós 1, 2 e 3 que representam as origens.
• Respectivamente, ao lado das origens 1, 2 e 3, localizam-se as ofertas 50, 100 e 120.
• O somatório da oferta é igual a 270.
• Do lado direito estão localizados os nós 1 e 2 que correspondem aos destinos.
• As demandas 100 e 170 encontram-se ao lado dos nós 1 e 2 (destinos).
• O somatório das ofertas e das demandas são iguais a 270.
• Os custos dos transportes da origem i para os destinos j estão representados pelos
Cij, isto é: o custo do transporte da origem 1 para o destino 1 é dado por C11 = 10, o
custo de distribui¸cão da origem 1 para o destino 2 é de C12 = 12. De forma análoga,
os custos de transportes das origens 2 (azul) são C21 = 20, C22 = 8 e 3 (verde) são
C31 = 6 e C32 = 15.
• A quantidade m´ınima a ser transportada (os caminhos) de cada origem i para cada
destino j está representada pelos arcos vermelhos, azuis e verdes.
67

7.2 Sistemas Equilibrados e Não Equilibrados
Dois casos podem ocorrer quando da necessidade de resolver um problema de distri-
bui¸cão: o sistema pode estar em equil´ıbrio ou desequilibrado. Quando o sistema se
encontra equilibrado, as quantidades existentes na origem e no destino são iguais, isto
é, o somatório da oferta é igual ao somatório da demanda. No caso do sistema se
encontrar desequilibrado, as quantidades na origem e no destino são diferentes.
• Caso 1: Sistema Equilibrado A quantidade ofertada é igual a quantidade deman-
dada, isto é:
Oferta = Demanda
na figura 6.1 podemos observar que o sistema está equilibrado, pois
Oferta = Demanda = 270
• Caso 2: Sistema Não Equilibrado: A quantidade ofertada é diferente da quan-
tidade demandada, podem ocorrer duas situa¸cões:
Oferta > Demanda
ou
Oferta < Demanda
Quando a quantidade ofertada é maior do que a quantidade demandada, acrescenta-se
uma demanda fantasma no destino com custo zero e a carga obtida de Oferta−
Demanda, completando assim com a quantidade necessária para o equil´ıbrio da de-
manda.
Figura 7.2:
68

De forma análoga, se a quantidade do que se procura é maior do que a quantidade ofer-
tada, então acrescenta-se uma origem fantasma de valor Demanda− Oferta,
que irá equilibrar o sistema.
Figura 7.3:
Em verdade, as quantidades que são transportadas para o destino fantasma, ficam
depositadas na origem e tem o único intuito de equilibrar o sistema, o mesmo vale
para a origem fantasma, suas quantidades são mantidas nos depósitos originários e são
acrescentadas com o objetivo de manter o sistema balanceado.
7.3 Modelo para Transporte
a. Variáveis de Decisão: O significado das variáveis de decisão num modelo de
transporte são as quantidades a serem transportadas de uma origem i para
um destino j que denotaremos por xij. Cada arco no esquema de redes representa
uma das variáveis de decisão.
b. Fun¸cão Objetivo: A fun¸cão objetivo, no modelo de transporte, é dada pela
soma dos produtos dos custos individuais Cij de cada transporte realizado da origem i
para um destino j. O objetivo é minimizar os custos de transporte. De acordo com o
esquema apresentado na figura 6.1 temos a seguinte fun¸cão objetivo:
MinZ = 10x11 + 12x12 + 20x21 + 8x22 + 6x31 + 15x32
69

Podemos dizer então que a fun¸cão objetivo é um somatório duplo das cargas a serem
transportadas em que os ´ındices representam as origens e os destinos. De uma forma
geral, a fun¸cão objetivo ligada ao transporte pode ser escrita da seguinte forma:
MinZ =
m
i
n
j
xij
em que i indica a origem e j o destino.
c. Restri¸cões: As restri¸cões do problema de transporte estão relacionadas as capa-
cidades das quantidades existentes na origem (disponibilidade) e no destino (necessi-
dade). No problema em comento temos que,as quantidades retiradas das origens devem
ser a disponibilidade existente em cada uma delas
Restri¸cões de Disponibilidade:



x11 + x12 = 50
x21 + x22 = 100
x31 + x32 = 120
As quantidades transportadas para cada destino devem ser a necessidade em cada
um deles
Restri¸cões de Demanda:



x11 + x21 + x31 = 100
x12 + x22 + x31 = 170
.
De uma forma geral, as restri¸cões podem ser escrita da seguinte forma:



m
i=1
xij = ai
n
j=1
xij = bj
xij ≥ 0; i = 1, 2, 3, . . . , m ∧ j = 1, 2, 3, . . . , n
Como em qualquer modelo de PL, não podemos esquecer a condi¸cão de não nega-
tividade: xij ≥ 0. Em resumo, o modelo geral é:
MinZ =
m
i
n
j
xij
Sujeito a:



m
i=1
xij = ai
n
j=1
xij = bj
xij ≥ 0; i = 1, 2, 3, . . . , m ∧ j = 1, 2, 3, . . . , n
com xij ≥ 0
70

Do problema proposto inicialmente tem-se:
MinZ = 10x11 + 12x12 + 20x21 + 8x22 + 6x31 + 15x32
Sujeito a:



x11 + x21 + x31 = 100
x12 + x22 + x31 = 170
x11 + x12 = 50
x21 + x22 = 100
x31 + x32 = 120
xij ≥ 0
7.4 Solu¸cão Básica Inicial para Transportes
Vamos agora descobrir, como determinar uma solu¸cão básica inicial viável para um
problema de transportes. Serão apresentados três algoritmos para isso: Método do
Canto Noroeste, Método do Custo M´ınimo e o Método de Vogel ou das Pe-
nalidades. Cada método tem caracter´ıstica própria, mas fazem uso de ideias similares.
Considere o problema a seguir:
A prefeitura de Salvador está atualmente fazendo obras em três pontos diferentes da
cidade. O material para essas obras é transportado dos depósitos do Subúrbio Fer-
roviário de Salvador,Lauro de Freitas e São Caetano, de onde são retiradas 57, 76 e 93
toneladas de material respectivamente. As Obras são nos bairros da Barra, Itapuã e Rio
Vermelho , que necessitam, diariamente, de 41, 80 e 105 toneladas, respectivamente.
Os custos unitários para o transporte desse material, bem como as disponibilidades e
necessidades encontram-se na tabela
Barra Itapuã Rio Vermelho Disponibilidades
Sub. Ferroviário 7 8 4 57
Lauro de Freitas 5 3 6 76
São Caetano 6 5 4 93
Necessidades 41 80 105 226
71

7.4.1 Método do Canto Noroeste
Este método tem o intuito de alocar carga a partir da primeira célula situada no canto
noroeste. O processo consiste em descarregar o máximo poss´ıvel de carga de acordo
com a demanda da primeira coluna e as ofertas da primeira linha, repetindo o processo
da esquerda para direita até que toda a carga dispon´ıvel no primeiro depósito tenha
sido distribu´ıda. Em seguida, repetimos o processo para as linhas seguintes, até que
toda carga seja distribu´ıda. O processo finaliza quando toda a capacidade de oferta
satisfaz a toda demanda existente. Vejamos sua aplica¸cão.
Sub. Ferroviário 7 8 4 57
Lauro de Freitas 5 3 6 76
São Caetano 6 5 4 93
Necessidades 41 80 105 226
Sub. Ferroviário 41 16 57 16 0
Lauro de Freitas 64 12 76 12 0
São Caetano 93 93 0
Necessidades 41 0 80 64 0 105 93 0 226
72

CAP´ITULO 8
PESQUISA OPERACIONAL NO EXCEL - SOLVER
73

CAPÍTULO 9
COLETÂNEA DE EXERCÍCIOS
1. Problema de Dosagem em Formula¸cão de Petróleo: Uma re-
finaria de petróleo deseja encontrar a maneira ótima de cumprir um contrato de for-
necimento de gasolina comum. Segundo este contrato, deve-se fornecer diariamente
um m´ınimo de 1.000 barris de gasolina de avia¸cão e gasolina e 2.000 barris de ga-
solina comum. A unidade que se responsabilizará pela entrega tem uma capacidade
máxima de produ¸cão de 10.000 barris por dia, indistintamente. As gasolinas devem ser
transportadas até seus depósitos, cujas distâncias das unidades são 10 30 quilômetros
respectivamente. A capacidade máxima de transporte da refinaria é de 186.000 barris
× quilômetros. Sabendo-se que a gasolina de avia¸cão dá um lucro de R$1,00 e a comum
R$2,00, pede-se o esquema de produ¸cão que maximiza o lucro da refinaria com rela¸cão
ao contrato citado.
2. Problema de Aloca¸cão de Recursos: Uma fábrica de computado-
res produz 2 modelos de computador: Basic e Premium. O modelo Basic fornece um
lucro de R$180,00 e o modelo Premium um lucro de 300,00. O modelo Basic requer,
na sua produ¸cão um gabinete pequeno e uma unidade de disco. O modelo Premium
requer 1 gabinete grande e 2 unidades de disco. Existem no estoque: 60 unidades do
gabinete pequeno e 50 unidades do gabinete grande, além disso, há 150 unidades de
disco. Qual deve ser o esquema de produ¸cão que maximiza o lucro da empresa?
74

3. Estudo de Caso: A Verga¸co do Norte, empresa localizada no munic´ıpio
de Canoas, estado do Rio Grande do Sul, após análise de mercado, identificou a possi-
bilidade de produzir dois tipos de vergalhão: O vergalhão GG-50 e o vergalhão CA-25.
Ambos são fornecidos em barras retas ou dobradas nas bitolas, contudo, o primeiro
possui superf´ıcie nervurada e o segundo superf´ıcie lisa. O lucro de cada unidade de
vergalhão dos tipos GG-50 e CA-25 é de R$ 16,00 e R$ 4,00 respectivamente. Os tem-
pos necessário para produzir uma unidade dos vergalhões GG-50 e CA-25 é de 4 horas e
6 horas respectivamente. Para produzir um vergalhão do tipo GG-50 são necessários 4
funcionários, enquanto que para produzir um vergalhão do tipo CA-25 são necessários
2 funcionários. Além disso, uma pesquisa de mercado encomendada pela empresa indi-
cou que a demanda diária para vergalhões do tipo GG-50 é de 40 unidades, enquanto
que a demanda diária dos vergalhões CA-25 é de 56 unidades. A empresa dispõe de
até 24 horas diárias e no máximo 16 funcionários por dia para a produ¸cão desses dois
produtos. Sabendo disso:
a) Determine um modelo de programa¸cão linear que indique cada tipo de vergalhão
que deve ser produzido.
b) Dê uma solu¸cão ótima que maximize o lucro da empresa.
c) fa¸ca a interpreta¸cão econômica do problema.
4. Problema:Dado o modelo de programa¸cão linear:
MaxZ = x1 + 0, 30x2 + 3x3
Sujeito a :



x1 + x2 + x3 ≤ 10
2x1 + x2 + 4x3 ≤ 12
x1 + 3x2 − 3x3 ≤ 9
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
onde xi representa as decisões de produ¸cão dos produtos Pi, Z o lucro devido a essa
atividade, as restri¸cões, o uso dos recursos Ri e a tabela final de solu¸cão pelo Simplex:
Z x1 x2 x3 f1 f2 f3 b
1 0,50 0,45 0,00 0,00 0,75 0,00 9,00
0 0,50 0,75 0,00 1,00 -0,25 0,00 7,00
0 0,50 0,25 1,00 0,00 0,25 0,00 3,00
0 1,50 3,25 0,00 0,00 0,25 1,00 12,00
Pergunta-se:
a) Qual o intervalo de estabilidade para o coeficiente de x3?
75

b) Qual o intervalo de estabilidade para o coeficiente de f1?
c) O que significa o intervalo obtido no item (a)?
d) Como podemos interpretar o resultado obtido em (b)?
e) Qual o intervalo de estabilidade para o coeficiente de x1?
f) Qual o intervalo de estabilidade para o coeficiente de x2?
g) Suponha que um novo produto P4 use duas unidades do recurso I, uma unidade do
recurso II e três unidades do recurso III. Qual deverá ser seu lucro unitário para sua
incorpora¸cão no programa?
h) Qual o limite para o aumento da disponibilidade do recurso R2 que mantém a in-
forma¸cão contida em seu custo de oportunidade?
i) E para o recurso R1?
76

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