O documento apresenta uma introdução à álgebra linear, discutindo sistemas lineares e sua história. Explica como resolver um problema simples de sistemas lineares e introduz métodos como regra de Cramer e eliminação de Gauss.

1. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 1
FACULDADE DA FUNDAÇÃO DE ENSINO DE MOCOCA
MOCOCA – SP
ÁLGEBRA LINEAR – 3º PERÍODO – CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO
Prof. Mestre Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães
professor.otavio@yahoo.com.br
27 DE JANEIRO DE 2014
CAPÍTULO 1 – ÁLGEBRA LINEAR – NOÇÕES INICIAIS
1. UM EXEMPLO BEM SIMPLES
Num sítio há 10 animais, entre cabras e galinhas. Contando patas e pés são 26. Quantas são
as cabras, quantas são as galinhas?
Os alunos mais jovens costumam resolver esse problema de uma forma muito simples, por tentativa e erro.
Sabemos que há 10 animais, então chutamos os números, sendo a soma igual a 10:
CABRAS GALINHAS ANIMAIS PATAS E PÉS
4 6 4+6=10 4X4+2X6=28 (é muito)
5 5 5+5=10 4X5+2X5=30
(é muito, e mais ainda que 28 – precisa então ser menos que 4 cabras)
2 8 2+8=10 4x2+2x8=24 (é pouco – só podem ser 3 cabras)
3 7 3+7=10 4x3+2x7=26 (na mosca!)
Chegamos de forma inequívoca na resposta: 3 cabras e 7 galinhas.
Sempre surge a pergunta: “Se dá pra resolver assim, de forma simples, para que complicar, professor?”
Algumas respostas possíveis, com perguntas:
- “E se for uma fazenda na África com búfalos, rinocerontes e avestruzes e dados o número de animais, patas e pés,
e de chifres?”
- “E se tivermos números muito grandes e decimais na situação”.
Desafiando os meus alunos a resolver o problema, há uma solução encontrada por uma aluna chamada
Talita (que depois fiquei sabendo pelo Prof. Rômulo Campos Lins que o Prof. Antônio José Lopes Bigode teve a
mesma solução de um aluno do 3º ano do Ensino Fundamental):
- Imagine todos os bodes e galinhas na frente da sala. Mande as cabras ficarem de pé
- Olhando para o chão contaremos 20 patas e pés, 2 de cada animais, já que as cabras estão de pé. Quantas patas e
pés faltam? 6!!! Ou seja, há 6 patas de cabra erguidas: ou seja, há 3 cabras, e por consequência 7 galinhas.
A resolução de Talita é uma resolução por aritmética, que faz as operações 26-20=6, 6:2=3 (número de
cabras), 10-3=7 (número de galinhas). Veja que a lógica das 3 operações a serem resolvidas é bem complicada – e é
preciso pensar muito para chegar nelas.

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Uma solução simples e geral é a seguinte – equacionar os dados! Apesar de tecnicamente mais fácil
resolver por aritmética, por equacionamento não é necessário utilizar tantos raciocínios, e o problema torna-se
computacionalmente mais fácil.
Sendo x o número de cabras e y o número de galinhas, temos o sistema:
{
Resolvendo, concluímos que há 3 cabras e 4 galinhas, pela resolução do sistema por qualquer método.
Há 5 métodos mais conhecidos de resolução:
- os métodos tradicionais: adição, substituição e comparação.
- os métodos com uso de matrizes: Regra de Cramer e Método de Eliminação de Gauss.
2. INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR
Sistemas Lineares – O que é?
É muito comum na vida real os problemas poderem ser equacionados em termos de duas variáveis no
formato ax+by=c, sendo x e y os valores desconhecidos e a, b e c valores reais.
Exemplos:
I. Temos duas pessoas cuja soma das idades é 25 anos. Sendo x e y as idades de cada pessoa, temos a
equação x+y=25 (que é 1x+1y=25).
II. Vamos distribuir 100 litros de leite em recipientes de 1 litro e 2,5 litros. Chamamos a quantidade de
recipientes de 1 litro de x e de recipientes de 2,5 litros de y, temos que x+2,5y=100.
III. Fiz um investimento em duas aplicações à juros simples respectivamente de 10% e 20% ao ano. Após 1
ano, as duas aplicações rendem R$ 10.000. Chamando uma aplicação de x e outra de y, temos que
0,1x+0,2y=10000,
IV. Comprei dois tipos de molhos em grandes quantidades. O primeiro molho custou R$ 1,50 e o segundo
R$ 2,50. Gastei R$ 10.000,00. Chamando o primeiro molho de x e o segundo de y, temos a equação
1,5x+2,5y=10000.
Isso é extremamente útil para resolver problemas do cotidiano (de verdade mesmo!). Para resolver um
sistema é preciso ter duas equações com duas variáveis (ou 3 equações e 3 variáveis, ou 4 equações e 4 variáveis,
etc.
O problema do exemplo III, por exemplo, poderia ter a informação adicional de o capital inicial, dividido nas
duas aplicações era de R$ 30.000,00, o que recaria num sistema com duas equações.
1ª equação: x+y=30.000
2ª equação 0,1x+0,2y=10.000
Isso pode ser escrito de forma simplificada como:
{
Vamos concluir que a aplicação x vale R$ 3.000,00 e a aplicação y vale R$ 7.000,00.
Resolver esse tipo de problema por um método, um algoritmo, é um desafio muito antigo. Com duas variáveis
é relativamente fácil, porém, imagine um sistema com muitas equações.
Veja um exemplo:
Nesse caso talvez nem fosse muito difícil resolver o sistema (até mesmo pois trata-se de um sistema
homogêneo o exemplo, ou seja, sistemas onde os resultados de cada equação são iguais à zero).

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Veja vários bons exemplos de aplicações no site:
http://www.feng.pucrs.br/~gacs/new/disciplinas/asl/apostilas/Aula01.pdf
Desde a antiguidade busca-se encontrar mecanismos de resolver sistemas.
Encontra-se primórdios da resolução de problemas com sistemas de equações lineares nos escritos do
matemático hindu Bháskara Akaria, também chamado de Bháskara, que viveu entre 1114 e 1185, na Índia, em seu
mais famoso livro, o Lilavati. Bháskara Akaria é também chamado de Bháskara II (o primeiro também é matemático,
e também há um filósofo com o mesmo nome). Por Bháskara ter estudado um tipo de equação do 2º grau chamado
“Equação de Pell”, no Brasil (e apenas aqui), a fórmula resolutiva da equação do 2º grau é chamada de Fórmula de
Bháskara!
Bháskara Akaria
Fonte da imagem: http://matematicadasala.blogspot.com.br/2011/02/bhaskara.html
O conceito de sistemas lineares surge na China em 250aC com o livro “Nove Capítulos sobre Aritmética” sem
utilização de equações (mas com a idéia de que ‘n’ incógnitas em um problema necessita de ‘n’ sentenças
relacionando os dados, ou seja, as ‘n’ equações).
O problema foi enunciado da seguinte forma:
“Três fardos de uma boa colheita, dois fardos de uma colheita medíocre, e um fardo de uma colheita ruim foram
vendidos por 39 dou. Dois fardos da boa, três da medíocre, e um da ruim foram vendidos a 34 dou; e uma da boa,
dois da medíocre, e três da ruim foram vendidos a 26. Qual o preço recebido pela enda de cada fardo associado a
boa colheita, a colheita medíocre e a colheita ruim?” [1]
Esse problema era resolvido por uma série de técnicas aritméticas, mas pode ser equacionado da seguinte
forma:
Os chineses, porém, não utilizavam e nem conheciam os sistemas.
Em 1683, o japonês Seki Kowa associa os Sistemas Lineares a algo que se parece com os determinantes,
dando os primórdios da Álgebra Linear. O conceito avançou em 1693 com Leibniz, com o estudo dos determinantes,
em 1729 com Colin Maclaurin com a conhecida Regra de Cramer para resolver sistemas com várias equações e
várias variáveis, e, a partir desse momento foram surgindo e sistematizando a Álgebra Linear.

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HISTÓRICO DA ÁLGEBRA LINEAR
250 aC – Primeiro registro de um problema (sem equações): Nove Capítulos Sobre Aritmética (China)
Século XX – Bháskara Akari publica primeiros problemas que recaiam em duas equações
1683 – Primeira técnica de simplificação de sistemas por Seki Kowa
1693 – Leibniz cria os determinantes
1729 – Colin Maclaurin: Regra de Cramer para resolver sistemas
1730 – Gabriel Cramer chega de forma independente na Regra de Cramer
Século XVIII – Trabalhos de Bézout e Laplace
Século XVIII – Gauss formaliza técnicas de resolução de sistemas de equações
1812 – Cauchy formaliza a idéia de determinante e fixa a notação atual
Século XIX – Jacobi cria a teoria dos Sistemas Lineares na forma onde ainda é estudada
Evidente que computadores simplificaram muito a resolução de Sistemas Lineares e modernizaram a Álgebra
Linear. A resolução de sistemas lineares pela regra de Cramer ainda que por computadores, demandariam milhões
de anos de cálculos em supercomputadores, e desenvolveu-se técnicas alternativas (o método de eliminação de
Gauss, ou escalonamento) e softwares que operam com esses programas.
Técnicas como o chamado Método Simplex, utilizado na administração, utiliza da resolução de sistemas
grandes, e, após o uso de computadores ficou muito mais fácil resolver sistemas!
Sobre a História dos Sistemas, veja o texto de Hygino H. Domingues, disponível no site Só Matemática no
link: http://www.somatematica.com.br/historia/sistemas.php.
Para entender melhor os conceitos veja em:
http://www.mat.ufmg.br/~rodney/notas_de_aula/sistemas_lineares.pdf .
LIVROS ONLINE
MATTHEWS, K.R. Elementary Linear Algebra. Brisbane – Austrália, University of Queensland, 2013.
Disponível em: http://www.numbertheory.org/book/mp103.pdf
BARRETO, J.A. Algebra Linear em Contexto. Caracas – Venezuela, Ábaco, 2007
Disponível em: http://www.abaco.com.ve/lineal/LibroLineal2009_Capitulo_1.pdf
APLICATIVO ONLINE PARA RESOLVER SISTEMAS
http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?session=KID9E087E1.1&lang=fr&cmd=reply&module=tool%2Flinear%2Flinsolver.
en&system=&parms
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] http://www.feng.pucrs.br/~gacs/new/disciplinas/asl/apostilas/Aula01.pdf