1) O documento discute circuitos e ciclos de Euler em grafos orientados e não orientados
2) Um grafo orientado é euleriano se contém um circuito que passa em cada arco uma vez; um grafo não orientado é euleriano se contém um ciclo que passa em cada aresta uma vez
3) O documento apresenta um exemplo de como encontrar o circuito de Euler ótimo para coletar lixo em todas as ruas de uma cidade
1) O documento descreve as principais características geométricas de cônicas como circunferências, elipses, hipérboles e parábolas, incluindo suas equações.
2) São apresentadas as posições relativas entre pontos, retas e circunferências, assim como entre duas circunferências.
3) São definidos os elementos fundamentais de cada cônica, como focos, vértices, eixos e suas equações reduzidas.
O documento discute conceitos básicos de geometria analítica, incluindo sistemas de coordenadas cartesianas, pontos, retas e suas propriedades. Exemplos de cálculo de distância entre pontos, equações de retas e interseção entre retas são apresentados. Dez questões de vestibular sobre esses tópicos são listadas no final.
Este documento apresenta exercícios sobre elipses, incluindo determinar seus focos, excentricidades, eixos, áreas e pontos de intersecção com outras curvas. O documento contém 8 questões que abordam como calcular propriedades geométricas básicas de elipses dadas suas equações ou elementos constituintes, como centro, vértices e focos.
Prova de matemática 3 ano prof thiago versao 4 7 copiasabbeg
1) O documento é uma avaliação de recuperação de matemática do 1o bimestre para o Colégio Estadual de Guaraituba, contendo 10 questões sobre triângulos, retas e outras noções geométricas.
2) As questões abordam cálculo de áreas de triângulos, identificação de tipos de triângulos, equações de retas, pontos colineares, escalas termométricas e localização de baricentros.
3) O aluno deve responder as questões escolhendo entre múltiplas
Este documento apresenta uma lista de exercícios sobre elipses para o curso de Cálculo de Várias Variáveis. A lista contém 14 questões sobre elipses, pedindo para determinar suas equações, parâmetros, pontos e características. Além disso, apresenta 4 questões para serem desenvolvidas como trabalho.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica no plano cartesiano, incluindo: (1) a definição do plano cartesiano e seus quadrantes; (2) como representar pontos no plano através de coordenadas cartesianas; (3) conceitos como eixos, bissetrizes e distância entre pontos. Além disso, apresenta exemplos e exercícios sobre esses tópicos.
Este documento fornece instruções e exercícios sobre geometria analítica. Inclui tópicos de ajuda para resolver questões e 38 exercícios sobre pontos, retas, triângulos e paralelogramos. O objetivo é revisar e consolidar conceitos fundamentais de geometria analítica por meio da resolução de exercícios.
O documento descreve as propriedades geométricas e algébricas da hipérbole, incluindo sua definição como o lugar geométrico dos pontos cuja diferença das distâncias a dois focos é constante. Detalha como obter a equação da hipérbole colocando os focos no eixo x e determinar as coordenadas dos vértices e assíntotas. Apresenta exemplos resolvidos de encontrar focos, vértices e assíntotas dadas equações de hipérboles.
1) O documento descreve as principais características geométricas de cônicas como circunferências, elipses, hipérboles e parábolas, incluindo suas equações.
2) São apresentadas as posições relativas entre pontos, retas e circunferências, assim como entre duas circunferências.
3) São definidos os elementos fundamentais de cada cônica, como focos, vértices, eixos e suas equações reduzidas.
O documento discute conceitos básicos de geometria analítica, incluindo sistemas de coordenadas cartesianas, pontos, retas e suas propriedades. Exemplos de cálculo de distância entre pontos, equações de retas e interseção entre retas são apresentados. Dez questões de vestibular sobre esses tópicos são listadas no final.
Este documento apresenta exercícios sobre elipses, incluindo determinar seus focos, excentricidades, eixos, áreas e pontos de intersecção com outras curvas. O documento contém 8 questões que abordam como calcular propriedades geométricas básicas de elipses dadas suas equações ou elementos constituintes, como centro, vértices e focos.
Prova de matemática 3 ano prof thiago versao 4 7 copiasabbeg
1) O documento é uma avaliação de recuperação de matemática do 1o bimestre para o Colégio Estadual de Guaraituba, contendo 10 questões sobre triângulos, retas e outras noções geométricas.
2) As questões abordam cálculo de áreas de triângulos, identificação de tipos de triângulos, equações de retas, pontos colineares, escalas termométricas e localização de baricentros.
3) O aluno deve responder as questões escolhendo entre múltiplas
Este documento apresenta uma lista de exercícios sobre elipses para o curso de Cálculo de Várias Variáveis. A lista contém 14 questões sobre elipses, pedindo para determinar suas equações, parâmetros, pontos e características. Além disso, apresenta 4 questões para serem desenvolvidas como trabalho.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica no plano cartesiano, incluindo: (1) a definição do plano cartesiano e seus quadrantes; (2) como representar pontos no plano através de coordenadas cartesianas; (3) conceitos como eixos, bissetrizes e distância entre pontos. Além disso, apresenta exemplos e exercícios sobre esses tópicos.
Este documento fornece instruções e exercícios sobre geometria analítica. Inclui tópicos de ajuda para resolver questões e 38 exercícios sobre pontos, retas, triângulos e paralelogramos. O objetivo é revisar e consolidar conceitos fundamentais de geometria analítica por meio da resolução de exercícios.
O documento descreve as propriedades geométricas e algébricas da hipérbole, incluindo sua definição como o lugar geométrico dos pontos cuja diferença das distâncias a dois focos é constante. Detalha como obter a equação da hipérbole colocando os focos no eixo x e determinar as coordenadas dos vértices e assíntotas. Apresenta exemplos resolvidos de encontrar focos, vértices e assíntotas dadas equações de hipérboles.
O documento apresenta 25 questões sobre cônicas, principalmente elipses. As questões abordam conceitos como equações de elipses, área de elipses, distância focal, excentricidade, pontos de interseção entre elipses e retas, e locais geométricos definidos por elipses.
1) O documento descreve as propriedades geométricas e equações de elipses, incluindo que a soma das distâncias de um ponto a dois focos é constante e que ondas de luz são refletidas entre os focos.
2) Exemplos mostram como obter a equação de uma elipse colocando os focos no eixo x e determinar coordenadas dos vértices.
3) Exercícios são resolvidos e propostos envolvendo encontrar focos, vértices e equações de elipses.
Lista de exercícios geometria analítica - retas e circunferênciasbevenut
1. O documento contém 30 questões sobre geometria analítica envolvendo retas, circunferências e suas propriedades como equações, pontos de interseção, distâncias e ângulos.
2. As questões abordam tópicos como determinação de equações de retas e circunferências, cálculo de distâncias, identificação de propriedades geométricas de figuras planas e resolução de problemas envolvendo esses conceitos.
3. As alternativas de resposta para cada questão variam de letras entre a e e.
Alguns exercícios de Geometria Analítica (Posição relativa entre retas e planos) resolvidos.
Em caso de dúvidas/sugestões e relato de erros, enviar e-mail para rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br
1) O documento apresenta 7 exercícios sobre funções quadráticas. Nos exercícios, deve-se determinar vértices, raízes, intervalos de monotonia, extremos e equações de eixos de simetria de funções dadas ou por seus gráficos.
Este documento fornece uma introdução às elipses, definindo-as como o conjunto de pontos cuja distância total aos dois focos é constante, discutindo suas equações canônicas e a excentricidade como medida de quão achatada é a elipse.
Lista de exercícios geometria analítica (ponto)Renato Barbosa
O documento apresenta um trabalho de geometria analítica com 30 exercícios sobre pontos, distância, alinhamento e triângulos no plano cartesiano. O trabalho deve ser resolvido e entregue até 19 de outubro de 2012 para preparação de uma prova.
Este documento fornece uma breve revisão sobre elipses, definindo-as como o lugar geométrico cuja soma das distâncias de um ponto até dois focos fixos é constante. Explica os elementos básicos de uma elipse, como focos, eixos, vértices e excentricidade. Também mostra como obter a equação reduzida de uma elipse a partir de sua definição.
A hipérbole é uma curva plana definida pela diferença das distâncias de um ponto a dois focos fixos. Possui elementos como semi-eixos real e imaginário, focos, semidistância e distância focal. Sua equação geral relaciona essas grandezas e permite representá-la algebraicamente.
[1] O documento descreve os conceitos fundamentais da geometria descritiva, incluindo projeções, planos de projeção, coordenadas descritivas e estudo de retas e suas posições relativas no espaço. [2] Inclui definições de tipos de projeções, planos de projeção, pontos notáveis de retas, retas particulares e exercícios para aplicação dos conceitos. [3] Fornece detalhes técnicos para entendimento completo da geometria descritiva.
Resolução da P2 de Geometria Analítica, modelo C.
Em caso de dúvidas/sugestões e relato de erros, enviar e-mail para rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br
questões de vestibular Circunferência (2009 a 2011)Ataíde Brandão
1. O documento apresenta 25 questões sobre geometria analítica envolvendo circunferências, retas e regiões planas.
2. As questões abordam tópicos como equações de circunferências e retas, pontos de interseção, tangência, áreas de regiões e triângulos.
3. São solicitados cálculos, identificação e representação gráfica de elementos geométricos no plano cartesiano.
Geometria analítica anotações de aula 1° semestre 2010Marcos Azevedo
Este documento apresenta um plano de curso para o primeiro semestre do curso de Licenciatura em Matemática. Aborda tópicos como introdução ao estudo do ponto, reta, circunferência e cônicas na geometria analítica, mostrando como representá-los algebraicamente através de coordenadas cartesianas. Também discute conceitos como distância entre pontos, ponto médio de um segmento e baricentro de um triângulo.
1) O documento apresenta fórmulas para calcular o ponto médio e o baricentro de triângulos a partir das coordenadas de seus vértices.
2) Também mostra como calcular a área de um triângulo a partir das coordenadas de seus vértices.
3) Há um exemplo de exercício que pede para calcular as coordenadas do baricentro de um triângulo ABC, sabendo que AD é uma mediana e as coordenadas de A e D.
O documento apresenta 10 exercícios resolvidos sobre geometria analítica envolvendo planos, retas e pontos no espaço. Os exercícios abordam tópicos como determinação de coordenadas de vértices, equações de planos e retas, distância entre planos, simetria em relação a planos e retas.
Este documento apresenta um resumo sobre seções cônicas. Ele define e discute as principais propriedades geométricas e algébricas da elipse, hipérbole e parábola, incluindo suas equações canônicas. O documento também mostra como essas curvas podem ser obtidas através da interseção de um cone com um plano e caracteriza-as em termos de distâncias fixas em relação a focos e diretrizes.
O documento contém 30 questões de matemática do 2o grau sobre diversos tópicos como funções, logaritmos, trigonometria, matrizes, determinantes e geometria. As questões abordam conceitos como domínio de funções, função inversa, progressão aritmética, sistemas lineares, volumes e áreas de sólidos geométricos e elipses.
O documento descreve as principais curvas cônicas: parábola, elipse e hipérbole. A parábola é definida como o lugar geométrico dos pontos equidistantes de uma reta e um ponto fora da reta. A elipse é o lugar onde a soma das distâncias a dois pontos fixos é constante. A hipérbole é onde a diferença das distâncias a dois pontos é constante.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica no plano cartesiano, incluindo:
1) Sistema de coordenadas cartesianas e localização de pontos no plano.
2) Noções de quadrantes, bissetrizes e distância entre pontos.
3) Condições para alinhamento de três pontos no plano.
O texto é acompanhado por exemplos resolvidos e exercícios propostos sobre os tópicos apresentados.
O período de cerca de 300 a 200 a.C. foi denominado “Idade Áurea” da Matemática grega por, nessa época, terem se destacado três grandes nomes principais: Euclides, Arquimedes e Apolônio de Perga. Embora os dois primeiros tenham sido mais comentados, Apolônio, mais novo dentre eles, teve grande destaque, principalmente no desenvolvimento dos conceitos referentes ao termo “secções cônicas”.
Antes do tempo de Apolônio, a elipse, a hipérbole e a parábola eram obtidas como secções de três tipos diferentes de cone circular, conforme o ângulo no vértice fosse agudo, reto ou obtuso. Ele, então, demonstrou que essa relação é completamente desnecessária, e que as três espécies de cônicas podiam ser obtidas simplesmente ao variarmos a inclinação de um plano qualquer que seccionasse determinada região específica de um único cone circular reto.
Das obras de Apolônio que não se perderam, a mais importante se intitula As Cônicas. Ela foi capaz de aperfeiçoar e surpreender todos os estudos anteriores sobre o assunto e introduziu as denominações conhecidas hoje como elipse, parábola e hipérbole. Mostrando como obter todas as secções cônicas de um mesmo cone e dando-lhes nomes apropriados, Apolônio contribuiu significantemente para o desenvolvimento da Geometria.
Diversas áreas do conhecimento, especialmente a Astronomia, encontraram, nas cônicas, enormes aplicações. Copérnico, Kepler, Halley e Newton, por exemplo, fizeram uso de suas configurações para explicar fenômenos físicos, tais como as trajetórias dos planetas ou de projéteis. Ao serem inseridas na Geometria Analítica, passando a serem definidas como locais geométricos (ou seja, conjuntos de pontos que verificam uma certa propriedade), as secções cônicas passaram a ser representadas através de fórmulas algébricas, ampliando ainda mais suas utilidades.
Matematicamente falando, uma hipérbole pode ser definida como o conjunto de todos os pontos coplanares para os quais a diferença das distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é constante.
Investigação Operacional // How to raise up to 80% gross margin based in effi...Hugo Rodrigues
Este relatório descreve a otimização da produção mensal de três produtos (X1, X2, X3) numa empresa alimentar com o objetivo de maximizar o lucro. A produção utiliza uma matéria-prima comum sujeita a restrições de disponibilidade. A análise por programação linear mostra que a produção ótima é de 6,43 lotes de X1, 16 lotes de X2 e nenhum lote de X3, gerando um lucro máximo de 657.993,56€.
O trabalho da PRIMAVERA Consulting, unidade de negócio da PRIMAVERA BSS, focou-se no desenvolvimento de um modelo de gestão transversal a todas as unidades, contemplando a descentralização das tesourarias e dos serviços financeiros das diversas unidades orgânicas, mantendo a sua autonomia em termos de funcionamento operacional.
O documento apresenta 25 questões sobre cônicas, principalmente elipses. As questões abordam conceitos como equações de elipses, área de elipses, distância focal, excentricidade, pontos de interseção entre elipses e retas, e locais geométricos definidos por elipses.
1) O documento descreve as propriedades geométricas e equações de elipses, incluindo que a soma das distâncias de um ponto a dois focos é constante e que ondas de luz são refletidas entre os focos.
2) Exemplos mostram como obter a equação de uma elipse colocando os focos no eixo x e determinar coordenadas dos vértices.
3) Exercícios são resolvidos e propostos envolvendo encontrar focos, vértices e equações de elipses.
Lista de exercícios geometria analítica - retas e circunferênciasbevenut
1. O documento contém 30 questões sobre geometria analítica envolvendo retas, circunferências e suas propriedades como equações, pontos de interseção, distâncias e ângulos.
2. As questões abordam tópicos como determinação de equações de retas e circunferências, cálculo de distâncias, identificação de propriedades geométricas de figuras planas e resolução de problemas envolvendo esses conceitos.
3. As alternativas de resposta para cada questão variam de letras entre a e e.
Alguns exercícios de Geometria Analítica (Posição relativa entre retas e planos) resolvidos.
Em caso de dúvidas/sugestões e relato de erros, enviar e-mail para rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br
1) O documento apresenta 7 exercícios sobre funções quadráticas. Nos exercícios, deve-se determinar vértices, raízes, intervalos de monotonia, extremos e equações de eixos de simetria de funções dadas ou por seus gráficos.
Este documento fornece uma introdução às elipses, definindo-as como o conjunto de pontos cuja distância total aos dois focos é constante, discutindo suas equações canônicas e a excentricidade como medida de quão achatada é a elipse.
Lista de exercícios geometria analítica (ponto)Renato Barbosa
O documento apresenta um trabalho de geometria analítica com 30 exercícios sobre pontos, distância, alinhamento e triângulos no plano cartesiano. O trabalho deve ser resolvido e entregue até 19 de outubro de 2012 para preparação de uma prova.
Este documento fornece uma breve revisão sobre elipses, definindo-as como o lugar geométrico cuja soma das distâncias de um ponto até dois focos fixos é constante. Explica os elementos básicos de uma elipse, como focos, eixos, vértices e excentricidade. Também mostra como obter a equação reduzida de uma elipse a partir de sua definição.
A hipérbole é uma curva plana definida pela diferença das distâncias de um ponto a dois focos fixos. Possui elementos como semi-eixos real e imaginário, focos, semidistância e distância focal. Sua equação geral relaciona essas grandezas e permite representá-la algebraicamente.
[1] O documento descreve os conceitos fundamentais da geometria descritiva, incluindo projeções, planos de projeção, coordenadas descritivas e estudo de retas e suas posições relativas no espaço. [2] Inclui definições de tipos de projeções, planos de projeção, pontos notáveis de retas, retas particulares e exercícios para aplicação dos conceitos. [3] Fornece detalhes técnicos para entendimento completo da geometria descritiva.
Resolução da P2 de Geometria Analítica, modelo C.
Em caso de dúvidas/sugestões e relato de erros, enviar e-mail para rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br
questões de vestibular Circunferência (2009 a 2011)Ataíde Brandão
1. O documento apresenta 25 questões sobre geometria analítica envolvendo circunferências, retas e regiões planas.
2. As questões abordam tópicos como equações de circunferências e retas, pontos de interseção, tangência, áreas de regiões e triângulos.
3. São solicitados cálculos, identificação e representação gráfica de elementos geométricos no plano cartesiano.
Geometria analítica anotações de aula 1° semestre 2010Marcos Azevedo
Este documento apresenta um plano de curso para o primeiro semestre do curso de Licenciatura em Matemática. Aborda tópicos como introdução ao estudo do ponto, reta, circunferência e cônicas na geometria analítica, mostrando como representá-los algebraicamente através de coordenadas cartesianas. Também discute conceitos como distância entre pontos, ponto médio de um segmento e baricentro de um triângulo.
1) O documento apresenta fórmulas para calcular o ponto médio e o baricentro de triângulos a partir das coordenadas de seus vértices.
2) Também mostra como calcular a área de um triângulo a partir das coordenadas de seus vértices.
3) Há um exemplo de exercício que pede para calcular as coordenadas do baricentro de um triângulo ABC, sabendo que AD é uma mediana e as coordenadas de A e D.
O documento apresenta 10 exercícios resolvidos sobre geometria analítica envolvendo planos, retas e pontos no espaço. Os exercícios abordam tópicos como determinação de coordenadas de vértices, equações de planos e retas, distância entre planos, simetria em relação a planos e retas.
Este documento apresenta um resumo sobre seções cônicas. Ele define e discute as principais propriedades geométricas e algébricas da elipse, hipérbole e parábola, incluindo suas equações canônicas. O documento também mostra como essas curvas podem ser obtidas através da interseção de um cone com um plano e caracteriza-as em termos de distâncias fixas em relação a focos e diretrizes.
O documento contém 30 questões de matemática do 2o grau sobre diversos tópicos como funções, logaritmos, trigonometria, matrizes, determinantes e geometria. As questões abordam conceitos como domínio de funções, função inversa, progressão aritmética, sistemas lineares, volumes e áreas de sólidos geométricos e elipses.
O documento descreve as principais curvas cônicas: parábola, elipse e hipérbole. A parábola é definida como o lugar geométrico dos pontos equidistantes de uma reta e um ponto fora da reta. A elipse é o lugar onde a soma das distâncias a dois pontos fixos é constante. A hipérbole é onde a diferença das distâncias a dois pontos é constante.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica no plano cartesiano, incluindo:
1) Sistema de coordenadas cartesianas e localização de pontos no plano.
2) Noções de quadrantes, bissetrizes e distância entre pontos.
3) Condições para alinhamento de três pontos no plano.
O texto é acompanhado por exemplos resolvidos e exercícios propostos sobre os tópicos apresentados.
O período de cerca de 300 a 200 a.C. foi denominado “Idade Áurea” da Matemática grega por, nessa época, terem se destacado três grandes nomes principais: Euclides, Arquimedes e Apolônio de Perga. Embora os dois primeiros tenham sido mais comentados, Apolônio, mais novo dentre eles, teve grande destaque, principalmente no desenvolvimento dos conceitos referentes ao termo “secções cônicas”.
Antes do tempo de Apolônio, a elipse, a hipérbole e a parábola eram obtidas como secções de três tipos diferentes de cone circular, conforme o ângulo no vértice fosse agudo, reto ou obtuso. Ele, então, demonstrou que essa relação é completamente desnecessária, e que as três espécies de cônicas podiam ser obtidas simplesmente ao variarmos a inclinação de um plano qualquer que seccionasse determinada região específica de um único cone circular reto.
Das obras de Apolônio que não se perderam, a mais importante se intitula As Cônicas. Ela foi capaz de aperfeiçoar e surpreender todos os estudos anteriores sobre o assunto e introduziu as denominações conhecidas hoje como elipse, parábola e hipérbole. Mostrando como obter todas as secções cônicas de um mesmo cone e dando-lhes nomes apropriados, Apolônio contribuiu significantemente para o desenvolvimento da Geometria.
Diversas áreas do conhecimento, especialmente a Astronomia, encontraram, nas cônicas, enormes aplicações. Copérnico, Kepler, Halley e Newton, por exemplo, fizeram uso de suas configurações para explicar fenômenos físicos, tais como as trajetórias dos planetas ou de projéteis. Ao serem inseridas na Geometria Analítica, passando a serem definidas como locais geométricos (ou seja, conjuntos de pontos que verificam uma certa propriedade), as secções cônicas passaram a ser representadas através de fórmulas algébricas, ampliando ainda mais suas utilidades.
Matematicamente falando, uma hipérbole pode ser definida como o conjunto de todos os pontos coplanares para os quais a diferença das distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é constante.
Investigação Operacional // How to raise up to 80% gross margin based in effi...Hugo Rodrigues
Este relatório descreve a otimização da produção mensal de três produtos (X1, X2, X3) numa empresa alimentar com o objetivo de maximizar o lucro. A produção utiliza uma matéria-prima comum sujeita a restrições de disponibilidade. A análise por programação linear mostra que a produção ótima é de 6,43 lotes de X1, 16 lotes de X2 e nenhum lote de X3, gerando um lucro máximo de 657.993,56€.
O trabalho da PRIMAVERA Consulting, unidade de negócio da PRIMAVERA BSS, focou-se no desenvolvimento de um modelo de gestão transversal a todas as unidades, contemplando a descentralização das tesourarias e dos serviços financeiros das diversas unidades orgânicas, mantendo a sua autonomia em termos de funcionamento operacional.
Com o negócio em constante crescimento, dinamizado principalmente pela boa aceitação dos seus vinhos no mercado internacional, a Madeira Wine Company sabia que para responder atempadamente à procura e aumentar o seu volume de negócios teria que reorganizar a empresa de forma a otimizar os recursos humanos e, ao mesmo tempo, reestruturar os sistemas de informação numa arquitetura única. A aposta, recaiu então no ViniGest (solução de gestão para o setor do vinho desenhada pela UniCódigo, PREMIUM Partner PRIMAVERA) e no ERP PRIMAVERA para gerir automaticamente, e de forma integrada, toda a informação operacional, comercial e financeira que é gerada diariamente.
Ter liderança de inserção em um mercado tão disputado na mídia como o de calçados femininos, não é das tarefas mais fáceis, principalmente quando se fala de uma marca que alia moda e conforto. A AtitudeCom conseguiu
O documento discute conceitos de microeconomia como elasticidade da procura e da oferta. A elasticidade da procura mede como a quantidade demandada varia em relação às mudanças de preço, e depende de fatores como necessidade, disponibilidade de substitutos e tempo para ajuste. A elasticidade da oferta descreve como a quantidade oferecida responde a alterações de preço, dependendo da facilidade de expansão da produção. Impostos e controles de preços podem afetar o equilíbrio de mercado.
Gestão e Organização de Empresas parte 2André Silva
O documento discute o ambiente das organizações, incluindo o ambiente geral e específico. O ambiente geral inclui variáveis sociais, econômicas, político-legais e tecnológicas que afetam todas as empresas. O ambiente específico inclui clientes, fornecedores, concorrentes e outros grupos de interesse que afetam diretamente cada indústria. O documento também discute a análise PEST e o modelo das cinco forças competitivas de Porter para analisar esses ambientes.
Este documento fornece 5 testes de matemática do 11o ano sobre trigonometria, funções trigonométricas e geometria. Inclui os testes, respostas e oferece o material ao aluno.
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre retas no plano cartesiano, incluindo equações de retas gerais e reduzidas, coeficientes angular e linear, cálculo de áreas de triângulos e distâncias entre pontos. Exemplos resolvidos ilustram como aplicar essas noções para encontrar equações de retas passando por pontos dados e calcular áreas e distâncias.
O documento discute as seções cônicas, curvas planas obtidas da interseção de um plano com um cone de revolução. Apresenta breve histórico sobre o estudo destas curvas desde a Grécia Antiga, destacando contribuições de Arquimedes, Apolônio, Galileu e Newton. Em seguida, define e apresenta as equações das principais seções cônicas: elipse, hipérbole, parábola e circunferência.
1) O documento discute geometria analítica, especificamente cônicas como elipses, hipérboles e parábolas.
2) Inclui exemplos de problemas e suas respostas sobre equações de cônicas.
3) Fornece também dois testes de vestibulares com mais problemas sobre identificação e propriedades de curvas cônicas.
1) O documento apresenta uma proposta de teste intermédio de Matemática para o 9o ano, dividido em duas partes. A primeira parte permite o uso da calculadora e contém 7 questões. A segunda parte não permite o uso da calculadora e contém 8 questões.
2) A proposta aborda tópicos como sequências numéricas, volumes, porcentagens, funções, geometria plana e espacial, trigonometria e álgebra.
3) Inclui também um formulário com fórmulas úteis para a resolução dos exercícios
O documento contém 16 questões sobre círculos e geometria plana. As questões envolvem conceitos como circunferências inscritas e ex-inscritas em triângulos, setores circulares, tangências entre círculos e retas, potência de pontos, perímetros de figuras geométricas formadas a partir de círculos e mais. O gabarito das questões é fornecido no final.
1) Qualquer ponto de um plano determina infinitas retas.
2) Cinco pontos distintos de um mesmo plano determinam, no máximo, dez segmentos de retas distintas.
3) Se A é o ponto médio do segmento AB e M é o ponto médio de AM, então a medida do segmento MB é 3 cm.
Este documento apresenta 12 exercícios de trigonometria do 11o ano que incluem: 1) cálculo de áreas de triângulos e polígonos regulares usando funções trigonométricas; 2) cálculo de horas de nascer e pôr do sol com funções seno; 3) determinação de distâncias em órbitas elípticas; 4) cálculo de áreas de figuras planas usando funções trigonométricas.
O documento apresenta 25 questões sobre cônicas, principalmente elipses. As questões abordam conceitos como equações de elipses, área de elipses, distância focal, excentricidade, pontos de interseção entre elipses e retas, e locais geométricos definidos por elipses.
(1) O documento apresenta uma prova de matemática com 25 questões sobre tópicos como expressões algébricas, porcentagem, geometria, funções e limites. (2) As questões variam de dificuldade e abordam diferentes conceitos matemáticos. (3) A prova parece ser um exame final ou de admissão para um curso de matemática.
1) Uma elipse é o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (focos) é constante.
2) Uma elipse possui dois eixos, maior e menor, e centro localizado no ponto médio entre os focos.
3) O documento apresenta a dedução da equação de uma elipse quando seu eixo maior é paralelo aos eixos coordenados ou quando seu centro está deslocado da origem.
1. O documento apresenta um teste de matemática com 5 grupos de questões sobre trigonometria, funções, vetores e geometria espacial. Cada grupo contém entre 2 a 5 questões de escolha múltipla ou resolução de exercícios.
1. O documento apresenta questões de matemática do 10o ano sobre geometria, álgebra e funções. 2. Aborda temas como hexágonos regulares, interseção de superfícies, áreas de triângulos, funções e suas propriedades gráficas. 3. Inclui também exercícios sobre representação de regiões planas, esferas, propriedades de funções e interpretação de gráficos.
1) O documento apresenta 12 questões sobre cônicas (circunferências, parábolas e elipses) e seus sistemas de equações analíticas no plano cartesiano.
2) As questões abordam tópicos como interseção entre curvas, propriedades geométricas como distância entre pontos e centros de figuras, e sistemas de equações e inequações.
3) Há também uma questão sobre a modelagem matemática da iluminação de ruas por meio de elipses.
O documento discute conceitos básicos de geometria plana, incluindo: (1) feixes de retas paralelas e transversais, (2) polígonos convexos e suas propriedades, como número de lados, ângulos internos e externos, (3) triângulos, classificando-os de acordo com lados e ângulos.
Este documento propõe um teste de avaliação de Matemática A para o 10o ano de escolaridade. O teste é dividido em dois grupos, sendo o Grupo I composto por itens de múltipla escolha e o Grupo II por itens que requerem cálculos e justificativas. O teste avalia conteúdos como geometria no espaço, cálculo vetorial e geometria plana.
O documento apresenta os tópicos de um módulo de matemática sobre geometria analítica, incluindo pontos e retas, circunferência, cônicas, números complexos e polinômios. Há também exercícios resolvidos sobre esses assuntos.
Este documento apresenta uma proposta de prova modelo de Matemática A para o 12o ano de escolaridade. A prova é constituída por dois cadernos, com duração total de 150 minutos. O Caderno 1 contém 7 questões de escolha múltipla e resolução de problemas com duração de 75 minutos. O Caderno 2 contém 5 questões de escolha múltipla e resolução de problemas com duração de 75 minutos, não sendo permitido o uso de calculadora. Cada questão possui uma cotação específica e o total da prova é de 200 pontos
O documento discute vários tipos de superfícies quádricas, incluindo elipsóides, hiperbolóides, parabolóides, superfícies cônicas e cilíndricas. Exemplos de equações para cada tipo de superfície são fornecidos junto com explicações gráficas. Alguns exercícios de identificação de superfícies a partir de equações são resolvidos.
1) O documento apresenta uma ficha de apoio ao estudo da matemática para o 11o ano, com exercícios sobre ângulos, planos, funções e gráficos.
2) Inclui questões sobre ângulos formados por retas, equações de planos tangentes a esferas e perpendiculares a outros planos, e resolução de sistemas de equações.
3) Também aborda cálculo de áreas de triângulos, determinação de coordenadas de pontos, estudos de funções e resolução analítica de desig
1. Grafos – Circuito e Ciclo de Euler
INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) IX-1
IX. Circuito e Ciclo de Euler
Um grafo orientado diz-se “euleriano” se há um circuito que contenha todos os seus arcos uma e só uma vez
(circuito “euleriano”).O grafo da figura é “euleriano”porque admite o circuito A, B, C, D.
De acordo com o teorema de Euler, “um grafo orientado admite um circuito de Euler se e só se for fortemente
conexo e pseudo simétrico1
” (diz-se que o grafo é “euleriano”).
Um grafo não orientado diz-se “euleriano” se há um ciclo que contenha todas as suas arestas uma e só uma vez
(ciclo “euleriano”).O grafo da figura é “euleriano”porque admite, por exemplo, o ciclo A, D, C, B.
De acordo com o teorema de Euler, “um grafo não orientado admite um ciclo de Euler se e só for conexo e não
tiver vértices de grau ímpar ”.
1. Circuito de Euler
Considere-se que a figura seguinte representa uma zona da cidade onde uma equipa terá que fazer recolha de
lixo em todos os arruamentos existentes (observando o sentido indicado para o trânsito).
Em cada um dos arruamentos está indicada a distância (centenas de metros) entre os vértices extremos.
Admitindo que se pretende que o percurso de limpeza comece e termine em “A” qual é o circuito óptimo ?
O circuito óptimo será um circuito de Euler (em que se percorrerão todos os arruamentos uma única vez). Se
existir, a distância total óptima será de 82 centenas de metros (somatório de todas as distâncias associadas a cada
um dos arcos do grafo). Este grafo será “euleriano” ?.
1
Um grafo orientado em que qualquer dos vértices tem semigrau interior e exterior iguais, diz-se grafo pseudo simétrico.
4
1 2
D
A
B
C 3
4
1 2
D
A
B
C 3
A
E
C
D
B
10
10
15
11
12
8
9
7
2. Grafos – Circuito e Ciclo de Euler
INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)IX-2
Na matriz do grafo, verifica-se se o grafo é conexo e, em caso afirmativo, determinam-se os semigraus de cada
um dos vértices :
A B C D E AΓ
^ +
iv
A 10 0 1
B 10 11 2 2
C 12 3 1
D 15 9 2 2
E 8 7 1 2
1
^
−
ΓA
0 1 3 2 2
−
iv 1 2 1 2 2
Porque o grafo é conexo e todos os vértices têm semigraus iguais, de acordo com o teorema de Euler o grafo é
“euleriano”.
Para estabelecer um circuito de Euler, que sabemos existir, actue-se do seguinte modo:
1. Registar em coluna, para cada vértice, os seus sucessores (1º quadro)
A B C D E
E A D B B
C E D
2. Organizar um 2º quadro para registar, sucessivamente, os arcos do circuito (início em “A” por
exemplo)
Ordem 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º Fecho
Vértice A
3. Escolher sucessivamente sucessores do último vértice atingido,
impedindo circuitos “parasitas”
• Seleccionar o arco AE ; eliminar “E” no 1º quadro e registar no 2º quadro; último vértice é “E”
A B C D E
E A D B B
C E D
Ordem 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º Fecho
Vértice A E
• Seleccionar o arco EB ; eliminar “B” no 1º quadro e registar no 2º quadro; último vértice é “B”
A B C D E
E A D B B
C E D
Ordem 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º Fecho
Vértice A E B
3. Grafos – Circuito e Ciclo de Euler
INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) IX-3
• Seleccionar o arco BA ; eliminar “A” no 1º quadro e registar no 2º quadro; último vértice é “A”
A B C D E
E A D B B
C E D
Ordem 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º Fecho
Vértice A E B A
• O vértice “A” não tem sucessores; estabeleceu-se prematuramente o circuito “parasita” A, E, B, A.. O
vértice “A” é deslocado para a última casa livre do 2º quadro. O “último” vértice” do circuito é agora
“B”
A B C D E
E A D B B
C E D
Ordem 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º Fecho
Vértice A E B A
• Seleccionar o arco BC ; eliminar “C” no 1º quadro e registar no 2º quadro; último vértice é “C”
A B C D E
E A D B B
C E D
Ordem 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º Fecho
Vértice A E B C A
• Seleccionar o arco CD ; eliminar “D” no 1º quadro e registar no 2º quadro; último vértice é “D”
A B C D E
E A D B B
C E D
Ordem 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º Fecho
Vértice A E B C D A
• Seleccionar o arco DB ; eliminar “B” no 1º quadro e registar no 2º quadro; último vértice é “B”
A B C D E
E A D B B
C E D
Ordem 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º Fecho
Vértice A E B C D B A
4. Grafos – Circuito e Ciclo de Euler
INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)IX-4
• O vértice “B” não tem sucessores; estabeleceu-se o circuito “parasita” B, C, D, B. O vértice “B” é
deslocado para a última casa livre do 2º quadro. O “último” vértice” do circuito é agora “D”
A B C D E
E A D B B
C E D
Ordem 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º Fecho
Vértice A E B C D B A
• Seleccionar o arco DE ; eliminar “E” no 1º quadro e registar no 2º quadro; último vértice é “E”
A B C D E
E A D B B
C E D
Ordem 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º Fecho
Vértice A E B C D E B A
• Seleccionar o arco ED ; eliminar “D” no 1º quadro e registar no 2º quadro; último vértice é “D”
A B C D E
E A D B B
C E D
Ordem 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º Fecho
Vértice A E B C D E D B A
Todos os arcos foram seleccionados. Neste último quadro tem-se o circuito de Euler com início e fim no
vértice “A”.
Veja-se agora a situação anterior mas noutra zona da cidade:
Este grafo será “euleriano” ?
F
G
I
D
B
A
E
H
5
4
4
4
4
8
3
3
C
4
6
4 7
7
3
6
6
55
5. Grafos – Circuito e Ciclo de Euler
INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) IX-5
Comecemos por organizar a matriz booleana do grafo da zona de limpeza, verificar se o grafo é fortemente
conexo e registar o semigrau interior e exterior de cada vértice:
A B C D E F G H I AΓ
^
+
iv
A 1 1 0 2
B 1 1 1 2
C 1 1 1
D 1 1 2 2
E 1 1 1 2 3
F 1 1 3 2
G 1 1 4 2
H 1 1 1 3 3
I 1 3 1
1
^
−
ΓA
0 2 3 4 1 1 2 3 4
−
iv 2 3 2 2 2 1 2 2 2
A intersecção dos fechos transitivos directo e inverso do vértice “A” é o conjunto {A,B,C,D,E,F,G,H,I }) pelo
que o grafo é fortemente conexo.
Nos vértices B, C, E, F, H e I os semigraus exterior e interior são diferentes pelo que não há circuito de Euler
ou seja para fazer o circuito C, …., C será necessário repetir a passagem em um ou mais dos arruamentos
(arcos).
O problema é então saber quais os arruamentos a repetir de forma a que o aumento na distância total
seja o menor possível.
O cálculo da solução óptima deste problema implica a “eulerização” do grafo que consiste em calcular quais os
arcos a repetir entre vértices da rede (repetição de arruamentos) por forma a que, em todos eles, haja igualdade
de semigraus (grafo “euleriano”).
Recorrendo à teoria de fluxos em rede, os vértices com semigraus diferentes serão Origem ou Destino de fluxo
consoante o semigrau exterior é, respectivamente, menor ou maior do que o semigrau interior.
Assim, por exemplo, o vértice “B” necessita ser considerado como Origem de Fluxo com “oferta” de uma
unidade de fluxo. De facto, porque é “origem” de 2 arcos e “fim” de 3 arcos, é necessário repetir a passagem
num dos arcos de que “B” é origem para ficar equilibrado o número de “saídas de B” com o número de
“entradas em B”. No quadro seguinte, sistematiza-se esta pesquisa prévia:
A B C D E F G H I
+
iv −
iv
Considerar “Oferta”/”Procura”
A 1 1 2 = 2
B 1 1 2 < 3 Origem 132 =−
C 1 1 < 2 Origem 121 =−
D 1 1 2 = 2
E 1 1 1 3 > 2 Destino 123 =−
F 1 1 2 > 1 Destino 112 =−
G 1 1 2 = 2
H 1 1 1 3 > 2 Destino 123 =−
I 1 1 < 2 Origem 121 =−
6. Grafos – Circuito e Ciclo de Euler
INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)IX-6
Nota: Veja-se que a “disponibilidade de fluxo” dos vértices classificados como “origem de fluxo ” tal como a
“necessidade de fluxo” dos vértices classificados como “destino de fluxo” é igual ao valor absoluto da
diferença entre os semigraus do vértice.
Para calcular o “fluxo máximo com menor distância total”, define-se a entrada fictícia na rede, “X”, que é ligada
com arcos às origens de fluxo (B, C, I) e a saída fictícia da rede, “Y”, que é ligada aos destinos de fluxo (E, F,
H). A capacidades destes arcos de ligação é igual à oferta/procura do vértice a que estão associados. Os restantes
arcos da rede têm capacidade ilimitada.
O fluxo máximo com menor encargo (distância neste caso) pode obter-se recorrendo a um modelo de
programação inteira (PLIP) em que as variáveis de decisão, não negativas, indicam o fluxo que percorre cada
arco da rede. Atendendo a que, obrigatoriamente, as variáveis XB, XC , XI, EY, FY e HY terão valor de 1
unidade (tanto quanto é o valor absoluto da diferença entre os semigraus), o modelo a utilizar é o seguinte:
AB AC BD BE CB DC DI EA EF EH FA FG GE GI HB HD HG IH
Min 4 6 5 3 4 7 7 5 4 3 8 5 4 6 4 6 4 3 Obs
I -1 -1 1 = 1 Origem
B -1 1 1 -1 -1 = 1 Origem
C -1 1 -1 = 1 Origem
G 1 -1 -1 1 = 0
D 1 -1 -1 1 = 0
A -1 -1 1 1 = 0
H 1 -1 -1 -1 1 = 1 Destino
E 1 -1 -1 -1 1 = 1 Destino
F 1 -1 -1 = 1 Destino
A solução óptima1
BE=2, CB=EF=IH=1 indica para cada um destes arruamentos o número de vezes que devem
ser repetidos para obter o circuito desejado com a distância total óptima de 105 centenas de metros (88 dos
arruamentos e 17 das repetições de arruamentos). Para calcular o circuito é necessário “aumentar” o grafo com 2
1
Obtida pelo método “out of kilter”. Pode utilizar-se o modelo de Transhipment.
G
I
D
B
A
5
4
4
4
4
8 3
3
C
4
6
4 7
7
3
6
6
55
F
E
H
X
Cap = 1
Y
Cap = 1
Cap = 1
Cap = 1
Cap = 1
Cap = 1
7. Grafos – Circuito e Ciclo de Euler
INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) IX-7
arcos ligando B a E, 1 arco ligando C a B, 1 arco ligando E a F e 1 arco ligando I a H pois deste modo todos os
vértices ficam com semigraus iguais (grafo “euleriano”):
Este grafo “aumentado” admite o circuito de Euler:
“C, B, D, I, H, G, E, H, D, C, B, E, F, G, I, H, B, E, A, B, E, F, A, C”
que se representa na figura seguinte (nos arcos está registada a ordem porque são percorridos):
Nota: veja-se que, nos vértices B, C, E, F, H e I são iguais os semigraus interior e exterior (pseudo simetria)
Se se optasse pelo modelo de Transhipment para calcular os arruamentos a repetir, usava-se a matriz inicial:
A B C D E F G H I Oferta Observações
A 0 4 6 3
B 0 5 3 3+1
C 4 0 3+1
D 7 0 7 3
E 5 0 4 3 3
F 8 0 5 3
G 4 0 6 3
H 4 6 4 0 3
I 3 0 3+1
Procura 3 3 3 3 3+1 3+1 3 3+1 3
A distância associada
às ligações inexistentes
é considerada infinita
(Big “M”)
Nota: Buffer= 3; Origens e Transhipment: B, C, I ; Destinos e Transhipment: E, F, H
obtendo-se a solução óptima seguinte (veja-se BE=2, CB=EF=IH=1; Min f(X)=17 ):
A 3 0
B 2 0 2
C 1 3
D 3
E 2 1 0
F 3
G 3
H 0 3
I 1 3
A
F
G
E
C
D
H
I
B
13º
6º
5º
14º
15º
3º
8º
16º
7º
11º
12º
22º
18º
19º 2º
1º
9º
23º
10º
20º
17º
21º
4º
8. Grafos – Circuito e Ciclo de Euler
INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)IX-8
2. Ciclo de Euler
Considere-se agora a mesma zona da cidade mas em que os arruamentos permitem transitar nos dois sentidos
(arestas).
Admitindo desejar que o percurso de limpeza de todos os arruamentos comece e termine em “C” qual é o ciclo
óptimo ?
O ciclo óptimo será um ciclo de Euler (em que se percorrerão todos os arruamentos uma única vez). Se existir,
a distância total óptima será de 88 centenas de metros (somatório de todas as distâncias associadas a cada um
dos arcos do grafo). Este grafo admite ciclo de Euler ?
O grau de cada um dos vértices (número de arestas de que o vértice é extremo) é o seguinte:
A B C D E F G H I Grau Obs.
A 1 1 1 1 4
B 1 1 1 1 1 5 Ímpar
C 1 1 1 3 Ímpar
D 1 1 1 1 4
E 1 1 1 1 1 5 Ímpar
F 1 1 1 3 Ímpar
G 1 1 1 1 4
H 1 1 1 1 1 5 Ímpar
I 1 1 1 3 Ímpar
Nota: atente-se que em qualquer grafo não orientado, é sempre par o número de vértices de grau
ímpar, caso existam (teorema de Euler)
Porque há pelo menos um vértice de grau ímpar não há ciclo de Euler para a limpeza ou seja para fazer o ciclo
C, …., C será necessário repetir a passagem em um ou mais dos arruamentos. O problema é então saber quais
os arruamentos a repetir de forma a que o aumento na distância total seja o menor possível.
O cálculo da solução óptima deste problema implica a “eulerização” do grafo que consiste em calcular quais as
arestas a repetir entre vértices da rede (repetição de arruamentos) por forma a que, todos eles, tenham grau
par (admitindo então um ciclo de Euler).
A
F
G
E
C
D
H
I
B
5
4
4
6
3
7
6
4
3
3
4
8
5
4 5
4
7
6
9. Grafos – Circuito e Ciclo de Euler
INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) IX-9
A técnica a usar, que difere da utilizada para grafos orientados, é a seguinte:
1. calcular a distância mínima entre cada par de vértices da rede
2. organizar pares de vértices, de grau ímpar, de forma a que :
• cada um dos vértices não pertença a mais do que um par
• seja mínima a soma das distâncias mínimas associadas a cada um dos pares
Utilizando um algoritmo de encaminhamento (Floyd por exemplo) obtêm-se as seguintes matrizes de distâncias
mínimas e de precedências:
A B C D E F G H I
A 4 6 5 8
B 4 4 5 3 4
C 6 4 7
(Matriz inicial) D 5 7 6 7
E 5 3 4 4 3
F 8 4 5
G 4 5 4 6
H 4 6 3 4 3
I 7 6 3
A B C D E F G H I
A 4 6 9 5 8 9 8 11
B 4 4 5 3 7 7 4 7
C 6 4 7 7 11 11 8 11
(Matriz de distâncias mínimas) D 9 5 7 8 12 10 6 7
E 5 3 7 8 4 4 3 6
F 8 7 11 12 4 5 7 10
G 9 7 11 10 4 5 4 6
H 8 4 8 6 3 7 4 3
I 11 7 11 7 6 10 6 3
A B C D E F G H I
A B E B H
B E E H
C B E E B H
(Matriz de precedências) D B B E H
E B B H
F E E E E H
G E E E H
H B B E
I H H H H H
Para organizar os pares de vértices de grau ímpar recorre-se a algoritmia adequada (minimum weighted perfect
matching) ou a um modelo de PLIB (programação linear inteira binária). Neste último, consideram-se os pares
possíveis (i,j) como sendo as variáveis de decisão (binárias: com valor 1 organiza-se o par (i,j) ; com valor 0 não
se organiza o par (i,j) ). O modelo de PLIB a utilizar é o seguinte:
10. Grafos – Circuito e Ciclo de Euler
INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)IX-10
BC BE BF BH BI CB CE CF CH CI EB EC EF EH EI FB FC FE FH FI HB HC HE HF HI IB IC IE IF IH
f= 4 3 7 4 7 4 7 11 8 11 3 7 4 3 6 7 11 4 7 10 4 8 3 7 3 7 11 6 10 3
Vértice
B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1
C 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1
E 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1
F 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1
H 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1
I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1
Nota:
Para cada vértice de grau ímpar é estabelecida uma restrição com todas as variáveis em que este vértice é o
1º ou o 2º vértice do par. Deste modo só uma dessas variáveis poderá ter valor 1 impedindo que o vértice
pertença a mais do que um par.
Os coeficientes da função objectivo, a minimizar, são as distâncias mínimas entre cada um dos pares de
vértices em estudo (ver matriz de distâncias mínimas).
Se, no óptimo, o par (i,j) tiver o valor “1” é necessário recorrer à matriz de precedências para saber o
encaminhamento associado à distância mínima (que é coeficiente do par na função objectivo).
As arestas deste encaminhamento serão duplicadas alcançando-se a desejada paridade dos vértices para se
calcular o ciclo óptimo como se de um ciclo de Euler se tratasse.
A solução óptima do modelo de PLIB é BC=1, EF=1; HI=1 com valor mínimo da função igual a 11 centenas de
metros.
Recorrendo à matriz de precedências, o encaminhamento óptimo entre estes pares de vértices é:
• BC : ligação directa com distância óptima de 4 centenas de metros
• EF : ligação directa com distância óptima de 4 centenas de metros
• HI : ligação directa com distância óptima de 3 centenas de metros
A figura seguinte mostra o grafo “aumentado” com a indicação da ordem porque cada arruamento deve ser
percorrido pelo pessoal da limpeza (ciclo de Euler). A distância total a percorrer será de 99 centenas de metros
(88+11).
A
F
G
E
C
D
H
I
B
5
4
4
6
3
7
6
4
3
3
4
8
5
4 5
4
7
6
3
4
4
11. Grafos – Circuito e Ciclo de Euler
INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) IX-11
3. Auto Teste
a. Qual é o grau do vértice B?
b. O grafo seguinte admite um ciclo de Euler? Em caso negativo, quantas arestas são necessárias para “eulerizá-
lo” ?
c. Qual é o mínimo de repetições de arestas necessárias para “eulerizar” o grafo seguinte?
d. Comente a afirmação seguinte: “No grafo não orientado com 10 vértices de grau ímpar é necessário repetir 5
arestas para “eulerizar” o mesmo.
e. Comente a afirmação seguinte: “No grafo não orientado com 10 vértices de grau ímpar é necessário, no
mínimo, repetir 5 arestas para “eulerizar” o mesmo.
f. “Eulerize” o grafo seguinte:
CA B
D
CA B
D
D
A
B
C
F
G
E
G
I
B
A
D EC
F
K LJ
H
12. Grafos – Circuito e Ciclo de Euler
INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)IX-12
g. Calcule um ciclo óptimo de limpeza na região urbana que o grafo seguinte representa (arestas com
distâncias em centenas de metros):
h. Numa fábrica as ligações exteriores existentes são as indicadas na matriz seguinte (arestas com distâncias em
metros).
A B C D E F
A 500 1000
B 500 300 200 700
C 1000 300 600
D 200 600 300 200
E 700 300 300
F 200 300
As instalações da segurança nocturna estão localizadas em “A”.
Calcule o encaminhamento óptimo para a segurança sair e regressar às instalações percorrendo todos os
arruamentos exteriores.
i. Calcule o circuito óptimo no grafo com a seguinte matriz de custos (u.m.):
A B C D E F
A 10 4
B 10 11
C 12
D 15 9
E 8 7
F 11
B
5
A
D
2
C
5
4
3
E
5
10
6
10
I
F
8
6
3
4
G
5
H
7
4
8
5
J
9
7
13. Grafos – Circuito e Ciclo de Euler
INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) IX-13
j. Calcule o circuito postal óptimo no grafo com a seguinte matriz de tempos (u.t.):
A B C D E F G H I J K L
A 10 10
B 30
C 10 20
D 20
E 20 10 10
F 40 20
G 20 10
H 10 10
I 10
J 30 10
K 30
L 20
14. Grafos – Circuito e Ciclo de Euler
INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)IX-14
4. Solução do Auto Teste
a. O grau do vértice é o número de arcos/arestas de que o vértice é extremo. O vértice B tem grau 3.
b. Os vértices B e D têm grau ímpar, pelo que não há ciclo de Euler. Porque B e D são adjacentes “euleriza-se”
o grafo repetindo a aresta BD:
c. Os vértices com grau ímpar são C e G. A cadeia de menor comprimento tem duas arestas (CB e BG) pelo
que é necessário repetir estas duas arestas:
d. Errado (ver a questão anterior).
e. Correcto (ver a questão anterior).
f. Reutilizar as 5 arestas AB, DE, EG, IL, LK ou AB, DF, FH, HK, GI são soluções óptimas.
CA B
D
D
A
B
C
F
G
E
G
I
B
A
D EC
F
K LJ
H
G
I
B
A
D EC
F
K LJ
H
15. Grafos – Circuito e Ciclo de Euler
INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) IX-15
g. Não há ciclo de Euler (A, B, E e I têm grau ímpar).
Para “eulerizar” o grafo é necessário calcular a matriz de encaminhamentos de distância mínima entre cada
par de vértices e, de seguida, organizar os 4 vértices de grau ímpar em dois pares complementares.
Para tal, a ligação F-G deve desdobrar-se ficando do seguinte modo:
A matriz inicial de distâncias para cálculo do “grau de cada vértice e “encaminhamento de distância mínima
entre cada par de vértices” é a seguinte:
A B C D E F1 F2 G1 G2 H I J Grau
A 5 4 2 Ímpar
B 5 3 10 Ímpar
C 4 3 5 6 8 10 Par
D 2 5 4 6 Par
E 10 6 5 Ímpar
F1 8 4 0 5 5 9 Par
F2 0 3 Par
G1 6 5 0 7 Par
G2 3 0 Par
H 5 7 7 8 Par
I 10 5 9 7 4 Ímpar
J 8 4 Par
Os pares óptimos (A,B) e (E,I) são os arruamentos a repetir. A distância total óptima é de 126 centenas de
metros (116 dos arruamentos; 10 das repetições).
C
D
5 F1
8
6
4
G1
5
H
7
5
G2F2
0
3
0
16. Grafos – Circuito e Ciclo de Euler
INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)IX-16
O grafo “aumentado” a seguir apresentado (conexo e com todos os vértices de grau par) admite o ciclo de
Euler ,definido a partir de “A “ :
A B A C B E C D F C I E I F G F H I J H G D A
h. Não há ciclo de Euler pois há vértices de grau ímpar (C e E).
O grafo e matriz inicial são os seguintes:
Para “eulerizar” o grafo é necessário calcular a distância mínima entre os dois únicos vértices de grau ímpar
(é de 800 metros por C, B, D, E).
O grafo é “aumentado” com as arestas CB, BD e DE que representam os arruamentos a repetir durante a
ronda.
O ciclo óptimo (ciclo de Euler) é de 4900 metros (4100+800):
A, B, C, B, D, B, E, D, E, F, D, C, A
B
1º
A
D
22º
C
7º
3º
4º
E
11º
10º
6º
5º
I
F
9º
21º
15º
8º
G
14º
H
20º
18º
19º
16º
J
13º
17º2º
12º
A B500
E
FD
C
300
700
200
3001000 300
200
600
A B500
E
FD
C
300
700
200
3001000 300
200
600
17. Grafos – Circuito e Ciclo de Euler
INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) IX-17
i. Há circuito de Euler com valor de 97 u.m. (grafo conexo; todos os vértices com grau par):
A E B C D E D B A F A
j. Não há circuito de Euler pois há vértices com semigraus interior e exterior diferentes (só A , H e I têm
semigraus iguais). O grafo aumentado é o seguinte:
A B C D E F G H I J K L Nº de arcos a repetir
A 10 10
B 30 2 para F;
C 10 20 1 para D;
D 20 1 para H;
E 20 10 10 1 para A;
F 40 20 3 para E; 1 para G;
G 20 10 1 para C;
H 10 10
I 10
J 30 10 2 para F;
K 30 2 para J;
L 20 1 para K;
Neste grafo, aumentado, o circuito postal óptimo tem 770 unidades de tempo das quais 420 são devidas à
repetição de arcos:
A B F E A C B F E B F E I J F G C D H G C D H …
… G C D H L K J F G K J L K J F E A
A
B
10
E
F
D
C
8
12
11
4
10
15
7
9
11