1) Qualquer ponto de um plano determina infinitas retas. 2) Cinco pontos distintos de um mesmo plano determinam, no máximo, dez segmentos de retas distintas. 3) Se A é o ponto médio do segmento AB e M é o ponto médio de AM, então a medida do segmento MB é 3 cm.

1. •
13) CFS - 1998 - O eonjun;tD �alução da i.n.�qu.a.ção 6xr
+ 13x - 5 � O l=
a) {x e R I x s 1/3 ou x � 5/2}.
b) {X E R I X $ -5/3 ou X � -1/2}.
e) {X E R 1 -s/2 $ ,: $ 1/3}.
d) {x e R 1,;x s -5/2 ou x � 1/3}.
RESPOSTAS VAS QUESTÕES VE CONCURSOS PROPOSTAS:
1) b. 2) d. 3) b. 4) e. 5) a. 6) b. 7) a. 8) e. 9) a. 10) d.
li) a. 12) e. 13) d.
168
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aJ3:x,6t:muptlµvo1t8pCTTUu1@çjfÇA.BXAE<I>rIIl3KAMNOIIE>P:ETYçf!3{'Z
Geometria
Platta
(bloco 3)
169

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CAPÍTULO 22: NOÇÕES PRIMITIVAS.
O ponto é adirnensional eé representado por uma letra maiúscula do nosso alfabeto; uma
retaé infinita nos dois sentidos eé representada por uma letra minúscula do nosso alfabeto ou por
dois de seus pontos.
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Ai! r.
p E r.
A
➔ponfoA
t
º
I
P
.j.
1º
�
uma reta, um segmento ou uma
semi-reta são co�untos de pontos.
r
reta rou PQ
semi-retas que têm a mesma reta­
-suporte e apenas a origem como ponto
comum são ditas semi-retas opostas.
PO e PQ são semi-retas opostas.
➔ ➔
semi-retas: QP ou PQ.
segmentos: OP, OQ, OQ.
➔
ré o suporte de OP, OQ e PQ.
Um ponto P, sobre uma reta r, determina duas semi-retas. A região da reta limitada por dois
de seus pontosé um segmento de reta ou simplesmente segmento. Quando esses segmentos têm uma
extremidade em comum, são consecutivos. Quando estão sobre uma mesma reta {chamada de reta­
suporte), são colineares. Segmentos de reta consecutivos e não colineares formam uma linha
poligonal.
E-�---�F
A B c D
exemplos de consecutivos: ABe BC;AC e CD; DE e EF.
exemplos de colineares: BC e CD; ABe CD.
exemplos de consecutivos e colineares: ABe BC; BC e CD.
exemplo de poligonal: CDEFG.
G
Medir um segmentoé compará-lo com outro tomado como unidade. A distância entre dois
pontos P e Q, por exemploé a medida do segmento de reta PQ. Segmentos que têm a mesma medida
são ditos congruentes, o que indicamos pelo símbolo =· Ponto médio de um segmentoé o ponto
que o divide em dois outros congruentes entre si.
171

3. A
u
med(�=2u.
med@C)= lu.
B
u u
c
l u
1
med(CD)=Ju
med(AC)=Ju
u
D
u
med (CD) = med (AC) ⇒ CD = Á.C.
C é p_onto médio de AD.
U� plano é representado por letras núnúsculas do alfabeto grego: a, 13, ó, y, etc.
um plano é um
conjuntoºinfinito de
pontos.
rca tca
sca uca
r11s=0
t11r = {P}
a1
r
s tsu
a2
um senú-plano é um
conjunto infinito de pontos.
t (ou u) divide o plano a em a1 e a2.
Retas contidas num mesmo plano são coplanares (r, s, t, u). As retas coplanares podem ser:
a) paralew: têm a mesma direção.
As retas paralelas podem ser:
i - distintas: não têm ponto em comum (r e s);
ii - coincidentel� têm TODOS os pontos em comum (t e u).
b) concorrentes: têm apenas um ponto em comum (u e r ou t e s);
Uma reta divide um plano em duas regiões chamadas semi-planos, cada um com origem
nessa reta (a1 e a2 são semi-plartos com origem ou fronteira t).
OBS.:
Quando duas retas são tais que não existe um único plano que as contenha, elas são ditas
revenas.
SENTENÇASMATFMÁ11CAS:
Sentenças matemáticas aceitas sem provas são chamadas de axiomas on postulados.
Sentenças matemáticas que precisam de demonstração para serem aceitas como verdadeiras são
chamadas de teoremas.
São exemplos de axiomas:
a) o espaço é o conjunto de todos os pontos.
b) numa reta e fora dela, existem infinitos pontos.
c) por um ponto passam infinitas retas.
d) dois pontos distintos determinam uma e somente uma reta.
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e) por um ponto fora de uma reta é possível traçar uma única paralela a essa reta (Postulado de
Euclides).
f)passa_ um único plano_por:
�
� /(ac/ ·g;J �
Lldl
3 pontos não colineares uma reta e um ponto
fora dela.
duas retas concorrentes duas retas paralelas
g) se uma reta passa por dois pontos distintos de um plano, ela está inteiramente contida nele.
Os teoremas se dividem em hipótese (condições aceitas como verdadeiras) e tese (aquilo que
se quer provar). Por exemplo: Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
hipótese: dois ângulos são opostos pelo vértice (esta condição é aceita como verdadeira).
tese: esses ângulos são congruentes {essa condição é exatamente o que queremos provar).
SUGESTÕES DE EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM:
1) Coloque (V) ou {F) de acordo com a figura abaixo:
a) E E s ( ).
b) se a ( ).
c) A E a ( ).
++
d) ED::::>EC ( ),
➔
e) D E DC ( ).
f) ru t = 0 ( ).
g) r11s= {B} ( ).
h) t e r não são coplanares ( ).
++ +-+
i) EC e BC são concorrentes ( ).
➔ +-+
j) ECcBC ( ).
➔ ➔
k) EC e ED são senú-retas opostas (
1) DE e EB são consecutivos ( ).
+-+
m) D i EC ( ).
).
113
n) (r 11 s) 11t = {E, B, C} ( ).
➔ ➔
o) CE e CB são semi-retas opostas (
p) BE e BC são colineares ( ).
q) r e s são paralelas ( ).
r) r={B, C} ( ).
).

4. 2) Construa o que se pede:
tt tt
aj M E AB; P e; AB.
tt tt
b) l'vlN n PQ = {X}.
c) AB e BC consecutivos e colineares.
d) MN e NP consecutivos e não colineares.
3) Identifique a hipótese e a tese dos seguintes teoremas:
a) Se um triângulo é isósceles, então os ângulos da base têm a mesma medida.
b) Dois ângulos opostos pelo vétice têm a mesma medida.
c) A soma dos ângulos de um triângulo é 180".
4)Num se�ento AB, Mé o seu ponto médio. Seja Q um ponto localizado entre Me B. então, a
medida de QM é dada pela semi-diferença positiva de QA e QB.Provar.
5) Cinco retas distintas coplanares cortam-se em n pontos. O maior valor que n pode assumir é:
a) S. b) 6. c) 10. d) 12. e) N.R.A.
6)Por cinco pontos de um mesmo plano, todos distintos, sendo quatro deles colineares, podemos
construir .......... reta(s).
a) 5. b) 4. c) 3. d) 2. e) 1.
7)Por três pontos A, B e C, colineares, podemos traçar .......... semi-retas que contêm pelo menos
dois deles.
a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.
8) A intersecção entre duas retas coplanares não pode ser ............. ponto(s).
a) zero. b) apenas um. c) apenas dois. d) infuútos.
9) Seja um segmento AB, de medida 5 cm, sobre uma reta r. Dado um pontoP, de r, sePB = 5 cm,
então:
a) p = A.
b) não há solução para a questão.
c)P=B.
d) há duas soluções para a questão.
e) há infinitas soluções para a questão.
10) Considere as afirmações:
I - Três retas paralelas distintas podem determinar 1 ou 3 planos.
II - Duas retas s é t distintas são paralelas a 'um plano a; então elas podem ser reversas.
m - Se uma reta é perpendicular a urna reta paralela a um plano, então ela é perpendicular ao
plano. Então:
à) todas são verdadeiras.
b) todas são falsas.
c) somente I e II são verdadeiras.
d) somente I em são verdadeiras.
e) somente II em são verdadeiras.
174
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11)Feitas as afirmações: ""-
I -Por um ponto P fora de uma reta r, podemos traçar infinitas retas concorrentes com r.
II - Dados uma reta s e um ponto Q, fora dela, é único o ponto N, de s, que dista 5 cm de Q.
III - Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si.
Então:
a) todas são verdadeiras.
b) todas são falsas.
c) somente I é verdadeira.
d) somente I e II são verdadeiras.
e) II e II[são verdadeiras.
12) Quantos são os segmentos de reta distintos, com suporte r, s, t ou u, que têm extremidade em
dois dos pontos A, B, C, D, E ouF abaixo?. r � s • t
a) 10.
b) 12.
c) 15.
d) 16.
e)N.R.A.
A
u
13) Seja r uma reta de um plano a. Sejam também A, B e C três pontos não-colineares de a, não
pertencentes a r. Sabendo que r n AB = {P}, podemos dizer que:
a) r r. BC ;é 0.
b) se r n AC= 0, então C está no mesmo semiplano de A.
c) se r n Ãê= 0, então C não está no mesmo semiplano de A.
d) se r n AC= 0, então AC// r.
e) todas as respostas acima estão corretas.
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM: ✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓
l) a)V b)V c)V d)F e)V f)F g)V h)F i)V j)F k)V l)V m)F n}F o)F p)F
q) F r) F
2)
0(//1 //:
175

5. 1
3) a) hipótese: o triângulo é isósceles.
tese: os ângulos da base têm a mesma medida.
e) hipótese: o polígono é um triângulo.
tese: a soma das medidas dos ângulos
internos é 180".
b) hipótese: os ângulos são opostos pelovértice.
tese: os ângulos têm a mesma medida.
5) e. 6) a. 7) d. 8) e. 9) d. 1O) e. 11) e. 12) b. 13) b.
[6fOMETRIA PLANA - QUESTÕESDE CONCURSOSPROPOSTAS:
11_ CFS - 1983 - Qwtl d.tu, al,twuú.i.vM a.bab:o é. vvuiade,i/w.?
a.l QULWt.o pon.t0-1> n.iio-a.ü.nhado6, de.tvtminam 6ome.nte. qutWt.o lle.ta.6.
bl Po11. do-i.6 pon.to6 c.o.i.nc.-i.cle.n.te.6 pa.66am .i.n6.i.n.ü:a.6 lle.ta.6.
cl PM do-i.6 pon.to6 d-i.6tút-to6 pa.66am -in.6.i.n.ü:a.6 1te.ta.6.
dI Vwu 1te.ta.6 d-i.6-túLta.6 podem .te.JL pon.to6 C.0111(.lM.
21 CFS - 1990 - Qwzn..ta.6 6âo M 6e.m.i.-1te..ta6 que. pa.66a.m po1t do-i.6 do6 pon.to6 da.
6-i.gUll.a. a.bab:o e. c.om oll-i.gem em um de.tu?
" a.l 2. ,t -6
bl 3.
c.l 6.
dl 12.
.t
31 CFS - 1992 - Sob11.e. uma. 1túa. 11. 6áo maJLc.a.do-6 o-6 ponto6 A, 8, C e. V, ne.66a.
olldem, .t.tLi.6 que. AB = 2 c.m, BC = 1 c.m e. BV = 6 c.m. Se. .M é. o pon.to mé.cU.o de. ·Av,
e.n.tão o c.ompiLÜ11e.n.to de. AJ.I., em c.m, é.:
a.l 3,0. b/ 3,5. c.l 4,0. d/ 4,5.
4} CFS - 1997 - Con-6-i.cle.Jte. M a.6-i.lunaçõu 6e.gu.úLtu:
1 - A 1túa. e. o pla.no po-Muem -út6.úr.U0-6 pon.to-.s.
11 - Po1t um pon.to pa,Ma. um núme.M .i.n6.úLUo de. 1te.ta.6.
111 - PM do-i.6 pon.to6 pa,Ma. uma. ún.i.ca. .túa..
1V - Vo-i.6 6e.g�o6 de. ILúa. nó.o pode.m 6e.lL, a.o mumo .tempo, c.on-6e.c.U,Üvo6 e.
c.ol.úr.e.a.itu.
São vvuiadwa.6:
a./ 1, 11, 111. · bl 1, 111, IV. c.J 11, 111, IV. d/ 1, II, IV.
5) CFS - 1997 - Se. A e. B 6âo do-i.6 pon.to6 d-i.6.ü.n.to-6 da.dM, e.n.tão é. c.olllte..to
a.6-ÚUna.ll que.:
a.l AB it: BA.
➔ ➔
bl AB = BA.
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c.l AB = BA.
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dl AB = AB.
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6/ CESV - 1997 - Ob6e.1tve. a. 6-i.gUll.a.. A a.6-i.Junação FALSA l:
/><7
a./ AB e. BC 6áo c.on-6e.c.U,Üvo6 e. c.o-l.úr.e.rvt.u.
b) BC e. CN ,.são c.on-6e.c.U,Üvo6 e. nõ.o-c.o.lúte.rvt.u.
e./ A8 e. CV 6ão c.ol-in.e.a.1tu e. não-c.on-6e.c.U,Üvo6.
d/ MC e. CN 6ão c.ol-in.e.a.llu e. não-c.on-.se.c.U,Üvo-6.
7J CESV - 1997 - Se. M, N e. P 6ão btê.6 pon.to-6 d-i.6.tiJrÍ:06 de. uma 1tita. .t.tLi.6 que.
MP + NP = /iN, e.n.tão a. .útteMe.c.ção de.:
a./ � e. � l o pon.to N.
bI m e. ilf.t é. º -6e.gme.n,to PN.
e./ W e. Wl a. 6e.m.i.-.túa. PiJ'.
dI W e. Pifl a. -6e.m.i.-.túa. PM.
8/ CESD - 1997 - Se.jam Ãii e. CV do-i.6 6e.gme.nto-6 c.ol-in.e.a.JLU, 6em pon.to6 c.omwt6.
Se. AB = 5 c.m, BC = 3 c.m e. CV = 5 c.m, pode.-6e. a.6.úÚna,,. que.:
a.l AC > BD. b) AC < BV. e.} AC = BD. dl AB = BD•
9/ CESV - 1997 - Vwu ,te.ta.6 6 e. .t, d-i.6.t.úttM, .,.são peApe.n.CÜc.UWr.U à ,te,ta IL.
Se.ndo a.-6 ,te.ta.6 -6, .t e. ll e.opta.na/tu, pode.-,.se. a.6-ÚUna.ll que. -6 e. .t -6áo:
a.1 pa;utle.l.M.
bI c.o-útc.-i.de.n.tu.
c.l c.onc.oMe.n.tu.
dI pe.1tpe.nd-i.c.ula.1tu e.ntll.e. -6-i..
1OI CESV - 1997 - Em um .te.Me.no 1túa.ngulalt. de. me.d-i.dcu. 41,6 m po,t 23,4 m 6oMm
pla,tt.a.do-6 p.útlr.e.-i.M-6 em .todo o ,.seu c.on.toJUW. Se. e.ntll.e. um p.i..nhe.-i.M e. outlio há. ltm(l
eü4tãn.c.-lct de. 2,6 m, qua.n.to-6 p.i..nhe.-i.lLM 601tam pta,r,ta.do-6?
a.l 25. bl 50. e./ 65. d/ 130.
111 CFS - 1998 - M-6.i.na.la.lt. a. ctltwuú.i.va. c.oMúa.:
a.1 POIL do-i.-6 ponto6 d-i.6.t.útt0-6 pa.Ma. uma. útúc.a. llúa..
bI Vua.-6 lle.ta.6 c.onc.oMe.n.te.6 de..te.llm.úta.m do-i.-6 pla.n0-6.
e.} Todo pon.to de. uma. llúa. d-i.v.ld.e.-a. e.m do-i.6 ,.se.gme.n.to-6 opo-6.to-6.
dl T1tê.6 pon.to-6 d-i.-6.t.utto-6 e. c.ol.úr.e.rvt.u de..te.llm-Úr.a.m um útúc.o pla.no.
177

6. 12 J CESV - 1998 :. CoM-ldvr.e. 11 6-lgUIUL 11ba-lxo e. IL6Ün.a.le. 11 a.UVUULti.v11 FALSA:
11J 06 pon.to6 B, P e. A 6â.o CO-li.n.WII.U.
bJ 06 6e.gmen-to6 BP e. PV 6â.o coMecu.tivo6.
e) 06 pon.to6 P, A e. C não 6â.o CO-li.n.e.all.U.
d) 06 6e.gmin.to6 BP e. PA nií.o utiio con.t-ldo6 na ll!Uffl!l 11.e..ta.
ffSPOSTAS tlAS Q(JESTÜES tlE C(}NCU/lS(}S PKuPuSTAS:
1J b. 21 e. 31 e.
li) 11. 121 d.
41 (l. 5) e. 6) d.
178
7J b. 8) e. 9J (1. 10) b.
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CAPÍTULO �3: ÂNGULOS.
DEFINIÇÃO:
Figura formada por duas semi-retas com origem comum.
B
região
A-------+
externa
c
indicação: Â, BÂC ou CÂB .
➔ ➔
·abertura: afastamento entre os lados AB e AC = a.
➔ ➔
lados: AB e AC.
➔ bissetriz
A semi-reta que divide o ângulo em dois outros de mesma medida é chamada de bissetriz.
Ângulos que têm a mesma medida são ditos congruentes. Quando duas retas concorrentes formam
quatro ângulos congruentes, essas retas são ditas perpendiculares. Esse ponto de concorrência é o
pé da perpendicular. Cada um desses quatro ângulos é chamado de ângulQreto.
A
�
r ..L AB
B
AM:MB.
Se uma reta é perpendicular a um
segmento e passa pelo seu ponto médio, ela
é chamada de media triz desse segmento.
A distância de um ponto P a uma reta r é
a medida do segmento que tem extremidades em
P e no pé da perpendicular ar que passa por P.
AM = distância de A a r.
Na figura, ré mediatriz do segmento AB.
Obs.: A distância entre duas retas paralel� r e s é o segmento da perpendicular compreendido entrer
e s. A distância entre o ponto P, da figura ao lado, e a reta s é PQ.
r
e;
S+-------+-�----+
Q
179
r // s ..L t.
distância d� r a s = PQ.
distância de P a s = PQ.
distância de Q a r = PQ.

7. MEDIDA DEÂNGULO:
Um ângulo é medido pela sua abertura. Existem três sistemas de medida de ângulo:
a) Sexagesimal:
A unidade é o grau ("), que equivale a 1/90 do ângulo reto. Suas subunidades são o minuto
de ângulo ('), que equivale a 1/60 do grau e o segundo de ângulo (") que equivale a 1/60 do minuto
deàn!,rulo. Emão:
nome relações com as outras unidades
segundo
minuto
lrnlU
b)Decimal:
Gº)=(36�J
60
"=(_!_J
· 60
3 600'' =60'
A unidade é o grado (gr), que equivale a 1/100 do ângulo reto. Neste sistema, o ângulo reto
mede 100 gr.
e)Circular:
Aunidade é o radiano (rad). Neste sistema, 90°
=rrJ2 rad.
CLASS11'1CAÇÃO DOSÂNGULOS:
L L�
nulo: a= 0°
. agudo: O<a<90". reto: a= 90º
.
(I
(I
o
raso ou meia-volta: a= 180". /reentrante ou
côncavo: 180"<a<360".
obtuso: 90"<a< 180°
.
(I
0-+
voltJI completa: a= 360".
Um ângulo é dito wnvl!.XQ quando sua medida está compreendida entre O" e 180".
180
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a.O.
•O
Ângulos complementares: dois ângulos cuja soma das medidas é 90". Cada um . é
complemento do· outro. Ângulos que têm o mesmo complemento são congruentes. Ângulos
suplementares: dois ângulos cuja soma das medidas é 180". Cada um é o suplemento do outro.
Ângulos que têm o mesmo suplemento são c:ongntentes. Ângulos replementans: dois ângulos cuja
soma das medidas é 360".Cada um é o replemento do outro. Ângulos que têm o mesmo replemento
são conlf!Uentes.
Aogulos Consecutivos: têm um lado comum.
Ângulos Adjacentes: ângulos consecutivos que têm o lado comum compreendido entre os
lados não-comuns.
O A
AÔBeBÓC são complementares;BÔC é
complemento de AÔBe vice-versa.
AÔBeBÔD são suplementares;BÔD é o
suplemento de AÔBe vice-versa.
ÂNGULOS OPOSTOSj'ELO VÉRTICE (0.P. V.):
-- 13
a e 13 são replemeotares; um é o reple­
mento do outro.
São exemplos de ân�os consecutivos:
AÔBe AÔC;CÓBeCOA
São exemplos de ãn�los adjacentes:
AÔBeBÔC; AÔBeB0D.
Os lados de um são os prolongamentos dos lados do outro. Dois �gulos O.P.V. são
rongruenla (têm a mesma medida).
a =e.
b =d.
d
ÂNGULO FORMADO PELOS PONTEIROSDE UMRELÓGIO:
Em um relógio em que os ponteiros marcam h horas e oi minutos, o ângulo a
formado pelos ponteiros é dado por:
181
-:,

8. a = 1 30h - 5,5m 1, l !s h !s 12.
SUGESTÕES DE EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM:
l) Se a medida de um ângulo é expressa por "x", então escreva em linguagem simbólica:
a) a metade da medida desse ângulo. h) o replemento do suplemento do complemento.
b) o seu complemento. i) o quádruplo do complemento da sua terça parte.
c) o seu replemento. j) o ângulo mais sua terça parte mais seus três quartos.
d) a metade do seu complemento. k) o dobro do seu complemento.
e) o suplemento da sua metade. 1) o ângulo mais o óctuplo do complemento.
f) o suplemento do seu dobro. m) o triplo de sua quarta parte.
g) a quinta parte do triplo do seu suplemento.
2) Escreva (V) ou (F):
a) Dois ângulos retos são congruentes ( ).
b) Dois ângulos congruentes são retos ( ).
c) Dois ângulos que têm o mesmo suplemento são congruentes ( ).
d) Qualquer ânguloobtuso é menor do que qualquerânguloagudo ( ).
e) Dois ângulos obtusos têm sempre o mesmo suplemento ( ).
f) Se um ângulo tem 60", então sua bissetriz forma um ângulQ de 30" com qualquer wn de seus lados
( ).
g) As bissetrizes de dois ângulos.opostos pelo vértice são semi-reta& opostas ( ).
h) O ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos adjacentes é igual à semi-sorna das medidas
desses ângulos ( · ).
i) Por um ponto P, fora de uma reta r, podemos traçar uma única reta perpendicular a r ( ).
3) Calcule x, a e b:
a) b) e)
4) Qual omenor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 3h 15 min?
5) Qual é o ângulo que diminuído de 30" é igual ao dobro do seu complemento?
182
6) Calcule:
a) 30" 45' 23" + 157" 58' 41".
b) 250" 13'1O" - 65°
49' 28".
c) 3 . (48º
17' 55").
d) 316º
09' 39": 3.
e) 1 . 68º
53' 32".
4
7) As bissetrizes de dois ângulos consecutivos formam um ângulo de 70". Calcule-os, sabendo que a
medida de um deles é 3/4 da medida do outro.
8) A soma de dois ângulos é 230°
e wn deies é o triplo do complemento do outro. Determine-os.
9) A sorna de todos os ângulos que se podem formar ao redor de um ponto � .......... graus.
10) A sorna de todos os ângulos que se podem formar ao redor de wn ponto e do mesmo lado de
uma reta é ................ _graus.
·
11) Associando V ou F às afirmações abaixo:
I - Dois ângulos consecutivos são adjacentes.
· II - Dois ângulos adjacentes são consecutivos.
Obtemos:·
a) VV. b) VF. c) FV. d) FF.
12) O suplemento do triplo da quarta parte do complemento de um ângulo de medida x é expresso
corretamente em:
a) 270º
- 3x - 1800.
4
b) 450º
+3x .
4
c) 270" - 4x - 180º
.
3
d) 1800 - 5400 - 4x
3
e) 3x - 180°
4
13) Seja AOB
...Jiffi ângulo e r uma reta do seu plano, que �tém O, e situada na região n� convexa.
Scj_am ÕX e OY as bissetrizes dos ângulos agudos que OA e ÕB formam com r. Se AOB = 150",
XOYmede:
·ª'"' a) 135º
. b) 145º
. c) 155°
. d) 165°
. e) 175°
.
� OI
UOI
�
A �
.g ';; 14) Sobre wna reta Ac, marcamos o ponto B, entre A e C, vértice dos ângulos obtusos ABD e CBE.
�e Então, ABD +CBE - DBE vale:
; � a) 900. b) 180". c) 270". d) 360°. e) N.RA
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l S) O replemento do replemento de um ângulo de medida x é:
a) x. b) 2x. e) 3x. d) 4x. e) 5x.
183
:,,-._ •·

9. l 6)(UFSM) "Num plano, se duas retas são então toda reta
a uma delas é ............................... à outra."
A alternativa que preenche corretamente as lacunas é:
a)perpendiculares,paralela,perpendicular.
b)paralelas, paralela, perpendicular.
c)perpendiculares,perpendicular,perpendicular.
d)perpendiculares,paràlela, paralela.
e)paralelas, perpendicular, paralela.
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM:✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓
r · 90-r r 3 (180-r)
1)a)
2. b)90 - x. c) 360 - x. d)-
2
-. e)180-
2. f) 180-2x. g)
5
. h)90 + x.
. � . lli . �
1)360-
3. J)
12
. k)l 80-2x. 1)720-7x. m)
4. 2)a)V. b)F. c)V. d)F. e)F. f)
V. g)V. h)V. i)V. 3)a)x = 8,a = 42,b = 48. b)x = 20,a = b = 130. c)x = 15,a = l30,
b = 50. 4)7° 30'. 5)70". 6)a)188º
44'04". b)184º
23'42". c)l 44º
53'45".
d)105°
23' 13". e)51º
40' 09". 7)60" e 80°
. 8)20" e 210°. 9)360. 10)180. 11)c.
12)b. 13)d. 14)b. 15)a. 16)a.
l6EOMÉTRJA PLANA - QUESTÕESDE CONCURSOS PROPOSTAS:
11 CFS - 1991 - A -6oma. de. doi-6 âJtgul.o-6 é. 107°
11' e. a. d.i.6e.11.e.nca. é. 38°
09' 30".
A me.d.úi1t do me.noJt âJtgul.o é.:
a.l 30º
30' 45". bl 34°
30' IS". c.l 34°
30' 45". d) 36°
30' IS".
2) CFS - 1995 - 9 225" é. -igua.-l a.:
a.l 2°
33' 45". bl 2°
35' 45". e.) 2°
40' 35".· d) 2°
45' 50".
31 CFS - 199S - Se. ic é. 6up(.e.me.nto de. z e. z é. c.o.mp!e.me.nto de. 1J, a Jte.-lacão e.ntll.e. ic
e. IJ é.:
ai lC • IJ = 90°
. bl lC • 1J = 180°
. e.) lC - 1J = 90°
. dl lC - � = )go•.
4) CFS - 1996 - 06 âJtgul.o6 JC e. rJ na. 6-i.gUJta. a.bwo 6ão âJtgul.o6
a.l c.omp!e.me.ntMu.
b) liuple.me.nta.11.u•
e.) Jte.p!e.me.nta.11.u•
dl c.ongJtUe.ntu.
184
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51 CFS - 1996 - A-6 bi-6-6ÚIÚ.ZU de. doi-6 âJtgul.o-6 adja.t!e.n.tu e. -6up-le.me.ntMu
601tmam, e.m gJUW.6, um âJtgul.o de.:
a.l 45. bl 60. c.l 75. dl 90.
61 CFS - 1996 - Voi-6 âJtgul.o-6 6ão 6up(.eme.n.taltu taM que. a. ql.l.ÚLtll PM,te. da. me.d.úia.
do 1111U.OII. âJtgul.o e.x.c.e.de. ll do me.no11. de. 30°
• A me.d.úfa. do me.no11. âJtgul.o, e.m g4a.U.-6, é.:
a.1 5. b) 15. c.l 30. dl 55.
71 CESV - 1996 - E6úuan.rio (47°
18' 30"I
valo11. de. •icn
é.:
7, e.nc.on,t,ui--6e. 6°
45' x". Logo, o
a.l 10. bl ?.O. c.l 30. d) 40.
81- CESV - 1996 - Se. W1I âJtgul.o, cic.11.uc.�o do dob11.o de. 6W c.omp-l�o, é. .i.gua.-l a.o
-6W .tlúplo, e.n.tiio u.te. ângulo me.d.e., em gJUW.6:
ai 45. bl 40. e.) 25. dl 20.
91 CFS - 1997 - Um âJtgul.o de. 180°
60-i d.i.v�o em c..i.nc.o PM,tu, 6e.ndo ; de.la-6
.i.gua.i-6 a. 37°
50' 18" e. rna.ú, dua.-6 .i.gua.i-6 e.n,tlte. -6.i.. A med-úla de. e.ada. uma. dU6M 2
pa,ttv., é. -igua.l a:
a.l 33°
IS' 03". bl 33°
45' 03". e.) 33º
14' 33". dl 33°
44' 33".
101 CESV - 1996 - E6úuan.rio--6e. (42°
10' 15") : 12, ob.tém--6e.:
a.l 3°
3' 51". bl 3°
3' 1 l"- c.l 3°
30' 51". dl 3°
30' 51 l"-
3 4
. � A
11) CFS - 1997 - Na. 6-i.gUll.a., 06 ângul.o-6 AOC e. BOV liâo ângul.0-6 11.ÚOli e. M me.di..do
✓
.,
dali âJtgul.oli AÓ!I e. COD -6âo da.dM e.m glUUl.li. O valo11. de. x, em g,uuu,, é.:
. a.l s. .
b) 10. V
c.l IS.
d) 20.
B
A
121 CFC - 1997 - Na. 6011.ma. /7Kl,Ú, -6.i.mpl.i.6.i.c.ada. poM,.í.vd, o valo11. da. e.x.p11.u-6ão
(18°
14' • 30°
48' 40") • 3 - 81º
17' 30" é.:
ai 65°
50' 30". bl 66°
6' 30". c.l 63º
172' 90". dl 65°
S2' 90".
18S

10. 13J CESV - 1997 - Cortl>.úie/1.e. M afúuna.çõu:
I - Se. do.u, ângul.o-6 .t,ã.o c.omple.me.n.taA.u e. um de.lu é. agudo, o ou.tito .tanibé.m é.
agudo.
11 - Se. do.úi ângulo.e, -6ã.o .t,uple.me.n.taA.u e. um de.lu é. ob.tiu.o, o ou.tito .també.m é.
ob.tiu.o.
MMCÁ.a.ndo V ou F a e.ada116.úuna.çã.o, .te/1.e.mM :
a)FF. b)VV. e.)VF. d)FV.
14)CESV - 1997 - Na 6-i.gU/UI., M b.l6-6WÁ.ZU do.e, ângulo.e, "a" e. "b" 6oJLJnam ângulo
de. 28°
•· Qwmto me.de. "a", que. é. o .tli..lplo de. "b"?
ai 21º
.
b)28º .
e.)42°
.
d)56º
.
15) CESV - 1998 - Na 6-i.gUIUI., o valo4 de. y, e.m gJUUU,, é.:
ai 26•.
b)58.
e.)116.
d)122.
RESPOSTAS tJAS f2UESTÕES tJE CONCURSOS PROPOSTAS:
l)c.. 2)11. 3)c.. 4)a. 5)d. 6)a ou b.
10)d. 111 b. 12)a. 13) e.. 14)e.. 15) d.
186
7)e.. 8)a. 9) e..
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CAPÍTULO 24: PARALELISMO.
ÂNGULOSDE LADOSPARALELOS OUDELADOSPERPENDICULARES:
Ângulos de lados paralelos são:
a) congruentes, se ambos são agudos ou ambos são obtusos; ou
b) suplementares, se um é agudo e o outro, obtuso.
LL
A· B A'
➔ ➔ ➔ ➔
B'
AB // A'B' e AC li A'C'.
am_lJ_os agu�os: congruentes.
Ângulos de ladQs perpendiculares são:
L
p Q
Q'
R'
➔ ➔ ➔ ➔
PQ//P'Q' ePR//P'R'
um agudo, o_utro obtuso: suple111entares.
a) congruentes, se ambos são agudos ou ambos são obtusos; ou
b) suplementares, se um é agudo e o outro é obtuso.
A'
� ..
B A
➔ ➔ ➔- ➔
AB .l A'B' e AC.l A'C'.
ambos agudos: congruentes.
R
PARA.LEIAS CORTADASPOR UMA IRANSVERSAL:
�
/
R'
1
Q'
p
➔ ➔ ➔ ➔
Q
PQ .l P'Q' e PR .l P'R'
um agudo, outro obtuso: suplementares.
Na figura abaixo, onde r // s e t é transversal, todo ptlC de ângulos aguCÍos ou todo par de
ângulos obtusos é formado por ângulos congruentes. Todo par formado por um ângulo agudo e
outro obtuso é um par de ângulos suplementares.
Os ângulos localizados entre as paralelas, são chamados de internos; os localizados fora das
paralelas, de externos.
Os ângulos internos (ou externos) localizados de um mesmo lado da transversal são chamados
de colaterais; em lados opostos, de ângulos alternos.
187

11. I"
t...
t (transversal)
região externa
b
c d
região interna
f e
g h
região externa
r li s
colaterais internos (l11pleme11tares):
d e e;
e e r.
colaterais externos (suplementares):
aeh;
b eg.
alternos internos (congn,entes):
e e e;
d e f.
s alternos externos (congntentes):
aeg;
beb
correspondentes (congruentes): a e e; be f; e eg; d eb.
SUGESTÕES DE EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM:
l) Na figura abaixo, localize 8 pares de ân!,rulos alternos internos e 8 pares de ân!,rulos colaterais
externos:
2) .Calcule a e b em:
a)
T
s
70"
d
h
u
188
b)
r li s e t // u.
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r // s
80"
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3) Calcule x em:
a)
4) Deterniine IJ e r em:
s
d)
115°
b)
S)(UFES) Se as retas r e s da figura são paralelas, então 3a + !J vale:
a) 225°
.
b) 195º
.
c) 215º
.
d) 175º
.
e) 185°
.
189
b

12. 6)(FGV) Considere as retas r, s, t, u, todas num mesmo plano, com r // u. O valor em graus de 2x. +
3y é: / t
a) 64º
. I
b) 500º
.
c) 520".
d) 660".
e) 580".
20" J'--.,,[
r
s
7)(UFGO) Na fi1;,
,ura, as retas r e s são paralelas. A medida do ânb'l.llob é:
a) 1000.
b) 120".
c) 110".
d) 140º.
e) 130".
8) Determine x. em:
a) 48º
.
b) 83°
.
e) 60º
.
d) 45º
.
e) 93º
.
9) Determine x. em:
a) 20°
.
b) 30".
e) 40".
d) 50°
.
e) 60º
.
s
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190
r // s
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n O.
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM: ✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓
1) alternos internos: e, j / f, i / g, 1 / h, k /b, g/ e, f/j, o / n, k.
colaterais ex.ternos: a, m /b, n / e, o / d, p / m, p / i, I / e, h / a, d.
2) a = 80º
eb=70º
. b) a = 55º
eb=45º
. e) a = 45º
eb = 135º
. d) a=33º
eb = 115°
.
3) a) x. = 80º
b) x = 40º
. 4) 13 = 30º
e y=60". 5)b. 6)b. 7) a. 8) e. 9) e.
j6EOMETRIA PLANA - QUESTÕESDE CONCURSOSPROPOSTAS:
11 CFS - 1994 - Na. 6-igwur., .têm--6e. a li b; .te. u .tluvt.6vVL6aM. 0-6 ângul.a.& IJ e. z
me.de.m Jte.-6pe.c.ti.vame.n.te.:
a.) 68° e. 70° .
bl 60°
e. 72°
.
e) 65° e. 75° .
dJ 70°
e. gz•.
a
b
2) CFS - 1995 - Na. fi.gwur. a.bcúx.o, .têm--6e. AV .l VE, AE / / BC. A me.d.i..da. do ângulo
:t, em glUl!L-6, é.:
a.) 90.
b) 100.
e) 110.
dl 117.
8
A
I=e........;,___ _..,,.. 1
191
V
E
e

13. I!
3) CFS - 1996 - Na. 6igWU1. a.baixo, tem-õe:
Jt li ó e 3x - (Zy + z) = 180°
. O valoJt de x, em gJtllU.6, é:
a.) 100.
bl 120.
e) 730.
d) 140.
z
JI.
J,
41 CFS - 1997 - Na. 6igWU1., AB li CV. O va.loJt de x, em gJta.l.L6, é:
a.) 20.
bl 30.
c.l 40.
dl 50.
B
A --5�35••
� •:•
V
SJ EõSA - Qua.nd.o dwu, Jteta.6 pa!Utlela..6 c.opliuuutu Jt e ó óiio c.o'Lta.d.M pM uma.
-ÓUlMVeMa.i t, elv., 4O/U71am:
a.) ânguloó a.itVUT.Oó edVUT.Oó óuple.me.ntaJr.U.
bI ângul.oó e.o� .úl,tVUT.Oó c.ornple.me.n,taJtu.
eI ânguloó a.lteJt.nDó exte.MOó c.ongJULWU.
d) ânguloó a.ltVt.nDó .úl,te.MOó õuple.men,t:aJI..
e) ângul.oó c.o«uportde.n,tu õuple.me.ntalr.v.,.
61 CFC - 1998 - Sendo Jt li ó, o ângulo x 60�0 pelv., .óulMveJtõa.ió v e t mede,
em gJuw.ó ; V t
a.l 30.
b! so·.
cl 70.
d) 110.
JI.
+--i----------�..--.._
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RESl'(JSTAS tJAS (2(/ESTÕES tJE CrJNCIJRSrJS PRrJMSTAS:
1/a.. 2/b. 3/b. 4/b. S)c.. 6lc..
193

14. d!,
CAPÍTULO 25: POÚ60NOS.
DEFINIÇÃO:
Figura formarla por uma poligonal fechada.
Cada segmento da poligonal é um lado do polígono, cada extremo desses lados são os
vé,rtices do polígono, cada segmento que une dois vértices não consecutivos é wna diagonal do
polígono, cada ângulo cujos lados são lados do polígono e a abertura está voltada para o interior da
poligonal, chamamos de ângulo interno (ou simplesmente ângulo do polígono) e cada ângulo
formado pelo prolongamento de um lado e o lado seguinte do polígono, de ângulo externo.
Chamamos de perímetro de um polígono à soma das medidas dos lados.
D
Em um polígono com número impar
de lados, nenhuma diagonal passa pelo seu
centro.
B vértices: A,�Cz..!.),� _
194
lados: AB, BC, CD1,,.,
DE, ;_A. ....., ...,. "'-
ângulos internos: ABC, BCD, CDE, DEA, EAB.
diagonais: AC, AD, BD, BE, CE.
ângulo externo (exemplo): AÊF.
Em qualquer polígono, o número de lados
(n) é igual ao número de vértices.
Os ângulos interno e externo referentes ao
mesmo vértice são adjacentes e suplementares.
Número de diagonais:
d = J:!ÚL=-1) , onde n = nº
de lados do polígono.
2
n - 3 = diagonais que partem de um vértice.
n/2 = nº
de diagonais que passam pelo centro de
um polígono com um número par de lados.
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CLASSIFICAÇ.40:
...
a) Quanto ao número de lados (gi:nero do puligono):
ll nome 11 nonie
3 triàmrulo ou trilátero 9 eneágono
4 quadrilátero 10 decáROno
5 pentágono li undecágono
6 heidu�ono 12 dodecá11;ono
7 heptágono 15 pentadecágono
8 octógono 20 icosál!:ono
Outros polígonos: dizemos polígono de 13 lados, de 14 la<los, etc.
b) Quanto aos ângulos:
- conveio: todos os seus ângulos são convexos.
- côncavo ou não-convexo: em caso contrário.
Polígono equiângulo : tem todos os seus ângulos com a mesma medida.
Polígono equilátero: tem todos os seus lados com a mesma medida.
Polígono regular. é equilátero e equiângulo. É
i"egular em caso contrário
ÂNGULOSJN'l.hl<NOS m; UM POLJGONO CONVJ::XO:
A soma dos ângulos internos é-dada por: S; = 1 R0(n - 2), onde n = nº
de lados do polígono.
Para polígonos equiângulos, a medida do seu ângulo interno pode ser obtida por: a; = 180{n - 2).
n
ÂNGULOS EXTERNOSDE UMI'OlÍGONO:
A soma dos ângulos externos de um polígono é dada por:·s. = 3600.
Se o polígono for equiângulo, a medida do seu ângulo externo pode ser obtida por: a. = 3600.
n
195

15. ·,
j
SUGESTÕES DE EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM:
1) Cakule o número de diagonais dos polígonos abaixo:
a) pentadecágono.
b) eneágono.
c) dodecágono.
d) icoságono.
2) Coloque (V) ou (F):
a) O número de diagonais de um polígono depende da congruência dos lados e dos ânb'U!os ( ).
b) Qualquer segmento é menor que qualquer poligonal de mesmos extremos ( ).
c) Todo poligono equilátero é também equiân!,'UIO ( ).
3) A diferença entre o número de diagonais de dois polígonos convexos é 18 e um deles tem 3 lados
a mais do que o outro. Quais siio os polígonos?
4) Clas�-ifique os polígonos apaixo ern equiliítero, equiângulo ou regular:
a) /. b) c)
5) Qual é o poligono cujo número de diagonais é o triplo do número de lados?
6) Determine as medidas dos ângulos externos do polígono abaixo:
7) Três polígonos convexos têm, respe1,-tivarnente, iJ., n + 1 e n + 2 lados. A soma dos ângulos
internos desses polígonos é 3 240º
.Detemúne o polígono com o maior número de lados.
8) As mediatrizes de dois lados consecutivos de um polígono rCb�ar formam um ângulo de 24°
.Qual
é o polígono?
196
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9) A medida que os lados de um polígono crescem de 3 até n, a soma dos ângulos externos formados
pela extensão de cada lado com o lado seguinte:
a) cresce.
b) decresce.
c) permanece constante.
d) não pode ser prevista.
e) vale (n - 3) ân!,'Ulos retos..
lO) Seja S a soma dos ângulos interiores de um polígono P para o qual cada ângulo interno é 7..!.
. �
vezes o ângulo externo para um mesmo vértice. Então:
a) S = 2 660" e P pode ser regular.
b) S = 2 660°
e não é regular.
c) S = 2 770 e é regular.
d) S = 2 700 e não é regular.
e) S = 2 700 e P pode ser ou não rCb'l.llar.
11)(PUC-SP) O ânb'Ulo interno de um polígono reb'Ular de 170 diagonais é Í!,'1.lal a:
a) 800. b) 1700. c) 162°
. d) 135°
. e) 81°
.
12)(MACK-SP) O polígono regular convexo cujo ângulo interno é 7/2 do seu ângulo externo é o:
a) icoságono. b)
,
dodecágono. c) decágono. d) eneágono. · ,e) octógono.
13) Para umpolígono de n vértices, a soma de todos os seus âni,'lllos internos e externos é dada por:
a) n. b) 180n. c) 360n. d) 540n. e) 720n.
14) Perimetro de um polígono é:
a) a soma das medidas dos ânb'Ulos internos.
b) a soma das medidas dos ângulos externos.
c) a soma das medidas dos lados.
d) a soma das medidas dos vértices.
e) a soma das medidas das diagonais.
15) Sendo S; a soma dos âni,'Ulos internos de um polígono e s. a soma dos ân!,'U!Os externos, ,então
S; + S� é sempre:
a) divisível por 360.
b) múltiplo de 360.
c) divisível por 540.
d) divi�ivel por 180.
e) divisível por 40.
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM: ✓✓✓✓✓✓✓✓✓ ✓✓✓✓✓ ✓
1) a) 90. b) 27. c) 54. d) 170. 2) a) F. b) V. c) F. 3) eneágono e hexágono. 4) a)
equiliítero. b) equiângulo. c) regular. 5) eneágono. 6) Em ordem (,Tescente: 40°
, 55°
, 60', 95º
e 1100. 7) eneágono. 8) pentadecágono. 9) c. 10) e. 11) c. 12) d. 13) b. 14) c.
15) d.
197

16. [6EO.METRIA. PI.ANA - QUESTÕESDECONCURSOSPROPOSTAS:
1 J CFS - 1990 - O✓.s ponto.6 A, 8, C, V, E••• .6ã.o v�v., de. um dode.c.ágono
c.onve.xo. Quanta.6 cüa.gornú.6 de.Me. po.Ugono niio ,têm e.xtJl.e.m.ú1adv., em 8?
a.} 28. b) 35. e.) 45. d} 54.
2} CFS - 1991 - A .6oma. d0.6 (n - 6} ângul0.6 .úi.tvuw✓
.s de. um po:Ugono Jt.e.gu.livr. é.
420°
. O 11.Úme.Jt.o de. lm:1.o.6 du.6e. po.Ugono é..:
a.)9. b)10. e.) 12. d} 15.
3J CFS - 1995 - O po.Ugono c.u.jo n.úme.Jt.o de. lado✓
.s c.ouupon.de. a me..tade. do n.úme.Jt.o
de. cüa.gornú.6 é.. o:
a.)pe.n,tágono.. b)hexágono. e)he.p,tágono. d)oúógono.
4) CFS - 1996 - A me.d.i.da., em g1UI.1U,, do ângulo e.x,tvuw de. um po.Ugono Jt.e.gu.livr. qu.e.
. pou.r.ú 20 cüa.gornú.6 é.:
a.} 30. b)36. c.J 45. d)60.
5J CFS - J·996 - A .6oma do.6 ângul0.6 .úi.te.Jt.M.6 de. do.ú. po.Ugono✓
.s A e. 8 é. .igual.
a. 1 080°
. Se. A ,tem ln. - 2)lado.6 e. 8, ln + 2)truiM, e.ntão o po.Ugono 8 é. um:
a.).vúãngulo. b)qu.a.cf.JuuJ.o. e.J pe.ntdgono. d)he.p,tãgono.
6) CFS - 1996 - O n.úme.Jt.O de. Wo.6 de. um po.Ugono c.on.vexo PI é. da.do polt. ln - 1 J e.
de. ou..tJt.o, po.Ugono c.onvexo P2 é.. da.do polt. lli + 1 J • Sa.be.n.do-.6e. qu.e. a ·✓
.soma dM
cüa.gon.aÁ.-6 de. PI e. P2 é. 55, e.ntã.o a. d.l6e.1t.e.nça é.tttJLe. o 11.ÚmeJtO de.-6-ta.6 cüa.gona.ú. é.:
a.J 5. b)6. e.) 11. · d)15.
7J CFS - 1997 - O✓
.s lado✓
.s de. um po.Ugono Jt.e.g� de. n. Wo✓
.s, n > 4, ✓
.sã.o
pJt.Ó.f.onga.dM paJt.11 601t.ma1t. wna. u-tJt.ela. O 11.Úme.Jt.O de. glt.l1U.6 em e.a.da. v�e. da
Utlt.ela é.:
a.)360°
• b)180º
- . 90°
• e.) 180°
(n - 21 • d) 180°
(n. - 4)
n n. n. n.
8)Col. Nava.l - 1997 -:- Con.-6.i.de.Jt.e. M a.6.i.Jt.maüvM abaixo .6ob1t.e. um po.Ugono Jt.e.gu.livr.
de. 1!: WM, onde. o 11.ÚmeJtO de. cüa.gona.ú. é.. mú.Ui.plo de. 1!:-
(1)O po.Ugono MO pode. -te.Jt. cüa.gona.l qu.e. pa..6.611 pe1.o ✓
.se.u. c.e.n.tlt.o.
l11J 1!: pode. .6e.Jt. mú.tüplo de. 17.
(111J 1!: pode. .6e.Jt. um c.u.bo pe.Jt.6e.ilo.
IIVJ 1!: pode. ✓
.se.Jt. p,úmo.
A-6.6.i.na.le. a a.Ue.Jt.Mü.va. c.oue..ta..
II} -todM a.6 a.6.i.Jt.maüvM .6ã.o 6a.l.6M •
b)a.pe..,uv., a a6.úunaü.va 1,1 é.. ve.Jt.da.d.UIUl.
e)a.pe.na.-6 M a6.úunaü.vM 11 e. 111 .6ã.o ve.Jt.da.de..i.Jt.M.
d)a.pe..,uv., M a.6.úunaü.vM 11, 111 e. IV .6ã.o ve.Jt.dade..i.Jt.M•
e.),tocúv., M a.tl,ú1.111ittivM .6ã.o ve.Jt.da.d.U/Ul.6
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9) SUP TAIFA - 1998 - Se.ja.m aÁ. e. ·ae., Jt.Upe.c.ü.va.me.nte., M me.cü.cúv., do.6 ângulo-!>
.úi.te.Jt.no e. e.x,tvuw de. um po.Ugono 1u1.g�. Se. aÁ. - a.e. = 60°
, e.ntã.o e.Me. po.Ugono
é. o:
a.)hexágono. b)pe.ntágono. e)oc..tógono. d)de.c.ágono.
RESPOSTAS tJAS QUESTÕES. tJE CIJNCURS(JS PRIJPIJSTAS:
l)c.. 2)a. 3)c.. 4)c.. S)d. 6)d. 7)d. 8)e.. 9)a.
r
199

17. L
CAPITULO 26: TRIÃ.N6ULOS.
DEFINIÇÃO:
É o polígono de três lados. Possui seis elementos principais (3 lados e 3 ângulos) e um
secundário: a área.
A
LJ
O lado oposto ao ângulo A tem medida a;
O lado oposto ao ângulo B tem medida b;
O lado oposto ao ângulo C tem medida e.
B a e
CUSSIFICAÇÃO:
a) Quanto às medidas dos lados:
b) Quanto às medidas dos ângulos:
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CONDIÇÃO DEEXISTÊNCIA:
Em qualquer triângulo de lados com medidas a, b e c. temos:
c
�-tj<a<b+�
�-tj<b<a+�
�-�<c<a+b.
RELAÇÔESENTRE UDOS EÂNGULOS:
Se dois lados de um triângulo não são congruentes, ao maior lado opõe-se o maior ângulo e
vice-versa. Analogamente, ao menor lado opõe-se o menor ângulo e vice-versa. Em conseqüência, no
triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes (opõem-se a dois lados congruentes) e, no
triângulo equilãtero, os três ângulos são congruentes (opõem-se a três lados congruentes).
ÂNGULOSDE UM IRIÂNGULO:
d -1. b
LEIANGUUR DE TALES: TEOREMA DOÂNGUL_O EXTERNO:
CEVIANAS:
a+b+c = 180". d=a+c. ·
Unem um vértice ao seu lado oposto ou ao prolongamento deste.
a) Altura:
Segmento da perpendicular traçada de um vértice a um lado oposto ou seu prolon1tamento.
A
H2
AH1 .L BC = altura relativa ao lado BC.
BH2 .L AC= altura relativa ao lado AC.
CH3 .L AB= altura relativa ao lado AB.
As alturas se encontram num ponto chamado ortocentro (O).
O triângulo formado pelos pés das alturas é chamado
H1 de triângulo órtico (Afl1H2H3).
e
201

18. b) Mediana:
Segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.
A
B e
c) Bissetriz Interna:
AM1 = mediana relativa ao lado BC.
�= mediana relativa ao lado AC.
CMJ = mediana relativa ao lado AB.
As medianas se encontram num
ponto chamado baricentro (G) ou centro
de gravidade que divide cada mediana
na razão 2: 1 a contar do vértice de onde
partiram, isto é:
AG = 2GM1 ; BG= 2GM2 ; CG = 2GMi
Segmento da bissetriz de um ângulo interno cujos extremos são um vértice do triângulo e a
intersecção com o lado que lhe é oposto.
A
B B1
d) Bissetriz externa:
- "
AB1 = bissetriz do ângulo�
BB2 = bissetriz do ângulo �­
CB3 = bissetriz do ângulo C.
e
As bissetrizes internas se incontram
em um ponto chamado inceotro (1), que é
o centro da circunferência inscrita no tri­
ângulo:
Segmento da bissetriz de um ângulo externo cujos extremos são um vértice e a intersecção
com o prolongamento do lado que lhe é oposto.
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izes externas,
devidamenl:N,rolongadas,
ex-ioceotros,
que S}O os centrl' dos círculos
do triângulo.
OBSERVAÇÔES SOBRE TRIÂNGULOSISÓSCELES E EQUIIÁTERO:
• Triângulo isósceles:
altura, mediana e bissetriz
- A altura, a mediana e a bissetriz que partem do vértice se
confundem.
- As cevianas de mesmo nome que saem dos ângulos da base
são congruentes, isto é, duas alturas, ou duas medianas, ou
duas bissetrizes têm a mesma medida.
203

19. " Triângulo Equilátero:
- As alturas, medianas e bissetrizes que saem de qualquer vértice se
confundem e todas têm a mesma medida.
OBS.:
Todo triângulo equilátero é isósceles, mas nem todo isósceles é equilátero.
SUGESTÕES DE EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM:
1) Determine quais conjuntos de segmentos abaixo possibilitam a construção de um triãngulo:
a) a = 7 cm b) a = S cm c) a = 9 cm d) a = 2 cm
b = 8 cm b = Jcm b = 9 cm b = Icm
c = J cm c = 4cm c = 3 cm c = 4cm
2) Coloque (V) ou (F):
a) Em todo triãngulo, um ângulo externo é sempre menor do que o ãngulo interno que lhe é
adjacente ( ).
b) Em todo triãngulo, umângulo externo é maior que qualquer dos ãngulos internos que não lhe são
adjacentes ( ).
c) Em todo triãngulo, um lado é igual à soma dos outros dois ( ).
d) Em qualquer triãngulo, a mediana relativa a um dos lados divide ao meio o ângulo oposto a este
lado ( ).
e) Qualquer triãngulo tem, pelo menos, dois ãngulos agudos ( ).
f) Nos triângulos obtusãngulos, a soma dos ângulos internos é maior que 180" ( ).
g) Todo triângulo isósceles é equilátero ( ).
h) Todo triãngulo equilátero é isósceles ( ).
3) Prolonga-se o lado BC de um �guio ABC até D (C entre B e D): Se o ângulo ABC = 28º
e
ACD= 47", quanto mede o ângulo BAC? . . .
4
) Em um triângulo, -o ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de dois ângulos internos vale o triplo
do terceiro ângulo. Calcule esse terceiro ângulo.
5) Mostre que, em todo triãngulo, o ãngulo formado·pela bissetriz interna e pela altura traçadas do
mesmo vértice de um ângulo, vale a semidiferença entre os oui:ros dois ãngulos.
6) Seja um triângulo ABC onde A= 100"
,._
Se
"
o ângulo fonnado pela bissetriz interna e pela altura
traçadas de A vale 30", calcule os ângulos B e C.
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7) Na figura abaixo, calcule a soma dos ângulos A+ B + C + D + E.
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B
8) Calcule a soma dos ângulos a + b + ... + m
abaixo:
9) Determine a medida do ângulo x
abaixo:
10) Nos exercícios abaixo, b1 e bisão bissetrizes externas do L1ABC e b' e b" são bissetrizes internas
do Af>QR. Expresse, nos dois casos, a medida do ângulo formado pelas bissetrizes em função da
medida do terceiro ãngulo interno de cada triângulo.
b)
205
Q-
�R

20. 1
1
11) No triângulo abaixo, AP é bissetriz de A e AH é a altura do triângulo ABC. Detemúne a:
A
a) 10º
.
b) 20°
.
c) 30º
.
d)40°
.
e) 50º
.
c p B
12) Detemúne o ângulo a, formado pela bissetriz externa que sai do vértice B e a bissetriz interna
que sai do vértice C de um triângulo ABC, sabendo que A = 40".
.,.. "
13) O ângulo formad_R pelas bissetrizes internas dos ângulos B e C de um triângulo mede 60". Nessas
condições, o ângulo A mede: ·
a) 90".
b) os dados são insuficientes para determinar.
c) 125º
30'.
d) o triângulo não existe com as condições dadas.
e) 60".
. ·- -
14) Num triângulo ABC, tem-se A = 55º
e C= 75°
. Sejam D e E pontos sobre os lados AB e BC,
respectivamente, tais que DB= BE. A medida do ângulo Bffi é igual a:
a) 50". b) 55º
. c) 60". d) 65º
. e) 70".
15)(UnB) Considere as afirmações:
I - Se num triângulo a altura relativa a um lado coincide com a bissetriz do ângulo oposto a
ele, o triângulo é necessariamente isósceles.
II - Num triângulo isósceles qualquer, as três medianas são necessariamente iguais.
ill - Se um triângulo tem duas alturas iguais, então ele é necessariamente equilátero.
Pode-se afirmar que:
a) I e II são corretas, II é falsa.
b) todas são falsas.
c) I é correta, II em são falsas.
d)N.RA
16)(UFMG) Na figura, AC= CB= BD e A= 25°
. O ângulo x: mede:
a) 50".
b) 60°.
e) 70°.
d) 75°
.
e) 80°.
A
D
B
206
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17)(UFGO) Se dois lados de um triângulo medem, respectivamente, 3 dm e 4 dm, podemos afirmar
que a medida do terceiro lado é:
a) igual a 5 dm. b) igual a 1 dm. c) igual a ..fi dm. d) menor que 7 dm. e) maior que 7 dm.
18) Na figura abaixo, o valor de x em função de m é:
a) 6m.
b) 5m.
c)4m.
d) 3m.
e) 2m.
19) Na figura, tem-se AB= AC e AD =DC = CB. O ângulo a mede:
A
a) 20°.
b) 30".
c) 32°
.
d) 36º
.
e)40°.
e B
20) O triângulo ABC da figura é tal que AB = AC; CB = BP = PQ = QL = LA. Calcule o ângulo 6.
B c
207

21. il
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM: ✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓
1)a) sim. b)sim. e) sim. d) não. 2) a) F. b) V. e) F. d)F. e) V. f) F. g) F. h) V.
A
3) 19". 4)36º
. 5)36°
. 6) 10" e 70". 7) 180". 8)360". 9) a+ b + e. 10)a)a= 90-
1.
p
b)a= 90+
2. ll)a. 12)a=20''. IJ)e.
19) d. 20) 20".
14) d. 15) e. 16) d. 17) d. 18) e.
l6EOMETRJA PLANA - QUESTÕESDE COHCl/8SOSPROPOSTAS:
11 CFS - 1990 - AH é. aUwr.a. de. um Wiingulo e.quiliitvu, ABC. 0-6 Wiingulo-6 ABH e.
ABC -6ão:
a./ ..
l-66-6ce.lu. bI ucll-le.no-6. e/ e.quilá.tvu,-6. d/ um .i..-6ó-6ce.lu e. ou.bi.o ucll-le.n.o.
21 CFS - 1991 - No Wiingulo a.ba.i.xo, -6a.be.--6e. que. AC = AB e. AM = AP. Qua,l é. a.
me.d.-i.da., e.m g,'UUL6, do ângulo x, e.m 6unção do ângulo y?
a.} IJ.
b/ !J. •
2
e/ i!/..
2
b/ 1!J..
3
A
B
3/ CFS - 1994 - O Wíingulo. ABC é. .i..-66-6ce.lu (AB
ângulo B. Então, x - IJ é. lgull-l it:
it} 40º
.
b/ 45º
.
e/ 50º
.
d/ 55º
.
B
A
208
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it b.i..-6-6e,t,úz do
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a_CL
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4/ CFS - 1995 - Um do.é, ângulo-6 de. um Wiingulo me.de. 40°
. O ângulo ob�o 6o1Unatfo
pel.a-6 b.i..-6-6e,t,úzu -in.tvtruu, dM ou.tM-6 do.i..-6 me.de., e.m g.lUlU.6,
it/ 100. bl 110. e/ 120. d/ 140.
A 1
5/ CFS - 1996 - Na. 6lgUJt.a., AB= AC, CB= CV e. A= 40°
. 0-6 ângulo-6 VCB � AVC, e.m
g.lUW.6, me.de.m Jte.-6pe..c..ti.vame.n.te.:
it) 40 e. 70.
b) 70 e. 110.
e/ 40 e. 40.
d/ 40 e. 110.
A / 1 I B
6/ CFS - 1996 - Na. 6lgUJt.a. a.ba.ixo, pode.--6e. a.6-<Ama.t'I. que. x + 1J +zé. lgua,l a.:
a.} 60°
.
b/ 80°
.
e/ 100°
.
d/ 120°
.
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é. b.i..-6-6e,t,úz e. MAH me.de. 10°
, it me.d..úút x do ângul.q .HPC é.:
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d/ 70°
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22. 7) CFS - 1997 - ABCVE l um pen,tágono 11.e.gul.alr.. Se.rido aA�, o ângul.o x. me.de.:
a.) 30º
.
b) 54º
.
C!) 68°
.
d) 72º
.
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E
8) CFS - 1997 - Na. 6,i.gww., BV ; AV; VC. EILtão, a. me.di..da. do ângul.o x. vez.te.:
a.) 30°
.
b) 20°
.
C!) 15°
.
d) 10°
.
B
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9) CFC - 1997 - Na. 6-i.gww., KLM l um .tlúân.gul.o e.qu.Uá.te.Jto. O va.to11. de. lm - n.) l
.i.gua.l a.:
a.) Oº
.
b) 6° .
e) 12°
.
d) 24°
.
B
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1O) CFC - 1997 - A4 me.di.dJu, do.t. an.gul.o-6 .i.n.tVUl.0.6 de. um .tlúân.gul.o pode.m .6e.Jt
11.e.µ11.ueJLta.da.l, poJt 4x., 2x. +. 11 e. 3x. - 2. E.6.6e. .tlúân.gul.o l:
a.) Jte.tângul.o. b) .ú.6-óc.e-lu. e.) obtu.óan.gul.o. d/ (U!utângul.o.
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12) CFS - 1998 - Na. fi.gww., M JtWU Jt e. .6 .6âo pa,ta.lela.l., e. IL6 Jr.ú.a.h t e. v .6ao
pe.Jtpe.rrd.i.c.ul.a.Jtu. AM-úutle., e.n.tão, de.n.tlte. aA a.6i.1una,Uvcu a.balxo, a. ÚIÚC!a. que.
eomple.ta. c.oJtlt.e.ta.mvt,te. a. u;1.te.nça.: "0.6 ângul.o-6 cüt,t.úLtiM a e. p .t.ão ••.••••••••
a.) .6upU/11e.n.taltU" •
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e) Jte.ple.me.n.taltu" •
d) .6e.mp!le. c.on.glUleJLtu".
t
a
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13) CFS - 1998 - É e.oMe.to a.fvuna./f. que. um .tlúân.gul.o Jte.tângul.o:
a.) n.ao pode. .6e.Jt .ú.6-t.c.e-lu.
b) po.6.6ui. a.pvuu. uma. a.ttww..
e) te.m oJttoc.e.n.tJto no vVLÜC!e. do an.gul.o li.e.to•
d) te.m ea.da. an.gul.o ute.11.no mtúoJt que. o .úLte.Jtn.o a.dj(U!eJLte..
RESPOSTAS fJAS QUESTÕES fJE CtJNCU/lStJS PROPOSTAS:
Jt
1) d. 2/ b. 3/ d. 4/ b. 51 d. 6) d. 7/ d. 8) b. 9/ e.. IO)·d.
li) d. 12) b. 13) e..
211

23. i
1
·
i:
1.
1
1
CAPÍTULO 27: CON6RUÊNCIA DE. TRIÂN6ULOS.
CASOS DE CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS:
a) L.A.L. (lado, ângulo, lado):
Dois triângulos que têm um ângulo congruente, fonnado por dois lados congruentes são
congruentes.
e C'
A B A' B'
AC:A'C' (L)
CAI3 =C'A'B' (A)
AB =Â.'B' (L)
Então:
ruBC =M'B'C'
b) A.L.A. (ângulo, lado, ângulo):
Dois triângulos que têm um lado adjacente a dois ângulos congruentes são congruentes.
e C'
A B A' B'
212
A, A
CAB =C'A'B' (A)
AB:A'B' (L)
A A
ABC= A'B'C' (A)
Então:
.iABC:M'B'C'
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c) L.L.L. (lado, lado, lado):
Dois triângulos que têm os três lados congruentes são congruentes.
e e·
A B A' B'
AC:A'C' (L)
CB:C'B' (L)
AB:A'B' (L)
Então:
õABC =õA'B'C'
Obs.: Há, ainda, um outro caso de congruência de triângulos que pode ser considerado uma
conseqüência do caso A.LA. (ângulo, lado, ângulo), que é o normalmente conhecido como A.L..A.
(ângulo, lado, ângulo oposto).
A.L.A., (ângulo, lado, ângulo oposto):
Dois triângulos que têm um ângulo, um lado e outro ângulo oposto a esse lado
respectivamente congruentes são congruentes. ·
e e·
A B A' B'
A, ""
CAB =C'A'B' (A)
AB:A'B;.._ (L)
AÔ3 =A'C'B' (A.)
Então:
.iABC:M'B'C'
SUGESTÕES DE EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM:
I) Usando a congruência de triângulos, demonstre:
a) Os pontos da mediatriz são equidistantes dos extremos do segmento.
b) Os pontos da bissetriz são equidistantes dos lados do ângulo.
c) Segmentos de reta paralelos compreendidos entre retas paralelas são congruentes.
d) O segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao 3°
lado e tem
para medida metade da medida deste.
213

24. i e) Os segmentos determinados pelos pontos médios dos lados de um triângulo dividem o triângulo
em quatro outros triângulos congruentes.
f) Em todo triângulo isósceles, a bissetriz do ângulo do vértice coincide com a mediana e a altura.
g) As medianas traçadas a partir dos ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.
2) Se a = p e ó = 0, prove que MBC = ôDBC.
A
B e
D
3) Demonstre que, se dois triângulos retângulos têm, ordenadamente, um cateto e a hipotenusa
congruentes, então eles são congruentes.
4) Segmentos determinados pelos pontos médios dos lados de um triângulo dividem o triângulo em
quatro outrostriângulos congruei:ites. Provar.
[6EOMETRJA PLANA - Ql/ESTÃO DE CONCURSOPROPOSTA:
1) CFS - 1998 - Con1.i-«ie11.e. M 116.úuna.çõu:
I - Vo.l& tJúâ.n.gul.tu. Jtú.ân.gui.0-6 .e.ao .t.empile. c.ongJtU.e.n.tu.
· II - Vo.l& .tlúâ.ngul.o-6 e.quU.iitvr.o.e. .e.ao .t.empile. c.ongJtU.Vttu.
Com Jt.ehz.ção à6 116.úuna.çõu a.c..úna, pode.-.e.e. CÜ.ZVI. que.:
111 I e. II .e.ao 6a.l6a.&.
b) I e. II .e.ao vVl.dlldeÁJUL6 •
e.J I l vVl.dllde..úta. e. II l áa.l!.11.
d) I l álll.-611 e. II l velldllde..úta..
RESPOSTA PA fllJESTAÕ PE CONCURSO PROPOSTA:
1) (1.
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CAPÍTULO 28: QUADRII..Á
TEROS. .
DEFINIÇÃ.O:
É o polígono de quatro lados.
A
B
D
lados !2E_Ostos:
AD e BC;
ABe CD.
ângulos opostos:
Âee•
Befi:
soma dos ângulos internos: Si = 360".
e
CLASSIFICAÇÃO:
a) Paralelogramos:
Os lados opostos são paralelos.
retângulo: losango: quadrado:
4 ângulos retos. 4 lados congruentes. 4 ângulos retos e
4lados co_n�e_11tes.
- propriedades dos paralelogramos:
i - lados opostos congruentes;
ii - ângulos opostos congruentes;
ili - ângulos adjacentes ao mesmo lado suplementares; e
iv - diagonais cortam-se ao meio.
- propriedade do losango (ou rombo):
i - diagonais são bissetrizes dos ângulos internos e perpendiculares entre si.
- propriedade do retingulo:
i - diagonais são congruentes.
215
paralelogramo
ou rombóide.

25. AS PROPRIEDADES DO LOSANGO E DO RETÂNGULO SÃO INERENTES AO
QUADRADO, UMA VEZ QUE O QUADRADO É, AO MESMO TEMPO, UM LOSANGO E
UM RETÂNGULO.
b) Trapézios:
Quadriláteros que têm apenas dois lados paralelos (base maior e base menor).
E b F
D H B G
DE e FG= lados não paralelos.
OBS.:
EF = b = base menor.
DG =B = base maior.
EH= h= altura (distância entre as bases).
EG, DF = diagonais.
PQ=B.,= base média (segmento que une os pontos
médios dos lados não paralelos).
:s.=11±.!L
2
MN = M.= mediana de Euler (segmento que une os
pontos médios das diagonais)
M.= l!...::...l2_.
2
A base média contém a mediana de Euler e é paralela às bases do trapézio.
PROPRIEDADEDOS IRAPÉZIOS:
{ª ��. 8
216
ex+ r= 180".
fJ+ 8 = 180".
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a.Q.
1 8
Classificação dos Trapézios:
retângulo:
propriedades do tnpé-zio isósceles: ângulos
adjacentes à mesma base congruentes, ângulos
opostos suplementares e diagonais congruentes.
c) Trapezóides:
Quadriláteros que não têm lados paralelos.
escaleno:
SUGESTÕES DE EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM:
1)Representando por:
P - conjunto dos paralelogramos;
R - conjunto dos retângulos;
L - conjunto dos losangos; e
Q - conjunto dos quadrados.
Diga quais das sentenças abaixo são verdadeiras:
a)Rc P . b) P cL. c)R<ZL. d)Q:::>R. e)Q<ZL. f)LcR.
"
2) Na figura, calcule o ângulo APB, sabendo que ABCD é um quadrado e que o triângulo CDP é
equilátero.
A r--:.: :;,i B
D e
217

26. J) Calcule os ângulos não-retos de um trapézio retângulo, sabendo que sua diferença é de 30".
4) Uma diagonal de um trapézio isósceles forma com um dos lados não-paralelos um ângulo de 45°
e
com uma das bases um ângulo de 20". Qual é o valor dos ângulos desse trapézio?
5) (UFES)Na �a, E é o ponto médio de AB no paralelogramo ABCD. Sabendo-se que AC mede
6,9 cm, então, AM mede, em cm:
a) 2,4.
b) 2,3.
c) 2,2.
d) 2,l.
e) 2,0.
J)?J r
E
6) (UFMS) Dadas as proposições abaixo, dê o somatório da(s) afirmação(ões) verdadeira(s).
01. Em um retângulo qualquer, as diagonais são congruentes.
02. Em um losango qualquer, as diagonais são congruentes.
04. Em um quadrado qualquer, as diagonais são congruentes.
08. Em um retângulo qualquer, as diagonais são perpendiculares entre si.
16. Em um losango qualquer, as diagonais são perpendiculares entre si.
32. Em um quadrado qualquer, as diagonais são perpendiculares entre si.
7)Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, onde BC+ CF = AF e E é o ponto médio de CD. Provar
que BAF = 2EAD.
A
E F C
B
218
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8) Nos trapézios abaixo, o ângulo formado pelas b�se�es internas ou externas respectivamente tem
medida a. Determine a em função das medidas de A e B.
a) b) fl}< 1 B
B
D e
9) Decida se a afirmação é falsa ou verdadeira: "O ângulo formado pelas mediatrizes de dois lados
consecutivos de um polígono regular é congruente com o ângulo externo do mesmo polígono".
10)No trapézio da figura, temos AB=BC=CD e AC=AD. Então, o ângulo D mede:
a) 60".
b) 64º
.
c) 72º
.
d)N.R.A
11)(ITA) Dadas as afirmações:
V
A D
I - quaisquer dois ângulos opostos de um quadrilátero são suplementares.
II - quaisquer dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares.
m - se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares entre si e se cruzam em seu
ponto médio, então esse paralelogramo é um losango.
Podemos afirmar que:
a) todas são verdadeiras.
b) apenas I e II são verdadeiras.
c) apenas II em são verdadeiras.
d) apenas II é verdadeira.
e) apenasm é verdadeira
12) A linha ligando os pontos médios das diagonais de um trapézio tem comprimento 3. Se a base
maior mede 97, então a base menor mede:
a) 94. b) 92. c) 91. d) 90. e) 89.
219

27. 13)(VUNESP) A afirmação falsa é:
a) Todo quadrado é um losango.
b) Existem retângulos que não são losangos.
e)Todo paralelogramo é um quadrilátero.
d) Todo quadrado é um retângulo.
e) Um losango pode não ser um paralelogramo.
14) Um mierth tem quatro blazoos congruentes. Para que mierth seja um paralelogramo, a
definição matemática de blazom é:
a) lado. b) ângulo. e) lado ou ângulo. d)N.R.A.
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM: ✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓
1) a)V. b)F. e)V. d)F'. e)F. f)F. 2) 150". 3) 105°
e 75°
. 4) 115º
e 65º
. 5) b.
A+B A+B
6) 53. 8) a) ex= --. b)ex= 180---. 9)verdadeira. 10) e. 11) e. 12) e.
2 2
13) e. 14) e.
[6EOJIETRJA PLANA - QUESTÕESDECONClll/SOSPROPOSTAS:
1J CFS - 1992 -
a.) 150°
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No tlt..a.pú..lo da. 6,lgUIUI., a. -6oma. do-6 ângula-6 da. bMe. ma.lo1t val.e.:
b)157°
.
e.)180°
.
d)187°
.
2) SUP TAZFA - 1995 - No qwultwite.Jto, o ângulo 6oltma.do pd.a.6 b.U..1.>e..tJúze.-6
e.xt.vuuu, de. C e. V é..lgu.al. a.:
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3)CFS - 1997 - Va.-6 a.6.lltmaçõe.1.> a.bcúxo, a. FALSA é.:
a.)O po.Ugono que. nã.o .tem d<.a.gona.v., é. o .t.,uân.gulo.
b)Um ,t.,úân.gulo te.m, no m.úúmo, do.U.. ângula1., a.gudoJ.i.
e.)01., ângula-6 opoJ.ito1., de. um pa)Ut(.e.l.owu,.mo qu.al.que.Jt -6Ü.O -6uple.me.ntalte.1.>.
d) Num po.Ugono, um ângulo .úLtvtlto e. um ângulo e.X-te.luto de. mumo vé.Jtt.lc.e. -6Ü.O
a.dja.c.e.ntu
4)CFS - 1997 - CoM.lde.Jte. a.-6 a.6.lltma.çõu:
I - Se. um quadlr.il.á,te.Jto é. um pa)Ut(.e.l.ogJt.amO, pode.mo/.> a.6.lltma.Jt que. a.-6 d<.a.gona.v., 1.>ão
c.ongJtUe.nte.1.>.
II - cm -todo .C.0-6a.ngo, é. vvr.da.de. que. o-6 la.d.0-6 não -6do c.ongJtUe.ntU e. a.-6 d<.a.gona.v.,
-6ã.0 pe)tpe.lUllc.ula.JtU.
III - Qua.ndo wúmoJ.i 01., pon-to1., mé.cUOI.> dOJ.i la.d.oi.> não pa)Ut(.e,l0-6 de. um tlt..a.ptz.lo, o
lle.gme.nto ob:túlo .tem polt rrKUl..lda. a. lle.m.l--6oma. da.-6 me.cUcúv., da.-6 bMu.
MJ.ioc..la.ndo V ou F a. e.a.da. a.6.lltmaçcio, .te.mo1.,:
a.)F, F, V. b)V, F, F. e.}V, V, F. d}V, F, V.
S) CFS - 1997 - �e. a. a.6.lltma.ção ve.Jtda.de..llta.:
a.)cm qu.al.qu� pa)Ut(.e,log.tamo -todoll 01., ângU.C.01., 1.,do c.ongJtUe.ntu.
b)Num ,t.,úân.gulo .l-661.,c.e.le.-6, qu.al.que.1t a..UMa. é. .ta.mbém me.r.Lúuut e. b.ú.J..e..tJúz.
e.l Qu.al.que.Jt quadM.l.áte.JtO c.onvéxo que. poMu.l do.U., la.d.01., pa)Ut(.e.lOJ.i é. um p<iltale,lo­
gJta.mO.
d)Qu.al.que.Jt quadM.l.áte.JtO c.onve.xo no qual. a.-6 d<.a.gona.v., c.olt.ta.m-1.>e. a.o múo é. um pa.­
lU11.e,log.tamo
6)CFS -
a.) 150°
.
b)120º
.
e.)100º
.
d)50°
.
1997 - Na. 6.lgWUI., AB = AC e. e= l p. o va..(.olt de. IP - ex) é.:
B
5 A
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7) CFS - 1998 - A6 me..d.lcwúz.e.J.i de. do.U., laJJ.01., c.oMe.c.uUvo-6 de. um po.UgoM 1t.e.gula.Jt
6oJtmam um ângulo de. 36°
. fJ.,te. po.Ugono é. um:
a.}oc..tógono. b}de.c.ágono. e.1 pe.n;ta.de.c.ágono. d).lc.o-61Ígorw.
RESP(JSTAS IJAS flUESTÕES IJE CtJNCUllStJS PKOP(JSTAS:
l}b. 2)b. 3}c.. 4}a.. S)d. 6}b. 71b.
221

28. CAPtrul.O 29: CIRCUNFERÊNCIA t: CÍRCULO.
DEFINIÇÔES:
Circunferência: conjunto dos pontos equidistantes de um ponto dado (centro da
circunferência) do mesmo plano. Círculo: união da circunferência com sua região interior.
ELEMENTOS DA CIRCUNFERÊNCIA OU DO CIRCULO:
A Centro = O.
região �B Raio = distãncia constante de qualquer
ponto da circunferência ao centro =OA.
Arco = porção da circunferênc�limitada por
região I r _... C dois de seus pontos = BD (para o menor
E
arco determinado por B e D; para o maior
arco, indicaremos B®, por exemplo).
O .- .:t Corda = segmento cujos extremos são pontos da
circunferência = BD.
F1ecba =segmento determinado pelos pontos
médios do arco e da corda que o
subtende =FC.
Diâmetro= corda que passa pelo centro = AE (diâmetro = 2r).
Setor circular = região circulo limitada
por dois raios= OGE.
Se P é um ponto de C(O,r):
região exterior = E= {PI OP > r}.
circunferência = C= {PI OP= r}.
região interior= I ,; {P I OP < r}.
circulo = C'= (PI OP sr}.
Segmento circular = região do circulo
limitada por wna corda e o arco que ela sub­
tende na circunferência= BDC.
OBS.:
Lugar geométrico é o conjunto de todos os pontos que possuem uma determinada propriedade.
Todos os pontos da circunferência têm a propriedade de manter uma mesma distãncia (raio da
circunferência) de um ponto fixo que é o centro da circunferência. Por esse motivo, dizemos que a
circunferência é um lugar geométrico. __ _ ___
POSIÇÔESRELATIVAS:
a) Entre reta e circunferência:
s
e
exterior-não tem ponto comum (e).
ungente - tem um ponto em comum (t)
e é sempre perpendicular ao raio
(ou ao diâmetro) no ponto de tangência (T).
secante-tem dois pontos em comum (s).
. Obs.: A reta n, perpendicular a t, é chamada de normal.
222
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b) Entre duas circunferências:
Chamando a distãncia entre os centros O e 0' de d e seus raios de R e r. temos:
interiores
Q
em ambos os casos, d<R-r; na segunda figura, onde d = O e R � r, as circunferências são
ditas concêntricas.
tangentes interiores secantes
d =R-r R-r<d<R+r
tangentes exteriores exteriores
R
o o
d
d = R+r d>R+r
Obs.: Duas circunferências são ditas CONGRUENTES se têm o mesmo raio.
223

29. PROPRIEDADF:S:
Em urna circunferência ou em circunferências congruentes:
-..,----,,-..;.-------D
}
º
/l
M2
I) AB <CD<=> OP>OQ.
2) AB=EF<=> OP=OS.
3) diâmetro é a maior corda.
AP=PB.
(" ("
4) M1M2 .l AB <=>-< AM1
= M1B.
(" ("
AM2 = M2B.
n 'n
5) AB = EF<=> AB=EF.
++ ++ (" ("
6) AB//CD⇒ AC = BD.
1) Se duas cordas da mesma circunferência ou de circunferências congruentes têm medidas
diferentes, a maior é a que está inais próxima do centro (e vice-versa);
2) Se duas cordas da mesma circunferência ou de circunferências congruentes têm a mesma
medida, então ambas estão a uma mesma distância do centro (e vice-versa);
3) O diâmetro é a maior corda de uma circunferência;
4) O diâmetro perpendicular a wna corda divide esta e os arcos por ela determinados em
partes congruentes (e vice-versa);
5) Se duas cordas de uma mesma circunferência ou de circunferências congruentes são
congruentes, então os arcos determinados por essas cordas são congruentes (e vice-versa);
6) Arcos compreendidos entre duas paralelas são congruentes.
224
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MEDIATRIZESDOSI.ADOSDE UM 1RIÂNGULO:
As mediatrizes dos lados de um triângulo se encontram num mesmo ponto, chamado
circuncentro, que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.
.
A
.
PROPRIEDADF:SDAS TANGEN1ES:
A
m2
As retas m1, m2 e m3, mediatrizes de.BC, AC e ÀB
respectivamente, encontram-se no ponto O, centro da
circunferência circunscrita ao triângulo ABC.
p
OBSERVAÇÃO:
No triângulo isósceles, a mediatriz, a mediana, a
bissetriz e a altura que saem do vértice se con­
fundem. No triângulo equilátero, a mediatriz, a
mediana, a bissetriz e a altura que saem de qual-
quer vértice se confundem e têm a mesma medi­
da. Em conseqüência, no triângulo equilátero,o
Baricentro, o lncentro, o Circuncentro e o Orto­
centro se confundem.
Na figura ao lado, onde A e B são pontos
de tangência:, temos:
➔ "
• PO é bissetriz de APB.
• PA:PB
- -
*PA.lAO e PB.lBO.
SUGESTÕES DE EXERciaos DE APRENDIZAGEM:
1) Coloque (V) ou (F):
a) Em qualquer circunferência há uma infinidade de diâmetros ( ).
b) Em uma circunferência, toda corda é um diâmetro ( ).
c) Todo diâmetro de urna circunferência é uma corda ( ).
d) O diâmetro divide a circunferência em dois arcos congruentes ( ).
e) Qualquer raio de uma circunferência é uma flecha ( ).
t) Uma circunferência fica completemente determinada por dois de seus pontos ( ).
g) Duas cordas não-congruentes de uma circunferência estão a mesma distância de seu centro ( ). ·
h) Qualquer reta perpendicular a um raio de urna circunferência em um ponto P é tangente a essa
circunferência em P ( ).
225

30. 2) Sendo C1(0. R). Ci(O'. r) e d a distância entre os centros, complete o quadro abaixo:
R r d=OO' Posicão relativa entre C1 e C1
4 5 18
10 3 7
44 6,6 11
9 3 3
79 2.6 o
9,8 4 7
3) Os lados do triângulo abaix:o são tangentes à circunferência. Prove que b+ c =a+ 2r.
c
4) Na figura abaixo, d�e o perímetro do tri.fu!gul_Q_AD_], sabendo que o perímetro do triângulo
ABC é 20 cm e a base BC mede 8 cm e que DE, EB. BC e CD são tangentes à circunferência.
A
B c
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5) Determine quantas tangentes comuns podemos traçar a duas circunferências:
a) exteriores.
b) tangentes exteriormente.
c) secantes.
d) tangentes interiormente.
e) concêntricas.
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE Al'RENDIZAGEM: ✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓
1) a) V. b) F. c) V. d) V. e) V. f) F. g) F. h) F.
2) exteriores, tangentes internas, tangentes externas, interiores, concêntricas e secantes. 4)4 cm.
5) a)4. b) 3. c) 2. d) 1. e) O.
�OMETRIA PLANA - QUESTÕESDE CONCURSOSPROPOSTAS:_
1) EPCAR - 1987 - Pa/Ul e.a.do. uma. da.6 p,'tOpo-Mç.ÕeA o.ba-uo, M� V (ve/U1adeÁM)
ou F { 6ctl611) •
1 - Uma. .Jt.Úll que. pa.Mll pelo c.e.ritM de. uma. c..iJtc.UJt6e.,,rl,n.c.i.a. é. 1.,e.c.an,te. d
c..iJtc.UJt6e..Jtê.11cúz..
11 - Uma ,te,ta M.mp,'te. :tem do.ú pon.tOI.> em comum com um11 c..út.c.UJt6eJll,n.c.i.a..
111 - Se. uma. ,te,ta é. .ta.ngVLte. ll Ul7lll c..iJtc.UJt6e.,,rl,n.c.i.a., ll futân.cia. e.n.t.Jte. o
c.e.n.t.Jt.o dll c..iJtc.wt6vr.êncúz. e. 11 ,te,ta é. .lgual. a.o .Jtll.lo da c..iJtc.UJt6vr.êncúz..
1 V - Se. uma. ,te,ta é. 1.>e.c.lln.te. C1 uma. c..iJtc.UJtóe..Jtê.nc�, e.n.t:ão ll cU.l.>tfutc� e.n.tlte.
o c.e.rwui da clltcwt6e..1têncúz. e. 11 Jtúa é. me.n.o.Jt que. o �o da c..út.c.UJt6e..1têncúz..
V - Se. uma. ,te,ta é. 1.>e.c.imte. ll uma. c..út.c.wt6e..1têncúz. de. · .Jtll.lo 9, e.n.tão o
1.>e.gme.n.to que. .tem ex,t,r_erwfa,dv., 11.0-6 pon.tOI.> onde. 11 .Jt.Úll c.o.Jt.tll 11 c..iJtc.un.6vr.êncúz. .tem
�ll me.JW.lt OU .lgual. ll 18.
A 1.,e.qiiê.n.� c.o.Jt.Jt.W do1.,· valo-tU .l6glc.01.> tWti.buidol.> M p,t0po-MÇÕU, é.:
11) VFFFV. bl FVFFF. c.J VFVVV. d) FFVVF. e.J VFVFV.
21 CFS - l990 - Na 6.lgu.Jtll da.da, M c..iJtc.un.6vr.� 1.>ã.o .ta.nge.n.t.e-6 dUlll.> ll dUlll.>: AB
= 4,5 cm, BC= 7 cm e. AC= 5,5 cm. A d.l6e..Jt.VtÇll e.n.t.Jte. o ma..lo.Jt e. men.ó.Jt dai.> .Jtll.lo1.>,
em cm, é.:
11) o,5.
bJ 1.
e.) 1,5.
d) 2, S.
e
'1.27

31. 3) CFS - 1997 - Se.j11JT1 a.6 c.úr.cUJt6VLê.nc.-út6 de. cen,t,to.& O, e. 01 e. Juúo.6 R, e. R1,
11.upe.c,tlvame.Jt.te.. Se. R, > R1, COIL6.ú1Vt.e.m-.6e. a.6 «6.útmaçõe..&:
1 - R, + Rr pode. .6e.ll. -igual. a O,O,.
II - Rr - Rr pode. .6e.ll. -igual. a O,O,.
I11 - R, + R1 pode. .&e.li. me.,u,11. que. O,O,.
Ne..6.6a.6 cond.i.çõu, pode.-.&e. co/U!lu.bt que.:
a) toda.6 a.6 «6.(./(171(lçõu .6do 6a.l6M.
b) toda.6 a.6 116.(./(171(1Çõu -6do ve.11.d!td�•
e) .&omen.te. W1l(l da.6 «6.(./(171(1ÇõU l vvufa.de,i,ta.
d) .6ome.n..te. dUa.6 dM !lft.(./(171(1ÇÕe..6 .6do vvufa.d�.
KESPOSTAS tJAS QUESTÕES tJE CONCU!lSOS PROPOSTAS:
1) e. 2) d. 3) b.
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CAPÍTULO 30: RELAÇÕES ENTRE ARCOS E .ÂNGULOS.
a) Ângulo Central:
É o ângulo cujo vértice é o centro da circunferência. A unidade de medida de arco é o arco
cujo ângulo central mede 1°
. Um ângulo central e o arco detenninado por ele têm a mesma medida.
m
Ângulo inscrito: formado por duas cordas
de extremidade comum
B
m
a = m/2
a = med(AÔB) = 80".
n
med AB = 80".
n
med (AÔB) = med AB ⇒ a = m.
Ângulo de Segmento: formado por uma corda e
uma tangente que se interceptam no ponto de
tangência.
m
a = m/2
Ângulo excêntrico exterior: formado por urna secante e uma tangente ou duas secantes que se
interceptam num ponto exterior à circunferência.
m
Nos dois casos: a = m - n
2
229
m

32. !
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1
11
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Ângulo n.cêntrico interior: fonnado por duas
cordas que se interceptam no interior de uma
circunferência em um ponto diferente do centro.
a = m+n
2
n
m
Ângulo Ex-Inscrito: é o suplemento do ângulo inscrito.
a = m + n
2
POLiGONOS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS:
Ângulo circunscrito: formado cordas
por tangentes à circunferência.
a = ..m..:...n
2
Polígono inscrito em uma circunferência: seus lados são cordas da circunferência. Neste caso,
a circunferência é circunscrita ao polígono. Todo polígono em que é possível traçar uma
circunferência que contenha todos os seus vértices diz-se inscritível.
Polígono circunscrito a uma circunferência: seus lados são tangentes à circunferência. Neste
caso, a circunferência é inscrita no polígono. Todo polígono em que é possível traçar uma
circunferência tangente a todos os seus lados diz-se circunscritível.
circunferência circunscrita
230
polígono
circunscrito
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ARCO CAPAZ:
e
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Os ângulos ACB, ADB e,AEB todos têm a mesma m�da (metade da
medida do arco AMB). Dizemos que o arco ADB é o�co
capaz do ângulo a, pois de qualquer ponto do arco ADB
A � 1 / fE observamos a corda AB sob o mesmo ângulo a.
B
B
r-.
ADB é o arco capaz do ângulo a.
Todo triângulo inscrito numa semicircunferência é
retângulo.
Reciprocamente, todo triângulo retângulo é inscritível
em uma semicircunferência.
C AO = BC/2.
PROPRIEDADE DOS TRIÂNGULOS E DOS POLÍGONOS REGULARESEMGERAL:
Todo triângulo é inscritível e circunscritível.
Todo polígono regular é inscritível e circunscritível. Os arcos determinados por dois vértices
consecutivos de um polígono regular inscrito numa circunferência são congruentes.
PROPRIEDADES DOSOUADRIIÀIEROS:
a
A e b
D
ABCD é inscritível o A+c = B+D = 180". ABCD é circunscritível o a + c = b + d.
(TE_OREMA DE PITOT)
231

33. COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA EDO ARCO:
CIRCUNFERÊNCIA: UM ARCO QUALQUER:
C=2.1t.R
1t = 3,14.
l= 1t. R. a. (a. medido em graus).
180
l= a..R(a. medido em radianos).
O radiano utiliza o raio da circunferência como unidade. Dividindo o comprimento da
circunferência pela medida do raio, encontramos quantos radianos (x) mede a circunferência:
x = medida da circunferência =_ç = 2.n.R =2.n radianos.
medida do raio R R
Isto é: 360" correspondem a 2n radianos. Por regra de três, determinamos, em radianos, a
medida de um ângulo qualquer.
·1 SUGESTÕES DE EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM: 1
l} Coloque (V) ou (F):
a) Todo quadrilátero convexo é inscritível ( ).
b) Em circunferências congruentes, ângulos centrais congruentes subtendem arcos congruentes ( ).
c) O trapézio isósceles é inscritível ( ).
d) Todo losango é inscritível ( ).
e) Todo triângulo escaleno é circunscritível ( ).
f) Todo polígono regular é inscritivel e circunscritível ( ).
g) Todo paralelogramo é circunscritivel ( ).
h) Todo trapézio inscrito em urna circunferência é isósceles ( ).
232
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2) (UFAL) Seja a circunferência de centro O, representada na figura abaixo. A medida a., do ângulo
assinalado, é:
a) 30".
b) 40".
c) 50°
.
d) 60".
e) 70".
3) (Unisantos-SP) Na figura abaixo, o valor de x é:
a) 31°
.
b) 38º
.
c) 48°
.
d) 50".
p raio = 3
4) Calcule os ângulos internos do .:ABC.
c
B
5) De um ponto exterior P a uma circunferência traçam-se duas secantes. A primeira corta ·a
circunferência nos pontos B e C (B entre P e C) e a segunda nos pontos D e E (D entre P e E).
n n n
Se P= 30" e CE= 3BD, calcule BD.
233

34. 6)Na figura, AB é o diâmetro do semicírculo que fonna 20" com a corda AC. Sendo t paralela a AC,
os ângulos a e P medem respectivamente: t
a) 20" e 70".
b) 25º
e65º
.
c) 30" e60°
.
d) 35º
e 55º
.
e)N.RA
A ·B
7) (Fatec)Na figura, os pontos A, B e C pertencem à circunferêncía de centro O. Se p = 150" e y =
50". Então a é igual a:
· a) 30".
b) 45º
.
c) 35º
.
d) 15º
.
e) 20".
8) Determine x e y em:
a)
c
b)
9)Numa engrenagem, uma roda tem60 cm de raio e dá 900 voltas, enquanto que uma roda menor
dá 3 000 voltas. Qual é o raio da roda menor?
10) A círcunferêncía C1, de raio r e perúnetro p1 = 104
é concêntrica à circunferência C2, de raio R e
perímetro Pz = 5 + 10
4
• Determine R-r.
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11)Na figura, os três círculos têm raio r = 30 cm. O comprimento da correia que envolve os três
círculos é:
a)60(1t - 3).
b)60(3-1t). f}j
c)60(3 + 1t).
d)60(3+21t).
12) De um ponto fora de um círculo de60 cm de raio, traçam-se duas tangentes. Os pontos de
tangência determinam na circunferência um arco de 107t cm. O ângulo fonnado pelas duas tangentes
vale:
a) 30". b) 120". c) 145º
. d) 150". e) 330".
13) Se os 3 pontos de contato de um círculo inscrito em um triângulo são ligados, então os ângulos
do triângulo resultante:
a) são sempre de60".
b) são sempre um ângulo obtuso e dois agudos distintos.
c) são sempre um ângulo obtuso e dois agudos iguais.
d) são sempre ângulos agudos.
e) são sempre 3 ângulos distintos.
14)No triângulo ABC abaixo, retângulo em A, AH é altura relativa à hipotenusa e AM é mediana. A
medida do ângulo a é dada por:
�p+� A
b) p - y.
c) y - p.
d) 2p +y.
e) P- 2y.
B'--�--'---....._______...
15) O valor de x, na figura abaixo, é:
a) 210".
b) 50".
c) 30".
d) 10".
e)N.RA
c
235
M
A
c

35. n
16)(PUC-SP) Na figura, a = 1,5 rad, AC= 1, 5 e o comprimento do arco AB é 3. Qual é a medida do
n
arco CD?
a)2,33.
b) 4,50.
c) 5,
25.
d) 6,50.
e) 7,25.
17)(ESPCEX) Inscreve-se um círculo num triângulo de lados 5 m, 8 m e 9 m. Determinar as
distâncias dos vértices do triângulo aos pontos de contato.
18) {I.E.) De um ponto M fora de um círculo, traçam-se duas tangentes e, por um ponto qualquer do
menor dos arcos determinados pelos pontos de tangência, traça-se outra tangente. Sabendo-se que o
comprimento de cada wna das tangentes, do ponto M ao ponto de contato, é de 15 cm, dê o
perimetro do triângulo formado pelas três tangentes.
19) (EPCAR) As bases de um trapézio inscrito num semicírculo subtendem arcos que valem,
respectivamente, 1/8 e 1/3 da circunferência. Calcular os ângulos internos do trapézio.
- -
20)(U.E. LONDRINA) Na figura ao lado, as semi_;!etas PA e PB tangenciam a circunferência de
centro O nos pontos A e B. Se OA =2 e o ângulo APB mede 60", então AP é igual a:
a)2-f2. B.
b)2.../J.
c) 4. P
d) 3-f7..
6.
2l)(MACK) Na semicircunferência de_centro O e diâmetro AB, temos ADli oc, sendo A, B, C e D
· n n
quatro pontos distintos. Então, se m(BC) indica a medida do arco BC:
n n �D
a) m(BC)= m(CD).
n n
b) m(BC) > m(CD).
n n
c) m(BC) < m(CD).
A O
d) podem ocorrer os casos a), b) e c), coor'orme a posição de C e D
e) podem ocorrer a)� b), mas nunca o caso e).
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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM: ✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓
1) a) F. b) V. c) V. d) F. e) V. f) V. g) F. h) V. 2) e. J) c. 4) A= 74º
, B= 50" e C=
5�. 5) 30". 6) d. 7) c. 8) a) x = 60" e y = 110". b) x= 10" e y = 40". 9)200.
10)2 . 104
ht. 11) c. 1
2) d. 13) d. 14) b. 15) c. 16) c. 17)2, 3 e 6 metros. 18) 30 cm.
19) dois de 41°
15' e dois de 138º
45'. 20) b. 21) a.
l6EOMETRIA PLANA - QUESTÕESDE CONCURSOSPROPOSTAS:
1l CFS - 19!!_ - Na. 6.igwta., ABCV l um .t/r.a.plúo, AB !:_ o Wo do .t.wingu.lo
e.qu.il.titvr.o e. CV l o l.a.d.o do qua.<lJuuJ.o. A me.dú:JJ1. do ân.gu.lo C l:
a} B0º
50'.
bl 97ª
30'.
C!/ 105°
40'.
d/ 120ª
.
A B
-- A.
2/ CFS - 19&& - Na 6,lgwta. a.bcu.x.o, PV l b-iMúJúz do ân.gu.lo P. A rne.tü.dJJ.. do ·ân.gu.lo
x, em gJI.Q.U.6 , l:
ai 120.
bl 130.
C!/ 135.
d/ 145.
B I O A p
····:·::::$.................
v....... ··--...._
31 CFS - 198B - Se. �-6 o IULi.o de. uma WC!un6e.Jtl.n.ela em 8 C!11I, o
c.omp!Li.me.n;to deu.a. c..bt.c.un6e.Jtl.n.ela, em c.m, aume.n.talu1 de.:
ai 81t. bl 121t. c.l l61t. d} 241t.
41 CFS - 1990 - Vwv.. .tan.ge.n.tu a. uma c..iJc.c.un6vr.ê.ncia. paA,tem de. um mv..mo ponto M
e. 6oJunam um ân.gu.lo de. 30°
• Qual l a. me.d..úl.a. do me.n.o,t ctlleo de.te/UIIÓUlc{o pel.M
ponto� de. .t.allgêncla.?
a.l 120º
. b) 150°
. e.) 165°
. d} 210°
.
237

36. 1.
5) CFS - 1991 - Se. o po,r,two de. um 11.el.óg.lo mede. O, 90 m, qua.,r,to-6 me,t;,tM -6ua.
pon.ta pvu!OII.II.VUÍ e.m 25 mútu.to-6?
a.) 31t • b) 31t • e.) g_ . d) 131t •
4 8 20 40
6) CFS - 1994 - 0-6 po,r,tM B, P e. C pvr,t:e.n,c.e.m a. uma. c.-<.11.c.un6e.11.êncúr. e. BC é. o .f.ado
de. um poUgono 11.e.gu.livt. .ln-6c.-'Llto. Sa.be.ndo--6e. que. BPC = 18°
, pode.--6e. c.onc..luilr. que.
o núme.11.0 de. .f.ado-6 do poUgono é, .igual a.:
a.) 1O.
b) 1.
e.) 6.
d) 5. p
c
7) CFS - 1995 - Em uma. c.-<.11.c.un6e.1têncúr., um a.li.e.o de. 20°
me.de. 30 c.m. O Jta..lo du-6a.
c..lJtc.unáe.11.ên.c.-la., e.m c.m, é.:
a.) 250. b) 260 • e.) 210 • d) 280.
lt lt lt lt
8) CFS - 1996 - Na. 6-lgUJta. a.ba.lxo, CV = OA. O vttlo11. do ângulo x:, e.m gJUW.6, é,:
V
a.) 50.
b) 55.
e.) 60.
d) 10.
AV ------ 1 B
o
9 / CFS - 1996 - Ve. um ponto ex.te.li.no de. uma. c..lJtc.unáe.11.êncúr., .tlf.aça.m--6e. dua.-6
.ta.nge.,r,tu que. de..tellmÚUim, na. c.-<.11.c.unáe.11.êncúr., 2 a.Jtc.M .ta,ú, que. um é. 2/3 do ou.tito.
O ângulo 6o..rr.ma.do poli. U-6M .ta.nge.,r,tu, e.m gJUW.6, é. de.:
a.J 24. b) 36. e.) 48. d/ 12.
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a."-
1O) CFS - 1996 - O ângulo x: da. 6.lgUJta. me.de.:
a.) 20º
.
b) 22º
.
e.) 25º
.
d) 50°
.
------::-..,_::::--....------- .t
ângulo a. = 90°
ângulo b = 40°
ângulo e. = 15°
11) CFS - 1997 - Na. 6-lgUJta., -6e.ndo x: = 30°
e. y = 24°
, e.n,tiio o-6 vttlo11.u de. a. e. b
-6iio, 11.upect.lva.me.,r,te.,
a.) 60°
e. 120°
.
bJ 54°
e. 126º
.
e.) 50°
e. 130°
.
d) 48°
e. 132°
•
12J CFS - 1997 - Um -6a..tUUe. c.oloc.a.do e.m 611.b-U:a. c..lll.c.u.livt. e.m volta. da. TVVUI., a.
uma. d.i.-6.tiinCÁ.a de. 500 lun de. -6ua. -6upe.Jtá.úúe., pe/U!oll.ll.e.u 346 626 lun e. du.ln.t�g11.ou­
-6e.. Le.mb.ltalUfo que. a. TVVUI. po�u.l um Jta..lo de., a.p11.ouma.da.mé.n.te., 6 400 lun, qua.l o
núme.11.0 de. vol.ta.-6 c.omple..ta.6 da.dM pel.o -6a..tUUe. e.m .to11.no da. T
VIM?
a.J 6. b) 1. e.) 8. d) 9.
13) CFS - 1997 - No .tJt.lângulo ABC Jte..tângulo e.m A, o ângulo MAH = 20°
. M é. ponto
mé,dlo de. BC e. AH é, a. a.ltwul. O meno11. ângulo do .tlúíln:gulo ABC é., e.m g.lUUL6:
a.) 35.
b) 40.
e.) 50.
d) 60.
B M
239
A
H c

37. 14} CFS - 1998 - Um do� ângulo� agudo� de. um .tlúângu.lo 11.e-tângu.lo me.de. 25°. A
a.Uwut e. a med-i.an.a. Jtehttivcu, a ki.po.tvuv..a. dv...óe. .tlúângu.lo 6oJUnam um ângulo c.u.ja
rne.dlda., e.m g.1UW.1.,, l de.:
a.J 25. b} 40. e.} 50. d} 65.
KESPOSTAS tJAS f2UESTÕES tJE CONCUKSOS PKOPOSTAS:
lJ b. Z} e.. 3 J e.. 4} b. 51 a. 61 a.. 71 e..
li1 b. 121 b. 131 a. 141 b.
240
8} e. 91 b. 101 e.
CAPITULO 31: LINHAS PROPORCIONAIS.
DIVISÃO DE UMSEGMENTOEM UMA RAZÃO:
Dado um segmento AB, um ponto P divide esse segmento internamente nwna razão 1c, se
AP/PB = � um ponto Q divide esse segmento externamente numa razão k', se e somente se
AQ/QB =k'. Os pontos P e Q são únicos.
A
AP PB - h d
Id�. . AP
8
PB AB
e sao e ama os a ativos, pois + = .
Se AP/PB =k, então:
P divide AB na razão k.
-------------------�································
A B
Se AQ/QB =k', então: Q divide AB tia razão k'.
AQ e
0
QB são chamados subtrativos, pois AQ - QB = AB.
Q
FEIXEDEPARAI.ELAS:
r
s
u
Um feixe de paralelas qualquer divide duas transversais em segmentos proporcionais.
V
m
Se r// s // u, então:
!!! = J! (proporção).
n q
Os segmentos cujas medidas formam wna proporção
+---+----------'----+ são ditos segmentos proporcionais.
n São válidas ainda as seguintes proporções:
m = .n;
p q
m+n = ..11..±Jl
m p
m+n = J1..±JL ; m+n = m =�
p+q n _(j_
n _(l_
PRINCIPAIS CONSEQÜÊNCIAS:
a) Qualquer paralela a um dos lados de um triângulo A
-ª' (que não passe por um de seus vértices) divide os
�! outros dois em segmentos proporcionais.
º�
o"
"D "D
:e .A)l = AE
�S DB EC
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....
E"
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B e
241

38. b) Teorema da Bissetriz Interna:
A A bissetriz de um ângulo de um triângulo
divide o lado oposto em segmentos aditivos
proporcionais aos lados adjacentes respectivamente.
B D
c) Teorema da Bissetriz Externa:
c
BD
AB
A bissetriz de um ângulo externo de um triângulo
determina sobre o suporte do lado oposto segmentos
subtrativos proporcionais aos outros dois lados do
triângulo respectivamente.
CD
AC
BD
AB
POLÍGONOS SEMELHANTES:
E
Onde:
D
A A
A::A'
... ""
B::B'
... ,A
B Ç=Ç.'
@, c
D:D'
"- "
E:E'
E'
..
DC
AC
/·..
'_.
.. A
_..-···'-,-
B
A'
�B'
D' C'
Então:
c
AB/A'B' =BC/B'C'=... =EA/E'A' =k. A correspondência ABCDE � A'B'C'D'E'
é uma semelhança, logo:
ABCDE-A'B'C'D'E'.
242
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o.O.
PROPRIEDADEDA SEMELHANÇA:
São iguais à razão de semelhança:
a) A razão entre os perimetros de dois polígonos semelhantes;
b) A razão entre as medidas de duas diagonais homólogas de dois polígonos semelhantes;
c) A razão entre as medidas das alturas homólogas de dois triângulos semelhantes.
CASOS DE SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS:
a) AA (ângulo, ângulo):
Dois triângulos que têm dois ângulos congruentes são semelhantes.
A
A'
B
c
b) L.A.L. (lado, ângulo, lado):
J A
B¾C::B'1'C' (A)
. ABC=A'B'C' (A)
Então:
MDC-óA'B'C'.
C'
Dois triângulos que têm um ângulo congruente formado por dois lados proporcionais são
semelhantes.
A
A'
B
c
243
. AB =k · (L)
A'B'
.... "'
ABC=A'B'C' (A)
ftC_ =k (L)
B'C'
Então:
C' MBC-óA'B'C'.

39. 1.
li 1
1
k,.
c)L.L.L. (lado, lado, lado):
Dois triângulos que têm três lados com medidas respectivamente proporcionais são
semelhantes.
A
A'
M =.l!Ç=AÇ_=k.
A'B' B'C' A'C'
B Então:
c·
óABC-óA'B'C'.
e
[. SUGESTÕES DE EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM:
1)Usando a figura abaixo, preencha as lacunas:
a) MÇ= MG
MD
b) -= MA
l.1E MF
c) MA= FH
EG
244
···..._
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2)(Mack)Na figura, sendo a// b // c, o valor de x é:
a)3/2. 3 4x+ 1
b)3.
c)4/3.
d)2.
e)1.
2 3x
3)Calcule o valor de x na figura abaixo.
V
D
u
AC = x
BD=20,4
CE = IO
CD=12
r//s //t
4)Quatro paralelas determinam sobre uma transversal segmentos de 2 cm, 3 cm e 4 cm. Sobre
.
outra
transversal, segmentos cuja soma é de 54 cm. Calcule os três segmentos determinados sobre a
segunda transversal.
- -
5)Na figura, AB e DE são paralelos. O valor de x é:
a)35.
b)6.
c)impossível calcular x.
d)x = 3.AB.
e)35/6.
D
...-----------,, B
E
245

40. 6) O perímetro de um triângulo ABC é igual a 49 cm. A bissetriz do ângulo A determina, no lado
oposto, segmentos aditivos de 15 cm e 6 cm. Calcule os lados do triângulo.
7) O perímetro de um triângulo ABC é igual a 43 cm. A bissetriz do ângulo externo em A determina,
no �uporte do lado oposto, segmentos subtrativos de 25 cm e 10 cm. Calcule os lados do triângulo.
8) Em um triângulo ABC (AB> AC), a bi�triz do ângulo A d�rmina sobre o lado BC um ponto
D. Por D, traça-se uma paralela ao _lado AB que corta o lado AC em E. Se AB +AC= 14 cm, e
AFJEC=4/3, calcule os lados AB e AC.
9) Considere os quadrados da figura de lados a e b (a> b). Então, x vale:
a) b
2
/(a - b).
-
b) a2
/(a - b).
c) ab/(a + b).
d) ab/(a � b).
e)N.RA
a b x
10) Verifique a semelhança dos triângulos AIC e DIB na figura abaixo:
- D
c
11) (FEI-SP)Na figura, DE// BC. O valor de x é:
a) 15/2. A
b) 9.
c) 10.
d) 19/3.
e) 12.
B---------� c
246
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-8 �
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-�
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E.,,
12) De um ponto C de uma circunferência, traça-se urna tangente. O suporte de urna corda ·AB corta
a tangente em E. Se EA=9 cm e EB=4 cm, calcule EC.
13) Dois lados de um paralelogramo medem 10 cm e 6 cm. A altura relativa ao maior lado mede 4
cm. Calcule a altura relativa ao menor.
14) AB = 12 c111 e CD =18 cm são as bases de um trapézio que tem 9 cm de altura. Calcule o
segmento interno ao trapézio e paralelo às bases, sabendo que sua distância à base maior é 3 cm.
15) Um dos lados de um pentágono regular mede 6 cm. Calcule a medida de um dos lados de outro
pentágono regular, sendo 5/3 a raz.ão de semelhança.
16) Calcule a altura de uma torre que projeta uma sombra de 8 m no mesmo instante em que uma
balisa de 2 m projeta uma sombra de 80 cm.
17) Um trapézio tem bases de lO cm e l2 cm e altura de 8 cm. Calcule as alturas dos triângulos que
se obtêm, traçando-se as retas que contêm os lados não paralelos.
18) (EsSA) Dois triângulos são semelhantes. Os lados do primeiro medem 6 cm, 8,5 cm e 12,5 cm, e
o perimetro do segundo mede 81 cm. O maior lado do segundo mede:
a) 15,75 cm. b) 25 cm. c) 37,5 cm. d) 50 cm. e) 62,5 cm.
19) (olimpíadas) Os lados paralelos de um trapézio medem 3 e 9. Os.lados não-paralelos, 4 e 6. Uma
linha paralela à base divide o trapézio em dois outros de igual perimetro. A proporção na qual cada
um dos lados não-paralelos é dividida é:
a) 4: 3.
b) 3: 2.
c) 4 : l .
d) 3 : 1.
e) 6 : 1.
20) Determine x em:
3
9
AP=x
AB=6 cm.
AQ=3 cm.
QC=1.
"fi�
/
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(l
j;
D
J
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c.lL
247

41. 21)No triângulo abaixo, AB =AC= 17cme BC= 16cm.Deternüne o raio d o círculo.
���
��c�
tjUcm.
��cm.
��cm.
B
A
c
22)Numtriângulo ABC, BD é uma mediana. CFcorta BD em E, de forma qu
e BE= ED .O ponto F
está sobr
e AB.Então, se BF =5, BA é igual a:
a)10. b)12. c) 15. d )20. e)N.R.A
-�(PUC-SP) O segmento AB mede 10. Chama-se segmento áureo de AB o segmento AP, Pem
AB, de medid a x,tal qu
e AB/AP= AP/PB. O val or de x é:
a)5✓5-5. b) 5-/3-5. c)s./5+5. d ) 5./3+5. e)5.
� Na figura abaixo, ABCD é um trapézio, AB= 22, CD = 13, MNMD= l/2e MN é paral
elo a
AB. Ocomprim
ento d o segmento MN é:
a) 16.
b) 17.
c) 18.
d ) 19.
e) 20.
A
D C
25)Os trapézios d a figura abaixo são semelhantes . Ent ão, x vale:
32
a) 40.
b) 41.
c)42.
d ) 43.
e)44.
X
50
248
B
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a.lL
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE.APRENDIZ,GEM: ✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓
1) a) MH. b) lIB. c) lIB. 2) d . 3) x = 7. 4) 12, 18e 24. 5)e.
6)21 cm, 20cme 8cm. 7)15cm, 8cme 20cm.8)8cme 6cm. 9)a. 11)
c. 12)6 cm.
13)20/3. 14)16cm. 15)3,6. 16)20 m. 17)40e 48. 18)c. 19)
c. 20)x =2
cm. 21)e. 22)
c. 23)a. 24)d . 25)a.
l6EOMETRIA PLANA - QUESTÕESDE CONCURSOS PROPOSTAS:
11 CFS - 1988 - O� lado� de um .tlúâltgulo medem AC� 7 cm, AB = 8 cm e BC = 12
cm. O meitOJI. �egme.nto que a b.i.Me.,t.lúz .útt:Vllt4 do ângulo A de.,teAm-ina. n.o lado
opo<S-to, me.de, em cm:
ai 4,6. bl 4,8. cl 5,6. d) 5,8.
21 CFS -
ai 2.
bl 1/2.
cl 5/6.
dl 11/5.
1990 - Se., n.o .tlúâltgul.o ablÚXo, VE / / BC, e.n.tão a Jta.Zão AV/BV va.le:
A
B C
31 CFS - 1990 - Va.do um �egme.nto PQ = 20 cm, N e PQ e �abe.ndo-.6e que PNJNQ
2/3, e.n.tão o va.lo-'1. de NQ - PN, em cm t:
ai 2. b) 4. cl 6. d) B.
41 CFS -
a) 12.
b) 14.
cl 16.
d) 18.
1990 - Qua.l t, em cm, o pe.!Úme,tlto do .tlúâltgul.o ABP n.a 6..i.gUlla. ablÚXo?
A
cL) 20°
�B
16 cm
249

42. 51 CFS - 1990 - No 6we de paJULlcila)., aba..vco, o va.lo,t de x é.:
ai 10, 2. .t ,t
bl 12.
I 9
}
cl 13.
61
a
dl 15.
X b
10
17
c
61 CFS - 1991 - Na 6igww. aba..vco, .tem-1.>e PO = P8 = 4 cm e PA= 5 cm. O va.lo,t do
JUúo da �Wt6Mê.nc.�, em cm,· é.: ·
ai 5.
bl 5,5.
c/ 6.
d/ 6,5. 1 o . 1
B
7J CFS - 1992 - Con.MdMe um 6we de 4 paJULlehu. que dúeA.m-úuzm Mb,te Ulll(I
.t.lw.n.t.veMa.l M pôn,ti,1., A, 8, C e V; e 1.>ob,te ou.tM, M pon.to1., E, F, G e H. Se.n.do
AB = 1,2 m; BC= 30 dm; CV= 4,5 m e EH= 34,8 m, a me.cUda. de EF é. •....
a) 3,6. b) 4,2. c) 4,8. d) 5,4.
8) CFS - 1992 - Se a li b li c, e.n.tõ.o, x + y val.e:
a) 7,5 u.c.
b) 8,5 u.c.
cl 9,5 u.c.
dl 10,5 u.c. X
1,5
250
a
b
c
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n O..
91 CFS - 1995 - Na 6igww. aba..vco, têm-1.,e AB = 6 cm e AC= 10 cm. O pvúme,t:Jto do
quad"lado AVEF, em cm, é.:
ai 12.
bl 15.
c) 16.
dl 18.
101 SUP TAIFA -
cm e CV= 7 cm,
ai 34.
b) 37.
e) 38.
dl 39.
B
V i------':i-..
A �--:1
F
----� C
1995 - No .tlúângul.o da 6.i.gww., AV é.- b-lMÚIÚZ de A.
o pvúme,t:Jto do .tluô.ngul.o ABC, em cm, mede:
A
·�
B V c
Se.n.do BV = 6
111 CFS - 1996 - M bMu de um tlr.a.pé.úq medem ?O c.m e 15_ cm e � a.ttww., _4 cm.
PM.longam-1.,e M la.d.01., não paJULle.lo-6 até. 1.,e encon,t,ta,tem. A IUl!-ão en,t,te M a.l.tWUI.J.,
do1.> .tlúângu1.Ó1., M'->� 601Unado1., é.:
ai 113. bl 2/3. cl 314. dl 4/5.
12) CFS - 1996 - O pvúmetM, em cm, do qu.a.ciluzdo .úv.,c.,u,to em um .tluângu.l.o de
ba1.>e 24 cm e a.ttww. 16 cm é.:
a) 9,6.
bl 10.
cl 38,4.
dl 40.
251

43. 1
1,
�
li
13} CFS - 1996 - Na. 6igUIU1., (t6 111ed.i.da..6 u.tã.o e.xpJU!,MIM em c.m. A me..cüda. tJ l:
a} 13.
b) 15.
c.J 17.
d) 20.
"I
12
14I CFS - 1996 - No .tJúân.gulÓ Jt.e.t.ân.gulo ABC da. 6.{.9UIU1., b = 2 em e. e. = 3 c.111.
En.tã.o, · .t vali, em cm,
c
1
ai 516_.
bl 615.
c.l 5✓2 . b
6
d) Wl.
5 A . e.
15} CFS - 1997 - Na. 6ig1Wt1t. li -6. En.tã.o um d0-6 và.l.D11.u de. x l:
il) ,.
b) 4.
e.) -2.
d) 0,5.
252
Jt.
-6
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-ãi
16) CFS - 1997 - Se. ABC l um .t.lúân.gulo Jt.e.tângulo em A, /,f l pon,to ml<tlo de. Ãê,
J.W li ·As, AS= 10 em e. BC= 26 c.m, e.n.tã.o AN + J.W l igual. a ••••• c.m:
a.) 13.
bJ 15.
e.) 1 B.
dJ 25.
8
A /,f c
17I CFS - 1997 - Em um .t.lúân.gulo ABC, o-6 .t.ad.0.6 ·Ac e. BC me.ciem, Jt.Upe.c..tiva.me.n.te. 32
em e. 36 em. PoJt. um pon,to M, -6-Uu.ado -6obJt.e. AC, a 10 c.m do vVLti.c.e. C, tltaça.--6e. o
-6e.grne.n,to
0
/.W, pa,'Ul.le,lo a.o .t.ado. AS, -irLte.Jt.c.e.pt:o.ndo--6e. se·em N. Qual. l "a me.rLúla de.
BN, em em?
a.J 4514. bl 2712. c.l 9914. d) 4512.
18) CFS - 1997 - Un.útdo--6e. o-6 pon-to-6 mltü.o-6 do-6 Wo-6 de. WP1 ru.â.ngulo e.qu.lt.M.eAo
c.ujo ta.do me.de. 3 em, ob.tlm--6e. um novo ru.â.ngulo. Un.útdo--6e. o-6 pon-to-6 IIIÚÜD-6 do-6
Wo-6 do novo .:tM.ângulo -ob.tlm--6e. um .te.Jt.c.UJt.o .t.lúân.gulo. A -6oma do-6 �o-6
do-6 3 ru.â.ngulo-6 ob,t.i..do-6 l igual. _a ••• , •• em.
ai 12,50. bl 13,75. c.J 15,75. · dl 21.
19) CFS - 1998 - 0-6 ta.d.O-li de. um ru.â.ngul.o medem 3,6 em, 5 em e. 6,4 em. M
m�M dM ta.d.O-li de. um .t.lúân.gulo -6eme.llumte. a de., c.ujo pelÚnl(!,-tllo me.de. 60 em,
-6ão, em em:
ai 14,4; 20; 25,6.
bl 14,4; 20,5; 25.
c.l 10,8; 20; 29,2.
dl 16,2; 21,3; 22,5.
20) CFS - 1998 - Na 6igUIU1., Jt. e. -6 -6ã.O pa,'Ul.le,l(M e. IM me.cl.i.dJv., u.tã.o UpJt.U-6/U em
c.e.n,túne,tJto-6. Logo o valoJt. de. x + IJ, em em, l:
a.1 9.
bJ 12.
e.) 14.
d) 15. :;;·�
4
XI
/
� tJ
21 �
-6
253

44. l 1
1,
RESPOSTAS PAS QUESTÕES PE CONCURSOS PROPOSTAS:
li e..
li} e..
201 d.
2J a.
12} e..
31 b. ·4J b. 51 b. 61 e.. 7J e..
13) '1. 141 d. 151 d. 16} e..
254
8} (1.
171 e..
91 b.
18} e..
101 d.
191 (1.
-ª'
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� Q.
CAPfTuI.O 32: RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO.
PROJEÇÃO ORTOGONAL:
Projeção ortogonal de um ponto P sobre uma reta r é o pé da perpendicular à reta r que
passa pelo ponto P. Projeção ortogonal de um segmento sobre uma reta é o segmento determinado
pelas projeções ortogonais dos extremos do segmento sobre a reta.
A B .C
D
,E
G
./
A' B' C' D'=E' F'
I
K
REIAÇÔESMÉTRICASNO TRIÀNGULO RETÂNGULO:
No triângulo abaixo, retângulo em A, temos:
A
B--------�---- c
a
São válidas as relações:
c
2 = an ah= bc
BC = a é a hipotenwa (lado oposto ao
ângulo reto).
AB = e e AC = b são os catetos (lados do
ângulo reto).
AH = h é a altura relativa à hipotenusa.
BH = n é a projeção orto� de AB
sobre a hipotenusa BC.
HC = m é a projeção orto�al de AC
sobre a hipotenusa BC.
E ainda:
b
2
= am a
2
= b
2
+ c
2
(TEOREMA DE PITÁGORAS) 1 = 1 + 1
h
2
b2 �
h
2 = mn a = m +n
255

45. CONSEQÜÊNCIASDO TEOREMA DE PITÁGORAS:
Diagonal do quadrado:
,[SJ
.(_
d=t..fi..
TRIÂNGULOS PITAGÓRICOS:
Altura do triângulo equilátero:
&
.(_
h= t.fi
2
São triângulos retângulos cujas medidas dos lados são números inteiros. Fazendo um
cateto medir 2xy, outro medir x2 - y2, a hipotenusa medirá x2
+ y2 e, atribuindo valores inteiros para
x e y, encontramos medidas dos lados de um triângulo que é pitagórico. Por exemplo, o triângulo de
lados com medidas 3, 4 e 5 (e os que lhe são semelhantes), o triângulo 5, 12, 13 (e os que lhe são
semelhantes), etc.
· 1 SUGESTÕES DE EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM: 1
1) Calcule x e y em cada um dos triângulos abaixo:
a) ·. - • .
b)
28
X�
256
12
5✓15
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e) d)
X
8 y
2) As diagonais do quadrilátero abaixo são perpendiculares. Prove que a
2
+ c
2
= b
2
+ d
2
.
3) Calcule o raio de um círculo, sabendo que uma corda de 8 m dista 3 m do centro.
4) A hipotenusa de um triângulo mede 50 cm. Qual é o valor da mediana relativa à hipotenusa?
5) Um dos catetos de um triângulo retângulo isósceles mede -..Í6 cm. Calcular a mediana relativa á
hipotenusa.
6) Sabendo que a hipotenusa de um triângulo inecie 10 m e que a soma das medidas dos catetos é 14
rn, calcule a altura relativa à hipotenusa.
7) A base maior de um trapézio isósceles mede 20 cm e um dos lados não-paralelos, 10 cm. Calcular
o seu perímetro, sabendo que um dos ângulos internos mede 120".
8) O raio do círculo circunscrito a um triângulo isósceles de base 6 e altura 9 é:
�� �5. tj6. �6). �NRA
9) Calcule a hipotenusa de um triângulo retângulo, sabendo que um cateto é igual a 6 e que a
projeção do outro sobre a hipotenusa é igual a 5.
a) 6, ✓
J. b) 4✓2. c) 8. d) 28/3. e) 9.
257

46. 10)Calculando x no retângulo abaixo, de dimensões 8 e 10, encontramos:
10
a) 4.
b) 4,5.
c) 5.
d) 6.
e)N.R.A
. x+2 8
11) Um losango está circunscrito a um círculo. O raio do círculo é igual a 7,2 cm e o perimetro do
losango é de 60 cm._Calcular as diagonais.
12)CFS - 1994 - Na figura, BD é bissetriz interna do triângulo ABC. Se AB = 6 cm, BC = lO cm e
BAC = 90", então BD, em cm, mede:
B
a) 2✓5.
b)3✓
5
.
c) 2✓3.
d) 4✓3.
A D e
13)Na figura abaixo, determinar ó comprimento da corrente que envolve as duas rodas, sabendo que
o raio da rodamenor mede 2 cm e o raio da roda maior, 4 cm e a distância entre os centros das duas
rodas mede 12 cm.
14) Determine o .:,ralor de x em:
-5+x
6+x
258
-ª'
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a.IL
15) Determinar o comprimento do segmento TI' em função dos raios R e r na figura abaixo:
T
a)Rr/2.
b) Jji;_
(
"� T'
Rr✓2 /R
c)--.
2
d) 2J&.
o
16)O trapézio isósceles abaixo tem bases com medidas B e b. A medida da altura do trapézio é:
a)B - b.
b)./Bb.
c)Bb/2.
d)2Bb.
e)B+b.
b
B
17) No mesmo lado de uma reta são desenhados 3 círculos assim: um círculo tem 4 cm de raio e
tangencia a reta, os outros dois círculos são iguais e cada um tangencia a reta e os outros dois
círculos.· O raio dos círculos iguais é: ·
a) 24. b) 20. c)18. d)16. e)12. ·
18) Os raios das circunferências abaixo medem 8 m e 16 m respectivamente. A distância entre os
centros é de 30 m. O segmento da tangente comum interna AB mede:
a)18 rn.
b) 19 m.
c) 20 m.
d)21 m..
e)22 m.
O'
19) AB é a hipotenusa de um triângulo ABC. A mediana AD = 7 e a mediana BE = 4. O
comprimento AB é:
a) 10. b) 5✓3. c) 5✓2. d) 2✓13 . e) 2../15.
259

47. 20)De uma mesma extremidade de um diâmetro de um círculo, traçam-se duas cordas.Uma das
cordas mede 12 cm e sua projeção sobre o diâmetro é igual a 9,6 cm. Calcule o comprimento da
outra corda, sabendo que sua projeção sobre o diâmetro é igual a 5,4 cm.
2 l)(UNIFOR-CE)Na figura abaixo, tem-se um retângulo cujos lados medem 8 cm e 6 cm.Os pontos
M, N, P e Q são pontos médios dos lados.O perímetro do quadrilátero MNPQ é:
M
a)20 cm.
b)24 cm.
c) 32 cm.
d)36 cm.
e) 52 cm.
p
m�s1) Dados: _
MP .L s; MQ .L t; MQ .L PQ; MP = 6. Então PQ é igual a:
a) 3✓3.
b) 3.
c)WJ.
d) 4✓3.
e)2✓3. / 1 / Q
N
s
23)(VUNESP)Num triângulo retângulo, a medida de um cateto é a metade da medida da hipotenusa.
O quociente da medida do outro cateto pela medida da hipotenusa é:
a)3.3112
• b) 3112
• c)2.3112
• d) 3.(2.3112
)"1
• e)2.3·112•
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM: ✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓
l)a)x = 2l ey = l6,8. b)x =35e y = 40. c)x =8. d)y=5. 3)5. 4)25cm. 5) ✓3.
6)4,8 m. 7) 50 cm. 8)b. 9)e. 10)c. 11) 24 cm e 18 cm. 12)b.
13)j(1M+13.ir) cm . 14)x = -2. 15)d. 16)b. 17)d. 18)a. 19)d. 20)9 cm.
21)a. 22)b. 23)d.
260
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[6EOMURIA PLANA - QUESTÕESDE CONCURSOSPROPOSTAS:
J) E6PCEx - 1987 - Um tlw.plz.lo �6-6c.e.lv.. lCÁ/tc.WtM.J1-lto a um <WLC.ulo de.JUtlo 3
em. Sabe.n.clo que. -6ua bMe. rne..noJt l rne,t.ade. de. -61.14 a.ltwut, de,te.,,un.úia.), e.rn c.rn, a
rne.dú:ia. da. bMe. rna..loJt.
2) CFS - 1990 - Um .tlu.ân.gulo �6-6c.el.u cuja. bMe. me.de. 12 em utt ooc.Jt-lto e.rn um
cwt.e!ulo. Se. a. ctltulta. do .tlúân.gulo me.de. 13 em, o Jta..lo do <WLC.ulo, e.rn em, me.de.:
a.) 6,4. b) 7,5. e.) 8,7. d) 9,0.
3) CFS - 1991 - A lúpo.tVU1,6a. de. um .tlu.ân.gulo Jtu.ângulo me.de. 2,5 em e. a. ctltulta.
que. llr.e. l Jte.la.Uva. me.de.. 1,2 em. A Jta.Zà.JJ mtlte. M rne.d.úl.M da-6 pJtoje.çõv.. do-6
c.a..te..to-6 rna.-<.O-'l e. rneno-'l, -1iob1te. a. lúpo.te.n.i.v.,a., t:
a.) 4/3. b) 3/2. e) 16/9. d) 9/4.
4) CFS - 1991 - Sabe.ndo--6e. que.., ,w ..tJu.ân.gulo a.ba..lxo, AO la. me.dúina. do Wo BC e.
que. b
1
+ c.
1
= 100 c.rn, o val.oll da. me.dúuta. l••••• em.
a.) 5,5. A
b) 6.
c.J lb
1
- c.
1
ll-
2
d) ✓ b' + e.'
2
B o c
a.• 10 em
5) CFS - 1991 - 0-6 c.a..te..to-6 do .tlu.ân.gulo llu.ângulo ABC a.ba..lxo, me.d.em 12 em e.16
em, e. a. lle..ta. ll lpeJlpe.lUÜ.c.ula.-'l d lúpo.te.n.i.v.,a e.rn -6e..u pon,to rnldi..p. A me.cU.da. de. AP,
e.rn c.e.,r,túne,tlto-6, l: B
a.) 3,5.
b) 4.
e) 6,5.
d) 8.
A. ......_.
_
_,_
_____..,. e
6) CFS - 1994 - 0-6 Wo-6 de. um .tlu.ân.gulo llu.ângulo me.de..m 'l. em,. ✓3 em e. 1 em. A
ph..Oje.ção do mcúoll e.a.te.to -1ioblle. a. lúpo.te.n.i.v.,a., e.rn em, me.de.:
a.) 0,5. b) 1,0. c.l 1,5. d) ?.,O.
261
11
1

48. 7) CFS - 1995 - Em um .tlúângulo 11.et.â.ngulo, a aUwui ir.e!atlva à h..lpote.IUL6a
cli..v.i..de.-a e.m 6e.gme.nto6 de. 3 c.m e. 6 cm. A me.cli..da do cate.to me.no11., e.m cm, é..:
a) 3✓2. b) 3✓
3
. e.) 4✓2. d) 4✓3.
8) CFS - 1996 - Na 6igUIU1. aba..i.xo, AC= 8 cm e. a co-'UÚI. AB = 10 cm. Pode.mo6 então
a6� que. o wo do c.útc.u.lc, e.m·cm, é.. igual. a:
a) 6, 25.
b) 6,50.
e) 7,25.
d) 7,50.
B C
9) CFS - 1997 - No q� ABCV, M cli..agolt.lÚ6 6ão pe.11.pe.n.cü.culalt.u e. AM
MB. Se.ndo M me.cli..dM Upll.U-6M e.m cm, o Wo BC me.de.:
a) 2.
b) 3.
e.) .,fi.
d) .Jw.
A
B( 1 N ") V
1O) CFS - 1997 - No .tlúâ.n.gu.lc ' -tet.â.ngulo ABC (A é.. -te.to) da 6igU1U1., BC
AC= 4 c.m e. AH é.. a aUwui ,te.l,a,ti.va à ki.pote.rw.6a BC. En.tao, AH me.de.:
A
a) 13/3.
b) 13/5.
�
e! 12/5.
d) ✓13
2
8 H c
262
5 c.m,
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li) CFS - 1997 - Na Mgwuz., AB conté..m 06 ce.n,tll.06 O e. O' dM cillcunáe.11.� que.
6e. .trutge..nc,úz.m no ponto T. Se.ndo AB = 32 c.m, O'B = 12 cm e. AC= 4 cm, a me.cli..da
TV, e.m cm, é..:
V
a) 8✓3.
b) s..fi.·
c) 12✓3• A
d! 16
✓3.
�
c
12) CFS - 1998 - O ,taio de. uma UII.C!unáe.11.êluua iMc.11.Ua num buzpé..z.lo i6ó6ce-lu de.
bMU 8 c.m e. 18 c.m, é..:
a) 6. b) 8. c) 10. d) 12.
13) CFS - 1998 - . 06 Wo6 de. um ângulo de. 60°
6ã.o .trutge.nte.6 .wnuliane.ame.nte. a
dUM c.illcun6e.11.ê,uua6 trutge.ntu e.nbLe. ú, con6o/f.me. a 6igU/U1.. Se.ndo o ,taio da
maiOII. c.illcunáe.11.btc.-i.a. igual. <t 4 cni, <t 6oma d06 cü.arire.tlto6 dM d.UM
c.illcun6e.11.btc.-i.a.6, e.m c.m, é.. de.:
<t) 12.
bl 16/3.
cl 28/3.
d) 32/3.
14) CFS - 1998 - Na 6igUIU1., .PT é. .trutge.nte. d c.illc.unáe.11.êluua de. ce.n,tll.o
15 cm, e. AT é. pe.11.pe.ncli..cul.M it OP. A me.cli..da de. AM, e.m c.m, é.:
<t) 5.
bl 6.
c) 7,5.
d) 10.
o
263
A M p
o e. ,t(lio

49. 151 CFS - 1998 - Se. o pe,wnú)l.o de. wn .twin.gu.lo Jt.úân.gu.lo .l66J.iee.l.u l 2p, mtii.o
11 a.ltwut 1te.l.a.ü.v11 a lúpoú.Juu,11 l:
11) p✓2: b) p( ✓2 - 1). C!) 4p(✓1 + 1/. dl 8p( ✓2 + 41.
161 CFS - 1998 - Na. 6..i.gUIUl, M Jte;ta,J., que. pa.Mam pe.l.oJ.i pon.toJ.i A, B e. C J.ião
.tange.n,tu a C!..i.Jteun6e.1tê.nC!..ú1 de. .IW.io 5 C!/11 e. M 1t.e;tM 1t., J.i e. m J.ião pa.Jtal.e.l.M. Ve.
llC!oJtdo eom M da.dOJ.i na. 3-<-g1L1t.11, o val.OJt de. x:, e.m em, l:
11/ 10.
bl li.
e) 12.
dl 13. m
2 (!ffl
X:
A ,,_
J.,
171 CFS - 1998 - O pe!ÚmW.O de. um .twin.gu.lo ABC .l66J.ieel.u, de. ba.J.ie. BC,
Se. 11 a.ltwut AH l ..igual. 11 8 em, e.Mão 11 me.d,ld.11 de. AB, e.m C!m, l:
_111 12. bl 10. el 9. dl 6. ·
l 32 C!m.
18I CFS - 1998 - A 6..i.gUIUl mol.>-tiuz WM C!..i.Jteunóe.1tê.nC!..ú1 de. ee.n.tlto O que. µa.Mil pe.l.oJ.i
pontoJ.i C e. V e. .tan.gw.e,út o .f..aJJ.o AB de. wn qu.a.d.Jta.d.o ABCV. Se. o .f..aJJ.o de.Me. qu.a.d.Jta.d.o
me.de. 8 C!/11, e.n,tão o IIÍLÍ.D deAJ.ill c..úiC!wt6e.Jtê.nC!..ú1, e.m em, me.de.:
111 5.
bl 6.
e/ 5✓2.
d) 6✓2.
A
llESPfJSTAS tJAS fl.{/ESTÕES tJE CONCUKSOS PROPOSTAS:
1) 12 em. 21 b. 31 e. 4Í d. 5) 11. 61 e.
li I e. 12) 11. 13) d. 141 b. 151 b.
264
11 b.
161 d.
B
81 11.
171 b.
9/ b. 101 e.
181 e.
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Q.Q.
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1
CAPÍTULO 33: RAZÕES TRI6ONOMmICAS NO TRIÃN6ULO RETÃN6ULO.
SENO, COSSENO E TANGENTE:
B
e
e b A
Logo:
senet=J;_ senP=..!i
a .a
coset = JL . cosP =
�
a a
tget =
J;_ tgp=Jl
b e
AB = e =cateto oposto aet e adjacente ap.
AC =b = cateto adjacente aet e oposto ap.
Para qualquer ângulo agudo do triângulo ao lado:
seno do ângulo = medidadocateto oposto a esse ângulo
medida da hipotmusa
cosseno do ângulo = med.do cateto adjacenteaesse ângulo
medida da hipotenusa
tangente do ângulo = medidadocatetoopostoa esse ângulo
medida do cateto adjacente a esse ângulo
Pela figura, sabemos que a ep são
complementares. Pelas relações ao lado,
notamos que senet = cosP e coset = senP,
isto é, para ângulos complementares, o seno
de um é o cosseno do outro e vice-versa.
Ainda: tg CL=J;_ �sf.A. = �
b b/a coset
RAZÔES 1RJGONOMÉ:TRICAS DOS ÂNGULOS DE O� 30� 45� 60°
E 90º
:
//li//Ili/li/
li
Ili//II fJ' J(J' 45°
seno o 1/2 ..fi/2
cosseno 1 ..fj/2 ..fi/2
tangente O· ..fj/2 1
PARA UMÂNGULO a. SE 90º
< a< 180º
:
sena. = sen(180-a).
cosa = - cos(180-a).
tga. = -tg(180-a.).
265
6(f' 90"
..fi/2 1
1/2 o
..fj -

50. SUGESTÕES DE EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM:
1) Na figura abaixo, detennine:
a)senB.
b) cosB.
e) tgB.
B
7
9
A
2)Na figura ao lado, detennine: B
a) senB.
b) cosB.
e)tgB.
d) senC. e
e) cose.
f) tg e.
A b C
e
3)Usando o exercício 2, verifique que o seno de um ângulo é igual ao cosseno do seu complemento.
4)Usando o exercício 2, verifique a igualdade sen
2
C + cos
2
C = 1.
5)Determine o valor da expressão sen
2
6()_" + cos
2
60".
6) (PUC-SP) No circulo, O é o centro, AB = 2 e AC = ..
/3. Então a vale:
a)75º
.
b) 60".
e) 45º
.
d) 30".
e) 15º
.
AIL t '
1
o
B
7) A bissetriz do ângulo reto de um triângulo mede 5✓2. Determine a medida da hipotenusa do
triângulo, sabendo que um dos catetos mede 1O cm.
266
1 1,.
RESPOSTAS DOS EXERciCIOS DE APRENDIZAGEM: ✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓
9 7
1) a) ✓130 . b) ✓130 . e)9/7. ·· 2) a) b/a. b)e/a. e) b/c. d) e/a e) b/a f) c/b. 5) 1. 6) b.
7)10
✓2.
[GEOMETRIA PLANA - QUESTÕESDE CONCURSOS PROPOSTAS:
1J Cf'S - 1991 - Em um tlúâ.ngulo .l66.6c.e.l.u, a. ba.&e. me.de. 30 c.m e. o ân.gu.lo do
vWi.c.e., 120ª
. Qual. i o <>W pVÚ11le.,ÓtD, e.m c.m?
a.J 1(2✓
3
+3). bl 3(2✓
3
+1). c.J 50
✓3 . d) 3(✓
3
+1).
2J CFS - 1996 - Vo qwzd.,úláte.lr.o ABCV da. 6-lgiwt .6a.be.-.6e. que. oJ ân.gulo.6 do.6
... "'
vW,i.c.u A e. C .6do l!.úM; M ân.gulM CVB e. AVB me.de.m, l!.Upe.c..t.i.va.rne.n..ú., 45°
e.
30ª; o .la.do CV me.de. 4 c.m. fotão, o.6 l.JI.d.M AV e. Ã8 me.de.m, l!.upe.c..t.i.vame.n-te., e.m c.m,
a.) 2✓
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b} 2.Js e. 2✓3.
e.} 2✓6 e. 2✓
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d) 2.Js e. 2✓2 .
3) CFS - 7997 - Na. 6-lgiwt,
a.} 6 e. 10.
bJ 8 e. s✓ 2.
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X:
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: e 4) CFS - 1997 - Nwn tlúâ.ngulo l!.e-tân.gu.lo, wn do-6 .ân.gulo-6 a.gu.do.6 me.de. 30ª
. O .la.do
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51. Sl CFS - 1991 - Na. 6.i.gUIUI. a.ba..i.xo, ABCO l um .tlu:tpé.z.io 1tuângu.lo eom AB = AV,
BC - AB = 1 em e. CV = 1 c.ni. fotão:
a.l -6eit a= 3/5.
b}
eo..s a= 4/5.
e! .tg a= ·3/4.
d} .tg a= 4/3.
A
V
B
e
6} CFS - 1998 - 0-6 va.lolte.-6 de. m, de. modo que. e.x.l-6.ta.. o .tlúân.gu.lo 71.e.tân.gu.lo
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CAPÍTULO 3. : RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TIUÃNGULO QUALQUER.
TRIÂNGULO ACUTÂNGULO:
e
B
e
a2
= b2
+ c2
- 2cb'
O quadrado da medida de um lado
oposto a um ângulo agudo é igual à soma
dos quadrados das medidas dos outros dois,
menos duas vezes o produto da medida de um
desses dois lados pela projeção do outro lado
sobre ele.
LEIDOS COSSENOS E LEIDOS SENOS:
Em um triângulo qualquer:
LEI DOS COSSENOS:
B
b
A
a2 = b2
+ c2
- 2.b.c.cos A
O quadrado da medida de um lado
é igual à soma dos quadrados das medidas
dos outros dois, menos duas vezes o produ­
to das medidas dos outros dois lados vezes
o cosseno do ângulo formado por eles.
'l.69
TRIANGULO OBTUSÂNGULO:
e
7.1............'-,,,---___...,
H A B
1 b' 1 1: 1
a2
= b2
+ c2
+ 2cb'
O.quadrado da medida do lado oposto
ao ângulo obtuso é igual à soma dos quadrados
das medidas dos outros dois lados mais duas ve­
zes o produto da medida de um desses lados pe­
la medida da projeção do outro lado sobre ele.
LEI DOS SENOS:
e
__
a_= _b
__= e = 2R.
sen A sen B sen C
A razão entre·a medida de cada
lado e o seno do ângulo que lhe é oposto
é constante e igual ao diâmetro.

52. NAIVREZA DE UM TRIÂNGULO -sÍN1ESEDE CUJRAUT:
Sendo a a medida do maior lado de um triângulo, temos:
a2 < b2
+ c2
⇒ o triângulo é acutângulo.
a1
= b1
+ c1
⇒ o triângulo é retingulo (TEOREMA DE PITÁGORAS).
a2
> b2
+ c2
⇒ o triângulo é obtusângulo.
SUGESTÕES DE EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM:
1) Determine a natureza, quanto aos ângulos, dos triângulos cujos lados medem, respectivamente:
a) 12 cm, 9 cm e 10 cm.
b) 5 cm, 5 cm e 9 cm.
c) 10 cm, 13 cm e 8 cm.
d) 5cm, 12cm e 13 cm.
2) Os lados de um triângulo medem a = 5 cm, b= 6 cm e c = 4 cm. Calcule a projeção de c sobre a.
- -
3) Calcule a projeção de AC sobre AB no triângulo ABC, onde AB= 7 cm, BC= 6 cm e AC= 5 cm.
4) Dois lados de um triângulo medem 4 m e 5 m e formam um ângulo de 30". Qual é o perímetro do
triângulo?
5) Classifique, quanto aos ângulos, o triângulo cujos lados medem 7 cm, 10 cm e 12 cm.
6) Um dos lados de um triângulo mede 5 m e os outros dois medem, respectivamente, 7 m e 4 m.
Calcule a medida da projeção do terceiro lado sobre o primeiro.
7) (FlNEST) No quadrilátero ao lado, BC= CD = 3 cm, AB= 2 cm, ADC= 60" e ABC= 90". A
medida, em dm; do perinietro do quadrilátero é:
D
a) 11.
b) 12.
c) 13. c
d) 14.
e) 15.
A B
8) Emum triângulo retângulo, a hipotenusa tem medida a e sabe-se que sen B= 2sen C. A medida do
cateto c é:
a a✓
S
a)
5. b) -
5
-. c) 2a. d) 3a.
270
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9) No triângulo abaixo, temos f3= 26. Sabendo que sen 2x= 2 . sen x . cos x, então o lado b mede:
a) 2c. B
b) cos 6.
c) 2c.cos 6.
d) 2a.
�
A b C
10) Em um triângulo ABC o lado AB mede 4..fi. e o ângulo C, oposto ao lado AB, mede 45°.
Determine o raio da circunferência que circunscreve o triângulo.
11) Em um triângulo ABC, temos AB= 6, AC= 8.e a projeção de AB sobre BC= 3. Determine a
medida de AC.
12) (E.N.C.D.) Um dos lados de um triângulo mede 18✓3 cm e opõe-se a um ângulo de 60". Dê o
diâmetro do circulo circunscrito a esse triângulo.
13) SUP TAIFA - 1995 - O triângulo cujos lados medem 6 cm, 8 cm e 12 cm é:
a) obtusângulo. b) acutângulo. c) retângulo. d) isósceles.
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM: ✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓-
1) a) acutângulo. b) obtusângulo. c) obtusângulo. d) retângulo. 2) 0,5 cm. 3) 2,71 cm.
4) 11,52 m. 5) acutângulo. 6) 0,8 m. 7) b. 8) b. ·9) c. 10) 4. -
11) 2.ffi (obtusângulo) ou 2✓13 (acutângulo). 12) 18 cm. 13) a.
l6EO.JI� PLANA - QUESTÕESDE CONCURSOSPROPOSTAS:
1) CFS - 1992 -
C V
B
ABC l um �ul..o qual.quell, BC = 5 cm, CV
me.d.-i.d.a. de. AB l, e.m cm:
a.) 7,0. b) 7,6. e.) 8,0. d) 8,4.
271
A
3, 8 cm e. AC 10 c.m. fotão, a.

53. 2)CFS.- 1992 - O pvwne,t,r.o de. um .l.o-6aJtgo vale. 20 cm, e. W1l4 d.M rü.a.goMM
me.de. 8 cm. fotão, 11 dl6.tâncúl e.n..úte. 0-6 .t.a.do-6 opo-úo-6 mede., em cm:
11)3,6. b)4,8. e.)S,4. d)6,0.
3)CFS - 1994 - Num pa.lULle..l.oglWlltO, o-6 .t.a.do-6 medem S c.111 e. 3 cm. Se. 11 111e.rU..cill do
âJtgulo 11gu.clo t 60°
, e.n.t.iio 11 rü.a.gona.l me.n.011., em cm me.de.:
11)7. b) 8,0S. e.)../fi. d) ./19.
4)CFS - 199S - O VWIL de. X, em c.m, no .tltúingulo ABC, é.:
11)2.
bJ 4.
e.)../19.
d)4✓S.
B
A
3 C.111
c
SI CFS - 1996 - Umct c.oll.dll de. 6 c.m -6ub-te.nde. um 1111.c.o de. 120°
. O JIJLÚJ do <Últc.ulo,
em cm, é.:
11)-Ji. bJ 2✓3 . e./3✓
3
. d)..fj
. 3 •
6}CFS - 1996 - N11 6igUIU1 llb�o, o yw11. de. "111" é.:
11}6,7S.
b)7, 00.
e.}7, 2S.
d)7,SO.
7)CFS - 1996 - Num .tltúingulo ABC, BC = 6 c.111, o â.n.gulo C me.de. 60°
e. 11 p!U)je.ção
do !,ado AB -6ob11.e. BC me.de. S c.111. Se. B t 11gu.clo, o c.omp¾llle..n.to dll me.cü.ana. que. -6M do
vl'Lü.c.e. A, em c.111, me.de.:
11}..fi. bl 2✓3 . c.J 3✓
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8J CFS - 1997 - O .t.11,lângu.l.o ABC dCl 6igUIU1 i. e.qullá,te.11.0. Sllbe.ndo--6e. que. AM = MC
= 2 cm, AP = 3 c.111, e.n.t.iio o �o do quru;l,t.Uá,te.,to BCMP, em c.m, i.:
11)8.
bl 9.
c.J 7 + ..fi.
d)7 + ../19.
8
A
c
9)CFS - 1997 - Se.ndo M clúneMõu em c.e.n..tóne,tJto-6, o va.lOJL de. x no .t.11,lângu.lo é,:
11)11.
bl 211.
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.11/2.
d)311.
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411
10)CFS - 1998 - Na. 6igUIU1, M me.dúúu, do.i, .t.a.do-6 utiio Upll.e.-6-611-6 em c.e.n.:Uine,t,r.o-6.
Nv.,..ta,6 c.ondú;õu, o vll.l.o11. de. x, e.m c.m, é.:
111 I,5.
bl 1,2.
e.)3.
d) 1.
X + 1
KESPQSTAS tJAS {l{IESTÕES tJE C(JNCUKS()S PK()P(JSTAS:
l/11. 2/b. 3}d. 4/c.. 5/b. 6/c.. 1)11. B}c.. 9)c.. I0}c..
273

54. CAPÍTULO 35: REI.AÇÕES MÉTRICAS NO CÍRCULO.
CORDAS: SECANTES: TANGENTE E SECANTE:
D
e p
PA.PB=PC.PD PA.PB=PC.PD
T
IT=PA.PB
PO'IÊNCIA DE UMPONTO:
Os produtos constantes das relações vistas acima são chamados de potência do ponto P em
relação à circunferência.
A B
d
p
Sendo p=potência de P em relação à C(O,r):
p=PA . PB=(d+ r)(d - r).
p = d
l
- r1.
E ainda:
p >O⇒ P é exterior à C(O,r).
p=O⇒ P pertence à C(O,r).
p <O⇒ P é interior à C(O,r).
SUGESTÕES DE EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM:
1) Calcule o valor de x em cada figura abaixo:
à)
16 O 'f- 9
,
274
B
AB=24
IB=4
IC=x
ID = 16
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2) Uma corda de uma circunferência mede 14 cm e sua flecha, l cm. Calcule o raio.
3) ABC é um triângulo retângulo em� AB=6 cm e AC= 4 cm. Calcule o raio da circunferência
que passa por C e é tangente ao lado AB em B.
4) Duas circunferências têm raios iguais a 6 cm e 13,S cm e são tangentes exteriormente. Calcule o
comprimento das tangentes exteriores comuns.
S) (EPCAR - adaptado) De um ponto P, traça-se uma tangente e urna secante a um círculo. Se o
segmento PT da tangente mede 8 m e o segmento PB da secante mede 16 m, qual deve ser, em
metros, o raio do círculo, se a secante contém o diâmetro do mesmo?
a) 2✓3.
b) 3✓2
c) 2✓6.
d)✓3Õ.
e) 6.
P-::----------::-�
B
6) (MACK) Na figura, AB = 7 rn, AD = 6 rn e DE=4 m. Então, BC é igual a:
a) 24/7 m.
b)S m.
c) 12 m.
d) 11 m.
e) N.R.A A
7) (PUC) Na circunferência da figura de centro O e raio igual a 9 rn, sabe-se que a tangente PB =
2PA A distância do ponto P à circunferência é:
a) 12 m.
b) 24 m.
c) 6 m.
d)J m.
e) n.r.a e
B
o A p
275

55. ,.
8)Calcule x para que Pof{o� + Pof{oiB=O.
a)2.
b) 3.
c)2..fi.
d)impossível.
e)N.R.A.
A
e
A0=8.
BO=x.
C0=6.
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM: ✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓
1)a)12. b)5. 2)25 cm. 3)6,5 cm. 4)18 cm. 5)e. 6)e. 7)c. 8)c.
[6EOMETR/A PLANA - Ql/1:STÕESDE CONCURSOSPROPOSTAS:
11 CFS - 1994 - Na. 6-lgUJta., AI! t.. um -6e.gme.n..to .tange.n.te. e. AV t.. um -!le.g� -!le.ecutte.
à c..úl.c.Wl6eJtê.n.c..la. de. C!VWto O. Se. AB : J..Í2 C!111 e. AC = CV, e.ntiio a dúi-tô.n.c..la AC,
e.m C!/71, mede.:
a.l 3.
bl 4.
el 2✓3.
dl 3✓5.
B A
21 SUP TAIFA - 1995 ·� Na 6-lgUJta., a. Jta.Zão VWte. o-!l -!le.gme.nto-!l VE e. EC t.. de. 2 pa114
3. Sabe..ndo--!le. que. AB. = 22 .C!/71 e.-AE = 6 em, a. me..cUda de. CE, e.m em, t..:
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C!/ 9, 2.
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1996 - Na. 6-lg� aba.lxo, AB + CV t, e.m c.m,
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C!ond..icõu, a. me.d.i.da. de. PO, e.m C!/71, t..: P
a.l 4..fj.
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51 CFS � 1997 - A me..cUda. R do IW.i..o da c..úl.c.UJt6Vt.êncúa, e.m em, t..:
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C!/ 3✓6.
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56. 6) SUP TA1FA - 1998 - Na. 6.i.gUIUI, M me.d..úiM ut.ão exp!l.eMM e.m ceJLtúnÚII.0-6 e. o é.
o ce.n.bto da. c..úr.cUJL6Vtê.n.c.i.a.. Ne.uM condi..çõu, o-6 2/7 da. me.di..dli do <Ü.âJnÚ/1.0, e.m
cm, é. .i.g� a.:
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e) 14.
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KESPIJSTAS PAS QUESTÕES PE CIJNCUKSIJS PKIJP(JSTAS:
1/a.. 2/d. 3/b. 4/b. SJb: 6/b.
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CAPÍTULO 36: POLÍGONOS REGULARES.
PRINCIPAIS ELEMENTOS:
a) Centro - é o centro das circunferências inscrita e circunscrita ao polígono.
b) Raio - é o raio da circunferência circunscrita ao polígono.
c) Apótema - é a distância do centro a qualquer lado.
d) Ângulo central • é o ângulo cujo vértice é o centro do polígono e os lados passam por dois
vértices consecutivos do polígono. Tem para medida 36ff'/n, onde n = número de lados do polígono.
IA.DOS E APÓTFMAS DO TRIÂNGULO EQUIIÁTERO, DO QUADRADO E DO HEXÁGONO
REGULARINSCRITOS EM UMA CIRCUNFERÊNCIA DE RAIO R:
.l.3 = R✓3.
R
a
3
=
2.
.t,.=R.fi..
R.fi.
l4=-
2
PROPRIEDADE DOSPOUGONOS REGULARES:
4=R.
R✓3
36=-
2
Dois polígonos regulares de mesmo número de lados SEMPRE são semelhantes e as razões
entre seus perímetros, seus arcos, seus apóternas é igual à razão das medidas dos lados homólogos
(razão de semelhança).
SUGESTÕES DE EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM:
1) Um círculo inscrito em um quadrado está circunscrito a um triângulo equilátero. A diagonal do
quadrado mede 4✓2 m. Calcule o apótema do triângulo equilátero.
2) Qual é a razão entre os perímetros dos quadrados inscrito e circunscrito ao mesmo circulo?
3) Num círculo, está inscrito um hexágono regular de 60 m de perímetro. Calcular a altura do
triângulo equilátero inscrito no mesmo círculo.
219

57. 4)Num quadrado cujo lado mede 6 m, inscreve-se um círculo; nesse círculo inscreve-se um triângulo
equilátero e nesse triângulo inscreve-se um círculo, Qual a diferença entre os raios dos dois círculos?
5) Calcule a distância entre dois lados opostos de um hexágono regular d� lado 2✓
3
.
4..fj
a)2✓6. b)J✓J. c)4. d) -
3
-. e)6.
6)Calcular as medidas das diagonais de um hexágono regular convexo inscrito em um círculo de raio
R.
7)Ligando-se os pontos médios consecutivos· de um quadrado inscrito em um círculo de raio R,
encontra-se um novo quadrado. Determine o lado do novo quadrado.
8) Um hexágono regular está inscrito em uma circunferência de raio r. Prolongando-se os dois lados
não consecutivos do hexágono, forma-se um triângulo cujo perímetro é:
a) um múltiplo de 3.
b)um múltiplo de 2.
c)um múltiplo de 5.
d)um múltiplo de 10.
e)divisível por 2.
9)(EpCAr)ABCDEF é um hexágono regular inscrito num círculo de raio 5m. Calcular o lado e o
apótema do hexágono_regular que se obtém ligando sucessivamente os pontos médios dos lados do
hexágono ABCDEF.
10)De um dos vértices de um polígono regular convexo podem ser traçadas apenas três diagonais. A
diferença entre as'medidas de duas dessas diagonais é 3 cm e o perímetro do polígono é:
· à) (2+✓
3) cm. b)(3- ✓J} cin. c)2{3+✓3} cm.· d)1�2+✓3} cm. e)12(2+✓3) cm.
11) Um trapézio está inscrito em um círculo de l m de raio e cujo centro está no interior do trapézio.
Sabendo-se que as bases do trapézio �o os lados do quadrado e do triângulo equilátero inscritos no
círculo, calcular a altura do trapézio.
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM: ✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓
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l)lm 2)
2. 3)15 m.. 4)1,5 m.
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l11EOJIETRIA PLANA - QUESTÕESDE CONCllllSOSPROPOSTAS:
11 CFS - 1990 - O .t.a.d.o de. W11 .t,wingu.lo e.qalláte/1.0 .iMCJL.Uo em W11 c.úu!u.lo me.de.
2✓2 cm. A me.d-lda. do ap6-tema. do qua.dJt.a.do wcÀ.ito nu&e. c..útcu.lo me.de. •••. •cm.
..fj 2✓3 ..fi.
a.
l
2. bl 2✓3. c.l -
3
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2.
21 CFS - 1991 - Con.&.ldVUVl do.ui c.úu!u.lo-6 de. IULi..o-6 R e. 11., onde. utão .iMCJL.Uo-6,
11.upec.Uva.me.n-te., W1I quadJta.do e. W1I .t,wingu.lo e.quilUeAo. Sa.be.n.do--6e. que. o-6 do.ui
po.U:gono-6 .têm o mumo pvume.tlto, qual.t o v/Llo11. dà IUIZão R: 11.?
../6 ../6 4../6 3../6
a.l - bl - c.l - dl -
3 • 2 . 9 . 8 .
31 CFS - 1994 - O la.d.o de. W1I .t,wingu.lo e.qalláte.11.0 .iMCIÚto numa. c..út:cun6e.11.êncút
me.de. 10
✓3 c.m; e.n-tão, o a.p6-tema. do quadJl.a.do .iMCJL.Uo na muma c..útcun6e.11.êncút, em
cm, me.de.:
a.1 5. bl 10. c.l sJi. dl 5✓
3
.
41 CFS - 1995 - Em uma. c..út:cun6Vtêncút u-tao .ÚV..CIÚt0-6 W1I .t,wingu.lo e.qalláte/1.0 e.
um qua.dJr.o.do. O qua.dJr.o.do do la.d.o do .t4iÃltgu.lo -6omado c.om o qua.dJr.o.do do la.d.o do
qua.dJt.a.do -tem c.omo 11.uu.Uado SOO c.m
t
. O a.pltema. ·do quadJta.do, e.m c.m, me.de.:
a.1 s..fi.. bl 6✓1. c.1 s..fi.. dl 10..fi..
SI CFS - 1996 - Um 1te.-tãngu.lo e. um quadJta.do u-tao -iMCIÚto-6 e.m uma.
c..útcun6Vtvr.c..út. A-6 dúne.Mõe.-6 do 1te.-tãngu.lo -6cio .fi c.m e. 1 cm. O la.d.o do· quadJta.do,
em c.m, me.de.:
a.l 2..fi.. bl 2. e./ 3✓1. d/ 4.
6) CFS - 1997 - A IUIZão e.n-tlte. o i..a.d.o de.
.
unÍ hv:ágono 11.é.gu.la.Jt e.· o .t.a.d.o. de. um
.t4iÃltgu.lo e.qtLUá.te,to .ÚV..CIÚtoJ.i · numa. me.-6ma. c..út:cun6Vthtcla. de. Juúo = 11. t:
..fi. ..fj
a.) 1. b) ..fi.. c.1
2. d)
3
7) CFS - 1997 - 0-6 pon.to-6 A, B e. C -6ão vviti.c.u .c.on-6e.c.uti.vo-6 de. W11 hv:ágono
11.e.gu.la.Jt de. álte.a. .igual. a. 6 m
t
. Logo a. Me.a. do .t,wingulo ABC, em m', t:
a.) 1. bl 2. e.) 3. d) ..fi..
B
A
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281

58. 8)CFS - 1997 - Na 6.iguM., o IULi.o da c.-úu!u.n6Vt.ê.nc..ia mede. 3 cm, 0-6 �e.gme.n.tiJ.6 AB e.
BC Jte.plte-&mtam, 11.upe.c.Uvame.n-te., 0-6 ./.a.d0-6 de. um hexágono 11.e.gul.M e. de. um
qu.adJutdo .i.nliCJLi
..tJM. Nu.ttu c.ond.i.çõu, c.onúdVUlll.do ✓1 = 1,41, a dütânc..ia que.
�e pVLCOILJte. .indo de. A atl C, pMMndo polr. B, e.m cm, l:
a)4,2.
b)5,4.
e)6, o.
d! 7, 2.
c
A
B
9) CFS - 1997 - O apóte.ma do hexágono 1te.gul.M .i.nlic.Jt.ito numa c.ilf.c.u.n6Vt.ê.nc.ia de.
11.a.io .igual. a 9✓3 m l, e.m m, .igual a:
a)13,S. b) 18. e)27. d)9✓3.
10) CFS - 1998 - Num tlt.iângulo ABC, 1th medi.dM d0-6 cate.to.6 couuponde.m 116
medi.dM do ta.do e. do ap6te.ma de. um tlt.iângulo e.quUá.tVLO .i.nlicltUo numa
c.-úu!un6uê.nc..ia de. 11.a.io 1O cm. Ne.MM c.oncü.çõu, a medi.da, e.m cm, da h.ipote.n.u.6a
do .tlúâttgulo ABC l:
a)5✓7. b)sJu. e)5✓13. d) 5✓17.
11) Cot. Na.vai - 1997 - Ve.6.ine.-6e. potê.nc.ia de. um ponto P e.m 1t<1la.cão a um
<Úl<.C.ulo. C. de. c.e.ntlto o e. IUÚO Jt, como �e.ndo o quadlr.ado da wtânc..ia de. p a o'
mvt06 o quadJuuio de. Jt. Qual l a potê.nc.ia de. um do6 vlJtt.icu de. hexágono 11.e.gul.M
c.ilf.cUMCJt.ito a um c.fuulo de. IULi.o Jt, e.m Jte.lat;ão a ute. C-ÚU'.ulo?
a)211.
1
/3. b)11.
1
/2. e! 11.
1
/3. d)11.
1
/4. e.)Jt
1
/6.
12)CFS - 1998 - Se. AB e. CV 6ão, 11.upe.cüvame.n-te., 06 ta.do� do pe.n-tágono e. do
pe.ntade.cágono Jte.gul.Mu .i.nlic.Jt.ito� no C-ÚU'.ulo, e.ntâo a �oma dM me.d.idM do�
ãngulo6 a e. P l .igual a:
a)36°
.
bl 48°
.
e)60°
.
d)12°
.
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282
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RESPOSTAS tJAS QUESTÕES tJE CONCURSOS PROPOSTAS:
l)c. 2)d. 3)c. 4)a.. S)b. 6)d. 7)a. 8)d. 9)a.
11J d. 12) d.
283
10)c.

59. CAPÍTULO 37: ÁREAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS PI.ARAS.
RETÂNGULO:
A=b. h
b
QUADRADO:
tJ,
l
TRIÂNGULO:
b
h
A=Ll
2
ÁREA DE UMPOUGONO REGULAR:
PARALELOGRAMO:
A=b. h
b
LOSANGO:
TRAPÉZIO:
b
h
A,..D.d
2
················ 1 • j
L; h
A=ffi+b).h
2
B
A= p . a, oodep= semiperimetro e a= medida do apótema.
284
OUTRASFÓRMUUS PARA DETERMINARA ÁREA DE UM TRIÂNGULO:
a) Triângulo Equilátero:
l
e) Fórmula de ImR.ON:
�
b
e
b) Usando o seno do ângulo entre dois lados:·
e
A= .Jp(p-aXP-bXP-c)
Onde p= a+b+e (semiperímetro)
2
d) Triângulo circunscrito a uma circunferência
de raio r:
e) Triângulo inscrito em uma circunferência de
de raio R:
A A
j B
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a.a.
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p= semiperímetro
A=p. r
285
A=_Lb._ç
4R

60. OUTRAS FÓRMUUS PARA DETERMINAR A ÁREA DE UMQUADRIIÀTER.O:
a) Circunscritível a uma circunferência de raio r:
c
A=p.r
onde p= semiperimetro.
b) Inscritível em uma circunferência:
A= .J(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)
onde p=semiperimetro.
., Obs.: Se o quadrilátero for, AO MESMO TEMPO, inscritível e circunscritível, sua áru
pode se�eterminada por A= .Ja.b.c.d.
ÁREA DO CÍRCULO:
O R
A= 1t.R2
286
ÁREA DO SETOR CIRCULAR:
o
A= 7t. R2
a· (a em graus).
360
A= a.R2
(a em radianos).
2
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a.a.
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ÁREA DA COROA CIRCULAR: ÁREA DO SEGMENTO CIRCULAR:
o
B
A= 7t (R
2 - r2) A..gmcoiocireul.w=A""°"- A1niagulo
RAZÃO ENTRE AS ÁREAS DEDUAS FIGURAS SEMELHANTES:
A razão entre as áreas de duas figuras semelhantes é igual ao quadrado da razão de
semelhança.
FIGURAS EQUIVALENTES:
Ai..
=
k
l
A1
Duas figuras são ditas EQUIVALENTES quando têm a mesma área.
São, portanto, equivalentes asfiguras congruentes.
SUGESTÕES DE EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM:
1) Calcule a área de um losango que tem 8 m de perimetro e possui um ângulo de 60".
2) Determine a área de um triângulo isósceles cuja base mede 8 m e o perímetro, 18 m.
3) A área de um polígono mede l 800 m2
• Calcule a área de um polígono semelhante, sabendo que a
razão de semelhança do primeiro para o segundo é de 3 para 2.
287

61. _(__
4)Um setor circular de 40" pertence a um círculo de 30 m de raio. Então, a área do setor , para 1t =
3,14, é
5) Deternúne a área da região hachurada abaixo, sabendo que o triângulo é equilátero de lado com
medida!.
6) A figura abaixo mostra um quadrado de lado com medida a inscrito em um círculo. Calcule a área
da região hachurada.
7) O triângulo abaixo é:_equilátero. Calcule a área da região hachurada, sabendo que o lado do
triângulo mede b.
288
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8) Considere o quadrante de raio R da figura. Calcule a área assinalada.
a) 1tR
2
8
b) 7tRl
12
c) 51tR
2
24
d) 7tRl
16
e)N.RA
9)Na figura abaixo, calcule a área hachurada, em função do raio R do quadrante.
a)R
2
(7t - 2) .
b)R
2
(7t - 2)
2
c) R
2
(7t - 2)
4
d)R
2
(7t - 2)
8
e)N.R.A
10) (UFF) Os raios (em cm) dos três círculos concêntricos da figura são números naturais e
consecutivos. Sabendo que as áreas assinaladas são iguais, pode-se afirmar que a soma dos três raios
é:
a) 6 cm.
b)12 cm.
c)18 cm.
,
d) 9 cm.
e)15 CITL
289

62. �
11)(UFRN)Na figura abaixo, os três círculos têm raios iguais a 4 m e são tangentes dois a dois. A
área da região sombreada é igual a:
a)(l2✓2 - 61t) m2
b) {16✓3 - 81t) m
2
.
c)(8✓3- 31t) m
2
•
d)(3✓
2
- 41t) m2
.
e)(6✓5 - fa)m
2
.
12)(UMC-SP)Na circunferência de centro A, AB= 2 dm, AC= ✓3 dm e AD= 1 cm. A área da
figura sombreada é:
'a)2rc/5 dm2
.
b)1tdm
2
.
c)3rc/4 dm
2
.
d)4rc/5 dm
2
•
e)2rc/3 dm2
.
13)O triângulo ABC abaixo tem área k e G é o seu baricentro. A área do triângulo BGC é:
a)k/5.
b)k/4.
c)k/3.
d)k/2.
A
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B C
14)(C .N.)Calcular a área do trapézio retângulo abaixo, sendo AC= 8 cm, AD= 10 cm e CD= 6
·cm.
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15)Detennine, em função· das medidas dos lados que formam ·o ângulo a., a razão entre as áreas A1,
do triângulo ABC e A2, do triângulo AB'C', abaixo:
c
C'
16)A diagonal de um quadrado I é a+b. O perímetro do quadrado II, cuja área é o dobro da área de
I, é:
a)(a+b}
2
. b)✓2(a+b)
2
. c)2(a+b)
. d)✓&(a+b)
. e)4(a+b).
17)Um quadrado, de área igual a 40, é inscrito em um semicírculo. A área de um quadrado que seria
inscrito no círculo completo de mesmo raio é:
a)80. b)100. c)120. d)160. e)200.
18)Um quadrado, de área igual a 40, é inscrito em um semicírculo. A área de um quadrado que seria
inscrito no círculo completo de mesmo raio é:
a)80. b)100. c)120. d)160. e)200.
19)
(EPCAR)Considere um quadrado ABCD cuja medida da aresta é igual a m cm. M, Ne P são
pontos médios dos lados. A razão entre as áreas S2 e S1 é:
a)I.
b) 2.
c)3.
d)4.
e)5.
D M C
p S2
A N B
20)A área do triângulo abaixo , onde AB= 6, é ..fj. Então AC é uma medida que está entre:
a)10 e 20. ./ C
b)16/3 e 20/3.
c)4 e 5.
d)1,5 e 4,5.
e)1 e 2.
B A
291

63. 21) A área de um triângulo cujos lados medem 5 cm, 6 em e 7 cm é, em cm2
:
a) 3✓6. b) 6✓3. c) J✓J. d) 6✓6. �) 2..fi..
22) A área da região hachurada abaixo, em cm2
, é:
a) 121t.
b) 241t. OA=AB=6 cm.
c) J61t.
d) 481t.
e) 601t.
23)Determinando a área da região hachurada abaixo, encontramo�
2�4,r -3..fi)
a)
12
·
b)
25(1r-1)
4
2�JJJ1r-4)
o
c)
12
·
12(4,r -3..fi)
d)
25
.
12(JJJ1r-4)
e) ---'----'-.
. 2
24) Um triângulo ABC é equivalente a um quadrado inscrito num círculo de raio 2✓ 2 cm. Se o
produto das medidas dos lados do triângulo é k, o raio da circunferência circunscrita ao triângulo
ABC é:
a) k + 8. b) 2k. c) 4k. d) 8k. e) k/64.
25) O triângulo abaixo, cujo perimetro é p, é equivalente a um triângulo equilátero de lado 4✓ 3 cm.
A medida r, do raio da circunferência inscrita no triângulo, em cm, é:
p
a)
6.fi
•
b) 3./6_
p
c) 6✓3.
d) 6
✓3 .
p
N3
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p
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26) O paralelogramo abaixo, de. área S, teve o lado AB e � diagonal BD divididos, cada um, em
três partes iguais, respectivamente pelos pontos E e F ; G e H . A área do triângulo BFG é igual a;
D C
a) S/3.
b) S/6.
c) S/9.
d) S/18.
e) N.R.A.
&7
A E F B
27) (FEI-SP) Na figura abaixo, AB e BC são perpendiculares, AB e RQ são paralelos e as medidas
dos segmentos são: AP=2; PB = 1; BQ=2 e QC=4. Calcule as áreas dos trapézios:
a) I.
b) II.
e
• 1 I I Q
A�-��B
p
28) Sendo o OA = 20, determine a área hachurada na figura ·abaixo, onde O é o centro da
circunferência.
B
29.3

64. 29)Determine a área da região hachurada em:
a) 1,<::s:> c::::tlttl• b) � c)
r----,.,�---,
4 m
4 m
20 m
30) (FAAP-SP)Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de centro O e a parte hachurada é limitada
por quartos de circunferências centradas nos vértices e passando por O. Calcule a área da figura
hachurada.
A m-rr-;-r---�--B
D...,__________..,.C
a
ll2 (MAUÁ-SP)Numa circunferência de raio R e centro O é fixado um diâmetro BC e uma corda
AB-de comprimento igual ao raio R. Calcule, em funçã.Q_ de R., a área do triângulo OAC e a área do
segmento circular limitado pela corda AB e pelo arco ADB.
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294
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32)(CESESP) Considere a figura onde G _é o baricentro' do triângulo ABC. Assinale a única
alternativa que corresponde à razão entre as áreas dos triângulos AB G e EGD:
a) 1.
b)2.
c)3.
d)4.
e)12.
A�C
E
33)(MACK)A área do trapézio da figura é 12. A área da parte sombreada é:
a)7t.
b)21t. D
c)31t.
d)41t. c
e)S1t.
A B
. - , r
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM:✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓
1)2✓3m2
. 2)12 m2
. 3)800 m2
. 4)314 m2
. 5) (3✓ 3 -1t}l2
.
36
6) a2
(1r-2) b2
(3✓
3
-1r)
8 7)
12
8)d. 9)d.. 10)a. 11)b. 12)e. 13)c. 14)39,36 cm.
IS)
A• AS.AC
A, A
B'
.AC'· 16)e. 17)b. 18)b. 19)b. 20)b. 21)d. 22)c. 23)a. 24)e.
25)d. 26)d.
a2
(4-1r)
30)
2
.
27)a)5/3. b)10/3. 28)2007t u.a. 29)a)16 (4 -1t)m2
. b)97t u.a. c)200 m2
•
R2
✓3 R2
(21r -3✓3}
31)-
4
- e
12
. 32)d. 33)b.
295

65. � -
[tiEOMETRIA PLANA - QUESTÕESDE CONCURSOSPROPOSTAS:
J) CFS - J990 - Se. p é. o pe;úmwr.o de. um he.xágo,w .úu.c.Jt..i..to num C-Úle.u.lo, a álr.e.a
deMe. C-Úle.u.lo é.:
a.)..lL.1[ • bJ---1L.1l_. e.) 1t .p
1
"1/2. d) 1t .p
1
•
6 36 36
2) CFS - J990 - Na. 6.i.gWLa. da.da.,. o C-Úle.ul.o ma,lo1t. .te.m c.e.ntJt.o A e. Jt.a..i.o JO c.m; o
.tlt.úingul.o ABC é. Jt.uiin.gul.o, e. o c..útc.ul.o me.noJt. .te.m c.e.n.tlt.o no pon.to mld.i.o da.
h.i.po.te.nw.,a. BC. A IÍlt.e.a da. paJt..te. ha.c.hwuula., e.m cm
1
, me.de.:
a.) 25.
bJ 251t.
c.J s_o.
d) 501t.
3) CFS J991 .- O la.do do qu.a.dlta.do ABCV a.baixo me.de. 8 c.m. Se.ndo M o ponto mld.i.o do
la.do BC, VE = S c.m i EG // AV, .a. á.-te.a do .tJt.a.pé.z.i.o AVEG,. e.m cm
1
, é.:
8 M C
a.) 13,75.
b) 27.
e.) 30.
d) 33,75.
E
A V
4) CFS -. 1991 - Aume.n.ta.ndo-.&e. o c.omplt..i.me.n.to de. uma. .&a.ta. e.m J2, 5% e. a. �gUJt.a. e.m
28%, �ua. IÍJt.e.a a.ume.n.ta.Jt.á e.m •••••. %•
a.) 3,5. b) 35. e.) 40,5. d) 44.
S) CFS - 1991 - O la.do de.· ·um qu.a.dlta.do é. .i.gua.t a.o la.do de. um .tlt.úingul.o
e.quilá.tvto, e. �UM � �ornam 13 c.m
1
• A IÍJt.e4 do .tlt.úingu.lo, e.m c.m
1
, é.:
a.) 4✓3-3. b) ✓3+3. c.J 3✓3+4. d) ✓3-4.
6) CFS 199J - Um he.xá.go,w 11.e.gul.a.Jt. u.tá. .úu.c.Jt..i..to e.m uma. c..i.Jt.c.Ull6e.Jt.ên.c..i.a. de. 241t c.m
de. c.omplt..i.me.n.to. A IÍJt.e.a. do hexá.gono, e.m cm
1
, é.:
a.) 108✓3. b) 196-/3. e.) 204✓3. d) 216-/3.
296
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7) CFS - 1992 - Se. um Jt.e.tâ.ngul.o .te.m 50 m de. peJúme..tJt.o, e. a. a-ltwut é. 1/4 da. ba-6e.,
a. IÍlt.e.a. deMe. 1t.e.tâ.ngul.o é. de. • • • • • m
1
•
a.) 25. b) 50. e.) 75. d) 100.
8) CFS - 1992 - O pe.lLÚrlitlr.o de. um to.&a.ngo va.te. 40 m, e. a. me.no1t d.i.a.gonal. me.de.
12 m. En.t.ao, a. IÍJt.e.a. do lMa.ngo va.te., e.m m1
:
a.) 48. b) 64. e.) 72. d) 96.
9) CFS - J992 - Em um .tlt.úingu.lo Jt.e.tâ.ngul.o, a. h..i.pc.t�a. e.xc.e.de. o� e.a.te.to.& e.m 1 m
e. 8 m Jt.Upe..c,tlva.me.n.te.. A IÍlt.e.a du.&e. .tlt.úingul.o é., e.m m1
, é.:
a.) 24. b) 30. e.) 36. d) 48.
1O) CFS - 1992 - Um .tlt.úingul.o ABC u.tá .úu.c.Jt.i..to numa. c..i.ltc.Wl6e.Jt.ê.nc..i.a. de. 11.a..i.o
S cm. Sa.be.-.&e. que. A e. B .&ii.o M e.x.tJt.e.múia.du de. um cü.âme,ói.o e. que. a. c.01t.da. BC me.de.
6 cm. En.t.ao a. IÍJt.e.a do .tlt.úingu.lo ABC, e.m c.m
1
, va.te.:
a.) 12. b) 24. e.) 48. d) 10
✓2.
1 J) CFS - J995 - Aume.n.ta.n.d.o-.&e. e.m 4 c.m o 11.a.i.o de. um <Últ.C.ul.o, .&ua. IÍlt.e.a. a.ume.n.ta.Jt.li
e.m J441t c.m
1
• O 11.a..i.o du.&e. <Últ.C.ul.o, e.m cm, me.de.:
a.) IS. b) 16. e.) 17. d) 18.
J2) CFS - J996 - Um .tlt.úingul.o e.qu.i.lá..te.Jt.o de. 9.ftc.m
1
d11- IÍlt.e.a u.tá .úu,c.,'Llto. e.m �
c..i.Jt.c.Wl6e.Jt.êrtc.i.a.. o c.ompll,ime.n,to de.Ma. c..i.Jt.c.Ull6e.Jt.ê.ncla.,· e.m· cm, é.: .
a.) 2✓31t. b) 4✓31t. e.) 6,JJ1t. d) 8✓31t.
13) CFS - 1996 - A IÍJt.e.a da. 11.e.g.i.ã.o ha.c.hwuula. na. 6.i.gUJt.a. é. 80 m
1
e. M d.i.m�õu .&ii.o
e.m m. Ne.MM e.ond.i.çõu, a. me.d.ida. "x" .i.nd.i.c.a.da. é.:
a.) 8.
b) 10.
e.) 12.
d) 20.
J,
14) CFS - 1996 - Um .tlt.úingul.o e.qu.i.lá..te.Jt.O .te.m S . cm de. a.p6.te.ma.. Sua. á.Jt.e.a, e.m cm
1
,
é.:
. .
a.) 60✓3. b) 1s-.fi. e.) 78✓3. d) 81✓3..
297

66. 15} CESV - 1996 - O .f.tuio de. um qua.dJw.do me.de. 1,3 m. A IÍll.e.a. do quadluulo, em dmr,
é:
a.J 7,69. bl 13. c.J 16,9. d} 169.
16) CFS - 1996 - Seja. AH a. aUWUI. 1t.ehttlva. à. ki.pote.rr.u,t.a. de. um .tJi,úvr.gulo
,te,tiingulo ABC. Se. C = 30°
, a. Jt.a.zão e.n.tlt.e. a.-6 IÍlte.a.-6 do-6 .tlúiingulo-6 ABH e. ACH é:
ai 1/2. bl 1/3. e./ {3/3. d) {312.
17} CFS - 1997 - ·Ob-6e.1t.va.ndo a.-6 6.i.gUJt.a..6 a.bcu.x.o, pode.mo-6 a.6� que. o
□·· 6 m
4 m
6 m Bm 8 m
a.1 .tlúiingulo e. o tlt.a.pl.úo têm a. muma. IÍll.e.a..
bI qua.dJt.a.do e. _o buzpé.z.i.o têm a. muma. áJt.e.a..
e./ qua.dJw.do e. o .tlúiingulo têm a muma. IÍll.e.a..
dI tJt.apéz..i.o tem a �"- Me.a. en-tJt.e. a.-6 tlt.ê-6 6.i.gUJt.a..6.
18/ CFS - 1997 - A IÍll.e.a. .do pa.!Ut(.e.logJta.mo ABCV é 60 c.m
r
e. a do .tlúiingulo ACE,
r - -
24 c.m • Se. AB = 1O c.m, e.rr.tã.o AC, me.de. ••••. c.m:
8 A
a.} 14.
�
b/ 10.
e./ 8.
d) 6.
e E V
191 CFS - 1997 - Vo� CÚ/t.c.ulo-6 -6ão c.onc.ên,t;úc.o-6 e. o p,'l,Úne,i/lo, de. IÍll.e.a. 1001t c.m',
po-6-6ui uma. c.oJt.da. de. 16 c.m tange.nú a.o -6e.gundo. A IÍll.e.a. do -6e.gundo CÚ/t.c.ulo, em c.m',
é:
a} 251t. b) 361t. c.J 501t. d)- 641t.
20/ CFS - 1998 - Na 6igWUI., ABCV é um paJUtl.eloglUlJIIO e. AC é um a1tc.o de
Últ.c.un6e.Jt.ênc-i.a. de. c.e.ntlt.o 8 e. Jto.i.o 6 c.m. A IÍll.e.a. da. -6upe.,t6.ú!.le. ha.c.hwt.a.da., em c.m
r
,
é, e.ntao: A r8
a.J 3(2 - 1tl.
b/ 3(3 - 1tl.
"lf•- •J. L
d) 3(8 - 1tl. º�-+----� C
298
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- .,
9-a.
21J CFS - 1998 - O Jto.i.o da. CÚ/t.c.un6e.1t.ê.nc,i.a. iMCJLlta. num .tlúângulo c.ujo-6 .f.tuio-6
me.de.m 5 c.m, 6 c.m e. 7 c.m, em c.VLtúne.tlt.0-6, é de.:
a) 3n. b/ 26. e./ f6/3. d/ 2ft,.
3
22/ CFC - 1998 - Se. o .l.a.Jlo do qua.dJw.do ABCV me.de. 4n c.m e AO = OC, e.ntao, a.
IÍll.e.a. da Jt.e.gião ha.c.hwt.a.da. na 6.i.gUJta. aba..i.xo, em c.m', é:
a) 241t.
b) l61t.
e.) 16(2 - 7t).
d) 8(4 - 1t/.
Ar-. 11771771 ·s
V C
23) CFC - 1998 - A 6.i.gUIUI. a.bcu.x.o, ABCV, é u.m tlt.a.péz.i.o �6-6c.e.lu. Sa.be.ndo--6e. que.
AV = 6 c.m, BC = 1O c.m e. 8 = 60°
, então a IÍll.e.a. de.Me. .tlw.pé.z.i.o, em c.m', é:
a) 12"2.
b/ 166.
c./ 16-f""í.
d/ 16D.
2
8
A
�---- V
/
KESPtJSTAS PAS flUESTrJES IJE CtJNCUKStJS PKtJPtJSTAS:
e
11 b. 2) e.. 3) d. 4) d. 5/ a.. 6) d. - 7) a.. · 8) d.
li J b. 12/ b. 13) b. 14) b. · 15t d. 16_) b. 17) b.
20/ e.. 21 I d. 22) d. 23/ b.
299
9/ b.
181 b.
10I b.
19) b.