O documento apresenta uma questão sobre geometria plana envolvendo figuras geométricas como quadrado, circunferências e lúnulas de Hipócrates. A questão possui 5 alternativas sobre áreas dessas figuras, e a justificativa fornece os cálculos e raciocínios geométricos para concluir que as alternativas 2 e 4 são verdairas.
1) O quadrilátero RSTU é um losango, tendo SU perpendicular a RT e ângulos de 120°. RST é isósceles mas não equilátero. RSTU tem apenas dois eixos de simetria.
2) No segundo problema, as lúnulas têm área πl2/8 cada. A área somada das lúnulas é igual à do quadrado.
3) No terceiro problema, os volumes são: cilindro = πr2h, semiesfera = (2/3)πr3, cone = (1/3)πr
Este documento apresenta 7 questões sobre geometria plana e sólidos geométricos. As questões abordam propriedades de figuras como hexágonos regulares, triângulos, circunferências e suas relações, bem como volumes de cilindros, cones, esferas. As justificativas fornecem explicações detalhadas para afirmar se cada alternativa é verdadeira ou falsa com base nas propriedades geométricas envolvidas.
1) O documento discute o cálculo do comprimento de circunferências e arcos circulares utilizando a constante π e as fórmulas C=2πr e s=rα.
2) É explicado como medir arcos em graus e radianos e a conversão entre as unidades.
3) São apresentadas propriedades geométricas de triângulos, cordas e arcos de circunferência.
O documento descreve conceitos geométricos relacionados a triângulos: 1) Mediana é um segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. 2) Altura é um segmento perpendicular a um lado. 3) Bissetriz divide um ângulo interno em duas metades iguais. 4) Mediatriz é uma reta perpendicular ao meio de um segmento.
O documento apresenta nove questões sobre geometria plana e espacial. Nas questões 01 a 04 são apresentados textos com afirmações sobre propriedades geométricas de figuras planas e sólidos geométricos, e o candidato deve identificar quais afirmações são verdadeiras ou falsas. Nas questões 05 a 09 são apresentadas figuras geométricas e o candidato deve analisar afirmações relacionadas a propriedades dessas figuras.
O documento apresenta 9 questões sobre geometria plana e espacial. As questões abordam propriedades de quadriláteros, triângulos, poliedros regulares, lugares geométricos e perspectiva. As respostas analisam cada afirmação e justificam se é verdadeira ou falsa com base nas propriedades geométricas envolvidas.
Relação entre perímetros e áreas em triângulos semelhantesaldaalves
Este documento discute as relações entre perímetros e áreas em triângulos semelhantes. Ele mostra que a razão entre os perímetros de triângulos semelhantes é igual à sua razão de semelhança, enquanto a razão entre suas áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança. Dois exercícios são fornecidos para exemplificar essas relações.
1) O documento descreve propriedades geométricas notáveis de um triângulo, incluindo medianas, mediatrizes, bissetrizes e alturas.
2) Os pontos notáveis de um triângulo são o baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro, que são definidos como interseções de medianas, bissetrizes, mediatrizes e alturas.
3) Propriedades especiais desses pontos são descritas para triângulos isósceles, equiláteros e retângulos.
1) O quadrilátero RSTU é um losango, tendo SU perpendicular a RT e ângulos de 120°. RST é isósceles mas não equilátero. RSTU tem apenas dois eixos de simetria.
2) No segundo problema, as lúnulas têm área πl2/8 cada. A área somada das lúnulas é igual à do quadrado.
3) No terceiro problema, os volumes são: cilindro = πr2h, semiesfera = (2/3)πr3, cone = (1/3)πr
Este documento apresenta 7 questões sobre geometria plana e sólidos geométricos. As questões abordam propriedades de figuras como hexágonos regulares, triângulos, circunferências e suas relações, bem como volumes de cilindros, cones, esferas. As justificativas fornecem explicações detalhadas para afirmar se cada alternativa é verdadeira ou falsa com base nas propriedades geométricas envolvidas.
1) O documento discute o cálculo do comprimento de circunferências e arcos circulares utilizando a constante π e as fórmulas C=2πr e s=rα.
2) É explicado como medir arcos em graus e radianos e a conversão entre as unidades.
3) São apresentadas propriedades geométricas de triângulos, cordas e arcos de circunferência.
O documento descreve conceitos geométricos relacionados a triângulos: 1) Mediana é um segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. 2) Altura é um segmento perpendicular a um lado. 3) Bissetriz divide um ângulo interno em duas metades iguais. 4) Mediatriz é uma reta perpendicular ao meio de um segmento.
O documento apresenta nove questões sobre geometria plana e espacial. Nas questões 01 a 04 são apresentados textos com afirmações sobre propriedades geométricas de figuras planas e sólidos geométricos, e o candidato deve identificar quais afirmações são verdadeiras ou falsas. Nas questões 05 a 09 são apresentadas figuras geométricas e o candidato deve analisar afirmações relacionadas a propriedades dessas figuras.
O documento apresenta 9 questões sobre geometria plana e espacial. As questões abordam propriedades de quadriláteros, triângulos, poliedros regulares, lugares geométricos e perspectiva. As respostas analisam cada afirmação e justificam se é verdadeira ou falsa com base nas propriedades geométricas envolvidas.
Relação entre perímetros e áreas em triângulos semelhantesaldaalves
Este documento discute as relações entre perímetros e áreas em triângulos semelhantes. Ele mostra que a razão entre os perímetros de triângulos semelhantes é igual à sua razão de semelhança, enquanto a razão entre suas áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança. Dois exercícios são fornecidos para exemplificar essas relações.
1) O documento descreve propriedades geométricas notáveis de um triângulo, incluindo medianas, mediatrizes, bissetrizes e alturas.
2) Os pontos notáveis de um triângulo são o baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro, que são definidos como interseções de medianas, bissetrizes, mediatrizes e alturas.
3) Propriedades especiais desses pontos são descritas para triângulos isósceles, equiláteros e retângulos.
1) O documento discute conceitos geométricos como segmentos, razão entre segmentos, segmentos proporcionais, feixes de retas paralelas, retas transversais, teorema de Tales, ampliação e redução de figuras, semelhança em figuras planas, homotetia, polígonos semelhantes, triângulos semelhantes e relações métricas no triângulo retângulo.
2) É apresentado o teorema de Pitágoras e uma demonstração geométrica deste teorema.
3)
A geometria lida com formas e figuras, explicando como construí-las, medir e compará-las. Ela é usada em construção, engenharia e artes. Os elementos básicos incluem pontos, retas, planos, ângulos, polígonos e figuras tridimensionais.
O documento descreve as classificações e construções de triângulos. Ele define triângulos de acordo com seus ângulos (agudo, retângulo, obtusângulo) e lados (equilátero, isósceles, escaleno). Também fornece instruções para construir triângulos específicos quando dados certos elementos, como lados, ângulos ou altura.
O documento descreve como determinar se dois triângulos são semelhantes, com base em ângulos correspondentes congruentes e razão entre lados correspondentes. Explica como usar a semelhança de triângulos para medir um terreno com obstáculo, dividindo as medidas por um número para obter um triângulo menor e similar.
1. A reta CD é ortogonal à aresta AB de um tetraedro ABCD, pois ambos os pontos C e D estão no plano mediador de AB, que é perpendicular a AB.
2. Os pontos médios das diagonais de um cubo estão todos no mesmo plano mediador.
3. O circuncentro de um triângulo é a interseção da reta perpendicular ao plano do triângulo que passa pelos pontos médios das suas arestas.
1) Tales de Mileto calculou a altura da Grande Pirâmide de Quéops no século 7 a.C. ao fincar uma vara no solo e observar a proporção entre as sombras;
2) Ele aplicou o conceito de triângulos semelhantes, sabendo que a razão entre a altura e a sombra é sempre a mesma;
3) Tales mediu a altura da pirâmide usando a semelhança dos triângulos formados pelas sombras da vara e da pirâmide.
Este documento é um resumo de três frases do livro "Elementos de Geometria" de Euclides na tradução de Frederico Commandino. O texto apresenta as definições geométricas básicas como ponto, linha, ângulo e figuras como triângulo, círculo e paralelas. Em seguida lista os postulados e axiomas utilizados por Euclides como premissas para demonstrar teoremas geométricos.
O documento apresenta 10 exercícios resolvidos sobre diferentes tipos de arcos arquitetônicos, incluindo arcos ogivais, romanos, góticos e outros, com instruções passo a passo para sua construção geométrica a partir de elementos como vão, altura e raio.
1) O documento apresenta os principais conceitos de geometria plana e espacial como ângulos, triângulos, polígonos, quadriláteros, sólidos geométricos, retas e planos.
2) Inclui definições e propriedades de ângulos, classificação de triângulos e quadriláteros, teorema de Pitágoras, polígonos regulares e sólidos geométricos como prismas e pirâmides.
3) Fornece detalhes sobre critérios de paralelismo, perpendicularidade
Este documento apresenta e explica vários conceitos geométricos de lugares geométricos, incluindo circunferências, círculos, mediatrizes de segmentos de reta, bissectrizes de ângulos, superfícies esféricas, esferas e planos mediadores. Fornece exemplos práticos destes conceitos e como identificá-los geometricamente.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria para o 4o ano, incluindo definições de ponto, reta, plano, ângulo, polígonos e suas propriedades.
O documento descreve a história e conceitos fundamentais de ângulos na matemática, incluindo: 1) Ângulos foram definidos por Euclides como a inclinação entre duas linhas que se encontram; 2) Existem diferentes classificações de ângulos baseadas na medida (agudo, obtuso, reto); 3) A trigonometria estuda as relações entre ângulos e arcos de círculos.
Este documento discute o conceito de semelhança de figuras geométricas. Explica que figuras são semelhantes se tiverem a mesma forma, ou seja, se uma for uma ampliação ou redução da outra mantendo os mesmos ângulos. A razão de semelhança k representa a proporção de mudança de tamanho entre as figuras, sendo k>1 para ampliações e k<1 para reduções. Dois polígonos são semelhantes se seus ângulos correspondentes forem congruentes e as medidas dos lados correspondentes forem
O documento discute as classificações de triângulos com base em seus lados e ângulos, incluindo triângulos equiláteros, isósceles, escalenos, retângulos, agudos e obtusos. Também aborda propriedades como a soma dos ângulos internos e a relação entre ângulos internos e externos.
O documento apresenta o Teorema de Tales e o Teorema da Bissetriz Interna, explicando que a razão entre segmentos de retas transversais é igual à razão entre os segmentos correspondentes, e que uma bissetriz interna divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes. Também fornece um exercício sobre bissetriz interna e sugestões de exercícios adicionais do capítulo.
Dois triângulos são congruentes se tiverem:
1) Lados correspondentes congruentes;
2) Ângulos correspondentes congruentes.
Existem três critérios de congruência: LLL (lado, lado, lado), LAL (lado, ângulo, lado), e ALA (ângulo, lado, ângulo).
1) O documento discute lugares geométricos, que são conjuntos de pontos que compartilham uma propriedade comum no plano ou espaço.
2) Exemplos de lugares geométricos incluem circunferências, círculos, coroas circulares, mediatrizes de segmentos de reta e ângulos, e superfícies e esferas.
3) Dois problemas exemplificam a interseção e reunião de lugares geométricos.
O documento descreve os principais conceitos de ângulos e triângulos ensinados no 9o ano, incluindo definições de ângulos, classificação de ângulos, propriedades de triângulos, critérios de congruência e semelhança de triângulos.
1. O documento discute o Teorema de Tales e a semelhança de figuras geométricas.
2. Explica que duas figuras são semelhantes se tiverem a mesma forma, ou seja, se uma for uma ampliação ou redução da outra.
3. Detalha as condições para que polígonos sejam considerados semelhantes, incluindo ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais.
The document summarizes several major tourist attractions in London, including the London Eye observation wheel, Tower Bridge, London Tower, British Museum, Madame Tussauds wax museum, London Dungeon, National Gallery, National Portrait Gallery, and Tate Modern art museum. It provides details on the history, features, and exhibits of these iconic London landmarks.
Gandhi reflete sobre a vida, o amor, a verdade e a não violência. Ele acredita que a não violência é a arma dos fortes e que a terra provê o suficiente para todos se não fosse a voracidade humana. Gandhi também defende que devemos construir um futuro melhor ao invés de repetir os erros do passado.
1) O documento discute conceitos geométricos como segmentos, razão entre segmentos, segmentos proporcionais, feixes de retas paralelas, retas transversais, teorema de Tales, ampliação e redução de figuras, semelhança em figuras planas, homotetia, polígonos semelhantes, triângulos semelhantes e relações métricas no triângulo retângulo.
2) É apresentado o teorema de Pitágoras e uma demonstração geométrica deste teorema.
3)
A geometria lida com formas e figuras, explicando como construí-las, medir e compará-las. Ela é usada em construção, engenharia e artes. Os elementos básicos incluem pontos, retas, planos, ângulos, polígonos e figuras tridimensionais.
O documento descreve as classificações e construções de triângulos. Ele define triângulos de acordo com seus ângulos (agudo, retângulo, obtusângulo) e lados (equilátero, isósceles, escaleno). Também fornece instruções para construir triângulos específicos quando dados certos elementos, como lados, ângulos ou altura.
O documento descreve como determinar se dois triângulos são semelhantes, com base em ângulos correspondentes congruentes e razão entre lados correspondentes. Explica como usar a semelhança de triângulos para medir um terreno com obstáculo, dividindo as medidas por um número para obter um triângulo menor e similar.
1. A reta CD é ortogonal à aresta AB de um tetraedro ABCD, pois ambos os pontos C e D estão no plano mediador de AB, que é perpendicular a AB.
2. Os pontos médios das diagonais de um cubo estão todos no mesmo plano mediador.
3. O circuncentro de um triângulo é a interseção da reta perpendicular ao plano do triângulo que passa pelos pontos médios das suas arestas.
1) Tales de Mileto calculou a altura da Grande Pirâmide de Quéops no século 7 a.C. ao fincar uma vara no solo e observar a proporção entre as sombras;
2) Ele aplicou o conceito de triângulos semelhantes, sabendo que a razão entre a altura e a sombra é sempre a mesma;
3) Tales mediu a altura da pirâmide usando a semelhança dos triângulos formados pelas sombras da vara e da pirâmide.
Este documento é um resumo de três frases do livro "Elementos de Geometria" de Euclides na tradução de Frederico Commandino. O texto apresenta as definições geométricas básicas como ponto, linha, ângulo e figuras como triângulo, círculo e paralelas. Em seguida lista os postulados e axiomas utilizados por Euclides como premissas para demonstrar teoremas geométricos.
O documento apresenta 10 exercícios resolvidos sobre diferentes tipos de arcos arquitetônicos, incluindo arcos ogivais, romanos, góticos e outros, com instruções passo a passo para sua construção geométrica a partir de elementos como vão, altura e raio.
1) O documento apresenta os principais conceitos de geometria plana e espacial como ângulos, triângulos, polígonos, quadriláteros, sólidos geométricos, retas e planos.
2) Inclui definições e propriedades de ângulos, classificação de triângulos e quadriláteros, teorema de Pitágoras, polígonos regulares e sólidos geométricos como prismas e pirâmides.
3) Fornece detalhes sobre critérios de paralelismo, perpendicularidade
Este documento apresenta e explica vários conceitos geométricos de lugares geométricos, incluindo circunferências, círculos, mediatrizes de segmentos de reta, bissectrizes de ângulos, superfícies esféricas, esferas e planos mediadores. Fornece exemplos práticos destes conceitos e como identificá-los geometricamente.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria para o 4o ano, incluindo definições de ponto, reta, plano, ângulo, polígonos e suas propriedades.
O documento descreve a história e conceitos fundamentais de ângulos na matemática, incluindo: 1) Ângulos foram definidos por Euclides como a inclinação entre duas linhas que se encontram; 2) Existem diferentes classificações de ângulos baseadas na medida (agudo, obtuso, reto); 3) A trigonometria estuda as relações entre ângulos e arcos de círculos.
Este documento discute o conceito de semelhança de figuras geométricas. Explica que figuras são semelhantes se tiverem a mesma forma, ou seja, se uma for uma ampliação ou redução da outra mantendo os mesmos ângulos. A razão de semelhança k representa a proporção de mudança de tamanho entre as figuras, sendo k>1 para ampliações e k<1 para reduções. Dois polígonos são semelhantes se seus ângulos correspondentes forem congruentes e as medidas dos lados correspondentes forem
O documento discute as classificações de triângulos com base em seus lados e ângulos, incluindo triângulos equiláteros, isósceles, escalenos, retângulos, agudos e obtusos. Também aborda propriedades como a soma dos ângulos internos e a relação entre ângulos internos e externos.
O documento apresenta o Teorema de Tales e o Teorema da Bissetriz Interna, explicando que a razão entre segmentos de retas transversais é igual à razão entre os segmentos correspondentes, e que uma bissetriz interna divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes. Também fornece um exercício sobre bissetriz interna e sugestões de exercícios adicionais do capítulo.
Dois triângulos são congruentes se tiverem:
1) Lados correspondentes congruentes;
2) Ângulos correspondentes congruentes.
Existem três critérios de congruência: LLL (lado, lado, lado), LAL (lado, ângulo, lado), e ALA (ângulo, lado, ângulo).
1) O documento discute lugares geométricos, que são conjuntos de pontos que compartilham uma propriedade comum no plano ou espaço.
2) Exemplos de lugares geométricos incluem circunferências, círculos, coroas circulares, mediatrizes de segmentos de reta e ângulos, e superfícies e esferas.
3) Dois problemas exemplificam a interseção e reunião de lugares geométricos.
O documento descreve os principais conceitos de ângulos e triângulos ensinados no 9o ano, incluindo definições de ângulos, classificação de ângulos, propriedades de triângulos, critérios de congruência e semelhança de triângulos.
1. O documento discute o Teorema de Tales e a semelhança de figuras geométricas.
2. Explica que duas figuras são semelhantes se tiverem a mesma forma, ou seja, se uma for uma ampliação ou redução da outra.
3. Detalha as condições para que polígonos sejam considerados semelhantes, incluindo ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais.
The document summarizes several major tourist attractions in London, including the London Eye observation wheel, Tower Bridge, London Tower, British Museum, Madame Tussauds wax museum, London Dungeon, National Gallery, National Portrait Gallery, and Tate Modern art museum. It provides details on the history, features, and exhibits of these iconic London landmarks.
Gandhi reflete sobre a vida, o amor, a verdade e a não violência. Ele acredita que a não violência é a arma dos fortes e que a terra provê o suficiente para todos se não fosse a voracidade humana. Gandhi também defende que devemos construir um futuro melhor ao invés de repetir os erros do passado.
Social support groups continue to provide important benefits. They offer information sharing, social connection, exposure to diverse perspectives, and positively impact health. Groups allow participants to feel heard, develop confidence, and access experts. They empower marginalized people and facilitate community involvement. However, certain demographics may feel excluded from groups due to barriers around accessibility, stigma, and lack of representation. Intentional efforts are needed to make groups inclusive of diversity in terms of identities, abilities, and viewpoints. Sustainability relies on participant involvement, facilitator support, and responsiveness to changing needs.
The document summarizes the colonization of North America by various European powers. It describes how Jacques Cartier explored the St. Lawrence River for France, establishing Montreal, and how Samuel de Champlain discovered two Great Lakes and was named Father of New France. It also discusses how the Pilgrims came to Plymouth, Massachusetts in 1620 to escape religious persecution, and had less conflict with Native Americans due to a recent plague and treating the natives with respect. Finally, it contrasts the English colonies, which emphasized education, family, and Protestantism, with the French and Spanish colonies, which were funded by government and required Catholicism.
El documento habla sobre las comunas y las cooperativas como mecanismos de participación ciudadana en Venezuela. Brevemente describe cómo están organizadas y funcionan las comunas y cooperativas de acuerdo a la ley. También resume dos sentencias, una sobre comunas donde se declara improcedente una revocatoria, y otra sobre cooperativas donde se declara con lugar un amparo constitucional.
The document provides information on several hobby magazines that are available as subscriptions on iPad and Android devices. It summarizes each magazine's topic focus and frequency of publication. Subscription options are also listed, which typically provide access to all issues in a year for an auto-renewing yearly fee. Payment is made through the iTunes account and subscriptions can be managed by the user.
The student magazine uses conventions like a large masthead, coverlines, graphics and professional layout on the cover and contents page to attract readers. To make the magazine stand out, the student went for a modern, sleek look compared to other magazines. The magazine represents 16-18 year old students by featuring a photo of a male student in a suit on the cover and contents page. To attract this target audience, headlines and a professional design are used along with photos and fonts that appeal to older readers. Creating the magazine taught the student how to use Photoshop and Blogger, and the value of clear photos for the content.
This short document promotes creating Haiku Deck presentations on SlideShare and getting started making one. It encourages the reader to be inspired to make their own presentation using Haiku Deck on the SlideShare platform. A call to action is given to get started creating a Haiku Deck presentation.
Este documento apresenta seis problemas de geometria gráfica e suas respectivas respostas e justificativas. Os problemas envolvem conceitos como elipses, perspectiva cônica, representações de sólidos e transformações geométricas. As respostas analisam corretamente as alternativas fornecidas e demonstram compreensão dos princípios geométricos envolvidos.
O documento apresenta 20 questões sobre cálculo de áreas de figuras planas como triângulos, circunferências e outros polígonos. As questões envolvem determinar áreas, razões entre áreas, valores numéricos relacionados a áreas e identificar afirmações verdadeiras ou falsas sobre áreas. O gabarito no final fornece as respostas corretas para cada uma das questões.
O documento contém 16 questões sobre círculos e geometria plana. As questões envolvem conceitos como circunferências inscritas e ex-inscritas em triângulos, setores circulares, tangências entre círculos e retas, potência de pontos, perímetros de figuras geométricas formadas a partir de círculos e mais. O gabarito das questões é fornecido no final.
Este documento é uma apostila de geometria que resume os principais tópicos de geometria plana e noções básicas de geometria espacial. A apostila contém 10 seções que abordam ângulos, polígonos, triângulos, quadriláteros, círculos, áreas de figuras planas e noções de geometria espacial, além de questões objetivas e discursivas com respostas. O documento é assinado pelo professor Paulo Soares Batista.
Este documento apresenta 16 problemas de geometria relacionados a áreas, volumes, razões, teoremas e propriedades de figuras planas e sólidas como triângulos, circunferências, polígonos e corpos geométricos. Os problemas envolvem cálculos e demonstrações utilizando conceitos como semelhança, bisectrizes, proporcionalidade e propriedades de figuras regulares.
Este documento apresenta um resumo de três frases do livro "Elementos de Geometria" de Euclides na tradução de Frederico Commandino. O livro contém as definições geométricas básicas e as proposições dos seis primeiros livros da obra de Euclides, que estabelece os fundamentos da geometria plana e do raciocínio dedutivo.
1) O documento apresenta 10 questões sobre geometria gráfica e propriedades de figuras geométricas como poliedros, cones, círculos e setores circulares. 2) As questões abordam temas como simetria de algarismos, propriedades de quadriláteros, volumes de sólidos, áreas de regiões e localização do ponto eqüidistante aos lados de um setor circular. 3) Cada questão é seguida de uma justificativa para a resposta correta com base em propriedades geométricas e na observação e medi
Geometria plana ângulos, triângulos, quadriláteros, cálculo de áreasCamila Rodrigues
O documento apresenta os principais conceitos de Geometria Plana, incluindo: definição da disciplina e seus principais estudiosos na Grécia Antiga; elementos básicos como ponto, reta e plano; classificação e propriedades de ângulos, triângulos e quadriláteros; e cálculo de áreas de figuras planas.
O documento discute conceitos básicos de geometria plana, incluindo: (1) feixes de retas paralelas e transversais, (2) polígonos convexos e suas propriedades, como número de lados, ângulos internos e externos, (3) triângulos, classificando-os de acordo com lados e ângulos.
O documento apresenta 20 questões sobre círculos e figuras geométricas relacionadas, como circunferências, raios e ângulos. As questões abordam tópicos como tangentes a circunferências, medidas de arcos e ângulos, áreas de figuras inscritas em círculos e propriedades de satélites em órbita circular. O documento também fornece o gabarito com as respostas corretas para cada uma das questões.
O documento descreve relações geométricas entre sólidos como esferas, cubos, cilindros e cones. Ele apresenta fórmulas para calcular medidas como raios e volumes quando esses sólidos são inscritos ou circunscritos uns aos outros. Exemplos incluem relações entre raios de esferas e arestas de cubos, alturas de cilindros e raios de esferas, e raios de bases de cones e esferas. O documento também fornece exercícios para aplicar essas fórmulas.
Os Elementos de Euclides (grego: Στοιχεῖα) é um tratado matemático e geométrico consistindo de 13 livros escrito pelo matemático grego Euclides em Alexandria por volta de 300 a.C.. Ele engloba uma coleção de definições, postulados (axiomas), proposições (teoremas e construções) e provas matemáticas das proposições. Os treze livros cobrem a geometria euclidiana e a versão grega antiga da teoria dos números elementar. Parece que Euclides pretendia reunir três grandes descobertas do seu tempo: a teoria das proporções de Eudoxo (Livro V), a teoria dos irracionais de Teeteto e a teoria dos cinco sólidos regulares, que ocupava um lugar importante na cosmologia de Platão.
Este documento descreve um livro intitulado "Elementos de Geometria" de Euclides na tradução de Frederico Commandino. O livro contém as definições geométricas, postulados e proposições dos seis primeiros livros de Euclides, além do undécimo e duodécimo livros da versão latina de Commandino. O documento fornece detalhes sobre a edição e tradução do livro para o português.
O documento discute vários tópicos sobre ângulos e triângulos, incluindo: 1) definições de ângulos complementares, suplementares e correspondentes; 2) classificações de triângulos de acordo com lados e ângulos; 3) propriedades de ângulos internos de triângulos e quadriláteros.
O documento descreve geometria espacial, incluindo sólidos de revolução como cilindros, cones e esferas. Define seus elementos, classificação, áreas e volumes. Explica que um cilindro é formado pela rotação de um círculo ao redor de uma reta, enquanto um cone é formado pela rotação de um triângulo ao redor de um de seus lados. Uma esfera é formada pela rotação completa de um semicírculo.
O documento descreve geometria espacial, incluindo sólidos de revolução como cilindros, cones e esferas. Define seus elementos, classificação, áreas e volumes. Explica que um cilindro é formado pela rotação de um círculo ao redor de uma reta, enquanto um cone é formado pela rotação de um triângulo ao redor de um de seus lados. Uma esfera é formada pela rotação completa de um semicírculo.
O documento apresenta 15 questões sobre áreas de figuras planas como polígonos regulares, triângulos, quadrados e círculos. As questões envolvem cálculo de áreas utilizando fórmulas como a de triângulos, trapézios, círculos e figuras compostas, além de raciocínios geométricos. O gabarito no final indica as alternativas corretas para cada uma das questões.
O documento apresenta um problema de geometria plana envolvendo malhas e suas propriedades. Em duas frases ou menos:
O texto discute as propriedades de malhas e suas malhas duals, apresentando um exemplo de malha constituída apenas por triângulos retângulos cuja malha dual é formada por quadrados e octógonos regulares. Ele também aborda problemas envolvendo seções de sólidos geométricos e propriedades de polígonos regulares.
Visite também nosso blog:www.aulasdematematicaapoio.blogspot.com
Exercícios Resolvidos - Peça também os seus.
Assista a essa vídeo aula em nosso site :www.centroapoio.com
Este documento apresenta 13 aulas sobre geometria plana ministradas pelo professor Lucas Octavio de Souza para alunos do 3o colegial. As aulas abordam conceitos básicos como pontos, retas, ângulos e triângulos, além de propriedades de figuras planas como quadriláteros, polígonos e círculos. Exercícios complementam cada aula para fixação dos conceitos.
1. 1
GEOMETRIA GRÁFICA – TIPO A
01. Na ilustração a seguir, temos um quadrado com diagonal medindo l, a circunferência circunscrita ao quadrado e quatro
semicircunferências com diâmetros iguais aos lados do quadrado.
Com base nesses dados, podemos afirmar que:
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
a medida da área do quadrado é igual a l .
a área somada das 4 lúnulas é igual à área da circunferência circunscrita ao quadrado.
a área somada das 4 lúnulas é igual à área do quadrado.
²
a medida da área de cada lúnula é de π l /8.
²
4-4) a medida da área de cada lúnula é de l /8.
²
GABARITO: FFVFV
JUSTIFICATIVAS:
Podemos calcular a medida da área formada pelas 4 lúnulas. Essa medida de área pode ser calculada pela soma da medida da área
do quadrado central de diâmetro e das medidas das 4 semicircunferências construídas sobre os lados do quadrado retirando a área
√
da circunferência de diâmetro l. O lado do quadrado de diâmetro l é
, sua área é . Assim, temos as áreas somadas das 4
lúnulas :
dando uma vez simplificado:
Sabendo que as áreas somadas das 4 lúnulas mede
. Podemos deduzir a área de uma lúnula :
, podemos deduzir que:
0-0) FALSA. l sendo a diagonal do quadrado,
√
1-1) FALSA. A área das 4 lúnulas somada é
quando a área da circunferência é
é o lado do quadrado e consequentemente
2-2) VERDADEIRA. A área somada das lúnulas, como a área do quadrado, é
sua área.
.
.
3-3) FALSA.
4-4) VERDADEIRA.Essa propriedade das lúnulas foi descoberta há muito tempo por Hipócrates de Chios (-500), que estudou a
duplicação do cubo e a quadratura da circunferência. Essas lúnulas são também chamadas de lúnulas de Hipócrates. Ele
pensava que a quadratura das lúnulas podia constituir um caminho para a quadratura da circunferência. Mostrar a
equivalência entre as áreas somadas das lúnulas e a área do quadrado central pode utilizar a propriedade de Pitágoras do
triângulo retângulo, sem passar pelas fórmulas e o número π.
TIPO A
2. 2
02. Considerando um cilindro de revolução de raio e altura medindo 6cm (1), uma semiesfera de raio 6cm (2), um cone de
revolução de raio na base e altura 6cm (3) e um sólido formado pela junção da base da semiesfera e do cone (4), podemos afirmar
que:
(1)
(2)
(3)
(4)
0-0) o cilindro e o sólido têm o mesmo volume.
1-1) o volume da semiesfera é 2/3 do volume do cilindro.
2-2) o volume do cone corresponde a um quarto do volume do cilindro.
3-3) a razão entre o volume do cilindro e o volume do cone é o número π.
4-4) o volume da semiesfera é o dobro do volume do cone.
GABARITO: VVFFV
JUSTIFICATIVA:
Podemos calcular o volume de cada sólido considerando que r=h, onde r é a medida do raio dos quatro sólidos de revolução, e h é
a medida da altura do cilindro como do cone. Assim, temos:
Cilindro:
dando:
.
Semiesfera:
Cone:
dando
dando
.
.
Sólido (4): semiesfera e cone juntos:
dando:
.
A partir desses valores, podemos deduzir que:
0-0) VERDADEIRA. O cilindro e o solido têm o mesmo volume:
.
1-1) VERDADEIRA. O volume da semiesfera é 2/3 do volume do cilindro.
2-2) FALSA. O volume do cone é o terço, é não o quarto, do volume do cilindro.
3-3) FALSA . A razão entre o volume do cilindro e o volume do cone é
4-4) VERDADEIRA. O volume da semiesfera é
e o volume do cone é
.
.
TIPO A
3. 3
03. Seja ABCDEF um hexágono regular inscrito em uma circunferência de centro O. Nesse contexto, é correto afirmar que:
0-0) o triângulo ABO é equilátero.
1-1) se o perímetro do hexágono ABCDEF mede 120 cm, então, o segmento EB mede 40 cm.
2-2) ABEF é um paralelogramo.
3-3) o ângulo ̂ mede 60°.
4-4) BCDE é um trapézio isósceles.
GABARITO: VVFFV
JUSTIFICATIVAS: Essas afirmações podem ser deduzidas das propriedades do hexágono
regular, particularmente do fato de que o ângulo formado por dois pontos consecutivos do
hexágono e o centro da circunferência circunscrita mede 60°. No caso da figura, a medida dos
ângulos ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ é 60°. Como os triângulos AOB, BOC, COD,
DOE, EOF e FOA são isósceles (AO, OB, OC, OD, OE e OF são raios da circunferência
circunscrita), podemos deduzir que os ângulos ̂ ̂ são iguais e medem 60°. Os triângulos
AOB, BOC, COD, DOE, EOF e FOA são equilaterais. Em consequência, podemos afirmar o que
segue.
0-0) VERDADEIRA. O triângulo ABO é equilátero.
1-1) VERDADEIRA. O perímetro do hexágono ABCDEF mede 6 raios da circunferência, e EB é
um diâmetro medindo 2 raios. EB mede o terço do perímetro do hexágono, ou seja, 40 cm.
2-2) FALSA. ABEF não é um paralelogramo, AB e EF não são paralelos.
3-3) FALSA. O ângulo ̂ é igual a ̂ ̂
°
̂
4-4) VERDADEIRA. ̂
, por serem ângulos alterno-internos das retas EB e DC, cortados pela reta OD, podemos
deduzir que EB e DC são paralelas. Por consequência, BCDE é um trapézio. Como BC e DE são lados do hexágono, BC=DE
e BCDE é um trapézio isósceles.
04. Considere um quadrilátero RSTU, satisfazendo RS = ST = TU = UR, como o exemplo ilustrado abaixo.
Considerando esses dados, podemos afirmar que:
0-0) SU é perpendicular a RT.
1-1) o ângulo ̂ mede 120°.
2-2) RSTU é um paralelogramo.
3-3) o triângulo RST é equilátero.
4-4) o quadrilátero RSTU tem quatro eixos de simetria.
TIPO A
4. 4
GABARITO: VFVFF
JUSTIFICATIVAS:
O quadrilátero RSTU, tendo seus lados congruentes, é um losango. Em consequência, podemos afirmar que:
0-0) VERDADEIRA. SU é perpendicular a RT; as diagonais de um losango são perpendiculares.
1-1) FALSA. No caso geral, não é uma propriedade do losango de ter um ângulo entre dois lados consecutivos medindo 120°, e
esse não é o caso do losango representado.
2-2) VERDADEIRA. Por ser um losango, RSTU é um paralelogramo.
3-3) FALSA. O triângulo RST é isósceles, mas não é equilátero.
4-4) FALSA. O quadrilátero RSTU tem somente dois eixos de simetria, que são as diagonais.
05. Sejam A e B dois pontos de uma circunferência de centro O, tais que O não pertence ao segmento AB. Sobre a tangente à
circunferência em A, marca-se um ponto T, de modo que T e O estejam em semiplanos opostos em relação à reta AB.
Com base nesses dados, podemos afirmar que:
0-0) o ângulo ̂ é reto.
1-1) a medida do ângulo ̂ é metade da medida do ângulo ̂ .
2-2) o triângulo AOB é isósceles.
3-3) o triângulo TAO é isósceles.
4-4) o triângulo TAO é retângulo.
GABARITO: FVVFV
JUSTIFICATIVAS:
0-0) FALSA. O ângulo ̂ não é reto.
̂ . O triângulo TAO é retângulo em A:
1-1) VERDADEIRA. O triângulo AOB é isósceles: ̂ ̂ e ̂
̂ ̂
̂)
̂.
(
. Dessas duas igualdades, podemos deduzir que ̂
2-2) VERDADEIRA. O triângulo AOB é isósceles, OA e OB são raios da circunferência e OA=OB.
3-3) FALSA. O triângulo TAO não é isósceles.
4-4) VERDADEIRA. O triângulo TAO é retângulo em A, a tangente AT à circunferência é perpendicular ao raio AO.
TIPO A
5. 5
06. Considere as duas figuras abaixo em que temos:
AD é um diâmetro de uma circunferência (c) de centro O.
B, C, E e F são pontos de (c), tal que BC=CD=DE=EF.
B', C', D', E' e F' são pontos alinhados, tais que B'C'=C'D'=D'E'=E'F' e A'D' e D'F' são perpendiculares.
Nesse contexto, podemos afirmar que:
0-0) os ângulos ̂ , ̂, ̂, ̂ são iguais.
1-1) os triângulos ABC, ACD, ADE e AEF têm a mesma área.
2-2) o ângulo ̂ é reto.
3-3) os triângulos A'B'C', A'C'D', A'D'E' e A'E'F' têm a mesma área.
4-4) os ângulos ̂ , ̂ , ̂ , ̂ são iguais.
GABARITO: VFVVF
JUSTIFICATIVAS:
0-0) VERDADEIRA. Os ângulos ̂ , ̂ , ̂ , ̂ são ângulos inscritos numa mesma circunferência e construídos de um
mesmo lado de cordas congruentes.
1-1) FALSA. Os triângulos ADC e ADE, por serem simétricos em relação com AD, têm uma mesma área. Pode-se dizer a mesma
coisa sobre os triângulos ABC e AEF. Entretanto, ABC e ACD têm áreas diferentes: eles têm o mesmo ângulo em A, mas os
lados adjacentes AB e AC desse ângulo para o triângulo ABC são menores que os lados AC e AD respectivamente
adjacentes ao ângulo A, no caso do triângulo ACD; então, a área de ABC é menor que a área de ACD.
2-2) VERDADEIRA. O ângulo ̂ é inscrito numa circunferência de diâmetro AD.
3-3) VERDADEIRA. Os triângulos A'B'C', A'C'D', A'D'E' e A'E'F' têm a mesma área, têm uma mesma altura: A'D' e bases
correspondentes congruentes.
4-4) FALSA. Os ângulos ̂ e ̂ são iguais por serem simétricos em relação com A'D'. Pode-se dizer a mesma coisa sobre
os ângulos ̂ e ̂ . Entretanto, ̂ e ̂ são diferentes: construindo a circunferência de diâmetro A'C', ela
passa por D' (o triângulo A'B'C' é retângulo em D') e encontra A'B' no pê H da perpendicular a A'B' passando por C'. Como
C'H sendo menor que B'C', os ângulos ̂ e ̂ são diferentes por serem inscritos numa mesma circunferência e sobre
cordas não congruentes.
TIPO A
6. 6
07. Considerando um triângulo ABC, I e J dois pontos do lado AB, tais que AI=IJ=JB; K, o ponto médio de AC; e D, o ponto de
interseção das retas IK e BC,
podemos afirmar que:
0-0) a medida de IK é o quarto da medida de ID.
1-1) a área do triângulo AIK é o terço da área do triângulo AJC.
2-2) o ponto C é ponto médio de BD.
3-3) o quadrilátero IJCK e o triângulo CDK têm a mesma área.
4-4) os triângulos ABC e BDI têm a mesma área.
GABARITO: VFVVF
JUSTIFICATIVAS:
Observando que I é ponto médio de AJ e sabendo que K é ponto médio de
AC, pela propriedade de Tales, podemos deduzir que IK, ID e JC são
paralelos e que JC=2IK. Considerando o ponto L de KD tal que BJC e CLD
sejam congruentes, e o ponto M de JC tal que AIK e KMC sejam
congruentes, observamos que AIK, IJM, MKI e KMC são congruentes. Do
ponto de vista das áreas, temos: Área(AJC)=4.Area(AIK), Área(IJCK)=3.
Área(AIK), Área(CDK)= Área(AIK)+Área(BCJ). Observando que os
triângulos BCJ e ACJ têm a mesma altura em C, e a base AJ correspondente
de ACJ é o dobro da base BJ correspondente de BCJ, temos
Área(ACJ)=2.Area(BCJ) e Área(BCJ)=2.Área(AIK).
A partir desses dados, podemos afirmar que:
0-0) VERDADEIRA. Temos que IK, ID e JC são paralelos e que JC=2IK.
De J é ponto médio de BI, e ID e JC são paralelos, podemos deduzir que C é ponto médio de BD e ID=2JC. De JC=2IK e
ID=2JC, podemos deduzir que ID=4IK.
1-1) FALSA. AIK e AJC são semelhantes. Os lados de AIK medem a metade dos lados correspondentes de AJC; então, a área de
AIK é o quarto da área de AJC.
2-2) VERDADEIRA. A justificativa encontra-se no ponto 0-0): no triângulo BID, ID é paralelo a IJ, e J é ponto médio de BI;
então, C é ponto médio de BD.
3-3) VERDADEIRA. Como Área(CDK)= Área(AIK)+Área(BCJ) e Área(BCJ)=2.Área(AIK), Área(CDK)=3.Área(AIK). De
Área(IJCK)=3.Área(AIK), podemos deduzir que Área(IJCK)= Área(CDK).
4-4) FALSA. Área(ABC)=6.Área(AIK) e Área(BDI)=8.Área(AIK).
TIPO A
7. 7
08. Considere os dois triângulos A e B, representados numa malha pontilhada, conforme a figura abaixo.
Podemos afirmar que:
0-0) existe uma homotetia de razão 1/2 que transforma ABC em A'B'C'.
1-1) a área do triângulo A'B'C' é a metade da área do triângulo ABC.
2-2) existe uma homotetia que transforma ABC em A"B"C".
3-3) existe uma homotetia de razão 1 que transforma A'B'C' em A"B"C".
4-4) as retas AA', BB' e CC' são concorrentes.
GABARITO: VFVFV
JUSTIFICATIVAS:
0-0) VERDADEIRA. ABC e A'B'C' são semelhantes, AB//A'B', AC//A'C' e BC//B'C' e AB=2.A'B', AC=2.A'C' e BC=2.B'C'.
Existe uma homotetia de razão 1/2 que transforma ABC em A'B'C'.
1-1) FALSA. A razão da homotetia entre ABC e A'B'C' sendo 1/2, a área do triângulo A'B'C' é o quarto da área do triângulo ABC.
2-2) VERDADEIRA. ABC e A"B"C" são semelhantes, AB//A"B", AC//A"C" e BC//B"C" e AB=2.A"B", AC=2.A"C" e
BC=2.B"C". Existe uma homotetia que transforma ABC em A"B"C".
3-3) FALSA. Existe uma homotetia que transforma A'B'C' em A"B"C", mas a razão dessa homotetia é -1.
4-4) VERDADEIRA. As retas AA', BB' e CC' são concorrentes e se encontram no centro da homotetia que transforma ABC em
A'B'C'.
9. A figura abaixo está representada em isometria, considerando que os pontos A e D estão à mesma distância do plano horizontal.
Analise a veracidade das afirmações seguintes:
A
D
B
C
G
E
F
0-0) As arestas AB e CD não são paralelas entre si.
1-1) As arestas AB e CD são oblíquas ao plano horizontal.
2-2) A soma dos ângulos internos da face CDEF é igual a 360°.
3-3) A face ABC é paralela ao plano horizontal.
4-4) As retas que dão suporte às arestas BC e GF são concorrentes entre si.
TIPO A
8. 8
GABARITO: VFVFV
JUSTIFICATIVAS:
0-0) VERDADEIRA. Como foi dito no enunciado da questão, os pontos A e D estão à mesma distância do plano horizontal; já os
pontos B e C possuem distâncias visivelmente diferentes até o referido plano. Dessa forma, os segmentos AB e CD não
podem ser paralelos entre si.
1-1) FALSA. A aresta AB é oblíqua ao plano horizontal, porém a aresta CD é paralela a esse plano.
2-2) VERDADEIRA. Apesar de parecer que, na isometria, os ângulos internos são diferentes de 90°, em verdadeira grandeza eles
possuem 90° cada, somando, portanto, 360°.
3-3) FALSA. Os pontos A e C estão à mesma distância do plano horizontal; já o ponto B está a uma distância diferente desse
plano. Dessa forma, a face não pode ser paralela ao plano horizontal.
4-4) VERDADEIRA. A aresta GF é paralela ao plano horizontal; já a aresta BC concorre com tal plano. Nessa condição, elas são
concorrentes entre si.
10. Um porta-guardanapos tem na figura abaixo sua representação em cavaleira. Quais, entre as demais figuras, podem ser vistas
ortogonais desse mesmo objeto?
K=1
A
B
D
C
E
0-0) A figura A corresponde a uma vista ortogonal da peça dada.
1-1) A figura B corresponde a uma vista ortogonal da peça dada.
2-2) A figura C corresponde a uma vista ortogonal da peça dada.
3-3) A figura D corresponde a uma vista ortogonal da peça dada.
4-4) A figura E corresponde a uma vista ortogonal da peça dada.
GABARITO: VFFVF
JUSTIFICATIVAS:
0-0) VERDADEIRA. A figura A corresponde à VISTA SUPERIOR.
3-3) VERDADEIRA. A figura D corresponde à VISTA LATERAL ESQUERDA
TIPO A
9. 9
11. A figura abaixo está representada em cavaleira, os pontos E e F estão à mesma altura da base da peça, e sua base possui a
forma de um retângulo.
A
B
F
E
Com base nesses dados, analise as afirmações abaixo.
0-0) Um plano de seção paralelo à base passando acima do segmento EF pode ter como resultado dois quadriláteros.
1-1) Um plano de seção paralelo à base passando pelo segmento EF pode gerar um trapézio.
2-2) A seção resultante de um plano de seção paralelo à base que contém os pontos E e F tem a forma de um quadrilátero.
3-3) A seção resultante de um plano vertical que passa pelos pontos E e F tem a forma de um trapézio retângulo.
4-4) Um plano de seção paralelo à base, passando abaixo do segmento EF, tem a forma de um quadrilátero.
GABARITO: VFVFV
JUSTIFICATIVAS:
0-0) VERDADEIRA. A seção gerada por tal plano terá a forma de dois quadriláteros porque tanto do ponto A quanto do ponto B
partem quatro arestas. Quando o plano de seção passa por tais arestas, ele as secciona em quatro pontos, os quais são os
vértices dos dois quadriláteros.
1-1) FALSA. O plano de seção paralelo à base que passa pelo segmento EF, apesar de seccionar quatro das faces da peça, não
resulta em um trapézio, mas, sim, em um retângulo, uma vez que os lados opostos são paralelos entre si.
2-2) VERDADEIRA. A seção resultante seria um quadrilátero, uma vez que, na posição descrita, o plano de seção corta somente
quatro das faces da peça.
3-3) FALSA. A seção resultante seria um pentágono irregular, uma vez que tal plano corta as quatro faces da peça, bem como
passa pelo segmento EF.
4-4) VERDADEIRA. Qualquer plano paralelo à base que passe abaixo de EF só poderá cortar quatro das faces da peça; assim o
resultado da seção só poderá ser um quadrilátero.
TIPO A
10. 10
12. Dada a peça abaixo, representada em isometria, qual ou quais figuras numeradas de I a III corresponde(m) a uma rotação da
peça dada?
(I)
( III )
( II )
0-0) apenas I e III correspondem à uma rotação da peça dada.
1-1) apenas I corresponde à uma rotação da peça dada.
2-2) apenas II corresponde à uma rotação da peça dada.
3-3) apenas III corresponde à uma rotação da peça dada.
4-4) apenas II e III correspondem à uma rotação da peça dada.
GABARITO: VFFFF
JUSTIFICATIVAS:
0-0) VERDADEIRA. Apenas as figuras I e III correspondem à peça dada.
1-1) FALSA. Não apenas a figura I corresponde à peça em questão.
2-2) FALSA. A figura representada em II não corresponde à peça dada.
3-3) FALSA. Não apenas a figura III corresponde à peça dada.
4-4) FALSA. A figura II não corresponde à peça dada.
TIPO A
11. 11
13. Dada a peça abaixo representada em isometria, indique quais das figuras correspondem ao complemento volumétrico que, se
encaixadas na peça dada, formariam um cubo.
A
B
C
D
0-0) A e B correspondem ao complemento volumétrico da peça dada.
1-1) A, B e C correspondem ao complemento volumétrico da peça dada.
2-2) A, B e D correspondem ao complemento volumétrico da peça dada.
3-3) B, C e D correspondem ao complemento volumétrico da peça dada.
4-4) A, C e D correspondem ao complemento volumétrico da peça dada.
GABARITO: FFFFV
JUSTIFICATIVAS:
0-0) FALSA. A peça A corresponde ao complemento volumétrico da peça dada; no entanto, a peça B não corresponde ao
complemento volumétrico da peça dada.
1-1) FALSA. As peças A e C correspondem ao complemento volumétrico da peça dada; no entanto, a peça B não corresponde.
2-2) FALSA. As peças A e D correspondem ao complemento volumétrico da peça dada; no entanto, a peça B não corresponde.
3-3) FALSA. As peças C e D correspondem ao complemento volumétrico da peça dada; no entanto, a peça B não corresponde.
4-4) VERDADEIRA. As peças A, C e D correspondem ao complemento volumétrico da peça dada.
TIPO A
12. 12
14. Seja um triângulo ABC, um ponto D sobre AB e um ponto E sobre AC, tais que:
medida do ângulo ̂ é de 30º.
DB=DC e ED=EC.
DE e BC são paralelas.
Qual é a medida, em graus, do ângulo ̂ ?
RESPOSTA: 50°
JUSTIFICATIVA:
Se DB=DC, o triângulo DBC é isósceles e temos: ̂ ̂ ̂ (D é um ponto de AB).
̂
̂ (D é um ponto de CA).
Se ED=EC, o triângulo EDC é isósceles e temos: ̂
̂ ̂ (propriedade dos ângulos alterno-internos).
Se (DE) e (BC) são paralelas, temos:
Assim, podemos deduzir que ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ .
A soma dos ângulos do triângulo ABC sendo igual a 180°, temos ̂ ̂ ̂ ̂
. Pela igualdade dos ângulos
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ , temos ̂
̂
̂
. De ̂
, podemos deduzir que
̂
,e
.
15. Considere a figura abaixo, na qual (C) é uma circunferência, T é um ponto da circunferência, e A é um ponto tal que AT é
tangente a (C) em T e AT=6cm. Calcule APxAM, em cm2.
RESPOSTA: 36cm²
JUSTIFICATIVA:
Para quem conhece a propriedade da potência de um ponto em relação a uma circunferência, temos APxAM=AT² para qualquer
par de ponto (P, M) da circunferência alinhados com A e onde T é um ponto de tangência da tangente à circunferência passando
por A. Então, temos APxAM=AT²=6x6=36cm².
Para quem não conhece essa propriedade. Considerando r o raio da circunferência (C), podemos observar que: APxAM=(AOr)x(AO+r)=AO²-r². Considerando o triângulo ATO, esse triângulo é retângulo em T (AT é tangente a (C) em T, então AT e TO
são perpendiculares) e pela propriedade de Pitágoras, AO²=AT²+r²=36+r². Então, APxAM=AO²-r²=36+r²-r²=36cm².
TIPO A
13. 13
16. A figura abaixo representa um paralelogramo ABCD. Temos AD=10cm, AB=12cm. A reta DH é mediatriz do segmento AB
que encontra AB em H. Calcule a área do paralelogramo ABCD em cm 2.
RESPOSTA: 96cm²
JUSTIFICATIVA:
A área do paralelogramo é dada pelo produto da medida de um lado pela altura correspondente. No caso, a área do paralelogramo
ABCD é dada por ABxHD. AB é conhecida: 12cm, precisamos determinar HD. AHD sendo um triângulo retângulo em H, temos,
segundo a propriedade de Pitágoras, AH²+HD²=AD² onde AH=6cm (H é ponto médio de AB) e AD=10cm. Ou seja, 6²+HD²=10²
HD²=64=8². Temos HD=8cm, deduzindo a área do paralelogramo; 8x12=96cm².
TIPO A