Medição ou mensuração é o processo de determinar experimentalmente um valor de grandeza numérica para uma característica que possa ser atribuída a um objeto ou evento, no contexto de um quadro ou referência que permita fazer comparações com outros objetos ou eventos.

1. INTRODUÇÃO AO
ESTUDO DE
ESTUDO DE
INCERTEZA NA
MEDIÇÃO

2. INCERTEZA
Todos os resultados de medição estão afetados por erros que devem ser
tratados convenientemente. Considerando que os erros não podem ser
perfeitamente conhecidos, podemos afirmar que os resultados estão
afetados por uma dúvida (incerteza).
Mesmo sabendo que o resultado da medição não é perfeito, é possível
obter informações confiáveis, desde que o resultado da medição venha
acompanhado da respectiva incerteza.
acompanhado da respectiva incerteza.
Rm = (20,00 ± 0,05)
O resultado exato não é conhecido, porém podemos
afirmar com 95% de probabilidade que se encontra no
intervalo de 19,95 mm até 20,05mm.

3. INCERTEZA
A palavra “incerteza” significa dúvida. De forma
geral “incerteza de medição” significa a dúvida
sobre o resultado da medição. Formalmente, define-se
incerteza como sendo um parâmetro associado ao
resultado de uma medição, que caracteriza a
dispersão dos valores fundamentalmente atribuídos
dispersão dos valores fundamentalmente atribuídos
ao mensurando.

4. INCERTEZA
 Especificação do mensurando
 Identificação das fontes de incerteza
 Quantificação dos componentes
 Cálculo da incerteza combinada
 Cálculo da incerteza expandida
 Análise das contribuições

5. BASES DO CÁLCULO DE INCERTEZAS
 A média dos valores medidos representa o valor
mais provável;
 Os resultados em condições de repetitividade
apresentam uma distribuição normal.
apresentam uma distribuição normal.

6. DISTRIBUIÇÃO NORMAL

7. CURVA NORMAL
pontos de inflexão
  média
  desvio padrão

  assíntota
assíntota

8. EFEITO DO DESVIO PADRÃO
 >  > 
 >  > 


9. INCERTEZA PADRÃO (U)
 medida da intensidade da componente aleatória do erro
de medição.
 corresponde à estimativa do desvio padrão da
distribuição dos erros de medição.

10. ÁREA SOBRE A CURVA NORMAL
2 2
95,45%


11. ESTIMATIVA DA REPETITIVIDADE
(PARA 95,45 % DE PROBABILDIADE)
A repetitividade define a faixa dentro da qual,
para uma dada probabilidade, o erro aleatório é
esperado.
Para amostras infinitas:
Re = 2 . 
Para amostras finitas:
Re = t . u
Sendo “t” o coeficiente de Student para  = n - 1
graus de liberdade.

12. EXEMPLO DE ESTIMATIVA DA
REPETITIVIDADE
(1000,00 ± 0,01) g
1014 g
1012 g
1015 g
1015 g
1017 g
1
12
)
1015
(
u
12
1
2





i
i
I
1014
g
0 g
1014 g
1
1
1015 g
1018 g
1014 g
1015 g
1016 g
1013 g
1016 g
1015 g
1
12 
média: 1015 g
u = 1,65 g
 = 12 - 1 = 11
t = 2,255
Re = 2,255 . 1,65
Re = 3,72 g

13. EXEMPLO DE ESTIMATIVA DA
REPETITIVIDADE
+3,72
-3,72 1015
1015 1020
1010

14. EFEITOS DA MÉDIA DE MEDIÇÕES
REPETIDAS SOBRE O ERRO DE MEDIÇÃO
 Efeito sobre os erros sistemáticos:
 Como o erro sistemático já é o erro médio, nenhum
efeito é observado.

15. EFEITOS DA MÉDIA DE MEDIÇÕES
REPETIDAS SOBRE O ERRO DE MEDIÇÃO
 Efeitos sobre os erros aleatórios
 A média reduz a intensidade dos erros aleatórios, a
repetitividade e a incerteza padrão na seguinte
proporção:
n
Re
Re I
I

n
u
u I
I

sendo:
n o número de medições utilizadas para calcular a média

16. 3.6
Curva de erros e erro
máximo

17. CURVA DE ERROS
erro
Td
Td + Re
Td - Re
Emáx
indicação
1015
15
- Emáx

18. ALGUMAS DEFINIÇÕES
 Curva de erros:
 É o gráfico que representa a distribuição dos erros
sistemáticos e aleatórios ao longo da faixa de
medição.
 Erro máximo:
 Erro máximo:
 É o maior valor em módulo do erro que pode ser
cometido pelo sistema de medição nas condições em
que foi avaliado.

19. 3.7
Representação gráfica
Representação gráfica
dos erros de medição

20. SISTEMA DE MEDIÇÃO “PERFEITO”
(INDICAÇÃO = VV)
1000 1020 1040
960 980
indicação
1000 1020 1040
960 980
mensurando

21. SISTEMA DE MEDIÇÃO COM ERRO
SISTEMÁTICO APENAS
1000 1020 1040
960 980
indicação
1000 1020 1040
960 980
mensurando
+Es

22. SISTEMA DE MEDIÇÃO COM ERROS
ALEATÓRIOS APENAS
1000 1020 1040
960 980
indicação
Re
1000 1020 1040
960 980
mensurando

23. INCERTEZAS COMBINADAS
 A repetitividade combinada corresponde à
contribuição resultante de todas as fontes de
erros aleatórios que agem simultaneamente no
processo de medição.
 A correção combinada compensa os erros
 A correção combinada compensa os erros
sistemáticos de todas as fontes de erros
sistemáticos que agem simultaneamente no
processo de medição.

24. TRÊS CASOS
Caso
1
Caso
2
Caso
3
Número de medições repetidas:
Compensa erros sistemáticos:
n=1
sim
n>1
sim
n ≥ 1
não

25. CASO 1
Mensurando invariável
n = 1
n = 1
Corrigindo erros sistemáticos

26. Caso 1
indicação
sistema de
medição
mensurando
RB
+ C
± Re

27. Caso 1
indicação
+ C
+ Re
- Re
RM = I + C ± Re

28. 1
1
(1000,00 ± 0,01) g
Caso 1 - Exemplo
RM = I + C ± Re
1014
g
0 g
1014 g
Re = 3,72 g
C = -15,0 g
RM = 1014 + (-15,0) ± 3,72
RM = 999,0 ± 3,72
RM = (999,0 ± 3,7) g

29. CASO 2
Mensurando invariável
n > 1
n > 1
Corrigindo erros
sistemáticos

30. Caso 2
Indicação média
sistema de
medição
mensurando
RB
+ C
± Re/√n

31. indicação média
+ C
Caso 2
+ Re/n
- Re /n
RM = I + C ± Re /n

32. Caso 2 - Exemplo
RM = 1015 -15,0 ± 3,72 /12
1
1
(1000,00 ± 0,01) g
1
1
(1000,00 ± 0,01) g
1
1
(1000,00 ± 0,01) g
1014 g
1012 g
1015 g
1015 g
1017 g RM = I + C ± Re/n
Re = 3,72 g
C = -15,0 g
RM = 1000,0 ± 1,07
RM = (1000,0 ± 1,1) g
1014
g
0 g
1014 g
1
11
11
1 1015 g
1018 g
1014 g
1015 g
1016 g
1013 g
1016 g
1015 g
1015 g
1017 g
I = 1015 g

33. CASO 3
Mensurando invariável
n ≥ 1
Não corrigindo erros sistemáticos

34. Caso 3 - Erro máximo conhecido -
mensurando invariável
indicação ou média
sistema de
medição
mensurando
RB
- Emáx + Emáx

35. Indicação ou média
Caso 3 - Erro máximo conhecido -
mensurando invariável
+ Emáx
- Emáx
RM = I ± Emáx

36. 1
1
(1000,00 ± 0,01) g
Caso 3 - Exemplo
RM = I ± Emáx
1014
g
0 g
1014 g
Emáx = 18 g
RM = 1014 ± 18
RM = (1014 ± 18) g

37. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS TRÊS
RESULTADOS
RM = (999,0 ± 3,7) g
RM = (1000,0 ± 1,1) g
1000 1020 1040
960 980
mensurando [g]
RM = (1000,0 ± 1,1) g
RM = (1014 ± 18) g

38. 6.5
A Grafia Correta do Resultado da Medição

39. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS (AS)
 Exemplos:
 12
 1,2
 0,012
0,000012
tem dois AS
tem dois AS
tem dois AS
 0,000012
 0,01200
 Número de AS:
 conta-se da esquerda para a direita a partir do primeiro
algarismo não nulo
tem dois AS
tem dois AS
tem quatro AS

40. Regras de Grafia
• Regra 1:
– A incerteza da medição é escrita com até
dois algarismos significativos.
dois algarismos significativos.
• Regra 2:
– O resultado base é escrito com o mesmo
número de casas decimais com que é
escrita a incerteza da medição.

41. A grafia do resultado da
medição
Exemplo 1:
RM = (319,213 ± 11,4) mm
RM = (319,213 ± 11) mm
REGRA 1
RM = (319 ± 11) mm
REGRA 2

42. A grafia do resultado da
medição
Exemplo 2:
RM = (18,4217423 ± 0,04280437) mm
RM = (18,4217423 ± 0,043) mm
REGRA 1
RM = (18,422 ± 0,043) mm
REGRA 2

43. 6.6
O resultado da medição de um
mensurando variável quando a
incerteza e correção combinadas
são conhecidas
incerteza e correção combinadas
são conhecidas

44. QUAL A ALTURA DO MURO?
h
h2
h3
h4
h5
h6
h7
h8
h
h10
h11
h12 h13
h14
h = média entre h7 a h14?
h1
c/2 c/2
h9
h10
Qual seria uma resposta honesta?

45. Respostas honestas:
Varia.
h
h2
Varia entre um mínimo de h1 e um máximo de h2.
Faixa
de
variação
h1
A faixa de variação de um mensurando variável
deve fazer parte do resultado da medição.
Faixa
de
variação

46. MEDIÇÃO DE MENSURANDO VARIÁVEL
 Deve sempre ser medido muitas vezes, em locais
e/ou momentos distintos, para que aumentem as
chances de que toda a sua faixa de variação seja
varrida.

47. CASO 4
Mensurando variável
n > 1
Corrigindo erros
sistemáticos

48. Caso 4
sistema de
medição
faixa de variação das
indicações
mensurando
RB
± t . u
+ C

49. Caso 4
indicação média
+ C
+ t . u
- t . u
u = incerteza padrão
determinada a partir
das várias indicações
RM = I + C ± t . u

50. CASO 4 - EXEMPLO
TEMPERATURA NO REFRIGERADOR
A
As temperaturas foram medidas
durante duas horas, uma vez por
minuto, por cada sensor.
A
B
C
D
C = - 0,80°C
Dos 480 pontos medidos, foi calculada
a média e incerteza padrão:
u = 1,90°C
Da curva de calibração dos sensores
determina-se a correção a ser aplicada:
I = 5,82°C

51. Caso 4 - Exemplo
Temperatura no refrigerador
RM = I + C ± t . u
RM = 5,82 + (-0,80) ± 2,00 . 1,90
RM = 5,02 ± 3,80
RM = (5,0 ± 3,8)°C
4 6 8
0 2

52. CASO 5
Mensurando variável
n > 1
Não corrigindo erros
sistemáticos

53. Caso 5
sistema de
medição
faixa de variação das
indicações
± t . u
mensurando
RB
- Emáx + Emáx

54. indicação média
+ Emáx
- Emáx
Caso 5 - Erro máximo conhecido e
mensurando variável
+ t . u
- t . u
RM = I ± (Emáx + t . u)

55. Caso 5 - Exemplo
Velocidade do vento
A velocidade do vento foi
medida durante 10 minutos
uma vez a cada 10 segundos.
Dos 60 pontos medidos, foi
Emáx = 0,20 m/s
Dos 60 pontos medidos, foi
calculada a média e a
incerteza padrão:
u = 1,9 m/s
I = 15,8 m/s

56. RM = I ± (Emáx + t . u)
RM = 15,8 ± (0,2 + 2,0*1,9)
Caso 5 - Exemplo
Velocidade do vento
RM = (15,8 ± 4,0) m/s
15 17 19
11 13

57. INCERTEZA TIPO A: BASEADA EM
PARÂMETROS ESTATÍSTICOS
Ocorrem principalmente devido a erros aleatórios
dos instrumentos.
É calculada para a base de confiança de 95,4 %
pois para obter um nível de confiança de 100%
seria necessário infinitas medições.
seria necessário infinitas medições.

58. Método de avaliação da incerteza por outros meios
que não análise estatística de uma série de
observações.
 Resolução do instrumento;
 Dados técnicos de fabricantes;
Especificações dos padrões;
Avaliação da Incerteza Padrão Tipo B
 Especificações dos padrões;
 Certificados de calibração
 Estimativas baseadas em experiências.

59. O erro corresponde a ½ resolução
ou 0,5 mm

60. INCERTEZA DO PADRÃO
A incerteza extraída de um certificado de é a
incerteza combinada e deverá ser convertida em
incerteza padrão dividindo-se pelo fato K.

61. INCERTEZA PADRÃO COMBINADA
Combinação de diversa fontes de incerteza. É
obtida pela raiz quadrada positiva uma soma de
termos.
(Uc)

62. INCERTEZA EXPANDIDA (U)
 A incerteza combinada reflete a influência da
ação combinada das várias fontes de erro Uc,
com uma probabilidade de 68% obedecendo uma
distribuição Normal.
 Como na engenharia trabalha-se com níveis de
confiança de 95%, a incerteza combinada deve
confiança de 95%, a incerteza combinada deve
ser multiplicada por um “fator de abrangência”,
determinando-se assim a incerteza expandida.
;
);
(
%
95
;
%
95
exp
.
95
95
95
95
combinada
incerteza
u
student
t
ão
distribuiç
tabelas
de
obtido
para
a
abrangênci
de
fator
k
a
abrangênci
de
para
andida
incerteza
U
u
k
U
c
c


