Este relatório descreve um experimento realizado por dois alunos para determinar a constante elástica de uma mola usando métodos estático e dinâmico. O método estático envolveu aplicar pesos diferentes na mola e medir a deformação, enquanto o método dinâmico mediu o período de oscilação da mola sob diferentes pesos. Os resultados dos dois métodos foram usados para calcular a constante elástica da mola.

1. Relatório 3: Sistema massa-mola
Relatório elaborado pelos alunos Danilo Rodrigues Vieira e Luís Fabiano Baldasso em 2006 como parte da
disciplina FEP 0111 – Física I, ministrada no Instituto de Física da Universidade de São Paulo.
1. Introdução
Este relatório apresenta a descrição de um experimento sobre o Sistema Massa-Mola realizado por dois
alunos da disciplina FEP0111 - Física 1 no dia 11 de outubro de 2006, sob supervisão do professor Gustavo
do Instituto de Física da Universidade de São Paulo.
2. Objetivo
O experimento teve como objetivo determinar a constante elástica de uma mola (constante de Hooke)
estaticamente e dinamicamente utilizando instrumentos e montagem simples.
3. Introdução Teórica
Antes de mais nada vamos introduzir fatos históricos e definições para que a compreensão do experimento
fique clara.
Quando escrevemos que iremos determinar a constante de Hooke de uma mola cometemos um erro, na
realidade determinaremos a constante de Young característica de cada mola.
…Robert Hooke (1635–1703) descobriu em 1676 a lei fundamental que existe entre a força e a distorção
resultante num corpo elástico. Ele resumiu os resultados de suas experiências na forma de uma lei. “Ut
tensio sic vis”, a qual, traduzida livremente, significa que “uma mudança de forma é proporcional à força
deformadora”.
Muitos anos depois, Thomas Young (1733–1829) deu á lei de Hooke uma formulação mais precisa, ao
introduzir conceitos físicos definidos a serem associados com “uma mudança de forma” e “força
deformadora”.
Quando uma tensão (forças resultante na deformação de um sólido) é provocada no interior de um sólido
pela aplicação de forças externas, uma variação física é produzida.
Estas distorções relativas são chamadas deformações e podem ser de três tipos:
1. Mudança no tamanho do corpo, mantendo a mesma forma.
2. Mudança na forma mantendo o mesmo volume.
3. Mudança de comprimento.
A lei de Hooke pode agora ser enunciada da seguinte forma:
[ frac{text{tensão}}{text{deformação}} = text{constante} = text{Módulo de elasticidade} ]
nome este introduzido por Thomas Young.

2. A constante é chamada de módulo volumétrico (K) se a tensão corresponde a 1; Módulo de rigidez ou
cisalhamento (n) se a tensão é do tipo 2; e Módulo de Young (Y) se a tensão é de distensão ou compressão
que corresponde a 3. (Ference,M. - Curso de Física: Mecânica, 1968, p236–237)
Consideremos agora o estiramento de um fio por uma força F. A tensão corresponde a Força/unidade de
área da secção reta. A deformação do tamanho original (l0) pode ser escrito como:
[ text{deformação} = frac{l-l_0}{l_0} ] (3.1)
O módulo de Young (Y) é definido como: Y = tensão / deformação longitudinal ou
[ Y=frac{F times l_0}{A times Delta l} ] (3.2)
Ou seja, a variação entre força e deformação é linear.
…A melhor aproximação do caso de elasticidade perfeita na qual a lei de Hooke vale para limites muito
amplos de tensões é obtida quando um fio, de aço ou bronze fosforoso é enrolado na forma de uma hélice,
fazendo uma espiral ou uma mola helicoidal. (Ference, M. - Curso de Física: Mecânica, 1968, p246).
Desta forma podemos estabelecer a constante de Young estaticamente através da primeira parte deste
experimento.
Outra maneira de estabelecer a constante de Young, só que desta vez dinamicamente, é utilizando o
principio da conservação de energia em um oscilador harmônico simples.
Um oscilador harmônico simples consiste de uma massa M ligada a uma mola sem massa de constante
elástica Y.
…Provocando um desequilíbrio neste sistema em equilíbrio, obtemos a oscilação harmônica amortecida do
sistema devido a presença de atrito com o ar (Kittel.C., Curso de Física de Berkeley: Mecânica - vol. 1,
p201).
Porém em pequenas oscilações e variando os pesos obtemos um período que não varia e revela a constante
de Young (Y).
…O desvio do ponto de equilíbrio vezes a constante de Young (Y) é igual a força restauradora do
movimento. Isto identifica, em termos do sistema, uma idéia particularmente simples, a dois conceitos
essenciais para o estabelecimento do movimento oscilatório:
1. Um componente inercial, capaz de carregar energia cinética.
2. Uma componente elástica, capaz de armazenar energia potencial.
(French. A. P., The M.I.T. introductory physics series: Vibrations and Waves, 1970, p42)
Desenvolvendo esta relação, chegamos à conclusão de que o período varia da seguinte forma em relação à
força e a constante de Young(Y)
[ T = 2pi sqrt{frac{m}{Y}} ] (3.3)
Em que: T = período, M = massa pendurada, Y = constante Young.
Desta maneira ficam resumidamente introduzidos os conceitos que fundamentam este experimento.

3. 4. Descrição Experimental
4.1 Determinação da constante elástica estaticamente
Material utilizado:
 1 haste de apoio
 1 balança que registra décimos de grama
 1 régua dividida em milímetros
 10 pesos distintos
 1 suporte para pesos
 1 mola de aço
Procedimento:
Montou-se o equipamento de forma que a régua e a mola estivessem uma ao lado da outra e ambas fixas à
haste, conforme ilustra a Figura 4.1.1. Havia também um pequeno suporte para os pesos fixo à extremidade
inferior da mola (como ilustra a Figura 4.1.2).
Figura 4.1.1: Montagem do experimento. 1: Mola; 2: Régua; 3: Haste de apoio.
Após a montagem, um peso foi posicionado sobre o suporte de forma a deformar a mola. A deformação foi
medida utilizando-se a régua (calculando-se a diferença entre a altura na qual se encontrava o suporte
inicialmente e a altura na qual o suporte estava após a adição do peso) e então anotada. Repetiu-se isto para
os demais pesos e os valores obtidos foram então dispostos num gráfico (Figura 5.1) e a partir deste gráfico
calculou-se a constante elástica da mola, como está detalhado na seção 5.1.
Figura 4.1.2: Detalhe do experimento.
4.2 Determinação da constante elástica dinamicamente

4. Material utilizado:
 1 haste de apoio
 1 balança que registra décimos de grama
 1 régua dividida em milímetros
 5 pesos distintos
 1 cronômetro
 1 suporte para pesos
 1 mola de aço
Procedimento:
Montou-se o equipamento de forma que a régua e a mola estivessem uma ao lado da outra e ambas fixas à
haste, conforme ilustra a Figura 4.1.1. Havia também um pequeno suporte para os pesos fixo à extremidade
inferior da mola.
Após a montagem, um peso foi colocado sobre o suporte. Então, o suporte era puxado para baixo e solto,
para que este oscilasse verticalmente. Aproximadamente no mesmo instante em que o suporte era solto, o
cronômetro era ativado. Contava-se 10 oscilações e então o cronômetro era desativado e o intervalo de
tempo exibido no cronômetro era anotado como sendo o período de 10 oscilações correspondente ao peso
colocado. Repetiu-se isto para os demais pesos e então os valores obtidos foram dispostos em um gráfico
(Figura 5.2) e, a partir de uma análise gráfica, seria obtido o valor da constante elástica da mola (a
apresentação dos cálculos encontra-se na seção 5.2).
5. Resultados
Método Estático
Foi determinada primeiramente a constante elástica de maneira estática, conforme a seção anterior. Para
garantir confiabilidade nos resultados fizemos dez medidas com pesos diferentes. Um operador substituía os
pesos enquanto o outro operador observava o alongamento da mola e anotava-o.
Tabela 5.1: Dados obtidos na determinação da constante estaticamente, a força peso foi obtida multiplicando-se a massa pelo
valor da aceleração gravitacional local (9,7864 m/s2).
Massa (10−3kg)
(± 0,1 × 10−3kg)
Força peso (N)
(± 0,1 × 10−2N)
Deslocamento (10−2)
(± 0,05 × 10−2m)
20,0 0,196 5,80
25,9 0,253 7,10
26,2 0,256 7,20
32,0 0,313 8,10
36,0 0,352 8,80
43,3 0,424 10,00
49,2 0,481 11,10
55,4 0,542 12,10
57,0 0,558 12,30
70,1 0,686 14,70

5. Figura 5.1: Correlação entre Força e Deslocamento (deformação da mola)
Software MINITAB INC (2000). MINITAB Statistical Software release 14
Pela análise do gráfico, vimos que para um incremento de 1N na força peso, haverá um incremento no
comprimento da mola correspondente a 0,1768m. Substituindo-se estes valores na equação F = k × x,
obtemos:
begin{aligned} F &= ktimes x (1,000 pm 0,001) &= k times (0,1768 pm 0,0005) k &= (5,66 pm
0,02) frac{N}{m} end{aligned}
Em que k é a constante elástica da mola que se desejava obter. A incerteza de ±0,02 é dada pela regra
simplificada para cálculos de incertezas e algarismos significativos a seguir:
[frac{A pm a}{B pm b} = left( frac{A}{B} right) pm left( frac{a}{A} + frac{b}{B} right) times
left( frac{A}{B} right) ]
Método Dinâmico
Em seguida foi determinado a constante elástica pelo método dinâmico do oscilador harmônico simples.
Enquanto um operador provocava o movimento no sistema o outro cronometrava o tempo. O operador que
provocava o distúrbio no sistema informava o tempo de inicio e fim da cronometragem. O tempo
cronometrado correspondia a dez oscilações completas do sistema (os valores na Tabela 5.2 já
correspondem ao período de uma única oscilação), tendo como ponto de partida o ponto de repouso entre a
mola e o peso. Utilizaram-se cinco pesos diferentes para esta experiência, e a cada peso repetimos três vezes
as contagens, partindo sempre do repouso.
Tabela 5.2: Dados obtidos na determinação da constante dinamicamente, a força peso foi obtida multiplicando-se a massa pelo
valor da aceleração gravitacional local (9,7864 m/s2).
Massa (10−3kg)
(± 0,1 × 10−3kg)
Força peso (N)
(± 0,1 × 10−2N)
Período (s)
(± 0,01 s)
121,7 1,191
0,863
0,922
0,960

6. 130,0 1,272
0,903
0,925
0,944
135,9 1,330
0,925
0,953
0,956
136,3 1,334
0,941
0,950
0,972
141,7 1,387
0,963
0,990
1,019
Utilizando-se um software apropriado, no caso o Mathematica 5.0, pode-se usar estes dados para obter a
constante elástica da mola, como demonstram os comandos abaixo:
Em que 9,7864 é o valor da gravidade local; p e k são as variáveis que representam, respectivamente, o peso
e a constante elástica da mola e o segundo parâmetro da função FindFit[] é uma adaptação da Eq. 3.3.
Dispondo-se os dados obtidos sobre o gráfico da função
[ T = 2pi sqrt{frac{P/g}{k}} ]
(em que T é o período de uma oscilação; P é o peso colocado na ponta da mola; g é a gravidade local e k é a
constante elástica da mola) obtemos o seguinte:

7. Figura 5.2: Relação entre peso na ponta da mola e período da oscilação (a curva azul representa a função citada)
Software Wolfram Research, INC (2003). MATHEMATICA 5.0
Discussão
A formulação dos métodos foi a principal fonte de erros significativos, pois o sistema simples possibilita as
maiores fontes de erro. Na determinação pelo processo estático, ficávamos sujeito aos erros pessoais e de
paralaxe e desvios, que poderiam ser minimizados se dispuséssemos de um ponteiro fino fixado sobre o
suporte dos pesos paralelo a superfície de base do suporte que atingisse a régua. Na determinação pelo
processo dinâmico, a fonte de erro foi ainda maior, pois a impossibilidade de observar e começar e parar a
contagem de tempo nos exatos instantes pode ter sido a principal fonte de erro. Poderíamos eliminar esta
fonte de erro de modo bem simples: acoplando uma caneta ao suporte de peso (pode ser aproveitado o
sistema de ponteiro sugerido) que marcaria (riscaria) um papel milimetrado (apoiado em uma base fixa)
com deslocamento contínuo e conhecido, no qual ficariam registradas as oscilações. Depois a interpretação
gráfica seria mais fácil.
Na Figura 5.1, Nota-se que os valores encontram-se adequados à reta de regressão (teoria).
Na Figura 5.2, Observa-se que os dados estão bastante dispersos e fora do esperado, o motivo já foi
discutido no item 1 desta seção (erros pessoais e de método). Cabe, para este gráfico, uma outra discussão: o
gráfico da função (linha azul) apresenta-se praticamente como uma reta, quando na verdade espera-se um
crescimento logarítmico. Porém, observando-se a escala, percebe-se que o gráfico está correto, a Figura 6.1
trás outra escala para comparação.

8. Figura 6.1: idem à Figura 5.2, porém em escala diferente.
Conclusão
Concluímos que a constante elástica da mola, como determinado estaticamente, é (5,66±0,02)N/m. A
determinação pelo método dinâmico fornece uma constante elástica igual a 5,87N/m.
Como esperado, os valores são diferentes, há uma diferença de 4% entre eles, diferença que é satisfatória
considerando-se a montagem e execução do experimento.
Referências bibliográficas
FERENCE. M. JR., (Goldemberg, J.) et al, Curso de Física de Berkeley Volume 1 Mecânica, ed. MEC,
1973.
FERENCE, M. JR., (Gondemberg, J.) et al, Curso de Física: Mecânica, ed. Edgard Blücher Ltda.,1968.
FRENCH, A. P., The M.I.T. introductory physics series: Vibrations and Waves, ed. Norton & Company Inc,
1970.
HALLIDAY, D., (Azevedo, J.P.S.) et al., Fundamentos de Física Vol. 1: Mecânica. LTC-Livros Técnicos
Científicos S/A. 6o ed, 2001.
Software MINITAB INC (2000). MINITAB Statistical Software release 14.0.
Software Wolfram Research, INC (2003). MATHEMATICA 5.0