Estatistica

PROF VANDERLAN MARCELO ANALISTA TRIBUTÁRIO
ESTATÍSTICA BÁSICA
Conforme o edital ATRFB - ESAF nº 94, de 07 de outubro de 09 Raciocínio Lógico DA RECEITA
FEDERAL DO BRASIL

Grupo 1 – Estatística Descritiva
1. Conceitos 3.1 Média aritmética; Propriedades da média;Cálculo Simplificado da
1.1 População; média;
1.2 Amostra; 3.2 Mediana;
1.3 Censo; 3.3 Moda;
1.4 Experimento aleatório; 3.4 Médias geométrica e harmônica.
1.5 Variáveis e atributos;
1.6 Variáveis aleatórias discretas e contínuas; 4. Medidas de Dispersão
1.7 Normas para apresentação tabular de dados. 4.1 Amplitude;
4.2 Desvio médio;
2. Organização de Dados Estatísticos 4.3 Variância absoluta;
2.1 Quadros e tabelas; 4.4 Propriedades da variância;
2.2 Distribuição de freqüências; 4.5 Cálculo simplificado da variância;
2.3 Intervalos de classe; 4.6 Desvio padrão;
2.4 Ponto médio; 4.7 Variância relativa e coeficiente de variação.
2.5 Freqüências absolutas e relativas;
2.6 Freqüências acumuladas; 5. Exercícios de Fixação
2.7 Gráficos: barras, colunas, histogramas e polígonos de freqüências.
6. Exercícios das Provas anteriores _ ESAF
3. Medidas de Posição.

1. Conceitos - Título é a indicação que precede a tabela e que contém a
1.1 População - É a coleção completa de todos os indivíduos a serem designação do fato observado, o local e a época em que foi registrado.
estudados. - Corpo é o conjunto de colunas e linhas que contém
respectivamente, em ordem horizontal e vertical, as informações sobre o
1.2 Amostra – É uma subcoleção de elementos extraídos de uma fato observado. Uma Casa é o cruzamento de uma coluna com uma linha.
população. As razões de se recorrer a amostras são: menor custo e As casas não deverão ficar em branco, apresentando sempre um número ou
tempo para levantar dados; melhor investigação dos elementos um sinal convencional.
observados. - Cabeçalho é a parte superior da tabela que especifica o conteúdo
das colunas.
1.3 Censo – É o exame completo de toda população. Quanto maior a - Coluna indicadora é a parte da tabela que especifica o conteúdo
amostra mais precisas e confiáveis deverão ser as induções feitas da linha.
sobre a população. Os resultados mais perfeitos são obtidos pelo
Censo. Obs.:
1.4 Experimento aleatório - É aquele que mesmo garantindo as 1) Uma tabela pode Ter mais de uma coluna indicadora
condições iniciais é impossível prever com certeza o resultado do 2) Os elementos complementares de uma tabela estatística são: a fonte, as
mesmo. notas e as chamadas, e se situam de preferência no rodapé da tabela.
1.5 variável e atributo– Variável é qualquer característica de um . Fonte é a indicação da entidade responsável pelo fornecimento
indivíduo. Quando os dados estatísticos apresentam um caráter dos dados ou pela sua elaboração.
qualitativo, o levantamento e os estudos necessários ao tratamento . Notas: são informações de natureza geral, destinadas a
desses dados são designados genericamente de estatística de atributo, tal conceituar ou esclarecer o conteúdo das tabelas, ou a indicar a metodologia
como, sexo,escolaridade, etc. adotada na elaboração dos dados
1.6 Variáveis aleatórias (VA) - São funções que associam valores . Chamadas: São informações de natureza específica sobre
numéricos a resultado de experimentos aleatórios; determinadas partes da tabela, destinadas a conceituar ou esclarecer dados;
1.6.1 Va's discretas - São aquelas que assumem um numero finito são indicadas no corpo da tabela em algarismos arábicos, entre parênteses, à
ou infinito e enumerável de valores. Praticamente podemos esquerda nas casas e à direita na coluna indicadora. A numeração das
pensar na variáveis aleatórias discretas como funções que chamadas da tabela será sucessiva, de cima para baixo e da esquerda para a
associam resultado de experimentos aleatórios a números direita. A distribuição das chamadas no rodapé na tabela obedecerá à
inteiros. Todas as variáveis aleatórias associadas a contagem ordem de sua sucessão na tabela, separando-se uma das outras por ponto (.).
são discretas. As chamadas de uma tabela que ocupe mais de uma página devem figurar
1.6.2 Va's contínuas - São aquelas que assumem uma quantidade no rodapé da tabela da última página, de acordo com a sucessão da mesma.
não-enumerável de valores. Para efeitos práticos aquelas que
podem assumir valores num sub-conjunto dos reais. Todas 1.7.3 Sinais Convencionais
as variáveis associadas à medidas que dependam da precisão
de um instrumento são contínuas. - (traço), quando o dado for nulo;
1.7 Normas para apresentação tabular de dados - Normas para ... (três pontos), quando não se dispuser do dado
Apresentação Tabular da Estatística Brasileira. Resolução N° 886, de 26 X (letra x), quando o dado for omitido a fim de evitar a individualização das
de outubro de 1966. (Pontos Principais) informações
1.7.1 Definição – É um conjunto de técnicas que visa: organizar e
sumarizar a informação contida nos dados.
Para este fim utiliza-se TABELAS e GRÁFICOS (organização) e 1.7.4 Apresentação das Tabelas
MEDIDAS (de centralidade e de dispersão p/ sumarização). - As tabelas, excluídos os títulos, serão delimitadas, no alto e em baixo, por
1.7.2 TABULAÇÃO: Uma tabela estatística compõe-se de traços horizontais grossos, preferencialmente.
elementos essenciais e elementos complementares. Os elementos
essenciais de uma tabela estatística são: o título, o corpo, o cabeçalho e
a coluna indicadora. Exemplo

FORTIUM – Prof Vanderlan Marcelo (vanderlanmarcelo@gmail.com) 1
Cargo: ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL DO BRASIL ESTATÍSTICA DESCRITIVA/ESAF

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(Título)
Pessoal Docente Lotado na Universidade X Número de Emissoras de Rádio nas Grandes
Por categoria funcional e formação acadêmica Regiões do Brasil
1976 1980
Grandes Regiões Quantidade de Rádios
Categoria Funcional Norte 43
Formação Auxiliar de Total
Acadêmica Titular Adjunto Assistente Ensino Nordeste 215
Graduação 10 30 25 9 74 Sudeste 517
Especialização - ... 1 31 4 Sul 403
Aperfeiçoamento 5 4 3 1 13 Centro-Oeste 85
Mestrado 1 - 2 4 7
Doutorado (1) (2) 5 (3) 3 2 - 10 Brasil 1.263
Fonte: SEEC – ME/IBGE.
Total 21 37 33 17 108
Fonte: Serviço de Estatística da Educação e Cultura c) Séries Específicas (ou de Qualidade)
(1) Com e sem curso de mestrado São aquelas em que o “ONDE” (local) e o “QUANDO” (tempo) são fixos
(2) Protegido pela Lei n° 5.540 variando-se o “QUE” (fato) em subgrupos de características próprias.
(3) Livres Docentes
Exemplo

2. Organização de Dados Estatísticos Matrículas no ensino 3° Grau no Brasil
2.1 Quadros e tabelas (Séries Estatísticas) 1983
São assim chamadas as tabelas estatísticas nas quais existe um Áreas de Ensino Matrículas
critério distintivo de agrupamento. São elas:
a) Séries Cronológicas; Ciências Biológicas e Prof. De Saúde 180.176
b) Séries Geográficas;
c) Séries Específicas; Ciências Exatas e Tecnológicas 334.694
d) Séries Conjugadas.
Ciências Agrárias 38.181
a) Séries Cronológicas (ou temporais)
Neste tipo de série o “QUE” (fato) e o “ONDE” (local) permanecem fixos, Ciências Humanas 761.367
enquanto o “QUANDO” (tempo varia), ou seja a informação varia com a
variação do tempo.
Letras 94.618
Ex:
Evolução da Demanda de Vestibulandos
Artes 24.612
Brasil – 1978 – 1982
Anos Inscritos Fonte: SEEC – IBGE
1978 1.250.537
d) Séries Conjugadas (ou mistas)
1979 1.559.097
São assim classificadas as séries que combinam pelo menos duas das séries
1980 1.803.5674 anteriores.
1981 1.735.457
1982 1.689.249 Exemplo:
Receita do Município “X”
Fonte: CODE INF/SESU/Ministério da Educação. 1983 – 1986
Receita ($ 1000)
OBS – Aqui o “QUE”, Demanda de Vestibulandos, permanece fixo, bem como o
“ONDE”, no caso o Brasil. Mas a informação muda com o tempo. Anos Prevista Arrecadada
83 10.746.393 10.739.487
Exemplo
N° de Computadores Vendidos no Estado X 84 24.891.790 19.374.275
1° Semestre de 1986 85 52.913.762 60.721.847
Meses N°
Jan 25.000 86 79.648.844 90.757.069
Fev 26.000 Fonte: Secretaria de Economia e Finanças
Mar 340.000
Abr 350.000 OBS – As informações variam em dois sentidos: por ano (vertical) e por
Mai 190.000 especificação do fato observado (horizontal – Receita Prevista e Receita Arrecadada).
Jun 220.000 2.2 Distribuição de Freqüência
Fonte: XXXXXX
b) Séries Geográficas (ou de Localização) a) Tabela primitiva - elementos da variável ainda não foram
Nestas séries o elemento variável é o “ONDE” (local) enquanto o “QUE” numericamente organizados
(fato) e o “QUANDO” (tempo) permanecem constantes. Ex:
Exemplo


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Total de pontos (acertos) obtidos por 40 alunos em um teste de 175 Em nosso exemplo k = 6
questões
166 160 161 150 162 160 165 167 164 160 - Limites da classe: são os extremos de cada classe.
162 161 168 163 156 173 160 155 164 168
155 152 163 160 155 155 169 151 170 164 Limite superior Li Limite inferior li
154 161 156 172 153 157 156 158 158 161 O símbolo:
li I------------- Li significa inclusão de li e exclusão de Li
b) Rol - é a tabela primitiva ordenada (crescente ou decrescente).
Ex: li = 154 e Li= 158

150 154 155 157 160 161 162 164 166 169 - Amplitude de um intervalo de classe (h) é a medida do intervalo que
151 155 156 158 160 161 162 164 167 170 define a classe
152 155 156 158 160 161 163 164 168 172
153 155 156 160 160 161 163 165 168 173 h = Li - li h2 = 154-158 = 4

c) Agrupamento das frequências - Amplitude total da distribuição (AT) é a diferença entre o limite
Com isso pode-se construir uma tabela denominada Distribuição de superior da ultima classe (limite superior máximo) e o limite inferior da
Freqüência, sendo a freqüência o numero de elementos relacionados a um primeira (limite inferior mínimo).
determinado valor da variável.
Ex: AT = L(max) - l (min)
Ponto Freqüência Pontos Freqüência Pontos Freqüência AT = 174 - 150 = 24
s
150 1 158 2 167 1
Deve-se notar que AT/h = k 24/4 = 6
151 1 160 5 168 2
152 1 161 4 169 1
153 1 162 2 170 1 - Amplitude amostral (AA) : é a diferença entre o valor máximo e o valor
154 1 163 2 172 1 mínimo da amostra
155 4 164 3 173 1
156 3 165 1 AA = x(máx) - x(mín) AA = 173-150 = 23
157 1 166 1 total 40
2.4 Ponto médio de uma classe (xi) : é o ponto que divide o intervalo de
classe em duas partes iguais

xi = (li+Li)/2 x2 = (154+158)/2 = 156

2.5 Frequências
Freqüência simples ou absoluta: é o número de observações
correspondentes a essa classe ou a esse valor

f1 = 4 f2 = 9 f3 = 11 f4 = 8 f5 = 5 f6 = 3
Para uma melhor visualização e economia de espaço, agrupam-se os k 6
valores em intervalos de classe.
Ex: ∑ fi = n ∑ f i = 40
Total de pontos (acertos) obtidos em um teste de 175 i= 1 i= 1
questões por 40 alunos
Total de pontos Freqüência Exercício: .As notas obtidas por 50 alunos de uma classe foram:
150 |- 154 4
154 |- 158 9 1 2 3 4 5 6 6 7 7 8
158 |- 162 11 2 3 3 4 5 6 6 7 8 8
162 |- 166 8 2 3 4 4 5 6 6 7 8 9
166 |- 170 5 2 3 4 5 5 6 6 7 8 9
170 |- 174 3 2 3 4 5 5 6 7 7 8 9
Total 40
Complete a distribuição de freqüência abaixo
Para a confecção dessa tabela pode-se pular o passo anterior, ou seja, do rol
já partir para a tabela de distribuição de freqüências com intervalos de i Notas xi fi
classe.
0 |- 2
2.3 Intervalos de Classe 2 |- 4
4 |- 6
- Classes de freqüência: são os intervalos de variação da variável, 6 |- 8
representados por i, 8 |- 10
sendo i = 1,2,3,4,...,k, onde k é o número total de classes.


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Total 50 2) Qual a percentagem de alunos com total de pontos inferior a 154?
Resp. 10%
3) Quantos alunos acertaram menos que 162 questões ? Resp. 24 alunos
- Freqüência Simples ou Absoluta (fi) : é o valor que representa o número 4) Quantos alunos obtiveram um total de pontos não inferior a 158? Resp.
de dados de uma classe, onde : 40-13 = 27 alunos
k
∑ fi = n II- Os resultados de um lançamento de um dado 50 vezes foram os
seguintes:
i= 1
6 5 2 6 4 3 6 2 6 5
- Freqüência Relativa (fri): é a porcentagem entre a freqüência simples e a
freqüência total: 1 6 3 3 5 1 3 6 3 4
5 4 3 1 3 5 4 4 2 6
fi
fri = k
⋅ 100[ %] 2 2 5 2 5 1 3 6 5 1
5 6 2 4 6 1 5 2 4 3
∑ fi
i= 1
No exemplo: fr3 = 11/40 = 0,275 x 100 = 27,5 % i resultados fi fri Fi Fri
k 1 1
É obvio que: ∑ fri = 100% 2
3
2
3
i= 1 4 4
5 5
O propósito das freqüências relativas é o de permitir a análise e facilitar 6 6
comparações. Total 50 100

- Freqüência Acumulada (Fi): é o total das freqüências de todos os valores Exercício: Complete a tabela abaixo e responda:
inferiores ao limite superior do intervalo de uma dada classe.
k i
Horas de estudo por
xi fi fri Fi Fri
Fk = f1 + f 2 + f 3 +  + f k ou Fk = ∑ fi semana

i= 1 1 0 |- 5 5
No exemplo F3 = f1 + f2 + f3 = 4+9+11=24, o que significa que existem 24
alunos com estatura inferior a 162 cm (limite superior do intervalo da 2 5 |- 10 96
terceira classe)
3 10 |- 15 57
- Freqüência Acumulada relativa (Fri): é a porcentagem entre a freqüência
relativa acumulada da classe e a freqüência total da distribuição.
4 15 |- 20 25
Fi
Fri = k
⋅ 100[ %]
5 20 |- 25 11
∑ fi
i= 1 6 25 |- 30 6
No exemplo temos Fr3 = 24/40 = 0,6 = 60 %, o que significa que 60 % dos
Total 100
alunos acertaram menos de 162 questões

Pode-se então montar a seguinte tabela: Qual a porcentagem de pessoas que estudam menos de 15 horas ?

i Total de Pontos xi fi fri (%) Fi Fri (%)
Qual a porcentagem de pessoas que estudam 20 ou mais horas ?
1 150 |- 154 152 4 10,00 4 10,00
2 154 |- 158 156 9 22,50 13 32,50
3 158 |- 162 160 11 27,50 24 60,00
4 162 |- 166 164 8 20,00 32 80,00
5 166 |- 170 168 5 12,50 37 92,50
6 170 |- 174 172 3 7,50 40 100,00
Total 40 100,00

I- Exercícios
Que nos ajuda a responder:
1) Quantos alunos acertaram entre 154, inclusive, e 158 questões ? Resp.
9 alunos


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2.7 Gráficos: Representação Gráfica de uma Distribuição de Freqüência 45
Pode-se ser representado basicamente por um histograma, por um
40
polígono de freqüência ou por um polígono de freqüência acumulada.
35

- Histograma: O histograma é formado por um conjunto de retângulos 30
justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo 25

F
que seus pontos médios coincidam com os pontos médios dos intervalos de 20
classe. Seja o exemplo: 15
10
i Total de Pontos xi fi Fi
5
1 150 |- 154 152 4 4
0
2 154 |- 158 156 9 13
150 154 158 162 166 170 174
3 158 |- 162 160 11 24
Estaturas [cm]
Total de pontos
4 162 |- 166 164 8 32
5 166 |- 170 168 5 37
Exercício - Construa o histograma, o polígono de freqüência e o polígono
6 170 |- 174 172 3 40
de freqüência acumulada da seguinte distribuição.
Total 40

Total de Faltas de uma
i xi fi Fi
Histograma
sala com 60 alunos

12 0

10 1 0 |- 2 5

8 2 2 |- 4 15
Frequências fi

6 3 4 |- 6 25
4 4 6 |- 8 10
2
5 8 |- 10 5
0
150 150 |- 154 154 |- 158 158 |-162 162 |- 166 166 |- 170 170 |- 174
154 158 162 166 170 174 6
TotalEstaturas (cm)
de Pontos

- Polígono de freqüência: É um gráfico em linha, sendo as freqüências - Gráfico linear
marcadas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos Exemplo: Um pesquisador está estudando a população de um dado país e
médios dos intervalos de classe. obtém os seguintes dados:
12
População
Ano
10 (em milhões)
1990 100
8 1991 108
1992 115
6
f

1993 125
4
1994 137

2 O gráfico linear para esses dados é:

0
148 152 156 160 164 168 172 176 Gr áfico Line ar
Estaturas [cm]
Total de Pontos
- Polígono de freqüência acumulada: É traçado marcando-se as 140
freqüências acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal,
levantadas nos pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos 130
de classe. 120
110
100
90
1990 1991 1992 1993 1994


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OBS Pedagogia 20

O gráfico linear tem o mesmo
 Temos o seguinte gráfico de colunas justapostas para o nosso exemplo
comportamento do polígono de freqüências
mas serve para representar dados que não
são freqüências. Gráfico de Colunas Jus tapos tas
 O gráfico linear é muito bom quando se
que enfatizar tendências; 80 70
 Mais de uma série pode ser representada
60 50
no mesmo gráfico. Para tanto deve-se
observar: 40 30
20
1. Compatibilidade dos eixos;
20
2. A utilização de cores ou padrões para enfatizar as linhas
3. A utilização de legendas. 0
A m is ç o
d in tra ã A á ed
n lis e D ito
ire Pd gg
e a o ia
S te a
is ms

Exemplo: Suponhamos uma empresa com a seguinte evolução financeira

Ano Receita Despesa
OBS
(x 1000) (x 1000)
1998 100 80
o Os gráficos de colunas justapostas
1999 110 100
podem vir com as colunas coladas
2000 120 120 ou com intervalos regulares entre
2001 130 140 elas;
o Pode-se colorir o gráfico colocando
uma cor em cada coluna ou ainda
Gráfico Linear para Dados
um padrão de preenchimento para
Multivariados cada coluna. Neste caso pode ser
necessária uma legenda;
o Todo raciocínio anterior é válido
150
140 para os gráficos de barras lembrando
130 que nesse caso a base do retângulo
120 está no eixo vertical, como abaixo
110
100
90
80 Gr áfico de Barr as Jus tapos tas
70
1998 1999 2000 2001
Pd gg
e a o ia 20

D ito
ire 70

- Gráfico de Colunas ou Barras A á ed S te a
n lis e is ms 30
Os gráficos de colunas ou barras são gráficos que, assim como o A m is ç o
d in tra ã 50
histograma, representam a magnitude dos dados pela área do retângulo.
Os retângulos têm um lado fixo e, portanto, a magnitude dos dados é 0 20 40 60 80
representada pela outra dimensão.
Quando os retângulos estão em posição vertical diz-se que temos gráfico de
colunas, caso em posição horizontal diz-se que temos gráficos de barras.
Todas as observações feitas para os gráficos de colunas valem para os
gráficos de barras, respeitada a orientação particular. - Gráficos de Colunas para Séries Multivariadas
Em geral os gráficos de barra podem representar qualquer série , mas são
particularmente importantes para séries específicas. Estes gráficos são utilizados para representar dados onde para cada objeto
observado existe mais de uma fonte de informação. Este gráfico é uma
 Gráficos de colunas justapostas generalização do gráfico de colunas justapostas e, portanto, segue o mesmo
tipo de regra de formação.
São gráficos em que a base do retângulo representa uma categoria (tipos,
datas etc) e que a altura do mesmo é proporcional à magnitude dos dados. Exemplo: Suponha que o MEC fez um levantamento de dados sobre o
número de alunos nos cursos de Administração, Direito, Pedagogia e Letras
Exemplo: Em uma universidade foi feito um levantamento sobre o número em quatro universidades de uma mesma cidade obtendo a seguinte série:
de alunos inscritos por curso obtendo-se:
Curso
Administração Direito Pedagogia Letras
Curso Nº alunos Universidade
Administração 50 A 100 150 70 50
Análise de Sistemas 30 B 80 90 30 40
Direito 70 C 90 80 20 20
D 120 150 80 60


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Uma representação gráfica para esses dados é a seguinte 5 + 6 + 10 + 8 + 7 + 6
A média para esse exemplo é: = 7.
6

Gráficos para Séries Multivariadas Quando temos dados agrupados a média é calculada como sendo:

160 X=
∑ x j Fj
140 n
120 Universidade A onde
100 n – nº de observações;
Universidade B xj – valor das observações (caso discreto) ou ponto médio das classes
80
60 Universidade C (caso contínuo);
Fj – Freqüência absoluta das observações (caso discreto)
40 Universidade D ou das classes
20
(caso contínuo).
0
Administração Pedagogia Exemplo: Suponha a seguinte tabela de freqüências para dados
discretos

OBS Ocorrências Fj
0 2
 No gráfico de séries multivariasdas uma 2 3
noção muito clara tem que ser a de classes 3 5
distintas. Deve estar claro para o leitor onde 4 4
começa e onde termina a informação sobre
cada classe. Isso se consegue colocando um Neste caso a média é calculada como:
espaço vazio separando-as.
 Dentro da mesma classe as colunas podem vir 0 x 2 + 2 x3 + 3 x5 + 4 x 4
= 2,64
juntas ou separadas. Se vierem separadas a 2+ 3+ 5+ 4
distância entre elas deve ser visivelmente
menor que o espaço entre as classes, de modo Exemplo: Suponha a seguinte tabela de freqüências para dados
que não haja confusão na leitura da contínuos
informação;
 As colunas devem seguir a mesma ordem em Classes Fj Ponto médio
cada classe. Cada coluna deve apresentar uma 0 |----- 2 1 1
cor e/ou padrão de preenchimento diferente, 2 |----- 4 3 3
constantes em cada classe, e uma legenda 4 |----- 6 4 5
deve ser associada ao gráfico, de modo a 6 |----- 8 2 7
facilitar a transmissão de informações.

3. Medidas de Posição. Neste caso a média é dada por

a) Medidas de Centralidade (média, mediana e moda) e 1x1 + 3 x3 + 5 x 4 + 7 x 2
= 4,4
b) Separatrizes (mediana, quartil, decil e percentil) 1+ 3 + 4 + 2

1.2. Cálculo Simplificado da Média Aritmética
a) As medidas de centralidade que vamos estudar são:
 Média Quando os valores dos dados estão separados por um valor constante (caso
 Mediana discreto) ou quando temos classes do mesmo tamanho (caso contínuo) e os
 Moda as ocorrências (caso discreto) ou os pontos médios das classes (caso
contínuos) são muito grandes para se usar o cálculo tradicional pode se usar
1. Média o método simplificado de cálculo que consiste nos seguintes passos:
1.1. Média Aritmética
A média aritmética é definida, para dados não agrupados, ou seja que não  Calcula-se um novo ponto de referência definido
vêem organizados em uma tabela de freqüência como sendo: como:
x j − x0
∑ xj uj =
j h
X= onde
n
onde xj – valor das ocorrências (caso discreto) ou ponto médio
n – nº de observações (caso contínuo);
xj – valor das várias observações x0 – valor constante escolhido arbitrariamente entre as ocorrências (caso
discreto) ou pontos médios (caso contínuo). A idéia é escolhê-lo o mais
Exemplo: Suponha os seguintes dados: 5, 6, 10, 8, 7, 6 próximo possível dos valores centrais;


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h – diferença entre duas ocorrências consecutivas (caso discreto) ou dois 15 + 23
pontos médios consecutivos (caso contínuo). 5ª propriedade
 Calcula-se média para os novos valores de referência A soma dos quadrados dos afastamentos contados a partir da média aritmética é
um mínimo.
(uj) calculados;
 Calcula-se a média procurada utilizando a seguinte
Idades ( xi ) di = (xi – x) ∑ di2 = ∑ (xi – x)2
expressão: 2 d1 = 2 – 6 = -4 (– 4)2 = 16
X = hu + x0 4 d2 = 4 – 6 = -2 (– 2)2 = 4
6 d3 = 6 – 6 = 0 ( 0)2 = 0
8 d4 = 8 – 6 = +2 ( +2)2 = 4
Exemplo: Dada a tabela de freqüências abaixo calcule a média 10 d5 = 10 – 6 = +4 ( +4)2 = 16
∑ 0 40

Classes Fj Ponto uj De modo que: ∑ (xi – x)2 = 40 sendo este valor o menor possível. Isso significa que,
médio se tomássemos outro valor que não a média (x), o resultado dessa operação seria
20 |----- 22 2 21 -1 maior que o obtido.
22 |----- 24 5 23 0
24 |----- 26 4 25 1 6ª propriedade
26 |----- 28 1 27 2 A média aritmética é atraída pelos valores extremos.

Considere os valores originais:
Para este exemplo temos: x0 = 23, h = 2 xi : 2, 4, 6, 8, 10 → x = 6
Assim
− 1x 2 + 0 x5 + 1x 4 + 1x 2 Se o primeiro valor xi for alterado para 0:
u= = 0,4
10 xi : 0, 4, 6, 8, 10 → x = 5,6

Se o último valor xi for alterado para 12:
X = 0,4 x 2 + 23 = 23,80 xi : 2, 4, 6, 8, 12 → x = 6,4

1.3. Média Harmônica
A média harmônica é definida como
2. Mediana (Md)
n A mediana é a medida estatística que deixa 50% dos valores abaixo de si e
Mh = 50% acima. Temos dois processos para achar a mediana: um para dados não
Fj
∑ xj
agrupados e outro para dados agrupados.

1.4. Média Geométrica 2.1. Mediana para dados desagrupados.
A média geométrica é definida como  Número ímpar de valores
Quando tivermos dados não agrupados e o número de observações for
F ímpar seguimos o seguinte processo.
Mh = n
∏ xj j
1.5. Relação entre as médias Ordenamos os dados em ordem crescente,
 n + 1
Calculamos o termo de ordem  º ,
Mh ≤ Mg ≤ X  2 
A mediana será o valor colocado nessa posição.
Propriedades das médias
Exemplo: 1, 5, 2, 3, 4, 7, 5, 8, 1
1ª propriedade
A soma algébrica dos desvios em relação à média é zero (nula). Ordenando os dados: 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 7, 8
∑ di = ∑ (xi - x ) = 0 O termo que queremos tem ordem [(9+1)/2]º = 5º
onde: di são as distâncias ou afastamentos da média.
Logo Md = 4
2ª propriedade
Somando-se ou subtraindo-se uma constante (c) a todos os valores de  Número par de valores
uma variável, a média do conjunto fica aumentada ou diminuída dessa constante
3ª propriedade Quando tivermos dados não agrupados e o número de observações for par
Multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores de uma variável por seguimos o seguinte processo:
uma constante (c), a média do conjunto fica multiplicada ou dividida por essa
constante:
Ordenamos os dados em ordem crescente
4ª propriedade
A média das médias é a média global de 2 ou mais grupos.  n
x1 = 10 n1 = 15 Calculamos a ordem  º
x2 = 18 n2 = 23  2
A mediana será a média entre o valor da ordem acima indicada e o
Então: (x1 . n1 ) + (x2 . n2 ) + ... + (xk . nk ) próximo.
xG = ---------------------------------------------------
n1 + n2 + .... + nk
Exemplo: 1, 3, 7, 5, 5, 4, 3, 2, 4,3

(10 . 15 ) + (18 . 23 ) Ordenando:1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7
xG = -------------------------------- = 14,84 Calculando a ordem (10/2)º = 5º


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5º + 6 º 3 + 4 A moda é, por definição, o valor mais freqüente dos dados. Assim para
A mediana é Md = = = 3,5 dados não agrupados ou para tabelas de freqüência de dados discretos basta
2 2
localizar o valor de maior freqüência, e este será a moda.
2.2. Dados Agrupados
Exemplo: Considere os seguintes dados
Quando tivermos dados agrupados discretos procedemos da mesma forma
dos dados desagrupados, utilizando entretanto recursos provindos da tabela 1,4,5,4,3,2,5,7,1,5,5
de freqüências. Neste exemplo a moda é Mo = 5.

Exemplo: Suponha a seguinte tabela de freqüências Exemplo: Considere a seguinte tabela de freqüências para dados discretos

Ocorrências Fj FAc
0 2 2 Ocorrências Fj
2 3 5 0 2
3 5 10 2 3
4 4 14 3 5
4 4
Observe que o nº de observações é par (14). Neste caso como no caso
anterior calcula-se o temo de ordem (n/2)º, que nesse caso é 7º e o próximo Neste caso basta observarmos qual a maior freqüência e a moda será o valor
8º. A diferença aqui é que para procurar os termos utilizamos a tabela de que tem esta freqüência. Nosso exemplo a maior freqüência é 5 e o valor
freqüências acumuladas utilizando a seguinte regra: a primeira vez que a associado a ela é 3 logo nossa moda é Mo = 3.
freqüência acumulada dos dados for maior do que a ordem procurada
aquele é o valor naquela ordem. Assim o 5º elemento é 2 (Fac = 5) e o 6º é Caso tenhamos dados contínuos o cálculo da moda é um pouco mais
2+ 3 complicado. Procedemos da seguinte forma:
3. Neste caso a mediana será Md = = 2,5
2  Definimos qual a classe que tem maior
Se tivermos dados contínuos utilizamos o seguinte processo freqüência. Esta classe é chamada classe
 Calculamos o termo de ordem (n/2)º modal;
 Definimos em que classe está a mediana;  Calculamos a moda com a fórmula
 Calcula-se a mediana com a fórmula
( ∆ 1)h
Md = l +
( ( n 2 ) + F )h ACA
Mo = l +
∆1+ ∆ 2
FX
~

onde onde
l – limite inferior da classe onde está a mediana ;
n – número de observações l – limite inferior da classe modal
FACA – FAC da classe anterior ∆ 1 - Freqüência da classe modal menos freqüência da da classe anterior;
FX
~ - Freqüência Absoluta da classe em que está a mediana ∆ 2 - Freqüência da classe modal menos freqüência da da classe posterior;
h – Amplitude de Classe h – Amplitude de Classe

Exemplo: Considere a seguinte tabela de freqüências para dados contínuos Exemplo: Suponha a seguinte tabela de freqüências

Classe Fj FAc Classes Fj
0 |----- 2 2 2 0 |----- 2 1
2 |----- 4 3 5 2 |----- 4 3
4 |----- 6 5 10 4 |----- 6 4
6 |----- 8 4 14 6 |----- 8 2

 Cálculo do termo de ordem (n/2)º = 7º  Localizar a classe de maior freqüência: Classe
OBS – Se n/2 não for inteiro considera-se o primeiro inteiro maior que o 4 |---- 6
valor de n/2.  Calculando a moda
 Pela FAC sabemos que a mediana está na
classe 4 |--- 6.  4− 3  2
OBS – Para encontra a classe em que está a mediana basta achar a classe Mo = 4 + 
 ( 4 − 3) + ( 4 − 2)  2 = 4 + 3 = 4,67

em que a FAC é maior ou igual ao valor assumido para n/2.  
 Calculando agora a mediana b) As separatrizes que vamos estudar são:
 Mediana (já visto)

Md = 4 +
( 7 − 5) 2 = 4,8
 Quartil
5  Decil
 Percentil
3. Moda 1. Quartis
Dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais.
Q1 = 1º quartil, deixa 25% dos elementos


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2º) Pela Fi identifica-se a classe que contém o Pi
n
1º) Calcular a posição: P = ---- (seja n ímpar ou par) 3º) Aplica-se a fórmula:
4 in/100 – Fa
2º) Pela Fi identifica-se a classe que contém o Q1 Pi = L Pi + ----------------- x h
f Pi
3º) Aplica-se a fórmula: sendo
n/4 – Fa * LPi = limite inferior da classe Pi , i = 1, 2, 3, ..., 99
Q1 = LQ1 + -------------- x h * n = tamanho da amostra ou nº de elementos
f Q1 * Fa = frequência acum. anterior à classe do Pi
sendo * h = intervalo da classe do Pi
* LQ1 = limite inferior da classe do Q1 * f Pi = frequência simples da classe do Pi
* n = tamanho da amostra ou nº de elementos
* Fa = frequência acum. anterior à classe do Q1
* h = intervalo da classe do Q1 4. Medidas de Dispersão
* f Q1 = frequência simples da classe do Q1
Suponha que estivéssemos observando dois grupos de alunos e
anotando os resultados dos mesmos em uma dada prova. Suponha ainda que
Q2 = 2º quartil, é igual a mediana, deixa 50% dos elementos os resultados fossem:
Q3 = 3º quartil, deixa 75% dos elementos Grupo 1 - 5,0 ; 5,0 ; 5,0 ; 5,0 ; 5,0
3n Grupo 2 - 4,0 ; 5,0 ; 8,0 ; 7,0 ; 1,0.
1º) Calcular a posição: P = ----- (seja n ímpar ou par)
4 Se calcularmos a média dos dois grupos vemos que ambos
2º) Pela Fi identifica-se a classe que contém do Q3 apresentam a mesma média aritmética, 5,0, mas também vemos claramente
que o conjunto de dados provêm de grupos cujos resultados são bem
3º) Aplica-se a fórmula: diferentes.
3n/4 – Fa A diferença entre um grupo e outro se encontra num fato que a
Q3 = LQ3 + -------------- x h média, assim como qualquer outra medida de posição não pode perceber: a
f Q3 variabilidade dos dados.
sendo Para caracterizar essas diferenças os estatísticos criaram as
* LQ3 = limite inferior da classe do Q3 medidas de dispersão, das quais vamos estudar:
* n = tamanho da amostra ou nº de elementos  Amplitude Total;
* Fa = frequência acum. anterior à classe do Q3  Desvio médio;
* h = intervalo da classe do Q3  Variância;
* f Q3 = frequência simples da classe do Q3  Desvio Padrão;
 Coeficiente de Variação
2. Decis: dividem a série em 10 partes iguais

in 1. Amplitude Total (AT)
1º) Calcular a posição: P = ---- (seja n ímpar ou par),
10 Ë uma medida muito simples, sendo definida como a diferença entre o
em que i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 maior e o menor valor das observações, ou seja
2º) Pela Fi identifica-se a classe que contém o Di AT = máx - mín
3º) Aplica-se a fórmula: Exemplo: Suponha que temos o seguinte conjunto de dados 1; 2,5; 3; 1; 7;
in/10 – Fa 2; 5. Para esse caso a amplitude total é dada por
Di = L Di + ---------------- x h
f Di AT = máx - mín
sendo
* LDi = limite inferior da classe Di , i = 1, 2, 3, ..., 9 AT = 7 - 1 = 6
* n = tamanho da amostra ou nº de elementos
* Fa = frequência acum. anterior à classe do Di OBS - Essa medida tem aplicações muito limitadas pois só capta o que
* h = intervalo da classe do Di acontece com os valores extremos, sendo completamente insensível aos
* f Di = frequência simples da classe do Di valores intermediários.

3. Percentis: dividem a série em 100 partes iguais 2. Desvio Médio (DM)

in Uma maneira muito interessante de perceber como os dados estão dispersos
1º) Calcular a posição: P = ----- (seja n ímpar ou par), é perceber como estão variando em torno da média. Uma forma de fazer
100 isso é com o desvio médio.
em que i = 1, 2, 3, ..., 98, 99


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O desvio médio é definido como a média dos valores absolutos dos desvios Fj - Freqüência Absoluta da j-ésima ocorrência possível (caso discreto) ou
em relação à média aritmética, ou seja: da j-ésima classe (caso contínuo);

∑ x j − X Fj X - Média aritmética da amostra;
DM =
n n - Número de observações da amostra.
onde
OBS -
xj - é a j-ésima ocorrência possível (caso discreto) ou o ponto médio do j-
ésimo intervalo (caso contínuo); • fato de dividirmos por n-1 está relacionado ao fato de já
termos usado a amostra para calcular a média
Fj - é a freqüência absoluta da j-ésima ocorrência possível (caso discreto)
• Da forma como está definida a variância se torna muito
ou da j-ésima classe (caso contínuo);
inconveniente para ser calculada. Mas desenvolvendo sua
expressão chega-se a uma forma alternativa muito mais
X - é a média aritmética das observações; prática

n - número de observações;
S2 =
1  ∑ x2Fj −
(∑ x j Fj )2 
Exemplo: Suponha que temos a seguinte tabela de freqüêcias j
n− 1 n 
 
Classes Fj
0 |---- 2 1 Exemplo: Retornemos ao exemplo anterior criando mais uma vez colunas
2 |---- 4 3 auxiliares
4 |---- 6 2
6 |---- 8 1 Classes Fj xj xjFj xj2 xj2Fj
0 |----- 2 1 1 1 1 1
Para facilitar a aplicação da expressão do desvio médio, vamos criar
2 |----- 4 3 3 9 9 27
algumas colunas auxiliares na nossa tabela de freqüências, de modo que
4 |----- 6 2 5 10 25 50
nossa nova tabela é dada por:
6 |----- 8 1 7 7 49 49
Totais 7 27 127
Ponto
Classes Fj Médio xjFj |xj - X | |xj - X |Fj Logo
xj
0 |---- 2 1 1 1 2,86 2,86
2 |---- 4 3 3 9 0,86 2,58 S2 =
1 ( 27 ) 2  = 3,8
 127 − 
4 |---- 6 2 5 10 1,14 2,28 6
 7  
6 |---- 8 1 7 7 3,14 3,14
Totais 7 27 10,86
Algumas propriedades da Variância
As colunas auxiliares são, na verdade, organização do processo aritmético
de cálculo da medida. Observe que para montar a 5ª coluna precisamos (a) Variância de dados constantes é zero;
saber quanto vale a média aritmética. Para tanto podemos usar as colunas 4 (b) Suponha que temos um conjunto de dados tais que
e 2 para calcular. Nesse caso temos
a sua variância é dada por S2. Suponha que por
algum motivo os dados sejam multiplicados por
27 uma constante c. Assim a variância do conjunto de
X= = 3,86
7 dados multiplicado pela constante é dada por c2S2.
Assim (c) Suponha que temos um conjunto de dados cuja
variância seja S2. Suponha que por algum motivo
10.86 multiplica-se os dados por uma constante "a" e
DM = = 1.55 .
7 soma-se ao resultado uma outra constante "b". A
3. Variância (S2) nova variância dos dados, depois de feitas as
operações será a2S2.

Outra medida de dispersão em torno da média é a variância que é definida Cálculo simplificado da variância.
como
Assim como no caso da média também no caso da variância existe
um processo simplificado de cálculo. Como no caso da média também
S2 =
1
n− 1
( 2
∑ x j − X Fj ) dividiremos em 3 etapas:

• Define-se a seguinte transformação nos dados
onde
x j − x0
xj - é a j-ésima possível ocorrência (caso discreto) ou o ponto médio da j- zj =
ésima classe (caso contínuo); n


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onde S 2 = h2S z
2

xj - observações originais (no caso de dados desagrupados ou agrupados Logo para o nosso caso temos
discretos) ou ponto médio das classes (caso contínuo);
S 2 = 1x0,95 = 0,95
x0 - constante arbitrária escolhida convenientemente;
4. Desvio Padrão (S)
h - Distancia entre as observações (caso discreto) ou amplitude de classe Pelo fato de a Variância ser uma medida que utiliza o quadrado dos
(caso contínuo) desvios em relação à média, sentiu-se a necessidade de uma medida que
utilizasse a mesma unidade dos dados. Esta medida é chamada desvio
Exemplo: Seja a seguinte tabela de freqüências padrão.
O desvio padrão é definido tão somente como a raiz quadrada positiva da
Fjxj variância.
8 3
9 6 S= S2
10 4 5. Coeficiente de Variação (CV)
11 2 É uma medida relativa de dispersão. Utilizada para fazer comparação da
Vamos assumir a seguinte transformação dispersão de duas séries distintas em torno de suas respectivas médias.
Define-se como
x j − 10
zj = S
CV =
1 X
Neste caso acrescentando uma coluna para os valores transformados Exemplo: Considere que tenhamos duas séries. A primeira com média 4 e
teríamos desvio padrão 1.5 e outra com média 3 e desvio padrão 1.3. Neste caso
temos os seguintes CV's:
xj Fj z j
8 3 -2 1. 5
9 6 -1 CV1 = = 0.375
4
10 4 0 1.3
11 2 1 CV2 = = 0.43
• O próximo passo consiste em calcular a variância dos dados 3
transformados Logo, conclui-se que a primeira série tem uma dispersão relativa em
torno da média maior que a segunda.
Em geral CV maior ou igual a 50% é considerado alto, sendo a média
2
Sz =
1
n− 1
( 2
∑ z j − Z Fj ) pouco representativa. Valores menores que 50% implicam CV baixo e a
média é tão mais representativa quanto menor for o valor do CV.

=
1   ∑ z2Fj − ∑ j j
z F ( )2 
n− 1
j
n  5. Exercícios de Fixação
 
1. Em uma amostra, realizada para se obter informação sobre a
Assim para o nosso exemplo acrescentamos as colunas auxiliares, em distribuição salarial de homens e mulheres, encontrou-se que o salário
relação a z para o cálculo da variância: médio vale R$ 1.200,00. O salário médio observado para os homens foi
de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opção
correta.
xj Fj zj zjFj zj 2 zj2Fj a) O número de homens na amostra é igual ao de mulheres.
8 3 -2 -6 4 12 b) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres.
9 6 -1 -6 1 6 c) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres.
10 4 0 0 0 0 d) O número de mulheres é o dobro do número de homens.
11 2 1 2 1 2 e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens.
Totais 15 -10 20
2. O salário-hora de cinco funcionários de uma companhia, são:
Logo
R$ 75,00; R$ 90,00; R$ 83,00; R$ 142,00 e R$88,00
Determine:
2 1  100  a. a média dos salários-hora; R$ 96,00
Sz = 20 − = 0.95
14 
 15 
 b. o salário-hora mediano. R$ 88,00

3. Colocar em ordem de grandeza crescente a média aritmética, a
• O terceiro passo consiste em calcular propriamente a
média geométrica e a média harmônica dos números 6 e 12.
variância dos dados originais. Para tanto aplica-se a Resposta: M.H = 8; M.G = 8,4 e M.A = 9
propriedade (c) da variância pois observe-se que a
transformação utilizada pode ser escrita como sendo
4. Considerando a distribuição abaixo:
x j = hz j + x0
Sendo assim aplicando-se a propriedade (c) temos que xi 3 4 5 6 7 8
fi 4 8 11 10 8 3


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Calcule: 14. Num país, a população feminina é 51% do total. A idade média da
a) a média; 5,4 população feminina é 38 anos e da masculina é 36. Então, a idade
b) a mediana; 5 média da população, em anos, é: positivo
c) a moda. 5 a) 37,02 x b) 37,00 c) 37,20 d) 36,60 e) 37,05

5. Em uma classe de 50 alunos, as notas obtidas formaram a seguinte 15. Numa população, a razão do número de mulheres para o de
distribuição: homens é de 11 para 10. A idade média das mulheres é 34 e a idade
média dos homens é 32. Então, a idade média da população é
aproximadamente: positivo
NOTAS 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a) 32,9 b) 32,95 c) 33,00 d) 33,05 x e) 33,10

Nº DE ALUNOS 1 3 6 10 13 8 5 3 1 16. Numa classe de uma faculdade existem alunos de ambos os sexos.
Numa prova, as médias aritméticas das notas dos homens e das
Determine: mulheres foram respectivamente iguais a 6,2 e 7,0. A média aritmética
a) a nota média; 5,9 das notas de toda a classe foi igual a 6,5. A maior parte dos
b) a nota mediana; 6 estudantes dessa classe é composta de meninos ou de meninas?
c) a nota modal. 6 Justifique sua resposta, calculando a porcentagem de alunos do sexo
masculino.

6. Determine a média aritmética de: 17. Você fez dois trabalhos num semestre e obteve as notas 8,5 e 5,5.
a. Qual deve ser a nota que você deve tirar no 3º trabalho para que a
VALORES 50 60 80 90 média dos três seja 7: 7
QUANTIDADES 8 5 4 3
18. Numa empresa, vinte operários têm salário de R$ 4.000,00 mensais;
R: 64,5
dez operários têm salário de R$ 3.000,00 mensais e trinta têm salário de
R$ 2.000,00 mensais. Qual é o salário médio desses operários: X =
b.
2.833,33
xi 50 58 66
fi 20 50 30
19.Numa grande empresa, em três setores pesquisados num
R: 58,8
determinado dia, foram constatadas faltas de funcionários, assim
distribuídos:
7. Um ourives fez uma liga fundindo 200 g de ouro 14 k (quilates) com
* 4% no setor administrativo;
100 g de ouro 16 k. O número que dá a melhor aproximação em
* 8% no setor de produção;
quilates de ouro obtido é: positivo
* 12% no setor comercial.
a) 14,5 k b) 14,6 k c) 14,7 k x d) 15,0 k e) 15,5 k
Calcule a média de faltas desse dia, considerando que, no setor de
produção, há 200 funcionários, o setor administrativo tem 50
8. Num concurso de vestibular para dois cursos A e B, compareceram
funcionários e o setor comercial tem 75 funcionários. X = (16 + 2 + 9) /
500 candidatos para o curso A e 100 candidatos para o curso B. Na
325 = 8,3%
prova de Matemática, a média aritmética geral, considerando os
dois cursos, foi 4,0. Mas, considerando apenas os candidatos ao curso
20. Um carro, numa viagem, andou 5 horas a 60 km por hora.
A, a média cai para 3,8. A média dos candidatos ao curso B, na
Determine a velocidade horária média nessas 8 horas de viagem.
prova de Matemática, foi: positivo
76,25 km/h
a) 4,2 b) 5,0 x c) 5,2 d) 6,0 e) 6,2
21. A média aritmética entre 50 números é igual a 38. Dois números
9. Seja M a média aritmética de 15 números quaisquer. Subtraindo-se
são retirados: o número 55 e o 21. Calcule a média aritmética dos
10 unidades de cada um desses números, obtêm-se 15 novos
números que restaram. 38
números, cuja média aritmética é:
a) M – 15 b) M + 150 c) M – 10 x d) M + 10 e) 10 M positivo

10. Considere um grupo formado por cinco amigos com idade de 13, EXERCÍCIOS SOBRE DESVIOS
13, 14, 14 e 15 anos. O que acontece com a média de idade desse 1) Calcule o desvio padrão dos conjuntos de dados:
grupo, se um sexto amigo com 16 anos juntar-se ao grupo? positivo a. 1, 3, 5, 9
a) Permanece a mesma b) Diminui 1 ano c) Aumenta 12 anos b. 20, 14, 15, 19, 21, 22, 20
d) Aumenta mais de 1 ano e) Aumenta menos de 1 ano x c. 17,9; 22,5; 13,3; 16,8; 15,4; 14,2
d. 20, 14, 15, 19, 21, 22, 20
11. A média aritmética dos números pares de dois algarismos é: a. 2,96 b. 2,81 c. 3,016 d. 7,04
positivo
a) 50 b) 51 c) 52 d) 53 e) 54 x 2) Sabendo que um conjunto de dados apresenta para média
aritmética e para desvio padrão, respectivamente, 18,3 e 1,47,
2. A média aritmética de um grupo de 120 pessoas é de 40 anos. Se a calcule o coeficiente de variação. 8,03%
média aritmética das mulheres é de 35 anos e dos homens é de 50
anos, qual o número de pessoas de cada sexo, no grupo? 3) Em um exame final de Matemática, o grau médio de um grupo de
(∑ ih + ∑ im)/120 = 40 .: ∑ ih/h = 50 .: ∑ im/m = 35 .: h + m = 120 → 80 150 alunos foi 7,8 e o desvio padrão, 0,80. Em Estatística, entretanto, o
mulheres e 40 homens grau médio final foi 7,3 e o desvio padrão, 0,76. Em que disciplina foi
maior a dispersão? Estatística
13. Sabe-se que a média aritmética de 5 números inteiros distintos,
estritamente positivos, é 16. O maior valor que um desses inteiros pode 4) Medidas as estaturas de 1.017 indivíduos, obtivemos X = 162,2 cm e s
assumir é: positivo = 8,01 cm. O peso médio desses mesmos indivíduos é 52 kg, com um
a) 16 b) 20 c) 10 d) 70 x e) 100 desvio padrão de 2,3 kg. Esses indivíduos apresentam maior
variabilidade em estatura ou em peso? estatura


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5) Um grupo de 85 moças tem estatura média de 160,6 cm, com um 14) Numa escola é adotado o seguinte critério: a nota da primeira
desvio padrão igual 5,97 cm. Outro grupo de 125 moças tem uma prova é multiplicada por 1, a nota da segunda prova é multiplicada
estatura média de 161,9 cm, sendo o desvio padrão igual a 6,01 cm. por 2 e a nota da última prova é multiplicada por 3. Os resultados,
Qual é o coeficiente de variação de cada um dos grupos? Qual o após somados, são divididos por 6. Se a média obtida por esse critério
grupo mais homogêneo? for maior ou igual a 6,5, o aluno é dispensado das atividades de
3,72% e 3,71%, respectivamente; o segundo grupo recuperação. Suponha que um aluno tenha tirado 6,3 na primeira
prova e 4,5 na segunda. Quanto precisará tirar na terceira para ser
6) Um grupo de 100 estudantes tem uma estatura média de 163,8 cm, dispensado da recuperação?
com um coeficiente de variação de 3,3%. Qual o desvio padrão
desse grupo? 5,41 15) Para votar, cinco eleitores demoraram, respectivamente, 3 min 38
s, 3 min 18 s, 2 min 46 s, 2 min 57 s e 3 min 26 s. Qual foi a média do
7) Uma distribuição apresenta as seguintes estatísticas: s = 1,5 e CV = tempo de votação (em minutos e segundos) desses eleitores?
2,9%. Determine a média da distribuição. 51,7
16) Dois atiradores x e y obtiveram numa série de 20 tiros, num alvo da
8) Considere as notas de três alunos em Matemática nos quatro forma indicada na figura, os seguintes resultados:
bimestres de um mesmo ano. O professor de Matemática escolherá
um deles para representar a turma numa competição de
Matemática, o que tiver a melhor regularidade. Qual deles será
escolhido?

1º Bim 2º Bim 3º Bim 4º Bim Média

Aluno A 9,5 8,5 9,0 9,5 ....
Aluno B 8,5 10,0 10,0 8,0 ....
Aluno C 10,0 7,5 9,5 9,5 ....

Resultado
Atirador
50 30 20 10 0
9 Considere as idades dos alunos de 3 grupos A, B e C:
Grupo A 15 anos 15 anos 15 anos 15 anos 15 anos x 4 6 5 4 1
Grupo B 18 anos 14 anos 13 anos 13 anos 17 anos y 6 3 5 3 3
Grupo C 16 anos 15 anos 13 anos 16 anos 15 anos
a) Qual é a média de pontos por tiro de cada um dos atiradores?
Então: b) Compare os desvios padrão de cada uma das séries de tiros e
a) obtenha a média de idade de cada grupo; decida qual é o atirador com desempenho mais regular.
b) calcule a variância de cada grupo;
c) calcule o desvio padrão de cada grupo. 17) Um professor, após verificar que toda a classe obteve nota baixa,
eliminou as questões que não foram respondidas pelos alunos. Com
10) Numa competição de salto triplo, três atletas disputavam apenas isso, as notas de todos os alunos foram aumentadas de 3 pontos.
uma vaga para uma olimpíada entre faculdades de uma cidade. Então:
Cada atleta fez 4 tentativas obtendo os seguintes resultados: A) a média aritmética ficou alterada, assim como a mediana.
Atleta I 16,50 m 15,81 m 16,42 m 16,12 m B) apenas a média aritmética ficou alterada.
Atleta II 13,90 m 17,01 m 16,82 m 15,10 m C) apenas a mediana ficou alterada.
Atleta III 15,70 m 16,02 m 16,95 m 17,00 m D) não houve alteração nem na média nem na mediana.
E) nada podemos afirmar sem conhecer o número total de alunos.
a) Qual deles obteve melhor média?
b) Qual deles foi o mais regular nessas quatro tentativas?
18) DESAFIO_ FORTIUM) Se h, g e a são, respectivamente, as médias
11) Responda: harmônica, geométrica e aritmética entre dois números, então
a) Quando numa pesquisa o desvio padrão é zero? (A) ah = 2g
b) Quando que uma distribuição é considerada homogênea? (B) ah = g
(C) ah = 2g2
12) A tabela a seguir mostra o número de acertos numa prova com (D) ah = g2
10 questões aplicadas numa turma com 50 alunos. (E) ah = 2 g
Nº da questão 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x. y
Quantidade de 15 20 12 25 48 40 35 10 30 40 19) DESAFIO_FORTIUM) Sejam M = , onde x e y são reais
x+ y
acertos
positivos, logo M é :
Obtenha: (A) o quociente entre a média geométrica e a média aritmética de x
a) a média de acertos por questão; e y.
b) o desvio padrão dessa distribuição. (B) a metade do quociente entra média geométrica e a média
aritmética de x e y.
13) Em relação aos números 1, 4, 16 e 4, obtenha: (C) a média aritmética dos inventos de x e y.
a) a média geométrica; (D) a média harmônica de x e y.
b) a média aritmética; (E) a metade da média harmônica de x e y.
c) a média harmônica.


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20. Um conjunto de 10 valores numéricos x1, x2, x3,..., x10 , tem média 05 – TÉCNICO DA RECEITA FEDERAL – 2005) Considere a
aritmética igual a 100 e variância igual a 20 . Se adicionarmos 5 a seguinte distribuição das freqüências absolutas dos salários
cada valor, isto é, se obtivermos o conjunto (x1+ 5),(x2+5),(x 3+ 5),... , mensais, em R$, referentes a 200 trabalhadores de uma indústria
(x10+ 5), então a média aritmética e a variância do novo conjunto de (os intervalos são fechados à esquerda e abertos à direita).
valores são dadas por:
A) 115 e 35 Classes de Salários Freqüências Absolutas
B) 95 e 30
de R$ 400 até R$ 500 50
C) 105 e 25
D) 105 e 20 de R$ 500 até R$ 600 70
E) 105 e 15 de R$ 600 até R$ 700 40
de R$ 700 até R$ 800 30
6. Exercícios de Provas anteriores _ESAF de R$ 700 até R$ 800 10

01- SEFAF/SP - APOF 2009) Determine a mediana das seguintes Sobre essa distribuição de salários é correto afirmar que:
observações: a) O salário modal encontra-se na classe de R$ 800 até R$ 900.
17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, b) O salário mediano encontra-se na classe de R$ 600 até R$ 700.
7, 8, 21, 13, 31, 24, 9. c) O salário modal encontra-se na classe de R$ 600 até R$ 700.
a) 13,5 d) O salário modal encontra-se na classe de R$ 700 até R$ 800.
b) 17 e) O salário mediano encontra-se na classe de R$ 500 até R$ 600.
c) 14,5
d) 15,5 06 – TÉCNICO DA RECEITA FEDERAL – 2005) A tabela mostra a
e) 14 distribuição de freqüências relativas populacionais (f ’) de uma
variável X.
02 – TÉCNICO DA RECEITA FEDERAL – 2005) Considere os X f'
seguintes conjuntos de observações referentes a cinco diferentes –1 3k
variáveis: 0 k
T: 10; 10; 10; 10; 10; 8 +1 6k
V: 10; 10; 10; 10; 8; 8 Sabendo que “k” é um número real, a média e o desvio padrão de X
X: 10; 10; 10; 8; 8; 8 são, respectivamente,
Y: 10; 10; 8; 8; 8; 8 a) 0,3; 0,9.
Z: 10; 8; 8; 8; 8; 8 b) 0,0; 0,3.
O conjunto de observações que apresenta a maior variabilidade, c) 0,3; 0,3.
medida pelo desvio padrão, é o referente à variável d) k; 3k.
a) Y e) 0,3k; 0,9k.
b) T
c) V
d) X 07 - AFTN 2005) De posse dos resultados de produtividade
e) Z alcançados por funcionários de determinada área da empresa em
que trabalha, o Gerente de Recursos Humanos decidiu empregar a
seguinte estratégia: aqueles funcionários com rendimento inferior a
03 – TÉCNICO DA RECEITA FEDERAL – 2005) Sobre a moda de dois desvios padrões abaixo da média (Limite Inferior - LI) deverão
uma variável, é correto afi rmar que a) para toda variável existe uma passar por treinamento específi co para melhorar seus
e apenas uma moda. desempenhos; aqueles funcionários com rendimento superior a dois
b) a moda é uma medida de dispersão relativa. desvios padrões acima de média (Limite Superior - LS) serão
c) a moda é uma medida não afetada por valores extremos. promovidos a líderes de equipe.
d) em distribuições assimétricas, o valor da moda encontra-se entre
o valor da média e o da mediana.
e) sendo o valor mais provável da distribuição, a moda, tal como a
probabilidade, pode assumir valores somente no intervalo entre zero
e a unidade.

04 – TÉCNICO DA RECEITA FEDERAL – 2005) Um motorista de
táxi faz 10 viagens ida-e-volta do aeroporto Santos Dumont ao
aeroporto do Galeão, no Rio de Janeiro. Ele calcula e anota a
velocidade média, em quilômetros por hora, em cada uma dessas
viagens. O motorista quer, agora, saber qual a velocidade média do Assinale a opção que apresenta os limites LI e LS a serem utilizados
táxi para aquele percurso, em quilômetros por hora, considerando pelo Gerente de Recursos Humanos.
todas as 10 viagens ida-e-volta. Para tanto, ele deve calcular a a) LI = 4,0 e LS = 9,0
média a) aritmética dos inversos das velocidades médias b) LI = 3,6 e LS = 9,4
observadas. c) LI = 3,0 e LS = 9,8
b) geométrica das velocidades médias observadas. d) LI = 3,2 e LS = 9,4
c) aritmética das velocidades médias observadas. e) LI = 3,4 e LS = 9,6
d) harmônica das velocidades médias observadas.
e) harmônica dos inversos das velocidades médias observadas.


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08 - AFTN 2005) Em uma determinada semana uma empresa b) 73,79
recebeu as seguintes quantidades de pedidos para os produtos A e c) 71,20
B: d) 74,53
e) 80,10

12 - AFTN 2002-2) Assinale a opção que corresponde ao desvio
absoluto médio do atributo X.
Assinale a opção que apresente os coeficientes de variação dos a) 16,0
dois produtos: b) 17,0
a) CVA = 15,1% e CVB = 12,3% c) 16,6
b) CVA = 16,1% e CVB = 10,3% d) 18,1
c) CVA = 16,1% e CVB = 12,3% e) 13,0
d) CVA = 15,1% e CVB = 10,3%
e) CVA = 16,1% e CVB = 15,1% 13 - AFTN 2002-2) Uma variável contábil Y, medida em milhares de
reais, foi observada em dois grupos de empresas apresentando os
resultados seguintes:
09 - AFTN 2003) O atributo Z=(X-2)/3 tem média amostral 20 e
variância amostral 2,56. Assinale a opção que corresponde ao
coeficiente de variação amostral de X.
a) 12,9%
b) 50,1%
c) 7,7% Assinale a opção correta.
d) 31,2% a) No Grupo B, Y tem maior dispersão absoluta.
e) 10,0% b) A dispersão absoluta de cada grupo é igual à dispersão relativa.
c) A dispersão relativa do Grupo B é maior do que a dispersão
10 - AFTN 2003) As realizações anuais Xi dos salários anuais de relativa do Grupo A.
uma firma com N empregados produziram as estatísticas: d) A dispersão relativa de Y entre os Grupos A e B é medida pelo
quociente da diferença de desvios padrão pela diferença de médias.
e) Sem o conhecimento dos quartis não é possível calcular a
dispersão relativa nos grupos.
Seja P a proporção de empregados com salários fora do intervalo
{R$12.500,00 ; R$16.100,00}. Assinale a opção correta: 14 - AFTN 2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um
a) P é no máximo ½ atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza
b) P é no máximo 1/1,5 contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a
c) P é no mínimo ½ tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos
d) P é no máximo 1/2,25 de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência
e) P é no máximo 1/20 relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os
extremos das classes.
Para a solução das questões seguintes utilize o enunciado que
segue. O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, As questões seguintes referem-se a esses ensaios.
numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000
indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte:

Assinale a opção que dá o valor médio amostral de X.
a) 140,10
b) 115,50
10 - AFTN 2002-2) c) 120,00
Assinale a opção que corresponde à estimativa da mediana d) 140,00
amostral do atributo X. e) 138,00
a) 71,04
b) 65,02 15 - AFTN 2002) Assinale a opção que corresponde à estimativa
c) 75,03 do quinto decil da distribuição de X.
d) 68,08 a) 138,00
e) 70,02 b) 140,00
c) 136,67
11 - AFTN 2002-2) Assinale a opção que corresponde ao valor d) 139,01
modal do atributo X no conceito de Czuber. e) 140,66
a) 69,50


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16 - AFTN 2002) Considere a transformação Z=(X- X, foram determinadas a média amostral M = 100 e o desvio-
140)/10. Para o atributo Z encontrou-se padrão S =13 da variável transformada (X-200)/5. Assinale a opção
que dá o coeficiente de variação amostral de X.
a) 3% b) 9,3% c) 17,0% d) 17,3% e) 10,0%
22 - AFTN 1998) Os dados seguintes, ordenados do menor para o
maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de
onde fi é a freqüência simples da classe i e Zi o ponto médio de ações, tomada numa bolsa de valores internacional. A unidade
classe transformado. Assinale a opção que dá a variância amostral monetária é o dólar americano.
do atributo X. 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9,
a) 720,00 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15,
b) 840,20 16, 16, 18, 23.
c) 900,10 Os valores seguintes foram calculados para a amostra:
d) 1200,15 ∑iXi = 490 e ∑iXi2 - (∑iXi)2 /50 = 668
e) 560,30
Assinale a opção que corresponde à mediana e à variância amostral,
17 - AFTN 2002) Um atributo W tem média amostral a ≠ 0 e desvio respectivamente (com aproximação de uma casa decimal)
padrão positivo b ≠ 1. Considere a transformação Z=(W-a)/b. a. (9,0 e14,0)
Assinale a opção correta. b. (9,5 e 14,0)
a) A média amostral de Z coincide com a de W. c. (9,0 e 13,6)
b) O coeficiente de variação amostral de Z é unitário. d. (8,0 e 13,6)
c) O coeficiente de variação amostral de Z não está definido. e. (8,0 e 15,0)
d) A média de Z é a/b.
e) O coeficiente de variação amostral de W e o de Z coincidem. 23 - AFTN 1998) Com base nos dados da questão acima, assinale a
opção que corresponde ao preço modal.
Para efeito das questões seguintes faça uso da tabela de a) 8 b) 23 c) 7 d) 10 e) 9
freqüências abaixo. Para efeito das cinco próximas questões, considere os seguintes
dados:
Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de
Reais, da Cia. Alfa
Classes de Freqüências
Salário Acumuladas
( 3 ; 6] 12
( 6 ; 9] 30
( 9 ; 12] 50
(12 ; 15] 60
(15 ; 18] 65
(18 ; 21] 68

18 - AFTN 2000) Quer-se estimar o salário médio anual para os 24 - AFTN 1996) Marque a opção que representa a média das
empregados da Cia. Alfa. Assinale a opção que representa a idades dos funcionários
aproximação desta estatística calculada com base na distribuição em 1º/1/90.
de freqüências. a) 37,4 anos b) 37,8 anos c) 38,2 anos
d) 38,6 anos e) 39,0 anos
a) 9,93 b) 15,00 c) 13,50 d) 10,00 e) 12,50
25 - AFTN 1996) Marque a opção que representa a mediana das
idades dos funcionários
19 - AFTN 2000) Quer-se estimar o salário mediano anual da Cia.
em 1º/1/90.
Alfa. Assinale a opção que corresponde ao valor aproximado desta
a) 35,49 anos b) 35,73 anos c) 35,91 anos
estatística, com base na distribuição de freqüências.
d) 37,26 anos e)38,01 anos
a) 12,50 b) 9,60 c) 9,00 d) 12,00 e) 12,10 Para efeito das duas questões seguintes, sabe-se que o quadro de
pessoal da empresa continua o mesmo em 1º/1/96.

20 - AFTN 2000) Suponha que a tabela de freqüências acumula- 26 - AFTN 1996) Marque a opção que representa a média das
das tenha sido construída a partir de uma amostra de 10% dos idades dos funcionários
empregados da Cia. Alfa. Deseja-se estimar, utilizando em 1º/1/96.
interpolação linear da ogiva, a freqüência populacional de salários a) 37,4 anos b) 39,0 anos c) 43,4 anos
anuais iguais ou inferiores a R$ 7.000,00 na Cia. Alfa. Assinale a d) 43,8 anos e) 44,6 anos
opção que corresponde a este número.
27 - AFTN 1996) Marque a opção que representa a mediana das
a) 150 b) 120 c) 130 d) 160 e) 180 idades dos funcionários em 1º/1/96.
a) 35,49 anos b) 36,44 anos c) 41,49 anos
21 - AFTN 2000) Numa amostra de tamanho 20 de uma d) 41,91 anos e) 43,26 anos
população de contas a receber, representadas genericamente por


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