Fórmula de Taylor e de Maclaurin no desenvolvimento limitado de funções. Propriedades e exercícios de aplicação.

1. numerosnamente 1
Fórmula de Taylor
Fórmula de Taylor de ordem
-A função f admite n derivadas no ponto , então permite aproximar qualquer função
diferenciável a um polinómio
∑
Também podemos ter:
Y
Fazendo , tem-se:
x
Com 0< Resto Lagrange
Se , temos o polinómio de Maclaurin:
∑
Assim se s na fórmula de Maclaurin, tem-se:
Ou ,
-Se a função f admite n derivadas no ponto , então para qualquer ponto é
válida a fórmula de Taylor:
, verificando a condição:

2. numerosnamente 2
Fórmula do resto de Lagrange:
Seja f função diferenciável num intervalo aberto , onde . Então para cada
, tem que o termo complementar (resto) da fórmula de Taylor de
ordem no mesmo ponto , é dado por:
Resto de Young:
Por exemplo: com 0 …é a fórmula de
Taylor de 2ª ordem
Estudo local de uma função:
Temos de estudar o comportamento da função no ponto
Se tem-se:
-quando é par (temos de atender à concavidade) :
- mínimo local com a concavidade voltada para porque
- máximo local com a concavidade voltada para porque
-quando é impar (temos de atender ao ponto de inflexão) :
- crescente
- decrescente
Desenvolvimentos Limitados
Sendo f definida numa vizinhança de (finito), f admite uma desenvolvimento limitado de
ordem n em que , se existir em , para o qual:
,  ( )
Parte regular ou principal Resto ou termo complementar

3. numerosnamente 3
No ponto , tem-se:
( )
No ponto , tem-se:
( )
Exemplos:
s s  função par
s s  função impar
√ √ ( )
Propriedades dos desenvolvimentos limitados:
-Se uma função admite desenvolvimento limitado, esse desenvolvimento limitado é único.
-A parte regular de um desenvolvimento limitado de uma função par é par.
-A parte regular de um desenvolvimento limitado de uma função impar é impar.
Soma de desenvolvimentos limitados
Parte regular
Produto de desenvolvimentos limitados
Parte regular
Quociente de desenvolvimentos limitados

4. numerosnamente 4
= (
Parte regular
Derivação de desenvolvimentos limitados
Integração de desenvolvimentos limitados
∫ ∫
∫ ( )
Exercícios de aplicação:
1- Determine o valor da função , num ponto próximo da unidade.
Resolução:
;
;
com 0 < (F. Taylor de 2ª ordem)
Substituindo por , tem-se:
com 0 <
Fazendo o enquadramento:
2- Determine o desenvolvimento de Maclaurin, de ordem 2 e um resto de Young para
a função √ na vizinhança do ponto x=0

5. numerosnamente 5
Resolução:
√
;
;
+ com
3- Estabeleça uma fórmula para s segundo Taylor?
Resolução:
s ; s
s
s
s
s
s Com s
Supondo que  s s Obté -se:
s
4- Mostre pelo desenvolvimento de Maclaurin que 
Resolução:
0< <1

6. numerosnamente 6
Como para , então (significa que é maior que qualquer uma das
parcelas do desenvolvimento acima escrito.
5- Determine o desenvolvimento limitado de ordem 3 na vizinhança de para a
função √
Resolução:
√
√
;
(√ )
√
;
(√ )
√
6- Calcule o desenvolvimento de s na vizinhança de
Resolução:
s ;
s
s
s
s
;

7. numerosnamente 7
s ( )( ) 
 desprezável

7- Calcule o desenvolvimento de no ponto de abcissa
Resolução:
s
s
s ;
s
s
s
s
s
s
s ; s
s
s
s
s
s

8. numerosnamente 8
s
s


( ) ( )


8- Sabendo que o desenvolvimento de ,
calcule o seu integral.
∫ , então:
∫
9- Escreva a fórmula de Taylor com resto de Young de ordem 4 no ponto para a
função
Resolução:
( )
( )
( )
( )
e
( )
( )

9. numerosnamente 9
Calcule o erro cometido para o cálculo de s
s u
Vamos usar a fórmula de Taylor com resto de Lagrange. O desenvolvimento terá de ser
feito para , pois no ponto não existe a função .
e
<1
;
;
com 0 <
Se 
O erro cometido é dado por:
 
Por hipótese:
 (KO)
 (OK))
ss

10. numerosnamente 10
11- Escreva um desenvolvimento de ordem 3 para a função na
vizinhança de .
Resolução:
s( ) ;
( ) ( ) s( ) ( )
s( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) s
. (1+
( ) t qu fu s é
impar logo as derivadas de ordem par anulam-se s s pr t u r
desenvolvimento de ordem 4, teríamos:
( )
Calcule o desenvolvimento de ordem 2 e de ordem 3 para a função
√ s na vizinhança de
√ s ;
;
( ) s
√ s
√ s p s s r v s r í p r s s u s

11. numerosnamente 11
Nota: Se então:
O desenvolvimento limitado de . desenvolvimento limitado de
e chama-se desenvolvimento generalizado de .
√ = √ √ tr sf r s
√
t
√ √ √
13- Considere a função . Escreva o desenvolvimento limitado de ordem ,
na vizinhança de infinito.
Resolução:
Temos de t r u s v v t t p t C v rt -se então o
desenvolvimento limitado da função na vizinhança de x=0.
se (se , temos:
g’
(nota que -2 = -2!)
(nota que -6=-3!)

12. numerosnamente 12
; (nota que -24=-4!)
(nota que -120=-5!)
14- Considere a função . Escreva o desenvolvimento limitado na
vizinhança de x=
Resolução:
Nota: Qualquer polinómio quando a sua variável tende para , é semelhante ao termo
de maior grau. Assim:
então:

13. numerosnamente 13
( )
f r s
( ) obtem-se o
desenvolvimento da função .
15- Aplicando as propriedades dos desenvolvimentos limitados, calcule o
desenvolvimento limitado de
√
no ponto
Resolução:
√
u t p r s s p rt s r gu r s bt s
( ).( ) = 1+
Assim:
√
1+
Nos Desenvolvimentos limitados, as partes regulares podem somar-se, multiplicar-se,
dividir-se. As divisões de desenvolvimentos limitados devem ser feitas por ordem
crescente dos polinómios.
16- Escreva o desenvolvimento limitado de ordem 4 de no ponto
Resolução:

14. numerosnamente 14
s u s fu s í p r s
Termo que interessa para o D.L.
17- Escreva o desenvolvimento de ordem 6 para , sendo
Resolução:
Vamos mudar de variável para termos a vizinhança de zero.
s
( )

