Contagem e probabilidade

Questões de
raciocínio lógico – Aula 3
Emerson Marcos Furtado*
Tópicos abordados:
Análise combinatória
Probabilidade
1. (ESAF) Todos os alunos de uma escola estão matriculados no curso de
Matemática e no curso de História. Do total dos alunos da escola, 6%
têm sérias dificuldades em Matemática e 4% têm sérias dificuldades
em História. Ainda com referência ao total dos alunos da escola, 1%
tem sérias dificuldades em Matemática e em História. Você conhece,
ao acaso, um dos alunos dessa escola, que lhe diz estar tendo sérias
dificuldades em História. Então, a probabilidade de que esse aluno esteja tendo sérias dificuldades também em Matemática é, em termos
percentuais, igual a:
a) 50%.
b) 25%.
c) 1%.
d) 33%.
e) 20%.
2. (CESPE/UnB) Em cada um dos itens a seguir, é apresentada uma situação, seguida de uma assertiva a ser julgada.
1. Deseja-se formar uma cadeia de símbolos com os números 0, 1 e
2, de modo que o 0 seja usado três vezes, o número 1 seja usado
duas vezes e o número 2, quatro vezes. Nessa situação, o número
de cadeias diferentes que podem ser formadas é maior que 1 280.

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mais informações www.videoaulasonline.com.br

*
Mestre em Métodos Numéricos pela Universidade
Federal do Paraná (UFPR).
Licenciado em Matemática pela UFPR. Professor de Ensino Médio de
colégios nos estados do
Paraná e Santa Catarina
desde 1992; professor do
Curso Positivo de Curitiba desde 1996; professor
da Universidade Positivo,
de 2000 a 2005; autor de
livros didáticos destinados a concursos públicos,
nas áreas de Matemática,
Matemática
Financeira,
Raciocínio Lógico e Estatística; sócio-diretor do
Instituto de Pesquisas e
Projetos
Educacionais
Práxis, de 2003 a 2007;
sócio-professor do Colégio Positivo de Joinville
desde 2006; sócio-diretor
da empresa Teorema –
Produção de Materiais Didáticos Ltda. desde 2005;
autor de material didático
para o Sistema de Ensino
do Grupo Positivo, de
2005 a 2009; professor do
CEC – Concursos e Editora
de Curitiba, desde 1992,
lecionando as disciplinas
de Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e
Matemática
Financeira;
consultor da empresa
Result – Consultoria em
Avaliação de Curitiba, de
1998 a 2000; consultor em
Estatística Aplicada com
projetos de pesquisa desenvolvidos nas áreas socioeconômica, de qualidade, educacional, industrial
e eleições desde 1999;
membro do Instituto de
Promoção de Capacitação
e Desenvolvimento (IPROCADE) desde 2008; autor
de questões para concursos públicos no estado do
Paraná desde 2003.

Questões de raciocínio lógico – Aula 3

2. Com os símbolos 0 e 1, um programador deseja gerar códigos cujos
comprimentos (números de símbolos) variem de 1 a 10 símbolos.
Nessa situação, o número de códigos diferentes que poderão ser
gerados não passa de 2 046.
3. Em um centro de pesquisas onde atuam 10 pesquisadores, deverá
ser formada uma equipe com 5 desses pesquisadores para desenvolver determinado projeto. Sabe-se que 2 dos 10 pesquisadores
só aceitam participar do trabalho se ambos forem escolhidos; caso
contrário, não participam. Nessa situação, há menos de 250 maneiras diferentes de se montar a equipe.
4. Uma empresa de engenharia de software recebeu muitas inscrições de candidatos a um cargo de programador. Somente 60% dos
inscritos eram qualificados. Um teste de aptidão foi aplicado para
ajudar a analisar as inscrições. Dos qualificados, 80% passaram no
teste, que aprovou também 20% dos não qualificados. Nessa situação, se um inscrito passou no teste (ou se foi reprovado), a probabilidade de ele ser qualificado é maior que 86%.
3. (ESAF) Paulo possui três quadros de Gotuzo e três de Portinari e quer
expô-los em uma mesma parede, lado a lado. Todos os seis quadros
são assinados e datados. Para Paulo, os quadros podem ser dispostos
em qualquer ordem, desde que os de Gotuzo apareçam ordenados
entre si em ordem cronológica, da esquerda para a direita. O número de diferentes maneiras que os seis quadros podem ser expostos é
igual a:
a) 20.
b) 30.
c) 24.
d) 120.
e) 360.
4. (ESAF) Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com
as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz
estar hoje em Paris é 2/7 e que a probabilidade de ambas, Ana e Be2



atriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos, então, recebe um telefonema de Ana informando que ela está hoje em Paris. Com a informação,
recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente
que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a:
a) 1/7.
b) 1/3.
c) 2/3.
d) 5/7.
e) 4/7.
5. (Funrio) Quantos números inteiros, cujos algarismos são todos ímpares e distintos, existem entre 300 e 900?
a) 36.
b) 24.
c) 27.
d) 48.
e) 64.
6. (Cesgranrio) Em uma urna há 5 bolas verdes, numeradas de 1 a 5, e
6 bolas brancas, numeradas de 1 a 6. Dessa urna, retiram-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas. Quantas são as extrações nas
quais a primeira bola sacada é verde e a segunda contém um número
par?
a) 15.
b) 20.
c) 23.
d) 25.
e) 27.
7. (ESAF) Um grupo de estudantes encontra-se reunido em uma sala para
escolher aleatoriamente, por sorteio, quem entre eles irá ao Simpósio
de Matemática do próximo ano. O grupo é composto de 15 rapazes e

3


de um certo número de moças. Os rapazes cumprimentam-se, todos
e apenas entre si, uma única vez; as moças cumprimentam-se, todas e
apenas entre si, uma única vez. Há um total de 150 cumprimentos. O
número de moças é, portanto, igual a:
a) 10.
b) 14.
c) 20.
d) 25.
e) 45.
8. (CESPE/UnB) Para formar-se um anagrama, permutam-se as letras de
uma palavra, obtendo-se ou não uma outra palavra conhecida. Por
exemplo, VROAL é um anagrama da palavra VALOR. Com base nessas
informações, julgue os próximos itens, relacionados aos anagramas
que podem ser obtidos a partir da palavra VALOR.
1. ( ) O número de anagramas distintos é inferior a 100.
2. ( ) O número de anagramas distintos que começam com VL é igual
a 6.
3. ( ) O número de anagramas distintos que começam e terminam com
vogal é superior a 15.
4. ( ) O número de anagramas distintos que começam com vogal e terminam com consoante é superior a 44.
9. (Funrio) O número de anagramas da palavra CHUMBO que começam
pela letra C é:
a) 120.
b) 140.
c) 160.
d) 180.
e) 200.
10. (ESAF) Pedro e Paulo estão em uma sala que possui 10 cadeiras dispostas em uma fila. O número de diferentes formas pelas quais Pedro
4



e Paulo podem escolher seus lugares para sentar, de modo que fique
ao menos uma cadeira vazia entre eles, é igual a:
a) 80.
b) 72.
c) 90.
d) 18.
e) 56.
11. (FCC) Em uma caixa há 8 processos a serem arquivados, em cada um
dos quais foi colocada uma etiqueta marcada com um único dos números de 1 a 8. Se no interior da caixa os processos não estão ordenados e, para dar início à execução de tal tarefa, um funcionário do
Tribunal de Contas pegar aleatoriamente dois desses processos, a
probabilidade de que nessa retirada os números marcados em suas
respectivas etiquetas sejam consecutivos é de:
a) 25%.
b) 20%.
c) 12,5%.
d) 10%.
e) 7,5%.
12. (Funrio) Um número natural é primo quando ele é divisível exatamente por dois números naturais distintos. Escolhendo, ao acaso, um número natural maior que zero e menor que 17, é correto afirmar que a
probabilidade desse número ser primo e deixar resto 1 na divisão por
4 é:
a) 1/8.
b) 3/16.
c) 3/8.
d) 7/16.
e) 1/4.

5


13. (CESPE/UnB) Um baralho comum contém 52 cartas de 4 tipos (naipes)
diferentes: paus ( ), espadas ( ), copas ( ) e ouros ( ). Em cada naipe,
que consiste de 13 cartas, 3 dessas cartas contêm as figuras do rei,
da dama e do valete, respectivamente. Com base nessas informações,
julgue os itens subsequentes.
1. ( ) probabilidade de se extrair aleatoriamente uma carta de um
A
baralho e ela conter uma das figuras citadas no texto é igual a
3/13.
2. ( ) abendo que há 4 ases em um baralho comum, sendo um de
S
cada naipe, conclui-se que a probabilidade de se extrair uma
carta e ela não ser um ás de ouros é igual a 1/52.
3. ( ) probabilidade de se extrair uma carta e ela conter uma figura
A
ou ser uma carta de paus é igual a 11/26.
14. (ESAF) Há três moedas em um saco. Apenas uma delas é uma moeda
normal, com “cara” em uma face e “coroa” na outra. As demais são moedas defeituosas. Uma delas tem “cara” em ambas as faces. A outra tem
“coroa” em ambas as faces. Uma moeda é retirada do saco, ao acaso, e
é colocada sobre a mesa sem que se veja qual a face que ficou voltada
para baixo. Vê-se que a face voltada para cima é “cara”. Considerando
todas essas informações, a probabilidade de que a face voltada para
baixo seja “coroa” é igual a:
a) 1/2.
b) 1/3.
c) 1/4.
d) 2/3.
e) 3/4.
15. (Cesgranrio) Joga-se N vezes um dado comum, de seis faces, não viciado, até que se obtenha 6 pela primeira vez. A probabilidade de que N
seja menor do que 4 é:
a) 150/216.
b) 91/216.
c) 75/216.
d) 55/216.
6

e) 25/216.parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A,
Esse material é


16. (ESAF) Um grupo de amigos formado por três meninos (entre eles Caio
e Beto) e seis meninas (entre elas Ana e Beatriz), compram ingressos
para nove lugares localizados lado a lado, em uma mesma fila no cinema. Ana e Beatriz precisam sentar-se juntas porque querem compartilhar do mesmo pacote de pipocas. Caio e Beto, por sua vez, precisam
sentar-se juntos porque querem compartilhar do mesmo pacote de
salgadinhos. Além disso, todas as meninas querem sentar-se juntas, e
todos os meninos querem sentar-se juntos. Com essas informações, o
número de diferentes maneiras que esses amigos podem sentar-se é
igual a:
a) 1 920.
b) 1 152.
c) 960.
d) 540.
e) 860.
17. (FCC) Uma escola oferece cursos para a aprendizagem de apenas cinco idiomas. Sabendo que cada professor dessa escola ministra aulas
de exatamente dois idiomas e que, para cada dois idiomas, há um único professor que ministra aulas desses dois idiomas, é correto afirmar
que o número de professores dessa escola é:
a) 5.
b) 7.
c) 10.
d) 14.
e) 20.
18. (CESPE/UnB) Em geral, empresas públicas ou privadas utilizam códigos para protocolar a entrada e a saída de documentos e processos.
Considere que se deseja gerar códigos cujos caracteres pertencem ao
conjunto das 26 letras de um alfabeto, que possui apenas 5 vogais.
Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.
1. ( ) e os protocolos de uma empresa devem conter 4 letras, sendo
S
permitida a repetição de caracteres, então podem ser gerados
menos de 400 000 protocolos distintos.

7


2. ( ) e uma empresa decide não usar as 5 vogais em seus códigos,
S
que poderão ter 1, 2 ou 3 letras, sendo permitida a repetição
de caracteres, então é possível obter mais de 11 000 códigos
distintos.
3. ( ) número total de códigos diferentes formados por 3 letras
O
distintas é superior a 15 000.
19. (ESAF) Ana tem o estranho costume de somente usar blusas brancas
ou pretas. Por ocasião de seu aniversário, Ana ganhou de sua mãe quatro blusas pretas e cinco brancas. Na mesma ocasião, o pai de Ana a
presenteou com quatro blusas pretas e duas brancas. Vítor, namorado de Ana, a presenteou com duas blusas brancas e três pretas. Ana
guardou todas essas blusas – e apenas essas – em uma mesma gaveta.
Uma tarde, arrumando-se para ir ao parque com Vítor, Ana retira, ao
acaso, uma blusa dessa gaveta. A probabilidade de a blusa retirada
por Ana ser uma das blusas pretas que ganhou de sua mãe ou uma das
blusas brancas que ganhou de seu pai é igual a:
a) 4/5.
b) 7/10.
c) 3/5.
d) 3/10.
e) 2/3.
20. (FCC) Teófilo foi a um caixa eletrônico retirar algum dinheiro e, no instante em que foi digitar a sua senha, não conseguiu lembrar de todos
os quatro algarismos que a compunham. Ocorreu-lhe, então, que sua
senha não tinha algarismos repetidos, era um número par e o algarismo inicial era 8. Quantas senhas poderiam ser obtidas a partir do que
Teófilo lembrou?
a) 224.
b) 210.
c) 168.
d) 144.
e) 96.
8



21. (ESAF) Quer-se formar um grupo de dança com 6 bailarinas, de modo
que três delas tenham menos de 18 anos, que uma delas tenha exatamente 18 anos, e que as demais tenham idade superior a 18 anos.
Apresentaram-se, para a seleção, doze candidatas, com idades de 11
a 22 anos, sendo a idade, em anos, de cada candidata, diferente das
demais. O número de diferentes grupos de dança que podem ser selecionados a partir desse conjunto de candidatas é igual a:
a) 85.
b) 220.
c) 210.
d) 120.
e) 150.
22. (CESPE/UnB) Cartões numerados sequencialmente de 1 a 10 são colocados em uma urna, completamente misturados. Três cartões são
retirados ao acaso, um de cada vez, e uma vez retirado o cartão não é
devolvido à urna. Com base nessas informações, julgue os itens que se
seguem.
1. (

) probabilidade de os três cartões retirados constituírem,
A
na ordem em que foram retirados, uma sequência ordenada
crescente, é inferior a 1/103.

2. (

) e o primeiro cartão for o número 7 e o segundo for o número
S
10, então a probabilidade de o terceiro cartão ser um número
menor do que 5 é igual a 1/2.

23. (ESAF) Dez amigos, entre eles Mário e José, devem formar uma fila
para comprar as entradas para um jogo de futebol. O número de diferentes formas como essa fila de amigos pode ser formada, de modo
que Mário e José fiquem sempre juntos, é igual a:
a) 2! 8!
b) 0! 18!
c) 2! 9!
d) 1! 9!
e) 1! 8!


9


24. (ESAF) Ana é enfermeira de um grande hospital e aguarda com ansiedade o nascimento de três bebês. Ela sabe que a probabilidade de nascer um menino é igual à probabilidade de nascer uma menina. Além
disso, Ana sabe que os eventos “nascimento de menino” e “nascimento
de menina” são eventos independentes. Desse modo, a probabilidade
de que os três bebês sejam do mesmo sexo é igual a:
a) 2/3.
b) 1/8.
c) 1/2.
d) 1/4.
e) 3/4.

Gabarito
1. B

Vamos organizar as informações segundo alguns diagramas, observe:
Matemática

História

1%

6%

4%

A partir dos percentuais, podemos calcular os percentuais de alunos
que têm sérias dificuldades em apenas uma das disciplinas:
Matemática

5%

História

1%

3%

6%
10


4%


Se o aluno escolhido tem sérias dificuldades em História, então o percentual correspondente a 4% constitui o novo universo de alunos.
Matemática

História

5%

1%

3%

6%

4%

Pelo diagrama, observa-se também que 1% dos alunos tem sérias dificuldades em Matemática e História.
Matemática

História

1%

5%

3%

6%

4%

Logo, se um aluno está tendo sérias dificuldades em História, a probabilidade de que também esteja tendo sérias dificuldades em Matemática é dada por:
1
p=

1%
4%

=

100
4

=

1
100

.

100
4

=

1
4

= 0,25 = 25%

100

O cálculo esclarece que a cada 4 alunos que têm sérias dificuldades
em História, um deles também tem em Matemática, ou seja, 25%.

2.


11


1. E

Uma das cadeias a ser construída tem a forma: 000112222.

A quantidade de cadeias que podem ser formadas com esses símbolos é igual ao número de permutações de 9 elementos com 3
repetições do algarismo 0, com 2 repetições do algarismo 1 e com
4 repetições do algarismo 2:

3,
P9 2, 4 =

9!
3! . 2! . 4!

=

9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4!
3 . 2 . 1 . 2 . 1 . 4!

=

9.8.7.6.5
6.2

= 1 260

Logo, o número de cadeias é menor que 1 280.

2. C

1 símbolo

2 símbolos

2.2=4

3 símbolos

2.2.2=8

4 símbolos

2 . 2 . 2 . 2 = 16

5 símbolos

2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32

6 símbolos

2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64

7 símbolos

2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 128

8 símbolos

2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 256

9 símbolos

2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 512

10 símbolos

Assim, podendo utilizar de 1 até 10 símbolos, a quantidade total
de códigos é dada por:

S = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1 024.

12

De acordo com o sistema binário em que apenas os símbolos 0 e 1
são utilizados, temos:

Multiplicando essa equação por 2, temos:

2

2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 1 024



2 . S = 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1 024 + 2048

2 . S = (4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1 024) + 2048

2 . S = (S – 2) + 2 048

2 . S = S – 2 + 2 048

2 . S – S = 2 048 – 2

S = 2 046

Portanto, o número de códigos diferentes que poderão ser gerados não passa de 2 046.

3. C

Inicialmente, temos:
A
10 pesquisadores B
8

A equipe será formada por 5 pesquisadores.

1.ª hipótese: A e B participam do trabalho.

Nesse caso, escolhemos os outros 3 pesquisadores entre os 8 restantes:
3
C8 =

8!
3! . (8 - 3)!

=

8 . 7 . 6 . 5!
3 . 2 . 1 . 5!

=

8.7.6
6

= 8 . 7 = 56

2.ª hipótese: A e B não participam do trabalho.

Assim, escolhemos os 5 pesquisadores entre os 8 restantes:
5
C8 =

8!
5! . (8 - 5)!

=

8 . 7 . 6 . 5!
5! . 3 . 2 . 1

=

8.7.6
6

= 8 . 7 = 56

Os pesquisadores A e B ou participam juntos ou não participam da
equipe. Logo, a quantidade de equipes nessas condições é dada
por:

56 + 56 = 112.


13


Portanto, há menos de 250 maneiras diferentes de se montar a
equipe.

4. E

Vamos supor que a empresa tenha recebido 100 inscrições. Se 60%
dos inscritos eram qualificados, então:
100 inscrições

60 qualificados
40 não qualificados

Se, dos qualificados, 80% passaram no teste, então 20% não passaram. Assim, podemos classificar os qualificados em aprovados ou
reprovados, ou seja:

0,80 . 60 = 48 qualificados aprovados.
0,20 . 60 = 12 qualificados reprovados.
Assim, podemos escrever:
48 aprovados
12 reprovados
100 inscrições
40 não qualificados
60 qualificados

Se 20% dos não qualificados foram aprovados, então 80% dos
qualificados foram aprovados, ou seja:

0,20 . 40 = 8 não qualificados aprovados.

0,80 . 40 = 32 não qualificados reprovados.

Dessa forma, temos:

100 inscrições

14

48 aprovados
60 qualificados 12 reprovados
40 não qualificados 8 aprovados
32 reprovados

Observe que a quantidade de aprovados é igual a 48 + 8 = 56.



Destes, exatamente 48 deles eram qualificados.

Assim, entre os aprovados o percentual de qualificados é dado por:

0,857 = 85,7%
56 7
Portanto, a probabilidade de ele ser qualificado não é maior que 86%.

p=

48

=

6

3. D

Vamos representar os quadros por G1, G2, G3, P1, P2 e P3, em que os quadros G simbolizam os quadros de Gotuzo e os quadros P simbolizam
os de Portinari. Como são todos distintos, a quantidade de maneiras
de ordenarmos é dada por:

6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720

Entretanto, nem todas as 720 sequências apresentam os quadros de
Gotuzo em ordem cronológica. Vamos supor que a correta ordem cronológica dos quadros do Gotuzo seja:

G1 G2 G3

Nas 720 sequências possíveis, todas as ordenações dos quadros de
Gotuzo foram consideradas. Observe quais são essas ordenações:

G1 G2 G3

G1 G3 G2

G2 G1 G3

G2 G3 G1

G3 G1 G2

G3 G2 G1

São 6 ordenações possíveis. Das 6 ordenações apenas uma delas se
apresenta em ordem cronológica. Assim, podemos considerar que a
cada 6 ordenações realizadas, uma delas tem os quadros do Gotuzo
em ordem cronológica. Dessa forma, a quantidade de maneiras deve
ser igual a um sexto da quantidade total de sequências, ou seja:
6!
3!

=

720
6

= 120


15


Ou seja, exatamente 120 sequências possuem os quadros de Gotuzo
em ordem cronológica.

4. B

p(A) = 3/7 probabilidade de Ana estar em Paris.

p(B) = 2/7 probabilidade de Beatriz estar em Paris.

p(A e B) = 1/7 probabilidade de Ana e Beatriz estarem em Paris.

Deseja-se calcular a probabilidade de Beatriz estar em Paris, dado que
Ana está. Tal probabilidade pode ser representada por p(B/A) e é dada
por:

p(B/A) =

p(A e B)
p(A)

Substituindo as informações do enunciado, temos:
1

p(B/A) =

7

=

1

·

7

=

1

3
7 3 3
7
Logo, sabendo-se que Ana está em Paris, a probabilidade de Beatriz
também estar é igual a 1/3.

5. A

Para que o número esteja compreendido entre 300 e 900, é necessário que comece com 3, 5 ou 7, e que tenha exatamente 3 algarismos.
Logo, existem 3 possibilidades de escolha para o algarismo das centenas (3 ou 5 ou 7).

Escolhido o algarismo das centenas e observando que os algarismos
devem ser distintos, qualquer outro algarismo ímpar pode ser escolhido para as dezenas, com exceção do algarismo utilizado nas centenas.
Logo, existem 4 escolhas possíveis para as dezenas.

16

Existem 5 algarismos ímpares: 1, 3, 5, 7 e 9.

Escolhidos os algarismos das centenas e das dezenas, restam 3 opções
de escolha para o algarismo das unidades. Dessa forma, utilizando o
princípio multiplicativo, a quantidade total de escolhas é dada por:


3 . 4 . 3 = 36.

Portanto, entre 300 e 900, existem 36 números inteiros, cujos algarismos são todos ímpares e distintos.

6. C

Conjunto das bolas verdes: {V1, V2, V3, V4, V5}.

Conjunto das bolas brancas: {B1, B2, B3, B4, B5, B6}.

Vamos calcular a quantidade de extrações considerando duas hipóteses: a 1.ª bola é verde e par, ou a 1.ª bola é verde e ímpar.

1.ª hipótese: a 1.ª bola é verde e par.
1.ª bola

2 opções de escolha (V2 ou V4).

2.ª bola

4 opções de escolha (V2 /V4 ou B2 ou B4 ou B6).

2.ª hipótese: a 1.ª bola é verde e ímpar
1.ª bola
2.ª bola

3 opções de escolha (V1 ou V3 ou V5).
5 opções de escolha (V2 ou V4 ou B2 ou B4 ou B6).

Assim, é possível retirar uma primeira bola verde e par (2 opções) e,
para cada bola verde e par, retirar uma segunda bola par (4 opções),
ou retirar uma primeira bola verde e ímpar (3 opções) e, para cada bola
verde e ímpar, retirar uma segunda bola par (5 opções):
2 . 4 + 3 . 5 = 8 + 15 = 23.

7. A

Utilizando a fórmula de combinações simples, temos:
Cp =
n

n!
p!(n – p)!

onde n é a quantidade de elementos distintos disponíveis e p é a
quantidade de elementos distintos escolhidos entre os n elementos
disponíveis.

Vamos supor que o grupo seja formado por x moças. Como qualquer
cumprimento é realizado por duas pessoas, não importando a ordem,

17


a quantidade de cumprimentos entre duas moças é dada por:
C2 =
x

x!
2! . (x – 2)!

=

x . (x – 1) . (x – 2)!
2 . 1 . (x – 2)!

=

x . (x – 1)
2

A quantidade de cumprimentos entre dois homens é dada por:
15!
15 . 14 . 13!
15 . 14
=
=
= 105
C2 =
15
2! . (15 – 2)!
2 . 1 . 13!
2
Se houve um total de 150 cumprimentos, então a soma das quantidades de cumprimentos entre moças e entre homens é igual a 150, ou
seja:
x . (x – 1)
+ 105 = 150
2
x . (x – 1)
= 150 – 105
2
x . (x – 1)
= 45
2
x . (x – 1) = 90
O produto de dois números positivos consecutivos é igual a 90 apenas
para:
x = 10 e x – 1 = 9.

Logo, 10 moças estavam presentes.

8.
1. E

Para calcular a quantidade de anagramas, basta permutarmos as
cinco letras, sem qualquer repetição. Logo, a quantidade de anagramas é dada por:
P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120.

Logo, a quantidade não é inferior a 100.

2. C

18

Fixando as letras V e L, as demais podem ser permutadas. Se a palavra
tem 5 letras, então apenas 3 delas podem ser trocadas de lugar. Dessa
forma, a quantidade de anagramas que começam por VL é dada por:


P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6.
3. E

A palavra VALOR é composta por duas vogais. A escolha da vogal
do início do anagrama pode ser feita de 2 maneiras (A ou O). Escolhida a vogal do início, a vogal do final pode ser escolhida de
uma única maneira. As três demais letras que ficarão entre as duas
vogais extremas podem ser trocadas de lugar. Logo, a quantidade
de anagramas que começam e terminam com vogal é dada por:
2 . 1 . P3 = 2 . 1 . 3 . 2. 1 = 12.

Dessa forma, a quantidade não é superior a 15.

4. E

A palavra VALOR é composta por duas vogais e 3 consoantes. A escolha da vogal do início do anagrama pode ser feita de 2 maneiras
(A ou O). A escolha da consoante do final da palavra pode ser feita
de 3 maneiras (V ou L ou R). As três demais letras que ficarão entre
a vogal do início e a consoante do final podem ainda ser trocadas
de lugar. Assim, a quantidade de anagramas que começam com
vogal e terminam com consoante é dada por:
2 . 3 . P3 = 2 . 3 . 3 . 2. 1 = 36.

Logo, a quantidade não é superior a 44.

9. A

A palavra CHUMBO é composta por 6 letras distintas. Fixada a letra
C, as demais (5 letras) podem ser permutadas. Logo, a quantidade de
anagramas que começam com a letra C é dada por:
P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120.

10. B

Pedro pode escolher o seu lugar de 10 maneiras. Escolhido o lugar de
Pedro, Paulo pode escolher o seu lugar de 9 maneiras. Logo, Pedro e
Paulo podem escolher os seus lugares de:
10 . 9 = 90 maneiras.


19


Desse total, vamos encontrar a quantidade de maneiras em que eles
estão sentados juntos, ou seja, sem qualquer cadeira vazia entre eles.
Se numerássemos as cadeiras, constataríamos que, juntos, eles poderiam sentar nas seguintes 9 opções:
(1 e 2); (2 e 3); (3 e 4); (4 e 5); (5 e 6); (6 e 7); (7 e 8); (8 e 9); (9 e 10).

Entretanto, ainda é possível considerar que na cadeira 1 pode sentar
Pedro e na cadeira 2 pode sentar Paulo, ou vice-versa. Logo, ambos
podem sentar juntos de:
9 . 2 = 18 maneiras.

Assim, se das 90 maneiras possíveis, subtrairmos as 18 em que ambos
estão juntos, obteremos a resposta:
90 – 18 = 72.

Portanto, o número de diferentes formas pelas quais Pedro e Paulo podem escolher seus lugares para sentar, de modo que fique ao menos
uma cadeira vazia entre eles, é igual a 72.

11. A

A escolha de 2 processos entre os 8 pode ser feito de:
8!
8 . 7 . 6!
8.7
=
=
= 28
C2 =
8
2! . (8 – 2)!
2 . 1 . 6!
2
As escolhas de dois números consecutivos são as seguintes:
{1, 2}; {2, 3}; {3, 4}; {4, 5}; {5, 6}; {6, 7}, {7, 8}.

Logo, existem 7 escolhas favoráveis a dois números consecutivos.

A probabilidade de escolhermos dois números consecutivos é dada
pelo quociente entre a quantidade total de escolhas e a quantidade
de escolhas favoráveis. Assim, a probabilidade é dada por:

p=

7
28

=

1
4

= 0,25 = 25%

12. A

20

O espaço amostral é formado pelos números inteiros maiores que 0 e
menores que 17, ou seja, são 16 números:
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}.


Observe que 1, 5, 9 e 13 são os únicos números do espaço amostral
quer deixam resto 1 quando divididos por 4:

4.0+1=1

4.1+1=5

4.2+1=9

4 . 3 + 1 = 13

Entretanto, dos números que deixam resto 1 quando divididos por 4,
apenas 5 e 13 são primos, ou seja, são apenas 2 números nessas condições. Logo, a probabilidade de o número escolhido ser primo e deixar
resto 1 na divisão por 4 é dada por:

p=

2
16

=

1
8

13.

Das 52 cartas do baralho, exatamente 4 são reis, 4 são damas e 4 são
valetes. Assim, 12 das 52 cartas são figuras.
1. C

A probabilidade da carta ser uma figura qualquer é dada por:

p=

12
52

=

3
13

2. E

Das 52 cartas do baralho, apenas uma delas é um ás de ouro. Logo,
a probabilidade de obtermos um ás de ouro é igual a 1/52. Por outro lado, as outras 51 cartas são diferentes do ás de ouro. Ou seja, a
probabilidade de a carta não ser o ás de ouro é dada por:

p=

51
52

3. C

Existem 12 figuras e 13 cartas de paus. Das 52 cartas do baralho,
exatamente 3 delas são figuras de paus. São elas: rei de paus, dama
de paus e valete de paus. Logo, para calcular quantas cartas são

21


figuras ou de paus devemos adicionar a quantidade de figuras (12)
com a quantidade de cartas de paus (13) e, do resultado obtido,
subtrair a quantidade de cartas que são simultaneamente figuras
e de paus (3). Assim, a quantidade de cartas que são figuras ou de
paus é dada por:

12 + 13 – 3 = 22.

Logo, a probabilidade da carta ser uma figura ou de paus é dada
por:

p=

22
52

=

11
26

14. B

Se uma das faces é cara, certamente a moeda de duas coroas não foi
escolhida. Assim, a moeda escolhida pode ser a moeda comum, com
uma cara e uma coroa, ou a moeda com duas caras. Como uma face
cara está visível, das quatro faces (duas da moeda comum e duas da
moeda com duas caras), apenas 3 faces ainda são possíveis. Entre as 3
faces possíveis, uma é coroa (moeda comum) e duas são caras (moeda
com duas caras). Logo, das 3 faces possíveis, exatamente uma delas é
coroa. Logo, a probabilidade é dada por:

p=

1
3

15. B

A probabilidade de o número 6 aparecer no 1.º lançamento é igual a
1/6.

A probabilidade de o número 6 não aparecer no 1.º lançamento é igual
a 5/6.

O número 6 deve aparecer, no máximo, até o 3.º lançamento. Assim, o
número 6 pode aparecer no 1.º lançamento ou, caso não apareça no 1.º,
pode aparecer no 2.º ou, caso não apareça no 2.º, pode aparecer no 3.º.
Dessa forma, temos:
p=

1
6

+

p=
22

5

.

1

5

+

.

5

6 6
6 6
1
5 25
6

+

.

1
6

.

36 216



p=

36 + 30 + 25

p=

216
91
216

16. A

Para calcularmos a quantidade de maneiras em que Caio e Beto ficam
juntos, podemos considerar a dupla como se fosse um único elemento. Assim, poderíamos permutar apenas dois elementos (Caio e Beto
como sendo um elemento e o outro menino como sendo o outro elemento). Além disso, o Caio e Beto podem ficar juntos de duas diferentes maneiras: Caio e Beto ou Beto e Caio. Logo, a quantidade de
maneiras de Caio e Beto ficarem juntos é dada por:
P2 . 2 = 2! . 2 = 2 . 1 . 2 = 4.

O mesmo ocorrerá com as meninas. Vamos considerar Ana e Beatriz
como sendo um único elemento a ser permutado. Assim, seriam cinco meninas (Ana e beatriz como sendo um único elemento e outras
cinco meninas). Da mesma forma, Ana e Beatriz também podem ser
trocadas entre si de lugar. Portanto, a quantidade de maneiras de Ana
e Beatriz ficarem juntas é dada por:
P5 . 2 = 5! . 2 = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 . 2 = 240.

Além disso, é possível trocar de lugar os grupos, ou seja, colocar o grupo dos meninos à esquerda e o das meninas à direita ou vice-versa.

Nessas condições, a quantidade total é dada por:
4 . 240 . 2 = 1 920.

17. C

A cada dois idiomas, há exatamente um professor. Logo, a quantidade
de professores é igual ao número de escolhas que se pode fazer de
dois idiomas entre os cinco disponíveis. Dessa forma, a quantidade de
professores é dada por:
5!
5 . 4 . 3! 5 . 4
=
=
= 10

C2 =
5
2! . (5 – 2)!
2 . 1 . 3!
2
18.
1. C

23


Se os protocolos de uma empresa devem conter 4 letras, sendo permitida
a repetição de caracteres, então a 1.ª letra pode ser escolhida de 26 maneiras. Escolhida a 1.ª letra, a 2.ª letra pode ser escolhida de 25 maneiras.
Escolhidas a 1.ª e a 2.ª letras, a 3.ª pode ser escolhida de 24 maneiras. Escolhidas a 1.ª, a 2.ª e a 3.ª letras, a 4.ª pode ser escolhida de 23 maneiras.
Assim, a quantidade de protocolos é dada por:
26 . 25 . 24 . 23 = 358 800.

Logo, podem ser gerados menos de 400 000 protocolos distintos.
2. E

Se a empresa decide não usar as 5 vogais em seus códigos, então apenas as 21 consoantes poderão ser utilizadas. Existem 21 maneiras de
escolher o código de um único caractere. Para calcular a quantidade de códigos com 2 caracteres, é preciso escolher as duas letras que
o compõe. Existem 21 escolhas para o 1.º caractere e, escolhido o 1.º,
existem também 21 escolhas para o 2.º caractere. Assim, existem 21 .
21 = 441 códigos distintos com exatamente 2 caracteres. Raciocinando
da mesma maneira, podemos calcular a quantidade de códigos com 3
caracteres. A escolha do 1.º caractere pode ser feita de 21 maneiras, a
escolha do 2.º caractere também de 21 maneiras, bem como a escolha
do 3.º que pode ser escolhido de 21 maneiras. Dessa forma, existem
21 . 21 . 21 = 9 261 códigos distintos com 3 caracteres.

Portanto, a quantidade total com um, dois ou três caracteres é dada por:
21 + 21 . 21 + 21 . 21 . 21 = 21 + 441 + 9 261 = 9 723.

Logo, não é possível obter mais de 11 000 códigos distintos.
3. C

O número total de códigos diferentes formados por 3 letras distintas é
dado por:
26 . 25 . 24 = 15 600.

Assim, o número total de códigos diferentes formados por 3 letras distintas é superior a 15 000.

19. D

24

Mãe: 4 pretas + 5 brancas.


Pai: 4 pretas + 2 brancas.

Namorado: 3 pretas + 2 brancas.

Total de blusas: 4 + 5 + 4 + 2 + 3 + 2 = 20.

Das 20 blusas que ganhou, 4 blusas pretas são presentes de sua mãe e
2 blusas brancas são presentes de seu pai, ou seja, 4 + 2 = 6 blusas.

Logo, a probabilidade de a blusa retirada por Ana ser uma das blusas
pretas que ganhou de sua mãe ou uma das blusas brancas que ganhou de seu pai é igual a:
p=

20. A

6
20

=

3
10

A senha começa com o algarismo 8, logo, existe uma única opção de
escolha para o 1.º algarismo. Se os algarismos são distintos e 8 é um
deles, existem 4 opções de escolha para que a senha seja representada
por um número par, ou seja, o último algarismo pode ser 0, 2, 4 ou 6.
Dos algarismos que existem no sistema decimal, dois deles já foram
considerados (1.º e 4.º algarismos). Escolhidos o 1.º e o 4.º algarismos,
o 2.º algarismo pode ser escolhido de 8 maneiras possíveis, pois é distinto dos dois primeiros já considerados. Escolhidos o 1.º, o 2.º e o 4.º
algarismos, restam 7 opções de escolha para o 3.º. Logo, a quantidade
de senhas que poderiam ser obtidas a partir das lembranças de Teófilo
é dada por:
1 . 8 . 7 . 4 = 224.

21. C

O grupo deve ser formado por 6 bailarinas.

Se apareceram 12 candidatas, com idades de 11 a 22 anos, todas com
idades distintas, certamente as 12 idades das bailarinas correspondem
aos números inteiros de 11 a 22, ou seja, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,
19, 20, 21 e 22.

Logo, existem 7 bailarinas com menos de 18 anos. Como exatamente 3
bailarinas com menos de 18 anos devem ser escolhidas, a quantidade
de escolhas é dada por:
7!
7 . 6 . 5 . 4!
7.6.5
=
=
= 7 . 5 = 35
C3 =
7
3! . (7 – 3)!
3 . 2 . 1 . 4!
6


25


Das 12 bailarinas candidatas, exatamente uma delas tem 18 anos.
Como uma delas das escolhidas deve ter exatamente 18 anos, existe
uma única possibilidade de escolha.

Das 6 bailarinas escolhidas, 3 devem ter menos de 18 anos, uma deve
ter exatamente 18 anos e, portanto, apenas 2 devem ter idade superior a 18 anos. Mas, das 12 bailarinas candidatas, 4 delas tem idade
superior a 18 anos. Assim, devemos escolher 2 bailarinas que possuem
mais de 18 anos entre as 4 bailarinas candidatas. Isso pode ser feito da
seguinte maneira:

C2 =
4

4!
2! . (4 – 2)!

4 . 3 . 2!

=

2 . 1 . 2!

=

4.3
2

=6

Assim, se devem ser escolhidas 3 bailarinas com menos de 18 anos, exatamente 1 com 18 anos e 2 com mais de 18 anos, então a quantidade
total de maneiras com que essas escolhas podem ser feitas é dada por:
35 . 1 . 6 = 210.

Portanto, o número de diferentes grupos de dança que podem ser selecionados a partir desse conjunto de candidatas é igual a 210.

22.
1. E

Escolhidos três números distintos de 1 a 10, a sequência formada e
crescente destes três números sempre será única. Assim, a quantidade
de sequências crescentes será obtida pela quantidade de escolhas de
três números quaisquer e distintos de 1 a 10, ou seja:
10!
3! . (10 – 3)!

10!
(10 – 3)!

=

10 . 9 . 8 . 7!
7!

= 10 . 9 . 8 = 720

Assim, a probabilidade é dada por:
p=

26

3 . 2 . 1 . 7!

A quantidade total de escolhas ordenadas de três números distintos é
dada por:
=

10 . 9 . 8 . 7!

=

120
720

=

1
6

≅ 0,1667



O valor 0,1667 não é inferior a 1/103, ou 0,001.
2. C

Se o primeiro cartão for o número 7 e o segundo for o número 10,
então restam 8 cartões disponíveis, uma vez que os dois primeiros cartões não são devolvidos. Existem exatamente 4 números menores que
5 (1, 2, 3 ou 4). Logo, a probabilidade é dada por:
p=

4
8

=

1
2

23. C

Para que Mário e José fiquem juntos, podemos considerá-los como se
fossem um único elemento. Assim, nesse raciocínio, existiriam P9 maneiras de formarmos a fila. Entretanto, Mário pode vir à frente de José,
ou José pode vir à frente de Mário, ou seja, ainda é necessário efetuar a
troca de lugares entre os dois. Assim, a quantidade de modos que essa
fila de amigos pode ser formada, com Mário e José juntos é dada por:
P9 . P2 = 9! . 2! = 2! . 9!

24. D

Os três bebês podem ser do mesmo sexo sendo do sexo masculino ou
do sexo feminino. A probabilidade de o 1.º bebê ser do sexo masculino
é igual a 1/2. Como os nascimentos são independentes, a probabilidade de o 2.º bebê também ser do sexo masculino é igual a 1/2. Da mesma forma, a probabilidade de o 3.º filho ser do sexo masculino é igual
a 1/2. Logo, a probabilidade de os 3 bebês serem do sexo masculino é
igual a:
1 1 1
1
.
.
=
p=
2 2 2
8

A probabilidade de os 3 bebês serem do sexo feminino é igual à probabilidade de os 3 bebês serem do sexo masculino. Assim, a probabilidade de os 3 bebês serem do mesmo sexo pode ser obtida multiplicando por 2 a probabilidade de os 3 bebês serem do sexo masculino.
Portanto, a resposta é dada por:
p=

1
8

.2=

2
8

=

1
4


27


28


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