Circulos do chico nery [solução ponce]
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1) O documento apresenta um triângulo retângulo ABC e constrói os círculos inscritos nos triângulos CBD e CDA. 2) A ceviana CD é tangente aos dois círculos inscritos, que possuem o mesmo raio r. 3) É provado geometricamente que a razão entre as partes da ceviana CD é igual a 4, ou seja, baCD/CD2 = 4.
![CIRCULOS DO CHICO NERY
Na figura, ABC é um triângulo retângulo em C,
com CB = a e CA = b.
CD é uma ceviana simultaneamente
tangente ao incírculos , de mesmo raio r, dos
triângulos CBD e CDA .
Prove que baCD ..2 2
DEMONSTRAÇÃO [ GEOMETRIA SINTETICA]
Sejam CD = d e BA = c.
Sejam O1 e O2 , centros dos incírculos de raio r , dos triângulos CBD e CDA respectivamente.
Dai, O1 e O2 distam r da hipotenusa BC e, portanto, a reta O1O2 é paralela `a reta BC.
Sejam E e F respectivamente pés das bissetrizes interna dos ∆CBD e ∆CDA relativas ao vértice C.
Claramente, O1 CE e O2 CF . Ainda mais, denotando CD por d, tem-se do teorema da bissetriz
interna , aplicado a estes triângulos:
Já, denotando por :
P : ponto de intersecção da reta O1O2 c om a ceviana CD.
S : ponto de tangencia do incÍrculo de centro O1 com a ceviana CD.
T : ponto de tangencia do incÍrculo de centro O2 com a ceviana CD.
Mas, das propriedades de tangência, entre circulo e reta, O1 S = O2T = r e O1 S P = O2 T P = 900
.
Dai, O1 S O2T , o que implica, S O1P = TO2P [ alternos e internos] .
Nestas condições, claramente, ∆ S O1P ∆ TO2P [ ALA ] e, como consequência , O1P = O2 P, isto é,
P é ponto médio do segmento O1O2. Logo , CP é mediana do ∆ CO1O2 . Mas, como O1O2 BC,
∆ CO1O2 ∆ CEF , consequentemente, CD é mediana do ∆ CEF e, portanto, ED = DF , isto é, D é ponto
médio do segmento EF.](https://image.slidesharecdn.com/circulosdochiconerysoluoponce-160724142805/85/Circulos-do-chico-nery-solucao-ponce-1-320.jpg)
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- 1. CIRCULOS DO CHICO NERY Na figura, ABC é um triângulo retângulo em C, com CB = a e CA = b. CD é uma ceviana simultaneamente tangente ao incírculos , de mesmo raio r, dos triângulos CBD e CDA . Prove que baCD ..2 2 DEMONSTRAÇÃO [ GEOMETRIA SINTETICA] Sejam CD = d e BA = c. Sejam O1 e O2 , centros dos incírculos de raio r , dos triângulos CBD e CDA respectivamente. Dai, O1 e O2 distam r da hipotenusa BC e, portanto, a reta O1O2 é paralela `a reta BC. Sejam E e F respectivamente pés das bissetrizes interna dos ∆CBD e ∆CDA relativas ao vértice C. Claramente, O1 CE e O2 CF . Ainda mais, denotando CD por d, tem-se do teorema da bissetriz interna , aplicado a estes triângulos: Já, denotando por : P : ponto de intersecção da reta O1O2 c om a ceviana CD. S : ponto de tangencia do incÍrculo de centro O1 com a ceviana CD. T : ponto de tangencia do incÍrculo de centro O2 com a ceviana CD. Mas, das propriedades de tangência, entre circulo e reta, O1 S = O2T = r e O1 S P = O2 T P = 900 . Dai, O1 S O2T , o que implica, S O1P = TO2P [ alternos e internos] . Nestas condições, claramente, ∆ S O1P ∆ TO2P [ ALA ] e, como consequência , O1P = O2 P, isto é, P é ponto médio do segmento O1O2. Logo , CP é mediana do ∆ CO1O2 . Mas, como O1O2 BC, ∆ CO1O2 ∆ CEF , consequentemente, CD é mediana do ∆ CEF e, portanto, ED = DF , isto é, D é ponto médio do segmento EF.