O documento descreve os critérios para determinar se dois triângulos são semelhantes: triângulos são semelhantes se tiverem ângulos correspondentes congruentes e lados proporcionais. Demonstra os critérios AAA, LAL e LLL para provar a semelhança de triângulos com base nos ângulos e nos lados. Também apresenta o Teorema de Pitágoras e sua demonstração usando a semelhança de triângulos.
Este documento discute a divisão harmônica em geometria. Ele define divisão harmônica, apresenta suas propriedades e valores para k, e discute a distância entre divisores harmônicos. Exemplos resolvidos e exercícios propostos são fornecidos para ilustrar o conceito.
Este documento apresenta um teste de avaliação em matemática para o 11o ano com 5 questões. A primeira questão pede para calcular as coordenadas de um ponto Q dado as coordenadas de outro ponto P e de um vetor. A segunda questão pede para calcular a abcissa de um ponto P. A terceira questão pede para identificar um valor que satisfaz uma equação trigonométrica. A quarta questão pede para calcular a inclinação de uma reta tangente a uma circunferência. A quinta questão pede para simplificar uma expressão trigonométrica.
Geometria plana angulos no triangulo econgruenciaSEDUC-PA
O documento discute os critérios de congruência de triângulos, incluindo os casos LAL, ALA, LAA e LLL, onde dois triângulos são congruentes se tiverem lados e/ou ângulos correspondentes iguais. Exemplos ilustram como usar esses critérios para provar propriedades geométricas, como pontos em uma mediatriz serem eqüidistantes dos extremos do segmento.
O documento descreve três casos de congruência de triângulos onde dois lados e o ângulo incluso são iguais, dois ângulos são iguais ou um lado e os dois ângulos não inclusos são iguais. Também apresenta o teorema de talles para retângulos e o teorema da bissetriz interna para triângulos.
1) O documento apresenta as relações métricas nos triângulos retângulos, incluindo as definições de catetos, hipotenusa, altura e projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
2) São apresentadas seis relações métricas nos triângulos retângulos envolvendo os catetos, hipotenusa, altura e projeções.
3) Exemplos de exercícios resolvidos são fornecidos para ilustrar a aplicação das relações nos cálculos de medidas nos triângulos ret
Este documento apresenta os conceitos básicos da teoria dos conjuntos, incluindo definições de conjunto, subconjunto, igualdade, conjunto vazio, conjunto das partes, operações com conjuntos (união, interseção, diferença, complementar e diferença simétrica), e propriedades destas operações. Exemplos ilustram cada conceito. Exercícios de aplicação são fornecidos no final para testar a compreensão dos conceitos.
1) O documento apresenta uma ficha de apoio ao estudo da matemática para o 11o ano, com exercícios sobre ângulos, planos, funções e gráficos.
2) Inclui questões sobre ângulos formados por retas, equações de planos tangentes a esferas e perpendiculares a outros planos, e resolução de sistemas de equações.
3) Também aborda cálculo de áreas de triângulos, determinação de coordenadas de pontos, estudos de funções e resolução analítica de desig
O documento apresenta os conceitos básicos sobre cones, incluindo seus elementos, áreas, volume e tipos de seções. Resume que um cone é formado pelos segmentos entre um círculo e um ponto fora do plano, definindo base, vértice e altura. Explica como calcular a área total, lateral e volume, e descreve as seções meridianas e transversais, relacionando suas medidas através de constantes de proporcionalidade.
Este documento discute a divisão harmônica em geometria. Ele define divisão harmônica, apresenta suas propriedades e valores para k, e discute a distância entre divisores harmônicos. Exemplos resolvidos e exercícios propostos são fornecidos para ilustrar o conceito.
Este documento apresenta um teste de avaliação em matemática para o 11o ano com 5 questões. A primeira questão pede para calcular as coordenadas de um ponto Q dado as coordenadas de outro ponto P e de um vetor. A segunda questão pede para calcular a abcissa de um ponto P. A terceira questão pede para identificar um valor que satisfaz uma equação trigonométrica. A quarta questão pede para calcular a inclinação de uma reta tangente a uma circunferência. A quinta questão pede para simplificar uma expressão trigonométrica.
Geometria plana angulos no triangulo econgruenciaSEDUC-PA
O documento discute os critérios de congruência de triângulos, incluindo os casos LAL, ALA, LAA e LLL, onde dois triângulos são congruentes se tiverem lados e/ou ângulos correspondentes iguais. Exemplos ilustram como usar esses critérios para provar propriedades geométricas, como pontos em uma mediatriz serem eqüidistantes dos extremos do segmento.
O documento descreve três casos de congruência de triângulos onde dois lados e o ângulo incluso são iguais, dois ângulos são iguais ou um lado e os dois ângulos não inclusos são iguais. Também apresenta o teorema de talles para retângulos e o teorema da bissetriz interna para triângulos.
1) O documento apresenta as relações métricas nos triângulos retângulos, incluindo as definições de catetos, hipotenusa, altura e projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
2) São apresentadas seis relações métricas nos triângulos retângulos envolvendo os catetos, hipotenusa, altura e projeções.
3) Exemplos de exercícios resolvidos são fornecidos para ilustrar a aplicação das relações nos cálculos de medidas nos triângulos ret
Este documento apresenta os conceitos básicos da teoria dos conjuntos, incluindo definições de conjunto, subconjunto, igualdade, conjunto vazio, conjunto das partes, operações com conjuntos (união, interseção, diferença, complementar e diferença simétrica), e propriedades destas operações. Exemplos ilustram cada conceito. Exercícios de aplicação são fornecidos no final para testar a compreensão dos conceitos.
1) O documento apresenta uma ficha de apoio ao estudo da matemática para o 11o ano, com exercícios sobre ângulos, planos, funções e gráficos.
2) Inclui questões sobre ângulos formados por retas, equações de planos tangentes a esferas e perpendiculares a outros planos, e resolução de sistemas de equações.
3) Também aborda cálculo de áreas de triângulos, determinação de coordenadas de pontos, estudos de funções e resolução analítica de desig
O documento apresenta os conceitos básicos sobre cones, incluindo seus elementos, áreas, volume e tipos de seções. Resume que um cone é formado pelos segmentos entre um círculo e um ponto fora do plano, definindo base, vértice e altura. Explica como calcular a área total, lateral e volume, e descreve as seções meridianas e transversais, relacionando suas medidas através de constantes de proporcionalidade.
O documento discute o triângulo, suas propriedades e relações trigonométricas. Ele define os tipos de triângulos de acordo com o tamanho de seus lados e ângulos, e explica as relações de seno, cosseno e tangente em triângulos retângulos. Ele fornece exemplos para calcular medidas de lados e ângulos usando essas relações.
1) O documento apresenta uma ficha de apoio ao estudo da matemática sobre introdução ao círculo trigonométrico com 11 questões.
2) Aborda conceitos como senos, cossenos e tangentes de ângulos no círculo trigonométrico e cálculo de áreas de figuras geométricas.
3) Inclui exercícios para determinar valores numéricos exatos de expressões trigonométricas e escolher opções corretas sobre propriedades de ângulos.
1) O documento apresenta 5 questões de um teste de matemática do 11o ano sobre expressões algébricas, equações, vetores e ângulos.
2) As questões abordam tópicos como equivalência de expressões, possibilidade de equações, determinação de valores que satisfaçam condições, cálculo de ângulos entre retas e vetores e resolução de equações.
3) São solicitadas determinações de valores exatos, inclinações, perpendiculares e equações.
Dois triângulos são semelhantes se tiverem ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes forem proporcionais. O Teorema Fundamental da Semelhança estabelece que se uma reta paralela a um dos lados de um triângulo cortar os outros dois, determina um triângulo semelhante.
Gaal vetores aplicaçoes e demostraçoes de algumas propriedades.Ruan Yvis Brito
O documento apresenta 7 propriedades geométricas sobre triângulos, trapézios e quadriláteros. A propriedade 1 mostra que a mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo mede metade da hipotenusa. A propriedade 2 demonstra que a base média de um triângulo é paralela e igual à metade da base. A propriedade 3 trata da base média de um trapézio.
O documento descreve como dividir uma circunferência em seis partes iguais para inscrever um hexágono nela. Ele instrui o leitor a traçar um diâmetro na circunferência e, em seguida, traçar arcos com raio igual a partir dos pontos finais do diâmetro para dividir a circunferência em seis partes iguais e formar os vértices do hexágono.
O documento descreve como dividir uma circunferência em seis partes iguais para inscrever um hexágono nela. Ele instrui o leitor a traçar um diâmetro da circunferência e, em seguida, traçar arcos com raio igual a partir dos pontos finais do diâmetro para dividir a circunferência em seis partes iguais e formar os vértices do hexágono.
1) O documento discute as principais circunferências de um triângulo - a circunferência inscrita, a circunferência circunscrita e as circunferências exinscritas.
2) Ele estabelece relações entre os raios dessas circunferências e os lados do triângulo, como S = pr para a circunferência inscrita e abc = 4RS para a circunferência circunscrita.
3) O texto também aborda pontos como a localização dos pontos de tangência e uma desigualdade interess
O documento descreve um problema geométrico envolvendo um triângulo ABC com pontos D e E na base BC. Pede-se calcular o comprimento do segmento EC, sabendo que BD=3 e DE=2. A resolução envolve os teoremas da bissetriz interna e externa aplicados a triângulos formados.
Apostila de geometria_analitica_filipeEveraldo Geb
1) O documento discute a geometria analítica, que surgiu da fusão da geometria com a álgebra no século XVII.
2) Fermat e Descartes foram responsáveis por esse avanço científico, trabalhando de forma independente.
3) A geometria analítica permite representar equações geométricas como curvas e superfícies usando pares de números.
1. O documento apresenta 10 exercícios de física sobre cinemática e vetores envolvendo conceitos como velocidade escalar média, aceleração, módulo de vetores e ângulo entre vetores.
2. Os exercícios abordam situações como movimento retilíneo uniforme e uniformemente variado, encontro de partículas em movimento e cálculo de distâncias, velocidades e tempos.
3. São apresentadas alternativas de respostas para cada exercício.
Produto escalar. amplitude de ângulos entre vetores.silvia_lfr
Este documento apresenta exercícios sobre produto escalar e ângulo entre vetores. Os exercícios envolvem cálculos de produtos escalares, determinação de ângulos entre vetores e verificação de propriedades do produto escalar e ângulo entre vetores em diferentes configurações geométricas como quadrados, pentágonos e referenciais cartesianos.
O documento explica o conceito de arco trigonométrico, definindo-o como o conjunto de todos os números reais cuja expressão geral é 2kπ + x, onde x é a determinação principal do arco, ou seja, o número real entre 0 e 2π que tem como imagem o ponto do ciclo trigonométrico que é a extremidade do arco. O texto também mostra como encontrar a determinação principal de um número real dado e escrever a expressão geral correspondente ao arco trigonométrico.
O documento discute figuras semelhantes e apresenta as razões entre as medidas dessas figuras. Explica que se duas figuras são semelhantes, as medidas de uma valem "k" vezes as da outra, sendo que a razão entre as áreas é k2 e entre os volumes é k3. Aplica esses conceitos para resolver problemas envolvendo volumes e preços de objetos semelhantes.
O documento apresenta os principais conceitos da trigonometria. Aborda triângulos retângulos e as relações trigonométricas neles envolvidas, como seno, cosseno e tangente. Também define ângulos centrais, ciclo trigonométrico e as funções seno e cosseno, apresentando suas propriedades e gráficos.
1. A área é a medida da extensão de uma superfície.
2. As áreas de figuras planas são calculadas usando fórmulas que levam em conta medidas como base, altura, comprimento de lados.
3. Exemplos de fórmulas de área incluem retângulo (base x altura), quadrado (lado ao quadrado), triângulo (base x altura dividida por 2).
1. O documento discute o conceito de semelhança em geometria, explicando que figuras são semelhantes quando têm a mesma forma e ângulos correspondentes iguais, com lados correspondentes proporcionais.
2. Polígonos e triângulos semelhantes são definidos e discutidas propriedades como perímetros e lados proporcionais.
3. O teorema fundamental da semelhança é apresentado, estabelecendo que uma reta paralela a um lado de um triângulo determina um triângulo semel
O documento apresenta os cinco casos de congruência de triângulos:
1) Caso LAL - Dois lados e o ângulo entre eles congruentes;
2) Caso ALA - Dois ângulos e o lado entre eles congruentes;
3) Caso LLL - Os três lados congruentes;
4) Caso LAAo - Um lado, um ângulo adjacente e um ângulo oposto ao lado congruentes;
5) Caso especial - Para triângulos retângulos com um cateto e a hipotenusa congru
8 ano - Congruência e Semelhança e Angulos em Triangulos.pptDaniloConceiodaSilva
O documento discute conceitos de congruência e semelhança de triângulos. Apresenta critérios para determinar se triângulos são congruentes ou semelhantes e exemplos de resolução de problemas usando esses critérios.
Este documento apresenta resoluções de exercícios sobre conjuntos e funções. O primeiro exercício verifica que quatro conjuntos são todos diferentes. O segundo mostra que duas igualdades sobre interseção e união de conjuntos são válidas. O terceiro define diferença simétrica de conjuntos e mostra duas propriedades sobre ela.
O documento discute o triângulo, suas propriedades e relações trigonométricas. Ele define os tipos de triângulos de acordo com o tamanho de seus lados e ângulos, e explica as relações de seno, cosseno e tangente em triângulos retângulos. Ele fornece exemplos para calcular medidas de lados e ângulos usando essas relações.
1) O documento apresenta uma ficha de apoio ao estudo da matemática sobre introdução ao círculo trigonométrico com 11 questões.
2) Aborda conceitos como senos, cossenos e tangentes de ângulos no círculo trigonométrico e cálculo de áreas de figuras geométricas.
3) Inclui exercícios para determinar valores numéricos exatos de expressões trigonométricas e escolher opções corretas sobre propriedades de ângulos.
1) O documento apresenta 5 questões de um teste de matemática do 11o ano sobre expressões algébricas, equações, vetores e ângulos.
2) As questões abordam tópicos como equivalência de expressões, possibilidade de equações, determinação de valores que satisfaçam condições, cálculo de ângulos entre retas e vetores e resolução de equações.
3) São solicitadas determinações de valores exatos, inclinações, perpendiculares e equações.
Dois triângulos são semelhantes se tiverem ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes forem proporcionais. O Teorema Fundamental da Semelhança estabelece que se uma reta paralela a um dos lados de um triângulo cortar os outros dois, determina um triângulo semelhante.
Gaal vetores aplicaçoes e demostraçoes de algumas propriedades.Ruan Yvis Brito
O documento apresenta 7 propriedades geométricas sobre triângulos, trapézios e quadriláteros. A propriedade 1 mostra que a mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo mede metade da hipotenusa. A propriedade 2 demonstra que a base média de um triângulo é paralela e igual à metade da base. A propriedade 3 trata da base média de um trapézio.
O documento descreve como dividir uma circunferência em seis partes iguais para inscrever um hexágono nela. Ele instrui o leitor a traçar um diâmetro na circunferência e, em seguida, traçar arcos com raio igual a partir dos pontos finais do diâmetro para dividir a circunferência em seis partes iguais e formar os vértices do hexágono.
O documento descreve como dividir uma circunferência em seis partes iguais para inscrever um hexágono nela. Ele instrui o leitor a traçar um diâmetro da circunferência e, em seguida, traçar arcos com raio igual a partir dos pontos finais do diâmetro para dividir a circunferência em seis partes iguais e formar os vértices do hexágono.
1) O documento discute as principais circunferências de um triângulo - a circunferência inscrita, a circunferência circunscrita e as circunferências exinscritas.
2) Ele estabelece relações entre os raios dessas circunferências e os lados do triângulo, como S = pr para a circunferência inscrita e abc = 4RS para a circunferência circunscrita.
3) O texto também aborda pontos como a localização dos pontos de tangência e uma desigualdade interess
O documento descreve um problema geométrico envolvendo um triângulo ABC com pontos D e E na base BC. Pede-se calcular o comprimento do segmento EC, sabendo que BD=3 e DE=2. A resolução envolve os teoremas da bissetriz interna e externa aplicados a triângulos formados.
Apostila de geometria_analitica_filipeEveraldo Geb
1) O documento discute a geometria analítica, que surgiu da fusão da geometria com a álgebra no século XVII.
2) Fermat e Descartes foram responsáveis por esse avanço científico, trabalhando de forma independente.
3) A geometria analítica permite representar equações geométricas como curvas e superfícies usando pares de números.
1. O documento apresenta 10 exercícios de física sobre cinemática e vetores envolvendo conceitos como velocidade escalar média, aceleração, módulo de vetores e ângulo entre vetores.
2. Os exercícios abordam situações como movimento retilíneo uniforme e uniformemente variado, encontro de partículas em movimento e cálculo de distâncias, velocidades e tempos.
3. São apresentadas alternativas de respostas para cada exercício.
Produto escalar. amplitude de ângulos entre vetores.silvia_lfr
Este documento apresenta exercícios sobre produto escalar e ângulo entre vetores. Os exercícios envolvem cálculos de produtos escalares, determinação de ângulos entre vetores e verificação de propriedades do produto escalar e ângulo entre vetores em diferentes configurações geométricas como quadrados, pentágonos e referenciais cartesianos.
O documento explica o conceito de arco trigonométrico, definindo-o como o conjunto de todos os números reais cuja expressão geral é 2kπ + x, onde x é a determinação principal do arco, ou seja, o número real entre 0 e 2π que tem como imagem o ponto do ciclo trigonométrico que é a extremidade do arco. O texto também mostra como encontrar a determinação principal de um número real dado e escrever a expressão geral correspondente ao arco trigonométrico.
O documento discute figuras semelhantes e apresenta as razões entre as medidas dessas figuras. Explica que se duas figuras são semelhantes, as medidas de uma valem "k" vezes as da outra, sendo que a razão entre as áreas é k2 e entre os volumes é k3. Aplica esses conceitos para resolver problemas envolvendo volumes e preços de objetos semelhantes.
O documento apresenta os principais conceitos da trigonometria. Aborda triângulos retângulos e as relações trigonométricas neles envolvidas, como seno, cosseno e tangente. Também define ângulos centrais, ciclo trigonométrico e as funções seno e cosseno, apresentando suas propriedades e gráficos.
1. A área é a medida da extensão de uma superfície.
2. As áreas de figuras planas são calculadas usando fórmulas que levam em conta medidas como base, altura, comprimento de lados.
3. Exemplos de fórmulas de área incluem retângulo (base x altura), quadrado (lado ao quadrado), triângulo (base x altura dividida por 2).
1. O documento discute o conceito de semelhança em geometria, explicando que figuras são semelhantes quando têm a mesma forma e ângulos correspondentes iguais, com lados correspondentes proporcionais.
2. Polígonos e triângulos semelhantes são definidos e discutidas propriedades como perímetros e lados proporcionais.
3. O teorema fundamental da semelhança é apresentado, estabelecendo que uma reta paralela a um lado de um triângulo determina um triângulo semel
O documento apresenta os cinco casos de congruência de triângulos:
1) Caso LAL - Dois lados e o ângulo entre eles congruentes;
2) Caso ALA - Dois ângulos e o lado entre eles congruentes;
3) Caso LLL - Os três lados congruentes;
4) Caso LAAo - Um lado, um ângulo adjacente e um ângulo oposto ao lado congruentes;
5) Caso especial - Para triângulos retângulos com um cateto e a hipotenusa congru
8 ano - Congruência e Semelhança e Angulos em Triangulos.pptDaniloConceiodaSilva
O documento discute conceitos de congruência e semelhança de triângulos. Apresenta critérios para determinar se triângulos são congruentes ou semelhantes e exemplos de resolução de problemas usando esses critérios.
Este documento apresenta resoluções de exercícios sobre conjuntos e funções. O primeiro exercício verifica que quatro conjuntos são todos diferentes. O segundo mostra que duas igualdades sobre interseção e união de conjuntos são válidas. O terceiro define diferença simétrica de conjuntos e mostra duas propriedades sobre ela.
Problemas selecionados de eletricidade - PROFESSOR HELANDERSON SOUSADayanne Sousa
O documento apresenta vários problemas de eletrostática e circuitos elétricos. Inclui determinação de resistências equivalentes em circuitos com resistores em série, paralelo e combinações, cálculo de capacitâncias em capacitores com diferentes dielétricos entre as placas, e problemas envolvendo energia armazenada em capacitores.
08 eac proj vest mat módulo 2 geometria planacon_seguir
O documento apresenta conceitos de semelhança de triângulos e suas aplicações, incluindo:
1) A definição de semelhança de triângulos e a razão de semelhança;
2) O Teorema Fundamental da Semelhança e seus exemplos;
3) Casos especiais de semelhança de triângulos.
1) O documento apresenta informações sobre razão e proporção, propriedades de proporções, razão entre segmentos e segmentos proporcionais.
2) Também discute feixes de retas paralelas e o teorema de Tales, além de aplicações desse teorema e da bissetriz interna de um triângulo.
3) Fornece referências bibliográficas no final.
1. O vértice E do paralelepípedo tem coordenadas (12,-12,-10).
2. Os outros dois vértices do quadrado são C(6,6,1) e D(2,2,0).
3. Uma equação do plano π que passa por P(1,0,1) e contém a reta r é: π: (x, y, z) = (1,0,1) + t(2,0,1) + h(0,1,1); t, h ∈ R.
O documento apresenta 10 exercícios resolvidos sobre geometria analítica envolvendo planos, retas e pontos no espaço. Os exercícios abordam tópicos como determinação de coordenadas de vértices, equações de planos e retas, distância entre planos, simetria em relação a planos e retas.
(1) O documento apresenta exercícios sobre teoria dos conjuntos, incluindo definição de conjuntos, pertencimento, subconjuntos, operações entre conjuntos e famílias de conjuntos.
(2) Os exercícios abordam conceitos como união, interseção, diferença de conjuntos, conjunto das partes e propriedades dessas operações.
(3) São apresentadas demonstrações de resultados envolvendo igualdade e inclusão entre conjuntos definidos por operações.
1. O ponto (16, 6) pertence à reta r porque 16 - 3k = -2, ou seja, 3k = 18 e k = 6. O ponto (1997, 666) está abaixo da reta r.
2. Se a = 0 e b = 0, a reta coincide com um dos eixos. Se ambos forem zero, qualquer reta que passe pela origem resolve o problema.
3. As coordenadas do ponto P são iguais às coordenadas dos pontos das outras medianas, logo P está nas três medianas.
www.AulasDeMatematicanoRJ.Com,Br - Matemática - Semelhança de TriângulosClarice Leclaire
O documento discute semelhança de triângulos, definindo-a como figuras que têm ângulos correspondentes congruentes e lados homólogos proporcionais. Apresenta casos de semelhança como LLL, LAL e AA e o Teorema Fundamental da Semelhança, que estabelece que uma paralela a um lado determina dois triângulos semelhantes. Discutem-se também razão de semelhança e propriedades de triângulos semelhantes.
www.AulasDeMatematicaApoio.com.br - Matemática - Semelhança de TriângulosBeatriz Góes
O documento discute semelhança de triângulos, definindo-a como triângulos que têm ângulos correspondentes congruentes e lados homólogos proporcionais. Apresenta casos de semelhança como LLL, LAL e AA e o Teorema Fundamental da Semelhança, que estabelece que uma paralela a um lado determina dois triângulos semelhantes. Discutem razão de semelhança e exemplos de cálculos envolvendo triângulos semelhantes.
1) A reta r passa pelo ponto (4,2) e tem inclinação 1/3. O ponto (16,6) pertence a r. O ponto (1997,666) está acima de r.
2) A equação geral de uma reta na forma y=mx+b é apresentada.
3) As coordenadas de um ponto P são dadas em função dos parâmetros a e b.
4) Se M é o ponto médio do lado BC de um triângulo, então as coordenadas do ponto P da mediana AM que divide AM na razão 1/3 são d
Este documento contém 10 questões de matemática sobre geometria e trigonometria. As questões incluem cálculos envolvendo ângulos em figuras geométricas como círculos e triângulos, determinação de medidas de lados e segmentos, e razões entre alturas de figuras inscritas e circunscritas. O gabarito fornece as respostas para cada uma das questões.
SEGMENTOS PROPORCIONAIS E TEOREMA DE TALES.pptxMárcia Moura
O documento explica os conceitos de segmentos proporcionais e o Teorema de Tales, que afirma que quando duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, os segmentos formados são proporcionais. Aplica esses conceitos em exemplos envolvendo retas paralelas e triângulos.
O documento apresenta as correções de um teste intermédio de matemática com 13 questões. As correções incluem explicações detalhadas dos raciocínios e cálculos envolvidos nas respostas.
O documento discute critérios para determinar posições relativas de retas e planos em geometria euclidiana, como paralelismo e perpendicularidade. Fornece definições formais de paralelismo entre retas/planos e perpendicularidade entre retas/planos com base em suas relações geométricas. Também menciona que a geometria euclidiana constrói novos conceitos e teoremas a partir de termos primitivos e axiomas usando lógica dedutiva.
Mat em funcoes exponenciais e logarítmicas sol vol1 cap8trigono_metrico
Este documento contém 8 exercícios sobre funções exponenciais e logarítmicas. Os exercícios abordam tópicos como obter o gráfico de uma função exponencial a partir de outro, provar a propriedade de determinação de uma função exponencial por dois pontos e modelar o crescimento populacional usando funções exponenciais.
1. O documento apresenta conceitos fundamentais de geometria plana como pontos, retas, segmentos, ângulos e suas propriedades.
2. São definidos ângulos, ângulos congruentes, bissetriz de um ângulo, retas perpendiculares, medidas de ângulos, tipos de ângulos e pares de ângulos formados por duas paralelas cortadas por uma transversal.
3. Propriedades importantes de pares de ângulos são apresentadas como ângulos de lados paralelos e perpendiculares, e
O documento fornece receitas para 5 sumos detox, cada um com diferentes combinações de frutas, legumes e ervas. Os sumos incluem ingredientes como banana, espinafros, manga, pêra, abacate, pepino, couve, frutos vermelhos, ananás e beterraba para fornecer nutrientes e ajudar no processo de desintoxicação do corpo.
Este documento apresenta regras de cálculo com potências, incluindo como elevar um número inteiro a uma potência, como multiplicar potências com o mesmo expoente, e como dividir e calcular raízes de potências.
Este documento contém uma ficha de avaliação de matemática para alunos do 5o ano com várias questões sobre geometria, álgebra, estatística e interpretação de gráficos. A ficha inclui espaço para o nome do aluno, data, e avaliação do professor.
Este documento é um relatório de uma reunião sobre educação para a sexualidade e afectos para alunos do 7o ano. A reunião contou com a presença de directores de turma, professores e membros da equipa de educação para a saúde. Os objectivos da reunião foram auxiliar os adolescentes a expressar dúvidas sobre sexualidade e reprodução e sugeriu reflexões sobre sentimentos e escuta dos outros.
1. SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Dois triângulos ∆ ABC e ∆ DEF dizem-se semelhantes (através da correspondência
A a D , B a E , C a F ), e escrevemos ∆ ABC ≅ ∆ DEF, se:
os ângulos correspondentes forem congruentes (isto é, ∠A ≅ ∠D, ∠B ≅ ∠E ,
∠C ≅ ∠F )
AB BC CA
e os lados forem proporcionais (isto é , = = ).
DE EF FD
À razão entre lados correspondentes de triângulos semelhantes chamamos razão de
AB
semelhança desses triângulos; assim sendo, se ∆ ABC ~ ∆ DEF, o quociente éa
DE
razão de semelhança entre ∆ ABC e ∆ DEF. Tal como no caso das congruências de
triângulos, convém assinalar que ∆ ABC ~ ∆ DEF não significa o mesmo que ∆ ABC
~ ∆ EFD.
Critério AAA – (teorema fundamental da semelhança de triângulos): Dois
quaisquer triângulos com ângulos internos iguais são semelhantes: mais precisamente,
se os triângulos ∆ ABC e ∆ DEF forem tais que ∠A ≅ ∠D, ∠B ≅ ∠E e ∠C ≅ ∠F ,
então ∆ABC ~ ∆DEF
A
D
C=F E B
AB BC AC AB
Demonstração: Quer-se mostrar que = = . Seja λ = ; a
DE EF DF DE
demonstração vai depender da natureza do λ .
• 1º caso: λ ∈ ℵ (demonstração por indução):
2. se for λ = 1; então AB = DE , ∠A ≅ ∠D e como ∠B ≅ ∠E , por ALA
AB BC
∆ABC ~ ∆DEF ; em particular =1=
DF EF
passo por indução: suponho λ ∈ ℵ { } e que o resultado é válido para
1
λ − 1 (dois triângulos com ângulos congruentes em que a razão entre dois lados
correspondentes seja λ − 1 são necessariamente semelhantes, isto é, a razão
entre os restantes pares de lados correspondentes é também λ − 1 ).
Sei que ∆ABC e ∆DEF têm os mesmos ângulos; seja x ∈ AB tal que
AX = DE , y ∈ AC , z ∈ BC , xy //BC e xz//AC.
Por ALA. Temos ∆AXY ≅ ∆DEF ; além disso, ∆XBZ e ∆DEF têm os mesmos
XB XZ
ângulos , mas = λ − 1 . Por hipótese de indução = λ −1 e
DE DE
BZ
= λ − 1 ; assim sendo BC = BZ + ZC
EF
= (λ − 1) EF + EF
= λ EF
e AC = AY + YC = DF + (λ − 1) DF = λ DF , o que completa a indução. Fica
assim provado o resultado quando λ ∈ ℵ .
• 2º caso: λ ∈ Q
AB p
seja λ= ; fazendo λ= , obtemos p DE = q AB . Consideramos
DE q
∆XYZ com os mesmos ângulos e tal que XY = p DE = q AB , pelo caso
anterior, temos ∆XYZ ~ ∆DEF e ∆XYZ ~ ∆ABC e portanto
XY YZ XZ YZ AC BC p
se temos = =p e = = q então = = =λ
DE EF AC BC DF EF q
como queríamos.
• 3º caso: λ ∈ ℜ Q
AB
Seja = λ . Vamos mostrar que, para qualquer número racional s tal que
DE
AC BC
s< λ , se tem >s, >s.
DF EF
3. AC BC
Atendendo à densidade de Q em ℜ , isso obriga a que se tenha , ≥λ
DF EF
AB
s< λ ⇔ s< ↔ s DE < AB
DE
seja X ∈ AB e AX = s DE e XY // BC .
Pelo caso racional, também AY = s DF e XY = s EF
AC
Logo s DF = AY < AC ⇒ >s
DF
BC
s EF = XY < BC ⇒ >s
EF
o que conclui a demonstração.
Critério LAL : Se, em dois quaisquer triângulos, ângulos iguais subentenderem lados
proporcionais, então esses triângulos são semelhantes.
AB AC
(por ex., se ∆ABC e ∆DEF forem tais que ∠A ≅ ∠D e = , então
DE DF
∆ABC ~ ∆DEF ).
A
D
C=F E B
Demonstração: A ideia é combinar o critério anterior com o critério de congruência
apropriado. Consideramos o triângulo ∆AZY tal que AZ = DE , e em que ZY//BC ,
Z ∈ AB e Y ∈ AC. Pelo critério anterior, temos ∆ABC ~ ∆AZY e portanto
AY = DF ; e pelo critério de congruência LAL, temos ∆AZY ≅ ∆DEF , e portanto
∆AZY ~ ∆DEF .
4. Critério LLL: Dois quaisquer triângulos com lados proporcionais são semelhantes.
AB AC BC
(por ex.,se tivermos = = então ∆ABC ~ ∆DEF .
DE DF EF
A
D
C=F E B
Demonstração: É análoga à do critério anterior. Definimos ∆AZY como antes, sendo
AZ = DE e ∆ABC ~ ∆AZY : pelo critério LLL de congruência, ∆AZY ≅ ∆DEF , e
portanto ∆ABC ~ ∆DEF .
5. Mais resultados importantes sobre semelhança de triângulos
Teorema de Pitágoras: Se ∆ABC for um triângulo rectângulo de hipotenusa BC ,
então a 2 = b 2 + c 2 .
Demonstração:
Pelo critério AA temos ∆ABC ~ ∆DBA ~ ∆DAC e destas semelhanças obtemos
b a−x x c
= ⇒ b 2 = a 2 − ax e = ⇒ c 2 = ax
a b c a
Adicionando membro a membro resulta a igualdade pretendida: a2 = b2 + c2 .
Note-se que o recíproco deste teorema também é válido: se num ∆ABC tivermos
a 2 = b 2 + c 2 , então esse triângulo é rectângulo de hipotenusa BC . Para o
demonstrarmos basta observar que podemos considerar um rectângulo de catetos de
medida b e c :pelo teorema de Pitágoras, a hipotenusa desse triângulo mede
b 2 + c 2 = a e por LLL, esse triângulo é congruente a ∆ABC , que portanto é também
rectângulo.
Realizado por :Sílvia Rocha