1) O documento discute problemas matemáticos decidíveis e indecidíveis, com foco no trabalho de Alan Turing. 2) Turing definiu máquinas de Turing em 1936, permitindo definir precisamente quais problemas são decidíveis ou indecidíveis. 3) Isso levou à definição formal de algoritmo e à prova de que o Entscheidungsproblem (problema de decisão geral) é indecidível.

1. Problemas Decidíveis e
Problemas indecidíveis:
O Legado de
Alan Turing
Ruy J.G.B. de Queiroz

3. Problemas Indecidíveis
! Imagine o desafio de ter que mostrar que um dado problema da
Matemática é insolúvel!
! Em 1936 Alan Turing veio com uma definição precisa de
máquinas idealizadas: a máquina de Turing.
Isso viabilizou a definição exata da decidibilidade de problemas
matemáticos, e, portanto, abrindo a possibilidade de se
demonstrar que certos problemas são de fato indecidíveis.
! Efeitos colaterais:
(1) definição matemática de programa;
(2) concepção de computador de programa armazenado.

4. Problemas Geométricos
! Já na Grécia antiga, os matemáticos
buscavam por construções para
trissectar um dado ângulo, assim como
por construções para transformar um
círculo num quadrado de mesma área.

5. Trissectar com régua e
compasso
! Somente em 1837, o matemático francês Pierre
Wantzel (1814-1848), mostrou que não existe método
geral para trissectar um ângulo usando apenas régua-e-
compasso.
! A estratégia de Wantzel foi se valer da chamada teoria
de Galois -- mais especificamente, a trissecção de um
ângulo corresponde à resolução de uma certa equação
cúbica, que não é possível usando as ferramentas
dadas.

6. Outros resultados de
Wantzel
! No mesmo artigo em que demonstrou a
impossibilidade de trissectar um ângulo,
Wantzel também demonstrou a
impossibilidade de, usando apenas régua-e-
compasso:
1. Dobrar o cubo
2. Construir um polígono regular com certa
característica

7. Dobrar o Cubo
! dobrar o cubo: significa ser capaz de, ao
receber um dado cubo de comprimento de
lado s e volume V = s3, construir um novo
cubo, maior que o original, de volume 2V,
e, portanto, comprimento de
lado s 3√2.

8. Construir Polígono Regular
™ construir um polígono regular cujo
número de lados não é o produto de
uma potência de 2 e nenhum número
de primos de Fermat distintos.

9. Quadratizar o Círculo
™ Quadratizar o círculo é um problema proposto pelos
geômetras da Antiguidade. Trata-se do desafio de
construir um quadrado com a mesma área que um
dado círculo, usando apenas régua e compasso.
™ Em 1882, o problema foi demonstrado impossível de
resolver, e isso veio como uma conseqüência do
teorema de Lindemann–Weierstrass que mostra que π é
um número transcendental, e não algébrico.

10. Fórmula para
Achar Raízes de Equações
™ Somente em 1824, o matemático norueguês
Niels Abel (1802–1829) obteve o importante
resultado de que não pode haver uma fórmula
(finita) geral, envolvendo apenas operações
aritméticas e raízes, que exprima as raízes de
um polinômio de grau 5 ou mais em termos de
seus coeficientes.

11. Problema de Decisão
™ Um problema de decisão é uma questão sobre
um sistema formal com uma resposta do tipo
sim-ou-não. Por exemplo, o problema: "dados
dois números x e y, y é divisível por x?" é um
problema de decisão.
™ Ou ainda: "Dado um número inteiro x, x é um
número primo?"

12. Problema Indecidível
™ Uma família de problemas com respostas
SIM/NÃO é dita indecidível se não existe
algoritmo que termine com a resposta correta
para todo problema da família.
™ (Exemplo: 10o problema de Hilbert)

13. Provar Indecidibilidade
™ Para tornar o significado de indecidível
preciso, é necessário dispor de uma noção
formal de algoritmo.
™ Tal noção foi introduzida por Alonzo
Church (1936) e Alan Turing (1936)
independentemente.

14. Origens de “Algoritmo”
™ Abu Abdallah Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (c.
780 – c. 850) foi um matemático e astrônomo persa
responsável pela introdução no Ocidente dos numerais
arábicos, baseado no sistema de numerais indo-arábico
desenvolvido na matemática indiana.

15. Definição de “Algoritmo”
(Wikipedia)
™ ”Um algoritmo é um procedimento passo-a-passo com o fim
de realizar cálculos, processar dados, automatizar o raciocínio
dedutivo.”
™ ”Mais precisamente, um algoritmo é um método eficaz,
expresso como uma lista finita de instruções bem definidas
para o cálculo de uma função.
™ A partir de um estado inicial e uma entrada inicial
(possivelmente vazia), as instruções descrevem uma
computação que, quando executada, irá prosseguir por meio de
um número finito de estados sucessivos bem definidos, acabando
por produzir uma ‘saída’ e terminando em um estado final.”

16. Algoritmo de Euclides
™ O algoritmo de Euclides é um método eficiente
de calcular o máximo divisor comum (MDC)
de dois números inteiros.
™ Presente nos livros VII e X dos Elementos de
Euclides (c. 300 a.C.), trata-se de um dos mais
antigos algoritmos numéricos que se conhece.

17. O Décimo Problema de
Hilbert
™ Em sua lista de 1900 dos 23 problemas mais
importantes da Matemática, David Hilbert incluiu:
10. Determinação da solubilidade de uma equação
Diophantina. Dada uma equação Diophantina com qualquer
número de quantidades indeterminadas e com coeficientes
integrais racionais: Conceber um processo conforme o qual pode
ser determinado, em um número finito de operações, se a
equação é solúvel nos inteiros racionais.

18. Generalizando:
O Entscheidungsproblem
™ O Entscheidungsproblem (“problema de decisão”, em alemão)
é um desafio posto por David Hilbert em 1928.
™ O Entscheidungsproblem pede por um algoritmo que receberá
como entrada uma descrição de uma linguagem formal e um
enunciado matemático na linguagem, e produzirá como
saída “Verdadeiro” ou “Falso”.
™ Tal algoritmo seria capaz de decidir, por exemplo, se
enunciados tais como a conjectura de Goldbach ou a
hipótese de Riemann, são verdadeiras, muito embora
nenhuma prova ou refutação desses enunciados seja
conhecida.

19. Processo Finito
™ Em 1928 Hilbert enuncia o
Entescheidungsproblem assim:
O Entscheidungsproblem é resolvido quando
conhecemos um procedimento que permite, para
qualquer expressão lógica dada, decidir sua
validade ou satisfatibilidade.

20. David Hilbert e
Problemas Insolúveis
(1900 e 1930)
™ “Para o matemático não existe o Ignorabimus
[“Ignoramos e ignoraremos”, 1872], e, na
minha opinião, de forma alguma para as
ciências naturais . . . A verdadeira razão por
que [ninguém] conseguiu encontrar um
problema insolúvel é que, na minha opinião,
não existe problema insolúvel. Em contraste
com o Ignorabimus, nosso lema será: Temos
que saber, Saberemos.”

21. Busca por uma Definição
™ No período de 1928 a 1936, Emil Post
trabalhou intensamente no desenvolvimento de
uma definição do que seria procedimento
envolvendo um número finito de passos: um
trabalhador se movendo de sala em sala
escrevendo e apagando símbolos conforme
uma lista de instruções.

22. Formalização de Algoritmo
™ Naturalmente, antes que a questão da solubilidade do
Entscheidungsproblem pudesse ser resolvida, a noção de
algoritmo tinha que ser formalmente definida.
™ Coube a Alonzo Church em 1936 com o conceito de
calculabilidade efetiva baseado no seu λ-cálculo, e a
Alan Turing também em 1936, com a noção de
máquina de Turing.

23. Tese de
Church-Turing
™ Em seu artigo de 1936 (publicado em 1937, e
avaliado por Church) Turing acrescentou um
apêndice demonstrando que a classe de
funções computáveis pelo λ-cálculo era a
mesma que a classe de funções computáveis
por máquinas de Turing.
™ Daí, a denominação Tese de Church–Turing:
toda função computável é computável por
máquinas de Turing.

24. Limitação do
Homo Sapiens
™ “Na verdade, o trabalho feito por Church e outros leva
essa identificação consideravelmente além do estágio
de hipótese de trabalho.”
™ “Porém, mascarar essa identificação sob uma definição
esconde o fato de que uma descoberta fundamental nas
limitações do poder de matematicatização do Homo
Sapiens foi feita, e nos cega para a necessidade de sua
contínua verificação.” (Emil Post)

25. Turing encara desafio
™ Na primavera de 1935 Turing, ainda como
aluno de Mestrado no King’s College
(Cambridge, UK), aceitou o desafio de provar
que não haveria processo ‘mecânico’ que
resolvesse o Entscheidungsproblem.
™ O estímulo veio do matemático Max Newman,
orientador de Mestrado de Turing, num curso
sobre os Fundamentos da Matemática.

26. Robin Gandy (colega)
™ “À pergunta ‘o que é
um processo
“mecânico”?’ Turing dá
a resposta característica
‘Algo que pode ser
feito por uma
máquina’, e aí embarca
na tarefa altamente
congênere de analisar a
noção geral de uma
máquina de
computação.”

27. Entscheidungsproblem:
Impossível
™ Muitos acreditavam que seria impossível
haver um algoritmo para decidir toda
questão da Matemática, entre eles o
matemático G.H. Hardy (1877–1947), de
Cambridge:

28. G.H. Hardy e o
Entscheidungsproblem
™ “Não há, obviamente,
nada disso [algoritmo],
e isso é muito bom, pois
se houvesse teríamos
um conjunto mecânico
de regras para a solução
de todos os problemas
matemáticos, e nossas
atividades como
matemáticos chegaria
ao fim.”

29. Turing e o
Entscheidungsproblem
™ “Suponho, porém não tenho certeza, que Turing, desde
o início de seu trabalho, tinha como objetivo uma
prova da indecidibilidade do Entscheidungsproblem.”
™ “A ‘idéia principal’ pode ter sido sua análise do
fenômeno da computação ou sua percepção de que
havia uma máquina universal, e portanto um
argumento diagonal para provar a
insolubilidade.” (Robin Gandy, 1974)

30. Máquina de Turing

31. Definição Matemática
™ Uma máquina de Turing é uma 7−upla,
(Q,Σ,Γ,δ,q0,qaceita,qrejeita), onde Q,Σ,Γ são todos
conjuntos finitos, δ é a função de transição, q0 ∈ Q é o
estado inicial, qaceita é o estado de aceitação, e qrejeita é o
estado de rejeição. (Pode ser codificada numa palavra
finita, e, portanto servir como entrada para outra
máquina)
™ Trata-se de um modelo formal de um “ser humano calculante”:
cada célula da fita de trabalho pode ser concebida como uma
folha de papel, Σ como o alfabeto de entrada, e Γ o
alfabeto de trabalho.

32. Alan Turing:
Máquina Universal
™ “É possível inventar uma única máquina que
pode ser usada para computar qualquer
seqüência computável.”
™ “Se essa máquina U for alimentada com a fita
no começo da qual está escrita a cadeia de
quíntuplas separadas por vírgulas de alguma
máquina de computação M, então U vai
computar a mesma seqüência que M.”

33. Implementação da
Máquina Universal
™ “Em 19/02/1946 Turing apresentou um artigo detalhado ao
comitê executivo do National Physical Laboratory (NPL),
dando o primeiro design razoavelmente completo de um
computador de programa armazenado: o Automatic Computing
Engine.”
™ “O mais conhecido design do EDVAC apresentado no
relatório First Draft of a Report on the EDVAC (30/06/1945), de
John von Neumann, que conhecia o trabalho teórico de
Turing, teve muita divulgação, apesar de seu estado
incompleto e ausência questionável de atribuição das fontes de
algumas das idéias.” (Wikipedia)

34. Problemas Decidíveis
1. Determinar se um sistema de equações lineares em k
variáveis, com coeficientes em Z, têm soluções em Z.
2. Determinar quais equações da forma x2 − dy2 = 1,
onde d é um inteiro positivo, têm soluções nos
inteiros.
3. Determinar para qual(is) valor(es) inteiro(s) de k a
equação y2 = x3 + k tem solução nos inteiros. (Alan
Baker, Medalha Fields 1996)

35. Problema Indecidível
™ Em 1900, Hilbert pediu em seu décimo problema:
Encontrar um algoritmo para decidir se um sistema de equações
com coeficientes inteiros tem uma solução inteira.
™ Somente em 1970, surgiu uma resposta: o russo Yuri
Matejasevic, então com 23 anos de idade, demonstrou
que não pode haver tal algoritmo (assumindo a Tese de
Church–Turing).

36. Subproduto do
10o Problema
™ O conjunto de valores positivos tomados pelo polinômio
(em 26 variáveis):
(k+2)(1−(wz+h+j−q)2 −((gk+2g+k+1)(h+j)+h−z)2− (16(k+1)3(k
+2)(n+1)2 +1−f2)2 −(2n+p+q+z−e)2− (e3(e+2)(a+1)2 +1−o2)2 −
((a2 −1)y2 +1−x2)2− (16r2y4(a2 −1)+1−u2)2 −(n+l +v −y)2− ((a2
−1)l2 +1−m2)2 −(ai +k +1−l −i)2− (((a+u2(u2 −a))2 −1)(n+4dy)2
+1−(x +cu)2)2− (p+l(a−n−1)+b(2an+2a−n2 −2n−2)−m)2− (q
+y(a−p−1)+s(2ap+2a−p2 −2p−2)−x)2− (z+pl(a−p)+t(2ap−p2
−1)−pm)2)
é exatamente o conjunto dos números primos!

37. Problema Decidível
™ Em 1930, (embora publicado apenas em 1948),
o lógico polonês Alfred Tarski demonstrou
que:
Existe um algoritmo para testar a solubilidade, nos
reais, de sistemas de equações polinomiais com
coeficientes inteiros.

38. Problema Indecidível
(Turing)
™ Turing mostrou que o problema de se determinar se
uma dada máquina de Turing pára ou não quando
roda sobre uma dada entrada é indecidível.
™ Esse ficou conhecido como o Problema da Parada.
™ Trata-se de um problema matemático de decisão, que
não tem solução, daí o Entscheidungsproblem, que é o
caso mais geral, também não tem solução

39. Referencial para outros
Problemas
™ Várias outras demonstrações de indecibilidade,
inclusive a de Emil Post (1946) com relação ao
problema da correspondência, passaram a
utilizar como referencial o Problema da
Parada:
se esse problema for decidível então o Problema da
Parada também o é, portanto ele não pode ser decidível.

40. Problemas Indecidíveis na
Computação
1. Determinar se dois programas são equivalentes.
2. Determinar se uma gramática livre-do-contexto é
ambígüa.
3. Determinar se duas gramáticas livres-do-contexto são
equivalentes.
4. Determinar se duas expressões do λ-cálculo são
equivalentes.
5. Determinar se uma dada expressão do λ-cálculo tem
forma normal.

41. Problemas Indecidíveis da
Matemática
Combinatória: ladrilhamento, desigualdades lineares entre densidades de
homomorfismo de grafos
Semigrupos de matrizes: problema da mortalidade de matrizes, problema da
palavra
Topologia: problema do homeomorfismo, detecção de variedade
Teoria dos números: problema de decisão para a teoria de 1a. ordem dos
racionais
Análise: existência de soluções para equações diferenciais algébricas
Sistemas dinâmicos: ponto vai para a origem em tempo finito? problema
Collatz generalizado
Probabilidade: estabilidade de caminhadas aleatórias
Geometria algébrica: existência de seções racionais

42. A Noção de Oráculo
™ Em 1939, com o objetivo de introduzir o conceito de
máquina de Turing não-determinística, Turing define
a noção de máquina oráculo, que permitiu a classificação
de problemas em termos de computabilidade relativa.
™ O grau de Turing ou grau de insolubilidade de um
conjunto de números naturais mede o nível de
insolubilidade do conjunto.

43. Custo Computacional
™ Dentre os modelos matemáticos do conceito de
algoritmo, a máquina de Turing tem servido de
referencial teórico para a classificação de algoritmos e
problemas segundo os respectivos requisitos de recursos
necessários:
1. Tempo: medido pelo número de passos de computação
2. Espaço: medido pelo número de células da fita de
trabalho utilizadas

44. Solubilidade na Prática
Classes de Complexidade de Problemas Computacionais:
1. P: problemas solúveis por uma máquina de Turing
determinística de tempo polinomial
2. NP: problemas solúveis por uma máquina de Turing
não-determinística de tempo polinomial (ou
conferíveis por uma máquina de Turing determinística
de tempo polinomial).

45. Legado na
Criptografia Moderna
1. Definição de: função unidirecional, função
pseudoaleatória, indistinguibilidade
2. Definição da noção de experimento, permitindo a
definição matemática de:
™ sigilo computacional, resistência à colisão,
inforjabilidade existencial
3. Provas de segurança relativa (por redução)

46. Legado na
Inteligência Artificial
™ Em 1950, Turing procura uma resposta científica à
pergunta:
Máquinas podem pensar?
™ Jogo da Imitação: humano conversando, por meio de
terminal, com uma máquina e um humano, sem saber
quem é a máquina, pretende distinguí-los, podendo
fazer qualquer tipo de pergunta a cada um deles, cuja
resposta pode ou não ser verdadeira.

47. Distinguir uma Máquina de
um Humano
™ A resposta à pergunta se a máquina pode pensar será
respondida na afirmativa se ela puder imitar um ser
humano nas suas respostas. Aplicação nos dias de hoje:
Completely Automated Public Turing test to tell Computers
and Humans Apart (CAPTCHA)
™ Teste de desafio cognitivo, utilizado como ferramenta
anti-spam, desenvolvido pioneiramente na
Universidade Carnegie-Mellon (Luis von Ahn).

48. Teste de Turing Reverso

49. Humanos seriam
Máquinas?
™ Turing substitui a pergunta “Máquinas
pensam?” por “Máquinas podem fazer o que nós
(como entidades pensantes) podemos fazer?”
™ A vantagem, segundo Turing, é que delimita
“razoavelmente bem as capacidades físicas das
capacidades intelectuais de um ser humano.”

50. Jogo da Imitação
™ “Turing especulou que até o ano de 2000, “um
interrogador médio não terá mais do que 70 por cento
de chance de fazer a identificação correta” – ou seja,
computadores enganariam os juízes 30 por cento das
vezes.”
™ “Por anos, sua previsão não se materializou, visto que
os sistemas de software não conseguiram se equiparar
em inteligência com seus interrogadores
humanos.” (Dan Falk, The Guardian, 21 Ago 2012)

51. “Turing test marathon”
(23 Junho 2012)
™ Organizada pela University of Reading como parte das
comemorações centenárias do nascimento de Turing– e
realizada, apropriadamente, no Bletchley Park em
Buckinghamshire, onde ele desempenhou um papel
fundamental na quebra do código da Enigma como parte
dos esforços de quebra de códigos das Forças Aliadas.
™ 30 juízes conversando eletronicamente com 25 “humanos
escondidos” (abrigados numa sala adjacente) e cinco
“chatbots” sofisticados – programas de computador
projetados para imitar a inteligência e a capacidade humanas
de conversar.

52. Maratona de
Teste de Turing
™ Algo como 150 conversações separadas foram
realizadas.
™ O programa vencedor, desenvolvido por uma equipe
russa, se chamava “Eugene”.
™ Tentando emular a personalidade de um garoto de 13-
anos de idade, Eugene enganou os juízes 29,2 por cento
do tempo, uma margem minimamente inferior ao
limiar de 30 por cento de Turing.

53. Turing sobre
Consciência
™ “Não quero dar a impressão de que eu acho que não
existe mistério em torno da consciência.”
™ “Há, por exemplo, algo de um paradoxo relacionado a
qualquer tentativa de localizá-la.”
™ “Mas não acho que esses mistérios necessariamente
precisam de ser resolvidos antes que possamos
responder à questão com a qual estamos preocupados
neste artigo.”

54. A Quarta Revolução Tecnológica
™ Nicolau Copérnico: não estamos no centro do
universo
™ Charles Darwin: não somos animais superiores e
totalmente desconectados dos outros animais
™ Sigmund Freud: não somos seres totalmente racionais
™ Alan Turing: não somos seres autônomos, mas sim
inforganismos (segundo Luciano Floridi, Filosofia da
Informação), Ou: não somos ilimitados no plano das
idéias

55. The Philosophy of Information,
Luciano Floridi (2011)

56. Referências Bibliográficas
™ Turing, A.M. (1936). “On Computable Numbers, with an
Application to the Entscheidungsproblem”. Proceedings of the
London Mathematical Society 2 42: 230–65. 1937.
™ Turing, A.M. (1950). “Computing Machinery and
Intelligence”. Mind LIX (236): 433–460.
™ Macintyre, A. (2011). “Undecidable and Decidable
Problems in Mathematics: A survey and some reflections,
for the centenary of Turing’s birth”. Talk given Tuesday, 17
May 2011 - 6:00pm, Barnard’s Inn Hall, Gresham College,
London, UK.