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1a
SÉRIE
ENSINO MÉDIO
Caderno do Professor
Volume1
MATEMÁTICA
MATERIAL DE APOIO AO
CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO
CADERNO DO PROFESSOR
MATEMÁTICA
ENSINO MÉDIO
1a
SÉRIE
VOLUME 1
Nova edição
2014-2017
GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
São Paulo
Governo do Estado de São Paulo
Governador
Geraldo Alckmin
Vice-Governador
Guilherme Afif Domingos
Secretário da Educação
Herman Voorwald
Secretário-Adjunto
João Cardoso Palma Filho
Chefe de Gabinete
Fernando Padula Novaes
Subsecretária de Articulação Regional
Rosania Morales Morroni
Coordenadora da Escola de Formação e
Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP
Silvia Andrade da Cunha Galletta
Coordenadora de Gestão da
Educação Básica
Maria Elizabete da Costa
Coordenadora de Gestão de
Recursos Humanos
Cleide Bauab Eid Bochixio
Coordenadora de Informação,
Monitoramento e Avaliação
Educacional
Ione Cristina Ribeiro de Assunção
Coordenadora de Infraestrutura e
Serviços Escolares
Ana Leonor Sala Alonso
Coordenadora de Orçamento e
Finanças
Claudia Chiaroni Afuso
Presidente da Fundação para o
Desenvolvimento da Educação – FDE
Barjas Negri
Senhoras e senhores docentes,
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo sente-se honrada em tê-los como colabo-
radores nesta nova edição do Caderno do Professor, realizada a partir dos estudos e análises que
permitiram consolidar a articulação do currículo proposto com aquele em ação nas salas de aula
de todo o Estado de São Paulo. Para isso, o trabalho realizado em parceria com os PCNP e com
os professores da rede de ensino tem sido basal para o aprofundamento analítico e crítico da abor-
dagem dos materiais de apoio ao currículo. Essa ação, efetivada por meio do programa Educação
— Compromisso de São Paulo, é de fundamental importância para a Pasta, que despende, neste
programa, seus maiores esforços ao intensificar ações de avaliação e monitoramento da utilização
dos diferentes materiais de apoio à implementação do currículo e ao empregar o Caderno nas ações
de formação de professores e gestores da rede de ensino. Além disso, firma seu dever com a busca
por uma educação paulista de qualidade ao promover estudos sobre os impactos gerados pelo uso
do material do São Paulo Faz Escola nos resultados da rede, por meio do Saresp e do Ideb.
Enfim, o Caderno do Professor, criado pelo programa São Paulo Faz Escola, apresenta orien-
tações didático-pedagógicas e traz como base o conteúdo do Currículo Oficial do Estado de São
Paulo, que pode ser utilizado como complemento à Matriz Curricular. Observem que as atividades
ora propostas podem ser complementadas por outras que julgarem pertinentes ou necessárias,
dependendo do seu planejamento e da adequação da proposta de ensino deste material à realidade
da sua escola e de seus alunos. O Caderno tem a proposição de apoiá-los no planejamento de suas
aulas para que explorem em seus alunos as competências e habilidades necessárias que comportam
a construção do saber e a apropriação dos conteúdos das disciplinas, além de permitir uma avalia-
ção constante, por parte dos docentes, das práticas metodológicas em sala de aula, objetivando a
diversificação do ensino e a melhoria da qualidade do fazer pedagógico.
Revigoram-se assim os esforços desta Secretaria no sentido de apoiá-los e mobilizá-los em seu
trabalho e esperamos que o Caderno, ora apresentado, contribua para valorizar o ofício de ensinar
e elevar nossos discentes à categoria de protagonistas de sua história.
Contamos com nosso Magistério para a efetiva, contínua e renovada implementação do currículo.
Bom trabalho!
Herman Voorwald
Secretário da Educação do Estado de São Paulo
SUMÁRIO
Orientação geral sobre os Cadernos 5
Situações de Aprendizagem 9
Situação de Aprendizagem 1 – Conjuntos numéricos; regularidades numéricas
e geométricas 9
Situação de Aprendizagem 2 – Progressões aritméticas e progressões geométricas 21
Situação de Aprendizagem 3 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finitas e
aplicações à Matemática Financeira 34
Situação de Aprendizagem 4 – Limite da soma dos infinitos termos de uma PG infinita 48
Situação de Aprendizagem 5 – Funções como relações de interdependência:
múltiplos exemplos 55
Situação de Aprendizagem 6 – Funções polinomiais de 1o
grau: significado, gráficos,
crescimento, decrescimento e taxas 65
Situação de Aprendizagem 7 – Funções polinomiais de 2o
grau: significado, gráficos,
interseções com os eixos, vértices e sinais 74
Situação de Aprendizagem 8 – Problemas envolvendo funções de 2o
grau em múltiplos
contextos; problemas de máximos e mínimos 96
Orientações para Recuperação 103
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do
tema 105
Considerações finais 106
Quadro de conteúdos do Ensino Médio 108
5
Matemática – 1ª série – Volume 1
Insistimos, no entanto, no fato de que so-
mente o professor, em sua circunstância parti-
cular, e levando em consideração seu interesse
e o dos alunos pelos temas apresentados, pode
determinar adequadamente quanto tempo de-
dicar a cada uma das unidades.
Ao longo dos Cadernos são apresentadas,
além de uma visão panorâmica do conteúdo
do volume, oito Situações de Aprendizagem,
que pretendem ilustrar a abordagem sugeri-
da, orientando a ação do professor em sala
de aula. As atividades são independentes e
podem ser exploradas pelos professores com
maior ou menor intensidade, segundo seu in-
teresse e de sua turma. Naturalmente, em ra-
zão das limitações no espaço dos Cadernos,
nem todas as unidades foram contempladas
com Situações de Aprendizagem, mas a ex-
pectativa é de que a abordagem dos temas seja
explicitada nas atividades oferecidas.
São apresentados, também, em cada Ca-
derno, sempre que possível, materiais disponí-
veis (textos, softwares, sites e vídeos, entre ou-
tros) em sintonia com a abordagem proposta,
que podem ser utilizados pelo professor para
o enriquecimento de suas aulas.
Compõem o Caderno, ainda, algumas con-
siderações sobre a avaliação a ser realizada,
bem como o conteúdo considerado indispen-
sável ao desenvolvimento das competências
enunciadas no presente volume.
Os temas escolhidos para compor o con-
teúdo disciplinar de cada volume não se afas-
tam, de maneira geral, do que é usualmente
ensinado nas escolas ou do que é apresentado
pelos livros didáticos. As inovações preten-
didas referem-se à abordagem dos assuntos,
sugerida ao longo dos Cadernos. Em tal abor-
dagem, busca-se evidenciar os princípios nor-
teadores do presente currículo, destacando-se
a contextualização dos conteúdos e as compe-
tências pessoais envolvidas, especialmente as
relacionadas com a leitura e a escrita matemá-
tica, bem como os elementos culturais inter-
nos e externos à Matemática.
Em todos os Cadernos, os conteúdos es-
tão organizados em 16 unidades de extensões
aproximadamente iguais. De acordo com o
número de aulas disponíveis por semana, o
professor explorará cada assunto com mais
ou menos aprofundamento, ou seja, escolhe-
rá uma escala adequada para o tratamento
de cada um deles. A critério do professor, em
cada situação específica, o tema correspon-
dente a uma das unidades pode ser estendido
para mais de uma semana, enquanto o de ou-
tra unidade pode ser tratado de modo mais
simplificado.
É desejável que o professor tente contem-
plar todas as 16 unidades, uma vez que, jun-
tas, compõem um panorama do conteúdo do
volume, e, muitas vezes, uma das unidades
contribui para a compreensão das outras.
ORIENTAÇÃO GERAL SOBRE OS CADERNOS
6
Conteúdos básicos do volume
A abordagem dos conceitos deste volume,
relativos ao bloco Números e sequências, prio-
rizará aspectos considerados fundamentais
para a compreensão de alguns dos diferentes
significados dos conceitos envolvidos.
O primeiro aspecto que pretendemos res-
saltar é o reconhecimento da regularidade en-
volvida na construção de sequências numéri-
cas ou de sequências geométricas. Para tanto,
propomos que o início do trabalho se dê com
a retomada das características dos conjuntos
numéricos, a fim de que os alunos percebam,
por um lado, a regularidade do conjunto dos
números naturais e dos números inteiros e, por
outro, a questão da densidade dos números
reais. Partindo do conhecimento desses con-
juntos, esperamos que os alunos possam re-
lacionar a regularidade dos números naturais
à de outras sequências numéricas e também
geométricas, identificando essa regularidade,
sempre que possível, por intermédio de uma
expressão matemática. Assim, apresentamos,
na Situação de Aprendizagem 1, uma série de
situações-problema exemplares, para que o
professor possa optar pela utilização total ou
parcial no início de seu trabalho.
Partindo do princípio de que os alunos de-
vem reconhecer a regularidade de sequências
numéricas de qualquer natureza e escrever
expressões matemáticas que reflitam a re-
gularidade observada, julgamos importante
que não sejam tratadas de maneiras comple-
tamente distintas as sequências aritméticas e
as sequências geométricas, como se costuma
observar nos livros didáticos. Essa proposta de
abordagem simultânea dos dois tipos mais co-
muns de sequências, as progressões aritméticas
(PAs) e as progressões geométricas (PGs), está
contemplada na Situação de Aprendizagem 2
e permite, a nosso ver, que o foco do tratamen-
to conceitual se desloque do formalismo algé-
brico para a construção do significado real e
importante das características da regularidade
de cada sequência.
PAs e PGs estão presentes em várias situa-
ções contextualizadas, conforme alguns mo-
delos apresentados na Situação de Aprendi-
zagem 2, e não costumam trazer dificuldades
adicionais de compreensão para os alunos.
Dentre as inúmeras aplicações desse conteú-
do, destacamos especialmente uma, na Situa-
ção de Aprendizagem 3, quando propomos
que problemas clássicos de cálculos de juros
e de montantes envolvidos em processos de
capitalização ou amortização componham o
contexto possível para o tratamento da soma
de um número finito de termos de uma PA ou
de uma PG. Para o desenvolvimento das ativi-
dades que compõem essa Situação de Apren-
dizagem, conforme justificaremos adiante,
julgamos fundamental que os alunos possam
dispor de calculadoras.
O conceito de infinito, de suma importância
em Matemática, costuma ser bastante moti-
vador para o estudo de alguns conceitos, des-
de as séries iniciais, quando os alunos tomam
contato com a ideia do “mais 1”, que conduz
à construção do campo numérico dos natu-
7
Matemática – 1ª série – Volume 1
rais. A ideia da quantidade infinita de números
existente entre dois números reais, como 1 e 2,
por exemplo, é algo que parece inicialmente es-
tranho para nossos alunos, mas pode, pouco a
pouco, firmar-se como um conceito fundamen-
tal da Matemática, dependendo das diferentes
abordagens que destinamos ao conceito duran-
te toda a escolaridade. Nessa perspectiva, isto
é, com o objetivo de que os estudantes constru-
am, gradual e lentamente, o conceito de limite
de uma função, não devemos perder oportuni-
dades que surjam durante nossas aulas para, de
maneira apropriada, abordar a ideia de limite.
É nesse contexto que propomos a realização
da sequência de atividades que compõem a Si-
tuação de Aprendizagem 4, durante a qual o
foco estará sempre colocado sobre o conceito
de limite, em detrimento de dificuldades de
natureza algébrica.
Além dos conteúdos citados, este Cader-
no também faz uma retomada da noção de
função, que traduz uma relação de interde-
pendência entre duas grandezas, explorando-
-se especialmente as funções de 1o
grau e de
2o
grau, bem como suas aplicações em dife-
rentes contextos. Tais assuntos já foram apre-
sentados aos alunos em séries/anos anteriores.
Na 6a
série/7o
ano do Ensino Fundamental,
foram exploradas situações envolvendo a pro-
porcionalidade direta e inversa entre grande-
zas, e que conduzem a relações do tipo y = kx,
ou, então, y =
k
x
, onde k é uma constante não
nula. Na 8a
série/9o
ano, foram estudadas as
funções y = ax + b e y = ax2
+ bx + c, com
a ≠ 0, além da representação destas em gráficos.
Agora, o estudo dessas funções será apre-
sentado de modo mais sistematizado. Tudo será
feito, no entanto, de tal forma que, mesmo se
o professor estiver tratando desse assunto pela
primeira vez, o aluno provavelmente não terá
grandes dificuldades em acompanhar as ativi-
dades propostas. Como já foi dito anteriormen-
te, as funções referidas são capazes de traduzir
matematicamente todos os processos que envol-
vem relações de proporcionalidade direta (gráfi-
cos lineares), ou relações em que uma grandeza
é proporcional ao quadrado de outra (gráficos
com a forma de uma parábola). Muitos exercí-
cios envolvendo situações concretas em que a
consideração das grandezas envolvidas conduz
a uma função de 1o
grau ou de 2o
grau serão
contemplados, com especial destaque para pro-
blemas de otimização, ou seja, problemas que
envolvem a obtenção do máximo ou do mínimo
de uma função, em determinado contexto.
De modo geral, os conteúdos estudados
neste Caderno são meios para o desenvolvi-
mento de importantes competências básicas:
o recurso à linguagem das funções para
representar interdependências conduz a
um aumento na capacidade de expressão,
favorecendo a construção de um discurso
mais eficaz para enfrentar problemas em
diferentes contextos;
a capacidade de compreensão de uma
variada gama de fenômenos é ampliada,
uma vez que muitas situações de interde-
pendência estão naturalmente associadas
a modelagens que conduzem a explicações
dos referidos fenômenos;
8
o reconhecimento das funções envolvidas
em um fenômeno possibilita a sistematiza-
ção de propostas de intervenção consciente
sobre a realidade representada.
Na Situação de Aprendizagem 5, reapre-
sentaremos a ideia de função por meio de
múltiplos exemplos de situações de interde-
pendência entre grandezas.
Na Situação de Aprendizagem 6, destacare-
mos as funções de 1o
grau, com suas qualidades
características.
Na Situação de Aprendizagem 7, serão sis-
tematizados os fatos fundamentais relativos às
funções de 2o
grau (gráficos, simetria, interse-
ção com os eixos, coordenadas do vértice, estu-
do dos sinais).
E, por fim, na Situação de Aprendiza-
gem 8, serão apresentados diversos pro-
blemas envolvendo funções de 2o
grau, in-
cluindo situações de otimização (máximos
e mínimos).
Para a organização dos trabalhos, dividi-
mos o conteúdo em 16 unidades, mais ou me-
nos correspondentes às oito semanas de aulas.
Sugerimos a seguinte estruturação:
Quadro geral de conteúdos do volume 1 da 1a
série do Ensino Médio
Unidade 1 – Sequências numéricas e/ou geométricas; identificação e registro da regularidade.
Unidade 2 – Progressões aritméticas e progressões geométricas – termo geral e aplicações.
Unidade 3 – Progressões aritméticas e progressões geométricas – termo geral e aplicações.
Unidade 4 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita.
Unidade 5 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita – aplicações à Matemática
Financeira.
Unidade 6 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita – aplicações à Matemática
Financeira.
Unidade 7 – Limite da soma dos termos de uma PG infinita.
Unidade 8 – Limite da soma dos termos de uma PG infinita.
Unidade 9 – Funções como relações de interdependência.
Unidade 10 – Funções de 1o
grau – significado, gráficos, crescimento, decrescimento, taxas.
Unidades 11, 12, 13 – Funções de 2o
grau – significado, gráficos, interseções com os eixos,
vértice, sinais.
Unidades 14, 15 e 16 – Problemas envolvendo funções de 2o
grau – problemas de máximos
e mínimos.
9
Matemática – 1ª série – Volume 1
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1
CONJUNTOS NUMÉRICOS; REGULARIDADES NUMÉRICAS
E GEOMÉTRICAS
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 1
Na 1a
série do Ensino Médio, é bem pro-
vável que os alunos conheçam os conjuntos
numéricos – Naturais, Inteiros, Racionais e
Reais – e, também, que estejam familiarizados
com a ideia preliminar da relação entre dois
subconjuntos desses conjuntos, conhecimento
este que é a base do conceito de função. Se a
premissa é verdadeira, cabe ao professor rever
com os alunos algumas características desses
conjuntos, com o objetivo de construir a base
para a apresentação, posterior, das leis de for-
mação das sequências numéricas. Caso a pre-
missa não seja verdadeira, isto é, se os alunos
não conhecem satisfatoriamente os conjuntos
numéricos, convém que o professor lhes apre-
sente formalmente cada conjunto (IN, , Q
e IR) antes de iniciar a aplicação da Etapa 1,
descrita mais adiante.
Conhecidos os conjuntos numéricos, os
alunos poderão reconhecer que, na maioria
das vezes, uma sequência ordenada de nú-
meros pode ser identificada por intermédio
de uma sentença matemática que relaciona
um número natural a um número real. Essa
ideia é fundamental para o estudo das rela-
ções de dependência entre um par de gran-
dezas, ou, em outros termos, para o estudo
das funções.
Nesta Situação de Aprendizagem, explo-
raremos, inicialmente, na Etapa 1, a cons-
trução dos conjuntos numéricos e algumas
de suas propriedades. Em seguida, apre-
sentaremos algumas sequências que possi-
bilitarão a identificação de determinados
padrões de regularidades e pediremos que
os alunos descrevam, em língua materna, a
regularidade que identificam. Isso feito, o
próximo passo será pedir que os alunos en-
SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM
Conteúdos e temas: conjuntos numéricos; sequências numéricas e/ou geométricas; termo geral de sequên-
cias numéricas.
Competências e habilidades: obter sequências numéricas a partir do conhecimento de seu termo geral;
obter o termo geral de uma sequência numérica a partir da identificação da regularidade existente;
reconhecer a existência ou não de padrões de regularidades em sequências numéricas ou geométricas;
utilizar a linguagem matemática para expressar a regularidade dos padrões de sequências numéricas
ou geométricas.
Sugestão de estratégias: resolução de exercícios exemplares.
10
contrem termos sucessivos dessas sequên-
cias, caso elas mantenham a regularidade
observada. Completando a primeira etapa,
os alunos serão convidados a exprimir a
regularidade observada por intermédio de
uma sentença matemática.
Realizada a etapa inicial, proporemos, na
Etapa 2, apresentada mais adiante, que os alunos
obtenham sequências numéricas a partir de con-
dições dadas em língua materna ou em lingua-
gem matemática e, ainda, que obtenham termos
determinados de algumas dessas sequências.
Etapa 1 – Observando padrões
e regularidades
Inicialmente, recomendamos que o profes-
sor liste o conjunto dos números naturais e dos
números inteiros para, em seguida, pedir que
os alunos identifiquem alguns subconjuntos
descritos por informações comunicadas em
língua materna, como nos exemplos a seguir:
IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }
= { ... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}
Com base nos elementos do conjunto nu-
mérico, alguns números deverão ser deter-
minados:
números naturais menores do que 7;
números naturais maiores ou iguais a 8;
números inteiros menores do que 7 e maio-
res do que –2;
números inteiros cujo valor absoluto é me-
nor do que 4.
Em seguida, após a exposição desses e
de outros exemplos que o professor julgar
apropriados, poderá ser pedido que os alu-
nos transcrevam as informações comunica-
das em língua materna para a linguagem
matemática. No caso dos exemplos ante-
riores, teríamos:
{x IN | x < 7} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
{x IN | x 8} = {8, 9, 10, 11, 12, ...}.
{x | – 2 < x < 7} = {–1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
{x | |x| < 4} = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}.
Observando padrões e regularidades
Você já reparou que as pessoas, em muitos momentos do dia, estão diante de situações
que envolvem uma sequência de números? O torcedor procura, em uma tabela no cader-
no de esportes do jornal, a posição de seu time no campeonato nacional. Para localizar
uma determinada residência em uma rua, o carteiro observa certa regra na numeração
das casas: de um lado, estão dispostas as casas de numeração par em sequência crescente
ou decrescente, e, do outro lado, as de numeração ímpar. Em um edifício, a numeração
dos apartamentos indica também o andar em que eles se localizam. No hospital, a enfer-
11
Matemática – 1ª série – Volume 1
Discutidos alguns casos, como exemplifi-
cado, recomendamos que os alunos se envol-
vam na resolução dos seguintes problemas:
1. Dados os conjuntos a seguir,
descritos em linguagem coti-
diana, encontre, em cada caso,
seus elementos e traduza a descrição dada
para a linguagem matemática.
a) O conjunto A é formado por números
naturais maiores do que 4 e menores ou
iguais a 11.
{5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}.
{x IN | 4< x ≤ 11}
b) O conjunto B é formado por números
naturais menores ou iguais a 6.
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
{x IN | x ≤ 6}
c) O conjunto C é formado por números
inteiros maiores ou iguais a –3 e meno-
res do que 5.
{−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}.
{ x | -3 ≤ x <5}
d) O conjunto D é formado por números
inteiros maiores ou iguais a –2.
{−2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}.
{ x | x ≤ - 2}
2. Quais são os cinco menores números que per-
tencem a cada um dos seguintes conjuntos?
a) E é o conjunto dos cinco menores nú-
meros naturais que são divisíveis por 4.
{0, 4, 8, 12, 16}.
b) F é o conjunto dos cinco menores núme-
ros naturais ímpares maiores do que 7.
{9, 11, 13, 15, 17}.
meira é orientada sobre a sequência de horários em que deve administrar certo medica-
mento ao paciente.
O ser humano também observa vários movimentos naturais que seguem uma determinada
sequência, formando, assim, certo padrão: os períodos do dia, as estações do ano, as fases da
Lua e o período de aparecimento de um cometa são alguns desses movimentos.
Desde a Antiguidade, grande parte do trabalho dos matemáticos e cientistas tem sido observar
e registrar fenômenos que ocorrem segundo um padrão. O encontro de um padrão ou de uma
regularidade será uma das possibilidades de compreensão, previsão e controle desses fenômenos.
Para abordar esse assunto, este Caderno explora, inicialmente, as sequências numéricas
que podemos construir a partir dos conjuntos numéricos que conhecemos: os naturais, os
inteiros, os racionais e os reais.
12
c) G é o conjunto dos cinco menores nú-
meros inteiros que, elevados ao qua-
drado, resultam em um número menor
do que 10.
{ −3, −2, −1, 0, 1}.
d) H é o conjunto dos cinco menores nú-
meros naturais que, quando dobrados
e somados a 1, resultam em um núme-
ro maior do que 7.
{4, 5, 6, 7, 8}.
3. Descreva, em linguagem matemática, os
conjuntos E, F, G e H, apresentados na ati-
vidade anterior.
E = {4n, sendo n IN, e n < 5}.
F = {2n + 1, sendo n IN, e 4 n 8}.
G = {x | −4 < x < 2}.
H = {2n + 1 > 7, sendo n IN, e n < 9}.
A resolução e a discussão desses pro-
blemas iniciais permitirão, ao nosso ver,
introduzir a notação apropriada para a
designação de termos de uma sequência
numérica. Todavia, antes que isso seja im-
plementado (o que será feito na Etapa 2),
consideramos importante que os alunos se
detenham um pouco mais na identificação
das regularidades de algumas sequências.
4. A seguir, são apresentadas três sequências
numéricas infinitas. Observando cada uma
delas, responda:
a) Qual é o 100o
termo nesta sequência: 1,
1, 1, 1, 1, ...?
1
b) Qual é o 120o
termo nesta sequência:
1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2,
1, 1, …?
2 (posição múltipla de 3)
c) Qual é o 25o
termo nesta sequência:
5, 4, 8, 1, 3, 5, 4, 8, 1, 3, 5, 4, 8, 1, 3,
5, 4, …?
3 (posição múltipla de 5)
É importante que o professor auxilie
os alunos na observação de que, nessas
sequências, os motivos (períodos) são re-
petidos igualmente, ou seja, um elemento
ou um grupo de elementos se repete perio-
dicamente, levando-os a perceber que essa
característica deve ser levada em conta, na
organização dos dados, para a identifica-
ção do termo solicitado.
A sequência dos números naturais é cons-
truída, como sabemos, pelo acréscimo de
uma unidade a um termo já conhecido. A
fim de proporcionar aos alunos a oportuni-
dade de observar regularidades e perceber
que, muitas vezes, é possível construir uma
“receita” ou uma sentença que indique como
a sequência deve continuar, o professor pode
apresentar tipos diferentes de sequências
para que os alunos observem as proprieda-
des de seus elementos e descubram a lei de
formação, ou seja, o padrão utilizado para a
construção da sequência. Oriente-os a cons-
truir uma sentença algébrica que permita
calcular um termo qualquer, em função de
sua posição na sequência (sequências, sob o
ponto de vista funcional).
13
Matemática – 1ª série – Volume 1
5. A seguir, é apresentada uma sequência na
forma figurativa. Descreva, em palavras, o
padrão de regularidade desta sequência e
indique qual deve ser a figura que ocupa a
152a
posição.
1 2 3 4
5 6 7 8
As sequências figurais também podem en-
riquecer o trabalho com a observação de regu-
laridades e generalização de padrões. No caso
da sequência em questão, o professor pode
estimular os alunos a perceber que a sétima
figura é igual à primeira, que a oitava figura é
igual à segunda, e assim por diante. Ou seja,
cada período é formado por seis figuras; por-
tanto, a 152a
figura será igual à segunda, pois
tanto o número 2 (que indica a posição da se-
gunda figura) quanto o número 152 (que indi-
ca a posição da 152a
figura), quando divididos
por 6, deixam resto 2.
Assim, o professor poderá auxiliar os
alunos na conclusão de que as Figuras 1, 7,
13, 19 etc. são todas iguais à primeira figu-
ra, pois os números 1, 7, 13, 19 etc., quando
divididos por 6, deixam resto 1. Do mesmo
modo, as Figuras 3, 9, 15, 21 etc. são todas
iguais à Figura 3, pois os números 3, 9, 15, 21
etc., quando divididos por 6, deixam resto 3,
e assim sucessivamente.
A exploração de sequências repetitivas,
numéricas ou não, favorece a discussão sobre
algumas noções trabalhadas nas séries anterio-
res, como múltiplos, divisores e regras de divisi-
bilidade, e permite uma aproximação da noção
de congruência, uma vez que trabalha com nú-
meros que, divididos por um determinado nú-
mero inteiro, apresentam o mesmo resto.
Realizada a discussão do exemplo propos-
to e de outros que o professor julgar apro-
priados, propomos que os alunos resolvam os
seguintes problemas.
6. Observe a sequência de figuras:
1 2 3 4 5 6 7
...
Supondo que a lei de formação continue a
mesma, desenhe as figuras que deverão ocu-
par as posições 38a
e 149a
nessa sequência.
Justifique sua resposta.
A figura que ocupa a posição 38 será a mesma figura da posi-
ção 2, pois a divisão de 38 por 4 deixa resto 2, e a que ocupa
a posição 149 será a mesma da posição 1, visto que a divisão
de 149 por 4 deixa resto 1.
7. Observe a sequência (1, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 3,
3, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 1...). Supondo que a lei de
formação dessa sequência permaneça, deter-
mine o 38o
e o 149o
termos.
O período é de cinco números. Assim, o 38o
termo é 2, pois
a divisão de 38 por 5 deixa resto 3, e o terceiro termo da
sequência é o número 2; o 149o
termo é igual a 3, pois a
divisão de 149 por 5 deixa resto 4, e o quarto termo da se-
quência é o número 3.
14
8. Hoje é quarta-feira. Devo pagar uma dí-
vida daqui a exatamente 90 dias. Em que
dia da semana cairá o 90o
dia?
O período é de sete dias. A divisão de 90 por 7 deixa res-
to 6; portanto o 90o
dia será o sexto elemento da sequên-
cia dos dias da semana iniciada na quinta-feira. Logo, o
90o
dia será terça-feira.
9. Um processo de reflorestamento previa a
plantação de certo número x de mudas de
árvores. No primeiro dia, foram planta-
das 120 árvores, e planejou-se que, nos
dias seguintes, seriam plantadas, por dia,
dez árvores a mais do que no dia anterior.
Sendo assim:
a) quantas árvores serão plantadas no séti-
mo dia?
6 10 + 120 = 180 árvores.
b) qual é o número x, se, no final do dé-
cimo dia, havia sido plantada a metade
do total previsto inicialmente?
No décimo dia = 9 10 + 120 = 210
S = 120 + 130 + 140 + ... + 190 + 200 + 210 =
= 1650 (metade do total)
Total de árvores = 1650 2
x = 3300
10. Observe os seis primeiros termos de uma
sequência.
1 2 3 4
A
B
C
D
(I)
1 2 3 4
A
B
C
D
(II)
1 2 3 4
A
B
C
D
(III)
1 2 3 4
A
B
C
D
(IV)
1 2 3 4
A
B
C
D
(VI)
1 2 3 4
A
B
C
D
(V)
Supondo que a regularidade observada
na formação desses termos seja mantida
para a formação dos demais, isto é, que o
termo (I) seja igual ao termo (VII), que
o termo (II) seja igual ao termo (VIII), e as-
sim por diante, responda:
a) quais quadrículas estarão pintadas no
termo (XXX)?
O período da sequência é de seis termos. A divisão de
30 por 6 resulta resto zero. Assim, o termo (XXX) é igual
ao termo (VI), e nele estarão pintadas as quadrículas C2,
C3, D3 e D4.
b) quantas vezes a quadrícula B2 terá
sido pintada desde o termo (I) até o
termo (XIX)?
A quadrícula B2 é pintada três vezes a cada período, nos ter-
mos (I), (III) e (IV). Até o termo (XIX), incluindo-o, serão três
períodos e mais um termo. Portanto, a quadrícula B2 será
pintada 3 3 + 1 = 10 vezes.
11. Aproveitando as condições
apresentadas na atividade 9 da se-
ção anterior, crie três questões
acompanhadas de sua resolução.
15
Matemática – 1ª série – Volume 1
Praticamente não há limite para o número de exemplos que
poderão ser criados. O professor poderá permitir que os alu-
nos socializem os exemplos que criaram e que, ao final, sele-
cionem 4 ou 5 que, na opinião deles, consideraram os mais
criativos ou os mais difíceis.
12. Atribui-se ao matemático grego Hipsicles
(240 a.C.-170 a.C.) uma regra para criar
uma nova sequência numérica a partir de
outra. O método consiste em tomar uma
sequência numérica (por exemplo, 1, 2, 3,
4, 5, 6, …) e criar outra em que cada termo
seja igual à soma dos anteriores. Isto é:
termos são as raízes da equação x2
– 8x
+ 15 = 0. Encontre o primeiro e o segun-
do termos dessa sequência, considerando
que exista diferença constante entre dois
termos consecutivos.
Resolvendo a equação de 2o
grau, encontraremos como raízes
os números 3 e 5. A sequência será, portanto, (−3, –1, 1, 3, 5).
Assim, os dois primeiros termos serão −3 e −1, respectivamente.
Professor, uma prática que costuma mo-
tivar os alunos e aproveitar, de forma mais
intensa, seus conhecimentos anteriores é so-
licitar-lhes que, com base nas condições desse
problema, criem diversas questões, para que
sejam trocadas e resolvidas por eles mesmos,
sob sua supervisão. Além disso, esse tipo de
atividade é um consistente instrumento no es-
tímulo à metacognição, isto é, estimula cada
aluno a refletir sobre como elabora e mobili-
za suas estratégias de raciocínio durante uma
etapa de resolução de problemas.
Etapa 2 – Sequências definidas por
sentenças matemáticas
Nesta etapa, os alunos serão convidados
a obter sequências numéricas a partir de con-
dições definidas, inicialmente, na língua ma-
terna e, posteriormente, na linguagem mate-
mática. Além disso, desenhando um percurso
inverso ao anterior, uma série de problemas
será proposta para que os alunos obtenham a
expressão do termo geral de determinada se-
quência numérica. Sugerimos que a próxima
atividade seja discutida com os alunos antes
que eles se envolvam com a resolução dos pro-
blemas propriamente dita.
1
1 + 2
1 + 2 + 3
1 + 2 + 3 + 4
1 + 2 + 3 + 4 + 5
...
1
3
6
10
15
...
Sequência nova
PelaregradeHipsicles,asequência(1,2,3,4,...)
gerou a sequência (1, 3, 6, 10, 15, 21, …).
Aplique a regra de Hipsicles e encontre os
oito primeiros termos de duas novas se-
quências numéricas geradas a partir da
sequência (1, 3, 6, 10, 15, 21,...).
As sequências serão: (1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, …) e
(1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, …).
13. Uma sequência numérica crescente é
composta por cinco termos. O terceiro
termo é o número 1, e o quarto e quinto
16
Sequências definidas por sentenças
matemáticas
14. Em uma sequência numéri-
ca, o primeiro termo é uma fra-
ção de numerador 1 e denomi-
nador 4. Os termos seguintes ao primeiro
podem ser obtidos adicionando sempre uma
unidade ao numerador e ao denominador da
fração do termo imediatamente anterior.
a) Quais são os cinco primeiros termos
dessa sequência?
1
4
,
2
5
,
3
6
,
4
7
,
5
8
.
b) Chamando o primeiro termo de a1
, o
segundo termo de a2
, o terceiro de a3
, e
assim por diante, qual é o termo a9
?
9
12
=
3
4
c) Qual é o termo a54
?
54
57
d) Como se pode determinar um termo an
qualquer?
Um termo qualquer an
é uma fração em que o numerador é
igual a n e o denominador é três unidades a mais do que n,
isto é, é igual a n + 3. Assim, an
=
n
n + 3
.
Chamamos a atenção do professor para o
fato de que o conjunto de problemas desta etapa
envolve sequências numéricas de várias nature-
zas, e não apenas as aritméticas e as geométri-
cas, e também para a necessidade de os alunos
escreverem em língua materna a regularidade
expressa na linguagem matemática.
15. Em uma sequência numérica, o primei-
ro termo é igual a 2, e os seguintes são
obtidos pelo acréscimo de três unidades
ao termo imediatamente anterior. Sen-
do assim, responda:
a) quais são os cinco primeiros termos?
(2, 5, 8, 11, 14).
b) qual é o termo a10
?
(29).
c) qual é o termo a20
?
(59).
d) como se pode determinar um termo an
qualquer?
Somando o termo inicial, 2, a um certo número de termos
sempre iguais a 3. Para se obter um termo n qualquer, deve-
mos somar o primeiro termo, 2, com n − 1 termos iguais a 3.
Assim, an
= 2 + 3 (n − 1) = 3n − 1.
Outro raciocínio possível é o seguinte: como o salto de
um termo a outro é constante e igual a 3, podemos supor
que uma expressão geral deva conter o termo 3n. Para
que a1
= 2, é preciso que seja subtraído 1 de 3n. Assim,
an
= 3n − 1.
16. Para se obter os termos de uma sequência
numérica, é necessário fazer o seguinte:
I. Elevar a posição do termo ao quadra-
do, isto é, calcular 12
para o primeiro
termo, 22
para o segundo termo, 32
para
o terceiro termo, e assim por diante.
17
Matemática – 1ª série – Volume 1
II. Adicionar duas unidades ao resultado
obtido após elevar ao quadrado a posi-
ção do termo.
Para essa sequência numérica, responda:
a) quais são os cinco primeiros termos?
(3, 6, 11, 18, 27).
b) qual é o 8o
termo?
a8
= 82
+ 2 = 66.
c) qual é o termo a20
?
a20
= 202
+ 2 = 402.
d) como se pode determinar um termo an
qualquer?
an
= n2
+ 2.
17. Observe os cinco primeiros termos da se-
guinte sequência numérica:
3, 2,
5
3
,
3
2
,
7
5
.
Demonstre que é possível determinar os
termos dessa sequência a partir da ex-
pressão an
=
n 2
n
,
+
atribuindo a n valores
naturais maiores do que zero.
Para n = 1 a1
=
1 + 2
1
= 3;
Para n = 2, a2
=
2 + 2
2
= 2;
Para n = 3, a3
=
3 + 2
3
=
5
3
;
Para n = 4, a4
=
4 + 2
4
=
6
4
=
3
2
;
Para n = 5, a5
=
5 + 2
5
=
7
5
18. A expressão an
=
n 1
n 1
–
+
é a expressão do
termo geral de uma sequência numérica,
isto é, os termos da sequência podem ser
obtidos se forem atribuídos a n valores
naturais maiores do que zero. Sendo as-
sim, encontre:
a) o termo a1
;
a1
=
1 − 1
1 + 1
= 0.
b) o termo a5
;
a5
=
5 − 1
5 + 1
=
4
6
=
2
3
.
c) o 8o
termo;
a8
=
8 − 1
8 + 1
=
7
9
.
d) a posição do termo que é igual a
9
11
.
O termo
9
11
pode ser escrito como
10 − 1
10 + 1
.
Portanto, ele é o décimo termo.
19. Determinada sequência numérica tem
a1
= 9, a2
= 3, a3
= 1 e a4
= 1
3
. Nessa sequên-
cia, qual é:
a) o 5o
termo?
Cada termo da sequência, a partir do segundo, é obtido pela
divisão do anterior por 3. Assim, o quinto termo será igual a
1
3
÷ 3 =
1
9
.
18
b) o termo a6
?
a6
= a5
÷ 3 =
1
9
÷ 3 =
1
27
.
c) a posição do termo que é igual a
1
81
?
Como 27 é igual a 81 ÷ 3, e
1
27
é o sexto termo,
1
81
é o
sétimo termo.
20. Qual das duas expressões listadas a seguir
é a expressão do termo geral da sequência
da atividade anterior? (Lembre-se de que n
é o número que dá a posição do termo na
sequência, isto é, se n = 2, temos o segundo
termo; se n = 5, temos o quinto termo; e
assim por diante.)
an
=
9
3n
an
= 33 – n
O termo geral da sequência é an
= 33 −n
, que poderá ser
verificado a partir da substituição de n por números naturais
maiores do que zero.
21. Observe a seguinte sequência dos números
pares positivos: 0, 2, 4, 6, 8, 10, ... Nessa
sequência:
a) qual é o 10o
termo?
O décimo termo é 18.
b) qual é o 15o
termo?
O 15o
termo é 28.
c) qual é o termo a35
?
a35
= 68.
d) qual é o termo a101
?
a101
= 200.
e) qual é a posição do termo que é igual a
420?
420 é o 211o
termo.
f) como se pode determinar um termo an
qualquer?
Fazendo (n − 1) 2, sendo n um número natural maior do
que zero.
22. Escreva os cinco primeiros termos da se-
quência dos números ímpares positivos.
Em seguida, responda:
1, 3, 5, 7, 9...
a) qual é o 10o
termo?
a10
= 19.
b) qual é o termo a13
?
a13
= 25.
c) qual é o termo a25
?
a25
= 49.
d) como se pode determinar um termo an
qualquer?
Fazendo 2 n − 1, em que n é um número natural maior
do que zero.
23. Observe a seguinte sequência numérica:
1, 4, 9, 16, 25, ... Nessa sequência, responda:
a) qual é o 6o
termo?
O sexto termo é 62
= 36.
b) qual é o termo a7
?
a7
= 72
= 49.
19
Matemática – 1ª série – Volume 1
c) qual é a expressão de seu termo geral?
an
= n2
.
24. Uma sequência numérica é
dada pelo seguinte termo geral:
an
= n + 1 .
Para essa sequência, determine:
a) os cinco primeiros termos;
2 , 3 , 2, 5 , 6 .
b) os cinco primeiros termos que sejam nú-
meros inteiros.
Oscincoprimeirostermosrepresentadospornúmerosinteirosse-
rão aqueles em que o radicando é um quadrado perfeito, a saber:
a3
= 2; a8
= 3; a15
= 4; a24
= 5; a35
= 6.
25. Observe a sequência de figuras. Em segui-
da, responda:
a) Quantos quadrinhos brancos deverá ter
a 6a
figura dessa sequência?
A 6a
figura deverá ter 30 quadrinhos brancos, pois 6 6 − 6 = 30.
b) Escreva uma fórmula que permita cal-
cular a quantidade de quadrinhos bran-
cos, em função da posição n da figura
na sequência. (Sugestão: você pode
organizar os dados em uma tabela como
a que segue.)
Posição da
figura na
sequência
Número de
quadrinhos
pretos
Número de
quadrinhos brancos
1 1 0
2 2 22
− 2
3 3 32
− 3
4 4 42
− 4
n n n2
− n = n (n − 1)
c) Quantos quadrinhos brancos deverá ter
a 39a
figura dessa sequência?
392
− 39 = 39(39 − 1) = 39 · 38 = 1 482.
26. A seguir, estão os primeiros elementos de
uma sequência de figuras que representam
os chamados números quadrangulares. Ana-
lise-os e responda às questões propostas.
1 2 3 4 5
a) Quantos quadrinhos deverá ter o 6o
ele-
mento dessa sequência? E o 10o
termo?
36; 100.
b) Qual é a expressão do termo geral dessa
sequência?
n2
.
20
27. Observe a figura:
1 3 5 7 9
Nessa representação, os números escritos
logo abaixo da figura indicam a quantidade
de quadrinhos de cada um desses conjun-
tos. Sendo assim, responda:
a) qual é a soma dos números escritos
abaixo da figura?
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25.
b) que relação pode ser estabelecida entre
esse resultado e a figura analisada?
A soma dos números escritos abaixo da figura é igual ao to-
tal de quadrinhos que formam a figura. Os números escritos
abaixo da figura são os cinco primeiros naturais ímpares. Sua
soma é 25. O total de quadrinhos da figura é 52
= 25.
c) utilizando os resultados de suas obser-
vações, determine, sem efetuar a adição,
o resultado de 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 +
+ 13 + 15.
8²
= 64.
28. Observe as linhas completas da tabela e
complete as que estiverem em branco.
Adição Descrição
1 + 3 = 4 = 22
A soma dos dois
primeiros números
ímpares é igual ao
quadrado de 2.
1 + 3 + 5 = 9 = 32
A soma dos três
primeiros números
ímpares é igual ao
quadrado de 3.
1 + 3 + 5 + 7 =
= 16 = 42
A soma dos quatro pri-
meiros números ímpares
é igual ao quadrado de 4.
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52
A soma dos cinco
primeiros números
ímpares é igual ao
quadrado de 5.
1 + 3 + 5 + 7 + 9 +
+ ... + 2 n – 1 = n2
A soma dos n primeiros
números ímpares é igual
a n2
.
Considerações sobre a avaliação
A Situação de Aprendizagem 1 abordou
a regularidade numérica, e também geo-
métrica, observada em algumas sequên-
cias. Além disso, introduziu a ideia de que
é possível obter uma sequência numérica a
partir de uma relação matemática estabele-
cida entre um conjunto discreto (naturais)
e um conjunto de qualquer natureza. São
esses, pois, os elementos importantes a se-
21
Matemática – 1ª série – Volume 1
rem avaliados. Para tanto, sugerimos que
o professor elabore momentos de avaliação
que contemplem:
a obtenção de termos de maiores ordens de
uma sequência, a partir do conhecimento
dos primeiros termos;
a determinação do termo geral de sequên-
cias numéricas, desde que esses termos ge-
rais se baseiem em expressões conhecidas
pelos alunos, por exemplo, expressões do
tipo a x + b ou a x2
+ b.
Salientamos, também, a importância de
que as avaliações não se restrinjam a situações
individuais. Em alguns momentos, pode-se
contemplar a possibilidade de que os alunos
consultem seu material de aula e, em outros,
seus colegas de grupo. Destacamos, por fim,
o fato de que um trabalho com características
essencialmente indutivas, como é o caso dos
temas desenvolvidos neste Caderno, estimula
sobremaneira a discussão e a tomada de deci-
sões, justificando, dessa forma, a inclusão de
instrumentos de avaliação não individuais.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
Conteúdos e temas: progressões aritméticas (PA) e progressões geométricas (PG); expressão do termo
geral da PA e da PG.
Competências e habilidades: reconhecer o padrão de regularidade de uma sequência aritmética ou de
uma sequência geométrica; utilizar a linguagem matemática para expressar a regularidade dos padrões
de sequências numéricas.
Sugestão de estratégias: resolução de exercícios exemplares.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 2
As sequências aritméticas ou geométricas
são bastante estudadas, no Ensino Médio, por
vários motivos, como a pouca exigência algé-
brica e a facilidade de padronizar os conceitos
por intermédio de fórmulas matemáticas.
A baixa exigência algébrica envolvida, es-
pecialmente no estudo das PAs, deve ser, de
fato, valorizada, em detrimento de exercícios
sem qualquer contexto, que exijam a escrita
de equações complexas. Enfatizamos, portan-
to, que se priorizem o desenvolvimento dos
conteúdos e a apresentação de situações-pro-
blema, sob o prisma do reconhecimento da
regularidade da sequência e da generalização
intuitiva do termo geral, colocando em se-
gundo plano, portanto, a simples substitui-
ção de valores em fórmulas decoradas.
Outro aspecto que merece comentário é o
fato de que, em geral, as PAs e as PGs são
22
tratadas de modo independente, uma a cada
tempo, e as PAs vêm sempre antes das PGs.
No entanto, vale destacar que o raciocínio
principal envolvido em um ou em outro tipo
de sequência é o mesmo, ou seja, um valor
constante é o passo que permite obter um
termo a partir do anterior. O fato de que, em
um caso, esse passo é adicionado, enquanto,
no outro, é multiplicado, é algo que compõe
o raciocínio secundário do estudo, cujo re-
conhecimento não costuma trazer qualquer
dificuldade adicional aos alunos.
Dessa forma, apresentaremos, a seguir,
uma série de problemas exemplares, com-
postos, em alguns casos, por PA, em ou-
tros, por PG e, em outras situações, pelos
dois tipos de sequências. Sugerimos que
sejam propostos aos alunos na ordem em
que aparecem.
A atividade 1 pode ter a resolução solicita-
da sem nenhum comentário prévio. Durante
os comentários da correção, o professor pode-
rá valorizar as diversas maneiras de resolução
que eventualmente surgirem. Um tipo de re-
solução importante, que poderá ser levantada
pelo professor, caso não surja dos alunos, é
aquele que considera o passo de cada sequên-
cia como parcela ou fator constante no mo-
mento da escrita da expressão do termo geral
da sequência. Por exemplo, no caso da se-
quência (5, 9, 13, 17, 21, ...), o passo constante
é 4, que, adicionado a cada termo, permite que
se obtenha o seguinte. Nesse caso, a expressão
do termo geral deverá conter, necessariamen-
te, um termo do tipo 4 n. Compreendido isso,
pode-se pensar da seguinte maneira:
Para n = 1, o resultado deve ser igual
a 5, que é o primeiro termo da sequên-
cia. No entanto, ao fazer 4 n ou 4 1, o
resultado obtido é 4. Sendo assim, ainda
falta uma unidade para se obter o pri-
meiro termo. Logo, o termo geral pode
ser este:
an
= 4 n + 1
Testando essa expressão para outros
termos, verificamos que ela é válida, pois:
a2
= 4 2 + 1 = 9
a3
= 4 3 + 1 = 13
Logo, o termo geral da sequência é
mesmo an
= 4 n + 1.
Esse mesmo tipo de raciocínio pode ser
aplicado na determinação do termo geral
de uma PG. Na sequência (2, 6, 18, 54, ...),
por exemplo, o passo constante é 3, que,
quando multiplicado por algum termo,
resulta no termo imediatamente seguinte.
Assim, se sempre se multiplica por 3, o ter-
mo geral da sequência deve conter 3n
. Com
base nessa regularidade, pode-se chegar à
seguinte conclusão:
23
Matemática – 1ª série – Volume 1
Para n = 1, o resultado deve ser igual
a 2, que é o primeiro termo da sequência.
No entanto, ao fazer 3n
ou 31
, obtemos 3,
e não 2. Logo, deve haver mais um fator
na expressão, a fim de que o resultado
esperado seja obtido. Esse fator é
2
3
,
pois 3
2
3
= 2. Então, o termo geral da
sequência deve ser:
an
=
2
3
3n
Testando essa expressão para outros
termos, verificamos que ela é válida, pois:
a2
=
2
3
32
=
18
3
= 6
a3
=
2
3
33
=
54
3
= 18
Logo, o termo geral da sequência
é mesmo an
=
2
3
3n
, que, simplificando,
pode ser escrito como an
= 2 3n – 1
.
É esperado, nesta Situação, que alguns
alunos adotem procedimento semelhante ao
adotado para a PA, isto é, fazer 3n
e, em segui-
da, subtrair uma unidade, a fim de que 31
– 1
coincida com o primeiro termo da sequência.
Nesse caso, caberá ao professor pedir que os
alunos apliquem a “fórmula” obtida para os
demais termos da sequência, quando, então,
perceberão o equívoco do raciocínio adotado.
Salientamos, novamente, que não é con-
veniente formalizar a adoção de um ou
outro tipo de raciocínio, nem mesmo aquele
descrito anteriormente. Caberá a cada aluno
escolher o raciocínio que considera mais ade-
quado, e caberá ao professor discutir todos os
raciocínios que surgirem, apresentando prós
e contras de cada um, no sentido de fornecer
elementos para que os alunos possam refinar
suas estratégias iniciais.
1. Considere as sequências de
(I) a (VI) para responder às
questões propostas.
(I) (0, 3, 6, 9, 12, ...)
(II) (1, 4, 7, 10, 13, ...)
(III) (2, 5, 8, 11, 14, ...)
(IV) (–2, 4, –8, 16, –32, ...)
(V) (0,2; 0,4; 0,6; 0,8; ...)
(VI) (1, 4, 16, 64, 256, ...)
a) Quais são os três termos seguintes de
cada uma dessas sequências?
(I) 15, 18, 21.
(II) 16, 19, 22.
(III) 17, 20, 23.
(IV) 64, −128, 256.
(V) 1,0; 1,2; 1,4.
(VI) 1 024, 4 096, 16 384.
b) É verdade que o algarismo 8 não apa-
rece em nenhum número da sequência
(II)? Justifique.
Não, pois o algarismo 8 aparece no termo 28, que é o décimo
termo da sequência.
c) É possível que um mesmo número natu-
ral apareça em duas das três primeiras
sequências? Justifique.
24
Não, pois a sequência (I) é formada apenas por núme-
ros que, divididos por 3, deixam resto zero; a sequência
(II) é formada apenas por números que, divididos por 3,
deixam resto 1; a sequência (III) é formada apenas por
números que, divididos por 3, deixam resto 2. Como a
divisão por um número natural diferente de zero (divi-
são euclidiana) não pode apresentar dois restos distintos,
não é possível que um mesmo número apareça em duas
dessas sequências.
d) O número 1 087 é um termo de qual(is)
sequência(s)?
O número 1 087 é um termo da sequência (II), pois a divi-
são de 1 087 por 3 deixa resto 1, e é também elemento da
sequência (V), uma vez que é múltiplo de 0,2.
e) Explique por que o número 137 não
pertence à sequência (II).
A sequência (II) é formada apenas por números que, di-
vididos por 3, deixam resto 1. Logo, o 137 não é termo da
sequência (II), pois a divisão de 137 por 3 deixa resto 2.
f) Qual é o termo geral da sequência (I)?
an
= 3(n – 1), n IN*.
g) Qual é o termo geral da sequência
(II)?
an
= 3n − 2, n IN*.
h) Qual é o termo geral da sequência
(III)?
an
= 3n − 1, n IN*.
i) Qual é o termo geral da sequência
(IV)?
an
= (−2)n
, n IN*.
j) Qual é o termo geral da sequência
(V)?
an
= 0,2 n, n IN*
k) Qual é o termo geral da sequência (VI)?
an
= 4n
÷ 4, n IN*
ou an
= 4n-1
l) Escolha um critério, justificando-o, e se-
pare as seis sequências em dois grupos.
Espera-se, neste item, que os alunos percebam que há,
entre as sequências apresentadas, algumas em que o
passo constante é somado a cada termo e outras em
que o passo constante é multiplicado a cada termo. To-
davia, poderão aparecer outros critérios, e o professor
deverá estar atento para valorizar os critérios surgidos,
mas, também, enfatizar a importância do reconheci-
mento do passo constante das sequências, seja ele so-
mado ou multiplicado.
2. Sabe-se que as Olimpíadas, a Copa do
Mundo e os Jogos Pan-americanos ocorrem
de quatro em quatro anos. Se essas compe-
tições ocorreram nos anos de 2004, 2006 e
2007, respectivamente, e considerando que
continuem a acontecer, segundo essa regra,
por muito tempo, responda:
a) Qual competição ocorrerá em 2118? E
em 2079 e 2017?
As Olimpíadas acontecem em anos em que sua divisão por
4 deixa resto zero, a Copa acontece em anos em que sua di-
visão por 4 deixa resto 2, e os Jogos Pan-americanos aconte-
cem em anos em que sua divisão por 4 deixa resto 3. Assim,
em 2118, aconteceria a Copa do Mundo (resto 2); em 2079,
aconteceriam os Jogos Pan-americanos (resto 3); e, em 2017,
não aconteceria nenhuma dessas três competições (resto 1).
25
Matemática – 1ª série – Volume 1
b) Haverá algum ano em que ocorrerá
mais de uma dessas três competições?
Explique.
Não é possível, pois qualquer número dividido por 4 deixa
um, e apenas um, desses restos: zero, 1, 2 ou 3.
3. Determinada sequência numérica obedece
à seguinte condição: a diferença entre dois
termos consecutivos é sempre a mesma e
igual a 6. Considerando que o primeiro ter-
mo dessa sequência é –8, responda:
a) quais são os cinco primeiros termos?
(−8, −2, 4, 10, 16).
b) qual é o termo a9
?
40
c) qual é o 15o
termo?
76
d) qual é o 20o
termo?
106
e) quanto é a diferença entre a12
e a5
?
42
f) qual é a expressão de seu termo geral,
isto é, qual é a fórmula matemática que
relaciona um termo qualquer (an
) à po-
sição do termo (n)?
an
= 6n − 14.
4. O primeiro termo de uma sequência numé-
rica é 0,02. Para obter os termos seguintes,
basta multiplicar o termo imediatamente
anterior por 5. Sendo assim, responda:
a) qual é o 2o
termo?
0,1
b) qual é o termo a3
?
0,5
c) qual é o termo a4
?
2,5
d) qual é o resultado da divisão entre a6
e a4
?
25
e) qual é o termo geral da sequência, isto
é, qual é a fórmula matemática que re-
laciona um termo qualquer (an
) à posi-
ção do termo (n)?
an
= 0,02 5n – 1
.
A resolução dos exercícios anteriores
foi, de certa forma, preparatória para a ca-
racterização das PAs e das PGs. Finalizada
essa etapa, o professor poderá definir PA
e PG por meio de uma discussão com seus
alunos, identificando, entre as sequências
já estudadas, aquelas que atendem a cada
definição dada.
Compreendido o significado de uma PA, o
aluno será capaz de concluir que, partindo do
primeiro termo, para avançar um termo na se-
quência, deverá adicionar o “passo”, ou razão
r, uma vez, isto é, a2
= a1
+ r; da mesma forma,
para avançar dois termos, deverá adicionar
2 r ao primeiro termo, obtendo a3
= a1
+ 2 r.
Por esse processo, espera-se que o aluno reco-
nheça que, para obter o 20o
elemento, deverá
adicionar 19 r ao primeiro termo e escrever:
26
a20
= a1
+ 19 r, e assim sucessivamente. Esse
raciocínio favorecerá a construção, por parte
do aluno, da fórmula do termo geral da PA,
que é dada por an
= a1
+ (n – 1) r.
Além disso, essa compreensão permiti-
rá que o aluno note que, para “passar” de a4
para a11
, deverá avançar sete termos, ou seja,
para obter o termo a11
a partir do termo a4
,
deverá adicionar 7 r ao termo a4
e escrever:
a11
= a4
+ 7 r. Da mesma forma, poderá es-
crever a4
= a11
– 7 r, pois, para “passar” de a11
para a4
, deve “retroceder” sete termos.
Da mesma forma, associa-se às PGs o
significado de que, conhecidos o primeiro
termo e o passo, ou razão q, é possível deter-
minar qualquer termo da sequência a partir
da multiplicação do primeiro termo pela ra-
zão um determinado número de vezes. Assim,
se o aluno compreender que a2
= a1
q, que
a3
= a1
q2
, e assim por diante, compreenderá,
também, que an
= a1
qn – 1
e, generalizando,
que an
= ak
qn – k
.
Destacamos, novamente, a importância de
valorizar o raciocínio dos alunos na obtenção
do termo geral de uma PA ou de uma PG,
em detrimento de restringir a resolução dos
problemas à utilização das fórmulas obtidas.
O professor deverá estar atento e observar
quais estratégias de resoluções os alunos es-
tão utilizando, a fim de distinguir aqueles que
utilizam fórmulas prontas como um mero
atalho para a aplicação do conceito que já
dominam – e, portanto, podem ser estimu-
lados nesse sentido – daqueles alunos que,
sem terem atingido a compreensão desejada,
buscam adaptar as condições dos problemas
às fórmulas, como se eles se questionassem
constantemente sobre “qual fórmula devem
utilizar”. Casos dessa natureza certamente
merecerão maior atenção do professor.
É importante que o professor também ex-
plore o seguinte fato: cada termo de uma PG,
a partir do segundo, é a média geométrica en-
tre seu antecessor e seu sucessor. O exemplo a
seguir serve como ilustração:
Na PG (4, 8, 16, 32, 64 ...), 16 é média
geométrica de 8 e 32, pois 16 = 8 32.
Após a discussão dos problemas ante-
riores e das expressões do termo geral das
PAs e das PGs, o professor poderá pedir
que os alunos resolvam alguns problemas
exemplares.
5. Considere que: uma PA é uma sequência
(a1
, a2
, a3
, ..., an
, ...) de números an
, em
que a diferença entre cada termo an + 1
e
seu antecedente an
é uma constante. Essa
diferença constante é chamada de razão
da PA e é representada por r. Assim, em
uma PA de razão r, temos: an + 1
– an
= r,
para todo n natural, n ≥ 1. De acordo com
essa definição, indique quais das sequên-
cias a seguir são PAs. Em caso afirmativo,
determine a razão.
27
Matemática – 1ª série – Volume 1
a) (2, 5, 8, 11, ...).
b) (2, 3, 5, 8, ...).
c) (7, 3, –1, –5, ...).
d)
2
3
,
2
3
,
2
3
,
2
3
, ... .
e) –
3
2
, –1, –
1
2
, 0, ... .
f) 6, 2,
2
3
,
2
9
, ... .
São PAs as seguintes sequências: a) (razão: 3);
c) (razão −4); d) (razão: 0); e) (razão:
1
2
).
6. Considere as sequências dadas por seus
termos gerais:
I) an
= 4 n + 1, com n IN, n 1;
II) an
= 4 n2
– 1, com n IN, n 1;
III) a1
= 2 e an
= an – 1
3, com n IN, n 2;
IV) a1
= 2 e an
= an – 1
+ 3, com n IN, n 2.
Obtenha os cinco primeiros termos de cada
uma dessas sequências e destaque a razão
daquelas que forem PAs.
I) 5, 9, 13, 17, 21. II) 3, 15, 35, 63, 99.
III) 2, 6, 18, 54, 162. IV) 2, 5, 8, 11, 14.
São PAs as seguintes sequências: (I), com razão = 4, e (IV),
com razão = 3.
7. Considere que: uma PG é uma sequência
(a1
, a2
, a3
, …, an
, ...), em que cada termo
an
, a partir do segundo, é obtido pela mul-
tiplicação de seu antecedente an – 1
por uma
constante diferente de zero.
De acordo com essa definição, quais das
sequências a seguir são PGs? Justifique sua
resposta.
I) (1, 3, 9, 27, ...); II) (1, 2, 6, 24, ...);
III) 36, 12, 4,
4
3
, ... ;IV) (1, –2, 4, –8, ...);
V) 3,
8
3
,
7
3
, 2, ... ; VI) ( , , , ,...)2 2 2 2 4 .
São PGs: (I), de razão 3; (III), de razão
1
3
;
(IV), de razão −2; (VI), de razão 2 .
8. Considere as sequências:
I) an
= 3 n + 1, com n IN, n 1;
II) an
= 3 n2
− 1, com n IN, n 1;
III) an
= 3 n, com n IN, n 1;
IV) a1
= 3 e an
= an – 1
2, com n IN, n 2;
V) a1
= 3 e an
= an – 1
+ 2, com n IN, n 2.
Determine os cinco primeiros termos de
cada sequência e destaque a razão daque-
las que forem PGs ou PAs.
I) 4, 7, 10, 13, 16.
II) 2, 11, 26, 47, 74.
III) 3, 6, 9, 12, 15.
IV) 3, 6, 12, 24, 48.
V) 3, 5, 7, 9, 11.
(IV) é PG de razão 2. São PAs: (I), de razão 3; (III), de razão 3;
e (V), de razão 2.
9. Observe a se quência de figuras e responda
às questões propostas.
28
1 32 4
a) Quantos quadradinhos comporão a quin-
ta figura dessa sequência? E a sexta figura?
Na quinta figura, 48 quadradinhos, e, na sexta, 96 quadradinhos.
b) Associeaessasequênciaoutraqueindique
o número de quadradinhos de cada figura.
Essa sequência é uma PG? Justifique.
(3, 6, 12, 24, ...) é PG, pois cada termo an
é obtido a partir da
multiplicação do termo anterior an – 1
por 2.
c) Construa uma fórmula que possa ser uti-
lizada para determinar um termo qual-
quer dessa sequência. Para auxiliá-lo
nessa tarefa, a tabela a seguir organiza os
dados, a fim de que as regularidades se-
jam mais facilmente observadas, elemen-
to necessário à construção da fórmula.
Podemos escrever a fórmula desta maneira: an
= 3 2n – 1
.
Esse problema poderá favorecer uma dis-
cussão sobre a obtenção da fórmula do termo
geral de uma PG.
Posição
de um
termo na
sequência
Cálculo
Quantidade de
quadradinhos
1 3 3
2 3 2 = 3 21
6
3 6 2 = 3 2 2 = 3 22
12
4 12 2 = 3 2 2 2 = 3 23
24
... ... an-1
n (an-1
) 2 = 3 2n-1
an
= (an-1
) 2 = 3 2n-1
Neste caso, o aluno pode obter uma fór-
mula de recorrência: an
= (an – 1
) 2 e a fórmula
do termo geral: an
= 3 2n – 1
.
10. Nesta figura, cada quadradinho é formado
por quatro palitos de comprimentos iguais.
1 2 3 4 5
...
a) A sequência formada pelas quantidades
de palitos necessários para a construção
das figuras resulta em uma PA? Justifi-
que sua resposta.
A sequência formada pelas quantidades de palitos é, sim,
uma PA, pois cada figura tem seis palitos a mais que a prece-
dente: 4, 10, 16, 22, 28, ...
b) Quantos palitos serão necessários para a
construção da sexta figura? E da sétima?
28 + 6 = 34 e 34 + 6 = 40. Serão necessários 34 palitos para
compor a sexta figura e 40 para compor a sétima.
c) Quantos palitos serão necessários para
construir a 78a
figura?
4 + 77 6 = 466.
d) Escreva uma fórmula que expresse a
quantidade de palitos da figura que
ocupa a posição n nessa sequência.
an
= 4 + (n − 1) 6 = 6n − 2.
11. Sabe-se que o 9o
termo de uma PA de ra-
zão 4 é 29. Qual é o 20o
termo dessa PA?
a20
= 73. Para determinar o 20o
termo de uma PA é suficiente adi-
cionar ao 9o
termo uma parcela que é igual ao produto 11 4,
29
Matemática – 1ª série – Volume 1
pois,para“passar”do9o
ao20o
,énecessário“avançar”11termos,
ou seja, a20
= a9
+ 11 r. Não é necessário, portanto, encontrar,
antes, o primeiro termo para se obter o vigésimo.
12. Sabe-se que a sequência (8, x, –4, y) é uma
PA. Determine os valores de x e y.
Em toda PA, temos a3
− a2
= a2
− a1
−4 − x = x − 8 x = 2.
Com o mesmo raciocínio, escrevemos y − (−4) = −4 − x
y + 4 = −4 − 2 y = −10. Nesse caso, temos: (8, 2, −4, −10).
13. Invente uma PA. Separe ape-
nas os termos cuja posição n é in-
dicada por um número múltiplo de
6 e forme outra sequência de números. Essa
nova sequência também é uma PA? Em
caso de resposta afirmativa, determine a
razão da PA. Justifique sua resposta.
A nova sequência será uma PA, cuja razão é igual ao produto
do número 6 pela razão da PA anterior.
14. Determine o 8o
termo de cada uma das
PGs:
I) (1, 3, 9, 27, ...) II) 8, 4, 2, 1,
1
2
, …
a8
= 2187 a8
=
1
16
15. Determine o 12o
termo de uma PG de ra-
zão 2, sabendo que o quinto termo dessa
sequência é 4.
a12
= 512.
16. Uma bola é lançada de uma altura de
18 m, e seu impacto no solo provoca sal-
tos sucessivos, de tal forma que, em cada
salto, a altura que ela atinge é igual a 80%
da altura alcançada no salto anterior. Que
altura será alcançada pela bola quando
ocorrer o 5o
salto? E o 10o
salto? (Use uma
calculadora.)
A altura atingida no quinto salto corresponde ao sexto termo
de uma PG em que o primeiro termo é igual a 80% de 18 e a
razão é 0,8. Assim, a6
= 18 0,85
5,898 m. A altura do décimo
salto, obedecendo a essa lógica, será: a11
= 18 0,810
1,933 m.
17. Dada a PG
1
2
, x, 32, y , determine os
valores de x e y.
Em toda PG, cada termo, a partir do segundo, é a mé-
dia geométrica do antecessor e do sucessor. Neste caso,
x = 1
2
32 = 4. Por outro lado, pela definição de PG,
y
32
=
32
x
y
32
=
32
4
y = 256. Nesse caso, temos:
1
2
, 4, 32, 256
.
18. Suponha que a população de uma cidade
tenha uma taxa de crescimento constante
e igual a 20% ao ano. No fim do ano 2007,
a população era de 50 mil habitantes.
a) Calcule a população da cidade ao fim
de cada um dos quatro anos seguintes e
escreva os resultados obtidos em forma
de sequência.
Professor, estabeleça com seus alunos uma linguagem como:
P: a população inicial; P1
: a população um ano depois; P2
: a
população dois anos depois; e assim por diante.
P1
= 50 000 + 20% de 50 000 = 50 000 + 0,2 50 000 = 60 000.
P2
= 60 000 + 20% de 60 000 = 60 000 + 0,2 60 000 = 72 000.
Fazendo os demais cálculos, obtêm-se as populações P3
e P4
:
86 400 e 103 680, respectivamente.
30
b) A sequência obtida é uma PG? Em caso
afirmativo, qual é a razão?
A sequência (50 000, 60 000, 72 000, 86 400, 103 680, ...) é uma
PG de razão 1,2, pois:
60 000
50 000
=
72 000
60 000
=
86 400
72 000
=
103 680
86 400
= 1,2.
Assim, para se obter o termo sucessor de um termo conheci-
do, basta multiplicar este último por 1,2, ou seja, Pn + 1
= 1,2 Pn
.
c) Encontre uma fórmula que permita cal-
cular a população dessa cidade daqui a
n anos, contados a partir de 2007.
P1
=50 000 1,21
P2
=50 000 1,21
. 1,2 = 50 000 1,22
P3
=50 000 1,22
1,2 = 50 000 1,23
Assim, Pn
= 50 000 1,2n
.
Essa fórmula pode ser generalizada para Pn
=P0
(1 + i)n
, sendo
i a taxa de crescimento.
19. Suponha que o valor de um automóvel di-
minua a uma taxa constante de 10% ao ano.
Hoje, o valor desse automóvel é R$ 20 mil.
Professor, convém ressaltar que a taxa,
nesse problema, é negativa. Se há uma di-
minuição de 10% ao ano, o valor do carro
passa a ser de 90% sobre o valor anterior.
Utilizando os resultados da atividade ante-
rior, discuta com os alunos que, para calcu-
lar o preço do carro daqui a um ano, é su-
ficiente multiplicar o valor inicial do carro
por 0,9, pois P1
= P0
(1 – 0,1) = P0
0,9.
a) Calcule o valor desse automóvel daqui a
quatro anos.
R$ 13 122,00.
b) Encontre uma fórmula que permita cal-
cular o preço desse automóvel daqui a n
anos.
Pn
= 20 000 0,9n
.
Tratamento das progressões sob o ponto de
vista funcional
Ao obter os termos de uma PA por meio
da lei de formação, utilizando a fórmu-
la do termo geral ou de recorrência, o alu-
no trabalha, intuitivamente, com a noção
de função, pois associa cada índice ao ter-
mo correspondente. Ou seja, todo número
natural (n) que é índice na sequência está
associado a um único número real. A fór-
mula relativa à lei de formação da PA é a
expressão algébrica que representa a função.
Nesse caso, temos uma função f: S IR,
sendo S IN*.
Assim, o domínio dessa função é forma-
do pelos índices dos termos da PA, isto é,
D(f) = S = {1, 2, 3, 4, ...}. O contradomí-
nio dessa função é IR, e o conjunto imagem
é formado pelos termos da PA, ou seja,
Im(f) = {a1
, a2
, a3
, ..., an
, ...}.
A representação gráfica da função que cor-
responde a uma PA é um conjunto de pontos
que pertencem a uma reta. Todavia, o gráfico
não é a reta que contém esses pontos. Toman-
do como exemplo a PA (1, 4, 7, 10, 13, ...),
na qual a1
= 1, a2
= 4, a3
= 7, a4
= 10, e assim
sucessivamente, sua representação gráfica é a
figura a seguir.
31
Matemática – 1ª série – Volume 1
a4
= 10
a3
= 7
a2
= 4
a1
= 1
1 2 3 4
Nesse caso, temos: D(f) = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
Im(f) = {1, 4, 7, 10, 13, ...} e an
= 3n – 2
Essa terminologia somente deverá ser des-
tacada para o aluno quando esse assunto for
retomado, posteriormente, nesta série, no
estudo da função polinomial do 1o
grau.
Ao aplicar a fórmula do termo geral ou de
recorrência para a determinação dos elemen-
tos de uma PG, da mesma maneira que se faz
para uma PA, os estudantes também utilizam,
intuitivamente, a ideia de função (todo número
natural (n) que é índice na sequência está asso-
ciado a um único número real), pois associam
cada índice ao termo correspondente.
A fórmula que indica a lei de formação da
PG corresponde à expressão algébrica que
representa a função. Nesse caso, temos uma
função f: T IR, sendo T IN*.
A expressão do termo geral de uma PG,
an
= a1
qn – 1
, reflete o crescimento expo-
nencial de an
em função de n. Assim como o
tratamento funcional das PAs está associa-
do ao estudo das funções afins, esse tipo de
tratamento para as PGs será feito no estudo
das funções exponenciais. Portanto, não se
trata de, neste momento, apresentar aos alu-
nos toda a terminologia adotada no estudo
das funções, mas apenas apontar relações
que serão exploradas mais adiante. Os pro-
blemas seguintes são exemplos de como a
apresentação inicial desse tratamento pode
ser realizada.
20. Um conjunto A é forma-
do apenas pelos seguintes ele-
mentos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. As-
sim, podemos escrever: A = {1, 2, 3, 4, 5,
6}. Um conjunto B é formado por ele-
mentos numéricos obtidos a partir dos
elementos do conjunto A, da seguinte
forma: cada elemento de B é 4 unidades a
mais do que o triplo do elemento corres-
pondente de A. Dito de outra forma, se
chamarmos cada elemento do conjunto
A de n, e cada elemento do conjunto B de
p, temos: p = 4 + 3n.
a) Quais são os elementos do conjunto B?
B = {7, 10, 13, 16, 19, 22}.
32
b) Qual é o tipo de sequência numérica for-
mada pelos elementos do conjunto A?
Uma PA de razão 1.
c) Qual é o tipo de sequência numérica for-
mada pelos elementos do conjunto B?
Uma PA de razão 3.
21. Cada elemento de um conjunto D será obti-
do a partir de um elemento correspondente
do conjunto C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, da seguin-
te forma: d = –5c + 15, em que c represen-
ta um elemento do conjunto C e d repre-
senta um elemento do conjunto D.
a) Quais são os elementos do conjunto D?
D = {10, 5, 0, −5, −10, −15}.
b) Qual é o tipo de sequência numérica for-
mada pelos elementos do conjunto D?
Uma PA de razão −5.
22. Determinada regra matemática “transfor-
ma” cada elemento do conjunto E = {1, 2, 3,
4, 5, 6, ...} em outro número, conforme mos-
tra a seguinte representação:
71
R
132
E
193
G
254
R
315
A
a) Qual é o resultado associado ao nú-
mero 6?
37
b) Qual é o resultado associado ao nú-
mero 10?
61
c) Se cada elemento do conjunto E for
identificado pela letra n, e cada resul-
tado for identificado pela letra p, qual
será a equação matemática que rela-
ciona p e n?
6n + 1 = p
d) Ordenando os resultados obtidos, qual
ocupará a 9a
posição?
55
e) Qual é o tipo de sequência numérica
formada pelos elementos do conjunto
dos resultados?
Uma PA de razão 6 e primeiro termo 7.
23. Na Antiguidade, era muito
comum associar adivinhações a
problemas matemáticos. Veja este
exemplo:
“Quando ia a Bagdá
Encontrei um homem com 7 mulheres
Cada mulher tinha 7 sacos
Cada saco, 7 gatos
Cada gato, 7 gatinhos.
Gatinhos, gatos, sacos e mulheres
Quantos iam a Bagdá?”
33
Matemática – 1ª série – Volume 1
Escreva uma sequência com os elementos
da charada e aponte que tipo de sequência
numérica é formada.
(1, 7, 49, 343, 2 041). Trata-se de uma PG de razão 7.
24. Um número é chamado de palíndromo quan-
do é o mesmo se lido da esquerda para a di-
reita ou da direita para a esquerda. Assim, os
números 55, 121 e 2 002 são palíndromos.
a) Um conjunto A é formado por todos os
números palíndromos de dois algaris-
mos. Quais são os elementos de A e qual
é o tipo de sequência numérica formada
por esses elementos?
A = {11, 22, 33, 44, …, 99}. Trata-se de uma PA de razão 11.
b) Um conjunto B é formado por todos
os números palíndromos de três alga-
rismos. Observando os elementos do
conjunto B, podemos dizer que eles for-
mam uma PA? Justifique sua conclusão.
Construindo o conjunto B = {101, 111, 121, 131, 141, 151, …},
temos a impressão de que ele é uma PA de razão 10. Contudo,
escrevendo mais alguns termos na sequência (…, 171, 181, 191,
201, 211, …), observamos que, na passagem do algarismo das
centenas de 1 para 2, a série de palíndromos é quebrada.
A sequência dos números de três algarismos que iniciam
por 2 seria: (202, 212, 222, …). O mesmo ocorrerá na passa-
gem das centenas que terminam com 2 e começam com 3
(…, 292, 302, 312, …). Portanto, a sequência de palíndromos
de 3 algarismos não é uma PA.
Considerações sobre a avaliação
O desenvolvimento apresentado nesta
Situação de Aprendizagem para o tratamento
das progressões priorizou dois aspectos:
a abordagem comum das PAs e PGs;
a determinação dos termos gerais das
PAs ou das PGs com base na regularida-
de observada nas sequências, em detri-
mento do uso das conhecidas fórmulas
que, em geral, os alunos decoram e usam
mecanicamente.
Emrelaçãoaoprimeiroaspecto,relativoao
tratamento comum dos dois tipos de sequên-
cias, julgamos importante que o professor le-
ve-o, de fato, em consideração no momento
da elaboração de avaliações, propondo, por
exemplo, questões semelhantes aos proble-
mas 9 e 10.
É comum os alunos utilizarem as fór-
mulas dos termos gerais da PA e da PG na
resolução de problemas. Não há por que
evitar tal conduta, mas também devem-se
propor situações em que o simples uso da
fórmula não conduza diretamente ao resul-
tado procurado. Nesse sentido, apresenta-
mos, nesta Situação de Aprendizagem, al-
guns modelos, como é o caso, por exemplo,
da atividade 3.
Por fim, salientamos, novamente, a ne-
cessidade da existência de momentos de
avaliação em que os alunos possam trocar
ideias com outros colegas de grupo e mes-
mo consultar suas anotações. Além disso,
o professor poderá pedir que os alunos de-
monstrem seu conhecimento sobre o assun-
to criando problemas e/ou contextos em
que os conceitos possam, claramente, ser
aplicados.
34
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3
SOMA DOS TERMOS DE UMA PA OU DE UMA PG FINITAS E
APLICAÇÕES À MATEMÁTICA FINANCEIRA
Conteúdos e temas: progressões aritméticas (PA) e progressões geométricas (PG): termos gerais e soma
dos termos; juros compostos, processos simples de capitalização e de amortização.
Competências e habilidades: utilizar a linguagem matemática para expressar a regularidade dos padrões
de sequências numéricas ou geométricas; aplicar conhecimentos matemáticos em situações do cotidiano
financeiro; generalizar procedimentos de cálculo com base em expressões matemáticas associadas ao
estudo das progressões numéricas.
Sugestão de estratégias: resolução de exercícios exemplares.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 3
Esta Situação de Aprendizagem é dividida
em duas etapas. A primeira etapa é composta
por problemas exemplares para a construção
de significados da soma dos elementos de uma
sequência, e a segunda etapa é toda dirigida
para a aplicação da soma de elementos de
uma PA ou de uma PG em alguns casos típi-
cos da Matemática Financeira.
O cálculo da soma dos termos de uma PA
ou de uma PG é um bom momento para se
retomar e aprofundar com os alunos a noção
de algoritmo em Matemática, pois podemos
entender o cálculo da soma de qualquer um
desses dois tipos de sequência como um cál-
culo realizado a partir de certa ordenação de
procedimentos que conduzem, com eficiên-
cia, ao resultado procurado.
No caso de uma PA do tipo (a1
, a2
, a3
, ..., an – 3
,
an – 2
, an – 1
, an
), o professor pode explorar a
propriedade da equidistância dos extremos,
isto é, a1
+ an
= a2
+ an – 1
= a3
+ an – 2
= ..., a
fim de desenvolver estratégias para o cálculo
da soma de seus termos, em um trabalho que
antecede a construção e utilização da fórmula
da soma dos termos de uma PA.
Por exemplo, para o cálculo da soma dos
200 primeiros números naturais, indicada por:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + 197 + 198 +
+ 199 + 200,
o aluno pode ser auxiliado no sentido de ob-
servar que
1 + 200 = 2 + 199 = 3 + 198 = 4 + 197 =
= ... = 201.
Nesse caso, obterá cem somas iguais a 201
e, finalmente, concluirá que S200
= 100 201 =
= 20100. Podemos, também, dizer que a soma
dos 200 números naturais é igual ao produto
de 200 por
201
2
, ou seja, o produto de 200
35
Matemática – 1ª série – Volume 1
pela média aritmética dos termos equidistan-
tes dos extremos.
No caso de sequências que apresentam nú-
mero ímpar de termos, como 1, 4, 7, 10, 13,
16, 19, de sete termos, o aluno poderá utilizar
a seguinte estratégia:
1 + 19 = 4 + 16 = 7 + 13 = 20.
Assim, são obtidas três somas iguais a 20.
Como o número 10, que é o termo central (me-
diana), não foi adicionado, a soma dos termos
dessa PA será representada da seguinte forma:
S7
= 3 20 + 10 = 60 + 10 = 70.
Nesse exemplo, é importante destacar que
a soma dos sete termos dessa PA 1 + 4 + 7 +
+ 10 + 13 + 16 + 19 é igual a 7 10, sendo 10
a média aritmética dos termos equidistantes
dos extremos.
Essa sequência de passos para se ob-
ter a soma dos termos de uma PA pode ser
vista como um algoritmo que permite rapi-
dez e precisão no cálculo e, por isso mesmo,
pode e deve ser bem compreendida e utilizada
sempre que possível. No momento que julgar
oportuno, o professor poderá pedir que os
próprios alunos generalizem a estratégia que
adotam particularmente, em uma ou outra se-
quência, para uma sequência aritmética qual-
quer, obtendo-se, então, a expressão
= .
No caso de ser necessário obter a soma dos
termos de uma PG, o professor poderá lançar
mão, novamente, da ideia de um algoritmo
que permita agilizar o cálculo, mostrando aos
alunos como fazê-lo em alguns casos específi-
cos, como neste exemplo:
S = 2 + 6 + 18 + 54 + 162.
Os termos dessa série formam uma PG de
razão 3. A primeira providência para se obter
o resultado sem efetuar a adição termo a ter-
mo é multiplicar toda a expressão pelo valor
da razão.
3 S = 3 (2 + 6 + 18 + 54 + 162)
3 S = 6 + 18 + 54 + 162 + 486.
Isso feito, teremos duas expressões e sub-
trairemos uma da outra, de forma que os vá-
rios pares de termos iguais sejam cancelados.
S = 2 + 6 + 18 + 54 + 162
3 S = 6 + 18 + 54 + 162 + 486
–2 S = 2 – 486
–2 S = – 484 S = 242
Essa sequência de passos, ou esse algorit-
mo, permite a obtenção da soma dos termos
de uma PG de modo mais rápido e eficaz do
que o cálculo da soma termo a termo. Co-
mentando o fato com seus alunos, o professor
poderá pedir que algumas somas sejam obti-
das dessa maneira e, analogamente ao que foi
realizado para a PA, pedir que generalizem
o algoritmo em uma fórmula que possa ser
36
aplicada a qualquer tipo de PG. Nessa tarefa,
os alunos percorrerão as seguintes etapas:
PG: (a1
, a2
, a3
, ..., an–3
, an–2
, an–1
, an
)
Sn
= a1
+ a2
+ a3
+ ... + an–1
+ an
(I)
Multiplica-se toda a soma pela razão q:
q Sn
=a1
q+a2
q+a3
q+...+an–1
q+an
q(II)
Subtrai-se (II) de (I), eliminando-se os pa-
res de termos iguais:
Sn
= a1
+ a2
+ a3
+ ... + an–1
+ an
(I)
q Sn
=a1
q+a2
q+a3
q+...+an–1
q+an
q(II)
Sn
– q Sn
= a1
– an
q
Assim, “sobram” apenas o último termo
de (II) e o primeiro termo de (I).
Isola-se Sn:
Sn
– q Sn
= a1
– an
q
Sn
(1 – q) = a1
– an
q Sn
=
a1
– an
q
1 – q
ou Sn
=
an
q – a1
q – 1
.
A expressão da soma dos termos de uma
PG, escrita da forma apresentada anterior-
mente, em função do número de termos (n)
e do último termo (an
), tem mais significa-
do para os alunos do que escrita em função
apenas da razão (q) e do número de termos
(n). Por isso, convém ao professor trabalhar
alguns problemas antes de mostrar aos alu-
nos a segunda maneira de escrever a mesma
expressão.
Sn
– q Sn
= a1
– an
q
Sn
– q Sn
= a1
– a1
qn–1
q
Sn
– q Sn
= a1
– a1
qn
= =
Soma dos termos de uma PA ou de
uma PG finita
1. Calcule a soma dos termos da
progressão (10, 16, 22, ..., 70).
440.
2. Calcule a soma dos termos da progressão
(13, 20, 27, ...), desde o 21o
termo até o 51o
.
7 998.
3. Calcule a soma dos números inteiros, divi-
síveis por 23, existentes entre 103 e 850.
Os números inteiros, divisíveis por 23, entre 103 e 850, for-
mam a PA de razão 23: (115, 138, ..., 828). Utilizando a fórmula
do termo geral, obtemos n = 32, e aplicando a fórmula da
soma dos termos da PA, obtemos o resultado 15 088.
4. A figura a seguir apresenta os primeiros
elementos de uma sequência de números
chamados números triangulares.
37
Matemática – 1ª série – Volume 1
a) Escreva a sequência numérica correspon-
dente a essa figura, considerando o núme-
ro de bolinhas que formam cada triângulo:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36.
b) Que regularidade você observou na
construção desses números triangulares?
Resposta pessoal. Todavia, é conveniente destacar que uma linha
debolinhas,apartirdainferior,temsempreumabolinhaamenos.
c) Escreva uma fórmula que permita calcu-
lar um termo qualquer dessa sequência,
utilizando a recorrência, ou seja, definin-
do um termo a partir de seu precedente.
a1
= 1 e an
= an–1
+ n.
d) Construa uma fórmula que calcule um
termo qualquer dessa sequência, sem ne-
cessariamente recorrer ao termo anterior.
Para auxiliá-lo nessa tarefa, você pode or-
ganizar os dados na tabela a seguir.
Durante a resolução desse problema, os
alunos podem perceber que um termo qual-
quer da sequência de números triangulares
pode ser expresso por uma fórmula de recor-
rência, incluindo duas informações:
a1
= 1 e an
= an–1
+ n.
Podem, também, organizar os dados em uma
tabela, como dito anteriormente. Essa estratégia
os levará à fórmula T do termo geral, que pode
ser obtida pela aplicação da fórmula da soma dos
termos da PA de n termos, com a1
= 1 e razão 1:
T = (1 + n) n
2
= n2
+ n
2
.
Posição de
uma termo
na sequência
Processo de
contagem das
bolinhas
Quantidade de
bolinhas em
cada termo
1 1 1
2 1 + 2 3
3 1 + 2 + 3 6
4 1 + 2 + 3 + 4 10
... ... ...
Após a discussão sobre as questões dessa
atividade, o professor pode, ainda, explorar os
números triangulares, incentivando seus alunos
a descobrir outras propriedades interessantes.
Por exemplo, propondo questões como estas:
(I). Observe que 61 = 55 + 6 (61 é um núme-
ro natural qualquer; 55 e 6 são números
triangulares). Represente o número 84
em forma de adição de, no máximo,
três números triangulares.
Pode ser escrito como a soma: 45 + 36 + 3.
(II). Adicione dois números triangulares
consecutivos. Que característica você
percebe nessa soma?
A soma de dois números triangulares consecutivos é igual a
um número quadrado perfeito:
1 + 3 = 4; 3 + 6 = 9;
6 + 10 = 16; 10 + 15 = 25.
5. A seguir, estão os primeiros elementos de
uma sequência de figuras que representam
os chamados números pentagonais.
1 2 3 4 5
38
a) Quantas bolinhas deve ter a sexta figura
dessa sequência? E a sétima?
51 e 70, respectivamente.
b) Observe as regularidades que existem
no processo de construção da Figura
2 a partir da Figura 1, no processo de
construção da Figura 3 a partir da Fi-
gura 2, e assim por diante. Organize os
dados na tabela a seguir e, depois, pro-
cure construir uma fórmula que permi-
ta determinar a quantidade de bolinhas
da Figura n nessa sequência.
Professor, com relação aos números pentago-
nais, reiteramos que a construção de uma tabela
como esta favorece a obtenção de uma fór-
mula de generalização:
Posição da
figura na
sequência
Cálculo
Número de
bolinhas
1 1 1
2
1 + 4
a1
+ 4
5
3
5 + 3 3 – 2
a2
+3 3 – 2
12
4
12 + 3 4 – 2
a3
+ 3 4 – 2
22
5
22 + 3 5 – 2
a4
+ 3 5 – 2
35
... ... ...
n – 1
n an – 1
+ 3 n – 2 an
= an – 1
+ 3 n – 2
Caso o aluno encontre dificuldades, durante a
resolução deste problema, o professor pode pro-
por questões que o ajudem a perceber que, a par-
tir da segunda figura, cada termo an
da sequência
podeserobtidopeloacréscimodetrêsfileirasden
bolinhas à figura anterior (an – 1
), devendo ser sub-
traídas duas unidades, que correspondem às duas
bolinhas que se sobrepõem em dois vértices do
pentágono. No entanto, a fórmula obtida é por
recorrência, e a obtenção da fórmula geral é um
pouco mais difícil, pois cada termo é obtido por
meio de seu antecessor, adicionando a este 3n – 2
bolinhas. Os números que são adicionados estão
na sequência 4, 7, 10, 13, 16, ...
Posição da
figura na
sequência
Cálculo
1 1
2 1 + 4
3 1 + 4 + 7
4 1 + 4 + 7 + 10
5 1 + 4 + 7 + 10 + 13
... ...
n 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + ... + 3 n – 2
A expressão do termo geral dessa soma pode
ser obtida fazendo a1
= 1 e an
= 3 n + 2 na ex-
pressão geral da soma da PA, da seguinte forma:
T = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + … + 3 n – 2 =
=
(a1
+ an
) n
2
=
(1 + 3n – 2) n
2
=
(3n – 1) n
2
=
=
3 n2
– n
2
.
39
Matemática – 1ª série – Volume 1
Assim, o polinômio 3 n2
2
– n
2
, sendo n um
número natural diferente de zero, permite
a determinação de um número pentagonal
que ocupa a posição n na sequência. Por
exemplo, o sétimo número pentagonal da
sequência é:
T7
=
3 72
2
–
7
2
=
3 49
2
–
7
2
=
140
2
= 70
6. Considere a PG (1, 2, 4, 8, ...). Calcule a
soma dos 20 primeiros termos dessa PG,
deixando indicada a potência.
S20
= 1
(220
− 1)
2 − 1
S20
= 220
− 1
7. Resolva a equação 2 + 4 + 8 + ... + x =
= 510, sabendo que as parcelas do primeiro
membro da equação estão em PG.
A razão da PG é 2.
Portanto, 2
(2n
− 1)
2 − 1
= 510
2n
− 1 = 510 ÷ 2 2n
– 1 = 255
2n
= 256
n = 8
Logo, x = a8
= 2 28 –1
x = 256.
8. (Vunesp – 2003) Várias tábuas iguais estão
em uma madeireira. A espessura de cada
tábua é 0,5 cm. Forma-se uma pilha de tá-
buas colocando-se uma tábua na primeira
vez e, em cada uma das vezes seguintes,
tantas quantas já tiverem sido colocadas
anteriormente.
Pilha na
1a
vez
Pilha na
2a
vez
Pilha na
3a
vez
Ao final de nove operações, responda:
a) quantas tábuas terá a pilha?
A sequência da quantidade de tábuas colocadas é:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256,...
O 9o
termo da sequência é 256. Portanto, após nove opera-
ções a pilha teria 256 tábuas.
b) qual será a altura da pilha (em metros)?
A altura da pilha será igual a 256 0,5 = 128 cm = 1,28 m.
9. Uma pessoa compra uma televisão para
ser paga em 12 prestações mensais. A pri-
meira prestação é de 50 reais e, a cada
mês, o valor da prestação é acrescido em
5% da primeira prestação. Quando aca-
bar de pagar, quanto a pessoa terá pago
pela televisão?
Trata-se de calcular a soma 50,00 + 52,50 + 55,00 + 57, 50 +
+ … + 77,50, que resulta em R$ 765,00.
10. A primeira parcela de um financiamento
de seis meses é de 200 reais, e as de-
mais são decrescentes em 5%. Assim, a
segunda parcela é 5% menor do que a
primeira, a terceira parcela é 5% menor
do que a segunda, e assim por diante.
Adotando 0,955
= 0,77 e 0,956
= 0,73,
calcule:
a) Qual é o valor da última parcela?
Temos uma PG de razão (1 − 0,05) = 0,95 e queremos deter-
minar o sexto termo.
a6
= 200 0,955
= R$ 154,00.
b) Quanto aproximadamente terá sido pago
quando a dívida for totalmente quitada?
40
Devemos calcular a soma dos termos da PG.
S =
an
q − a1
q − 1
=
200 0,955.
0,95 − 200
0,95 − 1
=
=
200 (0,956
− 1)
−0,05
= −4 000 (0,956
− 1)
−4 000(0,735 − 1) = 1 060.
Assim, o valor pago será aproximadamente R$ 1 060,00.
11. Dada a PA (−4, 1, 6, 11, ...),
responda:
a) qual é o termo geral da sequência?
an
= 5n − 9.
b) qual é a soma dos 12 primeiros termos?
282
c) qual expressão pode representar o cál-
culo da soma dos n primeiros termos?
S =
(a1
+ an
) n
2
=
(−4 + 5n − 9) n
2
=
1
2
(5n2
−13n).
12. A soma de n termos de uma PA pode ser
calculada pela expressão Sn
= 3n2
– 5n.
Sendo assim, responda:
a) qual é a soma dos seis primeiros termos?
S6
= 3 62
− 5 6 = 78.
b) qual é a soma dos sete primeiros termos?
S7
= 3 72
− 5 7 = 112.
c) qual é o sétimo termo?
O sétimo termo é a diferença entre S7
e S6
.
Portanto, a7
= 112 − 78 = 34.
d) quais são os cinco primeiros termos?
a1
= S1
= −2
a2
= S2
− a1
= 2 − (−2) = 4
A PA tem razão 6, e os cinco primeiros termos são:
−2, 4, 10, 16, 22.
13. Um atleta fora de forma, desejando recu-
perar o tempo perdido, planeja correr, dia-
riamente, uma determinada distância de
maneira que, a cada dia, a distância per-
corrida aumente 20% em relação ao que foi
percorrido no dia anterior. Se ele correr 10
quilômetros no primeiro dia:
a) quantos quilômetros correrá no quar-
to dia?
a4
= 10 1,23
= 17,28 km.
b) quantos quilômetros terá percorrido em
dez dias? (Observação: 1,210
6,2.)
Trata-se de calcular a soma dos dez termos de uma PG em
que a1
= 10 e a10
= 10 1,29
.
S =
an
q − a1
q − 1
=
10 1,29
1,2 − 10
1,2 − 1
=
10 (1,210
− 1)
0,2
=
= 50 (1,210
− 1) = 50 (6,2 − 1) = 260 km.
Aplicações na Matemática
Financeira
O crescimento de um capital a uma
taxa constante de juros simples se caracte-
riza por envolver uma série de termos que
formam uma PA. Por outro lado, no cál-
culo do crescimento de um capital a uma
taxa constante de juros compostos, apare-
ce uma PG. No exemplo a seguir, podemos
comparar a evolução de um capital inicial
quando submetido a juros simples e a ju-
ros compostos.
41
Matemática – 1ª série – Volume 1
14. Complete:
Tabela A
Capital = C Taxa de juros = 5% ao mês
Evolução do
capital a juros
simples
Evolução do
capital a juros
compostos
Inicial C C
Depois de
um mês
1,05 C 1,05 C
Depois de
dois meses
1,10 C 1,052
C
Depois de
três meses
1,15 C 1,053
C
Depois de
quatro meses
1,20 C 1,054
C
Os valores dessa tabela foram obtidos le-
vando-se em conta que um capital inicial (C),
acrescido de 5%, resulta no capital inicial mul-
tiplicado por 1,05, isto é, resulta em 1,05 C.
Caso incidam 5%, novamente, sobre o capital
já acrescido de 5%, o resultado será igual a
1,10 C, se os juros forem simples, e 1,052
C,
se os juros forem compostos, conforme repre-
sentado nas operações a seguir:
Capital inicial: C.
Acréscimo de 5% sobre C:
C +
5
100
C = C + 0,05 C = 1,05 C.
Acréscimode5%dejurossimples:1,05 C+
+ 0,05 C = 1,10 C.
Acréscimo de 5% de juros compostos:
1,05 C + 5% 1,05 C = 1,05 C (1 + 5%) =
= 1,05 C 1,05 = 1,052
C.
O valor do capital, nos próximos meses
de aplicação, segue a mesma lógica, isto é,
adicionando-se 0,05 C, no caso de juros sim-
ples, e multiplicando-se por 1,05 C, no caso
de juros compostos.
Juros simples não são praticados no mer-
cado financeiro, mas podem servir de con-
texto inicial para a determinação de valores
totais capitalizados em certo período.
15. Suponha que um cidadão aplique men-
salmente, durante 8 meses, uma quantia
fixa de 200 reais a juros simples de 5%.
Ao final, depois dos 8 meses de aplica-
ção, quanto terá acumulado essa pes-
soa? A tabela de capitalização a seguir
pode ajudá-lo a organizar o método
de resolução:
Professor, propondo um problema dessa na-
tureza aos seus alunos, o professor poderá co-
mentar que ele é de fácil resolução por envolver
juros simples, mas que, no caso real de um capi-
tal aplicado a juros compostos, será necessário
um método organizado de resolução. Justifica-
-se, dessa maneira, o processo representado na
tabela seguinte:
42
Tabela B
Mês 1o
2o
3o
4o
5o
6o
7o
8o
Final
Capital
200 210 220 230 240 250 260 270 280
200 210 220 230 240 250 260 270
200 210 220 230 240 250 260
200 210 220 230 240 250
200 210 220 230 240
200 210 220 230
200 210 220
200 210
Os 200 reais depositados no primeiro mês
tornam-se 210 reais, no segundo mês, 220 reais,
no terceiro mês, e assim por diante, tornando-se,
ao final, 280 reais. Os 200 reais depositados no
segundo mês, de modo análogo, convertem-se
em 270 reais, ao final de sete meses de aplicação.
Seguindo o raciocínio, o saldo final da aplicação
será o resultado da adição dos valores da última
coluna da tabela, que são os termos de uma PA:
Saldo final = 210 + 220 + 230 + 240 + 250 +
+ 260 + 270 + 280
Saldo final =
(210 + 280) 8
2
= 1 960
Portanto, o saldo final da aplicação será
igual a R$ 1 960,00.
No caso real, de uma capitalização a juros
compostos, o esquema de resolução será simi-
lar ao apresentado, variando apenas a forma
de crescimento das parcelas aplicadas.
16. Em relação ao problema anterior, alteran-
do apenas a forma de incidência da taxa
de juros, de simples para compostos, pode-
-se construir a Tabela C, que precisa ser
completada:
Tabela C
Mês 1o
2o
3o
4o
5o
6o
7o
8o
Final
Capital
200 200 1,05 200 1,052
200 1,053
200 1,054
200 1,055
200 1,056
200 1,057
200 1,058
200 200 1,05 200 1,052
200 1,053
200 1,054
200 1,055
200 1,056
200 1,057
200 200 1,05 200 1,052
200 1,053
200 1,054
200 1,055
200 1,056
200 200 1,05 200 1,052
200 1,053
200 1,054
200 1,055
200 200 1,05 200 1,052
200 1,053
200 1,054
200 200 1,05 200 1,052
200 1,053
200 200 1,05 200 1,052
200 200 1,05
43
Matemática – 1ª série – Volume 1
A soma dos valores da última coluna da
tabela fornece o total capitalizado. Trata-se
da soma dos termos de uma PG de razão 1,05.
S = 200 (1,05 + 1,052
+ 1,053
+ 1,054
+ 1,055
+
+ 1,056
+ 1,057
+ 1,058
)
S = 200 an
q – a1
q – 1
=
= 200 1,058
1,05 – 1,05
1,05 – 1
O cálculo dessa soma é trabalhoso se reali-
zado manualmente. Por isso, propomos que os
alunos possam utilizar calculadoras para agi-
lizar a obtenção do resultado, sem qualquer
perda de significado para o conceito. O impor-
tante, aqui, não é saber calcular uma potência,
coisa que os alunos já devem saber, mas sim
obter a expressão numérica que conduz ao
resultado desejado. Todavia, mesmo usando
calculadoras, será interessante simplificar ini-
cialmente a expressão, como neste caso:
S = 200
1,058
1,05 – 1,05
1,05 – 1
(Colocando
1,05 em evidência.)
S = 200
1,05 (1,058
– 1)
0,05
(Dividindo
1,05 por 0,05.)
S = 200 21 (1,058
– 1) = 2005, 31.
Caso o professor opte por não permitir o
uso de calculadoras, o que não aconselhamos,
poderá fornecer aos alunos, previamente,
o valor da potência. No caso, 1,058
1,477.
Dessa forma, a resposta será:
S = 200 21 (1,477 – 1) = 2 003,4.
Comparando os dois resultados do pro-
cesso de capitalização, fica claro que o
processo a juros compostos conduz a um
maior valor final (R$ 1 960,00 em um caso, e
R$ 2 005,31 no outro).
Outra aplicação importante das somas
das progressões diz respeito ao cálculo da
parcela fixa de um financiamento a taxa
constante de juros. De fato, trata-se de um
problema inverso ao que foi analisado há
pouco, isto é, conhece-se o montante final
e deseja-se calcular a parcela mensal do
investimento. Vamos analisar, como exem-
plo, o caso do financiamento da compra de
um automóvel, que custa R$ 10 mil e será
pago em 24 parcelas fixas e mensais, com
juros de 5% ao mês. Em primeiro lugar,
vamos representar o cálculo da parcela de
financiamento, no caso de os juros serem
simples, isto é, incidirem sempre sobre o
valor inicial.
Com taxa de juros simples
Os R$ 10 mil financiados deverão ser cor-
rigidos e devolvidos pelo comprador do bem,
ao final dos 24 meses. Assim, o primeiro passo
é calcular o juro total da aplicação em juros
44
simples, ou seja, 24 5% = 120%. O valor de
R$ 10 mil deverá ser devolvido corrigi-
do em 120%, isto é, deverão ser devolvidos
R$ 22 mil. Ocorre que o comprador não de-
volve esse valor de uma única vez, mas sim
em parcelas mensais. Assim, o próximo passo
é calcular o valor da parcela, e nesse ponto
é necessário se lembrar do exemplo anterior,
da capitalização a juros simples.
Supomos, então, que certa parcela P é
capitalizada mensalmente, durante 24 me-
ses, a juros simples de 5%. Nessa condição,
ao final dos 24 meses, terá sido capitali-
zado um valor total igual ao resultado da
seguinte soma:
S = P (1,05 + 1,10 + 1,15 + … + 2,15 + 2,20).
Os porcentuais, nesse caso, formam uma
PA. Calculemos a soma desses porcentuais.
S = P
(a1
+ an
) n
2
= P
(1,05 + 2,20) 24
2
=
= P 39
Como a soma S deve coincidir com o va-
lor corrigido do final do financiamento, isto
é, S = 22 000, a parcela mensal P pode ser
assim obtida:
22 000 = P 39 P = 564,10.
Portanto, a juros simples, o valor da parce-
la mensal é igual a R$ 564,10.
Perceba que, apesar de as prestações serem
todas iguais a R$ 564,10, a simples multipli-
cação desse valor pelo número de prestações,
que, neste caso, é 24, não tem como resultado
o valor corrigido da dívida (R$ 22 mil). Essa
diferença acontece porque a primeira parcela
de R$ 564,10 tem, hoje, um valor que não será
o mesmo daqui a 24 meses. Essa consideração
vale para todas as parcelas.
Com taxa de juros compostos
Da mesma forma que no caso dos juros
simples, discutido anteriormente, o valor
financiado deve ser corrigido para com-
por o pagamento final. Nesse caso, trata-
-se de corrigir R$ 10 mil, em 24 meses, a
juros compostos de 5%, o que implica mul-
tiplicarmos 10 000 por 1,0524
. Isso feito,
teremos R$ 32 251,00. Mas esse valor não
é devolvido de uma única vez, ao final do
financiamento, e sim em parcelas mensais.
Para o cálculo do valor dessa parcela, de-
vemos imaginar alguém que deposite, men-
salmente, um valor P, a juros compostos de
5%, durante 24 meses. Nesse caso, o valor
total depositado será igual ao resultado da
seguinte adição:
S = P (1,05 + 1,052
+ 1,053
+ ... + 1,0524
).
O valor de S, como observado anterior-
mente, é R$ 32 251,00. Para o cálculo da par-
cela P, será preciso calcular a soma da PG
formada pelos termos dentro dos parênteses.
45
Matemática – 1ª série – Volume 1
32 251=P
an
q – a1
q – 1
=P
1,0524
1,05 – 1,05
1,05 – 1
32 251 = P
1,05 . (1,0524
– 1)
1,05 – 1
=
= P 21 (1,0524
– 1)
Dado que 1,0524
3,225, fazemos:
32 251 = P 21 (3,225 – 1)
32 251 = P 46,725 P = 690,23
Portanto, a juros compostos, a parcela de
financiamento deverá ser igual a R$ 690,23.
Os cálculos envolvendo processos de ca-
pitalização e de amortização são comumen-
te vistos em situações do cotidiano, muito
embora nem sempre de forma transparente.
Por isso, é comum que surjam dúvidas por
parte dos alunos, as quais caberá ao profes-
sor esclarecer. No caso que analisamos, do
financiamento de R$ 10 mil, é preciso des-
tacar com muita ênfase dois aspectos gera-
dores de dúvidas. O primeiro deles refere-se
à necessidade de corrigir o valor financiado,
isto é, multiplicar 10 000 por 1,0524
. Os alu-
nos precisam entender que o bem financiado
será considerado quitado apenas quando a
última parcela for paga, e que, por esse mo-
tivo, é preciso considerar a correção do valor
financiado. A segunda dúvida que costuma
ocorrer nesse caso refere-se à necessidade de
calcular o valor futuro de cada parcela que
vai sendo paga, o que conduz ao cálculo da
soma da PG. É comum os alunos fazerem,
equivocadamente, a simples divisão do resul-
tado do produto 10 000 1,0524
por 24 para
determinar o valor de cada parcela. O profes-
sor deve chamar a atenção dos alunos para o
fato de que as parcelas não são todas pagas
ao final do financiamento, mas sim em tem-
pos diferentes, e que, portanto, o valor futuro
de uma parcela não é igual ao da outra.
Julgamos importante que o professor dis-
cuta alguns exemplos de cálculos de mon-
tantes e de parcelas de amortização, mas não
deixe de retomar o assunto quando abordar o
crescimento exponencial no Volume 2.
Após discutir alguns exemplos com seus
alunos, o professor poderá propor a reso-
lução da seguinte sequência de problemas
exemplares.
17. Uma financeira remunera os valores inves-
tidos à base de 4% de juros simples. Quan-
to conseguirá resgatar nesse investimento
uma pessoa que depositar, mensalmente,
500 reais durante 10 meses?
Trata-se de calcular a soma S = 520 + 540 + 560 + 580 + ... + 700.
S =
(520 + 700) 10
2
= 1 220 5 = 6 100
O resgate será de R$ 6 100,00.
18. Laura aderiu a um plano de capitalização de
um banco, depositando, mensalmente, mil
reais durante 12 meses. Se o banco promete
remunerar o dinheiro aplicado à taxa de 2%
de juros compostos ao mês, calcule quanto
Laura resgatará ao final do período.
(Observação: 1,0212
= 1,27.)
46
Trata-se de calcular a soma de termos em PG:
S = 1 000 1,02 + 1 000 1,022
+ 1 000 10,23
+ ... + 1 000 1,0212
S = 1 000 (1,02 + 1,022
+ 1,023
+ ... + 1,0212
)
S = 1 000
an
q − a1
q − 1
=
= 1 000
1,0212
1,02 − 1,02
1,02 − 1
=
= 1000
1,02 (1,0212
− 1)
0,02
=
= 1 000 51 (1,0212
− 1) = 51 000 0,27 = 13 770
Portanto, o resgate será de R$ 13 770,00.
19. Carlos deseja comprar um automóvel que
custará, daqui a dez meses, R$ 15 500,00.
Para atingir seu objetivo, Carlos resol-
veu depositar uma quantia x em um
investimento que promete remunerar
o dinheiro aplicado à razão de 10% de
juros simples ao mês. Qual deve ser o
valor mínimo de x para que Carlos con-
siga comprar o automóvel ao final dos
dez meses?
Sendo o cálculo do montante à base de juros simples, temos
a soma de termos em PA, da seguinte maneira:
S = 1,1 x + 1,2 x + 1,3 x + ... + 2,0 x
15 500 = x (1,1 + 1,2 + 1,3 + ... + 2,0)
15 500 = x
(a1
+ an
) n
2
15 500 =
x (1,1 + 2,0) 10
2
15 500=x 15,5 x=1 000
Portanto,aparcelamínimaaserdepositadaéigualaR$1 000,00.
20. Uma geladeira cujo preço à vista é de
R$ 1 500,00 será financiada em seis par-
celas mensais fixas. Se os juros compos-
tos cobrados no financiamento dessa
geladeira são de 3% ao mês, qual é o
valor da parcela mensal? (Observação:
1,036
= 1,19.)
O valor futuro da geladeira, em seis meses, será igual a
1 500 1,036
= 1 500 1,19 = 1 785.
A soma das parcelas fixas, a 3% de juros compostos ao
mês, corresponde a: S = P (1,03 + 1,032
+ ... + 1,036
), onde
P é o valor da parcela fixa mensal. Como S = 1785, tem-se:
1 785 = P
1,036
1,03 − 1,03
1,03 − 1
= P
1,03 (1,036
− 1)
0,03
=
= P 34,33 (1,036
− 1) = P 34,33 0,19 =
= 1 785 = P 6,5227 P = 273,65
Portanto, a parcela mensal deverá ser igual a R$ 273,65.
21. Julia guardou, mensalmente,
200 reais em um banco que re-
munerou seu dinheiro à base de
4% ao mês de juros compostos. Ao final
de 8 meses de aplicação, Julia usou o di-
nheiro que havia guardado para dar de
entrada em um pacote de viagem que
custava, à vista, R$ 5 mil. Julia pretende
financiar o saldo devedor em 5 vezes, em
parcelas iguais e fixas, à taxa de 2% ao
mês. (Observação: 1,048
1,37; 1,025
1,10.)
a) Quanto Julia deu de entrada no pacote
de viagem?
O valor total capitalizado exige o cálculo de uma soma de
termos em PG.
S = 200(1,04 + 1,042
+ 1,043
+ ... + 1,048
)
S = 200
1,048
1,04 − 1,04
1,04 − 1
=
= 200
1,04 (1,048
− 1)
0,04
= 200 26 (1,37 − 1) = 1 924
Portanto, foram dados de entrada R$ 1 924,00.
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  • 1. 1a SÉRIE ENSINO MÉDIO Caderno do Professor Volume1 MATEMÁTICA
  • 2. MATERIAL DE APOIO AO CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO CADERNO DO PROFESSOR MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO 1a SÉRIE VOLUME 1 Nova edição 2014-2017 GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO SECRETARIA DA EDUCAÇÃO São Paulo
  • 3. Governo do Estado de São Paulo Governador Geraldo Alckmin Vice-Governador Guilherme Afif Domingos Secretário da Educação Herman Voorwald Secretário-Adjunto João Cardoso Palma Filho Chefe de Gabinete Fernando Padula Novaes Subsecretária de Articulação Regional Rosania Morales Morroni Coordenadora da Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP Silvia Andrade da Cunha Galletta Coordenadora de Gestão da Educação Básica Maria Elizabete da Costa Coordenadora de Gestão de Recursos Humanos Cleide Bauab Eid Bochixio Coordenadora de Informação, Monitoramento e Avaliação Educacional Ione Cristina Ribeiro de Assunção Coordenadora de Infraestrutura e Serviços Escolares Ana Leonor Sala Alonso Coordenadora de Orçamento e Finanças Claudia Chiaroni Afuso Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Barjas Negri
  • 4. Senhoras e senhores docentes, A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo sente-se honrada em tê-los como colabo- radores nesta nova edição do Caderno do Professor, realizada a partir dos estudos e análises que permitiram consolidar a articulação do currículo proposto com aquele em ação nas salas de aula de todo o Estado de São Paulo. Para isso, o trabalho realizado em parceria com os PCNP e com os professores da rede de ensino tem sido basal para o aprofundamento analítico e crítico da abor- dagem dos materiais de apoio ao currículo. Essa ação, efetivada por meio do programa Educação — Compromisso de São Paulo, é de fundamental importância para a Pasta, que despende, neste programa, seus maiores esforços ao intensificar ações de avaliação e monitoramento da utilização dos diferentes materiais de apoio à implementação do currículo e ao empregar o Caderno nas ações de formação de professores e gestores da rede de ensino. Além disso, firma seu dever com a busca por uma educação paulista de qualidade ao promover estudos sobre os impactos gerados pelo uso do material do São Paulo Faz Escola nos resultados da rede, por meio do Saresp e do Ideb. Enfim, o Caderno do Professor, criado pelo programa São Paulo Faz Escola, apresenta orien- tações didático-pedagógicas e traz como base o conteúdo do Currículo Oficial do Estado de São Paulo, que pode ser utilizado como complemento à Matriz Curricular. Observem que as atividades ora propostas podem ser complementadas por outras que julgarem pertinentes ou necessárias, dependendo do seu planejamento e da adequação da proposta de ensino deste material à realidade da sua escola e de seus alunos. O Caderno tem a proposição de apoiá-los no planejamento de suas aulas para que explorem em seus alunos as competências e habilidades necessárias que comportam a construção do saber e a apropriação dos conteúdos das disciplinas, além de permitir uma avalia- ção constante, por parte dos docentes, das práticas metodológicas em sala de aula, objetivando a diversificação do ensino e a melhoria da qualidade do fazer pedagógico. Revigoram-se assim os esforços desta Secretaria no sentido de apoiá-los e mobilizá-los em seu trabalho e esperamos que o Caderno, ora apresentado, contribua para valorizar o ofício de ensinar e elevar nossos discentes à categoria de protagonistas de sua história. Contamos com nosso Magistério para a efetiva, contínua e renovada implementação do currículo. Bom trabalho! Herman Voorwald Secretário da Educação do Estado de São Paulo
  • 5. SUMÁRIO Orientação geral sobre os Cadernos 5 Situações de Aprendizagem 9 Situação de Aprendizagem 1 – Conjuntos numéricos; regularidades numéricas e geométricas 9 Situação de Aprendizagem 2 – Progressões aritméticas e progressões geométricas 21 Situação de Aprendizagem 3 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finitas e aplicações à Matemática Financeira 34 Situação de Aprendizagem 4 – Limite da soma dos infinitos termos de uma PG infinita 48 Situação de Aprendizagem 5 – Funções como relações de interdependência: múltiplos exemplos 55 Situação de Aprendizagem 6 – Funções polinomiais de 1o grau: significado, gráficos, crescimento, decrescimento e taxas 65 Situação de Aprendizagem 7 – Funções polinomiais de 2o grau: significado, gráficos, interseções com os eixos, vértices e sinais 74 Situação de Aprendizagem 8 – Problemas envolvendo funções de 2o grau em múltiplos contextos; problemas de máximos e mínimos 96 Orientações para Recuperação 103 Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 105 Considerações finais 106 Quadro de conteúdos do Ensino Médio 108
  • 6. 5 Matemática – 1ª série – Volume 1 Insistimos, no entanto, no fato de que so- mente o professor, em sua circunstância parti- cular, e levando em consideração seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo de- dicar a cada uma das unidades. Ao longo dos Cadernos são apresentadas, além de uma visão panorâmica do conteúdo do volume, oito Situações de Aprendizagem, que pretendem ilustrar a abordagem sugeri- da, orientando a ação do professor em sala de aula. As atividades são independentes e podem ser exploradas pelos professores com maior ou menor intensidade, segundo seu in- teresse e de sua turma. Naturalmente, em ra- zão das limitações no espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem, mas a ex- pectativa é de que a abordagem dos temas seja explicitada nas atividades oferecidas. São apresentados, também, em cada Ca- derno, sempre que possível, materiais disponí- veis (textos, softwares, sites e vídeos, entre ou- tros) em sintonia com a abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas. Compõem o Caderno, ainda, algumas con- siderações sobre a avaliação a ser realizada, bem como o conteúdo considerado indispen- sável ao desenvolvimento das competências enunciadas no presente volume. Os temas escolhidos para compor o con- teúdo disciplinar de cada volume não se afas- tam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações preten- didas referem-se à abordagem dos assuntos, sugerida ao longo dos Cadernos. Em tal abor- dagem, busca-se evidenciar os princípios nor- teadores do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteúdos e as compe- tências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas com a leitura e a escrita matemá- tica, bem como os elementos culturais inter- nos e externos à Matemática. Em todos os Cadernos, os conteúdos es- tão organizados em 16 unidades de extensões aproximadamente iguais. De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor explorará cada assunto com mais ou menos aprofundamento, ou seja, escolhe- rá uma escala adequada para o tratamento de cada um deles. A critério do professor, em cada situação específica, o tema correspon- dente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, enquanto o de ou- tra unidade pode ser tratado de modo mais simplificado. É desejável que o professor tente contem- plar todas as 16 unidades, uma vez que, jun- tas, compõem um panorama do conteúdo do volume, e, muitas vezes, uma das unidades contribui para a compreensão das outras. ORIENTAÇÃO GERAL SOBRE OS CADERNOS
  • 7. 6 Conteúdos básicos do volume A abordagem dos conceitos deste volume, relativos ao bloco Números e sequências, prio- rizará aspectos considerados fundamentais para a compreensão de alguns dos diferentes significados dos conceitos envolvidos. O primeiro aspecto que pretendemos res- saltar é o reconhecimento da regularidade en- volvida na construção de sequências numéri- cas ou de sequências geométricas. Para tanto, propomos que o início do trabalho se dê com a retomada das características dos conjuntos numéricos, a fim de que os alunos percebam, por um lado, a regularidade do conjunto dos números naturais e dos números inteiros e, por outro, a questão da densidade dos números reais. Partindo do conhecimento desses con- juntos, esperamos que os alunos possam re- lacionar a regularidade dos números naturais à de outras sequências numéricas e também geométricas, identificando essa regularidade, sempre que possível, por intermédio de uma expressão matemática. Assim, apresentamos, na Situação de Aprendizagem 1, uma série de situações-problema exemplares, para que o professor possa optar pela utilização total ou parcial no início de seu trabalho. Partindo do princípio de que os alunos de- vem reconhecer a regularidade de sequências numéricas de qualquer natureza e escrever expressões matemáticas que reflitam a re- gularidade observada, julgamos importante que não sejam tratadas de maneiras comple- tamente distintas as sequências aritméticas e as sequências geométricas, como se costuma observar nos livros didáticos. Essa proposta de abordagem simultânea dos dois tipos mais co- muns de sequências, as progressões aritméticas (PAs) e as progressões geométricas (PGs), está contemplada na Situação de Aprendizagem 2 e permite, a nosso ver, que o foco do tratamen- to conceitual se desloque do formalismo algé- brico para a construção do significado real e importante das características da regularidade de cada sequência. PAs e PGs estão presentes em várias situa- ções contextualizadas, conforme alguns mo- delos apresentados na Situação de Aprendi- zagem 2, e não costumam trazer dificuldades adicionais de compreensão para os alunos. Dentre as inúmeras aplicações desse conteú- do, destacamos especialmente uma, na Situa- ção de Aprendizagem 3, quando propomos que problemas clássicos de cálculos de juros e de montantes envolvidos em processos de capitalização ou amortização componham o contexto possível para o tratamento da soma de um número finito de termos de uma PA ou de uma PG. Para o desenvolvimento das ativi- dades que compõem essa Situação de Apren- dizagem, conforme justificaremos adiante, julgamos fundamental que os alunos possam dispor de calculadoras. O conceito de infinito, de suma importância em Matemática, costuma ser bastante moti- vador para o estudo de alguns conceitos, des- de as séries iniciais, quando os alunos tomam contato com a ideia do “mais 1”, que conduz à construção do campo numérico dos natu-
  • 8. 7 Matemática – 1ª série – Volume 1 rais. A ideia da quantidade infinita de números existente entre dois números reais, como 1 e 2, por exemplo, é algo que parece inicialmente es- tranho para nossos alunos, mas pode, pouco a pouco, firmar-se como um conceito fundamen- tal da Matemática, dependendo das diferentes abordagens que destinamos ao conceito duran- te toda a escolaridade. Nessa perspectiva, isto é, com o objetivo de que os estudantes constru- am, gradual e lentamente, o conceito de limite de uma função, não devemos perder oportuni- dades que surjam durante nossas aulas para, de maneira apropriada, abordar a ideia de limite. É nesse contexto que propomos a realização da sequência de atividades que compõem a Si- tuação de Aprendizagem 4, durante a qual o foco estará sempre colocado sobre o conceito de limite, em detrimento de dificuldades de natureza algébrica. Além dos conteúdos citados, este Cader- no também faz uma retomada da noção de função, que traduz uma relação de interde- pendência entre duas grandezas, explorando- -se especialmente as funções de 1o grau e de 2o grau, bem como suas aplicações em dife- rentes contextos. Tais assuntos já foram apre- sentados aos alunos em séries/anos anteriores. Na 6a série/7o ano do Ensino Fundamental, foram exploradas situações envolvendo a pro- porcionalidade direta e inversa entre grande- zas, e que conduzem a relações do tipo y = kx, ou, então, y = k x , onde k é uma constante não nula. Na 8a série/9o ano, foram estudadas as funções y = ax + b e y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, além da representação destas em gráficos. Agora, o estudo dessas funções será apre- sentado de modo mais sistematizado. Tudo será feito, no entanto, de tal forma que, mesmo se o professor estiver tratando desse assunto pela primeira vez, o aluno provavelmente não terá grandes dificuldades em acompanhar as ativi- dades propostas. Como já foi dito anteriormen- te, as funções referidas são capazes de traduzir matematicamente todos os processos que envol- vem relações de proporcionalidade direta (gráfi- cos lineares), ou relações em que uma grandeza é proporcional ao quadrado de outra (gráficos com a forma de uma parábola). Muitos exercí- cios envolvendo situações concretas em que a consideração das grandezas envolvidas conduz a uma função de 1o grau ou de 2o grau serão contemplados, com especial destaque para pro- blemas de otimização, ou seja, problemas que envolvem a obtenção do máximo ou do mínimo de uma função, em determinado contexto. De modo geral, os conteúdos estudados neste Caderno são meios para o desenvolvi- mento de importantes competências básicas: o recurso à linguagem das funções para representar interdependências conduz a um aumento na capacidade de expressão, favorecendo a construção de um discurso mais eficaz para enfrentar problemas em diferentes contextos; a capacidade de compreensão de uma variada gama de fenômenos é ampliada, uma vez que muitas situações de interde- pendência estão naturalmente associadas a modelagens que conduzem a explicações dos referidos fenômenos;
  • 9. 8 o reconhecimento das funções envolvidas em um fenômeno possibilita a sistematiza- ção de propostas de intervenção consciente sobre a realidade representada. Na Situação de Aprendizagem 5, reapre- sentaremos a ideia de função por meio de múltiplos exemplos de situações de interde- pendência entre grandezas. Na Situação de Aprendizagem 6, destacare- mos as funções de 1o grau, com suas qualidades características. Na Situação de Aprendizagem 7, serão sis- tematizados os fatos fundamentais relativos às funções de 2o grau (gráficos, simetria, interse- ção com os eixos, coordenadas do vértice, estu- do dos sinais). E, por fim, na Situação de Aprendiza- gem 8, serão apresentados diversos pro- blemas envolvendo funções de 2o grau, in- cluindo situações de otimização (máximos e mínimos). Para a organização dos trabalhos, dividi- mos o conteúdo em 16 unidades, mais ou me- nos correspondentes às oito semanas de aulas. Sugerimos a seguinte estruturação: Quadro geral de conteúdos do volume 1 da 1a série do Ensino Médio Unidade 1 – Sequências numéricas e/ou geométricas; identificação e registro da regularidade. Unidade 2 – Progressões aritméticas e progressões geométricas – termo geral e aplicações. Unidade 3 – Progressões aritméticas e progressões geométricas – termo geral e aplicações. Unidade 4 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita. Unidade 5 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita – aplicações à Matemática Financeira. Unidade 6 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita – aplicações à Matemática Financeira. Unidade 7 – Limite da soma dos termos de uma PG infinita. Unidade 8 – Limite da soma dos termos de uma PG infinita. Unidade 9 – Funções como relações de interdependência. Unidade 10 – Funções de 1o grau – significado, gráficos, crescimento, decrescimento, taxas. Unidades 11, 12, 13 – Funções de 2o grau – significado, gráficos, interseções com os eixos, vértice, sinais. Unidades 14, 15 e 16 – Problemas envolvendo funções de 2o grau – problemas de máximos e mínimos.
  • 10. 9 Matemática – 1ª série – Volume 1 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS; REGULARIDADES NUMÉRICAS E GEOMÉTRICAS Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 1 Na 1a série do Ensino Médio, é bem pro- vável que os alunos conheçam os conjuntos numéricos – Naturais, Inteiros, Racionais e Reais – e, também, que estejam familiarizados com a ideia preliminar da relação entre dois subconjuntos desses conjuntos, conhecimento este que é a base do conceito de função. Se a premissa é verdadeira, cabe ao professor rever com os alunos algumas características desses conjuntos, com o objetivo de construir a base para a apresentação, posterior, das leis de for- mação das sequências numéricas. Caso a pre- missa não seja verdadeira, isto é, se os alunos não conhecem satisfatoriamente os conjuntos numéricos, convém que o professor lhes apre- sente formalmente cada conjunto (IN, , Q e IR) antes de iniciar a aplicação da Etapa 1, descrita mais adiante. Conhecidos os conjuntos numéricos, os alunos poderão reconhecer que, na maioria das vezes, uma sequência ordenada de nú- meros pode ser identificada por intermédio de uma sentença matemática que relaciona um número natural a um número real. Essa ideia é fundamental para o estudo das rela- ções de dependência entre um par de gran- dezas, ou, em outros termos, para o estudo das funções. Nesta Situação de Aprendizagem, explo- raremos, inicialmente, na Etapa 1, a cons- trução dos conjuntos numéricos e algumas de suas propriedades. Em seguida, apre- sentaremos algumas sequências que possi- bilitarão a identificação de determinados padrões de regularidades e pediremos que os alunos descrevam, em língua materna, a regularidade que identificam. Isso feito, o próximo passo será pedir que os alunos en- SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM Conteúdos e temas: conjuntos numéricos; sequências numéricas e/ou geométricas; termo geral de sequên- cias numéricas. Competências e habilidades: obter sequências numéricas a partir do conhecimento de seu termo geral; obter o termo geral de uma sequência numérica a partir da identificação da regularidade existente; reconhecer a existência ou não de padrões de regularidades em sequências numéricas ou geométricas; utilizar a linguagem matemática para expressar a regularidade dos padrões de sequências numéricas ou geométricas. Sugestão de estratégias: resolução de exercícios exemplares.
  • 11. 10 contrem termos sucessivos dessas sequên- cias, caso elas mantenham a regularidade observada. Completando a primeira etapa, os alunos serão convidados a exprimir a regularidade observada por intermédio de uma sentença matemática. Realizada a etapa inicial, proporemos, na Etapa 2, apresentada mais adiante, que os alunos obtenham sequências numéricas a partir de con- dições dadas em língua materna ou em lingua- gem matemática e, ainda, que obtenham termos determinados de algumas dessas sequências. Etapa 1 – Observando padrões e regularidades Inicialmente, recomendamos que o profes- sor liste o conjunto dos números naturais e dos números inteiros para, em seguida, pedir que os alunos identifiquem alguns subconjuntos descritos por informações comunicadas em língua materna, como nos exemplos a seguir: IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... } = { ... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} Com base nos elementos do conjunto nu- mérico, alguns números deverão ser deter- minados: números naturais menores do que 7; números naturais maiores ou iguais a 8; números inteiros menores do que 7 e maio- res do que –2; números inteiros cujo valor absoluto é me- nor do que 4. Em seguida, após a exposição desses e de outros exemplos que o professor julgar apropriados, poderá ser pedido que os alu- nos transcrevam as informações comunica- das em língua materna para a linguagem matemática. No caso dos exemplos ante- riores, teríamos: {x IN | x < 7} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. {x IN | x 8} = {8, 9, 10, 11, 12, ...}. {x | – 2 < x < 7} = {–1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. {x | |x| < 4} = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}. Observando padrões e regularidades Você já reparou que as pessoas, em muitos momentos do dia, estão diante de situações que envolvem uma sequência de números? O torcedor procura, em uma tabela no cader- no de esportes do jornal, a posição de seu time no campeonato nacional. Para localizar uma determinada residência em uma rua, o carteiro observa certa regra na numeração das casas: de um lado, estão dispostas as casas de numeração par em sequência crescente ou decrescente, e, do outro lado, as de numeração ímpar. Em um edifício, a numeração dos apartamentos indica também o andar em que eles se localizam. No hospital, a enfer-
  • 12. 11 Matemática – 1ª série – Volume 1 Discutidos alguns casos, como exemplifi- cado, recomendamos que os alunos se envol- vam na resolução dos seguintes problemas: 1. Dados os conjuntos a seguir, descritos em linguagem coti- diana, encontre, em cada caso, seus elementos e traduza a descrição dada para a linguagem matemática. a) O conjunto A é formado por números naturais maiores do que 4 e menores ou iguais a 11. {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}. {x IN | 4< x ≤ 11} b) O conjunto B é formado por números naturais menores ou iguais a 6. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. {x IN | x ≤ 6} c) O conjunto C é formado por números inteiros maiores ou iguais a –3 e meno- res do que 5. {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}. { x | -3 ≤ x <5} d) O conjunto D é formado por números inteiros maiores ou iguais a –2. {−2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}. { x | x ≤ - 2} 2. Quais são os cinco menores números que per- tencem a cada um dos seguintes conjuntos? a) E é o conjunto dos cinco menores nú- meros naturais que são divisíveis por 4. {0, 4, 8, 12, 16}. b) F é o conjunto dos cinco menores núme- ros naturais ímpares maiores do que 7. {9, 11, 13, 15, 17}. meira é orientada sobre a sequência de horários em que deve administrar certo medica- mento ao paciente. O ser humano também observa vários movimentos naturais que seguem uma determinada sequência, formando, assim, certo padrão: os períodos do dia, as estações do ano, as fases da Lua e o período de aparecimento de um cometa são alguns desses movimentos. Desde a Antiguidade, grande parte do trabalho dos matemáticos e cientistas tem sido observar e registrar fenômenos que ocorrem segundo um padrão. O encontro de um padrão ou de uma regularidade será uma das possibilidades de compreensão, previsão e controle desses fenômenos. Para abordar esse assunto, este Caderno explora, inicialmente, as sequências numéricas que podemos construir a partir dos conjuntos numéricos que conhecemos: os naturais, os inteiros, os racionais e os reais.
  • 13. 12 c) G é o conjunto dos cinco menores nú- meros inteiros que, elevados ao qua- drado, resultam em um número menor do que 10. { −3, −2, −1, 0, 1}. d) H é o conjunto dos cinco menores nú- meros naturais que, quando dobrados e somados a 1, resultam em um núme- ro maior do que 7. {4, 5, 6, 7, 8}. 3. Descreva, em linguagem matemática, os conjuntos E, F, G e H, apresentados na ati- vidade anterior. E = {4n, sendo n IN, e n < 5}. F = {2n + 1, sendo n IN, e 4 n 8}. G = {x | −4 < x < 2}. H = {2n + 1 > 7, sendo n IN, e n < 9}. A resolução e a discussão desses pro- blemas iniciais permitirão, ao nosso ver, introduzir a notação apropriada para a designação de termos de uma sequência numérica. Todavia, antes que isso seja im- plementado (o que será feito na Etapa 2), consideramos importante que os alunos se detenham um pouco mais na identificação das regularidades de algumas sequências. 4. A seguir, são apresentadas três sequências numéricas infinitas. Observando cada uma delas, responda: a) Qual é o 100o termo nesta sequência: 1, 1, 1, 1, 1, ...? 1 b) Qual é o 120o termo nesta sequência: 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, …? 2 (posição múltipla de 3) c) Qual é o 25o termo nesta sequência: 5, 4, 8, 1, 3, 5, 4, 8, 1, 3, 5, 4, 8, 1, 3, 5, 4, …? 3 (posição múltipla de 5) É importante que o professor auxilie os alunos na observação de que, nessas sequências, os motivos (períodos) são re- petidos igualmente, ou seja, um elemento ou um grupo de elementos se repete perio- dicamente, levando-os a perceber que essa característica deve ser levada em conta, na organização dos dados, para a identifica- ção do termo solicitado. A sequência dos números naturais é cons- truída, como sabemos, pelo acréscimo de uma unidade a um termo já conhecido. A fim de proporcionar aos alunos a oportuni- dade de observar regularidades e perceber que, muitas vezes, é possível construir uma “receita” ou uma sentença que indique como a sequência deve continuar, o professor pode apresentar tipos diferentes de sequências para que os alunos observem as proprieda- des de seus elementos e descubram a lei de formação, ou seja, o padrão utilizado para a construção da sequência. Oriente-os a cons- truir uma sentença algébrica que permita calcular um termo qualquer, em função de sua posição na sequência (sequências, sob o ponto de vista funcional).
  • 14. 13 Matemática – 1ª série – Volume 1 5. A seguir, é apresentada uma sequência na forma figurativa. Descreva, em palavras, o padrão de regularidade desta sequência e indique qual deve ser a figura que ocupa a 152a posição. 1 2 3 4 5 6 7 8 As sequências figurais também podem en- riquecer o trabalho com a observação de regu- laridades e generalização de padrões. No caso da sequência em questão, o professor pode estimular os alunos a perceber que a sétima figura é igual à primeira, que a oitava figura é igual à segunda, e assim por diante. Ou seja, cada período é formado por seis figuras; por- tanto, a 152a figura será igual à segunda, pois tanto o número 2 (que indica a posição da se- gunda figura) quanto o número 152 (que indi- ca a posição da 152a figura), quando divididos por 6, deixam resto 2. Assim, o professor poderá auxiliar os alunos na conclusão de que as Figuras 1, 7, 13, 19 etc. são todas iguais à primeira figu- ra, pois os números 1, 7, 13, 19 etc., quando divididos por 6, deixam resto 1. Do mesmo modo, as Figuras 3, 9, 15, 21 etc. são todas iguais à Figura 3, pois os números 3, 9, 15, 21 etc., quando divididos por 6, deixam resto 3, e assim sucessivamente. A exploração de sequências repetitivas, numéricas ou não, favorece a discussão sobre algumas noções trabalhadas nas séries anterio- res, como múltiplos, divisores e regras de divisi- bilidade, e permite uma aproximação da noção de congruência, uma vez que trabalha com nú- meros que, divididos por um determinado nú- mero inteiro, apresentam o mesmo resto. Realizada a discussão do exemplo propos- to e de outros que o professor julgar apro- priados, propomos que os alunos resolvam os seguintes problemas. 6. Observe a sequência de figuras: 1 2 3 4 5 6 7 ... Supondo que a lei de formação continue a mesma, desenhe as figuras que deverão ocu- par as posições 38a e 149a nessa sequência. Justifique sua resposta. A figura que ocupa a posição 38 será a mesma figura da posi- ção 2, pois a divisão de 38 por 4 deixa resto 2, e a que ocupa a posição 149 será a mesma da posição 1, visto que a divisão de 149 por 4 deixa resto 1. 7. Observe a sequência (1, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 1...). Supondo que a lei de formação dessa sequência permaneça, deter- mine o 38o e o 149o termos. O período é de cinco números. Assim, o 38o termo é 2, pois a divisão de 38 por 5 deixa resto 3, e o terceiro termo da sequência é o número 2; o 149o termo é igual a 3, pois a divisão de 149 por 5 deixa resto 4, e o quarto termo da se- quência é o número 3.
  • 15. 14 8. Hoje é quarta-feira. Devo pagar uma dí- vida daqui a exatamente 90 dias. Em que dia da semana cairá o 90o dia? O período é de sete dias. A divisão de 90 por 7 deixa res- to 6; portanto o 90o dia será o sexto elemento da sequên- cia dos dias da semana iniciada na quinta-feira. Logo, o 90o dia será terça-feira. 9. Um processo de reflorestamento previa a plantação de certo número x de mudas de árvores. No primeiro dia, foram planta- das 120 árvores, e planejou-se que, nos dias seguintes, seriam plantadas, por dia, dez árvores a mais do que no dia anterior. Sendo assim: a) quantas árvores serão plantadas no séti- mo dia? 6 10 + 120 = 180 árvores. b) qual é o número x, se, no final do dé- cimo dia, havia sido plantada a metade do total previsto inicialmente? No décimo dia = 9 10 + 120 = 210 S = 120 + 130 + 140 + ... + 190 + 200 + 210 = = 1650 (metade do total) Total de árvores = 1650 2 x = 3300 10. Observe os seis primeiros termos de uma sequência. 1 2 3 4 A B C D (I) 1 2 3 4 A B C D (II) 1 2 3 4 A B C D (III) 1 2 3 4 A B C D (IV) 1 2 3 4 A B C D (VI) 1 2 3 4 A B C D (V) Supondo que a regularidade observada na formação desses termos seja mantida para a formação dos demais, isto é, que o termo (I) seja igual ao termo (VII), que o termo (II) seja igual ao termo (VIII), e as- sim por diante, responda: a) quais quadrículas estarão pintadas no termo (XXX)? O período da sequência é de seis termos. A divisão de 30 por 6 resulta resto zero. Assim, o termo (XXX) é igual ao termo (VI), e nele estarão pintadas as quadrículas C2, C3, D3 e D4. b) quantas vezes a quadrícula B2 terá sido pintada desde o termo (I) até o termo (XIX)? A quadrícula B2 é pintada três vezes a cada período, nos ter- mos (I), (III) e (IV). Até o termo (XIX), incluindo-o, serão três períodos e mais um termo. Portanto, a quadrícula B2 será pintada 3 3 + 1 = 10 vezes. 11. Aproveitando as condições apresentadas na atividade 9 da se- ção anterior, crie três questões acompanhadas de sua resolução.
  • 16. 15 Matemática – 1ª série – Volume 1 Praticamente não há limite para o número de exemplos que poderão ser criados. O professor poderá permitir que os alu- nos socializem os exemplos que criaram e que, ao final, sele- cionem 4 ou 5 que, na opinião deles, consideraram os mais criativos ou os mais difíceis. 12. Atribui-se ao matemático grego Hipsicles (240 a.C.-170 a.C.) uma regra para criar uma nova sequência numérica a partir de outra. O método consiste em tomar uma sequência numérica (por exemplo, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …) e criar outra em que cada termo seja igual à soma dos anteriores. Isto é: termos são as raízes da equação x2 – 8x + 15 = 0. Encontre o primeiro e o segun- do termos dessa sequência, considerando que exista diferença constante entre dois termos consecutivos. Resolvendo a equação de 2o grau, encontraremos como raízes os números 3 e 5. A sequência será, portanto, (−3, –1, 1, 3, 5). Assim, os dois primeiros termos serão −3 e −1, respectivamente. Professor, uma prática que costuma mo- tivar os alunos e aproveitar, de forma mais intensa, seus conhecimentos anteriores é so- licitar-lhes que, com base nas condições desse problema, criem diversas questões, para que sejam trocadas e resolvidas por eles mesmos, sob sua supervisão. Além disso, esse tipo de atividade é um consistente instrumento no es- tímulo à metacognição, isto é, estimula cada aluno a refletir sobre como elabora e mobili- za suas estratégias de raciocínio durante uma etapa de resolução de problemas. Etapa 2 – Sequências definidas por sentenças matemáticas Nesta etapa, os alunos serão convidados a obter sequências numéricas a partir de con- dições definidas, inicialmente, na língua ma- terna e, posteriormente, na linguagem mate- mática. Além disso, desenhando um percurso inverso ao anterior, uma série de problemas será proposta para que os alunos obtenham a expressão do termo geral de determinada se- quência numérica. Sugerimos que a próxima atividade seja discutida com os alunos antes que eles se envolvam com a resolução dos pro- blemas propriamente dita. 1 1 + 2 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 + 4 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ... 1 3 6 10 15 ... Sequência nova PelaregradeHipsicles,asequência(1,2,3,4,...) gerou a sequência (1, 3, 6, 10, 15, 21, …). Aplique a regra de Hipsicles e encontre os oito primeiros termos de duas novas se- quências numéricas geradas a partir da sequência (1, 3, 6, 10, 15, 21,...). As sequências serão: (1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, …) e (1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, …). 13. Uma sequência numérica crescente é composta por cinco termos. O terceiro termo é o número 1, e o quarto e quinto
  • 17. 16 Sequências definidas por sentenças matemáticas 14. Em uma sequência numéri- ca, o primeiro termo é uma fra- ção de numerador 1 e denomi- nador 4. Os termos seguintes ao primeiro podem ser obtidos adicionando sempre uma unidade ao numerador e ao denominador da fração do termo imediatamente anterior. a) Quais são os cinco primeiros termos dessa sequência? 1 4 , 2 5 , 3 6 , 4 7 , 5 8 . b) Chamando o primeiro termo de a1 , o segundo termo de a2 , o terceiro de a3 , e assim por diante, qual é o termo a9 ? 9 12 = 3 4 c) Qual é o termo a54 ? 54 57 d) Como se pode determinar um termo an qualquer? Um termo qualquer an é uma fração em que o numerador é igual a n e o denominador é três unidades a mais do que n, isto é, é igual a n + 3. Assim, an = n n + 3 . Chamamos a atenção do professor para o fato de que o conjunto de problemas desta etapa envolve sequências numéricas de várias nature- zas, e não apenas as aritméticas e as geométri- cas, e também para a necessidade de os alunos escreverem em língua materna a regularidade expressa na linguagem matemática. 15. Em uma sequência numérica, o primei- ro termo é igual a 2, e os seguintes são obtidos pelo acréscimo de três unidades ao termo imediatamente anterior. Sen- do assim, responda: a) quais são os cinco primeiros termos? (2, 5, 8, 11, 14). b) qual é o termo a10 ? (29). c) qual é o termo a20 ? (59). d) como se pode determinar um termo an qualquer? Somando o termo inicial, 2, a um certo número de termos sempre iguais a 3. Para se obter um termo n qualquer, deve- mos somar o primeiro termo, 2, com n − 1 termos iguais a 3. Assim, an = 2 + 3 (n − 1) = 3n − 1. Outro raciocínio possível é o seguinte: como o salto de um termo a outro é constante e igual a 3, podemos supor que uma expressão geral deva conter o termo 3n. Para que a1 = 2, é preciso que seja subtraído 1 de 3n. Assim, an = 3n − 1. 16. Para se obter os termos de uma sequência numérica, é necessário fazer o seguinte: I. Elevar a posição do termo ao quadra- do, isto é, calcular 12 para o primeiro termo, 22 para o segundo termo, 32 para o terceiro termo, e assim por diante.
  • 18. 17 Matemática – 1ª série – Volume 1 II. Adicionar duas unidades ao resultado obtido após elevar ao quadrado a posi- ção do termo. Para essa sequência numérica, responda: a) quais são os cinco primeiros termos? (3, 6, 11, 18, 27). b) qual é o 8o termo? a8 = 82 + 2 = 66. c) qual é o termo a20 ? a20 = 202 + 2 = 402. d) como se pode determinar um termo an qualquer? an = n2 + 2. 17. Observe os cinco primeiros termos da se- guinte sequência numérica: 3, 2, 5 3 , 3 2 , 7 5 . Demonstre que é possível determinar os termos dessa sequência a partir da ex- pressão an = n 2 n , + atribuindo a n valores naturais maiores do que zero. Para n = 1 a1 = 1 + 2 1 = 3; Para n = 2, a2 = 2 + 2 2 = 2; Para n = 3, a3 = 3 + 2 3 = 5 3 ; Para n = 4, a4 = 4 + 2 4 = 6 4 = 3 2 ; Para n = 5, a5 = 5 + 2 5 = 7 5 18. A expressão an = n 1 n 1 – + é a expressão do termo geral de uma sequência numérica, isto é, os termos da sequência podem ser obtidos se forem atribuídos a n valores naturais maiores do que zero. Sendo as- sim, encontre: a) o termo a1 ; a1 = 1 − 1 1 + 1 = 0. b) o termo a5 ; a5 = 5 − 1 5 + 1 = 4 6 = 2 3 . c) o 8o termo; a8 = 8 − 1 8 + 1 = 7 9 . d) a posição do termo que é igual a 9 11 . O termo 9 11 pode ser escrito como 10 − 1 10 + 1 . Portanto, ele é o décimo termo. 19. Determinada sequência numérica tem a1 = 9, a2 = 3, a3 = 1 e a4 = 1 3 . Nessa sequên- cia, qual é: a) o 5o termo? Cada termo da sequência, a partir do segundo, é obtido pela divisão do anterior por 3. Assim, o quinto termo será igual a 1 3 ÷ 3 = 1 9 .
  • 19. 18 b) o termo a6 ? a6 = a5 ÷ 3 = 1 9 ÷ 3 = 1 27 . c) a posição do termo que é igual a 1 81 ? Como 27 é igual a 81 ÷ 3, e 1 27 é o sexto termo, 1 81 é o sétimo termo. 20. Qual das duas expressões listadas a seguir é a expressão do termo geral da sequência da atividade anterior? (Lembre-se de que n é o número que dá a posição do termo na sequência, isto é, se n = 2, temos o segundo termo; se n = 5, temos o quinto termo; e assim por diante.) an = 9 3n an = 33 – n O termo geral da sequência é an = 33 −n , que poderá ser verificado a partir da substituição de n por números naturais maiores do que zero. 21. Observe a seguinte sequência dos números pares positivos: 0, 2, 4, 6, 8, 10, ... Nessa sequência: a) qual é o 10o termo? O décimo termo é 18. b) qual é o 15o termo? O 15o termo é 28. c) qual é o termo a35 ? a35 = 68. d) qual é o termo a101 ? a101 = 200. e) qual é a posição do termo que é igual a 420? 420 é o 211o termo. f) como se pode determinar um termo an qualquer? Fazendo (n − 1) 2, sendo n um número natural maior do que zero. 22. Escreva os cinco primeiros termos da se- quência dos números ímpares positivos. Em seguida, responda: 1, 3, 5, 7, 9... a) qual é o 10o termo? a10 = 19. b) qual é o termo a13 ? a13 = 25. c) qual é o termo a25 ? a25 = 49. d) como se pode determinar um termo an qualquer? Fazendo 2 n − 1, em que n é um número natural maior do que zero. 23. Observe a seguinte sequência numérica: 1, 4, 9, 16, 25, ... Nessa sequência, responda: a) qual é o 6o termo? O sexto termo é 62 = 36. b) qual é o termo a7 ? a7 = 72 = 49.
  • 20. 19 Matemática – 1ª série – Volume 1 c) qual é a expressão de seu termo geral? an = n2 . 24. Uma sequência numérica é dada pelo seguinte termo geral: an = n + 1 . Para essa sequência, determine: a) os cinco primeiros termos; 2 , 3 , 2, 5 , 6 . b) os cinco primeiros termos que sejam nú- meros inteiros. Oscincoprimeirostermosrepresentadospornúmerosinteirosse- rão aqueles em que o radicando é um quadrado perfeito, a saber: a3 = 2; a8 = 3; a15 = 4; a24 = 5; a35 = 6. 25. Observe a sequência de figuras. Em segui- da, responda: a) Quantos quadrinhos brancos deverá ter a 6a figura dessa sequência? A 6a figura deverá ter 30 quadrinhos brancos, pois 6 6 − 6 = 30. b) Escreva uma fórmula que permita cal- cular a quantidade de quadrinhos bran- cos, em função da posição n da figura na sequência. (Sugestão: você pode organizar os dados em uma tabela como a que segue.) Posição da figura na sequência Número de quadrinhos pretos Número de quadrinhos brancos 1 1 0 2 2 22 − 2 3 3 32 − 3 4 4 42 − 4 n n n2 − n = n (n − 1) c) Quantos quadrinhos brancos deverá ter a 39a figura dessa sequência? 392 − 39 = 39(39 − 1) = 39 · 38 = 1 482. 26. A seguir, estão os primeiros elementos de uma sequência de figuras que representam os chamados números quadrangulares. Ana- lise-os e responda às questões propostas. 1 2 3 4 5 a) Quantos quadrinhos deverá ter o 6o ele- mento dessa sequência? E o 10o termo? 36; 100. b) Qual é a expressão do termo geral dessa sequência? n2 .
  • 21. 20 27. Observe a figura: 1 3 5 7 9 Nessa representação, os números escritos logo abaixo da figura indicam a quantidade de quadrinhos de cada um desses conjun- tos. Sendo assim, responda: a) qual é a soma dos números escritos abaixo da figura? 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25. b) que relação pode ser estabelecida entre esse resultado e a figura analisada? A soma dos números escritos abaixo da figura é igual ao to- tal de quadrinhos que formam a figura. Os números escritos abaixo da figura são os cinco primeiros naturais ímpares. Sua soma é 25. O total de quadrinhos da figura é 52 = 25. c) utilizando os resultados de suas obser- vações, determine, sem efetuar a adição, o resultado de 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + + 13 + 15. 8² = 64. 28. Observe as linhas completas da tabela e complete as que estiverem em branco. Adição Descrição 1 + 3 = 4 = 22 A soma dos dois primeiros números ímpares é igual ao quadrado de 2. 1 + 3 + 5 = 9 = 32 A soma dos três primeiros números ímpares é igual ao quadrado de 3. 1 + 3 + 5 + 7 = = 16 = 42 A soma dos quatro pri- meiros números ímpares é igual ao quadrado de 4. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 A soma dos cinco primeiros números ímpares é igual ao quadrado de 5. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + + ... + 2 n – 1 = n2 A soma dos n primeiros números ímpares é igual a n2 . Considerações sobre a avaliação A Situação de Aprendizagem 1 abordou a regularidade numérica, e também geo- métrica, observada em algumas sequên- cias. Além disso, introduziu a ideia de que é possível obter uma sequência numérica a partir de uma relação matemática estabele- cida entre um conjunto discreto (naturais) e um conjunto de qualquer natureza. São esses, pois, os elementos importantes a se-
  • 22. 21 Matemática – 1ª série – Volume 1 rem avaliados. Para tanto, sugerimos que o professor elabore momentos de avaliação que contemplem: a obtenção de termos de maiores ordens de uma sequência, a partir do conhecimento dos primeiros termos; a determinação do termo geral de sequên- cias numéricas, desde que esses termos ge- rais se baseiem em expressões conhecidas pelos alunos, por exemplo, expressões do tipo a x + b ou a x2 + b. Salientamos, também, a importância de que as avaliações não se restrinjam a situações individuais. Em alguns momentos, pode-se contemplar a possibilidade de que os alunos consultem seu material de aula e, em outros, seus colegas de grupo. Destacamos, por fim, o fato de que um trabalho com características essencialmente indutivas, como é o caso dos temas desenvolvidos neste Caderno, estimula sobremaneira a discussão e a tomada de deci- sões, justificando, dessa forma, a inclusão de instrumentos de avaliação não individuais. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Conteúdos e temas: progressões aritméticas (PA) e progressões geométricas (PG); expressão do termo geral da PA e da PG. Competências e habilidades: reconhecer o padrão de regularidade de uma sequência aritmética ou de uma sequência geométrica; utilizar a linguagem matemática para expressar a regularidade dos padrões de sequências numéricas. Sugestão de estratégias: resolução de exercícios exemplares. Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2 As sequências aritméticas ou geométricas são bastante estudadas, no Ensino Médio, por vários motivos, como a pouca exigência algé- brica e a facilidade de padronizar os conceitos por intermédio de fórmulas matemáticas. A baixa exigência algébrica envolvida, es- pecialmente no estudo das PAs, deve ser, de fato, valorizada, em detrimento de exercícios sem qualquer contexto, que exijam a escrita de equações complexas. Enfatizamos, portan- to, que se priorizem o desenvolvimento dos conteúdos e a apresentação de situações-pro- blema, sob o prisma do reconhecimento da regularidade da sequência e da generalização intuitiva do termo geral, colocando em se- gundo plano, portanto, a simples substitui- ção de valores em fórmulas decoradas. Outro aspecto que merece comentário é o fato de que, em geral, as PAs e as PGs são
  • 23. 22 tratadas de modo independente, uma a cada tempo, e as PAs vêm sempre antes das PGs. No entanto, vale destacar que o raciocínio principal envolvido em um ou em outro tipo de sequência é o mesmo, ou seja, um valor constante é o passo que permite obter um termo a partir do anterior. O fato de que, em um caso, esse passo é adicionado, enquanto, no outro, é multiplicado, é algo que compõe o raciocínio secundário do estudo, cujo re- conhecimento não costuma trazer qualquer dificuldade adicional aos alunos. Dessa forma, apresentaremos, a seguir, uma série de problemas exemplares, com- postos, em alguns casos, por PA, em ou- tros, por PG e, em outras situações, pelos dois tipos de sequências. Sugerimos que sejam propostos aos alunos na ordem em que aparecem. A atividade 1 pode ter a resolução solicita- da sem nenhum comentário prévio. Durante os comentários da correção, o professor pode- rá valorizar as diversas maneiras de resolução que eventualmente surgirem. Um tipo de re- solução importante, que poderá ser levantada pelo professor, caso não surja dos alunos, é aquele que considera o passo de cada sequên- cia como parcela ou fator constante no mo- mento da escrita da expressão do termo geral da sequência. Por exemplo, no caso da se- quência (5, 9, 13, 17, 21, ...), o passo constante é 4, que, adicionado a cada termo, permite que se obtenha o seguinte. Nesse caso, a expressão do termo geral deverá conter, necessariamen- te, um termo do tipo 4 n. Compreendido isso, pode-se pensar da seguinte maneira: Para n = 1, o resultado deve ser igual a 5, que é o primeiro termo da sequên- cia. No entanto, ao fazer 4 n ou 4 1, o resultado obtido é 4. Sendo assim, ainda falta uma unidade para se obter o pri- meiro termo. Logo, o termo geral pode ser este: an = 4 n + 1 Testando essa expressão para outros termos, verificamos que ela é válida, pois: a2 = 4 2 + 1 = 9 a3 = 4 3 + 1 = 13 Logo, o termo geral da sequência é mesmo an = 4 n + 1. Esse mesmo tipo de raciocínio pode ser aplicado na determinação do termo geral de uma PG. Na sequência (2, 6, 18, 54, ...), por exemplo, o passo constante é 3, que, quando multiplicado por algum termo, resulta no termo imediatamente seguinte. Assim, se sempre se multiplica por 3, o ter- mo geral da sequência deve conter 3n . Com base nessa regularidade, pode-se chegar à seguinte conclusão:
  • 24. 23 Matemática – 1ª série – Volume 1 Para n = 1, o resultado deve ser igual a 2, que é o primeiro termo da sequência. No entanto, ao fazer 3n ou 31 , obtemos 3, e não 2. Logo, deve haver mais um fator na expressão, a fim de que o resultado esperado seja obtido. Esse fator é 2 3 , pois 3 2 3 = 2. Então, o termo geral da sequência deve ser: an = 2 3 3n Testando essa expressão para outros termos, verificamos que ela é válida, pois: a2 = 2 3 32 = 18 3 = 6 a3 = 2 3 33 = 54 3 = 18 Logo, o termo geral da sequência é mesmo an = 2 3 3n , que, simplificando, pode ser escrito como an = 2 3n – 1 . É esperado, nesta Situação, que alguns alunos adotem procedimento semelhante ao adotado para a PA, isto é, fazer 3n e, em segui- da, subtrair uma unidade, a fim de que 31 – 1 coincida com o primeiro termo da sequência. Nesse caso, caberá ao professor pedir que os alunos apliquem a “fórmula” obtida para os demais termos da sequência, quando, então, perceberão o equívoco do raciocínio adotado. Salientamos, novamente, que não é con- veniente formalizar a adoção de um ou outro tipo de raciocínio, nem mesmo aquele descrito anteriormente. Caberá a cada aluno escolher o raciocínio que considera mais ade- quado, e caberá ao professor discutir todos os raciocínios que surgirem, apresentando prós e contras de cada um, no sentido de fornecer elementos para que os alunos possam refinar suas estratégias iniciais. 1. Considere as sequências de (I) a (VI) para responder às questões propostas. (I) (0, 3, 6, 9, 12, ...) (II) (1, 4, 7, 10, 13, ...) (III) (2, 5, 8, 11, 14, ...) (IV) (–2, 4, –8, 16, –32, ...) (V) (0,2; 0,4; 0,6; 0,8; ...) (VI) (1, 4, 16, 64, 256, ...) a) Quais são os três termos seguintes de cada uma dessas sequências? (I) 15, 18, 21. (II) 16, 19, 22. (III) 17, 20, 23. (IV) 64, −128, 256. (V) 1,0; 1,2; 1,4. (VI) 1 024, 4 096, 16 384. b) É verdade que o algarismo 8 não apa- rece em nenhum número da sequência (II)? Justifique. Não, pois o algarismo 8 aparece no termo 28, que é o décimo termo da sequência. c) É possível que um mesmo número natu- ral apareça em duas das três primeiras sequências? Justifique.
  • 25. 24 Não, pois a sequência (I) é formada apenas por núme- ros que, divididos por 3, deixam resto zero; a sequência (II) é formada apenas por números que, divididos por 3, deixam resto 1; a sequência (III) é formada apenas por números que, divididos por 3, deixam resto 2. Como a divisão por um número natural diferente de zero (divi- são euclidiana) não pode apresentar dois restos distintos, não é possível que um mesmo número apareça em duas dessas sequências. d) O número 1 087 é um termo de qual(is) sequência(s)? O número 1 087 é um termo da sequência (II), pois a divi- são de 1 087 por 3 deixa resto 1, e é também elemento da sequência (V), uma vez que é múltiplo de 0,2. e) Explique por que o número 137 não pertence à sequência (II). A sequência (II) é formada apenas por números que, di- vididos por 3, deixam resto 1. Logo, o 137 não é termo da sequência (II), pois a divisão de 137 por 3 deixa resto 2. f) Qual é o termo geral da sequência (I)? an = 3(n – 1), n IN*. g) Qual é o termo geral da sequência (II)? an = 3n − 2, n IN*. h) Qual é o termo geral da sequência (III)? an = 3n − 1, n IN*. i) Qual é o termo geral da sequência (IV)? an = (−2)n , n IN*. j) Qual é o termo geral da sequência (V)? an = 0,2 n, n IN* k) Qual é o termo geral da sequência (VI)? an = 4n ÷ 4, n IN* ou an = 4n-1 l) Escolha um critério, justificando-o, e se- pare as seis sequências em dois grupos. Espera-se, neste item, que os alunos percebam que há, entre as sequências apresentadas, algumas em que o passo constante é somado a cada termo e outras em que o passo constante é multiplicado a cada termo. To- davia, poderão aparecer outros critérios, e o professor deverá estar atento para valorizar os critérios surgidos, mas, também, enfatizar a importância do reconheci- mento do passo constante das sequências, seja ele so- mado ou multiplicado. 2. Sabe-se que as Olimpíadas, a Copa do Mundo e os Jogos Pan-americanos ocorrem de quatro em quatro anos. Se essas compe- tições ocorreram nos anos de 2004, 2006 e 2007, respectivamente, e considerando que continuem a acontecer, segundo essa regra, por muito tempo, responda: a) Qual competição ocorrerá em 2118? E em 2079 e 2017? As Olimpíadas acontecem em anos em que sua divisão por 4 deixa resto zero, a Copa acontece em anos em que sua di- visão por 4 deixa resto 2, e os Jogos Pan-americanos aconte- cem em anos em que sua divisão por 4 deixa resto 3. Assim, em 2118, aconteceria a Copa do Mundo (resto 2); em 2079, aconteceriam os Jogos Pan-americanos (resto 3); e, em 2017, não aconteceria nenhuma dessas três competições (resto 1).
  • 26. 25 Matemática – 1ª série – Volume 1 b) Haverá algum ano em que ocorrerá mais de uma dessas três competições? Explique. Não é possível, pois qualquer número dividido por 4 deixa um, e apenas um, desses restos: zero, 1, 2 ou 3. 3. Determinada sequência numérica obedece à seguinte condição: a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma e igual a 6. Considerando que o primeiro ter- mo dessa sequência é –8, responda: a) quais são os cinco primeiros termos? (−8, −2, 4, 10, 16). b) qual é o termo a9 ? 40 c) qual é o 15o termo? 76 d) qual é o 20o termo? 106 e) quanto é a diferença entre a12 e a5 ? 42 f) qual é a expressão de seu termo geral, isto é, qual é a fórmula matemática que relaciona um termo qualquer (an ) à po- sição do termo (n)? an = 6n − 14. 4. O primeiro termo de uma sequência numé- rica é 0,02. Para obter os termos seguintes, basta multiplicar o termo imediatamente anterior por 5. Sendo assim, responda: a) qual é o 2o termo? 0,1 b) qual é o termo a3 ? 0,5 c) qual é o termo a4 ? 2,5 d) qual é o resultado da divisão entre a6 e a4 ? 25 e) qual é o termo geral da sequência, isto é, qual é a fórmula matemática que re- laciona um termo qualquer (an ) à posi- ção do termo (n)? an = 0,02 5n – 1 . A resolução dos exercícios anteriores foi, de certa forma, preparatória para a ca- racterização das PAs e das PGs. Finalizada essa etapa, o professor poderá definir PA e PG por meio de uma discussão com seus alunos, identificando, entre as sequências já estudadas, aquelas que atendem a cada definição dada. Compreendido o significado de uma PA, o aluno será capaz de concluir que, partindo do primeiro termo, para avançar um termo na se- quência, deverá adicionar o “passo”, ou razão r, uma vez, isto é, a2 = a1 + r; da mesma forma, para avançar dois termos, deverá adicionar 2 r ao primeiro termo, obtendo a3 = a1 + 2 r. Por esse processo, espera-se que o aluno reco- nheça que, para obter o 20o elemento, deverá adicionar 19 r ao primeiro termo e escrever:
  • 27. 26 a20 = a1 + 19 r, e assim sucessivamente. Esse raciocínio favorecerá a construção, por parte do aluno, da fórmula do termo geral da PA, que é dada por an = a1 + (n – 1) r. Além disso, essa compreensão permiti- rá que o aluno note que, para “passar” de a4 para a11 , deverá avançar sete termos, ou seja, para obter o termo a11 a partir do termo a4 , deverá adicionar 7 r ao termo a4 e escrever: a11 = a4 + 7 r. Da mesma forma, poderá es- crever a4 = a11 – 7 r, pois, para “passar” de a11 para a4 , deve “retroceder” sete termos. Da mesma forma, associa-se às PGs o significado de que, conhecidos o primeiro termo e o passo, ou razão q, é possível deter- minar qualquer termo da sequência a partir da multiplicação do primeiro termo pela ra- zão um determinado número de vezes. Assim, se o aluno compreender que a2 = a1 q, que a3 = a1 q2 , e assim por diante, compreenderá, também, que an = a1 qn – 1 e, generalizando, que an = ak qn – k . Destacamos, novamente, a importância de valorizar o raciocínio dos alunos na obtenção do termo geral de uma PA ou de uma PG, em detrimento de restringir a resolução dos problemas à utilização das fórmulas obtidas. O professor deverá estar atento e observar quais estratégias de resoluções os alunos es- tão utilizando, a fim de distinguir aqueles que utilizam fórmulas prontas como um mero atalho para a aplicação do conceito que já dominam – e, portanto, podem ser estimu- lados nesse sentido – daqueles alunos que, sem terem atingido a compreensão desejada, buscam adaptar as condições dos problemas às fórmulas, como se eles se questionassem constantemente sobre “qual fórmula devem utilizar”. Casos dessa natureza certamente merecerão maior atenção do professor. É importante que o professor também ex- plore o seguinte fato: cada termo de uma PG, a partir do segundo, é a média geométrica en- tre seu antecessor e seu sucessor. O exemplo a seguir serve como ilustração: Na PG (4, 8, 16, 32, 64 ...), 16 é média geométrica de 8 e 32, pois 16 = 8 32. Após a discussão dos problemas ante- riores e das expressões do termo geral das PAs e das PGs, o professor poderá pedir que os alunos resolvam alguns problemas exemplares. 5. Considere que: uma PA é uma sequência (a1 , a2 , a3 , ..., an , ...) de números an , em que a diferença entre cada termo an + 1 e seu antecedente an é uma constante. Essa diferença constante é chamada de razão da PA e é representada por r. Assim, em uma PA de razão r, temos: an + 1 – an = r, para todo n natural, n ≥ 1. De acordo com essa definição, indique quais das sequên- cias a seguir são PAs. Em caso afirmativo, determine a razão.
  • 28. 27 Matemática – 1ª série – Volume 1 a) (2, 5, 8, 11, ...). b) (2, 3, 5, 8, ...). c) (7, 3, –1, –5, ...). d) 2 3 , 2 3 , 2 3 , 2 3 , ... . e) – 3 2 , –1, – 1 2 , 0, ... . f) 6, 2, 2 3 , 2 9 , ... . São PAs as seguintes sequências: a) (razão: 3); c) (razão −4); d) (razão: 0); e) (razão: 1 2 ). 6. Considere as sequências dadas por seus termos gerais: I) an = 4 n + 1, com n IN, n 1; II) an = 4 n2 – 1, com n IN, n 1; III) a1 = 2 e an = an – 1 3, com n IN, n 2; IV) a1 = 2 e an = an – 1 + 3, com n IN, n 2. Obtenha os cinco primeiros termos de cada uma dessas sequências e destaque a razão daquelas que forem PAs. I) 5, 9, 13, 17, 21. II) 3, 15, 35, 63, 99. III) 2, 6, 18, 54, 162. IV) 2, 5, 8, 11, 14. São PAs as seguintes sequências: (I), com razão = 4, e (IV), com razão = 3. 7. Considere que: uma PG é uma sequência (a1 , a2 , a3 , …, an , ...), em que cada termo an , a partir do segundo, é obtido pela mul- tiplicação de seu antecedente an – 1 por uma constante diferente de zero. De acordo com essa definição, quais das sequências a seguir são PGs? Justifique sua resposta. I) (1, 3, 9, 27, ...); II) (1, 2, 6, 24, ...); III) 36, 12, 4, 4 3 , ... ;IV) (1, –2, 4, –8, ...); V) 3, 8 3 , 7 3 , 2, ... ; VI) ( , , , ,...)2 2 2 2 4 . São PGs: (I), de razão 3; (III), de razão 1 3 ; (IV), de razão −2; (VI), de razão 2 . 8. Considere as sequências: I) an = 3 n + 1, com n IN, n 1; II) an = 3 n2 − 1, com n IN, n 1; III) an = 3 n, com n IN, n 1; IV) a1 = 3 e an = an – 1 2, com n IN, n 2; V) a1 = 3 e an = an – 1 + 2, com n IN, n 2. Determine os cinco primeiros termos de cada sequência e destaque a razão daque- las que forem PGs ou PAs. I) 4, 7, 10, 13, 16. II) 2, 11, 26, 47, 74. III) 3, 6, 9, 12, 15. IV) 3, 6, 12, 24, 48. V) 3, 5, 7, 9, 11. (IV) é PG de razão 2. São PAs: (I), de razão 3; (III), de razão 3; e (V), de razão 2. 9. Observe a se quência de figuras e responda às questões propostas.
  • 29. 28 1 32 4 a) Quantos quadradinhos comporão a quin- ta figura dessa sequência? E a sexta figura? Na quinta figura, 48 quadradinhos, e, na sexta, 96 quadradinhos. b) Associeaessasequênciaoutraqueindique o número de quadradinhos de cada figura. Essa sequência é uma PG? Justifique. (3, 6, 12, 24, ...) é PG, pois cada termo an é obtido a partir da multiplicação do termo anterior an – 1 por 2. c) Construa uma fórmula que possa ser uti- lizada para determinar um termo qual- quer dessa sequência. Para auxiliá-lo nessa tarefa, a tabela a seguir organiza os dados, a fim de que as regularidades se- jam mais facilmente observadas, elemen- to necessário à construção da fórmula. Podemos escrever a fórmula desta maneira: an = 3 2n – 1 . Esse problema poderá favorecer uma dis- cussão sobre a obtenção da fórmula do termo geral de uma PG. Posição de um termo na sequência Cálculo Quantidade de quadradinhos 1 3 3 2 3 2 = 3 21 6 3 6 2 = 3 2 2 = 3 22 12 4 12 2 = 3 2 2 2 = 3 23 24 ... ... an-1 n (an-1 ) 2 = 3 2n-1 an = (an-1 ) 2 = 3 2n-1 Neste caso, o aluno pode obter uma fór- mula de recorrência: an = (an – 1 ) 2 e a fórmula do termo geral: an = 3 2n – 1 . 10. Nesta figura, cada quadradinho é formado por quatro palitos de comprimentos iguais. 1 2 3 4 5 ... a) A sequência formada pelas quantidades de palitos necessários para a construção das figuras resulta em uma PA? Justifi- que sua resposta. A sequência formada pelas quantidades de palitos é, sim, uma PA, pois cada figura tem seis palitos a mais que a prece- dente: 4, 10, 16, 22, 28, ... b) Quantos palitos serão necessários para a construção da sexta figura? E da sétima? 28 + 6 = 34 e 34 + 6 = 40. Serão necessários 34 palitos para compor a sexta figura e 40 para compor a sétima. c) Quantos palitos serão necessários para construir a 78a figura? 4 + 77 6 = 466. d) Escreva uma fórmula que expresse a quantidade de palitos da figura que ocupa a posição n nessa sequência. an = 4 + (n − 1) 6 = 6n − 2. 11. Sabe-se que o 9o termo de uma PA de ra- zão 4 é 29. Qual é o 20o termo dessa PA? a20 = 73. Para determinar o 20o termo de uma PA é suficiente adi- cionar ao 9o termo uma parcela que é igual ao produto 11 4,
  • 30. 29 Matemática – 1ª série – Volume 1 pois,para“passar”do9o ao20o ,énecessário“avançar”11termos, ou seja, a20 = a9 + 11 r. Não é necessário, portanto, encontrar, antes, o primeiro termo para se obter o vigésimo. 12. Sabe-se que a sequência (8, x, –4, y) é uma PA. Determine os valores de x e y. Em toda PA, temos a3 − a2 = a2 − a1 −4 − x = x − 8 x = 2. Com o mesmo raciocínio, escrevemos y − (−4) = −4 − x y + 4 = −4 − 2 y = −10. Nesse caso, temos: (8, 2, −4, −10). 13. Invente uma PA. Separe ape- nas os termos cuja posição n é in- dicada por um número múltiplo de 6 e forme outra sequência de números. Essa nova sequência também é uma PA? Em caso de resposta afirmativa, determine a razão da PA. Justifique sua resposta. A nova sequência será uma PA, cuja razão é igual ao produto do número 6 pela razão da PA anterior. 14. Determine o 8o termo de cada uma das PGs: I) (1, 3, 9, 27, ...) II) 8, 4, 2, 1, 1 2 , … a8 = 2187 a8 = 1 16 15. Determine o 12o termo de uma PG de ra- zão 2, sabendo que o quinto termo dessa sequência é 4. a12 = 512. 16. Uma bola é lançada de uma altura de 18 m, e seu impacto no solo provoca sal- tos sucessivos, de tal forma que, em cada salto, a altura que ela atinge é igual a 80% da altura alcançada no salto anterior. Que altura será alcançada pela bola quando ocorrer o 5o salto? E o 10o salto? (Use uma calculadora.) A altura atingida no quinto salto corresponde ao sexto termo de uma PG em que o primeiro termo é igual a 80% de 18 e a razão é 0,8. Assim, a6 = 18 0,85 5,898 m. A altura do décimo salto, obedecendo a essa lógica, será: a11 = 18 0,810 1,933 m. 17. Dada a PG 1 2 , x, 32, y , determine os valores de x e y. Em toda PG, cada termo, a partir do segundo, é a mé- dia geométrica do antecessor e do sucessor. Neste caso, x = 1 2 32 = 4. Por outro lado, pela definição de PG, y 32 = 32 x y 32 = 32 4 y = 256. Nesse caso, temos: 1 2 , 4, 32, 256 . 18. Suponha que a população de uma cidade tenha uma taxa de crescimento constante e igual a 20% ao ano. No fim do ano 2007, a população era de 50 mil habitantes. a) Calcule a população da cidade ao fim de cada um dos quatro anos seguintes e escreva os resultados obtidos em forma de sequência. Professor, estabeleça com seus alunos uma linguagem como: P: a população inicial; P1 : a população um ano depois; P2 : a população dois anos depois; e assim por diante. P1 = 50 000 + 20% de 50 000 = 50 000 + 0,2 50 000 = 60 000. P2 = 60 000 + 20% de 60 000 = 60 000 + 0,2 60 000 = 72 000. Fazendo os demais cálculos, obtêm-se as populações P3 e P4 : 86 400 e 103 680, respectivamente.
  • 31. 30 b) A sequência obtida é uma PG? Em caso afirmativo, qual é a razão? A sequência (50 000, 60 000, 72 000, 86 400, 103 680, ...) é uma PG de razão 1,2, pois: 60 000 50 000 = 72 000 60 000 = 86 400 72 000 = 103 680 86 400 = 1,2. Assim, para se obter o termo sucessor de um termo conheci- do, basta multiplicar este último por 1,2, ou seja, Pn + 1 = 1,2 Pn . c) Encontre uma fórmula que permita cal- cular a população dessa cidade daqui a n anos, contados a partir de 2007. P1 =50 000 1,21 P2 =50 000 1,21 . 1,2 = 50 000 1,22 P3 =50 000 1,22 1,2 = 50 000 1,23 Assim, Pn = 50 000 1,2n . Essa fórmula pode ser generalizada para Pn =P0 (1 + i)n , sendo i a taxa de crescimento. 19. Suponha que o valor de um automóvel di- minua a uma taxa constante de 10% ao ano. Hoje, o valor desse automóvel é R$ 20 mil. Professor, convém ressaltar que a taxa, nesse problema, é negativa. Se há uma di- minuição de 10% ao ano, o valor do carro passa a ser de 90% sobre o valor anterior. Utilizando os resultados da atividade ante- rior, discuta com os alunos que, para calcu- lar o preço do carro daqui a um ano, é su- ficiente multiplicar o valor inicial do carro por 0,9, pois P1 = P0 (1 – 0,1) = P0 0,9. a) Calcule o valor desse automóvel daqui a quatro anos. R$ 13 122,00. b) Encontre uma fórmula que permita cal- cular o preço desse automóvel daqui a n anos. Pn = 20 000 0,9n . Tratamento das progressões sob o ponto de vista funcional Ao obter os termos de uma PA por meio da lei de formação, utilizando a fórmu- la do termo geral ou de recorrência, o alu- no trabalha, intuitivamente, com a noção de função, pois associa cada índice ao ter- mo correspondente. Ou seja, todo número natural (n) que é índice na sequência está associado a um único número real. A fór- mula relativa à lei de formação da PA é a expressão algébrica que representa a função. Nesse caso, temos uma função f: S IR, sendo S IN*. Assim, o domínio dessa função é forma- do pelos índices dos termos da PA, isto é, D(f) = S = {1, 2, 3, 4, ...}. O contradomí- nio dessa função é IR, e o conjunto imagem é formado pelos termos da PA, ou seja, Im(f) = {a1 , a2 , a3 , ..., an , ...}. A representação gráfica da função que cor- responde a uma PA é um conjunto de pontos que pertencem a uma reta. Todavia, o gráfico não é a reta que contém esses pontos. Toman- do como exemplo a PA (1, 4, 7, 10, 13, ...), na qual a1 = 1, a2 = 4, a3 = 7, a4 = 10, e assim sucessivamente, sua representação gráfica é a figura a seguir.
  • 32. 31 Matemática – 1ª série – Volume 1 a4 = 10 a3 = 7 a2 = 4 a1 = 1 1 2 3 4 Nesse caso, temos: D(f) = {1, 2, 3, 4, 5, ...} Im(f) = {1, 4, 7, 10, 13, ...} e an = 3n – 2 Essa terminologia somente deverá ser des- tacada para o aluno quando esse assunto for retomado, posteriormente, nesta série, no estudo da função polinomial do 1o grau. Ao aplicar a fórmula do termo geral ou de recorrência para a determinação dos elemen- tos de uma PG, da mesma maneira que se faz para uma PA, os estudantes também utilizam, intuitivamente, a ideia de função (todo número natural (n) que é índice na sequência está asso- ciado a um único número real), pois associam cada índice ao termo correspondente. A fórmula que indica a lei de formação da PG corresponde à expressão algébrica que representa a função. Nesse caso, temos uma função f: T IR, sendo T IN*. A expressão do termo geral de uma PG, an = a1 qn – 1 , reflete o crescimento expo- nencial de an em função de n. Assim como o tratamento funcional das PAs está associa- do ao estudo das funções afins, esse tipo de tratamento para as PGs será feito no estudo das funções exponenciais. Portanto, não se trata de, neste momento, apresentar aos alu- nos toda a terminologia adotada no estudo das funções, mas apenas apontar relações que serão exploradas mais adiante. Os pro- blemas seguintes são exemplos de como a apresentação inicial desse tratamento pode ser realizada. 20. Um conjunto A é forma- do apenas pelos seguintes ele- mentos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. As- sim, podemos escrever: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Um conjunto B é formado por ele- mentos numéricos obtidos a partir dos elementos do conjunto A, da seguinte forma: cada elemento de B é 4 unidades a mais do que o triplo do elemento corres- pondente de A. Dito de outra forma, se chamarmos cada elemento do conjunto A de n, e cada elemento do conjunto B de p, temos: p = 4 + 3n. a) Quais são os elementos do conjunto B? B = {7, 10, 13, 16, 19, 22}.
  • 33. 32 b) Qual é o tipo de sequência numérica for- mada pelos elementos do conjunto A? Uma PA de razão 1. c) Qual é o tipo de sequência numérica for- mada pelos elementos do conjunto B? Uma PA de razão 3. 21. Cada elemento de um conjunto D será obti- do a partir de um elemento correspondente do conjunto C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, da seguin- te forma: d = –5c + 15, em que c represen- ta um elemento do conjunto C e d repre- senta um elemento do conjunto D. a) Quais são os elementos do conjunto D? D = {10, 5, 0, −5, −10, −15}. b) Qual é o tipo de sequência numérica for- mada pelos elementos do conjunto D? Uma PA de razão −5. 22. Determinada regra matemática “transfor- ma” cada elemento do conjunto E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} em outro número, conforme mos- tra a seguinte representação: 71 R 132 E 193 G 254 R 315 A a) Qual é o resultado associado ao nú- mero 6? 37 b) Qual é o resultado associado ao nú- mero 10? 61 c) Se cada elemento do conjunto E for identificado pela letra n, e cada resul- tado for identificado pela letra p, qual será a equação matemática que rela- ciona p e n? 6n + 1 = p d) Ordenando os resultados obtidos, qual ocupará a 9a posição? 55 e) Qual é o tipo de sequência numérica formada pelos elementos do conjunto dos resultados? Uma PA de razão 6 e primeiro termo 7. 23. Na Antiguidade, era muito comum associar adivinhações a problemas matemáticos. Veja este exemplo: “Quando ia a Bagdá Encontrei um homem com 7 mulheres Cada mulher tinha 7 sacos Cada saco, 7 gatos Cada gato, 7 gatinhos. Gatinhos, gatos, sacos e mulheres Quantos iam a Bagdá?”
  • 34. 33 Matemática – 1ª série – Volume 1 Escreva uma sequência com os elementos da charada e aponte que tipo de sequência numérica é formada. (1, 7, 49, 343, 2 041). Trata-se de uma PG de razão 7. 24. Um número é chamado de palíndromo quan- do é o mesmo se lido da esquerda para a di- reita ou da direita para a esquerda. Assim, os números 55, 121 e 2 002 são palíndromos. a) Um conjunto A é formado por todos os números palíndromos de dois algaris- mos. Quais são os elementos de A e qual é o tipo de sequência numérica formada por esses elementos? A = {11, 22, 33, 44, …, 99}. Trata-se de uma PA de razão 11. b) Um conjunto B é formado por todos os números palíndromos de três alga- rismos. Observando os elementos do conjunto B, podemos dizer que eles for- mam uma PA? Justifique sua conclusão. Construindo o conjunto B = {101, 111, 121, 131, 141, 151, …}, temos a impressão de que ele é uma PA de razão 10. Contudo, escrevendo mais alguns termos na sequência (…, 171, 181, 191, 201, 211, …), observamos que, na passagem do algarismo das centenas de 1 para 2, a série de palíndromos é quebrada. A sequência dos números de três algarismos que iniciam por 2 seria: (202, 212, 222, …). O mesmo ocorrerá na passa- gem das centenas que terminam com 2 e começam com 3 (…, 292, 302, 312, …). Portanto, a sequência de palíndromos de 3 algarismos não é uma PA. Considerações sobre a avaliação O desenvolvimento apresentado nesta Situação de Aprendizagem para o tratamento das progressões priorizou dois aspectos: a abordagem comum das PAs e PGs; a determinação dos termos gerais das PAs ou das PGs com base na regularida- de observada nas sequências, em detri- mento do uso das conhecidas fórmulas que, em geral, os alunos decoram e usam mecanicamente. Emrelaçãoaoprimeiroaspecto,relativoao tratamento comum dos dois tipos de sequên- cias, julgamos importante que o professor le- ve-o, de fato, em consideração no momento da elaboração de avaliações, propondo, por exemplo, questões semelhantes aos proble- mas 9 e 10. É comum os alunos utilizarem as fór- mulas dos termos gerais da PA e da PG na resolução de problemas. Não há por que evitar tal conduta, mas também devem-se propor situações em que o simples uso da fórmula não conduza diretamente ao resul- tado procurado. Nesse sentido, apresenta- mos, nesta Situação de Aprendizagem, al- guns modelos, como é o caso, por exemplo, da atividade 3. Por fim, salientamos, novamente, a ne- cessidade da existência de momentos de avaliação em que os alunos possam trocar ideias com outros colegas de grupo e mes- mo consultar suas anotações. Além disso, o professor poderá pedir que os alunos de- monstrem seu conhecimento sobre o assun- to criando problemas e/ou contextos em que os conceitos possam, claramente, ser aplicados.
  • 35. 34 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 SOMA DOS TERMOS DE UMA PA OU DE UMA PG FINITAS E APLICAÇÕES À MATEMÁTICA FINANCEIRA Conteúdos e temas: progressões aritméticas (PA) e progressões geométricas (PG): termos gerais e soma dos termos; juros compostos, processos simples de capitalização e de amortização. Competências e habilidades: utilizar a linguagem matemática para expressar a regularidade dos padrões de sequências numéricas ou geométricas; aplicar conhecimentos matemáticos em situações do cotidiano financeiro; generalizar procedimentos de cálculo com base em expressões matemáticas associadas ao estudo das progressões numéricas. Sugestão de estratégias: resolução de exercícios exemplares. Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 3 Esta Situação de Aprendizagem é dividida em duas etapas. A primeira etapa é composta por problemas exemplares para a construção de significados da soma dos elementos de uma sequência, e a segunda etapa é toda dirigida para a aplicação da soma de elementos de uma PA ou de uma PG em alguns casos típi- cos da Matemática Financeira. O cálculo da soma dos termos de uma PA ou de uma PG é um bom momento para se retomar e aprofundar com os alunos a noção de algoritmo em Matemática, pois podemos entender o cálculo da soma de qualquer um desses dois tipos de sequência como um cál- culo realizado a partir de certa ordenação de procedimentos que conduzem, com eficiên- cia, ao resultado procurado. No caso de uma PA do tipo (a1 , a2 , a3 , ..., an – 3 , an – 2 , an – 1 , an ), o professor pode explorar a propriedade da equidistância dos extremos, isto é, a1 + an = a2 + an – 1 = a3 + an – 2 = ..., a fim de desenvolver estratégias para o cálculo da soma de seus termos, em um trabalho que antecede a construção e utilização da fórmula da soma dos termos de uma PA. Por exemplo, para o cálculo da soma dos 200 primeiros números naturais, indicada por: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + 197 + 198 + + 199 + 200, o aluno pode ser auxiliado no sentido de ob- servar que 1 + 200 = 2 + 199 = 3 + 198 = 4 + 197 = = ... = 201. Nesse caso, obterá cem somas iguais a 201 e, finalmente, concluirá que S200 = 100 201 = = 20100. Podemos, também, dizer que a soma dos 200 números naturais é igual ao produto de 200 por 201 2 , ou seja, o produto de 200
  • 36. 35 Matemática – 1ª série – Volume 1 pela média aritmética dos termos equidistan- tes dos extremos. No caso de sequências que apresentam nú- mero ímpar de termos, como 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, de sete termos, o aluno poderá utilizar a seguinte estratégia: 1 + 19 = 4 + 16 = 7 + 13 = 20. Assim, são obtidas três somas iguais a 20. Como o número 10, que é o termo central (me- diana), não foi adicionado, a soma dos termos dessa PA será representada da seguinte forma: S7 = 3 20 + 10 = 60 + 10 = 70. Nesse exemplo, é importante destacar que a soma dos sete termos dessa PA 1 + 4 + 7 + + 10 + 13 + 16 + 19 é igual a 7 10, sendo 10 a média aritmética dos termos equidistantes dos extremos. Essa sequência de passos para se ob- ter a soma dos termos de uma PA pode ser vista como um algoritmo que permite rapi- dez e precisão no cálculo e, por isso mesmo, pode e deve ser bem compreendida e utilizada sempre que possível. No momento que julgar oportuno, o professor poderá pedir que os próprios alunos generalizem a estratégia que adotam particularmente, em uma ou outra se- quência, para uma sequência aritmética qual- quer, obtendo-se, então, a expressão = . No caso de ser necessário obter a soma dos termos de uma PG, o professor poderá lançar mão, novamente, da ideia de um algoritmo que permita agilizar o cálculo, mostrando aos alunos como fazê-lo em alguns casos específi- cos, como neste exemplo: S = 2 + 6 + 18 + 54 + 162. Os termos dessa série formam uma PG de razão 3. A primeira providência para se obter o resultado sem efetuar a adição termo a ter- mo é multiplicar toda a expressão pelo valor da razão. 3 S = 3 (2 + 6 + 18 + 54 + 162) 3 S = 6 + 18 + 54 + 162 + 486. Isso feito, teremos duas expressões e sub- trairemos uma da outra, de forma que os vá- rios pares de termos iguais sejam cancelados. S = 2 + 6 + 18 + 54 + 162 3 S = 6 + 18 + 54 + 162 + 486 –2 S = 2 – 486 –2 S = – 484 S = 242 Essa sequência de passos, ou esse algorit- mo, permite a obtenção da soma dos termos de uma PG de modo mais rápido e eficaz do que o cálculo da soma termo a termo. Co- mentando o fato com seus alunos, o professor poderá pedir que algumas somas sejam obti- das dessa maneira e, analogamente ao que foi realizado para a PA, pedir que generalizem o algoritmo em uma fórmula que possa ser
  • 37. 36 aplicada a qualquer tipo de PG. Nessa tarefa, os alunos percorrerão as seguintes etapas: PG: (a1 , a2 , a3 , ..., an–3 , an–2 , an–1 , an ) Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an–1 + an (I) Multiplica-se toda a soma pela razão q: q Sn =a1 q+a2 q+a3 q+...+an–1 q+an q(II) Subtrai-se (II) de (I), eliminando-se os pa- res de termos iguais: Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an–1 + an (I) q Sn =a1 q+a2 q+a3 q+...+an–1 q+an q(II) Sn – q Sn = a1 – an q Assim, “sobram” apenas o último termo de (II) e o primeiro termo de (I). Isola-se Sn: Sn – q Sn = a1 – an q Sn (1 – q) = a1 – an q Sn = a1 – an q 1 – q ou Sn = an q – a1 q – 1 . A expressão da soma dos termos de uma PG, escrita da forma apresentada anterior- mente, em função do número de termos (n) e do último termo (an ), tem mais significa- do para os alunos do que escrita em função apenas da razão (q) e do número de termos (n). Por isso, convém ao professor trabalhar alguns problemas antes de mostrar aos alu- nos a segunda maneira de escrever a mesma expressão. Sn – q Sn = a1 – an q Sn – q Sn = a1 – a1 qn–1 q Sn – q Sn = a1 – a1 qn = = Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita 1. Calcule a soma dos termos da progressão (10, 16, 22, ..., 70). 440. 2. Calcule a soma dos termos da progressão (13, 20, 27, ...), desde o 21o termo até o 51o . 7 998. 3. Calcule a soma dos números inteiros, divi- síveis por 23, existentes entre 103 e 850. Os números inteiros, divisíveis por 23, entre 103 e 850, for- mam a PA de razão 23: (115, 138, ..., 828). Utilizando a fórmula do termo geral, obtemos n = 32, e aplicando a fórmula da soma dos termos da PA, obtemos o resultado 15 088. 4. A figura a seguir apresenta os primeiros elementos de uma sequência de números chamados números triangulares.
  • 38. 37 Matemática – 1ª série – Volume 1 a) Escreva a sequência numérica correspon- dente a essa figura, considerando o núme- ro de bolinhas que formam cada triângulo: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36. b) Que regularidade você observou na construção desses números triangulares? Resposta pessoal. Todavia, é conveniente destacar que uma linha debolinhas,apartirdainferior,temsempreumabolinhaamenos. c) Escreva uma fórmula que permita calcu- lar um termo qualquer dessa sequência, utilizando a recorrência, ou seja, definin- do um termo a partir de seu precedente. a1 = 1 e an = an–1 + n. d) Construa uma fórmula que calcule um termo qualquer dessa sequência, sem ne- cessariamente recorrer ao termo anterior. Para auxiliá-lo nessa tarefa, você pode or- ganizar os dados na tabela a seguir. Durante a resolução desse problema, os alunos podem perceber que um termo qual- quer da sequência de números triangulares pode ser expresso por uma fórmula de recor- rência, incluindo duas informações: a1 = 1 e an = an–1 + n. Podem, também, organizar os dados em uma tabela, como dito anteriormente. Essa estratégia os levará à fórmula T do termo geral, que pode ser obtida pela aplicação da fórmula da soma dos termos da PA de n termos, com a1 = 1 e razão 1: T = (1 + n) n 2 = n2 + n 2 . Posição de uma termo na sequência Processo de contagem das bolinhas Quantidade de bolinhas em cada termo 1 1 1 2 1 + 2 3 3 1 + 2 + 3 6 4 1 + 2 + 3 + 4 10 ... ... ... Após a discussão sobre as questões dessa atividade, o professor pode, ainda, explorar os números triangulares, incentivando seus alunos a descobrir outras propriedades interessantes. Por exemplo, propondo questões como estas: (I). Observe que 61 = 55 + 6 (61 é um núme- ro natural qualquer; 55 e 6 são números triangulares). Represente o número 84 em forma de adição de, no máximo, três números triangulares. Pode ser escrito como a soma: 45 + 36 + 3. (II). Adicione dois números triangulares consecutivos. Que característica você percebe nessa soma? A soma de dois números triangulares consecutivos é igual a um número quadrado perfeito: 1 + 3 = 4; 3 + 6 = 9; 6 + 10 = 16; 10 + 15 = 25. 5. A seguir, estão os primeiros elementos de uma sequência de figuras que representam os chamados números pentagonais. 1 2 3 4 5
  • 39. 38 a) Quantas bolinhas deve ter a sexta figura dessa sequência? E a sétima? 51 e 70, respectivamente. b) Observe as regularidades que existem no processo de construção da Figura 2 a partir da Figura 1, no processo de construção da Figura 3 a partir da Fi- gura 2, e assim por diante. Organize os dados na tabela a seguir e, depois, pro- cure construir uma fórmula que permi- ta determinar a quantidade de bolinhas da Figura n nessa sequência. Professor, com relação aos números pentago- nais, reiteramos que a construção de uma tabela como esta favorece a obtenção de uma fór- mula de generalização: Posição da figura na sequência Cálculo Número de bolinhas 1 1 1 2 1 + 4 a1 + 4 5 3 5 + 3 3 – 2 a2 +3 3 – 2 12 4 12 + 3 4 – 2 a3 + 3 4 – 2 22 5 22 + 3 5 – 2 a4 + 3 5 – 2 35 ... ... ... n – 1 n an – 1 + 3 n – 2 an = an – 1 + 3 n – 2 Caso o aluno encontre dificuldades, durante a resolução deste problema, o professor pode pro- por questões que o ajudem a perceber que, a par- tir da segunda figura, cada termo an da sequência podeserobtidopeloacréscimodetrêsfileirasden bolinhas à figura anterior (an – 1 ), devendo ser sub- traídas duas unidades, que correspondem às duas bolinhas que se sobrepõem em dois vértices do pentágono. No entanto, a fórmula obtida é por recorrência, e a obtenção da fórmula geral é um pouco mais difícil, pois cada termo é obtido por meio de seu antecessor, adicionando a este 3n – 2 bolinhas. Os números que são adicionados estão na sequência 4, 7, 10, 13, 16, ... Posição da figura na sequência Cálculo 1 1 2 1 + 4 3 1 + 4 + 7 4 1 + 4 + 7 + 10 5 1 + 4 + 7 + 10 + 13 ... ... n 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + ... + 3 n – 2 A expressão do termo geral dessa soma pode ser obtida fazendo a1 = 1 e an = 3 n + 2 na ex- pressão geral da soma da PA, da seguinte forma: T = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + … + 3 n – 2 = = (a1 + an ) n 2 = (1 + 3n – 2) n 2 = (3n – 1) n 2 = = 3 n2 – n 2 .
  • 40. 39 Matemática – 1ª série – Volume 1 Assim, o polinômio 3 n2 2 – n 2 , sendo n um número natural diferente de zero, permite a determinação de um número pentagonal que ocupa a posição n na sequência. Por exemplo, o sétimo número pentagonal da sequência é: T7 = 3 72 2 – 7 2 = 3 49 2 – 7 2 = 140 2 = 70 6. Considere a PG (1, 2, 4, 8, ...). Calcule a soma dos 20 primeiros termos dessa PG, deixando indicada a potência. S20 = 1 (220 − 1) 2 − 1 S20 = 220 − 1 7. Resolva a equação 2 + 4 + 8 + ... + x = = 510, sabendo que as parcelas do primeiro membro da equação estão em PG. A razão da PG é 2. Portanto, 2 (2n − 1) 2 − 1 = 510 2n − 1 = 510 ÷ 2 2n – 1 = 255 2n = 256 n = 8 Logo, x = a8 = 2 28 –1 x = 256. 8. (Vunesp – 2003) Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. A espessura de cada tábua é 0,5 cm. Forma-se uma pilha de tá- buas colocando-se uma tábua na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já tiverem sido colocadas anteriormente. Pilha na 1a vez Pilha na 2a vez Pilha na 3a vez Ao final de nove operações, responda: a) quantas tábuas terá a pilha? A sequência da quantidade de tábuas colocadas é: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256,... O 9o termo da sequência é 256. Portanto, após nove opera- ções a pilha teria 256 tábuas. b) qual será a altura da pilha (em metros)? A altura da pilha será igual a 256 0,5 = 128 cm = 1,28 m. 9. Uma pessoa compra uma televisão para ser paga em 12 prestações mensais. A pri- meira prestação é de 50 reais e, a cada mês, o valor da prestação é acrescido em 5% da primeira prestação. Quando aca- bar de pagar, quanto a pessoa terá pago pela televisão? Trata-se de calcular a soma 50,00 + 52,50 + 55,00 + 57, 50 + + … + 77,50, que resulta em R$ 765,00. 10. A primeira parcela de um financiamento de seis meses é de 200 reais, e as de- mais são decrescentes em 5%. Assim, a segunda parcela é 5% menor do que a primeira, a terceira parcela é 5% menor do que a segunda, e assim por diante. Adotando 0,955 = 0,77 e 0,956 = 0,73, calcule: a) Qual é o valor da última parcela? Temos uma PG de razão (1 − 0,05) = 0,95 e queremos deter- minar o sexto termo. a6 = 200 0,955 = R$ 154,00. b) Quanto aproximadamente terá sido pago quando a dívida for totalmente quitada?
  • 41. 40 Devemos calcular a soma dos termos da PG. S = an q − a1 q − 1 = 200 0,955. 0,95 − 200 0,95 − 1 = = 200 (0,956 − 1) −0,05 = −4 000 (0,956 − 1) −4 000(0,735 − 1) = 1 060. Assim, o valor pago será aproximadamente R$ 1 060,00. 11. Dada a PA (−4, 1, 6, 11, ...), responda: a) qual é o termo geral da sequência? an = 5n − 9. b) qual é a soma dos 12 primeiros termos? 282 c) qual expressão pode representar o cál- culo da soma dos n primeiros termos? S = (a1 + an ) n 2 = (−4 + 5n − 9) n 2 = 1 2 (5n2 −13n). 12. A soma de n termos de uma PA pode ser calculada pela expressão Sn = 3n2 – 5n. Sendo assim, responda: a) qual é a soma dos seis primeiros termos? S6 = 3 62 − 5 6 = 78. b) qual é a soma dos sete primeiros termos? S7 = 3 72 − 5 7 = 112. c) qual é o sétimo termo? O sétimo termo é a diferença entre S7 e S6 . Portanto, a7 = 112 − 78 = 34. d) quais são os cinco primeiros termos? a1 = S1 = −2 a2 = S2 − a1 = 2 − (−2) = 4 A PA tem razão 6, e os cinco primeiros termos são: −2, 4, 10, 16, 22. 13. Um atleta fora de forma, desejando recu- perar o tempo perdido, planeja correr, dia- riamente, uma determinada distância de maneira que, a cada dia, a distância per- corrida aumente 20% em relação ao que foi percorrido no dia anterior. Se ele correr 10 quilômetros no primeiro dia: a) quantos quilômetros correrá no quar- to dia? a4 = 10 1,23 = 17,28 km. b) quantos quilômetros terá percorrido em dez dias? (Observação: 1,210 6,2.) Trata-se de calcular a soma dos dez termos de uma PG em que a1 = 10 e a10 = 10 1,29 . S = an q − a1 q − 1 = 10 1,29 1,2 − 10 1,2 − 1 = 10 (1,210 − 1) 0,2 = = 50 (1,210 − 1) = 50 (6,2 − 1) = 260 km. Aplicações na Matemática Financeira O crescimento de um capital a uma taxa constante de juros simples se caracte- riza por envolver uma série de termos que formam uma PA. Por outro lado, no cál- culo do crescimento de um capital a uma taxa constante de juros compostos, apare- ce uma PG. No exemplo a seguir, podemos comparar a evolução de um capital inicial quando submetido a juros simples e a ju- ros compostos.
  • 42. 41 Matemática – 1ª série – Volume 1 14. Complete: Tabela A Capital = C Taxa de juros = 5% ao mês Evolução do capital a juros simples Evolução do capital a juros compostos Inicial C C Depois de um mês 1,05 C 1,05 C Depois de dois meses 1,10 C 1,052 C Depois de três meses 1,15 C 1,053 C Depois de quatro meses 1,20 C 1,054 C Os valores dessa tabela foram obtidos le- vando-se em conta que um capital inicial (C), acrescido de 5%, resulta no capital inicial mul- tiplicado por 1,05, isto é, resulta em 1,05 C. Caso incidam 5%, novamente, sobre o capital já acrescido de 5%, o resultado será igual a 1,10 C, se os juros forem simples, e 1,052 C, se os juros forem compostos, conforme repre- sentado nas operações a seguir: Capital inicial: C. Acréscimo de 5% sobre C: C + 5 100 C = C + 0,05 C = 1,05 C. Acréscimode5%dejurossimples:1,05 C+ + 0,05 C = 1,10 C. Acréscimo de 5% de juros compostos: 1,05 C + 5% 1,05 C = 1,05 C (1 + 5%) = = 1,05 C 1,05 = 1,052 C. O valor do capital, nos próximos meses de aplicação, segue a mesma lógica, isto é, adicionando-se 0,05 C, no caso de juros sim- ples, e multiplicando-se por 1,05 C, no caso de juros compostos. Juros simples não são praticados no mer- cado financeiro, mas podem servir de con- texto inicial para a determinação de valores totais capitalizados em certo período. 15. Suponha que um cidadão aplique men- salmente, durante 8 meses, uma quantia fixa de 200 reais a juros simples de 5%. Ao final, depois dos 8 meses de aplica- ção, quanto terá acumulado essa pes- soa? A tabela de capitalização a seguir pode ajudá-lo a organizar o método de resolução: Professor, propondo um problema dessa na- tureza aos seus alunos, o professor poderá co- mentar que ele é de fácil resolução por envolver juros simples, mas que, no caso real de um capi- tal aplicado a juros compostos, será necessário um método organizado de resolução. Justifica- -se, dessa maneira, o processo representado na tabela seguinte:
  • 43. 42 Tabela B Mês 1o 2o 3o 4o 5o 6o 7o 8o Final Capital 200 210 220 230 240 250 260 270 280 200 210 220 230 240 250 260 270 200 210 220 230 240 250 260 200 210 220 230 240 250 200 210 220 230 240 200 210 220 230 200 210 220 200 210 Os 200 reais depositados no primeiro mês tornam-se 210 reais, no segundo mês, 220 reais, no terceiro mês, e assim por diante, tornando-se, ao final, 280 reais. Os 200 reais depositados no segundo mês, de modo análogo, convertem-se em 270 reais, ao final de sete meses de aplicação. Seguindo o raciocínio, o saldo final da aplicação será o resultado da adição dos valores da última coluna da tabela, que são os termos de uma PA: Saldo final = 210 + 220 + 230 + 240 + 250 + + 260 + 270 + 280 Saldo final = (210 + 280) 8 2 = 1 960 Portanto, o saldo final da aplicação será igual a R$ 1 960,00. No caso real, de uma capitalização a juros compostos, o esquema de resolução será simi- lar ao apresentado, variando apenas a forma de crescimento das parcelas aplicadas. 16. Em relação ao problema anterior, alteran- do apenas a forma de incidência da taxa de juros, de simples para compostos, pode- -se construir a Tabela C, que precisa ser completada: Tabela C Mês 1o 2o 3o 4o 5o 6o 7o 8o Final Capital 200 200 1,05 200 1,052 200 1,053 200 1,054 200 1,055 200 1,056 200 1,057 200 1,058 200 200 1,05 200 1,052 200 1,053 200 1,054 200 1,055 200 1,056 200 1,057 200 200 1,05 200 1,052 200 1,053 200 1,054 200 1,055 200 1,056 200 200 1,05 200 1,052 200 1,053 200 1,054 200 1,055 200 200 1,05 200 1,052 200 1,053 200 1,054 200 200 1,05 200 1,052 200 1,053 200 200 1,05 200 1,052 200 200 1,05
  • 44. 43 Matemática – 1ª série – Volume 1 A soma dos valores da última coluna da tabela fornece o total capitalizado. Trata-se da soma dos termos de uma PG de razão 1,05. S = 200 (1,05 + 1,052 + 1,053 + 1,054 + 1,055 + + 1,056 + 1,057 + 1,058 ) S = 200 an q – a1 q – 1 = = 200 1,058 1,05 – 1,05 1,05 – 1 O cálculo dessa soma é trabalhoso se reali- zado manualmente. Por isso, propomos que os alunos possam utilizar calculadoras para agi- lizar a obtenção do resultado, sem qualquer perda de significado para o conceito. O impor- tante, aqui, não é saber calcular uma potência, coisa que os alunos já devem saber, mas sim obter a expressão numérica que conduz ao resultado desejado. Todavia, mesmo usando calculadoras, será interessante simplificar ini- cialmente a expressão, como neste caso: S = 200 1,058 1,05 – 1,05 1,05 – 1 (Colocando 1,05 em evidência.) S = 200 1,05 (1,058 – 1) 0,05 (Dividindo 1,05 por 0,05.) S = 200 21 (1,058 – 1) = 2005, 31. Caso o professor opte por não permitir o uso de calculadoras, o que não aconselhamos, poderá fornecer aos alunos, previamente, o valor da potência. No caso, 1,058 1,477. Dessa forma, a resposta será: S = 200 21 (1,477 – 1) = 2 003,4. Comparando os dois resultados do pro- cesso de capitalização, fica claro que o processo a juros compostos conduz a um maior valor final (R$ 1 960,00 em um caso, e R$ 2 005,31 no outro). Outra aplicação importante das somas das progressões diz respeito ao cálculo da parcela fixa de um financiamento a taxa constante de juros. De fato, trata-se de um problema inverso ao que foi analisado há pouco, isto é, conhece-se o montante final e deseja-se calcular a parcela mensal do investimento. Vamos analisar, como exem- plo, o caso do financiamento da compra de um automóvel, que custa R$ 10 mil e será pago em 24 parcelas fixas e mensais, com juros de 5% ao mês. Em primeiro lugar, vamos representar o cálculo da parcela de financiamento, no caso de os juros serem simples, isto é, incidirem sempre sobre o valor inicial. Com taxa de juros simples Os R$ 10 mil financiados deverão ser cor- rigidos e devolvidos pelo comprador do bem, ao final dos 24 meses. Assim, o primeiro passo é calcular o juro total da aplicação em juros
  • 45. 44 simples, ou seja, 24 5% = 120%. O valor de R$ 10 mil deverá ser devolvido corrigi- do em 120%, isto é, deverão ser devolvidos R$ 22 mil. Ocorre que o comprador não de- volve esse valor de uma única vez, mas sim em parcelas mensais. Assim, o próximo passo é calcular o valor da parcela, e nesse ponto é necessário se lembrar do exemplo anterior, da capitalização a juros simples. Supomos, então, que certa parcela P é capitalizada mensalmente, durante 24 me- ses, a juros simples de 5%. Nessa condição, ao final dos 24 meses, terá sido capitali- zado um valor total igual ao resultado da seguinte soma: S = P (1,05 + 1,10 + 1,15 + … + 2,15 + 2,20). Os porcentuais, nesse caso, formam uma PA. Calculemos a soma desses porcentuais. S = P (a1 + an ) n 2 = P (1,05 + 2,20) 24 2 = = P 39 Como a soma S deve coincidir com o va- lor corrigido do final do financiamento, isto é, S = 22 000, a parcela mensal P pode ser assim obtida: 22 000 = P 39 P = 564,10. Portanto, a juros simples, o valor da parce- la mensal é igual a R$ 564,10. Perceba que, apesar de as prestações serem todas iguais a R$ 564,10, a simples multipli- cação desse valor pelo número de prestações, que, neste caso, é 24, não tem como resultado o valor corrigido da dívida (R$ 22 mil). Essa diferença acontece porque a primeira parcela de R$ 564,10 tem, hoje, um valor que não será o mesmo daqui a 24 meses. Essa consideração vale para todas as parcelas. Com taxa de juros compostos Da mesma forma que no caso dos juros simples, discutido anteriormente, o valor financiado deve ser corrigido para com- por o pagamento final. Nesse caso, trata- -se de corrigir R$ 10 mil, em 24 meses, a juros compostos de 5%, o que implica mul- tiplicarmos 10 000 por 1,0524 . Isso feito, teremos R$ 32 251,00. Mas esse valor não é devolvido de uma única vez, ao final do financiamento, e sim em parcelas mensais. Para o cálculo do valor dessa parcela, de- vemos imaginar alguém que deposite, men- salmente, um valor P, a juros compostos de 5%, durante 24 meses. Nesse caso, o valor total depositado será igual ao resultado da seguinte adição: S = P (1,05 + 1,052 + 1,053 + ... + 1,0524 ). O valor de S, como observado anterior- mente, é R$ 32 251,00. Para o cálculo da par- cela P, será preciso calcular a soma da PG formada pelos termos dentro dos parênteses.
  • 46. 45 Matemática – 1ª série – Volume 1 32 251=P an q – a1 q – 1 =P 1,0524 1,05 – 1,05 1,05 – 1 32 251 = P 1,05 . (1,0524 – 1) 1,05 – 1 = = P 21 (1,0524 – 1) Dado que 1,0524 3,225, fazemos: 32 251 = P 21 (3,225 – 1) 32 251 = P 46,725 P = 690,23 Portanto, a juros compostos, a parcela de financiamento deverá ser igual a R$ 690,23. Os cálculos envolvendo processos de ca- pitalização e de amortização são comumen- te vistos em situações do cotidiano, muito embora nem sempre de forma transparente. Por isso, é comum que surjam dúvidas por parte dos alunos, as quais caberá ao profes- sor esclarecer. No caso que analisamos, do financiamento de R$ 10 mil, é preciso des- tacar com muita ênfase dois aspectos gera- dores de dúvidas. O primeiro deles refere-se à necessidade de corrigir o valor financiado, isto é, multiplicar 10 000 por 1,0524 . Os alu- nos precisam entender que o bem financiado será considerado quitado apenas quando a última parcela for paga, e que, por esse mo- tivo, é preciso considerar a correção do valor financiado. A segunda dúvida que costuma ocorrer nesse caso refere-se à necessidade de calcular o valor futuro de cada parcela que vai sendo paga, o que conduz ao cálculo da soma da PG. É comum os alunos fazerem, equivocadamente, a simples divisão do resul- tado do produto 10 000 1,0524 por 24 para determinar o valor de cada parcela. O profes- sor deve chamar a atenção dos alunos para o fato de que as parcelas não são todas pagas ao final do financiamento, mas sim em tem- pos diferentes, e que, portanto, o valor futuro de uma parcela não é igual ao da outra. Julgamos importante que o professor dis- cuta alguns exemplos de cálculos de mon- tantes e de parcelas de amortização, mas não deixe de retomar o assunto quando abordar o crescimento exponencial no Volume 2. Após discutir alguns exemplos com seus alunos, o professor poderá propor a reso- lução da seguinte sequência de problemas exemplares. 17. Uma financeira remunera os valores inves- tidos à base de 4% de juros simples. Quan- to conseguirá resgatar nesse investimento uma pessoa que depositar, mensalmente, 500 reais durante 10 meses? Trata-se de calcular a soma S = 520 + 540 + 560 + 580 + ... + 700. S = (520 + 700) 10 2 = 1 220 5 = 6 100 O resgate será de R$ 6 100,00. 18. Laura aderiu a um plano de capitalização de um banco, depositando, mensalmente, mil reais durante 12 meses. Se o banco promete remunerar o dinheiro aplicado à taxa de 2% de juros compostos ao mês, calcule quanto Laura resgatará ao final do período. (Observação: 1,0212 = 1,27.)
  • 47. 46 Trata-se de calcular a soma de termos em PG: S = 1 000 1,02 + 1 000 1,022 + 1 000 10,23 + ... + 1 000 1,0212 S = 1 000 (1,02 + 1,022 + 1,023 + ... + 1,0212 ) S = 1 000 an q − a1 q − 1 = = 1 000 1,0212 1,02 − 1,02 1,02 − 1 = = 1000 1,02 (1,0212 − 1) 0,02 = = 1 000 51 (1,0212 − 1) = 51 000 0,27 = 13 770 Portanto, o resgate será de R$ 13 770,00. 19. Carlos deseja comprar um automóvel que custará, daqui a dez meses, R$ 15 500,00. Para atingir seu objetivo, Carlos resol- veu depositar uma quantia x em um investimento que promete remunerar o dinheiro aplicado à razão de 10% de juros simples ao mês. Qual deve ser o valor mínimo de x para que Carlos con- siga comprar o automóvel ao final dos dez meses? Sendo o cálculo do montante à base de juros simples, temos a soma de termos em PA, da seguinte maneira: S = 1,1 x + 1,2 x + 1,3 x + ... + 2,0 x 15 500 = x (1,1 + 1,2 + 1,3 + ... + 2,0) 15 500 = x (a1 + an ) n 2 15 500 = x (1,1 + 2,0) 10 2 15 500=x 15,5 x=1 000 Portanto,aparcelamínimaaserdepositadaéigualaR$1 000,00. 20. Uma geladeira cujo preço à vista é de R$ 1 500,00 será financiada em seis par- celas mensais fixas. Se os juros compos- tos cobrados no financiamento dessa geladeira são de 3% ao mês, qual é o valor da parcela mensal? (Observação: 1,036 = 1,19.) O valor futuro da geladeira, em seis meses, será igual a 1 500 1,036 = 1 500 1,19 = 1 785. A soma das parcelas fixas, a 3% de juros compostos ao mês, corresponde a: S = P (1,03 + 1,032 + ... + 1,036 ), onde P é o valor da parcela fixa mensal. Como S = 1785, tem-se: 1 785 = P 1,036 1,03 − 1,03 1,03 − 1 = P 1,03 (1,036 − 1) 0,03 = = P 34,33 (1,036 − 1) = P 34,33 0,19 = = 1 785 = P 6,5227 P = 273,65 Portanto, a parcela mensal deverá ser igual a R$ 273,65. 21. Julia guardou, mensalmente, 200 reais em um banco que re- munerou seu dinheiro à base de 4% ao mês de juros compostos. Ao final de 8 meses de aplicação, Julia usou o di- nheiro que havia guardado para dar de entrada em um pacote de viagem que custava, à vista, R$ 5 mil. Julia pretende financiar o saldo devedor em 5 vezes, em parcelas iguais e fixas, à taxa de 2% ao mês. (Observação: 1,048 1,37; 1,025 1,10.) a) Quanto Julia deu de entrada no pacote de viagem? O valor total capitalizado exige o cálculo de uma soma de termos em PG. S = 200(1,04 + 1,042 + 1,043 + ... + 1,048 ) S = 200 1,048 1,04 − 1,04 1,04 − 1 = = 200 1,04 (1,048 − 1) 0,04 = 200 26 (1,37 − 1) = 1 924 Portanto, foram dados de entrada R$ 1 924,00.