Caderno doprofessor 2014_vol1_baixa_mat_matematica_em_1s

1a
SÉRIE
ENSINO MÉDIO
Caderno do Professor
Volume1
MATEMÁTICA

MATERIAL DE APOIO AO
CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO
CADERNO DO PROFESSOR
MATEMÁTICA
ENSINO MÉDIO
1a
SÉRIE
VOLUME 1
Nova edição
2014-2017
GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
São Paulo

Governo do Estado de São Paulo
Governador
Geraldo Alckmin
Vice-Governador
Guilherme Aﬁf Domingos
Secretário da Educação
Herman Voorwald
Secretário-Adjunto
João Cardoso Palma Filho
Chefe de Gabinete
Fernando Padula Novaes
Subsecretária de Articulação Regional
Rosania Morales Morroni
Coordenadora da Escola de Formação e
Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP
Silvia Andrade da Cunha Galletta
Coordenadora de Gestão da
Educação Básica
Maria Elizabete da Costa
Coordenadora de Gestão de
Recursos Humanos
Cleide Bauab Eid Bochixio
Coordenadora de Informação,
Monitoramento e Avaliação
Educacional
Ione Cristina Ribeiro de Assunção
Coordenadora de Infraestrutura e
Serviços Escolares
Ana Leonor Sala Alonso
Coordenadora de Orçamento e
Finanças
Claudia Chiaroni Afuso
Presidente da Fundação para o
Desenvolvimento da Educação – FDE
Barjas Negri

Senhoras e senhores docentes,
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo sente-se honrada em tê-los como colabo-
radores nesta nova edição do Caderno do Professor, realizada a partir dos estudos e análises que
permitiram consolidar a articulação do currículo proposto com aquele em ação nas salas de aula
de todo o Estado de São Paulo. Para isso, o trabalho realizado em parceria com os PCNP e com
os professores da rede de ensino tem sido basal para o aprofundamento analítico e crítico da abor-
dagem dos materiais de apoio ao currículo. Essa ação, efetivada por meio do programa Educação
— Compromisso de São Paulo, é de fundamental importância para a Pasta, que despende, neste
programa, seus maiores esforços ao intensificar ações de avaliação e monitoramento da utilização
dos diferentes materiais de apoio à implementação do currículo e ao empregar o Caderno nas ações
de formação de professores e gestores da rede de ensino. Além disso, firma seu dever com a busca
por uma educação paulista de qualidade ao promover estudos sobre os impactos gerados pelo uso
do material do São Paulo Faz Escola nos resultados da rede, por meio do Saresp e do Ideb.
Enfim, o Caderno do Professor, criado pelo programa São Paulo Faz Escola, apresenta orien-
tações didático-pedagógicas e traz como base o conteúdo do Currículo Oficial do Estado de São
Paulo, que pode ser utilizado como complemento à Matriz Curricular. Observem que as atividades
ora propostas podem ser complementadas por outras que julgarem pertinentes ou necessárias,
dependendo do seu planejamento e da adequação da proposta de ensino deste material à realidade
da sua escola e de seus alunos. O Caderno tem a proposição de apoiá-los no planejamento de suas
aulas para que explorem em seus alunos as competências e habilidades necessárias que comportam
a construção do saber e a apropriação dos conteúdos das disciplinas, além de permitir uma avalia-
ção constante, por parte dos docentes, das práticas metodológicas em sala de aula, objetivando a
diversificação do ensino e a melhoria da qualidade do fazer pedagógico.
Revigoram-se assim os esforços desta Secretaria no sentido de apoiá-los e mobilizá-los em seu
trabalho e esperamos que o Caderno, ora apresentado, contribua para valorizar o ofício de ensinar
e elevar nossos discentes à categoria de protagonistas de sua história.
Contamos com nosso Magistério para a efetiva, contínua e renovada implementação do currículo.
Bom trabalho!
Herman Voorwald
Secretário da Educação do Estado de São Paulo

SUMÁRIO
Orientação geral sobre os Cadernos 5
Situações de Aprendizagem 9
Situação de Aprendizagem 1 – Conjuntos numéricos; regularidades numéricas
e geométricas 9
Situação de Aprendizagem 2 – Progressões aritméticas e progressões geométricas 21
Situação de Aprendizagem 3 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finitas e
aplicações à Matemática Financeira 34
Situação de Aprendizagem 4 – Limite da soma dos infinitos termos de uma PG infinita 48
Situação de Aprendizagem 5 – Funções como relações de interdependência:
múltiplos exemplos 55
Situação de Aprendizagem 6 – Funções polinomiais de 1o
grau: significado, gráficos,
crescimento, decrescimento e taxas 65
Situação de Aprendizagem 7 – Funções polinomiais de 2o
grau: significado, gráficos,
interseções com os eixos, vértices e sinais 74
Situação de Aprendizagem 8 – Problemas envolvendo funções de 2o
grau em múltiplos
contextos; problemas de máximos e mínimos 96
Orientações para Recuperação 103
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do
tema 105
Considerações finais 106
Quadro de conteúdos do Ensino Médio 108

5
Matemática – 1ª série – Volume 1
Insistimos, no entanto, no fato de que so-
mente o professor, em sua circunstância parti-
cular, e levando em consideração seu interesse
e o dos alunos pelos temas apresentados, pode
determinar adequadamente quanto tempo de-
dicar a cada uma das unidades.
Ao longo dos Cadernos são apresentadas,
além de uma visão panorâmica do conteúdo
do volume, oito Situações de Aprendizagem,
que pretendem ilustrar a abordagem sugeri-
da, orientando a ação do professor em sala
de aula. As atividades são independentes e
podem ser exploradas pelos professores com
maior ou menor intensidade, segundo seu in-
teresse e de sua turma. Naturalmente, em ra-
zão das limitações no espaço dos Cadernos,
nem todas as unidades foram contempladas
com Situações de Aprendizagem, mas a ex-
pectativa é de que a abordagem dos temas seja
explicitada nas atividades oferecidas.
São apresentados, também, em cada Ca-
derno, sempre que possível, materiais disponí-
veis (textos, softwares, sites e vídeos, entre ou-
tros) em sintonia com a abordagem proposta,
que podem ser utilizados pelo professor para
o enriquecimento de suas aulas.
Compõem o Caderno, ainda, algumas con-
siderações sobre a avaliação a ser realizada,
bem como o conteúdo considerado indispen-
sável ao desenvolvimento das competências
enunciadas no presente volume.
Os temas escolhidos para compor o con-
teúdo disciplinar de cada volume não se afas-
tam, de maneira geral, do que é usualmente
ensinado nas escolas ou do que é apresentado
pelos livros didáticos. As inovações preten-
didas referem-se à abordagem dos assuntos,
sugerida ao longo dos Cadernos. Em tal abor-
dagem, busca-se evidenciar os princípios nor-
teadores do presente currículo, destacando-se
a contextualização dos conteúdos e as compe-
tências pessoais envolvidas, especialmente as
relacionadas com a leitura e a escrita matemá-
tica, bem como os elementos culturais inter-
nos e externos à Matemática.
Em todos os Cadernos, os conteúdos es-
tão organizados em 16 unidades de extensões
aproximadamente iguais. De acordo com o
número de aulas disponíveis por semana, o
professor explorará cada assunto com mais
ou menos aprofundamento, ou seja, escolhe-
rá uma escala adequada para o tratamento
de cada um deles. A critério do professor, em
cada situação específica, o tema correspon-
dente a uma das unidades pode ser estendido
para mais de uma semana, enquanto o de ou-
tra unidade pode ser tratado de modo mais
simplificado.
É desejável que o professor tente contem-
plar todas as 16 unidades, uma vez que, jun-
tas, compõem um panorama do conteúdo do
volume, e, muitas vezes, uma das unidades
contribui para a compreensão das outras.
ORIENTAÇÃO GERAL SOBRE OS CADERNOS

6
Conteúdos básicos do volume
A abordagem dos conceitos deste volume,
relativos ao bloco Números e sequências, prio-
rizará aspectos considerados fundamentais
para a compreensão de alguns dos diferentes
significados dos conceitos envolvidos.
O primeiro aspecto que pretendemos res-
saltar é o reconhecimento da regularidade en-
volvida na construção de sequências numéri-
cas ou de sequências geométricas. Para tanto,
propomos que o início do trabalho se dê com
a retomada das características dos conjuntos
numéricos, a fim de que os alunos percebam,
por um lado, a regularidade do conjunto dos
números naturais e dos números inteiros e, por
outro, a questão da densidade dos números
reais. Partindo do conhecimento desses con-
juntos, esperamos que os alunos possam re-
lacionar a regularidade dos números naturais
à de outras sequências numéricas e também
geométricas, identificando essa regularidade,
sempre que possível, por intermédio de uma
expressão matemática. Assim, apresentamos,
na Situação de Aprendizagem 1, uma série de
situações-problema exemplares, para que o
professor possa optar pela utilização total ou
parcial no início de seu trabalho.
Partindo do princípio de que os alunos de-
vem reconhecer a regularidade de sequências
numéricas de qualquer natureza e escrever
expressões matemáticas que reflitam a re-
gularidade observada, julgamos importante
que não sejam tratadas de maneiras comple-
tamente distintas as sequências aritméticas e
as sequências geométricas, como se costuma
observar nos livros didáticos. Essa proposta de
abordagem simultânea dos dois tipos mais co-
muns de sequências, as progressões aritméticas
(PAs) e as progressões geométricas (PGs), está
contemplada na Situação de Aprendizagem 2
e permite, a nosso ver, que o foco do tratamen-
to conceitual se desloque do formalismo algé-
brico para a construção do significado real e
importante das características da regularidade
de cada sequência.
PAs e PGs estão presentes em várias situa-
ções contextualizadas, conforme alguns mo-
delos apresentados na Situação de Aprendi-
zagem 2, e não costumam trazer dificuldades
adicionais de compreensão para os alunos.
Dentre as inúmeras aplicações desse conteú-
do, destacamos especialmente uma, na Situa-
ção de Aprendizagem 3, quando propomos
que problemas clássicos de cálculos de juros
e de montantes envolvidos em processos de
capitalização ou amortização componham o
contexto possível para o tratamento da soma
de um número finito de termos de uma PA ou
de uma PG. Para o desenvolvimento das ativi-
dades que compõem essa Situação de Apren-
dizagem, conforme justificaremos adiante,
julgamos fundamental que os alunos possam
dispor de calculadoras.
O conceito de infinito, de suma importância
em Matemática, costuma ser bastante moti-
vador para o estudo de alguns conceitos, des-
de as séries iniciais, quando os alunos tomam
contato com a ideia do “mais 1”, que conduz
à construção do campo numérico dos natu-

7
rais. A ideia da quantidade infinita de números
existente entre dois números reais, como 1 e 2,
por exemplo, é algo que parece inicialmente es-
tranho para nossos alunos, mas pode, pouco a
pouco, firmar-se como um conceito fundamen-
tal da Matemática, dependendo das diferentes
abordagens que destinamos ao conceito duran-
te toda a escolaridade. Nessa perspectiva, isto
é, com o objetivo de que os estudantes constru-
am, gradual e lentamente, o conceito de limite
de uma função, não devemos perder oportuni-
dades que surjam durante nossas aulas para, de
maneira apropriada, abordar a ideia de limite.
É nesse contexto que propomos a realização
da sequência de atividades que compõem a Si-
tuação de Aprendizagem 4, durante a qual o
foco estará sempre colocado sobre o conceito
de limite, em detrimento de dificuldades de
natureza algébrica.
Além dos conteúdos citados, este Cader-
no também faz uma retomada da noção de
função, que traduz uma relação de interde-
pendência entre duas grandezas, explorando-
-se especialmente as funções de 1o
grau e de
2o
grau, bem como suas aplicações em dife-
rentes contextos. Tais assuntos já foram apre-
sentados aos alunos em séries/anos anteriores.
Na 6a
série/7o
ano do Ensino Fundamental,
foram exploradas situações envolvendo a pro-
porcionalidade direta e inversa entre grande-
zas, e que conduzem a relações do tipo y = kx,
ou, então, y =
k
x
, onde k é uma constante não
nula. Na 8a
série/9o
ano, foram estudadas as
funções y = ax + b e y = ax2
+ bx + c, com
a ≠ 0, além da representação destas em gráficos.
Agora, o estudo dessas funções será apre-
sentado de modo mais sistematizado. Tudo será
feito, no entanto, de tal forma que, mesmo se
o professor estiver tratando desse assunto pela
primeira vez, o aluno provavelmente não terá
grandes dificuldades em acompanhar as ativi-
dades propostas. Como já foi dito anteriormen-
te, as funções referidas são capazes de traduzir
matematicamente todos os processos que envol-
vem relações de proporcionalidade direta (gráfi-
cos lineares), ou relações em que uma grandeza
é proporcional ao quadrado de outra (gráficos
com a forma de uma parábola). Muitos exercí-
cios envolvendo situações concretas em que a
consideração das grandezas envolvidas conduz
a uma função de 1o
grau ou de 2o
grau serão
contemplados, com especial destaque para pro-
blemas de otimização, ou seja, problemas que
envolvem a obtenção do máximo ou do mínimo
de uma função, em determinado contexto.
De modo geral, os conteúdos estudados
neste Caderno são meios para o desenvolvi-
mento de importantes competências básicas:
o recurso à linguagem das funções para
representar interdependências conduz a
um aumento na capacidade de expressão,
favorecendo a construção de um discurso
mais eficaz para enfrentar problemas em
diferentes contextos;
a capacidade de compreensão de uma
variada gama de fenômenos é ampliada,
uma vez que muitas situações de interde-
pendência estão naturalmente associadas
a modelagens que conduzem a explicações
dos referidos fenômenos;

8
o reconhecimento das funções envolvidas
em um fenômeno possibilita a sistematiza-
ção de propostas de intervenção consciente
sobre a realidade representada.
Na Situação de Aprendizagem 5, reapre-
sentaremos a ideia de função por meio de
múltiplos exemplos de situações de interde-
pendência entre grandezas.
Na Situação de Aprendizagem 6, destacare-
mos as funções de 1o
grau, com suas qualidades
características.
Na Situação de Aprendizagem 7, serão sis-
tematizados os fatos fundamentais relativos às
funções de 2o
grau (gráficos, simetria, interse-
ção com os eixos, coordenadas do vértice, estu-
do dos sinais).
E, por fim, na Situação de Aprendiza-
gem 8, serão apresentados diversos pro-
blemas envolvendo funções de 2o
grau, in-
cluindo situações de otimização (máximos
e mínimos).
Para a organização dos trabalhos, dividi-
mos o conteúdo em 16 unidades, mais ou me-
nos correspondentes às oito semanas de aulas.
Sugerimos a seguinte estruturação:
Quadro geral de conteúdos do volume 1 da 1a
série do Ensino Médio
Unidade 1 – Sequências numéricas e/ou geométricas; identificação e registro da regularidade.
Unidade 2 – Progressões aritméticas e progressões geométricas – termo geral e aplicações.
Unidade 3 – Progressões aritméticas e progressões geométricas – termo geral e aplicações.
Unidade 4 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita.
Unidade 5 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita – aplicações à Matemática
Financeira.
Unidade 6 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita – aplicações à Matemática
Financeira.
Unidade 7 – Limite da soma dos termos de uma PG infinita.
Unidade 8 – Limite da soma dos termos de uma PG infinita.
Unidade 9 – Funções como relações de interdependência.
Unidade 10 – Funções de 1o
grau – significado, gráficos, crescimento, decrescimento, taxas.
Unidades 11, 12, 13 – Funções de 2o
grau – significado, gráficos, interseções com os eixos,
vértice, sinais.
Unidades 14, 15 e 16 – Problemas envolvendo funções de 2o
grau – problemas de máximos
e mínimos.

9
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1
CONJUNTOS NUMÉRICOS; REGULARIDADES NUMÉRICAS
E GEOMÉTRICAS
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 1
Na 1a
série do Ensino Médio, é bem pro-
vável que os alunos conheçam os conjuntos
numéricos – Naturais, Inteiros, Racionais e
Reais – e, também, que estejam familiarizados
com a ideia preliminar da relação entre dois
subconjuntos desses conjuntos, conhecimento
este que é a base do conceito de função. Se a
premissa é verdadeira, cabe ao professor rever
com os alunos algumas características desses
conjuntos, com o objetivo de construir a base
para a apresentação, posterior, das leis de for-
mação das sequências numéricas. Caso a pre-
missa não seja verdadeira, isto é, se os alunos
não conhecem satisfatoriamente os conjuntos
numéricos, convém que o professor lhes apre-
sente formalmente cada conjunto (IN, , Q
e IR) antes de iniciar a aplicação da Etapa 1,
descrita mais adiante.
Conhecidos os conjuntos numéricos, os
alunos poderão reconhecer que, na maioria
das vezes, uma sequência ordenada de nú-
meros pode ser identificada por intermédio
de uma sentença matemática que relaciona
um número natural a um número real. Essa
ideia é fundamental para o estudo das rela-
ções de dependência entre um par de gran-
dezas, ou, em outros termos, para o estudo
das funções.
Nesta Situação de Aprendizagem, explo-
raremos, inicialmente, na Etapa 1, a cons-
trução dos conjuntos numéricos e algumas
de suas propriedades. Em seguida, apre-
sentaremos algumas sequências que possi-
bilitarão a identificação de determinados
padrões de regularidades e pediremos que
os alunos descrevam, em língua materna, a
regularidade que identificam. Isso feito, o
próximo passo será pedir que os alunos en-
SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM
Conteúdos e temas: conjuntos numéricos; sequências numéricas e/ou geométricas; termo geral de sequên-
cias numéricas.
Competências e habilidades: obter sequências numéricas a partir do conhecimento de seu termo geral;
obter o termo geral de uma sequência numérica a partir da identificação da regularidade existente;
reconhecer a existência ou não de padrões de regularidades em sequências numéricas ou geométricas;
utilizar a linguagem matemática para expressar a regularidade dos padrões de sequências numéricas
ou geométricas.
Sugestão de estratégias: resolução de exercícios exemplares.

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contrem termos sucessivos dessas sequên-
cias, caso elas mantenham a regularidade
observada. Completando a primeira etapa,
os alunos serão convidados a exprimir a
regularidade observada por intermédio de
uma sentença matemática.
Realizada a etapa inicial, proporemos, na
Etapa 2, apresentada mais adiante, que os alunos
obtenham sequências numéricas a partir de con-
dições dadas em língua materna ou em lingua-
gem matemática e, ainda, que obtenham termos
determinados de algumas dessas sequências.
Etapa 1 – Observando padrões
e regularidades
Inicialmente, recomendamos que o profes-
sor liste o conjunto dos números naturais e dos
números inteiros para, em seguida, pedir que
os alunos identifiquem alguns subconjuntos
descritos por informações comunicadas em
língua materna, como nos exemplos a seguir:
IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }
= { ... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}
Com base nos elementos do conjunto nu-
mérico, alguns números deverão ser deter-
minados:
números naturais menores do que 7;
números naturais maiores ou iguais a 8;
números inteiros menores do que 7 e maio-
res do que –2;
números inteiros cujo valor absoluto é me-
nor do que 4.
Em seguida, após a exposição desses e
de outros exemplos que o professor julgar
apropriados, poderá ser pedido que os alu-
nos transcrevam as informações comunica-
das em língua materna para a linguagem
matemática. No caso dos exemplos ante-
riores, teríamos:
{x IN | x < 7} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
{x IN | x 8} = {8, 9, 10, 11, 12, ...}.
{x | – 2 < x < 7} = {–1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
{x | |x| < 4} = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}.
Observando padrões e regularidades
Você já reparou que as pessoas, em muitos momentos do dia, estão diante de situações
que envolvem uma sequência de números? O torcedor procura, em uma tabela no cader-
no de esportes do jornal, a posição de seu time no campeonato nacional. Para localizar
uma determinada residência em uma rua, o carteiro observa certa regra na numeração
das casas: de um lado, estão dispostas as casas de numeração par em sequência crescente
ou decrescente, e, do outro lado, as de numeração ímpar. Em um edifício, a numeração
dos apartamentos indica também o andar em que eles se localizam. No hospital, a enfer-

11
Discutidos alguns casos, como exemplifi-
cado, recomendamos que os alunos se envol-
vam na resolução dos seguintes problemas:
1. Dados os conjuntos a seguir,
descritos em linguagem coti-
diana, encontre, em cada caso,
seus elementos e traduza a descrição dada
para a linguagem matemática.
a) O conjunto A é formado por números
naturais maiores do que 4 e menores ou
iguais a 11.
{5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}.
{x IN | 4< x ≤ 11}
b) O conjunto B é formado por números
naturais menores ou iguais a 6.
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
{x IN | x ≤ 6}
c) O conjunto C é formado por números
inteiros maiores ou iguais a –3 e meno-
res do que 5.
{−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}.
{ x | -3 ≤ x <5}
d) O conjunto D é formado por números
inteiros maiores ou iguais a –2.
{−2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}.
{ x | x ≤ - 2}
2. Quais são os cinco menores números que per-
tencem a cada um dos seguintes conjuntos?
a) E é o conjunto dos cinco menores nú-
meros naturais que são divisíveis por 4.
{0, 4, 8, 12, 16}.
b) F é o conjunto dos cinco menores núme-
ros naturais ímpares maiores do que 7.
{9, 11, 13, 15, 17}.
meira é orientada sobre a sequência de horários em que deve administrar certo medica-
mento ao paciente.
O ser humano também observa vários movimentos naturais que seguem uma determinada
sequência, formando, assim, certo padrão: os períodos do dia, as estações do ano, as fases da
Lua e o período de aparecimento de um cometa são alguns desses movimentos.
Desde a Antiguidade, grande parte do trabalho dos matemáticos e cientistas tem sido observar
e registrar fenômenos que ocorrem segundo um padrão. O encontro de um padrão ou de uma
regularidade será uma das possibilidades de compreensão, previsão e controle desses fenômenos.
Para abordar esse assunto, este Caderno explora, inicialmente, as sequências numéricas
que podemos construir a partir dos conjuntos numéricos que conhecemos: os naturais, os
inteiros, os racionais e os reais.

12
c) G é o conjunto dos cinco menores nú-
meros inteiros que, elevados ao qua-
drado, resultam em um número menor
do que 10.
{ −3, −2, −1, 0, 1}.
d) H é o conjunto dos cinco menores nú-
meros naturais que, quando dobrados
e somados a 1, resultam em um núme-
ro maior do que 7.
{4, 5, 6, 7, 8}.
3. Descreva, em linguagem matemática, os
conjuntos E, F, G e H, apresentados na ati-
vidade anterior.
E = {4n, sendo n IN, e n < 5}.
F = {2n + 1, sendo n IN, e 4 n 8}.
G = {x | −4 < x < 2}.
H = {2n + 1 > 7, sendo n IN, e n < 9}.
A resolução e a discussão desses pro-
blemas iniciais permitirão, ao nosso ver,
introduzir a notação apropriada para a
designação de termos de uma sequência
numérica. Todavia, antes que isso seja im-
plementado (o que será feito na Etapa 2),
consideramos importante que os alunos se
detenham um pouco mais na identificação
das regularidades de algumas sequências.
4. A seguir, são apresentadas três sequências
numéricas infinitas. Observando cada uma
delas, responda:
a) Qual é o 100o
termo nesta sequência: 1,
1, 1, 1, 1, ...?
1
b) Qual é o 120o
termo nesta sequência:
1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2,
1, 1, …?
2 (posição múltipla de 3)
c) Qual é o 25o
termo nesta sequência:
5, 4, 8, 1, 3, 5, 4, 8, 1, 3, 5, 4, 8, 1, 3,
5, 4, …?
3 (posição múltipla de 5)
É importante que o professor auxilie
os alunos na observação de que, nessas
sequências, os motivos (períodos) são re-
petidos igualmente, ou seja, um elemento
ou um grupo de elementos se repete perio-
dicamente, levando-os a perceber que essa
característica deve ser levada em conta, na
organização dos dados, para a identifica-
ção do termo solicitado.
A sequência dos números naturais é cons-
truída, como sabemos, pelo acréscimo de
uma unidade a um termo já conhecido. A
fim de proporcionar aos alunos a oportuni-
dade de observar regularidades e perceber
que, muitas vezes, é possível construir uma
“receita” ou uma sentença que indique como
a sequência deve continuar, o professor pode
apresentar tipos diferentes de sequências
para que os alunos observem as proprieda-
des de seus elementos e descubram a lei de
formação, ou seja, o padrão utilizado para a
construção da sequência. Oriente-os a cons-
truir uma sentença algébrica que permita
calcular um termo qualquer, em função de
sua posição na sequência (sequências, sob o
ponto de vista funcional).

13
5. A seguir, é apresentada uma sequência na
forma figurativa. Descreva, em palavras, o
padrão de regularidade desta sequência e
indique qual deve ser a figura que ocupa a
152a
posição.
1 2 3 4
5 6 7 8
As sequências figurais também podem en-
riquecer o trabalho com a observação de regu-
laridades e generalização de padrões. No caso
da sequência em questão, o professor pode
estimular os alunos a perceber que a sétima
figura é igual à primeira, que a oitava figura é
igual à segunda, e assim por diante. Ou seja,
cada período é formado por seis figuras; por-
tanto, a 152a
figura será igual à segunda, pois
tanto o número 2 (que indica a posição da se-
gunda figura) quanto o número 152 (que indi-
ca a posição da 152a
figura), quando divididos
por 6, deixam resto 2.
Assim, o professor poderá auxiliar os
alunos na conclusão de que as Figuras 1, 7,
13, 19 etc. são todas iguais à primeira figu-
ra, pois os números 1, 7, 13, 19 etc., quando
divididos por 6, deixam resto 1. Do mesmo
modo, as Figuras 3, 9, 15, 21 etc. são todas
iguais à Figura 3, pois os números 3, 9, 15, 21
etc., quando divididos por 6, deixam resto 3,
e assim sucessivamente.
A exploração de sequências repetitivas,
numéricas ou não, favorece a discussão sobre
algumas noções trabalhadas nas séries anterio-
res, como múltiplos, divisores e regras de divisi-
bilidade, e permite uma aproximação da noção
de congruência, uma vez que trabalha com nú-
meros que, divididos por um determinado nú-
mero inteiro, apresentam o mesmo resto.
Realizada a discussão do exemplo propos-
to e de outros que o professor julgar apro-
priados, propomos que os alunos resolvam os
seguintes problemas.
6. Observe a sequência de figuras:
1 2 3 4 5 6 7
...
Supondo que a lei de formação continue a
mesma, desenhe as figuras que deverão ocu-
par as posições 38a
e 149a
nessa sequência.
Justifique sua resposta.
A ﬁgura que ocupa a posição 38 será a mesma ﬁgura da posi-
ção 2, pois a divisão de 38 por 4 deixa resto 2, e a que ocupa
a posição 149 será a mesma da posição 1, visto que a divisão
de 149 por 4 deixa resto 1.
7. Observe a sequência (1, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 3,
3, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 1...). Supondo que a lei de
formação dessa sequência permaneça, deter-
mine o 38o
e o 149o
termos.
O período é de cinco números. Assim, o 38o
termo é 2, pois
a divisão de 38 por 5 deixa resto 3, e o terceiro termo da
sequência é o número 2; o 149o
termo é igual a 3, pois a
divisão de 149 por 5 deixa resto 4, e o quarto termo da se-
quência é o número 3.

14
8. Hoje é quarta-feira. Devo pagar uma dí-
vida daqui a exatamente 90 dias. Em que
dia da semana cairá o 90o
dia?
O período é de sete dias. A divisão de 90 por 7 deixa res-
to 6; portanto o 90o
dia será o sexto elemento da sequên-
cia dos dias da semana iniciada na quinta-feira. Logo, o
90o
dia será terça-feira.
9. Um processo de reflorestamento previa a
plantação de certo número x de mudas de
árvores. No primeiro dia, foram planta-
das 120 árvores, e planejou-se que, nos
dias seguintes, seriam plantadas, por dia,
dez árvores a mais do que no dia anterior.
Sendo assim:
a) quantas árvores serão plantadas no séti-
mo dia?
6 10 + 120 = 180 árvores.
b) qual é o número x, se, no final do dé-
cimo dia, havia sido plantada a metade
do total previsto inicialmente?
No décimo dia = 9 10 + 120 = 210
S = 120 + 130 + 140 + ... + 190 + 200 + 210 =
= 1650 (metade do total)
Total de árvores = 1650 2
x = 3300
10. Observe os seis primeiros termos de uma
sequência.
1 2 3 4
A
B
C
D
(I)
1 2 3 4
A
B
C
D
(II)
1 2 3 4
A
B
C
D
(III)
1 2 3 4
A
B
C
D
(IV)
1 2 3 4
A
B
C
D
(VI)
1 2 3 4
A
B
C
D
(V)
Supondo que a regularidade observada
na formação desses termos seja mantida
para a formação dos demais, isto é, que o
termo (I) seja igual ao termo (VII), que
o termo (II) seja igual ao termo (VIII), e as-
sim por diante, responda:
a) quais quadrículas estarão pintadas no
termo (XXX)?
O período da sequência é de seis termos. A divisão de
30 por 6 resulta resto zero. Assim, o termo (XXX) é igual
ao termo (VI), e nele estarão pintadas as quadrículas C2,
C3, D3 e D4.
b) quantas vezes a quadrícula B2 terá
sido pintada desde o termo (I) até o
termo (XIX)?
A quadrícula B2 é pintada três vezes a cada período, nos ter-
mos (I), (III) e (IV). Até o termo (XIX), incluindo-o, serão três
períodos e mais um termo. Portanto, a quadrícula B2 será
pintada 3 3 + 1 = 10 vezes.
11. Aproveitando as condições
apresentadas na atividade 9 da se-
ção anterior, crie três questões
acompanhadas de sua resolução.

15
Praticamente não há limite para o número de exemplos que
poderão ser criados. O professor poderá permitir que os alu-
nos socializem os exemplos que criaram e que, ao ﬁnal, sele-
cionem 4 ou 5 que, na opinião deles, consideraram os mais
criativos ou os mais difíceis.
12. Atribui-se ao matemático grego Hipsicles
(240 a.C.-170 a.C.) uma regra para criar
uma nova sequência numérica a partir de
outra. O método consiste em tomar uma
sequência numérica (por exemplo, 1, 2, 3,
4, 5, 6, …) e criar outra em que cada termo
seja igual à soma dos anteriores. Isto é:
termos são as raízes da equação x2
– 8x
+ 15 = 0. Encontre o primeiro e o segun-
do termos dessa sequência, considerando
que exista diferença constante entre dois
termos consecutivos.
Resolvendo a equação de 2o
grau, encontraremos como raízes
os números 3 e 5. A sequência será, portanto, (−3, –1, 1, 3, 5).
Assim, os dois primeiros termos serão −3 e −1, respectivamente.
Professor, uma prática que costuma mo-
tivar os alunos e aproveitar, de forma mais
intensa, seus conhecimentos anteriores é so-
licitar-lhes que, com base nas condições desse
problema, criem diversas questões, para que
sejam trocadas e resolvidas por eles mesmos,
sob sua supervisão. Além disso, esse tipo de
atividade é um consistente instrumento no es-
tímulo à metacognição, isto é, estimula cada
aluno a refletir sobre como elabora e mobili-
za suas estratégias de raciocínio durante uma
etapa de resolução de problemas.
Etapa 2 – Sequências definidas por
sentenças matemáticas
Nesta etapa, os alunos serão convidados
a obter sequências numéricas a partir de con-
dições definidas, inicialmente, na língua ma-
terna e, posteriormente, na linguagem mate-
mática. Além disso, desenhando um percurso
inverso ao anterior, uma série de problemas
será proposta para que os alunos obtenham a
expressão do termo geral de determinada se-
quência numérica. Sugerimos que a próxima
atividade seja discutida com os alunos antes
que eles se envolvam com a resolução dos pro-
blemas propriamente dita.
1
1 + 2
1 + 2 + 3
1 + 2 + 3 + 4
1 + 2 + 3 + 4 + 5
...
1
3
6
10
15
...
Sequência nova
PelaregradeHipsicles,asequência(1,2,3,4,...)
gerou a sequência (1, 3, 6, 10, 15, 21, …).
Aplique a regra de Hipsicles e encontre os
oito primeiros termos de duas novas se-
quências numéricas geradas a partir da
sequência (1, 3, 6, 10, 15, 21,...).
As sequências serão: (1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, …) e
(1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, …).
13. Uma sequência numérica crescente é
composta por cinco termos. O terceiro
termo é o número 1, e o quarto e quinto

16
Sequências definidas por sentenças
matemáticas
14. Em uma sequência numéri-
ca, o primeiro termo é uma fra-
ção de numerador 1 e denomi-
nador 4. Os termos seguintes ao primeiro
podem ser obtidos adicionando sempre uma
unidade ao numerador e ao denominador da
fração do termo imediatamente anterior.
a) Quais são os cinco primeiros termos
dessa sequência?
1
4
,
2
5
,
3
6
,
4
7
,
5
8
.
b) Chamando o primeiro termo de a1
, o
segundo termo de a2
, o terceiro de a3
, e
assim por diante, qual é o termo a9
?
9
12
=
3
4
c) Qual é o termo a54
?
54
57
d) Como se pode determinar um termo an
qualquer?
Um termo qualquer an
é uma fração em que o numerador é
igual a n e o denominador é três unidades a mais do que n,
isto é, é igual a n + 3. Assim, an
=
n
n + 3
.
Chamamos a atenção do professor para o
fato de que o conjunto de problemas desta etapa
envolve sequências numéricas de várias nature-
zas, e não apenas as aritméticas e as geométri-
cas, e também para a necessidade de os alunos
escreverem em língua materna a regularidade
expressa na linguagem matemática.
15. Em uma sequência numérica, o primei-
ro termo é igual a 2, e os seguintes são
obtidos pelo acréscimo de três unidades
ao termo imediatamente anterior. Sen-
do assim, responda:
a) quais são os cinco primeiros termos?
(2, 5, 8, 11, 14).
b) qual é o termo a10
?
(29).
c) qual é o termo a20
?
(59).
d) como se pode determinar um termo an
qualquer?
Somando o termo inicial, 2, a um certo número de termos
sempre iguais a 3. Para se obter um termo n qualquer, deve-
mos somar o primeiro termo, 2, com n − 1 termos iguais a 3.
Assim, an
= 2 + 3 (n − 1) = 3n − 1.
Outro raciocínio possível é o seguinte: como o salto de
um termo a outro é constante e igual a 3, podemos supor
que uma expressão geral deva conter o termo 3n. Para
que a1
= 2, é preciso que seja subtraído 1 de 3n. Assim,
an
= 3n − 1.
16. Para se obter os termos de uma sequência
numérica, é necessário fazer o seguinte:
I. Elevar a posição do termo ao quadra-
do, isto é, calcular 12
para o primeiro
termo, 22
para o segundo termo, 32
para
o terceiro termo, e assim por diante.

17
II. Adicionar duas unidades ao resultado
obtido após elevar ao quadrado a posi-
ção do termo.
Para essa sequência numérica, responda:
(3, 6, 11, 18, 27).
b) qual é o 8o
termo?
a8
= 82
+ 2 = 66.
?
a20
= 202
+ 2 = 402.
qualquer?
an
= n2
+ 2.
17. Observe os cinco primeiros termos da se-
guinte sequência numérica:
3, 2,
5
3
,
3
2
,
7
5
.
Demonstre que é possível determinar os
termos dessa sequência a partir da ex-
pressão an
=
n 2
n
,
+
atribuindo a n valores
naturais maiores do que zero.
Para n = 1 a1
=
1 + 2
1
= 3;
Para n = 2, a2
=
2 + 2
2
= 2;
Para n = 3, a3
=
3 + 2
3
=
5
3
;
Para n = 4, a4
=
4 + 2
4
=
6
4
=
3
2
;
Para n = 5, a5
=
5 + 2
5
=
7
5
18. A expressão an
=
n 1
n 1
–
+
é a expressão do
termo geral de uma sequência numérica,
isto é, os termos da sequência podem ser
obtidos se forem atribuídos a n valores
naturais maiores do que zero. Sendo as-
sim, encontre:
a) o termo a1
;
a1
=
1 − 1
1 + 1
= 0.
b) o termo a5
;
a5
=
5 − 1
5 + 1
=
4
6
=
2
3
.
c) o 8o
termo;
a8
=
8 − 1
8 + 1
=
7
9
.
d) a posição do termo que é igual a
9
11
.
O termo
9
11
pode ser escrito como
10 − 1
10 + 1
.
Portanto, ele é o décimo termo.
19. Determinada sequência numérica tem
a1
= 9, a2
= 3, a3
= 1 e a4
= 1
3
. Nessa sequên-
cia, qual é:
a) o 5o
termo?
Cada termo da sequência, a partir do segundo, é obtido pela
divisão do anterior por 3. Assim, o quinto termo será igual a
1
3
÷ 3 =
1
9
.

18
b) o termo a6
?
a6
= a5
÷ 3 =
1
9
÷ 3 =
1
27
.
c) a posição do termo que é igual a
1
81
?
Como 27 é igual a 81 ÷ 3, e
1
27
é o sexto termo,
1
81
é o
sétimo termo.
20. Qual das duas expressões listadas a seguir
é a expressão do termo geral da sequência
da atividade anterior? (Lembre-se de que n
é o número que dá a posição do termo na
sequência, isto é, se n = 2, temos o segundo
termo; se n = 5, temos o quinto termo; e
assim por diante.)
an
=
9
3n
an
= 33 – n
O termo geral da sequência é an
= 33 −n
, que poderá ser
veriﬁcado a partir da substituição de n por números naturais
maiores do que zero.
21. Observe a seguinte sequência dos números
pares positivos: 0, 2, 4, 6, 8, 10, ... Nessa
sequência:
a) qual é o 10o
termo?
O décimo termo é 18.
b) qual é o 15o
termo?
O 15o
termo é 28.
?
a35
= 68.
d) qual é o termo a101
?
a101
= 200.
e) qual é a posição do termo que é igual a
420?
420 é o 211o
termo.
f) como se pode determinar um termo an
qualquer?
Fazendo (n − 1) 2, sendo n um número natural maior do
que zero.
22. Escreva os cinco primeiros termos da se-
quência dos números ímpares positivos.
Em seguida, responda:
1, 3, 5, 7, 9...
a) qual é o 10o
termo?
a10
= 19.
?
a13
= 25.
?
a25
= 49.
qualquer?
Fazendo 2 n − 1, em que n é um número natural maior
do que zero.
23. Observe a seguinte sequência numérica:
1, 4, 9, 16, 25, ... Nessa sequência, responda:
a) qual é o 6o
termo?
O sexto termo é 62
= 36.
?
a7
= 72
= 49.

19
c) qual é a expressão de seu termo geral?
an
= n2
.
24. Uma sequência numérica é
dada pelo seguinte termo geral:
an
= n + 1 .
Para essa sequência, determine:
a) os cinco primeiros termos;
2 , 3 , 2, 5 , 6 .
b) os cinco primeiros termos que sejam nú-
meros inteiros.
Oscincoprimeirostermosrepresentadospornúmerosinteirosse-
rão aqueles em que o radicando é um quadrado perfeito, a saber:
a3
= 2; a8
= 3; a15
= 4; a24
= 5; a35
= 6.
25. Observe a sequência de figuras. Em segui-
da, responda:
a) Quantos quadrinhos brancos deverá ter
a 6a
figura dessa sequência?
A 6a
ﬁgura deverá ter 30 quadrinhos brancos, pois 6 6 − 6 = 30.
b) Escreva uma fórmula que permita cal-
cular a quantidade de quadrinhos bran-
cos, em função da posição n da figura
na sequência. (Sugestão: você pode
organizar os dados em uma tabela como
a que segue.)
Posição da
figura na
sequência
Número de
quadrinhos
pretos
Número de
quadrinhos brancos
1 1 0
2 2 22
− 2
3 3 32
− 3
4 4 42
− 4
n n n2
− n = n (n − 1)
c) Quantos quadrinhos brancos deverá ter
a 39a
figura dessa sequência?
392
− 39 = 39(39 − 1) = 39 · 38 = 1 482.
26. A seguir, estão os primeiros elementos de
uma sequência de figuras que representam
os chamados números quadrangulares. Ana-
lise-os e responda às questões propostas.
1 2 3 4 5
a) Quantos quadrinhos deverá ter o 6o
ele-
mento dessa sequência? E o 10o
termo?
36; 100.
b) Qual é a expressão do termo geral dessa
sequência?
n2
.

20
27. Observe a figura:
1 3 5 7 9
Nessa representação, os números escritos
logo abaixo da figura indicam a quantidade
de quadrinhos de cada um desses conjun-
tos. Sendo assim, responda:
a) qual é a soma dos números escritos
abaixo da figura?
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25.
b) que relação pode ser estabelecida entre
esse resultado e a figura analisada?
A soma dos números escritos abaixo da figura é igual ao to-
tal de quadrinhos que formam a figura. Os números escritos
abaixo da figura são os cinco primeiros naturais ímpares. Sua
soma é 25. O total de quadrinhos da figura é 52
= 25.
c) utilizando os resultados de suas obser-
vações, determine, sem efetuar a adição,
o resultado de 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 +
+ 13 + 15.
8²
= 64.
28. Observe as linhas completas da tabela e
complete as que estiverem em branco.
Adição Descrição
1 + 3 = 4 = 22
A soma dos dois
primeiros números
ímpares é igual ao
quadrado de 2.
1 + 3 + 5 = 9 = 32
A soma dos três
primeiros números
quadrado de 3.
1 + 3 + 5 + 7 =
= 16 = 42
A soma dos quatro pri-
meiros números ímpares
é igual ao quadrado de 4.
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52
A soma dos cinco
primeiros números
quadrado de 5.
1 + 3 + 5 + 7 + 9 +
+ ... + 2 n – 1 = n2
A soma dos n primeiros
números ímpares é igual
a n2
.
Considerações sobre a avaliação
A Situação de Aprendizagem 1 abordou
a regularidade numérica, e também geo-
métrica, observada em algumas sequên-
cias. Além disso, introduziu a ideia de que
é possível obter uma sequência numérica a
partir de uma relação matemática estabele-
cida entre um conjunto discreto (naturais)
e um conjunto de qualquer natureza. São
esses, pois, os elementos importantes a se-

21
rem avaliados. Para tanto, sugerimos que
o professor elabore momentos de avaliação
que contemplem:
a obtenção de termos de maiores ordens de
uma sequência, a partir do conhecimento
dos primeiros termos;
a determinação do termo geral de sequên-
cias numéricas, desde que esses termos ge-
rais se baseiem em expressões conhecidas
pelos alunos, por exemplo, expressões do
tipo a x + b ou a x2
+ b.
Salientamos, também, a importância de
que as avaliações não se restrinjam a situações
individuais. Em alguns momentos, pode-se
contemplar a possibilidade de que os alunos
consultem seu material de aula e, em outros,
seus colegas de grupo. Destacamos, por fim,
o fato de que um trabalho com características
essencialmente indutivas, como é o caso dos
temas desenvolvidos neste Caderno, estimula
sobremaneira a discussão e a tomada de deci-
sões, justificando, dessa forma, a inclusão de
instrumentos de avaliação não individuais.
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
Conteúdos e temas: progressões aritméticas (PA) e progressões geométricas (PG); expressão do termo
geral da PA e da PG.
Competências e habilidades: reconhecer o padrão de regularidade de uma sequência aritmética ou de
uma sequência geométrica; utilizar a linguagem matemática para expressar a regularidade dos padrões
de sequências numéricas.
de Aprendizagem 2
As sequências aritméticas ou geométricas
são bastante estudadas, no Ensino Médio, por
vários motivos, como a pouca exigência algé-
brica e a facilidade de padronizar os conceitos
por intermédio de fórmulas matemáticas.
A baixa exigência algébrica envolvida, es-
pecialmente no estudo das PAs, deve ser, de
fato, valorizada, em detrimento de exercícios
sem qualquer contexto, que exijam a escrita
de equações complexas. Enfatizamos, portan-
to, que se priorizem o desenvolvimento dos
conteúdos e a apresentação de situações-pro-
blema, sob o prisma do reconhecimento da
regularidade da sequência e da generalização
intuitiva do termo geral, colocando em se-
gundo plano, portanto, a simples substitui-
ção de valores em fórmulas decoradas.
Outro aspecto que merece comentário é o
fato de que, em geral, as PAs e as PGs são

22
tratadas de modo independente, uma a cada
tempo, e as PAs vêm sempre antes das PGs.
No entanto, vale destacar que o raciocínio
principal envolvido em um ou em outro tipo
de sequência é o mesmo, ou seja, um valor
constante é o passo que permite obter um
termo a partir do anterior. O fato de que, em
um caso, esse passo é adicionado, enquanto,
no outro, é multiplicado, é algo que compõe
o raciocínio secundário do estudo, cujo re-
conhecimento não costuma trazer qualquer
dificuldade adicional aos alunos.
Dessa forma, apresentaremos, a seguir,
uma série de problemas exemplares, com-
postos, em alguns casos, por PA, em ou-
tros, por PG e, em outras situações, pelos
dois tipos de sequências. Sugerimos que
sejam propostos aos alunos na ordem em
que aparecem.
A atividade 1 pode ter a resolução solicita-
da sem nenhum comentário prévio. Durante
os comentários da correção, o professor pode-
rá valorizar as diversas maneiras de resolução
que eventualmente surgirem. Um tipo de re-
solução importante, que poderá ser levantada
pelo professor, caso não surja dos alunos, é
aquele que considera o passo de cada sequên-
cia como parcela ou fator constante no mo-
mento da escrita da expressão do termo geral
da sequência. Por exemplo, no caso da se-
quência (5, 9, 13, 17, 21, ...), o passo constante
é 4, que, adicionado a cada termo, permite que
se obtenha o seguinte. Nesse caso, a expressão
do termo geral deverá conter, necessariamen-
te, um termo do tipo 4 n. Compreendido isso,
pode-se pensar da seguinte maneira:
Para n = 1, o resultado deve ser igual
a 5, que é o primeiro termo da sequên-
cia. No entanto, ao fazer 4 n ou 4 1, o
resultado obtido é 4. Sendo assim, ainda
falta uma unidade para se obter o pri-
meiro termo. Logo, o termo geral pode
ser este:
an
= 4 n + 1
Testando essa expressão para outros
termos, verificamos que ela é válida, pois:
a2
= 4 2 + 1 = 9
a3
= 4 3 + 1 = 13
Logo, o termo geral da sequência é
mesmo an
= 4 n + 1.
Esse mesmo tipo de raciocínio pode ser
aplicado na determinação do termo geral
de uma PG. Na sequência (2, 6, 18, 54, ...),
por exemplo, o passo constante é 3, que,
quando multiplicado por algum termo,
resulta no termo imediatamente seguinte.
Assim, se sempre se multiplica por 3, o ter-
mo geral da sequência deve conter 3n
. Com
base nessa regularidade, pode-se chegar à
seguinte conclusão:

23
Para n = 1, o resultado deve ser igual
a 2, que é o primeiro termo da sequência.
No entanto, ao fazer 3n
ou 31
, obtemos 3,
e não 2. Logo, deve haver mais um fator
na expressão, a fim de que o resultado
esperado seja obtido. Esse fator é
2
3
,
pois 3
2
3
= 2. Então, o termo geral da
sequência deve ser:
an
=
2
3
3n
Testando essa expressão para outros
termos, verificamos que ela é válida, pois:
a2
=
2
3
32
=
18
3
= 6
a3
=
2
3
33
=
54
3
= 18
Logo, o termo geral da sequência
é mesmo an
=
2
3
3n
, que, simplificando,
pode ser escrito como an
= 2 3n – 1
.
É esperado, nesta Situação, que alguns
alunos adotem procedimento semelhante ao
adotado para a PA, isto é, fazer 3n
e, em segui-
da, subtrair uma unidade, a fim de que 31
– 1
coincida com o primeiro termo da sequência.
Nesse caso, caberá ao professor pedir que os
alunos apliquem a “fórmula” obtida para os
demais termos da sequência, quando, então,
perceberão o equívoco do raciocínio adotado.
Salientamos, novamente, que não é con-
veniente formalizar a adoção de um ou
outro tipo de raciocínio, nem mesmo aquele
descrito anteriormente. Caberá a cada aluno
escolher o raciocínio que considera mais ade-
quado, e caberá ao professor discutir todos os
raciocínios que surgirem, apresentando prós
e contras de cada um, no sentido de fornecer
elementos para que os alunos possam refinar
suas estratégias iniciais.
1. Considere as sequências de
(I) a (VI) para responder às
questões propostas.
(I) (0, 3, 6, 9, 12, ...)
(II) (1, 4, 7, 10, 13, ...)
(III) (2, 5, 8, 11, 14, ...)
(IV) (–2, 4, –8, 16, –32, ...)
(V) (0,2; 0,4; 0,6; 0,8; ...)
(VI) (1, 4, 16, 64, 256, ...)
a) Quais são os três termos seguintes de
cada uma dessas sequências?
(I) 15, 18, 21.
(II) 16, 19, 22.
(III) 17, 20, 23.
(IV) 64, −128, 256.
(V) 1,0; 1,2; 1,4.
(VI) 1 024, 4 096, 16 384.
b) É verdade que o algarismo 8 não apa-
rece em nenhum número da sequência
(II)? Justifique.
Não, pois o algarismo 8 aparece no termo 28, que é o décimo
termo da sequência.
c) É possível que um mesmo número natu-
ral apareça em duas das três primeiras
sequências? Justifique.

24
Não, pois a sequência (I) é formada apenas por núme-
ros que, divididos por 3, deixam resto zero; a sequência
(II) é formada apenas por números que, divididos por 3,
deixam resto 1; a sequência (III) é formada apenas por
números que, divididos por 3, deixam resto 2. Como a
divisão por um número natural diferente de zero (divi-
são euclidiana) não pode apresentar dois restos distintos,
não é possível que um mesmo número apareça em duas
dessas sequências.
d) O número 1 087 é um termo de qual(is)
sequência(s)?
O número 1 087 é um termo da sequência (II), pois a divi-
são de 1 087 por 3 deixa resto 1, e é também elemento da
sequência (V), uma vez que é múltiplo de 0,2.
e) Explique por que o número 137 não
pertence à sequência (II).
A sequência (II) é formada apenas por números que, di-
vididos por 3, deixam resto 1. Logo, o 137 não é termo da
sequência (II), pois a divisão de 137 por 3 deixa resto 2.
f) Qual é o termo geral da sequência (I)?
an
= 3(n – 1), n IN*.
g) Qual é o termo geral da sequência
(II)?
an
= 3n − 2, n IN*.
h) Qual é o termo geral da sequência
(III)?
an
= 3n − 1, n IN*.
i) Qual é o termo geral da sequência
(IV)?
an
= (−2)n
, n IN*.
j) Qual é o termo geral da sequência
(V)?
an
= 0,2 n, n IN*
k) Qual é o termo geral da sequência (VI)?
an
= 4n
÷ 4, n IN*
ou an
= 4n-1
l) Escolha um critério, justificando-o, e se-
pare as seis sequências em dois grupos.
Espera-se, neste item, que os alunos percebam que há,
entre as sequências apresentadas, algumas em que o
passo constante é somado a cada termo e outras em
que o passo constante é multiplicado a cada termo. To-
davia, poderão aparecer outros critérios, e o professor
deverá estar atento para valorizar os critérios surgidos,
mas, também, enfatizar a importância do reconheci-
mento do passo constante das sequências, seja ele so-
mado ou multiplicado.
2. Sabe-se que as Olimpíadas, a Copa do
Mundo e os Jogos Pan-americanos ocorrem
de quatro em quatro anos. Se essas compe-
tições ocorreram nos anos de 2004, 2006 e
2007, respectivamente, e considerando que
continuem a acontecer, segundo essa regra,
por muito tempo, responda:
a) Qual competição ocorrerá em 2118? E
em 2079 e 2017?
As Olimpíadas acontecem em anos em que sua divisão por
4 deixa resto zero, a Copa acontece em anos em que sua di-
visão por 4 deixa resto 2, e os Jogos Pan-americanos aconte-
cem em anos em que sua divisão por 4 deixa resto 3. Assim,
em 2118, aconteceria a Copa do Mundo (resto 2); em 2079,
aconteceriam os Jogos Pan-americanos (resto 3); e, em 2017,
não aconteceria nenhuma dessas três competições (resto 1).

25
b) Haverá algum ano em que ocorrerá
mais de uma dessas três competições?
Explique.
Não é possível, pois qualquer número dividido por 4 deixa
um, e apenas um, desses restos: zero, 1, 2 ou 3.
3. Determinada sequência numérica obedece
à seguinte condição: a diferença entre dois
termos consecutivos é sempre a mesma e
igual a 6. Considerando que o primeiro ter-
mo dessa sequência é –8, responda:
(−8, −2, 4, 10, 16).
?
40
c) qual é o 15o
termo?
76
d) qual é o 20o
termo?
106
e) quanto é a diferença entre a12
e a5
?
42
f) qual é a expressão de seu termo geral,
isto é, qual é a fórmula matemática que
relaciona um termo qualquer (an
) à po-
sição do termo (n)?
an
= 6n − 14.
4. O primeiro termo de uma sequência numé-
rica é 0,02. Para obter os termos seguintes,
basta multiplicar o termo imediatamente
anterior por 5. Sendo assim, responda:
a) qual é o 2o
termo?
0,1
?
0,5
?
2,5
d) qual é o resultado da divisão entre a6
e a4
?
25
e) qual é o termo geral da sequência, isto
é, qual é a fórmula matemática que re-
laciona um termo qualquer (an
) à posi-
ção do termo (n)?
an
= 0,02 5n – 1
.
A resolução dos exercícios anteriores
foi, de certa forma, preparatória para a ca-
racterização das PAs e das PGs. Finalizada
essa etapa, o professor poderá definir PA
e PG por meio de uma discussão com seus
alunos, identificando, entre as sequências
já estudadas, aquelas que atendem a cada
definição dada.
Compreendido o significado de uma PA, o
aluno será capaz de concluir que, partindo do
primeiro termo, para avançar um termo na se-
quência, deverá adicionar o “passo”, ou razão
r, uma vez, isto é, a2
= a1
+ r; da mesma forma,
para avançar dois termos, deverá adicionar
2 r ao primeiro termo, obtendo a3
= a1
+ 2 r.
Por esse processo, espera-se que o aluno reco-
nheça que, para obter o 20o
elemento, deverá
adicionar 19 r ao primeiro termo e escrever:

26
a20
= a1
+ 19 r, e assim sucessivamente. Esse
raciocínio favorecerá a construção, por parte
do aluno, da fórmula do termo geral da PA,
que é dada por an
= a1
+ (n – 1) r.
Além disso, essa compreensão permiti-
rá que o aluno note que, para “passar” de a4
para a11
, deverá avançar sete termos, ou seja,
para obter o termo a11
a partir do termo a4
,
deverá adicionar 7 r ao termo a4
e escrever:
a11
= a4
+ 7 r. Da mesma forma, poderá es-
crever a4
= a11
– 7 r, pois, para “passar” de a11
para a4
, deve “retroceder” sete termos.
Da mesma forma, associa-se às PGs o
significado de que, conhecidos o primeiro
termo e o passo, ou razão q, é possível deter-
minar qualquer termo da sequência a partir
da multiplicação do primeiro termo pela ra-
zão um determinado número de vezes. Assim,
se o aluno compreender que a2
= a1
q, que
a3
= a1
q2
, e assim por diante, compreenderá,
também, que an
= a1
qn – 1
e, generalizando,
que an
= ak
qn – k
.
Destacamos, novamente, a importância de
valorizar o raciocínio dos alunos na obtenção
do termo geral de uma PA ou de uma PG,
em detrimento de restringir a resolução dos
problemas à utilização das fórmulas obtidas.
O professor deverá estar atento e observar
quais estratégias de resoluções os alunos es-
tão utilizando, a fim de distinguir aqueles que
utilizam fórmulas prontas como um mero
atalho para a aplicação do conceito que já
dominam – e, portanto, podem ser estimu-
lados nesse sentido – daqueles alunos que,
sem terem atingido a compreensão desejada,
buscam adaptar as condições dos problemas
às fórmulas, como se eles se questionassem
constantemente sobre “qual fórmula devem
utilizar”. Casos dessa natureza certamente
merecerão maior atenção do professor.
É importante que o professor também ex-
plore o seguinte fato: cada termo de uma PG,
a partir do segundo, é a média geométrica en-
tre seu antecessor e seu sucessor. O exemplo a
seguir serve como ilustração:
Na PG (4, 8, 16, 32, 64 ...), 16 é média
geométrica de 8 e 32, pois 16 = 8 32.
Após a discussão dos problemas ante-
riores e das expressões do termo geral das
PAs e das PGs, o professor poderá pedir
que os alunos resolvam alguns problemas
exemplares.
5. Considere que: uma PA é uma sequência
(a1
, a2
, a3
, ..., an
, ...) de números an
, em
que a diferença entre cada termo an + 1
e
seu antecedente an
é uma constante. Essa
diferença constante é chamada de razão
da PA e é representada por r. Assim, em
uma PA de razão r, temos: an + 1
– an
= r,
para todo n natural, n ≥ 1. De acordo com
essa definição, indique quais das sequên-
cias a seguir são PAs. Em caso afirmativo,
determine a razão.

27
a) (2, 5, 8, 11, ...).
b) (2, 3, 5, 8, ...).
c) (7, 3, –1, –5, ...).
d)
2
3
,
2
3
,
2
3
,
2
3
, ... .
e) –
3
2
, –1, –
1
2
, 0, ... .
f) 6, 2,
2
3
,
2
9
, ... .
São PAs as seguintes sequências: a) (razão: 3);
c) (razão −4); d) (razão: 0); e) (razão:
1
2
).
6. Considere as sequências dadas por seus
termos gerais:
I) an
= 4 n + 1, com n IN, n 1;
II) an
= 4 n2
– 1, com n IN, n 1;
III) a1
= 2 e an
= an – 1
3, com n IN, n 2;
IV) a1
= 2 e an
= an – 1
+ 3, com n IN, n 2.
Obtenha os cinco primeiros termos de cada
uma dessas sequências e destaque a razão
daquelas que forem PAs.
I) 5, 9, 13, 17, 21. II) 3, 15, 35, 63, 99.
III) 2, 6, 18, 54, 162. IV) 2, 5, 8, 11, 14.
São PAs as seguintes sequências: (I), com razão = 4, e (IV),
com razão = 3.
7. Considere que: uma PG é uma sequência
(a1
, a2
, a3
, …, an
, ...), em que cada termo
an
, a partir do segundo, é obtido pela mul-
tiplicação de seu antecedente an – 1
por uma
constante diferente de zero.
De acordo com essa definição, quais das
sequências a seguir são PGs? Justifique sua
resposta.
I) (1, 3, 9, 27, ...); II) (1, 2, 6, 24, ...);
III) 36, 12, 4,
4
3
, ... ;IV) (1, –2, 4, –8, ...);
V) 3,
8
3
,
7
3
, 2, ... ; VI) ( , , , ,...)2 2 2 2 4 .
São PGs: (I), de razão 3; (III), de razão
1
3
;
(IV), de razão −2; (VI), de razão 2 .
8. Considere as sequências:
I) an
= 3 n + 1, com n IN, n 1;
II) an
= 3 n2
− 1, com n IN, n 1;
III) an
= 3 n, com n IN, n 1;
IV) a1
= 3 e an
= an – 1
2, com n IN, n 2;
V) a1
= 3 e an
= an – 1
+ 2, com n IN, n 2.
Determine os cinco primeiros termos de
cada sequência e destaque a razão daque-
las que forem PGs ou PAs.
I) 4, 7, 10, 13, 16.
II) 2, 11, 26, 47, 74.
III) 3, 6, 9, 12, 15.
IV) 3, 6, 12, 24, 48.
V) 3, 5, 7, 9, 11.
(IV) é PG de razão 2. São PAs: (I), de razão 3; (III), de razão 3;
e (V), de razão 2.
9. Observe a se quência de figuras e responda
às questões propostas.

28
1 32 4
a) Quantos quadradinhos comporão a quin-
ta figura dessa sequência? E a sexta figura?
Na quinta figura, 48 quadradinhos, e, na sexta, 96 quadradinhos.
b) Associeaessasequênciaoutraqueindique
o número de quadradinhos de cada figura.
Essa sequência é uma PG? Justifique.
(3, 6, 12, 24, ...) é PG, pois cada termo an
é obtido a partir da
multiplicação do termo anterior an – 1
por 2.
c) Construa uma fórmula que possa ser uti-
lizada para determinar um termo qual-
quer dessa sequência. Para auxiliá-lo
nessa tarefa, a tabela a seguir organiza os
dados, a fim de que as regularidades se-
jam mais facilmente observadas, elemen-
to necessário à construção da fórmula.
Podemos escrever a fórmula desta maneira: an
= 3 2n – 1
.
Esse problema poderá favorecer uma dis-
cussão sobre a obtenção da fórmula do termo
geral de uma PG.
Posição
de um
termo na
sequência
Cálculo
Quantidade de
quadradinhos
1 3 3
2 3 2 = 3 21
6
3 6 2 = 3 2 2 = 3 22
12
4 12 2 = 3 2 2 2 = 3 23
24
... ... an-1
n (an-1
) 2 = 3 2n-1
an
= (an-1
) 2 = 3 2n-1
Neste caso, o aluno pode obter uma fór-
mula de recorrência: an
= (an – 1
) 2 e a fórmula
do termo geral: an
= 3 2n – 1
.
10. Nesta figura, cada quadradinho é formado
por quatro palitos de comprimentos iguais.
1 2 3 4 5
...
a) A sequência formada pelas quantidades
de palitos necessários para a construção
das figuras resulta em uma PA? Justifi-
que sua resposta.
A sequência formada pelas quantidades de palitos é, sim,
uma PA, pois cada figura tem seis palitos a mais que a prece-
dente: 4, 10, 16, 22, 28, ...
b) Quantos palitos serão necessários para a
construção da sexta figura? E da sétima?
28 + 6 = 34 e 34 + 6 = 40. Serão necessários 34 palitos para
compor a sexta figura e 40 para compor a sétima.
c) Quantos palitos serão necessários para
construir a 78a
figura?
4 + 77 6 = 466.
d) Escreva uma fórmula que expresse a
quantidade de palitos da figura que
ocupa a posição n nessa sequência.
an
= 4 + (n − 1) 6 = 6n − 2.
11. Sabe-se que o 9o
termo de uma PA de ra-
zão 4 é 29. Qual é o 20o
termo dessa PA?
a20
= 73. Para determinar o 20o
termo de uma PA é suficiente adi-
cionar ao 9o
termo uma parcela que é igual ao produto 11 4,

29
pois,para“passar”do9o
ao20o
,énecessário“avançar”11termos,
ou seja, a20
= a9
+ 11 r. Não é necessário, portanto, encontrar,
antes, o primeiro termo para se obter o vigésimo.
12. Sabe-se que a sequência (8, x, –4, y) é uma
PA. Determine os valores de x e y.
Em toda PA, temos a3
− a2
= a2
− a1
−4 − x = x − 8 x = 2.
Com o mesmo raciocínio, escrevemos y − (−4) = −4 − x
y + 4 = −4 − 2 y = −10. Nesse caso, temos: (8, 2, −4, −10).
13. Invente uma PA. Separe ape-
nas os termos cuja posição n é in-
dicada por um número múltiplo de
6 e forme outra sequência de números. Essa
nova sequência também é uma PA? Em
caso de resposta afirmativa, determine a
razão da PA. Justifique sua resposta.
A nova sequência será uma PA, cuja razão é igual ao produto
do número 6 pela razão da PA anterior.
14. Determine o 8o
termo de cada uma das
PGs:
I) (1, 3, 9, 27, ...) II) 8, 4, 2, 1,
1
2
, …
a8
= 2187 a8
=
1
16
15. Determine o 12o
termo de uma PG de ra-
zão 2, sabendo que o quinto termo dessa
sequência é 4.
a12
= 512.
16. Uma bola é lançada de uma altura de
18 m, e seu impacto no solo provoca sal-
tos sucessivos, de tal forma que, em cada
salto, a altura que ela atinge é igual a 80%
da altura alcançada no salto anterior. Que
altura será alcançada pela bola quando
ocorrer o 5o
salto? E o 10o
salto? (Use uma
calculadora.)
A altura atingida no quinto salto corresponde ao sexto termo
de uma PG em que o primeiro termo é igual a 80% de 18 e a
razão é 0,8. Assim, a6
= 18 0,85
5,898 m. A altura do décimo
salto, obedecendo a essa lógica, será: a11
= 18 0,810
1,933 m.
17. Dada a PG
1
2
, x, 32, y , determine os
valores de x e y.
Em toda PG, cada termo, a partir do segundo, é a mé-
dia geométrica do antecessor e do sucessor. Neste caso,
x = 1
2
32 = 4. Por outro lado, pela deﬁnição de PG,
y
32
=
32
x
y
32
=
32
4
y = 256. Nesse caso, temos:
1
2
, 4, 32, 256
.
18. Suponha que a população de uma cidade
tenha uma taxa de crescimento constante
e igual a 20% ao ano. No fim do ano 2007,
a população era de 50 mil habitantes.
a) Calcule a população da cidade ao fim
de cada um dos quatro anos seguintes e
escreva os resultados obtidos em forma
de sequência.
Professor, estabeleça com seus alunos uma linguagem como:
P: a população inicial; P1
: a população um ano depois; P2
: a
população dois anos depois; e assim por diante.
P1
= 50 000 + 20% de 50 000 = 50 000 + 0,2 50 000 = 60 000.
P2
= 60 000 + 20% de 60 000 = 60 000 + 0,2 60 000 = 72 000.
Fazendo os demais cálculos, obtêm-se as populações P3
e P4
:
86 400 e 103 680, respectivamente.

30
b) A sequência obtida é uma PG? Em caso
afirmativo, qual é a razão?
A sequência (50 000, 60 000, 72 000, 86 400, 103 680, ...) é uma
PG de razão 1,2, pois:
60 000
50 000
=
72 000
60 000
=
86 400
72 000
=
103 680
86 400
= 1,2.
Assim, para se obter o termo sucessor de um termo conheci-
do, basta multiplicar este último por 1,2, ou seja, Pn + 1
= 1,2 Pn
.
c) Encontre uma fórmula que permita cal-
cular a população dessa cidade daqui a
n anos, contados a partir de 2007.
P1
=50 000 1,21
P2
=50 000 1,21
. 1,2 = 50 000 1,22
P3
=50 000 1,22
1,2 = 50 000 1,23
Assim, Pn
= 50 000 1,2n
.
Essa fórmula pode ser generalizada para Pn
=P0
(1 + i)n
, sendo
i a taxa de crescimento.
19. Suponha que o valor de um automóvel di-
minua a uma taxa constante de 10% ao ano.
Hoje, o valor desse automóvel é R$ 20 mil.
Professor, convém ressaltar que a taxa,
nesse problema, é negativa. Se há uma di-
minuição de 10% ao ano, o valor do carro
passa a ser de 90% sobre o valor anterior.
Utilizando os resultados da atividade ante-
rior, discuta com os alunos que, para calcu-
lar o preço do carro daqui a um ano, é su-
ficiente multiplicar o valor inicial do carro
por 0,9, pois P1
= P0
(1 – 0,1) = P0
0,9.
a) Calcule o valor desse automóvel daqui a
quatro anos.
R$ 13 122,00.
b) Encontre uma fórmula que permita cal-
cular o preço desse automóvel daqui a n
anos.
Pn
= 20 000 0,9n
.
Tratamento das progressões sob o ponto de
vista funcional
Ao obter os termos de uma PA por meio
da lei de formação, utilizando a fórmu-
la do termo geral ou de recorrência, o alu-
no trabalha, intuitivamente, com a noção
de função, pois associa cada índice ao ter-
mo correspondente. Ou seja, todo número
natural (n) que é índice na sequência está
associado a um único número real. A fór-
mula relativa à lei de formação da PA é a
expressão algébrica que representa a função.
Nesse caso, temos uma função f: S IR,
sendo S IN*.
Assim, o domínio dessa função é forma-
do pelos índices dos termos da PA, isto é,
D(f) = S = {1, 2, 3, 4, ...}. O contradomí-
nio dessa função é IR, e o conjunto imagem
é formado pelos termos da PA, ou seja,
Im(f) = {a1
, a2
, a3
, ..., an
, ...}.
A representação gráfica da função que cor-
responde a uma PA é um conjunto de pontos
que pertencem a uma reta. Todavia, o gráfico
não é a reta que contém esses pontos. Toman-
do como exemplo a PA (1, 4, 7, 10, 13, ...),
na qual a1
= 1, a2
= 4, a3
= 7, a4
= 10, e assim
sucessivamente, sua representação gráfica é a
figura a seguir.

31
a4
= 10
a3
= 7
a2
= 4
a1
= 1
1 2 3 4
Nesse caso, temos: D(f) = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
Im(f) = {1, 4, 7, 10, 13, ...} e an
= 3n – 2
Essa terminologia somente deverá ser des-
tacada para o aluno quando esse assunto for
retomado, posteriormente, nesta série, no
estudo da função polinomial do 1o
grau.
Ao aplicar a fórmula do termo geral ou de
recorrência para a determinação dos elemen-
tos de uma PG, da mesma maneira que se faz
para uma PA, os estudantes também utilizam,
intuitivamente, a ideia de função (todo número
natural (n) que é índice na sequência está asso-
ciado a um único número real), pois associam
cada índice ao termo correspondente.
A fórmula que indica a lei de formação da
PG corresponde à expressão algébrica que
representa a função. Nesse caso, temos uma
função f: T IR, sendo T IN*.
A expressão do termo geral de uma PG,
an
= a1
qn – 1
, reflete o crescimento expo-
nencial de an
em função de n. Assim como o
tratamento funcional das PAs está associa-
do ao estudo das funções afins, esse tipo de
tratamento para as PGs será feito no estudo
das funções exponenciais. Portanto, não se
trata de, neste momento, apresentar aos alu-
nos toda a terminologia adotada no estudo
das funções, mas apenas apontar relações
que serão exploradas mais adiante. Os pro-
blemas seguintes são exemplos de como a
apresentação inicial desse tratamento pode
ser realizada.
20. Um conjunto A é forma-
do apenas pelos seguintes ele-
mentos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. As-
sim, podemos escrever: A = {1, 2, 3, 4, 5,
6}. Um conjunto B é formado por ele-
mentos numéricos obtidos a partir dos
elementos do conjunto A, da seguinte
forma: cada elemento de B é 4 unidades a
mais do que o triplo do elemento corres-
pondente de A. Dito de outra forma, se
chamarmos cada elemento do conjunto
A de n, e cada elemento do conjunto B de
p, temos: p = 4 + 3n.
a) Quais são os elementos do conjunto B?
B = {7, 10, 13, 16, 19, 22}.

32
b) Qual é o tipo de sequência numérica for-
mada pelos elementos do conjunto A?
Uma PA de razão 1.
c) Qual é o tipo de sequência numérica for-
mada pelos elementos do conjunto B?
Uma PA de razão 3.
21. Cada elemento de um conjunto D será obti-
do a partir de um elemento correspondente
do conjunto C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, da seguin-
te forma: d = –5c + 15, em que c represen-
ta um elemento do conjunto C e d repre-
senta um elemento do conjunto D.
a) Quais são os elementos do conjunto D?
D = {10, 5, 0, −5, −10, −15}.
b) Qual é o tipo de sequência numérica for-
mada pelos elementos do conjunto D?
Uma PA de razão −5.
22. Determinada regra matemática “transfor-
ma” cada elemento do conjunto E = {1, 2, 3,
4, 5, 6, ...} em outro número, conforme mos-
tra a seguinte representação:
71
R
132
E
193
G
254
R
315
A
a) Qual é o resultado associado ao nú-
mero 6?
37
b) Qual é o resultado associado ao nú-
mero 10?
61
c) Se cada elemento do conjunto E for
identificado pela letra n, e cada resul-
tado for identificado pela letra p, qual
será a equação matemática que rela-
ciona p e n?
6n + 1 = p
d) Ordenando os resultados obtidos, qual
ocupará a 9a
posição?
55
e) Qual é o tipo de sequência numérica
formada pelos elementos do conjunto
dos resultados?
Uma PA de razão 6 e primeiro termo 7.
23. Na Antiguidade, era muito
comum associar adivinhações a
problemas matemáticos. Veja este
exemplo:
“Quando ia a Bagdá
Encontrei um homem com 7 mulheres
Cada mulher tinha 7 sacos
Cada saco, 7 gatos
Cada gato, 7 gatinhos.
Gatinhos, gatos, sacos e mulheres
Quantos iam a Bagdá?”

33
Escreva uma sequência com os elementos
da charada e aponte que tipo de sequência
numérica é formada.
(1, 7, 49, 343, 2 041). Trata-se de uma PG de razão 7.
24. Um número é chamado de palíndromo quan-
do é o mesmo se lido da esquerda para a di-
reita ou da direita para a esquerda. Assim, os
números 55, 121 e 2 002 são palíndromos.
a) Um conjunto A é formado por todos os
números palíndromos de dois algaris-
mos. Quais são os elementos de A e qual
é o tipo de sequência numérica formada
por esses elementos?
A = {11, 22, 33, 44, …, 99}. Trata-se de uma PA de razão 11.
b) Um conjunto B é formado por todos
os números palíndromos de três alga-
rismos. Observando os elementos do
conjunto B, podemos dizer que eles for-
mam uma PA? Justifique sua conclusão.
Construindo o conjunto B = {101, 111, 121, 131, 141, 151, …},
temos a impressão de que ele é uma PA de razão 10. Contudo,
escrevendo mais alguns termos na sequência (…, 171, 181, 191,
201, 211, …), observamos que, na passagem do algarismo das
centenas de 1 para 2, a série de palíndromos é quebrada.
A sequência dos números de três algarismos que iniciam
por 2 seria: (202, 212, 222, …). O mesmo ocorrerá na passa-
gem das centenas que terminam com 2 e começam com 3
(…, 292, 302, 312, …). Portanto, a sequência de palíndromos
de 3 algarismos não é uma PA.
O desenvolvimento apresentado nesta
Situação de Aprendizagem para o tratamento
das progressões priorizou dois aspectos:
a abordagem comum das PAs e PGs;
a determinação dos termos gerais das
PAs ou das PGs com base na regularida-
de observada nas sequências, em detri-
mento do uso das conhecidas fórmulas
que, em geral, os alunos decoram e usam
mecanicamente.
Emrelaçãoaoprimeiroaspecto,relativoao
tratamento comum dos dois tipos de sequên-
cias, julgamos importante que o professor le-
ve-o, de fato, em consideração no momento
da elaboração de avaliações, propondo, por
exemplo, questões semelhantes aos proble-
mas 9 e 10.
É comum os alunos utilizarem as fór-
mulas dos termos gerais da PA e da PG na
resolução de problemas. Não há por que
evitar tal conduta, mas também devem-se
propor situações em que o simples uso da
fórmula não conduza diretamente ao resul-
tado procurado. Nesse sentido, apresenta-
mos, nesta Situação de Aprendizagem, al-
guns modelos, como é o caso, por exemplo,
da atividade 3.
Por fim, salientamos, novamente, a ne-
cessidade da existência de momentos de
avaliação em que os alunos possam trocar
ideias com outros colegas de grupo e mes-
mo consultar suas anotações. Além disso,
o professor poderá pedir que os alunos de-
monstrem seu conhecimento sobre o assun-
to criando problemas e/ou contextos em
que os conceitos possam, claramente, ser
aplicados.

34
SOMA DOS TERMOS DE UMA PA OU DE UMA PG FINITAS E
APLICAÇÕES À MATEMÁTICA FINANCEIRA
Conteúdos e temas: progressões aritméticas (PA) e progressões geométricas (PG): termos gerais e soma
dos termos; juros compostos, processos simples de capitalização e de amortização.
Competências e habilidades: utilizar a linguagem matemática para expressar a regularidade dos padrões
de sequências numéricas ou geométricas; aplicar conhecimentos matemáticos em situações do cotidiano
financeiro; generalizar procedimentos de cálculo com base em expressões matemáticas associadas ao
estudo das progressões numéricas.
de Aprendizagem 3
Esta Situação de Aprendizagem é dividida
em duas etapas. A primeira etapa é composta
por problemas exemplares para a construção
de significados da soma dos elementos de uma
sequência, e a segunda etapa é toda dirigida
para a aplicação da soma de elementos de
uma PA ou de uma PG em alguns casos típi-
cos da Matemática Financeira.
O cálculo da soma dos termos de uma PA
ou de uma PG é um bom momento para se
retomar e aprofundar com os alunos a noção
de algoritmo em Matemática, pois podemos
entender o cálculo da soma de qualquer um
desses dois tipos de sequência como um cál-
culo realizado a partir de certa ordenação de
procedimentos que conduzem, com eficiên-
cia, ao resultado procurado.
No caso de uma PA do tipo (a1
, a2
, a3
, ..., an – 3
,
an – 2
, an – 1
, an
), o professor pode explorar a
propriedade da equidistância dos extremos,
isto é, a1
+ an
= a2
+ an – 1
= a3
+ an – 2
= ..., a
fim de desenvolver estratégias para o cálculo
da soma de seus termos, em um trabalho que
antecede a construção e utilização da fórmula
da soma dos termos de uma PA.
Por exemplo, para o cálculo da soma dos
200 primeiros números naturais, indicada por:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + 197 + 198 +
+ 199 + 200,
o aluno pode ser auxiliado no sentido de ob-
servar que
1 + 200 = 2 + 199 = 3 + 198 = 4 + 197 =
= ... = 201.
Nesse caso, obterá cem somas iguais a 201
e, finalmente, concluirá que S200
= 100 201 =
= 20100. Podemos, também, dizer que a soma
dos 200 números naturais é igual ao produto
de 200 por
201
2
, ou seja, o produto de 200

35
pela média aritmética dos termos equidistan-
tes dos extremos.
No caso de sequências que apresentam nú-
mero ímpar de termos, como 1, 4, 7, 10, 13,
16, 19, de sete termos, o aluno poderá utilizar
a seguinte estratégia:
1 + 19 = 4 + 16 = 7 + 13 = 20.
Assim, são obtidas três somas iguais a 20.
Como o número 10, que é o termo central (me-
diana), não foi adicionado, a soma dos termos
dessa PA será representada da seguinte forma:
S7
= 3 20 + 10 = 60 + 10 = 70.
Nesse exemplo, é importante destacar que
a soma dos sete termos dessa PA 1 + 4 + 7 +
+ 10 + 13 + 16 + 19 é igual a 7 10, sendo 10
a média aritmética dos termos equidistantes
dos extremos.
Essa sequência de passos para se ob-
ter a soma dos termos de uma PA pode ser
vista como um algoritmo que permite rapi-
dez e precisão no cálculo e, por isso mesmo,
pode e deve ser bem compreendida e utilizada
sempre que possível. No momento que julgar
oportuno, o professor poderá pedir que os
próprios alunos generalizem a estratégia que
adotam particularmente, em uma ou outra se-
quência, para uma sequência aritmética qual-
quer, obtendo-se, então, a expressão
= .
No caso de ser necessário obter a soma dos
termos de uma PG, o professor poderá lançar
mão, novamente, da ideia de um algoritmo
que permita agilizar o cálculo, mostrando aos
alunos como fazê-lo em alguns casos específi-
cos, como neste exemplo:
S = 2 + 6 + 18 + 54 + 162.
Os termos dessa série formam uma PG de
razão 3. A primeira providência para se obter
o resultado sem efetuar a adição termo a ter-
mo é multiplicar toda a expressão pelo valor
da razão.
3 S = 3 (2 + 6 + 18 + 54 + 162)
3 S = 6 + 18 + 54 + 162 + 486.
Isso feito, teremos duas expressões e sub-
trairemos uma da outra, de forma que os vá-
rios pares de termos iguais sejam cancelados.
S = 2 + 6 + 18 + 54 + 162
3 S = 6 + 18 + 54 + 162 + 486
–2 S = 2 – 486
–2 S = – 484 S = 242
Essa sequência de passos, ou esse algorit-
mo, permite a obtenção da soma dos termos
de uma PG de modo mais rápido e eficaz do
que o cálculo da soma termo a termo. Co-
mentando o fato com seus alunos, o professor
poderá pedir que algumas somas sejam obti-
das dessa maneira e, analogamente ao que foi
realizado para a PA, pedir que generalizem
o algoritmo em uma fórmula que possa ser

36
aplicada a qualquer tipo de PG. Nessa tarefa,
os alunos percorrerão as seguintes etapas:
PG: (a1
, a2
, a3
, ..., an–3
, an–2
, an–1
, an
)
Sn
= a1
+ a2
+ a3
+ ... + an–1
+ an
(I)
Multiplica-se toda a soma pela razão q:
q Sn
=a1
q+a2
q+a3
q+...+an–1
q+an
q(II)
Subtrai-se (II) de (I), eliminando-se os pa-
res de termos iguais:
Sn
= a1
+ a2
+ a3
+ ... + an–1
+ an
(I)
q Sn
=a1
q+a2
q+a3
q+...+an–1
q+an
q(II)
Sn
– q Sn
= a1
– an
q
Assim, “sobram” apenas o último termo
de (II) e o primeiro termo de (I).
Isola-se Sn:
Sn
– q Sn
= a1
– an
q
Sn
(1 – q) = a1
– an
q Sn
=
a1
– an
q
1 – q
ou Sn
=
an
q – a1
q – 1
.
A expressão da soma dos termos de uma
PG, escrita da forma apresentada anterior-
mente, em função do número de termos (n)
e do último termo (an
), tem mais significa-
do para os alunos do que escrita em função
apenas da razão (q) e do número de termos
(n). Por isso, convém ao professor trabalhar
alguns problemas antes de mostrar aos alu-
nos a segunda maneira de escrever a mesma
expressão.
Sn
– q Sn
= a1
– an
q
Sn
– q Sn
= a1
– a1
qn–1
q
Sn
– q Sn
= a1
– a1
qn
= =
Soma dos termos de uma PA ou de
uma PG finita
1. Calcule a soma dos termos da
progressão (10, 16, 22, ..., 70).
440.
2. Calcule a soma dos termos da progressão
(13, 20, 27, ...), desde o 21o
termo até o 51o
.
7 998.
3. Calcule a soma dos números inteiros, divi-
síveis por 23, existentes entre 103 e 850.
Os números inteiros, divisíveis por 23, entre 103 e 850, for-
mam a PA de razão 23: (115, 138, ..., 828). Utilizando a fórmula
do termo geral, obtemos n = 32, e aplicando a fórmula da
soma dos termos da PA, obtemos o resultado 15 088.
4. A figura a seguir apresenta os primeiros
elementos de uma sequência de números
chamados números triangulares.

37
a) Escreva a sequência numérica correspon-
dente a essa figura, considerando o núme-
ro de bolinhas que formam cada triângulo:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36.
b) Que regularidade você observou na
construção desses números triangulares?
Resposta pessoal. Todavia, é conveniente destacar que uma linha
debolinhas,apartirdainferior,temsempreumabolinhaamenos.
c) Escreva uma fórmula que permita calcu-
lar um termo qualquer dessa sequência,
utilizando a recorrência, ou seja, definin-
do um termo a partir de seu precedente.
a1
= 1 e an
= an–1
+ n.
d) Construa uma fórmula que calcule um
termo qualquer dessa sequência, sem ne-
cessariamente recorrer ao termo anterior.
Para auxiliá-lo nessa tarefa, você pode or-
ganizar os dados na tabela a seguir.
Durante a resolução desse problema, os
alunos podem perceber que um termo qual-
quer da sequência de números triangulares
pode ser expresso por uma fórmula de recor-
rência, incluindo duas informações:
a1
= 1 e an
= an–1
+ n.
Podem, também, organizar os dados em uma
tabela, como dito anteriormente. Essa estratégia
os levará à fórmula T do termo geral, que pode
ser obtida pela aplicação da fórmula da soma dos
termos da PA de n termos, com a1
= 1 e razão 1:
T = (1 + n) n
2
= n2
+ n
2
.
Posição de
uma termo
na sequência
Processo de
contagem das
bolinhas
Quantidade de
bolinhas em
cada termo
1 1 1
2 1 + 2 3
3 1 + 2 + 3 6
4 1 + 2 + 3 + 4 10
... ... ...
Após a discussão sobre as questões dessa
atividade, o professor pode, ainda, explorar os
números triangulares, incentivando seus alunos
a descobrir outras propriedades interessantes.
Por exemplo, propondo questões como estas:
(I). Observe que 61 = 55 + 6 (61 é um núme-
ro natural qualquer; 55 e 6 são números
triangulares). Represente o número 84
em forma de adição de, no máximo,
três números triangulares.
Pode ser escrito como a soma: 45 + 36 + 3.
(II). Adicione dois números triangulares
consecutivos. Que característica você
percebe nessa soma?
A soma de dois números triangulares consecutivos é igual a
um número quadrado perfeito:
1 + 3 = 4; 3 + 6 = 9;
6 + 10 = 16; 10 + 15 = 25.
5. A seguir, estão os primeiros elementos de
uma sequência de figuras que representam
os chamados números pentagonais.
1 2 3 4 5

38
a) Quantas bolinhas deve ter a sexta figura
dessa sequência? E a sétima?
51 e 70, respectivamente.
b) Observe as regularidades que existem
no processo de construção da Figura
2 a partir da Figura 1, no processo de
construção da Figura 3 a partir da Fi-
gura 2, e assim por diante. Organize os
dados na tabela a seguir e, depois, pro-
cure construir uma fórmula que permi-
ta determinar a quantidade de bolinhas
da Figura n nessa sequência.
Professor, com relação aos números pentago-
nais, reiteramos que a construção de uma tabela
como esta favorece a obtenção de uma fór-
mula de generalização:
Posição da
figura na
sequência
Cálculo
Número de
bolinhas
1 1 1
2
1 + 4
a1
+ 4
5
3
5 + 3 3 – 2
a2
+3 3 – 2
12
4
12 + 3 4 – 2
a3
+ 3 4 – 2
22
5
22 + 3 5 – 2
a4
+ 3 5 – 2
35
... ... ...
n – 1
n an – 1
+ 3 n – 2 an
= an – 1
+ 3 n – 2
Caso o aluno encontre dificuldades, durante a
resolução deste problema, o professor pode pro-
por questões que o ajudem a perceber que, a par-
tir da segunda figura, cada termo an
da sequência
podeserobtidopeloacréscimodetrêsfileirasden
bolinhas à figura anterior (an – 1
), devendo ser sub-
traídas duas unidades, que correspondem às duas
bolinhas que se sobrepõem em dois vértices do
pentágono. No entanto, a fórmula obtida é por
recorrência, e a obtenção da fórmula geral é um
pouco mais difícil, pois cada termo é obtido por
meio de seu antecessor, adicionando a este 3n – 2
bolinhas. Os números que são adicionados estão
na sequência 4, 7, 10, 13, 16, ...
Posição da
figura na
sequência
Cálculo
1 1
2 1 + 4
3 1 + 4 + 7
4 1 + 4 + 7 + 10
5 1 + 4 + 7 + 10 + 13
... ...
n 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + ... + 3 n – 2
A expressão do termo geral dessa soma pode
ser obtida fazendo a1
= 1 e an
= 3 n + 2 na ex-
pressão geral da soma da PA, da seguinte forma:
T = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + … + 3 n – 2 =
=
(a1
+ an
) n
2
=
(1 + 3n – 2) n
2
=
(3n – 1) n
2
=
=
3 n2
– n
2
.

39
Assim, o polinômio 3 n2
2
– n
2
, sendo n um
número natural diferente de zero, permite
a determinação de um número pentagonal
que ocupa a posição n na sequência. Por
exemplo, o sétimo número pentagonal da
sequência é:
T7
=
3 72
2
–
7
2
=
3 49
2
–
7
2
=
140
2
= 70
6. Considere a PG (1, 2, 4, 8, ...). Calcule a
soma dos 20 primeiros termos dessa PG,
deixando indicada a potência.
S20
= 1
(220
− 1)
2 − 1
S20
= 220
− 1
7. Resolva a equação 2 + 4 + 8 + ... + x =
= 510, sabendo que as parcelas do primeiro
membro da equação estão em PG.
A razão da PG é 2.
Portanto, 2
(2n
− 1)
2 − 1
= 510
2n
− 1 = 510 ÷ 2 2n
– 1 = 255
2n
= 256
n = 8
Logo, x = a8
= 2 28 –1
x = 256.
8. (Vunesp – 2003) Várias tábuas iguais estão
em uma madeireira. A espessura de cada
tábua é 0,5 cm. Forma-se uma pilha de tá-
buas colocando-se uma tábua na primeira
vez e, em cada uma das vezes seguintes,
tantas quantas já tiverem sido colocadas
anteriormente.
Pilha na
1a
vez
Pilha na
2a
vez
Pilha na
3a
vez
Ao final de nove operações, responda:
a) quantas tábuas terá a pilha?
A sequência da quantidade de tábuas colocadas é:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256,...
O 9o
termo da sequência é 256. Portanto, após nove opera-
ções a pilha teria 256 tábuas.
b) qual será a altura da pilha (em metros)?
A altura da pilha será igual a 256 0,5 = 128 cm = 1,28 m.
9. Uma pessoa compra uma televisão para
ser paga em 12 prestações mensais. A pri-
meira prestação é de 50 reais e, a cada
mês, o valor da prestação é acrescido em
5% da primeira prestação. Quando aca-
bar de pagar, quanto a pessoa terá pago
pela televisão?
Trata-se de calcular a soma 50,00 + 52,50 + 55,00 + 57, 50 +
+ … + 77,50, que resulta em R$ 765,00.
10. A primeira parcela de um financiamento
de seis meses é de 200 reais, e as de-
mais são decrescentes em 5%. Assim, a
segunda parcela é 5% menor do que a
primeira, a terceira parcela é 5% menor
do que a segunda, e assim por diante.
Adotando 0,955
= 0,77 e 0,956
= 0,73,
calcule:
a) Qual é o valor da última parcela?
Temos uma PG de razão (1 − 0,05) = 0,95 e queremos deter-
minar o sexto termo.
a6
= 200 0,955
= R$ 154,00.
b) Quanto aproximadamente terá sido pago
quando a dívida for totalmente quitada?

40
Devemos calcular a soma dos termos da PG.
S =
an
q − a1
q − 1
=
200 0,955.
0,95 − 200
0,95 − 1
=
=
200 (0,956
− 1)
−0,05
= −4 000 (0,956
− 1)
−4 000(0,735 − 1) = 1 060.
Assim, o valor pago será aproximadamente R$ 1 060,00.
11. Dada a PA (−4, 1, 6, 11, ...),
responda:
a) qual é o termo geral da sequência?
an
= 5n − 9.
b) qual é a soma dos 12 primeiros termos?
282
c) qual expressão pode representar o cál-
culo da soma dos n primeiros termos?
S =
(a1
+ an
) n
2
=
(−4 + 5n − 9) n
2
=
1
2
(5n2
−13n).
12. A soma de n termos de uma PA pode ser
calculada pela expressão Sn
= 3n2
– 5n.
Sendo assim, responda:
a) qual é a soma dos seis primeiros termos?
S6
= 3 62
− 5 6 = 78.
b) qual é a soma dos sete primeiros termos?
S7
= 3 72
− 5 7 = 112.
c) qual é o sétimo termo?
O sétimo termo é a diferença entre S7
e S6
.
Portanto, a7
= 112 − 78 = 34.
d) quais são os cinco primeiros termos?
a1
= S1
= −2
a2
= S2
− a1
= 2 − (−2) = 4
A PA tem razão 6, e os cinco primeiros termos são:
−2, 4, 10, 16, 22.
13. Um atleta fora de forma, desejando recu-
perar o tempo perdido, planeja correr, dia-
riamente, uma determinada distância de
maneira que, a cada dia, a distância per-
corrida aumente 20% em relação ao que foi
percorrido no dia anterior. Se ele correr 10
quilômetros no primeiro dia:
a) quantos quilômetros correrá no quar-
to dia?
a4
= 10 1,23
= 17,28 km.
b) quantos quilômetros terá percorrido em
dez dias? (Observação: 1,210
6,2.)
Trata-se de calcular a soma dos dez termos de uma PG em
que a1
= 10 e a10
= 10 1,29
.
S =
an
q − a1
q − 1
=
10 1,29
1,2 − 10
1,2 − 1
=
10 (1,210
− 1)
0,2
=
= 50 (1,210
− 1) = 50 (6,2 − 1) = 260 km.
Aplicações na Matemática
Financeira
O crescimento de um capital a uma
taxa constante de juros simples se caracte-
riza por envolver uma série de termos que
formam uma PA. Por outro lado, no cál-
culo do crescimento de um capital a uma
taxa constante de juros compostos, apare-
ce uma PG. No exemplo a seguir, podemos
comparar a evolução de um capital inicial
quando submetido a juros simples e a ju-
ros compostos.

41
14. Complete:
Tabela A
Capital = C Taxa de juros = 5% ao mês
Evolução do
capital a juros
simples
Evolução do
capital a juros
compostos
Inicial C C
Depois de
um mês
1,05 C 1,05 C
Depois de
dois meses
1,10 C 1,052
C
Depois de
três meses
1,15 C 1,053
C
Depois de
quatro meses
1,20 C 1,054
C
Os valores dessa tabela foram obtidos le-
vando-se em conta que um capital inicial (C),
acrescido de 5%, resulta no capital inicial mul-
tiplicado por 1,05, isto é, resulta em 1,05 C.
Caso incidam 5%, novamente, sobre o capital
já acrescido de 5%, o resultado será igual a
1,10 C, se os juros forem simples, e 1,052
C,
se os juros forem compostos, conforme repre-
sentado nas operações a seguir:
Capital inicial: C.
Acréscimo de 5% sobre C:
C +
5
100
C = C + 0,05 C = 1,05 C.
Acréscimode5%dejurossimples:1,05 C+
+ 0,05 C = 1,10 C.
Acréscimo de 5% de juros compostos:
1,05 C + 5% 1,05 C = 1,05 C (1 + 5%) =
= 1,05 C 1,05 = 1,052
C.
O valor do capital, nos próximos meses
de aplicação, segue a mesma lógica, isto é,
adicionando-se 0,05 C, no caso de juros sim-
ples, e multiplicando-se por 1,05 C, no caso
de juros compostos.
Juros simples não são praticados no mer-
cado financeiro, mas podem servir de con-
texto inicial para a determinação de valores
totais capitalizados em certo período.
15. Suponha que um cidadão aplique men-
salmente, durante 8 meses, uma quantia
fixa de 200 reais a juros simples de 5%.
Ao final, depois dos 8 meses de aplica-
ção, quanto terá acumulado essa pes-
soa? A tabela de capitalização a seguir
pode ajudá-lo a organizar o método
de resolução:
Professor, propondo um problema dessa na-
tureza aos seus alunos, o professor poderá co-
mentar que ele é de fácil resolução por envolver
juros simples, mas que, no caso real de um capi-
tal aplicado a juros compostos, será necessário
um método organizado de resolução. Justifica-
-se, dessa maneira, o processo representado na
tabela seguinte:

42
Tabela B
Mês 1o
2o
3o
4o
5o
6o
7o
8o
Final
Capital
200 210 220 230 240 250 260 270 280
200 210 220 230 240 250 260 270
200 210 220 230 240 250 260
200 210 220 230 240 250
200 210 220 230 240
200 210 220 230
200 210 220
200 210
Os 200 reais depositados no primeiro mês
tornam-se 210 reais, no segundo mês, 220 reais,
no terceiro mês, e assim por diante, tornando-se,
ao final, 280 reais. Os 200 reais depositados no
segundo mês, de modo análogo, convertem-se
em 270 reais, ao final de sete meses de aplicação.
Seguindo o raciocínio, o saldo final da aplicação
será o resultado da adição dos valores da última
coluna da tabela, que são os termos de uma PA:
Saldo final = 210 + 220 + 230 + 240 + 250 +
+ 260 + 270 + 280
Saldo final =
(210 + 280) 8
2
= 1 960
Portanto, o saldo final da aplicação será
igual a R$ 1 960,00.
No caso real, de uma capitalização a juros
compostos, o esquema de resolução será simi-
lar ao apresentado, variando apenas a forma
de crescimento das parcelas aplicadas.
16. Em relação ao problema anterior, alteran-
do apenas a forma de incidência da taxa
de juros, de simples para compostos, pode-
-se construir a Tabela C, que precisa ser
completada:
Tabela C
Mês 1o
2o
3o
4o
5o
6o
7o
8o
Final
Capital
200 200 1,05 200 1,052
200 1,053
200 1,054
200 1,055
200 1,056
200 1,057
200 1,058
200 200 1,05 200 1,052
200 1,053
200 1,054
200 1,055
200 1,056
200 1,057
200 200 1,05 200 1,052
200 1,053
200 1,054
200 1,055
200 1,056
200 200 1,05 200 1,052
200 1,053
200 1,054
200 1,055
200 200 1,05 200 1,052
200 1,053
200 1,054
200 200 1,05 200 1,052
200 1,053
200 200 1,05 200 1,052
200 200 1,05

43
A soma dos valores da última coluna da
tabela fornece o total capitalizado. Trata-se
da soma dos termos de uma PG de razão 1,05.
S = 200 (1,05 + 1,052
+ 1,053
+ 1,054
+ 1,055
+
+ 1,056
+ 1,057
+ 1,058
)
S = 200 an
q – a1
q – 1
=
= 200 1,058
1,05 – 1,05
1,05 – 1
O cálculo dessa soma é trabalhoso se reali-
zado manualmente. Por isso, propomos que os
alunos possam utilizar calculadoras para agi-
lizar a obtenção do resultado, sem qualquer
perda de significado para o conceito. O impor-
tante, aqui, não é saber calcular uma potência,
coisa que os alunos já devem saber, mas sim
obter a expressão numérica que conduz ao
resultado desejado. Todavia, mesmo usando
calculadoras, será interessante simplificar ini-
cialmente a expressão, como neste caso:
S = 200
1,058
1,05 – 1,05
1,05 – 1
(Colocando
1,05 em evidência.)
S = 200
1,05 (1,058
– 1)
0,05
(Dividindo
1,05 por 0,05.)
S = 200 21 (1,058
– 1) = 2005, 31.
Caso o professor opte por não permitir o
uso de calculadoras, o que não aconselhamos,
poderá fornecer aos alunos, previamente,
o valor da potência. No caso, 1,058
1,477.
Dessa forma, a resposta será:
S = 200 21 (1,477 – 1) = 2 003,4.
Comparando os dois resultados do pro-
cesso de capitalização, fica claro que o
processo a juros compostos conduz a um
maior valor final (R$ 1 960,00 em um caso, e
R$ 2 005,31 no outro).
Outra aplicação importante das somas
das progressões diz respeito ao cálculo da
parcela fixa de um financiamento a taxa
constante de juros. De fato, trata-se de um
problema inverso ao que foi analisado há
pouco, isto é, conhece-se o montante final
e deseja-se calcular a parcela mensal do
investimento. Vamos analisar, como exem-
plo, o caso do financiamento da compra de
um automóvel, que custa R$ 10 mil e será
pago em 24 parcelas fixas e mensais, com
juros de 5% ao mês. Em primeiro lugar,
vamos representar o cálculo da parcela de
financiamento, no caso de os juros serem
simples, isto é, incidirem sempre sobre o
valor inicial.
Com taxa de juros simples
Os R$ 10 mil financiados deverão ser cor-
rigidos e devolvidos pelo comprador do bem,
ao final dos 24 meses. Assim, o primeiro passo
é calcular o juro total da aplicação em juros

44
simples, ou seja, 24 5% = 120%. O valor de
R$ 10 mil deverá ser devolvido corrigi-
do em 120%, isto é, deverão ser devolvidos
R$ 22 mil. Ocorre que o comprador não de-
volve esse valor de uma única vez, mas sim
em parcelas mensais. Assim, o próximo passo
é calcular o valor da parcela, e nesse ponto
é necessário se lembrar do exemplo anterior,
da capitalização a juros simples.
Supomos, então, que certa parcela P é
capitalizada mensalmente, durante 24 me-
ses, a juros simples de 5%. Nessa condição,
ao final dos 24 meses, terá sido capitali-
zado um valor total igual ao resultado da
seguinte soma:
S = P (1,05 + 1,10 + 1,15 + … + 2,15 + 2,20).
Os porcentuais, nesse caso, formam uma
PA. Calculemos a soma desses porcentuais.
S = P
(a1
+ an
) n
2
= P
(1,05 + 2,20) 24
2
=
= P 39
Como a soma S deve coincidir com o va-
lor corrigido do final do financiamento, isto
é, S = 22 000, a parcela mensal P pode ser
assim obtida:
22 000 = P 39 P = 564,10.
Portanto, a juros simples, o valor da parce-
la mensal é igual a R$ 564,10.
Perceba que, apesar de as prestações serem
todas iguais a R$ 564,10, a simples multipli-
cação desse valor pelo número de prestações,
que, neste caso, é 24, não tem como resultado
o valor corrigido da dívida (R$ 22 mil). Essa
diferença acontece porque a primeira parcela
de R$ 564,10 tem, hoje, um valor que não será
o mesmo daqui a 24 meses. Essa consideração
vale para todas as parcelas.
Com taxa de juros compostos
Da mesma forma que no caso dos juros
simples, discutido anteriormente, o valor
financiado deve ser corrigido para com-
por o pagamento final. Nesse caso, trata-
-se de corrigir R$ 10 mil, em 24 meses, a
juros compostos de 5%, o que implica mul-
tiplicarmos 10 000 por 1,0524
. Isso feito,
teremos R$ 32 251,00. Mas esse valor não
é devolvido de uma única vez, ao final do
financiamento, e sim em parcelas mensais.
Para o cálculo do valor dessa parcela, de-
vemos imaginar alguém que deposite, men-
salmente, um valor P, a juros compostos de
5%, durante 24 meses. Nesse caso, o valor
total depositado será igual ao resultado da
seguinte adição:
S = P (1,05 + 1,052
+ 1,053
+ ... + 1,0524
).
O valor de S, como observado anterior-
mente, é R$ 32 251,00. Para o cálculo da par-
cela P, será preciso calcular a soma da PG
formada pelos termos dentro dos parênteses.

45
32 251=P
an
q – a1
q – 1
=P
1,0524
1,05 – 1,05
1,05 – 1
32 251 = P
1,05 . (1,0524
– 1)
1,05 – 1
=
= P 21 (1,0524
– 1)
Dado que 1,0524
3,225, fazemos:
32 251 = P 21 (3,225 – 1)
32 251 = P 46,725 P = 690,23
Portanto, a juros compostos, a parcela de
financiamento deverá ser igual a R$ 690,23.
Os cálculos envolvendo processos de ca-
pitalização e de amortização são comumen-
te vistos em situações do cotidiano, muito
embora nem sempre de forma transparente.
Por isso, é comum que surjam dúvidas por
parte dos alunos, as quais caberá ao profes-
sor esclarecer. No caso que analisamos, do
financiamento de R$ 10 mil, é preciso des-
tacar com muita ênfase dois aspectos gera-
dores de dúvidas. O primeiro deles refere-se
à necessidade de corrigir o valor financiado,
isto é, multiplicar 10 000 por 1,0524
. Os alu-
nos precisam entender que o bem financiado
será considerado quitado apenas quando a
última parcela for paga, e que, por esse mo-
tivo, é preciso considerar a correção do valor
financiado. A segunda dúvida que costuma
ocorrer nesse caso refere-se à necessidade de
calcular o valor futuro de cada parcela que
vai sendo paga, o que conduz ao cálculo da
soma da PG. É comum os alunos fazerem,
equivocadamente, a simples divisão do resul-
tado do produto 10 000 1,0524
por 24 para
determinar o valor de cada parcela. O profes-
sor deve chamar a atenção dos alunos para o
fato de que as parcelas não são todas pagas
ao final do financiamento, mas sim em tem-
pos diferentes, e que, portanto, o valor futuro
de uma parcela não é igual ao da outra.
Julgamos importante que o professor dis-
cuta alguns exemplos de cálculos de mon-
tantes e de parcelas de amortização, mas não
deixe de retomar o assunto quando abordar o
crescimento exponencial no Volume 2.
Após discutir alguns exemplos com seus
alunos, o professor poderá propor a reso-
lução da seguinte sequência de problemas
exemplares.
17. Uma financeira remunera os valores inves-
tidos à base de 4% de juros simples. Quan-
to conseguirá resgatar nesse investimento
uma pessoa que depositar, mensalmente,
500 reais durante 10 meses?
Trata-se de calcular a soma S = 520 + 540 + 560 + 580 + ... + 700.
S =
(520 + 700) 10
2
= 1 220 5 = 6 100
O resgate será de R$ 6 100,00.
18. Laura aderiu a um plano de capitalização de
um banco, depositando, mensalmente, mil
reais durante 12 meses. Se o banco promete
remunerar o dinheiro aplicado à taxa de 2%
de juros compostos ao mês, calcule quanto
Laura resgatará ao final do período.
(Observação: 1,0212
= 1,27.)

46
Trata-se de calcular a soma de termos em PG:
S = 1 000 1,02 + 1 000 1,022
+ 1 000 10,23
+ ... + 1 000 1,0212
S = 1 000 (1,02 + 1,022
+ 1,023
+ ... + 1,0212
)
S = 1 000
an
q − a1
q − 1
=
= 1 000
1,0212
1,02 − 1,02
1,02 − 1
=
= 1000
1,02 (1,0212
− 1)
0,02
=
= 1 000 51 (1,0212
− 1) = 51 000 0,27 = 13 770
Portanto, o resgate será de R$ 13 770,00.
19. Carlos deseja comprar um automóvel que
custará, daqui a dez meses, R$ 15 500,00.
Para atingir seu objetivo, Carlos resol-
veu depositar uma quantia x em um
investimento que promete remunerar
o dinheiro aplicado à razão de 10% de
juros simples ao mês. Qual deve ser o
valor mínimo de x para que Carlos con-
siga comprar o automóvel ao final dos
dez meses?
Sendo o cálculo do montante à base de juros simples, temos
a soma de termos em PA, da seguinte maneira:
S = 1,1 x + 1,2 x + 1,3 x + ... + 2,0 x
15 500 = x (1,1 + 1,2 + 1,3 + ... + 2,0)
15 500 = x
(a1
+ an
) n
2
15 500 =
x (1,1 + 2,0) 10
2
15 500=x 15,5 x=1 000
Portanto,aparcelamínimaaserdepositadaéigualaR$1 000,00.
20. Uma geladeira cujo preço à vista é de
R$ 1 500,00 será financiada em seis par-
celas mensais fixas. Se os juros compos-
tos cobrados no financiamento dessa
geladeira são de 3% ao mês, qual é o
valor da parcela mensal? (Observação:
1,036
= 1,19.)
O valor futuro da geladeira, em seis meses, será igual a
1 500 1,036
= 1 500 1,19 = 1 785.
A soma das parcelas ﬁxas, a 3% de juros compostos ao
mês, corresponde a: S = P (1,03 + 1,032
+ ... + 1,036
), onde
P é o valor da parcela ﬁxa mensal. Como S = 1785, tem-se:
1 785 = P
1,036
1,03 − 1,03
1,03 − 1
= P
1,03 (1,036
− 1)
0,03
=
= P 34,33 (1,036
− 1) = P 34,33 0,19 =
= 1 785 = P 6,5227 P = 273,65
Portanto, a parcela mensal deverá ser igual a R$ 273,65.
21. Julia guardou, mensalmente,
200 reais em um banco que re-
munerou seu dinheiro à base de
4% ao mês de juros compostos. Ao final
de 8 meses de aplicação, Julia usou o di-
nheiro que havia guardado para dar de
entrada em um pacote de viagem que
custava, à vista, R$ 5 mil. Julia pretende
financiar o saldo devedor em 5 vezes, em
parcelas iguais e fixas, à taxa de 2% ao
mês. (Observação: 1,048
1,37; 1,025
1,10.)
a) Quanto Julia deu de entrada no pacote
de viagem?
O valor total capitalizado exige o cálculo de uma soma de
termos em PG.
S = 200(1,04 + 1,042
+ 1,043
+ ... + 1,048
)
S = 200
1,048
1,04 − 1,04
1,04 − 1
=
= 200
1,04 (1,048
− 1)
0,04
= 200 26 (1,37 − 1) = 1 924
Portanto, foram dados de entrada R$ 1 924,00.

47
b) Qual é o valor da parcela mensal fixa
do financiamento do saldo do pacote
de viagem?
O valor financiado foi igual à diferença entre R$ 5 mil e
R$ 1 924,00, ou seja, R$ 3 076,00. Esse valor, em cinco meses, a
2% ao mês, torna-se 3 076 1,025
= 3 383,60.
Uma parcela fixa P, paga todo mês e corrigida à base de 2% ao
mês, deve, ao final, gerar montante equivalente a R$ 3 383,60.
3 383,60 = P (1,02 + 1,022
+ 1,023
+ 1,024
+ 1,025
)
3 383,60 = P
1,025
1,02 − 1,02
1,02 − 1
=
= P
1,02 (1,025
− 1)
0,02
= P 51 0,10 = P 5,1
3 383,60 = P 5,1 P = 663,45
Portanto, a parcela fixa será igual a R$ 663,45.
Nesta Situação de Aprendizagem, de for-
ma semelhante ao realizado na anterior, foi
proposto que as somas das PAs e PGs fossem
estudadas paralelamente. Insistimos nessa
prática, pois entendemos que ela valoriza a
percepção de regularidades numéricas possí-
veis de serem traduzidas por equações mate-
máticas, em detrimento da aplicação imediata
de fórmulas na resolução de exercícios des-
contextualizados.
A apresentação das expressões de cálculo
para as somas das sequências foi feita a partir
da ideia de que cálculos que se repetem devi-
do a algum tipo de regularidade podem ser
traduzidos por intermédio de um algoritmo,
isto é, por uma sequência ordenada de passos
que, quando realizada corretamente, conduz
ao resultado desejado de forma mais rápida.
Consideramos importante que os alunos com-
preendam essa ideia e que, após a exercitarem
durante a resolução de alguns problemas,
possam, com autonomia, generalizar em uma
expressão o raciocínio envolvido no algoritmo.
Os instrumentos preparados para a ava-
liação dos conceitos aqui tratados deverão
levar em conta, de acordo com as considera-
ções anteriores, a possibilidade de que sejam
propostos problemas que envolvam tanto
PAs como PGs, desenvolvidos sobre contex-
tos diferentes dos problemas apresentados
e discutidos durante as aulas, com base no
contexto da Matemática Financeira e nos
cálculos de montantes e de parcelas em pro-
cessos de capitalização.
Gostaríamos, ainda, de ressaltar o fato de
que a obtenção de soma de termos de uma PG
exige, via de regra, o cálculo de uma potência
na qual, muitas vezes, a base não é um número
inteiro. As aplicações das progressões à Ma-
temática Financeira são exemplos clássicos
dessas situações. Nesses casos, visando a que
o aspecto da compreensão conceitual não seja
sobrepujado pela dificuldade aritmética, suge-
rimos ao professor que permita o uso de cal-
culadoras, inclusive científicas, até mesmo nas
avaliações individuais. Uma segunda sugestão
é fornecer ao aluno o resultado aproximado
da potência necessária para a resolução da
atividade proposta.

48
LIMITE DA SOMA DOS INFINITOS TERMOS DE UMA PG INFINITA
Conteúdos e temas: soma dos termos de uma PG; limite da soma dos termos de uma PG infinita.
Competências e habilidades: utilizar a linguagem matemática para expressar a regularidade dos padrões
de sequências numéricas ou geométricas; compreender a noção intuitiva de limite de uma função; con-
siderar a pertinência da noção de infinito no cálculo de quantidades determinadas.
de Aprendizagem 4
Nesta Situação de Aprendizagem, são pro-
postos problemas algébricos e geométricos,
com o objetivo de investigar a soma dos termos
de uma PG infinita, com razão real entre –1
e 1. Nesse percurso, são abordadas, intuitiva-
mente, duas noções extremamente importan-
tes na Matemática: a continuidade e o infinito.
Embora costumem causar certa estranheza
e alguma dificuldade de compreensão, são con-
ceitos que estimulam sobremaneira a curiosida-
de e a intuição e, por consequência, também o
interesse dos alunos pela Matemática.
Quando uma PG tem por razão um núme-
ro real entre –1 e 1, diferente de zero, a sequên-
cia “tende”para zero. Em outras palavras, à me-
dida que aumentamos a quantidade de termos
da sequência, mais o último termo se aproxima
de zero, muito embora nunca seja igual a zero.
A PG 4, 2, 1,
1
2
,
1
4
, ..., por exemplo,
tende a zero, assim como a progressão
–3, 1, –
1
3
,
1
9
, –
1
27
, ... Nesses dois casos,
em que a razão é um número real entre –1
e 1, é possível determinar o termo que de-
sejarmos, mas ele poderá ser tão pequeno
que, dependendo das exigências, poderá ser
considerado nulo. O centésimo termo da
primeira sequência, por exemplo, é igual a
um número que tem 30 zeros após a vírgula,
antes de aparecer o primeiro algarismo não
nulo. É um número pequeno, se for compa-
rado à espessura de um fio de cabelo, mas
não é pequeno, se comparado às dimensões
atômicas. Aumentando ainda mais o nú-
mero de termos, além dos cem, chegará um
momento em que o resultado será pequeno
mesmo quando comparado com a medida
de raios atômicos. Mas o termo ainda não
será nulo e poderá continuar a ser dimi-
nuído. Nesse raciocínio, estão contidas as
ideias de continuidade e de limite.
Conjuntos numéricos infinitos e discre-
tos, como os Naturais e os Inteiros, já foram
estudados em séries/anos anteriores e reto-
mados no Ensino Médio. O fato de esses
conjuntos possuírem quantidade inumerável de
elementos está, normalmente, bem assimilado
pelos alunos, nesta etapa de ensino, uma vez

49
que a ideia do “mais 1”, no caso dos Naturais,
ou do “menos 1”, no caso dos Inteiros, carac-
terísticas dos conjuntos discretos, vem sendo
apresentada a eles desde que começaram sua
escolaridade. A dificuldade surge na passagem
do discreto para o contínuo, quando a noção
de infinito ganha uma nova dimensão. Como
explicar, por exemplo, que um segmento AB,
de determinado comprimento, pode ser divi-
dido em tantas partes quantas se desejar, não
havendo medida limite para o comprimento de
cada uma das partes que surgem?
Na Grécia antiga, a contraposição entre discreto e contínuo já trazia alguns pro-
blemas de interpretação. Para os pitagóricos, o número era a referência de toda
dúvida e toda dificuldade. Segundo eles, se não fosse pelo número e por sua na-
tureza, nada do que existe poderia ser compreendido por alguém, nem em si mesmo, nem
com relação a outras coisas. Os números constituíam o verdadeiro elemento de que era feito
o mundo. Chamavam um ao ponto, dois à linha, três à superfície e quatro ao sólido. A partir
de Um, Dois, Três e Quatro, podiam construir um mundo.
A concepção geométrica dos gregos do século V a.C., influenciada pela visão dos pitagó-
ricos, entendia que o número de pontos de uma linha determinada seria finito, muito embora
não fosse possível quantificá-los. Em outras palavras, a noção do contínuo não fazia parte das
ideias geométricas de então. Essa concepção de uma série de pontos justapostos, como uma
grande fila, de maneira que qualquer segmento pudesse ser mensurável, quantificado como
uma determinada quantidade de pontos, caiu por terra a partir da descoberta da incomensu-
rabilidade entre a diagonal e o lado do quadrado.
Para refletir:
Dentre os conjuntos numéricos que
você já estudou, qual deles nos permite
representar grandezas contínuas?
cialmente o paradoxo da corrida entre Aquiles e
a tartaruga, que discutiremos mais adiante. Pa-
rece-nos, portanto, que o contexto de PGs pode
ser uma boa introdução da noção de infinito
associada à de continuidade dos números reais.
Para introduzir o limite da soma dos in-
finitos termos de uma PG, sugerimos que o
professor recorra, prioritariamente, à intui-
ção dos alunos, deixando a necessária forma-
lização para mais tarde, quando o conceito
estiver razoavelmente construído. Nesse sen-
tido, o professor pode partir do cálculo da
O professor poderá comentar com seus
alunos alguns dos aspectos históricos que lo-
calizam a crise da escola pitagórica em rela-
ção ao número 2 e à descoberta dos irra-
cionais. Uma boa “entrada” para a questão
é a apresentação dos paradoxos de Zenão, espe-

50
soma de termos de uma PG com as carac-
terísticas desejadas, aumentando, pouco a
pouco, o número de termos, a fim de intuir
a ideia de que haverá um limite para a soma,
como na atividade a seguir, que comentamos
em detalhes.
Desafio!
O triângulo ABC da figura a seguir é equilátero de lado 1u. Unindo os pontos médios dos
lados desse triângulo, obtemos o segundo triângulo PQR. Unindo os pontos médios dos lados
do triângulo PQR, obtemos o terceiro triângulo STU, e assim sucessivamente. Determine a soma
dos perímetros dos infinitos triângulos construídos por esse processo.
a) Quanto mede o lado PQ do triângulo PQR? E os lados PR e RQ?
Todos os lados medem
1
2
u.
b) QualéoperímetrodostriângulosABC,PQReSTU?
Perímetro de ABC = 3 u
Perímetro de PQR =
3
2
u
Perímetro de STU =
3
4
u
c) Escreva uma sequência numérica cujos termos são os perímetros
dos triângulos ABC, PQR, STU e de mais outros dois triângulos cons-
truídos segundo o mesmo critério.
3u,
3
2
u,
3
4
u,
3
8
u,
3
16
u.
Para essas questões, é importante que o pro-
fessor discuta, inicialmente, que, dado um triân-
gulo ABC, se P e Q são pontos médios dos lados
AB e BC, respectivamente, então PQ é paralelo
a AC, e sua medida é igual à metade de AC. O
mesmo vale para os demais lados do triângulo
PQR, visto que o triângulo ABC é equilátero.
Dessa forma, os perímetros dos triângulos
da figura são 3u,
3
2
u e
3
4
u.
A sequência de triângulos assim construí-
dos terá perímetros respectivamente iguais a:
3u,
3
2
u,
3
4
u,
3
8
u,
3
16
u, ...
Após esse trabalho inicial, sugere-se que
os alunos calculem as somas dos perímetros:
dos dois primeiros, dos três primeiros, e as-
sim por diante.
Assim,osalunosobteriamasseguintessomas:
A
P
B
C
Q
R U
T
S

51
S1
= 3
S2
= 3 +
3
2
=
9
2
= 4,5
S3
= 3 +
3
2
+
3
4
=
21
4
= 5,25
S4
= 3 +
3
2
+
3
4
+
3
8
=
45
8
= 5,625
S5
= 3 +
3
2
+
3
4
+
3
8
+
3
16
=
93
16
= 5,8125
S6
= 3 +
3
2
+
3
4
+
3
8
+
3
16
+
3
32
=
=
189
32
= 5,90625
S7
= 3 +
3
2
+
3
4
+
3
8
+
3
16
+
3
32
+
3
64
=
=
381
64
= 5,953125
Após esses cálculos, o professor poderia
solicitar que os alunos fizessem suas conjec-
turas a respeito deles, procurando responder à
questão: O que acontece à soma se as parcelas
forem aumentando com os perímetros de outros
triângulos da sequência?
É importante discutir com a turma que as
somas aumentariam, com o acréscimo de novas
parcelas, mas esse crescimento é cada vez menor.
O uso da fórmula da soma dos termos de
uma PG pode ampliar essa discussão:
S =
an
. q – a1
q – 1
=
an
.
1
2
– 3
1
2
– 1
=
an
2
– 3
–
1
2
A soma assim obtida está em função de
an
, aqui considerado o último termo. O ques-
tionamento a seguir é sobre o que ocorre com
an
, à medida que n cresce muito. As respostas
dos alunos tendem a caminhar no sentido da
intuição de que o último termo da sequên-
cia, supondo grande número de termos, será
praticamente zero ou, como o professor pode-
rá comentar, “tenderá a zero”. Assim, por meio
da ideia de limite, pode-se perguntar aos alunos
como fica a expressão da soma, uma vez que an
é praticamente nulo. O correto será, nesse mo-
mento, substituir “S” por “lim S
n ∞
”.
lim S
n ∞
=
an
2
– 3
–
1
2
= 0 – 3
–
1
2
= 6
Esse resultado nos diz que, quanto mais
termos acrescentarmos à soma em questão,
mais nos aproximaremos do valor limite, 6,
sem jamais alcançá-lo.
Assim, podemos escrever que a série infini-
ta 3 +
3
2
+
3
4
+
3
8
+
3
16
+ ... = 6, ou seja, o
limite da soma quando n tende ao infinito é 6.
Reproduzindo esse raciocínio na expressão
do cálculo da soma da PG, obtém-se a expres-
são do limite da soma dos infinitos termos de
uma PG com razão no intervalo –1 < q < 1,
que é esta:
lim S
n ∞
=
a1
1 – q
A partir dessa discussão, será possível pro-
por aos alunos a resolução das seguintes situa-
ções-problema exemplares.

52
1. Por mais que aumentemos o
número de termos na adição
S = 2 +
1
2
+
1
8
+
1
32
+ ...,
existirá um valor limite, isto é, um valor do
qual a soma se aproxima cada vez mais, sem
nunca atingi-lo? Qual é esse valor?
O valor procurado corresponde ao limite da soma de uma
PG de razão
1
4
para o número de termos tendendo a inﬁnito.
Ou seja: lim S
n ∞
=
a1
1 − q
=
1 −
1
4
2
=
8
3
Portanto, por mais que aumentemos a quantidade de parce-
las da soma, nunca ultrapassaremos o valor
8
3
, embora cada
vez mais nos aproximemos dele.
2. Calcule o resultado limite das seguintes somas:
a) S = –10 + 1 – 0,1 + 0,01 – 0,001 +
+ 0,0001 – ...
−
100
11
b) S =
2
5
+
1
5
+
1
10
+
1
20
+
1
40
+ ...
4
5
3. Uma bola de borracha cai da altura de 6 m,
bate no solo e sobe até a terça parte da altu-
ra inicial. Em seguida, a bola cai novamen-
te, bate no solo, inverte o sentido de movi-
mento, e sobe até atingir a terça parte da
altura anterior. Continuando seu movimen-
to segundo essas condições, isto é, atingin-
do, após cada batida, a terça parte da altura
que atingiu após a batida imediatamente
anterior, qual será a distância vertical total
percorrida pela bola até parar?
6 m
Temos a seguinte soma para as distâncias percorridas pela
bola, durante as descidas:
Sdescida
= 6 + 2 +
2
3
+
2
9
+ ...
Temos a seguinte soma para as distâncias percorridas pela
bola, durante as subidas:
Ssubida
= 2 +
2
3
+
2
9
+ ....
Ssubida
= lim S
n ∞
=
a1
1 − q
=
1 −
1
3
2
= 3
Sdescida
= 6 + 3 = 9
Portanto, a distância vertical total percorrida pela bola é igual
a Sdescida
+ Ssubida
= 12 m.
4. Resolva a equação em que o primeiro termo
da igualdade é o limite da soma dos termos
de uma PG infinita: x
2
+
x
8
+
x
32
+ ... = 18.
1 −
1
4
x
2
= 18 x = 27
©ConexãoEditorial

53
Será mesmo verdade que ele nunca alcançará
a tartaruga?
a) Escreva a sequência das distâncias que
Aquiles percorre até chegar ao ponto
em que a tartaruga estava a cada vez.
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...
b) A sequência das distâncias é uma PG.
Qual é a razão dessa PG?
0,1.
c) Calcule a soma das infinitas distâncias
percorridas por Aquiles até chegar ao
ponto em que se encontrava a tartaruga
a cada vez.
lim S
n ∞
=
a1
1 − q
=
10
1 − 0,1
=
10
0,9
=
100
9
m.
d) Quantos metros percorrerá Aquiles até
alcançar a tartaruga? Ou você acha que
ele não a alcançará?
Aquiles alcançará a tartaruga após percorrer
100
9
m.
6. Escreva a expressão
2. 2. 2. 2. 2. 2 ... como um pro-
duto de potências de dois e, em seguida,
encontre o valor da expressão.
A expressão pode ser reescrita da seguinte forma:
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ ... = 2
1
2
1
4
1
8
1
16
1
2
+
1
4
+
1
88
+
1
16
+ ...
Trata-se de calcular o limite da soma da PG de primeiro termo
igual a 1
2
e razão igual a 1
2
, cujo resultado é 1. Assim, o
resultado da raiz é igual a 21
= 2.
5. (Adaptado do Paradoxo de Ze-
não) Uma corrida será disputada
entre Aquiles, grande atleta grego, e
uma tartaruga. Como Aquiles é dez vezes
mais rápido do que a tartaruga, esta partirá
10 m à frente de Aquiles, conforme represen-
tado no esquema a seguir.
10 m
Quando Aquiles chegou ao ponto em que
a tartaruga estava inicialmente, depois de per-
correr 10 m, a tartaruga, dez vezes mais lenta,
estava 1 m à frente.
1 m
Aquiles, então, correu 1 m, até o ponto em
que a tartaruga estava, mas ela já não estava mais
lá: estava 10 cm à frente, pois correu, no mesmo
intervalo de tempo, dez vezes menos que Aquiles,
e a décima parte de 1 m corresponde a 10 cm.
10 cm
Repetindo esse raciocínio para os inter-
valos de tempo seguintes, parece que Aquiles
nunca alcançará a tartaruga, pois ela sempre
terá percorrido 1
10
do que Aquiles percorrer.
©ConexãoEditorial©ConexãoEditorial©ConexãoEditorial

54
7. Uma dívida foi paga, mensalmente, da se-
guinte maneira:
1o
mês: metade do valor inicial da dívida;
2o
mês: metade do valor restante após o pa-
gamento da parcela anterior;
3o
mês: metade do valor restante após o
pagamento da parcela anterior;
4o
mês: metade do valor restante após o
pagamento da parcela anterior.
E assim sucessivamente, até a quitação to-
tal da dívida.
Verifique que a soma das parcelas pagas
corresponde ao valor total da dívida.
Levando-se ao pé da letra a descrição fornecida no enuncia-
do, a dívida jamais seria paga, pois sempre restaria um resíduo,
por menor que fosse. Podemos, no entanto, calcular o limite
da soma da PG formada pelas parcelas, pois esse será o valor
limite da dívida. Chamando de x o valor total da dívida,
S =
x
2
+
x
4
+
x
8
+
x
16
+ ... =
a1
1 − q
=
=
1 −
1
2
x
2
=
1
2
x
2
= x
Portanto, a soma das parcelas é igual ao valor da dívida, como
era de esperar.
8. Determine a geratriz da dízima 1,777...
O aluno deverá decompor a dízima em uma soma:
1,777... = 1 + 0,777... = 1 + 0,7 + 0,07 + 0,007 + ...
Depois, sugira que escreva essa soma utilizando frações para re-
presentar os números envolvidos. Assim,
1,777... = 1 + 0,777... = 1 + 0,7 + 0,07 +
0,007 + = … 1 +
7
10
+
7
100
+
7
1000
+ ...
Desse modo, os alunos concluirão que as parcelas
7
10
,
7
100
,
7
1000
, ... formam uma PG inﬁnita de razão q =
1
10
e primeiro
termo a1
= 7
10
.
Assim, aplicando a fórmula do limite da
soma lim lim Sn
n ∞
=
a1
1 − q
, obtém-se:
lim Sn
n ∞ =
a1
1 − q
=
1 −
1
10
7
10
=
9
10
7
10
=
7
9
.
Desse modo, a geratriz de 1,777... será
1 +
7
9
=
16
9
.
Nesta Situação de Aprendizagem, abor-
damos dois conceitos matemáticos bem
abrangentes, que foram os conceitos de con-
tinuidade e de infinito. Isso se deu a partir
do trabalho com situações-problema, cujas
resoluções implicavam a soma dos termos de
uma PG infinita, com razão real entre –1 e
1. Não existe, de forma alguma, a pretensão
de que esses conceitos sejam perfeitamente
compreendidos nesta etapa de escolarização,
na 1a
série do Ensino Médio. Existe, sim, a in-
tenção de que possam ter sido apontadas re-
lações que serão exploradas na 3a
série, quan-
do os alunos estiverem estudando o conjunto
de todas as funções e as taxas de variação.

55
FUNÇÕES COMO RELAÇÕES DE INTERDEPENDÊNCIA:
MÚLTIPLOS EXEMPLOS
Conteúdos e temas: interdependência entre grandezas; proporcionalidade direta e inversa; funções: variável
dependente e variável independente; exemplos diversos.
Competências e habilidades: compreender a ideia de proporcionalidade direta e inversa como relações
de interdependência; expressar a interdependência entre grandezas por meio de funções; contextuali-
zar a ideia de função e enfrentar situações-problema relativas ao tema.
Sugestão de estratégias: utilização de diversas linguagens para traduzir a ideia de função (gráficos, ta-
belas, expressões algébricas etc.); exercícios referentes a situações-problema em diferentes contextos,
envolvendo a ideia de função.
de Aprendizagem 5
O texto a seguir constitui apenas um ro-
teiro para a apresentação inicial da ideia de
função, ou seja, uma organização dos fatos
já conhecidos sobre o tema. Cabe ao pro-
fessor apresentá-lo detalhadamente ou não,
ou passar diretamente à exploração das ati-
vidades propostas.
Com relação aos instrumentos pensados
para a avaliação dos conceitos trabalha-
dos no período, valem, aqui, as considera-
ções feitas na Situação de Aprendizagem
anterior a respeito da permissão do uso
de calculadoras ou das informações dadas
sobre o resultado das potências de expoen-
tes elevados.
Grandezas e funções
A altura de uma árvore que plantamos no quintal ao longo do tempo, o peso de uma pes-
soa ao longo de sua vida, o preço do barril de petróleo a cada dia, a produção de automóveis
de um país ano após ano, a temperatura de um refrigerante colocado em uma geladeira, o
preço a pagar por uma corrida de táxi são alguns exemplos de grandezas.
Duas grandezas x e y podem variar de modo interdependente, de tal forma que assumam
valores inter-relacionados. Quando, deixando variar livremente os valores de uma grandeza x,
notamos que os valores de outra grandeza y também variam, de tal forma que a cada valor
de x corresponde um e somente um valor de y, então dizemos que y é uma função de x; dizemos
ainda que x é a variável independente e y é a variável dependente. Por exemplo:

56
a) a área A de um quadrado é uma função de seu lado x; se os valores de x variarem
livremente (naturalmente, x não pode assumir valores negativos), então os valores de
A variarão em função de x, portanto, A = f(x). Nesse caso, temos: A = f(x) = x2
;
b) a altura H de uma pessoa é uma função de sua idade t; podemos escrever H = f(t),
pois a cada valor de t corresponde um único valor de H. No caso, não sabemos ex-
primir a relação de interdependência f(t) por meio de uma fórmula.
Quando x e y são duas grandezas diretamente proporcionais, elas aumentam ou di-
minuem simultânea e proporcionalmente, ou seja, a razão y
x
é constante, resultando em
y = k ∙ x (k é uma constante). Quando x e y são duas grandezas inversamente proporcionais, sem-
pre que uma delas aumenta, a outra diminui na mesma proporção, e vice-versa, de modo que o
produto das duas permanece constante: x y = k, ou seja, y = k
x
, onde k é uma constante não nula.
Quando observamos os valores de duas grandezas interdependentes, x e y, e notamos
que um aumento no valor de x acarreta um aumento no valor de y, ou, então, um aumento
no valor de x provoca uma diminuição no valor de y, somos tentados a dizer que x e y va-
riam de modo diretamente proporcional, no primeiro caso, ou inversamente proporcional,
no segundo. Entretanto, tais afirmações nem sempre são corretas, uma vez que, como visto
anteriormente, a proporcionalidade direta exige mais do que um aumento simultâneo nos
valores de x e y; pois é preciso que a razão y
x
seja constante e resulte em y = kx (k é uma
constante). Do mesmo modo, a proporcionalidade inversa é mais do que uma diminuição nos
valores de uma das grandezas quando o outro aumenta; em outras palavras, é necessário que o
produto dos valores de x e y permaneça constante, ou seja, x ∙ y = k (k é constante).
1.Emcadaumdoscasosapresen-
tados a seguir, verifique se há ou
nãoproporcionalidade.Seexistir,
expresse tal fato algebricamente, indicando o
valor da constante de proporcionalidade. Em
caso negativo, justifique sua resposta.
a) A altura a de uma pessoa é diretamente
proporcional à sua idade t?
A altura a de uma pessoa é uma função de sua ida-
de t, mas não é diretamente proporcional a t. De
fato, não é verdade que, sempre que a idade de
uma pessoa duplica, sua altura também duplica; não
é verdade que, se a idade triplica, a altura triplica
proporcionalmente. Se houvesse proporcionalida-
de entre a e t, imaginem a altura de uma pessoa
aos dez anos, sabendo que, aos dois anos, ela tinha
90 cm de altura...

57
b) A massa m de uma pessoa é diretamen-
te proporcional à sua idade t?
A massa m de uma pessoa é uma função de sua idade t,
mas não é diretamente proporcional a t. Se houvesse pro-
porcionalidade direta, uma criança com 1 ano e 10 quilos
teria quantos quilos aos 15 anos?
c) O perímetro p de um quadrado é direta-
mente proporcional ao seu lado a?
O perímetro p de um quadrado é uma função de seu lado a. No
caso, p = f(a) = 4a. Se o lado a aumenta, o perímetro p aumenta
proporcionalmente. O perímetro p é diretamente proporcional
ao lado a, sendo a constante de proporcionalidade igual a 4.
d) A diagonal d de um quadrado é direta-
mente proporcional ao seu lado a?
A diagonal d de um quadrado é uma função do lado a; ela
é diretamente proporcional ao lado a. Temos, neste caso,
d = a 2. A constante de proporcionalidade é k = 2.
e) O comprimento C de uma circunferên-
cia é diretamente proporcional ao seu
diâmetro d?
O comprimento C de uma circunferência é uma função do diâ-
metro d; no caso, C é diretamente proporcional a d, e temos
C=f(d)= d,ouseja,aconstantedeproporcionalidadeék= .Tam-
bémpodemosescreverC=2 r, onderéoraiodacircunferência.
Trata-se de verificar se há proporcionalida-
de direta ou não entre vários pares de gran-
dezas, expressando algebricamente tal fato e
indicando o valor da constante de proporcio-
nalidade, quando possível.
2. As tabelas a seguir relacionam pares de
grandezas. Indique se existe ou não pro-
porcionalidade (direta ou inversa).
a) Produção de automóveis e produção de
tratores (anual, em milhares).
Países Automóveis Tratores
A 100 8
B 150 12
C 200 16
D 225 18
E 250 20
F 300 24
G 350 28
H 400 32
I 450 36
A produção de automóveis cresce simultaneamente com a
produção de tratores; ou seja, ela é diretamente proporcional
à produção de tratores.
b) Área destinada à agricultura e área des-
tinada à pecuária (em 1000 km2
).
Países Agricultura Pecuária
A 80 60
B 100 70
C 110 80
D 120 98
E 150 100
F 160 124
G 180 128
H 200 132
I 250 136
A área destinada à agricultura cresce simultaneamente em
relação à área destinada à pecuária, mas essas grandezas não
são proporcionais.

58
c) Produto Interno Bruto (PIB, em mi-
lhões de dólares) e Índice de Desenvol-
vimento Humano (IDH).
Países PIB IDH
A 300 0,90
B 400 0,92
C 510 0,80
D 620 0,88
E 750 0,78
F 760 0,89
G 880 0,91
H 1000 0,80
I 1100 0,86
Não é verdade que, se o PIB aumenta, então o IDH aumenta;
também não é verdade que, se o PIB diminui, então o IDH
diminui. Logo, as grandezas envolvidas não são nem direta
nem inversamente proporcionais.
d) Expectativa de vida (em anos) e índice de
analfabetismo (percentual da população).
Países
Expectativa de
vida
Índice de
analfabetismo
A 67 11
B 68 10
C 69 9
D 70 8
E 71 7
F 72 6
G 73 5
H 74 4
I 75 3
Ainda que não haja proporcionalidade inversa, quando o índi-
ce de analfabetismo diminui, a expectativa de vida aumenta,
e vice-versa.
O objetivo das tabelas é apenas apresentar
exemplos de duas grandezas que podem crescer
ou decrescer conjuntamente, ou então podem
variar em sentidos opostos (quando uma cres-
ce, a outra decresce) sem que haja proporciona-
lidade direta ou inversa. Apenas no exemplo
do item a, a grandeza da primeira coluna é
diretamente proporcional à grandeza da segun-
da coluna, sendo a constante de proporcionali-
dade igual a 12,5; nos outros casos, nem a razão
entre as grandezas é constante, nem o produto
delas o é, ou seja, em cada um dos pares, não há
proporcionalidade direta, nem inversa.
3. Um prêmio P da loteria deve ser dividido em
partes iguais, cabendo um valor x a cada um
dos n ganhadores. Considerando um prêmio P
de R$ 400 mil, preencha a tabela a seguir e ex-
pressearelaçãodeinterdependênciaentrexen.
n 1 2 3 4 5 8 10 20
x
A partir do fato de que os R$ 400 mil serão divididos em par-
tes iguais entre os n ganhadores, concluímos que a cada um
deles corresponderá um valor x, sendo n x = 400 000, ou
seja, n e x são inversamente proporcionais: x = f(n) = 400 000
n
n x
1 400000
2 200000
3 133333
4 100000
5 80000
8 50000
10 40000
20 20000

59
4. Paracortaragramadeumcanteiroquadrado
de 5 m de lado, um jardineiro cobrou 20 reais.
Mantida a proporção, para cortar a grama de
um canteiro quadrado de 15 m de lado, quan-
to o jardineiro deverá cobrar? A quantia a co-
brar C é diretamente proporcional à medida
x do lado do canteiro quadrado?
Afirma-se que, para cortar a grama de um canteiro qua-
drado de 5 m de lado, ou seja, de área 25 m2
, um jardi-
neiro cobrou 20 reais, ou seja, ele cobrou 80 centavos por
m2
. Mantida esta proporção, para cortar a grama de um
canteiro com 15 m de lado, ou seja, com área de 225 m2
,
ele deverá cobrar 225 0,80, ou seja, 180 reais. Outra ma-
neira de encaminhar a solução é a seguinte: a quantia a
ser cobrada é diretamente proporcional à área do cantei-
ro, e não ao seu lado; se o lado triplicou, a área tornou-se
9 vezes maior, e a quantia a ser paga deverá ser 9 vezes
maior. Faça uma figura de um quadrado com lado x (e
área x2
) e de outro com lado 3x, para mostrar que a área
do maior é 9x2
.
5. A tabela a seguir relaciona os va-
lores de três grandezas, x, y e z, que
variam de modo inter-relacionado:
x 1 3 4 5 10 15 40 50 150
y 7 21 28 35 70 105 280 350 1050
z 300 100 75 60 30 20 7,5 6 2
Verifique se os diversos pares de gran-
dezas (x e y, y e z, x e z) são direta ou
inversamente proporcionais. Justifique
sua resposta.
Os pares de grandezas x e y são diretamente proporcionais,
com constante de proporcionalidade igual a 7, enquanto os
pares y e z, x e z são grandezas inversamente proporcionais,
com constantes iguais a 2 100 e 300, respectivamente.
6. Quando uma pedra é abandonada em que-
da livre (sem considerar a resistência do ar
ao movimento), a distância vertical d que
ela percorre em queda é diretamente pro-
porcional ao quadrado do tempo t de que-
da, ou seja, d = k t2
. Considere que, após
1 segundo de queda, a pedra caiu 4,9 m, e,
então, responda:
a) qual é o valor da constante de propor-
cionalidade k?
b) qual será a distância vertical percorrida
após 5 segundos?
c) quanto tempo a pedra levará para cair
49 metros?
Notamos que a distância vertical d que a pedra percorre não
é diretamente proporcional ao tempo t de queda, mas sim ao
quadrado de t: d = kt².
a) Se t = 1, então d = 4,9 m, ou seja, substituindo os valores de
t e de d, temos, k = 4,9.
b) Para calcular a distância vertical percorrida após 5 s,
basta substituir t por 5, obtendo-se d = 4,9 . 52
, ou seja,
d = 122,5 m.
c) Substituindo-se d por 49, obtemos o tempo que a pedra
levará para cair 49 m: 49 = 4,9 t2
, ou seja, t = 10 3,16 s.
Gráficos de funções
Dada uma função y = f(x), o conjunto de
pontos (x,y) do plano cartesiano é tal que
y = f(x) constitui o gráfico da função. No
caso das grandezas diretamente propor-
cionais, sendo
y
x
= constante = k, ou seja,
y = f(x) = kx, então o gráfico correspon-

60
dente é uma reta que passa pela origem do
sistema de coordenadas:
y = f(x) = kx
y1
x10
y2
y
x2
y3
x3
x
y1
x1
=
y2
x2
=
y3
x3
= const. = k
Quando duas grandezas x e y variam de
tal forma que y = kx + h, ou seja, f(x) = kx + h
(k e h constantes), y e x não são diretamen-
te proporcionais, mas existe uma propor-
cionalidade direta entre os valores de y – h
e os de x. A representação gráfica corres-
pondente é uma reta com inclinação k; h é
o valor inicial a partir do qual a variação
em y é diretamente proporcional a x. (No
caso particular de termos h = 0, então a
reta passa pela origem.)
x1
0
y
h
x2
x3
x
y1
−h
y1
y2
−h
y2
y3
−h
y3
y1
– h
x1
= y2
– h
x2
= y3
– h
x3
= const. = k
No caso da proporcionalidade inversa,
temos a relação xy = k, ou seja, f(x) = k
x
,
quanto mais aumenta o valor de x, menor é
o valor correspondente de y, e vice-versa; o
gráfico correspondente é uma curva chamada
hipérbole (observe a figura a seguir).
f(x) =
k
x
y
7. O valor a ser pago por
uma pessoa para abastecer
com combustível seu auto-
móvel varia proporcionalmente em fun-
ção da quantidade de litros de combus-
tível utilizada. Isso significa dizer que o
preço é uma função da quantidade de
litros de combustível que abastece o au-
tomóvel. Vamos imaginar que o litro da
gasolina custe R$ 2,50. Denotando por
P o preço a ser pago e por ℓ a quantida-
de de litros de gasolina com que um au-
tomóvel é abastecido, pede-se:
a) Complete a tabela a seguir, que relacio-
na P com ℓ.
ℓ 0 1 2 3 4 6
P 0 2,50 5,00 7,50 10,00 15,00
b) Qual é o preço a ser pago quando se
abastece o carro com 10 litros?
25 reais.
x

61
c) Calcule a diferença entre os preços a se-
rem pagos quando se abastece um carro
com 15 e 16 litros.
ℓ 15 16
P 37,50 40,00
A diferença será R$ 2,50, o que equivale a um litro.
d) Observando a tabela, concluímos que P
e ℓ são grandezas diretamente proporcio-
nais, isto é, P
ℓ
= constante = k, ou seja,
P = f(ℓ) = k ℓ. Determine o valor de k.
P
ℓ
= 2,5
P = f(ℓ) = 2,5 ℓ; portanto, k = 2,5.
e) Na função y = f(x), o conjunto de pon-
tos (x,y) do plano cartesiano em que
y = f(x) constitui o gráfico da função.
Construa, em um plano cartesiano, o
gráfico da função P = f(ℓ).
O gráfico será uma semirreta como a representada a seguir.
P (R$)
0 1 2 3 4 5
ℓ (litros)
2,50
5,0
7,50
10,00
12,50
8.Asfunçõesnaformay=f(x)=kx
representam situações em que estão
envolvidas duas grandezas, x e y,
diretamente proporcionais. Elabore quatro si-
tuações distintas envolvendo duas grandezas
diretamenteproporcionaiseconstruaseusres-
pectivos gráficos cartesianos. Com base em
sua observação a respeito dos gráficos, mostre
o que eles têm em comum.
Dada uma função y = f(x), o conjunto de pontos (x,y) do pla-
no cartesiano, tal que y = f(x), constitui o gráfico da função.
No caso das grandezas diretamente proporcionais, sendo
y
x
= constante = k, ou seja, y = f(x) = kx, então o gráfico
correspondente é uma reta que passa pela origem do sistema
de coordenadas:
y
x1
x2
x3 x
y1
y2
y2
y = f(x) = kx
y1
x1
= y2
x2
= y3
x3
= const. = k
9. Fixada a temperatura T, a pressão P e o vo-
lume V de um gás, pode-se dizer que eles va-
riam segundo a sentença P V = k (k é uma
constante). Faça uma pesquisa sobre essa re-
lação e esboce o gráfico de P em função de V.
(Dica: você poderá pesquisar sobre esse
assunto em livros de Química.)
Fixada a temperatura T, a pressão P e o volume V de um gás
variam segundo a expressão P V = k (k é uma constante).
O gráfico de P em função de V é uma hipérbole, e é muito
fácil de se encontrar outros exemplos desse gráfico em livros
de Química:

62
P
V1
V2 V
P2
P1
P V = k (T constante)
10. O preço P a ser cobrado em
uma corrida de táxi é compos-
to por uma quantia a fixada,
igual para todas as corridas, mais uma par-
cela variável, que é diretamente proporcio-
nal ao número x de quilômetros rodados:
P = a + bx (b é o custo de cada quilômetro
rodado).
Em certa cidade, temos P = 15 + 0,8 x
(P em reais e x em quilômetros).
a) Qual será o preço cobrado por uma cor-
rida de 12 km?
b) Calcule a diferença entre os preços de
duas corridas, uma de 20 km e outra,
de 21 km.
c) Esboce o gráfico de P em função de x.
Este é mais um exemplo de uma situação em que a propor-
cionalidade direta existe apenas no cálculo da parcela variável
da corrida de táxi, existindo outra parcela ﬁxa, independente-
mentedosquilômetrosrodados.Temos,nocaso,P=15+0,8 x
(P em reais e x em km; 0,8 reais é o custo de cada quilômetro
rodado). Assim, P não é diretamente proporcional a x.
a) Em uma corrida de 12 km, ou seja, para x = 12, resulta
P = 15 + 0,8 12 = R$ 24,60.
b) A diferença entre os custos de uma corrida de 20 km
e outra de 21 km é o custo de 1 km rodado, ou seja,
80 centavos.
c) O gráfico de P em função de x é uma semirreta com
inclinação 0,8, com origem no eixo vertical (OP) no pon-
to de ordenada 15.
P
x
15
1
0,8
0
P=15+0,8x
11. Na casa de uma família que gasta cerca de
0,5 kg de gás de cozinha por dia, a massa
de gás m contida em um botijão doméstico de
13 kg varia com o tempo de acordo com a
fórmula m = 13 – 0,5 t, onde t é o tempo
em dias.
a) Calcule o número de dias necessários
para um consumo de 6 kg de gás.
b) Calcule a massa de gás que resta em um
botijão após 10 dias de uso.
c) Esboce o gráfico de m em função de t.
Neste caso, temos uma variação proporcional em uma gran-
deza decrescente: se o consumo diário é sempre 0,5 kg por
dia, então a massa do gás consumido é diretamente propor-
cional ao número de dias, e a massa restante no botijão é a
diferença entre o valor inicial, 13kg, e a massa consumida, ou
seja, m = 13 − 0,5 t (t em dias).
a) O número x de dias necessários para consumir 6 kg de gás
é tal que 0,5x = 6, ou seja, x = 12 dias.

63
b) A massa de gás que resta em um botijão após 10 dias de
uso é m = 13 − 0,5 10 = 8 kg.
c) O gráfico de m em função de t é um segmento de reta
que corta o eixo 0m no ponto de ordenada 13 e decresce
a uma taxa de −0,5 kg por dia:
m
t
13
260
1
–0,5
12. O gráfico a seguir mostra o ní-
vel da água armazenada em uma
barragem ao longo de um ano.
Analise atentamente o gráfico e responda
às questões a seguir.
tempo
nível (m)
100
90
80
10
a) Qual foi o menor nível de água armaze-
nada na barragem? E o maior?
Da observação direta do gráﬁco, concluímos que o nível míni-
mo da água armazenada foi de 10 m, e o máximo foi de 100 m.
b) Quantas vezes no ano a barragem atin-
giu o nível de 40 m? E o nível de 95 m?
Analogamente, observamos que o nível de 40 m foi atin-
gido duas vezes no ano; já o nível de 95 m foi atingido
seis vezes ao longo do ano, conforme se pode observar no
gráfico a seguir:
tempo
nível (m)
100
90
80
10
95
40
13. O número N de dias necessários para esva-
ziar um reservatório de água de 20000 litros
depende do consumo diário de água. Se o
consumo for de x litros por dia, então os va-
lores de N e x devem satisfazer à condição
N x = 20000.
a) Calcule os valores de N para x1
= 500 ℓ
por dia e para x2
= 800 ℓ por dia.
b) Esboce o gráfico de N em função de x.
Para esvaziar um reservatório de 20 000 ℓ, se o consumo diário
for x litros por dia, serão necessários N dias, sendo N x = 20 000,
ou seja, N e x são inversamente proporcionais.
a) Para x1
= 500, o número de dias N1
é tal que N1
500 =
= 20 000, ou seja, N1
= 40 dias; analogamente, para x2
=
= 800, o número de dias N2
é tal que N2
800 = 20 000, ou
seja, N2
= 25 dias.
b) O gráﬁco de N em função de x é uma curva que represen-
ta o fato de que, quanto maior for o valor de N, menor será
o de x, mantendo-se a proporção inversa (N x = 20 000); é o
ramo de hipérbole mostrado a seguir:

64
x
40
25
500 800
N x = 20000
N = f(x) =
20000
x
N
14. Considere duas grandezas, x e y, direta-
mente proporcionais. Sabe-se que o ponto
(4,12) pertence ao gráfico da função que
relaciona essas grandezas.
a) Escreva a sentença que relaciona x e y.
Se x e y são diretamente proporcionais, signiﬁca que y = kx.
Com o ponto (4, 12), temos 12 = 4 k; portanto, k = 3. Logo, a
expressão que relaciona x e y será y = 3x.
b) Construa o gráfico dessa função.
y
1 2 3 x
3
6
9
y = 3x
c) Qual é o valor de f(–2)?
f(−2) = −6.
Somente o professor, em sua circunstân-
cia específica, poderá avaliar em que medida
a apresentação da ideia de função aqui rea-
lizada constitui uma revisão de conteúdos
que já foram tratados anteriormente ou uma
abordagem inicial do tema.
Tanto no caso de uma abordagem inicial
quanto no caso de o professor notar que os
alunos já conhecem os temas que estão sendo
apresentados, seria interessante recorrer a tabe-
las e gráficos extraídos de jornais ou revistas;
tal recurso tanto pode servir como uma por-
ta de entrada facilitadora para o tema quanto
para um aprofundamento neste. A escolha dos
materiais em sintonia com a real condição de
sua turma é sempre um desafio cuja solução de-
pende do discernimento do professor.
Ao final desta Situação de Aprendiza-
gem, é fundamental que a ideia de fun-
ção como interdependência entre duas
grandezas tenha se consolidado, com a
assimilação da nomenclatura “variável
independente”(aquela à qual atribuímos va-
lores livremente) e “variável dependente”,
ou a variável que é considerada, no contexto,
como uma função da outra.
Um aprofundamento da ideia de pro-
porcionalidade deverá ser deixado para
as Situações de Aprendizagem seguintes,
em que serão explorados dois tipos parti-
culares de interdependência especialmente
considerados: as funções de 1o
grau, as-
sociadas à proporcionalidade direta, e as
funções de 2o
grau, associadas à propor-
cionalidade direta entre uma grandeza e o
quadrado de outra.

65
FUNÇÕES POLINOMIAIS DE 1o
GRAU: SIGNIFICADO,
GRÁFICOS, CRESCIMENTO, DECRESCIMENTO E TAXAS
Conteúdos e temas: funções de 1o
grau: significado dos coeficientes, crescimento, decrescimento, taxas
de variação, gráficos, inequações.
Competências e habilidades: compreender a função de 1o
grau como expressão de uma proporcionali-
dade direta entre grandezas; expressar essa proporcionalidade por meio de gráficos.
Sugestão de estratégias: apresentação de uma síntese dos fatos já apresentados anteriormente
sobre proporcionalidade e funções de 1o
grau; exploração desses fatos em situações-problema
em diferentes contextos.
de Aprendizagem 6
O texto a seguir constitui um roteiro para
a apresentação da ideia de função de 1o
grau,
que pode já ser conhecida dos alunos, bem
como para uma organização de alguns fatos
conhecidos previamente sobre o tema. Cabe
ao professor apresentar o assunto com mais
ou menos detalhes ou passar diretamente à ex-
ploração das atividades, de acordo com o nível
de conhecimentos dos alunos.
Funções polinomiais de 1o
grau: significado
Sempre que expressamos por meio de
variáveis uma situação de interdependên-
cia envolvendo duas grandezas diretamen-
te proporcionais, chegamos a uma função
de 1o
grau. De modo geral, uma função de
1o
grau é expressa por uma fórmula do tipo
f(x) = ax + b, em que a e b são constantes, sen-
do a ≠ 0. Quando a = 0, a função se reduz a
f(x) = b, ou seja, a uma função constante.
A proporcionalidade expressa por uma
função desse tipo é explicitada quando no-
tamos que a diferença f(x) – b = ax, ou seja,
que a razão entre f(x) – b e x é constante e
igual a a:
f(x) – b
x
= constante = a.
Emconsequência,ográficodef(x)=ax+b
éumareta,quaisquerquesejamosvaloresde
a e b, pois a constância da razão apresenta-
da anteriormente garante o ângulo de incli-
nação constante para o segmento formado
por dois pontos quaisquer do gráfico:
f(x) = ax + b
f(x)
f(x) – b
0
b
y
xx
x
f(x) – b
x
= const. = a

66
Podemos observar que o coeficiente b re-
presenta o valor de f(x) para x = 0; quando
a = 0, a função assume valores constantes,
qualquer que seja o valor da variável indepen-
dente x: f(x) = constante = b.
Também notamos que o coeficiente a re-
presenta a inclinação da reta que é o gráfico,
uma vez que, para x = 1, temos f(1) = a + b,
e então f(1) – b
1
= a =
f(x) – b
x
para todo x.
De modo equivalente, podemos notar que
f(x + 1) – f(x) = a(x + 1) + b – ax – b = a, ou
seja, a variação de f(x) para cada unidade a
mais de x é igual a a:
se f(x) = ax + b, então f(x + 1) – f(x) = a.
Por exemplo, sendo f(x) = ( 3)x + 27, en-
tão temos:
f(13) – f(12) = 3;
f(29) – f(28) = 3;
f(1 347) – f(1 346) = 3;
f(k + 1) – f(k) = 3.
Graficamente, isso significa que a inclina-
ção do gráfico de f(x) é sempre a mesma, no
caso, igual a 3 (veja o gráfico da função):
1
1
1
√3
–
√3
–
√3
–
x
y
f(x) = (√3
–
)x + 27
Resumindo os fatos apresentados sobre a
função f(x) = ax + b em um gráfico, temos:
f(x)
f(x) = ax + b
0 1
1
a + b
b a
y
x
x
x
f(x) – b
x
= const. = a
f(x) – b
Podemos afirmar, então, que:
quando a > 0, a função é crescente;
quando a < 0, a função é decrescente;
nos dois casos, o valor de a representa a
variação de f(x) por unidade a mais de x,
o que representa um aumento quando
a > 0, ou uma diminuição, quando a < 0.

67
f(x)
f(x) = ax + b
0
1
1
a + b
a (a > 0)
a = 0
a (a < 0)b
y
x
Naturalmente, quando b = 0, a função
reduz-se a f(x) = ax, e seu gráfico passa pela
origem do sistema de coordenadas.
Notamos ainda que, se duas funções de
1o
grau f(x) e g(x) são tais que o coeficiente
de x é o mesmo em ambas, então seus gráficos
são retas paralelas, uma vez que a inclinação
das retas é a mesma nos dois casos.
f(x) = ax + b
g(x) = ax + c
m(x) = dx + b
h(x) = dx
0
b
c
y
Gráficos de f(x) e de g(x) são paralelos: mesma inclinação a.
Gráficos de m(x) e de h(x) são paralelos: mesma inclinação d.
1. Sempre que expressamos
por meio de variáveis uma si-
tuação de interdependência
envolvendo duas grandezas diretamente
proporcionais, chegamos a uma função
de 1o
grau. De modo geral, uma função
de 1o
grau é expressa por uma fórmula
do tipo f(x) = ax + b, onde a e b são cons-
tantes, sendo a ≠ 0. Convém ressaltar
que uma função de 1o
grau em que b = 0
representa uma proporcionalidade dire-
ta entre f(x) e x, pois f(x) = ax. Quando
b ≠ 0, a diferença f(x) – b é diretamente
proporcional a x, pois f(x) – b = ax. As
retas A, B, C, D e E são os gráficos de
funções do tipo f(x) = ax + b. Determine
os valores de a e b em cada um dos cinco
casos apresentados e indique o(s) que
representa(m) a variação de grandezas
diretamente proporcionais.
–2
2
2
–1
0
C
B
A
D
E
x
y
4
3
Reta A
Como a reta A passa pela origem, o coeﬁciente b é igual a
zero. Todos os seus pontos (x,y) são tais que y
x
é igual a 2
(há proporcionalidade direta entre y e x). Segue, portan-
to, que f(x) = 2x (a = 2 e b = 0).
Reta B
Observando as retas A e B percebemos que elas são paralelas,
ou seja, o coeﬁciente a é comum a ambas. Como B corta o eixo
y no ponto de ordenada 2, temos b = 2, ou seja, f(x) = 2x + 2, no
caso da reta B.
Reta C
Observando as retas A e C percebemos que elas são paralelas,
ou seja, a inclinação é a mesma, igual a 2 em ambas. Como a

68
reta C corta o eixo y no ponto de ordenada 4, o valor de b é
4, e temos f(x) = 2x + 4 para a reta C.
Reta D
Trata-se do caso em que o coeficiente a é igual a zero;
como o valor de b é 4, então temos a função constante
e igual a 4: f(x) = 4.
Reta E
A reta E corta o eixo y no ponto de ordenada 4; logo, b = 4.
Temos, então, f(x) = ax + 4. Como a reta passa pelo ponto (3,0),
temos f(3) = 0, ou seja, 0 = a 3 + 4. Daí obtemos a =−
4
3
.
Logo, f(x) =−
4
3
x + 4.
2. O gráfico a seguir mostra a relação entre a
quantidade x de litros de xampu produzida e
o custo C(x), em reais, da produção caseira.
100
x
C(x)
520
500
a) Qual é o possível motivo de um gasto
de 500 reais quando ainda não se está
produzindo xampu?
O custo quando a empresa não está produzindo é chamado
pelos economistas de custo fixo. Mesmo sem produzir nem
vender, uma empresa tem custos fixos de aluguel e impostos.
No caso da empresa analisada no problema, seu custo fixo é
de 500 reais.
b) Qual é a função C(x) = ax + b repre-
sentada no gráfico? Essa sentença da
interdependência entre o custo C e a
quantidade produzida x é válida para
qualquer valor de x?
O gráfico intercepta o eixo y no ponto de ordenada 500, en-
tão b = 500, ou seja, C(x) = ax + 500.
Usando o fato de que, para x = 10, o valor de C é 520, temos:
520 = a . 10 + 500
Logo, a = 2, e a função é C(x) = 2x + 500.
Como x é o total de litros de xampu produzido pela empresa,
essa função só faz sentido para x ≥ 0. Matematicamente, o
valor de x pode ser tão grande quanto quisermos. Natural-
mente, as condições reais de produção podem impor outros
limites ao valor de x.
c) Qual é o gasto para se produzir 1500 litros
de xampu?
C(1 500) = 2 1 500 + 500; logo,
C(1 500) = 3 500 reais
d) Quantos litros de xampu podem ser
produzidos com R$ 10 mil?
Para C = 10 000, temos: 10 000 = 2x + 500, ou seja, x = 4 750 litros.
e) Qual é a variação no gasto para a produ-
ção de cada litro adicional de xampu?
Pelo gráfico, observamos que a cada 10 ℓ são gastos 20 reais a
mais; portanto, a cada 1 ℓ são gastos 2 reais a mais (esse valor
é a inclinação da reta do gráfico).
3. As funções de custos simples para um negó-
cio consistem em duas partes: o custo fixo,
cujo valor é independente de quantas unida-
des de certo produto são produzidas (exem-
plo: aluguel), e os custos variáveis, que de-

69
pendem do número de produtos produzidos.
Considerando C(x) o custo total da produ-
ção de um número x de produtos, CF(x) o
custo fixo e CV(x) o custo variável, podemos
escrever que C = CF + CV. Suponha que,
para uma fotocopiadora, o custo por cópia
reproduzida seja de 5 centavos e que o custo
fixo de seu negócio seja de R$ 2 mil.
a) Escreva a expressão relativa ao custo
fixo, CF.
CF = 2 000, isto é, y = 2000.
b) Escreva a sentença que relaciona CV e x.
CV(x) = 0,05 x, isto é, y = 0,05x.
c) Escreva a sentença que relaciona C e x.
C(x) = 0,05x + 2 000 ou C(x) = 2 000 + 0,05x, isto é, y = 2 000 + 0,05x.
d) Em um mesmo plano cartesiano, cons-
trua os gráficos de cada função apresen-
tada nos itens anteriores.
x
2 000
C(x) = 0,05x + 2 000
y
CF = 2 000
CV(x) = 0,05x
4. As retas A, B e C são representações grá-
ficas da função f(x) = mx, que é um caso
particular da função f(x) = mx + n, com
n = 0. Determine o valor de m, em cada um
dos três casos, no espaço a seguir.
A
B
C
y
x
4
2 5–3
Como as funções são do tipo f(x) = mx, basta substituir um par
de valores de x e de y = f(x) nessa equação para determinar
o valor de m:
Em A, temos:
4 = m (−3), ou seja, m =−
4
3
.
Em B, temos:
4 = m 2, ou seja, m = 2.
Em C, temos:
4 = m 5, ou seja, m = 4
5
.
5. Analisando as funções obtidas na atividade
anterior, responda:
a) As funções f(x) = mx que têm como
gráficos as retas B e C possuem
m > 0. Em casos assim, quanto maior o
valor de m, a reta estará mais “em pé”
ou mais “deitada”?
Quando m > 0, quanto maior o seu valor, mais “em pé” estará
a reta.
b) Como podemos saber se uma reta está
inclinada para a direita ou para a es-
querda apenas observando o valor de m
na sua equação?
Se m > 0, a reta está inclinada para a direita (função crescen-
te); se m < 0, a reta está inclinada para a esquerda (função
decrescente).

70
6. A conta de certo almoço em um restauran-
te é composta pelo valor total das despe-
sas com comida e bebida, mais 10% sobre
esse valor, que correspondem aos gastos
com serviços, além de uma taxa fixa de 10
reais de couvert artístico para os músicos.
a) Chamando de x os gastos com comida e
bebida (em reais) e de y o valor total da
conta (em reais), determine uma sentença
do tipo y = mx + n que represente a rela-
ção entre x e y.
Sendo x o valor gasto com comida e bebida, e observando-
-se que acrescentar 10% a um valor equivale a multiplicá-lo
por 1,1, o valor y a ser pago será: y = 1,1x + 10.
b) Faça um gráfico no plano cartesiano
para representar a função encontrada
no item anterior.
O gráﬁco será uma semirreta com origem no eixo y no pon-
to de ordenada 10 e que tem inclinação igual a 1,1; para x =
= 10, o valor de y correspondente será 21:
x
y
20
21
10
0 10
7. A empresa Negócios da China S.A. tem
um custo diário de 200 reais com salários
e manutenção. Cada item produzido custa
2 reais e é vendido a 5 reais.
a) Escreva a sentença matemática que re-
laciona o custo diário de produção C
para x itens produzidos.
O custo diário C é função do custo ﬁxo, Cf = 200, e do cus-
to variável, Cv = 2x. Logo, a expressão do custo total será
C = 2x + 200.
b) A receita R da empresa representa o
dinheiro recolhido pela venda de seus
produtos. Escreva a sentença matemá-
tica que relaciona a receita R para x
itens produzidos.
A receita corresponderá à expressão R = 5x.
c) Construa, em um mesmo plano, os grá-
ficos das funções custo C e receita R.
66,660
x
($)
R = 5x
Ponto de equilíbrio
C = 2x + 200
Lucro
Prejuízo
333,33
200
(unidades produzidas)
d) O ponto de interseção entre os gráficos de
R e C, em Economia, chama-se “ponto de
equilíbrio”, isto é, quando o custo e a recei-
ta são iguais: R = C.
Encontre o ponto de equilíbrio dessa em-
presa, ou seja, a quantidade de produtos
que devem ser produzidos diariamente para
garantir que não haja prejuízo. Analise o
gráfico e indique esse ponto.
Nesta situação, teremos R = C, logo 5x = 2x + 200, portanto
x = 66,6. Deste modo, devem ser vendidos 67 produtos para a
empresa estar em equilíbrio.

71
Professor, vale a pena discutir com a turma o
valor 66,66 de unidades produzidas, afinal,
como interpretar essa quantidade de unida-
des? Na construção do gráfico, admitimos as
grandezas envolvidas como números reais, o
que nos dá uma imagem contínua dos gráficos.
Esse número, 66,6, servirá como um valor ain-
daaserinterpretadopeloanalistadeprodução.
8. O gráfico a seguir indica o valor de um de-
terminado tributo territorial em função da
área de uma propriedade.
Tributo
(R$)
Áreadapropriedade(m2
)
1000
800
800
3800
4000
500
200
a) Qual é o valor do imposto a ser pago
por uma propriedade de 800 m2
?
A leitura imediata no gráfico fornece o valor do tributo:
y = 200 reais.
b) Existe algum tamanho de propriedade
(em m2
) cujo imposto cobrado seja exa-
tamente 500 reais?
Não, porque o tributo 500 reais está indicado no gráﬁco com
o sinal de “bola aberta”, o que signiﬁca não ter nenhum cor-
respondente em x (área da propriedade).
c) Determine uma sentença do tipo
y = mx + n, com y sendo o tributo em
reais, e x a área em m2
, válida para o
intervalo 800 ≤ x < 3 800.
Entre os pontos (800,200) e (3 800,500), temos: y = mx + n.
Para x = 800, temos y = 200, ou seja, 200 = m 800 + n.
Para x = 3 800, calculemos como se tivéssemos y = 500 (mes-
mo sabendo que o intervalo é aberto), apenas para ter a
equação da reta: 500 = 3 800 m + n. Resolvendo o sistema,
temos: m = 0,1 e n = 120.
A equação procurada é y = 0,1x + 120 (para 800 ≤ x < 3 800).
Havendo tempo disponível, o professor
poderá pedir aos alunos que determinem a
função do tipo y = mx + n para o intervalo
x ≥ 3800. Comparando o valor de m dessa
função com a determinada no item ante-
rior, percebe-se que a intenção subjacente
é a de cobrar mais imposto por m2
para
propriedades maiores do que 3 800 m2
.
Desafio!
Analise a situação da atividade 8,
apresentada na seção Você aprendeu?,
para o intervalo x ≥ 3800. Com base no
gráfico, é verdadeira a afirmação de que
o objetivo desse tributo territorial é co-
brar mais imposto por m2
para proprie-
dades maiores do que 3800 m2
?
Observando o gráfico, pode-se confirmar essa
afirmação, pois, de acordo com ele, é possível
concluir que a taxa de crescimento para terrenos
maiores do que 3 800 m2
,
1 000 − 800
4 000 − 3 800
= 200
200
=1, émaiordoquenosintervalos
anteriores. Nos terrenos com área menor que 800 m2
,
a taxa é 0 (ou seja, não há cobrança de impos-
tos) e, para as áreas entre 800 e 3 800 m2
, a taxa é
500 − 200
3 800 − 800
= 300
3 000
= 0,1.

72
b) Demonstre que, para se transformar
uma temperatura apresentada em graus
Celsius para graus Fahrenheit, a regra é
F = 1,8C + 32.
c) Calcule a quantos graus Celsius corres-
ponde uma temperatura de 95 ºF.
d) Calcule a quantos graus correspondem
300 K na escala Fahrenheit.
a) e b) Observando o esquema anterior, temos que os seg-
mentos que determinam as temperaturas nas diferentes
escalas representam a mesma parte do intervalo entre a
temperatura de fusão do gelo e a de ebulição da água, ou
seja, temos a proporção:
K − 273
373 − 273
= C − 0
100 − 0
=
F − 32
212 − 32
De tal proporção, concluímos que:
K − 273
100
= C
100
= F − 32
180
Ou seja,
K = C + 273
F = 1,8C + 32
c) Sendo F = 95, temos: 95 = 1,8C + 32, e então, C = 35
d) Uma temperatura de K = 300, corresponde a C = 27. Em
Fahrenheit, obtemos: F = 1,8 27 + 32, ou seja, F = 80,6.
10. O gráfico a seguir indica a produção brasi-
leira de petróleo, em milhões de barris, nos
anos de 2004 e 2005:
Produção
(milhões de barris)
Ano
596
535
2004 2005
9. Celsius, Fahrenheit e Kelvin são
as três escalas de temperatura mais
utilizadas. Sendo C o valor da tem-
peratura em graus Celsius, F a mesma tem-
peratura medida em graus Fahrenheit e K,
a temperatura em Kelvin, para converter
uma temperatura de uma escala para outra
considere os seguintes fatos fundamentais:
nas escalas Celsius e Kelvin, o “tama-
nho” do grau é o mesmo, havendo ape-
nas um deslocamento da origem: na
escala Celsius é no 0, e na escala Kelvin
é no 273;
na escala Celsius, a temperatura de fusão
do gelo é 0o
e a de ebulição da água é 100º;
na escala Fahrenheit, a temperatura de
fusão do gelo é 32º e a de ebulição da
água é 212º.
Com base nessas informações:
373
K C F
273
100
0
212
32
Kelvin Celsius Fahrenheit
ebulição
da água
fusão
do gelo
a) Demonstre que, para se transformar
uma temperatura dada em graus Cel-
sius para graus Kelvin, a regra é K =
= C + 273.

73
Admitindo que a taxa de crescimento do
período 2004-2005 se manteve no período
2005-2006, calcule o valor aproximado da
produção média anual, em milhões de bar-
ris, no ano 2006.
A taxa de crescimento é a razão entre a variação na produção
e a variação no tempo, o que representa o aumento da pro-
dução por ano. Portanto, a taxa m entre 2004 e 2005 foi igual a
m = 596 − 535
5 − 4
milhões de barris.
Se essa taxa permanecer constante, ou seja, se o gráfico
continuar sendo a mesma reta desenhada anteriormen-
te, no período 2005-2006 o aumento da produção seria
de 61 milhões de barris, e a produção estimada seria de
596 + 61 = 657 milhões de barris.
11. A figura a seguir ilustra uma folha de latão
que será usada na montagem de uma peça:
x + 10
2x + 4 2x + 4
x x
xx
a) Determine todos os valores possíveis de
x (em metros) para que o perímetro da
folha seja maior ou igual a 64 metros.
Sendo o perímetro igual à soma dos comprimentos de todos
os lados da folha, temos: 2(2x + 4) + 2x + 2x + 2(x +10) + 2x ≥ 64.
Sendo assim, concluímos que 4x + 8 + 2x + 2x + 2x + 20 + 2x ≥ 64,
ou seja, 12x ≥ 64 − 28, o que acarreta que x ≥ 3.
Portanto, x deve ser maior ou igual a 3 metros.
b) Determine todos os valores possíveis
de x (em metros) para que a soma dos
comprimentos representados em ver-
melho seja menor que a soma dos de-
mais comprimentos que completam o
perímetro da folha.
Do mesmo modo, temos:
2(x + 2x + 4 + x ) < 2x + 2(x +10)
2x + 4x + 8 + 2x < 2x + 2x +20
4x < 12, ou seja, x < 3.
Portanto, x deve ser maior que 0 e menor que 3 metros.
12. A velocidade V de um carro varia confor-
me o gráfico a seguir:
V(m/s)
tempo (s)
10
100 20 30
Escreva as três sentenças matemáticas que re-
presentam a velocidade do carro em função do
tempo como descrito no gráfico apresentado.
V(t) = t, 0 ≤ t ≤ 10
V(t) = 10, 10 < t ≤ 20
V(t) = 30 – t, 20 < t ≤ 30
Ao final desta Situação de Aprendizagem,
o reconhecimento de relações de proporciona-
lidade direta em diferentes contextos e a re-
presentação delas por meio de uma função de
1o
grau é o objetivo primordial que deverá ter
sido atingido.

74
de Aprendizagem 7
O texto a seguir constitui um roteiro
para a apresentação da ideia de função
É fundamental que os alunos tenham fei-
to a associação entre a ideia de variação di-
retamente proporcional e a de função de
1o
grau, tendo compreendido que:
quando y é diretamente proporcional a x e
ambos os valores, de x e y, começam a ser
medidos a partir do valor inicial zero, então
y = ax, sendo a uma constante não nula;
quando há a proporcionalidade direta en-
tre a variação de y medida a partir de cer-
to valor inicial b e os valores de x, então
y – b = ax, ou seja, y = ax + b;
de modo geral, em qualquer situação em
que as variações de duas grandezas in-
terdependentes são diretamente propor-
cionais, chegamos a uma expressão do
tipo f(x) = ax + b, ou seja, a uma função
do 1o
grau;
sendo f(x) = ax + b, então o coeficiente a
sempre representa a variação no valor da
função por unidade a mais de x, ou, em ou-
tras palavras, a taxa de variação de f(x) em
relação a x.
Na Situação de Aprendizagem seguinte,
as funções polinomiais do 2o
grau serão apre-
sentadas também a partir da ideia de propor-
cionalidade direta, agora de y em relação ao
quadrado de x.
FUNÇÕES POLINOMIAIS DE 2o
GRAU: SIGNIFICADO,
GRÁFICOS, INTERSEÇÕES COM OS EIXOS, VÉRTICES E SINAIS
Conteúdos e temas: proporcionalidade direta com o quadrado da variável independente; função de
2o
grau; gráficos de funções de 2o
grau – vértice, raízes, sinais.
Competências e habilidades: compreender a função de 2o
grau como expressão de uma propor-
cionalidade direta com o quadrado da variável independente; expressar por meio de gráficos
tal proporcionalidade.
Sugestão de estratégias: apresentação construtiva do significado e das propriedades da função de
2o
grau; exploração de exemplos ilustrativos e de exercícios exemplares envolvendo funções de 2o
grau para serem explorados pelo professor.
polinomial de 2o
grau. Desde o primeiro
momento, tal função é apresentada como
a representação de uma proporcionalida-
de direta entre uma grandeza e o quadra-
do de outra. Na 8a
série/9o
ano do Ensino

75
tenham visto tais assuntos, é quase certo
que não o viram da forma como são aqui
apresentados.
Apostamos na forma de tratamento esco-
lhida, que consideramos a menos técnica pos-
sível, ou a que mais permanece aderente ao
significado da relação de proporcionalidade
envolvida e esperamos que o professor avalie
o percurso sugerido na Situação de Aprendi-
zagem, mesmo não constituindo o caminho
mais usual.
Grandeza proporcional ao quadrado de outra: a função de 2o
grau f(x) = ax2
É possível obter um exemplo da relação de interdependência entre duas grandezas x e y em que
y é diretamente proporcional ao quadrado de x, isto é,
y
x2
= constante = k, ou seja, y = kx2
, quando
uma pedra é abandonada em queda livre. A distância vertical d que a pedra percorre é diretamente
proporcional ao quadrado do tempo de queda, ou seja, temos d = kt2
; sendo, neste caso, o valor de
k = 4,9 (metade da aceleração da gravidade do local).
De modo geral, a relação y = kx2
serve de base para iniciar o estudo das funções de 2o
grau, cuja
forma geral é f(x) = ax2
+ bx + c (a ≠ 0).
Paraexplicitartalfato,inicialmente,vamosexa-
minar o gráfico da função y = x2
, ou seja, f(x) = x2
.
Sabemos que o gráfico de y = x é uma reta
com inclinação igual a 1. Para construir o gráfico
de y = x2
, é preciso considerar alguns aspectos:
o quadrado de um número situado entre
0 e 1 é menor do que o próprio número, ou
seja, x2
< x para 0 < x < 1;
o quadrado de um número maior do que 1
é maior do que o próprio número, ou seja,
x2
> x para x > 1;
o gráfico de y = x2
é simétrico em relação
ao eixo y, uma vez que f(x) = f(–x) para
todo x;
é possível mostrar que o gráfico de y = x2
encosta “suavemente” no eixo x, sem
formar um “bico” (o que será feito na
atividade 2).
Fundamental, é possível que os alunos
já tenham tido um contato inicial com
tal função, ao estudarem as equações de
2o
grau. Abordaremos o tema, no entanto,
sem pressupor que ele já tenha sido estu-
dado anteriormente. Cabe ao professor, em
sua realidade específica, acelerar mais ou
menos a apresentação feita aqui. A aborda-
gem adotada é construtiva: todos os resul-
tados são justificados, sempre com base na
ideia de proporcionalidade anteriormente
referida. Assim, mesmo que os alunos já

76
Reunindo tais informações, temos o gráfi-
co esboçado a seguir. A curva correspondente
é uma parábola.
y
x
x
x 1
1
0
y = x2
y
=
xx2
Partindo do gráfico de f(x) = x2
, é fácil
construir o gráfico de f(x) = ax2
, com a ≠ 0:
Para tanto, a cada valor de x, devemos fa-
zer corresponder o produto ax2
, que é maior
que x2
, quando a > 1, e é menor do que x2
,
quando 0 < a < 1. Assim, as parábolas ficam
tanto mais “fechadas” quanto maior for o
valor de a; tanto mais “abertas” quanto me-
nor (mais próximo de zero) for o valor de a.
Alguns gráficos desse tipo são representados
a seguir:
Da mesma maneira, para os valores ne-
gativos de a, os gráficos mantêm a mesma
forma, mas os valores de y tornam-se nega-
tivos. Observe a figura a seguir:
y
x
y = 0,3x2
y = 0,7x2
y = x2
y = 5x2
y = 3x2
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
–2
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 2 3 4 5 6 7 8 91

77
Resumindo, observe que, quanto maior o
valor absoluto do coeficiente a, mais “fechada”
é a parábola; quanto menor o valor absoluto
de a, mais “aberta” ela é. O sinal de a indica se
a concavidade (a abertura) da parábola estará
voltada para cima (a > 0) ou para baixo (a < 0).
–9
y
a > 0
a < 0
x
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 2 3 4 5 6 7 8 91
16
14
12
10
8
6
4
2
0
–2
–4
–6
–8
–10
–12
–14
–16
y
x
6
4
2
0
–2
–4
–6
–8
–10
–12
–14
–16
–18
–20
–22
–24
–26
–9 –8
y = – 0,5x2
y = – x2
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 2 3 4 5 6 7 8 91
y = – 5x2
y = – 3x2
y = – 0,1x2

78
Algumas atividades, para a exploração do que
até aqui foi estudado, serão apresentadas a seguir.
1. Construa, no espaço a se-
guir, em um mesmo plano car-
tesiano, os gráficos das seguin-
tes funções a, b, c e d, e, em outro plano, os
gráficos das funções e, f, g e h.
a) f(x) = x2
b) f(x) = 2x2
c) f(x) = 10x2
d) f(x) =
1
10
x2
e) f(x) = –x2
f) f(x) = –2x2
g) f(x) = –10x2
h) f(x) = –
1
10
x2
Procureesboçarosgráficoscomparando-os
com os outros, sem necessariamente recor-
rer a tabelas com valores de x e de y; em
vez disso, leve em consideração os valores
relativos dos coeficientes de x2
.
a), b), c), d)
– 4
–4
1
1–2
–2
3
3–3
–3
2
2–1
–1
4
y
x
4
y = x2
y = 2x2
y = 10x2
y = 1
10
x2
e), f), g), h)
– 4
– 4
1
1–2
–2
3
3–3
–3
2
2–1
–1
4
y
y = – x2
y = – 2x2
y = – 10x2
y = – 1
10
x2
x
4
Observação: há uma sutileza sobre o gráfico
de f(x) = x2
.
Para construir o gráfico de f(x) = x2
, nota-
mos que:
1o
) x2
≥ 0 para todo número real x, ou seja,
o gráfico situa-se acima do eixo x;
2o
) f(x) = f(–x) para todo real x, ou seja,
o gráfico é simétrico em relação ao
eixo y;
3o
) como x2
≤ x para valores de x no inter-
valo de 0 a 1, então o gráfico de f(x) = x2
situa-se abaixo do gráfico de y = x no
intervalo entre 0 e 1;
4o
) como x2
> x para x > 1, o gráfico de
f(x) = x2
situa-se acima do gráfico
de y = x para x > 1.
Seguindo todas as conclusões anteriores, o
gráfico poderia ser como o indicado a seguir,
com um “bico” na origem:

79
y
x
O
f(x) = x2
Se o professor se interessar pela explicação
desse fato, basta acompanhar a solução da
atividade, apresentada a seguir.
y
x
O
Ocorre,noentanto,queográficodef(x)=x2
não tem “bico” na origem, encostando suave-
mente no eixo x.
Desafio!
Mostre que a curva do gráfico de
f(x) = x2
não tem um “bico” na origem do
sistema de coordenadas, ou seja, ela ape-
nas tangencia o eixo x.
Afirmarqueográficoapresentariaum“bico”naorigemsig-
nificaria dizer que existe uma reta inclinada em relação ao
eixo x tal que o gráfico de f(x) = x2
estaria situado acima de
tal reta para todos os valores de x, mesmo os mais próximos
de 0, conforme podemos verificar na figura a seguir.
y
xO
f(x) = x2
y = mx
Tal reta tangente seria o gráfico de uma função do tipo
y = mx, m > 0.
Teríamos, então: x2
≥ mx para todo x ≥ 0.
Ocorre, no entanto, que, se x2
≥ mx, então x2
− mx ≥ 0,
ou seja, x (x − m) ≥ 0 para todo x.
Mas notamos que, para valores de x entre 0 e m, os
valores do produto x (x − m) são negativos, ou seja,
x2
< mx, o que significa dizer que o gráfico de f(x) = x2
situa-se abaixo do gráfico de y = mx.
y
x
m
O
f(x) = x2
y = mx
Em outras palavras, para cada valor de m > 0, por menor
que seja, o gráfico de f(x) = x2
situa-se abaixo do gráfico
de y = mx, para valores de x entre 0 e m. Por exemplo,
mesmo que consideremos a reta y = 0,001x, para valores
de x entre 0 e 0,001, o gráfico de f(x) = x2
situa-se abai-
xo dessa reta. Concluímos, então, que não existe reta
y = mx tal que, para todo x, o gráfico de f(x) = x2
situe-se
acima da reta; e é exatamente isso que significa dizer
que o gráfico não tem um “bico” na origem.
x2
< mx, ou seja, x2
− mx < 0 para x entre 0 e m.

80
Nessescasos,ográficodef(x)=kx2
+vcon-
tinua a ser uma parábola, mas seus pontos
são deslocados, em relação ao conhecido
gráfico de y = k x2
, na direção do eixo y de
umvalorv:paracima,sev>0,ouparabaixo,
se v < 0.
Deslocamentos verticais: a função
f(x) = ax2
+ v
Quando a proporcionalidade entre y e x2
ocorre a partir de um valor inicial v, então
y – v = kx2
, ou seja, y = kx2
+ v.
x
y
v
v
f(x) = kx2
+ v
y = kx2
0
Uma situação como esta ocorre, por
exemplo, quando calculamos a distância d
de uma pedra abandonada a certa altura h
até o solo:
Neste caso, temos, então, d = h – 4,9t2
,
ou seja, h – d = 4,9t2
. Podemos obser-
var, a seguir, alguns gráficos de funções
desse tipo.
4,9t2
d = h – 4,9t2
h

81
2. Construa os gráficos das funções a, b, c
e d em um mesmo plano cartesiano e os
gráficos das funções e, f e g em outro pla-
no cartesiano, indicando, em cada caso, as
coordenadas do vértice.
y
x
–4 –3 –2 –1 2 3 41
4
3
2
1
–1
–2
–3
y = x2
+ 1
y = x2
+ 3
y = x2
– 1
y = x2
– 3
33–
y
x
y = 3x2
+ 7
y = 3x2
– 5
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
–2
–4
–6
–8
–10
–12
–14
–16
0–1 1 2 3 4–2–3–4
y = 3x2
y = –3x2
+ 5
y = –3x2
– 4
a) f(x) = x2
+ 1
b) f(x) = x2
+ 3
c) f(x) = x2
– 1
d) f(x) = x2
– 3
e) f(x) = –2x2
+ 1
f) f(x) = –3x2
– 5
g) f(x) = –0,5x2
+ 7
a) Vértice: (0,1).
b) Vértice: (0,3).
c) Vértice: (0,−1).
d) Vértice: (0,−3).

82
e) Vértice: (0,1). f) Vértice: (0, −5). g) Vértice: (0, 7).
Deslocamentos horizontais: a função
f(x) = a(x – h)2
Outra proporcionalidade direta entre
uma grandeza e o quadrado de outra ocorre
quando temos y diretamente proporcional
não a x2
, mas a (x – h)2
. Neste caso, temos
y = k(x – h)2
e o gráfico correspondente é
análogo ao de y = kx2
, deslocado horizon-
talmente de h unidades, para a direita, se
h > 0, ou para a esquerda, se h < 0.
y
x
–1 1 2 3 4 5 6 7 8–2–3–4–5
8
6
4
2
–2
–4
–6
–8
–10
–12
–14
–16
y = –2x2
+ 1
y = –3x2
– 5
y = –0,5x2
+ 7
y
x
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
–5
–6
0
y = (x + 3)2
y = x2
y = (x – 3)2

83
Um exemplo de situação semelhante
à que foi sugerida anteriormente ocorre
quando a grandeza y é diretamente pro-
porcional ao quadrado da variação no
valor de x a partir de certo valor inicial
h. Por exemplo, sendo E a energia elástica
armazenada em uma mola distendida de
x unidades a partir de seu comprimento
normal, então E = k x2
. Naturalmente, se
x = 0, então E = 0. Entretanto, se a escala
para medir a distensão da mola é tal que
temos E = 0 para x = h, então, quando a
mola estiver distendida de (x – h), sua ener-
gia E será tal que E = k(x – h)2
.
3. Construa, em um mesmo plano cartesiano,
os gráficos das funções a, b, c e d e, em ou-
tro plano cartesiano, os gráficos das fun-
ções e, f e g, indicando as coordenadas do
vértice de cada uma delas.
a) f(x) = (x + 1)2
b) f(x) = (x + 3)2
c) f(x) = (x – 1)2
d) f(x) = (x – 3)2
e) f(x) = –(x – 5)2
f) f(x) = –2(x + 3)2
g) f(x) = –3(x – 1)2
a) Vértice: (−1,0). c) Vértice: (1,0).
b) Vértice: (−3,0). d) Vértice: (3,0).
– 4
–4
1–2
–2
3–3
–3
2–1
–1
y
4
1
3
2
4
x
y = (x+1)2
y = (x+3)2
y = (x–1)2
y = (x–3)2
E
0 h
x
E = 0 E = k(x – h)2
E = 0 E = kx2
0 h
0
x
x
E = k(x -h)2
E
0
x
E = kx2

84
Deslocamentos verticais e/ou
horizontais: a função f(x) = a(x – h)2
+ v
No caso mais geral possível, podemos ter
a variação nos valores de uma grandeza y, a
partir de certo valor v, diretamente propor-
cional ao quadrado da variação nos valores
de x, a partir de certo valor h: em outras pa-
lavras, y – v = k(x – h)2
. Uma função deste
tipo é tal que f(x) = k(x – h)2
+ v, e tem como
gráfico também uma parábola, deslocada
horizontalmente de um valor h em relação
à parábola y = kx2
e deslocada vertical-
mente de um valor v em relação à parábola
y=k(x–h)2
.Ovérticedaparábolaéopontode
coordenadas (h,v). O gráfico a seguir traduz
o que se afirmou anteriormente.
e) Vértice: (5,0). f) Vértice: (−3,0). g) Vértice: (1,0).
y
x
4
2
–2
–4
–6
–8
–10
–12
–14
–16
–18
–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
x
y
f(x) = k(x – h)2
+ v
f(x) = kx2
f(x) = k(x – h)2
h0
v
f(x) = –(x – 5)2
f(x) = –2(x + 3)2
f(x) = –3(x – 1)2

85
Observe, a seguir, alguns exemplos de gráficos desse tipo de função:
4. Construa os gráficos das seguintes funções
e indique as coordenadas do vértice de
cada uma delas:
a) f(x) = (x + 1)2
+ 1 b) f(x) = –(x + 3)2
– 1
c) f(x) = –(x – 1)2
– 1 d) f(x) = (x – 3)2
+ 2
– 4 1–2 3–3 2–1
y
x
4
1
3
2
4
– 4
–2
–3
–1
y = (x+1)2
+1
y = –(x+3)2
–1
y = –(x–1)2
–1
y = (x–3)2
+2
a) Vértice: (−1,1). b) Vértice: (−3,−1).
c) Vértice: (1,−1). d) Vértice: (3,2).
5. Determine as coordenadas do
vértice dos gráficos das seguintes
funções e verifique se a função assu-
me um valor máximo ou um valor mínimo
em cada uma delas.
a) f(x) = (x + 3)2
–
1
2
Coordenadas do vértice:
(−3,−
1
2 ).
Ponto de mínimo: x = −3.
Mínimo valor da função: (−3) = −
1
2
.
b) f(x) = –(x – 2)2
–
5
2
(2,−
5
2 ).
Ponto de máximo: x = 2.
Máximo valor da função: −
5
2
.
x
y
–5 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
16
14
12
10
8
6
4
2
– 2
– 4
– 6
– 8
– 10
– 12
– 14
– 16
0
y = –3x2
+ 7
y = –5(x – 6)2
+ 3
y = –5(x – 3)2
– 8
y = 5(x – 3)2
+ 8
y = –3(x + 1)2
+ 9
y = 3x2
– 7

86
c) f(x) = (x – 1)2
+ 2
Coordenadas do vértice: (1,2).
Ponto de mínimo: 1.
Mínimo valor da função: 2.
d) f(x) = (x –
1
2 )
2
–
3
4
( 1
2
; −
3
4 ).
Ponto de mínimo:
1
2
.
Mínimo valor da função: −
3
4
.
e) f(x) = (x – 4)2
Ponto de mínimo: 4.
Mínimo valor da função: 0.
f) f(x) = –x2
+ 2
Ponto de máximo: 0.
Máximo valor da função: 2.
Forma geral de uma função de 2o
grau:
f(x) = ax2
+ bx + c
De modo geral, uma função tal que
f(x) = ax2 + bx + c, com a, b e c constantes,
sendo a ≠ 0, pode expressar uma situação
de interdependência em que uma grandeza
é diretamente proporcional ao quadrado de
outra, ou seja, sempre podemos escrever o
trinômio de 2o
grau ax2 + bx + c na forma
a(x – h)2 + v.
Se o trinômio ax2 + bx + c for um quadra-
do perfeito, podemos escrever ax2 + bx + c =
= a(x – h)2, e facilmente encontramos o valor de
h, explicitando o quadrado do primeiro membro.
Alguns exemplos são apresentados a seguir:
x2
– 6x + 9 = (x – 3)2
x2
+ 8x + 16 = (x + 4)2
x2
+ 7x +
49
4
=
(x +
7
2 )
2
5x2
+ 30x + 45 = 5(x2
+ 6x + 9) = 5(x + 3)2
Se o trinômio ax2 + bx + c não for um
quadrado perfeito, então ele será maior
do que um quadrado perfeito, ou me-
nor do que um quadrado perfeito; ou seja,
ax2 + bx + c = a(x – h)2 + v, sendo v um nú-
mero positivo ou negativo, dependendo de o
trinômio ser maior ou menor do que um qua-
drado perfeito.
Assim, sempre será possível escrever
f(x) = ax2 + bx + c na forma a(x – h)2 + v,
o que é equivalente a afirmar que todo trinô-
mio de 2o
grau pode ser interpretado como a
expressão da proporcionalidade direta entre
y – v e o quadrado de (x – h), para determi-
nados valores de h e v. Encontrar os valores de
h e v é encontrar as coordenadas do vértice da
parábola que corresponde ao gráfico de f(x).
Simetria do gráfico de f(x) = ax2
+ bx + c
A parábola que é o gráfico da função
de 2o
grau é uma curva que possui um
eixo de simetria vertical. Isso significa que
pontos de mesma ordenada possuem abscissas
equidistantesaesseeixo.Seoeixodesimetriafor

87
opróprioeixoy,então,paracadavalordey,cor-
respondem dois valores de x com sinais opostos:
(a,y) e (–a,y). Se o eixo de simetria estiver des-
locado horizontalmente de h unidades, então,
os pontos equidistantes terão coordenadas
(a + h,y) e (–a + h,y). Observe as figuras
a seguir:
Eixo de simetria
x = 0
–a a x
y
0
Eixo de simetria
x = h
–a + h a + hh x
y
0
O vértice da parábola situa-se no eixo de
simetria. Se as raízes de f(x) = 0 forem conhe-
cidas, a abscissa do vértice será o ponto mé-
dio do segmento determinado pelas raízes; se
a equação f(x) = 0 tiver apenas uma raiz real,
a abscissa do vértice será a própria raiz.
f(x) = ax2
+ bx + c
0
yv
c
xv
x
y
–
b
a
Mesmo no caso de a equação de 2o
grau
f(x) = 0 não ter raízes, podemos determinar o
vértice da parábola da seguinte maneira:
sabemos que f(0) = c;
sabemos que existe outro valor de x para
o qual a função também assume o valor c:
f(x) = c para ax2
+ bx + c = c;
logo, f(x) = c para ax2
+ bx = 0, ou seja,
para x = 0 ou x = –
b
a
;
a abscissa do xv
do vértice é, pois, igual à
média entre os valores 0 e –
b
a
, ou seja,
xv
=
0 +
(–
b
a )
2
= –
b
2a
;
para obtermos o valor da ordena-
da yv
do vértice, calculamos o valor de
f(xv
): yv
= f(xv
).
Nas atividades seguintes, os fatos anterior-
mente mencionados serão explorados.

88
6. Sabemos que o gráfico de
f(x) = ax2
+ bx + c, sendo a ≠ 0,
é uma parábola. A reta vertical
que passa pelo vértice da parábola é seu eixo
de simetria. Observe os gráficos a seguir:
(I) f(x) = x2
– 4
Eixo de simetria
em x = 0
0 1
1
– 1
– 2
– 3
– 4
2
3
4
5
2 3 4– 1– 2– 3– 4 x
y
(II) f(x) = x2
+ 2x = (x+1)2
– 1
0 1
1
–1
–2
2
3
4
5
6
7
8
9
2 3 4–3–4 x
y
Eixo de simetria
em x = –1
–2 –1
a) Na função (I), quando x = 1, qual é o
valor correspondente de y?
No gráfico (I), para x = 1, temos y = f(1) = −3.
b) Na função (II), quando x = 3, qual é o
valor correspondente de y?
No gráfico (II), para x = 3, temos y = f(3) = 15.
c) Complete a tabela com o valor corres-
pondente de x ou de y.
Usando as expressões algébricas das funções, obtemos os se-
guintes valores:
Função I
x 2 –2 4 −4 ou 4 –5 5 ou −5
y 0 0 12 12 21 21
Função II
x –3 1 6 − 1 ± 17 –5 −1±2 7
y 3 3 48 16 15 27
Vale a pena comentar com os alunos os resultados obti-
dos que refletem a ideia de simetria na parábola.
7. A seguir está representado o gráfico da
função f(x) = –x2
+ 4x = –(x – 2)2
+ 4.
y
0 1 4
x
m
n
V
a) Quais são as coordenadas do ponto V,
vértice da parábola?
Em razão da simetria do gráfico, concluímos que o vértice é o
pontomédiodosegmentodoeixoxentre0e4,ouseja,novérti-
ce temos x = 2. O valor de y correspondente é f(2) = −22
+ 4 2 = 4.
Logo, o vértice é o ponto V de coordenadas (2,4).
b) Quais são os valores de m e n, indicados
no gráfico?
Para x = 1, temos f(1) = 3, ou seja, m = 3. Como vemos que o va-
lor de f(n) também é igual a 3, então n é o simétrico do ponto

89
8. Determine a expressão algébrica de cada
uma das funções de 2o
grau representadas
pelas seguintes figuras:
x = 1 em relação ao vértice x = 2, ou seja, a distância de n até o
2 é igual à distância de 1 até o 2, isto é, n = 3. De fato, podemos
verificar que f(3) = 3.
Na Figura 1, podemos identificar os pontos (0,0), (2,−4)
e (4,0) pertencentes à parábola. Temos que a é positivo e c
vale 0, pois o ponto (0,0) pertence ao gráfico. Substituin-
do os valores de x e y na forma geral y = ax2
+ bx, obtemos:
−4 = a 22
+ b 2 e 0 = a 42
+ b 4.
Sendo assim, resolvendo o sistema 2a + b = −2 e 4a + b = 0, en-
contramos a = 1 e b = −4. Portanto, a função que corresponde
ao gráfico da Figura 1 é : f(x) = x2
− 4x.
Na Figura 2, podemos identificar os pontos (−4,0), (0,8) e
(2,0) pertencentes à parábola. Além disso, podemos concluir
que a é negativo e que o valor de y para x = 0 é 8, ou seja,
c = 8. Substituindo os outros valores de x e y correspondentes
aos pontos (−4,0) e (2,0) na expressão geral, y = ax2
+ bx + 8
obtemos as seguintes equações:
0 = a (−4)2
+ b (−4) + 8
0 = a 22
+ b 2 + 8
Resolvendo o sistema
4a + 2b = −8
16a − 4b = −8
obtemos a = −1 e b = −2.
Portanto, a função que corresponde ao gráfico da Figura 2 é:
f(x) = −x2
− 2x + 8.
Na Figura 3, podemos identificar os pontos (−3,8),
(0,2) e (1,4) pertencentes à parábola. Pelo gráfico, po-
demos concluir que a é positivo e c vale 2, pois o ponto
(0,2) pertence ao gráfico. Substituindo os valores de x e y
correspondentes aos outros dois pontos na expressão geral,
y = ax2
+ bx + 2,obtemos as seguintes equações:
8 = a (−3)2
+ b (−3) + 2
4 = a 12
+ b 1 + 2
Resolvendo o sistema
9a − 3b = 6
a + b = 2
obtemos: a = 1 e b = 1.
Portanto, a função que corresponde ao gráfico da Figura 3 é:
f(x) = x2
+ x + 2.
9. Considere as funções de 2o
grau f(x) = ax2
+
+ bx + c indicadas a seguir. Descubra se as
equações de 2o
grau correspondentes têm duas,
4
y
y
8
2– 4 0 x
x2
– 4
0
0
1
1
2
4
8
– 3 x
y
Figura 1 Figura 2
Figura 3

90
10. Determine as raízes da equação de 2o
grau
ax2
+ bx + c = 0 e o sinal da função f(x) = ax2
+
+ bx + c, para todos os valores possíveis de x,
em cada um dos casos apresentados:
Nesse caso, o aluno pode adotar diferentes estratégias para
encontrar as raízes das equações, entre elas o método de
Bhaskara. Aqui são privilegiadas soluções que exploram o
conteúdo apresentado nesta Situação de Aprendizagem.
a) 3x2
+ 12x + 11 = 0
Calculando os valores de xv
e yv
, temos:
xv
= −
b
2a
= −
12
6
= −2; yv
= f(−2) = 3 (−2)² + 12 (−2) + 11 = −1
Como a = 3 > 0 e yv
= −1 < 0, conclui-se que a equação tem
duas raízes distintas.
As raízes são x1
= xv
− −
yv
a
e x2
= xv
+ −
yv
a
; substituindo
os valores de yv
e a, obtemos: x1
= −2 −
1
3
e x2
= −2 +
1
3
.
O sinal de f(x) = 3x2
+ 12x + 11 é positivo (igual ao de a)
para valores de x fora do intervalo das raízes, ou seja, para
x > −2 +
1
3
ou para x < −2 −
1
3
; é negativo (contrário
ao de a) para valores de x no intervalo das raízes, ou seja, para
−2 −
1
3
< x < −2 +
1
3
.
b) –4x2
+ 12x – 9 = 0
Da mesma maneira, temos xv
=
3
2
e yv
= f
3
2
= 0; logo, as
duas raízes são iguais a xv
=
3
2
.
Sobre o sinal, f(x) = −4x2
+ 12x − 9 é sempre menor ou igual a 0,
pois a < 0; somente temos f(x) = 0 para x = xv
=
3
2
.
c) –2x2
+ 10x – 13 = 0
Calculando xv
e yv
, obtemos xv
=
5
2
e yv
= f
5
2
= −
1
2
< 0.
uma ou nenhuma raiz real, calculando o valor
da ordenada yv
do vértice da parábola, que é
o gráfico da função. Ou seja, determine o nú-
meroderaízesdecadaequaçãosemresolvê-las.
a) f(x) = 3x2 + 12x + 11
Já vimos que a abscissa xv
do vértice da parábola é igual a −
b
2a
.
Temos xv
= −
12
2 3
. Calculando yv
, obtemos:
yv
= f(xv
) = f(−2) = −1 < 0.
Como a = 3 > 0 e yv
< 0, então a equação tem duas raízes
reais distintas.
b) f(x) = 3x2 – 12x + 15
Temosxv
= 12
2 3
=2.Calculandoyv
,obtemos:yv
=f(xv
)=f(2)=3>0.
Como a = 3 > 0 e yv
> 0, então a equação não tem raízes reais.
c) f(x) = –2x2 – 16x + 5
Temos xv
= −4 e yv
= f(−4) = 37 > 0; como a = −2 < 0, segue que a e
yv
têmsinaiscontrários,eaequaçãotemduasraízesreaisdistintas.
d) f(x) = –2x2 + 10x – 13
Temos xv
=
5
2
e yv
= f
5
2
= −
1
2
< 0; como a = −2 < 0, segue
que a e yv
têm sinais iguais e a equação não tem raízes reais.
e) f(x) = 11x2 – 5x + 1
2
Temos xv
=
5
22
e yv
= f
5
22
= −
3
44
<0; como a = 11 > 0, segue
que a e yv
têm sinais contrários, e a equação tem duas raízes
reais distintas.
f) f(x) = –4x2 + 12x – 9
Temos xv
= 3
2
e yv
= f
3
2
0; como yv
= 0, segue que a
equação tem duas raízes iguais.

91
Como a = −2, a razão −
yv
a
é negativa, e a equação não tem
raízes reais.
Como a equação f(x) = 0 não tem raízes reais, a função
f(x) = −2x2
+ 10x −13 tem sempre o mesmo sinal, que é o sinal
de a (negativo), qualquer que seja o valor de x.
11. O gráfico a seguir representa o
rendimento bruto R(q) de uma
empresa em função da quantidade
q de produtos fabricados mensalmente. Os
valores de R são expressos em milhares de
reais, e a quantidade produzida q, em mi-
lhares de unidades. Sabe-se que a curva re-
presentada é uma parábola.
q
64
160
R(q)
A partir das informações contidas no gráfi-
co, responda:
a) Qual é a expressão algébrica da função
R(q)?
Para se determinar a expressão algébrica da função R(q),
sabendo-se que a curva é uma parábola, escrevemos:
R(q) = aq2
+ bq, pois o valor correspondente de c é zero, uma
vez que a curva intercepta o eixo vertical na origem. Como
R(16) = 0, concluímos que
a 162
+ b.16 = 0, ou seja, que 16a + b = 0.
Em razão da simetria da parábola, concluímos que o valor de
q no vértice é o ponto médio do segmento de 0 a 16, ou seja,
é igual a 8. Como vemos que R(8) = 64, temos:
a 82
+ b 8 = 64, ou seja, 8a + b = 8.
Resolvendo o sistema formado pelas equações 16a + b = 0 e
8a + b = 8, obtemos:
a = −1 e b = 16, ou seja, R(q) = −q2
+ 16q.
b) Qual é o rendimento bruto máximo?
A observação direta do gráﬁco nos mostra que o rendimento
máximo é igual a R$ 64 mil.
c) Qual é a quantidade produzida que ma-
ximiza o rendimento bruto da empresa?
O valor de q que conduz ao rendimento máximo é q = 8, ou
seja, é a produção de 8 mil unidades.
d) Qual é o rendimento bruto que a em-
presa obtém para a produção de 15 mil
unidades? E de 20 mil unidades? Como
interpretar este último resultado?
O rendimento para q = 15 é igual a R(15) = −(15)2
+ 16 15 =
= 15, ou seja, é 15 mil reais. Para q = 20, no entanto, temos
R(20) = −202
+ 16 20 = −80, ou seja, é negativa, o que signiﬁca
que a produção estará dando prejuízo de 80 mil reais.
Esse resultado pode surpreender os alunos, pois não é in-
tuitivo supor que, para uma produção maior, se obtenha
lucro negativo. Contudo, isso se deve a uma questão de
ordem econômica. Se a empresa possui uma estrutura
produtiva montada para um determinado nível de produ-
ção, a partir de certo ponto, passa a haver ineficiência pro-
dutiva devido a alguns fatores: alto custo de horas extras
pagas, espaço físico limitado para um número de trabalha-
dores, desgaste excessivo de máquinas etc. Por essa razão,
a função que representa o lucro é decrescente a partir de
um determinado nível de produção, correspondente ao
vértice da parábola, no caso.
12. Determine, para as funções a seguir, os
valores máximos ou mínimos atingidos
em cada caso, indicando o valor de x
em tais extremos.

92
a) f(x) = 3(x – 12)2
+ 100
Valor mínimo é 100; ponto de mínimo é x = 12.
b) f(x) = –x2
+ 10
Valor máximo é 10; ponto de máximo é x = 0.
c) f(x) = x2
+ 6x + 9
Podemos veriﬁcar que f(x) = (x + 3)2
; logo, o valor mínimo da
função é 0, e o ponto de mínimo é x = − 3.
d) f(x) = 3x2
+ 30x + 75
Podemos escrever f(x) = 3(x2
+ 10x + 25) = 3(x + 5)2
; logo, o
valor mínimo é 0, e o ponto de mínimo é x = −5.
e) f(x) = –x2
+ 10x
Podemos escrever f(x) = −x2
+ 10x − 25 + 25, ou seja,
f(x) = −(x − 5)2
+ 25; logo, o valor máximo é 25, e o ponto de
máximo é x = 5.
f) f(x) = x2
+ 8x + 21
Podemos escrever f(x) = x2
+ 8x + 16 + 5, ou seja, f(x) = (x + 4)2
+ 5;
logo, o valor mínimo é 5, e o ponto de mínimo é x = −4.
Funções de 2o
grau e raízes da equação de
2o
grau: discussão
O estudo das raízes da equação de 2o
grau
ax2
+ bx + c = 0, que já foi feito na 8a
série/9o
ano
do Ensino Fundamental, será aqui retomado sob
outra perspectiva.
Já vimos que o gráfico de uma função de
2o
grau f(x) = ax2
+ bx + c é uma parábola,
que tem um vértice (xv
,yv
) e um eixo de sime-
tria vertical (paralelo ao eixo y).
Para determinar as coordenadas do vér-
tice da parábola, devemos considerar os se-
guintes aspectos:
sabemos que f(0) = c;
em razão da simetria do gráfico, existe outro
valor de x tal que f(x) = c; assim: ax2
+ bx +
+ c = c acarreta ax2
+ bx = 0, de onde obte-
mos x = 0 ou x = –
b
a
;
a abscissa xv
do vértice é a média aritmética
dos dois valores obtidos:
xv
=
0 + (–
b
a )
2
, ou seja, xv = –
b
2a
;
para determinar o valor de yv
, calculamos
f(xv
) e obtemos:
yv
= f(xv
) = a (–
b
2a)
2
+ b (–
b
2a)+ c, ou seja,
yv
=
4ac – b2
4a
.
Naturalmente, sabendo o valor de xv
, não
precisamos de fórmula alguma para determi-
nar yv
, mas apenas substituir o valor de xv
na
função f(x).
Calculando-se as coordenadas do vérti-
ce da parábola yv
, podemos determinar se
a equação do segundo grau correspondente
tem ou não tem raízes. Basta observar os si-
nais de a e de yv
, conforme mostram as figu-
ras a seguir:

93
y
y
x
x
a < 0
DUAS RAÍZES DISTINTAS
(os sinais de a e de yv
são opostos)
a > 0
yv
> 0
yv
< 0
y
y
x
x
DUAS RAÍZES IGUAIS (UMA RAIZ REAL)
(yv
é igual a zero)
a > 0
yv
= 0
yv
= 0
a < 0
y
y
x
x
NÃO EXISTEM RAÍZES REAIS
(os sinais de a e de yv
são iguais)
a < 0
a > 0
yv
< 0
yv
> 0
Observação para o professor:
Neste ponto, podem ser apresentados aos alunos outros exercícios do mesmo tipo, para desenvolver a
habilidade de se concluir a respeito do número de raízes de uma equação de 2o
grau apenas calculando-
-se a ordenada do vértice e comparando com o sinal de a. Naturalmente, a observação da ordenada
yv
=
4ac –b2
4a
= –
∆
4a
leva às mesmas conclusões sobre as raízes, discutindo-se o sinal de Δ = b2
– 4ac,
pois temos yv
4a = –Δ. Quando, por exemplo, yv
e a têm o mesmo sinal, significa que o valor de Δ é nega-
tivo, e a equação não tem raízes reais. No presente Caderno, optou-se pela observação direta dos sinais
de a e de yv
em razão do significado geométrico mais imediato da existência ou inexistência das raízes. A
escolha final do caminho para a apresentação do tema, no entanto, fica a critério do professor.

94
Raízes da equação e sinais da função
de 2o
grau
Já vimos como descobrir as informações
sobre as raízes de uma equação de 2o
grau sem
ter que resolvê-la, comparando os sinais do
coeficiente a e da ordenada do vértice yv
, ob-
tida a partir da abscissa do vértice xv = –
b
2a
.
Para obter as raízes da equação, podemos
proceder da seguinte forma:
dispondo das coordenadas xv
e yv
do
vértice da parábola que é o gráfico de
f(x) = ax2 + bx + c, podemos escrever que,
para todo valor de x:
ax2 + bx + c = a(x – xv
)2 + yv
;
assim, para resolver a equação f(x) = 0,
basta resolver a equação a(x – xv
)2 + yv
= 0,
de onde obtemos (x – xv
)2 = –
yv
a
, ou seja,
x – xv
= ± √––––
yv
a
e; então, x = xv
± √––––
yv
a
;
as duas raízes da equação dada, quando
existem, são iguais a: x1
= xv
– √––––
yv
a
e
x2
= xv
+ √––––
yv
a
.
Como já vimos, a existência ou não de
raízes está associada aos sinais diferentes ou
iguais de a e de yv
; quando yv
= 0, as duas raí-
zes são iguais a xv
.
Sobre os sinais de f(x), notamos que:
f(x) tem o mesmo sinal de a para valores de
x fora do intervalo das raízes;
f(x) tem o sinal contrário ao de a no intervalo
aberto que tem as raízes como extremidades;
naturalmente, quando yv
= 0, a função tem
sempre o sinal de a, exceto apenas para
x = xv
, quando assume o valor zero.
Observando as figuras a seguir, compreende-se o significado disso:
y y
x
x
a < 0
f(x) tem sinal contrário ao de a no
intervalo das raízes
a > 0
yv
> 0
x1
x1
x2
x2
yv
< 0

95
Observação para o professor:
Neste ponto, outras atividades semelhantes
podem ser apresentadas aos alunos, para de-
senvolver a habilidade de se tirar conclusões
sobre o valor das raízes e o sinal da função de
2o
grau, sempre com base nas coordenadas
do vértice. Naturalmente, a fórmula para as
raízes aqui encontradas
(x = xv
±
√––––
yv
a )é
a conhecida fórmula de Bhaskara, quando se
substituem os valores de xv
e yv
. No presente
Caderno, optou-se pela apresentação da fór-
mula que explicita diretamente a simetria das
raízes em relação ao valor de xv
, mas a esco-
lha final do caminho para a apresentação do
tema fica a critério do professor.
A forma de apresentação dos conteúdos
não foi a usualmente presente nos materiais
didáticos disponíveis. O objetivo fundamental
foi a apresentação da função y = ax2
+ bx + c
como a expressão de uma relação de pro-
porcionalidade direta entre as variações de y
(a partir de um valor inicial yv
) e o quadrado dos
valores de x (a partir de um valor inicial xv
), ou
seja, y – yv
= a(x – xv
)2
. Todos os resultados que
os alunos precisam conhecer (coordenadas do
vértice da parábola, raízes da equação do segun-
do grau, sinais da função f(x) etc.) foram dedu-
zidos a partir dessa forma de apresentação, que
y
y
y
y
x
x
x
x
f(x) tem o mesmo sinal de a;
é zero apenas no vértice
f(x) tem sempre o mesmo sinal de a,
para todo x real
a < 0
a > 0
a > 0
yv
= 0
yv
< 0
yv
= 0
yv
> 0
a < 0

96
consideramos mais significativa. Entretanto, na
avaliação final da aprendizagem desses conteú-
dos, o que importa é o conhecimento dos fatos
fundamentais sobre a função do segundo grau,
sobre equações e inequações do segundo
grau, e não o modo como foram explicados. As-
sim, mesmo sem seguir literalmente as explica-
ções apresentadas, o professor deverá avaliar se
os alunos compreendem efetivamente que:
o gráfico de uma função f(x) = ax2
+ bx +
+ c (a ≠ 0) é uma parábola com a concavi-
dade para cima se a > 0, e com a conca-
vidade para baixo se a < 0;
quanto maior o valor absoluto de a, mais
“fechada” é a parábola; quando mais pró-
ximo de 0, mais “aberta” ela é;
o vértice (xv
,yv
) da parábola pode ser de-
terminado a partir dos coeficientes a, b e c,
sendo xv
= –
b
2a
e yv
= f(xv
);
as raízes da equação ax2
+ bx + c = 0 são
x1
= xv
–
√––––
yv
a
e x2
= xv
+ √––––
yv
a
;
os resultados anteriores traduzem a conhe-
cida fórmula de Bhaskara para as raízes;
o estudo do sinal da função pode ser fei-
to a partir do conhecimento das raízes
(dentro do intervalo das raízes, a função
tem sempre sinal contrário ao de a; fora
dele, tem sempre o sinal de a; quando
não existem raízes, a função tem sempre
o mesmo sinal de a).
PROBLEMAS ENVOLVENDO FUNÇÕES DE 2o
GRAU
EM MÚLTIPLOS CONTEXTOS; PROBLEMAS DE
MÁXIMOS E MÍNIMOS
Conteúdos e temas: problemas envolvendo equações, inequações e funções de 2o
grau em diferentes
contextos; problemas envolvendo máximos ou mínimos de funções de 2o
grau.
Competências e habilidades: compreender fenômenos que envolvem a proporcionalidade direta entre
uma grandeza e o quadrado de outra, traduzindo tal relação na linguagem matemática das funções;
equacionar e resolver problemas que envolvem funções de 2o
grau, particularmente os que envolvem
otimizações (máximos ou mínimos).
Sugestão de estratégias: apresentação de exemplos ilustrativos e de exercícios exemplares envol-
vendo grande parte dos conteúdos estudados na Situação de Aprendizagem 7, sobre equações,
inequações e funções de 2o
grau, para serem explorados pelo professor.

97
de Aprendizagem 8
Nesta Situação de Aprendizagem, vamos
abordar diversos problemas que envolvem
equações, funções e inequações de 2o
grau. Pra-
ticamente todos os conteúdos sobre tais temas
foram estudados na Situação de Aprendizagem
7 e serão aqui retomados. Os exercícios e pro-
blemas apresentados são apenas exemplares de
uma classe de problemas que pode ser explora-
da pelo professor em sua aula, em sintonia com
o tempo disponível e o interesse de seus alunos.
São vários os contextos de nossa vida em
que o conhecimento sobre as funções polino-
miais de 2º grau nos permite organizar, avaliar
e prever o comportamento de certos fenôme-
nos, sejam eles sociais ou naturais. O foco desta
Situação de Aprendizagem é abordar alguns
desses problemas, aplicando o que foi aprendi-
do na Situação de Aprendizagem anterior.
1. Na administração de uma
empresa, procura-se estabele-
cer relações matemáticas entre
as grandezas envolvidas, tendo em vista a
otimização da produção, ou seja, a busca
de um custo mínimo ou de um rendimento
máximo. Naturalmente, as relações obtidas
decorrem de certas hipóteses sobre o modo
de produção, que envolvem tanto a propor-
cionalidade direta quanto a inversa, a pro-
porcionalidade entre uma grandeza e o
quadrado de outra, o crescimento expo-
nencial, entre outras possibilidades. Uma
disciplina que trata da formulação de mo-
delos matemáticos (fórmulas) para repre-
sentar tais relações de interdependência
chama-se Pesquisa operacional.
Suponha que, em certa empresa de produtos
eletrônicos,aorganizaçãodaproduçãosejatal
que o custo total C para produzir uma quanti-
dade q de determinado produto seja apresen-
tado pela função C(q) = q2
– 1000q + 800000
(C em reais, q em unidades do produto).
a) Determine o nível de produção (valor
de q) que minimiza o custo total C e cal-
cule o valor do custo mínimo.
A pergunta é qual o valor de q que corresponde ao mínimo
valor da função C(q).
A função C(q) é de 2o
grau, traduzindo algum tipo de propor-
cionalidade direta entre uma grandeza e o quadrado de outra.
Seu gráﬁco é uma parábola cujo vértice encontra-se no ponto
qv
= −
(−1000)
2
= 500.
O nível de produção que corresponde ao custo mínimo é, pois,
q = 500; o valor do custo mínimo é C(500) = 5002
− 1 000 500 +
+ 800 000 = 550 000 reais.
b) Represente o gráfico de C(q).
O gráﬁco de C(q) é uma parábola com a concavidade para
cima, cortando o eixo C no ponto de ordenada 800 000, e
com vértice no ponto (500; 550000):
C
q
C(q) = q2
– 1000q + 800000
0
800000
550000
300 500 700 1000
c) Para q = 0, o custo é igual a R$ 800 mil.
Como pode ser interpretado tal fato?

98
O custo inicial C(0) = 800000 corresponde ao custo ﬁxo, in-
dependentemente de se iniciar a produção (aluguéis, equi-
pamentos, salários etc.).
d) Qual é o nível de produção que corres-
ponde a um custo de R$ 800 mil?
No modelo de produção suposto, o custo de R$ 800 mil cor-
responde a dois níveis de produção. Para determiná-los, bas-
ta resolver a equação C(q) = 800000, ou seja:
q2
−1000q+800000=800000,deondeobtemosq=0ouq=1000.
e) Do ponto de vista do custo, tanto faz um ní-
vel de produção q = 300 ou um nível de pro-
duçãoq=700.Edopontodevistadorendi-
mentobruto(faturamentodaempresa)?
De fato, do ponto de vista do custo, dois níveis de produção si-
métricosemrelaçãoaovérticedaparábola,comosão300reaise
700 mil reais, correspondem ao mesmo custo; no caso, C(300) =
= C(700) = 590 000. Entretanto, do ponto de vista do rendimento
bruto, certamente é preferível o nível de produção maior.
2. Para delimitar um galinheiro em um am-
plo quintal, dispõe-se de 80 m (lineares) de
uma tela. Deseja-se usar completamente
a tela disponível, e a região cercada deve
ser um retângulo. Fixado o perímetro, são
inúmeras as possibilidades para os lados
do retângulo, como podemos perceber nos
exemplos a seguir:
25 m 23 m
10 m
30 m
15 m 17 m
A área A do retângulo é uma função do com-
primento de seus lados. Entre todas as possi-
bilidades para os lados, procura-se, natural-
mente, aquela que corresponde à maior área
possível para o retângulo.
40 – x
x
Dessa forma:
a) Quais devem ser as medidas dos lados
do retângulo para que sua área seja a
maior possível?
Chamando um dos lados de x, o outro será 40 − x, e a área do
retângulo será igual a A(x) = x (40 − x).
Buscamos o valor de x para que a área A(x) atinja o valor máximo.
A(x) é uma função de 2o
grau: A(x) = x (40 − x) = −x2
+ 40x.
Seugráﬁcoéumaparábolacomaconcavidadevoltadaparabaixo.
As raízes da equação de 2o
grau A(x) = 0 são x = 0 ou x = 40.
O vértice da parábola é o ponto onde xv
= 20, ponto médio do
segmento determinado pelas raízes (o vértice também poderia
tersidoobtidopormeiodaexpressãoxv
=−
b
2a
=−
40
−2
=20).
Osladosdoretângulodeáreamáximaserão,portanto,20e40−20,
ouseja,oretângulodeáreamáximaéumquadradodelado20.
b) Qual é o valor da área máxima?
O valor máximo de A(x) é: A(xv
) = −(20)2
+ 40 20 = 400 m2
.
3. Deseja-se murar (cercar com muros) um
terreno retangular utilizando-se de uma pa-
rede já existente no terreno. Sabe-se que o
comprimento de muro que será construído
para cercar os outros três lados do terreno
deverá ter 36 m de comprimento.

99
x
Parede
a) Expresse a área A desse terreno em
função de x (medida de um dos lados
do retângulo).
Sendo o comprimento dos 3 lados do muro igual a 36 m, se
um dos lados é x, o outro será 36 − 2x, e a área do retângulo
será: A(x) = x (36 − 2x).
b) Construa o gráfico de A em função do
lado x.
O gráfico de A(x) é uma parábola com a concavidade para
baixo, tendo como raízes da equação de 2o
grau correspon-
dente os valores 0 e 18.
A
x
A(x) = 36x – 2x2
0 189
162
c) Calcule a área máxima que o terreno cer-
cado pode ter e suas respectivas dimensões.
O valor máximo da área A corresponde a x = 9 (ponto mé-
dio do segmento entre as raízes); a área máxima é igual a
A(9) = 36 9 − 2 92
= 162 m2
.
4. Um criador de gado tem um bezerro de de-
terminada raça para vender. Esse bezerro pesa
atualmente 200 quilos e engorda 2 quilos por
dia. Inicialmente, o criador acha que, quan-
to mais tempo esperar para vender o bezer-
ro, melhor será, pois o bezerro ganhará mais
peso. Entretanto, um de seus funcionários
lembra o criador de que o preço de venda, que
hoje é 50 reais por quilo, está caindo 40 cen-
tavos por dia. A escolha da melhor data para
vender o bezerro depende, então, de duas va-
riáveis: a engorda diária e a queda nos preços
pagos por quilo. Com base nas informações
fornecidas, mantida a situação atual, pede-se:
a) Determine a melhor data para se vender o
bezerro, contada a partir de hoje.
Nossa incógnita é o valor x de dias, contados a partir de hoje,
após os quais o bezerro deve ser vendido, de modo a gerar o
maior retorno y possível, em reais.
Para encontrar o valor de y, devemos multiplicar o peso p (mas-
sa) em quilos do bezerro pelo valor v pago por quilo: y = p v.
O enunciado informa que o peso p aumenta 2 quilos por dia,
a partir do valor inicial 200 quilos, ou seja, p = 200 + 2x, em que
x é o número de dias decorridos até a venda.
O valor v de cada quilo, no entanto, decresce à razão de 40
centavos por dia, a partir do valor inicial de 50 reais; temos,
então, que v = 50 − 0,40x.
Logo, o valor arrecadado será igual a y = p v, ou seja,
y = (200 + 2x) (50 − 0,40x) = −0,80x2
+ 20x + 10 000
O valor a ser arrecadado é, portanto, uma função do 2o
grau:
f(x) = −0,80x2
+ 20x + 10 000
Determinar a melhor data para vender o bezerro corresponde
a buscar o valor de x para o qual f(x) assume seu valor máximo.
De fato, a função tem o coeficiente a negativo (a = −0,80)
e, portanto, apresenta um valor máximo. Tal valor máximo
ocorre exatamente no vértice do gráfico de f(x). Calculando
o valor de xv
, obtemos: xv
= −
b
2a
= − 20
−1,60
= 12,5. Con-
cluímos, então, que, mantidas as condições atuais, a melhor
data para vender o bezerro é daqui a 12,5 dias, ou seja, entre
o 12o
e o 13o
dia.

100
b) Calcule o valor em reais que será
arrecadado em tal venda.
O valor a ser arrecadado com a venda é:
f(12,5) = −0,80 12,52
+ 20 12,5 + 10 000, ou seja, é igual a
R$ 10125,00.
c) Construa um gráfico que represente o
valor y a ser arrecadado pelo criador na
venda do bezerro (em reais) em função
do tempo x de espera (em dias).
O gráﬁco de f(x) é mostrado a seguir: trata-se de uma parábola
com a concavidade para baixo, tendo como vértice o ponto
(12,5,10 125).
y
x
f(x) = –0,80x2
+ 20x + 10000
0 12,5
10125
10000
d) Determine quantos dias levará para
que o total arrecadado pelo criador
seja igual a zero.
O valor arrecadado pelo criador será zero quando tivermos
− 0,80x2
+ 20x + 10 000 = 0
Procurando as raízes dessa equação, encontramos:
x = xv
± −
yv
a
= 12,5 ± −
10125
−0,80
= 12,5 ± 12656,25=
= 12,5 ± 112,5.
Uma das raízes é negativa e não faz sentido para o problema;
a outra, a positiva, é igual a 12,5 + 112,5 = 125 dias.
Uma maneira mais simples de responder a essa questão teria
sido aproveitar a forma fatorada da equação de 2o
grau, pois
sabíamos, desde o início, que
(200 + 2x) (50 − 0,40x) = −0,80x2
+ 20x + 10 000
Logo, para obter as raízes, bastaria igualar a zero os fatores
do primeiro membro, obtendo x = −100, que não faz sentido
no problema, e x = 50
0,40
= 125, que é a solução anterior-
mente encontrada.
5. Um foguete, que é lançado de uma base
militar, apresenta um defeito em pleno voo
e, segundo os cálculos, deverá cair sobre
uma região habitada. O gráfico a seguir
representa a trajetória desse foguete, sendo
x e y dados em metros. O gráfico também
apresenta a trajetória praticamente retilí-
nea de um míssil que foi lançado da mesma
base para interceptar o foguete e evitar um
possível desastre. Suponha que a trajetória
do míssil seja dada pela função y = 40x.
3600
y
60 120
y = 40x
x
a) Com base nos dados do gráfico, encon-
tre a sentença que representa a trajetó-
ria do foguete.
y = x(120 − x) = −x² + 120x
b) Calcule a que altura do solo o míssil in-
terceptará o foguete.

101
Devemos efetuar −x2
+ 120x = 40x, isto é, −x2
+ 80x = 0 e, por-
tanto, x = 0 ou x = 80. Como y = 40x, y = 40 80 = 3 200. Logo, o
míssil interceptará o foguete a 3 200 metros de altura.
6. Em determinado país ocorreu
uma epidemia provocada por uma
espécie de vírus. Inicialmente, fo-
ram detectadas 2 mil pessoas infectadas. A
estimativa dos epidemiologistas é a de que o
número N de doentes cresça até o valor má-
ximo L, que deverá ocorrer após seis sema-
nas do aparecimento do vírus, devendo de-
crescer a partir de então. Supõe-se que a
diferença N(t) – L seja diretamente propor-
cional ao quadrado da diferença entre t e 6,
ou seja, quando dobra a distância entre t e
6 (valor que será o pico da doença), a que-
da no número de infectados torna-se qua-
tro vezes maior:
N(t) = k (t – 6)2
+ L (k é uma constante).
Com base nesse modelo, e sabendo que
duas semanas após o início da epidemia
havia 2 100 pessoas infectadas, responda:
a) Quais são os valores de k e L?
Sabemos que o valor de N para t = 0 é 2000, e para t = 2 é
2100; a partir dessas informações, podemos calcular os coe-
ficientes k e L:
N(0) = k (0 − 6)2
+ L = 2 000
N(2) = k (2 − 6)2
+ L = 2 100
Concluímos, então, que 36k + L = 2 000 e 16k + L = 2 100.
Daí segue que k = −5 e L = 2 180.
Temos, portanto: N(t) = −5 (t − 6)2
+ 2 180
b) Como é o gráfico de N(t)?
O gráfico de N(t) é o mostrado a seguir:
N
t
N(t) = –5 (t – 6)2
+ 2180
?0 6
2180
2000
2100
c) Qual será o número máximo de pessoas
infectadas?
Como se pode depreender da expressão N(t) e do gráfico, o
valor máximo para N é 2 180.
d) Depois de quantas semanas o número
de infectados cairá a zero?
O número de doentes cairá a zero quando tivermos N(t) = 0,
ou seja, quando −5(t − 6)2
+ 2 180 = 0.
Calculando o valor de t, obtemos:
(t − 6)2
= 436 t − 6 20,9 t 26,9 semanas
(O outro valor possível para t é negativo e não faz sentido
para o problema em questão.)
7. Em certo ambiente, a velocidade V de cres-
cimento de uma população N é, em cada
instante, diretamente proporcional ao va-
lor de N, e também à diferença entre um
valor limite L, estimado como o máximo
admissível para uma vida sustentável no
ambiente em questão. O valor de N em cada
instante corresponde a V = k N (L – N),
sendo k uma constante positiva. Podemos
dizer, então, que a velocidade V é uma
função de N, expressa pela fórmu-
la V = f(N) = k N (L – N), ou seja,
V = f(N) = –kN2
+ kL N.
Supondo, L = 100000 habitantes e saben-

102
do que, para N = 10000, a velocidade de
crescimento é igual a 900 habitantes por
ano, responda:
a) qual é o valor da constante k?
ParaL=100000habitantes,afunçãoqueexpressaavelocidade
de crescimento populacional é:
V = f(N) = k N (100 000 − N).
Sabendo que V = 900 para N = 10 000, concluímos que:
900 = k 10 000 (100 000 − 10 000), ou seja, k = 10−6
.
Temos, então, para a função V = f(N):
V = f(N) = 10−6
N (100 000 − N), ou ainda,
V = f(N) = −10−6
N2
+ 10−1
N
b) para quais valores de N a velocidade de
crescimento é igual a zero?
Para responder à pergunta, basta determinar as raízes da
equação f(N) = 0.
Encontramos, então, N = 0 ou N = 100 000.
c) para quais valores de N a velocidade de
crescimento da população é positiva, ou
seja, a população cresce, e para quais va-
lores de N a velocidade de crescimento é
negativa, ou seja, a população decresce?
Comof(N)éumafunçãode2o
graucomocoeficientedeN2
ne-
gativo, a parábola que é o gráfico de f(N) tem a concavidade vol-
tada para baixo. Segue que o sinal de f(N) é positivo (contrário ao
do coeficiente de N2
) no intervalo entre as raízes (0 < N < 100000)
eénegativoparaN>100000(N<0nãofazsentidonoproblema).
Portanto, a velocidade V de crescimento será positiva (a popula-
ção cresce) para uma população menor que 100000 habitantes.
A partir desse limite, a velocidade de crescimento passará a ser
negativa (a população decresce).
d) para qual valor de N a velocidade de
crescimento é máxima?
A velocidade de crescimento é máxima no vértice da pará-
bola que é o gráfico de f(N); temos
Nv
= −10−1
−2 10−6
= 50000
e) qual é o gráfico de V em função de N?
O gráfico de V = f(N) é apresentado a seguir.
N
V
V = f(N) = 10–6
N(100000 – N)
0 50000 100000
8. Um empresário possui duas lojas de rou-
pas. Entre os anos de 2000 e 2005, a re-
ceita R1
de uma das lojas, em milha-
res de reais, foi modelada pela função
R1
= 0,7t2
+ 3,4t + 4, onde t representa o tem-
po em anos. Durante o mesmo período, a
receita R2
, da segunda loja, em milhares de
reais, foi modelada pela função R2
= 0,8t +
+ 300. Escreva uma função que represente a
receita total das duas lojas, indicada por Rt
,
verifique se essa receita possui um valor má-
ximo ou mínimo e determine esse valor.
Com base nos dados do problema, podemos escre-
ver que Rt
= R1
+ R2
, o que nos permite concluir que
Rt
= 0,7t2
+ 4,2t + 304. Observando que o coeficiente de t2
é
positivo, concluímos que a concavidade da parábola, que
representa essa interdependência, é para cima e, portan-
to, a função admitirá um valor de mínimo. Contudo, en-
2500

103
contrando os valores das coordenadas do vértice dessa
parábola, observamos que o valor da abscissa é negativo,
xv
= −3, o que não é possível, pois ela se refere à grandeza tem-
po. Construindo o gráfico correspondente, encontramos:
t
R
V
0–1–2–3–4 21
297,7
304
Desse modo, o valor mínimo da receita não está no vértice,
mas no ponto de interseção da parábola com o eixo y, isto
é, (0,304).
Portanto, a receita total terá um valor mínimo no tempo
0 (zero), e esse valor será igual a R$ 304,00.
O professor também pode comentar com os alunos que o fato
deaparábolacrescerataxascrescentesnãosignificaqueareceita
das lojas será infinita, uma vez que devem ser considerados vários
fatores que limitam esse crescimento em uma situação de con-
texto.Ofatoimportanteaquiéqueodomíniodafunçãoemuma
situação real difere do contexto puramente matemático.
Consideramos que os objetivos da presente
Situação de Aprendizagem terão sido atingi-
dos se os alunos tiverem sido sensibilizados
sobre a presença das funções de 2o
grau em
diversos contextos práticos, sendo capazes de
identificar as interdependências envolvidas,
e reconhecer as situações de máximo ou de
mínimo presentes, sabendo calcular as coor-
denadas dos pontos críticos (máximos ou mí-
nimos) correspondentes. Especialmente nesta
Situação de Aprendizagem, as atividades de-
vem ter um caráter essencialmente qualitativo,
não podendo ser associadas a imensas listas
de exercícios meramente repetitivos.
Muitos outros exercícios ou problemas
poderiam ser aqui apresentados, e o pro-
fessor que dispuser de tempo para conti-
nuar não terá dificuldades em encontrá-los
ou mesmo “fabricá-los” com base nos que
foram resolvidos. Consideramos, no entan-
to, que não é exatamente a quantidade de
questões examinadas que é decisiva para
uma compreensão adequada dos temas,
mas, sim, o modo como elas são exploradas
em classe, garantindo-se uma abordagem
que favoreça um aprendizado consciente e
efetivo. Sobretudo quando envolvem mo-
delos matemáticos utilizados em outras
áreas do conhecimento, é muito importan-
te contextualizá-los, não bastando apenas
receber fórmulas prontas e fazer cálculos
aparentemente arbitrários.
Na 1a
série do Ensino Médio, os alunos,
iniciando seu último ciclo de escolaridade bá-
sica, começam a tomar contato com aspectos
ORIENTAÇÕES PARA RECUPERAÇÃO
da Matemática que exigem maior elaboração
algébrica e também a mobilização de estra-
tégias de raciocínio mais elaboradas. Mesmo

104
que os conteúdos matemáticos apresentados a
eles neste momento ainda não sejam concei-
tualmente muito difíceis, o professor deverá
estar atento para a presença de alunos que,
eventualmente, não tenham conseguido com-
pletar a construção conceitual de maneira
satisfatória. Se processos de recuperação são
importantes em qualquer etapa de escolari-
dade, o são ainda mais agora, ao iniciar-se o
Ensino Médio.
Para os alunos que necessitarem de recu-
peração, sugerimos, em primeiro lugar, que
o tipo de construção dos conceitos propos-
tos neste Caderno não seja alterado, sobre-
tudo no que diz respeito à identificação da
regularidade da sequência e à possibilidade
de traduzi-la por intermédio de uma equação
matemática. Se não se altera a concepção,
altera-se, por outro lado, a forma com que
devem ser abordados os conceitos. Assim, su-
gerimos que o professor:
prepare e aplique listas de problemas com
características mais pontuais, que explo-
rem, de forma mais lenta e gradual, cada
conceito;
recorra ao livro didático adotado e tam-
bém a outros, selecionando problemas e
agrupando-os de modo a formar listas de
atividades em concordância com a propos-
ta de construção conceitual desenvolvida
neste Caderno;
forme grupos de alunos para a realização
conjunta das sequências didáticas que ela-
borou e, se possível, convoque alunos com
maior desenvoltura nos conceitos estudados
para auxiliarem os grupos em recuperação.
Caso considere que os alunos não tenham
atingido as metas mínimas prefiguradas em cada
uma das Situações de Aprendizagem, o profes-
sor pode optar por uma das estratégias a seguir:
apresentar, inicialmente, os conteúdos bási-
cos sobre funções de 1o
e de 2o
grau do modo
esquemático como costuma ser apresenta-
do na maioria dos materiais didáticos dis-
poníveis, portanto, sem destacar a ideia de
proporcionalidade direta de y em relação a
x, ou a x2, introduzindo paulatinamente as
explicações ou as justificativas dos resultados
fundamentais como foram apresentadas no
presente Caderno, na medida em que tais jus-
tificativas despertem efetivamente o interes-
se dos alunos. Naturalmente, consideramos
importante que o professor tente despertar
tal interesse, mas o imprescindível é que os
alunos aprendam os fatos fundamentais do
tema, mesmo que tenham chegado até eles
por vias distintas das aqui propostas;
uma vez que, de uma forma ou de outra,
os conteúdos apresentados no presente
Caderno já estiveram presentes na 8a
série/
9o
ano do Ensino Fundamental, abordar
os conteúdos referentes às funções de 1o
e de 2o
graus como se fosse uma recorda-
ção, por meio das atividades envolvendo
problemas, invertendo a ordem em que
tais temas foram expostos. Assim, a apre-
sentação mais sofisticada, mais apropria-
da para o Ensino Médio, pode ser mais
nitidamente apoiada em abordagens mais
simples, à guisa de revisão.

105
RECURSOS PARA AMPLIAR A PERSPECTIVA DO PROFESSOR
E DO ALUNO PARA A COMPREENSÃO DO TEMA
Caso o professor julgue necessário apro-
fundar o estudo de alguns dos temas apre-
sentados neste Caderno, sugerimos a leitura,
dentre outros, dos seguintes artigos da Revista
do Professor de Matemática (RPM), da Socie-
dade Brasileira de Matemática:
ÁVILA, G. “As séries infinitas”. Revista do
Professor de Matemática, n. 30.
CARVALHO, P. C. P. “Um problema domésti-
co”. Revista do Professor de Matemática, n. 32.
LIMA, E. L. “Uma construção geométrica e a
progressão geométrica”. Revista do Professor
de Matemática, n. 14.
SÃO PAULO. Secretaria de Estado da Edu-
cação. Programa de Educação Continuada
(PEC). Material sobre funções. São Paulo:
SE/CENP, 2001.
SÃO PAULO. Secretaria de Estado da Edu-
cação. Coordenadoria de Estudos e Normas
Pedagógicas. Proposta Curricular para o ensi-
no de Matemática: 2o
grau. 3. ed. São Paulo:
SE/CENP, 1992.
VALADARES, E.; WAGNER, E. “Usando
geometria para somar”. Revista do Professor
de Matemática, n. 39.

106
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste Caderno, foram apresentadas diver-
sas situações-problema envolvendo as prin-
cipais noções de sequências e de PAs e PGs.
Foram sugeridas atividades que propiciam ex-
periências educativas diversificadas e que en-
tendemos como essenciais para o desenvolvi-
mento de competências relativas a esse tema.
Convém ressaltar que as expectativas de
aprendizagem enunciadas neste Caderno não
expressam todos os conteúdos referentes aos te-
mas do volume, mas apenas os aspectos conside-
rados fundamentais, isto é, aqueles que possibi-
litam ao aluno continuar aprendendo, sem que
seu aproveitamento seja comprometido.
Assim, espera-se que o aluno obtenha os
termos de uma sequência a partir da expressão
de seu termo geral e determine essa expressão a
partir de seus termos. Além disso, o aluno deverá
classificar uma progressão (PA ou PG), obter a
expressão do termo geral e calcular a soma dos
termos de uma progressão em situações diversas.
Em relação às PGs, espera-se, também, que o alu-
no calcule o limite da soma de uma PG infinita.
Vale ressaltar que a avaliação deve fornecer
informações ao estudante sobre seu desenvol-
vimento, a respeito de suas capacidades em
utilizar as noções aprendidas em situações-pro-
blema. Por outro lado, a avaliação deve forne-
cer ao professor dados sobre a aprendizagem
de seus alunos, para a adequação das situações
apresentadas e a proposição de novas.
O professor deve ter clareza sobre os crité-
rios da avaliação e as limitações e possibilida-
des dos instrumentos que serão utilizados. Os
instrumentos de avaliação devem, também,
contemplar as explicações, justificativas e ar-
gumentações orais, uma vez que estas revelam
aspectos do raciocínio que, muitas vezes, não
ficam explícitos nas avaliações escritas.
Neste final de percurso, revimos a ideia
básica de função como relação de interdepen-
dência, as relações de proporcionalidade dire-
ta como característica das funções de 1o
grau,
e as relações de proporcionalidade direta com
o quadrado, que são suficientes para caracte-
rizar as funções de 2o
grau.
Ao final da Situação de Aprendizagem 5,
pressupõe-se que os alunos consolidaram a
ideia de função; se o professor considerar que
o desempenho dos mesmos ainda não é satis-
fatório, sugerimos uma exploração direta das
relações de interdependência com base em ta-
belas ou gráficos de diversos tipos, extraídos
de jornais ou revistas. O recurso a diferentes
linguagens para a apresentação da interde-
pendência pode contribuir decisivamente para
a compreensão da ideia central: uma grandeza
que tem os seus valores determinados a partir
dos valores atribuídos a outra é uma função
dessa outra, em sentido próprio.
Na Situação de Aprendizagem 6, o foco foi
colocado em uma particular relação de inter-

107
dependência: a proporcionalidade direta, que
não pode ser confundida com a mera associa-
ção com duas grandezas que crescem simulta-
neamente, ou decrescem simultaneamente: a
manutenção das proporções nesse crescimento
ou decrescimento conjunto é absolutamente
fundamental para garantir a proporcionalida-
de. Assim como os temas da primeira Situação
de Aprendizagem, é provável que estes também
já tenham sido apresentados aos alunos ante-
riormente. Cabe ao professor decidir se as ativi-
dades constituem uma apresentação inicial ou
uma consolidação das ideias já vistas.
Na Situação de Aprendizagem 7, a função
de 2o
grau é apresentada por completo. Ainda
que alguns aspectos desta tenham sido abor-
dados na 8a
série/9o
ano, como a solução das
equações de 2o
grau, este é o momento mais
adequado para um estudo sistematizado do
tema. Apesar de termos feito tal estudo, bus-
cou-se constantemente dar ênfase ao signifi-
cado das noções apresentadas, minimizando o
tempo dedicado às técnicas de cálculo. Todas
as técnicas necessárias foram contempladas:
gráficos, vértices, raízes, inequações etc., po-
rém, sempre procurando um modo compreen-
sivo de abordagem além da mera apresentação
de fórmulas a serem memorizadas, inclusive
com a tradicional e amplamente conhecida
fórmula de Bhaskara.
Ainda que alguns dos caminhos sugeridos
na apresentação dos temas não sejam os mais
conhecidos, convidamos o colega professor a
viajar conosco, pois temos certeza de que ele
vai apreciar a alternativa proposta. Qualquer
que seja o caminho, no entanto, os fatos fun-
damentais sobre a função de 2o
grau – tais
como: as características do gráfico, o significa-
do dos coeficientes, a determinação das raízes
da equação correspondente, o estudo dos sinais
da função – devem ser conhecidos dos alunos
ao final dessa Situação de Aprendizagem.
Na Situação de Aprendizagem 8, reserva-
mos o espaço para a solução de alguns proble-
mas clássicos envolvendo funções de 2o
grau,
sobretudo os que dizem respeito a questões
de otimização ou a problemas de máximos e
mínimos. Naturalmente, as atividades apre-
sentadas têm apenas o caráter de exemplificar:
muitas outras poderão ser propostas, com fi-
nalidades análogas.

108
1a série 2a série 3a série
Volume1
NÚMEROS E SEQUÊNCIAS
– Conjuntos numéricos.
– Regularidades numéricas:
sequências.
– Progressões aritméticas, progres-
sões geométricas; ocorrências em
diferentes contextos; noções de
Matemática financeira.
FUNÇÕES
– Relação entre duas grandezas.
– Proporcionalidades: direta,
inversa, direta com o quadrado.
– Função de 1o
grau, função de
2o
grau; significado e ocorrência
em diferentes contextos.
TRIGONOMETRIA
– Arcos e ângulos; graus e radianos.
– Circunferência trigonométrica: seno,
cosseno, tangente.
– Funções trigonométricas e fenôme-
nos periódicos.
– Equações e inequações trigonomé-
tricas.
– Adição de arcos.
MATRIZES, DETERMINANTES E
SISTEMAS LINEARES
– Matrizes: significado como tabelas,
características e operações.
– A noção de determinante de uma
matriz quadrada.
– Resolução e discussão de sistemas
lineares: escalonamento.
GEOMETRIA ANALÍTICA
– Pontos: distância, ponto médio e
alinhamento de três pontos.
– Reta: equação e estudo dos coefi-
cientes, retas paralelas e perpendi-
culares, distância de ponto a reta;
problemas lineares.
– Circunferências e cônicas: proprie-
dades, equações, aplicações em
diferentes contextos.
EQUAÇÕES ALGÉBRICAS,
POLINÔMIOS, COMPLEXOS
– Equações polinomiais: história,
das fórmulas à análise qualitativa.
– Relações entre coeficientes e raí-
zes de uma equação polinomial.
– Polinômios: identidade, divisão
por x – k e redução no grau de
uma equação.
– Números complexos: significa-
do geométrico das operações.
Volume2
FUNÇÕES EXPONENCIAL E
LOGARÍTMICA
– Crescimento exponencial.
– Função exponencial: equações e
inequações.
– Logaritmos: definição, proprie-
dades, significado em diferentes
contextos.
– Função logarítmica: equações e
inequações simples.
GEOMETRIA-TRIGONOMETRIA
– Razões trigonométricas nos triân-
gulos retângulos.
– Polígonos regulares: inscrição,
circunscrição; pavimentação de
superfícies.
– Resolução de triângulos não
retângulos: lei dos senos e lei dos
cossenos.
ANÁLISE COMBINATÓRIA E
PROBABILIDADE
– Raciocínio combinatório: princípios
multiplicativo e aditivo.
– Probabilidade simples.
– Arranjos, combinações e permutações.
– Probabilidades; probabilidade condi-
cional.
– Triângulo de Pascal e Binômio de
Newton.
GEOMETRIA MÉTRICA
ESPACIAL
– Organização do conhecimento
geométrico: conceitos primitivos,
definições, postulados, teoremas.
– Prismas e cilindros: propriedades,
relações métricas.
– Pirâmides e cones: propriedades,
relações métricas.
– A esfera e suas partes; relações
métricas; a esfera terrestre.
ESTUDO DAS FUNÇÕES
– Panorama das funções já estu-
dadas: principais propriedades.
– Gráficos: funções trigonométri-
cas, exponenciais, logarítmicas
e polinomiais.
– Gráficos: análise de sinal, cres-
cimento, decrescimento, taxas
de variação.
– Composição: translações, refle-
xões, inversões.
ESTATÍSTICA
– Cálculo e interpretação de índices
estatísticos.
– Medidas de tendência central:
média, mediana e moda.
– Medidas de dispersão: desvio
médio e desvio padrão.
– Elementos de amostragem.
O sombreado assinala os conteúdos relacionados aos trabalhados neste volume.
QUADRO DE CONTEÚDOS DO ENSINO MÉDIO

CONCEPÇÃO E COORDENAÇÃO GERAL
NOVA EDIÇÃO 2014-2017
COORDENADORIA DE GESTÃO DA
EDUCAÇÃO BÁSICA – CGEB
Coordenadora
Maria Elizabete da Costa
Diretor do Departamento de Desenvolvimento
Curricular de Gestão da Educação Básica
João Freitas da Silva
Diretora do Centro de Ensino Fundamental
dos Anos Finais, Ensino Médio e Educação
Profissional – CEFAF
Valéria Tarantello de Georgel
Coordenadora Geral do Programa São Paulo
faz escola
Valéria Tarantello de Georgel
Coordenação Técnica
Roberto Canossa
Roberto Liberato
S el Cristina de lb er e o
EQUIPES CURRICULARES
Área de Linguagens
Arte: Ana Cristina dos Santos Siqueira, Carlos
Eduardo Povinha, Kátia Lucila Bueno e Roseli
Ventrela.
Educação Física: Marcelo Ortega Amorim, Maria
Elisa Kobs Zacarias, Mirna Leia Violin Brandt,
Rosângela Aparecida de Paiva e Sergio Roberto
Silveira.
Língua Estrangeira Moderna (Inglês e
Espanhol): Ana Paula de Oliveira Lopes, Jucimeire
de Souza Bispo, Marina Tsunokawa Shimabukuro,
Neide Ferreira Gaspar e Sílvia Cristina Gomes
Nogueira.
Língua Portuguesa e Literatura: Angela Maria
Baltieri Souza, Claricia Akemi Eguti, Idê Moraes dos
Santos, João Mário Santana, Kátia Regina Pessoa,
Mara Lúcia David, Marcos Rodrigues Ferreira, Roseli
Cordeiro Cardoso e Rozeli Frasca Bueno Alves.
Área de Matemática
Matemática: Carlos Tadeu da Graça Barros,
Ivan Castilho, João dos Santos, Otavio Yoshio
Yamanaka, Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge
Monteiro, Sandra Maira Zen Zacarias e Vanderley
Aparecido Cornatione.
Área de Ciências da Natureza
Biologia: Aparecida Kida Sanches, Elizabeth
Reymi Rodrigues, Juliana Pavani de Paula Bueno e
Rodrigo Ponce.
Ciências: Eleuza Vania Maria Lagos Guazzelli,
Gisele Nanini Mathias, Herbert Gomes da Silva e
Maria da Graça de Jesus Mendes.
Física: Carolina dos Santos Batista, Fábio
Bresighello Beig, Renata Cristina de Andrade
Oliveira e Tatiana Souza da Luz Stroeymeyte.
Química: Ana Joaquina Simões S. de Matos
Carvalho, Jeronimo da Silva Barbosa Filho, João
Batista Santos Junior e Natalina de Fátima Mateus.
Área de Ciências Humanas
Filosofia: Emerson Costa, Tânia Gonçalves e
Teônia de Abreu Ferreira.
Geografia: Andréia Cristina Barroso Cardoso,
Débora Regina Aversan e Sérgio Luiz Damiati.
História: Cynthia Moreira Marcucci, Maria
Margarete dos Santos e Walter Nicolas Otheguy
Fernandez.
Sociologia: Alan Vitor Corrêa, Carlos Fernando de
Almeida e Tony Shigueki Nakatani.
PROFESSORES COORDENADORES DO NÚCLEO
PEDAGÓGICO
Área de Linguagens
Educação Física: Ana Lucia Steidle, Eliana Cristine
Budisk de Lima, Fabiana Oliveira da Silva, Isabel
Cristina Albergoni, Karina Xavier, Katia Mendes
e Silva, Liliane Renata Tank Gullo, Marcia Magali
Rodrigues dos Santos, Mônica Antonia Cucatto da
Silva, Patrícia Pinto Santiago, Regina Maria Lopes,
Sandra Pereira Mendes, Sebastiana Gonçalves
Ferreira Viscardi, Silvana Alves Muniz.
Língua Estrangeira Moderna (Inglês): Célia
Regina Teixeira da Costa, Cleide Antunes Silva,
Ednéa Boso, Edney Couto de Souza, Elana
Simone Schiavo Caramano, Eliane Graciela
dos Santos Santana, Elisabeth Pacheco Lomba
Kozokoski, Fabiola Maciel Saldão, Isabel Cristina
dos Santos Dias, Juliana Munhoz dos Santos,
Kátia Vitorian Gellers, Lídia Maria Batista
Bom m, Lindomar Alves de Oliveira, Lúcia
Aparecida Arantes, Mauro Celso de Souza,
Neusa A. Abrunhosa Tápias, Patrícia Helena
Passos, Renata Motta Chicoli Belchior, Renato
José de Souza, Sandra Regina Teixeira Batista de
Campos e Silmara Santade Masiero.
Língua Portuguesa: Andrea Righeto, Edilene
Bachega R. Viveiros, Eliane Cristina Gonçalves
Ramos, Graciana B. Ignacio Cunha, Letícia M.
de Barros L. Viviani, Luciana de Paula Diniz,
Márcia Regina Xavier Gardenal, Maria Cristina
Cunha Riondet Costa, Maria José de Miranda
Nascimento, Maria Márcia Zamprônio Pedroso,
Patrícia Fernanda Morande Roveri, Ronaldo Cesar
Alexandre Formici, Selma Rodrigues e
Sílvia Regina Peres.
Área de Matemática
Matemática: Carlos Alexandre Emídio, Clóvis
Antonio de Lima, Delizabeth Evanir Malavazzi,
Edinei Pereira de Sousa, Eduardo Granado Garcia,
Evaristo Glória, Everaldo José Machado de Lima,
Fabio Augusto Trevisan, Inês Chiarelli Dias, Ivan
Castilho, José Maria Sales Júnior, Luciana Moraes
Funada, Luciana Vanessa de Almeida Buranello,
Mário José Pagotto, Paula Pereira Guanais, Regina
Helena de Oliveira Rodrigues, Robson Rossi,
Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge Monteiro,
Rosângela Teodoro Gonçalves, Roseli Soares
Jacomini, Silvia Ignês Peruquetti Bortolatto e Zilda
Meira de Aguiar Gomes.
Área de Ciências da Natureza
Biologia: Aureli Martins Sartori de Toledo, Evandro
Rodrigues Vargas Silvério, Fernanda Rezende
Pedroza, Regiani Braguim Chioderoli e Rosimara
Santana da Silva Alves.
Ciências: Davi Andrade Pacheco, Franklin Julio
de Melo, Liamara P. Rocha da Silva, Marceline
de Lima, Paulo Garcez Fernandes, Paulo Roberto
Orlandi Valdastri, Rosimeire da Cunha e Wilson
Luís Prati.
Física: Ana Claudia Cossini Martins, Ana Paula
Vieira Costa, André Henrique Ghel Ru no,
Cristiane Gislene Bezerra, Fabiana Hernandes
M. Garcia, Leandro dos Reis Marques, Marcio
Bortoletto Fessel, Marta Ferreira Mafra, Rafael
Plana Simões e Rui Buosi.
Química: Armenak Bolean, Cátia Lunardi, Cirila
Tacconi, Daniel B. Nascimento, Elizandra C. S.
Lopes, Gerson N. Silva, Idma A. C. Ferreira, Laura
C. A. Xavier, Marcos Antônio Gimenes, Massuko
S. Warigoda, Roza K. Morikawa, Sílvia H. M.
Fernandes, Valdir P. Berti e Willian G. Jesus.
Área de Ciências Humanas
Filosofia: Álex Roberto Genelhu Soares, Anderson
Gomes de Paiva, Anderson Luiz Pereira, Claudio
Nitsch Medeiros e José Aparecido Vidal.
Geografia: Ana Helena Veneziani Vitor, Célio
Batista da Silva, Edison Luiz Barbosa de Souza,
Edivaldo Bezerra Viana, Elizete Buranello Perez,
Márcio Luiz Verni, Milton Paulo dos Santos,
Mônica Estevan, Regina Célia Batista, Rita de
Cássia Araujo, Rosinei Aparecida Ribeiro Libório,
Sandra Raquel Scassola Dias, Selma Marli Trivellato
e Sonia Maria M. Romano.
História: Aparecida de Fátima dos Santos
Pereira, Carla Flaitt Valentini, Claudia Elisabete
Silva, Cristiane Gonçalves de Campos, Cristina
de Lima Cardoso Leme, Ellen Claudia Cardoso
Doretto, Ester Galesi Gryga, Karin Sant’Ana
Kossling, Marcia Aparecida Ferrari Salgado de
Barros, Mercia Albertina de Lima Camargo,
Priscila Lourenço, Rogerio Sicchieri, Sandra Maria
Fodra e Walter Garcia de Carvalho Vilas Boas.
Sociologia: Anselmo Luis Fernandes Gonçalves,
Celso Francisco do Ó, Lucila Conceição Pereira e
Tânia Fetchir.
Apoio:
Fundação para o Desenvolvimento da Educação
- FDE
CTP, Impressão e acabamento
Log Print Grá ca e Logística S. A.

Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís
Martins e Renê José Trentin Silveira.
Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu
Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo e
Sérgio Adas.
História: Paulo Miceli, Diego López Silva,
Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e
Raquel dos Santos Funari.
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza
Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe,
Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina
Schrijnemaekers.
Ciências da Natureza
Coordenador de área: Luis Carlos de Menezes.
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo
Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene
Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta
Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana,
Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso
Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo.
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite,
João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto,
Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida
Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria
Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo
Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro,
Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão,
Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume.
Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol,
Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo
de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti,
Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell
Roger da Puri cação Siqueira, Sonia Salem e
Yassuko Hosoume.
Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse
Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe
Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa
Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda
Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião.
Caderno do Gestor
Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de
Felice Murrie.
GESTÃO DO PROCESSO DE PRODUÇÃO
EDITORIAL 2014-2017
FUNDAÇÃO CARLOS ALBERTO VANZOLINI
Presidente da Diretoria Executiva
Antonio Rafael Namur Muscat
Vice-presidente da Diretoria Executiva
Alberto Wunderler Ramos
GESTÃO DE TECNOLOGIAS APLICADAS
À EDUCAÇÃO
Direção da Área
Guilherme Ary Plonski
Coordenação Executiva do Projeto
Angela Sprenger e Beatriz Scavazza
Gestão Editorial
Denise Blanes
Equipe de Produção
Editorial: Amarilis L. Maciel, Angélica dos Santos
Angelo, Bóris Fatigati da Silva, Bruno Reis, Carina
Carvalho, Carla Fernanda Nascimento, Carolina
H. Mestriner, Carolina Pedro Soares, Cíntia Leitão,
Eloiza Lopes, Érika Domingues do Nascimento,
Flávia Medeiros, Gisele Manoel, Jean Xavier,
Karinna Alessandra Carvalho Taddeo, Leandro
Calbente Câmara, Leslie Sandes, Mainã Greeb
Vicente, Marina Murphy, Michelangelo Russo,
Natália S. Moreira, Olivia Frade Zambone, Paula
Felix Palma, Priscila Risso, Regiane Monteiro
Pimentel Barboza, Rodolfo Marinho, Stella
Assumpção Mendes Mesquita, Tatiana F. Souza e
Tiago Jonas de Almeida.
Direitos autorais e iconografia: Beatriz Fonseca
Micsik, Érica Marques, José Carlos Augusto, Juliana
Prado da Silva, Marcus Ecclissi, Maria Aparecida
Acunzo Forli, Maria Magalhães de Alencastro e
Vanessa Leite Rios.
Edição e Produção editorial: R2 Editorial, Jairo Souza
Design Grá co e Occy Design projeto grá co .
* Nos Cadernos do Programa São Paulo faz escola são
indicados sites para o aprofundamento de conhecimen-
tos, como fonte de consulta dos conteúdos apresentados
e como referências bibliográficas. Todos esses endereços
eletrônicos foram checados. No entanto, como a internet é
um meio dinâmico e sujeito a mudanças, a Secretaria da
Educação do Estado de São Paulo não garante que os sites
indicados permaneçam acessíveis ou inalterados.
* Os mapas reproduzidos no material são de autoria de
terceiros e mantêm as características dos originais, no que
diz respeito à grafia adotada e à inclusão e composição dos
elementos cartográficos (escala, legenda e rosa dos ventos).
* Os ícones do Caderno do Aluno são reproduzidos no
Caderno do Professor para apoiar na identificação das
atividades.
São Paulo Estado Secretaria da Educação.
Material de apoio ao currículo do Estado de São Paulo: caderno do professor; matemática, ensino
médio, 1a
série / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de
Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Rogério
Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo, Walter Spinelli. - São Paulo : SE, 2014.
v. 1, 112 p.
Edição atualizada pela equipe curricular do Centro de Ensino Fundamental dos Anos Finais, Ensino
Médio e Educação Pro ssional CEFAF, da Coordenadoria de Gestão da Educação Básica - CGEB.
ISBN 978-85-7849-555-8
1. Ensino médio 2. Matemática 3. Atividade pedagógica I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos
Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto
Perides. VI. Fonseca, Rogério Ferreira da. VII. Pietropaolo, Ruy César. VIII. Spinelli, Walter. IX. Título.
CDU: 371.3:806.90
S239m
CONCEPÇÃO DO PROGRAMA E ELABORAÇÃO DOS
CONTEÚDOS ORIGINAIS
COORDENAÇÃO DO DESENVOLVIMENTO
DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS DOS
CADERNOS DOS PROFESSORES E DOS
CADERNOS DOS ALUNOS
Ghisleine Trigo Silveira
CONCEPÇÃO
Guiomar Namo de Mello, Lino de Macedo,
Luis Carlos de Menezes, Maria Inês Fini
coordenadora e Ruy Berger em memória .
AUTORES
Linguagens
Coordenador de área: Alice Vieira.
Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins,
Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami
Makino e Sayonara Pereira.
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza,
Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana
Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti,
Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira.
LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges,
Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini
Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles
Fidalgo.
LEM – Espanhol: Ana Maria López Ramírez, Isabel
Gretel María Eres Fernández, Ivan Rodrigues
Martin, Margareth dos Santos e Neide T. Maia
González.
Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet
Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar,
José Luís Marques López Landeira e João
Henrique Nogueira Mateos.
Matemática
Coordenador de área: Nílson José Machado.
Matemática: Nílson José Machado, Carlos
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz
Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério
Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e
Walter Spinelli.
Ciências Humanas
Coordenador de área: Paulo Miceli.
Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas

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