O documento discute movimento em duas e três dimensões, definindo vetor posição, deslocamento e velocidade. Explica como calcular velocidade instantânea e média, assim como aceleração média e instantânea. Apresenta exemplos numéricos de cálculos destas grandezas para uma lebre em movimento e uma partícula sob aceleração constante. Por fim, aborda equações para movimento de projéteis em queda livre.

1. Movimento em Duas e Três
Dimensões
Isis Vasconcelos de Brito
isis@if.usp.br
FATEC/SP – Física Aplicada I

2. Movimento em 2D - posição
• Utilizar álgebra vetorial
• Localização de uma partícula = vetor posição (vai
de um ponto de referência até a partícula)

3. Movimento em 3D - posição

4. Vetor Deslocamento

5. Vetor Deslocamento:
Exemplo 1: Inicialmente, o vetor posição de uma
partícula é:
E logo depois é:
Qual o deslocamento de r1 a r2?

6. Vetor velocidade média

7. Velocidade instantânea
 Limite da velocidade média quando Δt tende a
zero:

8. Velocidade instantânea
 A
velocidade média entre dois pontos é
independente do caminho traçado.
 Velocidade instantânea varia ou não em cada
ponto da trajetória

9. Vetor aceleração média

10. Vetor aceleração instantânea
É a derivada primeira da função V(t) em
relação a t
É a derivada segunda da função r(t) em
relação a t

11. Aceleração

12. Exemplo:
 Uma lebre atravessa correndo um estacionamento
de veículos. A trajetória percorrida pela lebre é tal que
as componentes do seu vetor posição com relação à
origem das coordenadas de um sistema cartesiano
desenhado sobre o piso do estacionamento são
funções do tempo dadas por:
 Calcule o vetor posição (módulo e direção) da lebre em
t=15s.
 Calcule o módulo e a direção do vetor velocidade da
lebre para t=15s.

13. Exemplo2:
 Uma
partícula
com
velocidade
(em m/s), em t=0s está sob a ação de uma aceleração
constante a de módulo igual a 3,0 m/s², fazendo um
ângulo de 130° com o semi-eixo positivo de x. Qual a
velocidade da partícula em t=2,0s, na notação de
vetores unitários, assim como seu módulo e direção?

14. Movimento de Projéteis:
 Considerando
uma partícula (projétil) que
executa um movimento bidimensional de queda
livre para baixo sob a aceleração da gravidade.
 Ele é lançado com velocidade inicial
v0yî
v0= v0xî+

15. Movimento de Projéteis:
 Sendo a velocidade uma grandeza vetorial,
podemos decompô-la segundo os eixos x e y, com
o intuito de estudarmos os movimentos
separadamente.
 Com respeito a vertical, tem-se o movimento
uniformemente variado e movimento uniforme
segundo o eixo horizontal, já que a aceleração da
gravidade sendo vertical, não tem componente
nesta direção.

16. Equações de posição e Velocidade
As equações de posição e velocidade estão
agrupadas de acordo com o tipo de movimento,
além de considerarmos a origem dos eixos de
referência na posição de lançamento da partícula,
o que faria de x0 e y0 valores nulos.

 Movimento na direção horizontal (MRU):

17. Equações de posição e Velocidade
 Movimento na direção vertical (MRUV):

18. Altura máxima e tempo de subida:
 Altura máxima (ymax): sabe-se que vy é nulo
 Tempo de subida (ts):

19. Alcance horizontal
 Tempo de queda:
 Substituindo o tempo de queda na função da
posição de x:

20. Exemplos:

21. Exemplos