Este documento fornece equações para calcular valores DC, RMS e fator de ondulação de sinais. A equação 1 calcula o valor médio DC de um sinal, enquanto a equação 2 calcula o valor eficaz RMS. Exemplos mostram como aplicar as equações a sinais senoidais retificados em meia onda ou onda completa, e ondas quadradas.

1. Cálculos para Reticação de Onda
Prof. Dr. Marcelo de Oliveira Rosa
10 de agosto de 2011
Resumo
Este documento objetiva fornecer um material documentado das equações envolvidas
na determinação de tensões DC, RMS, fator de ondulação de ripple usadas ao longo da
disciplinas de Eletrônica.
1 Cálculo de valor DC de sinais
O nível DC, ou nível CC, corresponde ao valor médio do sinal - f (t) - em um intervalo de tempo
innito (T → ∞). Como nossos sinais geralmente serão periódicos, T é nito e corresponde ao
inverso da freqüência do sinal. Desta forma, temos:
∫ T
1
Vdc = f (t)dt (1)
T 0
Como sabemos, qualquer sinal pode ser decomposto em uma parcela constante (nível DC) e
outra parcela que oscila (nível AC). Nesta decomposição, oriunda da Teoria e Séries de Fourier,
notaremos que a média obtida por pela Eq. 1 gera o nível constante do sinal.
1.1 Exemplos
1.1.1 Sinal senoidal
Considere o sinal
f (t) = Vm sen(ωt)
onde ω = 2π/T é a freqüência - em radianos - do sinal f (t) e Vm é o valor máximo do sinal
f (t). Naturalmente sua média, intuitivamente, é zero. Usando a Eq. 1, temos:
∫ T
1
Vdc = f (t)dt
T
{∫
0
}
2π/ω
ω
= Vm sen(ωt)dt
2π 0
Vm { 2π/ω
}
= [− cos(ωt)]0
2π
=0
1

2. 1.1.2 Reticação de sinal senoidal em meia onda
O sinal a ser reticado em meia onda é f (t) = Vm sen(ωt), com ω = 2π/T , T é o período
fundamental do sinal e Vm é o valor máximo do sinal f (t). Aplicando a Eq. 1, temos:
∫ T
1
Vdc = f (t)dt
T
{∫
0
}
π/ω
ω
= Vm sen(ωt)dt
2π 0
ω { π/ω
}
= [− cos(ωt)]0
2π
1
= Vm
π
= 0,318Vm
1.1.3 Reticação de sinal senoidal em onda completa
O sinal a ser reticado em onda completa é f (t) = Vm sen(ωt), com ω = 2π/T , T é o período
fundamental do sinal e Vm é o valor máximo do sinal f (t). Aplicando a Eq. 1, temos:
∫ T
1
Vdc = f (t)dt
T
{∫
0
∫ 2π/ω }
π/ω
ω
= Vm sen(ωt)dt − Vm sen(ωt)dt
2π 0 π/ω
ω { π/ω 2π/ω
}
= [− cos(ωt)]0 − [− cos(ωt)]π/ω
2π
2
= Vm
π
= 0,636Vm
1.1.4 Onda quadrada
Este sinal é denido por: {
1, 0 ≤ t ≤ T
2
f (t) =
0, T ≤ t ≤ T
2
Aplicando a Eq. 1, temos:
∫ T
1
Vdc = f (t)dt
T 0
∫
1 T /2
= Vm dt
T 0
1
= Vm
2
2 Cálculo de valor RMS de sinais
O valor ecaz, ou valor RMS, corresponde ao valor médio quadrático do sinal - f (t) - em um
intervalo de tempo innito (T → ∞). Como esses sinais geralmente são periódicos, T é nito e
corresponde ao inverso da freqüência do sinal. Desta forma, temos:
2

3. ∫ T
1
Vrms = f 2 (t)dt (2)
T 0
O valor ecaz pode ser visto como a energia do sinal. Note que f (t) pode conter nível DC
e AC. Geralmente aplicamos a Eq. 2 em sinais sem nível DC, ou seja, estamos interessados em
quanticar em um único número um sinal contendo apenas componentes oscilatórias.
2.1 Exemplos
Considere os sinais já denidos na seção anterior
2.1.1 Sinal senoidal
Usando a Eq. 2, temos:
∫ T
2 1
Vrms = f 2 (t)dt
T
{∫
0
}
2π/ω
ω
= 2
Vm sen2 (ωt)dt
2π 0
{∫ ∫ }
2π/ω 2π/ω
1 ω 2
= V dt − cos(2ωt)dt
2 2π m 0 0
[ ]
1 ω 2 2π/ω 1 ω 2 sen(2ωt) 2π/ω
= V [t] − V
2 2π m 0 2 2π m 2ω 0
Vm2 Vm
= ⇒ Vac = √
2 2
onde sen2 (α) = 1
2 [1 − cos(2α)] (das relações trigonométricas).
2.1.2 Reticação de sinal senoidal em meia onda
Usando a Eq. 2, temos:
∫ T
2 1
Vrms = f 2 (t)dt
T
{∫0
}
π/ω
ω
= Vm sen2 (ωt)dt
2
2π 0
{∫ ∫ }
π/ω π/ω
1 ω 2
= V dt − cos(2ωt)dt
2 2π m 0 0
[ ]
1 ω 2 π/ω 1 ω 2 sen(2ωt) π/ω
= Vm [t]0 − Vm
2 2π 2 2π 2ω 0
Vm2 Vm
= ⇒ Vac =
4 2
2.1.3 Reticação de sinal senoidal em onda completa
Usando a Eq. 2, temos:
3

4. ∫ T
2 1
Vrms = f 2 (t)dt
T
{∫
0
∫ }
ω π/ω π/ω [ ]
= Vm sen2 (ωt)dt +
2
−Vm sen2 (ωt)
2
2π 0 0
{∫ }
π/ω
ω
=2 Vm sen2 (ωt)dt
2
2π 0
2
Vm Vm
= ⇒ Vac = √
2 2
Note que o valor RMS do sinal reticado é exatamente igual ao valor RMS do sinal não
reticado (sinal senoidal). É fácil vericar isso visualmente, o que simplica os cálculos.
2.1.4 Onda quadrada
Usando a Eq. 2, temos:
∫ T
2 1
Vrms = f 2 (t)dt
T 0
∫
1 T /2 2
= Vm dt
T 0
V2 Vm
= m ⇒ Vac = √
2 2
3 Cálculo de valor RMS na parcela AC de sinais
O valor RMS na parcela AC de sinais consiste em eliminar o nível DC do sinal e determinar o
valor ecaz deste. Para facilitar esse cálculo, considere que:
f (t) = fac (t) + Vdc (3)
Isso signica que:
fac (t) = f (t) − Vdc (4)
Calculando o valor ecaz de fac (t) através da Eq. 2 e considerando a denição de nível DC
(Eq. 1), temos:
∫
2 1 T 2
Vac = f (t)dt
T 0 ac
∫
1 T
= [f (t) − Vdc ]2 dt
T 0
∫
1 T[ 2 ]
= f (t) − 2Vdc f (t) + Vdc dt
2
T 0
∫ ∫ ∫
1 T 2 1 T 1 2 T
= f (t)dt − 2Vdc f (t)dt + Vdc dt
T 0 T 0 T 0
= Vrms − 2Vdc Vdc + Vdc
2 2
= Vrms − Vdc
2 2
Logo,
4

5. 2 2 2
Vrms = Vac + Vdc (5)
3.1 Exemplos
Considere os sinais já denidos na seção anterior
3.1.1 Sinal senoidal
Usando a Eq. 5, temos:
Vac = Vrms − Vdc
2 2 2
Vm2 Vm
= ⇒ Vac = √
2 2
3.1.2 Reticação de sinal senoidal em meia onda
Usando a Eq. 5, temos:
Vac = Vrms − Vdc
2 2
2 2
[ ]
Vm Vm 1 1
= − 2 2
= Vm − 2 ⇒ Vac ≈ 0,385Vm
4 π 4 π
3.1.3 Reticação de sinal senoidal em onda completa
Usando a Eq. 5, temos:
Vac = Vrms − Vdc
2 2
2
[ ]
Vm 4 2 2 1 4
= − 2 Vm = Vm − ⇒ Vac ≈ 0,308Vm
2 π 2 π2
3.1.4 Onda quadrada
Usando a Eq. 5, temos:
Vac = Vrms − Vdc
2 2
2
Vm Vm 2 Vm
= − ⇒ Vac =
2 4 2
4 Fator de ondulação
No processo de reticação CA-CC, temos interesse de vericar quando reticado é o sinal
resultando do processo. Isso permite comparar métodos de reticação.
Tal medida é chamada fator de ondulação e é denida por:
Vac
r= × 100% (6)
Vdc
4.1 Exemplos
Considere os sinais já denidos na seção anterior
5

6. 4.1.1 Sinal senoidal
Usando a Eq. 6, temos:
√ Vm
Vac
r= × 100% = 2 × 100% = ∞
Vdc 0
4.1.2 Reticação de sinal senoidal em meia onda
Usando a Eq. 6, temos:
Vac 0,385Vm
r= × 100% = × 100% = 121%
Vdc 0,318Vm
4.1.3 Reticação de sinal senoidal em onda completa
Usando a Eq. 6, temos:
Vac 0,308Vm
r= × 100% = × 100% = 48%
Vdc 0,636Vm
4.1.4 Onda quadrada
Usando a Eq. 6, temos:
Vac Vm 2
r= × 100% = √ × 100% = 141%
Vdc 2 Vm
5 Reticação com ltro capacitivo
Considere a Fig. 1, na qual um trecho do sinal reticado em onda completa sem e com ltro
capacitivo é apresentado. Queremos determinar Vrms-ac desse sinal, construído a partir de uma
aproximação por sinal triangular. Naturalmente temos:
Figura 1: Sinal reticado em onda completa, sem e com ltro capacitivo
∆V
Vdc = Vm − (7)
2
Note que ∆V corresponde à tensão pico-a-pico do sinal reticado, enquanto que Vm é o valor
máximo desse sinal.
Considerando o intervalo T2 , que é o trecho onde há descarga do capacitor, temos:
∆Q ∆V C ∆V C
Ic = = ≈ Idc = (8)
T2 T2 T2
6

7. Sabemos que (vide demonstração Seção 5.1)
∆V
Vac = √ (9)
2 3
Note Vac depende de ∆V , que foi calculado em função da corrente de descarga do capaci-
tor (ou uma aproximação da corrente DC). Mas tal corrente depende de T2 , que precisamos
determinar.
Por relação de triângulos e considerando a rampa de carga do capacitor (na Fig. 1), temos
que:
∆V Vm
=
T1 T /4
Isso permite que determinemos T1 em função de parâmetros conhecidos do sinal, ou seja:
T /4
T1 = ∆V
Vm
e naturalmente
T
T2 = − T1
2
T T /4
= − ∆V
2 Vm
2T Vm − (∆V )T
=
4Vm
( )
2Vm − ∆V T
=
Vm 4
Reescrevendo a Eq. 7, temos que:
2Vm − ∆V
Vdc =
2
E assim,
Vdc T
T2 =
Vm 2
Retornando T2 na Eq. 8, produzindo:
[ ]
Idc Vdc T
∆V =
C Vm 2
(10)
Idc Vdc
=
2f C Vm
Assim, usando a Eq. 9, temos:
Idc Vdc
Vac = √ (11)
4 3f C Vm
Se considerarmos a reticação em meia-onda com ltragem por capacitor, as expressões cam
um pouco mais complexas com a aproximação por onda triangular adotada, ou seja:
Idc Vm + Vdc
∆V = (12)
2f C Vdc
7

8. pois T2 = T − T1 para meia onda.
O valor ecaz da parcela AC da reticação em meia-onda é:
( )
Idc Vm + Vdc
Vac = √ (13)
4 3f C Vm
Posteriormente verique os cálculos de valor ecaz da parcela AC usando a aproximação
(com onda também triangular) da onda reticada e ltrada usando capacitor da Fig. 2.
Figura 2: Trecho de onda triangular usada para aproximar sinal reticado ltrado por capacitor
√
5.1 Demonstração de V=? = ∆V /(2 3)
Considere a Fig. 3, que é um período da aproximação do sinal reticado em onda completa após
a aplicação do ltro capacitivo. A partir do mesmo, determinamos dois segmentos de reta que
forma f (t).
Figura 3: Trecho de onda triangular usada para aproximar sinal reticado ltrado por capacitor

f (t) = ∆V t − ∆V ,
 1 0 ≤ t ≤ T1
f (t) = T1 2
f (t) = − ∆V (t − T ) + ∆V ,
 2 T1 ≤ t ≤ T2
1
T2 − T1 2
Aplicando a Eq. 2 (pois da Eq. 5 e da Fig. 3 notamos que o nível DC de f (t) é zero), temos:
∫ T2
1
Vac = f 2 (t)dt
T2 0
[∫ T1 ∫ T2 ]
1 2 2
= f1 (t)dt + f2 (t)dt
T2 0 T1
Calculando a primeira integral, temos:
8

9. ∫ T1 ∫ T1 [ ]2
∆V ∆V
2
f1 (t)dt = t− dt
0 0 T1 2
∫ T1 ∫ T1 ∫ T1
(∆V )2 2 2(∆V )2 (∆V )2
= 2 t dt − tdt + dt
0 T1 0 2T1 0 4
1 (∆V )2 [ 3 ]T1 1 (∆V )2 [ 2 ]T1 (∆V )2 T1
= 2 t 0 − t 0 + [t]0
3 T1 2 T1 4
1 1 1
= (∆V )2 T1 − (∆V )2 T1 + (∆V )2 T1
3 2 4
1 2
= (∆V ) T1
12
Calculando a segunda integral, temos:
∫ ∫ [ ]
T1 T2
∆V ∆V 2
2
f2 (t)dt = − (t − T1 ) − dt
0 T1 T2 − T1 2
∫ ∫ T2 ∫ T2
T2
(∆V )2 2(∆V )2 (t − T1 ) (∆V )2
= (t − T1 ) dt −
2
dt + dt
T1 (T2 − T1 )2 T1 2(T2 − T1 ) T1 4
Para facilitar a integração, efetuamos a seguinte troca de variáveis:

t = T 2
 → a = T2 − T1 ,
a = t − T1 ⇒ t = T1 → a = 0,


dt = da
∫ T1 ∫ T2 −T1 ∫ T2 −T1 ∫ T2 −T1
(∆V )2 2 (∆V )2 (∆V )2
2
f2 (t)dt = a da − a da + da
0 0 (T2 − T1 )2 0 (T2 − T1 ) 0 4
1 (∆V )2 1 (∆V )2 (∆V )2
= (T2 − T1 )3 − (T2 − T1 )2 − (T2 − T1 )
3 (T2 − T1 )2 2 (T2 − T1 ) 4
1
= (∆V )2 (T2 − T1 )
12
Com as duas integrais resolvidas, temos:
1 1
(∆V )2 T1 + (∆V )2 (T2 − T1 )
2
Vac = 12 12
T2
1
= (∆V )2
12
Ou seja:
∆V
Vac = √
2 3
Posteriormente verique se esse resultado é vericado para a onda triangular mostrada na
Fig. 4.
9

10. Figura 4: Trecho de onda triangular usada para aproximar sinal reticado ltrado por capacitor
5.2 Estimativa do fator de ondulação
A partir do cálculo do nível RMS de uma onda triangular qualquer (Eq. 9) e da expressão do
fator de ondulação (Eq. 6), temos:
Vac
r= × 100%
Vdc
∆V 1
= √ × 100%
2 3 Vdc
Mas, da Eq. 7, temos:
∆V
Vdc = Vm − ⇒ ∆V = 2 (Vm − Vdc )
2
E, portanto:
1 Vm − Vdc
r=√ × 100% (14)
3 Vdc
Isso signica que:
Vm √
= 1 + 3r
Vdc
Note que estas expressões são válidas para reticação tanto em meia-onda quanto em onda
completa, já que podemos representar a onda de ripple de ambas as reticações por uma onda
triangular. Além disso, a expressão resultante (Eq. 14) independe de T.
5.3 Estimativa do nível DC
Podemos agora estimar o valor Vdc a partir do valor máximo de tensão da onda a ser reticada
(Vm ) e outras informações do circuito, facilitando a comparação com medidas obtidas a partir
do multímetro.
Considere uma resistência de carga RL drenando uma corrente Idc do circuito reticador
ca-cc. Desta forma temos uma tensão sobre o resistor de carga Vdc . A partir da Eq. 10 temos:
Idc Vdc
∆V =
2f C Vm
2
Vdc
=
2f RL CVm
Considerando a Eq. 7, temos:
2
Vdc
2 (Vm − Vdc ) =
2f RL CVm
10

11. Vdc + 4f RL CVm Vdc − 4f RL CVm = 0
2 2
Resolvendo Vdc dessa equação de segundo grau, temos:
[ √ ]
Vdc = 2Vm −f RL C ± f RL C(f RL C + 1)
√
Note que −a − a(a + 1) é negativo, resultando em uma tensão Vdc também negativa, o que
é incompatível com o processo de reticação, e também com a Eq. 7 para valores positivos de
Vm e Vm ≫ ∆V /2. Assim:
[ √ ]
Vdc = 2Vm −f RL C + f RL C(f RL C + 1) (15)
Assim, a partir da resistência de carga, do capacitor de reticação e da freqüência e amplitude
do sinal CA podemos estimar a tensão CC produzida.
Para a reticação em meia-onda com ltragem usando capacitor temos:
Vm [ √ ]
Vdc = −(1 + 4f RL C) + (1 + 4f RL C)2 + 42 f RL C (16)
2
que é obtida relacionando a Eq. 7 e a Eq. 12.
Posteriormente calcule Vdc para a aproximação mostrada na Fig. 2.
11