O documento descreve a representação de sistemas elétricos de potência por meio de diagramas unifilares e de impedância. Apresenta os modelos simplificados usados para geradores, transformadores e linhas de transmissão em cálculos de curto-circuito, incluindo a omissão de cargas. Fornece exemplos de como obter dados técnicos de equipamentos em per-unit a partir de suas especificações nominais.

1. 2.REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
Na representação de sistemas elétricos de potência, pode-se desenhar
integralmente a rede, inclusive o fio neutro (caso exista), resultando nos chamados
diagramas multifilares.
Sistemas trifásicos equilibrados podem ter sua representação simplificada com o
uso de apenas uma das linhas e o neutro (equivalente monofásico). Costuma-se suprimir
o neutro, o que nos leva ao Diagrama Unifilar. Nesse diagrama, a rede trifásica é
desenhada com traço único e os componentes são identificados através de símbolos
padronizados. Também, são indicados os tipos de ligação, fornecendo assim os dados
mais significativos e importantes do sistema representado. Os símbolos padronizados
são apresentados a seguir.
M
B
B1 B2
Máquina Rotativa
Gerador C.A.
Motor
Barra ou Barramento B
Transformador de 2
Enrolamentos
Transformador de 2 Enrolamentos
(Notação Alemã)
Transformador de 3
Enrolamentos
Transformador de 3 Enrolamentos
(Notação Alemã)
Ligação em Estrela ou Y
Ligação em Estrela Aterrado ou Y
Aterrado
Ligação em Estrela Aterrado ou Y
Aterrado através da Impedância ZN
Ligação em Delta ou Triângulo Δ
Linha de Transmissão entre as Barras
B1 e B2
Disjuntor a Óleo
Disjuntor a Ar
Chave Seccionadora
Transformador de Potencial
Transformador de Corrente
Carga
Fusível
Barra Retificadora de um Link C.C.
Barra Inversora de um Link C.C.
Pára-raios
Terra
ZN
A Figura 1 apresenta o diagrama unifilar de um sistema elétrico de potência
radial, contendo 3 geradores, uma linha de transmissão, dois transformadores e carga
concentrada. Note que os tipos de conexão estão indicados no diagrama unifilar.

2. G1
G2
G3
T1 T2
Figura 1 – Diagrama unifilar de um sistema elétrico de potência.
A partir do diagrama unifilar, utilizando os modelos dos componentes do
sistema elétrico, obtém-se o Diagrama de Impedâncias (Figura 2), utilizado nos
cálculos de análise de sistemas de potência.
VG1 VG2 VG3
RG1 RG2
RG3
XG2 XG3
XG1
R1T1 X1T1 X2T1 R2T1 R1T2 X1T2 X2T2 R2T2
RMT1 XMT1 RMT2 XMT2
RLT XLT
Y
2
Y
2 RCarga
XCarga
Geradores 1 e 2
Transformador 1 Linha de Transformador 2
Transmissão Geradores 3
Carga
Figura 2 – Diagrama de impedâncias do sistema da Figura 1.
A utilização de hipóteses simplificadoras que inclui, entre outras providências, a
omissão de cargas estáticas, nos conduz ao Diagrama de reatâncias (Figura 3). Tal
diagrama é empregado nos cálculos de curto-circuito.
VG1 VG2 VG3
XG2 XG3 XG1
XeqT1 XLT XeqT2
Figura 3 – Diagrama de reatâncias simplificado para o sistema da Figura 1.

3. 2.1.Modelagem de Componentes
Para cálculos de curto-circuito e estudos de proteção, a modelagem dos
elementos componentes de sistemas de potência inclui simplificação de seus circuitos
equivalentes, por fase, conforme mostrado a seguir.
 Gerador:
O modelo para gerador síncrono, válido também para motor síncrono, é
constituído por uma fonte de tensão em série com uma reatância sub-transitória,
conforme a Figura 4.
VG
X''d
Figura 4 – Modelo do Gerador.
 Transformador:
O modelo completo de transformador, em seu tap nominal, por fase, é mostrado
na Figura 5, onde:
R1, R2 – representam as resistências dos enrolamentos primário e secundário,
respectivamente;
X1, X2 – representam as reatâncias dos enrolamentos primário e secundário,
respectivamente;
Rm – é a resistência elétrica que representa as perdas no núcleo (histerese e
correntes parasitas);
Xm – representa a reatância de magnetização;
Ie – é a corrente de excitação.
R1 X1 X2 R2
Rm Xm
Ie
Figura 5 – Modelo completo do transformador.

4. A corrente de excitação é desprezível em grandes transformadores não
saturados, pois é muito menor do que as correntes de curto-circuito. Por isso, despreza-se
o ramo de magnetização sem grandes erros nos cálculos. O modelo resultante aparece
na Figura 6(a).
A resistência equivalente Re é muito pequena quando comparada a reatância
equivalente de dispersão Xe. Dessa forma, a corrente de curto-circuito fica limitada,
praticamente, pela reatância equivalente e o modelo final do transformador resulta
naquele mostrado na Figura 6(b).
Re Xe Xe
(a) (b)
Figura 6 – Representação simplificada do transformador.
 Linhas de Transmissão:
De modo geral, as linhas de transmissão funcionam como cargas trifásicas
equilibradas. Mesmo não sendo transpostas e não tendo espaçamento equilateral, a
assimetria resultante é desprezível e suas fases podem ser supostas equilibradas.
A modelagem das linhas de transmissão depende do comprimento, do nível de
tensão e da capacidade da respectiva linha. A classificação das linhas de transmissão em
função do nível de tensão e do comprimento está resumida na Tabela 1.
Tabela 1 – Classificação das LTs em função do nível de tensão e do comprimento
VL<150 150<VL<400 VL>400
Linha Curta L<80 L<40 L<20
Linha Média 80<L<200 40<L<200 20<L<100
VL – Tensão da
Linha (kV)
Linha Longa L>200 L>200 L>100
L – Comprimento
da Linha (km)
O circuito que representa a LT contém um ramo de natureza indutiva ligado em
série entre as barras terminais e um ramo de natureza capacitiva ligado em derivação
nos terminais. Para linhas curtas, a pequena capacitância em derivação pode ser
desprezada sem causar grandes erros nos cálculos. O modelo para linhas curtas é
mostrado na Figura 7.
RLT XLT
Figura 7 – Modelo de linha de transmissão curta.

5. Linhas de transmissão médias podem ser representadas de duas maneiras. Na
representação com o modelo π, a impedância série encontra-se entre dois capacitores
ligados em paralelo, conforme mostrado na Figura 8. Nessa figura, representa a
admitância total, em derivação, da LT).
RLT XLT
Y
2
Y
2
Figura 8 – Modelo π de linha média.
No modelo T de linha média (Figura 9), a admitância total em derivação aparece
concentrada no ramo central (em paralelo) e a impedância série aparece igualente
dividida entre os outros dois ramos restantes.
ZLT
2
Y
ZLT
2
Figura 9 – Modelo T de linha média.
Linhas longas podem ser representadas pelo modelo π, com modificações
destinadas a considerar parâmetros uniformemente distribuídos ao longo da linha, ao
invés de concentrados.
Nos cálculos de curto-circuito, costuma-se desprezar os elementos transversais
(em paralelo) muito menores do que os longitudinais. Para elevados níveis de tensão,
pode-se ainda desprezar o valor da resistência série, em presença da reatância série da
linha de transmissão. Para sistemas com baixos valores de tensão, não se pode desprezar
a resistência das linhas, como, por exemplo, nos sistemas de distribuição. Dessa forma,
o modelo simplificado resultante é mostrado na Figura 10.
XLT
Figura 10 – Modelo simplificado de linha de transmissão.

6. Em cálculos de curto-circuito as cargas dos sistemas de potência podem ser desprezadas. Além disso, costuma-se admitir que a tensão do sistema antes da ocorrência do curto é igual à tensão nominal, já que esse valor deve ser mantido em situações normais de funcionamento. Também, supõe-se que a corrente do sistema seja nula antes da falta. Na verdade, a corrente antes da falta é muito menor que a corrente de curto-circuito e está quase em fase com a tensão.
Por outro lado, a corrente de curto-circuito é bastante elevada e muito indutiva, o que ocorre em decorrência das reatâncias presentes no sistema, fazendo com que a corrente de curto-circuito tenha defasagem de quase 90º em relação à tensão. Sendo assim, pode-se desprezar a corrente de carga para cálculos de curto-circuito.
Por fim, vale ressaltar que a consideração da impedância da carga terá pouca influência no valor da corrente de curto circuito.
2.2.Dados de Equipamentos Aplicáveis a Cálculos em p.u.
Os fabricantes de equipamentos costumam fornecer dados de interesse para cálculos em p.u., referentes a sistemas de potência. Explicações sobre esses dados serão expostas a seguir:
 Alternador Monofásico:
São fornecidos os valores correspondentes a:
 Potência aparente nominal;
 Tensão nominal;
 Freqüência;
 Reatâncias sub-transitória (X”), transitória (X’) e síncrona (X), expressas em valores percentuais ou em p.u., tendo como valores bases a potência nominal da máquina e sua tensão nominal.
Exemplo 1: Determine a reatância sub-transitória, em ohms, de um alternador monofásico de 150 kVA, 600 V, cujo fabricante informa ser esta reatância igual 20%.
Solução:
 Motor Monofásico:
São fornecidos os valores referentes à:
 Potência nominal (mecânica, disponível no eixo);

7.  Tensão nominal;
 Freqüência;
 Reatâncias sub-transitória (X”), transitória (X’) e de regime (X), expressas em valores percentuais ou em p.u., tendo como bases a tensão nominal e a potência aparente, correspondente à potência mecânica nominal fornecida no eixo da máquina. Normalmente, as potências no eixo dos motores são expressas em HP ou CV. Portanto, a potência aparente pode ser determinada através do rendimento (η) e do fator de potência (cos ϕ) da máquina.
Observações:
1 CV -------- 736 W
1 HP -------- 746 W
Exemplo 2: Certo motor síncrono de 500 HP, 600 V, reatância sub-transitória igual a 10%, funciona à plena carga com fator de potência unitário e rendimento igual a 88%. Determine o valor em ohms da sua reatância sub-transitória.
Solução:
 Transformador Monofásico de Dois Enrolamentos:
São fornecidos os valores correspondentes à:
 Potência aparente nominal;
 Tensão nominal do lado de alta;
 Tensão nominal do lado de baixa;
 Reatância equivalente de dispersão, em % ou p.u.
A placa de identificação ou o catálogo de um transformador apresenta apenas um valor de reatância de dispersão, dado em p.u. Isso ocorre porque o valor dessa reatância em p.u. é o mesmo, referido tanto do lado de AT quanto ao lado de BT.
Observações:

8. Onde: é a relação de espiras do transformador.
Exemplo 3: Um transformador monofásico com relação de espiras igual a 10, potência aparente 10 MVA e tensão nominal de 138/13,8 kV, cuja reatância equivalente referida ao secundário, Xe2, foi obtida através do ensaio de curto-circuito e é igual a 5 Ω. Calcular o valor desta reatância em p.u. em ambos os lados do transformador, tendo como base a tensão nominal do secundário.
Solução:
A reatância equivalente, referida ao lado primário, será:
Logo, verifica-se que a reatância em p.u. do transformador têm valor único, não importando o lado ao qual esteja referido. Em p.u., tudo se passa como se o transformador tivesse relação de espiras igual a 1. Assim, a escolha adequada de bases para circuitos interligados ao transformador irá facilitar os cálculos em p.u. Basta que a potência base seja a mesma para todo o sistema e que as tensões base dos circuitos interligados por transformador tenham a mesma relação existente entre as tensões do respectivo transformador. Isso permite a combinação de todas as reatâncias do sistema em um único diagrama de reatâncias com valores em p.u.
 Alternador Trifásico:
São fornecidos valores referentes à:
 Potência aparente nominal trifásica (total das três fases);
 Tensão de linha nominal;
 Freqüência;
 Reatâncias sub-transitórias (X”d e X”q), transitória (X’d e X’q) e síncrona (Xd e Xq), por fase, expressas em % ou p.u., tendo como valores base a potência nominal da máquina e sua tensão nominal.
Exemplo 4: De um alternador trifásico são conhecidos os seguintes valores nominais: potência aparente = 150 MVA; tensão = 13,8 kV; reatância transitória X’d = 20 %. Obtenha: a) o valor da reatância transitória em ohms; b) o valor da reatância transitória em p.u., tendo por base 50 MVA e 11 kV.

9. Solução:
a)
b)
 Motor Trifásico:
São informados os valores correspondentes à:
 Potência nominal (mecânica, total, disponível no eixo);
 Tensão de linha nominal;
 Freqüência;
 Reatâncias sub-transitória (X”d e X”q), transitória (X’d e X’q) e de regime (Xd e Xq), por fase, expressas em % ou p.u., tendo como bases a tensão nominal do motor e a potência aparente, correspondente à potência nominal fornecida no eixo da máquina. Normalmente, as potências dos motores são especificadas em HP ou em CV, no eixo, e, portanto, a potência aparente pode ser determinada a partir do rendimento e do fator de potência da máquina. Na falta de dados completos, pode-se usar as seguintes relações:
- Motor de indução: kVA = HP;
- Motor síncrono com fator de potência unitário: kVA = 0,85.HP;
- Motor síncrono com fator de potência 0,8: kVA = 1,1.HP.
Exemplo 5: Certo motor síncrono cuja tensão nominal é de 6,9 kV, tem potência de 3000 HP, reatância sub-transitória X”d igual a 15% e fator de potência igual a 0,8. Determine: a) o valor da reatância sub-transitória em ohms; b) o valor da reatância sub- transitória em p.u., na base de 5000 kVA e 12,5 kV.
Solução:
a)
b)
 Transformador Trifásico de Dois Enrolamentos:
São fornecidos os valores referentes à:

10.  Potência aparente nominal trifásica (total das três fases);
 Tensão de linha nominal, do lado de alta;
 Tensão de linha nominal, do lado de baixa;
 Reatância de dispersão equivalente, por fase em % ou p.u. Tal como ocorre para o transformador monofásico de dois de enrolamentos, o transformador trifásico apresenta um único valor de reatância em p.u. tanto para o lado de alta tensão, quanto para o lado de baixa tensão.
Exemplo 6: Os valores nominais de um transformador trifásico de dois enrolamentos são os seguintes:
- Potência: 5 MVA;
- Tensão: 138 kV Y/13,8 kV Δ;
- Reatância de dispersão por fase: X = 12%.
Qual o valor da reatância de dispersão em ohms:
a) Referida do lado de alta tensão?
b) Referida do lado de baixa tensão?
Solução:
a)
b)
 Banco de Transformadores:
Utilizado freqüentemente em sistemas de potência, o banco de transformadores é composto por 3 transformadores monofásicos, interligados de modo a se ter um equivalente trifásico. São possíveis as seguintes ligações:
- Y-Y: Pouco usual, por envolver problemas com a corrente de excitação;
- Δ-Δ: Apresenta a vantagem de permitir a remoção de um dos transformadores, sem interrupção do fornecimento de energia (ligação em V aberto). Com a remoção de um dos transformadores, a potência nominal do banco fica reduzida a 58% da potência inicial;
- Y-Δ: normalmente empregada para transformar tensão elevada em tensão média ou tensão baixa. Permite aterramento do neutro no lado de alta tensão;
- Δ-Y: geralmente utilizada para elevação de tensão.
Dos transformadores monofásicos são fornecidos:

11.  Potência aparente nominal;
 Tensão nominal, do lado de alta;
 Tensão nominal do lado de baixa;
 Reatância de dispersão em % ou em p.u.
A potência do banco é igual a 3 vezes a potência individual dos transformadores
monofásicos e a tensão de linha do banco depende do tipo de ligação dos
transformadores monofásicos componentes. A reatância em p.u. do banco de
transformadores, qualquer que seja o tipo de ligação, é igual à reatância em p.u. que
cada transformador monofásico apresenta, conforme pode ser visto nos exemplos a
seguir.
Exemplo 7: Determine a reatância em p.u. do banco de transformadores monofásicos
ligado em Y-Y, mostrado na Figura 11. A reatância de dispersão de cada transformador
monofásico é de 10%, tendo por base suas grandezas nominais.
X
X
X
138 3 kV 13,8 3 kV
(a) Banco Y-Y
10 MVA
138/13,8 kV
X = 10%
(b) Trafo Monofásico
Figura 11 – Banco de transformadores monofásicos, ligação Y-Y.
Solução:
A reatância em ohms de cada transformador do banco no lado primário é:
A partir dos dados dos transformadores monofásicos, pode-se obter a reatância
do banco:

12. A reatância em p.u. do banco é:
Portanto, a reatância em p.u. do banco tem o mesmo valor da reatância em p.u.
de cada transformador que integra o banco. Para as demais ligações, chega-se a mesma
conclusão. Pode-se dizer então que a reatância em p.u. do banco tem o mesmo valor da
reatância em p.u do transformador monofásico que o compõe, independentemente do
tipo de ligação.
 Transformador Trifásico de Três Enrolamentos:
O transformador trifásico de três enrolamentos costuma ser utilizado com uma
das seguintes finalidades:
- Interligação de três sistemas com níveis de tensão diferentes;
- Interligação de dois sistemas com níveis de tensão diferentes e, adicionalmente,
através do terciário, atendimento dos serviços auxiliares de subestações;
- Interligação de dois sistemas com níveis de tensão diferentes e, adicionalmente,
através do terciário operando em vazio, funcionando como filtro de seqüência zero para
fins de proteção.
No circuito equivalente por fase, em p.u., do transformador trifásico de três
enrolamentos, mostrado na Figura 12, são considerados apenas os parâmetros
longitudinais, tal como ocorre para o transformador de dois enrolamentos. Por outro
lado, as impedâncias , e , em p.u., não levam em conta as resistências dos
enrolamentos, pois estas são muito pequenas em relação às reatâncias dos mesmos. O
ponto comum é fictício e nada tem a ver com o neutro do sistema.
V1
V3
V2
P
S
T
ZP
ZS
ZT
Barra de referência
Figura 12 – Circuito equivalente do transformador trifásico de três enrolamentos.
Os valores das impedâncias que constam do circuito equivalente são obtidos a
partir de ensaios de curto-circuito do equipamento, usando dois enrolamentos e
deixando o terceiro em aberto. Deste modo, os referidos ensaios fornecem:

13. - impedância de curto-circuito medida no primário, com o secundário curto- circuitado e o terciário aberto; o valor em ohms é referido ao primário (lado em que se fez a medida);
- impedância de curto-circuito medida no primário, com o terciário curto-circuitado e o secundário aberto; o valor em ohms é referido ao primário (lado em que se fez a medida);
- impedância de curto-circuito medida no secundário, com o terciário curto- circuitado e o primário aberto; o valor em ohms é referido ao secundário (lado em que se fez a medida).
Após referir os valores obtidos nos ensaios a um mesmo enrolamento, pode-se obter seus valores em p.u. adotando-se potência base única e tensões base cujos valores mantenham as relações existentes entre as tensões de linha dos enrolamentos do transformador. Com as impedâncias , e expressas em p.u. e sendo:
Calculam-se as impedâncias , e , em p.u., através das seguintes expressões:
Exemplo 8: Certo transformador trifásico de três enrolamentos possui como características:
- Primário: Ligação Y; 13,8 kV, 15 MVA;
- Secundário: Ligação Y; 34,5 kV, 10 MVA;
- Terciário: Ligação Δ; 4,2 kV; 7,5 MVA.
Ensaios de curto-circuito realizados em laboratório indicaram os seguintes resultados, desprezando-se as resistências dos enrolamentos:
- medidas no primário: = j 0,768 Ω, = j 0,834 Ω;
- medidas no secundário: = j 6,532 Ω.
Apresente o circuito equivalente por fase, em p.u., adotando Sbase = 15 MVA e Vbase = 13,8 kV.

14. Solução:
O circuito equivalente solicitado deve ser feito com valores em p.u. na mesma
base. Tem-se então:
Assim:
P
S
T
j0,022 p.u.
Barra de referência
j0,038 p.u.
j0,044 p.u.
Figura 13 – Resultado do Exemplo 8.
2.3.Diagrama de Reatâncias em p.u., por Fase, de um Sistema de Potência
Para concluir o presente tema, apresenta-se um diagrama completo de reatâncias
em p.u., por fase, de um sistema de potência. O respectivo diagrama unifilar aparece na
Figura 14.
Inicialmente, adota-se uma potência base para todo o sistema. Em seguida,
escolhe-se uma tensão base num trecho do sistema e, a partir desse valor, resultam as
tensões base nos demais trechos, em decorrência das relações de tensão nos

15. transformadores. Dessa forma, cada trecho possui sua respectiva base de tensão. Uma
vez resolvido o problema, pode-se voltar aos valores reais multiplicando os valores em
p.u. pela base da respectiva grandeza em cada lugar da rede.
Na Figura 14, escolheu-se como base:
- Potência base: 200 MVA (para todo o sistema);
- Tensão base: 120 kV (na linha de transmissão);
100 MVA
0,2 p.u.
50 MVA
0,2 p.u.
75 MVA
0,1 p.u.
75 MVA
0,1 p.u.
13,8/138 kV
X = 40 Ω
50 MVA
0,1 p.u.
138/13,8 kV
G1
G2
G3
T1
T2
T3
50 MVA
0,1 p.u.
Figura 14 – Diagrama unifilar do sistema elétrico de potência.
Nos trechos dos geradores G1, G2 e G3, a tensão base terá valor 12 kV, já que os
transformadores têm relação de transformação igual a 10.
Fazendo as devidas mudanças de base, obtém-se:
O diagrama de reatâncias em p.u., por fase, nas bases estabelecidas, aparece na
Figura 15.
Note que muitos cálculos seriam evitados se:

16. a) Fosse escolhida como potência base 50 MVA, na qual já estão expressas as
reatâncias de G1, G2 e G3;
b) Fosse escolhido como tensão base na linha de transmissão o valor de 138
kV, dispensando mudanças de base de tensão.
VG1 VG2 VG3
(G1) (G2) (G3)
(T1)
(T2)
(LT) (T3)
j 0,529 p.u. j 1,058 p.u.
j 0,529 p.u.
j 0,529 p.u.
j 0,353 p.u.
j 0,353 p.u.
j 0,556 p.u.
Figura 15 – Diagrama de reatâncias resultante.