Este documento discute o funcionamento de transformadores monofásicos. Explica que um transformador recebe energia elétrica em uma tensão e corrente e fornece essa energia em outra tensão e corrente, mantendo a frequência inalterada. Também apresenta os circuitos elétricos equivalentes do transformador em vazio e com carga, derivando as equações que relacionam as grandezas elétricas envolvidas.

1. www.mecatronicadegaragem.blogspot.com
Transformador Monofásico
1. Conceito
O transformador (TR) é um equipamento que recebe energia elétrica com uma tensão e
uma corrente e fornece essa energia, a menos das perdas, em outra tensão e outra
corrente. A freqüência elétrica se mantém inalterada.
A estrutura do TR é constituída por chapas de aço, isoladas por uma resina, justapostas e
pressionadas.
Envolvendo a estrutura de aço se encontram os enrolamentos do primário e do
secundário, conforme mostrado na fig.1. O enrolamento do primário tem n1 espiras e o do
secundário n2 espiras. O primário é ligado à rede elétrica.
2. Estudo do Transformador em vazio
2.1 Funcionamento
Vamos considerar o TR ligado a uma rede de freqüência f e tensão V1. Estando ligado
surge uma corrente de excitação ie, uma força magnetomotriz fmm = N1ie a qual produz um
fluxo mutuo φm que percorre a estrutura de aço do TR e um fluxo de dispersão φd.
Seja φ m = φ max sen ωt onde ω = 2πf . O sentido do fluxo na estrutura de aço é dado
pela regra da mão direita: agarrando-se o condutor com o polegar indicando o sentido da
corrente, os demais dedos indicam o sentido do fluxo.
O fluxo senoidal passando pelos enrolamentos induz tensões de acordo com a lei de
Faraday.
No estudo, letra minúscula é valor instantâneo, letra maiúscula é fasor e o módulo do
fasor é o valor eficaz.
No primário é induzida a tensão e1 e no secundário a tensão e2 as quais estão em fase.
A fig. 2 apresenta os sentidos da corrente de excitação, do fluxo e das tensões induzidas.
Ie 0m
V1 V1 E1 V2
E2
0d
n1 n2
n 1 > n2 Transformador abaixador sentido E1 e E2 nos enrolamentos
terminais de mesma polaridade
Figura 1 Figura 2
De acordo com as leis de Lenz/Faraday, temos:
dφ m
e1 = − n1 onde φ m = φ max sen ω t [1]
dt
 π
e1 = −n 1ωφ max cos ω t e1 = n 1ωφ max sen  ω t −  [2]
 2

2. www.mecatronicadegaragem.blogspot.com
Pelas expressões [1] e [2] observa-se que e1 está atrasada de φm de 90º elétricos.
Procedendo-se de igual modo chega-se a expressão de e2.
 π
e 2 = n 2 ω φ max sen  ω t −  [3]
 2
A partir da expressão [2] tem-se: e1max = n1ω φ max = n 1 2πfφ max
e1max 2π
E1 = = n 1fφ max = 4,44n 1fφ max E1 = 4,44n 1fφ max [4]
2 2
Procedendo de igual modo, tem-se: E 2 = 4,44n 2 fφ max [5]
E1 n
Das expressões [4] e [5] tem-se: = 1 e considerando-se que as duas tensões
E2 n2
E1 n 1
estão em fase, pode-se escrever: = [6]
E2 n2
2.2 Diagrama Fasorial do TR em Vazio:
A fig. 3 apresenta o diagrama fasorial φm
do TR operando sem carga.
Inicialmente marca-se o fasor V1, a
seguir marca-se Ιe bastante atrasado Ie
Im
de V1. Em seguida obtém-se as
componentes Ιp e Ιm. Observa-se que
Ιp é pequeno quando em comparação
com Ιm.
O módulo de Ιm difere muito pouco do V 1 = -E 1 Ip E 2 E1
módulo de Ιe. Como uma aproximação,
admite-se que Ιp não produza fmm e Figura 3
em decorrência fluxo.
Com a aproximação, apenas Ιm é responsável pela produção da fmm que, então, valerá
Ιmn1. Considerando-se que o valor do fluxo é igual ao valor da fmm dividido pela
relutância, o fluxo estará em fase com a corrente Ιm.
Ιp é chamada de Componente Watada da Corrente de Excitação pois o produto de seu
módulo pelo módulo de V1 dá o valor da potência absorvida pelo TR em vazio ou sem
carga, sendo portanto a potência das perdas: Wp = V1 I p [7]
Considerando-se que Ιe é cerca de 1 a 3% do valor da corrente nominal do primário, as
perdas causadas por ela nos enrolamentos é desprezível. Assim a potência W p destina-se
a suprir as perdas no ferro (histerese e Foucault). Para minimizar as perdas no ferro, a
estrutura do TR é constituída de chapas de aço isoladas por uma resina.
A equação fasorial de tensões do primário é dada por V1 = − E1 + I e Z1 [8]
onde Z1 é a impedância do enrolamento do primário. A parcela I e Z1 é muito pequena, e
pode ser desprezada.

3. www.mecatronicadegaragem.blogspot.com
Deste modo, em vazio, pode-se escrever: V1 = − E1 [9a]
3. Estudo do transformador com Carga:
3.1 Funcionamento:
Vamos supor que seja ligada uma carga indutiva. Conforme se observa na fig. 4, surge
uma corrente Ι2. Esta corrente passando pelos enrolamentos do secundário cria uma fmm
Ι2n2 a qual se opõe a fmm do primário. Haverá deste modo, instantaneamente, uma
redução no valor do fluxo mútuo do transformador.
I1= I 1! + I e fmm I2
secundário
V1 E1 E2 V2 Carga
Figura 4
Como conseqüência, haverá, também, uma redução instantânea nos valores de E1 e E2
(referência: equações [4] e [5]).
Com a redução do valor de E1 haverá instantaneamente um acréscimo na corrente do
!
primário (referência: equação [8]). Seja I1 o valor desse acréscimo. A corrente do primário
!
neste transformador passou a ser I1 = I e + I1 [9]
! !
A corrente I1 por sua vez, cria uma fmm adicional no primário de valor qual I1n 1 a
reforça o valor do fluxo que circula no circuito magnético. Em decorrência haverá uma
elevação nos valores de E1 e E2.
Por outro lado, observa-se que, para transformadores ligados a uma rede, com tensão V1
e freqüência f invariáveis, o valor de E1 varia muito pouco (1 a 2%) desde a máquina
operando em vazio e até a máquina operando em plena carga. Isto se deve ao fato de Z1
ser muito pequena.
Deste modo, pode-se admitir que o valor de E1 seja constante.
Em decorrência e de acordo com a equação [4] pode-se dizer que φmax também é
constante.
Sendo invariáveis o fluxo senoidal e a freqüência da rede, pode-se afirmar que as perdas
no ferro também serão invariáveis. Em decorrência Ιp será constante.
Sendo o fluxo senoidal de amplitude invariável, também será invariável a fmm que lhe deu
origem, que como vimos, com a aproximação, vale I m n 1 . Assim Ιm é constante.
A corrente de excitação Ιe = Ιp + Ιm , nestas condições, será invariável. Sendo os fasores
Ιe e E1 constantes, eles poderão ser relacionados através de uma impedância a qual será
expressa por Ze.
− E1 − E1 − E1 (R e − jX e )
Ie = = = = − E1 (g 0 − jb 0 ) [10]
Ze R e + jX e 2
R e + Xe 2
Por outro lado, como a fmm responsável pelo fluxo mútuo Ιm n1 é constante, as fmm(s)
que surgiram no TR ao ser carregado devem se anular, ou seja:

4. www.mecatronicadegaragem.blogspot.com
!
I1n 1 + I 2 n 2 = 0 [11]
!
I1 I2
=− [11a]
n2 n1
A equação de tensões do secundário do TR é: V2 = E 2 − I 2 Z 2 [12]
onde Z2 é a impedância do secundário.
A equação de tensões do primário do TR é: ( !
V1 = − E1 + I e + I1 Z1 ) [13]
3.2 Diagrama Fasorial do TR com Carga:
A fig. 5 representa o diagrama fasorial com carga. (Obs. Fasorial fora de escala)
I1
φm
Ie
I1 Im
R 1 I1
-E 1 Ip E2 E1
j X 1 I1
V2
α j X 2 I2
R 2 I2
V1
I2
Figura 5
No diagrama são marcados de início os fasores E1, E2, − E1, Ιe, Ιp, Ιm, φ. A seguir são
marcados os fasores Ι2, V2 (obtido pela equação [12], referentes ao secundário.
Através da equação [11] ou [11a] obtêm-se o fasor Ι′1.
Através da equação [9], obtêm-se a corrente Ι1.
Finalmente, pela equação [13], obtêm-se o fasor V1.
3.3 Circuito Elétrico do Transformador:
A partir do diagrama fasorial e considerando-se a equação [10], pode-se obter o circuito
elétrico do TR. (veja a fig. 6). Observa-se que a partir do circuito do TR pode-se, também,
obter todas as equações anteriormente apresentadas.

5. www.mecatronicadegaragem.blogspot.com
I1 R2 j X2 I2
R1 j X1 I !1
Ie
Im Ip
V1 -jb0 g0 E1 E2 V2 ZC
Figura 6
E1 n 1
V1 = I1Z1 − E1 =
E2 n2
!
I1 = I e + I1 E 2 = V2 + I 2 Z 2
Ie = Ip + I m V2
I2 =
Zc
I e = − E1 (g 0 − jb 0 ) !
n 1I1 = − n 2 I 2
3.4 Circuito Elétrico Simplificado do Transformador:
A fig. 7 apresenta o circuito simplificado do TR.
Observa-se que neste circuito não está representado o ramo da excitação. Esta
simplificação é válida quando se estuda o comportamento do transformador à plena carga
ou com carga elevada.
I1 R1 j X1 R2 j X2 I2
V1 E1 E2 V2 ZC
Figura 7
V1 = I1Z1 − E1 E 2 = V2 + I 2 Z 2 n 1I1 = −n 2 I 2
E1 n 1 V
= I2 = 2
E2 n2 Zc
3.5 Circuito Elétrico Equivalente do Transformador Referido ao Primário:
A partir das equações deduzidas anteriormente obtém-se o circuito equivalente:
V1 = −E1 + I1Z1 [13]

6. www.mecatronicadegaragem.blogspot.com
n1
Da equação [6] V1 = − E 2 + I1Z1 [14]
n2
Da expressão [12] tem-se: E 2 = V2 + I 2 Z 2 mas V2 = I 2 Z c arg a
E 2 = I 2 (Z 2 + Z c arg a ) [15]
Levando em conta a expressão [15], a expressão [14] pode ser apresentada como segue:
V1 = − I 2 (Z 2 + Z c arg a )
n1
+ I1Z1 . Considerando-se a expressão [11a) tem-se:
n2
2
! 
V1 = !
I1
n1
(Z 2 + Zc arg a ) n1 + I1Z1 então V1 =
n1
I1 
  (Z 2 + Z c arg a ) + I1Z1 [16]

n2 n2  n2 
A equação [16] e mais as equações: I1 = I e + I1
!
[9] e I e = − E1 (g 0 − jb 0 ) [10]
permitem construir o circuito elétrico equivalente apresentado na fig. 8:
I1 I !1
Ie
2
Z1 n1
Z2 2
n2 n1
V1 ZC
n2
Figura 8
2
! 
 (Z 2 + Z c arg a ) + I1 Z1
n1
V1 = I1 
 
!
I1 = I e + I1
 n2 
3.6 Circuito Elétrico Equivalente Simplificado do Transformador referido ao primário
Este circuito é obtido a partir da fig. 8, desprezando-se o circuito de excitação – ver fig. 9.
!
Neste caso I1 = I1

7. www.mecatronicadegaragem.blogspot.com
I1
2
Z1 n1
Z2
n2 2
n1
V1 ZC
n2
Figura 9
Sabe-se que: Z1 = R 1 + jX1 [17]
e Z 2 = R 2 + jX 2 [18]
A impedância equivalente referida ao primário é Z 01 :
n 
2
 n1 
2
  n1  
2
Z 01 = Z1 + Z 2  1
n 
 Z01 = R 1 + R 2   + j X1 + X 2 
n  n  
 [19]
 2   2 
  2  
1 4 4 2 4 43 1 4 44 2 4 4 43
R 01 X 01
Z 01 = R 01 + jX 01 [20]
Por outro lado:
2 2
n  n   n2  n  n 
Z c arg a  1
n  I1 = − Z c arg a  1
 n  I 2   = − Z c arg a  1
 n  n I 2 = − V2  1
 n 
 [21]
 2   2   1  2   2 
I1 n V1
R 01 jX 0 1 - V 2 n1
2
j X 0 1 I1
n n1 2
V1 -V 2 n 1 ZC n2
2
R 0 1 I1
I1
Figura 9a Figura 9b
Deste modo obtém-se a fig. 9a, que é uma outra forma de apresentação do circuito
elétrico equivalente simplificado do transformador referido ao primário.
A fig. 9b apresenta o diagrama fasorial correspondente, considerando-se o transformador
alimentando uma carga com F.P. Indutivo.
Observa-se que o TR é representado, na forma simplificada, por apenas uma impedância.

8. www.mecatronicadegaragem.blogspot.com
3.7 Circuito Elétrico Equivalente Simplificado do transformador Referido ao secundário
A partir do circuito elétrico simplificado do TR (apresentado na fig. [7], pode-se escrever:
V1 = Z1I1 − E1 onde
n1 n n2
− E1 = − E 2 = −(I 2 Z 2 + V2 ) 1 I1 = −I 2
n2 n2 n1
2
n n n n 
∴ V1 = − Z1I 2 2 − (I 2 Z 2 + V2 ) 1 V1 2 = − Z1I 2  2
n  − I 2 Z 2 − V2

n1 n2 n1  1 
n2   n 2 
− V1 = I 2  Z1  2  + Z 2  + V2
 
n1   n1  
 
 
 2
 n  2

n2   n2  
− V1 = I 2 R 1 
 n  + R 2 + j X1  n  + X 2   + V2
  
2
n1 1 4 4 12 4 4 3
   1 
 
 R 02 1 4 4 2 4 4 43 
4
 X02 
n2
− V1 = I 2 (R 02 + jX 02 ) + V2 [22]
n1
onde Z 02 = R 02 + jX 02
A partir desta última equação, obtém-se o circuito elétrico equivalente simplificado do
transformador referido ao secundário, alimentando uma carga com F.P. indutivo, o qual
está apresentado na fig. 10.
I2 -V1 n2
R 02 jX02 V2 n1
n j X02 I 2
-V 1 n 2 V2 ZC
1 α
R 02 I2
c o s α = F.P. da carga
I2
Figra 10 Figura 10a
A fig. 10a apresenta o diagrama fasorial correspondente, considerando-se o
transformador alimentando uma carga com F.P. indutivo.
O diagrama referido ao secundário, oferece a vantagem de preservar as grandezas do
secundário. Em outras palavras, as expressões do secundário são facilmente
identificadas e entendidas.

9. www.mecatronicadegaragem.blogspot.com
3.8 Relação entre as Impedâncias Equivalentes Referidas ao Primário e Secundário:
Nos itens anteriores foram deduzidas as expressões:
2 2
n  n 
R 01 = R 1 + R 2  1
n 
 R 02 = R1  2
n  + R2

 2   1 
2 2
n  n 
X 01 = X1 + X 2  1
n 
 X 02 = X1  2
n  + X2

 2   1 
A partir destas equações, tem-se:
n 
2
 n 
2
 n 
2
n 
2
R 01 =  1
n 
 R 1  2
  + R2 =  1
   R 02 =  1  R 02
 n  [23]
 2    n1
    n2
   2
2
n 
E de igual modo: X 01 =  1
n  X 02
 [24]
 2 
2 2
n  n 
assim: Z 01 =  1
n  [R 02 + jX 02 ] =  1
 n  Z 02
 [25]
 2   2 
4. Regulação do Transformador:
A regulação percentual a plena carga de um transformador de potência é a elevação da
tensão secundária, expressa em por cento da tensão secundária nominal, quando a carga
nominal, expressa em volt ampère, a um F.P. especificado é reduzida a zero, admitindo-
se que a tensão terminal do primário seja mantida constante.
Conforme visto, a fig. 10 apresenta o circuito elétrico equivalente simplificado do TR
referido ao secundário, alimentando uma carga indutiva.
Admitindo-se que o TR esteja operando com carga nominal a corrente será I 2 N e a
tensão será V2 N .
n2
Neste caso a expressão das tensões será: = I 2 N (R 02 + jX 02 ) + V2 N
− V1
n1
Com o TR ligado a plena carga, a tensão junto a carga será V2 N . No caso da carga ser
n
desligada, a tensão junto a carga será de − V1 2 .
n1

10. www.mecatronicadegaragem.blogspot.com
n2
− V1 − V2 N
n1
Assim: Re g % = 100 [26]
V2 N
5. Perdas nos Transformadores:
5.1 Perdas no Ferro:
Há 2 tipos de perdas: Histerese e Foucault (correntes parasitas).
O ferro é o caminho por onde passa o fluxo senoidal dos transformadores monofásicos.
Em conseqüência surgem no ferro correntes elétricas (correntes parasitas).
Para reduzir estas correntes, a estrutura do ferro não é feita por uma peça única mas sim
por um conjunto de lâminas de aço banhadas por uma resina que as isola. Com isto, as
tensões induzidas em cada chapa ficam limitadas. Por outro lado a resistência oferecida à
circulação de corrente elétrica é elevada, face a espessura fina das chapas. Com isto, as
perdas nas chapas de aço por correntes parasitas são reduzidas.
As expressões das perdas de Foucault e perdas por Histerese são:
PF = K 1B 2 f 2 t 2 V [27]
X
PH = K H B f V [28]
onde:
K1 e K H → São constantes que dependem do material.
B → Densidade máxima de fluxo.
f → freqüência
V → Volume do ferro.
t → Espessura da chapa.
X → constante, valor próximo de 2.
De acordo com as expressões, verifica-se que, aproximadamente, as perdas no ferro são
proporcionais ao quadrado da densidade de fluxo. Deste modo, as perdas no ferro são,
2
também, proporcionais ao valor do fluxo elevado ao quadrado. ∴ Pferro ≅ Kφ max [29]
Por outro lado no estudo de transformadores foi visto que V1 ≅ E1 onde
E1 = 4,44n1fφ max
Em um transformador operando em uma rede com freqüência constante, tem-se:
E1 = Kφ max
V1 ≅ E1 = Kφ max
V1
ou φ max = = K ! V1 [30]
K

11. www.mecatronicadegaragem.blogspot.com
2 2
Das expressões [29] e [30] tem-se: Pferro = KK ! 2 V1 ≅ K !! V1 [31]
Pode-se concluir que as perdas no ferro são, praticamente, proporcionais ao quadrado da
tensão da rede.
5.2 Perdas nos Enrolamentos:
2
São dadas pelas expressões: R 01I1 ou R 02 I 2
2
6. Rendimento dos transformadores:
Putil
É dado pela expressão: η= [32]
Putil + Pferro + Penrolament o
7. Ensaios de Curto Circuito e Circuito aberto:
Através dos ensaios de curto circuito são obtidos os valores de Z 01 e Z 02
Através do ensaio de circuito aberto, obtém-se o valor das perdas no ferro para o
transformador operando com a tensão V1 .
Observação: O estudo destes ensaios será feito nas aulas de laboratório.
8. Polaridade de transformadores:
O conhecimento da polaridade é essencial para a ligação em paralelo de
transformadores. Uma ligação errada poderá colocar em curto circuito os secundários dos
transformadores paralelizados.
A fig. [11] mostra dois transformadores iguais ligados em paralelo de forma correta.
Observe que estão ligados em cada barra os terminais de mesma polaridade dos
secundários dos transformadores.
Como ilustração, é representada na fig. [11a] uma ligação errada dos secundários dos
transformadores. Neste caso é fácil notar que os enrolamentos dos secundários estarão
em curto circuito.

12. www.mecatronicadegaragem.blogspot.com
Ie
E1 E1
E2 E2
Figura 11
Na figura, as flechas indicam os sentidos das tensões induzidas.
Ie
E1 E1
E2 E2
Figura 11a
9. Estudo da Operação em Paralelo de Transformadores:

13. www.mecatronicadegaragem.blogspot.com
I2 It
R 02 jX 02
-V 1 n 2 V2 carga
n1
I' 2
n' 2 R' 02 jX'02
-V 1
n' 1
Figura 11b
Conforme exposto anteriormente, é essencial para o paralelismo dos transformadores que
as ligações tenham sido feitas observando-se as polaridades.
A fig. [11b] apresenta dois transformadores ligados em paralelo. Os transformadores
estão representados pelos seus circuitos elétricos equivalentes simplificados referidos ao
secundário. Observa-se que, no caso da carga estar desligada, haverá corrente de
n2 n!
circulação dos TRs se − V1 ≠ − V1 2 . Assim, para que não haja aquecimento
!
n1 n1
n2 n! n n!
desnecessário do TR, é condição essencial que: − V1 = −V1 2 ∴ 2 = 2
! !
[33]
n1 n1 n1 n 1
Os transformadores tem que ter a mesma relação de transformação.
As equações de tensão dos transformadores são:
n2 n !2
− V1 = Z 02 I 2 + V2 [34] e − V1 !
= Z!02 I!2 + V2 [34a]
n1 n1
A equação das correntes é: I t = I 2 + I!2 [35]
n2 n !2
considerando-se que: − V1 = −V1 ! tem-se Z 02 I 2 = Z!02 I!2 [35a]
n1 n1
I2 Z!02
em módulo tem-se: = [36]
I!2 Z 02
multiplicando-se numerador e o denominador por V2 , tem-se:

14. www.mecatronicadegaragem.blogspot.com
V2 I 2 Z!02
= [37]
V2 I!2 Z 02
Pelas expressões pode-se afirmar:
• As impedâncias equivalentes referidas ao secundário são inversamente
proporcionais às correntes do secundário.
• As potências aparentes dos transformadores são inversamente proporcionais às
impedâncias equivalentes referidas ao secundário.
A partir da expressão [35a] e, representando as impedâncias na forma polar, tem-se:
I2 Z!02 ∠θ!
= [38]
I!2 Z 02 ∠θ
Z 02
Z 02 = R 02 + jX 02 X 02
θ
R 02
I2 Z!02
!
= ∠θ! − θ [39]
I2 Z 02
!
Observa-se que o ângulo entre I 2 e I 2 é θ! − θ
!
Quanto maior for o valor de θ − θ , menor será o valor de Ι1 (referência equação [35])
I2
θ! − θ
I !2
A associação ideal ocorre quando as duas correntes estão em fase. Neste caso ΙT será a
soma aritmética das duas correntes.
Para que isso ocorra, os ângulos das duas impedâncias devem ser iguais, ou seja:
θ! − θ = 0 . Para tanto a relação entre resistência e reatância de um transformador deve
R 02 R !02
ser igual a do outro transformador: = [40]
X 02 X!02

15. www.mecatronicadegaragem.blogspot.com
Exercícios
1. Considere dois transformadores a serem colocados em paralelo. Sabe-se que:
TR1 TR2
Ι2N = 150 A Ι!2N = 100 A
Z02 = 0,04 Ω Z!02 = 0,05 Ω
Analise e comente as condições da associação.
Nota: Os TRs tem a mesma relação de transformação.
2. Dois transformadores são ligados em paralelo em condições ideais. Um deles tem
Z02 = 0,03 + j0,04 e Ι2 = 200 A. O outro transformador tem Ι’2 = 400 A. Determine o
valor de Z`02 deste segundo transformador.
Nota: Os TRs tem a mesma relação de transformação
3. Dois transformadores, rigorosamente iguais, com exceção da relação de
transformação, são colocados em paralelo. Sabe-se que:
TR1 TR2
n n!
V1 2 = 100V V1 2 = 95V
n1 !
n1
Z 02 = 0,03 + j0,04 Z!02 = 0,03 + j0,04
Sabe-se também que eles estão operando sem carga.
Pede-se o valor da corrente de circulação entre os transformadores.
4. Qual a vantagem em se operar transformadores em paralelo?
5. Dois transformadores são rigorosamente iguais. Sabe-se que as suas características
são:
n2
V1 = 200V Z 02 = 0,03 + j0,04
n1
Na hipótese deles estarem ligados em paralelo com polaridades trocadas o que vai
ocorrer?
Analise qualitativa e quantitativamente.
Sabe-se também que eles estão operando sem carga.