O documento apresenta o cálculo dos esforços internos em uma treliça isostática sob a ação de cargas pontuais. Primeiro são determinadas as reações de apoio e então aplicado o método dos nós para calcular os esforços normais em cada barra, verificando o equilíbrio nos nós A, B, C, E. Os resultados mostram que as barras estão sujeitas a tração ou compressão.

1. Construções Especiais
Eng. Civil Esp. Antonio Batista
Treliças isostáticas

2. Barras (b) = 7
Nós (n) = 5
2 m 2 m
20 kN
40 kN
1 m
1 m

3. A treliça é isostática?
Verificação da condição isostática:
Nº de barras = 2 vezes o Nº nós – 3
b = 2*n-3
7=2*5-3
7=10-3
7=7
A treliça é isostática?
Não sei! Pode ser!

4. A treliça é formada pela lei da justaposição?
Sim, partindo-se de três barras articuladas nas suas
extremidades, é possível adicionarmos a estas, duas novas
barras para cada articulação até obtermos a treliça em
questão.
A treliça é isostática?
Sim, a treliça é isostática

5. 2 m 2 m
20 kN
40 kN
1 m
1 m
HA
HB
A
B
VB

6. Cálculo das reações de apoio:
Hipóteses fundamentais
Verificada a condição de estaticidade, b = 2n – 3, podemos
lançar mão das 3 equações da estática para determinação
dos esforços:
ΣV = 0, ΣH = 0, ΣM = 0

7. Somatório de Forças verticais:
Convenção:
+𝑽𝑩 − 𝟐𝟎𝒌𝑵 = 𝟎
𝑽𝑩 = 𝟐𝟎𝒌𝑵
Logo, a reação vertical no apoio B vale 20 KN
+ -

8. Somatório de Forças horizontais:
Convenção:
+𝑯𝑨 + 𝑯𝑩 − 𝟒𝟎𝒌𝑵 = 𝟎
𝑯𝑨 + 𝑯𝑩 = 𝟒𝟎𝒌𝑵
E agora?
+ -

9. Somatório de Momentos:
Convenção:
Então:
+ -

10. 2 m 2 m
20 kN
40 kN
1 m
1 m
HA
HB
A
B
VB

11. Somatório de Momentos:
Convenção:
+𝑯𝑩 ∗ 𝟐 − 𝟒𝟎𝒌𝑵 ∗ 𝟏 + 𝟐𝟎𝒌𝑵 ∗ 𝟒 = 𝟎
𝟐𝑯𝑩 − 𝟒𝟎𝒌𝑵 + 𝟖𝟎𝒌𝑵 =0
𝟐𝑯𝑩 + 𝟒𝟎𝒌𝑵 =0
𝟐𝑯𝑩 = −𝟒𝟎𝒌𝑵
𝑯𝑩 = −𝟐𝟎𝒌𝑵
Logo, a reação horizontal no apoio B vale -20 KN
+ -

12. Somatório de Forças horizontais:
Convenção:
+𝑯𝑨 + 𝑯𝑩 − 𝟒𝟎𝒌𝑵 = 𝟎
𝑯𝑨 + 𝑯𝑩 = 𝟒𝟎𝒌𝑵
𝑯𝑨 + −𝟐𝟎 𝒌𝑵 = 𝟒𝟎𝒌𝑵
𝑯𝑨 − 𝟐𝟎𝒌𝑵 = 𝟒𝟎𝒌𝑵
𝑯𝑨 = 𝟔𝟎𝒌𝑵
+ -

13. CÁLCULO DOS ESFORÇOS NAS BARRAS

14. Para resolvermos o problema da determinação dos
esforços nas barras de uma treliças isostática, podemos
dispor dos seguintes métodos:
1) Método dos nós;
2) Método das seções;
3) Programas de computador.

15. Método dos nós:
O método dos nós ou das juntas, baseia-se no seguinte
princípio:
“Se o conjunto está em equilíbrio, então, os nós também
estarão em equilíbrio”
Logo deveremos fazer a análise de todos os nós, aplicando
as equações:
ΣV = 0 ΣH = 0

16. CÁLCULO DOS ESFORÇOS NORMAIS NAS BARRAS
PELO MÉTODO DOS NÓS.
Devemos INICIAR E PROSSEGUIR pelos nós que
possuam apenas duas incógnitas à determinar (esforço
normal de 2 barras).
Aplicamos as equações de equilíbrio estático: ΣV = 0
ΣH = 0
Note-se que se o nó tiver mais de duas barras à serem deter
minadas (2 incógnitas) 2 equações não bastam para a
solução do sistema.

17. ROTEIRO:
1 - Cálculo das reações externas (se necessário)
2 - Escolha do 1º nó à ser examinado
3 - Aplicação das equações de equilíbrio no nó escolhido
4 - Resolvido o primeiro nó, passamos ao segundo sempre
com o cuidado de verificar se ele tem apenas duas
incógnitas (2 barras à serem determinadas)
OBS: Este método, necessita especial atenção, pois
apresenta o problema de acumular os erros de cálculos que
por acaso sejamcometidos.

18. Decomposição de forças
𝒔𝒆𝒏𝜶 =
𝑪𝑶
𝑯
=
𝑭𝒚
𝑭
⇒ 𝑭𝒚 = 𝑭 ∙ 𝒔𝒆𝒏𝜶
𝒄𝒐𝒔𝜶 =
𝑪𝑨
𝑯
=
𝑭𝒙
𝑭
⇒ 𝑭𝒙 = 𝑭 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝜶
𝒔𝒆𝒏𝜷 =
𝑪𝑶
𝑯
=
𝑭𝒙
𝑭
⇒ 𝑭𝒙 = 𝑭 ∙ 𝒔𝒆𝒏𝜷
𝒄𝒐𝒔𝜷 =
𝑪𝑨
𝑯
=
𝑭𝒚
𝑭
⇒ 𝑭𝒚 = 𝑭 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝜶
β
α

19. Verificando o equilíbrio do nó B

20. 2 m 2 m
20 kN
40 kN
1 m
1 m
60 kN
20 kN
A
B
VB
C
E
D
α

21. 4 m
1 m
α
𝒕𝒈𝜶 =
𝑪𝑶
𝑪𝑨
=
𝟒
𝟐
= 𝟐
𝜶 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 𝟐
𝜶 = 𝟔𝟑, 𝟒𝟑𝟓°

22. HB
B
VB
63,435°
N(B-A)
N(B-C)

23. HB
B
VB
N(B-A)
Nx(B-C)= N(B-C)senα
Ny(B-C)=N(B-C)cosα

24. HB=20 kN
B
VB=20 kN
N(B-A)
Nx(B-C)= N(B-C)senα
Ny(B-C)=N(B-C)cosα

25. HB=20 kN
B
Nx(B-C)= N(B-C)sen(63,435°)
Somatório de forças horizontais no nó B
෍ 𝑭𝑯 = 𝟎
−𝟐𝟎𝒌𝑵 + 𝑵 𝑩 − 𝑪 ∙ 𝒔𝒆𝒏 𝟔𝟑, 𝟒𝟑𝟓 =0
𝑵 𝑩 − 𝑪 ∙ 𝟎, 𝟖𝟗𝟒𝟒 = 𝟐𝟎 𝒌𝑵
𝑵 𝑩 − 𝑪 =
𝟐𝟎 𝒌𝑵
𝟎, 𝟖𝟗𝟒𝟒
= 𝟐𝟐, 𝟑𝟔 𝒌𝑵

26. B
VB=20 kN
N(B-A) Ny(B-C)=N(B-C)cosα
Somatório de forças verticais no nó B
෍ 𝑭𝑽 = 𝟎
𝟐𝟎𝒌𝑵 − 𝑵 𝑩 − 𝑪 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟔𝟑, 𝟒𝟑𝟓 − 𝑵(𝑩 − 𝑨)=0
𝑵 𝑩 − 𝑨 + 𝟐𝟐, 𝟑𝟔 ∙ 𝟎, 𝟒𝟒𝟕𝟐 = 𝟐𝟎 𝒌𝑵
𝑵 𝑩 − 𝑨 = 𝟐𝟎 𝒌𝑵 − 𝟏𝟎 𝒌𝑵
𝑵 𝑩 − 𝑨 = 𝟏𝟎 𝒌𝑵

27. HB = 20 kN
B
VB = 20 kN
N(B-A) = 10 kN
N(B-C) = 22,36 kN

28. Verificando o equilíbrio do nó A

29. 2 m 2 m
20 kN
40 kN
1 m
1 m
60 kN
20 kN
A
B
VB
C
E
D
β

30. 2 m
1 m
β
𝒕𝒈β =
𝑪𝑶
𝑪𝑨
=
𝟏
𝟐
= 𝟎, 𝟓
𝜷 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 𝟎, 𝟓
𝜷 = 𝟐𝟔, 𝟓𝟔𝟓°

31. HA
A
N(B-A)
N(A-C)
N(A-E)

32. HA
A
N(B-A)
N(A-C)
Nx(A-C)= N(A-C)cosα
Ny(A-C)=N(A-C)senα
N(A-E)

33. HA = 60 kN
A
N(B-A) = 10 kN
Nx(B-C)= N(B-C)cosα
Ny(B-C)=N(B-C)senα
N(A-E)

34. Somatório de forças verticais no nó A
෍ 𝑭𝑽 = 𝟎
𝟏𝟎𝒌𝑵 + 𝑵 𝑨 − 𝑪 ∙ 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝟔, 𝟓𝟔𝟓 =0
𝑵 𝑨 − 𝑪 ∙ 𝟎, 𝟒𝟒𝟕𝟐 = −𝟏𝟎 𝒌𝑵
𝑵 𝑨 − 𝑪 = −
𝟏𝟎 𝒌𝑵
𝟎, 𝟒𝟒𝟕𝟐
𝑵 𝑨 − 𝑪 = −𝟐𝟐, 𝟑𝟔 𝒌𝑵
A
N(B-A) = 10 kN
Ny(A-C)=N(A-C)senα

35. Somatório de forças horizontais no nó A
෍ 𝑭𝑯 = 𝟎
𝟔𝟎𝒌𝑵 + 𝑵 𝑩 − 𝑪 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝟔, 𝟓𝟔𝟓 + 𝑵 𝑨 − 𝑬 = 𝟎
𝟔𝟎 𝒌𝑵 + −𝟐𝟐, 𝟑𝟔 ∙ 𝟎, 𝟖𝟗𝟒𝟒 + 𝑵 𝑨 − 𝑬 = 𝟎
𝑵 𝑨 − 𝑬 = −𝟔𝟎 + 𝟐𝟎
𝑵 𝑨 − 𝑬 = −𝟒𝟎 𝒌𝑵
HA = 60 kN
A
Nx(B-C)= N(B-C)cosα
N(A-E)

36. HA = 60 kN
A
N(B-A) = 10 kN
N(A-C) = -22,36 kN
N(A-E) = -40 kN

37. Verificando o equilíbrio do nó E

38. 2 m 2 m
20 kN
40 kN
1 m
1 m
60 kN
20 kN
A
B
VB
C
E
D

39. N(A-E)
E N(E-D)
N(E-C)

40. N(A-E) = -40 kN
E N(E-D)
N(E-C)

41. A
N(E-C)
Somatório de forças verticais no nó E
෍ 𝑭𝑽 = 𝟎
𝑵 𝑬 − 𝑪 = 𝟎

42. -40 kN
A
Somatório de forças horizontais no nó E
෍ 𝑭𝑯 = 𝟎
− −𝟒𝟎 𝒌𝑵 + 𝑵 𝑬 − 𝑫 =0
𝑵 𝑬 − 𝑫 = −𝟒𝟎 𝒌𝑵
N(E-D)

43. N(A-E) = -40 kN
E
N(E-D) = -40 kN
N(E-C) = 0 kN

44. Verificando o equilíbrio do nó C

45. 2 m 2 m
20 kN
40 kN
1 m
1 m
60 kN
20 kN
A
B
VB
C
E
D

46. Analogamente:
De somatório de forças verticais no nó C
෍ 𝑭𝑽 = 𝟎 ⇒ 𝑵 𝑪 − 𝑫 = 𝟒𝟒, 𝟕 𝒌𝑵

47. P = 40 kN
C
N(C-E) = 0 kN
N(C-D) = 44,7 kN
N(C-A) = - 22,36 kN
N(C-B) = 22,36 kN

48. BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS
kN
ESFORÇO
N(A-B) 10,00 Tração
N(B-C) 22,36 Tração
N(A-C) -22,36 Compressão
N(A-E) -40,00 Compressão
N(E-C) 0,00 -
N(E-D) -40,00 Compressão
N(C-D) 44,70 Tração

49. 2 m 2 m
20 kN
40 kN
1 m
1 m
60 kN
20 kN
A
B
20 kN
C
E
D

50. BOA NOITE!

51. 4m 4m 4m 4m
3m
3m
A
B
C
D
E
F
G
H
3 t
5 t 4,5 t
1 t