Ac fr ogbvaueiwneiq-pzoefw6aeoczcj6aqhotrjahhuy9jwytxfyy0onjlh8fzgg9wdguyx_tplb4lxv-oiinvma82h-ocmuzo3qm79xo3jpxhzuyqpdbkqp8jcpju=

www.wlcursos.com atendimento@wlcursos.com
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Profª. Lídici Pomin
Exercícios Resolvidos
Pórticos planos e análise de cargas móveis
Manaus - AM
50 kN/m
15 kN
30kN/m
10 kN.m
2,0 m 5,0 m 3,0 m
3,0m
A B
C E FD
40 kN/m
2,0 m
150 kN
160 kN.m
6,0 m
A
B
C
1,5 m
20 kN30 kN
5 kN/m 15 kN/m15 kN/m
Carga Móvel

SUMÁRIO
1. EXERCÍCIO RESOLVIDO 1 - Isostática: Pórtico Plano ..........................................3
1.1 Reações de Apoio ......................................................................................................................................4
1.2 Esforço Normal ..........................................................................................................................................6
1.3 Esforço Cortante .......................................................................................................................................7
1.4 Momento Fletor .........................................................................................................................................9
2. EXERCÍCIO RESOLVIDO 2 - Isostática: Pórtico Plano .......................................11
2.1 Reações de Apoio ...................................................................................................................................12
2.2 Esforço Normal .......................................................................................................................................14
2.3 Esforço Cortante ....................................................................................................................................15
2.4 Momento Fletor ......................................................................................................................................18
3. EXERCÍCIO RESOLVIDO 3 - Isostática: Pórtico Plano .......................................23
3.1 Reações de Apoio ...................................................................................................................................24
3.2 Análise da Barra Inclinada .................................................................................................................26
3.3 Esforço Normal .......................................................................................................................................28
3.4 Esforço Cortante ....................................................................................................................................29
3.5 Momento Fletor ......................................................................................................................................31
4. EXERCÍCIO RESOLVIDO 4 – Linha de Influência e Cargas Móveis ........34
4.1 Análise da Seção .....................................................................................................................................35
4.2 Esforços devido à Carga Permanente ............................................................................................37
4.3 Análise da Carga Móvel .......................................................................................................................38
4.3.1 Análise do Trecho AS ................................................................................................................38
4.3.2 Análise do Trecho SC ................................................................................................................39
4.3.3 Linha de Influência ....................................................................................................................40
4.3.4 Esforço devido à Carga Móvel ...............................................................................................41
4.4 Esforços Mínimos e Máximos ...........................................................................................................43

Página | 3
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1
– ISOSTÁTICA: PÓRTICO PLANO –
QUESTÃO:
Para o pórtico mostrado na Figura, determine:
(a) Reações de Apoio;
(b) Esforço Normal: Diagrama e Equações;
(c) Esforço Cortante: Diagrama e Equações;
(d) Momento Fletor: Diagrama e Equações.
6,0 m
2,0m2,0m
30 kN/m
20 kN
A
C D
B

Página | 4
6,0 m
2,0m2,0m
30 kN/m
20 kN
A
D E
B
C
RESOLUÇÃO:
1.1 Reações de Apoio:
1º Passo: Definir um sentido aleatório para as reações de apoio:
2º Passo: Definir as equações de equilíbrio para encontrar as Reações:
FH = 0 ∴ para determinar HA
MB = 0 ∴ para determinar VA
FV = 0 ∴ para determinar VB
3º Passo: Definir um sentido de referência para resolver as equações do passo
anterior:
FH = 0 ∴ −HA + 20 = 0 ∴ 𝐇 𝐀 = 𝟐𝟎 𝐤𝐍
Conclusão: Valor da reação HA positiva = sentido adotado no 1° passo correto!!
𝐇 𝐀 = 𝟐𝟎 𝐤𝐍
HA
VA VB

Página | 5
MB = 0 ∴ 6 . VA + 20 . 2 − 30 . 6 . 3 = 0
6 . VA = −40 + 540
6 . VA = 500 ∴ VA =
500
6
∴ 𝐕 𝐀 = 𝟖𝟑, 𝟑𝟑𝟑 𝐤𝐍
Conclusão: Valor da reação VA positiva = sentido adotado no 1° passo correto!!
𝐕 𝐀 = 𝟖𝟑, 𝟑𝟑𝟑 𝐤𝐍
FV = 0 ∴ VA + VB − 30 . 6 = 0
83,333 + VB − 180 = 0
VB − 96,667 = 0 ∴ 𝐕 𝐁 = 𝟗𝟔, 𝟔𝟔𝟕 𝐤𝐍
Conclusão: Valor da reação VB positiva = sentido adotado no 1° passo correto!!
𝐕 𝐁 = 𝟗𝟔, 𝟔𝟔𝟕 𝐤𝐍
Para iniciar a análise dos esforços internos é necessário definir como será a análise:
Consideração:
Trecho 1: análise de A para C
Trecho 2: análise de C para D
Trecho 3: análise de D para E
Trecho 4: análise de B para E
6,0 m
2,0m2,0m
A
D E
B
C
X4X1
X2
X3

Página | 6
1.2 Esforço Normal (Diagrama e Equações):
1º Passo: Definição das Equações:
Trecho 1:
N(x1) = −VA = − 83,333 kN
Trecho 2:
N(x2) = VA = 20 kN
Trecho 3:
N(x3) = HA − 20 = 20 − 20 = 0
Trecho 4:
N(x4) = −VB = − 96,667 kN
Observação:
Pode-se observar que, para esta estrutura específica, as ações geram esforços
normais constantes nos trechos, sendo assim, o cálculo das equações será utilizado
como memória para traçar o diagrama.
2º Passo: Traçado do Diagrama de Esforço Normal:
83,333
96,667
_
DEN (kN)
A
D
B
E
_
6,0 m
2,0m2,0m
30 kN/m
20 kN
A
D
B
E
C
X1
X2
X3
X4
HA = 20 kN
VA = 83,333 kN VB = 96,667 kN

Página | 7
1.3 Esforço Cortante (Diagrama e Equações):
Trecho 1:
Q(x1) = +HA = 20
Trecho 2:
Q(x2) = +HA − 20 = 20 − 20 = 0
Trecho 3:
Q(x3) = +VA − 30 . x3
Q(x3) = +83,333 − 30x3
Trecho 4:
Q(x4) = 0
2º Passo: Cálculo dos Esforços para o traçado do Diagrama de Esforço Cortante:
Trecho 1:
QA = +HA = 20 kN
QC
AC
= +HA = 20 kN
Trecho 2:
QC
CD
= +HA − 20 = 20 − 20 = 0
QD
CD
= 0
Trecho 3:
QD
DE
= +VA = 83,333 kN
QE
DE
= +VA − 30 . 6 = 83,333 − 180 = −96,667 kN
Neste trecho há uma seção onde o Esforço Cortante é nulo, pois na extremidade D o valor
do esforço é positivo (o diagrama será traçado para cima) e na outra extremidade o valor é
negativo (o diagrama será traçado para baixo). Assim, nesta seção ocorre o Momento Fletor
máximo do trecho.
Diante disso, deve-se calcular o ponto exato onde isto ocorre.
6,0 m
2,0m2,0m
30 kN/m
20 kN
A
D
B
E
C
X1
X2
X3
X4
HA = 20 kN
VA = 83,333 kN VB = 96,667 kN

Página | 8
Q(x3) = 83,333 − 30x3
0 = 83,333 − 30x3 ∴ 30x3 = 83,333
x3 =
83,333
30
∴ 𝐱 𝟑 = 𝟐, 𝟕𝟕𝟖 𝐦
Trecho 4:
QB
BE
= 0
QE
BE
= 0
3º Passo: Traçado do Diagrama de Esforço Cortante:
DEC (kN)
20
83,333
96,667
_
+
_
A
D
B
E
2,778 m

Página | 9
1.4 Momento Fletor (Diagrama e Equações):
Trecho 1:
M(x1) = +HA . x1 = 20x1
(diagrama linear)
Trecho 2:
M(x2) = M(x1) + HA . x2 − 20. x2
M(x2) = (20.2) + 20. x2 − 20. x2
M(x2) = +40
(diagrama uniforme)
Trecho 3:
M(x3) = +VA. x3 − 30 . x3.
x3
2
M(x3) = 83,333. x3 − 30.
x3
2
2
(diagrama parabólico − 2° Grau)
Trecho 4:
M(x4) = 0
2º Passo: Cálculo dos Esforços para o traçado do Diagrama de Momento Fletor:
Trecho 1:
MA = 0
MC
AC
= +HA. 2 = 20.2 = 40 kN. m
Trecho 2:
MC
CD
= MC
AC
= 40 kN. m
MD
CD
= +HA. 4 − 20.2 = 20.4 − 40 = 80 − 40 = 40 kN. m
Trecho 3:
MD
DE
= MD
CD
= 40 kN. m
ME
DE
= MD
CD
+ VA. 6 − 30. 6.
6
2
= 40 + 83,333.6 − 540 ≅ 0 kN. m
6,0 m
2,0m2,0m
30 kN/m
20 kN
A
D
B
E
C
X1
X2
X3
X4
HA = 20 kN
VA = 83,333 kN VB = 96,667 kN

Página | 10
Obs: Neste trecho há um cortante nulo quando x3 = 2,778 m, sendo assim, deve-se
calcular o momento máximo:
Mmáx
DE
= MD
CD
+ VA. (2,778) − 30. (2,778).
(2,778)
2
Mmáx
DE
= 40 + 83,333. (2,778) − 115,759
Mmáx
DE
= 155,740 kN. m
Trecho 4:
MB
BE
= 0
ME
BE
= 0
3º Passo: Traçado do Diagrama de Momento Fletor:
A
D
40
40
DMF (kN.m)
D
E
2,778 m
96,667
135 =
q.L²___
8
40
Mmáx
B
E
M =máx
0
0
135 =
q.L²___
8

Página | 11
QUESTÃO:
50 kN/m
15 kN
30kN/m
10 kN.m
2,0 m 5,0 m 3,0 m
3,0m
A B
C E FD

Página | 12
RESOLUÇÃO:
MC
esq
= 0 ∴ para determinar HA
FH = 0 ∴ para determinar HB
anterior:
MC
esq
= 0 ∴ 3 . HA −
30.3
2
. (
1
3
. 3) = 0
3 . HA − 45 = 0
3 . HA = 45 ∴ HA =
45
3
∴ 𝐇 𝐀 = 𝟏𝟓 𝐤𝐍
Conclusão: Valor da reação HA positiva = sentido adotado no 1° passo, correto!!
𝐇 𝐀 = 𝟏𝟓 𝐤𝐍
50 kN/m
15 kN
30kN/m
10 kN.m
2,0 m 5,0 m 3,0 m
3,0m
A B
C E FD
HA
VA
VB
HB

Página | 13
FH = 0 ∴ − HA − HB +
30.3
2
= 0
− 15 − HB + 45 = 0
− HB + 30 = 0 ∴ 𝐇 𝐁 = 𝟑𝟎 𝐤𝐍
Conclusão: Valor da reação HB positiva = sentido adotado no 1° passo, correto!!
𝐇 𝐁 = 𝟑𝟎 𝐤𝐍
MB = 0 ∴ 7 . VA +
30.3
2
. (
2
3
. 3) − 50.10.2 − 15.5 + 10 = 0
7 . VA + 90 − 1000 − 75 + 10 = 0
7 . VA = 975 ∴ VA =
975
7
∴ 𝐕 𝐀 = 𝟏𝟑𝟗, 𝟐𝟖𝟔 𝐤𝐍
Conclusão: Valor da reação VA positiva = sentido adotado no 1° passo, correto!!
𝐕 𝐀 = 𝟏𝟑𝟗, 𝟐𝟖𝟔 𝐤𝐍
FV = 0 ∴ VA + VB − 15 − 50 . 10 = 0
139,286 + VB − 15 − 500 = 0
VB − 375,714 = 0 ∴ 𝐕 𝐁 = 𝟑𝟕𝟓, 𝟕𝟏𝟒 𝐤𝐍
Conclusão: Valor da reação VB positiva = sentido adotado no 1° passo, correto!!
𝐕 𝐁 = 𝟑𝟕𝟓, 𝟕𝟏𝟒 𝐤𝐍
Consideração:
Trecho 2: análise de C para D
Trecho 3: análise de D para E
Trecho 4: análise de F para E
Trecho 5: análise de B para E3,0 m
3,0m
A
B
C E FD
X1
X2 X3 X4
X5
2,0 m 5,0 m

Página | 14
Trecho 1:
N(x1) = − 139,286 kN
Trecho 2:
N(x2) = 15 −
30.3
2
N(x2) = 15 − 45 = −30 kN
Trecho 3:
N(x3) = N(x2) = −30 kN
Trecho 4:
N(x4) = 0
Trecho 5:
N(x5) = − 375,714 kN
Observação:
Pode-se observar que, para esta estrutura específica, as ações geram esforços
normais constantes nos trechos, sendo assim, o cálculo das equações será utilizado
como memória para traçar o diagrama.
A B
C E FD
DEN (kN)
139,286
375,714
30,000
_
_ 0
_
139,286 kN 375,714 kN
15 kN
30 kN
50 kN/m
15 kN
30kN/m
10 kN.m
2,0 m 5,0 m 3,0 m
3,0m
A B
C
E F
D
X1
X2 X3 X4
X5

Página | 15
Trecho 1:
Q(x1) = +15 −
30. x1
2
. (
1
3
. x1) = 15 − 5. x1
2
(diagrama parabólico − 2° grau)
Trecho 2:
Q(x2) = +139,286 − 50. x2 (diagrama linear)
Trecho 3:
Q(x3) = Q(x2) − 15 − 50. x3
Q(x3) = (139,286 − 50 . 2) − 15 − 50. x3
Q(x3) = (39,286) − 15 − 50. x3
Q(x3) = 24,286 − 50. x3 (diagrama linear)
Trecho 4:
Q(x4) = 50. x4 (diagrama linear)
Trecho 5:
Q(x5) = 30 (diagrama uniforme)
139,286 kN 375,714 kN
15 kN
30 kN
50 kN/m
15 kN
30kN/m
10 kN.m
2,0 m 5,0 m 3,0 m
3,0m
A B
C
E F
D
X1
X2 X3 X4
X5

Página | 16
Trecho 1:
QA = 15 kN
QC
AC
= QA −
30 . 3
2
= 15 − 45 = −30 kN
Neste trecho há uma seção onde o Esforço Cortante é nulo, pois na extremidade A o
valor do esforço é positivo e na outra extremidade o valor é negativo. Assim, nesta seção
ocorre o Momento Fletor máximo do trecho.
Q(x1) = 15 − 5. x1
2
∴ 0 = 15 − 5. x1
2
∴ 5. x1
2
= 15
x1 = √
15
5
∴ 𝐱 𝟏 = 𝟏, 𝟕𝟑𝟐 𝐦
Trecho 2:
QC
CD
= 139,286 kN
QD
CD
= QC
CD
− 50.2 = 139,286 − 100 = 39,286 kN
Trecho 3:
QD
DE
= QD
CD
− 15 = 39,286 − 15 = 24,286 kN
QE
DE
= QD
DE
− 50.5 = 24,286 − 250 = −225,714 kN
Neste trecho há uma seção onde o Esforço Cortante é nulo, pois na extremidade D o
139,286 kN 375,714 kN
15 kN
30 kN
50 kN/m
15 kN
30kN/m 10 kN.m
2,0 m 5,0 m 3,0 m
3,0m
A B
C
E F
D
X1
X2 X3 X4
X5

Página | 17
Q(x3) = 24,286 − 50. x3 ∴ 0 = 24,286 − 50. x3 ∴ 50. x3 = 24,286
x3 =
24,286
50
∴ 𝐱 𝟑 = 𝟎, 𝟒𝟖𝟔 𝐦
Trecho 4:
QF = 0
QE
FE
= 50.3 = 150 kN
Trecho 5:
QB = 30
QE
BE
= QB = 30 kN
A
C
15
30
+
_
1,732m
C
E
D
24,286
39,286
139,286
225,714
+
_
E
F
150
+
2,486 m
B
E
30+
DEC (kN)

Página | 18
Observação: Detalhe do traçado do trecho AC:
Trecho 1:
M(x1) = +15. x1 − (
30. x1
3
) . (
x1
2
) . (
1
3
. x1)
M(x1) = 15. x1 − 30.
x1
3
18
M(x1) = 15. x1 −
5. x1
3
3
A
C
=11,25
q.L___
8
1,732m
139,286 kN 375,714 kN
15 kN
30 kN
50 kN/m
15 kN
30kN/m
10 kN.m
2,0 m 5,0 m 3,0 m
3,0m
A B
C
E F
D
X1
X2 X3 X4
X5

Página | 19
Trecho 2:
M(x2) = M(x1) + 139,286 . x2 − 50. x2. (
x2
2
)
M(x2) = (15.3 −
5. 33
3
) + 139,286. x2 − 25. x2
2
M(x2) = 0 + 139,286. x2 − 25. x2
2
M(x2) = 139,286. x2 − 25. x2
2
Trecho 3:
M(x3) = M(x2) + (139,286. x3 − 100. x3) − 15. x3 − 50 . x3. (
x3
2
)
M(x3) = (139,286 . 2 − 25 . 22) + (39,286. x3) − 15. x3 − 50.
x3
2
2
M(x3) = 178,572 + 24,286. x3 − 25. x3
2
Trecho 4:
M(x4) = −10 − 50. x4. (
x4
2
)
M(x4) = −10 − 50.
x4
2
2
Trecho 5:
M(x5) = −30. x5 (diagrama linear)
139,286 kN 375,714 kN
15 kN
30 kN
50 kN/m
15 kN
30kN/m
10 kN.m
2,0 m 5,0 m 3,0 m
3,0m
A B
C
E F
D
X1
X2 X3 X4
X5

Página | 20
Trecho 1:
MA = 0
MC
AC
= +15.3 − (
30 . 3
2
) . (3.
1
3
) = 0
Mmáx
AD
= 15 .1,732 − (30.
1,732
3
) . (
1,732
2
) . (
1
3
. 1,732)
Mmáx
DE
= 25,98 − (17,32 . 0,866 . 0,577)
Mmáx
DE
= 25,98 − (8,654)
Mmáx
AD
= 17,326 kN. m
Trecho 2:
MC
CD
= MC
AC
= 0
MD
CD
= MC
CD
+ 139,286 . 2 − 50. 2. (
2
2
)
MD
CD
= 0 + 278,572 − 100 = 178,572 kN. m
Trecho 3:
MD
DE
= MD
CD
= 178,572 kN. m
ME
DE
= MC
CD
+ 139,286 . 7 − 50. 7. (
7
2
) − 15 . 5
ME
DE
= 0 + 975,002 − 1225 − 75 ≅ 325 kN. m
Mmáx
DE
= MC
CD
+ 139,286 . (2,0 + 0,486) +
−50. (2,0 + 0,486). (
(2,0 + 0,486)
2
) − 15 . (0,486)
Mmáx
DE
= 0 + 346,265 − 154,505 − 7,29
Mmáx
DE
= 184,470 kN. m

Página | 21
Trecho 4:
MF
FE
= −10
ME
FE
= MF
FE
− 50. 3. (
3
2
) = −10 − 225 = −235 kN. m
Trecho 5:
MB
BE
= 0
ME
BE
= MB
BE
− 30 . 3 = 0 − 90 = −90 kN. m
DMF (kN.m)
A
C
17,326M =máx
1,732m
C
D
E F
325
235
178,572
184,470
M=máx
B
E 90

Página | 22
Observação 1: Detalhe do traçado do trecho CE:
Observação 2: Detalhe do traçado do trecho AC e EF:
156,25 =
Mmáx
q.L²__
8
156,25 =
q.L²__
8
D E
=25
q.L²__
8
DC
56,25 =
q.L²__
8
56,25 =
q.L²__
8
E F
Mmáx
A
C
22,5 =
q.L²__
12
1,732m

Página | 23
QUESTÃO:
20 kN/m
5kN/m
BA
DC
4,0 m4,0 m
3,0m

Página | 24
RESOLUÇÃO:
FH = 0 ∴ para determinar HB
anterior:
FH = 0 ∴ − HB + 5 . 3 = 0
− HB + 15 = 0
𝐇 𝐁 = 𝟏𝟓 𝐤𝐍
Conclusão: Valor da reação HB positiva = sentido adotado no 1° passo correto!!
𝐇 𝐁 = 𝟑𝟎 𝐤𝐍
20 kN/m
5kN/m
BA
DC
4,0 m4,0 m
3,0m
VA VB
HB

Página | 25
MB = 0 ∴ 8 . VA + 5. 3. (
3
2
) − 20 . 8 . (
8
2
) = 0
8 . VA + 22,5 − 640 = 0
8 . VA = 617,5 ∴ VA =
617,5
8
∴ 𝐕 𝐀 = 𝟕𝟕, 𝟏𝟖𝟕 𝐤𝐍
Conclusão: Valor da reação VA positiva = sentido adotado no 1° passo correto!!
𝐕 𝐀 = 𝟕𝟕, 𝟏𝟖𝟕 𝐤𝐍
FV = 0 ∴ VA + VB − 20 . 8 = 0
77,187 + VB − 160 = 0
VB − 82,813 = 0 ∴ 𝐕 𝐁 = 𝟖𝟐, 𝟖𝟏𝟑 𝐤𝐍
Conclusão: Valor da reação VB positiva = sentido adotado no 1° passo correto!!
𝐕 𝐁 = 𝟖𝟐, 𝟖𝟏𝟑 𝐤𝐍
Consideração:
Trecho 1: análise de B para D
Trecho 2: análise de D para C
BA
C
4,0 m
3,0m
X1
X3
4,0 m
D
X2

Página | 26
3.2 Análise da barra inclinada AC:
Comprimento da barra:
hipotenusa2
= b2
+ c2
= 32
+ 42
= 9 + 16
hipotenusa = √25 ∴ hipotenusa = 5m
sen α =
cateto oposto
hipotenusa
=
3
5
cos α =
cateto adjacente
hipotenusa
=
4
5
Análise da reação de apoio VA:
V′A = VA . cos α = 77,187 .
4
5
= 61,750 kN
V′′A = VA . sen α = 77,187 .
3
5
= 46,312 kN
Análise da carga distribuída de 20 kN/m:
C
20 kN/m
C
80
A A
C
80
A
q'' q'




4,0 m
20 kN/m
5kN/m
B
A
DC
4,0 m4,0 m 3,0m

A
C

VA
V'A
V''A

5,0 m

Página | 27
Carga q’:
Resultante: q′
= 80 . cos α = 80 .
4
5
= 64 kN
Carga distribuída: q′
=
64
5
= 12,8 kN. m
Carga q’’:
Resultante: q′′
= 80 . sen α = 80 .
3
5
= 48 kN
Carga distribuída: q′′
=
48
5
= 9,6 kN. m
Análise da carga distribuída de 5 kN/m:
Carga p’:
Resultante: p′
= 15 . sen α = 15 .
3
5
= 9 kN
Carga distribuída: p′
=
9
5
= 1,8 kN. m
C
A

5kN/m
C
A

15
C
A

15

p''
p'
3,0m
C

A
12,8
kN/m
5,0 m
C

A
9,6
kN/m
5,0 m
C

A
1,8
kN/m
5,0 m

Página | 28
Carga p’’:
Resultante: p′′
= 15 . cos α = 15 .
4
5
= 12 kN
Carga distribuída: p′′
=
12
5
= 2,4 kN. m
Resultado da decomposição dos esforços:
Trecho 1:
N(x1) = − 82,813
Trecho 2:
N(x2) = −15
Trecho 3:
N(x1) = − 46,31 + 7,2. x1
Trecho 1:
NB = ND
BD
= − 82,813 kN
A
C
61,75 kN
46,31 kN
14,6
kN/m
7,2
kN/m
20 kN/m
B
A
DC
4,0 m
3,0m
X2
X1
61,75 kN 82,813 kN
15 kN
46,31 kN
14,6
kN/m
7,2
kN/m
X3
4,0 m
C

A
2,4
kN/m
5,0 m

Página | 29
Trecho 2:
ND
DC
= NC
DC
= − 15 kN
Trecho 3:
NA = − 46,31
NC
AC
= − 46,31 + 7,2 . 5 = −46,31 + 36 = −10,31 kN
Trecho 1:
Q(x1) = +15
(diagrama uniforme)
Trecho 2:
Q(x2) = −82,813 + 20. x2
(diagrama linear)
Trecho 3:
Q(x3) = +61,75 − 14,6. x3
(diagrama linear)
82,813
_
15,000
_
_
46,31
10,31
BA
DC
DEN (kN)
20 kN/m
B
A
DC
4,0 m
3,0m
X2
X1
61,75 kN 82,813 kN
15 kN
46,31 kN
14,6
kN/m
7,2
kN/m
X3
4,0 m

Página | 30
Trecho 1:
QB = +15 kN
QD
BD
= +15 kN
Trecho 2:
QD
DC
= +82,813 kN
QC
DC
= QD
DC
− 20.4 = +82,813 − 80 = −2,813 kN
Trecho 3:
QA = +61,75 kN
QC
AC
= QA − 14,6 . 5 = +61,75 − 73 = −11,25 kN
Neste trecho há uma seção onde o Esforço Cortante é nulo, pois na extremidade A o
Q(x3) = +61,75 − 14,6. x3 ∴ 0 = +61,75 − 14,6. x3 ∴ 14,6 . x3 = 61,75
x3 =
61,75
14,6
∴ 𝐱 𝟑 = 𝟒, 𝟐𝟑 𝐦
DEC (kN)A
C
61,75
11,25
+
4,23 m
DC
_
82,81
2,81
B
D
15
+

Página | 31
Trecho 1:
M(x1) = −15. x1
(diagrama linear)
Trecho 2:
M(x2) = M(x1) + 82,813 . x2 − 20. x2. (
x2
2
)
M(x2) = (−15 . 3) + 82,813. x2 − 10. x2
2
M(x2) = −45 + 82,813. x2 − 10. x2
2
Trecho 3:
M(x3) = 61,75. x3 − 14,60 . x3. (
x3
2
)
M(x3) = 61,75. x3 − 7,3 . x3
2
Trecho 1:
MB = 0
MD
BD
= MB − 15 . 3
MD
BD
= 0 − 15 . 3 = −45 kN. m
Trecho 2:
MD
DC
= MD
BD
= −45 kN. m
MC
DC
= MD
DC
+ 82,813 . 4 − 20. 4. (
4
2
)
MC
DC
= −45 + 331,252 − 160 = 126,25 kN. m
20 kN/m
B
A
DC
4,0 m
3,0m
X2
X1
61,75 kN 82,813 kN
15 kN
46,31 kN
14,6
kN/m
7,2
kN/m
X3
4,0 m
20 kN/m
B
A
DC
4,0 m
3,0m
X2
X1
61,75 kN 82,813 kN
15 kN
46,31 kN
14,6
kN/m
7,2
kN/m
X3
4,0 m

Página | 32
Trecho 3:
MA = 0
MC
AC
= MA + 61,75 . 5 − 14,6 . 5 . (
5
2
) = 126,252 kN. m
MC
AC
= 0 + 308,75 − 182,50 = 126,25 kN. m
calcular o momento máximo nesta seção:
Mmáx
AC
= 61,75 . (4,23) − 14,6. (4,23). (
4,23
2
)
Mmáx
DE
= 261,202 − 130,618
Mmáx
AC
= 130,58 kN. m
A
C
126,25
130,58
Mmáx
4,23 m
D
C
126,25
45
B
D
45
DMF (kN.m)

Página | 33
Observação 1: Detalhe do traçado do trecho AC:
Observação 2: Detalhe do traçado do trecho CD:
D
C
40 =
q.L²__
8
40 =
q.L²__
8
A
C
Mmáx
4,23 m
46,625 =
q.L²__
8 46,625 =
q.L²__
8

Página | 34
- LINHA DE INFLUÊNCIA E CARGAS MÓVEIS -
QUESTÃO:
Para a viga biapoiada, submetida às ações permanentes e acidentais (carga
móvel), calcular o Esforço Cortante e Momento Fletor, máximo e mínimo, na
seção onde o momento fletor, devido a carga permanente, é máximo.
40 kN/m
2,0 m
150 kN
160 kN.m
6,0 m
A
B
C
1,5 m
20 kN30 kN
5 kN/m 15 kN/m15 kN/m
Carga Móvel

Página | 35
RESOLUÇÃO:
4.1 Análise da seção
ONDE SERÁ A SEÇÃO DE ANÁLISE ?
A seção de momento fletor máximo localiza-se onde o esforço cortante é nulo,
então, essa situação será analisada através do traçado do Diagrama de Esforço
Cortante, para que possamos observar onde esse esforço vale 0.
Após, iremos definir uma equação para esse trecho e igualar a zero. Assim,
definimos o local exato onde o cortante vale 0 e o momento fletor seja máximo.
Reação de Apoio:
320 kN
2,0 m
150 kN
160 kN.m
6,0 m
A
B
C
4,0 m4,0 m
8
150 . 6
8,0 m
8
320 . 4
8
160
VA 252,5 kN

Página | 36
Esforço Cortante:
𝑸 𝐀 = 𝟐𝟓𝟐, 𝟓 𝐤𝐍
QB1 = +252,5 − 40.2 = 𝟏𝟕𝟐, 𝟓 𝐤𝐍
QB2 = +172,5 − 150 = 𝟐𝟐, 𝟓 𝐤𝐍
QC = +252,5 − 40.8 − 150 = −𝟐𝟏𝟕, 𝟓 𝐤𝐍
Conclusão: a seção onde o cortante é nulo está no trecho BC
Equação do Trecho BC:
Q (x2) = 22,5 − 40. x2
Seção onde o cortante vale zero:
0 = 22,5 − 40. x2
40. x2 = 22,5
x2 =
22,5
40
𝐱 𝟐 = 𝟎, 𝟓𝟔𝟐𝟓 𝐦
40 kN/m
2,0 m
150 kN
160 kN.m
6,0 m
A
B
C
252,5 kNVA
A
B
C
252,5
172,5
22,5
217,5
_
+
DEN (kN)

Página | 37
Conclusão: O momento fletor ocorre na seção distante 2,5625 m da seção A,
chamaremos este ponto de Seção S.
4.2 Esforços devido à carga permanente na Seção S:
ESFORÇO CORTANTE EM ‘S’:
QS = 0
MOMENTO FLETOR EM ‘S’:
MS = +252,5 . 2,5625 − 40 . 2,5625 .
2,5625
2
− 150 . 0,5625
MS = 647,031 − 131,328 − 84,375
MS = 431,328 kN. m
40 kN/m
2,0 m
150 kN
160 kN.m
5,4375 m
A
B
C
2,5625 m
S
0,5625
252,5 kNVA
A
B
C
252,5
172,5
22,5
217,5
_
+
DEN (kN)
2 m 0,5625 m

Página | 38
4.3 Análise da Carga Móvel:
4.3.1 Análise do Trecho AS (0 ≤ x1 ≤ 2,5625m)
Reação de Apoio:
LI QS(x1) = QS(x1)
QS(x1) =
8 − x1
8
− 1 =
8 − x1 − 8
8
= −
x1
8
𝐋𝐈 𝐐 𝐒(𝐱 𝟏) = −
𝐱 𝟏
𝟖
Então:
𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱 𝟏 = 𝟎
LI QS(0) = −
(0)
8
= 0
𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱 𝟏 = 𝟐, 𝟓𝟔𝟐𝟓 𝐦
LI QS(2,5625) = −
(2,5625)
8
= −0,320
5,4375 m
A C
2,5625 m
S
8,0 m
P = 1 kN
x 8 - x
8
1 . (8 - x )
8
VA
8 - x1
1
1 1
5,4375 m
A C
2,5625 m
S
8,0 m
P = 1 kN
2,5625 - x
VA
x1 1
8
8 - x1

Página | 39
LI MS(x1) = MS(x1) = (
8 − x1
8
) . 2,5625 − 1 . (2,5625 − x1)
MS(x1) =
(8 − x1). 2,5625 − 8 . (2,5625 − x1)
8
MS(x1) =
20,5 − 2,5625 x1 − 20,5 + 8 x1
8
=
5,4375 x1
8
𝐋𝐈 𝐌 𝐒(𝐱 𝟏) =
𝟓, 𝟒𝟑𝟕𝟓 𝐱 𝟏
𝟖
Então:
𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱 𝟏 = 𝟎
LI MS(0) =
5,4375 . (0)
8
= 0
𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱 𝟏 = 𝟐, 𝟓𝟔𝟐𝟓 𝐦
LI MS(2,5625) =
5,4375 . (2,5625)
8
= 1,742
4.3.2 Análise do Trecho SC (0 ≤ x2 ≤ 5, 4375m)
Reação de Apoio:
LI QS(x2) = QS(x2) =
5,4375 − x2
8
𝐋𝐈 𝐐 𝐒(𝐱 𝟐) =
𝟓, 𝟒𝟑𝟕𝟓 − 𝐱 𝟐
𝟖
5,4375 m
A C
2,5625 m
S
8,0 m
P = 1 kN
x 5,4375 - x
8
1 . (5,4375 - x )
A
5,4375 - x
22
2
2

Página | 40
Então:
𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱 𝟐 = 𝟎
LI QS(0) =
5,4375 − (0)
8
= 0,680
𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱 𝟐 = 𝟓, 𝟒𝟑𝟕𝟓 𝐦
LI QS(5,4375) =
5,4375 − (5,4375)
8
= 0
LI MS(x2) = MS(x2) = (
5,4375 − x2
8
) . 2,5625 =
13,933 − 2,5625 x2
8
𝐋𝐈 𝐌 𝐒(𝐱 𝟐) =
𝟏𝟑, 𝟗𝟑𝟑 − 𝟐, 𝟓𝟔𝟐𝟓 𝐱 𝟏
𝟖
Então:
𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱 𝟐 = 𝟎
LI MS(0) =
13,933 − 2,5625. (0)
8
= 1,742
𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱 𝟐 = 𝟓, 𝟒𝟑𝟕𝟓 𝐦
LI MS(5,4375) =
13,933 − 2,5625. (5,4375)
8
= 0
4.3.3 Linha de Influência
5,4375 m
A C
2,5625 m
S
8,0 m
0,680
-0,320

Página | 41
4.3.4 Esforço devido à carga móvel
2,5625 m -0,320
1,0625 m y’
y’ = -0,133
2,5625 m 0,680
3,9375 m y’’
y’’ = -0,492
Esforço Cortante Mínimo:
QS (mínimo)
′
= 30 . (−0,320) + 20. (−0,133) + 15. (
1, 0625. (−0,133)
2
)
+ 5 . (
1,5. (−0,133 − 0,320)
2
)
QS (mínimo)
′
= −9,600 − 2,660 − 1,060 − 1,700
𝐐 𝐒 (𝐦í𝐧𝐢𝐦𝐨)
′
= −𝟏𝟓, 𝟎𝟐𝟎 𝐤𝐍
5,4375 m
A C
2,5625 m
S
8,0 m
1,742
5 kN/m
y'
y''
5,4375 m
A C
2,5625 m
S
-0,320
1,5 m
30 kN20 kN
15 kN/m
5 kN/m
1,5 m 20 kN30 kN
0,680
15 kN/m

Página | 42
Esforço Cortante Máximo:
QS (máximo)
′
= 30 . (0,680) + 20. (0,492) + 5. (
1,5. (0,680 + 0,492)
2
)
+ 15. (
3,9375 . (0,492)
2
)
QS (máximo)
′
= 20,400 + 9,840 + 4,395 + 14,529
𝐐 𝐒 (𝐦á𝐱𝐢𝐦𝐨)
′
= 𝟒𝟗, 𝟏𝟔𝟒 𝐤𝐍
5,4375 m 1,742
3,9375 m y’’’
y’’’ = 1,261
Momento Fletor Mínimo:
𝐌 𝐒 (𝐦í𝐧𝐢𝐦𝐨)
′
= 𝟎
Momento Fletor Máximo:
MS (máximo)
′
= 30 . (1,742) + 20. (1,261) + 15. (
2,5625. (1,742)
2
)
+ 5. (
1,5 . (1,742 + 1,261)
2
) + 15. (
3,9375. (1,261)
2
)
MS (máximo)
′
= 52,260 + 25,220 + 33,479 + 11,261 + 37,239
𝐌 𝐒 (𝐦á𝐱𝐢𝐦𝐨)
′
= 𝟏𝟓𝟗, 𝟒𝟓𝟗 𝐤𝐍. 𝐦
A C
S
1,742
5,4375 m2,5625 m
1,5 m 20 kN30 kN
15 kN/m
5 kN/m
15 kN/m
y'''

Página | 43
4.4 Esforços mínimos e máximos:
(a) Esforço Cortante mínimo e máximo:
1) QS (mínimo) = QS (carga permanente)+ QS (carga móvel)
QS (mínimo) = 0 − 15,020
𝐐 𝐒 (𝐦í𝐧𝐢𝐦𝐨) = 𝟏𝟓, 𝟎𝟐𝟎 𝐤𝐍
2) QS (máximo) = QS (carga permanente)+ QS (carga móvel)
QS (máximo) = 0 + 49,164
𝐐 𝐒 (𝐦á𝐱𝐢𝐦𝐨) = 𝟒𝟗, 𝟏𝟔𝟒 𝐤𝐍
(b) Momento Fletor mínimo e máximo:
1) MS (mínimo) = MS (carga permanente)+ MS (carga móvel)
MS (mínimo) = 431,328 − 0
𝐌 𝐒 (𝐦í𝐧𝐢𝐦𝐨) = 𝟒𝟑𝟏, 𝟑𝟐𝟖 𝐤𝐍. 𝐦
2) MS (máximo) = MS (carga permanente)+ MS (carga móvel)
MS (máximo) = 431,328 + 159,459
𝐌 𝐒 (𝐦á𝐱𝐢𝐦𝐨) = 𝟓𝟗𝟎, 𝟕𝟖𝟕 𝐤𝐍. 𝐦

Ac fr ogbvaueiwneiq-pzoefw6aeoczcj6aqhotrjahhuy9jwytxfyy0onjlh8fzgg9wdguyx_tplb4lxv-oiinvma82h-ocmuzo3qm79xo3jpxhzuyqpdbkqp8jcpju=

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Semelhante a Ac fr ogbvaueiwneiq-pzoefw6aeoczcj6aqhotrjahhuy9jwytxfyy0onjlh8fzgg9wdguyx_tplb4lxv-oiinvma82h-ocmuzo3qm79xo3jpxhzuyqpdbkqp8jcpju=

Semelhante a Ac fr ogbvaueiwneiq-pzoefw6aeoczcj6aqhotrjahhuy9jwytxfyy0onjlh8fzgg9wdguyx_tplb4lxv-oiinvma82h-ocmuzo3qm79xo3jpxhzuyqpdbkqp8jcpju= (20)

Ac fr ogbvaueiwneiq-pzoefw6aeoczcj6aqhotrjahhuy9jwytxfyy0onjlh8fzgg9wdguyx_tplb4lxv-oiinvma82h-ocmuzo3qm79xo3jpxhzuyqpdbkqp8jcpju=