Análise da correlação entre a variação do peso e fatores associados em um programa dietético

Índice
INTRODUCAO ........................................................................................................................ 2
Problema .................................................................................................................................. 2
Objetivo geral ........................................................................................................................... 2
Objetivos específicos ................................................................................................................ 2
Hipótese do estudo .................................................................................................................... 2
Metodologia.............................................................................................................................. 2
Revisão da literatura ................................................................................................................. 3
Análise de regressão.............................................................................................................. 3
Circunstâncias em que se aplica ......................................................................................... 4
Modelo de Regressão Linear Múltipla ............................................................................... 4
Pressupostos ...................................................................................................................... 4
Apresentação e Discussão dos Resultados ................................................................................. 4
Teste dos coeficientes de regressão .................................................................................... 4
Equação de regressão linear múltipla ................................................................................. 5
Analise Residual ....................................................................................................................... 5
Diagnóstico de linearidade ........................................................................................................ 5
Diagnóstico de Normalidade ..................................................................................................... 6
Análise gráfica da normalidade.......................................................................................... 6
Teste de Kolmogorov, Shapiro e Anderson-Darling para normalidade ............................... 6
Diagnóstico de Homoscedasticidade ......................................................................................... 7
Gráfico dos Resíduos versus Valores Ajustados ................................................................. 7
Teste de Breusch-Pagan .................................................................................................... 8
Diagnóstico de Independência ................................................................................................... 8
Gráfico dos Resíduos versus a Ordem de recolha de dados ................................................ 8
Teste de Durbin-Watson .................................................................................................... 9
Diagnóstico de Outlier .............................................................................................................. 9
Outliers em X .................................................................................................................... 9
Outliers em Y .................................................................................................................. 10
Resíduos Padronizados .................................................................................................... 10
Resíduos Studentizados ................................................................................................... 10
Análise da falta de ajuste do modelo ....................................................................................... 11
Pontos Influentes .................................................................................................................... 11

1

DFFITS........................................................................................................................... 11
DFBETA......................................................................................................................... 11
Distância de Cook ........................................................................................................... 11
Análise de Colinearidade e Multicolinearidade ........................................................................ 12
Colinearidade .................................................................................................................. 13
Multicolinearidade .......................................................................................................... 13
Conclusão ............................................................................................................................... 14
Bibliografia............................................................................................................................. 15
Anexos ................................................................................................................................... 18

Samuel orlando Nhantumbo
Correio electrónico: nhantumbos@live.com.pt
Cell: +258 84 52 18 145/ +258 82 93 07 582

2

INTRODUCAO
Em muitos estudos estatísticos, o objetivo é estabelecer relações que possibilitem
predizer uma ou mais variáveis em termos de outras. Assim é que se fazem estudos para
predizer as vendas futuras de um produto em função do seu preço, a perda de peso de
uma pessoa em decorrer do número de dias que se submete a uma determinada dieta
eou tratamento.

Problema
Este trabalho se propõe a discutir se existe correlação entre a variação do peso dos
indivíduos com os diferentes fatores que estes estão expostos. Sendo assim o problema
de pesquisa pode ser entendido como: existe correlação entre a variação do peso e o
tratamento que este foi exposto e a existência da possível correlação entre o peso atual e
o anterior do individuo?

Objetivo geral
Para discutir o problema apresentado, este estudo tem como objetivo testar
empiricamente a relação entre a variação do peso com algumas variáveis do individuo.

Objetivos específicos
Os seguintes objetivos específicos foram delineados:
 Investigar o efeito do tratamento
 Fatores que possivelmente estão relacionados com esse efeito

Hipótese do estudo
A aplicação do tratamento para redução do peso tem um efeito significativo, isto é, com
a submissão a um dado tratamento de dieta tende se a perder o peso consideravelmente.

Metodologia
Os dados a serem usados provêm dum experimento inserido um programa dietético. A
amostra contém 150 indivíduos, do sexo masculino e feminino, randomizados em 3
grupos de tratamento (placebo, controle e tratamento). Todos os pacientes foram
observados no início do programa e após 6 meses, onde o seu peso foi medido. Diversas

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outras variáveis também foram medidas nas ocasiões de medição acima mencionados, a
fim de investigar sua relação com o efeito do tratamento.
Para as variáveis qualitativas procedeu se com a criação das suas dummys, sendo que
para a variável tipo de tratamento tomou se por referência o grupo de controlo e para
variável fumador foi referenciada categoria do não fumador.

Geralmente, tem-se o interesse em avaliar a relação de uma variável de interesse Y
(variável dependente ou variável resposta) em relação a k variáveis (variável
Independente), j = 1, 2,…, K. Portanto, um possível modelo para avaliar essa relação
pode ser dado por

(1)

Em que, n é o número de indivíduos, é a observação da variável dependente para o i-
ésimo indivíduo, = ( , . )′ é um vetor de observações das variáveis
independentes para o i-ésimo indivíduo, β=( ) é um vetor de coeficientes
de regressão (parâmetros) e "i é um componente de erro aleatório. Assume-se que esses
erros são independentes e seguem distribuição normal com média zero e variância
desconhecida .

O modelo (1) é chamado de regressão linear múltipla, pois envolve mais de um
coeficiente de regressão. O adjetivo “linear” indica que o modelo é linear em relação
aos parâmetros β=( ), e não porque y é uma função linear dos x′s.

Para fazer a análise utilizou-se os dados dum experimento inserido num programa
dietético, como auxílio de softwares estatísticos como Action, pacote estatístico livre R
e M.Excell 2007. Como pressuposto de análise partiu-se da fundamentação teórica que
relata a relação entre os dois pesos e o efeito do tratamento.
Para mais pormenor apresentamos abaixo a discussão dos resultados e as conclusões
que estes nos propuseram.

Revisão da literatura
Análise de regressão
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A análise de regressão é aplicada para compreender a dependência estatística de uma
variável em relação a outras variáveis. A técnica pode mostrar que proporção de
variação entre variáveis se deve à variável dependente e que proporção se deve às
variáveis independentes. A relação entre as variáveis pode ser ilustrada graficamente ou,
na maioria dos casos, por via de uma equação matemática.

Circunstâncias em que se aplica
Esta técnica estatística é habitualmente usada na avaliação de programas no sentido de
estimar efeitos. Os efeitos líquidos do programa sob avaliação podem ser analisados
com base na análise de regressão, atribuindo parte das mudanças observadas a variáveis
explicativas, sendo os efeitos restantes atribuídos ao programa.

Modelo de Regressão Linear Múltipla
Um modelo de regressão linear múltiplo (MRLM) descreve uma relação entre varias
variáveis independentes (explicativas) X’s e uma variável dependente (resposta) Y, nos
termos seguintes:

Onde são constantes (parâmetros) desconhecidas e é o erro aleatório.

Pressupostos
(i) Homoscedasticidade.
(ii) Os erros são não correlacionados (independência)
(iii) ~iddN (0, )
(iv) Modelo é linear
(v) Não existir outliers (pontos atípicos) influentes
(vi) Não existe Colinearidade e multicolinearidade entre as variáveis explicativas

Apresentação e Discussão dos Resultados
Teste dos coeficientes de regressão
Coeficientes
Preditor Estimativa Desvio Padrão Estat. T P-valor
Intercepto 13,4765326 2,7351833 4,927104 2,28E-06
PESO_ANTES 0,80652027 0,0354306 22,7634 2,14E-49
SEXO 3,32862563 0,6270759 5,30817 4,13E-07
Placebo -1,0898718 0,6143492 -1,77403 0,078187
Tratamento -7,0188435 0,6360836 -11,0345 7,27E-21
Fuma -2,1077327 0,5948527 -3,54328 0,000534

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Fumava 1,25189541 0,7446168 1,681261 0,094895

Interpretação a nível de significância de 5% pode afirmar-se que os coeficientes dos
fatores sexo, tratamento, peso_antes, fumador são significativamente diferentes de zero,
e os ex-fumadores não se diferem dos não fumadores, como também os que receberam
placebo não se diferem com os de controlo em termos da variação do peso.

Equação de regressão linear múltipla
PESO_DEPOIS=13,4765326+0,80652027* +3,32862563* -1,0898718* -
7,0188435* -2,1077327* +1,25189541*

PESO_ANTES= Sexo=

Placebo= Tratamento=

Fuma= Fumava=

Desvio Padrão dos Graus de
Resíduos Liberdade R^2 R^2 Ajustado
3,063344308 143 0,8995508 0,895336199

INTEREPRETAÇÃO: O coeficiente de determinação ajustado (R square) é igual a
0,89533, este valor indica que cerca 89,533% da variação do peso depois é explicada
através do modelo de regressão linear múltipla.

Analise Residual

Diagnóstico de linearidade

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COMENTARIO Da figura acima podemos observar que a distribuição dos resíduos
não segue nenhum padrão, mas sim esta distribuído de forma aleatória, isto indica que o
pressuposto de linearidade não foi violado.

Diagnóstico de Normalidade
A normalidade dos resíduos é uma suposição essencial para que os resultados do ajuste
do modelo de regressão linear sejam confiáveis. Podemos verificar essa suposição por
meio do gráfico de Papel de Probabilidade e por meio de testes tais como Shapiro-Wilk,
Anderson-Darling e Kolmogorov-Smirnov.
Hipótese

Análise gráfica da normalidade

Fig. Histograma e o gráfico de Papel de Probabilidade para os resíduos do modelo linear

COMENTARIO Como os pontos seguem o comportamento da reta (não estão
distantes dela), temos indícios de que os erros são normalmente distribuídos e também o
histograma mostra uma distribuição simétrica.

Teste de Kolmogorov, Shapiro e Anderson-Darling para normalidade
Teste de Normalidade
Estatística P-Valor
Anderson-Darling 0,504754871 0,200217776
Shapiro 0,989561491 0,329712745
Kolmogorov 0,053635818 0,36304377

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Interpretações Os testes acima apresentados vêm complementar o resultado descrito
pela análise gráfica, com base nos três testes podemos com uma confiança de 95% dizer
que os resíduos seguem uma distribuição normal com media zero e variância constante.

Diagnóstico de Homoscedasticidade
Homoscedasticidade é o termo para designar variância constante dos erros para
observações diferentes. Caso a suposição de homoscedasticidade não seja válida,
podemos listar alguns efeitos no ajuste do modelo:
 Os erros padrões dos estimadores, obtidos pelo Método dos Mínimos
Quadrados, são incorretos e portanto a inferência estatística não é válida.
 Não podemos mais dizer que os Estimadores de Mínimos Quadrados são os
melhores estimadores de mínima variância para, embora ainda possam ser não
viciados.
Vale ressaltar que a ausência de homoscedasticidade é chamada de
heteroscedasticidade.

Gráfico dos Resíduos versus Valores Ajustados

COMENTARIO O gráfico dos resíduos versus valores ajustados (valores preditos) é
uma das principais técnicas utilizadas para verificar as suposições dos resíduos, este
pela forma que os pontos estão distribuídos (forma aleatória) em torno da linha central
mostra que não foi violado o pressuposto de homoscedasticidade. Além da deteção de
heteroscedasticidade, esse gráfico pode indicar que não existe uma relação linear entra
as variáveis explicativas com a variável resposta por meio de alguma tendência nos
pontos.

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Teste de Breusch-Pagan
Baseado no teste multiplicador de Lagrange, o teste de Breusch-Pagan é bastante
utilizado para testar a hipótese nula de que as variâncias dos erros são iguais
(homoscedasticidade) versus a hipótese alternativa de que as variâncias dos erros são
uma função multiplicativa de uma ou mais variáveis, sendo que esta(s) variável(eis)
pode(m) pertencer ou não ao modelo em questão. É indicado para grandes amostras e
quando a suposição de normalidade nos erros é assumida.
Breusch Pagan
Qui-Quadrado DF P-Valor
0,939774035 1 0,332335961

INTERPRETAÇÃO Em conformidade com a análise gráfica, com base no p-valor
pode afirmar a nível de significância de 5% (p-valor=0,33> 0,05) que a variância dos
termos do erro é constante.

Diagnóstico de Independência
Para verificar se os resíduos são independentes, iremos utilizar técnicas gráficas e testes.
A seguir, temos o diagnóstico de independência por essas duas formas.

Gráfico dos Resíduos versus a Ordem de recolha de dados

COMENTARIO Uma análise gráfica para verificar a hipótese de independência dos
resíduos pode ser feita por meio do gráfico dos resíduos versus a ordem da recolha dos
dados. Se avaliarmos o gráfico, não há uma tendência dos pontos, ou seja, se os pontos
têm um comportamento aleatório, isto é, ano seguem nenhum padrão na sua distribuição
em torno da linha central.

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Teste de Durbin-Watson
O teste de Durbin-Watson é utilizado para detetar a presença de auto-correlação
(dependência) nos resíduos de uma análise de regressão. Este teste é baseado na
suposição de que os erros no modelo de regressão são gerados por um processo
autorregressivo de primeira ordem, de acordo com em que é o termo
do erro do modelo na i-ésima observação, e é o parâmetro de
auto-correlação. Testamos a presença de auto-correlação por meio das hipóteses

Teste de Independência
DW P-Valor
2,457609819 0,996238551

INTERPRETAÇÃO A nível de significância de 5%, com base no valor p pode afirmar
que há independência entre os termos dos resíduos.

Diagnóstico de Outlier
Outlier é uma observação extrema, ou seja, é um ponto com comportamento diferente
dos demais. Além de diagnosticar heteroscedasticidade, o gráfico de resíduos versus
valores ajustados também auxilia na deteção de pontos atípicos.
Se um outlier for influente, ele interfere sobre a função de regressão ajustada (a inclusão
ou não do ponto modifica substancialmente os valores ajustados).
Mas uma observação ser considerada um outlier não quer dizer que consequentemente é
um ponto influente. Por isso, um ponto pode ser um outlier em relação a Y ou aos X, e
pode ou não ser um ponto influente.

A deteção de pontos atípicos tem por finalidade identificar:
 Outlier com relação a X;

 Outlier com relação a Y;

 Observações influentes

Outliers em X
Outliers em X são detetados por meio da matriz chapéu H. Assim, é o i-ésimo
elemento da diagonal principal da matriz H e também é chamado de leverage da

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observação i

Outliers em Y
Os resíduos brutos são definidos como . Entretanto, para uma melhor
deteção em outliers em Y, eles foram melhorados.

Resíduos Padronizados
Se os erros têm distribuição normal, então aproximadamente 95% dos resíduos
padronizados devem estar no intervalo de (-2,2). Resíduos fora desse intervalo podem
indicar a presença de outliers.

Resíduos Studentizados
Os resíduos studentizados tem variâncias constantes e igual a 1 o que consequentemente
torna muito prática a procura por outliers, que são observações distantes das demais.

Teste de Outliers
Observações T-Valor P-valorBonferroni
113 2,789462 0,900709263

INTERPRETAÇÃO Com base no valor p a nível de significância 5% não rejeita a
hipótese nula de que existem outliers. Se assim há necessidade de verificar os pontos
influentes para suportar a decisão de retirada destes pontos na estimação do nosso
modelo.

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Análise da falta de ajuste do modelo
Não existem réplicas.

Pontos Influentes
Um ponto é influente se sua exclusão do ajuste da regressão causa uma mudança
substancial nos valores ajustados. Por isso, técnicas foram desenvolvidas para
identificar essas observações influentes.

DFFITS
DFFITS mede a influência que a observação i tem sobre seu próprio valor ajustado.
Assim, essa técnica mede o quanto a inclusão da observação i aumenta ou diminui seu
valor estimado.
Dizemos que um ponto outlier é influente segundo o DFFITS se
>1, para amostras pequenas ou médias.

> , para amostras grandes.

DFBETA
DFBETA mede a influência da observação i sobre o coeficiente de
>1, para amostras pequenas.

>2 , para amostras grandes

Distância de Cook
A distância de Cook mede a influência da observação i sobre todos n valores ajustados

DFFITS D-COOK
0.2 0.4

0.04
D-COOK
DFFITS

-0.2

0.02
-0.6

0.00

0 50 100 150 0 50 100 150

Observações Observações

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Fig. Gráficos com os valores de DFFITS, D-COOK e DFBETAS

INTERPRETAÇÃO Pelos resultados das Figuras verificamos que nenhum DFFITS,
D-COOK e DFBETAS é, em módulo, maior do que 1. Assim, concluímos que nenhuma
observação é um ponto influente. Sendo assim não havendo necessidade de
excluirmos os outliers.

Análise de Colinearidade e Multicolinearidade
Quando trabalhamos com mais de uma variável regressora, é muito importante verificar
se essas variáveis explicativas são correlacionadas. Desta forma, se não houver nenhum
relacionamento entre elas, dizemos que são ortogonais.
Se as variáveis forem muito correlacionadas, as inferências baseadas no modelo de
regressão podem ser errôneas ou pouco confiáveis.
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Por isso, é necessário verificar se as variáveis são altamente correlacionadas. Na
literatura, os termos Colinearidade (Multicolinearidade) são utilizados para indicar a
existência forte de correlação entre duas (ou mais) variáveis independentes. Entretanto,
alguns autores designam de Colinearidade a existência de relação linear entre duas
variável explicativa (matriz de correlação) e de Multicolinearidade a existência de
relação linear entre uma variável explicativa e as demais.

Colinearidade
Colinearidade
PESO_ANTES SEXO Placebo Tratamento Fuma Fumava
PESO_ANTES 1 0,5873694 -0,10614 0,198399 -0,27139 0,168531
SEXO 0,58736943 1 -0,14153 0,198148 -0,09288 0,001389
Placebo -0,1061392 -0,141535 1 -0,5 -0,066 -1,7E-21
Tratamento 0,19839873 0,1981485 -0,5 1 0,160292 -0,07362
Fuma -0,271391 -0,092883 -0,066 0,160292 1 -0,47481
Fumava 0,16853135 0,0013893 -1,7E-21 -0,07362 -0,47481 1

INTERPRETAÇAO Observando os valores da matriz acima apresentada em forma de
tabela verificamos a existência de correlação muito baixa entre as variáveis explicativa,
que nos leva a concluir que as variáveis não são relacionadas.

Multicolinearidade
A multicolinearidade é um problema no ajuste do modelo que pode causar impactos na
estimativa dos parâmetros. Vamos diagnosticar Multicolinearidade por meio do VIF
(Variance Inflation Factor).
Multicolinearidade
PESO_ANTES SEXO Placebo Tratamento Fuma Fumava
1,706 1,569 1,341 1,437 1,414 1,308

INTERPRETAÇAO VIF mede a correlação da variável com todas as outras do
modelo, VIF> 5 ou VIF> 10 (depende dos autores) indicam problemas com estimação
de devido à multicolinearidade, no entanto não se verifica um VIF superior a um
desses valores, que significa que não há multicolinearidade das variáveis explicativas.

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Conclusão
Com o uso da técnica estatística (analise de regressão) conseguimos verificar e medir a
o grau de relação e o efeito da aplicação do tratamento na variação do peso dos
indivíduos.
Podemos afirmar a 5% de significância de que existe uma relação positiva entre o peso
antes e depois do tratamento, sendo a maior parte da variação do peso depois explicada,
pela equação de regressão que é
PESO_DEPOIS=13,4765326+0,80652027* +3,32862563* -1,0898718* -
7,0188435* -2,1077327* +1,25189541*

, Onde 13,476 é o valor esperado de um individuo que tinha peso zero, do sexo
feminino que fez controlo e não fumador, 0,8065 é a taxa de variação media do peso
depois no mesmo sentido por variação unitária de peso antes mantendo outros fatores
constantes,
3,3286 Representa a diferença entre a resposta média do sexo masculino e a resposta
média da categoria referência ou do sexo feminino, isto é, os indivíduos do sexo
masculino tendem a ter maior peso que os do sexo feminino mantendo constante outros
fatores;

Se mantermos os outros fatores constantes a diferença media dos indivíduos que
tiveram placebo como tratamento em relação ao de controlo (referencia) é de -1,0897, o
sinal negativo indicando que esse tipo de tratamento influencia na perda de peso quando
os demais fatores forem constantes, mas com base no teste de hipótese dos coeficiente
feito a nível de significância 5% com base no valor p = 0,078 associado a este
coeficiente verifica-se que este em termos populacionais não é significativamente
diferente de zero, sendo assim podem, a este nível de significância afirmar que não
existe diferença entre os que receberam placebo e os de controlo (referencia);

Para os indivíduos que se submeteram ao tratamento como sua dieta apresentam uma
diferença media em relação aos de controlo (referencia) de -7,02 mantendo constante os
outros fatores, visto que estes tendem a perder mais peso em relação aos que receberam
placebo como sua dieta, estes chegando a perder cerca de 544,03% a mais, se os outros
fatores mantiverem se constantes.
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Os fumadores chegam a perder 2,107 kg a mais que os não fumadores (grupo de
controlo ou de referencia) mantendo constante os demais fatores, diferente dos
fumadores cessantes que este estaticamente a nível de significância 5% com base no
valor p=0,094 associado a coeficiente deste, não se diferem dos não fumadores (grupo
de controlo ou referencia).

Consoante nos dados acima apresentados concluímos que a submissão do tratamento
tem um efeito significativo para a redução do peso em relação ao grupo de referencia e
que os fumadores tendem a perder mais peso que os que não fumam e/ou fumavam.

Bibliografia
Gujarati D. (1988) Basic Econometrics 2nd edition, New York, London:McGraw-Hill
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Internet.

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Anexos
Passos a serem seguidos no suplemento Action+R no M.Excell 2007 para obtenção dos
outputs

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