PROF. NILO
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Se uma linha ou coluna de uma matriz quadradaM for constituída apenas por zeros, teremos queseu determinante será igual a ...
Se duas linhas ou duas colunas, numa matrizquadrada M, forem trocadas de posição, o novodeterminante obtido terá valor sim...
Se multiplicarmos uma linha ou coluna de umamatriz quadrada M por um escalar k, odeterminante da nova matriz obtida M’, se...
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Se uma matriz quadrada de ordem maior ou igual a dois, tem duas linhas ou colunas proporcionais,então det M = 0. Acabamos ...
Seja M uma matriz quadrada de ordem n em queos elementos da coluna j são tais que, podem sertransformadas na soma de dois ...
Vamos construir uma Combinação Linear da 1ª coma 2ª e com a 3ª colunas da matriz abaixo.Exemplo :Utilizando os multiplicad...
Adicionando a uma fila de uma matriz M, de ordem n, uma outra filaparalela, previamente multiplicada poruma constante, obt...
Numa Matriz Triangular Superior ou Inferior, odeterminante dessa matriz pode ser obtidomultiplicando os termos da Diagonal...
Dadas duas matrizes quadradas            de mesma ordem n, temos : det(A.B) = (det A).(det B)                      Jacques...
Uma consequência do Teorema de Binet é que odeterminante de uma matriz pelo determinante desua inversa é igual a 1.det(A.A...
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áLgebra linear 01 aula 02-propr determinantes-regra de chió

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áLgebra linear 01 aula 02-propr determinantes-regra de chió

  1. 1. PROF. NILO
  2. 2. A definição de Determinante e o Teorema deLaplace tornam possível o cálculo de qualquerdeterminante, porém pode-se simplificar asoperações utilizando-se certas propriedades.Dada uma matriz quadrada M e sua transposta M t ,temos det M = det Mt.Exemplo :  1 4 1 2 1 4 1 2M=  ; Mt =  ⇒ = = −3  2 5   4 5    2 5 4 5
  3. 3. Se uma linha ou coluna de uma matriz quadradaM for constituída apenas por zeros, teremos queseu determinante será igual a zero.Exemplo :  0 0 0 0a) M =  ⇒ =0 Linha 1 inteira igual a zero.  2 5   2 5  6 0 6 0b) M =  ⇒ =0 Coluna 2 inteira igual a zero.  2 0   2 0
  4. 4. Se duas linhas ou duas colunas, numa matrizquadrada M, forem trocadas de posição, o novodeterminante obtido terá valor simétrico do original.Exemplo :  2 3 2 3 1 5 1 5a) M =  ⇒ = 7; M =  ⇒ = −7 1 5   1 5  2 3   2 3 Troca das linhas 1 e 2.  2 3 2 3  3 2 3 2b) M =  ⇒ = 7; M =  ⇒ = −7 1 5   1 5 5 1   5 1 Troca das colunas 1 e 2.
  5. 5. Se multiplicarmos uma linha ou coluna de umamatriz quadrada M por um escalar k, odeterminante da nova matriz obtida M’, será oproduto de k pelo determinante de M. det M = k.det MExemplo : Linha 1 foi multiplicada por 3.  1 4  3 12  1 4 3 12a) M =   ; M =  ⇒ = −3 e = −9  2 5   2 5    2 5 2 5 Coluna 1 foi multiplicada por 6. 1 4  6 4 1 4 6 4b) M =   ; M =  ⇒ = −3 e = −18  2 5   12 5    2 5 12 5
  6. 6. Se duas linhas ou duas colunas, numa matrizquadrada M, forem iguais, o valor do determinanteobtido será igual a zero.Exemplo :  2 3 2 3a) M =  ⇒ =0 Linhas 1 e 2 são iguais.  2 3   2 3  2 2 2 2b) M =  ⇒ =0 Colunas 1 e 2 são iguais. 1 1   1 1
  7. 7. A soma dos produtos dos elementosde uma fila qualquer de uma matrizquadrada M, pelos cofatores doselementos de uma fila paralela éigual a zero. Augustin-LouisExemplo : Cauchy (1789-1857) 3 4 2 3 4 2 Peguemos as Linhas 1 e 3   como exemplo.M = 1 3 5 ⇒ 1 3 5 Linha 3 com   Linha 1 : cofatores :   5 6 7 5 6 7 3 4 2 5 6 7 4 2 3 2 3 4 3.( −1)3+1 . + 4.( −1)3+2 . + 2.( −1)3+3 . = 3 5 1 5 1 3= 3.(14) + 4.( −1).13 + 2.(5) = 0
  8. 8. Se uma matriz quadrada de ordem maior ou igual a dois, tem duas linhas ou colunas proporcionais,então det M = 0. Acabamos por recair napropriedade de filas paralelas iguais. Exemplo : As Linhas 1 e 3 são proporcionais  3 4 2 3 4 2 3 4 2  a)M =  1 3 5  ⇒ 1 3 5 = 2. 1 3 5 = 0     6 8 4 6 8 4 3 4 2  6 4 2 6 4 2 2 4 2  b)M = 15 3 5  ⇒ 15 3 5 = 3. 5 3 5 = 0     12 8 4  12 8 4 4 8 4
  9. 9. Seja M uma matriz quadrada de ordem n em queos elementos da coluna j são tais que, podem sertransformadas na soma de dois números, podemosescrever:Exemplo : x a+b m x a m x b m y c+d n = y c n +y d n z e+f p z e p z f pEssa propriedade também é válida para linhas.Exemplo : 3 4 2 3 4 2 3 4 2 x+y a+b m+p = x a m + y b p 0 3 4 0 3 4 0 3 4
  10. 10. Vamos construir uma Combinação Linear da 1ª coma 2ª e com a 3ª colunas da matriz abaixo.Exemplo :Utilizando os multiplicadores 1, 3 e 4, nessascolunas teríamos: Coluna 1 = 1. Coluna 1 + 3. Coluna 2 + 4. Coluna 3 C1 = 1. C1 + 3. C2 + 4. C3 1 7 1 1.1+3.7+4.1=26  26 7 1     M=  2 8 5  1.2+3.8+4.5=46 M=  46 8 5           3 1 6 1.3+3.1+4.6=30  30 1 6 
  11. 11. Adicionando a uma fila de uma matriz M, de ordem n, uma outra filaparalela, previamente multiplicada poruma constante, obteremos uma novamatriz M’ tal que det M’ = det M.Exemplo : Carl JacobiFaremos uma nova Coluna 2 = Coluna 2 −3. Coluna 1. (1804-1851)Faremos uma nova Coluna 3 = Coluna 3 −5. Coluna 1. 1 3 5  1 0 5 1 0 0 Abre caminho   para aplicar o Teorema deM=  4 2 7  ⇒ 4 -10 7 = 4 -10 -13 Laplace com   menos    4 1 -6  4 -11 -6 4 -11 -26 trabalho.
  12. 12. Numa Matriz Triangular Superior ou Inferior, odeterminante dessa matriz pode ser obtidomultiplicando os termos da Diagonal Principal.Exemplo :  3 2 4 3 2 4   a)M=  0 5 3  ⇒ 0 5 3 = 3.5.1 = 15     0 0 1 0 0 1 3 0 0 0 3 0 0 0   2 1 0 0 2 1 0 0 b)M=  ⇒ = 3.1.2.6 = 36   3 4 2 0 3 4 2 0   5  7 2 6  5 7 2 6
  13. 13. Dadas duas matrizes quadradas de mesma ordem n, temos : det(A.B) = (det A).(det B) Jacques Binet (1786-1856) Exemplo :  2 3  1 2 11 16  A=  e B=  ⇒ A.B =    0 5    3 4  1 2 15 20    2 3det A = = 2.5 − 0.3 = 10; det B = = 1.4 − 3.2 = − 2 0 5 3 4 11 16det(A.B) = = 11.20 − 16.15 = −20 15 20
  14. 14. Uma consequência do Teorema de Binet é que odeterminante de uma matriz pelo determinante desua inversa é igual a 1.det(A.A −1 ) = (det A).(det A −1 ) ⇒ (det A).(det A −1 ) = det I n −1(det A).(det A )=1 Que foi bem ? Isso é muito fácil mas é preciso ter atenção !
  15. 15. É consequência do Exemplo :Teorema de Jacobi e éaplicável sempre que 1 2 4 2  a11 = 1. Se no determinante 3 7 5 6isso não ocorrer, podemos A=  provocar essa ocorrência  através das propriedades  1 10 − 4 5já conhecidas.   3 8 2  3  1 2 4 2 7−6 5 − 12 6 − 6 1 −7 0 3 7 5 6 = 10 − 2 − 4 − 4 5 − 2 = 8 −8 3 = 1 10 − 4 5 8−6 2 − 12 3 − 6 2 − 10 −3 3 8 2 3
  16. 16. 1 2 4 2 7−6 5 − 12 6 − 6 1 −7 0 3 7 5 6 = 10 − 2 − 4 − 4 5 − 2 = 8 −8 3 = 1 10 − 4 5 8−6 2 − 12 3 − 6 2 − 10 −3 3 8 2 3 1 −7 0 − 8 + 56 3−0 48 3= 8 −8 3 = = = 48.( − 3) − 3.4 = − 156 − 10 + 14 − 3 − 0 4 −3 2 − 10 − 3

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