O documento discute conceitos fundamentais de funções do segundo grau, incluindo equações, gráficos e determinação de raízes. Há exemplos resolvidos de problemas envolvendo funções quadráticas, com cálculo de máximos, mínimos e instante em que a bola ou avião atingem determinadas alturas.
2. ELIENAY HEMERSON
Professor graduado em matemática pela
UEMG. Há 15 anos lecionando na rede
estadual, particular e cursos preparatórios.
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11. QUESTÃO
O gráfico a seguir pertence a uma função f(x) do segundo grau,
com domínio e contradomínio no conjunto dos números reais. A
respeito dessas funções, assinale a alternativa correta:
a) Toda função do segundo grau pode ser escrita na forma ax² + bx + c = 0.
b) O coeficiente “a” dessa função é positivo.
c) O valor do coeficiente “c”, nessa função, é igual a 9.
d) Não é possível determinar as raízes dessa função unicamente a partir de
seu gráfico. Para isso, a lei de formação sempre será necessária.
e) f(2) = 0 e f(-2) = 0
12. VALOR DO
DELTA E
NÚMERO DE
RAÍZES
Duas raízes reais
e distintas.
Duas raízes reais
e IGUAIS.
Não existem
raízes reais.
13. QUESTÃO
Calcule o valor de k de modo que a função f(x) = 4x² – 4x – k não
tenha raízes, isto é, o gráfico da parábola não possui ponto em
comum com o eixo x.
17. QUESTÃO
Uma bola, ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro,
numa partida de futebol, teve sua trajetória descrita pela
equação h(t) = – 2t² + 8t (t ≥ 0) , onde t é o tempo medido em
segundo e h(t) é a altura em metros da bola no instante t.
Determine, apos o chute:
a) o instante em que a bola retornará ao solo.
b) a altura atingida pela bola.
MÁXIMO E MÍNIMO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
19. QUESTÃO
Em uma apresentação aérea de acrobacias, um avião a jato
descreve um arco no formato de uma parábola de acordo com a
seguinte função y = –x² + 60x. Determine a altura máxima
atingida pelo avião.
20. QUESTÃO
Uma empresa produz um determinado produto com o custo
definido pela seguinte função C(x) = x² – 80x + 3000.
Considerando o custo C em reais e x a quantidade de unidades
produzidas, determine a quantidade de unidades para que o
custo seja mínimo e o valor desse custo mínimo.
22. A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de
uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra
a figura.
A função real que expressa a parábola, no plano
cartesiano da figura, é dada pela lei
onde C é a medida da altura do líquido contido na
taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na
figura, representa o vértice da parábola, localizado
sobre o eixo x. Nessas condições, a altura do líquido
contido na taça, em centímetros, é
a) 1. b) 2. c) 4. d) 5. e) 6.
ENEM
23. Para uma feira de ciências, dois projéteis de foguetes, A e B, estão sendo
construídos para serem lançados. O planejamento é que eles sejam lançados juntos,
com o objetivo de o projétil B interceptar o A quando esse alcançar sua altura
máxima. Para que isso aconteça, um dos projéteis descreverá uma trajetória
parabólica, enquanto o outro irá descrever uma trajetória supostamente retilínea. O
gráfico mostra as alturas alcançadas por esses projéteis em função do tempo, nas
simulações realizadas.
ENEM
Com base nessas simulações,
observou-se que a trajetória do projétil
B deveria ser alterada para que o
objetivo fosse alcançado. Para alcançar
o objetivo, o coeficiente angular da
reta que representa a trajetória de B
deverá
A) diminuir em 2 unidades.
B) diminuir em 4 unidades.
C) aumentar em 2 unidades.
D) aumentar em 4 unidades.
E) aumentar em 8 unidades.
24. Uma padaria vende, em média, 100 pães especiais por dia e arrecada com
essas vendas, em média, R$ 300,00. Constatou-se que a quantidade de
pães especiais vendidos diariamente aumenta, caso o preço seja reduzido,
de acordo com a equação: q = 400 − 100p, na qual q representa a
quantidade de pães especiais vendidos diariamente e p, o seu preço em
reais. A fim de aumentar o fluxo de clientes, o gerente da padaria decidiu
fazer uma promoção. Para tanto, modificará o preço do pão especial de
modo que quantidade a ser vendida diariamente seja a maior possível,
sem diminuir a média de arrecadação diária na venda desse produto. O
preço p, em reais, do pão especial nessa promoção deverá estar no
intervalo:
a) R$ 0,50≤p<R$ 1,50
b) R$ 1,50≤p<R$ 2,50
c) R$ 2,50≤p<R$ 3,50
d) R$ 3,50≤p<R$ 4,50
e) R$ 4,50≤p<R$ 5,50
ENEM
25. Viveiros de lagostas são construídos, por cooperativas locais de
pescadores, em formato de prismas reto-retangulares, fixados ao solo e
com telas flexíveis de mesma altura, capazes de suportar a corrosão
marinha. Para cada viveiro a ser construído, a cooperativa utiliza
integralmente 100 metros lineares dessa tela, que é usada apenas nas
laterais.
ENEM
Quais devem ser os valores de X e de Y, em
metro, para que a área da base do viveiro
seja máxima?
(A) 1 e 49
(B) 1 e 99
(C) 10 e 10
(D) 25 e 25
(E) 50 e 50
27. A quantidade de raízes
é parte fundamental
deste estudo.
Observe que a posição
do gráfico também é
essencial para
resolução correta.
∆ < 0
∆ = 0
∆ > 0
28. y = 2x − 6
A função é positiva em x ∈ R | x > 3
Isto significa que qualquer valor de x maior que 3 resulta em uma imagem
positiva.
A função é negativa em x ∈ R | x < 3
Isto significa que qualquer valor de x menor que 3 resulta em uma imagem
negativa.
2x = 6
X = 3
29. y = x² − 3x − 4
A função é positiva em {x ∈ R | x < −1 ou x > 4}
A função é negativa em {x ∈ R | − 1 < x < 4}
X’ = -1
X’’ = 4
30. Forma FATORADA
y = x² − 3x − 4
A função é positiva em {x ∈ R | x < −1 ou x > 4}
A função é negativa em {x ∈ R | − 1 < x < 4}
(x + 1) . (x - 4)