Geometria Intuitiva Módulo de Matemática Aplicada

LIVRODOPROFESSOR
CEF
CURSOSDE
EDUCAÇÃOE
FORMAÇÃO
TIPOS 2 e 3
MATEMÁTICA
APLICADA
E

Introdução 3
Apresentação da disciplina 4
Visão geral do programa 5
MATEMÁTICA APLICADA
2
Módulo 8
GEOMETRIA INTUITIVA
Proposta de planificação 6
Actividade prática – Áreas de triângulos
Figuras equivalentes 7
Teste de avaliação 2 8
Soluções dos exercícios 10
Módulo 9
DAS EQUAÇÕES AOS NÚMEROS
Actividade prática – A idade de Diofanto 15
Módulo 10
DO PLANO AO ESPAÇO
Actividade prática – Semelhança de figuras 25
Módulo 11
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
Actividade prática – Lei dos grandes números 37
Módulo 12
FUNÇÕES E GRÁFICOS
Actividade prática – Proporcionalidade inversa 48
Módulo 13
TRIÂNGULO RECTÂNGULO
Actividade prática – Teorema de Pitágoras 58
Módulo 14
GEOMETRIA DO CÍRCULO
Actividade prática – Polígonos inscritíveis 64
Módulo 15
APROXIMAÇÕES E INEQUAÇÕES
Actividade prática – Números irracionais 73
Índice

Livro do Professor
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3
Introdução
• O que são os Cursos de Educação e Formação de tipo 2 e 3 e de nível 2?
Os Cursos de Educação e Formação (CEF) de tipo 2 e 3 e de nível 2 são uma oportunidade
para frequência ou conclusão do 3.º Ciclo e, simultaneamente, para preparação da entrada no
mundo do trabalho com qualificação escolar e profissional. Os CEF integram quatro componen-
tes de formação:sociocultural,científica,tecnológica e prática.
• A quem se destinam?
Os Cursos de Educação e Formação de tipo 2 e 3 e de nível 2 destinam-se aos jovens com
idade igual ou superior a 15 anos com habilitações escolares inferiores ao 9.º ano e que não têm
qualificação profissional ou,tendo,pretendem adquirir uma nova qualificação profissional.
• Certificação
A conclusão de um CEF do tipo 2 ou tipo 3 com total aproveitamento, confere a certificação
escolar equivalente ao 9.º ano de escolaridade e certificação profissional de nível 2 de acordo
com o quadro seguinte:
PERCURSOS DE
FORMAÇÃO
HABILITAÇÕES
DE ACESSO
DURAÇÃO MÍNIMA
(EM HORAS)
CERTIFICAÇÃO ESCOLAR
E PROFISSIONAL
Tipo 2
Com o 6.º,7.º ano de
escolaridade ou frequência
do 8.º ano de escolaridade.
2109
(percurso com a
duração de 2 anos).
9.º ano de escolaridade
Qualificação profissional
de nível 2
Tipo 3
Com o 8.º ano de escolaridade
ou frequência,sem aprovação,
do 9.º ano de escolaridade.
1200
(percurso com a
duração de 1 ano).
9.º ano de escolaridade
Qualificação profissional
de nível 2

Apresentação da disciplina
A Matemática é uma componente essencial da formação para o exercício da cidadania em
sociedades democráticas e tecnologicamente avançadas, tendo por bases a autonomia e a soli-
dariedade. O conhecimento científico em geral, e matemático em particular, é uma ferramenta
essencial da independência empreendedora de cada cidadão que tem de ser responsável e
consciente do ambiente em que vive e das relações em que está envolvido.
Nos CEF, a disciplina de Matemática Aplicada terá de assumir uma forma necessariamente
muito concreta e ligada à realidade; os jovens em situação de abandono escolar tiveram muito
provavelmente um historial de insucesso na disciplina de Matemática e precisam, assim, tam-
bém de aprender a reconhecer a Matemática no mundo que os rodeia.
São finalidades desta disciplina:
• desenvolver a capacidade de usar a Matemática como instrumento de interpretação e inter-
venção no real;
• desenvolver a capacidade de reconhecer regularidades e modelos matemáticos relevantes em
cada aspecto da realidade e de os utilizar para ajudar a resolver problemas, eventualmente em
diálogo com especialistas;
• desenvolver as capacidades de formular e resolver problemas, de comunicar, assim como de
memória,de rigor,de espírito crítico e de criatividade;
• utilizar os conhecimentos matemáticos na resolução de problemas, decidindo sobre a razoabi-
lidade de um resultado e sobre o uso, consoante os casos, de cálculo mental, algoritmos de
papel e lápis ou instrumentos tecnológicos;
• promover o aprofundamento de uma cultura científica, técnica e humanística que constitua
suporte cognitivo e metodológico tanto para a inserção plena na vida profissional como para o
prosseguimento de estudos;
• contribuir para uma atitude positiva face à Ciência em geral, reconhecendo o seu papel no pro-
gresso e desenvolvimento social e material, ao mesmo tempo que reconhecem a necessidade
do desempenho de cada um na manutenção e desenvolvimento dos sistemas;
• promover a realização pessoal mediante o desenvolvimento de atitudes de autonomia e soli-
dariedade;
• criar capacidades de intervenção social pelo estudo e compreensão de problemas e situações
da sociedade actual e, bem assim, pela discussão de sistemas e instâncias de decisão que
influenciam a vida dos cidadãos, participando desse modo na formação para uma cidadania
activa e participativa.
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4

Livro do Professor
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5
Visão geral do programa
O programa de Matemática Aplicada está organizado em módulos independentes. Atendendo
à diversidade de formações dos estudantes que se podem candidatar a estes cursos, os professo-
res e as estruturas próprias dos Cursos de Educação e Formação poderão ajustar o conteúdo dos
módulos aos conhecimentos, capacidades e interesses dos estudantes; no caso dos estudantes
com dificuldades, podem ser mobilizados conhecimentos e problemas de módulos anteriores; no
caso de estudantes com interesses em determinada área, podem procurar-se exemplos ligados a
essa área e ajustar os conhecimentos necessários para resolver esses problemas.
Os estudantes que frequentem cursos,que conferem habilitação do 3.º Ciclo,terão de realizar
oito módulos se frequentarem o curso de Tipo 2.Se pertencerem ao curso de Tipo 3, os estudan-
tes terão apenas de realizar os módulos 14 e 15.
A carga horária prevista no programa não contempla a totalidade das horas de formação,
existindo um crédito de horas a ser gerido pelo professor, quer a nível de cada módulo, quer a
nível global, para desenvolvimento de actividades necessárias à consecução dos objectivos de
aprendizagem tais como actividades de remediação, reorientação, aprofundamento ou para
aquisição de pré-requisitos.
As competências essenciais a desenvolver são os constantes do documento “Currículo
Nacional do Ensino Básico – Competências Essenciais”
.
Cursos de Educação e Formação
Programa da disciplina de Matemática Aplicada,DGFV,2005
MÓDULO DESIGNAÇÃO DURAÇÃO DE REFERÊNCIA LIVRO
8 Geometria Intuitiva 24 horas Matemática Aplicada 1
9 Das Equações aos Números 24 horas Matemática Aplicada 1
10 Do Plano ao Espaço 24 horas Matemática Aplicada 2
11 Estatística e Probabilidades 24 horas Matemática Aplicada 2
12 Funções e Gráficos 24 horas Matemática Aplicada 3
13 Triângulo Rectângulo 24 horas Matemática Aplicada 3
14 Geometria do Círculo 18 horas Matemática Aplicada 4
15 Aproximações e Inequações 18 horas Matemática Aplicada 4

Proposta de planificação
LIVRO: MATEMÁTICA APLICADA 1 CEF: TIPO 2
CONTEÚDOS OBJECTIVOS
N.º DE AULAS
(45 MIN)
UTILIZAÇÃO
DO LIVRO
Triângulos
• Triângulos
• Classificação de triângulos
• Construção de triângulos
32
Ficha 1
Ficha 2
Ficha 10
Quadriláteros
• Quadriláteros
• Propriedades dos quadriláteros
Ficha 3
Ficha 4
Ficha 10
Sólidos
• Poliedros e não poliedros
• Reconhecer pirâmides e prismas
• Identificar vértices,faces e arestas
• Poliedro e poliedro regular
• Dual de um poliedro
• Aplicar a Lei de Euler
Ficha 5
Ficha 6
Ficha 7
Ficha 8
Ficha 9
Ficha 10
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6
Módulo 8
GEOMETRIA INTUITIVA

MÓDULO 8
7
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AVALIAÇÃO
ACTIVIDADE PRÁTICA
Áreas de triângulos. Figuras equivalentes
NOME N.º TURMA
Observa a figura:
1. Calcula a área de cada um dos seguintes triângulos.
2. Desenha:
2.1. um triângulo isósceles com 6 cm2
de área;
2.2. um losango com a mesma área do triângulo 5;
2.3. um trapézio com a mesma área do triângulo 4;
2.4. um paralelogramo equivalente ao triângulo 2.
NOTA:Esta actividade pode ser feita num geoplano ou em papel quadriculado.

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8
TESTE
2
AVALIAÇÃO
1. Num triângulo [PQR],a amplitude do ângulo com vértice no ponto P é 70º.
A amplitude do ângulo com vértice no ponto Q é igual à amplitude do ângulo com vértice no
ponto R.
Qual é a amplitude do ângulo com vértice no ponto Q?
A. 45º B. 50º C. 55º D. 60º
Teste Intermédio de Matemática – 8.º ano – Abril 2008
2. A figura tem de perímetro 36 cm e é for-
mada por dois triângulos equiláteros.
2.1. Determina .
2.2. Determina DÊC.
3. O paralelogramo [ABCD] tem de perímetro
30 cm.
3.1. Determina o valor de x e o valor de z.
3.2. Determina .
4. Considera a figura.
4.1. Calcula x e y.
4.2. Comenta a afirmação:“O triângulo é obtusângulo”
.
4.3. Classifica o triângulo quanto aos lados.
5. Verdadeiro ou falso?
Observa o triângulo:
Â< B̂< Ĉ
B̂< Ĉ< Â
Ĉ< B̂< Â
AB
CD

9
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MÓDULO 8
6. Quando a mãe fez anos, o Ricardo ofereceu-lhe
uma fotografia,numa moldura.A moldura,que
está representada a seguir, é constituída por 4
cartões rectangulares, todos geometricamente
iguais.
Qual é, em cm2
, a área da fotografia que está visí-
vel na moldura?
Prova de Aferição de Matemática,2.º Ciclo E.B.– 2008
7. A família Costa costuma juntar-se para tomar
o pequeno-almoço.
Na figura ao lado, está representado um dos
pacotes de leite que a família utilizou esta manhã.
Este pacote tem a forma de um paralelepípedo
rectângulo.
Qual é a posição relativa da base do pacote de leite e de uma das suas faces laterais?
A. Paralelas,mas não coincidentes. B. Coincidentes.
C. Concorrentes,mas não perpendiculares. D. Perpendiculares.
Teste Intermédio de Matemática – 8.º ano – Abril 2008 (adaptado)
8. Na figura estão representados dois sólidos.
8.1. Os sólidos representados são poliedros? Justifica.
8.2. Calcula o volume do cilindro sabendo que tem
altura igual a 0,8 dm.
8.3. Determina a altura do cone, sabendo que tem o
mesmo volume que o cilindro.
9. A Joana abriu a lata de sumo de ananás e
bebeu até a altura do sumo ficar igual a 4 cm.
Que quantidade de sumo bebeu a Joana?
Sabendo que 1’ = 1 dm3
, apresenta o resultado
em c’.
12 cm
6 cm

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10
1.
1.1. isósceles … dois … comprimento
1.2. rectângulo … ângulo recto
1.3. obtusângulo … ângulo obtuso
2.
2.1. Triângulo equilátero,os três lados têm o
mesmo comprimento.
2.2. Triângulo acutângulo,os três ângulos inter-
nos do triângulo são agudos.
3.
3.1. 30º
3.2. [DF]
3.3. Triângulo obtusângulo.
3.4.
4.
4.1. a) [AB] b) 80º c) [BC]
4.2. a) Escaleno. b) Acutângulo.
5.
5.1. DEF
5.2. EFD
6.
6.1.
6.2. ,o triângulo é equilátero,tem três
ângulos iguais (180º :3 = 60º).
6.3. Triângulo acutângulo.
7.
7.1. a) [AB] b) ”DFE
7.2. a) F; b) V; c) F; d) F
1.
1.1. Não.7 = 3,5 + 3,5.
1.2. Sim.10 < 8 + 6; 8 < 6 + 10; 6 < 10 + 8
2.
2.1. Sim.100º + 55º + 25º = 180º
2.2. Não.70º + 70º + 50º = 190º
3.
3.1.
3.2.
Construção de triângulos
FICHA 2
AB
WC = 60º
AC = CB = 6 cm
ED = EF = 4 cm
Triângulos.Classificaçãodetriângulos
FICHA 1
Módulo 8 – Soluções
3.3.
4.
4.1. ”ABC,”ACD
4.2. a) = 40º b) = 110º
4.4.
5.
5.1. a) = 150º b) = 30º
5.2. a) ”DEB b) ”FEB
c) ”DEB e ”BEF
d) ”ABE e ”GBC
1.
1.1. trapézio isósceles.
1.2. paralelogramo.
2.
2.1. B – trapézio isósceles,D – losango
2.2. a) B; b) D; c) A; d) A
2.3.
3. A – Trapézio isósceles.Tem um eixo de sime-
tria.
B – Trapézio rectângulo.Não tem eixos de
simetria.
C – Trapézio escaleno.Não tem eixos de
simetria.
4. A – Paralelogramo
B – Rectângulo
C – Quadrado
D – Losango
5.
6.
6.1. V 6.2. F 6.3. F
Quadriláteros
FICHA 3
GB
WC
DE
WB
AB = AC = 5,5 cm
AC
WD
BA
WC

MÓDULO 8
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11
7.
7.1. 17,7 cm 7.2. 16,5 cm2
8.
8.1.
8.2. 11,25 cm2
1. x = 110º,y = 110º e z = 7 cm
2.
2.1. Paralelogramo
2.2. a) = 115º
b) = 65º
c) = 65º
2.3. = 4,5 cm
2.4. Não tem eixos de simetria.
2.5.
3.
3.1.
3.2.
4.
4.1. [DC] e [AB]
4.2. Trapézio isósceles, .
4.3.
AD = BC
CD
CD
WE
BA
WD
AB
WC
Propriedades dos quadriláteros
FICHA 4
1.
1.1. A e E
1.2. B,C e D.
1.3. A – Prisma quadrangular
B – Cilindro
C – Cone
D – Esfera
E – Pirâmide quadrangular
1.4. a) 8 b) 8
2.
2.1. 6 2.2. 9
2.3. 3 2.4. 5
2.5. [ABC] e [DEF] 2.6. [AB] e [BC]
2.7. [ACDE]
3.
3.1. apenas por superfícies planas.
3.2. Não.As suas faces não são polígonos regula-
res.
3.3. Sim.As suas faces são polígonos regulares
iguais entre si e em cada vértice encontram-
-se 3 faces.
4. 8
5. 12
6.
6.1. A – Cilindro
B – Esfera
C – Cone
6.2. São sólidos constituídos por superfícies curvas.
6.3. Duas.Uma.
7. a) A b) B
8.
8.1. Prisma pentagonal.
8.2. a) 7; b) 5; c) 10; d) 15; e) [DCIJ]; f) [FG]
1. A – Prisma triangular
B – Prisma quadrangular
C – Prisma pentagonal
2.
2.1. hexagonal … suas bases …
2.2. 12 … 8 … 18
3.
3.1. tem uma base e as suas faces laterais são
triângulos.
3.2. a sua base é um quadrilátero.
3.3. triangular. 3.4. pentagonal.
3.5. 4 … 4 … 6 3.6. 6 … 6 … 10
3.7. 5 … 5 … 8 3.8. triângulos.
4. A – Cilindro B – Cone
C – Semiesfera
Poliedros – prismas e pirâmides
FICHA 6
Poliedros e não poliedros
FICHA 5

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12
5.
5.1. Prisma pentagonal não regular
5.2. Pirâmide hexagonal regular
5.3. Prisma heptagonal regular
5.4. Paralelepípedo
5.5. Cone
6. A.Pirâmide pentagonal
B.Cubo
C.Prisma hexagonal
D. Prisma quadrangular regular
7.
7.1. 7.2.
1.
1.1. A – Cone
B – Prisma triangular
C – Cilindro
D – Esfera
E – Pirâmide pentagonal
F – Prisma pentagonal
1.2. B,E e F.
1.3. 15 arestas
1.4. a) duas … triângulos.
b) uma … pentágono.
c) 10
d) 9 … 6 … 5
e) isósceles.
f) não
g) faces … arestas e duas.
h) 3
1.5.
2.
Sólidos geométricos
FICHA 7
3.
4.
4.1. Não poliedro.O sólido apresenta uma super-
fície curva.
4.2. Poliedro.O sólido é formado apenas por
superfícies planas.
5.
Prisma quadrangular • • Dez arestas
Pirâmide pentagonal • • Nove faces
Prisma heptagonal • • Quatro faces laterais
Cone • • Não tem vértices
Cilindro • • Um vértice
1. 14 cm2
2. 19,44 cm2
3.
3.1. 13,5 cm2
3.2. 13,5 cm2
4. 139,25 cm2
5.
5.1. Trapézio rectângulo.
5.2. [AB] e [EC]
5.3. 15 cm2
6. 53,5 cm2
7. 20 cm2
1.
1.1. 84 cm3
1.2. 6 cm
2.
2.1. Poliedro.É formado apenas por superfícies
planas.
2.2. Prisma octogonal.
2.3. Octógono.É um polígono com oito lados.
2.4. 12 cm2
3. 1200 pacotes.
4. 150 vezes.
5. Sim.
6.
6.1. 18 cm3
6.2. 314 cm3
Áreas e volumes de sólidos
FICHA 9
Áreas de figuras planas
FICHA 8
SÓLIDO
N.º DE
ARESTAS
N.º DE
VÉRTICES
N.º DE
FACES
Pirâmide
hexagonal
12 7 7
Prisma
triangular
9 6 5
Prisma
quadrangular
12 8 6
Pirâmide
octogonal
24 16 10
O
D
A
R
D
A
U
Q
6.
O
M
A
R
G
O
L
E
L
A
R
A
P
5.
A
R
E
F
S
E
4.
E
D
I
M
Â
R
I
P
3.
O
L
U
G
N
Â
I
R
T
2.
O
R
D
E
I
L
O
P
1.

MÓDULO 8
©
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13
7.
7.1. 5 cm 7.2. 150 cm2
8. 1 * 1012
= 1 000 000 000 000 km3
(aprox.)
9.
9.1. 1620 cm3
9.2. 882 cm2
1.
1.1. Num triângulo a ângulos iguais opõem-se
lados com igual comprimento.
1.2. Tem dois lados com igual comprimento,
.
1.3. = 180º – (80º + 70º) = 30º
1.4. Todos os seus ângulos são agudos.
1.5. .
1.6. Num triângulo ao maior ângulo opõe-se o
maior lado.
2.
2.1. F 2.2. V
2.3. F 2.4. V
2.5. F 2.6. F
3.
3.1. Verdadeiro.
3.2. Falso.Um triângulo obtusângulo não pode
ser equilátero.
3.3. Falso.Num triângulo acutângulo os três
ângulos internos medem mais de 0º e
menos de 90º.
3.4. Verdadeiro.
3.5. Falso.Num prisma hexagonal a base é um
hexágono.
4.
4.1. AF e BG 4.2. B
•
D
4.3. [CD] 4.4. ”BDE
4.5. ”GDE 4.6. ”GDE e ”CDB
4.7. ”CDB e ”BDE 4.8. BG e CE
4.9. AF e HI
5.
5.1. 140º 5.2. 40º
5.3. 140º
6.
6.1. ”SOT e ”ROQ
6.2. a) por isso são ângulos
complementares.
b) por isso são ângulos
suplementares.
6.3. a)
b)
7. 108 cm3
RO
WS = 180º - QO
WR = 180º - 27º = 153º
PO
WQ = 90º - QO
WR = 90º - 27º = 63º
QO
WR + RO
WS = 180º
PO
WQ + QO
W R = 90º
AE
WF = 180º - AE
WD = 180º - 70º = 110º
DA
WE
BF = CF
Para ir mais longe
FICHA 10
1.
1.2. 5 cm.Num triângulo acutângulo,a ângulos
iguais opõem-se lados iguais.
2. 55 cm
3.
3.1. V 3.2. F
3.3. F 3.4. V
4.
4.1. 21 cm2
4.2. 3 cm
5. x = 100º, y = 80º, z = 110º e w = 100º
6.
6.1. quadrangular regular
6.2. isósceles
6.3. arestas
6.4. 18 cm3
7.
7.1. Sim.É um sólido formado apenas por super-
fícies planas.
7.2. Prisma triangular.
7.3. 5 faces e 9 arestas.
8.
8.1. sólidos … polígono.
8.2. prisma … 12 arestas.
8.3. vértices … lados.
8.4. poliedro … polígonos … lados.
8.5. poliedro.
8.4. vértices … arestas.
1. C
2.
2.1. = 4 cm 2.2. DÊB = 60º
3.
3.1. x = 70º e z = 110º 3.2. = 9 cm
4.
4.1. x = 70º e y = 60º
4.2. A afirmação é falsa,o triângulo é acutângulo
(tem os três ângulos internos agudos).
4.3. Triângulo escaleno.
5. F;V; F
6. 200 cm2
7. D
8.
8.1. Não,pois apresentam superfícies curvas.
8.2. 628 cm3
8.3. 37,5 cm
9. 22,6 c’
AB
CD
Avaliação
TESTE 2
Avaliação
TESTE 1

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14
N.º DE AULAS
(45 MIN)
UTILIZAÇÃO
DO LIVRO
Extensão do
conceito de
número aos
racionais relativos
Operações com
números racionais
relativos nas suas
diferentes formas
• Números racionais
• Interpretar situações reais usando números
racionais
• Utilizar a estimação na resolução de problemas
e na avaliação da plausibilidade dos resultados
• Comparar e operar com número racionais
relativos apresentados sob diferentes formas
• Utilizar as propriedades das operações na
simplificação de cálculos
32
Ficha 1
Ficha 2
Ficha 3
Ficha 4
Ficha 5
Ficha 8
Resolução de
problemas que
recorram a
equações do
1.º grau e a sua
resolução usando a
reciprocidade das
operações e as
operações simples
com polinómios
• Monómios e polinómios
• Operações com monómios e polinómios
•Verificar se um dado número é solução de uma
equação sem a resolver
• Resolver equações do 1.º grau com uma
incógnita
•Traduzir problemas simples e/ou da vida real
por meio de equações do 1.º grau
• Analisar e criticar a solução de uma equação no
contexto de um problema
Ficha 6
Ficha 7
Ficha 8
Ficha 9
Ficha 10
Ficha 13
Resolução de
problemas que
envolvam sistemas
simples de
equações a duas
incógnitas
• Equações do 1.º grau com duas incógnitas
• Resolver uma equação do 1.º grau com duas
incógnitas em ordem a uma delas
• Sistemas de equações
• Resolver algebricamente e geometricamente
um sistema
• Resolver problemas formando e resolvendo
sistemas de equações
• Interpretar e criticar a solução de um sistema
de equações no contexto de um problema
Ficha 11
Ficha 12
Ficha 13
Módulo 9
DAS EQUAÇÕES AOS NÚMEROS

MÓDULO 9
15
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AVALIAÇÃO
ACTIVIDADE PRÁTICA
A idade de Diofanto
NOME N.º TURMA
Pouco se sabe acerca da vida de Diofanto.
Supõe-se que este matemático grego, o mais importante de todos os algebristas gregos, terá
vivido na segunda metade do séc. III a.C. Foi ele quem introduziu os símbolos das operações,
criou uma letra para designar a incógnita e estudou a "Teoria das Equações".
Por uns versos encontrados no seu túmulo, escritos em forma de um enigmático problema,
deduz-se a duração da sua vida em anos.
… A sexta parte da sua vida foi-lhe dada por Deus para a sua juventude.
Decorrida outra duodécima parte,o seu rosto já tinha barba.
Passou ainda mais um sétimo da sua vida antes de se casar e cinco anos depois teve um filho.
Infelizmente o filho viveu apenas metade do que o pai viveu.
Nos quatro restantes anos de sua vida,o pai chorou a sua morte.
Quantos anos tinha Diofanto quando a morte o levou?
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Diophantus.html (adaptado)
Lê o problema com atenção.
1. Traduz o problema por uma equação.
2. Resolve a equação.
3. Verifica a solução encontrada.
4. Completa a frase:
A vida de Diofanto terá durado anos.
Mais informações na Internet:
http://history.math.csusb.edu/Mathematicians/Diophantus.html

©
t
16
TESTE
2
AVALIAÇÃO
1. Uma Associação de Estudantes vai organizar uma festa num recinto fechado e resolveu,
por questões de segurança, que o número de bilhetes a imprimir deveria ser menos 20%
do que o número máximo de pessoas que cabem no recinto.
1.1. A Associação de Estudantes decidiu organizar a festa no ginásio da escola onde cabem, no
máximo,300 pessoas.
Quantos bilhetes deve a Associação de Estudantes mandar imprimir?
Apresenta os cálculos que efectuares.
1.2. Sendo n o número máximo de pessoas que cabem num recinto fechado, qual das seguintes
expressões permite à Associação de Estudantes calcular o número de bilhetes a imprimir?
n - 0,8 n * 0,2 n - 0,2 n * 0,8
Exame Nacional de Matemática,3.º Ciclo E.B.– 2008,1.ª chamada
2. Completa com um dos símbolos å,∫,<,> ou = de modo a tornares as expressões verdadeiras.
2.1. …… Z 2.2. 0 …… Q-
2.3. -|- 1| …… N
2.4. - 32
…… Z+
2.5. - 5,1 …… Z-
2.6. …… N
2.7. |- 2| …… |+ 2| 2.8. 3,(2) …… 3,2 2.9. - 7 …… - 4
3. Escreve um número não inteiro compreendido entre - 4 e - 2.
Não justifiques a tua resposta.
4. Observa a recta numérica e indica a abcissa dos pontos nela assinalados.
5. Calcula o valor das expressões seguintes e sempre que possível, aplica as regras das
potências:
5.1. 5.2.
6. Considera as expressões:
; ; ; - ; x2
y + z + z3
t2
; a3
- ab ; 2a3
b2
6.1. Indica:
a) um monómio;
b) um monómio cujo coeficiente seja um número primo;
c) um binómio e o respectivo grau;
d) dois monómios semelhantes;
e) dois polinómios com o mesmo grau.
6.2. Determina o valor de para e b = 4.
a = -
1
2
3
2
- a3
b2
y
4
5a2
b3
y
4
3
2
- a3
b2
- 2 - 3 * 11 -
1
42
1-
1
22
4
: 1-
1
22
2
31-
1
32
2
4
2
* 34
+ 34
1
0,5
16
2

17
MÓDULO 9
7. Resolve a seguinte equação:
8x - 2 = 3(x - 1)
8. O aparelho de ar condicionado de uma sala de cinema teve uma avaria durante a exibição
de um filme.
A temperatura, C, da sala, t horas após a avaria e até ao final do filme, pode ser dada, aproxima-
damente,pela expressão:
C = 21 + 2t,com C expresso em graus centígrados e t expresso em horas.
8.1. Na sala,qual era a temperatura,em graus centígrados,uma hora após a avaria?
8.2. Qual foi,na sala,o aumento da temperatura por hora,em graus centígrados?
Explica como chegaste à tua resposta.
8.3. No final do filme,a temperatura na sala era de 24 graus centígrados.
Há quanto tempo tinha ocorrido a avaria?
Apresenta os cálculos que efectuares e,na tua resposta,apresenta o resultado em minutos.
9. Considera o seguinte sistema de equações:
Qual é o par ordenado (x,y) que é a solução deste sistema?
Mostra como obtiveste a tua resposta.
Teste Intermédio de Matemática – 9.º ano – Janeiro 2008
10. Considera o seguinte problema:
Para a festa de aniversário da Maria, gastaram-se 54 euros na compra de pacotes de leite e de
pacotes de sumo.
Cada pacote de leite custou 70 cêntimos e cada pacote de sumo custou 60 cêntimos.
O número de pacotes de leite comprados é o triplo do número de pacotes de sumo.
Quantos pacotes de leite e quantos pacotes de sumo se compraram?
Escreve um sistema de duas equações do 1.º grau que traduza este problema, representando
por ’ o número de pacotes de leite e por s o número de pacotes de sumo.
Não resolvas o sistema.
Teste Intermédio de Matemática – 9.º ano – Janeiro 2008
5
x + y = 3
2y =
x + y
3
AEMALP-02

©
t
18
1.
1.1. 0,12,24,36,48,60,72,84,96,108,120,132,144
1.2. 0,30,60,90,120
1.3. 60
2. 56
3. 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31
4.
4.1. 48 = 24
* 3; 72 = 23
* 32
m.d.c.(48,72) = 23
* 3 = 24
m.m.c.(48,72) = 24
* 32
= 144
4.2. 165 = 3 * 5 * 11; 225 = 32
* 52
m.d.c.(165,225) = 3 * 5 = 15
m.m.c.(165,225) = 32
* 52
* 11 = 2475
4.3. 100 = 22
* 52
; 216 = 23
* 33
; 260 = 22
* 5 * 13
m.d.c.(100,216,260) = 22
= 4
m.m.c.(100,216,260)=23
*33
*52
*13=70200
5. m.d.c.(360,1440) = 360; =
6. m.m.c.(16,24) = 24
* 3 = 48;
1.
1.1. - 2,25 1.2. + 10 1.3. + 50
1.4. - 40 1.5. + 37 1.6. + 18
2.
2.1. F 2.2. F
2.3. V 2.4. V
3.
3.1. 4; e 3.2. 0; 4; e
3.3. - 0,23; 0; e 1,3(2) 3.4. 4 = 4,0
3.5. 1,3(2) 3.6. 4
3.7. 4 3.8.
4.
œ36
7
8
œ36
œ
3
125
œ36
œ
3
125
Números racionais
FICHA 2
103
48
1
4
360/360
1440/360
Númerosprimos.Máximodivisorcomum
emínimomúltiplocomum
FICHA 1
5.
5.1. 5.2. - 2 5.3. 0,3
1.
2.
2.1. 2.2.
2.3. -
3.
3.1. - 5 3.2. 2
3.3. - 3.4. - 2
4.
4.1. > 4.2. <
4.3. > 4.4. >
4.5. < 4.6. <
4.7. < 4.8. >
4.9. =
5.
5.1. ∫ 5.2. å
5.3. > 5.4. =
5.5. ∫ 5.6. å
5.7. å 5.8. <
5.9. >
6.
6.1. Falsa.Zero é o menor número inteiro não
negativo.
6.2. Verdadeira.
6.3. Falsa. representa uma dízima infinita
periódica de período 3.
6.4. Verdadeira.
6.5. Verdadeira.
6.6. Falsa.Existem três números inteiros relativos
que têm valor absoluto inferior a dois.
23
24
1
3
2
6
6
7
1
2
Representaçãoeordenaçãodosnúmeros
racionais
FICHA 3
3
7
NÚMERO DÍZIMA CLASSIFICAÇÃO DA DÍZIMA
Ordem decrescente dos elementos
do conjunto A:
8 > > > - 2,2 > -
Ordem crescente dos elementos do
conjunto A:
- < - 2,2 < < < 8
9
2
193
66
7
3
7
3
193
66
9
2
– 2,2 – 2,2 Dízima finita
8 8,0 Dízima finita
–
7
3
– 2,(3) Dízima infinita periódica
9
2
4,5 Dízima finita
193
66
2,9(24) Dízima infinita periódica

MÓDULO 9
©
t
19
7.
7.1. - 1,2 < - 1 < 2 < 3
7.2. - 5,35 < - 5 < - 4 < - 2 < 0
8.
8.1. 0,001 < 0,0018 < 0,002 < 0,0025 < 0,003
8.2. - 2,3 > - 2,35 > - 2,4 > - 2,5 > - 3
1.
1.1. A Rita vive no 4.º andar.
1.2. A Ana vive no 9.º andar.
2.
2.1. Jogaram seis vezes.
2.2. O Artur.Se a Carla perdeu três jogadas,o
Artur ganhou essas três jogadas.
3.
3.1. (+ 3) … (- 5) 3.2. (- 10)
4.
4.1. 6 4.2. 5 … 3
5.
5.1. O João.A Ana comeu 10 centésimas do bolo
(0,1),o Miguel 20 centésimas (0,2) e o João
25 centésimas (0,25).
5.2. Restou 0,45 do bolo,isto é,45 centésimas.
6.
6.1. 6.2. - 2 - 3 + 5 - 2
7.
7.1. 4,3 7.2. - 2,1
7.3. - 7.4.
8.
8.1. … associativa e comutativa.
8.2. - 2 … - 1 … comutativa,associativa e exis-
tência do elemento simétrico.
8.3. … existência do elemento neutro.
1.
1.1. - 1 1.2. 1.3. - 2 … - 1
1.4. 0 1.5. 1.6. 1
2.
2.1. 2.2. 2.3. - 24
2.4. 2.5. 2.6. -
2.7. 2.8.
69
20
4
5
2
9
10
3
4
3
1
40
2
15
20
20
-
1
2
Multiplicaçãoedivisãode
númerosracionais
FICHA 5
1
2
1
5
…
1
2
29
12
17
12
1
2
-
1
5
+
1
10
-
3
20
Adiçãoalgébricadenúmerosracionais
FICHA 4
3.
3.1. 3.2.
3.3. 3.4.
3.5. |2| < 4
4.
4.1. Falso.Zero é o elemento absorvente da mul-
tiplicação.
4.2. Falso.O produto de dois números negativos
é um número positivo.
4.3. Falso. porque é o inverso de 3.
4.4. Falso.O simétrico de - 3 é 3.
4.5. Verdadeiro.
1.
2.
2.1. semelhantes. 2.2. 3ab
2.3. - 2.4. não…semelhantes.
2.5. 5 2.6. 5
3.
3.1. 3.2.
3.3. Grau 9 3.4. 10
4. - 8w3
t4
5.
6.
6.1. Grau 3.Os termos são:3x3
,x2
,-
6.2. 3x3
+ x2
-
6.3. - 3x3
- x2
+
6.4. -
1
2
1
2
1
2
1
2
-
1
2
xy2
z6
1
2
xy2
z6
5
2
ab
Monómiosepolinómios
FICHA 6
1
3
3 *
1
3
= 1
1
2
*
1
3
=
1
6
2
3
/ 33 + 1- 524
3 - 1- 52
1
2
+ 5 *
2
3
MONÓMIO -
1
4
x2
yz x2
y 2ab
7
– y4
5 5ax2
COEFICIENTE -
1
4
1
2
7
- 1 5 5
PARTE LITERAL x2
yz x2
y ab y4 não
tem
ax2
GRAU 4 3 2 4 0 3
- 5cd
3
7
y - x
4
5
x2
yz œ5
2
3
x2
- 2x + 1 - 3ef 18
3
f 2
2
MON. ✗ ✗ ✗ ✗
POLIN. ✗ ✗

©
t
20
1.
1.1. 6x2
+ 3x - 2 1.2. - xy - 1
1.3. 1.4. - 6y3
+ 7y
1.5. 3x3
+ 1.6. 7a2
+ 17a + 1
2. -
3. P = 6y2
+ 2y -
4.
4.1. x2
+ 6x - 1 4.2. 3x3
+ 7x2
- 3x - 2
5.
5.1. 11x2
+ 6x - 15 5.2. a) 49 cm;b) 102 cm2
6.
6.1. 0,16 + 0,1 m + 6.2. x2
- 9y2
6.3. - 25x2
- 30x + 10 6.4. 2y2
- 5y
7.
7.1. 17 7.2. 13
1.
1.1. ∫ 1.2. ∫
1.3. ∫ 1.4. ∫
1.5. ∫ 1.6. å
1.7. å 1.8. ∫
1.9. ∫
2.
2.1.
2.2. a) e 1 + = 8,0
b) = 1,(3)
3.
3.1. 3.2.
3.3. 3.4.
4.
4.1. - 4.2. - 48
5.
5.1. a)
b) - 0,4 ; -
5
1
; -
20
5
; -
6
4
; -
4
4
-
5
1
; -
20
5
;
0
3
; -
4
4
; +
16
4
17
3
5
3
, -
3
4
e
1
6
3
5
,
4
3
e 6
-
5
3
,
3
4
e -
1
6
3
5
, -
4
3
e 6
4
3
œ49
-
13
5
= - 2,6
Parairmaislonge
FICHA 8
m2
64
2
3
a
6
+ 6b -
27
4
36
5
x2
-
349
5
x
15
4
a +
b
2
+ 1
Operaçõescommonómiosepolinómios
FICHA 7 c) - 0,4 e e e + ;
= 0 é simétrico dele próprio.
Note-se que:- 0,4 = - = - ;- = - ;
- ;+
5.2.
5.3. a) < b) <
c) < d) <
6.
6.1. 3 6.2.
6.3. - 3 6.4.
6.5. 6.6. 4
6.7. - 6.8. 624
7.
7.1. Propriedade associativa da adição em Q.
7.2. Existênciadoelementoneutrodaadiçãoem Q.
7.3. Existência do elemento absorvente da mul-
tiplicação em Q.
7.4. Existência do elemento inverso da multipli-
cação em Q.
7.5. Propriedade distributiva da multiplicação
em relação à adição em Q.
8.
9.
9.1. - ; xy2
; 3 9.2.
9.3. - 4xy2
9.4. -
10.
10.1. - a3
b 10.2. 4 10.3.
11.
11.1. - 5xy 11.2. - w4
y 11.3. x2
y3
12.
12.1. a) 24x2
; b) 24x
12.2. 54 cm2
; 36 cm
5
3
5
3
6
5
1
5
1
8
xy2
4
1
4
1
8
- 2
11
4
29
12
16
4
= + 4
20
5
= - 4
3
2
6/2
4/2
2
5
4/2
10/2
0
3
16
4
-
6
4
; -
20
5
+
2
5
; +
3
2
MONÓMIO COEFICIENTE
PARTE
LITERAL
GRAU
MONÓMIO
SIMÉTRICO
-
1
7
a5
-
1
7
a5
5
1
7
a5
0,3 0,3 Não tem 0 - 0,3
– x - 1 x 1 x
x3
y2
3
5
3
5
x3
y2
5 - x3
y2
3
5
3
4
xyb4 3
4
xyb4
6 -
3
4
xyb4

MÓDULO 9
©
t
21
13.
13.1. 11,5y2
13.2. 0,25y4
13.3. - 7y2
14. x2
- x - 1.Grau 2.
15.
15.1. - 6x5
- 3x2
15.2. - 36x2
z + 4z3
15.3. a3
+ b3
- a2
b - 2ab2
16. 20
1. A; E
2.
2.1. 7x - 1 2.2. 0,5 + 4x
2.3. 7x; - 1; 0,5; 4x 2.4. x
3. x = - 1 não é solução
x = 0 não é solução
x = 0,5 não é solução
x = 2 é solução
4.
4.1. F 4.2. F
4.3. F 4.4. F
5.
5.1. x = - 8,possível determinada
5.2. x = 6,possível determinada
5.4. 0x = 5,impossível
5.5. 0x = 0,possível indeterminada
5.6. x = - ,possível determinada
5.8. 0x = - 19,impossível
1. 3
2. 31,33 e 35
3. MÔN = 60º; NÔP = 30º
4. AĈB = 55º e BÂC = 55º
5. 7 botões para o casaco da Joana e 14 para o
casaco da avó da Joana.
6.
6.1. a) O número de iogurtes de morango que
existe na caixa.
b) O número total de iogurtes que existe na
caixa.
6.2. ; 60 iogurtes.
1
2
x +
1
4
x +
1
6
x + 5 = x
Resoluçãodeproblemasdo1.ºgraucom
umaincógnita
FICHA 10
2
5
Conceitodeequação.Equaçõesdo
1.ºgraucomumaincógnita
FICHA 9
1
2
3
2
7
2
1
2
7.
8. Daqui a 16 anos.
9. O terreno tem 225 m de comprimento e
75 m de largura.
10. Se tirarmos 10 a um número,ficamos com a
metade desse número.Qual é o número?
1.
1.1. a = b - 0,5 1.2. y =
1.3. f = 1.4. r = 7s + 17,5
2. É solução; Não é solução; Não é solução.
3.
3.1. Não é solução 3.2. x =
3.3. y = 2x + 2 3.4. (0,2) e (1,4)
4.
4.1. (- 2,0) e (0,1)
4.2. (- 2,0); (0,1) e (2,2)
4.3. Não é solução,porque o ponto não
pertence à recta.
4.4. a) ; b)
5.
5.1. 3x + 2y = 30
5.2. Na equação 3x + 2y = 30 substituímos x por
e y por 14;obtemos a proposição
3 * + 2 * 14 = 30
que é uma proposição verdadeira.
5.3. Se na equação 3x + 2y = 30 substituírmos x
por 0 e y por 15,obtemos a proposição
3 * 0 + 2 * 15 = 30
que é uma proposição verdadeira.
Mas (0,15) não é solução do problema,se
fosse o 0 seria a medida do comprimento de
um dos lados,x,o que é impossível.
1.
1.1. Se na equação substituírmos x por 1
e y por - 2,obtemos a proposição
que é uma proposição verdadeira.Se fizermos
a substituição na equação 2x - y = 1,obtemos
uma proposição falsa.
1
2
+
- 2
4
= 0
x
2
+
y
4
= 0
Sistemasdeequações
FICHA 12
2
3
2
3
1- 1,
1
22
1-
3
2
,
1
42
11
4
,
3
22
y - 2
2
e + 1
5
- 7x + 15
18
Equaçõesdo1.ºgraucomduasincógnitas
FICHA 11
RITA JOANA MARTA
8 13 3
8 + x 13 + x 3 + x
8 - x 13 - x 3 - x

©
t
22
1.2. é a solução do sistema.
1.3.
é a solução do sistema.
1.4. Sistema possível determinado.
2.
2.1. y = - x + 1
Sistema possível indeterminado
2.2. é a solução do sistema.
Sistema possível determinado
2.3. 0x = 12
Sistema impossível
15
2
,
1
22
11
4
, -
1
22
11
4
, -
1
22
3. O Francisco tem 6 berlindes e o João tem 12.
4. O rectângulo tem 60 cm de comprimento e
20 cm de largura.
5. Os números são 7 e 15.
1. B e F
2.
3. x = - 3 é solução da equação.
4.
4.1. 0x = 0,possível indeterminada
4.2. 0x = - 2,impossível
4.4. x = ,possível determinada
5. • 2(x + 6) = 12
• A soma da terça parte de um número com
cinco é igual a 12.
6.
6.1. Representa a extensão do percurso.
6.2. 16 km
7.
7.1. a) O número maior.
b) A diferença entre os dois números.
c) O dobro da diferença entre 35 e o número
menor.
7.2. Os números são 10 e 60.
8. n e n + 1 e são dois números inteiros conse-
cutivos.Dois números consecutivos são
sempre um par e outro ímpar.A soma destes
números é n + (n + 1) = 2n + 1 que é um
número ímpar.
9.
9.1. é solução da equação.
9.2. y = 0,1
9.3. x = - 15y + 2
10.
10.1. 32 e 104,correspondentes a 0 ºC e a 40 ºC,
respectivamente.
10.2. 100 ºC
11.
11.1. Não é solução do sistema.
1- 3,
1
32
7
25
Parairmaislonge
FICHA 13
EQUAÇÃO
1.º
MEMBRO
2.º
MEMBRO
INCÓGNITA
TERMOS
DO 1.º
MEMBRO
TERMOS
DO 2.º
MEMBRO
- 3x + 7 =
= 5x - 8
- 3x + 7 5x - 8 x – 3x; 7 5x; - 8
a = - 5a + 7
2
3
a
2
3
– 5a + 7 a
2
3
a - 5a; 7
6
5
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
–1
–2
–3
–4 1 2 3 4 5
0 x
y = –2x
y = 2x –1
y

MÓDULO 9
©
t
23
11.2. (1,1) é a solução do sistema.
11.3. Sistema possível e determinado.
12.
12.1. 0x = 0
12.2. (1,- 4) ,por exemplo.
13.
13.1. O Zé tem 9 CD’s e o Gil tem 14.
13.2. O preço de cada rissol é 0,50 € e de cada
croquete é 0,25 €.
13.3. x = 6 cm e y = 5 cm
1.
1.1. a) + 5
b) ; - 1; - ; - 4
1.2.
1.3. - 4 < - < - < - 1 < + < + 3,5 < + 5
1.4. a) 6,87; b) ; c) ; d) finita
2.
2.1. 182
2.2.
3.
3.1. - 3.2. -
4.
5.
5.1. - 5.2.
6.
6.1. 9a4
- 6a2
+ 3a - 1
6.2. O polinómio tem grau 4 porque o termo de
maior grau é 9a4
.
6.3. - 1
7.
7.1. - 3x2
+ 7x + 6 7.2. 3a2
- 32a + 89
8.
8.1. x = - 2 ,equação possível determinada
8.2. x = ,equação possível determinada
3
2
72
7
x3
y
7
64
3375
3
4
1
5
*
1
2
=
1
10
1
7
3
5
3
5
5
3
9
4
5
3
-
9
4
Avaliação
TESTE 1
9.
9.1. O número de gomas que o Paulo deu à irmã.
9.2. O Paulo tinha 19 gomas.
10.
10.1.
(- 2,- 1) é a solução do sistema
10.2. Não é solução.
1.
1.1. 240 bilhetes. 1.2. n * 0,8
2.
2.1. å 2.2. ∫ 2.3. ∫
2.4. ∫ 2.5. ∫ 2.6. å
2.7. = 2.8. > 2.9. <
3. – 2,(3) (p.e.)
4. A Æ – 3; B Æ – ; C Æ – 0,5;
D Æ ; E Æ ; F Æ
5.
5.1. 82 5.2. – 17
6.
6.1. a) 2a3
b2
(p.e.)
b) 5a2
b3
(p.e.)
c) a3
– ab (p.e.),grau 3
d) e –
e) - a3
b2
e x2
y + z + z3
t2
6.2.
7.
8.
8.1. 23 ºC
8.2. C,porque é a diferença entre as temperatu-
ras registadas em duas horas consecutivas.
8.3. 90 minutos.
9. é a solução do sistema.
10. 5
0,70’ + 0,60s = 54
’ = 3s
15
2
,
1
22
x = -
1
5
7
2
3
2
y
4
y
4
8
3
11
6
2
3
7
5
Avaliação
TESTE 2
MONÓMIO COEFICIENTE
PARTE
LITERAL
GRAU
MONÓMIO
SIMÉTRICO
MONÓMIO
SEMELHANTE
– d - 1 d 1 d 4d
19 19
não
existe
0 - 19 25
- mn3
5
8
–
5
8
mn3 4 mn3
5
8
6mn3

©
t
24
Módulo 10
DO PLANO AO ESPAÇO
N.º DE AULAS
(45 MIN)
UTILIZAÇÃO
DO LIVRO
Transformações
geométricas:
ampliações,
reduções e
isometrias
• Ampliar e reduzir uma figura dada a razão
de semelhança
• Identificar figuras geométricas
semelhantes
• Determinar a razão de semelhança numa
dada semelhança
• Isometrias:translações,simetrias e
rotações
• Identificar características invariantes nas
figuras obtidas por uma transformação
geométrica
• Resolver problemas aplicando o conceito
de semelhança
32
Ficha 1
Ficha 2
Ficha 3
Ficha 5
Ficha 6
Ficha 8
Ficha 9
Ficha 10
Semelhança de
figuras,relações
entre
comprimentos,áreas
e volumes
• Perímetros e áreas de figuras semelhantes
• Identificar as vantagens e reconhecer a
importância do uso de transformações
geométricas na resolução de problemas
que envolvam comprimentos,áreas ou
volumes
Ficha 4
Ficha 7
Ficha 10
Rectas e planos:
paralelismo e
perpendicularidade
• Aplicar critérios de paralelismo e
perpendicularidade entre os diferentes
entes geométricos
• Identificar a posição relativa entre os
diferentes entes geométricos
Ficha 11
Ficha 12
Ficha 13
Ficha 14

MÓDULO 10
25
©
t
AVALIAÇÃO
ACTIVIDADE PRÁTICA
Semelhança de figuras
NOME N.º TURMA
Para esta actividade é conveniente que os alunos tenham calculadora, uma folha para efectuar
cálculos e geoplano ou papel quadriculado.
1. Desenha vários rectângulos com dimensões diferentes.
2. Desenha vários quadrados com dimensões diferentes.
3. Desenha vários triângulos com dimensões diferentes.
4. Verifica se as figuras obtidas são semelhantes, analisando a forma e a proporcionalidade
dos lados correspondentes.
5. Responde às seguintes questões:
a) Todos os rectângulos são semelhantes?
b) Todos os quadrados são semelhantes?
c) Todos os triângulos são semelhantes?
d) Todos os triângulos equiláteros são semelhantes?
e) Todos os triângulos isósceles são semelhantes?

TESTE
3
AVALIAÇÃO
©
t
26
1. Considera os rectângulos A e B semelhantes.
1.1. Determina a razão de semelhança da ampliação sabendo que o rectângulo A tem de área
25 cm2
e o rectângulo B tem 49 cm2
.
1.2. Determina as dimensões do rectângulo B.
2. Os triângulos são semelhantes? Justifica.
2.1. 2.2.
3. Para assegurar a actividade de prevenção, vigilância e detecção de incêndios florestais,
foi construída uma torre de vigia de incêndios na Serra do Reboredo, no concelho de
Torre de Moncorvo.
Na Figura 1, podes ver
uma fotografia dessa torre.
Para determinar a altura
da torre, imaginaram-se
dois triângulos rectângu-
los, semelhantes, repre-
sentados na Figura 2.
A figura ao lado é um esquema desses dois triângulos.
O esquema não está desenhado à escala.
Qual é a altura,a,da torre de vigia?
Apresenta todos os cálculos que efectuares e, na
resposta,indica a unidade de comprimento.
Figura 1 Figura 2

MÓDULO 10
27
©
t
4. A Joana desenhou um poliedro formado por 8 faces e 12 vértices. O João desenhou
outro poliedro com 7 faces e 12 arestas.
4.1. Indica o número de arestas do poliedro desenhado pela Joana e número de vértices do polie-
dro desenhado pelo João.
4.2. Identifica cada um dos sólidos.
5. A figura representa um prisma quadrangular
regular.
5.1. Completa:
a) = b) =
c) - =
5.2. Determina a imagem de [EFGH] na translacção
associada ao vector .
5.3. Indica dois planos:
a) paralelos; b) perpendiculares.
6. A roda gigante de uma feira de diversões tem 12 cadeiras, espaçadas igualmente, ao
longo do seu perímetro. O diâmetro da roda é de 10 m, e a roda move-se no sentido con-
trário ao dos ponteiros do relógio.
6.1. Completa de modo a obteres proposições verdadeiras:
a) RO,+ 30º
(A) = … b) RO,- 150º
(E) = … c) RO,…
(F) = E d) RO,+ 90º
(B) = …
e) RO,- 90º
(…) = G f) RO,…
(D) = H g) RO,- 120º
(G) = … h) RO,0º
(…) = C
i) RO,…
(B) = G j) RO,360º
(C) = …
6.2. A Rita andou na roda gigante, sentou-se na cadeira B e percorreu 12,56 m, quantas voltas deu
na roda? (Considera p = 3,14.)
Prova de Aferição de Matemática,3.º Ciclo E.B.– 2004 (adaptado)
EA
«»
AC
«» + AB
«»
CD
«» + CB
«»
AB
«» + CD
«»

TESTE
3
©
t
28
7. Na figura 1, podes observar um pacote de pipocas cujo modelo geométrico é um tronco
de pirâmide,de bases quadradas e paralelas,representado a sombreado na figura 2.
A pirâmide de base [ABCD] e vértice I,da figura 2,é quadrangular regular.
7.1. Em relação à figura 2,qual das seguintes afirmações é verdadeira?
A recta DH é paralela ao plano que contém a face [ABFE].
A recta CG é oblíqua ao plano que contém a face [ABFE].
A recta CB é perpendicular ao plano que contém a face [ABFE].
A recta HG é concorrente com o plano que contém a face [ABFE].
7.2. Determina o volume do tronco de pirâmide representado na figura 2,sabendo que:
= 12 cm
e que a altura da pirâmide de base [ABCD] e vértice I é 20 cm.
Apresenta todos os cálculos que efectuares e,na tua resposta,escreve a unidade de medida.
EF = 3 cm
AB
Figura 1 Figura 2

MÓDULO 10
©
t
29
1.
1.1. a) F; b) V; c) V; d)F
1.2.
1.3. r = 2
1.4. r =
1.5. Não. ,não existe proporcionalidade
directa entre os comprimentos dos lados
correspondentes.
1.6. Ampliação.A razão de semelhança é maior
que 1.
2.
3.
3.1. Não.
3.2. 90 cm * 40 cm
4.
4.1. 8 cm e 6 cm 4.2. B
1.
1.1. r = 2
1.2. r =
2.
1
2
Razão de semelhança
FICHA 2
150
180
0
50
80
3
3
0
2
1
1
4
Ampliação e redução de figuras
FICHA 1
3.
3.1. II 3.2. I,III e IV
4. Não. ,não existe proporcionalidade
directa entre os comprimentos dos lados
correspondentes.
5. 1 cm e 0,6 cm
6.
6.1. a) uma ampliação de
b) uma redução de
c) geometricamente igual a
d) geometricamente igual a
6.2. r =
6.3. r = 1,2
6.4. 6 cm
7.
7.1. a) F; b) V; c) F
7.2.
1.
1.1. Sim.Os lados correspondentes são directa-
mente proporcionais e os ângulos
correspondentes são geometricamente iguais.
1.2. Não. ,os lados correspondentes não
são directamente proporcionais.
1.3. Não. ,os lados correspondentes
não são directamente proporcionais.
2.
2.1. 4,5 cm 2.2. 6 cm 2.3. 3 cm
3. Não. ,os lados correspondentes
não são directamente proporcionais.
14
7
0
5
3,5
3,36
2,4
0
2,16
1,8
3
2
0
2,5
1,5
1 2
2,4
=
1,5
1,82
Polígonos semelhantes
FICHA 3
1
2
4
6
0
3
8

©
t
30
4. A razão de semelhança é maior do que 1
(r = 5),logo B é uma ampliação de A.
5.
5.1. r = 5.2. r = 5.3. 6,4 cm
6. 20,25 cm2
7.
7.1. F 7.2. V 7.3. F
7.4. V 7.5. F
8.
8.1. redução
8.2. comprimentos … correspondentes
8.3. ângulos correspondentes … corresponden-
tes … proporcionais
1.
1.1. r = 2
1.2. A razão entre os perímetros é 2.É igual à
razão de semelhança.
1.3. A razão entre as áreas é 4.É igual ao qua-
drado da razão de semelhança.
2. 20 cm
3. 25 cm2
4.
4.1. Terá de comprar 84 m.
4.2. a) 20 m; b) 30 m e 12 m
4.3. O Sr.José deverá comprar entre 12,6 kg e
14,4 kg de sementes.
5.
5.1. r = 5.2. r =
6.
6.1. r = 6.2. 14 cm2
7.
7.1. 16 cm 7.2. 11,25 cm2
1. Sim.Os triângulos têm dois lados iguais e o
ângulo compreendido entre eles também é
geometricamente igual (LAL).
2. Sim.Os triângulos têm os três lados iguais
(LLL).
3.
3.1.
3.2.
Triângulos geometricamente iguais
FICHA 5
1
2
9
25
3
5
Perímetros e áreas de figuras
semelhantes
FICHA 4
2
3
3
2
4.
4.1. [BC] ] [CD],”ACB ] ”ACD e ”ABC ] ”ADC.
Os triângulos são geometricamente iguais
porque têm um lado igual e os ângulos
adjacentes a esse lado também são geome-
tricamente iguais (ALA).
4.2. Triângulo equilátero.Tem os três lados iguais
(num triângulo a ângulos iguais opõem-se
lados iguais).
4.3. Triângulo rectângulo.O triângulo tem um
ângulo interno recto (90º).
4.4. ”ABC e ”BAC
4.5. 15,6 cm2
5.
5.1. Triângulo isósceles.O triângulo tem dois
lados iguais,[BO] ] [OD] pois são raios da
mesma circunferência.
5.2. Sim.Os triângulos têm dois lados iguais
( e ) e o ângulo compreen-
dido entre eles tem a mesma amplitude
(”BOD ] ”AOC).
5.3. 45º
6.
6.1. 4,5 cm
6.2. 65º e 50º
6.3. Sim.Os triângulos têm um lado igual
( ) e os ângulos adjacentes a esse
lado também são iguais (”ABC ] ”DFE e
”CAB ] ”EDF).
6.4. Triângulos isósceles.Triângulos acutângulos.
1.
1.1. Não.
1.2. Sim.Os triângulos têm os comprimentos de
dois lados directamente proporcionais
e o ângulo por eles formado é geo-
metricamente igual,critério LAL.
1.3. Não.
1.4. Sim.Os triângulos têm os comprimentos dos
três lados directamente proporcionais
,critério LLL.
2.
2.1. 4,5 cm 2.2. 6,125 cm
3.
3.1. Os triângulos têm os comprimentos de dois
lados directamente proporcionais e
o ângulo por eles formado é geometrica-
mente igual.”ACB ] ”ECD porque são
ângulos verticalmente opostos.
3.2. r =
3.3. 2,5 cm
4
5
14
5
=
4
52
110
15
=
5
7,52
12
3
=
4
62
Triângulos semelhantes
FICHA 6
AB = DF
OD = OA
BO = OC

MÓDULO 10
©
t
31
4.
4.1. 4.2.
4.3. 6 cm
5. 16 cm
6.
6.1. ”BDA é comum aos dois triângulos e
”ABC ] ”ECD.Os triângulos são semelhan-
tes porque têm dois ângulos geometrica-
mente iguais.
6.2. a) ; b) ; c) ; d) ”ECD
7.
7.1. r =
7.2. Triângulo isósceles.Tem dois lados iguais,
(num triângulo a ângulos geometri-
camente iguais opõem-se lados iguais).
7.3. 20 cm
8.
8.1. 3 cm 8.2. 28,26 cm2
9. 30 cm
10.
10.1. r = 10.2. 20 cm 10.3. 400 cm2
1.
1.1. r =
1.2. Sim,porque r >1.
1.3. = 5 cm e = 4,5 cm
1.4.
2.
2.1. r =
2.2. 12 cm2
e 27 cm2
2.3. 18 cm e 27 cm
3.
3.1. LAL 3.2. [EF] 3.3.
3.4. 3.5.
4.
4.1. 4,5 cm 4.2. 3,6 cm 4.3. 9,72 cm2
5.
5.1. Ampliação.A razão de semelhança é maior
do que 1.
5.2. 5 cm
5.3. 6,25 cm; 6,25 cm e 7,5 cm
3
2
4
9
AB
3
2
9
4
EF
AC
3
2
Perímetros e áreas de triângulos
semelhantes
FICHA 7
3
4
AB = BC
3
4
3
5
5
3
3
5
1.
1.1. a) e b) e c)
1.2. I. F; II. V; III. F; IV. V; V. V
2.
2.1. O vector tem direcção horizontal,sen-
tido da direita para a esquerda e compri-
mento igual a 5 cm.
2.2. [B,A]
3.
3.1. 3.2.
3.3. 3.4.
3.5. 3.6.
3.7. [CDF]
4.
4.1. O vector tem direcção horizontal,sen-
tido da direita para a esquerda e compri-
mento igual a 3 cm.
4.2. e
4.3. 2 cm
4.4.
4.5.
5.
5.1. a) 100º ; b) cm
5.2. 4,5 cm2
.A área do polígono [EFGH] é igual à
área do polígono [ABCD].
5.3. Vector que tem direcção horizontal,sen-
tido da esquerda para a direita e compri-
mento igual a 4 cm.
6.
6.1. 6 cm
6.2. A base tem 6 cm de comprimento e 4 cm de
altura.As translações conservam os compri-
mentos dos segmentos de recta.
AE
«
»
œ5
ED
«»
AE
«
»
FB
«
»
AB
«»
AB
«»
HG
«»
CF
«
»
AD
«»
AD
«»
FB
«
»
BA
«»
r
»
s
»
r
»
v
»
u
»
Isometrias:translações e simetrias
FICHA 8

©
t
32
1.
1.1. a) A; b) F; c) + 45º; d) H; e) E;
f) + 180º ou - 180º; g) B; h) C; i) + 135º ou
- 225º
1.2. [BA]
1.3. ”FOG
1.4. D[CDE]
1.5. D[EFG]
3.
3.1. RO,- 90º
3.2. RO,+ 90º
3.3. RO,0º
4.
4.1.
4.2. 12,5 cm2
5.
5.1. 5.2.
5.3.
Isometrias:rotações
FICHA 9 6.
6.1. B 6.2. E 6.3. + 60º
6.4. E 6.5. A 6.6. D
6.7. F 6.8. O 6.9. O
6.10. C 6.11. - 120º 6.12. [OF]
1.
1.1. 4,8 cm
1.2. 73,5 cm2
2.
2.1. Triângulo escaleno
2.2. Não.Os lados correspondentes não são
directamente proporcionais .
2.3. 12 cm,30 cm e 42 cm
3.
3.1. [AB] e [BC]
3.2. [DE]
3.3. Os triângulos são semelhantes porque têm
dois ângulos geometricamente iguais (Â = Ê
e Ĉ= F̂).
3.4. ; Â = Ê,B̂ = D̂ e Ĉ = F̂
3.5.
4.
5.
5.1. redução
5.2. comprimentos … correspondentes
5.3. ângulos correspondentes … corresponden-
tes … proporcionais
5.4. 1
5.5. ampliação
5.6. 0,7
6.
6.1. 1 m de largura e 2 m de comprimento
6.2. 16 cm2
7.
7.1. Têm dois ângulos geometricamente iguais.
7.2. 100 m
7.3. 75 m2
5
3
AB
DE
=
AC
EF
=
BC
DF
16
4
=
15
10
0
21
122
Para ir mais longe
FICHA 10

MÓDULO 10
©
t
33
1. D
2. B
3. 90 cm2
4.
4.1. A
4.2.
5.
5.1.
5.2. 19,2 cm 5.3. 8 cm2
5.4. 18 cm2
6.
6.1. Quadrado
6.2.
AVALIAÇÃO
TESTE 1 6.3.
6.4. 1 cm2
6.5.
6.6. O ponto E.
6.7. a) ; b) ; c)
1.
1.1. a) GHI b) DEF
c) ABC d) ABC e FIJ
e) AEG e DEF f) AEF
g) EDJ
1.2. a) AB e CD b) AB e GF
c) FG e FJ d) AE e FG
e) AD f) BC
g) ED
2.
2.1. F 2.2. V
2.3. F 2.4. V
Geometria no espaço
FICHA 11
CB
«»
CA
«»
0
»
AEMALP-03

©
t
34
3.
3.1. a) ABC e EFG
b) AB e BC
c) BG
d) BH
e) ABG e EFG
3.2. a) V b) F
c) F d) V
3.3. a) 100 cm2
b) 142 cm2
3.4. 105 cm3
1.
1.1. a) Prisma pentagonal
b) [CD] e [DJ]
c) [CD] e [IJ]
d) ABC
e) GI
1.2. a) A recta AB e a recta FH são rectas não
complanares.
b) A intersecção do plano ADE com o plano
BGH é a recta AB.
c) A recta EF está contida no plano DEF.
d) As rectas GI e IH são rectas oblíquas.
e) O prisma tem cinco faces laterais.
f) As bases do prisma são pentágonos.
1.3. 15 cm2
2. B
3.
3.1. a) As rectas AB e EF são paralelas.Uma recta
é paralela a um plano se for paralela a
uma recta desse plano.A recta AB é para-
lela ao plano a.
b) Uma recta é perpendicular a um plano se
e só se for perpendicular a duas rectas
concorrentes desse plano.A recta DH é
perpendicular à recta EH e à recta HG.As
rectas EH e HG intersectam-se no ponto H
e estão contidas no plano a.A recta DH é
perpendicular a a.
c) Dois planos são paralelos se um deles
contiver duas rectas concorrentes entre si,
paralelas ao outro plano.As rectas AB e BC
intersectam-se no ponto B e são paralelas
ao plano a.O plano ABC é paralelo a a.
d) Se num plano existe uma recta perpendi-
cular a outro plano,então os planos são
perpendiculares.A recta AE pertence ao
plano ADE e é perpendicular ao plano a.
O plano ADE é perpendicular a a.
Critérios de paralelismo e perpendi-
cularidade
FICHA 12
3.2. a) AB e CD
b)DH e EF
c) AB e CDG
d) ABC e ABF
3.3. a) Seis.AB,AC,AH,BC,BH e CH
b) Quatro.ABC,ABH,ACH e BCH
4.
4.1. F.Dois pontos distintos definem uma recta.
4.2. F.Se uma recta é paralela a um plano,existe
no plano pelo menos uma recta que lhe é
paralela.
4.3. V
4.4. F.Quaisquer três pontos não colineares defi-
nem um plano.
4.5. V
4.6. V
4.7. F.Se uma recta é paralela a um plano,existe
no plano uma recta que lhe é paralela.
4.8. V
5.
5.1. a) Paralelas
b) Não complanares
c) Perpendiculares
d) Concorrentes
e) Perpendiculares
f) A recta está contida no plano.
5.2. O ponto I é um ponto exterior à recta EH.
Uma recta e um ponto exterior (a ela) defi-
nem um plano.
5.3. A recta EH.
6.
6.1. a) DF e CB
b) ABC e ABE
c) ABC e DEF
6.2. a) Paralela.A recta AF é paralela à recta BE.
Critério de paralelismo entre recta e
plano.
b) Perpendicular.A recta AF é perpendicular
à recta AB e à recta BC que se intersectam
no ponto B.Critério de perpendiculari-
dade entre recta e plano.
6.3. 180 cm2
6.4. 120 cm3
7. A recta AB é secante ao plano a porque
intersecta o plano no ponto B (o ponto B
pertence ao plano).

8.
8.1. Paralelos
8.2. Uma infinidade de rectas.
9.
9.1. 10,125 m2
9.2. Plano BCG
9.3. B
1.
1.1. 3,3 m3
1.2. a) a e g; b) b e d
2.
2.1. 75,4 cm3
2.2. 75,4 cm3
3. C
4. 20 m3
5. 738,2 cm3
1. 3 m
2.
dois ângulos geometricamente iguais.
2.2. 4,5 cm
3.
3.1. F 3.2. V
3.3. V 3.4. V
4.
4.1. Têm dois ângulos geometricamente iguais.
”ACE ] ”BCD e ”CEA ] ”CBD
4.2. r =
4.3. a) 4,5 cm b) 10 cm
5.
5.1. 5.2.
5.3. 5.4.
5.5. [AG]
6. A
7.
7.1. 1000 7.2. 600 cm2
8.
8.1. Os pontos V,O e C definem um plano por-
que são três pontos não colineares.
FE
«»
BC
«»
GA
«»
ED
«»
1
2
Para ir mais longe
FICHA 14
Áreas e volumes de sólidos
FICHA 13
8.2. Os planos são perpendiculares.A recta VO é
perpendicular ao plano que contém a base
(critério de perpendicularidade entre planos).
8.3. 24 cm
1. D
2.
2.1. Sim.Têm dois ângulos geometricamente
iguais,Â= Ê e B̂ = D̂.
2.2. x = 4,5 cm e y = 6 cm
3.
3.1. r = 3.2. 6,25 cm2
3.3. 50 cm
4. A Rita tem que comprar 700 cm2
de tecido.
5.
5.1. a) Plano ABC b) Plano BFC
c) EH e AD d) [EF] e [BC]
5.2. a) 8 cm b) 256 cm2
6. 1047 litros
7.
7.1. A esfera.
7.2. O volume aumenta 1000 vezes.
1.
1.1. r = 1.2. 8,75 cm * 5,6 cm
2.
2.1. Sim,têm dois ângulos geometricamente
iguais (AA).
2.2. Não são semelhantes,não verificam
nenhum dos critérios.
3. a = 6 cm
4.
4.1. 18 arestas.7 vértices
4.2. Prisma hexagonal.Pirâmide hexagonal.
5.
5.1. a) ; b) ; c)
5.2. [ABCD]
5.3. a) ABF e DCG; b) ABC e FGC (p.e.)
6.
6.1. a) B; b) L; c) - 30º ou + 330º, d) E;
e) J; f) 120º ou - 240º; g) C; h) C;
i) 150º ou - 210º; j) C
6.2. A Rita deu duas voltas e meia.
7.
7.1. A recta CG é oblíqua ao plano que contém a
face [ABFE].
7.2. 945 cm3
CB
«
»
CA
«
»
0
»
7
5
Avaliação
TESTE 3
1
2
Avaliação
TESTE 2
MÓDULO 10
©
t
35

©
t
36
Módulo 11
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
N.º DE AULAS
(45 MIN)
UTILIZAÇÃO
DO LIVRO
Medidas de
tendência central:
média,moda e
mediana
• Analisar e interpretar dados apresentados em
tabelas de frequências e gráficos
• Calcular medidas de tendência central para
caracterizar uma distribuição
32
Ficha 1
Ficha 2
Ficha 4
Distribuições de
frequências.
Comparação de
distribuições
• Analisar e comparar distribuições,recorrendo
a medidas de tendência central
• Analisar criticamente a validade de
argumentações elaboradas a partir de
indicadores estatísticos
Ficha 3
Ficha 4
Espaço de resultados
de experiências
aleatórias
• Distinguir situações aleatórias de situações
deterministas
• Identificar resultados possíveis numa situação
aleatória
Ficha 5
Ficha 7
Classificação de
acontecimentos
• Identificar,para uma dada situação,casos
possíveis e casos favoráveis
Ficha 6
Ficha 7
Probabilidade de um
acontecimento como
quociente entre
casos favoráveis e
casos possíveis
• Calcular,em casos simples,a probabilidade de
um acontecimento
• Analisar e interpretar uma probabilidade
dada ou calculada
Ficha 6
Ficha 7
Definição
frequencista de
probabilidade
• Conhecer a frequência relativa como
aproximação da probabilidade
Ficha 6
Ficha 7
Escalas de
probabilidade
•Utilizareinterpretarescalasde0a1ou0%a100%
• Conhecer e usar adequadamente expressões
como "impossível","improvável","pouco
provável","muito provável" e "certo"
Ficha 5
Ficha 6
Ficha 7

MÓDULO 00
1. Lança 22 vezes um dado e regista na tabela a frequência absoluta dos resultados obtidos.
2. Indica a probabilidade de saída de cada face do dado.
3. Escreve um pequeno texto em que digas o que aprendeste com esta actividade.
Nota: Um aumento do número de experiências melhorará a aproximação.
37
©
t
AVALIAÇÃO
ACTIVIDADE PRÁTICA
Lei dos grandes números
NOME N.º TURMA
MÓDULO 11
RESULTADOS POSSÍVEIS
LANÇAMENTO 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
TOTAL
FREQUÊNCIA RELATIVA

1. Completa a seguinte tabela que diz respeito à idade dos bebés que estão no infantário
Bebequinhas:
2. Muitos dos estudantes que usam mochilas transportam diariamente peso a mais para a
sua idade.
O gráfico circular que se segue fornece informação sobre as zonas do corpo onde as lesões
provocadas por mochilas são mais frequentes.
A Marta e duas das suas amigas começaram a construir, cada uma, um gráfico de barras que
traduzisse a mesma informação deste gráfico circular.
Na figura que se segue,podes observar esses três gráficos.
Apenas um deles poderá corresponder ao gráfico circular apresentado.Qual?
Para cada um dos outros dois gráficos,indica uma razão que te leva a rejeitá-lo.
3. O Paulo está de férias. Nos primeiros 10 dias, foi para a Praia dos Beijinhos e jogou fute-
bol durante horas:
3 ; 5 ; 4 ; 2 ; 1 ; 3 ; 4 ; 2 ; 3 ; 3
A média de horas dispendida por dia,a jogar futebol,é:
A. igual a 2. B. igual à mediana. C. igual a 4. D. diferente da moda.
TESTE
2
AVALIAÇÃO
©
t
38
IDADES (ANOS) FREQUÊNCIA ABSOLUTA FREQUÊNCIA RELATIVA
FREQUÊNCIA
RELATIVA (%)
2 0,2
3 4
4 0,3
5
Total 20
Gráfico A Gráfico B Gráfico C

MÓDULO 11
4. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
A. A soma das frequências absolutas á 1.
B. A moda apenas se pode calcular com dados quantitativos.
C. Se o número de dados for ímpar,a mediana é o valor que se situa no meio.
D. O sectograma é um gráfico com barras.
5. O gráfico seguinte mostra o número de hectares de floresta ardida, em Portugal
Continental,entre os anos de 2003 e 2007.
5.1. Qual foi o número médio de hectares de floresta ardida, por ano, em Portugal Continental,
entre 2003 e 2007 (inclusive)?
5.2. Observa o pictograma que se segue.
Este pictograma não corresponde ao gráfico acima apresentado.
Explica porquê.
39
©
t

6. O Roberto tem nove primos.
6.1. Explica como farias para determinar a mediana das idades dos nove primos do Roberto.
6.2. Escolhendo,ao acaso,um dos nove primos do Roberto,a probabilidade de ser um rapaz é de .
Quantas são as raparigas? Justifica a tua resposta.
7. Qual das afirmações seguintes é falsa?
A. No lançamento de um dado equilibrado,sair 8,é um acontecimento impossível.
B. Tirar, sem ver, uma nota de uma carteira que contém notas de 5 €, 10 €, 20 € e 50 €, é uma
experiência aleatória.
C. A probabilidade de um acontecimento é um número menor ou igual a 1.
D. A frequência relativa de um determinado acontecimento nunca é um valor aproximado da
sua probabilidade.
8. O dado da figura tem a forma de um octaedro regular. As suas 8 faces triangulares estão
numeradas de 1 a 8 e têm igual probabilidade de saírem,quando se lança o dado.
8.1. Qual é a probabilidade de se obter um número divisor de 8,
quando se lança o dado uma vez?
8.2. Lançou-se o dado 8 vezes, e das 8 vezes saiu um número ímpar. O dado vai ser lançado de
novo.Assinala com ✗a afirmação correcta.
É mais provável que saia agora um número par.
É tão provável que saia um número par como um ímpar.
É mais provável que continue a sair um número ímpar.
Não pode sair outra vez um número ímpar.
9. Na figura encontra-se a planificação de um dado de jogar,
cujas faces têm uma numeração especial.
9.1. Qual é o número que se encontra na face oposta à do 0 (zero)?
9.2. Se lançares o dado duas vezes e adicionares os números saí-
dos,qual é a menor soma que podes obter?
1
3
TESTE
2
©
t
40

MÓDULO 11
9.3. A Rifa e o Vítor decidiram inventar um jogo com o dado da figura.
O Vítor propôs:
– Lançamos o dado ao ar e, se sair um número negativo, ganho eu, se sair um número positivo,
ganhas tu.
A Rifa protestou,porque assim o jogo não era justo.
Concordas com a Rita? Explica a tua resposta.
10. A probabilidade do Pedro ter um prémio na roda da sorte é de 75%. Se jogar 16 vezes, o
número de jogadas premiadas que o Pedro espera obter é:
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
11. Os alunos da turma da Marta combinaram encontrar-se no Parque das Nações.
Cada um deles utilizou apenas um meio de transporte para chegar ao parque.
Na tabela que se segue, podes observar os meios de transporte usados e o número de alunos
que utilizou cada um deles.
Escolhendo, ao acaso, um aluno da turma da Marta, qual dos seguintes valores é o da probabi-
lidade de esse aluno não ter ido de autocarro?
60% 70% 80% 90%
12. No bar da escola da Ana,vendem-se sumos de frutas e sanduíches.
A Ana e a sua melhor amiga gostam de sanduíches de queijo,de fiambre e de presunto.
Na hora do lanche,escolhem,ao acaso,normal destes três tipos de sanduíches.
Qual é a probabilidade de ambas escolherem uma sanduíche de queijo?
Apresenta o resultado na forma de fracção.
41
©
t
TRANSPORTE Comboio Metropolitano Autocarro Bicicleta
N.º DE ALUNOS 9 12 6 3

©
t
42
1.
1.1. 25 alunos
1.2.
1.3. a) Eleição do delegado de turma
b)
c)
Recolhaeorganizaçãodedados:tabelas
egráficos
FICHA 1
Módulo 11 – soluções
Eleição do delegado de turma
1.4. A Maria com 10 votos.
2.
2.1. 10.º ano 2.2. 153 alunos
1.
1.1.
1.2. 2,20 min porque é o tempo mais frequente.
1.3.
Média= =
= ) 2,19 min
1.4. 2,20 min
2.
2.1. Não existe moda,porque todos os pesos
têm a mesma frequência.
2.2. 47 kg 2.3. 42 kg
3.
3.1. 8 3.2. 3
3.3. 3
4.
4.1. 31 alunos
4.2. Futebol,porque é o desporto praticado por
um maior número de alunos.No gráfico de
barras corresponde ao elemento que tem a
maior barra.
1.
1.1. 14 anos
1.2. 15 anos.É a idade do maior número de alunos.
1.3. 14 anos 1.4. 25 anos
1.5. A média ou a mediana.De um modo geral,
uma turma com alunos mais novos tem
maior sucesso escolar.
Distribuições de frequências:análise
e comparação
FICHA 3
24,13
11
2,15 + 2,16 * 2 + 2,17 + 2,20 * 4 + 2,23 * 3
11
Medidas de tendência central
FICHA 2
NOMES
FREQUÊNCIA
ABSOLUTA
FREQUÊNCIA
RELATIVA
FREQUÊNCIA
RELATIVA EM %
Maria 10
10
25
= 0,4 0,4 * 100 = 40%
Paulo 5
5
25
= 0,2 0,2 * 100 = 20%
Vera 6
6
25
= 0,24 0,24 * 100 = 24%
Pedro 4
4
25
= 0,16 0,16 * 100 = 16%
Total 25 1 100%
NOMES
AMPLITUDE DO SECTOR
CIRCULAR
Maria
10
25
* 360º = 144º
Paulo
5
25
* 360º = 72º
Vera
6
25
* 360º = 86,4º
Pedro
4
25
* 360º = 57,6º
Total 360º
TEMPOS
(MINUTOS)
FREQUÊNCIA
ABSOLUTA
2,15 1
2,16 2
2,17 1
2,20 4
2,23 3
Total 11

2.
2.1. Salário médio:725 €
Salário mediano:675 €
Salário modal:700 €
2.2. Na mediana,porque é a medida de tendên-
cia central com menor valor.
3.
3.1. Os alunos de uma turma.
3.2. Número de viagens a Espanha.Variável esta-
tística quantitativa.
3.3. 1,uma viagem.Moda.
3.4. Média = 1,25.Uma viagem.
3.5. 1,uma viagem.
3.6. Nenhuma das medidas de localização
seriam significativamente afectadas.O único
valor que é ligeiramente alterado é o da
média.A média passa a ser 1,32 que arre-
dondado dá o mesmo resultado,isto é,1 via-
gem.
4.
4.1. 20 … superior 4.2. 16 … mesmo
4.3. 8 4.4. 40% … 50%
1.
1.1. 27 alunos.
1.2.
1.3. 3 alunos
1.4. 10 alunos
2.
2.1. Frequências absolutas
2.2. Preta
2.3.
Para ir mais longe
FICHA 4
3.
3.1. 100 lançamentos.
3.2.
Lançamentos de um dado
3.3. 38
3.4. Número ímpar
4.
4.1. A Sara
4.2. 5 cafés
4.3. 81 cafés
4.4. A Sara é a pessoa que poderá vir a ter mais
problemas no estômago,porque é a que
toma maior número de cafés.
5.
5.1.
MÓDULO 11
©
t
43
NÚMERO DE
PONTOS
AMPLITUDE DO
SECTOR CIRCULAR
1 86,4º
2 64,8º
3 72º
4 54º
5 36º
6 46,8º
Total 360º
NÚMERO
DE IRMÃOS
FREQUÊNCIA
ABSOLUTA
FREQUÊNCIA
RELATIVA
FREQUÊNCIA
RELATIVA
EM %
0 3 0,11 11%
1 14 0,52 52%
2 7 0,26 26%
3 3 0,11 11%
Total 27 1 100%
CORES
FREQUÊNCIA
ABSOLUTA
FREQUÊNCIA
RELATIVA
FREQUÊNCIA
RELATIVA
EM %
Branca 5 0,21 21%
Preta 10 0,42 42%
Azul 8 0,33 33%
Vermelha 0 0,00 0%
Cinzenta 1 0,04 4%
Total 24 1 100%
SEXO
IDADE
MASCULINO FEMININO TOTAL
16 anos 1 4 5
17 anos 7 8 15
18 anos 6 3 9
Total 14 15 29

©
t
44
5.2.
6.
6.1. São representações gráficas muito sugestivas.
6.2. São representações gráficas pouco exactas.
7.
8.
8.1. Moda = 3,Média = 3,2; Mediana = 3
8.2. Moda = 13; Média = 12,58; Mediana = 13
9.
9.1. 9,5 h
9.2. O valor da moda é 2 h.
9.3. média = 1,9 h
9.4. A afirmação é falsa.Como,pelo menos,50%
dos dados são iguais ou inferiores a 2 h e,pelo
menos,50% dos dados são iguais ou superio-
res a 2 h então a mediana é igual a 2 h.
10.
10.1.
10.2. Neste caso,apenas a média que passa a ser
de 11,92 €.
1.
1.1. Experiência aleatória.
1.2. Experiência determinista.
1.3. Experiência aleatória.
1.4. Experiência determinista.
2.
2.1. E = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
2.2. Sair uma bola numerada com o número 2 (p.e.).
Alguns aspectos da linguagem das
probabilidades
FICHA 5
2.3. Sair uma bola numerada com um múltiplo
de 3 (p.e.).
2.4. Sair uma bola numerada com um número
positivo menor ou igual a 10 (p.e.).
2.5. Sair uma bola numerada com o número 20
(p.e.).
3.
3.1. Falso.O espaço amostral do dado é
E = {1,2,3,4,5,6}.Todas as faces têm a
mesma probabilidade de sair.
3.2. Verdadeiro,porque há tantas cartas verme-
lhas como pretas.
3.3. Verdadeiro,porque o número de chaves
possíveis do Euromilhões é muito elevado.
4.
4.1. a) mais provável b) tão provável
c) certo d) menos provável
e) impossível
4.2. 26 elementos.
5.
5.1.
A = {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,1);
(2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6); (3,1); (3,2); (3,3);
(3,4); (3,5); (3,6); (4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5);
(4,6); (5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (5,5); (5,6); (6,1);
(6,2); (6,3); (6,4); (6,5); (6,6)}
B = {(6,6)}
C = {(1,2); (1,4); (2,1); (2,3); (3,2); (4,1)}
5.2. a) B:“soma igual a 12”(p.e.).
b) D:“soma igual a 13”(p.e.).
c) A:“soma maior ou igual a 2”(p.e.).
d) C:“soma ímpar,menor do que 7”(p.e.).
5.3. a) A afirmação é verdadeira porque a soma
pode ter valores de 2 a 12 e 2,4,6,8,10,12
são números pares.
b) A afirmação é verdadeira porque a soma
pode ter valores de 2 a 12,o que permite
concluir que nunca é zero.
c) A afirmação é falsa porque há menos
somas iguais a 4 do que iguais a 7.
1.
1.1. P(sair uma bola verde) =
1.2. P(sair uma bola azul) =
4:4
12:4
=
1
3
3:3
12:3
=
1
4
Probabilidade de um acontecimento
FICHA 6
FREQUÊNCIA
ABSOLUTA
FREQUÊNCIA
RELATIVA
X 40 0,2
Y 140 0,7
Z 20 0,1
Total 200 1
SEMANADA (€)
FREQUÊNCIA
ABSOLUTA
5 7
10 8
15 5
20 3
25 2
Total 25
+ 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12

1.3. P(sair uma bola preta) =
1.4. P(sair uma bola verde ou branca) =
1.5. P(sair uma bola verde e branca) =
2. P(sair coroa) =
3.
P(B,B) + P(B, ) =
4.
P(praticar ambos os despostos) =
5. Lançava a moeda ao ar um número grande
de vezes e calculava a frequência relativa de
cada um dos acontecimentos“sair cara”e“sair
coroa”
.Se esta se aproximasse de então a
moeda era equilibrada,caso contrário,era
viciada.
1. Experiências aleatórias:1.1.; 1.3.; 1.5.; 1.6.
2.
2.1. Ir à praia em Agosto.
2.2. Sair cara ao lançar uma moeda.
2.3. Ter 4 filhos.
2.4. Os acontecimentos são equiprováveis.
3.
3.1. Tirar uma carta com naipe vermelho ou
preto (p.e.).
3.2. Tirar uma carta com naipe azul (p.e.).
3.3. Tirar uma carta com naipe vermelho (p.e.).
3.4. Tirar o ás de copas (p.e.).
4.
4.1. E = {0,05 €; 0,10 €; 0,20 €; 0,50 €; 1 €; 2 €}
4.2. Tirar uma moeda de 0,02 € (p.e.).
Para ir mais longe
FICHA 7
1
2
4
25
20
132
+
35
132
=
55
132
B
1
4
0
12
= 0
8:4
12:4
=
2
3
0
12
= 0 4.3. Tirar uma moeda de 0,05 € (p.e.).
4.4. Tirar mais do que 50 cêntimos (p.e.).
4.5. Tirar uma moeda de 2 € (p.e.).
5.
5.1. P(sair bola branca) =
5.2. P(sair bola colorida) =
5.3. P(sair bola numerada com um número par)
=
5.4. P(sair bola branca e ter número ímpar) =
6.
6.1. Falso 6.2. Falso 6.3. Falso
6.4. Verdadeiro 6.5. Falso.
7.
7.1. 7.2.
7.3. 1 (acontecimento certo)
8.
8.1. a) b)
c) d) 5%
e) f)
8.2. “Sair carta vermelha”(p.e.).
8.3. a)
b)
9.
9.1.
9.2. E = {(C,R); (C,T); (C,P); (C,D); (N,R); (N,T); (N,P);
(N,D)}
9.3. “Sair face comum e face nacional”(p.e.).
10.
10.1. 18 raparigas 10.2. 0,4
11.
12.
12.1. 25
12.2. a) b)
c) d)
59
110
22:22
110:22
=
1
5
42:2
110:2
=
21
55
12:2
110:2
=
6
55
3
6
*
4
6
=
12:12
36:12
=
1
3
10
40
*
9
39
=
9:3
156:3
=
3
52
10
40
*
10
40
=
100
1600
=
1
16
30
40
=
3
4
28:4
40:4
=
7
10
20:2
40:2
=
1
2
10
40
=
1
4
4:4
40:4
=
1
10
4:4
16:4
=
1
4
6:2
16:2
=
3
8
11
30
14:2
30:2
=
7
15
9:3
30:3
=
3
10
21:3
30:3
=
7
10
MÓDULO 11
©
t
45
5
12
4
11
7
11
5
11
6
11
7
12
B
B (B,B)
(B, )
B
( ,B)
B
( , )
B
B
B
B
B
B
RAPA
MOEDA
R T P D
Comum (C) (C,R) (C,T) (C,P) (C,D)
Nacional (N) (N,R) (N,T) (N,P) (N,D)

©
t
46
13.
13.1.
13.2.
14.
15.
15.1. R: % T: %
P: % D: %
15.2. Não são equiprováveis.
15.3. O rapa não é equilibrado.
1. B
2.
2.1.
2.2. 25%
2.3. Classificação da turma 21MV1 na
disciplina de Matemática Aplicada
2.4. a) 2,875 9 3; b) 3; c) 3
3. 25 pessoas.
4.
4.1. a)“sair um número de 1 a 6”
b)“sair o número 1”
c)“sair o número 7”
4.2. a) 1; b) 2; c) 0
4.3. a) % b) %
c) %
6
6
* 100 = 100
3
6
* 100 = 50
3
6
* 100 = 50
Avaliação
TESTE 1
125
430
* 100 9 29
105
430
* 100 9 24
11
43
* 100 9 26
9
43
* 100 9 21
10
49
8
12
*
7
11
=
56:4
132:4
=
14
33
4
12
*
3
11
=
12:12
132:12
=
1
11
5.
5.1. 0,3
5.2. Há 14 tinteiros pretos e 6 de cores.
6.
7. P (o André entregar a prenda) =
P (o Bruno entregar a prenda) =
P(o Carlos entregar a prenda) =
É mais provável ser o Carlos a entregar a
prenda.
1.
2. Gráfico B.
O gráfico A rejeita-se porque neste gráfico,a
percentagem correspondente a "Pés e tor-
nozelos" é superior à percentagem corres-
pondente a "Outros".
O gráfico C rejeita-se porque neste gráfico,a
percentagem correspondente a "Cabeça e
face" é superior à percentagem correspon-
dente a "Ombros e costas".
3. B 4. C
5.
5.1. 192 mil hectares de floresta.
5.2. No gráfico,o número de hectares de floresta
ardida em 2004 é de 128 mil e no picto-
grama é de 320 mil.
6.
6.1. As idades dos nove primos do Roberto têm
de ser ordenadas (por ordem crescente ou
decrescente).A mediana será o valor que
ocupa a posição central.
6.2. 6 raparigas
7. D
8.
8.1. 0,5 ou 50%
8.2. É tão provável que saia um número par
como um ímpar.
9.
9.1. – 1 9.2. – 6
9.3. Sim,há três números negativos e dois positi-
vos,logo a Rita tem menos hipóteses de
ganhar o jogo.
10. C 11. 80% 12.
1
9
Avaliação
TESTE 2
2:2
4:2
=
1
2
1
4
1
4
1
31
CLASS.
FREQUÊNCIA
ABSOLUTA
FREQUÊNCIA
RELATIVA
FREQUÊNCIA
RELATIVA EM %
1 2 = 0,08
2
24
0,08*100=8%
2 6 = 0,25
6
24
0,25*100=25%
3 10 = 0,42
10
24
0,42*100=42%
4 5 = 0,21
5
24
0,21*100=21%
5 1 = 0,04
1
24
0,04*100=4%
Total 24 1 100%
IDADES
(ANOS)
FREQUÊNCIA
ABSOLUTA
FREQUÊNCIA
RELATIVA
FREQUÊNCIA
RELATIVA EM %
2 4 0,2 20%
3 4 0,2 20%
4 6 0,3 30%
5 6 0,3 30%
Total 20 1 100%

MÓDULO 12
©
t
47
Módulo 12
FUNÇÕES E GRÁFICOS
N.º DE AULAS
(45 MIN)
UTILIZAÇÃO
DO LIVRO
Leitura e interpretação
de representações
gráficas em diferentes
contextos.
Estudo intuitivo da
monotonia,zeros,
máximos,mínimos e
sinal a partir de
representações gráficas
• Interpretar informação contida em
gráficos usados em jornais,revistas e
outros tipos de publicações
32
Ficha 1
Ficha 2
Ficha 3
Ficha 4
Ficha 5
Ficha 8
Diferentes formas de
representação de
correspondências:
tabelas de valores,
representações gráficas
e expressões analíticas
• Desenvolver o sentido crítico face ao
modo como a informação é
apresentada quer seja através de
gráfico,tabela ou modelo funcional
• Compreender o conceito de função
• Usar modelos de funções para explicar
e prever propriedades das situações a
que se tentam aplicar os modelos
Ficha 4
Ficha 6
Ficha 7
Ficha 8
Ficha 12
Resolver problemas
usando modelos de
funções
(proporcionalidade
directa e inversa):
diferentes formas de
representação,
constante e expressão
analítica
• Determinar quais os modelos de
funções (proporcionalidade directa ou
inversa) que se adequam a tabelas de
valores
• Desenvolver a capacidade de
comunicação matemática quer escrita
quer oral a partir de pequenas
composições matemáticas
Ficha 9
Ficha 10
Ficha 11
Ficha 12

AVALIAÇÃO
ACTIVIDADE PRÁTICA
©
t
48
Proporcionalidade inversa
NOME N.º TURMA
Problema:O produto de dois números é 8.Quais podem ser os números?
1. Organiza os dados do problema numa tabela.
2. Constrói um gráfico que traduza a situação.
3. Observa a tabela e o gráfico.Que regularidades encontras? Explica o teu raciocínio.
4. Escreve um pequeno texto em que digas o que aprendeste com esta actividade.
x
y

49
TESTE
3
AVALIAÇÃO
AVALIAÇÃO
1. A tabela seguinte relaciona o número de queques comprados numa pastelaria e o res-
pectivo custo em euros.
1.1. Completa a tabela.
1.2. Qual é a constante de proporcionalidade directa? O que representa?
1.3. Escreve a expressão que relaciona as grandezas Q e C.
2. A Joana comprou umas calças com 20% de desconto. Sabendo que pagou 60 € pelas cal-
ças,determina:
2.1. o valor do desconto em euros.
2.2. o preço das calças antes da promoção.
3. O José,o António e o Carlos são três amigos.O José é o pai da Joana,da Rita e do Filipe.O
António é o pai da Marta,o Carlos não tem filhos.
3.1. Completa as correspondências I e II.
3.2. A correspondência I é uma função? Justifica.
3.3. A correspondência II é uma função? Justifica.
3.4. Na correspondência II que nome damos aos elementos Joana,Rita,Filipe e Marta?
3.5. Comenta a afirmação:
”Na correspondência II o contradomínio é {José,António,Carlos}”
.
N.º DE QUEQUES (Q) 15 32
CUSTO EM EUROS (C) 4,55 9,75 15,60
pai de
Correspondência I Correspondência II
! !
filho de
…… • • Joana
…… •
Carlos •
• ……
• ……
• Carlos
• ……
• ……
• ……
Joana •
…… •
…… •
…… •
AEMALP-04

TESTE
3
©
t
50
4. No sábado, o Luís combinou encontrar-se com uns amigos no pavilhão da Escola, para
verem um jogo de andebol. Saiu de casa, de moto, às 10 horas e 30 minutos. Teve um
furo, arranjou o pneu rapidamente e, depois, reuniu-se com os seus amigos no pavilhão
da Escola,onde estiveram a ver o jogo.
Quando o jogo acabou,regressou a casa.
O gráfico representa as distâncias a que o
Luís esteve da sua casa, em função do
tempo, desde que saiu de casa até ao seu
regresso.
Atendendo ao gráfico sobre a ida do Luís ao jogo de andebol,responde aos seguintes itens.
4.1. Quanto tempo levou ele a arranjar o furo?
4.2. A que horas chegou a casa?
4.3. O jogo de andebol tinha dois períodos, com a duração de 20 minutos cada, e um intervalo de
5 minutos entre os dois períodos.
Explica como podes concluir,pela análise do gráfico,que o Luís não assistiu ao jogo todo.
5. Quando se coloca um objecto sobre a areia, ela fica marcada devido à pressão exercida
por esse objecto.
A tabela relaciona a pressão, exercida por um tijolo
sobre a areia, com a área da face do tijolo que está
assente na areia.
A pressão está expressa em newton por metro quadrado (N/m2
) e a área em metro quadrado (m2
).
5.1. A pressão exercida pelo tijolo é inversamente proporcional à área da face que está assente na areia.
Qual é o valor da constante de proporcionalidade inversa?
5.2. Na figura ao lado,podes ver um tijolo.
Na posição em que o tijolo se encontra, a pressão que
ele exerce sobre a areia é 4000 N/m2
.
A face do tijolo que está assente na areia é um rectân-
gulo, em que o comprimento é igual ao dobro da lar-
gura,tal como está assinalado na figura.
De acordo com os dados da tabela,comenta a afirmação:
“O rectângulo tem de largura 0,05 m”
.
Teste Intermédio de Matemática - 9.º ano - Maio 2008 (adaptado)
ÁREA (m2
) 0,005 0,01 0,02
PRESSÃO (N/m2
) 4000 2000 1000

MÓDULO 12
©
t
51
1.
2.
2.1. 2.2.
3. 4.
5. 6.
7.
7.1. 7.2. 7.3.
8.
8.1. razão … 3 … 5
8.2.
8.3. antecedente … consequente
9.
9.1. 9.2.
10. 2 :3 :5
11. Não,porque 10 * 8 0 5 * 20
12. x = 9
13. Na caixa estão 20 botões amarelos e
30 brancos.
14.
14.1. O Francisco recebeu 60 000 €.
14.2. O valor do prémio é 75 000 €.
15. A Ana tem 18 pulseiras.
16. Serão necessários 300 gramas de açúcar.
17.
17.1. O Sr.António investiu 120 000 €,o Sr.João
60 000 € e o Sr.Manuel 30 000 €.
17.2. O Sr.João recebeu 8000 €.
18.
19.
19.1. 72 moedas de 1 €
19.2. 96 €
1. A. V B. F C. F D. F
2.
2.1. Sim,as grandezas A e B são directamente
proporcionais.K = 0,5.
2.2. Sim,as grandezas A e B são directamente
proporcionais.K =
3. = .A grandeza X é
directamente proporcional à grandeza Y.
2
10
=
3
15
=
4
20
= 0,2
X
Y
1
3
Proporcionalidadedirecta.
Constantedeproporcionalidade
FICHA 2
2
3
2
1
4
3
3
4
4
3
3
2
4
3
1
4
13
39
1
3
3
12
5
3
3
5
3
2
Razãoeproporção
FICHA 1
Módulo 12 – Soluções 4. .A grandeza Y não é directamente
proporcional à grandeza X.
5.
6.
7.
7.2. K = 1,20.Representa o custo de um gelado.
8.
8.1. Sim.K = 0,5
8.2. Não são directamente proporcionais
1. O gráfico I.Os pontos do gráfico estão sobre
uma recta que passa pela origem do refe-
rencial.
2.
2.1.
2.2. Sim.Os pontos do gráfico estão sobre uma
recta que passa pela origem do referencial.
3.
3.1. Os automóveis percorreram 300 km.
3.2. O automóvel A.O automóvel A demorou
três horas a percorrer os 300 km enquanto o
B demorou quatro horas.
3.3. A:100 km/h e B:75 km/h.
4.
4.1. = 5
As grandezas são directamente proporcio-
nais,K = 5.
4.2. 450 €
4.3. Venderam 43 calculadoras.
5.
5.1. 1 atm
5.2. .A recta não passa pela origem do
referencial.
1.
1.1.
Diferentesrepresentações
FICHA 4
10
2
0
30
4
50
10
=
100
20
=
150
30
=
200
40
=
250
50
Proporcionalidadedirectaegráficos
FICHA 3
8
2
0
27
3
PESO (kg) 1,5 4 5,5
CUSTO (€) 1,65 4,40 6,05
* 2,5 :2,5
A 5 7,5 10 20
B 2 3 4 8
N.º DE GELADOS 10 17 21 26
CUSTO (€) 12 20,40 25,20 31,20
!
!
X 0,5 1 1,5
Y 1 2 3
N.º DE HORAS (X) 1 2,5 3 3,25 3,5
PREÇO (Y) 20 50 60 65 70

©
t
52
1.
1.1. Variável independente:“Hora do dia”
.
Variável dependente:“Temperatura”
.
1.2. 17
1.3. 12
1.4. Domínio:D = {9,11,12,14,16 }
Contradomínio:CD = {13,14,15,17}
2.
2.1. Esta correspondência é uma função porque a
cada valor da variável independente (1,2,3)
corresponde um e um só valor da variável
dependente (a,b,c).
2.2. Esta correspondência não representa uma
função porque ao valor 3 da variável inde-
pendente correspondem dois valores da
variável dependente,o 1 e o 2.
2.3. Esta correspondência não é função porque ao
valor 7 da variável independente não corres-
ponde nenhum valor da variável dependente.
3.
3.1. Valores da variável independente:0,1,2.
Valores da variável dependente:0,1,4.
3.2. Domínio:Df
= {0,1,2,}
Contradomínio:CDf
= {0,1,4,}
3.3. Imagens.Objectos.
3.4. y = x2
3.5. Lê-se f de dois é igual a quatro e significa
que a imagem de dois por f é igual a quatro.
4.
4.1. a) 2; b) 2; c) 2x
4.2. Domínio:Dh
= {1,2}
Contradomínio:CDh
= {2,4}
1. I e III
Qualquer função de proporcionalidade
directa pode ser representada por uma
expressão do tipo y = kx.Na expressão analí-
tica I,k = - 3.A expressão analítica III é equi-
valente a ,isto é, donde .
2.
2.1. a) - b)
2.2. Sim.A expressão analítica da função h é do
tipo y = kx,com k = .
2.3. 1 2.4. 10 2.5. Não.
3.
3.1. Sim.A cada valor da variável independente
(x) corresponde um e um só valor da variá-
vel dependente (y).
3.2. y = x2
3.3. A expressão analítica da função h não é do
tipo y = kx.
1
5
1
3
1
5
k =
1
2
y =
1
2
x
y =
x
2
Proporcionalidadedirectacomofunção
FICHA 7
Função.Modosdedefinirfunções
FICHA 6
1.2. K = 20.Representa o preço de uma hora de
trabalho.
1.3. O pintor trabalhou 10 horas e 15 minutos.
2. C
3.
3.1.
3.2.
3.3. Sim.K = 4
3.4. a) P = 4L b) L =
4. O Pedro gastaria 8 €.
1.
1.1. 24 1.2. 9
1.3. 540 1.4. 146
2.
2.1. 25% 2.2. 12,5%
3. Ao fim de um ano o João terá 1287,50 €.
4. A percentagem de aumento foi 20%.
5. 50 €
6. Apodreceram 5 quilos de peras.
7. 58,33 €
8.
8.1. A taxa de juro é de 5%.
8.2. Ao fim de dois anos a Rita terá 1433,25 €.
9.
9.1. 60%; 58,3%
9.2. A turma CEF de Mecânica.
10. 2,5%
11. O Roberto deverá escolher a promoção B,e
aplicar o desconto de 10 € nas calças e o de
20% no casaco.
12. O valor de cada prestação é de 160 €.
13. O telemóvel do João sem o desconto de
15% teria custado 100 €.
14. O peso máximo que a Marta poderá trans-
portar dentro da sua mochila é 3,8 kg.
15. A miniatura foi feita à escala 1:500.
Aplicaçõesdaproporcionalidadedirecta
FICHA 5
P
4
LADO (L) 1 2 3 5
PERÍMETRO (P) 4 8 12 20

MÓDULO 12
©
t
53
4.
4.1. y é o simétrico de x.
4.2. y = - x
4.3.
4.4. Sim.Os pontos do gráfico pertencem a uma
recta que passa pela origem.
5.
5.1. Sim.A cada valor da variável independente
(x) corresponde um e um só valor da variá-
vel dependente (y).
5.2. Sim.Os pontos do gráfico pertencem a uma
recta que passa pela origem.
5.3.
5.4. k = 3 5.5. y = 3x
6.
6.1. k = 1 6.2. O declive da recta r é 1.
6.3. y = x
7.
7.1. 3
7.2. a) ; b) – 2 7.3. a) x = ; b) x =
7.4.
7.5. O ponto A não pertence e o ponto B pertence.
8.
8.1. a) – 1 b) x = - 1
-
1
9
-
2
3
-
15
2
8.2. A afirmação é falsa.
O contradomínio {- 1,0,1,2} não coincide
com o conjunto de chegada {- 1,0,1,2,3}.
1. Se tivesse que comprar cadernos iria à
papelaria A.
2.
2.1. 8 2.2. Na caixa estão 36 fichas.
3.
3.1.
3.2. K = 3.3. A =
4. A. As grandezas são directamente propor-
cionais,K = 2.
B. Não.As grandezas só seriam directa-
mente proporcionais se o pentágono
fosse regular.
C. As grandezas não são directamente pro-
porcionais.Exemplo:
Lado = 4 cm; Área = 16 cm2
Lado = 6 cm; Área =36 cm2
5.
5.1. K = 1,75 5.2. 0,04
6. O Sr.António pagou 240 € pelo televisor.
7. 40 %
8.
8.1. 221 m’ 8.2. 198,9 m’
9. A proposta 2 é a mais vantajosa para a
Joana.
10.
10.1. 4,4 cm
10.2. 16 cm2
,19,36 cm2
.A percentagem de
aumento foi de 21%.
11.
11.1. 3 e 10.
11.2. O cabelo doVítor cresceu 1,4 cm em cada mês.
11.3. C = 3 + 1,4 M
11.4.
4
16
0
6
36
1
3
* B
1
3
Parairmaislonge
FICHA 8
x 0
1
3
2
10
3
4
y 0 1 6 10 12
A 2,5 5 7,5
B 7,5 15 22,5

©
t
54
12.
12.1. 1086,96 € 12.2. 163,04 €
1. 12 2. 4,8
3. 1:1 000 000 4. D
5.
6. 45 bombons de leite
7. Devemos colocar 2 botões brancos na caixa.
8. A Rita gastará menos dinheiro na Papelaria
Almerinda.
9.
9.1. Este modo de representar a função tem o
nome de gráfico.
9.2.
9.3. y = 2x 9.4. x =
10. O Artur tinha 50 euros.
1.
1.1. A * B = 0,1 * 3 = 0,15 * 2 = 0,2 * 1,5 = 0,3
K = 0,3
1.2. A * B = 0,3
2.
2.1. =
B = 2 * A
2.2. Proporcionalidade inversa.C * D = 0,6
3. c = 0,08 e d = 8
4.
4.1. Proporcionalidade inversa.O produto das
variáveis é constante.
4.2. x * y = 4 4.3. y = ; x =
5.
5.1. =
As grandezas A e B são directamente pro-
porcionais; K = 0,1.
5.2. B = 0,1 * A
6.
6.1. Proporcionalidade inversa.
6.2. K =
6.3.
1
2
0,01
0,1
=
0,02
0,2
=
0,03
0,3
=
0,04
0,4
= 0,1
B
A
4
y
4
x
1
1
2
=
3
1,5
=
8,4
4,2
= 2
B
A
Proporcionalidadeinversa
FICHA 9
1
6
Avaliação
TESTE 1
C 0,2 0,5 2
D 2,5 1 0,25
X 2,5 5 10 12
Y 3 6 12 14,4
X 0 0,5 2 3,5
Y 0 1 4 7
7.
7.1.
7.2. 50
8.
8.1. metade
8.2. inversamente proporcionais … 2.
8.3. X =
9. Não.1 * 1,2 = 0,5 * 2,4 0 0,25 * 4,6
10. A Rita teria que bordar três horas por dia.
11.
11.1. 40 minutos.
11.2. O cabelo da Ana é ruivo.
1.
1.1. Ográficoéumramodeumahipérbolex*y=2.
Como tal,trata-se de uma função de propor-
cionalidade inversa de constante de propor-
cionalidade K = 2.
1.2. a) x * y = 2 ; b) y =
2. A afirmação é falsa,1 * 2 0 2 * 0,75.
3.
3.1. a) 4,5; b) 4, c) Dh
= {1,2,3,4}
3.2. É uma função de proporcionalidade directa.
A expressão analítica é do tipo y = kx,
com .
4.
4.1. O valor de x diminui para metade.
4.2. Sim.x * y = 0,02
4.3. y =
5. A. F B. V C. F D. V
6.
6.1. A expressão analítica da função t é do tipo
y = ,com k = - 4.
6.2.
K
x
0,02
x
k =
3
2
2
x
Proporcionalidadeinversacomofunção
FICHA 10
2
Y
3
2

MÓDULO 12
©
t
55
8.
8.1. O João percorreu 500 metros.
8.2. Decorreram 15 segundos.
1.
1.1. A função f representa uma proporcionali-
dade directa,a função g representa uma
proporcionalidade inversa.
1.2. k = e k = 3
1.3. f(x) = ; g(x) =
2.
2.1. 8 * 0,4 0 1,2 * 2,4
2.2. a) K = 64
b)
3. A
4.
4.1. 750 ’/h
4.2. 12 horas
5.
5.1. 300 km
5.2. Às 12 horas.
5.3. 100 km
5.4. 13 h 30 min; 5 horas
5.5. 200 km
5.6. 100 km/h
5.7. 21 h 30 min
6. Gráfico A.
O gráfico B rejeita-se porque de acordo com
este gráfico,enquanto o cão rodou em torno
do poste,a distância entre ele e o poste não
se teria mantido constante.
O gráfico C rejeita-se porque de acordo com
este gráfico,o cão teria sido mais lento a
afastar-se do poste que a aproximar-se
deste.
7.
7.1. 20 g
7.2. As gémeas deverão enviar os dois cartões
de aniversário num único envelope.
8.
8.1. Proporcionalidade inversa.A expressão que
relaciona as grandezas é do tipo Y * X = K,
com K = 30.
8.2. K = 30.A área de cada rectângulo.
8.3. C 12 8 7,5
’ 2,5 3,75 4
x 8 1,6 1,28
y 8 40 50
3
x
1
2
x
1
2
Parairmaislonge
FICHA 12
1.
1.1. Percorreu 20 km.
1.2. Às 16 horas.
1.3. Às 17 horas e 30 minutos.Estiveram a con-
versar 1hora e 30 minutos.
1.4. 25 km
1.5. Chegou às 20 horas.
2.
2.2. Esteve parado 1 hora.
2.4. Às 15 horas.
2.5. 72 km/h
3.
3.1. 250 €
3.2. Março,Junho,Agosto,Setembro e Outubro.
3.3. Julho.
3.4. Fevereiro,Novembro e Dezembro.
3.5. 100 €
3.6. 700 €
4. A.percurso da Bárbara
B.percurso da Joana
C.percurso da Rita
5. B.
6.
6.1. Não.Por exemplo,ao valor 5 da variável
independente correspondem três valores da
variável dependente e numa função,a cada
valor da variável independente corresponde
um e um só valor da variável dependente.
6.2. 5 meses.8 meses.
6.3. Pode ingerir leite.
6.4. A partir dos sete meses.
7.
7.1.
7.2. t * d = 100
7.3. 800 kg
Análiseeinterpretaçãodegráficos
FICHA 11

©
t
56
1.
1.1. 1200 litros
1.2. 400 ’/h
1.3. 1 h 30 min
1.4. 500 ’/h
1.5. 9,6 m3
2.
2.1. Reduz para a terça parte.
2.2. b * h = 12
2.3. K = 12.O dobro da área de cada triângulo.
3.
3.1. a) M = 4,8; b) L = 3
3.2. M = 1,2 * L
4.
4.1. 630 km
4.2. 100,8 km/h
5.
5.1. Proporcionalidade inversa.
30 * 3 = 18 * 5 = 10 * 9 = 90; k = 90
5.2. 6 horas por dia
6.
6.1.
6.2. - 6 * 1 = - 3 * 2 = - 1 * 6 = 1 * (- 6) = 2 * (- 3)
= 6 * (- 1) = - 6;k = - 6
6.3. x * y = - 6
7. D
8. 375 g de manteiga,300 g de chocolate,
6 ovos e 375 g de farinha.
9. A Ana iniciou o seu percurso a correr e ter-
minou-o a andar.
1.
1.1.
1.2. K = 0,65.O preço de cada queque.
1.3. C = 0,65 Q
2.
2.1. 15 €
2.2. 75 €
Avaliação
TESTE 3
x - 6 - 3 - 1 1 2 6
f(x) 1 2 6 - 6 - 3 - 1
Avaliação
TESTE 2 3.
3.1.
3.2. Não,existe um elemento (Carlos) do pri-
meiro conjunto que não tem correspon-
dente no segundo conjunto.
3.3. Sim,a cada elemento do primeiro conjunto
corresponde um e um só elemento do
segundo conjunto.
3.4. Objectos.
3.5. A afirmação é falsa,o contradomínio é:
{José,António}.
4.
4.1. 10 minutos.
4.2. 12 horas e 50 minutos.
4.3. O tempo de duração do jogo é de 45 minu-
tos (com intervalo) e o Luís só esteve no
pavilhão 40 minutos (90 – 50 = 40).
5.
5.1. O valor é 20.0,005 * 4000 = 20
5.2. A afirmação é verdadeira.A pressão exercida
sobre a areia é de 4000N/m2
,o rectângulo
terá que ter 0,005 m2
de área.Se a largura é
0,05,o comprimento é 2 * 0,05 = 0,1.A área
é 0,05 * 0,1 que é igual a 0,005 m2
.
N.º DE QUEQUES (Q) 7 15 24 32
CUSTO EM EUROS (C) 4,55 9,75 15,60 20,80
pai de
Correspondência I
!
José • • Joana
António •
Carlos •
• Rita
• Filipe
• Marta
Filho de
Correspondência II
!
• José
• António
• Carlos
Joana •
Rita •
Filipe •
Marta •

MÓDULO 13
©
t
57
Módulo 13
TRIÂNGULO RECTÂNGULO
N.º DE AULAS
(45 MIN)
UTILIZAÇÃO
DO LIVRO
Comparação de áreas de
figuras planas.Figuras
equivalentes.Teorema
de Pitágoras
• Construir figuras diferentes com a
mesma área
• Construir figuras que tenham a mesma
área que figuras dadas
• Compor e decompor figuras planas
• Utilizar as experiências com áreas para
conjecturar as relações entre os lados
de um triângulo rectângulo
32
Ficha 1
Ficha 2
Ficha 3
Ficha 6
Ficha 11
Resolução de problemas
envolvendo oTeorema
de Pitágoras e
expressões do 2.º grau
• Compreender o conceito de número
irracional
• Dominar processos e técnicas de
cálculo,incluindo a resolução de
equações simples,utilizando-os na
resolução de problemas
Ficha 4
Ficha 5
Ficha 6
Ficha 11
Semelhança de
triângulos e razões
trigonométricas.
Resolução de
problemas simples e
típicos de
trigonometria –
conhecidos elementos
de um triângulo,
calcular outros – e com
recurso às propriedades
dos triângulos
rectângulos
• Identificar as razões invariantes para
cada ângulo e utilizá-las para resolver
problemas de trigonometria
• Compreender o conceito de forma de
uma figura geométrica e identificar
propriedades geométricas
relacionadas com a forma
• Conjectuar novos resultados e
formular argumentos válidos com
recurso à visualização dinâmica e a
raciocínios demonstrativos,
explicitando-os em linguagem
corrente.
Ficha 7
Ficha 8
Ficha 9
Ficha 10
Ficha 11

AVALIAÇÃO
ACTIVIDADE PRÁTICA
©
t
58
Teorema de Pitágoras
NOME N.º TURMA
Considera o seguinte triângulo rectângulo:
1. Faz a legenda da figura.
a – ; b – ; c –
2. Escreve o enunciado do Teorema de Pitágoras.
3. Completa: = + b2
4. Supondo a = 3 cm e b = 4 cm, determina o valor de c.
5. Supondo c = 10 cm e a = 6 cm, determina o valor de b.
6. Supondo b = 7 cm e c = cm,determina o valor a.
7. Traça na figura,a altura relativa à hipotenusa.
8. Completa:
“Num triângulo rectângulo,a altura relativa à hipotenusa divide-o em
."
œ74

59
©
t
TESTE
2
AVALIAÇÃO
AVALIAÇÃO
1. Considera a figura ao lado,onde:
• G é um ponto do segmento de recta [BF];
• [ABGH] é um quadrado;
• [BCEF] é um quadrado;
• = 6 e = 2.
1.1. Qual é o comprimento da diagonal do quadrado [ABGH]?
Apresenta todos os cálculos que efectuares e indica o resultado arredondado às décimas.
1.2. Determina a área do quadrilátero [ACDG],sombreado a cinzento na figura.
Apresenta todos os cálculos que efectuares.
1.3. Como se designa o quadrilátero [ACDG]?
Não justifiques a tua resposta.
Teste Intermédio de Matemática – 8.º ano - Abril 2008
2. Num triângulo rectângulo,a hipotenusa mede 15 cm e um dos catetos 10 cm.
Calcula a medida do comprimento do outro cateto.
Apresenta os cálculos que efectuares e, na tua resposta, escreve o resultado na forma de valor
exacto.
3. Considera o triângulo rectângulo
em A.Determina:
3.1. a medida, em cm, dos comprimentos
dos lados.
3.2. a área do triângulo.
4. Observa a figura.
4.1. Determina o valor de a, com uma
casa decimal.
4.2. Determina o valor de x, arredondado
às unidades:
a) recorrendo aoTeorema de Pitágoras.
b) recorrendo à Trigonometria.
FG
AH

5. A figura representa uma sala de cinema.O João sentou-se no último lugar da última fila,assi-
nalado,na figura,pelo ponto A. O ângulo de vértice A é o seu ângulo de visão para o ecrã.
No cinema, as pessoas que se sentam no lugar em que o João está sentado devem ter um
ângulo de visão de, pelo menos, 26º, sendo o ideal 36º, para que possam ter uma visão clara
do filme.
Tendo em atenção as medidas indicadas na
figura, determina a amplitude do ângulo de
visão do lugar do João.
Na tua resposta, apresenta os cálculos que efec-
tuares e explica se a amplitude obtida permite
uma visão clara do filme.
6. Considera o triângulo equilátero [ABC].
Determina, recorrendo à Trigonometria, o com-
primento do lado do triângulo.Apresenta o resul-
tado arredondado às décimas.
7. Verdadeiro ou falso? Justifica.
7.1. O Teorema de Pitágoras é válido para qualquer
triângulo.
7.2. Um triângulo rectângulo pode ser isósceles.
7.3. Existe um ângulo agudo a,tal que,cos a = .
7.4. Qualquer que seja o ângulo agudo,a,
sen2
a + cos2
a = 1
7.5. No triângulo representado ao lado,x = 7 cm.
8. O Sr. Carlos pretende guardar ferros cujo comprimento varia entre 31 cm e 35 cm em cai-
xotes de madeira.Qual dos caixotes deverá escolher?
Justifica a tua opção,apresentado todos os cálculos que efectuares.
5
4
TESTE
2
©
t
60
A. B.

MÓDULO 13
©
t
61
1. A. 6 cm2
; B. 2,5 cm2
; C. 5,25 cm2
; D. 24 cm2
;
E. 56,25 m2
2. A. 15 cm2
; B. 15 cm2
; C. 78,5 cm2
3.
3.1. 7 cm 3.2. 49 cm2
4.
4.1. 12 cm2
4.2. 6 cm2
5.
5.1. 20 u.a. 5.2. 50 u.a.
6. Não.As figuras não têm a mesma área.
7. 91,5 u.a.
1. Catetos:[AB] e [BC] Hipotenusa:[AC]
2. O triângulo A 3. Não.52
+ 62
0 102
4. x 9 6,4 cm, y 9 4,4 cm 5. d 9 8,73 cm
6.
6.1. No caso II. O comprimento do maior lado é
igual à soma dos comprimentos dos outros
dois lados.
6.2. No caso I. 2,52
= 22
+ 1,52
(verifica o Teorema
de Pitágoras).
No caso III. 202
= 122
+ 162
(verifica o
Teorema de Pitágoras).
7. A = 24 cm2
8. A afirmação é falsa.O trapézio tem de altura
2 cm.
9. A 9 27,72 cm2
1.
1.1. 225 m 1.2. Aproximadamente 351,46 m
2.
2.1. 56 cm2
2.2. 14 cm
2.3. 9 14,6 cm
3. 19,8 cm 4. 18 cm2
5.
5.1. 6,4 cm 5.2. 8,6 cm 5.3. 32 cm
6. c = 6 cm e ’ = 3 cm
7.
7.1. Falso.Os polígonos não têm a mesma área.
7.2. Falso.132
0 122
+ 112
7.3. Falso.x2
= 52
- 42
8.
8.1. Trapézio escaleno 8.2. 26,6 cm
1.
1.1. [AG]; (p.e.) 1.2. [AC]; (p.e.)
1.3. 4,5 cm 1.4. 9,2 cm
2.
2.1. a) 7,62 cm;b) 9,11 cm; c) 21,73 cm;d) 142 cm2
TeoremadePitágorasnoEspaço
FICHA 4
AC
AplicaçõesdoTeoremadePitágoras
FICHA 3
TeoremadePitágoras
FICHA 2
Decomposiçãodefiguras
FICHA 1
3. 48 cm3
4.
4.1. ”ABC 4.2. 13,8 cm 4.3. ”AFH 4.4. 16,9 cm
5.
5.1. 128 cm3
5.2. 9,80 cm
6. A bandeira cabe na caixa B.
1. A.C.e F.
2.
2.1. Incompleta,c = 0.
2.2. Incompleta,b = 0 e c = 0.
2.3. Completa,b 0 0 e c 0 0.
3.
3.1. S = {- 10,10} 3.2. S = {0,2}
3.3. S = {- 1,3}
4.
4.1. x2
- 16x = 0
4.2. = 16 m; = 12 m e = 20 m
5.
5.2. 13 m 5.3. 54 m
6.
6.1. x2
- x - 2 = 0
6.2. Um cateto mede 2 cm e o outro 1 cm.
1. D 2. B
3. Não.142
0 92
+ 122
4. 0,003 m2
5.
5.1. 5 dm 5.2. 3 dm 5.3. 42 dm2
6.
6.1. 16,12 cm 6.2. 14 cm2
7. D 8. C 9. A
10. 14,7 m
11.
11.1. = 4; = 5 e = 3 11.2. a) 12; b) 6
1.
dois ângulos geometricamente iguais.
” BCA ] ” DCE e ” BAC ] ” DEC
1.2. 3 m e 2,25 m
2.
2.1. 4,24 cm 2.2. 1,5 cm 2.3. 7,24 cm
3.
3.1. 2 cm 3.2. 2,83 cm
4.
4.1. B 4.2.
1.
1.1. [AC]; [AB] 1.2. [PQ]; [QR]
2.
2.1. 10 cm 2.2. sen a = ;cos a = ;tg a =
4
3
3
5
4
5
Razõestrigonométricasdeumângulo
agudo
FICHA 8
œ40
Semelhançadetriângulos
FICHA 7
AC
BC
AB
Parairmaislonge
FICHA 6
AC
BC
AB
TeoremadePitágoraseasequaçõesdo
2.ºgrau
FICHA 5

©
t
62
2. B 3. 20 m
4. 0 5. a 9 53º
6. 0,82 m e 0,57 m
7.
7.1. 103,26 cm2
7.2. 127,26 cm2
7.3. 72 cm3
1.
1.1. 1,5 1.2. = 6 cm e = 4,5 cm
2.
2.1. 20,8 cm 2.2.
3. 5 m
4.
4.1. 37 m 4.2. 105º
5.
5.1. O Vítor respondeu correctamente.
5.2. A hipotenusa é sempre o maior lado,o que
elimina a opção B.
A C também não pode ser pois 10 > 3 + 6.
1.
1.1. a) [OL]; b) [OS]; c) [SL]
1.2. sen b = ; cos b = ; tg b =
2. a = 15 cm e b 9 11,3 cm
3.
3.1. cm 3.2. a) 0,8; b) 0,6; c) - 0,3
4. 64 cm2
5. 15 m
6. B 7. D
8.
8.1. Durante 4 horas.
8.2. 25 m
1.
1.1. 1.2. 66
1.3. Trapézio rectângulo.
2. cm
3.
3.1. = 8 cm; = 6 cm e = 10 cm
3.2. 24 cm2
4.
4.1. a 9 33,3º 4.2. a) x 9 36 cm; b) x 9 36 cm
5. a = 30º.O valor de a está compreendido
entre 26º e 36º,o que permite uma visão
clara do filme.
6. 4,6 cm
7.
7.1. F; o Teorema de Pitágoras é válido apenas
para triângulos rectângulos.
7.2. V; os dois catetos podem ter o mesmo com-
primento.
7.3. F; o valor do coseno de um ângulo não pode
ser superior a 1.
7.4. V; Fórmula Fundamental da Trigonometria.
7.5. F; x 9 6,4 cm
8. O caixote B.
BC
BA
AC
œ125
AG 9 8,5
Avaliação
TESTE 2
œ13
3
4
4
5
3
5
Avaliação
TESTE 1
3
2
EF
AC
Parairmaislonge
FICHA 11
3. 1
4.
4.1. 4.2. a) 0,78; b) 1,41
5.
5.1. 0,77 5.2. 0,4 5.3. 79º 5.4. 60º
6.
6.1. a 9 34º; b 9 56º
7.
7.1. a) ; b)
8.
8.1. F 8.2. V 8.3. F 8.4. V 8.5. V
9.
9.1. b 9 27º 9.2. 9,08 cm
10. = 12,5; AB̂C 9 53º e AĈB 9 37º
11.
11.3. (2 + ) r
12. a 9 70º
13.
13.1. 13.2. a) 8 cm; b) 8 cm
13.3. 9,465 cm
14. 3 m
1. Não existe a nestas condições.
sen2
a + cos2
a =
2.
3.
3.1. V.Fórmula Fundamental da Trigonometria.
3.2. F.tg 30º =
3.3. F.0 < sen a <1 3.4. F. b 9 27º
3.5. F.1,64 0 0,34
4. 84,2 m
5.
5.2. 1 5.3. cm
6. m å 7. C
8.
8.1. 8.2.
9.
9.1. 0,6
10. Existe,sen2
a + cos2
a =
11.
12.
12.1. a) a 9 24º; b) 1,4
12.2. a) cos a = ; b) tg a =
13. x = 4,5 cm e y = 7,5 cm
14. sen b = e cos b =
15. = 6 cm e 9 13,4 cm
16. 22 cm
17. 3,46 cm e 3,47 cm
1.
1.1. 13,5 cm 1.2. 353,25 cm3
Resoluçãodeproblemas
FICHA 10
BC
AB
3
5
4
5
2
œ21
œ21
5
œ2
2
2
4
+
2
4
=
4
4
= 1
4
3
3
5
41
2
, 13
œ50
sen 30º
cos 30º
8
3
1
9
+
4
9
=
5
9
0 1
Relaçõesentreasrazõestrigonométricas
FICHA 9
AB = 6,93 cm
œ2
BC
27
20
3
5
œ41

MÓDULO 14
©
t
63
Módulo 14
GEOMETRIA DO CÍRCULO
LIVRO: MATEMÁTICA APLICADA 4 CEF: TIPOS 2 E 3
N.º DE AULAS
(45 MIN)
UTILIZAÇÃO
DO LIVRO
O círculo:
perímetro e
área.
Ângulosao
centroe
rotações.
Amplitudese
comprimentos
• Reconhecer a importância do uso de figuras
envolvendo o círculo na resolução de problemas
que envolvam comprimentos,áreas ou volumes
de certas figuras planas e certos sólidos
• Conjecturar e reconhecer relações entre
elementos no círculo,em círculos iguais ou
diferentes,bem como entre respectivos
comprimentos de arcos e de cordas,amplitudes
de ângulos (e arcos)
• Identificar transformações geométricas e
relacionar geometria com situações em contexto
real
24
Ficha 1
Ficha 2
Ficha 3
Ficha 4
Ficha 5
Ficha 6
Ficha 9
Ficha 12
Referência a
sólidos de
revolução
• Reconhecer e analisar propriedades de figuras
geométricas e de sólidos de revolução
• Resolver problemas referentes a áreas e volumes
de sólidos de revolução
Ficha 11
Ângulos
inscritos.
Polígonos
inscritíveis
• Identificar ângulos inscritos
• Relacionar amplitudes de ângulos inscritos com
as amplitudes dos arcos correspondentes
• Determinar a soma das amplitudes dos ângulos
internos e a soma das amplitudes dos ângulos
externos de um polígono convexo
• Construir modelos para problemas que
dependam de círculos e polígonos (inscritíveis)
• Resolver problemas referentes a áreas de
polígonos
Ficha 4
Ficha 5
Ficha 6
Ficha 7
Ficha 8
Ficha 10
Ficha 12

Problema: Quanto mede a soma das amplitudes de dois ângulos opostos de um quadrilátero
inscrito numa circunferência?
1. Constrói uma circunferência de centro O.
2. Considera quatro pontos A,B,C e D sobre a circunferência.
3. No quadrilátero ABCD,mede dois ângulos opostos.
4. Regista os valores encontrados na tabela seguinte:
5. A seguir,repete o exercício marcando os pontos A,B,C e D em diferentes posições.
6. Enuncia com palavras tuas a propriedade geométrica que observaste.
Nota: Esta actividade pode ser efectuada com recurso a software dinâmico,por exemplo,Cabri
Géomètre ou o GSP (Geometer's Sketchpad).
AVALIAÇÃO
ACTIVIDADE PRÁTICA
©
t
64
Polígonos inscritíveis
NOME N.º TURMA
x
y
x
y

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