1. aula
01
D I S C I P L I N A2ª Edição
André Gustavo Campos Pereira
Joaquim Elias de Freitas
Roosewelt Fonseca Soares
Cálculo I
Limite de funções reais em um ponto
Autores

2. Copyright © 2007 Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorização expressa da
UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte.
Divisão de Serviços Técnicos
Catalogação da publicação na Fonte. UFRN/Biblioteca Central “Zila Mamede”
Governo Federal
Presidente da República
Luiz Inácio Lula da Silva
Ministro da Educação
Fernando Haddad
Secretário de Educação a Distância – SEED
Carlos Eduardo Bielschowsky
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Reitor
José Ivonildo do Rêgo
Vice-Reitora
Ângela Maria Paiva Cruz
Secretária de Educação a Distância
Vera Lúcia do Amaral
Secretaria de Educação a Distância- SEDIS
Coordenadora da Produção dos Materiais
Marta Maria Castanho Almeida Pernambuco
Coordenador de Edição
Ary Sergio Braga Olinisky
Projeto Gráfico
Ivana Lima
Revisores de Estrutura e Linguagem
Eugenio Tavares Borges
Jânio Gustavo Barbosa
Thalyta Mabel Nobre Barbosa
Revisora das Normas da ABNT
Verônica Pinheiro da Silva
Revisoras de Língua Portuguesa
Janaina Tomaz Capistrano
Sandra Cristinne Xavier da Câmara
Revisores Técnicos
Leonardo Chagas da Silva
Thaísa Maria Simplício Lemos
Revisora Tipográfica
Nouraide Queiroz
Ilustradora
Carolina Costa
Editoração de Imagens
Adauto Harley
Carolina Costa
Diagramadores
Bruno de Souza Melo
Dimetrius de Carvalho Ferreira
Ivana Lima
Johann Jean Evangelista de Melo
Adaptação para Módulo Matemático
André Quintiliano Bezerra da Silva
Kalinne Rayana Cavalcanti Pereira
Thaísa Maria Simplício Lemos
Colaboradora
Viviane Simioli Medeiros Campos
Imagens Utilizadas
Banco de Imagens Sedis - UFRN
Fotografias - Adauto Harley
Stock.XCHG - www.sxc.hu
Pereira, André Gustavo Campos
Cálculo I / André Gustavo Campos Pereira, Joaquim Elias de Freitas, Roosewelt Fonseca Soares. – Natal,
RN: EDUFRN Editora da UFRN, 2008.
220 p.
1. Cálculo. 2. Funções reais. 3. Reta real. 4. Funções compostas. I. Freitas, Joaquim Elias de. II
Soares, Roosewelt Fonseca. III. Título.
ISBN: 978-85-7273-398-4
CDD 515
RN/UF/BCZM 2008/12 CDU 517.2/.3

3. 2ª Edição Aula 01 Cálculo I
Apresentação
N
a disciplina de Pré-Calculo, você trabalhou da aula 8 à aula 15 com uma das
ferramentas mais importantes da Matemática: as funções. Viu por meio de exemplos
a sua importância, entendeu sua definição, estudou seu comportamento (crescimento
e decrescimento) e aprofundou tal estudo com exemplos mais importantes de funções: as
polinomiais, a exponencial, a logarítmica e as trigonométricas. Aprendeu, por exemplo, que
para saber o que acontece com a função
f : (1, 5) → R
x −→ 2x
no ponto 4 basta calcular
a imagem de 4, ou seja, calcular f(4) = 2.4 = 8, já que 4 ∈ (1, 5) = Df . Nesta aula, não
estaremos interessados em saber quem é f(4), mas o que acontece com a função quando
estamos “bem próximos de 4”. Vamos aprender sobre o limite de uma função.
Objetivos
Ao final desta aula, esperamos que você: tenha uma idéia sobre o significado do
limite de uma função em um ponto; saiba calcular alguns limites simples; e utilizar saiba
as propriedades de limites.

4. Aula 01 Cálculo I 2ª Edição
Limites de uma função real
O que lhe vem à cabeça quando alguém fala em limite?
Observe estes exemplos, quando você está querendo estudar cálculo e um amigo não
te deixa em paz, você olha para ele e diz “estou chegando no meu limite”, ou quando alguém
está enchendo um copo e o líquido vai se aproximando da borda, normalmente dizemos que
o líquido está chegando no limite do copo.
Nesses exemplos, o ponto limite foi atingido? Vamos verificar. Quando você falou com
seu amigo, já pulou no pescoço dele? Parece que não, ou seja, você não atingiu seu limite,
mas esteve próximo dele. No segundo exemplo, o líquido tinha subido até a borda do copo?
Ainda não, mas estava se aproximando dela.
Pois bem, quando falamos do limite de uma função em um ponto a , não estamos
ainda no ponto a, mas nos aproximando desse ponto. Em outras palavras: não estamos
falando de f(a) mas dos valores de f nos pontos bem próximos de a.
Antes de tudo precisamos entender direitinho o que significa “pontos bem próximos de
a”. Seja f : (b, c) → R uma função e a ∈ (b, c).
Observe o gráfico seguinte. Nele podemos nos aproximar de a por dois lados, tanto
pela direita, ou seja, por valores maiores que a, quanto pela esquerda, ou seja, por
valores menores que a.
Gráfico 1 - Significado geométrico de aproximação do ponto a, tanto pela esquerda quanto pela direita

5. 2ª Edição Aula 01 Cálculo I
Lembre-se de que num gráfico o ponto a do domínio é marcado no eixo das abscissas
e o valor f(a) é marcado no eixo das ordenadas, conforme a Figura 1. Assim, para saber o
que acontece com o f(x)quando x varia, assumindo valores próximos de a, precisamos
nos concentrar apenas no eixo y através da imagem de tais pontos pela f .
Vamos deixar a idéia de aproximar pela direita e pela esquerda mais clara. Usemos a
Figura 1 como referência: dizer que um ponto x se aproxima de a pela esquerda, significa
que x está assumindo valores cada vez mais próximos de a e sempre menores que a. Se
concordarmos em representar ∆x como uma quantidade positiva bem pequena, dizer, então,
que um ponto x se aproxima de a pela esquerda é dizer que x é da forma x = a − ∆x. E
“se aproximar” significa fazer esse valor ∆x ficar cada vez menor. De maneira análoga, dizer
que x se aproxima de a pela direita é dizer que x é da forma x = a + ∆x e, novamente,
“se aproximar” significa fazer esse valor ∆x ficar cada vez menor.
Assim, se queremos saber o que acontece com f(x) quando x se aproxima de a pela
direita, devemos estudar f(x) = f(a + ∆x) com o ∆x cada vez menor. E se queremos
saber o que acontece com f(x) quando x se aproxima de a pela esquerda, devemos
estudar f(x) = f(a − ∆x) com o ∆x cada vez menor.
Exemplo 1
Considere f : R → R dada por f(x) = x2 + 2 . O que acontece com f(x) quando x
se aproxima:
a) �������������������de 4 pela esquerda?
b) ������������������de 4 pela direita?
Solução
a) ������������������������������������Queremos estudar o que acontece com f(x) quando x se aproxima de 4 pela esquerda.
Devemos então considerar x = 4 − ∆x e observar se f(x) = f(4 − ∆x)se aproxima
de algum valor, à medida que ∆x fica cada vez menor. Calculemos, então:
f(x) = f(4 − ∆x) = (4 − ∆x)2 + 2 = 42 − 2.4.∆x + ∆x2 + 2
= 16 − 8∆x + ∆x2 + 2 = 18 − 8∆x + ∆x2.

6. Aula 01 Cálculo I 2ª Edição
Atividade 1
Façamos agora o ∆x ficar pequeno.
∆x = 0.1 − f(4 − ∆x) = 18 − 8.0.1 + (0.1)2 = 17.210000000000
∆x = 0.01 − f(4 − ∆x) = 18 − 8.0.01 + (0.01)2 = 17.920100000000
∆x = 0.001 − f(4 − ∆x) = 18 − 8.0.001 + (0.001)2 = 17.992001000000
∆x = 0.0001 − f(4 − ∆x) = 18 − 8.0.0001 + (0.0001)2 = 17.999200010000
∆x = 0.00001 − f(4 − ∆x) = 18 − 8.0.00001 + (0.00001)2 = 17.999920000100
∆x = 0.000001 − f(4−∆x) = 18−8.0.000001+(0.000001)2 = 17, 999992000001
Note que f(4 − ∆x) está ficando cada vez mais próximo de 18.
b) ������������������������������������Queremos estudar o que acontece com f(x) quando x se aproxima de 4 pela direita.
Devemos então considerar x = a + ∆x e observar se f(x) = f(4 + ∆x) se aproxima
de algum valor, à medida que ∆x fica cada vez menor. Calculemos, então:
f(x) = f(4+∆x) = (4+∆x)2+2 = 42−2.4.∆x+∆x2+2 = 16+8∆x+2 = 18+8∆x.
Façamos agora o ∆x ficar pequeno.
∆x = 0.1 − f(4 + ∆x) = 18 + 8.0.1 + (0.1)2 = 18.810000000000
∆x = 0.01 − f(4 + ∆x) = 18 + 8.0.01 + (0.01)2 = 18.080100000000
∆x = 0.001 − f(4 + ∆x) = 18 + 8.0.001 + (0.001)2 = 18.008001000000
∆x = 0.0001 − f(4 + ∆x) = 18 + 8.0.0001 + (0.0001)2 = 18.000800010000
∆x = 0.00001 − f(4 + ∆x) = 18 + 8.0.00001 + (0.00001)2 = 18.000080000100
∆x = 0.000001 − f(4 + ∆x) = 18 + 8.0.000001 + (0.000001)2 = 18.000008000001
Note que f(4 + ∆x) está ficando cada vez mais próximo de 18.
Agora é sua vez!!!
Considere f : R → R dada por f(x) = x2 + 2x + 4. O que acontece com
f(x) quando x se aproxima:
a) �������������������de 1 pela esquerda?
b) ������������������de 1 pela direita?

7. 2ª Edição Aula 01 Cálculo I
Muito bem, agora que já temos a idéia do que significa f(x) se aproximar de algum
valor quando x se aproxima de um ponto dado, estamos prontos para entender as definições
de limite à direita, limite à esquerda e limite de uma função.
Definição 2
Seja f : A → R uma função e a ∈ R tal que existe um intervalo
(c, a), (a, d) ⊂ A. Dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a pela direita
é igual a L, se ao tomarmos 0 ∆x d − a e, de todas as formas
possíveis, o fizermos se aproximar de zero, obtermos que f(a + ∆x) se
aproxima de L. Chamamos L de limite de f(x) quando x tende a a
pela direita e denotamos isso por lim
x→a+
f(x) = L.
Definição 1
Seja f : A → R uma função e a ∈ R tal que existe um intervalo (c, a) ⊂ A.
Dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a pela esquerda é igual
a L, se ao tomarmos 0 ∆x a − c e, de todas as formas possíveis, o
fizermos se aproximar de zero, obtermos que f(a + ∆x) se aproxima de L.
Chamamos L de limite de f(x) quando x tende a a pela esquerda e denotamos
por lim
x→a−
f(x) = L.
Definição 3
Seja f : A → R uma função e a ∈ R tal que existam intervalos
(c, a), (a, d) ⊂ A. Dizemos que o limite def(x) quando x tende a a é igual a
L, se os limites à esquerda e à direita de f(x) quando x tende a a, existem e
são iguais a L. A esse valor comum chamamos o limite de f(x) quando x tende
a a, e denotamos por
lim
x→a+
f(x) = lim
x→a−
f(x) = L = lim
x→a
f(x).

8. Aula 01 Cálculo I 2ª Edição
Algumas explicações se fazem necessárias neste momento.
n Por que na primeira definição precisamos que ter 0 ∆x a − c ?
Para garantirmos que a − ∆x com ∆x pequeno pertence ao domínio da f e podermos
assim calcular a imagem destes pontos f(a − ∆x) sem problemas.
n ��������������������������������������������������������Por que a frase: de todas as formas possíveis que fizer ∆x se aproximar de zero,
obtermos que f(a − ∆x) se aproxima de L.
Porque pode acontecer que ao fazermos ∆x se aproximar de zero da seguinte
maneira:
∆x = 0.1, ∆x = 0.01, ∆x = 0.001, ∆x = 0.0001, ∆x = 0.00001, ∆x = 0.000001,
. . .
f(a − ∆x) se aproxima de L
E ao fazermos ∆x se aproximar de zero da seguinte maneira:
∆x = 1/2, ∆x = 1/4, ∆x = 1/8, ∆x = 1/16, ∆x = 1/32, ∆x = 1/64, . . .
f(a − ∆x) se aproxima de L1
com L1 = L.
QuandotalsituaçãoocorrenãopodemosdizerqueolimiteàesquerdaéigualaL.Naverdade
quando tal situação ocorre dizemos que não existe o limite à esquerda e conseqüentemente
não existirá o limite, pois, pela definição de limite, precisamos que os limites laterais existam e
sejam iguais. Como um deles não existe, a definição de limite não é satisfeita.
Exemplo 2
Seja f : (−∞, 0) → R definida por f(x) = sen
π
x

. Verifique se existe ou não o
limite à esquerda no ponto x = 0.
Primeiramente, note que não podemos substituir o ponto x = 0 na expressão da função,
uma vez que a função não está definida no ponto 0 (esse ponto não pertence ao domínio da f).
Consideremos duas maneiras de ∆x se aproximar de zero.
1ª Maneira
∆x =
1
2
,
1
4
,
1
8
,
1
16
,
1
32
, . . . para esses valores, temos
f(0 − ∆x) = f(−∆x) = sen

π
−∆x

=
= sen(−2π), sen(−4π), sen(−8π), sen(−16π), sen(−32π), . . .
f(0 − ∆x) = f(−∆x) = sen

π
−∆x

=
= sen(−2π), sen(−4π), sen(−8π), sen(−16π), sen(−32π), . . .

9. 2ª Edição Aula 01 Cálculo I
Note que cada um desses valores é igual a zero, portanto temos que f(0 − ∆x) se
aproxima de (na verdade, é igual a) 0.
2ª Maneira
∆x =
2
3
,
2
7
,
2
11
,
2
15
,
2
19
, . . . para esses valores temos
f(0 − ∆x) = f(−∆x) = sen

π
−∆x

=
sen

−
3π
2

, sen

−
7π
2

, sen

−
11π
2

, sen

−
15π
2

, sen

−
19π
2

, . . .
Note que cada um desses valores é igual a um, portanto temos que f(0 − ∆x) se
aproxima de (na verdade, é igual a) 1.
Ou seja, maneiras diferentes de se aproximar de x = 0 está nos levando a f(0 − ∆x)
se aproximando de valores diferentes. Ou melhor, não estamos tendo f(0 − ∆x) se
aproximando sempre do mesmo valor independentemente da maneira como ∆x se
aproxima de zero. Portanto pela definição, temos que o limite à esquerda não existe, pois,
caso existisse, teríamos que ter que f(0 − ∆x) se aproximando sempre do mesmo valor
independentemente da maneira como ∆x se aproxima de zero.
Mas, então, nunca conseguiremos calcular um limite, uma vez que teremos que testar
todas as maneiras possíveis de ∆x se aproximar de zero?
Calma, não precisa ficar nervoso!!!
Os casos em que não existe o limite é que são complicados; quando o limite existe,
esses cálculos não são, em geral, tão difíceis e alguns argumentos nos asseguram que não
precisaremos passar o resto da vida fazendo ∆x se aproximar de zero de todas as formas
possíveis. Vejamos alguns exemplos para constatar o que acabamos de dizer.
Exemplo 3
Verifique se o limite lateral à direita de f : R → R definida por f(x) = x2 + 3 no
ponto 2 existe. Caso exista, calcule-o.
Solução
Vamos lá, queremos saber se os limites laterais existem, comecemos com limite lateral
à direita. Para mostrar que o limite lateral à direita existe, precisamos fazer ∆x se aproximar
de zero e verificar o que ocorre com f(2 + ∆x). Calculemos f(2 + ∆x).
f(2 + ∆x) = (2 + ∆x)2 + 3 = 4 + 4∆x + ∆x2 + 3 = 7 + 4∆x + ∆x2

10. Aula 01 Cálculo I 2ª Edição
Atividade 2
1
2
Neste ponto é que precisamos garantir que qualquer que seja a forma pela qual ∆x se
aproxime de zero, f(2 + ∆x) sempre se aproximará de um mesmo valor.
Aqui, entra em ação dois argumentos simples:
n primeiro argumento: se posso fazer uma quantidade tão pequena quanto eu queira,
então, qualquer múltiplo dessa quantidade também pode ser feito tão pequeno quanto
eu queira, ou seja, se ∆x se aproxima de zero, então, K∆x também se aproxima de
zero, sendo K uma constante fixa;
n segundo argumento: se posso fazer uma quantidade tão pequena quanto eu queira,
então, qualquer potência dessa quantidade também pode ser feita tão pequena quanto
eu queira, ou seja, se ∆x se aproxima de zero, então, ∆xn também se aproxima de
zero, para qualquer n natural.
Com esses argumentos em mente, podemos afirmar que qualquer que seja a maneira
pela qual ∆x se aproxime de zero, temos que 4∆x + ∆x2 também se aproxima de zero,
o que implica f(2 + ∆x) = 7 + 4∆x + ∆x2 se aproximar de 7. Como esse argumento
vale, qualquer que seja a forma pela qual ∆x se aproxime de zero, temos então, pela nossa
definição, que o limite à direita de f no ponto x = 2 existe e vale 7, ou seja,
lim
x→2+
f(x) = 7
Use os argumentos anteriormente enunciados para garantir que o
limite à esquerda também existe e calcule-o. Verifique ainda se o
limite de f no ponto x = 2 existe.
Considere a função f : (−∞, 0) ∪ (0, ∞) → R definida por
f(x) =
|x|
x
. Verifique se os limites laterais no ponto x = 0 existem;
em caso afirmativo, calcule-os. Verifique se também existe o limite
no ponto x = 0.

11. 2ª Edição Aula 01 Cálculo I
Atividade 3
Propriedades
Sejam f, g : A → R e a ∈ R tais que existem lim
x→a−
f(x) = L e lim
x→a−
g(x) = M .
Então, vale:
a) lim
x→a−
(f(x) + g(x)) = lim
x→a−
f(x) + lim
x→a−
g(x) = L + M ;
b) lim
x→a−
(f(x) − g(x)) = lim
x→a−
f(x) − lim
x→a−
g(x) = L − M ;
c) lim
x→a−
(f(x) · g(x)) =

lim
x→a−
f(x)

·

lim
x→a−
g(x)

= L · M;
d) Se lim
x→a−
g(x) = M = 0, então, vale lim
x→a−
f(x)
g(x)
=
lim
x→a−
f(x)
lim
x→a−
g(x)
=
L
M
;
e) lim
x→a−
(Kf(x)) = K

lim
x→a−
f(x)

= K · L, sendo K uma constante.
Essa mesmas propriedades valem para o caso de limite à direita e limite no ponto a ∈ R .
Enuncie as propriedades para os casos de limite à direita e limite no ponto a ∈ R .
Está ficando cada vez mais fácil, não é?

12. Aula 01 Cálculo I 2ª Edição10
Atividade 4
Exemplo 4
Seja f : A → R definida por f(x) = K para todo x ∈ A, ou seja, f é a função
constante igual a K, e a ∈ R é tal que existem intervalos (c, a), (a, d) ⊂ A. Calcule os
limites laterais de f no ponto a, caso existam, e verifique se f possui limite nesse ponto.
Solução
Vamos lá, queremos saber se os limites laterais existem; comecemos com limite lateral à
direita no ponto a. Para mostrar que o limite lateral à direita no ponto a existe, precisamos fazer
∆x se aproximar de zero e verificar o que ocorre com f(a + ∆x). Calculemos f(a + ∆x).
f(a + ∆x) = K
Neste ponto, é que precisamos garantir que qualquer que seja a forma pela qual ∆x se
aproxime de zero, f(a + ∆x) sempre se aproximará de um mesmo valor.
Ora, note que qualquer que seja o valor de ∆x temos que f(a + ∆x) = K , ou seja,
f(a + ∆x) já é um valor específico (não se aproxima), assim, temos que o limite lateral à
direita no ponto a existe e vale K.
Mostre que o limite lateral à esquerda no ponto a existe e também vale 3.
Conclua com isso que o limite no ponto a também existe e vale K.
Exemplo 5
Seja f : A → R definida por f(x) = x para todo x ∈ A, e seja a ∈ R tal que existem
intervalos (c, a), (a, d) ⊂ A. Calcule o limite lateral à direita de f no ponto a.
Solução
Vamos lá, queremos saber se os limites laterais existem; comecemos, então, com o
limite lateral à direita no ponto a. Para mostrar que o limite lateral à direita no ponto a

13. 2ª Edição Aula 01 Cálculo I 11
Atividade 5
existe precisamos fazer ∆x se aproximar de zero e verificar o que ocorre com f(a + ∆x).
Calculemos f(a + ∆x).
f(a + ∆x) = a + ∆x.
Neste ponto, é que precisamos garantir que, qualquer que seja a forma de ∆x se
aproximar de zero, f(a + ∆x) sempre se aproximará de um mesmo valor.
Note entretanto que qualquer que seja a forma pela qual ∆x se aproxime de zero, a
quantidade a + ∆x se aproxima de a. Dessa forma, temos então que o limite lateral à direita
no ponto a existe e vale a.
Mostre que o limite lateral à esquerda no ponto a existe e também vale a.
Conclua com isso que o limite no ponto a também existe e vale a.
Exemplo 6
Com base nos exemplos anteriores, mostre que se f : A → R é definida por
f(x) = Kx + B para todo x ∈ A, e a ∈ R é tal que existem intervalos (c, a), (a, d) ⊂ A ,
então, os limites laterais existem e o limite também existe.
Solução
Se definirmos g, h : A → R por g(x) = x e h(x) = B, temos então que
f(x) = Kx + B = Kg(x) + h(x). Pelos exemplos anteriores já vimos que lim
x→a−
g(x) = a
e lim
x→a−
h(x) = B e, pelas propriedades, temos que lim
x→a−
(Kg(x)) = K

lim
x→a−
g(x)

= K · a
K

lim
x→a−
g(x)

= K · a , portanto,
lim
x→a−
(Kg(x) + h(x)) = lim
x→a−
Kg(x) + lim
x→a−
h(x) = Ka + B
.

14. Aula 01 Cálculo I 2ª Edição12
Graficamente,arepresentaçãodelimiteemumponto a ∈ R éaseguinte:secaminharmos
sobre o gráfico da função da forma(0 + ∆x, f(0 + ∆x)), ou da forma(0 − ∆x, f(0 − ∆x)),
ambas com ∆x se aproximando de zero, chegaremos ao mesmo ponto. Ou seja, se
considerarmos a distância entre esses dois pontos (vista em Geometria Analítica e Números
Complexos), essa distância se aproxima de zero quando ∆x se aproxima de zero.
E este ponto comum será justamente o (a, f(a)),certo?
Note que na definição de limite não pedimos que o ponto a, para o qual calculamos o
limite, faça parte do domínio, ou seja, pode acontecer de não existir f(a).
Você deve estar pensando: “Agora complicou tudo de vez!”.
Não complicou nada, analise os exemplos gráficos abaixo e veja como é simples.
Exemplo 7
Considereafunção f : R → R definidapor f(x) =



−1 x 0
0 x = 0
1 x 0
. Seesboçarmos
o gráfico dessa função, temos:
Gráfico 2
Para mostrar que o limite lateral à direita no ponto a = 0 existe, precisamos fazer ∆x se
aproximardezeroeverificaroqueocorrecom f(0 + ∆x).Calculemos f(0 + ∆x) = f(∆x).
Note que ∆x 0, logo, f(∆x) = 1.
Neste ponto, precisamos garantir que, qualquer que seja a forma de ∆x se aproximar de
zero, f(∆x) sempre se aproximará de um mesmo valor. Ora, sabemos que ∆x se aproxima
de zero e que é diferente de zero, certo? Mas se ∆x é diferente de zero e é positivo, então
f(∆x) = 1, pela própria definição da função. Assim, independentemente da forma pela qual

15. 2ª Edição Aula 01 Cálculo I 13
Atividade 6
∆x se aproxima de zero, temos f(∆x) = 1, ou seja, f(0 + ∆x) = 1 assume um valor que
não muda com a variação de ∆x, logo o limite à direita existe e é igual a 1.
Mostre que o limite à esquerda no ponto a = 0 existe e é igual a -1.
Como o limite à direita no ponto a = 0 é diferente do limite à esquerda no ponto a = 0,
concluímos que não existe o limite da função no ponto a = 0.
Podemos também concluir a não existência desse limite observando o que acontece
com a distância entre os pontos (a + ∆x, f(a + ∆x)) e (a − ∆x, f(a − ∆x)), à medida
que ∆x se aproxima de zero (Gráfico 3).
Gráfico 3
A distância entre os pontos (a + ∆x, f(a + ∆x)) e (a − ∆x, f(a − ∆x)) é:
d ((0 + ∆x, f(0 + ∆x)), (0 − ∆x, f(0 − ∆x))) = d((∆x, f(∆x)), (−∆x, f(−∆x))) =

(∆x − (−∆x))2 + (f(∆x) − f(−∆x))2 =

4∆x2 + (1 − (−1)) =
√
4∆x2 + 4 =

4(∆x2 + 1) = 2
√
∆x2 + 1 .
A quantidade final anterior é sempre maior que 2, pois ∆x2 + 1 é sempre maior
que 1 e, conseqüentemente, sua raiz também é maior que 1. Ou seja, a distância entre os

16. Aula 01 Cálculo I 2ª Edição14
Atividade 7
1
2
pontos (0 + ∆x, f(0 + ∆x)) e (0 − ∆x, f(0 − ∆x)) não se aproxima de zero quando
∆x tende a zero, logo o limite não existe, como já tínhamos comprovado analiticamente
(por meios de cálculos).
Note que outra coisa interessante aconteceu nesse exemplo: os limites laterais existiram,
mas nenhum deles foi igual ao valor da função no ponto a = 0, que vale f(0) = 0 . Ou seja,
mesmo que os limites laterais existam, nenhum deles é obrigatoriamente igual ao valor da
função no ponto (quando esta estiver definida no ponto).
Dados as funções e seus gráficos a seguir, verifique se os limites laterais nos
pontos pedidos existem. Em caso afirmativo, calcule-os. Baseado nos limites
laterais, verifique se o limite no ponto dado existe. Caso exista, verifique se o
limite coincide com o valor da função no ponto dado.
O ponto: a = 0. A função f : R → R definida por f(x) = x2
.
Gráfico 4
O ponto: a = 0. A função f : R → R definida por
f(x) =

x2 x = 0
1 x = 0
.

17. 2ª Edição Aula 01 Cálculo I 15
3
-3
3
3
Gráfico 5
O ponto: a = 3. A função f : R → R definida por
f(x) =

−x x 3
x x ≥ 3
Gráfico 6

18. Aula 01 Cálculo I 2ª Edição16
Resumo
1
2
Nesta aula, vimos que existem duas formas de nos aproximarmos de um ponto
na reta: por valores menores (à esquerda) ou por valores maiores (à direita).
Tais formas de aproximação nos levaram à definição de limites laterais com os
quais pudemos definir o limite de uma função real quando nos aproximamos
do ponto em estudo. Vimos que o limite pode ser calculado inclusive em pontos
nos quais a função não está definida e que, quando tratamos de limites, estamos
interessados no valor da função em pontos próximos do ponto em estudo e não
no ponto em si.
Auto–avaliação
Sabemos que, na maioria das vezes, uma função representa um fenômeno físico
que está sendo estudado. Você conseguiria imaginar um fenômeno cujos limites
laterais em algum ponto fossem diferentes? Iguais? Iguais, mas diferentes da
função no ponto em questão?
Você conseguiria imaginar um fenômeno cujos limites laterais não existissem? Ou
existissem, mas a função não fosse definida no ponto em questão?
Referências
ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. 1 v.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. 1 v.

19. EMENTA
n André Gustavo Campos Pereira
n Joaquim Elias de Freitas
n Roosewelt Fonseca Soares
A reta real. Funções reais. Limite e proximidade. Continuidade. Taxa de variação. Derivada. Aplicações da derivada
(problemas de máximo e mínimo, aplicações da derivada em Física, Química, Ecologia, Economia). O processo de
integração; A integral definida. Integral indefinida. Técnicas de integração. Aplicações da integral (área de superfícies
de revolução, volume de sólidos de revolução, comprimentos de curvas, trabalho, centros de gravidade). Equações
diferenciais de primeira ordem. Equações diferenciais autônomas. Um panorama da história do cálculo.
Cálculo I – INTERDISCIPLINAR
AUTORES
AULAS
2ºSemestrede2008Impressopor:Texform
01 Limite de funções reais em um ponto
02 Funções contínuas
03 Taxa de variação
04 A Derivada
05 Derivadas de funções compostas
06 Aplicações da derivada
07 Mais aplicações – Gráficos de funções
08 A primitiva
09 Mais primitivas e as somas de Riemann
10 A integral definida
11 Propriedades da integral definida e técnicas de integração
12 Mais técnicas de integração e a integral imprópria