Apresentação de Logarítmo como uma função entre uma P.A e uma P.G.

1. LOGARITMOS José Carlos M. de Araújo

2. Logaritmos Na metade do século XVI, em 1544, o matemático alemão Michael Stifel(1487 - 1567) em sua obra "Arithmética integra", chamava a atenção para as relações entre as progressões aritmética e geométrica. Stifel abre caminho para a criação de um novo conceito: o conceito de logaritmo. Em sua exposição ele apresentava uma breve tabela logarítmica. Michael Stifel 1487 - 1567

3. Logaritmos No século seguinte (séc. XVII), o escocês John Napier, possivelmente apoiado nos trabalhos de Stifel, publicava em 1614 seu sistema de logaritmos. Seu trabalho teve sucesso imediato e o colocou na condição de criador do logaritmo. A palavra logaritmo significa “número de razão”, e foi adotada por Napier depois dele ter usado a expressão “número artificial”. John Napier 1550 - 1617

4. O método de Napierbaseava-se narelaçãoqueexisteentre ostermos de umaProgressãoGeométrica, definidapor an = bn, e a ProgressãoAritmética, an = n. an = bn b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 ... bm ... bp ... bm+p... bn an = n 1 2 3 4 56 7 ... m ... p ... m+p ... n Oproduto de doistermosdaprimeiraprogressão, estáassociadaa soma dos termoscorrespondentesnasegundaprogressão.

5. O método de Napierbaseava-se narelaçãoqueexiste entre ostermos de umaProgressãoGeométrica, definidapor an = bn, e a ProgressãoAritmética, an = n. x x an = bn b2 b1 b3 b4 b5 b6 b7 ... bn ... bm ... bp ... bm+p an = n 2 1 3 4 5 6 7 ... n ... m ... p ... m+p + + Oproduto de doistermosdaprimeiraprogressão, estáassociada a soma dos termoscorrespondentesnasegundaprogressão.

6. Consideremos a P.G. definidapor an = 2n e a P.A. an = n. ? an = 2n 4 2 8 16 32 64 128 256 512 1024 ... (2m).(2p) an = n 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 ... m+p Os logaritmoscomoinstrumento de cálculosurgirampararealizarsimplificações, umavezquetransformammultiplicações e divisõesnasoperaçõesmais simples, soma e subtração.

7. Consideremos a PG de razão q = 0,9: 0,9n Log0,9 0,729 Log0,9 0,387 Log0,9 0,531 n + Observe que, quanto menor é a razão da P.G., menor será a distância entre dois de seus elementos. O logaritmo de um número entre dois elementos da P.G. será obtido por interpolação.

8. Napier construiuuma P.G. definidapor : an = Napier optou por essa razão para que os números da Progressão Geométrica estivessem bem próximos. Assim, ao usar interpolação e preencher as lacunas entre os termos na correspondência estabelecida, evitaria erros muito grosseiros.

9. HENRY BRIGGS 1551-1630 JOST BURGI1552-1632 Em 1624, Briggs publicou uma tabela com os logaritmos de base 10, do número 1 ao número 20.000 e de 90.000 a 100.000, com até 14 casas decimais. JostBurgi, um construtor de instrumentos, concebeu e construiu uma tábua de logarítmos independente de Napier, seis anos depois dele. Curiosamente, os logarítmos foram descobertos antes de se usarem expoentes.

10. Antes dos logaritmos, a simplificação das operações era realizada através das conhecidas relações trigonométricas, que relacionam produtos com somas ou subtrações. 2.sen A.cos B = sen(A+B) + sen(A – B) 2.cos A.sen B = sen(A+B) – sen(A – B) 2.sen A.cos B = cos(A – B) – cos(A+B) Fórmulas de Johannes Werner (1468-1528) Esse processo de simplificação das operações envolvidas passou a ser conhecido como PROSTAFÉRESE, sendo largamente utilizado numa época em que as questões relativas à navegação e à astronomia estavam no centro das atenções.

11. Como determinar o produto P = (0,78) . (0,157)? 2.sen A . cos B = sen(A+B) + sen(A – B) Na máquina de calcular... 0,78 x 0,157 = 0,12246 Portanto, A + B = 103,9254 e A – B = - 58,0166 cos B = 0,157 B = arc cos 0,157 B = 80,971 2.sen A = 0,78 sen A = 0,39 A = arc sen 0,39 A = 22,9544 Como, o sen (A+B) = 0,9706 e o sen (A- B) = - 0,8482 (0,78) . (0,157) = 0,9706 – 0,8482 = 0,1224

12. A invenção de Napier foi adotada por toda a Europa e sua divulgação teve a participação de: Cavalieri, na Itália Johann Kepler, na Alemanha Edmund Wingate, na França Em 1628, Dutcham Adrian Vlacq, publicou uma tábua dos logaritmos comuns com 10 casas decimais, preenchendo o intervalo entre 20.000 a 90.000 e que constituiu a base para as tábuas de logaritmos dos três séculos seguintes.

13. Hoje, entendemos Logarítmo como uma função real entre uma progressão geométrica de razão b e uma progressão aritmética de razão 1. Escrevemos:y = logb x Onde 0 < b  1 é a base do sistema. exponencial logarítmica exponencial logarítmica a > 1 0< a < 1

14. Profeticamente, Napier também escreveu sobre várias máquinas de guerra infernais, acompanhando seus escritos de projetos e diagramas. Previu que no futura desenvolver-se-ia uma peça de artilharia que “poderia eliminar de um campo de quatro milhas de circunferência todas as criaturas vivas que excedessem um pé de altura”, que se produziriam “dispositivos para navegar debaixo d´água” e que se criaria um carro de guerra com uma boca que se acenderia para “espalhar a destruiçãso por todas as partes”. A metralhadora, o submarino e o tanque de guerra, respectivamente, vieram concretizar esses vaticínios na Primeira Guerra Mundial. 1550 - 1617 Fontes; EVES, H. .Introdução à História da Matemática.- trad de Hygino H. Domingues, Editora da UNICAMP, 1995. BOYER, C. .História da Matemática. - trad. de Elza Gomide, Ed. Edgard BlücherLtda, São Paulo, 1974. José Carlos M. de Araújo