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Teorema de Pitágoras:
No Egito antigo utilizava-se uma curiosa
ferramenta nas construções e também na divisão
das terras. Era uma corda com treze nós
igualmente espaçados. Essa corda quando esticada
nas proporções 3, 4 e 5 formava um triângulo
retângulo.
Mais tarde um grego chamado Pitágoras,
contemplando esse triângulo tão especial
percebeu uma relação entre os lados desse
triângulo. Pitágoras desenhou um quadrado em
cada um dos lados desse triângulo e dividiu esses
quadrados em quadrados menores de tamanho
exatamente igual.
O quadrado de lado 3 foi redesenhado com 9
quadradinhos. O quadrado de lado 4 foi
redesenhado com 16 quadradinhos, e o quadrado
com lado 5 com 25 quadradinhos. Pitágoras
observou que a soma dos quadradinhos dos lados
menores era igual à quantidade de quadradinhos
do lado maior pois:
Pitágoras percebeu que essa relação entre os lados
era válida para qualquer triângulo retângulo. Por
exemplo, o triângulo que temo como lados 6, 8 e
10.
O maior lado de um triângulo retângulo é chamado
de hipotenusa, e sempre será oposto ao ângulo de
90º. Os outros dois lados formarão o ângulo de 90º
e são chamados de catetos.
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Assim para um triângulo retângulo qualquer
chamaremos a hipotenusa de a os dois catetos de
b e c. Assim pela ideia de Pitágoras teremos:
Em um triângulo retângulo, sempre que tivermos o
valor de dois dos três lados, conseguimos calcular
o terceiro lado pelo teorema de Pitágoras.
Exemplos:
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EXERCÍCIOS:
1. Aplicando o Teorema de Pitágoras, determine a
medida x indicada em cada um dos triângulos:
2. No quadro estão indicadas as medidas dos lados
de alguns triângulos. Utilizando o Teorema de
Pitágoras, verifique quais deles são triângulos
retângulos.
Triângulo Medida do lado (cm)
a b c
I 6 4 3
II 12,5 12 3,5
III 15 12 8
IV 37 35 12
3. Na figura tem-se que e F é o ponto
médio do lado do retângulo BCDE.
( significa congruentes; mesma medida)
Determine:
a) A medida x indicada na figura.
b) A área do retângulo BCDE.
4. Considerando a figura, determine:
a) a medida a;
b) a medida b;
c) a medida c;
d) o perímetro do trapézio MNPQ.
5. Um Para ir de sua casa até o ponto de ônibus,
uma pessoa anda 120 m em linha reta até uma
esquina, dobra a esquerda numa rua perpendicular
e anda mais 160m. Mas, se trocar de caminho, ela
pode seguir por um terreno baldio que separa sua
casa do ponto de ônibus e fazer esse trajeto em
linha reta. Quantos metros ela andará da sua casa
até o ponto de ônibus, se for terreno baldio?
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6. Um terreno triangular tem frentes de 12 m
e 16 m em duas ruas que formam um
ângulo de 90º. Quanto mede o terceiro lado
desse terreno?
7. O portão da entrada de uma casa tem 4m
de comprimento e 3 m de altura. Qual a
medida da trava de madeira que se estende
do ponto A ao ponto C, conforme figura?
8. Durante um incêndio em um edifício de
apartamentos, os bombeiros utilizaram uma
escada Magirus de 10m para atingir a
janela do apartamento incendiado. A
escada estava colocada a 1m do chão,
sobre um caminhão que se encontrava 6m
do edifício. Qual é altura desse apartamento
em relação ao chão?
9. Quantos metros de fio são necessários para
ligar os fios de um poste de 6 m de altura
até a caixa de luz que está ao lado da casa
e a 8m da base do poste?
10. Na figura, a área do quadrado Q1 é 900
unidades e a área do quadrado Q3 é 324
unidades. Qual a área do quadrado Q2?
11. O triângulo BCD ao lado é eqüilátero.
Determine o perímetro do:
a) Triângulo BCD.
b) Quadrilátero ABCD.
12. Na figura ao lado tem-se que .
Nessas condições, determine a medida dos
segmentos e .
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13. Determine as medidas x e y indicadas na
figura ao lado.
14. Considere a figura e determine o perímetro
do:
a) Quadrado ABGF;
b) Quadrado BCDE;
c) Polígono ABCDEF
15. Determine as medidas x e h indicadas na
figura ao lado.
16. No triângulo isósceles ABC, os lados e
medem 40 cm e a base mede 48 cm.
Determine a medida h da altura relativa à
base.
17. Em um losango, as diagonais cortam-se
mutuamente ao meio, ou seja, o ponto de
encontro das diagonais é o ponto médio de
cada diagonal. No losango PQRS, a diagonal
maior mede 80 cm, e a diagonal menor
mede 18cm. Nessas condições calcule:
a) a medida x do lado do losango.
b) O perímetro do losango.
18. A figura ao lado é um trapézio retângulo. Nela,
as medidas estão indicadas em centímetros.
Determine a medida:
a) x do lado ;
b) y da diagonal .
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19. Três cidades, A, B, e C, são interligadas por
estradas conforme o esquema. As estradas AB
e BC são asfaltadas e AC deverá ser asfaltada
em breve. Sabendo que AB tem 30 km e BC
310 km, e supondo as três estradas são
retas, quantos quilômetros terá a estrada AC?
20. Um terreno tem a forma do quadrilátero ABCD
da figura ao lado. Uma medição feita nesse
terreno mostra, em metros, as medidas
encontradas. Qual o perímetro desse terreno?
21. Dois navios partem de um mesmo ponto, no
mesmo instante, e viajam com velocidade
constante em direções que formam um ângulo
reto entre si. Depois de uma hora de viagem a
distância entre os navios é de 13 milhas. Se
um deles é 7 milhas por hora mais rápido que o
outro, determine a velocidade de cada navio.
22. Uma árvore foi quebrada pelo vento e a parte
do tronco que restou em pé forma um ângulo
reto com o solo. Se a altura da árvore antes de
se quebrar era de 9m, e sabendo que a ponta
da parte quebrada está a 3m da base da
árvore, qual a altura do tronco da árvore que
restou em pé?
GABARITO
1.
a) 35
b) 7
c) 64
d) 52
e) 2
f) 40
2.
I) Não é triângulo retângulo.
II) É triângulo retângulo.
III) Não é triângulo retângulo
IV) É triângulo retângulo
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3.
a) x = 6
b) P = 36
4.
a) a = 20
b) b = 80
c) c = 10
d) P = 28
5. 200 m
6. 20 m
7. 5 m
8. 9 m
9. 10 m
10. 576 unidades
11.
a) P = 45
b) P = 51
12.
512
20


AD
AB
13. x = 5 e y = 13
14.
a) P = 32
b) P = 56
c) P = 68
15. x = 7 e h = 24
16. h = 32
17.
a) x = 41
b) P = 164
18. x = 10 e y = 293
19. 320 km
20. 220CB m e 16AD m e P = 22048 
21. 12 milhas por hora e 5 milhas por hora
22. 4m

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MATEMÁTICA FUNDAMENTAL - TEOREMA DE PITÁGORAS

  • 1. . MATEMÁTICA FUNDAMENTAL . TEOREMA DE PITÁGORAS AULA 1 Página 1 de 7 Definição e aplicação. IMPORTANTE Esse material de apoio complementa a aula: TEOREMA DE PITÁGORAS – AULA 1 Disponível em www.alexmayer.com.br Teorema de Pitágoras: No Egito antigo utilizava-se uma curiosa ferramenta nas construções e também na divisão das terras. Era uma corda com treze nós igualmente espaçados. Essa corda quando esticada nas proporções 3, 4 e 5 formava um triângulo retângulo. Mais tarde um grego chamado Pitágoras, contemplando esse triângulo tão especial percebeu uma relação entre os lados desse triângulo. Pitágoras desenhou um quadrado em cada um dos lados desse triângulo e dividiu esses quadrados em quadrados menores de tamanho exatamente igual. O quadrado de lado 3 foi redesenhado com 9 quadradinhos. O quadrado de lado 4 foi redesenhado com 16 quadradinhos, e o quadrado com lado 5 com 25 quadradinhos. Pitágoras observou que a soma dos quadradinhos dos lados menores era igual à quantidade de quadradinhos do lado maior pois: Pitágoras percebeu que essa relação entre os lados era válida para qualquer triângulo retângulo. Por exemplo, o triângulo que temo como lados 6, 8 e 10. O maior lado de um triângulo retângulo é chamado de hipotenusa, e sempre será oposto ao ângulo de 90º. Os outros dois lados formarão o ângulo de 90º e são chamados de catetos.
  • 2. . MATEMÁTICA FUNDAMENTAL . TEOREMA DE PITÁGORAS AULA 1 Página 2 de 7 Definição e aplicação. IMPORTANTE Esse material de apoio complementa a aula: TEOREMA DE PITÁGORAS – AULA 1 Disponível em www.alexmayer.com.br Assim para um triângulo retângulo qualquer chamaremos a hipotenusa de a os dois catetos de b e c. Assim pela ideia de Pitágoras teremos: Em um triângulo retângulo, sempre que tivermos o valor de dois dos três lados, conseguimos calcular o terceiro lado pelo teorema de Pitágoras. Exemplos:
  • 3. . MATEMÁTICA FUNDAMENTAL . TEOREMA DE PITÁGORAS AULA 1 Página 3 de 7 Definição e aplicação. IMPORTANTE Esse material de apoio complementa a aula: TEOREMA DE PITÁGORAS – AULA 1 Disponível em www.alexmayer.com.br EXERCÍCIOS: 1. Aplicando o Teorema de Pitágoras, determine a medida x indicada em cada um dos triângulos: 2. No quadro estão indicadas as medidas dos lados de alguns triângulos. Utilizando o Teorema de Pitágoras, verifique quais deles são triângulos retângulos. Triângulo Medida do lado (cm) a b c I 6 4 3 II 12,5 12 3,5 III 15 12 8 IV 37 35 12 3. Na figura tem-se que e F é o ponto médio do lado do retângulo BCDE. ( significa congruentes; mesma medida) Determine: a) A medida x indicada na figura. b) A área do retângulo BCDE. 4. Considerando a figura, determine: a) a medida a; b) a medida b; c) a medida c; d) o perímetro do trapézio MNPQ. 5. Um Para ir de sua casa até o ponto de ônibus, uma pessoa anda 120 m em linha reta até uma esquina, dobra a esquerda numa rua perpendicular e anda mais 160m. Mas, se trocar de caminho, ela pode seguir por um terreno baldio que separa sua casa do ponto de ônibus e fazer esse trajeto em linha reta. Quantos metros ela andará da sua casa até o ponto de ônibus, se for terreno baldio?
  • 4. . MATEMÁTICA FUNDAMENTAL . TEOREMA DE PITÁGORAS AULA 1 Página 4 de 7 Definição e aplicação. IMPORTANTE Esse material de apoio complementa a aula: TEOREMA DE PITÁGORAS – AULA 1 Disponível em www.alexmayer.com.br 6. Um terreno triangular tem frentes de 12 m e 16 m em duas ruas que formam um ângulo de 90º. Quanto mede o terceiro lado desse terreno? 7. O portão da entrada de uma casa tem 4m de comprimento e 3 m de altura. Qual a medida da trava de madeira que se estende do ponto A ao ponto C, conforme figura? 8. Durante um incêndio em um edifício de apartamentos, os bombeiros utilizaram uma escada Magirus de 10m para atingir a janela do apartamento incendiado. A escada estava colocada a 1m do chão, sobre um caminhão que se encontrava 6m do edifício. Qual é altura desse apartamento em relação ao chão? 9. Quantos metros de fio são necessários para ligar os fios de um poste de 6 m de altura até a caixa de luz que está ao lado da casa e a 8m da base do poste? 10. Na figura, a área do quadrado Q1 é 900 unidades e a área do quadrado Q3 é 324 unidades. Qual a área do quadrado Q2? 11. O triângulo BCD ao lado é eqüilátero. Determine o perímetro do: a) Triângulo BCD. b) Quadrilátero ABCD. 12. Na figura ao lado tem-se que . Nessas condições, determine a medida dos segmentos e .
  • 5. . MATEMÁTICA FUNDAMENTAL . TEOREMA DE PITÁGORAS AULA 1 Página 5 de 7 Definição e aplicação. IMPORTANTE Esse material de apoio complementa a aula: TEOREMA DE PITÁGORAS – AULA 1 Disponível em www.alexmayer.com.br 13. Determine as medidas x e y indicadas na figura ao lado. 14. Considere a figura e determine o perímetro do: a) Quadrado ABGF; b) Quadrado BCDE; c) Polígono ABCDEF 15. Determine as medidas x e h indicadas na figura ao lado. 16. No triângulo isósceles ABC, os lados e medem 40 cm e a base mede 48 cm. Determine a medida h da altura relativa à base. 17. Em um losango, as diagonais cortam-se mutuamente ao meio, ou seja, o ponto de encontro das diagonais é o ponto médio de cada diagonal. No losango PQRS, a diagonal maior mede 80 cm, e a diagonal menor mede 18cm. Nessas condições calcule: a) a medida x do lado do losango. b) O perímetro do losango. 18. A figura ao lado é um trapézio retângulo. Nela, as medidas estão indicadas em centímetros. Determine a medida: a) x do lado ; b) y da diagonal .
  • 6. . MATEMÁTICA FUNDAMENTAL . TEOREMA DE PITÁGORAS AULA 1 Página 6 de 7 Definição e aplicação. IMPORTANTE Esse material de apoio complementa a aula: TEOREMA DE PITÁGORAS – AULA 1 Disponível em www.alexmayer.com.br 19. Três cidades, A, B, e C, são interligadas por estradas conforme o esquema. As estradas AB e BC são asfaltadas e AC deverá ser asfaltada em breve. Sabendo que AB tem 30 km e BC 310 km, e supondo as três estradas são retas, quantos quilômetros terá a estrada AC? 20. Um terreno tem a forma do quadrilátero ABCD da figura ao lado. Uma medição feita nesse terreno mostra, em metros, as medidas encontradas. Qual o perímetro desse terreno? 21. Dois navios partem de um mesmo ponto, no mesmo instante, e viajam com velocidade constante em direções que formam um ângulo reto entre si. Depois de uma hora de viagem a distância entre os navios é de 13 milhas. Se um deles é 7 milhas por hora mais rápido que o outro, determine a velocidade de cada navio. 22. Uma árvore foi quebrada pelo vento e a parte do tronco que restou em pé forma um ângulo reto com o solo. Se a altura da árvore antes de se quebrar era de 9m, e sabendo que a ponta da parte quebrada está a 3m da base da árvore, qual a altura do tronco da árvore que restou em pé? GABARITO 1. a) 35 b) 7 c) 64 d) 52 e) 2 f) 40 2. I) Não é triângulo retângulo. II) É triângulo retângulo. III) Não é triângulo retângulo IV) É triângulo retângulo
  • 7. . MATEMÁTICA FUNDAMENTAL . TEOREMA DE PITÁGORAS AULA 1 Página 7 de 7 Definição e aplicação. IMPORTANTE Esse material de apoio complementa a aula: TEOREMA DE PITÁGORAS – AULA 1 Disponível em www.alexmayer.com.br 3. a) x = 6 b) P = 36 4. a) a = 20 b) b = 80 c) c = 10 d) P = 28 5. 200 m 6. 20 m 7. 5 m 8. 9 m 9. 10 m 10. 576 unidades 11. a) P = 45 b) P = 51 12. 512 20   AD AB 13. x = 5 e y = 13 14. a) P = 32 b) P = 56 c) P = 68 15. x = 7 e h = 24 16. h = 32 17. a) x = 41 b) P = 164 18. x = 10 e y = 293 19. 320 km 20. 220CB m e 16AD m e P = 22048  21. 12 milhas por hora e 5 milhas por hora 22. 4m