Rota derivadas

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Rota derivadas

  1. 1. Na Rota da Derivada<br />Taxa Média de Variação e Taxa de Variação<br />
  2. 2. Pierre de Fermat (1601-1665)<br /> chegou ao conceito de derivada<br />na resolução de um problema<br />relacionado com tangentes a <br />curvas.<br />O corpo de raio r roda sobre a curva C’ e a curva C <br />descreve a trajectória do centro do corpo.<br />O ângulo θ mede a inclinação da recta tangente a curva C’ em P.<br /> <br />Isaac Newton (1642-1727) <br />chegou ao conceito de derivada<br />na determinação da<br />velocidade instantânea.<br />
  3. 3. 1. Nota Histórica<br />Fermat e Newton, com o objectivo de resolverem dois problemas diferentes, chegaram um dos mais importantes conceitos da matemática: o conceito de Derivada.<br /> Fermat colocou a questão:<br />“Como determinar o declive de uma recta tangente a uma curva?”<br />A recta a tem com a curva dois pontos comuns e é tangente à curva.<br />A recta c tem com a curva um só ponto comum e não é tangente à curva.<br />Como definir então a tangente a uma curva?<br />
  4. 4. Fermat pretendia determinar o declive de uma recta tangente a um ponto qualquer de uma curva. Para isso, considerou um ponto P de uma curva e uma secante PQ.<br /> <br />Concluiu que o declive da recta tangente à curva<br />podia ser calculado como <br />o limite do declive da secante PQ<br />quando o ponto Q, percorrendo a curva, <br />se aproxima de P (Q1, Q2, Q3,…)<br />Se P é um ponto fixo e que um ponto se aproxima de P<br />ocupando as posições sucessivas Q1, Q2, Q3,…, as <br />secantes terão as posições dadas por PQ1, PQ2, PQ3,… <br />e os declives dessas rectas secantes ficarão cada vez <br />mais próximas do declive da recta tangente. .<br />
  5. 5. Newton pretendia determinar a velocidade instantânea, ou seja, a velocidade dada pelo velocímetro de um automóvel em movimento, conhecendo apenas a relação entre o espaço e o tempo.<br />Para determinar a velocidade instantânea no momento a , Newton considerou um intervalo de tempo em que a era um extremo, por exemplo:<br /> [a , a + h]<br />Calculou a velocidade média nesse intervalo; <br />Reduzindo sucessivamente h , calculou de novo <br /> a velocidade média para cada um dos intervalos. <br /> Concluiu então que podia determinar<br /> a velocidade instantânea em a através<br /> do limite da velocidade média no intervalo<br />[a , a + h] quando h  0<br /> <br />
  6. 6. Nas situações apresentadas, aparece a referência a um limite:<br />o declive da recta tangente a uma curva é um limite;<br />a velocidade instantânea é um limite.<br /> <br />** Hoje, a estes limites chamamos derivadas.<br />
  7. 7. 2. DERIVADA de uma FUNÇÃO NUM PONTO como DECLIVE DE UMA RECTA<br />Taxa de variação média. Velocidade média<br />Imaginemos a situação seguinte:<br />Ligou-se um computador ao velocímetro de um carro de Fórmula 1 durante um treino. <br />O gráfico da função fobtido dá-nos a ideia de como variou a velocidade ao longo dos primeiros 25 segundos do movimento:<br /> <br />
  8. 8. A taxa de variação média da função f no intervalo [a , b] é dada por:<br />Fixemo-nos no intervalo [10 , 15] e calculemos a taxa de variação média neste intervalo:<br />O número 20 também é o declive da recta PQ<br /> <br />Este número 20 diz-nos que, em média, dos 10 aos 15 segundos a velocidade aumentou <br />20 km/h , por segundo.<br /> <br /> Se em média aumentou 20 não quer dizer que em cada segundo tenha aumentado 20 !<br />
  9. 9. Taxa de variação. Velocidade instantânea<br />Suponhamos que queríamos saber quanto aumentou exactamente no 10º segundo. <br />De acordo com Fermat, utilizando material de desenho, desenhamos com o rigor que nos for possível a recta tangente à curva no ponto P.<br />Para obtermos a recta tangente à curva no ponto P fixamos o ponto P e, deslocando o ponto Q ao longo da curva, desenhamos algumas secantes para ajudar a obter, com o rigor que nos for possível, a recta t.<br /> À medida que o ponto Q se aproxima de P , o declive das sucessivas secantes aproxima-se do declive da recta tangente t.<br />
  10. 10. Determinemos o declive da rectat utilizando dois dos seus pontos:<br />A (6 , 0) e P (10 , 150) <br />Concluímos que o aumento da velocidade no instante t = 10 s foi aproximadamente 37,5 kmh-1 / s<br /> <br />Ao número 37,5 chamamos derivada da funçãono ponto de abcissa x = 10, outaxa de variação da função no ponto de abcissa x = 10.<br />Escreve-se f’ (10) = 37,5<br />A derivada da função no ponto x = 10 é o declive da recta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa x = 10<br />
  11. 11. Geometricamente, a derivada de uma função no ponto de abcissa x0 é o declive da recta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa x0<br />
  12. 12. 3. INTERPRETAÇÃO DA DERIVADA de uma FUNÇÃO NUM PONTO <br />Considere-se a seguinte situação:<br />Um objecto foi lançado na vertical de um ponto P e daí a alguns instantes caiu de novo no ponto P. A distância a da bola à origem é dada por:<br />a(t) = 12t – 3t2 com t em segundos e a em metros<br />O gráfico que ilustra a situação é o seguinte:<br /> <br /> <br />
  13. 13. Calcule-se a taxa de variação média, que neste caso é a velocidade média, para os intervalos [0 , 1] ; [1 , 2] e [2 , 3]:<br />t.v.m. [0 , 1] = <br />t.v.m. [1 , 2] = <br />t.v.m. [2 , 3] = <br /> <br />Verificou-se que a velocidade média era positiva nos dois primeiros intervalos e negativa no outro. Significa isto que a bola mudou de sentido. Ia a subir e passou a descer.<br />Verificou-se que t.v.m. [0 , 1] > t.v.m. [1, 2]o que significa que existe variação maior no intervalo [0 , 1] do que no intervalo [1 , 2], ou seja, que a velocidade média é maior no intervalo [0 , 1] do que no intervalo [1 , 2].<br /> <br />
  14. 14. Qual será a derivada da função no ponto de abcissa 1 ? Ou seja, qual será a velocidade instantâneano instante t = 1 ? <br />Ou seja, qual será a taxa de variaçãoda função no ponto de abcissa 1 ? <br />Ou seja, qual será a’ (1)?<br />Considere-se o intervalo [1 , 1+ h]e h  0<br /> <br />t.v.m. [1 ; 1,1] = <br /> <br /> <br />t.v.m. [1 ; 1,01] = <br /> <br />t.v.m. [1 ; 1,001] = <br /> <br />À medida que htende para zero, a velocidade média parece tender para 6. Ou seja, a velocidade instantânea no instante t=1 parece ser 6 m/s , ou seja, f’(1) = 6<br /> <br />
  15. 15. Um pouco mais de História <br /> A noção da derivada surgiu no séc. XVII marcado pela criação do cálculo diferencial ao qual estão ligados os nomes de dois grandes vultos da Ciência – Newton e Leibniz.<br /> Newton foi estimulado no seu trabalho pela necessidade de encontrar utensílios Matemáticos que dessem suporte à sua teoria da gravitação universal.<br /> Com efeito, no âmbito das suas investigações sobre mecânica celeste, Newton teve necessidade de resolver problemas sobre trajectórias de astros, velocidades, tangentes, máximos e mínimos.<br /> Por sua vez, Leibniz lançou também os fundamentos do Cálculo Infinitesimal (na mesma época que Newton mas independentemente dele), constituindo o seu trabalho um avanço decisivo na criação de uma linguagem comum a várias ciências e à filosofia.<br /> Foi com Newton e Leibniz que a Análise Infinitesimal se tornou um ramo da Matemática, autónoma em relação à Geometria.<br />
  16. 16. Derivadas sempre na Matemática <br />

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