1) O documento traça uma síntese cronológica do desenvolvimento da matemática ocidental desde o osso de Ishango datado de 18000-20000 a.C. até os problemas do milênio propostos em 2000. 2) Destaca marcos como o surgimento da numeração suméria em 1800 a.C., a definição de números irracionais por Eudoxo em 520 a.C., a sistematização da geometria por Euclides em 300 a.C. e o desenvolvimento da álgebra, trigonometria e cálculo nos séculos poster

1. UMA SÍNTESE CRONOLÓGICA DO
DESENVOLVIMENTO DA
MATEMÁTICA OCIDENTAL
Marco Aurélio Kalinke
Texto base: Ubiratan D’Ambrósio

2. OSSO DE ISHANGO
O osso de Ishango data do Paleolítico
Superior, aproximadamente dentre
18000 e 20000 a.C. É um longo osso com
um pedaço de quartzo afiado incrustado
em uma ponta, que talvez fosse utilizado
para gravar ou escrever. Contém uma
série de traços talhados, divididos em
três colunas, ao longo de todo o seu
comprimento. Esta exibido no Real
Instituto Belga de Ciências Naturais, na
Bélgica.

4. 1800 a.C. - Os sumérios, habitantes do Oriente Médio, desenvolveram o
mais antigo sistema numérico conhecido. Em vez dos dez algarismos de
hoje (0, 1, 2, 3... até 9), o sistema caldeu tinha 60 símbolos. Na mesma
época, os egípcios desenvolveram métodos para medição das terras
produtivas (geo-metria), para efeito de recolhimento de taxas.

5. 520 a.C. - O matemático grego Eudoxo de Cnido (400?-350? a.C.) cria uma
definição para os números irracionais. São frações que não podem ser
escritas na forma usual, como quatro quintos (quatro dividido por cinco) ou
três quartos. Um exemplo é a raiz quadrada de 2; não existem dois
números que, divididos um pelo outro, dêem esse resultado. Antes de
Eudoxo, o filósofo Pitágoras (580 a.C.-500 a.C.), matemático e também líder
religioso, tentou banir o estudo dos números irracionais porque não
aceitava que eles tivessem de ser escritos com infinitos algarismos. Os
irracionais e o infinito foram grandes obstáculos conceituais da filosofia
grega.

7. 300 a.C. - A geometria da Antiguidade chega ao ápice com o grego
Euclides. Vivendo em Alexandria, ele sistematiza todos os conhecimentos
acumulados até então por seu povo nos dois séculos anteriores, além de
diversos teoremas que ele mesmo demonstra. O resultado é o livro
Elementos.

8. 250 - Fugindo da tradição grega, que era centrada na
geometria, Diofante (século III) inicia um estudo rigoroso de
diversos problemas numa área da matemática, sendo precursor
do que viria a ser a álgebra.
Uma equação Diofantina é uma equação
polinomial que permite a duas ou mais
variáveis assumirem apenas valores
inteiros.
𝑥𝑛+𝑦𝑛=𝑧𝑛

9. 500 - Um indiano, cujo nome se perdeu na história, cria um símbolo para o
zero. Os árabes começam a usá-lo por volta do ano 700. Em 810, ele aparece
explicitamente num texto de Muhammad ibn Al-Khwarizmi (780-850). O
mesmo matemático introduz, no mundo árabe, o sistema de numeração dos
indianos e dá um método para resolver equações de segundo grau,
apreendido dos indianos, lançando as bases do que viria ser a álgebra.

10. 1202 - O matemático italiano Leonardo Fibonacci (1170?-1240), de Pisa, é
o primeiro europeu a ter sucesso na divulgação os algarismos arábicos, que
são empregados atualmente para escrever os números. Até então, os
europeus utilizavam os algarismos romanos.

11. 1535 – Leon Battista Alberti (1404-1472) publica Della Pittura, seguido
por trabalhos dos artistas e arquitetos Filippo Brunelleschi (1377-1446),
Piero della Francesca (1420- 1492) e Albrecht Dürer (1471-1528),
lançando as bases de uma nova geometria.

12. 1535 - Encontra-se um método para resolver as equações algébricas de
terceiro grau, estimulado por competições públicas financiados pelo
mecenato da época. A autoria da fórmula é disputada por dois italianos:
Niccolò Tartaglia (1499-1557) e Geronimo Cardano (1501-1576).

13. 1545 - Primeira sugestão de que certas contas podem ter como
resultado um número negativo. A proposta causa espanto porque, na
época, parece absurdo algo ser menor que nada, ou seja, zero. Assim,
resolvem-se equações que até então ficavam sem resposta.
2015 – 1545 = 470 anos
Em 10.000 anos, 9.500 sem aceitar
esta possibilidade

14. 1551 - Surge a trigonometria, que facilita muito os cálculos, especialmente os
celestes, em que é preciso somar, diminuir ou multiplicar valores de ângulos.
A trigonometria, que já havia sido desenvolvida, principalmente por
Johannes Müller (1437-1476), chamado Regiomontanus, cerca de 90 anos
antes, seguindo um tratamento no estilo de Euclides, estabelece regras que
transformam os ângulos em números comuns, pelas chamadas funções
trigonométricas. O criador do novo cálculo é o alemão Georg Joachim Iserin
von Lauchen (1514-1576), conhecido como Rético, aluno do astrônomo
polonês Nicolau Copérnico.

15. 1591 - O francês François Viète (1540-1603) abandona a prática de escrever
matemática por meio de palavras. Até então, as equações, os números e as
incógnitas eram apresentados por extenso, de maneira trabalhosa e confusa.
Viète passa a representar suas equações utilizando as letras do alfabeto,
como símbolos.
2015 – 1545 = 424 anos

17. 1610 – Simon Stevin (1548-1620) introduz o cálculo
com números decimais.

18. 1614 - Publica-se a primeira tábua de logaritmos. Seu autor é o escocês
John Napier (1550-1617). Diversas novidades são criadas para evitar o
trabalho que dá efetuar contas muito extensas e em grande quantidade. É
assim que surgem a trigonometria, os decimais e os logaritmos. A ciência e
a tecnologia não se teriam desenvolvido sem esses instrumentos essenciais.

19. 1637 - Surge a geometria analítica, desenvolvida
pelo filósofo francês René Descartes (1596-1650). O
método científico, como é entendida até hoje, foi
preconizado, dentre muitos outros, por Galileu
Galilei (1564-1642) e Francis Bacon (1561-1626),
dizendo que não basta empregar o raciocínio e a
lógica para entender a natureza e o mundo.
Observar e interpretar os fatos, como faziam os
antigos, é importante, mas as interpretações devem
ser, em seguida, submetidas à experimentação.
Com Descartes que ele ganha a forma mais atual, a
partir do livro Discurso do Método, no qual a
geometria analítica é apresentada.

20. 1654 - O cálculo das probabilidades é desenvolvido por Pierre de
Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). Curiosamente, eles
desenvolvem esse novo ramo da matemática quase como uma
diversão, com base em um problema levado a eles por um jogador de
dados, Chevalier de Mere.

21. 1669 - Isaac Newton (1642-1726)
inventa o cálculo diferencial e
integral. Com ele, torna-se
possível calcular a área ou o
volume de qualquer figura
geométrica, não importa sua
forma. Até então, para cada figura
era preciso criar uma fórmula
diferente. O cálculo diferencial e
integral, que Newton
desenvolveu ao mesmo tempo
que o alemão Gottfried Wilhem
Leibniz (1646-1716), revolucionou
a matemática.

22. 1685 - Criação dos chamados números imaginários, que aparecem quase
como um complemento dos números negativos. Num problema de
resolução de equações, John Wallis (1616-1703) introduz um “número”,
chamado i, que é a raiz quadrada de -1.
2015 – 1685 = 330 anos

23. 1744 - Os números transcendentais são conceituados. O matemático suíço
Leonard Euler (1707-1783) estuda as chamadas equações algébricas. Percebe
que elas têm todos os tipos de solução: números inteiros, imaginários,
irracionais, frações etc. Mas nenhuma equação dessa categoria jamais dá, por
exemplo, uma resposta igual a π (3,1415...). Hoje se sabe que existem infinitos
números que nunca podem ser solução de uma equação algébrica. São os
chamados números transcendentes.

24. 1822 - O desenvolvimento da
geometria projetiva abre caminho
para a geometria moderna. Esse
novo ramo de estudo analisa as
formas geométricas sob vários
ângulos de vista. Assim, uma
pirâmide vista de cima aparece
como um quadrado; vista de lado,
torna-se um triângulo. Seu criador é
o francês Jean Victor Poncelet
(1788-1867).

25. 1824 - O norueguês Niels Henrik Abel (1802-
1829) descobre que é impossível resolver as
equações de quinto grau.

26. 1826 - Geometrias, formalizadas sem utilizar o postulado das
paralelas [não euclideanas], são construídas, simultaneamente e
independentemente, pelo russo Nicolai Ivanovich Lobachevsky (1792-
1856) e pelo húngaro János Bólyai (1802-1860).

27. 1832 - Charles Babbage (1792-1861) lança as primeiras
fundamentações teóricas do que viria ser a ciência da
computação.

28. 1858 – Richard Dedekind (1831-1916) dá aos irracionais uma significação e
teorização precisas. Embora a existência de irracionais fosse reconhecida
desde o século XVIII, faltava mostrar o que eram efetivamente esses
números, que foram rejeitados, como sendo números, pelos gregos.
2015 – 1858 = 157 anos

29. 1874 - Demonstra-se que existem diferentes graus de infinitude
numérica. Georg Cantor (1845-1918) cria uma espécie de aritmética do
infinito, introduzindo os números de transfinitos.

30. 1899 - A geometria passa pela reforma mais profunda desde sua criação,
mais de dois milênios atrás. O autor é o alemão David Hilbert (1862-1943),
que analisa todas as novidades incorporadas à matemática nos séculos
anteriores e a geometria é reescrita.
2015 – 1899 = 116 anos

31. 1931 - O alemão Kurt Gödel (1906-1978) demonstra que, dentro de
qualquer sistema matemático, como a aritmética ou a geometria, sempre
existem teoremas que não podem ser provados nem desmentidos.

32. 1944 – Publicação, por John von Neumann e Oskar Mongerstern da Teoria
dos Jogos e Comportamento Econômico, uma teoria matemática de
comportamento humano. Em 1946 von Neumann formaliza a moderna
ciência da computação.

33. 1993 - O matemático inglês Andrew Wiles (1952- ) consegue provar o
último teorema de Fermat, que diz que uma equação do tipo xn + yn =
zn não admite soluções em inteiros se n > 2. Isso havia sido afirmado
por Pierre de Fermat, em 1637.

34. 2000 – O Clay Institute elabora a lista de sete “Problemas do Milênio”.
• P versus NP
• A conjectura de Hodge
• A conjectura de Poincaré
•A hipótese de Riemann
• A existência de Yang-Mills e a falha na massa
• A existência e suavidade de Navier-Stokes
• A conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer

35. P versus NP
Existem problemas matemáticos cuja resposta pode ser verificada
em tempo polinomial, que não possam ser resolvidos (diretamente,
sem se ter um candidato à solução) em tempo polinomial?
Exemplo: se alguém diz que um número pode ser escrito como o
produto de dois outros inteiros, provavelmente se demorará para
provar. Se disser que é o produto de A por B, rapidamente se
verifica tal fato.
O problema parte da constatação que são muito frequentes as
situações em que parece ser muito mais rápido verificar solução
do que achar um processo de resolução. Isso sempre ocorre, ou
ainda não descobrimos um modo de resolvê-los rapidamente?

36. A conjectura de Hodge
É um problema de geometria algébrica sobre topologias de
variedade algébrica complexa não singular e as
subvariedades dessa variedade.
A conjectura propõe que certos grupos de co-homologia de
Rham são algébricos, isto é, são somas de dualidades de
Poincaré de classes homólogas de subvariedades.

37. Conjectura de Poincaré
Qualquer variedade tridimensional fechada e com grupo
fundamental trivial é homeomorfa a uma esfera tridimensional.
Ou seja, a superfície tridimensional de uma esfera é o único
espaço fechado de dimensão 3 onde todos os contornos ou
caminhos podem ser encolhidos até chegarem a um simples
ponto.
Grigori Perelman

38. Hipótese de Riemann
Os zeros não-triviais da função zeta
de Riemann pertencem todos à
"linha crítica“.

39. Existência de Yang-Mills e intervalo de
massa
Provar que a massa da menor partícula fundamental predita
pela teoria quântica de campos seja positiva, ou seja, a
partícula precisa possuir um intervalo de massa.
É um dos requisitos para a prova matemática da teoria quântica
de campos de acordo com o modelo padrão de partículas
fundamentais.

40. A existência e suavidade de Navier-Stokes
Comprovar as equações e fornecer uma pista para o
fenômeno da turbulência.
As soluções das equações de Navier-Stokes são utilizadas
em diversas aplicações práticas e geralmente as suas incluem
turbulência, as quais se mantem como um dos maiores
problemas em aberto da física, apesar de sua importância
para a física teórica e a engenharia.
Mujtarbay Otelbayev (Cazaquistão) – 2014 ????

41. A conjectura de Birch e Swinerton-Dyer
Estabelecer uma condição para que uma curva algébrica
plana, f(x,y) = 0, definida sobre os racionais (com os
argumentos x, y ∈ ℚ) tenha infinitos pontos racionais -
isto é, (x,y) solução de f(x,y) = 0, com x, y ∈ ℚ (como por
exemplo a circunferência).