Breve Introdução Prof. Deolinda Sá
<ul><li>A  Programação Linear   é uma técnica de optimização bastante utilizada na resolução de problemas cujos modelos ma...
<ul><li>A palavra  “ Programação ”  refere-se a uma programação de tarefas ou  planificação , não a uma programação no sen...
<ul><li>São problemas que procuram o óptimo. O óptimo na globalidade é um mínimo ou um máximo a ser alcançado, nas condiçõ...
<ul><li>As restrições ou condições utilizadas em programação linear são representadas por equações ou inequações. </li></u...
<ul><li>Uma empresa fabrica dois produtos  A  e  B .  </li></ul><ul><li>Cada um destes produtos requer uma certa quantidad...
<ul><li>Quantas unidades, por semana, dos produtos A e B se devem produzir, de modo a que o lucro seja máximo? </li></ul><...
<ul><li>Seja  x  o número de unidades que a empresa produz, por semana, do produto A . </li></ul><ul><li>y  o número de un...
<ul><li>Cada unidade do produto  A  origina um lucro de 120 euros. Assim, com x unidades produzidas do produto  A , obtêm-...
<ul><li>Variáveis de decisão  (o que pretendemos determinar): </li></ul><ul><li>x  e  y  (  número de unidades ) </li></ul...
<ul><li>Como  x ≥ 0  e  y ≥ 0 , iremos precisar somente do primeiro quadrante. </li></ul><ul><li>As outras duas restrições...
<ul><li>A solução que procuramos encontra-se no polígono [OABC] . </li></ul>Prof. Deolinda Sá
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<ul><li>Assim sendo, um maior valor de  corresponde a um maior valor de  L .   </li></ul><ul><li>Logo, a resolução do noss...
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<ul><li>As coordenadas do ponto  B  determinam-se resolvendo o sistema </li></ul><ul><li>A solução do sistema é o par (18,...
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<ul><li>A solução encontra-se no ponto  A.   </li></ul><ul><li>Resolvendo o sistema, </li></ul><ul><li>vem x=5 e y=5  </li...
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Programacao linear 11 ano - 1011

  1. 1. Breve Introdução Prof. Deolinda Sá
  2. 2. <ul><li>A Programação Linear é uma técnica de optimização bastante utilizada na resolução de problemas cujos modelos matemáticos são representados por expressões lineares. </li></ul><ul><li>A programação Linear é um ramo muito jovem da matemática que surgiu em 1947, quando George B. Dantzig inventou e desenvolveu o “Método Simplex” para resolver problemas de optimização formulados a partir de questões de logística da Força Aérea dos E.U.A., durante a segunda Guerra Mundial. </li></ul>Prof. Deolinda Sá
  3. 3. <ul><li>A palavra “ Programação ” refere-se a uma programação de tarefas ou planificação , não a uma programação no sentido da informática. </li></ul><ul><li>A palavra “ Linear ” , advém do facto das expressões (condições) que se utilizam serem lineares. </li></ul>Prof. Deolinda Sá
  4. 4. <ul><li>São problemas que procuram o óptimo. O óptimo na globalidade é um mínimo ou um máximo a ser alcançado, nas condições existentes. </li></ul><ul><li>Nos problemas de Programação Linear algumas decisões têm de ser tomadas. Estas decisões são representadas pelas variáveis de decisão x e y, utilizadas no modelo de programação linear. </li></ul><ul><li>A estrutura base de um problema de programação linear é maximizar ou minimizar a função objectivo que satisfaz a um conjunto de restrições ou condições. Geometricamente, as restrições lineares definem um polígono convexo, chamado de conjunto de pontos admissíveis ou região admissível . </li></ul>Prof. Deolinda Sá
  5. 5. <ul><li>As restrições ou condições utilizadas em programação linear são representadas por equações ou inequações. </li></ul><ul><li>Resumindo </li></ul><ul><li>Para formular um problema de Programação Linear deve-se: </li></ul><ul><li>Definir as variáveis de decisão (o que pretendemos determinar) </li></ul><ul><li>Definir a função objectivo (o que se pretende optimizar) </li></ul><ul><li>Estabelecer as restrições (as condições que têm que ser satisfeitas) </li></ul>Prof. Deolinda Sá
  6. 6. <ul><li>Uma empresa fabrica dois produtos A e B . </li></ul><ul><li>Cada um destes produtos requer uma certa quantidade de tempo na linha de montagem e ainda mais algum para a sua finalização. </li></ul><ul><li>Cada produto do tipo A necessita de 5 horas na linha de montagem e de 2 horas para a finalização. </li></ul><ul><li>Cada produto de tipo B necessita de 3 horas na linha de montagem e de 4 horas para a finalização. </li></ul><ul><li>Numa semana, a empresa dispõe de 108 horas para a linha de montagem e 60 horas para a finalização. </li></ul><ul><li>Toda a produção é vendida. O lucro de cada produto é de 120 € para o produto A e de 210 € para o B . </li></ul>Prof. Deolinda Sá
  7. 7. <ul><li>Quantas unidades, por semana, dos produtos A e B se devem produzir, de modo a que o lucro seja máximo? </li></ul><ul><li>Podemos elaborar uma tabela para melhor organizar os dados: </li></ul>Prof. Deolinda Sá Montagem Finalização Lucro A 5 2 120 B 3 4 210 Disponibilidade 108 60
  8. 8. <ul><li>Seja x o número de unidades que a empresa produz, por semana, do produto A . </li></ul><ul><li>y o número de unidades que a empresa produz, por semana, do produto B. </li></ul><ul><li>O tempo necessário na linha de montagem para os dois produtos é 5x+3y horas, no total. Como somente existem 108 horas de disponibilidade, temos a restrição: </li></ul><ul><li>5x+3y ≤ 108 </li></ul><ul><li>De forma análoga temos a seguinte restrição: </li></ul><ul><li>2x+4y ≤ 60 </li></ul>Prof. Deolinda Sá
  9. 9. <ul><li>Cada unidade do produto A origina um lucro de 120 euros. Assim, com x unidades produzidas do produto A , obtêm-se 120x euros de lucro. </li></ul><ul><li>Cada unidade do produto B origina um lucro de 210 euros. Assim, com y unidades de B , obtêm-se 210y euros de lucro. </li></ul><ul><li>O lucro semanal é dado por: L= 120x+210y . </li></ul><ul><li>Temos ainda as condições x ≥ 0 e y ≥ 0, pois a produção é não negativa </li></ul><ul><li>Pretendemos maximizar o lucro. </li></ul>Prof. Deolinda Sá
  10. 10. <ul><li>Variáveis de decisão (o que pretendemos determinar): </li></ul><ul><li>x e y ( número de unidades ) </li></ul><ul><li>Função Objectivo (o que se pretende optimizar) </li></ul><ul><li>maximizar o lucro: L= 120x+210y </li></ul><ul><li>Restrições (condições que têm de ser satisfeitas) </li></ul>Prof. Deolinda Sá
  11. 11. <ul><li>Como x ≥ 0 e y ≥ 0 , iremos precisar somente do primeiro quadrante. </li></ul><ul><li>As outras duas restrições resolvem-se em ordem a y e considera-se o domínio plano respectivo. </li></ul>Prof. Deolinda Sá
  12. 12. <ul><li>A solução que procuramos encontra-se no polígono [OABC] . </li></ul>Prof. Deolinda Sá
  13. 13. <ul><li>Os pontos que estão nesta região dizem-se pontos admissíveis . E os vértices O, A, B e C dizem-se vértices da região admissível. </li></ul><ul><li>Que pontos maximizam o lucro? </li></ul><ul><li>A expressão </li></ul><ul><li>representa uma família de rectas todas com o declive </li></ul><ul><li>e cuja ordenada na origem é . </li></ul>Prof. Deolinda Sá
  14. 14. <ul><li>Assim sendo, um maior valor de corresponde a um maior valor de L . </li></ul><ul><li>Logo, a resolução do nosso problema consiste em encontrar a recta com declive de maior ordenada na origem e que tenha algum contacto com o polígono. </li></ul>Prof. Deolinda Sá
  15. 15. <ul><li>Das rectas de declive a que tem maior ordenada na origem e tem pontos de contacto com o domínio, é a que passa no vértice B . </li></ul>Prof. Deolinda Sá
  16. 16. <ul><li>As coordenadas do ponto B determinam-se resolvendo o sistema </li></ul><ul><li>A solução do sistema é o par (18,6), logo as coordenadas do ponto B. </li></ul><ul><li>Assim para que a empresa, que produz o produtos A e B, tenha o maior lucro possível, deve produzir semanalmente 18 unidades do produto A e 6 unidades do produto B. </li></ul><ul><li>Esse lucro será: </li></ul><ul><li>L= 120  18 + 210  6 = 3420 euros semanais. </li></ul>Prof. Deolinda Sá
  17. 17. <ul><li>Se tivermos presente o seguinte teorema : </li></ul><ul><li>Dado um problema de programação linear, se R for a região admissível </li></ul><ul><li>e for limitada, então existe um máximo e um mínimo em R e cada um </li></ul><ul><li>destes ocorre pelo menos num dos vértices da região. Se R não for </li></ul><ul><li>limitada, então pode não existir nem máximo nem mínimo. Mas se </li></ul><ul><li>existir ele encontra-se num vértice de R. </li></ul><ul><li>Ficamos a saber que a solução que procuramos encontra-se num dos </li></ul><ul><li>vértices da área admissível. </li></ul><ul><li>Observemos a tabela ao lado. </li></ul><ul><li>Facilmente identificamos a </li></ul><ul><li>solução óptima (18,6) . </li></ul>Prof. Deolinda Sá x y L=120x+210y O 0 0 0 A 21,6 0 2592 B 18 6 3420 C 0 15 3150
  18. 18. <ul><li>Numa turma do 11º ano há 30 jovens: 20 raparigas e 10 rapazes </li></ul><ul><li>A turma vai participar num concurso que admite duas modalidades de </li></ul><ul><li>equipas: </li></ul><ul><li>Modalidade A : Equipas de 2 elementos, um de cada sexo. Prémio de participação: 50€ </li></ul><ul><li>Modalidade B : Equipas de 4 elementos, três raparigas e um rapaz. Prémio de participação: 60€. </li></ul><ul><li>Quantas equipas de cada tipo se devem constituir para a turma receber o valor máximo em prémios de participação, sabendo que cada um dos alunos não pode participar em mais do que uma equipa? </li></ul>Prof. Deolinda Sá
  19. 19. <ul><li>Comecemos por escolher as variáveis : </li></ul><ul><li>x – n.º de equipas da modalidade A </li></ul><ul><li>y – n.º de equipas da modalidade B </li></ul><ul><li>Vejamos quais são as restrições : </li></ul><ul><li>x≥0 </li></ul><ul><li>y≥0 </li></ul><ul><li>, semiplano definido pela recta que passa nos pontos (2,6) e (5,5) </li></ul><ul><li>, semiplano definido pela recta que passa nos pontos (0,10) e (10,0) </li></ul>Prof. Deolinda Sá
  20. 20. <ul><li>A função objectivo é: </li></ul><ul><li>Resolvendo em ordem a y temos: </li></ul><ul><li>Assim, temos uma família de rectas paralelas de declive </li></ul><ul><li>A representação da região admissível e da recta que traduz a família da função objectivo é a seguinte: </li></ul>Prof. Deolinda Sá
  21. 21. <ul><li>A solução encontra-se no ponto A. </li></ul><ul><li>Resolvendo o sistema, </li></ul><ul><li>vem x=5 e y=5 </li></ul><ul><li>Daqui concluímos que a solução óptima é 5 equipas da modalidade A e 5 da </li></ul><ul><li>modalidade B. A esta solução corresponde um prémio de participação de </li></ul><ul><li>50  5+ 60  5=550€ </li></ul>Prof. Deolinda Sá

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