Prova resolvida e comentada Professor de Matemática do RN / 2015

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Prova de Conhecimentos Específicos (resolvida e comentada) do Concurso Público para Professor de Matemática do estado do Rio Grande do Norte / 2015.
Banca realizadora: IDECAN

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Prova resolvida e comentada Professor de Matemática do RN / 2015

  1. 1. SEARH – SEEC / RN | Conhecimentos Específicos – Professor de Matemática / 2015 PROVA RESOLVIDA E COMENTADA BANCA: IDECAN Por prof. Medeiros de Lima Todos os direitos reservados (Lei nº 9.610 / 1998) R VA 5 17 14 Apenas Refrigerante? 0 QUESTÃO 36: Em uma festa, os convidados presentes devem escolher pelo menos um e no máximo dois tipos de bebidas dentre os três tipos disponíveis: refrigerante, vinho e água. Sabe‐se que 28 convidados escolheram refrigerante; 19 escolheram vinho; e, 22 escolheram água. Assim, se nessa festa compareceram 57 convidados e apenas cinco escolheram vinho e, também, água; então, o número de convidados que escolheu apenas refrigerante é: A) 17. B) 19. C) 21. D) 23. RESOLUÇÃO: Faz-se um Diagrama de Venn Euler, para representar os tipos de bebidas: Refrigerante (R), Vinho (V) e Água (A): Começando pelas interseções, temos: A União entre três conjuntos não disjuntos é dada pela seguinte expressão: A)Vn(RA)n(R-R)n(V-A)n(V-n(A)n(V)n(R)A)Vn(R  Onde: A)Vn(R  é o número de convidados presentes que escolheram os três tipos de bebidas; n(R) é o número de convidados que beberam apenas Refrigerante; n(V) é o número de convidados que beberam apenas Vinho; n(A) é o número de convidados que beberam apenas Água; A)n(V  é o número de convidados que beberam Vinho e Água; R)n(V  é o número de convidados que beberam Vinho e Refrigerante; A)n(R  é o número de convidados que beberam Refrigerante e Água; ATENÇÃO! Se 5 escolheram Água e Vinho; e 22 escolheram água, então o número de convidados que escolheram somente Água foi: 22 – 5 = 17. E o número de convidados que escolheram apenas Vinho foi: 19 – 5 = 14.
  2. 2. SEARH – SEEC / RN | Conhecimentos Específicos – Professor de Matemática / 2015 PROVA RESOLVIDA E COMENTADA BANCA: IDECAN Por prof. Medeiros de Lima Todos os direitos reservados (Lei nº 9.610 / 1998) A)Vn(R  é o número de convidados que beberam Refrigerante, Vinho e Água. Substituindo os valores na expressão, temos: 7A)]n(RR)[n(VA)]n(RR)[n(V64570A)n(RR)n(V519222857  Como 28 convidados escolheram Refrigerante, os que escolheram somente Refrigerante é dado pela diferença: 21728A)]n(RR)[n(V28  Logo, a resposta correta é a letra C). QUESTÃO 37: Em um verão, trabalhando seis dias por semana durante quatro horas por dia, uma formiga gasta seis semanas para carregar certo número de grãos de açúcar. Dessa forma, se trabalhar com eficiência 20% maior, mas durante apenas cinco dias por semana, três horas por dia, o número de semanas que gastará para carregar o mesmo número de grãos de açúcar no mesmo trajeto será: A) 5 . B) 7. C) 8. D) 9. RESOLUÇÃO: Trata-se de uma regra de três composta. Devemos agrupar, por coluna, o número de dias por semana (d/s), o número de horas por dia (h/d) e o número de semana (s). E designemos por  , as grandezas que são diretamente proporcionais, e por  , as grandezas que são inversamente proporcionais. Assim, temos: d / s h / d s 5 6 3 4 x2,1 6 Resolvemos a regra de três composta isolando igualando a fração que contem a variável ao produto das outras duas frações. Ou seja: 8 6 6.8 5.1,2 6.8 x 5 8 6 1,2x 3 4 . 5 6 6 1,2x  Logo, a resposta correta é a letra C). QUESTÃO 38: A função inversa de 12)(  x xf , com x ∈ R, é: A) )(log2 xy  , com x > 0. B) )(log 2 1 xy  , com x < 0. C) )1(log2  xy , com x >1. D) )1(log2  xy , com x < 1.
  3. 3. SEARH – SEEC / RN | Conhecimentos Específicos – Professor de Matemática / 2015 PROVA RESOLVIDA E COMENTADA BANCA: IDECAN Por prof. Medeiros de Lima Todos os direitos reservados (Lei nº 9.610 / 1998) RESOLUÇÃO: Façamos uma substituição de variável para melhor compreensão. Chamemos f(x) de y. A função ficará assim: 12  x y . Agora, para encontrar e função inversa de 12  x y , substituímos y por x e x por y. A função vai ficar assim: 12  y x . O próximo passo é pôr y em evidência, i.e., encontrar uma função onde y seja função de x. Essa função será a função inversa de f(x), ou seja, 1 )(  xf . Assim, temos: )1(log2112 2  xyxx yy . Da condição de existência da função logarítmica, temos que o logaritmando deve ser maior que zero. I.e.: 101  xx Logo, )1(log)( 2 1  xyxf , com x > 1. Portanto, a resposta correta é a letra C). QUESTÃO 39: “O conjunto solução da inequação 0 23² 44²    xx xx em R é S = {x ∈ R | ___________}”. Assinale a alternativa que completa corretamente a afirmativa anterior. B) 1 < x < 2. B) x < 1 ou x < 2. C) x < -1 ou 1 < x. D) x < -1 ou 2 < x. RESOLUÇÃO: Trata-se de uma inequação quociente do 2º grau. Para resolvê-la, inicialmente, a separamos em duas inequações, a saber: (I) 044²  xx (II) 023²  xx (CE do denominador) Resolvemos como estivéssemos resolvendo uma equação do 2º grau. Mas, ao final, colocamos as raízes no intervalo. Por soma        a b e produto       a c : Em (I) devemos pensar em dois números reais cuja soma seja 2 e o produto também seja 2. Neste caso, as raízes serão iguais a 2, ou seja, 221  xx .
  4. 4. SEARH – SEEC / RN | Conhecimentos Específicos – Professor de Matemática / 2015 PROVA RESOLVIDA E COMENTADA BANCA: IDECAN Por prof. Medeiros de Lima Todos os direitos reservados (Lei nº 9.610 / 1998) 2 + + + + + + + + + + + + 2 + + - - - - - + + + + + + + + 1 2 + + - - - - - + + + + + + + + 1 2 Em (II) devemos pensar em dois números reais cuja soma seja igual a 3 e o produto seja igual a 2. Neste caso, as raízes serão 1 ou 2, i.e., 11 x ou 22 x . Pondo (I) e (II) nos intervalos, temos: (I): (II): (I) e (II): De (I) e (II) concluímos que os intervalos que satisfazem a inequação 0 23² 44²    xx xx são x < 1 ou 2 < x. Logo, S = { x ∈ R | x < 1 ou 2 < x}. Portanto, a resposta correta é a letra B). QUESTÃO 40: Em uma escola, para que um professor obtenha progressão funcional na carreira, deve ser avaliado por seus alunos e obter média aritmética superior a 6,0. Na avaliação de dois professores A e B, suas notas foram agrupadas em classes com suas respectivas frequências. Com base nessas informações, é correto afirmar que A) a moda é 6,5 para ambos os professores. B) a média aritmética do professor B é inferior a 5,7. C) a média aritmética de professor A é superior a 6,3. D) ambos os professores obtiveram progressão funcional.
  5. 5. SEARH – SEEC / RN | Conhecimentos Específicos – Professor de Matemática / 2015 PROVA RESOLVIDA E COMENTADA BANCA: IDECAN Por prof. Medeiros de Lima Todos os direitos reservados (Lei nº 9.610 / 1998) RESOLUÇÃO: Para resolvermos essa questão é preciso saber o ponto médio (xi) dos intervalos de classe e o produto do ponto médio pela frequência (fi) de cada classe. Designando como xi.fiA, o produto do ponto médio pela frequência de cada classe do professor A, e xi.fiB, como o produto do ponto médio pela frequência de cada classe do professor B, teremos a tabela a seguir: Nota Frequência (por professor) A B xi.fiA xi.fiB 0,20,0  1 0 1 0 0,40,2  5 7 15 21 0,60,4  14 20 70 100 0,80,6  24 24 168 168 0,100,8  9 2 81 18 Total 53 53 335 307 Antes de analisarmos cada alternativa, vamos convencionar por: (I) MoA: a Moda do professor A; (II) MoB: a Moda do professor B; (III) Ax : a Média Aritmética do professor A; (IV) Bx : a Média Aritmética do professor B. Feito isso, devemos lembrar que quando se trata de uma distribuição de frequência, a Moda (Mo) é dada pela seguinte expressão: Mo = 2 )( Ll  , onde l é o limite inferior da classe modal, e L é o limite superior da classe modal. E a classe modal é aquela que apresenta maior número de frequência dentre todos os intervalos de classe. Já a Média Aritmética ( x ) é dada pela seguinte expressão:   i ii f fx x ).( , onde xi.fi é o produto do ponto médio (xi ) pela frequência (fi) de cada intervalo de classe. Analisando cada alternativa, temos:
  6. 6. SEARH – SEEC / RN | Conhecimentos Específicos – Professor de Matemática / 2015 PROVA RESOLVIDA E COMENTADA BANCA: IDECAN Por prof. Medeiros de Lima Todos os direitos reservados (Lei nº 9.610 / 1998) A) 0,7 2 0,80,6 2      AA oA Ll M (F) B) 79,5 53 307).(    iB iBi B f fx x (F) C) 32,6 53 335).(    iA iAi A f fx x (V) D) Como a Média Aritmética do professor B ( Bx ) foi inferior a 6,0, temos que a afirmação é falsa (F). Logo, a alternativa correta é a letra C). QUESTÃO 41: A soma dos 15 primeiros termos de uma progressão aritmética é de 405. Sabendo-se que a soma dos seus 25 termos é 2050, então seu 20º termo é: A) 159. B) 181. C) 214. D) 280. RESOLUÇÃO: A fórmula do termo geral de uma PA é dada por rnaan ).1(1  , onde: (I) na é o último termo da PA ou considerado o último, para efeito de cálculo; (II) 1a é o primeiro termo da PA; (III) n é a quantidade de termos da PA; (IV) r é a razão da PA. Já a fórmula da soma dos termos de uma PA é dada por: 2 ).( 1 naa S n n   , onde nS é a soma dos n primeiros termos da PA. Sabendo essas fórmulas, vamos à resolução. Se a soma dos 15 primeiros termos da PA é igual a 405, então devemos achar o último termo dessa PA, admitindo inicialmente que ela possui 15 temos, e em seguida aplicar o valor na fórmula da soma. Assim, teremos: raraa 14).115( 1115  e 40510515 2 21030 2 15).142( 2 15).14( 1 1111 15        ra rararaa S eq. 1 De modo análogo, para a soma dos seus 25 termos, teremos: raraa 24).125( 1125  e 205030025 2 60050 2 25).242( 2 25).24( 1 1111 25        ra rararaa S eq. 2
  7. 7. SEARH – SEEC / RN | Conhecimentos Específicos – Professor de Matemática / 2015 PROVA RESOLVIDA E COMENTADA BANCA: IDECAN Por prof. Medeiros de Lima Todos os direitos reservados (Lei nº 9.610 / 1998) As equações 1 e 2 formam o seguinte sistema do 1º grau: 205030025 40524 1 1   ra ra Resolvendo-o, encontramos 501 a e 11r . Logo, 1592195019).120( 1120  raraa . Portanto, a resposta correta é a letra A). QUESTÃO 42: A soma de uma progressão aritmética formada por seis números inteiros é igual a 156. Se se adicionar mais um termo a essa progressão, logo após o sexto termo, sua soma ficará aumentada em 47. Assim, a razão r dessa progressão, com r ∈ R, é: B) 5. B) 6. C) 7. D) 8. RESOLUÇÃO: Semelhantemente à questão anterior, temos: 1561563).52( 2 6).5( 11 11 6    rara raa S (eq.1) e 20347156217 2 4214 2 7).62( 2 7).6( 1 1111 7        ra rararaa S (eq. 2). Ficamos com o seguinte sistema do 1º grau: 203217 156156 1 1   ra ra Resolvendo-o, encontramos r = 6. Logo, a resposta correta é a letra B). QUESTÃO 43: Um serviço de entregas de drones possui dois pacotes disponíveis a seus clientes: SmartEpress (SE) e LongWay (LW). No pacote LW, paga-se uma tarifa fixa de R$ 12,25 acrescida de R$ 0,45 por quilômetro percorrido pelo drone. No pacote SE, por sua vez, não há tarifa, mas paga-se R$ 0,80 por quilômetro percorrido. Dessa forma, o pacote SE permanecerá mais vantajoso para o cliente enquanto a distância percorrida for, em km, inferior a: C) 28. B) 29. C) 33. D) 35. RESOLUÇÃO: Seja d a distância percorrida pelos drones em ambos os pacotes. Assim, para LW e SE temos as seguintes equações: LW: 0,45d + 12,25 (valor fixo) eq. 1 SE: 0,8d eq. 2
  8. 8. SEARH – SEEC / RN | Conhecimentos Específicos – Professor de Matemática / 2015 PROVA RESOLVIDA E COMENTADA BANCA: IDECAN Por prof. Medeiros de Lima Todos os direitos reservados (Lei nº 9.610 / 1998) Se SE (eq. 2) = LW (eq. 1), encontramos d = 35 km. Isso quer dizer que se as distâncias percorridas em ambos os pacotes forem de 35 km, os valores pagos pelos clientes serão iguais em ambos os pacotes. Mas queremos o valor de d para qual o pacote SE (eq. 2) é inferior ao pacote LW (eq. 1). Assim, ficaremos com a seguinte inequação do 1º grau: 25,1245,08,0  dd Resolvendo-a, teremos: 35 35,0 25,12 25,1235,025,1245,08,0  ddddd Portanto, a resposta correta é a letra D). QUESTÃO 44: Paulo comprou em uma loja de eletrodomésticos um fogão por R$ 340,00 e uma lavandeira por R$ 670,00. Ao dirigir-se ao caixa, foi agraciado com a feliz notícia de que era o cliente número 1000000 e que, por isso, a loja lhe concederia desconto de 50% no valor do fogão e que, além disso, receberia desconto de 35% na compra de um terceiro produto. Dessa forma, se Paulo pagou o valor de R$ 983,00, então o valor que teria pagado pelos três produtos, caso não houvesse qualquer desconto é, em R$: A) 1153,00. B) 1119,00. C) 1205,00. D) 1230,00. RESOLUÇÃO: Fogão: R$ 340,00. Com o desconto de 50% ficou por 340 – (0,5. 340) = R$ 170,00. Lavanderia: R$ 670,00. Seja P3 o terceiro produto que Paulo comprou. Como ele obteve 35% de desconto na compra desse produto, teremos a seguinte expressão matemática para representar essa situação: 33 65,0)5,01( PP  Assim, se Paulo pagou R$ 983,00 pelos três produtos, ficamos com a seguinte equação: 98365,0670170 3  P Resolvendo-a, encontramos P3 = R$ 220,00. Logo, o valor que Paulo pagaria pelos três produtos, caso não houvesse nenhum desconto, é: 00,1230$00,220$00,670$00,340$3 RRRRPlavanderiaFogão  Portanto, a resposta correta é a letra D). QUESTÃO 45: Se 3 é raiz do polinômio P(x) ≡ kx³ - 3x – 7x – 3k, com k ϵ N, então: A) 9 < k. B) k < 2. C) 2 ≤ k <5. D) 5 ≤ k < 9. RESOLUÇÃO:
  9. 9. SEARH – SEEC / RN | Conhecimentos Específicos – Professor de Matemática / 2015 PROVA RESOLVIDA E COMENTADA BANCA: IDECAN Por prof. Medeiros de Lima Todos os direitos reservados (Lei nº 9.610 / 1998) Se 3 é raiz de P(x) ≡ kx³ - 3x – 7x – 3k, então: 24824 03212727 033.73.33. 23    kk kk kk Logo, o único intervalo que inclui o 2 é a letra C). QUESTÃO 46: O primeiro termo de uma progressão geométrica é 50 2 1 . Sabendo-se que o nono termo dessa progressão é 34 2 1 , então, a razão q, com q ϵ R, é: A) 4. B) 6. C) 7. D) 8. RESOLUÇÃO: Do enunciado sabemos que: 501 2 1 a e 349 2 1 a . A fórmula do termo geral de uma PG é dada por 1 1.   n n qaa , onde: na é o último termo da PG; 1a é o primeiro termo da PG; q é a razão da PG; n é a quantidade de termos da PG. Queremos encontrar o valor de q (razão). Basta substituirmos os valores do enunciado na fórmula do termo geral da PG e resolver a expressão. Assim, teremos: 4222 22.. 2 1 2 1 28 16168 503488 50349   qqq qqa Logo, a alternativa correta é a letra A). QUESTÃO 47: Um plano contém doze pontos. Considerando-se que NÃO existem pontos que estejam alinhados, o número de triângulos que se pode formar com esses pontos é: A) 120. B) 220. C) 340. D) 720. RESOLUÇÃO: O plano é formado por 12 pontos. O número mínimo de pontos que formam um triângulo é 3. Como não existem pontos alinhados, o número de triângulos que se pode formar com esses pontos será uma combinação de 12 tomados 3 a 3. Ou seja:
  10. 10. SEARH – SEEC / RN | Conhecimentos Específicos – Professor de Matemática / 2015 PROVA RESOLVIDA E COMENTADA BANCA: IDECAN Por prof. Medeiros de Lima Todos os direitos reservados (Lei nº 9.610 / 1998)        p n C pn, . Neste caso, n = 12 e p = 3. Assim, teremos: 22010.22 6 10.11.12 !9!3 !12 3 12 3,12       C Logo, a resposta correta é a letra B). QUESTÃO 48: Em uma indústria, o lote de produtos L1 possui 100 unidades das quais 30 estão defeituosas. Outro lote, L2, possui 120 unidades das quais 40 estão defeituosas. Para testar-se a segurança de um sistema de controle de qualidade manual por amostragem, uma unidade é retirada ao acaso de cada lote. Dessa forma, a probabilidade de que a unidade retirada de L1 seja defeituosa e a de L2, perfeita é: A) 0,2. B) 0,25. C) 0,36. D) 0,42. RESOLUÇÃO: L1 possui 100 unidades, das quais 30 apresentam defeitos; e L2 possui 120 unidades, das quais 40 apresentam defeitos. A probabilidade de que uma peça retirada do lote L1 seja defeituosa é: 10 3 100 30 1 LP E a probabilidade de que uma peça retirada do lote L2 seja perfeita é: 3 2 120 80 120 40120 2   LP A resposta será dada por: 2,0 5 1 10 2 3 2 . 10 3 21  LL PP Logo, a resposta correta é a letra A). QUESTÃO 49: Na década de 1990, Luiz vendia cartões telefônicos com três opções de créditos, 10, 25 e 60 e preços unitários de R$ 1,00, R$ 2,00 e R$ 3,00, respectivamente. Certo dia, vendeu 40 cartões obtendo, no total, R$ 83,00. Ao final do dia, porém, perdeu os cartões de 25 créditos que lhe sobraram. Apesar disso, precisava saber quantos desses cartões havia vendido. Sabendo-se que o número de cartões de 10 créditos vendidos é 25% menos que o número de cartões de 60 créditos vendidos, então o número de cartões de 25 créditos vendidos foi: A) 12. B) 17. C) 19. D) 21. RESOLUÇÃO:
  11. 11. SEARH – SEEC / RN | Conhecimentos Específicos – Professor de Matemática / 2015 PROVA RESOLVIDA E COMENTADA BANCA: IDECAN Por prof. Medeiros de Lima Todos os direitos reservados (Lei nº 9.610 / 1998) Denotando por x, y e z, respectivamente, os cartões telefônicos de 10, 25 e 60 créditos, respectivamente, do enunciado, temos: )3.(%75 )2.(8332 )1.(40 eqzx eqzyx eqzyx    Substituindo (eq. 3) em (eq. 2), encontramos a eq. 4: )4.(8375,32 eqzy  Substituindo (eq. 3) em (eq. 1), encontramos a eq. 5: )5.(4075,1 eqzy  Com as equações 4 e 5 chegamos a outro sistema do 1º grau com duas incógnitas e duas equações: )5.(4075,1 )4.(8375,32 eqzy eqzy   Resolvendo esse novo sistema, encontramos 12z e 19y . Como denominamos de y os cartões de 25 créditos, segue que a resposta correta é a letra C). QUESTÃO 50: Um triângulo ABC foi desenhado no plano cartesiano. Considerando os pontos A (1, 2), B (-3, 1) e C (-1, -2), a área desse triângulo é, em unidade de área: A) 6. B) 7. C) 9. D) 11. RESOLUÇÃO: Esse ABC pode ser representado pela figura abaixo. Considerando que ele esteja no plano cartesiano, sua área será dada pela seguinte expressão: 1 1 1 . 2 1 33 22 11 yx yx yx S  Substituindo os pontos na expressão acima, temos: 714. 2 1 )]216(612.[ 2 1 121 113 121 . 2 1   ABCS u.a. Logo, a resposta correta é a letra B). QUESTÃO 51: Considere uma matriz 33)( xijaA  , com jiaij  2 e outra matriz diagonal 33)( xijbB  , cujos elementos não nulos são tais que jibij 23  . O determinante da matriz D, tal que BAD  , é:
  12. 12. SEARH – SEEC / RN | Conhecimentos Específicos – Professor de Matemática / 2015 PROVA RESOLVIDA E COMENTADA BANCA: IDECAN Por prof. Medeiros de Lima Todos os direitos reservados (Lei nº 9.610 / 1998) A) -12. B) -15. C) -27. D) -47. RESOLUÇÃO: A matriz A é:                           345 123 101 33.223.213.2 32.222.212.2 31.221.211.2 A Já a matriz B só possui elementos na diagonal principal, pois se trata de uma matriz diagonal. Os demais são nulos. A matriz B ficará assim:                          300 020 001 3.23.300 02.22.30 001.21.3 B                                    045 103 100 300 020 001 345 123 101 BAD Já o determinante da matriz D é: 12)000(1200 045 103 100 )(   DDet Portanto, a resposta correta é a letra A). QUESTÃO 52: Uma cidade B dista de C 250 km. Entretanto, não há rodovia que ligue B diretamente a C, de modo que para chegar a C partindo de B deve-se passar pela cidade A. Sabe-se que esse trajeto forma um triângulo BAC, tal que º30)( CABm  , e que a distância entre as cidades A e B é de 400 km. Dessa forma, a distância entre A e C é, km: A) 360. B) 480. C) 500. D) 560. RESOLUÇÃO: A figura abaixo ilustra essa situação:
  13. 13. SEARH – SEEC / RN | Conhecimentos Específicos – Professor de Matemática / 2015 PROVA RESOLVIDA E COMENTADA BANCA: IDECAN Por prof. Medeiros de Lima Todos os direitos reservados (Lei nº 9.610 / 1998) RESOLUÇÃO: Como o BAC não é retângulo, não podemos usar o Teorema de Pitágoras. Logo, temos que utilizar a lei dos cossenos. Da figura abaixo tiramos as relações possíveis dessa lei: Comparando as figuras, temos que: º30 250 400      kmc kmb da Portanto, a relação fica assim: 0975003400² 2 3 800160000²62500 º30cos..400.2²²400²250 cos.2²²²     dd dd dd dbbdc           kmd kmd d 41,196 41,496 2 900003400 90000390000480000 2 1 Logo, a questão foi anulada. QUESTÃO 53: Um triângulo possui lados 4 cm, 5 cm e 7 cm. Logo, sua área, em cm², é: A) 62 . B) 64 . C) 32 . D) 34 . RESOLUÇÃO: A área de um triângulo, conhecendo-se as medidas dos lados, é dada pela expressão: )]).().(.[( csbsassS  , onde:    cos.2²²² cos.2²²² cos.2²²² abbac accab bccba    Nota: Embora 41,4961 d km se aproxime da alternativa C) que, antes dos recursos impetrados pelos candidatos, seria a resposta correta, a questão foi anulada, pois o enunciado pede o valor exato da distância entre as duas cidades A e C. E o valor encontrado é aproximado, o que induz o candidato ao erro. Outra justificativa para a anulação é que a questão não fornece o valor da 3 , o que, dependendo da quantidade de casas decimais utilizadas pelo candidato, a resposta se distancia, para mais ou para menos, do valor esperado.
  14. 14. SEARH – SEEC / RN | Conhecimentos Específicos – Professor de Matemática / 2015 PROVA RESOLVIDA E COMENTADA BANCA: IDECAN Por prof. Medeiros de Lima Todos os direitos reservados (Lei nº 9.610 / 1998) A B C d a 2a S é a área do triângulo; s é o semiperímetro do ABC ; a , b e c são os lados do triângulo. Assim: cm cba s 8 2 754 2      ²64961.3.4.8)]78).(58).(48.[(8 cmS ABC  Logo, a resposta correta é a letra B). QUESTÃO 54: Um cubo foi inscrito em uma esfera de raio 4 cm. Dessa forma, a área total do cubo, em cm², é: A) 32. B) 72. C) 96. D) 128. RESOLUÇÃO: Vamos ilustrar essa situação com a figura abaixo: Se o raio da esfera é de 4 cm, então seu diâmetro é de 2.4 = 8 cm. Observe que em um cubo inscrito em uma esfera, sua diagonal coincide com o diâmetro da esfera. Portanto d = 8 cm. Como um cubo é composto por seis faces quadradas e sabendo que o lado mede a, conforme a figura acima, aplicando o teorema de Pitágoras na face da base, encontramos o valor da diagonal da base, a saber: 2a cm. Agora, utilizamos o ABC abaixo para encontrarmos o valor de d: Por Pitágoras novamente, temos que cmad 3 . Substituindo d por 8 cm, temos que:
  15. 15. SEARH – SEEC / RN | Conhecimentos Específicos – Professor de Matemática / 2015 PROVA RESOLVIDA E COMENTADA BANCA: IDECAN Por prof. Medeiros de Lima Todos os direitos reservados (Lei nº 9.610 / 1998) cma 3 38 3.3 3.8 3 8  . Agora, como o cubo é composto por seis faces quadradas, e conhecendo-se o valor de a, temos que sua área será dada por: ²128 9 3.64.6 3 3.8 .6²6 2 cmaScubo           Portanto, a resposta correta é a letra D). QUESTÃO 55: Analise as afirmativas a seguir, marque V para as verdadeiras e F para as falsas. ( ) z = (2p + 8) + 3i é imaginário puro para p = -4. ( ) z = (k + 2) + (k² - 4)i é real e não nulo se k = -2. ( ) Se z = a + bi, então zz  é sempre real. A sequência está correta em A) V, F, V. B) V, F, F. C) V, V, F. D) F, F, V. RESOLUÇÃO: Para a primeira afirmativa, temos que um número complexo da forma z = a + bi é imaginário puro se, e somente se, a = 0. Neste caso, devemos ter 2p + 8 = 0, o que resulta em p igual p = - 4. (V). Na segunda afirmativa, z = a + bi é real e não nulo se a ≠ 0, o que resulta em k ≠ - 2. (F). Já a terceira afirmativa diz que a soma de um número complexo z = a + bi com seu conjugado biaz  é sempre real. De fato. Veja: aiaibbaabiabiazz 2.02)()()()(  (V). Logo, a resposta correta é a letra A). QUESTÃO 56: Analise as afirmativas a seguir, marque V para as verdadeiras e F para as falsas. ( ) Sendo n um número natural ímpar, então n a R , se Ra . ( ) A Fração geratriz da dízima 0,4141... é 99 41 . ( ) Entre dois números racionais existe sempre outro número racional. A sequência está correta em A) V, V, V. B) V, F, V. C) F, V, F. D) F, V, V.
  16. 16. SEARH – SEEC / RN | Conhecimentos Específicos – Professor de Matemática / 2015 PROVA RESOLVIDA E COMENTADA BANCA: IDECAN Por prof. Medeiros de Lima Todos os direitos reservados (Lei nº 9.610 / 1998) RESOLUÇÃO: Na primeira afirmativa, temos que  n  N ímpar e Ra , Raa nn  1 (V). A segunda afirmativa pode ser verificada através da seguinte relação: (I) t...4141,0 e; (II) t100...4141,41  , pois a vírgula foi deslocada duas casas decimais para a direita da dízima periódica simples. Para encontrarmos a fração geratriz, basta fazermos (II) – (I), a saber: 99 41 4199...4141,0...4141,41100  tttt (V). A terceira afirmativa também é verdadeira. Veja: Sejam b a e d c (com a, b, c e d  ao conjunto dos números inteiros, e b e d ≠ 0) dois números racionais. Assim bd bcad d c b a   . Ora, ad é inteiro e bc também é. Logo ad + bc também é um número inteiro. Como bd também é um número inteiro, segue que: racional eiro eiro f e bd bcad d c b a    int int (V). Logo, a resposta correta é a letra A). QUESTÃO 57: O quarto termo do binômio 4 )2( x segundo as potências decrescentes de x, com x  R, é: A) 16x. B) 24x. C) 32x. D) 48x. RESOLUÇÃO: O binômio de Newton permite escrever na forma canônica o polinómio correspondente à potência de um binômio. A fórmula do termo geral de um binômio da forma n ba )(  é dada por kkn k ba k n T ..1          , onde T é o termo que queremos encontrar; a e b correspondem aos primeiro e segundo termos, respectivamente; n é o expoente da expressão n ba )(  e; k é o termo antecessor ou número do termo que queremos encontrar. Antes de aplicarmos a fórmula, vamos encontrar o valor de k. Como queremos o quarto termo de 4 )2( x , então 31441  kkk . Então teremos:
  17. 17. SEARH – SEEC / RN | Conhecimentos Específicos – Professor de Matemática / 2015 PROVA RESOLVIDA E COMENTADA BANCA: IDECAN Por prof. Medeiros de Lima Todos os direitos reservados (Lei nº 9.610 / 1998) .4 ;2 ; ;3     n b xa k xxxxxxT 328.48. 1 4 8. !3 !4 8.. 3 4 2.. 3 4 334 3               Logo, a resposta correta é a letra C).

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