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Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780
                                              "Escola em processo de mudança“




Disciplina:   Matemática                            Professora:   Manuela Lopes   Ano Lectivo:   2011-2012   2ºPeriodo



Tema:         Introdução ao Cálculo Diferencial I   Aula:         65     Data:    06-3-2012      Hora:       12:00-13:30



Sub-tema:     Sinal da função derivada, sentido     Turma:        11ºA   Sala:    1.1.2          Duração:    90´
              de variação e extremos relativos de
              uma função.




                                                                           Manuela Lopes                                   1
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Lição nº 65                             Data: 06-3-2012

  Sumário:
 Sinal da derivada e sentido de
 variação.
 Resolução da tarefa 19 do
 manual escolar e de uma ficha
 de trabalho.
                                            Manuela Lopes       2
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O conceito de derivada teve a sua
génese a partir da resolução de
problemas ligados à determinação de
velocidades, tangentes, máximos e
mínimos, taxas de variação, que tem
aplicações práticas nos mais diversos
campos, como mecânica, engenharia,
física, biologia e economia.
     A derivada é uma ferramenta
poderosa para o estudo e análise de
                funções.


                                                       Manuela Lopes       3
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Hoje vamos aprender a relacionar o sinal da derivada de
uma função num intervalo ]a, b[, com o crescimento ou
decrescimento da função no referido intervalo.




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 Objectivos:
Relacionar monotonia de uma função e o sinal da sua
derivada;
Estudar a monotonia de uma função;
Analisar o sentido de variação de uma função;
Associar o sinal da derivada ao sentido de variação de
uma função;
Utilizar o quadro de sinal.


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   Desenvolvimento da escola virtual




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   Relação entre uma função e o sinal da sua
                    derivada




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     Estratégia para o estudo da derivada e o
        sentido de variação de uma função

   1º Determina-se a derivada da função dada.
   2º Calcula-se os zeros da derivada.
   3º Constrói-se um quadro de sinal onde se
    estuda o sinal da derivada.
   4º No mesmo quadro de sinal estuda-se o
    sentido de variação da função.
   5º Apresenta-se o estudo final em forma de
    intervalo.
                                                   Manuela Lopes       14
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 Exemplos    1
                                No referencial da figura
                                 está representada a
                                 função g.
                                A partir da observação do
                                 gráfico da função g,
                                 completa a seguinte tabela
                                 de sinal da derivada de g,
                                 com os sinais + ou - .



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 Exemplos        1




 Podemos concluir que:
 A função g é estritamente crescente nos
  intervalos ]-, -2[ e ]-1, 1[ e ] 2, +[
 A função g é estritamente decrescente no
  intervalo ]-2,-1] e ]1, 2[
                                              Manuela Lopes       16
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 Exemplos        2

   Estude a variação da seguinte
    função cúbica

g ( x)  x  3 x  1
           3




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 Exemplos                   2




 x      -   -1          1    +
                                     Conclusão:
                                     g(x) é estritamente crescente
g´(x)   +    0    -      0     +
                                     em ]-, -1[ e ]1, +[
g(x)
                                     g(x) é estritamente
                                     decrescente em ]- 1,1 [
                                                         Manuela Lopes       18
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   Exemplos            2
Relacionando o gráfico da função f, a vermelho,
com o gráfico da sua derivada f´, a verde, verifica-
se a conclusão anterior.




      g(x) é estritamente crescente em ]-, -1[ e ]1, +[
      g(x) é estritamente decrescente em ]- 1,1 [
                                                    Manuela Lopes       19
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 Praticar    os conceitos




   Tarefa 19 – página 82
   Ficha de trabalho




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     Síntese aula

                 Se uma função admite
                 derivada positiva em
                 todos os pontos de um
                 intervalo ] a, b [, então
                 a função é estritamente
                 crescente           nesse
                 intervalo.


                                   Manuela Lopes       21
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     Síntese aula

                Se uma função admite
                derivada negativa em
                todos os pontos de um
                intervalo ] a,b [, então a
                função é estritamente
                decrescente         nesse
                intervalo.


                                   Manuela Lopes       22
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    Síntese aula


                       Se uma função tem
                       derivada nula em
                       todos os pontos de
                       um intervalo ] a,b [,
                       então a função é
                       constante      nesse
                       intervalo.


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Objectivos:
Determinar os extremos relativos de uma
função usando a derivada;
Dar exemplos de funções que não têm
derivada num ponto mas tem extremos nesse
ponto.




                                           Manuela Lopes       24

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  • 3. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“ O conceito de derivada teve a sua génese a partir da resolução de problemas ligados à determinação de velocidades, tangentes, máximos e mínimos, taxas de variação, que tem aplicações práticas nos mais diversos campos, como mecânica, engenharia, física, biologia e economia. A derivada é uma ferramenta poderosa para o estudo e análise de funções. Manuela Lopes 3
  • 4. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“ Hoje vamos aprender a relacionar o sinal da derivada de uma função num intervalo ]a, b[, com o crescimento ou decrescimento da função no referido intervalo. Manuela Lopes 4
  • 5. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“ Objectivos: Relacionar monotonia de uma função e o sinal da sua derivada; Estudar a monotonia de uma função; Analisar o sentido de variação de uma função; Associar o sinal da derivada ao sentido de variação de uma função; Utilizar o quadro de sinal. Manuela Lopes 5
  • 6. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“ Manuela Lopes 6
  • 7. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“  Desenvolvimento da escola virtual Manuela Lopes 7
  • 8. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“  Desenvolvimento da escola virtual Manuela Lopes 8
  • 9. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“  Desenvolvimento da escola virtual Manuela Lopes 9
  • 10. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“  Desenvolvimento da escola virtual Manuela Lopes 10
  • 11. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“  Desenvolvimento da escola virtual Manuela Lopes 11
  • 12. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“  Desenvolvimento da escola virtual Manuela Lopes 12
  • 13. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“  Relação entre uma função e o sinal da sua derivada Manuela Lopes 13
  • 14. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“ Estratégia para o estudo da derivada e o sentido de variação de uma função  1º Determina-se a derivada da função dada.  2º Calcula-se os zeros da derivada.  3º Constrói-se um quadro de sinal onde se estuda o sinal da derivada.  4º No mesmo quadro de sinal estuda-se o sentido de variação da função.  5º Apresenta-se o estudo final em forma de intervalo. Manuela Lopes 14
  • 15. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“  Exemplos 1  No referencial da figura está representada a função g.  A partir da observação do gráfico da função g, completa a seguinte tabela de sinal da derivada de g, com os sinais + ou - . Manuela Lopes 15
  • 16. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“  Exemplos 1  Podemos concluir que:  A função g é estritamente crescente nos intervalos ]-, -2[ e ]-1, 1[ e ] 2, +[  A função g é estritamente decrescente no intervalo ]-2,-1] e ]1, 2[ Manuela Lopes 16
  • 17. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“  Exemplos 2  Estude a variação da seguinte função cúbica g ( x)  x  3 x  1 3 Manuela Lopes 17
  • 18. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“  Exemplos 2 x - -1 1 + Conclusão: g(x) é estritamente crescente g´(x) + 0 - 0 + em ]-, -1[ e ]1, +[ g(x) g(x) é estritamente decrescente em ]- 1,1 [ Manuela Lopes 18
  • 19. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“  Exemplos 2 Relacionando o gráfico da função f, a vermelho, com o gráfico da sua derivada f´, a verde, verifica- se a conclusão anterior. g(x) é estritamente crescente em ]-, -1[ e ]1, +[ g(x) é estritamente decrescente em ]- 1,1 [ Manuela Lopes 19
  • 20. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“  Praticar os conceitos Tarefa 19 – página 82 Ficha de trabalho Manuela Lopes 20
  • 21. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“ Síntese aula Se uma função admite derivada positiva em todos os pontos de um intervalo ] a, b [, então a função é estritamente crescente nesse intervalo. Manuela Lopes 21
  • 22. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“ Síntese aula Se uma função admite derivada negativa em todos os pontos de um intervalo ] a,b [, então a função é estritamente decrescente nesse intervalo. Manuela Lopes 22
  • 23. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“ Síntese aula Se uma função tem derivada nula em todos os pontos de um intervalo ] a,b [, então a função é constante nesse intervalo. Manuela Lopes 23
  • 24. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“ Objectivos: Determinar os extremos relativos de uma função usando a derivada; Dar exemplos de funções que não têm derivada num ponto mas tem extremos nesse ponto. Manuela Lopes 24