Triângulo retângulo1

958 visualizações

Publicada em

teste para moodle

Publicada em: Educação
0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
958
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
32
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
11
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Triângulo retângulo1

  1. 1. 2º Ano (Ensino Médio) Trigonometria Professor: Rangel Carvalho de Freitas
  2. 2. Trigonometria no Triângulo Retângulo (Aula 1)
  3. 3. . hipotenusa cateto cateto A B C O Triângulo Retângulo
  4. 4. Cateto adjacente a B Cateto oposto a B A B C O Triângulo Retângulo .
  5. 5. Cateto oposto a C Cateto adjac. a C A B C O Triângulo Retângulo .
  6. 6. Hipotenusa Cateto oposto a B O Seno, o cosseno e a tangente de ângulo agudo de um triângulo retângulo A B C . seno de B = a b sen B = a b c ⇒ Hipotenusa Cateto oposto a C seno de C = a c sen C =⇒
  7. 7. Hipotenusa Cateto adjac. a B O Seno, o cosseno e a tangente de ângulo agudo de um triângulo retângulo cosseno de B = a c cos B =⇒ A B C . a b c Hipotenusa Cateto adjac. a C cosseno de C = a b cos C =⇒
  8. 8. O Seno, o cosseno e a tangente de ângulo agudo de um triângulo retângulo Cateto adjac. a B Cateto oposto a B tangente de B = c b tg B =⇒ A B C . a b c Cateto adjac. a C Cateto oposto a C tangente de C = b c tg C =⇒
  9. 9. O Seno, o cosseno e a tangente de ângulo agudo de um triângulo retângulo 10 6 sen B = A B C . 10 6 8 8 6 tg B = Exemplo: Determine o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos agudos do triângulo abaixo: 10 8 cos B = : 2 : 2 5 3 = : 2 : 2 5 4 = : 2 : 2 4 3 =  Exercício: Faça o mesmo para o ângulo C.
  10. 10. Observações preliminares: 5 cm 3 cm sen B = A B C . 5 cm 3 cm 4 cm 1. As razões seno, cosseno e tangente são razões entre grandezas da mesma espécie e, portanto, constituem um número puro; 5 3 = O mesmo ocorre com as outras razões trigonométricas. Exemplo:
  11. 11. Observações preliminares: A B C . 2. Os ângulos agudos de um triângulo retângulo somam 90º, isto é, são complementares. Conclusão: Os ângulos B e C são complementares. Exemplo: A + B + C = 180º 90º + B + C = 180º B + C = 180º – 90º B + C = 90º
  12. 12. Proposições 5 cm 3 cm sen B = A B C . 5 cm 3 cm 4 cm Proposição 1. 5 3 = Exemplo: Em todo triângulo retângulo o seno de um ângulo agudo é igual ao cosseno do seu complemento. 5 cm 3 cm cos C = 5 3 = sen B = cos C
  13. 13. Proposições 4 cm 3 cm tg B = A B C . 5 cm 3 cm 4 cm Proposição 2. 4 3 = Exemplo: Em todo triângulo retângulo a tangente de um ângulo agudo é igual ao inverso da tangente do seu complemento. 3 cm 4 cm tg C = 3 4 = tg B = tg C 1
  14. 14. Proposições tg B = Proposição 3. 5 3 = Exemplo: A tangente de um ângulo (agudo, neste caso) é igual à razão entre o seno e o cosseno do mesmo ângulo. Matematicamente: tg B = cos B sen B tg C = cos C sen C e sen B = 5 3 cos B = 5 4 tg B = cos B sen B ⇒5 cm 3 cm 4 cm A B C . ⇒ ⇒ 5 3 5 4 x 4 5 = 4 3
  15. 15. Proposições Proposição 4 (Relação Fundamental). No triângulo ABC, valem as seguintes relações: sen B 2 + cos B 2 = 1 e sen C 2 + cos C 2 = 1 A B C . a b c
  16. 16. Proposições Proposição 4 (Relação Fundamental). Prova (para o ângulo B): A B C . a b c sen B a b = cos B a c = Então: sen B 2 + cos B 2 = a b 2 + a c 2 = a b 2 + a c 2 2 2 = = b 2 + a c 2 2 = a a 2 2 = 1 a 2 = b 2 + c 2 (Teorema de Pitágoras)
  17. 17. Valores das razões seno, cosseno e tangente de 45º, 30º e 60º 30o 45o 60o seno cosseno tangente 2 1 2 3 3 3 2 2 2 2 2 3 2 1 31
  18. 18. . 85º 28,6 m Resolução de Exercícios 1. A torre Eiffel, a maior antes da era da televisão, foi concluída em 31 de março de 1889. Veja a figura e determine a altura dessa torre. h tg 85º = 28,6 h 11,4 = 28,6 h 11,4= 28,6h . 326,04 m≈h cateto oposto cateto adjacente
  19. 19. Resolução de Exercícios 2. A uma distância de 40 m, uma torre é vista sob um ângulo α, como nos mostra a figura. Determine a altura h da torre se: tg 20º = 40 h 0,36 = 40 h 40= 0,36h . 14,4 m≈h cateto oposto cateto adjacente h . 40 m α a) α = 20º b) α = 40º 20º =
  20. 20. Resolução de Exercícios 2. A uma distância de 40 m, uma torre é vista sob um ângulo α, como nos mostra a figura. Determine a altura h da torre se: tg 40º = 40 h 0,83 = 40 h 40= 0,83h . 33,2 m≈h cateto oposto cateto adjacente h . 40 m α b) α = 40º 40º =
  21. 21. Resolução de Exercícios 3. Uma escada rolante liga dois andares de um shopping e tem uma inclinação de 30º. Sabendo-se que a escada rolante tem 12 metros de comprimento, calcule a altura de um andar para o outro. sen 30º = 12 h = 12 h 12=2h 6 m=h cateto oposto hipotenusa h 12 m 30º . 2 1 =h 2 12 ⇒
  22. 22. . Resolução de Exercícios 4. Na construção de um telhado, foram usadas telhas francesas e o “caimento” do telhado é de 20º em relação ao plano horizontal. Sabendo que, até a laje do teto a casa tem 3 m de altura, determine a que altura se encontra o ponto mais alto do telhado dessa casa. (Dados: sen 20º = 0,34 , cos 20º = 0,94 e tg 20º = 0,36 e ). sen 20º = 4 x = 4 x 4=x 1,36 m cateto oposto hipotenusa 0,34 0,34. =x 20º 4 3 h x? h = 3 + x h = 3 + 1,36 h = 4,36 m
  23. 23. Resolução de Exercícios 5. Uma pipa é presa a um fio esticado que forma um ângulo de 45º com o solo. O comprimento do fio é de 80 m. Determine a altura da pipa em relação do chão. sen 45º = 80 x = 80 x 80=2x hipotenusa cateto oposto . =x . x 80 m 45º 2 2 2 80 2 2 40 ⇒ 40=x 2 m
  24. 24. Resolução de Exercícios 6. A 100 m da base, um observador avista a extremidade de uma torre sob um ângulo de 60º com a horizontal. Qual a altura dessa torre? tg 60º = 100 h = 100 h 100=h . 3 3 100=h 3 m . 100 m 60º h cateto adjacente cateto oposto
  25. 25. Resolução de Exercícios 7. Num triângulo retângulo a hipotenusa mede 12 cm e um dos catetos mede 6 cm. A medida do outro cateto é: a) 2 cm6 b) 3 cm6 c) 2 cm8 d) 3 cm8 6 cm 12 cm . x (12) 2 = 6 2 + x 2 Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos: 144 = 36 + x 2 144 – 36 = x 2 108 = x 2 ⇒ x = 108 ⇒ x = 3 cm6
  26. 26. Resolução de Exercícios 8. Os dois maiores lados de um triângulo retângulo medem 12 m e 13 m. O perímetro desse triângulo é: a) 30 cm b) 32 cm c) 35 cm d) 36 cm 12 cm 13 cm . x (13) 2 = (12) 2 + x 2 Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos: 169 = 144 + x 2 169 – 144 = x 2 25 = x 2 ⇒ x = 25 ⇒ x = 5 cm p = x + 13 + 12 p = 5 + 13 + 12 p = 30 cm

×