Capítulo 1 apostila_do_curso_de_máquinas_e_acionamentos

CURSO DE MÁQUINAS E ACIONAMENTOS
Prof. Avanir Lessa 1
MÁQUINAS ELÉTRICAS E ACIONAMENTOS
PROFESSOR: AVANIR CARLOS LESSA

Capítulo 1 Circuitos Magnéticos
1.0 Conceitos Básicos
O eletromagnetismo estuda os campos magnéticos criado pela corrente elétrica.
Séculos antes de Cristo, Tales de Mileto havia descrito algo a respeito do magnetismo. O termo
magnetismo provém da Magnésia, nome dado a uma região da Grécia antiga, onde foram encontrados os
primeiros ímãs.
Segundo a história foram os chineses os primeiros a utilizar o imã como bússola para navegação.
Através do tempo, vários indivíduos realizaram estudos relacionados com o imã. Entre eles, o médico
inglês Willian Gilbert (1540-1603) que realizou um estudo científico sobre o magnetismo. Coulomb,
juntamente com o estudo das ações entre cargas elétricas, fez também um estudo quantitativo das ações
entre imãs.
A relação entre fenômenos elétricos e magnéticos somente ficou esclarecida a partir da descoberta
do movimento da agulha uma bússola colocada próxima a um fio conduzindo corrente elétrica, por Orested
(1777-1851). Sucederam-se a Orested outros cientistas com AMPÉRE, FARADAY e MAXWELL. Este
último formulou matematicamente as idéias de Faraday nas famosas “equações de Maxwell, através das
quais foi prevista a existência de ondas eletromagnéticas (ondas de rádio). Além disso, Maxwell, através de
suas equações, demonstrou que a luz se propaga em forma de ondas eletromagnéticas, anexando, desta
forma, a Óptica ao domínio do Eletromagnetismo.
Usando-se as equações de Maxwell, podem-se explicar detalhadamente os fenômenos e as leis da
Óptica. Paralelamente a esse desenvolvimento científico, no campo da tecnologia surgiram o telefone, o
rádio, a telegrafia, a usina elétrica e muitos outros.
Há séculos, o homem observou determinadas pedras que têm a propriedade de atraírem pedaços de
ferro ou interagirem entre si. Essas pedras foram chamadas imãs e os fenômenos, que de modo espontâneo
se manifestavam na natureza, foram denominados fenômenos magnéticos.
Todos os ímãs possuem dois pólos inseparáveis, o norte e o sul. Polos de nomes iguais se repelem
mutuamente, enquanto que os polos de nomes diferentes se atraem.
Denominam-se campo magnético toda região do espaço na qual uma agulha imantada fica sob a
ação de uma força magnética.
1.1 Campo Magnético Criado Por Corente Elétrica
Colocando-se uma bússola próxima de um fio conduzindo corrente elétrica, a agulha da mesma
sofre desvio (experimente).

Esta descoberta foi feita pelo físico dinamarquês Hans Christian Orested no ano de 1820, na
Universidade de Copenhagen e pode ser explicada admitindo-se que a corrente elétrica cria em torno de si
um campo magnético que atua sobre os polos da agulha imantada.
Através desta experiência, verifica-se que o campo magnético pode ser criado também por corrente
elétrica.
Genericamente, define-se campo magnético toda região do espaço em torno de um condutor
percorrido por corrente ou em torno de um ímã, neste caso devido a particulares movimentos que os
elétrons executam no interior de seus átomos.
Segure o condutor abraçando-o com os dedos e mantendo o polegar apontado no sentido da
corrente. Os dedos que envolvem o condutor mostram o sentido das linhas de indução.
Em particular, para a determinação do campo magnético devido á corrente elétrica, foram
estabelecidas várias leis muito importantes na Física. Uma delas é a lei de Biot-Savart, antigamente
chamada Lei elementar de Laplace.
A lei de Biot-Savart estabelece que o vetor indução magnética elementar ∆ em um ponto P,
originado por uma corrente elétrica i, tem as seguintes características:
(a) Sentido do vetor: perpendicular ao plano que se forma;
(b) Intensidade: diretamente proporcional a corrente e a variação do comprimento vezes o seno
do ângulo entre a espira e o plano formado e inversamente proporcional ao quadrado da
distância onde está o objeto que será atingido pelo campo magnético;
(c) Direção: é determinado por uma regra prática que denominamos “regra da mão direita”
“Coloque a mão direita com os quatros dedos lado a lado no mesmo plano que a palma da mão e o
polegar levantando este plano. Aponte o polegar na direção que a corrente está passando ao longo de ∆l, e
os demais dedos no sentido de ∆l para o ponto P, onde o campo está sendo determinado. Note que a palma
da mão estará no plano. O sentido do campo será aquele de trás para a frente da mão, isto é, o sentido no
qual a mão daria um empurrão.”

1.2 Circuitos Magnéticos
As máquinas elétricas são constituídas por circuitos elétricos e magnéticos acoplados entre si. Por
um circuito magnético pode-se entender como um caminho para o fluxo magnético, assim como um
circuito elétrico estabelece o caminho para a corrente elétrica.
Nas máquinas elétricas, os condutores percorridos por correntes elétricas interagem com os campos
magnéticos, originados ou por correntes elétricas em condutores ou imãs permanentes, resultando na
conversão eletromecânica de energia.
Por exemplo: considere um condutor de comprimento ℓ colocado entre os polos de um imã. Seja o
condutor percorrido por uma corrente I e, fazendo um ângulo reto com as linhas de fluxo magnético,
conforme mostrado na Figura abaixo.
Observa-se experimentalmente que o condutor sofre a ação de uma força F, cujo sentido está
mostrado na Figura acima e sua magnitude é:
F = BIℓ (1.1)
F = BIℓsen (1.2)
Nesta expressão, B é a magnitude da densidade de fluxo magnético B, cuja direção é a das linhas de
fluxo. A unidade no SI de B é o tesla (T)
Pela regra da mão direita é determinada o sentido da força eletromotriz induzida, do campo magnético
e do movimento do condutor, conhecida como regra de Fleming. Neste caso o condutor se move.
O fluxo magnético, ∅, através de uma certa superfície aberta ou fechada é o fluxo de B através
dessa superfície, isto é:
∅ = ∫ · = ∫ · (1.3)
Onde n é o vetor normal unitário para fora da área elementar dS da superfície, Figura abaixo. No
caso de B ser constante em magnitude e, em qualquer lugar, se perpendicular à superfície de área A, reduz-
se para:
B B

∅ = BA (1.4)
Da qual:
B =
∅
(1.5)
A unidade no SI de fluxo magnético é o weber (Wb). Verifica-se que a densidade de fluxo
magnético (o tesla-T) também pode ser expressos em Wb/m², isto é, 1 T = 1 W/m².
1.3 Lei de Ampère
A relação entre uma corrente elétrica e um campo magnético é dada pela lei circuital de ampère,
podendo ser escrita como:
∮ · = (1.6)
Onde H é definido como intensidade de campo magnético, em A/m, devido a corrente I.
De acordo com a Equação (1.5), a integral da componente tangencial de H ao longo do caminho
fechado é igual à corrente envolvida pelo caminho.
Quando o caminho fechado é atravessado pela corrente N vezes, como na Figura 1.4, a Equação
(1.5) torna-se:

∮ · = = F (1.7)
Na qual F, ou , é conhecido como força magneto motriz (abreviadamente fmm). Rigorosamente
falando, F tem a mesma unidade (ampères) que I. Entretanto, como em muitos livros, segue-se a
convenção comum citando F em ampères espiras (Aℓ), isto é, considera-se N possuindo uma unidade
adimensional, a espira.
O fluxo magnético, a densidade de fluxo magnético, a força magnetomotriz e a permeabilidade
magnética são quantidades básicas necessárias para a avaliação do desempenho dos circuitos magnéticos.
1.4 Permeabilidade e Saturação
Num meio material isotrópico, H, que é determinado somente pelo movimento de cargas elétricas
(corrente elétrica) e B, que depende também das propriedades do meios, estão relacionados por:
B = H (1.8)
Onde é definido como permeabilidade do meio, medida em henries por metro (H/m).
Considerando um espaço livre, tem-se:
B = H (1.9)
Onde é a permeabilidade do meio (ar). O valor atribuído é:
= 4 · 10 H/m (Este valor também é conhecido como “constante magnética”).
O material do núcleo de uma máquina elétrica é geralmente ferromagnético e, a variação de B com
H não é linear , como mostrado na curva típica abaixo. É claro que a inclinação da curva depende da
densidade de fluxo de operação, estando então a mesma dividida em regiões I, II e III. Isto leva ao conceito
de diferentes tipos de permeabilidade. Então:
B = H = H (1.10)
Na qual é chamado de permeabilidade e = / é denominado de permeabilidade relativa, que
é adimensional). Ambas e variam com H ao longo da curva B – H. As definições a seguir se referem a
permeabilidade relativa, ou seja, a constante estará fatorada.
A permeabilidade diferencial é o valor que corresponde a inclinação da curva B – H num certo
ponto:

= · (1.11)
A permeabilidade inicial é definida como:
= · lim (1.12)
A permeabilidade relativa na região I é aproximadamente constante e igual a permeabilidade inicial.
Em todas as três regiões a razão de B para H, em qualquer ponto da curva corresponde a permeabilidade de
amplitude, conhecida também por permeabilidade total ou normal:
= · (1.13)
1.5 Lei dos Circuitos Magnéticos
Um circuito magnético é análogo a um circuito de corrente contínua, em alguns aspectos. Abaixo a
Tabela 1 que resume esta similaridade.
Na tabela, ℓ é o comprimento e A é a área da seção transversal do caminho, ou para a corrente no
circuito elétrico, ou para o fluxo no circuito magnético.
O ∅ é análogo a I e R é análogo a R . As leis para os resistores em série ou em paralelo também
valem para as relutâncias.
A diferença básica entre a resistência elétrica R e a relutância magnética R é que a primeira está
associada a uma perda de energia, cujo valor é R·I , enquanto a última não.
Além disso, o fluxo magnético apresenta caminhos de dispersão, enquanto as corentes elétricas
normalmente não o fazem.

Circuito Elétrico Circuito Magnético
Lei de Ohm: I = V/R ∅ = F / R
Resistência: R = ℓ/ A Relutância: R = ℓ/ A
Corrente: I Fluxo: ∅
Tensão: V Fmm: F
Condutividade: Permeabilidade:
Condutância: G Permeância: P
Na Figura acima, considerando que a intensidade de fluxo magnético é constate ao longo do
percurso medido por (caminho médio) e pela Lei de Ampère, tem-se:
∮ · = => NI = (1.14)
1.6 Operação em Corrente Alternada
Se a fmm é de corrente alternada, então a curva B – H é substituída pelo laço de histerese simétrico
da Figura acima. A área dentro do laço é proporcional a perda de energia, em calor, por ciclo. Esta perda de
energia é conhecida como perda por histerese.
Tabela 1-1
B (T)
H (A/m)
Caminho do Fluxo
Laço de Histerese
Enrolamento
de N espiras
Compriment
o médio do
percurso do
fluxo
magnético

As correntes de Foucault, ou correntes parasitas induzidas no material do núcleo constituem uma
outra característica de operação de um ciclo magnético, quando ele está excitado por uma bobina
percorrida por corrente alternada. As perdas magnéticas à histerese de e correntes de Foucault, em conjunto
são conhecidas como perdas no núcleo ou perdas no ferro e, são aproximadamente dadas pelas seguintes
expressões:
Perdas por correntes de Foucault: = (W/kg) (1.15)
Perdas por histerese: = , ,
(W/kg) (1.16)
Nas equações acima, é a densidade do fluxo máxima, f é a frequência da corrente alternada ,
é uma constante que depende da condutividade e da espessura do material e é uma outra constante de
proporcionalidade.
1.7 Corrente de Focault
As correntes induzidas não são obtidas apenas nos condutores em forma de fio. Também condutores
maciços podem fornecê-la.
Por exemplo, um bloco de cobre maciço pode ser um condutor. Se o bloco estiver submetido a um
campo magnético variável e ser ligado nas suas extremidades a outros blocos ou condutores, temos um
circuito fechado. Com isso, uma f.e.m. induzida aparece nas extremidades do bloco e no seu interior
fazendo com que surjam no interior do bloco corrente induzidas. Essas correntes recebem o nome de
correntes de Foucault.
A reduzida resistência elétrica de condutores maciços permite que as correntes de Foucault atinjam
intensidades bastante elevadas. Isso aquece o condutor e causa dissipação de consideráveis quantidades de
energia.
As correntes de Foucault constituem a base de funcionamento dos fornos de indução, nos quais se
fundem peças metálicas através do efeito joule causadas pelas correntes.

1.8 Fator de Laminação
Para reduzir as perdas por correntes de Foucault o núcleo deve ser constituído de lâminas, ou finas
chapas com uma finíssima camada de isolamento entre as mesmas. As lâminas são orientadas
paralelamente à direção do fluxo.
A perda por correntes de Foucault é aproximadamente proporcional ao quadrado da espessura de
laminação, a qual varia de 0,5 a 5 mm em quase todas as máquinas elétricas.
Laminando-se um núcleo aumenta-se o seu volume. A razão do volume realmente ocupado pelo
material magnético para o volume total do núcleo é conhecida como fator de laminação, também conhecido
como fator de empilhamento.
Sendo a perda por histerese proporcional a área do laço da curva, o núcleo de uma máquina é feito
com aço de boa qualidade magnética, tendo estreito laço de histerese.
1.9 Flangeamento
O flangeamento também conhecido como espalhamento ou efeito de borda, são linhas de fluxo
aparecendo ao longo das partes magnéticas separadas pelo ar, como é mostrado na Figura abaixo.
O efeito aumenta com a área do núcleo e com o comprimento do entreferro.
Núcleo
Núcleo
Entreferro
Frangeamento

1.10 Energia Armazenada Num Campo Magnético
A energia magnética armazenada num campo magnético dentro de um certo volume, v, é definida
pela integral de volume:
= ∫ · = ∫ ² = ∫ ² (1.17)
1.11 Cálculo da Indutância
A indutância é definida como o enlace de fluxo por unidade de corrente:
L = (1.18)
Onde λ é chamado de fluxo concatenado. Para uma quantidade de N espiras, tem-se:
λ = ∅ (1.20)
Portanto, a Equação (1.17), torna-se:
L =
∅
(1.21)
A unidade de indutância é o Henry (H). se considerarmos a Equação 1.17, tem-se:
1 H = 1 Wb/A.
1.12 Lei de Lenz
Ao aproximarmos ou afastarmos um dos pólos de um imã a uma espira, a variação do fluxo através
da mesma determina a indução de uma corrente.
“A corrente elétrica induzida num circuito sempre tem um sentido de tal maneira a contrariar
a variação do fluxo de indução que a originou.”
O fato expresso na Lei de Lenz, de que qualquer corrente induzida tem um efeito que se opõe à
causa que a produziu é uma realização, nesse contexto, do princípio de conservação de energia. Se a
corrente induzida atuasse no sentido de favorecer a variação do fluxo magnético que a produziu, o campo
magnético da espira, Figura abaixo, teria um polo sul confrontando o polo norte do imã que se aproxima,
com o que o imã seria atraído no sentido da bobina.

Se o imã fosse, então, abandonado, seria acelerado na direção da bobina, aumentando a intensidade
da corrente induzida, que geraria um campo cada vez maior que, por sua vez, atrairia o imã com uma força
cada vez maior e, assim sucessivamente, com um aumento cada vez maior na energia cinética do imã.
Se fosse retirada energia do sistema imã-espira na mesma taxa com que a energia cinética do imã
aumenta, haveria um fornecimento infindável de energia às custas do nada.
Um dispositivo que operasse desse modo seria um moto-perpétuo. Tal dispositivo não existe porque
seria violado o princípio de conservação da energia.
1.13 Lei de Faraday
Michael Faraday nasceu em 1791 nos arredores de Londres. Iniciando a sua vida profissional aos 13
anos numa livraria e depois numa oficina de encadernação de livros, teve oportunidade de ler livros sobre
ciência quando despertou nele o grande interesse pela eletricidade. Posteriormente, empregou-se na Real
Instituição de Ciência da Grã-Bretanha, onde permaneceu cerca de 45 anos, até o restante de sua vida.
Entre os vários trabalhos no campo da eletricidade, destacou-se, sobretudo, pelos estudos da
eletrólise e indução magnética. O seu diário de 1820 a 1862 constitui num documento notável de seus
estudos e foi publicado em 1932 pela Real Instituição em sete grossos volumes, totalizando cerca de 3.240
páginas com milhares de desenhos.
A lei de Faraday permite o cálculo do valor da f.e.m. induzida em um circuito.
“A f.e.m. induzida em um circuito é igual ao quociente da variação do fluxo magnético pelo
intervalo de tempo dessa variação, com sinal trocado.”
A lei de Lenz está presente na Lei de Faraday através do sinal de menos.
e = −
∆∅
∆
(1.22)
Segundo a Lei de Faraday, “se o fluxo magnético através da superfície limitada por um circuito
varia com o tempo, aparece nesse circuito uma força eletromotriz (fmm) induzida”.

Essa lei está relacionada ao princípio de conservação de energia, conforme explanado antes. Deve-
se observar que o nome força eletromotriz, dado a essa grandeza, é mantido por questões históricas. Essa
grandeza não representa fisicamente uma força e sim, uma diferença de potencial elétrico.
Assim, tem como unidade no SI o volt (V).
1.14 Indutância Mútua, Auto-Indutância
1.14.1 Auto-Indutância
Quando a corrente varia em um circuito, o fluxo magnético que o abrange varia e, no circuito,
induz-se uma f.e.m. Admitindo constante a permeabilidade, a f.e.m. induzida é proporcional à taxa de
variação da corrente, onde a constante de proporcionalidade L se chama auto-indutância do circuito.
= L. (1.23)
A unidade de auto-indutância é o weber/ampère ou Henry (H).
Numa bobina de N espiras a f.e.m. induzida é dada por:
= N.
∅
(1.24)
Onde N.
∅
define o “fluxo de ligação” do circuito. Combinando as duas equações, temos:
L. = N.
∅
∴ L. = N.
∅
∴ L = N.
∅
→ ∅ = L.i (1.25)
1.14.2 Indutância Mútua
Na figura abaixo, consideremos a corrente , na bobina 1, variando com o tempo. A corrente
estabelece um fluxo magnético ∅ .

Parte desse fluxo abrange a bobina 1 e chama-se fluxo de perdas ∅ . O fluxo restante ∅ abrange
também, a bobina 2. A tensão induzida na bobina 2 é dada pela lei de Faraday:
= .
∅
(1.26)
Como ∅ está relacionado à corrente , é proporcional à taxa de variação da corrente ou:
= . (1.27)
Onde a constante de proporcionalidade M se chama indutância mútua entre as duas bobinas. A
unidade de indutância mútua é a mesma da auto-indutância (o henry).
Igualando as duas equações tem-se:
M = .
∅
(1.28)
O acoplamento mútuo é bilateral e resultados análogos serão obtidos se uma corrente variável ,
função do tempo, circular na boblina 2.
1.15 Coeficiente de Acoplamento
O fluxo de ligação depende do espaçamento e orientação dos eixos das bobinas. A fração do fluxo
total que abrange as duas bobinas chama-se coeficiente de acoplamento k. Então, temos:
K =
∅
∅
=
∅
∅
(1.29)
O valor máximo de k = 1. Tem-se também que:
M = k. . (1.30)
1.16 Energia em um Indutor
A energia elétrica armazenada em um indutor é dada pela equação:
W = . L.i² (1.31)
Esta expressão mostra que a energia armazenada é função exclusivamente da corrente que atravessa
o indutor. Esta energia é armazenada de forma reversível, no campo magnético associado ao indutor.

1.17 Campo Magnético De Uma Espira Circular
Em um ímã, as linhas de indução saem do polo Norte e chega ao polo Sul. Uma espira percorrida
por uma corrente origina um campo magnético análogo ao de um ímã, e então se atribui a ela um polo
Norte, do qual as linhas saem, e um pólo Sul, para o qual elas chegam.
Um fio enrolado forma uma espira. Vários fios ligados nos seus terminais formam uma bobina. A
intensidade do vetor indução magnético (vetor ) no centro de uma bobina é dada pela expressão:
B = N. . (1.32)
Onde:
N é o número de espiras.
1.18 Campo Magnético de Um Solenoide
Denomina-se solenoide (do grego: solen = tubo) ou bobina longa, um fio condutor enrolado,
segundo uma espiral.
As extremidades do solenoide denominam-se polos: Norte, de onde saem às linhas de indução, Sul,
onde entram.
A intensidade do vetor indução magnética é dado por:
B = .(N/l).i (1.33)
1.19 Força Sobre Cargas Elétricas Em Movimento
Uma carga elétrica lançada no interior de um campo magnético fica sob a ação de uma força.
Mesmo que a carga esteja no interior do campo, esta força se anula quando a velocidade da carga se torna
nula ou também quando a direção da velocidade for igual à direção do vetor indução magnética neste
campo.
Esta força, conhecida por força magnética de Lorentz ou simplesmente força de Lorentz, possui as
seguintes características:
Direção: sempre perpendicular ao vetor indução magnética e ao vetor velocidade ;
Módulo (ou intensidade):
F = q.v.B.sen (1.34)

= ângulo formado por e
q = carga elétrica;
Sentido: é dado pela regra da mão esquerda de Fleming, quando a carga q é positiva (q > 0).
1.20 Exercícios Resolvidos e Propostos
1.20.1) Utilize a lei de Ampère para calcular a intensidade de campo magnético devido a um condutor reto,
infinitamente longo, percorrido por uma corrente I ampères, em um ponto afastado r metros do condutor.
Solução:
Pela Lei de Ampère: ∮ · = I
Como a intensidade do campo magnético pode ser considerado um círculo em volta do condutor e,
a distância do campo r pode ser considerado como o comprimento da circunferência. Portanto: l = 2 .
Então:
∮ · = I ∴ ∮ · 2 = I ∴ · 2 = I => H = (A/m)
1.20.2) Um fio de cobre reto e extenso é percorrido por uma corrente i = 1,5 A. Sabe-se que
= 4 .10 .
. Calcule a intensidade e a densidade do campo magnético originado num ponto à distância
r = 0,25 m do fio.
1.20.3) Um condutor reto e extenso é percorrido por uma corrente i = 2 A. Calcule a densidade de campo
magnético B originado num ponto, à distância r = 1 m do condutor ( = 4 .10 .
).
1.20.4) Um condutor reto de comprimento infinito é percorrido por uma corrente elétrica constante de 5 A
e imerso no vácuo. Sabendo-se que a permeabilidade magnética do vácuo vale = 4 .10 .
,
determinar a intensidade do vetor indução magnética produzido num ponto que dista 50 cm do fio.

1.20.5) Demonstre que a indutância expressa em grandeza do campo magnético é:
L =
²
ou L = ²P
1.20.6) Em um par de bobinas acopladas, a corrente contínua na bobina 1 é de 5 ampères e os fluxos
correspondentes ∅ e ∅ são, respectivamente, 20.000 e 40.000 maxwells. Sendo e os totais de
espiras, determinar , M e K. (Nota: 1 weber = 10 maxwells)
1.20.7) Duas bobinas, = 0,8 H e = 0,2 H tem coeficientes de acoplamento K = 0,9. Determinar a
indutância mútua.

Capítulo 1 apostila_do_curso_de_máquinas_e_acionamentos

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Semelhante a Capítulo 1 apostila_do_curso_de_máquinas_e_acionamentos

Semelhante a Capítulo 1 apostila_do_curso_de_máquinas_e_acionamentos (20)

Último

Último (20)

Capítulo 1 apostila_do_curso_de_máquinas_e_acionamentos